Міністерство освіти і науки України

Чернігівський державний технологічний університет

В.Г. Дубенець, О.В. Савченко

ОБЧИСЛЮВАЛЬНА МЕХАНІКА

(Курс лекцій. Частина 2)

Чернігів, ЧДТУ 2007

1

ЗМІСТ

Лекція 10 РОЗРАХУНКИ НА СТІЙКІСТЬ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 10.1 Стійкість прямолінійного стержня під дією статичних сил. . . . . 4 10.2 Енергетичний метод визначення критичних сил. . . . . . . . . . . . . . 7 10.3 Застосування методу скінченних елементів. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Лекція 11 РОЗРАХУНКИ ПРИ ДИНАМІЧНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ. . . . 15 11.1 Метод скінченних елементів у теорії коливань . . . . . . . . . . . . . . . 16 11.2 Вільні коливання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 11.3 Вимушені коливання без демпфірування . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Лекція 12 МСЕ У ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ. . . . . . . . . . . . . . . . 28 12.1 Одновимірний випадок переносу тепла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 12.2 Двовимірний перенос тепла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 12.2.1 Плоский трикутний елемент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 12.3 Температурні деформації і напруження у стержнях. . . . . . . . . . 47 Лекція 13 РОЗРАХУНКИ НЕІДЕАЛЬНО ПРУЖНИХ КОНСТРУКЦІЙ. . 49 13.1 Основні положення теорії пластичності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 13.2 МСЕ у задачах розрахунку конструкцій з неідеально пружних матеріалів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 13.3 Елементи теорії в'язкопружності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 13.4 Метод аналізу нестаціонарних коливань у конструкціях з в'язкопружних матеріалів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 13.5 Використання скінченно-елементних моделей для аналізу нестаціонарних коливань стержнів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Лекція 14 МЕТОД СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 14.1 Загальні положення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 14.2 Використання МСР у одновимірних задачах. . . . . . . . . . . . . . . 79 14.3 Використання МСР для розв'язання рівнянь у частинних похідних. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Лекція 15 МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ ДЛЯ ДИСКРЕТИЗОВАНИХ МОДЕЛЕЙ КОНСТРУКЦІЙ. . . . . . . . . . . . . . . . 98 15.1 Лінійні алгебраїчні рівняння. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 15.2 Розв'язання систем нелінійних рівнянь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 15.3 Методи розв'язання рівнянь динаміки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 15.4 Поняття власного числа і власного вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . 112 15.5 Розв'язання алгебраїчних рівнянь у системі MathCAD . . . . . . . 116 Лекція 16 ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 16.1 Одновимірні методи пошуку мінімуму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 16.1.1 Методи виключення інтервалів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 16.1.2 Методи поліноміальної апроксимації. . . . . . . . . . . . . . . 127

2

16.1.3 Методи, які використовують похідні функції . . . . . . . . 128 16.2 Методи теорії нелінійного програмування (ТНП). . . . . . . . . . 128 16.2.1 Загальні положення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 16.2.2 Градієнтні методи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 16.2.3 Методи прямого пошуку для функції п змінних. . . . . 138 16. Використання програми MathCAD для пошуку екстремальних значень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Лекція 17 ОСОБЛИВОСТІ ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 17.1 Оцінка точності методу скінченних елементів. . . . . . . . . . . . . 144 17.1.1 Джерела похибок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 17.1.2 Збіжність методу скінченних елементів. . . . . . . . . . . . . 146 17.2 Аналіз результатів чисельних розрахунків і обробка даних. . 148 17.2.1 Інтерполяція. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 17.2.2 Функції регресії. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 17.2.3 Двовимірна регресія. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 17.2.4 Функції згладжування. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 17.2.5 Приклади статистичних розрахунків. . . . . . . . . . . . . . . 156 ДОДАТОК А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 А1 Матричні методи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 А2 Лінійні простори. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 А3 Лінійні оператори. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 А4 Реалізація матричних операцій у системі MathCAD . . . . . . . . 179 ЛІТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3

Лекція 10 РОЗРАХУНКИ НА СТІЙКІСТЬ Під стійкістю розуміють здатність системи зберігати незмінним свій

стан при зовнішніх збуреннях. Якщо не розглядати системи принципово нестійкі за своєю природою, то для всіх інших нестійких систем можна зафіксувати момент переходу від стійкого стану до нового, як правило, нестійкого, при якому розвиваються значні деформації, що порушують умови нормальної експлуатації системи. Параметри, які характеризують такий перехід, називаються критичними. Якщо перехід до нестійкого стану залежить від зовнішнього навантаження, то узагальнена сила, перевищення якої приводить до цього переходу, називається критичною силою. Звичайно робоче навантаження призначається як n-на частина критичного, де n – коефіцієнт запасу за стійкістю.

Існують три основні методи для визначення критичних сил. 1) Статичний метод, що ґрунтується на рівняннях рівноваги

деформованої системи. Згідно з ним, критичне навантаження системи визначають як найменше навантаження, при якому відбувається розгалуження форм рівноваги, тобто разом з початковим існує й суміжне положення рівноваги.

2) Енергетичний метод, оснований на аналізі потенціальної енергії системи, яка в положенні стійкої рівноваги є мінімальною. Відхилення системи від положення рівноваги збільшує її потенціальну енергію. При цьому критичне навантаження відшукується як таке, при якому можна відхилити систему від стану рівноваги, не збільшуючи її потенціальної енергії.

3) Загальним методом визначення стійкості системи є динамічний метод, згідно з яким розглядається рух системи біля положення рівноваги та її реакції на невеликі збурення. Якщо в результаті незначного початкового відхилення (або надання невеликої швидкості) система рухатиметься так, що набуде істотних переміщень, вона вважається нестійкою. Якщо ж невеликим початковим збуренням відповідають малі переміщення біля положення рівноваги і малі швидкості, то система стійка.

Далі розглянемо лише два перші методи, як найчастіше вживані в статиці стержневих систем.

10.1 Стійкість прямолінійного стержня під дією статичних сил Розглянемо прямолінійний стержень з ідеально пружного матеріалу,

навантажений стискаючою силою, діючою по осі стержня. При малому навантаженні стержень перебуває в положенні рівноваги і зберігає прямолінійну форму. Знайдемо найменше значення стискаючої сили, при якій можливе існування суміжного з початковим станом положення рівноваги (рисунок 10.1).

Диференціальні рівняння для кривої прогинів )(xw при плоскому згині

4

,, 2

2

2

2

zy

y

y pdx

MdEIM

dxwd

== (10.1)

де – жорсткість стержня на згин у площині yEI xOz ; – прогин; w – згинаючий момент у довільному перерізі. yM

N w(x)

x l

Рисунок 10.1 – Дія стискаючої сили на стержень

У загальному випадку

, (10.2) ∫∫ +++= NwDCxdxpM zy2

де – розподілене навантаження, Н/м; zp DC, – сталі інтегрування; N – подовжня стискаюча сила.

Підставивши (10.2) у (10.1), після дворазового диференціювання запишемо

zy pdx

wdNdx

wdEIdxd

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

2

2

2

2

. (10.3)

Рівняння стійкості стержня постійного перерізу, стиснутого лише силами N , дістанемо з (10.3) при constEI y = і 0=zp

.,0 22

22

4

4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==+

y

k

EINk

dxwdk

dxwd (10.4)

З цього рівняння можна знайти критичну силу при довільних граничних умовах. Розв'язок рівняння (10.4)

kN

kxCkxCxCCw cossin 4321 +++= , (10.5)

де yk EINk = , – сталі, що відповідають частинним розв'язкам рівняння (10.1).

4321 ,,, CCCC

Розглянемо стержень із шарнірними опорами на кінцях (рисунок 10.1). Граничні умови

при ,0,0,0 2

2

===dx

wdwx

5

при 0,0, 2

2

===dx

wdwlx .

Підставляючи в ці умови розв'язок (10.3), маємо

. (10.6) 0

0cossin00cossin1

10001001

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

klklklkll

Звідси знаходимо sin =kl , або πππ= nkl ,,2, … . Урахувавши позначення yk EINk =2 , дістанемо значення критичної

сили, при якій можливий згин стержня,

2

22

lEIn

N yk

π= . (10.7)

Форма лінії згину при цьому

lxnw π

= sin . (10.8)

Значенням відповідають інші форми кривої згину (рисунок 10.2) і більші критичні сили.

…,4,3,2=n

N n=3 n=1

n=2

Рисунок 10.2 – Форми кривої згину

Розглянемо стержень, один кінець якого жорстко закріплений (рисунок

10.3). Граничні умови

при ,0,0,0 2

2

===dx

wdwx

при dxdwN

dxwdEI

dxwdlx k

y −=== 3

3

2

2

,0, . (10.9)

P l

Рисунок 10.3 – Дія подовжньої сили на консольний стержень

Остання умова записана відносно поперечної сили в перерізі lx =

(dxdwNk – проекція сили N на площину поперечного перерізу).

6

Із записаних умов випливає .0cos,0, 3241 ==== klCCCC Таким чином,

…,23,2 ππ=kl . Критична сила 2

2

4lEI

N yk

π= , а форма втрати стійкості при

11 =C )2cos(1 lxw π−= . Як видно з двох розглянутих прикладів, амплітуди переміщень )(xw

лишаються невизначеними. Невідомо також, як поводить себе стержень після втрати стійкості. Для вирішення цих питань треба поставити і розв'язати рівняння стійкості в геометрично нелінійній постановці.

Критичні напруження в стержні можна визначити як напруження від стиску, не враховуючи згин

2

2

λπ

=σE

k , (10.10)

де – гнучкість стержня (λ AIiil y==λ , ).

Отже, алгоритм визначення критичної сили для стержня, закріпленого на кінцевих перерізах, такий:

1) формулюють граничні умови (їх повинно бути чотири); 2) записують визначник системи рівнянь відносно невідомих; 3) розкривають визначник, отримуючи трансцендентне рівняння щодо

критичного параметра; 4) знаходять найменший ненульовий корінь рівняння; 5) визначають вираз для критичної сили і критичного напруження

ANkk =σ . Зауважимо, що знайдений вираз для критичної сили можна використати,

коли напруження в перерізі не перевищуватимуть межі пропорційності. В інших випадках потрібно розглядати задачу з урахуванням пластичних деформацій.

10.2 Енергетичний метод визначення критичних сил

Розглянемо розрахунок на стійкість, побудований на використанні принципу можливих переміщень (принципу Лагранжа). Згідно з енергетичним принципом, система перебуває в стійкій рівновазі, якщо її потенціальна енергія найменша порівняно з енергією суміжних форм рівноваги. Критична сила відповідає найменшому з усіх тих значень, при яких приріст потенціальної енергії стержня у відхиленому положенні буде стаціонарним. У цьому разі справедливою є умова 01 =δU , (10.11) де – варіація потенціальної енергії деформації, пов'язаної з відхиленням від положення рівноваги.

1Uδ

Варіація потенціальної енергії стержня при стиску зі згином

7

V

U dVδ = δεσ∫ , (10.12)

де деформація (з урахуванням стиску і згину стержня)

22

2

1 ,2

du d w dwzdx dx dx

⎛ ⎞ε = − + ⎜ ⎟⎝ ⎠

(10.13)

а напруження визначаються за законом Гука ε=σ E . Після підстановки (10.13) у (10.12) і перетворень запишемо

2

2( ) ( ) ( )V V V

d d dw dU u dV z w dV w dVdx dx dx dx

δ = σ δ − σ δ + σ δ∫ ∫ ∫ .

Врахувавши позначення

102

2

,,, UUUdx

wdEIMzdSMdSNSS

δ+δ=δ=σ=σ= ∫∫ ,

одержимо

00

( )l dU N u d

dxδ = δ∫ ,x

dxwdxd

dxdwNdxw

dxd

dxwdEIU

ll

)()(00

2

2

2

2

1 δ−δ=δ ∫∫ . (10.14)

Таким чином, рівняння стійкості в енергетичній формі має вигляд

.0)()(00

2

2

2

2

=δ−δ ∫∫ dxwdxd

dxdwNdxw

dxd

dxwdEI

ll

(10.15)

Для визначення критичної сили необхідно задати форму втрати стійкості. Наприклад, якщо взяти для стержня на двох шарнірних опорах

форму lxfw π

= sin і підставити її в рівняння (10.15), дістанемо

4 2

4 2 0kEI N fl l

⎛ ⎞π π− δ⎜ ⎟

⎝ ⎠= , звідки 2

2

lEINk

π= .

Якщо вибрана функція є наближеною, значення критичної сили також буде наближеним. Водночас, навіть при наближеній функції прогину розв'язок для критичної сили не набагато відрізнятиметься від точного, якщо ця функція задовольнятиме умови закріплення стержня. Саме ця властивість розв'язку енергетичним методом і забезпечила йому широке застосування на практиці.

Алгоритм визначення критичних сил енергетичним методом: 1) складають варіаційне рівняння (10.15); 2) для заданого стержня добирають вірогідну функцію )(xw , за якою

стержень може зігнутись так, щоб задовольнялись умови закріплення на опорах. Функція )(xw може мати невідомих параметрів, і до неї ставляться ті самі вимоги, що і у методі Рітца [20];

n

8

3) після підстановки наближеного розв'язку у варіаційне рівняння і прирівнювання коефіцієнтів при варіаціях невідомих параметрів нулю дістають однорідну систему алгебраїчних рівнянь відносно цих параметрів;

4) записують визначник системи рівнянь і прирівнюють його нулю, що є умовою існування ненульових розв'язків системи;

5) знаходять корені характеристичного рівняння, утвореного після розкриття визначника. З найменшим коренем і пов'язане значення критичної сили. Очевидно, що інші корені непотрібні, їх можна не знаходити.

10.3 Застосування методу скінченних елементів

Якщо умови закріплення складні, як, наприклад, для стержня з багатьма опорами, дібрати “хорошу” функцію досить важко. У такому разі доцільно скористатися кусково-неперервною функцією, забезпечивши умови закріплення і з’єднання ділянок між собою. Таким чином, приходимо до методу скінченних елементів, який саме і полягає в тому, що система розбивається на прості елементи, для яких легко вибрати правдоподібні функції, що апроксимують точний розв'язок.

Розглянемо стійкість стержня довжиною l . Розіб’ємо всю довжину на деяку кількість елементів однакової довжини і для кожного елемента (рисунок 10.4) функцію прогину візьмемо у вигляді полінома1 qN=+++= 44332211 qNqNqNqNw , (10.16)

[ ] [ ]TqqqqNNNN 43214321 , == qN ,

,2,231 2

32

23

3

2

2

1 ax

axxN

ax

axN −+−=+−= (10.17)

2 3 2

3 42 33 2 ,3

2 .x x xN Na a a a

= − = −x

q4

q1

q2

q3

Рисунок 10.4 – Скінченний елемент стержня

Підставивши (10.16) у варіаційне рівняння, одержимо

0kN− =(K R)q , (10.18) де K – матриця жорсткості елемента

1 Зверніть увагу, що поліноми Ерміта мають дещо інший вигляд порівняно з використаними у розділі 3, у

зв”язку з прийнятими у цьому розділі напрямками вузлових моментів.

9

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

=22

22

3

46266126122646

612612

aaaaaaaaaa

aa

aEIK . (10.19)

Матриця R називається матрицею геометричної жорсткості

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−

=22

22

433336436

443336336

301

aaaaaaaaaaaa

aR . (10.20)

Рівняння (10.18) для всієї системи складається з матриць елементів так, як і при звичайному згині, за допомогою матриці індексів, і має такий самий вигляд, як і для одного елемента 0kN− =(K R)q , (10.21) де RK, – відповідні матриці для системи у цілому.

Критичну силу одержують, прирівнюючи визначник системи нулю і визначаючи найменший корінь характеристичного рівняння.

Розглянемо задачу визначення критичної сили для стержня, стиснутого силою . Спочатку візьмемо випадок, коли стержень складається з одного елемента (рисунок 10.4).

kN

Рівняння рівноваги

12 2 2 2

23

32 2 2 2

4

12 6 12 6 36 3 36 36 4 6 2 3 4 4

012 6 12 6 36 4 36 3306 2 6 4 3 3 4

k

qa a a aqa a a a a a a aEI Nqa a a aa aqa a a a a a a a

⎛ − − − − − − ⎞⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢− − ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢

⎤⎥− ⎥− =⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢− − ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟⎪ ⎪− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎩ ⎭⎝ ⎠

⎥⎥⎦

.(10.22)

Далі треба врахувати граничні умови. Для стержня на шарнірних опорах переміщення на кінцях дорівнюють нулю, тобто 031 == qq (рисунок 11.5). q1=0 q3=0

N

Рисунок 10.5 – Граничні умови для стержня на шарнірних опорах

Закреслюючи в матрицях рівнянь (10.22) перші й треті рядки і стовпці,

дістанемо два рівняння з двома невідомими і . Визначник цієї системи 2q 4q

2 2

2 2

2 14 215 30

0, .1 22 430 15

k

ka kaNkEI

ka ka

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛= =⎜

⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞⎟ (10.23)

10

Звідси критична сила 2

12aEINk = . Це значення відрізняється від точного,

оскільки функція прогину є дуже наближеною. Точніший результат дістанемо, розбиваючи стержень на два елементи.

Рівняння (10.21) матиме вигляд

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

−−−−

22

222

22

2

46260061261200268026

61202461200264600612612

aaaaaaaaaaa

aaaaaa

aa

aEI

12 2

2

32 2 2

4

52 2

6

36 3 36 3 0 03 4 3 0 036 3 72 0 36 3

0,3 0 8 3300 0 36 3 36 30 0 3 3 4

k

qa aqa a a aqa aNqa a a a aaqa aqa a a a

− − − ⎞⎧ ⎫⎡ ⎤⎟⎪ ⎪⎢ ⎥− − ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎟⎪ ⎪⎢ ⎥− − −

− =⎟⎨ ⎬⎢ ⎥− − − ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎟⎪ ⎪⎢ ⎥−⎟⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎟− −⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎠

де 2la = , (переміщення вказане на рисунку 12.5). iqГраничні умови формулюються так: 0,0,0 531 === qqq . Остання

умова обумовлена симетрією прогинів відносно середини стержня (рисунок 10.6).

N q4

q1=0 q3

q2 q6

q5=0

Рисунок 10.6 – Стержень з двох елементів

Після врахування цих умов визначник системи набере вигляду

.0

1524

10160

1016

51224

1016

01016

1524

22

222

22

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

kaka

kakaka

kaka

Характеристичне рівняння

05

12961518

10124 22

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − kakaka .

11

Критична сила, знайдена з цього рівняння 29.94kEINl

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

, є майже

точною. Розв'язувати задачі стійкості методом скінченних елементів особливо ефективно в складніших випадках: для багатоопорних балок, для рам та інших стержневих систем, де класичні методи практично незастосовні.

Алгоритм розрахунків на стійкість методом скінченних елементів: 1) систему розбивають на скінченні елементи вибраного типу; 2) складають матриці жорсткості й геометричної жорсткості; 3) нумерують глобальні переміщення і складають матрицю індексів; 4) за допомогою матриці індексів складають відповідні матриці для

системи в цілому; 5) враховують граничні умови і відповідно змінюють матриці системи.

(Граничні умови можна врахувати за допомогою матриці індексів); 6) знаходять найменший корінь характеристичного рівняння і

визначають критичну силу. Визначення критичної сили з рівняння (10.21) потребує знаходження найменшого з коренів характеристичного рівняння

0kN− =(K R) . У математичному пакеті Mathcad є декілька функцій для знаходження

коренів. Якщо побудувати графік функції ( )kf N Nk= −(K R) і знайти на ньому наближене значення найменшого кореня, можна скористатися функцією root (), яка знаходить найближчий до заданого початкового наближення корінь полінома. Можна також використати функції polyroots, eigenvals, які знаходять усі корені, з яких треба вибрати найменший.

