Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου – Ιουνίου 2016

ΕΞΕΣΑΣΕΑ ΤΛΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ

ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ Β΄ ΣΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ (όλα τα τμήματα)

Από το βιβλίο «Μαθηματικά Θετικήσ και Τεχνολογικήσ Κατεφθυνςησ Β΄ Τάξησ Γενικοφ

Λυκείου»

Κεφ. 1ο: Διανφςματα

1.1. Η Ζννοια του Διανφςματοσ

1.2. Πρόςθεςη και Αφαίρεςη Διανυςμάτων

1.3. Πολλαπλαςιαςμόσ Αριθμοφ με Διάνυςμα (χωρίσ τισ Εφαρμογζσ 1 και 2)

1.4. Συντεταγμζνεσ ςτο Επίπεδο (Χωρίσ την απόδειξη τησ υποπαραγράφου

«Συντεταγμζνεσ Διανφςματοσ», χωρίσ την Εφαρμογή 2 ςτη ςελ. 35 και χωρίσ την απόδειξη τησ

ςυνθήκησ παραλληλίασ διανυςμάτων)

1.5. Εςωτερικό Γινόμενο Διανυςμάτων (χωρίσ την απόδειξη του τφπου τησ αναλυτικήσ

ζκφραςησ Εςωτερικοφ Γινομζνου)

Κεφ. 2ο: Η Ευθεία ςτο Επίπεδο

2.1. Εξίςωςη Ευθείασ

2.2. Γενική Μορφή Εξίςωςησ Ευθείασ (χωρίσ την εφαρμογή 2)

2.3. Εμβαδόν Τριγώνου (χωρίσ τισ αποδείξεισ των τφπων τησ απόςταςησ ςημείου από

ευθεία, του εμβαδοφ τριγώνου και χωρίσ την Εφαρμογή 1).

Κεφ. 3ο: Κωνικζσ Σομζσ

3.1. Ο Κφκλοσ (χωρίσ τισ παραμετρικζσ εξιςώςεισ του κφκλου)

Επαναληπηικά θέμαηα και θέμαηα εξεηάζεων Μαθημαηικά Καηεύθυνζης

Β΄Λυκείου

Θέμα 1ο (1999)

Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(8,0) θαη Β(0,4) ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ Ορς.

α) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ νξίδεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ

Ο θαη ην κέζν Γ ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ .

β)Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο (ε) πνπ δηέξρεηαη από ην Γ θαη είλαη

θάζεηε ζηελ επζεία ΟΓ.

γ) Έζησ Μ ηπραίν ζεκείν ηεο επζείαο (ε) . Να δείμεηε όηη ηζρύεη ε ζρέζε

2 2 2

2

Θέμα 2ο (1999)

Θεσξνύκε έλα πιεζπζκό από 1999 κπξκήγθηα. Κάζε κπξκήγθη ραξαθηεξίδεηαη από

έλαλ αξηζκό n = 1 , 2 , 3 , … , 1999 θαη θηλείηαη πάλσ ζην θαξηεζηαλό επίπεδν Ορς

δηαγξάθνληαο κηα ηξνρηά κε εμίζσζε 2 2( 1) 2 ( 1)x y n x y .Να δείμεηε όηη :

α) ε ηξνρηά θάζε κπξκεγθηνύ είλαη θύθινο θαη λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ

θέληξνπ ηνπ

β) θαηά ηελ θίλεζή ηνπο όια ηα κπξκήγθηα δηέξρνληαη από έλα ζηαζεξό ζεκείν Α

(πνπ είλαη ε θσιηά ηνπο) .Πνηεο είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Α ;

γ)νη ηξνρηέο όισλ ησλ κπξκεγθηώλ εθάπηνληαη ηεο επζείαο 1 0x y ζην ζεκείν Α

Θέμα 3ο (2000)

Γηα ηα δηαλύζκαηα ,

ηζρύνπλ νη ζρέζεηο 2 3 (4, 2)

θαη 3 ( 7,8)

α) Να δείμεηε όηη ( 1,2) (2, 2)

β) Να βξεζεί ν πξαγκαηηθόο αξηζκόο θ ώζηε ηα δηαλύζκαηα

θαη 2 3

λα είλαη θάζεηα

γ) Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα (3, 1)

ζε δύν θάζεηεο ζπληζηώζεο , από ηηο

νπνίεο ε κία λα είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα

Θέμα 4ο (2000)

ε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Ορς ε εμίζσζε ηεο επζείαο

(ι-1)ρ + (ι+1)ς –ι – 3 = 0 , όπνπ ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο πεξηγξάθεη ηε θσηεηλή

αθηίλα πνπ εθπέκπεη έλαο πεξηζηξεθόκελνο θάξνο Φ .

α) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θάξνπ Φ

β) Σξία πινία βξίζθνληαη ζηα ζεκεία Κ(2,2) , Λ(-1,5) , Μ(1,3) . Να βξείηε ηηο

εμηζώζεηο ησλ θσηεηλώλ αθηίλσλ πνπ δηέξρνληαη από ηα πινία Κ , Λ θαη Μ .

γ) Να ππνινγίζεηε πνην από ηα πινία Κ, Λ βξίζθεηαη πιεζηέζηεξα ζηε θσηεηλή

αθηίλα πνπ δηέξρεηαη από ην πινίν Μ

δ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηεο ζαιάζζηαο πεξηνρήο πνπ νξίδεηαη από ην

θάξν Φ θαη ηα πινία Μ θαη Λ .

Θέμα 5ο (2001)

Γηα ηα δηαλύζκαηα ,

δίλεηαη όηη 1, 2 ( , )3

. Έζησ ηα

δηαλύζκαηα 2 3 , 2u v

. Να ππνινγίζεηε

α) ην εζσηεξηθό γηλόκελν

β) ηα κέηξα ,u v

γ) ην εζσηεξηθό γηλόκελν u v

δ) ην ζπλεκίηνλν ηε γσλίαο ησλ δηαλπζκάησλ ,u v

Θέμα 6ο (2001)

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 6 9 0x y x

α) Να δείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη δύν επζείεο ε1 θαη ε2

β) Να δείμεηε όηη νη επζείεο ε1 θαη ε2 είλαη θάζεηεο

γ) Να βξείηε έλα ζεκείν Μ(θ , ι) κε θ>0 , ι>0 ηέηνην ώζηε ην δηάλπζκα

(3, )

λα είλαη παξάιιειν πξνο ηε κία από ηηο δύν επζείεο ε1 θαη ε2 θαη

ην δηάλπζκα ( 16,4 )

λα είλαη παξάιιειν πξνο ηελ άιιε επζεία

Θέμα 7ο (2001)

Α) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 6 8 0x y x y όπνπ ι , κ πξαγκαηηθνί αξηζκνί

δηάθνξνη ηνπ κεδελόο . Να δείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ησλ ι , κ ε παξαπάλσ

εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Ο .

Β) Έζησ όηη γηα ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο ι , κ ηζρύεη ε ζρέζε 3κ + 2ι = 0 .

α) Να δείμεηε όηη όινη νη θύθινη πνπ νξίδνληαη από ηελ εμίζσζε

2 2 6 8 0x y x y γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ησλ ι , κ έρνπλ ηα θέληξα ηνπο

ζε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ

β) Να βξείηε ηα ι , κ έηζη ώζηε αλ Α , Β ηα ζεκεία ηνκήο ηνπ αληίζηνηρνπ

θύθινπ κε ηελ επζεία 2 0x y , λα ηζρύεη 0

γ) Γηα ηηο ηηκέο ησλ ι , κ πνπ βξήθαηε ζην εξώηεκα β) λα ππνινγίζεηε ην

εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ.

Θέμα 8ο (επαναλ 2003)

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 4 2 3 0x y x y θαη ην ζεκείν Μ(2,1)

Α) Να απνδείμεηε όηη εμίζσζε απηή παξηζηάλεη θύθιν κε θέληξν ην ζεκείν

Κ(2,-1) θαη αθηίλα ξ = 2

Β) Ν βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρνληαη από ην

ζεκείν Μ(2,1)

Γ) Αλ Α, Β ηα ζεκεία επαθήο ησλ παξαπάλσ εθαπηνκέλσλ κε ηνλ θύθιν , λα

βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΜΑΒ

Θέμα 9ο (επαναλ 2001)

Δλόο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ , ε πιεπξά ΑΒ αλήθεη ζηελ επζεία κε εμίζσζε

3 7 27 0x y θαη ε πιεπξά ΑΓ ζηελ επζεία κε εμίζσζε 4 5 0x y . Οη

δηαγώληνη ΑΓ , ΒΓ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Κ(2, 5

2) .