Приклад 10.1 Визначити критичну силу для стержня, зображеного на

рисунку

4 3 1

2 6 5

4 32 1

7 8

2a 1.2a 1.7a

F

E1 2 1011⋅:= Модуль пружності матеріалу, ПаI1 1 10 8−⋅:= Момент інерції площі поперечного перерізу, м**4

a 1:= Довжина ділянкиi 1 3..:= Кількість елементів

12

Ei

E1E1E1

:= Ii

I1I1 2⋅

I1

:= li

a 1.2⋅a 1.7⋅a 2.0⋅

:=

Довжини ділянок

Матриці жорсткості і геометричної жорсткості скінченного елемента

K1 i( ) EiIi

li( )3⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

12

6− li⋅

12−

6− li⋅

6− li⋅

4 li( )2⋅

6 li⋅

2 li( )2⋅

12−

6 li⋅

12

6 li⋅

6− li⋅

2 li( )2⋅

6 li⋅

4 li( )2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅:=

K2 i( )1

30 li⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

36

3− li⋅

36−

3− li⋅

3− li⋅

4 li( )2⋅

3 li⋅

li( )2−

36−

3 li⋅

36

3− li⋅

3− li⋅

li( )2−

3 li⋅

4 li( )2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅:=

mi

1

3

5

2

4

6

3

5

7

4

6

8

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= Матриця індексів

Формування матриць жорсткості і геометричної жорсткості для стержняj 1 4..:= k 1 4..:= KK18 8, 0:= KK28 8, 0:=KK2mii j, mii k,, KK2mii j, mii k,, K2 i( ) j k,+:=

KK1mii j, mii k,, KK1mii j, mii k,, K1 i( ) j k,+:=

Граничні умови: u1=0, u2=0 u3=0 u5=0 u7=0

mr 4 6 8 T:= m 1 3..:= n 1 3..:=

KRm n, KK1mrm mrn,:= KGm n, KK2mrm mrn,:=

KR

1.608 104×

4.706 103×

0

4.706 103×

1.341 104×

2 103×

0

2 103×

4 103×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= KG

0.387

0.057−

0

0.057−

0.493

0.067−

0

0.067−

0.267

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

13

0 1.2 .104 2.4 .104 3.6 .104 4.8 .104 6 .1044

2

0

2

4

6

8

O1 λ( )1011

0

λ Використання функції root()

Ω 1:= N root KR Ω KG⋅− Ω,( ):= N 1.042 10 4×=

Ω 2 10 4⋅:= N root KR Ω KG⋅− Ω,( ):= N 2.521 10 4×=

Ω 10 5:= N root KR Ω KG⋅− Ω,( ):= N 5.593 10 4×= Використання функцій eigenvals() i eigenvecs()KS KG 1− KR⋅:= sv eigenvecs KS( ):= ev eigenvals KS( ):=

sv

0.782

0.551

0.289

0.5−

0.515

0.696

0.179

0.406−

0.896

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

= ev

5.593 104×

2.521 104×

1.042 104×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

Критичній силі відповідає найменший з коренів.

14

Лекція 11 РОЗРАХУНКИ ПРИ ДИНАМІЧНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ

Під динамічними розуміють навантаження, які змінюються з часом так,

що надають елементам конструкції прискорення і приводять до появи сил інерції. Динамічні навантаження викликають у конструкції напруження, деформації та переміщення, що змінюються з часом. Залежно від закону зміни, розрізняють такі види навантажень:

а) періодичні, які змінюються з часом за періодичним законом (рисунок 11.1а). Ці навантаження виникають в механізмах, що мають неврівноважені обертові маси;

б) імпульсні, які характеризуються швидким наростанням і значною тривалістю (рисунок 11.1б). Такі навантаження є наслідками вибухів;

в) ударні, що виникають при контактній взаємодії тіл (рисунок 11.1в); г) рухомі, які змінюють положення на конструкції. Виникають у

мостових, кранових та інших конструкціях; д) випадкові, при яких закон зміни з часом випадковий. Такі

навантаження виникають при землетрусах (короткочасні), при дії звукового тиску реактивних двигунів (довготривалі) (рисунок 11.1г);

г) інерційні, які виникають в механізмах і конструкціях, що рухаються зі сталим прискоренням. У цьому разі постійні інерційні сили не відрізняються за характером дії від статичних.

F(t)

t

F(t)

t

F(t)

t

F(t)

t

Рисунок 11.1 – Види навантажень: а) періодичні; б) імпульсні;

в) ударні; г) випадкові.

15

Розрахунок на динамічні навантаження, як і на статичні, полягає у визначенні власних частот і форм коливань (вільні коливання), а також напружень і переміщень конструкції (вимушені коливання).

11.1 Метод скінченних елементів у теорії коливань

Щоб одержати основні залежності методу, скористаємось варіаційним рівнянням Гамільтона-Остроградського [9, 5]

∫ =δ+δ+δt t

dtWTU0

0)( qMδqT , (11.1)

де WTU δδδ ,, – варіації відповідно потенціальної енергії системи, її кінетичної енергії та роботи зовнішніх сил; – вектор узагальнених переміщень і швидкостей;

qq,t – час.

Розглянемо скінченний елемент стержня при плоскому згині (рисунок 11.2). Переміщення точок стержня qN=w , (11.2) де – матриця інтерполяційних функцій, – вузлові переміщення (узагальнені координати).

N q

Матриця інтерполяційних функцій [ ]4321 NNNN=N , де

.,23

,22,231

3

32

43

3

2

2

3

3

32

23

3

2

2

1

ax

axN

ax

axN

ax

axxN

ax

axN

+−=−=

+−=+−= (11.3)

x z

y

a

1 2

3 4

Рисунок 11.2 – Елемент стержня при плоскому згині

Вузлові переміщення в цьому разі будуть прогинами і кутами повороту

на кінцях стержня (рисунок 11.2). Деформації та напруження в перерізах стержня

qBqNAwAε === , qBCεCσ == , (11.4) де

16

NBCA 2

2

2

2

,,dxdzE

dxdz −==−=

(Е – модуль пружності матеріалу). З урахуванням (11.2), (11.4) варіації потенціальної та кінетичної енергії

приймуть вигляд

(11.5) ,qKqqBCBq

qBCq)(Bσε

TTT

TT

δ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ−=

=δ=δ−=δ

∫

∫∫

V

VV

dV

dVdVU

(11.6) .qMqqNCNq

qN)q(Nww

TTT

TT

δ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ=

=ρ=ρδ=δ

∫

∫∫

V

VV

dV

dVdVT

У (11.5), (11.6) матриці K і М називаються відповідно матрицями жорсткості і мас (ρ – густина матеріалу).

Підставивши варіації енергії Uδ і Tδ у (11.1), запишемо

tt

dtW0

0

)( qMqqMqqKq TTT δ=δ+δ+δ−∫ , (11.7)

а далі проінтегруємо частинами другий інтеграл в (11.7)

∫∫ δ−δ=δtt t

dtdt00

0qMqqMqqMq TTT .

З урахуванням цього інтеграла, одержимо варіаційне рівняння

0

0t W dt⎛ δ

δ + +⎜ δ⎝ ⎠∫T

Tq Mq K qq

⎞=⎟ . (11.8)

Звідси, враховуючи незалежність варіацій , запишемо рівняння руху елемента

Tqδ

0Wδ+ + =

δ TMq Kqq

, (11.9)

або ( )t+ =Mq K q Q , (11.10) де Q(t) – вектор зовнішніх сил.

Рівняння (11.10), і вирази для матриць жорсткості та мас (11.5), (11.6) є універсальними, прийнятними для довільних скінченних елементів

Для системи, складеної з багатьох скінченних елементів, рівняння (11.10) записується за методикою, яка розглядалась вище для задач стійкості. Матриці жорсткості, мас і зовнішніх навантажень складаються для системи в цілому з урахуванням топології системи.

17

Матриці жорсткості і мас для елемента, зображеного на рисунку 11.2, мають вигляд

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

lEIсимlEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

4.

612

264

612612

23

2

2323

K1 , (11.11)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

3

2

323

22

1051.21011

3513

1401

42013

1051

42013

709

21011

3513

lсим

ll

lll

llll

M1 . (11.12)

Розглянемо матриці жорсткості і мас для складніших елементів. Для елемента, що працює на згин з розтягом-стиском, маємо

,, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= M20

0M1MK200K1K

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

36

63, ll

ll

m

lEA

lEA

lEA

lEA

M2K2 .

Для елемента, що працює на згин із крученням,

,, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= M30

0M1MK300K1K

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

36

63, ll

ll

I

lGI

lGI

lGI

lGI

mkk

kk

M3K3

(G – модуль зсуву, А – площа поперечного перерізу стержня, – момент інерції площі поперечного перерізу при крученні,

kII – осьовий момент

інерції, – момент інерції маси елемента відносно подовжньої осі). mI

11.2 Вільні коливання Основним питанням аналізу вільних коливань є визначення власних

частот і форм коливань системи. Розглянемо постановку задачі у цьому випадку.

18

Рівняння вільних коливань одержимо з (11.10) при Q(t) = 0. .0wKwM =+ (11.13)

Розв'язок рівняння (11.13), який відповідає гармонічним коливанням з частотою і початковою фазою ω ψ ),sin( ψ+ω= t0ww (11.14) де – вектор ординат – переміщень мас системи, відповідний частоті 0w ω .

Після підстановки (11.14) у рівняння (11.13) одержимо рівняння , (13.15) 0wMK 0 =ω− )( 2

яке еквівалентне системі лінійних алгебраїчних рівнянь щодо компонентів вектора . Умова існування ненульових розв'язків приводить до характеристичного рівняння

n0w

[ ] .0det 2 =ω− MK (11.16) Корені рівняння (11.16) nωωω ,,, 21 … називаються власними частотами

(спектром частот) системи. Можна показати, що для існування дійсних коренів достатньо, щоб матриці і

nm K були симетричні, а – додатньо

визначеною [36]. M

Визначивши корені рівняння (11.16), знайдемо відповідні вектори w . Остаточний розв'язок задачі дає власних значень і відповідних векторів. Останні можна подати у вигляді матриці, кожний стовпець якої є власним вектором:

n n

. (11.17) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

www

wwwwww

……………

……

21

22221

11211

W

Матрицю називають модальною матрицею задачі власних значень рівняння (11.15). Такі значення можна подати у вигляді діагональної матриці

, яку називають спектральною матрицею задачі власних значень рівняння (11.15)

W

2Ω

. (11.18)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω

ωω

=Ω2

22

21

2

n

Можна показати, що власні вектори, які відповідають різним власним значенням, задовольняють умови ортогональності при 22

ji ω≠ω

. (11.19) 0,0 == iT

iiT

i wKwwKwОртогональність власних векторів відносно K і означає, що матриці

і є діагональними. M

iT

i WKW iT

i WKW

19

(11.20) ).

),(

iT

iiT

i

iT

iiT

i

wKw(WKW

wKwWKW

diag

diag

=

=

Кожне власне значення можна знайти як частку i

Tii

Ti wKwwKw=ω2

i . Розглянемо приклади використання методу скінченних елементів для аналізу вільних коливань стержнів і стержневих систем.

11.3 Вимушені коливання без демпфірування

Рівняння вимушених коливань системи з ступенями вільності при

гармонічному навантаженні n

tω=+ cosRwKwM . (11.21) Розв'язок рівняння можна знайти у вигляді . Після

підстановки в рівняння і скорочення множника tω= cos0ww

tωcos запишемо систему алгебраїчних рівнянь . (11.22) RwMK 0 =ω− )( 2

Якщо , то розв'язок рівняння подається у вигляді 0)( 2 ≠ω− MKdet

. (11.23) RMKw012 )( −ω−=

Якщо частота зовнішнього навантаження ω збігається з однією з власних частот, то визначник системи дорівнює нулю. Тоді виникає резонанс на відповідній власній частоті. Таким чином, у загальному випадку система з

ступенями вільності має резонансів [42]. n nКоли зовнішнє навантаження є довільною функцією часу )(tf , можна

скористатися методом розкладення за власними формами вільних коливань системи [3] qWw = . (11.24)

Підставивши (11.24) у рівняння (11.10), одержимо ( )t+ =M Wq K Wq Q . (11.25)

Помножимо (11.25) зліва на TW . ( )t+ =T TW M Wq W K Wq W QT

Це рівняння можна записати у такій формі FqKqM дд =+ . (11.26)

Матриці і є діагональними дM дK

,

,

.

diag

diag

⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎣ ⎦

=

Tд i i

Tд i i

T

M w M

K w K w

F W Q

w

20

Оскільки рівняння системи (11.26) не пов'язані між собою, розв'язок кожного з них можна знайти незалежно від інших в такому самому вигляді, як і для системи з одним ступенем вільності.

Початкові відомості про методи розв’язання рівнянь динаміки скінченноелементних конструкцій наведено в Додатках. Докладно це питання розглядається у [10].

Приклад 11.1 Визначити власні форми і частоти коливань стержня з ідеально-пружного матеріалу.

4 3

L=3a+

a

1 2 6

5

a 4 3 2 1

7

M Ε, Ι, m

8

a

Вхідні дані:

E1 2 1011⋅:= Модуль пружності матеріалу

I1 1 10 5−⋅:= Момент інерції площі поперечного перерізуM 20:= Маса A 10 2−:= Площа поперечного перерізуρ 7.8 103⋅:= Густина матеріалуm ρ A⋅:= Маса одиниці довжини стержня a 1:= i 1 3..:=Ei

E1E1E1

:= Ii

I1 2⋅I1 1.5⋅

I1

:= li

aaa

:=

Параметри кожного скінченного елемента

K1 i( ) EiIi

li( )3⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

12

6 li⋅

12−

6 li⋅

6 li⋅

4 li( )2⋅

6− li⋅

2 li( )2⋅

12−

6− li⋅

12

6− li⋅

6 li⋅

2 li( )2⋅

6− li⋅

4 li( )2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅:= Матриця жорсткості елемента

Матриця масK2 i( ) mli

210⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

78

11 li⋅

27

6.5− li⋅

11 li⋅

2 li( )2⋅

6.5 li⋅

1.5− li( )2⋅

27

6.5 li⋅

78

11− li⋅

6.5− li⋅

1.5− li( )2⋅

11− li⋅

2 li( )2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅:=

21

mi

1

3

5

2

4

6

3

5

7

4

6

8

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= Матриця індексів

Формування матриць жорсткості і мас стержня

j 1 4..:= k 1 4..:= KK18 8, 0:= KK28 8, 0:=KK1mii j, mii k,, KK1mii j, mii k,, K1 i( ) j k,+:= Km8 8, M:=

KK2 KK2 Km+:=KK2mii j, mii k,, KK2mii j, mii k,, K2 i( ) j k,+:=

Умови закріплення: u1=0, u2=0 KR submatrixKK1 3, 8, 3, 8,( ):= KM submatrixKK2 3, 8, 3, 8,( ):= Графічне визначення власних частот

O λ( ) KR λ KM⋅−:=λ1 0 102, 0.55 106⋅( )..:= λ 0 10, 104..:=

0 1.1.105 2.2.105 3.3.105 4.4.105 5.5.1052744.25

1355.85

32.56

1420.97

2809.37

4197.78

O λ1( )1040

0

λ1

0 2000 4000 6000 8000 1.10450

20

10

40

70

100

O λ( )1040

0

λ

22

Використання функцій eigenvecs i eigenvals

vv eigenvecs KM 1− KR⋅( ):=

vv

0.041

0.687

0.033−

0.722

0.055−

8.24 10 3−×

0.048

0.656−

0.057

0.741

0.116−

0.024

0.478−

0.403

0.53

0.058

0.525−

0.223

0.362−

0.315−

0.098−

0.718

0.283

0.405−

0.162−

0.227−

0.258−

0.109

0.244

0.886

0.108

0.198

0.381

0.327

0.742

0.381

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

ww eigenvalsKM 1− KR⋅( ):=

w ww→⎯

:=

ww

4.445 107×

1.22 107×

2.69 106×

5.083 105×

8.395 104×

6.735 103×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= w

6.667 103×

3.493 103×

1.64 103×

712.942

289.749

82.065

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Перші дві форми коливань, відповідні частотам

.1749.289,1245.82 21 cc=ω=ω зображені на рисунку.

Приклад 11.2 Визначити форми і частоти стержня з демпфіруванням .

Розсіяння енергії враховується введенням комплексного модуля у другому скінченному елементі.

4 3

L=3a +

a

1 2 6

5

a 4 3 2 1

7

M

8

a

Ε1 Ε1 Ε1+0.01∗j∗Ε1

23

- параметри скінченних елементів

li

aaa

:=Ii

I1 2⋅I1 1.5⋅

I1

:=Ei

E1E1 j 0.01⋅ E1⋅+

E1

:=j 1−:=i 1 3..:=

- погонна масаm ρ A⋅:=

- густина матеріалуρ 7.8 103⋅:=

- довжина елементаa 1:=- масаM 20:=

- площа поперечногоперерізуA 10 2−:=

- момент інерції поперечного перерізуI1 1 10 5−⋅:=

- модуль пружностіE1 2 1011⋅:=

Вхідні дані:

K1 i( ) EiIi

li( )3⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

12

6 li⋅

12−

6 li⋅

6 li⋅

4 li( )2⋅

6− li⋅

2 li( )2⋅

12−

6− li⋅

12

6− li⋅

6 li⋅

2 li( )2⋅

6− li⋅

4 li( )2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅:= - матриця жорсткості

K2 i( ) mli

210⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

78

11 li⋅

27

6.5− li⋅

11 li⋅

2 li( )2⋅

6.5 li⋅

1.5− li( )2⋅

27

6.5 li⋅

78

11− li⋅

6.5− li⋅

1.5− li( )2⋅

11− li⋅

2 li( )2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅:= - матриця мас

mi

1

3

5

2

4

6

3

5

7

4

6

8

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= - матриця індексів

Формування матриць жорсткості і мас стержняj 1 4..:= k 1 4..:= KK18 8, 0:= KK28 8, 0:=

KK1mii j, mii k,, KK1mii j, mii k,, K1 i( ) j k,+:= Km8 8, M:=

KK2mii j, mii k,, KK2mii j, mii k,, K2 i( ) j k,+:= KK2 KK2 Km+:=

Врахування граничних умов: u1=0, u2=0 KR submatrixKK1 3, 8, 3, 8,( ):= KM submatrixKK2 3, 8, 3, 8,( ):=Власні форми і частоти скінченно-елементної моделі стержня

vv eigenvecs KM 1− KR⋅( ):= ww eigenvalsKM 1− KR⋅( ):=

24

w ww→⎯

:=

w

6.667 103× 22.248i+

3.493 103× 4.506i+

1.64 103× 2.287i+

712.946 1.255i+

289.751 0.293i+

82.066 0.099i+

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=ww

4.445 107× 2.967i 105×+

1.22 107× 3.148i 104×+

2.69 106× 7.5i 103×+

5.083 105× 1.79i 103×+

8.396 104× 169.641i+

6.735 103× 16.266i+

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

vv 4⟨ ⟩

0.362− 6.064i 10 4−×−

0.314− 1.013i 10 3−×+

0.098− 4.621i 10 4−×−

0.718

0.283 1.035i 10 3−×+

0.405− 4.071i 10 4−×+

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= vv 5⟨ ⟩

0.162− 4.847i 10 4−×+

0.227− 9.17i 10 4−×+

0.258− 5.619i 10 4−×+

0.109 1.504i 10 3−×−

0.244 1.951i 10 4−×−

0.886

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

vv 6⟨ ⟩

0.108 3.095i 10 4−×+

0.198 5.617i 10 4−×+

0.381 3.201i 10 4−×+

0.327 3.952i 10 4−×−

0.742

0.381 2.803i 10 4−×−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

- декремент коливань стержняна кожній форміd 2 π⋅

Im w( )Re w( )

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→⎯⎯⎯

⋅:=

d

0.021

8.104 10 3−×

8.761 10 3−×

0.011

6.348 10 3−×

7.588 10 3−×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

25

Приклад 11.3 Визначити власні частоти і форми коливань плоскої рами.

7

6

4 6

h/2

8

5 4 3

1

2

1

52

l

3

a

h

h/2

a/3 a/3 a/3

Вхідні дані:

a 3:= h 2:=Модуль пружності (Па):

Площа поперечного перерізу стержнів (м**2):

Момент інерції площі А (м**4):

E 2 1011⋅:=

A 1 10 2−⋅:=

I 1 10 4−⋅:= Розбиваємо раму на сім скінченних елементів

Матриця координат вузлів:

Nc

0

0

1

0

h2

2

0

h

3

a3

h

4

2a3

⋅

h

5

a

h

6

a

h2

7

a

0

8

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Матриця, яка показує послідовність з"єднання елементів (топологічна матриця):

Top

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

ke rows Top( ):= - кількість елементів ke 7=

kn cols Top( ):= - кількість вузлів у кожному елементі

kn 2= Обчислюємо координати вузлів кожного елемента у глобальній системі координат

i 1 ke..:= jj 1 kn..:=Xnjj i, Nc1 Topi jj,( ),:= Ynjj i, Nc2 Topi jj,( ),:=

26

Довжини елементів

li Xn2 i, Xn1 i,−( )2 Yn2 i, Yn1 i,−( )2+:= Елементи матриці направляючих косинусів

s i( )Yn2 i, Yn1 i,−

li:= c i( )

Xn2 i, Xn1 i,−

li:=

Матриця направляючих косинусів

T i( )

c i( )

s i( )−

0

0

0

0

s i( )

c i( )

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

c i( )

s i( )−

0

0

0

0

s i( )

c i( )

0

0

0

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Формування матриці індексівmii 3 jj⋅ 2−( ), 3 Topi jj,⋅ 2−:=mii 3 jj⋅ 1−( ), 3 Topi jj,⋅ 1−:=mii 3 jj⋅, 3 Topi jj,⋅:=

Матриця індексів: mi

1

4

7

10

13

16

19

2

5

8

11

14

17

20

3

6

9

12

15

18

21

4

7

10

13

16

19

22

5

8

11

14

17

20

23

6

9

12

15

18

21

24

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Матриця жорсткості елемента

Ke i( )Eli

A

0

0

A−

0

0

0

12I

li( )2⋅

6Ili

⋅

0

12−I

li( )2⋅

6Ili

⋅

0

6Ili

⋅

4 I⋅

0

6−Ili

⋅

2 I⋅

A−

0

0

A

0

0

0

12−I

li( )2⋅

6−Ili

⋅

0

12I

li( )2⋅

6−Ili

⋅

0

6Ili

⋅

2 I⋅

0

6−Ili

⋅

4 I⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅:=

27

Матриця мас елемента m A 7.85⋅ 103⋅:=

Me i( )

2103

0

0

2106

0

0

0

78

11 li⋅

0

27

6.5− li⋅

0

11 li⋅

2 li( )2⋅

0

6.5 li⋅

1.5− li( )2⋅

2106

0

0

2103

0

0

0

27

6.5 li⋅

0

78

11− li⋅

0

6.5− li⋅

1.5− li( )2⋅

0

11− li⋅

2 li( )2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

mli

210⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

Обчислення компонентів матриць жорсткості і мас елементу глобальній системі координат

Keα i( ) T i( )T Ke i( )⋅ T i( )⋅:= Meα i( ) T i( )T Me i( )⋅ T i( )⋅:= Побудова матриць жорсткості і мас для рами:

Kmax mi( ) max mi( ), 0:= Mmax mi( ) max mi( ), 0:= k 1 6..:= ik 1 6..:=

Kmii ik, mii k,, Kmii ik, mii k,, Keα i( )ik k,+:= Mmii ik, mii k,, Mmii ik, mii k,, Meα i( )ik k,+:= , , , ,

Будуємо редуційовані матриці жорсткості і мас рами, виключаючи рядки і стовпці з номерами переміщень, що не допускаються накладеними на раму в"язями.

m 1 max mi( ) 6−( )..:= n 1 max mi( ) 6−( )..:=mr 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21( ):= (

KRm n, Kmr1 m, mr1 n,,:= MRm n, Mmr1 m, mr1 n,,:= j 1−:=

ww eigenvalsMR 1− KR⋅( ):= vv eigenvecs MR 1− KR⋅( ):=

а) б)

в) г)

Власні форми і частоти коливань: а) 513

2 10124.1 ⋅=ω ; б) 514

2 10949.6 ⋅=ω ; в) ; г) 6

152 1088.7 ⋅=ω 6

162 10165.5 ⋅=ω

28

Лекція 12 МСЕ У ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

При контактуванні двох тіл, що мають різну температуру, відбувається

обмін кінетичною енергією між структурними частинками (молекулами, атомами, вільними електронами), внаслідок чого одні збільшують інтенсивність руху, а інші – зменшують. Такий енергетичний обмін між тілами називають теплообміном або теплопередачею. У результаті одне з тіл нагрівається, а друге – охолоджується. Кількість енергії, переданої частинками більш нагрітого тіла частинкам менш нагрітого, називається кількістю теплоти, або просто теплотою. Такий процес передачі теплоти відбувається від більш до менш нагрітих об'ємів, а також у межах одного тіла. Процес передачі теплоти закінчується при вирівнюванні температури по об'єму.

Сукупність явищ, які приводять до переносу теплоти від одного об'єму до другого називають теплообміном. Для зручності перенос тепла розділяють на декілька простіших процесів: теплопровідність, конвекцію, теплообмін радіаційний.

Теплопровідність – процес переносу тепла між об'ємами, що контактують безпосередньо. Передача теплоти у металах відбувається внаслідок обміну енергією між електронами, у рідинах і діелектриках – через взаємодію хвиль, які викликані зміщеннями молекул і атомів від положень рівноваги.

Конвекція – передача теплоти внаслідок переміщення матеріальних частинок.

Радіаційний теплообмін – передача теплоти електромагнітними хвилями між тілами, що не контактують між собою.

У теорії теплопровідності абстрагуються від дискретної будови матерії і дійсних механізмів передачі теплової енергії і вважають середовище суцільним і неперервним, що дозволяє, як і у механіці деформівних твердих тіл, застосовувати методи математичного аналізу, використовуючи поняття неперервності і диференційованості.

Основними поняттями теорії теплопровідності є температурне поле, градієнт температури, вектор теплового потоку.

Температурне поле – це сукупність значень температури у точках даного об'єму у фіксований момент часу. Температура є скалярною функцією координат і часу

),,,( tzyxTT = . (12.1) Якщо функція не залежить від часу, температурне поле

називають стаціонарним. T

Визначення залежності ),,,( tzyxT є основною задачею теорії теплопровідності. Поверхні constzyxT =),,( називають ізотермічними, або поверхнями рівня.

29

Перетинаючи ізотермічні поверхні площиною, одержимо на цій площині сімейство ізотермічних ліній або ізотерм. У довільній точці ізотермічної поверхні можна побудувати вектор, направлений по нормалі до поверхні у бік збільшення температури. Абсолютна величина вектора дорівнює зміні температури на одиницю довжини переміщення у даному напрямку, тобто швидкості зростання температури у цьому напрямку. Цей вектор називають градієнтом температури у точці

kzTj

yTi

xTTgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

= . (12.2)

Довжина вектора Tgrad дорівнює швидкості зростання температури у заданому вектором напрямку. Похідні n nT ∂∂ і вектор Tgrad пов'язані співвідношенням

.nTTgradT,gradn

nT

∂∂

==∂∂ (12.3)

Очевидно, для того, щоб у тілі відбувся перенос теплоти, температурний градієнт повинен не дорівнювати нулю, тобто співвідношення 0≠Tgrad є необхідною умовою виникнення у тілі теплового потоку. Тепловий потік, на відміну від температури, має напрямок, а саме: від точок тіла з більш високою до точок з більш низькою температурою. Тепловий потік можна розглядати як вектор, направлений у бік зменшення температур, а поле теплових потоків є векторним полем.

Для математичного описання поля теплових потоків вводиться вектор , який називають вектором густини теплового потоку, розуміючи під цим

вектор, напрямок якого співпадає з напрямком переносу теплоти, а абсолютне значення означає інтенсивність переносу теплоти, або кількість теплоти, що проходить через одиницю площі поверхні, перпендикулярній напрямку потоку в даній точці.

q

Позначимо – кількість теплоти, що проходить через ізотермічну поверхню площею за час

dQds dt . Тоді, згідно з визначенням, тепловий потік

визначатиметься залежністю .)( dtdsdQq ⋅= (12.4)

Поняття теплового потоку можна застосувати до довільної поверхні, а не тільки до ізотермічної, тобто можна говорити про густину теплового потоку вздовж довільного напрямку l , відмінного від напрямку нормалі n . У цьому випадку густина теплового потоку в напрямку l є проекція вектора q на цей напрямок, тобто величина ).,cos( tnq Вектори густини теплового потоку і градієнта температурного поля направлені по нормалі до ізотермічної поверхні, але у протилежні сторони.

Згідно з гіпотезою Фур'є, яку часто називають законом Фур'є, тепловий потік пропорційний градієнту температури

.Tgradq λ−= (12.5)

30

Коефіцієнт називають коефіцієнтом теплопровідності. Він є константою, яка характеризує теплопровідність даного матеріалу. Одиницею виміру є Вт/(м*град). Коефіцієнт теплопровідності залежить від стану середовища, температури, тиску, структури матеріалу і т. д. Для різних матеріалів теплопровідність

λ

λ

λ визначається експериментально. Найбільш суттєвою є залежність від температури, однак для полегшення розрахунків величина λ вважається константою.

λ

З урахуванням (12.3) залежність (12.5) можна записати і у такому вигляді

,nTq

∂∂

λ−= (12.6)

або, з урахуванням (12.4), у скалярній формі

dtdsnTdQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ−= . (12.7)

Ця залежність визначає кількість теплоти, що проходить через ділянку ізотермічної поверхні за час ds dt у напрямку n до площадки . Кількість

теплоти, що проходить за час ds

t через ізотермічну поверхню площею s

dsdtnTQ

t

s∫ ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ−=0

. (12.8)

Цю формулу можна застосувати для довільної поверхні А

dAdtnTQ

t

A∫ ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ−=0

. (12.9)

Якщо тепловий режим стаціонарний і температурний градієнт однаковий по площі поверхні А, можна записати

tAlTQ

∂∂

λ−= . (12.10)

Таким чином, для визначення кількості теплоти, що проходить через деяку площу поверхні твердого тіла, необхідно знати температурне поле у тілі, що складає основну задачу теорії теплопровідності.

Проекції теплового потоку на координатні осі

.,, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

λ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ−=zTq

yTq

xTq zyx (12.11)

Співвідношення між величинами, від яких залежить передача теплоти, встановлюється так званим рівнянням теплопровідності. В основу виводу рівняння покладено закон теплопровідності Фур'є і закон збереження енергії. Для ізотропного, однорідного тіла диференціальне рівняння теплопровідності має вигляд [9]

),,,,()( tzyxQTgraddivtTc +λ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

ρ (12.12а)

або 31

),,,,(1),,,( tzyxQc

tzyxTatT

ρ+Δ=

∂∂ (12.12б)

де ρλ

=c

a – коефіцієнт, який називають температуропровідністю (м2/год);

– об'ємна теплоємність (Дж/м3*град); ρc ),( TgraddivT =Δ ( – оператор Лапласа); Δ ),,,( tzyxQ – функція, яку називають густиною теплових джерел. Це така функція, яка визначає кількість тепла, виділеного ( 0),,,( >tzyxQ ) або поглинутого ( 0),,,( <tzyxQ ) в елементарному об'ємі dV за час dt .

Теплота, виділена в елементі об'єму dV , визначається як добуток dVdttzyxQdQ ),,,(= . (12.13)

За проміжок часу dt в об'ємі V виділяється теплота . (12.14) ∫∫∫=

V

dVtzyxQdtQ ),,,(

У декартовій системі координат рівняння (14.12) приймає вигляд

)...(2

2

2

2

2

2

tzyxQzT

yT

xT

tTc +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

λ=∂∂

ρ . (12.15)

Рівняння (12.15) відноситься до диференціальних рівнянь параболічного типу, і відповідно цьому типу вибираються методи його розв'язку. У зв'язку з тим, що температура залежить від часу, рівняння описує нестаціонарну теплопровідність.

Якщо температура у кожній точці об'єму залежить тільки від координат,

тобто 0=∂∂

tT , рівняння (12.15) приймає вигляд

0),,(),,( =+Δλ zyxQzyxT , (12.16) де потужність теплових джерел ),,( zyxQ не залежить від часу. Це рівняння називають рівнянням Пуассона.

Якщо в середині тіла немає теплових джерел і температура є стаціонарною, одержимо таке рівняння

.0),,( =Δ zyxT (12.17) Воно називається рівнянням Лапласа.

Якщо фізичні властивості матеріалу неоднакові у різних напрямках (анізотропний матеріал), коефіцієнт теплопровідності буде залежати від напрямків. Величина у цьому випадку є симетричним тензором другого рангу з матрицею

λ

. (12.18) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λλλλλλλλλ

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

λ

32

Рівняння (12.12а) можна записати у вигляді

[ ] =+λ=∂∂

ρ QgradTdivtTc (12.19)

.Qk

zT

yT

xT

jzT

yT

xTi

zT

yT

xTdiv

zzzyzx

yzyyyxxzxyxx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

λ+∂∂

λ+∂∂

λ+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

λ+∂∂

λ+∂∂

λ+⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

λ+∂∂

λ+∂∂

λ=

Якщо не залежить від координат (однорідне тіло), рівняння прийме вигляд

λ

.222

222

2

2

2

2

2

2

Qzy

Tzx

Tyx

TzT

yT

xT

tTc

yzxzxy

zzyyxx

+∂∂

∂λ+

∂∂∂

λ+∂∂

∂λ+

+∂∂

λ+∂∂

λ+∂∂

λ=∂∂

ρ (12.20)

У головних осях тензора λ рівняння (12.20) спрощується

QzT

yT

xT

tTc +

∂∂

λ+∂∂

λ+∂∂

λ=∂∂

ρ 2

2

32

2

22

2

1 . (12.21)

З рівнянням (12.21) пов'язують граничні умови. Якщо на деякій частині поверхні тіла температура відома, то записують 1S 01

TTS

= . (12.22)

Якщо на поверхні відбувається конвективний теплообмін, який визначається величиною

2S)( ∞− TTh ,

де – коефіцієнт тепловіддачі на поверхні; h – температура середовища біля поверхні, ∞Tгранична умова матиме вигляд

,)(2 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

λ+∂∂

λ+∂∂

λ−=− ∞ zzyyxxSn

zTn

yTn

xTTTh (12.23)

де – компоненти вектора нормалі до поверхні. zyx nnn ,,

Якщо на поверхні заданий потік тепла , то гранична умова має вигляд

3S q

,3 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

λ+∂∂

λ+∂∂

λ−= zzyyxxSn

zTn

yTn

xTq (12.24)

При відсутності конвективного теплообміну і потоку тепла рівняння (12.23), (12.24) зводяться до такого

0=∂∂

nT , (12.25)

33

яке висловлює умову існування теплоізольованої поверхні (n – зовнішня нормаль).

Одним із шляхів розв'язання задачі теплопровідності, окрім безпосереднього аналізу рівняння теплопровідності, є мінімізація деякого функціоналу множини функцій, які задовольняють граничним умовам.

З точки зору варіаційного обчислення розв'язання системи (12.21–12.24) є еквівалентним знаходженню мінімуму функціоналу

,21

21

32

222

TdSqTdSTThQTdV

dVzT

yT

xT

SSV

Vzyx

∫∫∫

∫

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

λ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ=Φ

∞

(12.26)

або

,21

21

32

TdSqTdSTThQTdVdVSSVV

T ∫∫∫∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=Φ ∞gλg (12.27)

де

( )T

zyx zT

yT

xTdiag ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=λλλ= gλ , .

Умова мінімуму (або стаціонарності) функціоналу ,0)( =Φδ T (12.28)

– знак варіації. δПісля підстановки (12.27) у (12.28) одержимо

021

21

32

=δ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −δ+δ−δ=Φδ ∫∫∫∫ ∞ dSTqdSTTThdVTQdV

SSVV

T gλg . (12.29)

Використаємо одержане варіаційне рівняння для побудови дискретного аналога. Для цього використаємо інтерполяційну залежність для одного скінченного елемента UNT = , (12.30) де – вектор вузлових температур; U – матриця інтерполяційних функцій. N

Підставляючи (12.30) у (12.29), одержимо з урахуванням незалежності варіацій Uδ

,qhQhλ FFFUKUK ++=+ (12.31)

де – матриця теплопровідності, (12.32) ∫=V

dVBλBK Tλ

– матриця конвекції, (12.33) ∫=2S

hdSNNK Th

, (12.34) ∫=V

dVQNF TQ

34

, (12.35) ∫ ∞=2S

dShTTh NF

(12.36) ∫=1S

qdSTq NF

QF , , – вектори вузлових теплових сил, обумовлених дією відповідно внутрішніх джерел теплоти, теплової конвекції та розподіленого по поверхні теплового потоку .

hF qF

1S qРівняння дискретної моделі конкретної конструкції можна одержати

традиційним для МСЕ шляхом.

12.1 Одновимірний випадок переносу тепла

Інтерполяційний поліном для одновимірного лінійного елемента (рисунок 12.1) має вигляд 2211 UNUNT += , (12.37) де

.,1 21 LxN

LxN =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= (12.38)

A, xλ

x L

1 2

Рисунок 12.1 – Лінійний одновимірний елемент

Матриці у (12.31) матимуть вигляд

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=+−=

∂∂

=2

121

1111UU

LLT

LT

LxTg , (12.39)

тобто

.,112

1⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−= U

ULL

UB (12.40)

Матриця λ зводиться до одного коефіцієнта xλ=λ .

Обчислимо матриці (12.32), (12.33) для constA =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−λ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−= ∫∫ 11

11111

1

0 LAAdx

LLL

LdV xx

l

V

BλBT , (12.41)

35

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −= ∫∫ 21

126

11

02

hpLdxLx

Lx

Lx

Lx

hpdShl

S

NNT , (12.42)

де враховано pdxdS = , p – периметр, А – площа поперечного перерізу елемента.

Сума матриць теплопровідності та конвекції

.2112

61111

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

−λ=

hpLL

A xK (12.43)

Інтеграли (12.34–12.36)

11

2

1

0∫ ∫ =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

V

l QALdx

Lx

Lx

QAQdVTN , (12.44)

∫ ∫ =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

111

2

1

0S

l qpLdx

Lx

Lx

qpqdSTN , (12.45)

∫ ∞∞ =

2

,11

2S

pLhTdShTTN . (12.46)

Матриці (12.45), (12.46) враховують втрати тепла за рахунок конвекції ( – коефіцієнт теплообміну) і теплового потоку по боковій поверхні елемента. Розглянемо співвідношення, які пов'язані з відводом тепла від торців елемента.

h q

Припустимо, що тепло відводиться через поверхню правого кінця стержня (вузол 2). Відвід тепла відбувається або шляхом конвективного теплообміну, або завдяки наявності теплового потоку . Поверхневий інтеграл у матриці теплопровідності

q

, [ ] dShdSLNLNLNLN

hdShSSS

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫∫∫ 10

00)()(

)()(

212

1

2

NNT

або

. (12.47) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∫ 10

00hAdSh

S

NNT

Ця матриця додається до матриці теплопровідності, якщо на вільному кінці елемента відбувається відвід тепла.

Поверхневі інтеграли у матрицях (12.34), (12.36) будуть такими:

∫ ∞∞ =S

AhTdShT ,10TN

36

∫ =S

qAqdS .10TN .

Приклад 12.1 Визначити розподілення температури в одновимірному

стержні, для якого задані такі параметри: CT 40=∞ – температура навколишнього середовища,

( )КсмВтh ⋅= 210 – коефіцієнт тепловіддачі з поверхні, ( )КсмВтx ⋅=λ 72 – коефіцієнт теплопровідності матеріалу стержня,

cмd 1= – діаметр стержня, смl 5.7= – довжина, 5=ne – кількість скінченних елементів,

CT 1501 = – температура лівого кінця стержня .

1

5 6 2 4 1

2 3 4 5

3

150о С d

a a a a a

Розв'язання: Матриці теплопровідності і конвекції елемента

π⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

−λ= 5843

4358,2112

61111 KehpL

LAKe x .

Вектор навантаження елемента

π⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= ∞

600600

11

2pLhTfe .

Для останнього елемента необхідно добавити доданок, який враховує витрати тепла на правому торці стержня

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

π=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 100

0010001 hAef .

Матриця K для п’ятого елемента

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−π=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

π+= 68434358

10000)1()5( KeKe .

Вектор навантаження для п’ятого елемента

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= ∞

∞

10

11

2)5( hATpLhTfe .

Для побудови матриці теплопровідності для всього стержня можна використати матрицю індексів.

Тоді для випадку розділення стержня на 5 ділянок приходимо до такої системи рівнянь

37

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

−−−

10001200120012001200600

68434311643

43116434311643

43116434358

6

5

4

3

2

1

TTTTTT

.

Гранична умова: . Для врахування цієї умови викреслимо перший рядок і стовпець матриці теплопровідності і модифікуємо матрицю навантажень, віднявши від усіх компонентів добутки

CT 150=∞

)6,,3,2(,11 …=iKT i . Редуційована матриця теплопровідності буде такою

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

−

=

68434311643

43116434311643

43116

pK .

Матриця навантажень [ ]10001200120012001200=TF .