α) Να απνδείμεηε όηη ε θνξπθή Γ έρεη ζπληεηαγκέλεο (6 , 2 )

β) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ζηελ νπνία αλήθεη ε πιεπξά ΒΓ

γ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ζηελ νπνία αλήθεη ε δηαγώληνο ΒΓ .

Θέμα 10ο (επαναλ 2001)

Αλ 2 0

θαη 6 , 2 3

λα δείμεηε όηη :

α) ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά

β) ην ζεκείν Γ είλαη αλάκεζα ζηα ζεκεία Α , Β

γ) ε γσλία ˆ 90

δ) ην δηάλπζκα v

είλαη θάζεην ζην

Θέμα 11ο (2002)

Γίλεηαη έλα ηξίγσλν κε θνξπθέο Α(2ι-1 , 3ι+2) , Β(1,2) θαη Γ(2,3) όπνπ

2

Α)Να δείμεηε όηη ην ζεκείν Α θηλείηαη ζε επζεία θαζώο ην ι κεηαβάιιεηαη ζην

Β) Δάλ ι = 1 , λα βξείηε α) ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ

β) ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ θνξπθή Α(1,5) θαη εθάπηεηαη

ζηελ επζεία ΒΓ

Θέμα 12ο (2002)

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 2 1 0 , 0 2x y x y .

α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζ ε εμίζσζε απηή παξηζηάλεη θύθιν , ηνπ νπνίνπ

λα πξνζδηνξίζεηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα

β)Αλ 2

, λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν Μ(1,2)

γ) Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ζ ηα θέληξα ησλ παξαπάλσ

θύθισλ βξίζθνληαη ζε θύθιν κε θέληξν Ο(0,0) θαη αθηίλα ξ=1 .

Θέμα 13ο

α) Να πξνζδηνξηζηνύλ νη ηηκέο ηνπ ι γηα ηηο νπνίεο νη παξαθάησ επζείεο

ηέκλνληαη , 1 : 2 , 2 : 1 .

β)Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ ζεκείνπ ηνκήο

Θέμα 14ο

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 23 3 6 12 3 0x y x y

α) Να δείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε

θέληξν θαη αθηίλα .

β) Να βξείηε ηηο εθαπηνκέλεο ηνπ παξαπάλσ θύθινπ πνπ άγνληαη από ην Ο (0,0)

γ) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη

παξαπάλσ εθαπηνκέλεο

Θέμα 15ο

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 1 0x y x y

α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν.

β) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ

από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε

γ) Να εμεηάζεηε αλ όινη νη θύθινη πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε

δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν

Θέμα 16ο

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 ( 1) ( 1) 2 0x y x y (1) θαη ε επζεία (ε)

κε εμίζσζε 1 2 2 0x y , όπνπ ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο .

Α) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε ηηκή ηνπ ι θαη λα

βξείηε ζπλαξηήζεη ηνπ ι , ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ .

Β) Να δείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ

πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι , είλαη κηα επζεία

παξάιιειε ζηελ επζεία (ε) .

Γ) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε επζεία (ε) είλαη εμσηεξηθή θάζε

θύθινπ πνπ πξνθύπηεη από ηελ (1)

Θέμα 17ο

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2( 1) 4( 1) 10 5 0x y x y

α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν.

β) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ

από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε

γ) Να δείμεηε όινη νη θύθινη πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε

δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν

δ) Να βξείηε ηελ θνηλή εθαπηνκέλε όισλ ησλ παξαπάλσ θύθισλ

.

Θέμα 18ο

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 4 2 1 0x y x y

α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν.

β) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ

από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε

γ) Να δείμεηε όινη νη θύθινη πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε

δηέξρνληαη από δύν ζηαζεξά ζεκεία

δ) Να βξείηε ηελ θνηλή ρνξδή όισλ ησλ παξαπάλσ θύθισλ

Θέμα 19ο

Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα ,

κε 2 , 4

θαη ( , )3

θαζώο

θαη ηα δηαλύζκαηα

θαη 2

Α) Να βξείηε ην

Β) Να βξείηε ην

θαζώο θαη ηα ,

Γ) Να βξείηε ηε γσλία ( , )

Θέμα 20ο

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2( 1) (3 2 1) 5 4 1 0x y (1) , όπνπ ι

πξαγκαηηθόο αξηζκόο .