Розподілення температури визначається як розв'язок системи рівнянь FUK pp = ,

[ ]65432 TTTTTU p = ,

. [ ]6.422.446.4859826150,1 == − Tppp UFKU

Приклад 12.2 Розв'язок задачі 14.1 за допомогою математичного пакета

MathCAD. Вхідні дані:

- довжина скінченного елемента, смa 1.5:=

- температура лівого кінця стержня, град СT1 150:=

- кількість елементівne 5:=

- довжина стержня, смl 7.5:=

- діаметр стержня, смd 2:=

- коефіцієнт теплопровідності матеріалу, Вт/(см*К)λ 72:=

- коефіцієнт тепловіддачі з поверхні, Вт/(см**2*К)h 10:=

- температура навколишнього середовища, град СTc 40:=

i 1 ne..:= p π d⋅:= A πd2

4⋅:=

Сумарна матриця теплопровідності і конвекції для перших чотирьох елементів

Kel1 Aλa

⋅1

1−

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ h p⋅a6

⋅2

1

1

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+:=

38

Сумарна матриця для п'ятого елемента

Kel5 Aλa

⋅1

1−

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ h p⋅a6

⋅2

1

1

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+ h A⋅0

0

0

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+:=

Матриця теплопровідності і конвекції для i-го елементаKel i( ) if i 5< Kel1, Kel5,( ):=

f1 h Tc⋅ p⋅a2

⋅1

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:= f5 f1 h A⋅ Tc⋅0

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+:=

f i( ) if i 5< f1, f5,( ):= Матриця навантажень і-го елемента

mi

1

2

3

4

5

2

3

4

5

6

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:= Матриця індексів

Kmax mi( ) max mi( ), 0:= n 1 2..:= m 1 2..:=

Формування матриць для стержня в ціломуK mii m, mii n,,( ) K mii m, mii n,,( )⎡⎣ ⎤⎦ Kel i( )m n,+:=

Fmax mi( ) 0:= F mii m,( ) F mii m,( ) f i( )m+:=

K

182.212

135.088−

0

0

0

0

135.088−

364.425

135.088−

0

0

0

0

135.088−

364.425

135.088−

0

0

0

0

135.088−

364.425

135.088−

0

0

0

0

135.088−

364.425

135.088−

0

0

0

0

135.088−

213.628

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

F

1.885 103×

3.77 103×

3.77 103×

3.77 103×

3.77 103×

3.142 103×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Врахування граничної умови на правому торці стержняKR submatrixK 2, 5, 2, 5,( ):= FR submatrixF 2, 5, 1, 1,( ):=

39

KR

364.425

135.088−

0

0

135.088−

364.425

135.088−

0

0

135.088−

364.425

135.088−

0

0

135.088−

364.425

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= FR

3.77 103×

3.77 103×

3.77 103×

3.77 103×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

FF

K2 1,( )− T1⋅

0

0

0

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

:= FR FR FF+:= UR KR 1− FR⋅:=

UR

87.498

58.134

41.421

25.699

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= U stack 150 UR,( ):=

UT 150 87.498 58.134 41.421 25.699( )= Другий варіант врахування граничних умов

K1 1, K1 1, 1012⋅:= F1 150 K1 1,⋅:=

K

1.822 1014×

135.088−

0

0

0

0

135.088−

364.425

135.088−

0

0

0

0

135.088−

364.425

135.088−

0

0

0

0

135.088−

364.425

135.088−

0

0

0

0

135.088−

364.425

135.088−

0

0

0

0

135.088−

213.628

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

F

2.733 1016×

3.77 103×

3.77 103×

3.77 103×

3.77 103×

3.142 103×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Значення температури у вузлах

U K 1− F⋅:= UT 150 88.836 61.745 49.824 44.757 43.008( )=

Точний розв'язок U 150 89.9 62.8 50.5 45.2 43.3( ):=

40

12.2 Двовимірний перенос тепла

12.2.1 Плоский трикутний елемент

Розглянемо трикутний елемент, заданий у системі координат xOy координатами вузлів (рисунок 12.3). Інтерполяційний поліном, який описує залежність температури у точках елемента від координат yx, , має вигляд yxT 221 α+α+α= . (12.48)

i (Xi, Yi)

j (Xj, Yj)

k (Xk, Yk)

x

y

Рисунок 12.3 – Плоский скінченний елемент

У вузлах виконується умова

, при , iTT = ii YyXx == , , при jTT = jj YyXx == , ,

, при . kTT = kk YyXx == ,Підстановка цих умов у (12.48) приводить до системи рівнянь

iii YXT 221 α+α+α= , jjj YXT 221 α+α+α= , (12.49)

kkk YXT 221 α+α+α= . Розв'язок цієї системи відносно коефіцієнтів 321 ,, ααα має такий вигляд:

( ),21

1 kkjjii TaTaTaA

++=α

( kkjjii TbTbTb )A

++=α21

2 , (12.50)

( )kkjjii TcTcTcA

++=α21

3 ,

де

41

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

kk

jj

ii

YXYXYX

111

21A , (12.51)

,,, ijjikkiikjjkkji YXYXaYXYXaYXYXa −=−=−=

,,, jikikjkji YYbYYbYYb −=−=−=

ijkkijjki XXcXXcXXc −=−=−= ,, . Підставляючи (12.50) у (12.48), одержимо

kkjjii TNTNTNT ++= , (12.52)

де – функції форми kji NNN ,,

( ),21 ycxbaA

N iiii ++=

( ,21 ycxba )A

N jjjj ++= (12.53)

( ).21 ycxbaA

N kkkk ++=

Матрицю градієнтів g запишемо у вигляді

,21 TBg =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

=kji

kji

cccbbb

AyTxT

(12.54)

.⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

kji

kji

cccbbb

B

Матриця властивостей матеріалу

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

λλ

=y

x0

0λ . (12.55)

Матриця теплопровідності

.44

00

41

2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡λ+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡λ

=

===

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

λλ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

∫

∫ ∫

kkjkik

kjjjij

kijiiiy

kkjkik

kjjjij

kijiiix

A

kji

kji

y

x

kk

jj

ii

V V

cccccccccccbcccccc

Abbbbbbbbbbbbbbbbbb

A

AdA

dVcccbbb

cbcbcb

AdV

BλBBλB

BλB

TT

T

(12.56)

Другий інтеграл у матриці теплопровідності

42

(12.57) .dSNNNNNNNNNNNNNNNNNN

hdShS

kkjkik

kjjjij

kijiii

S∫∫

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=NNT

( S – поверхня, на якій має місце конвективний теплообмін). Якщо конвекція відбувається на одній із сторін елемента (рисунок 12.4),

де , інтеграл (12.57) приймає вигляд 0=kN

(12.58) .00000

dSNNNNNNNN

hdShS

jjij

jiii

S∫∫ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=NNT

i

j

k

x

y

Рисунок 12.4 – Конвекція на одній стороні скінченного елемента

Якщо конвективний теплообмін відбувається на двох сторонах (рисунок

12.5), – інтеграл (12.57) буде таким:

. (12.59) dSNNNNNNNNhdS

NNNN

NNNNhdSh

ikik Skkjk

kjjjS kkik

kiii

S∫∫∫

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

00

000

0000

0NNT

i

j

k

x

y

Рисунок 12.4 – Конвекція на двох сторонах скінченного елемента

43

Після інтегрування (12.58), (12.59) одержимо

.210120000

6,

201000102

6,

000021012

6 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡jkikij hlhlhl

(12.60)

Вектор навантажень у припущенні, що величина Q є сталою у межах

елемента, визначається інтегралом (12.44):

,111

3∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

V

QVdVQ TN (12.61)

тобто тепло, яке генерується в елементі, розподіляється порівну між вузлами. Якщо є точковим джерелом з координатами , його можна

врахувати за допомогою δ-функцій

*Q 00 , YX

; (12.62) )()( 00

* yyxxQQ −δ−δ= тоді інтеграл (12.61) можна записати як

. (12.63)

00

*00

* )()(

YyXxk

j

i

V Ak

j

i

NNN

QdxdyyyxxNNN

QQdV

==

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=−δ−δ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=∫ ∫TN

Як видно, точкове джерело розподіляється по вузлах пропорційно

відповідним значенням величин kji NNN ,, .Якщо точкове джерело знаходиться безпосередньо у вузлі елемента, то

воно вноситься у відповідний елемент матриці системи без змін. Поверхневі інтеграли і після інтегрування матимуть

такий вигляд:

∫1S

qdSTN ∫ ∞

2S

dShTTN

При constq =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=∫

101

2110

2011

21

kijkij

S

qlqlqlqdSTN . (12.64)

Нагадаємо, що товщина елемента береться одиничною. Аналогічно

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∞∞∞

∞∫101

2110

2011

22

kijkij

S

lhTlhTlhTdShTTN . (12.65)

44

Приклад 12.3 Визначити розподілення тепла у прямокутній пластині

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

1 1 1 1

1 CT 80=∞ CT 400=∞

1

2

3

4

5

6

7

8

Вхідні дані:

λ 10:= Коефіцієнт теплопровідності матеріалу , Вт/(см*К)h 5:= Коефіцієнт тепловіддачі з поверхні, Вт/(см**2*К)

T1c 80:= T2c 400:= Температури на торцях пластини, град СКоординати вузлів скінченно-елементної моделі пластиниX 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4( ):=

Y 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1( ):= ( )Nod stack X Y,( ):=

Nod1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

0 0 1 1 2 2 3 3 4 40 1 0 1 0 1 0 1 0 1

=

Топологічна матриця

Top

1

1

3

3

5

5

7

7

4

3

6

5

8

7

10

9

2

4

4

6

6

8

8

10

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

ne rows Top( ):= Кількість елементівnve cols Top( ):= Кількість вузлів у елементіi 1 ne..:= j 1 nve..:=

45

Координати вузлів елементів

xj i, Nod1 Topi j,,:= x

0

1

0

0

1

1

1

2

1

1

2

2

2

3

2

2

3

3

3

4

3

3

4

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

yj i, Nod2 Topi j,,:=y

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

h23i

0000000h

:=

h128 0:=

h311 h:= Коефіцієнти тепловіддачі сторін елементів

h318 0:=

Визначення геометричних параметрів і матриці теплопровідностіb1 i( ) y2 i, y3 i,−:= c1 i( ) x3 i, x2 i,−:=

b2 i( ) y3 i, y1 i,−:= c2 i( ) x1 i, x3 i,−:=

b3 i( ) y1 i, y2 i,−:= c3 i( ) x2 i, x1 i,−:=

e23 i( ) x2 i, x3 i,−( )2 y2 i, y3 i,−( )2+⎡⎣ ⎤⎦:=

A i( )12

1

1

1

x1 i,

x2 i,

x3 i,

y1 i,

y2 i,

y3 i,

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅:= e31 i( ) x3 i, x1 i,−( )2 y3 i, y1 i,−( )2+⎡⎣ ⎤⎦:=

e12 i( ) x1 i, x2 i,−( )2 y1 i, y2 i,−( )2+⎡⎣ ⎤⎦:=

Ke i( )λ

4 A i( )⋅( )

b1 i( ) b1 i( )⋅ c1 i( ) c1 i( )⋅+( )

b1 i( ) b2 i( )⋅ c1 i( ) c2 i( )⋅+

b1 i( ) b3 i( )⋅ c1 i( ) c3 i( )⋅+

b1 i( ) b2 i( )⋅ c1 i( ) c2 i( )⋅+( )

b2 i( ) b2 i( )⋅ c2 i( ) c2 i( )⋅+

b2 i( ) b3 i( )⋅ c2 i( ) c3 i( )⋅+

b1 i( ) b3 i( )⋅ c1 i( ) c3 i( )⋅+

b2 i( ) b3 i( )⋅ c2 i( ) c3 i( )⋅+

b3 i( ) b3 i( )⋅ c3 i( ) c3 i( )⋅+

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

⋅

h23ie23 i( )

6⋅

0

0

0

0

2

1

0

1

2

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅ h31ie31 i( )

6⋅

2

0

1

0

0

0

1

0

2

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅+ h12ie12 i( )

6⋅

2

1

0

1

2

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅++

..:=

46

Визначення матриць навантаження для елементів і сумарної матриці навантажень

f1 h T1c⋅e31 1( )

2⋅

1

0

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅:= f8 h T2c⋅e31 1( )

2⋅

0

1

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅:=

f2

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= f3

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= f4

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= f5

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= f6

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= f7

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

Матриця індексів mi

1

1

3

3

5

5

7

7

4

3

6

5

8

7

10

9

2

4

4

6

6

8

8

10

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Сумарна матриця теплопровідностіKmax mi( ) max mi( ), 0:= p 1 3..:= q 1 ..:=K mii p, mii q,,( ) K mii p, mii q,,( ) Ke i( )p q,+:=

Сумарна матриця навантажень

3

f i( ) if i 1 f1, if i 2 f2, if i 3 f3, if i 4 f4, if i 5 f5, if i 6 f6, if i 7 f7, if i 8 f8, 0,( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( )( ):=

Fmax mi( ) 0:= F mii p,( ) F mii p,( ) f i( )p+:=

Розв'язок відносно вузлових температурU K 1− F⋅:=

Середня температура в елементахii 1 5..:= U

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

160160

200

200

240

240

280

280

320

320

=

UciiU2 ii⋅ U2 ii⋅ 1−+( )

2:= Uc

160

200

240

280

320

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

12.3 Температурні деформації і напруження в стержнях

При наявності відомого температурного поля, за допомогою МСЕ можна

розрахувати розподілення напружень в об'ємі конструкції. Як відомо, температурні напруження виникають при нерівномірному нагріванні об'єму

47

або у статично-невизначених конструкціях. Залежність між напруженнями і деформаціями матиме вигляд 0εDεDσ −= . (12.66)

Вектор обумовлений температурною деформацією 0ε

TTTT 000ααα=0ε . (12.67) Підставимо напруження (12.66) у рівняння принципу можливих

переміщень . (12.68) ∫∫∫ δ+δ=

SVV

dSdVdV qupuσε TTTδ

Одержимо . (12.69) ∫∫∫∫ δ+δ+δ=δ

VSVV

dVdSdVdV 0TTTT εDεqupuεDε

Використовуючи далі залежності між векторами деформацій і вузлових переміщень q,Nnq,Bε == (12.71) вектор вузлових сил запишемо у вигляді . (12.72) dVdSdV

VSV∫∫∫ ++= 0

TTT εDBqNpNF

Для стержня матриця має вигляд B

[ 111−=

lB ]. (14.73)

Компоненти вектора сил від нагрівання

. (12.74) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−α=∫ 1

1TEAdVV

0T εDB

Методика розрахунку стержневих конструкцій, які працюють на розтяг-стиск, залишається незмінною, змінюються тільки елементи вектора навантажень згідно з (12.72), (12.74). F

Аналогічно визначаються вузлові сили при нагріванні більш складних конструкцій.

Дещо складнішою виявляється методика врахування нерівномірного нагрівання. Розглянемо приклад визначення деформації стержня, нерівномірно нагрітого по товщині. Температура змінюється згідно із залежністю

h

zTTzT 2)( 10 += ,

де – висота перерізу, і – відомі коефіцієнти: – значення температури на нейтральній лінії стержня,

h 0T 1T 0T10 TT + – на зовнішній (верхній і

нижній) поверхнях. Вектор температурних сил для елемента стержня, який працює на згин,

має вигляд

48

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−α−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α+α

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−= ∫1

010

22

621

1261

641

1261

110

2

2

EIh

Tdxzh

TTE

lx

l

lx

l

lx

l

lx

l

zFV

.

Як видно, нерівномірне нагрівання приводить також до появи додаткових вузлових згинаючих моментів. Ці додаткові сили необхідно враховувати у розрахунку переміщень стержня згідно з типовою методикою використання методу скінченних елементів.

49

Лекція 13 РОЗРАХУНКИ НЕІДЕАЛЬНО ПРУЖНИХ КОНСТРУКЦІЙ

13.1 Основні положення теорії пластичності

Лінійна теорія пружності побудована на фізичних залежностях Гука, згідно з якими між напруженнями і деформаціями має місце лінійна однозначна залежність. Між тим експериментальні випробування свідчать, що лінійна залежність має місце тільки при дуже малих деформаціях (напруженнях), а для деяких матеріалів (чавун) взагалі є нелінійною навіть при малих деформаціях. Типові діаграми деформування зразків при розтягу наведені на рисунку 13.1а.

Х18Н9Тσ

3yσ

Рисунок 13.1 Діаграми деформування матеріалів

У конкретних випадках ці діаграми апроксимують більш або менш складними залежностями (рисунок 13.2).

Рисунок 13.2 Умовні діаграми деформування (а – ідеально-пластичний, б – пружно-пластичний, в – пружно-пластичний зі зміцненням матеріали)

а в

Ст3

2yσ

1yσ

Амг3

ε залε

б

50

У залежності від поведінки матеріалу при розвантаженні розрізняють нелінійно пружні (рисунок 13.3, а) і неідеально-пружні матеріали (рисунок 13.3, б ).

σ σ

ε ε

Рисунок 13.3 Нелінійно-пружний і неідеально-пружний матеріали При циклічних деформаціях неідеально-пружних матеріалів

відбувається втрата частини механічної енергії на теплоутворення, магнітні перетворення і т. п. Вивченню матеріалів з пластичним деформуванням присв’ячений розділ МТДТ, який називається теорією пластичності. Між нелінійно пружними і пружно-пластичними матеріалами основна різниця полягає у тому, що залежність між напруженнями і деформаціями для останніх є неоднозначною і залежить від шляху деформування. Між теорією пластичності і теорією пружності спільним є використання умов рівноваги, умов сумісності деформацій, кінематичних залежностей між деформаціями і переміщеннями. Відмінності тільки у фізичних залежностях, – у теорії пластичності використовуються інші фізичні залежності. Зазначимо, що між нелінійною теорією пружності і теорією пластичності проявляється суттєва відмінність, пов’язана з наявністю у пружно-пластичних матеріалів границі переходу від пружного стану до пластичного, що потребує розділення об’єму на частини, що знаходяться у пружному стані і пластичному. Якщо для одновісного напруженого стану перехід визначається границею пластичності, то при складному напруженому стані необхідно визначити якийсь критерій переходу у пластичний стан. Численні експериментальні дослідження свідчать, що при трьохвісному розтягу або стиску матеріал деформується як лінійно пружний. Тоді умови пластичності залежать тільки від другого і третього інваріантів девіатора напружень. Прикладом критеріїв є критерії Губера-Мізеса (критерій формозміни), критерій Треска (найбільших дотичних напружень) і багато інших [16,47]. Поки що немає універсального критерію , що і пояснює їх велику кількість. Припущення про наявність границі між пружним і пластичним станами справедливе для спрощених моделей пружно-пластичного матеріалу. У дійсності такої границі не існує і крива деформування не має зламів, тобто критерію пластичності як такого не існує, або існує деякий умовний. Згідно з гіпотезою Губера-Мізеса

51

характеристикою залежностей між напруженнями і деформаціями можна вибрати інтенсивності напружень і деформацій.

2 2 2 2 21 (( ) ( ) ( ) 6(2i x y y z z x xy yzσ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= − + − + − + + + 2 )zx

2 22 3(( ) ( ) ( ) ( )3 2i x y y z z x xy yzε ε ε ε ε ε ε γ γ= − + − + − + + +2 2

zxγ

i

Залежність між ними ( )iσ ε= Φ вважається єдиною для усіх напружених

станів. При одновісному напруженому стані iσ σ= і 2(1 )3i

νε ε+= , а

для матеріалу, який не стискається (тобто для якого 0.5ν = ) – iε ε= . Таким чином, крива ( )i iσ ε= Φ у даному випадку співпадає з діаграмою розтягу матеріалу. Зменшення інтенсивності напружень свідчить про наявність розвантаження. Взагалі, величина деформацій у точках об’єму залежить не тільки від величини напружень, а і від шляху деформування. У зв’язку з цим пластичність повинна описуватись диференціальними (або інтегральними) залежностями. Більш простим варіантом теорії пластичності є теорія малих пружно-пластичних деформацій або деформаційна теорія пластичності. Деформаційна теорія пластичності будується на трьох гіпотезах: – об’ємна деформація є пружною, тобто для залежності середніх напружень і деформацій справедлиий закон Гука

3c cK Kσ θ ε= = ; – девіатори напружень і деформацій співпадають з точністю до сталого множника

D Dσ εψ= ; У скалярній формі ця рівність виглядає так:

( ); /

( );

( ); /

x c x c xy xy

y c y c yz yz

z c z c zx zx

2;

/ 2;

2;

σ σ ψ ε ε τ ψγ

σ σ ψ ε ε τ ψγ

σ σ ψ ε ε τ ψγ

− = − =

− = − =

− = − =

(13.1)

Праметр ψ визначається через інтенсивності напружень і деформацій: 23

i

i

σψε

= .

Залежності деформаційної теорії пластичності виконуються тільки при простих навантаженнях або близьких до простих. Прості навантаження мають місце у тому випадку, коли компоненти тензора напружень змінюються пропорційно одному множнику. Рівняння (13.1) можна записати відносно деформацій у вигляді, характерному для рівнянь закону Гука.

52

** *

** *

** *

1 1( ) ,

1 1( ) ,

1 1( ) ,

,

,

.

x x y z xy xy

y y z x yz yz

z z x y zx

E G

E G

zxE G

ε σ ν σ σ γ τ

ε σ ν σ σ γ τ

ε σ ν σ σ γ τ

⎡ ⎤= − + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + =⎣ ⎦

де

1 ** *

*

1*

1 1 2 1 21 ,2 3 3 3 2(1 )

1 21 .3

i i i

i i i

i i

i i

EGE E

EE

ν σ ν σ σ ,νε ε ε

σ ν σε ε

−

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −= − + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

ν

Крім того, *

*1 2c cEσ ε

ν=

−.

Таким чином, задачу теорії пластичності можна розглядати як задачу теорії пружності, але для неоднорідного пружного тіла, оскільки умовні параметри пружності * * *, ,E Gν залежать у кожній точці тіла від характеристик напружено-деформованого стану. Для розв’язання таких нелінійних задач використовують метод послідовних наближень. У початковому наближенні приймають *0 *0 *0, ,E E G G ν ν= = =

i

і з розв’язку пружної задачі знаходять напруження і деформації у нульовому наближенні. Далі із залежності ( )iσ ε= Φ заходиться iσ , а потім нові значення параметрів

*1 *1 *1, ,E E G G ν ν= = = . Очевидно, після цього у кожній точці об’єму конструкції матимемо неоднакові фізичні параметри, тобто приходимо до задачі неоднорідної теорії пружності. Після одержання розв’язку, знайдемо напруження і деформації у наступному наближенні і т.д. Процес послідовних наближень продовжується до тих пір, поки значення компонент тензорів напружень або деформацій у двох сусідніх наближеннях будуть відрізнятися не більше ніж встановлена допустима похибка. Для залежностей ( )i iσ ε= Φ , які мають місце для більшості матеріалів, цей процес збігається.

Більш універсальною, але і більш складною є теорія пластичності у приростах, так звана теорія течії. Докладний аналіз теорій течії можна знайти у підручниках теорії пластичності [47].

Розглянемо приклад визначення подовження ступінчастого стержня, який закріплений на одному кінці і навантажений осьовою силою на другому. Узагальнена крива деформування для матеріалу стержня зображена нижче на рисунку.

53

0 5 .10 4 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.0040

5

10

15

20

25

30

Φ εi 3,( )

εi

Функція, якій відповідає ця крива, має вигляд

Φ εi n,( ) E εi⋅

1E εi⋅

σT

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

n+

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

1

n

:=

У залежності від значення параметра n можна одержати різні форми кривої ( )i iσ ε= Φ . Вхідні параметри ступінчастого стержня прийняті такими: сила N (кН), площі А1, А2, А3 (см**2), довжини ділянок а1, а2, а3 (см).

N 20:= A1 1:= A2 2:= A3 3:= a1 10:= a2 15:= a3 20:=

Послідовність розв’язання задачі подано нижче. Сумарне поздовження стержня позначене літерою Δ . Нульове наближення:

εi10N

A1 E⋅:= εi20

NA2 E⋅

:= εi30N

A3 E⋅:=

εi20 5 10 4−×= εi30 3.333 10 4−×= εi10 1 10 3−×=

Δ1 εi10( ) εi10 a1⋅:= Δ2 εi20( ) εi20 a2⋅:= Δ3 εi30( ) εi30 a3⋅:=

Δ0 εi10 εi20, εi30,( ) Δ1 εi10( ) Δ2 εi20( )+ Δ3 εi30( )+:=

Δ0 εi10 εi20, εi30,( ) 0.024= Значення модуля пружності на наступних етапах наближень обчислювалось

за формулою Ec εi( ) Φ εi 3,( )εi

:=

54

Перші два наближення:

εi11N

A1 Ec εi10( )⋅:= εi21

NA2 Ec εi20( )⋅

:= εi31N

A3 Ec εi30( )⋅:=

εi11 1.164 10 3−×= εi21 5.118 10 4−×= εi31 3.357 10 4−×=

Δ1 εi11( ) εi11 a1⋅:= Δ2 εi21( ) εi21 a2⋅:= Δ3 εi31( ) εi31 a3⋅:=

Δ1 εi11 εi21, εi31,( ) Δ1 εi11( ) Δ2 εi21( )+ Δ3 εi31( )+:=

Δ1 εi11 εi21, εi31,( ) 0.026=

εi32N

A3 Ec εi31( )⋅:=

εi22N

A2 Ec εi21( )⋅:=

εi12N

A1 Ec εi11( )⋅:=

εi12 1.242 10 3−×=

εi22 5.126 10 4−×= εi32 3.357 10 4−×=

У третьому наближенні одержано той же результат. Програму, яка реалізує метод послідовних наближень для даного прикладу, наведено на наступній сторінці. Як видно, для одержання розв’язку достатньо було двох наближень. Цей метод називають методом змінних параметрів. У загальному випадку складного напруженого стану задачі теорії пластичності методом змінних параметрів розв’язують у такій послідовності. У першому наближенні модулі і коефіцієнт Пуасона приймають такими ж як і для пружного матеріалу і розв’язують лінійну задачу теорії пружності, тобто визначають напруження і деформації у точках об’єму. Далі, у кожній точці об’єму знаходять інтенсивності напружень і деформацій у нульовому наближенні і визначають нові значення модулів і коефіцієнта Пуассона і знову розв’язують задачу теорії пружності, але у даному випадку уже для неоднорідного матеріалу. Відповідно до методу скінченних елементів це означає, що у кожному наближенні необхідно перераховувати матриці жорсткості для кожного елемента і для конструкції у цілому. Існують методи, у яких матриці жорсткості не перераховуються, а змінюються навантаження у відповідності з приростами напружень. Ці методи називають методами додаткових параметрів.

Δ1(εi12) Δ2 εi22( ) εi22 a2⋅:= Δ3 εi32( ) εi32 a3⋅:= εi12 a1⋅:=

Δ2 εi12 εi22, εi32,( ) Δ1 εi12( ) Δ2 εi22( )+ Δ3 εi32( ) +:=

Δ2 εi12 εi22, εi32,( ) 0.027=

55

Δ Tol 0.001←

k 0←

εi1kN

A1 E⋅←

εi2kN

A2 E⋅←

εi3kN

A3 E⋅←

δ 1←

Δk εi1k a1⋅ εi2k a2⋅+ εi3k a3⋅+←

εi1k 1+N

A1 Ec εi1k( )⋅←

εi2k 1+N

A2 Ec εi2k( )⋅←

εi3k 1+N

A3 Ec εi3k( )⋅←

Δk 1+ εi1k 1+ a1⋅ εi2k 1+ a2⋅+ εi3k 1+ a3⋅+←

δ Δk 1+ Δk−←

k k 1+←

δ Tol>while

Δ

:= Δ

0.024

0.026

0.027

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Рисунок 13.4 Програма реалізації методу змінних параметрів

13.2 МСЕ у задачах розрахунку конструкцій з неідеально-пружних матеріалів Розглянутий вище приклад розрахунку одновимірного об’єкта може бути узагальнений на скінченно-елементні моделі. Фізичні залежності для неідеально-пружного матеріалу при складному напруженому стані мають вигляд ( , ) =F σ ε 0 , (13.1) де - вектори напружень і деформацій відповідно. Якщо це рівняння можна розв’язати відносно напружень (13.2) σ = f(ε)

56

то систему рівнянь скінченно-елементної моделі конструкції можна одержати, скориставшись методикою, розглянутої вище для лінійних – пружних матеріалів, тобто використати МСЕ у варіанті методу переміщень, коли невідомими приймають вузлові переміщення. Матриці жорсткості і зовнішніх сил визначаються з формул потенціальної енергії і роботи зовнішніх сил ,T T

sV S

U dV u Fε σ= dS∫ ∫ (13.3)

з урахуванням нелінійної залежності (14.2). Після використання функцій N , апроксимуючих вузлові переміщення q, U = Nq (13.4) матриця жорсткості елемента матиме вигляд ( ) ( ) ( )( )T

V

dV= ∫K q AN C q AN , (13.5)

де А – матриця диференційних операторів, С(q) матриця модулів, які залежать від деформацій, а значить і від переміщень. Рівняння скінченно-елементної моделі конструкції має вигляд =K(q)q F (13.6) Це система нелінійних алгебраїчних рівнянь. Для її розв’язання можна застосувати усі методи розв’язку систем нелінійних рівнянь (див. лекцію 15), які є ефективними для систем великої розмірності, характерних для МСЕ. Найбільш прийнятним методом знаходження розв’язку є метод змінної жорсткості, розглянутий вище на одновимірному прикладі. У даному випадку рівняння (14.6) розв’язуються як лінійне при і визначається вектор . Далі реалізують ітераційний процес

до тих пір, поки переміщення не перестануть змінюватися.

0 0( ) ( )= = =K q K q 0 K1

0−=q K F

11n n

−+ =q K F

σ

Недоліком методу є необхідність перерахування матриць жорсткості на кожній ітерації і розв’язання відповідної системи рівнянь. Метод змінної жорсткості застосовується також для моделювання руйнування конструкції. У цьому випадку на кожному кроці ітерації окрім переміщень обчислюються напруження у кожному скінченному елементі і порівнюються з критичним для даного матеріалу напруженням. Якщо напруження в окремих елементах перевищує критичне, модулі пружності матеріалу цих елементів прирівнюють до нуля, що приводить до видалення їх з конструкції. Таким способом моделюється процес розвитку тріщини аж до моменту руйнування конструкції.

13.3 Елементи теорії в’язкопружності Для багатьох матеріалів, зокрема пластмас, залежності між напруженнями і деформаціями наявно залежать від часу

( ) ( ) , ( ) ( )t t t t= =σ Φ ε ε Ψ .

57

( )tΦ називають функцією релаксації, а ( ) – функцією повзучості. (У випадку складного напруженого стану це матриці функцій повзучості і релаксації). Релаксація напружень – це зменшення напружень з часом при сталій деформації. Повзучість – це збільшення деформацій при сталому напруженні.

tΨ

Математичні залежності для випадку змінних напружень або деформацій для лінійного матеріалу (якщо функція релаксацій і повзучості не залежать від напружень і деформацій) можна знайти, скориставшись принципом суперпозиції. Якщо, наприклад, відома історія зміни вектора деформацій 0( ) ( )t f t=ε ε від початкового значення до даного моменту, то напруження можна записати як

0 0

( ) ( ) ( )NtN

N ii

dt d t t t t dtdt=

′ ′= − ⇒ − ′′∑ ∫εσ ε Φ Φ . (13.7)

Ця залежність відомий як рівняння Больцмана. Вибираючи функцію , можна підібрати відповідну фізичну залежність, яка відображає

в’язко-пружні властивості матеріалу. (t t′−Φ )

У задачах динаміки конструкцій використання рівняння (13.7) приводить до складних інтегро-диференційних рівнянь. У зв’язку з цим доцільно застосовувати метод переходу до простору інтегральних перетворень Фур'є. (Згадайте інтегральне перетворення Лапласа). Пряме перетворення Фур'є функції f(t):

( ) ( ) i tf f t e dtωω∞

−

−∞

= ∫

Обернене перетворення Фурьє: 1( ) ( )

2i tf f t e dtωω

π

∞

−∞

= ∫

Параметр ω має розмірність рад/с і називається частотою. Залежність (13.7) у часовому просторі має вигляд

( )iω=σ C ε , де ( )iωC - матриця комплексних модулів, які залежать від частоти ω

( ) ( ) ( ), ( 1)C i C iC iω ω ω′ ′′= + = − . Перевагою одержаної залежності є те, що вона схожа на лінійну залежність Гука, тільки модулі є комплексними величинами і залежать від частоти.

Скінченно-елементну модель можна побудувати безпосередньо у просторі перетворень Фур'є (кажуть „у частотному просторі”) і рівняння динаміки виглядатиме аналогічно рівнянню статики

( ) ( )i iω ω=Z q F ( ( )iωF – пряме перетворення Фур'є функції навантажень). Розв’язок відносно зображення переміщень –

1( ) ( )i iω ω−=q Z F ,

58

Розв’язок у часовому просторі

0

1( ) ( )2

ti tt i e ω dω ω

π= ∫q q

У зв’язку з дискретністю вектора q перетворення Фур'є виконується чисельним способом. Нижче наводиться декілька прикладів, ілюструючих ефективність цього методу.

13.4 Метод аналізу нестаціонарних коливань у конструкціях з

в’язкопружних матеріалів При аналізі одночастотних коливань залежність модулів пружності і

демпфіруючої властивості матеріалів від частоти не складає істотних труднощів, оскільки частота входить у рівняння як параметр. При багаточастотних коливаннях, імпульсних і ударних навантаженнях задача значно ускладнюється, у зв’язку з чим, звичайно, вважають, що розсіяння енергії в матеріалі не залежить від частоти. Для полімерних матеріалів, якими в більшості випадків являються демпфіруючі композиції, таке припущення може виявитися надто грубим.

Визначальні рівняння полімерних матеріалів можна записати у вигляді рівнянь Больцмана-Вольтерра, де функції повзучості і релаксації визначаються із відповідних випробувань. При цьому параметри функцій, одержані за результатами статичних випробувань, виявляються, як правило, неприйнятними для опису динамічної поведінки цих матеріалів. При динамічних же випробуваннях легше визначити дійсну й уявну частини комплексного модуля, які є відповідно косинус- і синус-перетвореннями Фур'є функцій релаксації матеріалу. Очевидно, що зовсім нераціонально визначати функції релаксації за одержаною залежністю комплексного модуля від частоти за допомогою оберненого перетворення Фур'є, щоб потім використовувати їх у динамічному розрахунку у вигляді прямого перетворення Фур'є. Більш природним було б безпосереднє використання комплексних модулів. Разом з тим введення комплексного модуля у диференціальні рівняння руху є некоректним прийомом, який проте приводить до правильних результатів при моногармонічних коливаннях, що, власне, і стало причиною широкого використання квазирівнянь з комплексними членами. Коректне введення комплексних модулів для будь-яких динамічних процесів можливе тільки після переходу до простору перетворень Фур'є [11].

Розглянемо диференціальне рівняння коливань системи з одним ступенем вільності, з демпфіруючим елементом спадкового типу ( )tpxCxm =+ * , (13.8) де *C – оператор Больцмана

59

( )∫∞−

′′

′−+=t

tdtd

dttRCC )(0* . (13.9)

Виконаємо перетворення Фур'є, для чого помножимо обидві частини на і проінтегруємо від tie ω− ∞− до ∞ . З урахуванням властивостей

перетворення Фур'є одержимо при нульових початкових умовах алгебраїчне рівняння з комплексними коефіцієнтами відносно зображень переміщення ( ) ( ) ( )( ) ( )ωωωω iPXCiCXim ~~~2 =′′+′+ , (13.10)

де , , ( )∫∞

∞−

ω−= dtetxX ti~ ( ) ( )∫∞

∞−

ω−=ω dtetpiP ti~

, ( )∫∞

∞−

ηωηηω+=′ dRCC sin0

. (13.11) ( )∫∞

∞−

ηωηηω=′′ dRC cos

Розв'язком рівняння (13.10) є вираз

( ) ( ) ( )( ) 12~~ −ω−ω′′+ω′ω= mCiCiPX . (13.12)

Застосовуючи до (13.12) обернене перетворення Фур'є, одержимо розв'язок у часовому просторі

( ) ( )∫∞

∞−

ω ωωπ

= deXtx ti~21 . (13.13)

В загальному випадку одержання як прямого, так і оберненого перетворення Фур'є можливе тільки чисельними методами. Дискретні аналоги прямого і оберненого перетворення Фур'є для деякої комплексної функції ( ) ( )1,...,1,0 −= Njjx записуються у вигляді

( ) ( ) ( ,1...,,1,0,2exp1

0−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−Δ= ∑−

=

NkjkN

ijxtkXN

j) (13.14)

( ) ( )∑−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

Δ=1

0,2exp

N

jjk

NijXfkx (13.15)

де ; Т – часовий інтервал, у якому розглядається процес ;

( ) ( )tjXjX Δ=( )tNT Δ= N – кількість точок у часовому інтервалі; Tf 1=Δ – крок по частоті.

Вирази дискретного перетворення Фур'є (ДПФ) справедливі, якщо ( )tx є періодичною функцією. Якщо функція ( )tx не періодична, то ДПФ поводиться з нею як з періодичною, що має період tNT Δ= . Для зменшення помилок, пов’язаних з неперіодичністю функції ( )tx , інтервал Т повинен збільшуватись за рахунок додаткового інтервалу нульового навантаження. Основними параметрами, які використовуються при дискретному перетворенні Фур'є, є: N – кількість точок, у яких задані значення функції

60

( )tx на інтервалі часу реалізації Т ( tTN Δ= ), 2max Nff Δ= – частотний діапазон (максимальна частота, яка враховується при дискретному перетворенні), Tf 1=Δ – крок по частоті (мінімальна частота, яка враховується при дискретному перетворенні), tNfT Δ=Δ=1 – тривалість реалізації.

Як правило, при застосуванні дискретного перетворення Фур'є задають N та ще який-небудь із параметрів, наприклад, тривалість процесу Т.

Основна похибка ДПФ пов’язана з обмеженістю спектра врахованих частот і для сигналів з широкою смугою дії може виявитися значною. Для зменшення цієї похибки повинна бути досить великою. Найбільш ефективним алгоритмом ДПФ є алгоритм швидкого перетворення Фур'є (ШПФ).

maxf

Методика визначення реакцій системи на дію імпульсного навантаження довільної форми є такою:

– за допомогою підпрограми ЩПФ визначається пряме перетворення Фур'є силового навантаження ( )ω= PtpF )( ;

– визначається частотна передаточна функція системи

( ) ( ) ( )( ) 12 −ω′′+ω′+ω−=ω CiCmH ; (13.16)

– за допомогою підпрограми ШПФ визначається обернене перетворення Фур'є добутку і частотної передаточної функції ( )ωP ( )ωH ( ) ( ) ( ) ωω= − PHFtx 1 . (13.17)

Для одержання частотної передаточної функції необхідно підставити у праву частину диференціального рівняння руху системи дельта-функцію, виконати для обох частин перетворення Фур'є; в результаті зліва одержимо перетворення Фур'є однорідного диференціального рівняння, а справа – одиницю. Розв'язок отриманого алгебраїчного рівняння відносно перетворення змінної дасть частотну передаточну функцію. ( )ωX

Перевагою методу є можливість врахування зовнішнього імпульсного навантаження довільного спектрального складу і врахування реальної залежності комплексного модуля від частоти. При цьому можуть безпосередньо використовуватись експериментальні дані визначення комплексного модуля в діапазоні частот, що розглядається.

Наведена вище методика легко узагальнюється на більш складні системи. Рівняння руху системи з n ступенями вільності можуть бути подані у вигляді ( )tx PxKM * =+ , (13.18) де x – вектор-стовпець координат системи; Р – вектор зовнішніх навантажень; М – матриця мас; – матриця спадкових операторів. Виконавши перетворення Фур'є рівнянь (10.12), одержимо

*K2

( ) ( )( ) ( ) ( )ω=ωω−ω′′+ω′ PXMKK 2i , (13.19)

2 При нульових початкових умовах.

61

де – матриця жорсткості; ( )ω′K ( )ω′′K – матриця демпфірування; ( )ωP – зображення Фур'є правої частини рівнянь (13.19). Розв'язуючи систему рівнянь (13.19) відносно вектора зображень координат для ряду значень частоти у частотному діапазоні, який нас цікавить, отримаємо послідовність комплексних векторів .