Α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη επζεία

Β) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ

εμίζσζε (1) :

η) είλαη παξάιιειεο ζηνλ ςς΄ ηη) δηέξρνληαη από ην (0,0)

Γ) Να δείμεηε όηη όιεο νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα ηηο δηάθνξεο

ηηκέο ηνπ ι , δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .

Θέμα 21ο

Γίλνληαη ηα ζεκεία ζην επίπεδν Μ(1+εκθ,2-ζπλθ) κε θϵ[0,2π)

i. Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία θηλνύληαη ζε θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν Κ θαη

ηελ αθηίλα ξ

ii. Να βξείηε ηηο εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ πνπ άγνληαη από ην Ο(0,0) .

iii. Αλ Α,Β ηα ζεκεία επαθήο ησλ εθαπηνκέλσλ κε ηνλ θύθιν, λα ππνινγίζεηε ην

ζπλεκίηνλν ηεο γσλίαο ησλ δηαλπζκάησλ

θαη

θαη ζηελ ζπλέρεηα λα

ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ AOB

Θέμα 22ο

A. Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2c : x + y -8x + 6y - ι + 25 = 0

i. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ πξαγκαηηθνύ ι , γηα ηηο νπνίεο ε εμίζσζε c παξηζηάλεη

θύθιν.

ii. Να βξείηε ην θέληξν Κ θαη ηελ αθηίλα R ησλ θύθισλ c.

B. Γίλεηαη ε εμίζσζε (εκ): x+y-1+κ(2x-y-11)=0

i. Να δείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ κ , ε (εκ) παξηζηάλεη επζεία γξακκή.

ii. Να δείμεηε όηη όιεο νη επζείεο (εκ) δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν , ην νπνίν είλαη

ην θέληξν Κ ησλ θύθισλ ηνπ Α εξσηήκαηνο.

Θέμα 23ο

∆ίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ , ην ύςνο ηνπ ΑΓ θαη νη εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ ΑΓ, Α∆, είλαη

νη ΑΓ: x – 2ς + 6 = 0 θαη AΓ: x – ς + 1 = 0 αληίζηνηρα. Αλ επίζεο δίλεηαη Β (1,3) λα

βξεζνύλ:

α. Οη ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Α.

β. Η εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ αλήθεη ε πιεπξά ΑΒ.

γ. Η εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ αλήθεη ε πιεπξά ΒΓ.

δ. Σν ζπλεκίηνλν ηεο νμείαο γσλίαο ησλ επζεηώλ ΑΓ θαη Α∆.

ε. Αλ Κ, Λ, Μ είλαη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ, ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα. Να βξεζεί ην

εκβαδό ηνπ ηξηγώλνπ ΚΛΜ.

Θέμα 24ο

Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα

θαη

κε

θαη ε εμίζσζε:

2 2 2 2x + y - 2 α - 2β x - 2 2α - β y + α + β = 0 1

Α. Γείμηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν αθηίλαο ξ = 2 α - β

Β. Αλ 1

θαη 1

ζπλ(α,β) =4

λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ.

Θέμα 25ο

Γίλνληαη νη επζείεο (ε): λx – y – 1 = 0 θαη (ζ): x + λy – λ = 0.

α) Να δείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ λ νη επζείεο ηέκλνληαη ζε

ζεκείν Μ, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο.

β) Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ θηλείηαη ζηνλ κνλαδηαίν θύθιν.

Θέμα 26ο

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2x + y - 2xζπλζ - 2yεκζ -1 = 0, 0 ζ < 2π .

α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζ ε εμίζσζε απηή παξηζηάλεη θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα

πξνζδηνξίζεηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα.

β) Αλ 2

λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν Μ(1,2).

γ) Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ θ ηα θέληξα ησλ παξαπάλσ θύθισλ

βξίζθνληαη ζε θύθιν κε θέληξν Ο(0,0) θαη αθηίλα ρ = 1.

Θέμα 27ο

Θεσξνύκε ηηο εμηζώζεηο C: 2 2x + y + ιx -1 = 0θαη ε: y = λx κε R .

α) Να δείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ λ ε εμίζσζε C παξηζηάλεη

θύ-

θιν, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα.

β) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ

λ.

γ) Να δείμεηε όηη ε επζεία ε ηέκλεη ηνλ θύθιν C ζε δύν ζεκεία Α θαη Β.

δ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο θακπύιεο πνπ δηαγξάθεη ην κέζν ηεο ρνξδήο ΑΒ.

Θέμα 28ο

ε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Οxy , ε εμίζσζε επζείαο

(λ–1)x+(λ+1)y–λ–3 = 0 , όπνπ λ πξαγκαηηθόο αξηζκόο, πεξηγξάθεη ηε θσηεηλή αθηίλα

πνπ εθπέκπεη έλαο πεξηζηξεθόκελνο θάξνο Φ.

α) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θάξνπ Φ.

β) Σξία πινία βξίζθνληαη ζηα ζεκεία Κ(2,2) , Λ(–1,5) θαη Μ(1,3). Να βξείηε ηηο

εμηζώζεηο ησλ θσηεηλώλ αθηίλσλ πνπ δηέξρνληαη από ηα πινία Κ , Λ θαη Μ.

γ) Να ππνινγίζεηε πνην από ηα πινία Κ θαη Λ βξίζθεηαη πιεζηέζηεξα ζηε θσηεηλή

αθηίλα πνπ δηέξρεηαη από ην πινίν Μ.

δ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηεο ζαιάζζηαο πεξηνρήο πνπ νξίδεηαη από ην θάξν Φ

θαη ηα πινία Λ θαη Μ.

Θέμα 29ο

Γύν πινία μεθηλνύλ ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή από ηα ιηκάληα Α θαη Β αληίζηνηρα.

Οη ζπληεηαγκέλεο ηεο ζέζεο ηνπο είλαη αληίζηνηρα (–2+4t,8–9t) θαη (3–t,10–11t) ,

όπνπ t ν

ρξόλνο ζε ώξεο.

α) Βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ιηκαληώλ Α θαη Β.

β) Πνηα είλαη ε απόζηαζή ηνπο κεηά από 30 min;

γ) Πνηεο είλαη νη εμηζώζεηο ηεο γξακκήο πνξείαο ηνπο;

δ) ε πνην ζεκείν ζα ζπλαληεζνύλ ηα δύν πινία θαη ζε πόζε ώξα;

ε) Πνην πινίν θηλείηαη κε κεγαιύηεξε ηαρύηεηα;

ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ ΜΑΪΟΤ

ΣΑΞΗ : Β

ΗΜ/ ΝΙΑ : 25 – 05 – 2010

ΜΑΘΗΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο

Θέμα 1ο ( Α = 5 , Β = 10 , Γ = 10 )

Α) Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο παξαβνιήο κε εζηία ην ζεκείν Δ θαη δηεπζεηνύζα

ηελ επζεία δ

Β) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 2:C x y θαη έλα ζεκείν ηνπ Α ( 1 1,x y ) . Να

απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ C ζην ζεκείν ηνπ Α

έρεη εμίζσζε 2

1 1xx yy .

Γ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ

1. Αλ

ηόηε

2. Σν εκβαδόλ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη 1

( ) det( , )2

3. Η εμίζσζε 2 2( ) ( )o ox x y y παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε

πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ ξ

4. Η παξαβνιή 22x y έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ ρ΄ρ

5. Η έιιεηςε 2 2: 4 9 1C x y έρεη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα ςς΄

Θέμα 2ο ( Α = 5 , Β = 15 , Γ = 5 )

Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα ,

κε 2 , 4

θαη ( , )3

θαζώο

θαη ηα δηαλύζκαηα

θαη 2

Α) Να βξείηε ην

Β) Να βξείηε ην

θαζώο θαη ηα ,

Γ) Να βξείηε ηε γσλία ( , )

Θέμα 3ο ( Α = 5 , Β = 10 , Γ = 10 )

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2( 1) (3 2 1) 5 4 1 0x y (1) , όπνπ ι

πξαγκαηηθόο αξηζκόο .

Α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη επζεία

Β) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ

εμίζσζε (1) :

η) είλαη παξάιιειεο ζηνλ ςς΄ ηη) δηέξρνληαη από ην (0,0)

Γ) Να δείμεηε όηη όιεο νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα ηηο δηάθνξεο

ηηκέο ηνπ ι , δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .

Θέμα 4ο ( Α = Β = Γ = Γ = Δ = 5 )

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 ( 1) ( 1) 2 0x y x y (1) , όπνπ ι

πξαγκαηηθόο αξηζκόο θαη ε επζεία (ε) κε εμίζσζε 1 2 2 0x y

Α) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε ηηκή ηνπ ι θαη λα

βξείηε ζπλαξηήζεη ηνπ ι , ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ .

Β) Να δείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ

πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι , είλαη κηα επζεία

παξάιιειε ζηελ επζεία (ε) .

Γ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ πξνθύπηεη από ηελ (1) θαη έρεη ηε

κηθξόηεξε δπλαηή αθηίλα .

Γ) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε επζεία (ε) είλαη εμσηεξηθή ησλ

αληίζηνηρσλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1)

Δ) Αλ C ν θύθινο πνπ πξνθύπηεη γηα ι = 1 λα βξείηε ηελ ειάρηζηε

απόζηαζε κεηαμύ ελόο ζεκείνπ ηνπ θύθινπ C θαη ηεο επζείαο (ε) , θαζώο

θαη ην ζεκείν Β ηεο επζείαο πνπ απέρεη από ηνλ θύθιν ηελ ειάρηζηε απηή

απόζηαζε .

ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ ΜΑΪΟΤ- ΙΟΤΝΙΟΤ

ΣΑΞΗ : Β

ΗΜ/ ΝΙΑ : 05 – 06 – 2014

ΜΑΘΗΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο

Θέμα 1ο ( Α = 5 , Β = 10 , Γ = 10 )

Α) Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο έιιεηςεο κε εζηίεο ηα ζεκεία Δ θαη Δ΄ .

Β) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 2:C x y θαη έλα ζεκείν ηνπ Α ( 1 1,x y ) . Να

απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ C ζην ζεκείν ηνπ Α

έρεη εμίζσζε 2

1 1xx yy .

Γ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ

1. Αλ

ηόηε

2. Σν εκβαδόλ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη 1

( ) det( , )2

3. Η εμίζσζε 2 2( ) ( )o ox x y y παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε

πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ ξ

4. Η παξαβνιή 2 2x py έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ ρ΄ρ

5. Η ππεξβνιή 2 2

2 21

y x

έρεη αζύκπησηεο ηηο επζείεο ε1 : 0x y

θαη ε2 : 0x y

Θέμα 2ο ( Α = 5 , Β = 10 , Γ = 10 )

Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα ,

κε 2 , 1

θαη 2

( , )3

θαζώο

θαη ην δηάλπζκα 2 4

Α) Να βξείηε ην

Β) Να βξείηε ην

Γ) Να βξείηε ηε γσλία ( , )

Θέμα 3ο ( Α = 5 , Β = 5 , Γ = 10 , Γ=5 )

Γίλεηαη ν θύθινο C κε εμίζσζε 2 2 2 4 1 0x y x y θαη ε επζεία (ε) κε

εμίζσζε 3 4 4 0x y

Α) Να βξείηε ην θέληξν Κ θαη ηελ αθηίλα ξ ηνπ θύθινπ C

Β) Να δείμεηε όηη ε επζεία ε θαη ν θύθινο C δελ έρνπλ θνηλά ζεκεία

Γ) Να βξείηε ην ζπκκεηξηθό Λ ηνπ θέληξνπ Κ σο πξνο ηελ επζεία (ε)

Γ) Αλ Λ(13 14

,5 5

) λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ην ΚΛ

Θέμα 4ο ( Α = 4 , Β = 3 , Γ = 5, Γ=8 , Δ=5 )

Γίλεηαη ε παξαβνιή C : 2 4y x θαη ε εμίζσζε 2 2( 1) 2 1 0x y (1) ,

όπνπ ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο .

Α) Να βξείηε ηελ εζηία θαη ηελ εμίζσζε ηεο δηεπζεηνύζαο ηεο παξαβνιήο C

Β) Να δείμεηε όηη ε (1) γηα θάζε πξαγκαηηθή ηνπ ι παξηζηάλεη επζεία γξακκή

Γ) Να δείμεηε όηη ε δηεπζεηνύζα ηεο παξαβνιήο δελ αλήθεη ζηελ νηθνγέλεηα επζεηώλ

πνπ νξίδεη ε (1)

Γ) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ( ,x y ) ηνπ επηπέδνπ ηα νπνία δελ

αλήθνπλ ζηε παξαπάλσ δηεπζεηνύζα θαη δηέξρεηαη από θαζέλα από απηά κόλν κία

επζεία από ηελ παξαπάλσ νηθνγέλεηα επζεηώλ

Δ) Να δείμεηε όηη όιεο νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα ηηο δηάθνξεο

ηηκέο ηνπ ι εθάπηνληαη ζην κνλαδηαίν θύθιν .

ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ ΜΑΪΟΤ- ΙΟΤΝΙΟΤ

ΣΑΞΗ : Β

ΗΜ/ ΝΙΑ : 26 – 05 – 2015

ΜΑΘΗΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο

Θέμα 1ο ( Α = 10 , Β = 15 )

Α) Έζησ ηα ζεκεία Α(1 1,x y ) , Β(

2 2,x y ) θαη ην κέζν Μ( ,x y ) ηνπ ΑΒ. Να δείμεηε όηη

1 2x

2

xx

θαη 1 2

2

y yy

.

Β) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ

1. Αλ

ηόηε

.

2. Γηα νπνηαδήπνηε δηαλύζκαηα ,

ηζρύεη όηη

3. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Μ( ,o ox y ) από ηελ επζεία (ε) κε εμίζσζε

0x y δίλεηαη από ηνλ ηύπν 2 2

(M, )o ox y

d

4. Η επζεία (ε) κε εμίζσζε 0x y είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα

κε ζπληεηαγκέλεο (-Β,Α)

5. Η εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ 2 2 2x y ζην ζεκείν ηνπ Α( 1 1,x y ) έρεη

εμίζσζε 1 1 0xx yy

Θέμα 2ο ( Α = 10 , Β = 10 , Γ = 5 )

Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(-2,0) , Β(4,1) θαη Γ(1,-5).

Α) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΒΓ

Β) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο (ε) πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α θαη είλαη

θάζεηε ζηε ΒΓ.

Γ) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

Θέμα 3ο ( Α = 8 , Β = 6 , Γ = 6 , Γ=5 )

Γίλεηαη ν θύθινο C κε εμίζσζε 2 2 4 3 0x y x θαη ε επζεία (ε) κε εμίζσζε

2y x

Α) Να βξείηε ην θέληξν Δ θαη ηελ αθηίλα ξ ηνπ θύθινπ C

Β) Να δείμεηε όηη ε επζεία ε θαη ν θύθινο C έρνπλ δύν θνηλά ζεκεία

Γ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ έρεη θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη

εζηία ην θέληξν Έ ηνπ θύθινπ C, θαζώο θαη ηελ εμίζσζε ηεο δηεπζεηνύζαο ηεο .

Γ) Να δείμεηε όηη όινη νη θύθινη πνπ έρνπλ ηα θέληξα ηνπο ζηελ παξαπάλσ παξαβνιή

θαη εθάπηνληαη εμσηεξηθά ηνπ θύθινπ C, εθάπηνληαη θαη ζηελ επζεία 1x

Θέμα 4ο ( Α = 8 , Β1 = 5 , Β2 = 5, Γ = 7 )

Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΟΑΒΓ κε Ο(0,0) , Α(0,α) θαη Β ζεκείν ζην 1ν ηεηαξηεκόξην

όπνπ α ζηαζεξόο ζεηηθόο πξαγκαηηθόο αξηζκόο . Έζησ Κ κε ηεηκεκέλε 1x ζεκείν ηεο

πιεπξάο ΑΒ θαη Λ ζεκείν ηεο πιεπξάο ΒΓ ηέηνην ώζηε ΑΚ = ΒΛ.

Α) Να κεηαθέξεηε ηα παξαπάλσ ζεκεία ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ

θαη λα εθθξάζεηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ Β,,Γ,Κ,Λ ζπλαξηήζεη ησλ α , 1x .

Β) Να δείμεηε όηη : η) ΑΛ = ΟΚ ηη) ΑΛΟΚ

Γ) Αλ Μ ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΑΛ θαη ΟΚ , λα δείμεηε όηη θαζώο ην ζεκείν Κ θηλείηαη

πάλσ ζην ηκήκα ΑΒ ην Μ θηλείηαη ζε ηόμν θύθινπ.