( )ωX

n...,,, XXX 21

Обернене перетворення Фур'є кожного рядка матриці

(13.20)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

NN2N1N

N22221

N11211

XXX

XXXXXX

……………

……

приводить до матриці

, (13.21)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

NN2N1N

N22221

N11211

xxx

xxxxxx

……………

……

кожний рядок якої визначає зміну відповідної узагальненої координати у заданому проміжку часу. При необхідності можна обмежитись одержанням реакцій системи тільки по одній з координат.

Амплітудно-частотну характеристику на k -му виході одержимо як розв’язок системи рівнянь (13.19) з вектором ( )ωP , який складається з нулів, окрім k -ї компоненти, де стоїть одиниця.

Необхідно зазначити, що трудомісткість розв'язку визначається, в основному, необхідністю багаторазового розв'язку системи рівнянь (13.19) для одержання матриці (13.21).

Застосування методу для розрахунку нестаціонарних коливань розглянуто у монографії [5].

13.5 Використання скінченно-елементних моделей для аналізу

нестаціонарних коливань стержнів Використаємо метод інтегральних перетворень для розрахунку

нестаціонарних коливань однорідного стержня. Скінченно-елементна модель однорідного стержня зображена на рисунку 13.5. Матриці жорсткості і мас скінченного елемента стержня прийняті такими [5]:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

⋅=

231336361323

36362

22

22

aaaaaa

aaaaaa

aEJK , (13.22)

62

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−

⋅=

3611412136111312132941213361112132961113

3522

22

aaaaaa

aaaaaa

maM . (13.23)

Матриці скінченно-елементної моделі стержня матимуть розмір 20×20.

а

1 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

3 4

2

Рисунок 13.5 – Скінченно-елементна модель однорідного стержня

0 0.5 1 1.5 20.005

0

0.005

0.01

Re X1k( )0

tk Рисунок 13.6 – Лінійне переміщення в напрямку координати 1 при дії дельта-

імпульсу навантаження в тому ж напрямку

0 0.5 1 1.5 22 .10 4

1 .10 4

0

1 .10 4

2 .10 4

Re X19k( )0

tk 1⟨ ⟩ 19⟨ ⟩Рисунок 13.7 – Лінійне переміщення в напрямку координати 11 при дії

дельта-імпульсу навантаження в напрямку координати 1

63

0 2 4 6 8 100.1

0.05

0

0.05

Re X1k( )0

tk Рисунок 13.8 – Лінійне переміщення в напрямку координати 1 при дії двох

імпульсів навантаження

0 2 4 6 8 100.04

0.02

0

0.02

Re X11k( )0

tk Рисунок 13.9 – Лінійне переміщення в напрямку координати 11 при дії двох

імпульсів навантаження

На рисунках 13.6 – 13.9 зображені лінійні переміщення перерізів 1 і 11 при дії дельта-імпульсу в напрямку координати 1, а також при дії двох дельта-імпульсів, зміщених у часі на 5c і прикладених у напрямку координат 1 та 11. Параметри стержня прийняті такими: довжина стержня

мl 1= ; кількість скінченних елементів 10=n ; розміри поперечного перерізу мh 1.0= , мb 02.0= ; питома вага матеріалу 3410 мНg = ; модуль пружності

матеріалу , ( )МПаiE += 1106 ( )1−=i . Параметри числового перетворення Фур’є: час процесу cT 10= ; кількість інтервалів 1024=N .

Метод розрахунку нестаціонарних коливань у просторі перетворень Фур’є є високоефективним способом аналізу коливань в’язкопружних систем з частотно-залежним розсіянням енергії. Суттєвим є те, що ускладнення частотної залежності і форми діючого імпульсного навантаження (як у просторі, так і у часі) не приводить до ускладнення розрахунку. До переваг методу треба також віднести можливість безпосереднього використання в розрахунках експериментальних залежностей комплексних модулів від частоти.

Зазначимо, що трудомісткість розв’язку визначається, в основному, необхідністю багаторазового розв’язку системи рівнянь (13.19). У зв’язку з цим, значний інтерес викликають методи зменшення кількості узагальнених координат, а також можливість використання паралельних методів розв’язку систем алгебраїчних рівнянь на ЕОМ.

64

Приклад 14.1 Визначити реакцію ферми на імпульсне навантаження .

Параметри швидкого перетворення Фур'є

N 2048:= k 1 N..:= i 1−:= TT 40:= df1

TT:= dt

TTN

:=

fk df k 1−( )⋅:= tk dt k 1−( )⋅:= ok 2 π⋅ fk⋅:= f2048 51.175= Модуль пружності і декремент коливань матеріалуE02 106:= E12 0.2 106⋅( )( ):= E E02 E12 i⋅+:= E1 2 1011⋅:=

dIm E( )Re E( )

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

π⋅:= d 0.628=

19 6 3 8

9

10 )(tδ

1

2

3

4

5

6

7

8

2 2 2 2

2.5

20 12

1 2

3

4

5 7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1 2

4

5 6

7

9 10

11

13 14

15 16

17 18

Площа і момент інерції площі поперечного перерізуA 4 10 4−⋅:= м**2 I 10 5−:= м**4g 7.8 103⋅:= - питома вага, Па/м**3 gne 4:= - кількість узагальнених координат у елементіke 17:= - кількість елементів nv 2:= - кількість вузлів у елементіkk 1 ne..:= jj 1 ne..:= j 1 nv..:= ie 1 ke..:=Aie A:= Eie E:= Координати вузлів

Nodes

0

0

1

0

2.5

2

2

0

3

2

2.5

4

4

0

5

4

2.5

6

6

0

7

6

2.5

8

8

0

9

8

2.5

10

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

65

Топологічна матриця

Top1

2

1

4

1

3

2

4

3

4

4

6

3

6

3

5

5

6

6

8

5

8

5

7

7

8

8

10

7

10

7

9

9

10⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

T

:=

Координати вузлів кожного елемента згідно з матрицею Тор

Xnj ie, Nodes1 Topie j,,:= Ynj ie, Nodes2 Topie j,,:=

Xn1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

0 0 0 0 2 2 2 2 4 40 2 2 2 2 4 4 4 4 6

=

Yn1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

0 0 0 2.5 0 2.5 0 0 0 2.52.5 2.5 0 2.5 2.5 2.5 2.5 0 2.5 2.5

=

Довжини стержнів lie Xn2 ie, Xn1 ie,−( )2 Yn2 ie, Yn1 ie,−( )2+:= Синус і косинус кутів нахилустержнів до осі х s ie( )

Yn2 ie, Yn1 ie,−

lie:= c ie( )

Xn2 ie, Xn1 ie,−

lie:=

Матриця направляючих косинусів для переводу елемента у глобальну систему кординат

T ie( )c ie( )

0

s ie( )

0

0

c ie( )

0

s ie( )⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Формування матриці індексів з використанням матриці Тор

miie 2 j⋅, 2 Topie j,⋅:=

miie 2 j⋅ 1−( ), 2 Topie j,⋅ 1−:=

Матриці жорсткості і масскінченного елемента mi

1 2 3 4

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1 2 3 41 2 7 8

1 2 5 6

3 4 7 8

5 6 7 8

7 8 11 12

5 6 11 12

5 6 9 10

9 10 11 12

11 12 15 16

9 10 15 16

9 10 13 14

13 14 15 16

15 16 19 20

13 14 19 20

13 14 17 18

=

Ke ie( ) EieAielie

⋅1

1−

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

Me ie( ) gAie lie⋅

3⋅

1

12

12

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅:=

Матриці жорсткості і мас елемента у глобальній системі координат

Kα ie( ) T ie( )T Ke ie( )⋅ T ie( )⋅:=

Mα ie( ) T ie( )T Me ie( )⋅ T ie( )⋅:=

66

Формування матриць жорсткості і мас ферми

KSmax mi( ) max mi( ), 0:= MSmax mi( ) max mi( ), 0:=

KSmiie jj, miie kk,, KSmiie jj, miie kk,, Kα ie( ) jj kk,+:=

MSmiie jj, miie kk,, MSmiie jj, miie kk,, Mα ie( ) jj kk,+:=

Умови закріплення ферми: u17=u19=u20=0Відповідна редукція матриць жорсткості і вузлових сил

m 1 17..:= n 1 17..:=mr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18( ):=

KRm n, KS mr1 m, mr1 n,,( ):= MRm n, MS mr1 m, mr1 n,,( ):=

Z k( ) KR i ok⋅( )2 MR⋅+:= - матриця динамічної жорсткості

Вектор навантажень

FF k( ) 0 0 0 1− 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( )T:=

XF1 k⟨ ⟩ Z k( ) 1− FF k( )⋅:= вектори переміщень у частотній області для кожного значення k

XF XF1T

:= rows XF( ) 2.048 103×= cols XF( ) 17=

Кожен стовпець матриці XF відповідає зміні переміщень у напрямку відповідної з

сімнадцяти узагальнених координат. Застосовуючи обернене перетворення Фур'є до кожного стовпця, одержимо зміну відповідної координати у часі. Зокрема, переміщення точки прикладення імпульсу сили у напрямку її дії

X1 Re2

TTICFFT XF 1⟨ ⟩( )⋅⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

:= X2 Re2

TTICFFT XF 2⟨ ⟩( )⋅⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

:=

X3 Re2

TTICFFT XF 3⟨ ⟩( )⋅⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

:= X4 Re2

TTICFFT XF 4⟨ ⟩( )⋅⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

:=

0 20 400.02

0

0.02

0.04

X1k

0

tk0 20 4

67

00.1

0

0.1

X2k

0

tk

Програми-функції для визначення зусиль у перерізах стержнів ферми

UE k( ) Z KR i ok⋅( )2 MR⋅+←

XF Z 1− FF k( )⋅←

XF1 submatrixXF 1, 16, 1, 1,( )←

XF2 submatrixXF 17, 17, 1, 1,( )←

UFK1 stack XF1 0 i 0⋅+,( )←

UFK2 stack UFK1 XF2,( )←

UFK stack UFK2 0 i 0⋅+,( )←

UFK stack UFK 0 i 0⋅+,( )←

UEie kk, UFK miie kk,( )←

kk 1 4..∈for

ie 1 17..∈for

UE

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

:=

0 20 400.02

0.01

0

0.01

X3k

0

tk

0.1

0

0.1

0 20 40

X4k

0

tk

68

R

UE UE k( )T←

ZE K α ie( ) i ok⋅( )2 M α ie( )⋅+←

UES UE ie⟨ ⟩←

Rel ZE UES⋅←

RR T ie( ) Rel⋅←

RU ie⟨ ⟩ RR←

RU

ie 1 17..∈for

RF1 RU( )T←

RF k⟨ ⟩ RF1 1⟨ ⟩←

k 1 N..∈for

RF RF( )T←

R ie⟨ ⟩ Re2

TT⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

ICFFT RF ie⟨ ⟩( )⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

←

ie 1 17..∈for

R

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

:=

Графіки внутрішніх сил у стержнях з номерами 1,5,13,16

0 200 40020

10

0

10

Rk 1,

0

k0 500 10004

2

0

2

Rk 5,

0

k

0 500 10002

0

2

Rk 16,

0

k0 500 10001

0

1

2

Rk 13,

0

k

69

Приклад 14.2 Визначити переміщення стержня при кінематичному збудженні

4 3

L=3a

a

1 2 6

5

a 4 3 2 1

7

Ε, Ι1, m

8

a

Параметри швидкого перетворення Фур'є

N 2048:= k 1 N..:= i 1−:= T 18:= df1T

:= dtTN

:=

fk df k 1−( )⋅:= tk dt k 1−( )⋅:= ok 2 π⋅ fk⋅:= f2048 113.722= Модуль пружності матеріалу і декремент коливань

E02 106:= E12 0.2 106⋅( )( ):= E1 E02 E12 i⋅+:=

dIm E1( )Re E1( )

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

π⋅:= d 0.628= ρ 7.8 103⋅:= - густина матеріалу

A1 10 2−:= - площа (м**2) і момент інерції (м**4) поперечного перерізуI1 10 5−:=

a 1:= - довжина елемента, м ie 1 3..:= - кількість елементів m ρ A1⋅:= - погонна масаEie

E1E1E1

:= lie

aaa

:= Iie

I1 2⋅I1 1.5⋅

I1

:=

- матриця жорсткостіелементаKe ie( ) Eie

Iie

lie( )3⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

12

6 lie⋅

12−

6 lie⋅

6 lie⋅

4 lie( )2⋅

6− lie⋅

2 lie( )2⋅

12−

6− lie⋅

12

6− lie⋅

6 lie⋅

2 lie( )2⋅

6− lie⋅

4 lie( )2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅:=

- матриця мас елементаMe ie( ) m

lie210

⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

78

11 lie⋅

27

6.5− lie⋅

11 lie⋅

2 lie( )2⋅

6.5 lie⋅

1.5− lie( )2⋅

27

6.5 lie⋅

78

11− lie⋅

6.5− lie⋅

1.5− lie( )2⋅

11− lie⋅

2 lie( )2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅:=

70

- матриця індексівmi

1

3

5

2

4

6

3

5

7

4

6

8

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

Формування глобальних матриць жорсткості і мас

j 1 4..:= kk 1 4..:= K18 8, 0:= M18 8, 0:=K1miie j, miie kk,, K1miie j, miie kk,, Ke ie( ) j kk,+:=

M1miie j, miie kk,, M1miie j, miie kk,, Me ie( ) j kk,+:=

Z1 k( ) K1 i ok⋅( )2 M1⋅+:= - матриця динамічної жорсткості балки

Редукція динамічної матриці балки і формування правої частинисистеми рівнянь відносно переміщень у просторі перетворень Фур'є Z2 k( ) submatrixZ1 k( ) 3, 8, 1, 8,( ):= Z01 k( ) submatrixZ2 k( ) 1, 6, 1, 1,( ):=Z02 k( ) submatrixZ2 k( ) 1, 6, 2, 2,( ):= Z k( ) submatrixZ2 k( ) 1, 6, 3, 8,( ):= T1 0.5:= s 0

TN 1−

, T..:= F1 s( ) sin πs

T1⋅⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

:=

HH t A, B,( ) Φ t A−( ) Φ B t−( )⋅:= F t( ) F1 t( ) HH t 0, 2T1,( ):=

0 1 21

0

1

F s( )

0

s

Fk F tk( ):=

FF CFFT F( ) T⋅:=

Форма імпульсу переміщення опори

Fk Z01 k( )− FFk⋅:= - навантаження, обумовлене зміщенням опори

XF1 k⟨ ⟩ Z k( ) 1− Fk⋅:= XF XF1T

:= - зображення переміщень

Визначення переміщень за допомогою швидкого перетворення Фур'є

X11T

ICFFT XF 1⟨ ⟩( ):= X21T

ICFFT XF 2⟨ ⟩( ):=

X31T

ICFFT XF 3⟨ ⟩( ):= X41T

ICFFT XF 4⟨ ⟩( ):=

X51T

ICFFT XF 5⟨ ⟩( ):= X61T

ICFFT XF 6⟨ ⟩( ):=

71

Графіки переміщень

0 5 10 150.2

0

0.2Re X1 k( )0

tk

0 5 10 151

0

1

2

Re X2 k( )0

tk

0 5 10 151

0.5

0

0.5

Re X5k( )0

tk

0 5 10 154

2

0

2

Re X6k( )0

tk Приклад 14.3 Визначити переміщення у рамі при кінематичному

навантаженні – переміщенні опор за заданим законом

72

7

1 8

6 5 4 3

2

u u

a

h

0t

Переміщення опор рами за заданим законом і скінченно-елементна модель рами Вхідні дані:a 3:= h 2:= - габаритні розміри рами, м

Модуль пружності (Па):

Площа поперечного перерізу стержнів (м**2):

Момент інерції площі А (м**4):

E 2 10 11⋅:=

A 1 10 2−⋅:=

I 1 10 4−⋅:= Параметри для швидкого перетворення Фур'є

N 2048:= k 1 N..:= j 1−:= T 40:= df1T

:= dtTN

:=

fk df k 1−( )⋅:= tk dt k 1−( )⋅:= ok 2 π⋅ fk⋅:= f2048 51.175= Комплексний модуль пружності і декремент коливань

E02 106:= E12 0.2 106⋅( )( ):= E1 2 1011⋅:= E E02 E12 j⋅+:=

dIm E( )Re E( )

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

π⋅:= d 0.628=

Розбиваємо раму на сім скінченних елементів

Матриця координат вузлів:

Nc

0

0

1

0

h2

2

0

h

3

a3

h

4

2a3

⋅

h

5

a

h

6

a

h2

7

a

0

8

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Матриця, яка показує послідовність з"єднання елементів (топологічна матриця):

Top1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

T

:=

ke rows Top( ):= - кількість елементів ke 7=kn cols Top( ):= - кількість вузлів у кожному елементі kn 2=

73

Обчислюємо координати вузлів кожного елемента у глобальній системі координат

i 1 ke..:= jj 1 kn..:=Xnjj i, Nc1 Topi jj,( ),:= Ynjj i, Nc2 Topi jj,( ),:=

Довжини елементів li Xn2 i, Xn1 i,−( )2 Yn2 i, Yn1 i,−( )2+:= Елементи матриці направляючих косинусів

s i( )Yn2 i, Yn1 i,−

li:= c i( )

Xn2 i, Xn1 i,−

li:=

Матриця направляючих косинусів

TT i( )

c i( )

s i( )−

0

0

0

0

s i( )

c i( )

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

c i( )

s i( )−

0

0

0

0

s i( )

c i( )

0

0

0

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Формування матриці індексівmii 3 jj⋅ 2−( ), 3 Topi jj,⋅ 2−:=

mii 3 jj⋅ 1−( ), 3 Topi jj,⋅ 1−:=

mii 3 jj⋅, 3 Topi jj,⋅:= mi

1

4

7

10

13

16

19

2

5

8

11

14

17

20

3

6

9

12

15

18

21

4

7

10

13

16

19

22

5

8

11

14

17

20

23

6

9

12

15

18

21

24

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=Матриця індексів:

Матриця жорсткості елемента

Ke i( )Eli

A

0

0

A−

0

0

0

12I

li( )2⋅

6Ili

⋅

0

12−I

li( )2⋅

6Ili

⋅

0

6Ili

⋅

4 I⋅

0

6−Ili

⋅

2 I⋅

A−

0

0

A

0

0

0

12−I

li( )2⋅

6−Ili

⋅

0

12I

li( )2⋅

6−Ili

⋅

0

6Ili

⋅

2 I⋅

0

6−Ili

⋅

4 I⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅:=

74

Матриця мас елемента m A 7.85⋅ 103⋅:=

Me i( )

2103

0

0

2106

0

0

0

78

11 li⋅

0

27

6.5− li⋅

0

11 li⋅

2 li( )2⋅

0

6.5 li⋅

1.5− li( )2⋅

2106

0

0

2103

0

0

0

27

6.5 li⋅

0

78

11− li⋅

0

6.5− li⋅

1.5− li( )2⋅

0

11− li⋅

2 li( )2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

mli

210⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

Обчислення компонентів матриць жорсткості і мас елемента у глобальній системі координат

Keα i( ) TT i( )T Ke i( )⋅ TT i( )⋅:=

Meα i( ) TT i( )T Me i( )⋅ TT i( )⋅:= Побудова матриць жорсткості і мас для рами:Kmax mi( ) max mi( ), 0:= Mmax mi( ) max mi( ), 0:= kk 1 6..:= ik 1 6..:= max mi( ) 24=Kmii ik, mii kk,, Kmii ik, mii kk,, Keα i( )ik kk,+:=

Mmii ik, mii kk,, Mmii ik, mii kk,, Meα i( )ik kk,+:=

Z k( ) K j ok⋅( )2 M⋅+:= Z0 k( ) submatrixZ k( ) 4, 21, 4, 21,( ):= Z01 k( ) submatrixZ k( ) 4, 21, 1, 1,( ):=Z02 k( ) submatrixZ k( ) 4, 21, 22, 22,( ):= Z03 k( ) submatrixZ k( ) 4, 21, 3, 3,( ):=Z04 k( ) submatrixZ k( ) 4, 21, 24, 24,( ):= Побудова імпульсу навантажень

T1 0.5:= s 0T

N 1−, T..:= F1 s( ) sin π

sT1

⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

HH t A, B,( ) Φ t A−( ) Φ B t−( )⋅:= F t( ) F1 t( ) HH t 0, 2 T1⋅,( ):=

Fk F tk( ):= FF2 CFFT F( ) T⋅:= F3 t( ) F1 t( ) HH t 9 T1⋅, 11 T1⋅,( ):=

F3k F3 tk( ):= FF3 CFFT F3( ) T⋅:=

75

Форма імпульсів, діючих на ліву і праву опори рами

0 100 200 3001

0

1

Fk

0

k0 100 200 3001

0

1

F3k

0

k Fk Z01 k( )− FF2k⋅ Z02 k( ) FF3k⋅−:= - кінематичне навантаження

- розв'язок відносно зображень переміщень вузлів

XF1 k⟨ ⟩ Z0 k( ) 1− Fk⋅:= XF XF1T:=

Переміщення у часовому просторі (оберенене перетворення Фур'є

для кожної узагальненої координати)

X42T

ICFFT XF 4⟨ ⟩( ):= X52T

ICFFT XF 5⟨ ⟩( ):=

X132T

ICFFT XF 13⟨ ⟩( ):=

X142T

ICFFT XF 14⟨ ⟩( ):=

0 5 10 15 200.5

0

0.5

Re X4k( )0

t k

76

Лекція 14 МЕТОД СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ

14.1 Загальні положення

Історично першим і мабуть найбільш очевидним способом дискретизації диференціальних рівнянь є метод скінченних різниць, у якому похідні функції замінюють наближеними виразами через значення функції в окремих точках. У результаті диференційні рівняння перетворюються у систему алгебраїчних, розв’язок яких дає скінченну множину значень функції у точках заданої області (вузлах).

Для лінійних диференціальних рівнянь одержана система алгебраїчних рівнянь буде лінійною. Одержання розв’язку за допомогою ЕОМ можливе для систем дуже високого порядку (десятки тисяч), що робить МСР дуже потужним методом аналізу задач МТДТ

Розглянемо найбільш прості формули заміни похідних скінченно-різницевими виразами.

Відомо, що похідна функції )( xff = у точці визначається такими виразами:

Kx

hff

hxfhxff KKKK

hK

−=

−+=′ +

→

1

0

)()(lim , або

hff

hhxfxff KKKK

hK

1

0

)()(lim −

→

−=

−−=′ , де – приріст

аргумента

h

x . )0( >hПохідну, обчислену за першою формулою, називають правою, а по

другій – лівою. Для неперервної функції без зламів вони однакові. Якщо прийняти скінченним, прийдемо до наближених формул, що

визначають праву і ліву похідні у точці і є тангенсами нахилу відповідних січних до осі x (рисунок 15.1).

hKx

hff

hxfhxff KKKK

K−

=−+

=′ + 1)()(,

або

hff

hhxfxff KKKK

K1)()( −−

=−−

=′.

На відміну від точних похідних, наближені між собою не співпадають.

У МСР частіше використовують наближені значення похідної у точках , обчислені за центрально-різницевою формулою (півсума лівої і правої похідних, або тангенс кута нахилу січної BF до осі х).

Kx

77

С D Ff(x)

HК

А

В

1kf − kf 1kf +

x1kx − kx 1kx +

Рисунок 14.1 – Дотична AD до f(x) у точці К і січні ВС, ВF, KH

hff

hhxfhxff KKKK

K 22)()( 11 −+ −

=−−+

=′.

Наближений вираз для другої похідної одержимо замінивши у цій формулі ординати функції на відповідні центральні похідні

211 2

hffff KKK

K−+ +−

=′′.

Аналогічно записують похідні вищих порядків, зокрема, третя і четверта похідні будуть такими:

32112

222

hfffff KKKK

K−−++ −+−

=′ ′′ ,

42112 464

hffffff KKKKKIV

K−−++ +−+−

= .

Можна одержати формули для похідних, коли у точці похідна записується тільки через праві (або ліві) координати

Kx

hffff KKK

K 243 21 −+ −+−

=′,

1 22

2 5 4K K K KK

3f f f ffh

+ + +− + −′′ = ,

Записувати наближені формули для кожної з точок поділу зручно проводити за допомогою шаблонів, у яких записуються коефіцієнти при

відповідних ординатах (рисунок 14.2). Kf

78

Рисунок 14.2 – Шаблони для похідних одновимірної функції1

Для визначення похибки при заміні диференціальних операторів

скінченно-різницевими використовують розвинення функції у

ряд Тейлора в околі точки .Утримуючи відповідну кількість членів ряду, можна одержати усі наведені вище формули і знайти похибки, обумовлені відкиданням членів з похідними більш високого порядку.

)( xff =

Kx

Найвища точність має місце при використанні центрально-різницевих формул. Зменшення похибок можна досягти, збільшуючи кількість ординат, які утримуються у формулах для похідних зліва і справа

від точки ,або зменшуючи крок , однак при дуже малому похибка при виконанні комп’ютерних операцій зростає, оскільки до похибки, яка обумовлена обмеженням кількості членів у представленні функції рядом Тейлора, додається похибка округлення чисел у пам’яті ЕОМ.Таким чином, існує оптимальне значення , при якому похибка є мінімальною.

Kx h h

h

14.2 Використання МСР у одновимірних задачах Розглянемо декілька прикладів застосування МСР до розв’язання задач

МТДТ. Приклад 14.1 Побудувати криву прогинів балки на двох опорах,

навантажену згинаючими моментами.

79

Диференційне рівняння плоского згину балки має вигляд

( )M xwEI

′′ =

( EI – жорсткість на згин). Граничні умови:

0(0) 0w w= = ,

( ) 0lw l w= = . Скінченно-різницевий варіант другої похідної

1 12

2i iw w wwh

i+ −− +′′ = .

Запишемо значення другої похідної у внутрішніх точках балки 1, 2, 3, розділивши її на 4 ділянки ( 4/Lh = ).

т.1 2

2 1 012 Mw w w h

E I− + = ,

80

т.2 2

3 2 122 Mw w w h

EI− + = ,

т.3 2

4 3 232 Mw w w h

EI− + = .

граничні умови ; 0 0w = 4 0w = . З цих рівнянь одержимо значення переміщень у точках 0..4:

0 0w = , 2

132

M hwE I

= − , 2

2 2 M hwE I

= − , 3 1w w= ,

. 4 0w =Зазначимо, що прогин у точці 2 є точним. Криву прогинів можна

побудувати, скориставшись функціями інтерполяції Mathcad’у. Приклад 14.2. Побудувати криву прогинів для балки з розподіленим

навантаженням.

Диференційне рівняння прогинів запишемо у вигляді

( )IV q xwEI

= .

Скінченно-різницевий варіант четвертої похідної

2 1 141 ( 4 6 4IV

i i i i iw w w w w wh + + −= − + − + 2 )− .

Запишемо рівняння для точок 1, 2, 3

81

4

0 1 2 34 6 44aqhw w w w wEI

− + − + = ,

4

0 1 2 3 44 6 42qhw w w w wEI

− + − + = ,

4

1 2 3 434 6 44b

qhw w w w wEI

− + − + = .

Граничні умови

(0) 0w = , , ( ) 0w l = (0) 0w′′ = , ( ) 0w l′′ = . У скінченно-різницевій формі

0 0w = , 4 0w = , ,

.

0 12 0aw w w− + =

3 42 0bw w w− + =Розв’язок системи відносно основних переміщень

4

128, 56144

qlwEI

= ⋅ (точне значення EIql 4

614415,27

⋅ ),

4

24 2

6 1 4 4q lwE I

= ⋅ (точне значення EIql 4

614492,39

⋅ ),

4

331, 56144

qlwEI

= ⋅ (точне значення EIql 4

614460,29

⋅ ).

Як видно з останнього прикладу, застосування скінченно-різницевих

операторів до рівнянь з похідними високих порядків приводить до появи нових вузлів з невідомими значеннями розшукуваної функції, що збільшує кількість рівнянь, необхідних для розв’язання. Ця неприємність зростає у дво- і тривимірних задачах.

14.3 Використання МСР для розв’язання рівнянь у частинних похідних

Більшість задач МТДТ описується диференційними рівняннями у частинних похідних. Аналітичний розв’язок цих рівнянь можна знайти тільки в окремих випадках, у зв’язку з чим і використовуються чисельні методи. У багатьох випадках фізичні процеси описуються рівняннями у частинних похідних другого порядку. Так, наприклад, аналіз коливань приводить до хвильового рівняння

82

2 2 2 2

2 2 2 2 21( )u u u u

x y z c t∂ ∂ ∂ ∂

+ + − =∂ ∂ ∂ ∂

0, (14.1)

де – функція переміщень, с – швидкість розповсюдження хвилі у

даному середовищі, t – час. Оператор

( , , , )u x y z t2 2 2

2 2( )u u u2x y z

∂ ∂ ∂Δ = + +

∂ ∂ ∂називають

оператором Лапласа. Для плоских і одновимірних хвильових процесів рівняння (14.1) відповідно спрощується. Розповсюдження теплової енергії описується рівнянням теплопровідності

2 2 2

2 2 2(T T T Tc kt x y z

ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ) Q= + + =∂ ∂ ∂ ∂

, (14.2)

де ,cρ - густина і теплоємність речовини, t – температура, к - коефіцієнт теплопровідності, Q – густина джерел тепла. Для аналізу стаціонарних явищ використовують рівняння Пуассона

2 2 2

2 2 2 ( , , )u u uux y z

∂ ∂ ∂Δ = + + = −

∂ ∂ ∂f x y z (14.3)

де u (x, y, z ) - функція, яка описує статичне поле, f (x, y, z ) - розподілені джерела. Якщо f (x, y, z ) = 0, матимемо так зване рівняння Лапласа

2 2 2

2 2 2 0u u uux y z

∂ ∂ ∂Δ = + + =

∂ ∂ ∂. (14.4)

Незважаючи на відмінність процесів, які описують ці рівняння, усі вони

з математичної точки зору можуть розглядатися як частинні випадки узагальненої форми диференційного рівняння другого порядку.

Розглянемо рівняння другого порядку з двома незалежними змінними x, y:

2 2 2

2 2 0,u u uA AB C Dx x y y

∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (14.5)

де А, В, С, D – функції, які у загальному випадку залежать від , , , , .u ux y ux y

∂ ∂∂ ∂

На підставі того, що цьому рівнянню можна поставити у відповідність квадратичну форму розрізняють такі типи рівнянь: 2

1 1 2 2 0,A B Cς ς ς ς+ + =2

1) гіперболічний, якщо 2 4 0B AC− > (аналог –хвильове рівняння); 2) параболічний, якщо 2 4 0B AC− = (аналог – рівняння

теплопровідності); 3) еліптичний, якщо 2 4 0B AC− < (аналог – рівняння Пуассона і

Лапласа. Якщо величина 2 4B AC− змінює знак матимемо рівняння змішаного

типу.

83

Для знаходження потрібного розв’язку необхідно задати початкові і граничні умови. Початковими називають умови, задані у початковий момент часу. Граничні умови задаються для різних значень просторових змінних. Для еліптичних рівнянь необхідно задавати тільки граничні умови, які розділяють на три класи:

1) умови Дирихле ( , , ) ( )x y z Su tϕ∈ = – у граничних точках області S задано функцію ( )tϕ ;

2)умови Неймана ( , , )

( )x y z S

u tn

φ∈

∂=

∂ – у граничних точках задано похідну у

напрямку зовнішньої нормалі;

3) змішані умови ( , , )[ ] x y z Suau b tn

( )ψ∈∂

+ =∂

.

Для параболічного рівняння необхідно задати початкову умову 0 0( , )u x t u= . Для параболічного початкові умови можуть бути такими:

00 0

( , )( , ) , .u x tu x t u ut

∂= =

∂ 0

Для одержання розв’язку рівнянь у частинних похідних у більшості випадків застосовують чисельні методи, зокрема, метод скінченних елементів і метод скінченних різниць.

Розглянемо застосування методу скінченних різниць для рівнянь еліптичного типу.

Для плоских задач шаблони частинних похідних другого порядку зручно побудувати у вигляді двовимірних схем у відповідності з нумерацією точок сітки навколо точки, яка розглядається.

Апроксимації частинних похідних з урахуванням нумерації на рисунку 14.3 наведені нижче (нижній індекс означає відповідну похідну)

, , 1( , ) i jU x y h U ++ = , 1( , ) i jU x y h U −− = ,

,( , ) i jU x y U= 1 ,( , ) i jU x h y U −− = ,

, 1 ,( , ) i jU x h y U ++ =

)(21),( 1,1, −+ −= jijiy UUh

yxU , )(21),( ,1,1 jijix UUh

yxU −+ −= ,

1, , 1,21( , ) ( 2 )xx i j i j i jU x y U U Uh + −= − + , , 1 , , 12

1( , ) ( 2 )yy i j i j i jy U U Uh + −= − +U x

84

Рисунок 14.3 – Нумерація вузлів двовимірної моделі

Для оператора Лапласа 2 2

22

U UUx 2y

∂ ∂∇ = +

∂ ∂ , (14.6)

маємо таку апроксимаційну формулу 2

, 1 , 1 , , 1 , 121 ( 4i j i j i j i j i j i jU U U U U U

h + − + −∇ = + + + − , ) .

Точки сітки, які входять у цей вираз, зображені на шаблоні (рисунок 14.4).

Рисунок 14.4 – Шаблон для побудови сітки Рівняння у переміщеннях для плоскої задачі теорії пружності при

відсутності масових сил мають вигляд

02

12

1 2

2

2

2

2

=∂∂

∂⋅

++

∂∂

⋅−

+∂∂

yxV

yU

xU νν

,

02

12

1 2

2

2

2

2

=∂∂

∂⋅

++

∂∂

⋅−

+∂∂

yxU

xV

yV νν

. (14.7)

85

Скінченно-різницевий варіант рівнянь для точки (рисунок 14.4)

),( ii yxk

, , 1 , 1 1, 1,

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

8(3 ) 8( ) 4(1 )( )

(1 )( ) 0i j i j i j i j i j

i j i j i j i j

V V V V V

U U U U

ν ν

ν+ − − +

− − + + − + + −

− − + − − −

+ + + − − =

+

1

, 1, 1, , 1 ,

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

8(3 ) 8( ) 4(1 )( )

(1 )( ) 0i j i j i j i j i j

i j i j i j i j

U U U U U

V V V V

ν ν

ν− + + −

− − + + − + + −

− − + − − −

+ + + − − =

+

Така пара рівнянь складається для кожної точки і у тому напрямку, де не задані переміщення. (Обмежимось у даному випадку сіткою з 9-ма вузлами).

У нашому випадку це точки . При складанні рівнянь fbeckad ,,,,,,для граничних точок з’являються додаткові невідомі (рисунок 15.5). Загальна кількість невідомих, враховуючи, що у кожному вузлі по два переміщення U і , дорівнює 42 (тобто, збільшилось на 42–14=28). Недостаючі умови Vдля розв’язання системи рівнянь, яку одержимо після цієї операції, знаходять, розглядаючи граничні умови. (Кінематичні граничні умови були враховані спочатку, і нижні два вузли видалені з розгляду).

Рис. 14.5 – Врахування граничних умов Задача суттєво спрощується, якщо деякі граничні вузли будуть

закріплені. Тоді відповідні переміщення будуть нульовими, а рівняння, записані для них – зайвими.

Для незакріплених вузлів необхідно записати силові умови, тобто значення напружень. Скінченно-різницеві оператори для напружень у точці k при плоскому напруженому стані мають вигляд

86

( )

2

1, 1, , 1 , 12

1

( )(1 ) 2

KK

i j i j i j i j

E U Vxx y

E U U V Vh

σ νν

νν + − + −

⎛ ⎞∂ ∂= + =⎜ ⎟∂ ∂− ⎝ ⎠

= − +−

−

( ))(2)1(

1

,1,11,1,2

2

jijijiji

KK

UUVVh

ExU

yVEy

−+−+ −+−−

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=

νν

νν

σ

( )jijijiji

KK

VVUUh

GxV

yUG

,1,11,1,2 −+−+ −+−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=τ

(14.8)

За допомогою цих виразів записуються умови наявності або відсутності напружень у кожній граничній точці, де задані силові умови. У теорії диференціальних рівнянь задані граничні умови для функції називають умовами Дірихле, а умови, у які входять похідні розшукуваних функцій, – умовами Неймана. Істотно, можуть бути і змішані граничні умови.

У даному випадку для вузлів і необхідно записати умови рівності нулю напружень

a cxσ і τ ; для точки :d 0=yσ і 0=τ ; для точки : b

qy =σ , 0=τ ; для точок і :f e 0x yσ σ τ= = = ; для точок і hg : рівність 0=τ .

Таким чином, загальна кількість рівнянь складає 14 для внутрішніх точок і 28 для граничних. Маємо 42 рівняння з 42 невідомими.

У реальних задачах відносна кількість граничних додаткових точок зменшується, але проблема збільшення невідомих при наявності граничних умов Неймана залишається. Врахувати умови закріплення можна видаливши відповідні нульовому переміщенню рядок і стовпець з матриці коефіцієнтів, а також нульове переміщення з стовпця невідомих, або взагалі не складаючи рівняння для вузла, де переміщення дорівнює нулю. Зазначимо, що найбільш широке застосування МСР знайшов при розв’язанні двовимірних задач теплопровідності, гідро і аеродинаміки, фільтрації. У МТДТ, де основні труднощі виникають при розрахунках об’ємних задач, використовується переважно інший метод дискретизації – метод скінченних елементів.

Приклад 14.3 Визначити дотичні напруження у поперечному перерізі

призматичного стержня при крученні. Поперечний переріз має форму квадрата зі сторонами a= b= 4 см.

87

Розподілення дотичних напружень при крученні стержня довільного перерізу описується рівнянням Пуассона

2 2

2 2 2 0Gy zϕ ϕ θ∂ ∂ ,+ + =

∂ ∂

де G – модуль зсуву;

xMGJρ

θ = – відносний кут закручування стержня;

ϕ – функція напружень; xM – момент кручення у перерізі;

Jρ – полярний момент інерції поперечного перерізу. Дотичні напруження у перерізі визначаються через функцію напружень

.xy xzz yϕ ϕτ τ∂ ∂

= =∂ ∂

Побудуємо сітку у поперечному перерізі з кроком h=a/6 і пронумеруємо точки перетину прямих. Як видно, усього точок 49.

Рисунок 14.6 – Скінченно-різницева схема

Враховуючи симетрію площі перерізу відносно чотирьох осей, можна

розглянути лише частину перерізу. Крім того, враховуємо, що у граничних точках функція напружень дорівнює нулю. Накладаємо шаблон (рисунок 15.6) на кожну з точок 1,2,3,4,5,6, одержимо шість рівнянь з шістьма невідомими відносно значень функції напружень у цих вузлах. Врахувавши рівність відповідних значень у симетричних вузлах, одержимо систему рівнянь

88

1

2

3

4

5

6

4 2 0 0 0 0 0.8891 4 1 1 0 0 0.8890 2 4 0 1 0 0.8890 2 0 4 2 0 0.8890 0 1 2 4 1 0.8890 0 0 0 4 4 0.889

ϕϕϕϕϕϕ

− ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−

⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Розв’язок системи

[ ]0.846 1.248 1.368 1.889 2.087 2.309 Tϕ =

З урахуванням симетрії можна записати матрицю ординат функції ϕ у точках перерізу. j 1 7..:= i 1 7..:=

Φ 1

0

0

0

0

0

0

0

0

0.846

1.248

1.368

1.248

0.846

0

0

1.248

1.889

2.087

1.889

1.248

0

0

1.368

2.087

2.309

2.087

1.368

0

0

1.248

1.889

2.087

1.889

1.248

0

0

0.846

1.248

1.368

1.248

0.846

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

:=

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Побудуємо просторовий графік функції напружень засобами системи Mathcad і визначимо дотичні напруження у перерізі. Якщо скористатись знайденими значеннями функціїϕ , і записати скінченно-різницеві аналоги формул для напружень ,xy xzτ τ , як це показано вище, можна одержати наближені значення напружень, але точність іх буде невисокою, у зв‘язку з тим, що густина побудованої сітки невелика. Інший спосіб – скористатись формулами інтерполяції системи Mathcad, як це зроблено нижче.

A 7:= i 1 A..:= j 1 A..:= XYi 1, i:=

XYj 2, j:=

Φ Φ z y,( ) interp pspline XY Φ 1,( ) XY, Φ 1,z

y⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

,⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

:=

Φ 2 CreateMesh Φ Φ 1, A, 1, A,( ):=

89

Рисунок 14.7 – Поверхня функції ϕ до інтерполяції і після інтерполяції Φ 1 Φ 2

Φ 1

Φ 2

Рисунок 14.8 – Контурні графіки функції напружень до і після інтерполяції.

Визначимо напруження у перерізі за формулами .xy xzz yϕ ϕτ τ∂ ∂

= =∂ ∂

τxz z y,( )

yΦ Φ z y,( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−:= τxy z y,( )z

Φ Φ z y,( )dd

:=

τ1 z y,( ) τxy z y,( )2

τxz z y,( )2

+:=

Відповідні графіки побудовано нижче

τ2 CreateMesh τ1 1, A, 1, A,( ):=

90

τ2

Рисунок 14.9 – Сумарні дотичні напруження n 14:= m 14:= i 1 n..:= j 1 m..:= zi 0.5 i yj 0.5 j⋅:= ⋅:=

T1i j, τxz zi yj,( ):= T2i j, τxy zi yj,( ):=

T1 T2,( )

Рисунок 14.10 – Векторне поле дотичних напружень

91

Побудова дискретних рівнянь на основі рівнянь гіперболічного типу виконується аналогічно рівнянням еліптичного типу. Розглянемо послідовність розв’язку на прикладі поздовжніх коливань стержня, закріпленого на кінцях. Відповідне рівняння має вигляд

2 2

2 2 21 0,u u

x a t∂ ∂

− =∂ ∂

(14.9)

де ; ,Ea E ρρ

= – модуль пружності і густина матеріалу.

Скінченно-різницеву модель одержимо заміною похідних відповідними різницевими операторами. Використовується сітка у координатах x, t.

, 1 , , 1 1, , 1,22

2 2i j i j i j i j i j i ju u u u u ua

t x+ − +− + − +

=Δ Δ 2

− , (14.10)

або 2 2

, 1 , 1, 1, , 12(1 ) ( )i j i j i j i j i ju u u u uβ β+ + −= − + + − /a t x− , ( Δ Δ ). (14.11) β = Як видно з одержаних рівнянь, форма шаблона, за яким будуються рівняння подібна формі шаблону для рівнянь еліптичного типу. Аналогічно попередній задачі запишемо рівняння (14.10) для кожного вузла сітки, підставляючи відповідні вузлові номери, і одержимо систему алгебраїчних рівнянь для визначення переміщень у вузлах сітки. При жорсткому закріпленні кінців стержня маємо такі граничні умови:

(0, ) 0, ( , ) 0u t u L t= = (x = 0 , x = L– кінець стержня). Початкові умови задають при t = 0 форму коливань стержня: і початкову 0( ,0) ( )u x f x=

швидкість 0 00

( ) .tt

u v x vt =

=

∂= =

∂

Спочатку визначимо переміщення стержня у моменти часу 0t = і 0t t= + Δ . Для 0 переміщення відоме t = ,0 0( ,0) ( )iu u x f x= = . Для наступного

моменту 0 переміщення визначимо за допомогою другої t = + Δt ,1iuпочаткової умови

,1 ,00 0 ,1 ,0 0; ;i i

i i

u uu v v u u v tt t

−∂= = = + Δ

∂ Δ.

Тепер можна визначити , 1 ,2i j iu u+ = у момент часу з рівняння 2t = Δt(14.11). Далі, послідовно збільшуючи j , обчислюємо переміщення у наступні моменти часу. Таким чином черговий крок у часі (j+1)базується на двох попередніх j і j – 1. Можна показати, що одержаний розв’язок збігається до точного при 0tΔ → і 0xΔ → , якщо /a t x 1β = Δ Δ < . При 1β > метод становиться нестійким. Найкраща точність досягається при 1β = .

Приклад 14.4 Побудувати переміщення точок стержня у залежності від часу при заданих початкових переміщенню і швидкості.

Задамо вхідні дані: довжина стержня 0.05L = м, модуль пружності матеріалу 112 10E = ⋅ Н/м**2, густина матеріалу 38 10ρ = ⋅ кг/м**3. Приймемо

92

крок сітки по координаті x 31050

L LxNi

−Δ = = = м ( – кількість кроків по x) і Ni

крок у часі 7(2 / )0.01 2 10t L EρΔ = = ⋅ c . Початкова форма переміщення

,0 sin( )iiu ANπ , початкова швидкість дорівнює нулю. 0v=

Відповідну програму розрахунку і результати наведено нижче.

93

Рисунок 14.11 – Графік зміни форми коливань стержня у часі Розглянемо далі рівняння параболічного типу на прикладі процесу

теплопередачі по однорідному стержню довжиною L, вісь якого співпадає з віссю x. Нехай у початковому стані стержень має температуру . Потім, починаючи з моменту часу t = 0 температура на правому кінці зростає миттєво до , а на лівому кінці залишається початковою. Теплопередачею на бокових поверхнях стержня нехтуємо. При відсутності у стержні джерел тепла (Q = 0) диференційне рівняння матиме вигляд

0T T=

LT T=

22

2 (0 , 0 ),kT Ta x L t t at x

kCρ

∂ ∂= ≤ ≤ ≤ ≤ =

∂ ∂, (14.12)

( к – коефіцієнт теплопровідності, ρ – густина, С –теплоємність матеріалу.

Різницева формула для другої похідної 2

1, , 1,2 2

( , ) 2i j i j i j i jT x t T T Tx t

+ −∂ −=

∂ Δ+

.

Для заміни похідної Tt

∂∂

можна вибрати одну з наступних формул:

, 1 , , , 1( , ) ( , ),i j i j i j i ji i i iT T T TT x t T x tt t t t

+ .−− −∂ ∂= =

∂ Δ ∂ Δ (14.13)

Початкові і граничні умови у скінченно-різницевій формі 0, ,

,0

( ), ( ) ( 1,..., ),

( ) ( 1,..., ).j n j

i

T t T t j

T f x i n

kϕ ψ= = =

= =

Система скінченно-різницевих рівнянь при використанні першої з формул (14.13) матиме вигляд

, 1 , 1, , 1,2 ,i j i j i j i j i jT T T T Tk

t C xρ+ +− −

=Δ Δ

−+

або

94

2, 1 1, , 1,(1 2 ) , ( ( / )( / ).i j i j i j i jT T T T k C t xβ β β β ρ+ + −= + − + = Δ Δ (14.14)

Одержані рівняння відповідають явній схемі розрахунку. Відповідний шаблон для побудови системи рівнянь наведено на рисунку (14.12). Як видно температура у кожному значенні j явно обчислюється за відомими трьома значеннями на попередньому рівні.

Рисунок 14.12 – Шаблон для явної схеми

Зазначимо, що для забезпечення стійкості розв’язку коефіцієнт β не повинен перевищувати 0.5.

Приклад 14.5 Побудувати графік розподілення температури у стержні

при заданих значеннях температури на торцях у залежності від часу. Програма і результати розв’язання задачі наведені нижче.

Вхідні дані: Довжина стержня L=5м , проміжок часу t=3c, коефіцієнт температуропровідності а=0.4, N, K – кількість поділок просторової і часової координат, ,h Δ – кроки по координатах x і t відповідно, початкова температура стержня – 1( )xφ , температура на торцях T0(t) , TL(t).

(i-1,j)

i,j+1

i+1,j

i,j

95

Рисунок 14.14 – Розподілення температури у стержні

Розглянемо варіант розв’язання попередньої задачі з використанням так званої неявної схеми. На відміну від явної, яка використовувалася вище, явна виявляється абсолютно стійкою і, хоча приводить до більш громіздких рівнянь, дозволяє збільшити розмір кроку сітки.

Скористаємося для апроксимації похідної Tt

∂∂

другим виразом (14.13).

Система рівнянь для визначення температури у вузлах сітки матиме вигляд.

96

1, , 1, , 1(1 2 )

1,2,..., , 1,2,...,i j i j i j i jT T T

i N j K

Tβ β β+ − −+ + + = −

= = (14.15)

Граничні і початкові умови 2 2

0, , ,0, , , /j j n j j i iT T T a tϕ ψ φ β= = = = Δ Δ .x (14.15) Шаблон для неявної схеми, за яким будуються рівняння (14.15),

наведено на рисунку 14.16. У цьому випадку для визначення температури T ,i j

для кожного значення j (у заданий момент часу) необхідно розв’язати систему рівнянь для внутрішніх точок кожного шару j , які можна одержати з (14.15) при . 1,..., 1i N= −

(i-1,j) i+1,j

i,j

i,j-1

Рисунок 14.15 – Шаблон для неявної схеми

Для розв’язання цих систем рівнянь для кожного значення j використовують ітераційні методи, зокрема, метод Зайделя.

97

Лекція 15 МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ ДЛЯ ДИСКРЕТИЗОВАНИХ

МОДЕЛЕЙ КОНСТРУКЦІЙ

Як наголошувалося у першій лекції, у результаті дискретизації континуальних операторів у задачах механіки деформівного твердого тіла приходять до систем алгебраїчних рівнянь, лінійних або нелінійних. У задачах динаміки, як правило, обмежуються дискретизацією у просторових координатах, тоді маємо системи диференційних рівнянь другого порядку у часовому просторі. Таким чином останнім етапом використання чисельних методів є розв’язання систем алгебраїчних рівнянь або систем диференційних рівнянь другого порядку у повних похідних. Деякі методи розв’язання цих рівнянь розглядались у прикладах до попередніх лекцій. При цьому, як правило, використовувалися функції і оператори системи Mathcad.

У цій лекції у загальних рисах розглядаються сучасні методи аналізу вказаних рівнянь. Наведені відомості мають ознайомчий характер і не призначені для побудови відповідних програм. При необхідності розв’язання рівнянь доцільно скористатися програмами, розміщеними у відповідних бібліотеках або математичних пакетах, а повні теоретичні відомості можна знайти у відповідних розділах обчислювальної математики.

15.1Лінійні алгебраїчні рівняння Рівняння

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

... ,... ,

... ,

n

n

n n nn

a x a x a ba x a x a b

a x a x a b

+ + + =

+ + + =

⋅ ⋅+ + + = n

(15.1)

називають системою лінійних рівнянь (СЛАР) ( ix – невідомі, - коефіцієнти при невідомих, – задані коефіцієнти).

ija

ib Систему (15.1) можна записати у матричному вигляді , (15.2) Ax = b де x – вектор невідомих, – матриця коефіцієнтів при невідомих, – вектор вільних членів системи. Якщо усі

A b=b 0 , система приймає вигляд

(15.3) Ax = 0і називається однорідною. Розв’язком системи (15.1) називають множину усіх частинних розв’язків, при підстановці яких у рівняння (15.1) система рівнянь перетворюється на тотожність. Систему (15.1) називають сумісною, якщо вона має розв’язок і несумісною, якщо розв’язку немає. Єдиний розв’язок мають системи з квадратною матрицею A , для яких визначник матриці . det 0≠A

98

Якщо , розв’язок суттєво залежить від невеликих відхилень коефіцієнтів матриці А. Такі системи (або матриці А) називають погано обумовленими.

det 0=A

Існуючі методи розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невиродженою матрицею можна поділити на прямі і ітераційні. За допомогою прямих методів можна знайти точні розв’язки за певну кількість арифметичних операцій. У ітераційних методах розв’язок знаходиться у результаті повторного проведення операцій (ітерацій), які наближають розв’язок до точного. Необхідна кількість ітерацій залежить від властивостей системи, заданої точності і попередньо є невідомою. Для рівнянь невеликих порядків (n=1000) ( n – кількість невідомих) з заповненими матрицями (мало нульових компонент) частіше використовують прямі методи; - при n > 1000, як правило – ітераційні.

Класичним методом розв’язання СЛАР є метод Крамера, згідно з яким розв’язок знаходиться у вигляді det / det , ( 1,2,..., ),i ix i n= =A A де det iA – визначник матриці А, у якій і-й стовпець замінено правою частиною СЛАР. Суттєвим недоліком методу Крамера є катастрофічне збільшення операцій при збільшенні порядку матриці А, що пов’язано з труднощами обчислення відповідних визначників матриць А і А (і =1,… n). Практично уже при

кількість обчислень недоступна для сучасних комп’ютерів. 50n > Більшість прямих ефективних методів розв’язання систем алгебраїчних рівнянь використовують варіанти алгоритму Гауса. Метод Гауса полягає у приведенні матриці А спочатку до верхньої трикутної форми (прямий хід), а потім до одиничної ( ) (обернений хід), пясля чого СЛАР приймає вигляд E . ⇒Ex = b x = b Для цього віднімемо від другого рівняння перше помножене на таке число, щоб коефіцієнт при 21x у другому рівнянні став нульовим. Таку ж операцію віднімання першого рівняння з відповідним коефіцієнтом від третього, четвертого і т.д. проводимо з іншими рівняннями. У результаті усі коефіцієнти першого стовпця окрім стануть нульовими. Після цього проводимо операцію віднімання 2-го рівняння від 3, 4, ... і одержимо нульові значення компонент другого стовпця, які лежать нижче головної діагоналі. Продовжуючи ці операції з іншими рівняннями, дійдемо до останього, у якому залишиться один доданок з невідомим

11a

nx , тобто матриця коефіцієнтів стане трикутною. При зворотньому ході з останнього рівняння

визначаємо ija

nx , після чого з передостанньою 1nx − (з урахуванням знайденого nx ) і т.д.

Більшість методів розв’язання систем алгебраїчних рівнянь базується на розкладенні матриці К на добуток матриць спеціального виду (факторизації). Як правило після факторизації матриця К спрощується. При комп'ютерній реалізації методу Гауса матрицю коефіцієнтів записують у вигляді добутку матриць , TK = LDL

99

– нижня трикутна матриця з одиничними елементами на головній діагоналі; D – діагональна матриця; Т – знак транспонування. Алгоритм і програму визначення компонент матриць i D можна знайти у [3].

L

L Окрім розкладення використовують і інші, зокрема, у методі Холецького [3] матрицю К одержують у вигляді добутку нижньої та верхньої трикутних матриць

TK = LDL

K = LLx . Розкладення буде єдиним, якщо діагональні члени однієї з матриць вибрати довільно (наприклад, одиниці). Після цього з системи

LLx = F знаходять C = Lx з рівняння , а потім з рівняння невідомий вектор х. Таким чином, основною задачею є знаходження прямокутних матриць

LC = F LX = C

L,L . Розкладення за Холецьким виявляється більш трудомістським ніж розкладення . Якщо матриця К є квадратною і симетричною, розкладення на трикутні матриці спрощується .

TK = LDLTK = LL

Найбільш ефективним вважають так звані ортогональні розкладення ( ). Матрицю називають ортогональною яку (E – одинична матриця). Ці розкладення використовують для СЛАР з довільною матрицею (тобто і з прямокутною, як недоозначеною (кількість рівнянь менше кількості невідомих), так і з переозначеною).

,QR SVD T =Q Q E

У методі QR послідовність розв’язання системи рівнянь буде такою: .⇒ ⇒ ⇒ ⇒K QR (QRX = F) (Qy = F Rx = y)

Розв’язання системи зводиться до розв’язку двох простіших систем: Qy = F, Rx = y . Матриця коефіцієнтів першої – ортогональна, а другої – трикутна. Оскільки для ортогональної матриці то розв’язок рівняння

1T −=Q QQy = F спрощується Ty = Q F . Складність методу полягає у

визначенні ортогональної матриці Q . Метод ортогоналізації матриці К використовується і безпосередньо. Якщо знайти ортогональну матрицю Q і провести рівняння до виду

, то вектор x знаходиться безпосередньо за формулою . Kx = F

Qx = F Tx = Q F При використанні методу скінченних елементів матриця К часто має вид ланцюгової матриці ( при правильній нумерації вузлових невідомих), зокрема тридіагональної.

1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

0 0 ... 0 0 00 ... 0 0 0

0 ... 0 0 0* .

0 0 0 0 ...0 0 0 0 ... .

n n n n n

n n n n

c d x fb c d x f

b c d x f

b c d x fc d x f

− − − − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

100

Цю систему можна записати у вигляді різницевого рівняння другого порядку

1 1i i i i i i ib x c x d x f− ++ + = , 1( 1,2,..., ; 0, 0).ni n b d= = = Для розв’язання цього рівняння використовується метод прогонки. Розв’язок розшукується у вигляді

1i i ix x iδ λ+= + . Після підстановки значення ix у різницеве рівняння, одержимо

1 1 1i i i i i i i i i ib x b c x d x fδ λ− − ++ + + = ,

звідки 1 1

1 1

i i i i ii

i i i i i i

d x f bxc b c b

λδ δ+ −

− −

− −= +

+ +.

Таким чином для коефіцієнтів iδ і iλ повинні виконуватися співвідношення

1

1 1

, .i i ii i

i i i i i i

d f bc b c b

iλδ λδ δ

−

− −

− −= =

+ +

Обчислення коефіцієнтів за цією формулою починається з 1 1

1 1 11 1

, ,d r bc c

δ λ= − = = 0 і продовжується для і = 1,2, ... , n. Для і = n i =0,

одержимо 1

1

.n n nn n

n n n

f bxc b

λλδ

−

−

−= =

+

Далі знаходять значення ix при і = n-1, n -2; ... , 1.

Розглянуті вище методи називають прямими. Прямими методами розв’язання СЛАР визначають точні розв’язки, однак із-за похибок обчислення точне значення, як правило, не досягається, і часто розбіжність одержаного значення з точним виявляється невідомою. В ітераційних методах реалізують процес послідовних наближень до точного значення, і у випадку збіжності методу можна досягнути необхідної точності. Похибка при цьому пов’язана зі скінченною кількістю ітерацій. Розглянемо два характерних інтераційних методи. Метод простої ітерації. Система Ах = F приводиться до еквівалентної системи . Розв’язок цієї системи знаходиться як результат обчислення послідовності векторів . Значення задається на початку розрахунку. Достатня умова збіжності методу простої ітерації визначається умовою

x = ax + b1 , ( 1,2,...)k ka k+ = + =x x b

0x1a < . Практично розрахунок

припиняють якщо виконується умова 1( k k ε−− <x x , де ε – задана точність обчислень.

Метод Зайделя. Ітераційний процес для системи виконується за формулою

x = ax + b

101

11 1

1 1, 1,2,...,

i nk k ki ij j ij j i

j j i,x a x a x b i n

−+ +

= = +

= + + =∑ ∑

aбо для системи за формулою Ax = F1

1 1

1 1

i nk k

ij i i ij j ij ij j i

a x b a x a x−

+ +

= = +

= − −∑ ∑ k .

Метод Зайделя збігається, якщо матриця А є додатньо визначеною і симетричною. Ітераційний процес записують і у більш загальній формі, враховуючи у виразі для 1k

ix + значення kix .

11 1

1 1(1 ) [ ].

i nk k k

ij i i ij i ij j ij jj j i

a x b a x a x a xω ω ω−

+ +

= = +

= + − − +∑ ∑ k

Ітераційний процес при 1ω > називають методом верхньої релаксації, при 1ω = методом повної релаксації і при 1ω < – методом нижньої релаксації.

15. 2 Розв’язання систем нелінійних рівнянь

Системи нелінійних при використанні методів апроксимації, зокрема МСЕ З’являються у задачах з геометричною і фізичною нелінійностями. У цих випадках компоненти матриці жорсткості залежать від вектора розшукуваних переміщень. Для одержання розв’язку у цьому випадку також можна використати метод простої ітерації. Якщо записати систему у загальному випадку як матричне рівняння

f(x) = 0 , де ( , ,..., )Tx x x=x – вектор-стовпець невідомих; – вектор-стовпець функцій.

1 2[ ( ), ( ),..., ( )]Tnf f f=f(x) x x x

Систему можна привести до еквівалентної x =Φ(x) ,

де , або 1 2[ ( ), ( ),..., ( )]Tn= Φ Φ ΦΦ(x) x x x

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

( , ,..., ),( , ,..., ),

.................................( , ,..., ).

n

n

n n n

x x x xx x x x

x x x x

= Φ

= Φ

= Φ

Після цього задають початкове наближення і реалізують ітераційний процес тобто

(0) (0) (0) (0)1 2[ , ,..., ],nx x x=x

( 1) ( ) , 0,1,2,..k k k+ = =x Φ(x ) .,

102

( 1) ( ) ( ) ( )1 1 1 2( 1) ( ) ( ) ( )2 2 1 2

( 1) ( ) ( ) ( )1 2

[ , ,..., ]

[ , ,..., ].............................................

[ , ,..., ].

k k kn

k k kn

k k kn n n

x x x x

x x x x

x x x x

+

+

+

= Φ

= Φ

= Φ

,

,

k

k

k

Умова збіжності процесу формулюється так: 1<Φ(x) . Метод Ньютона. Метод Ньютона і його варіанти використовуються

для розв’язання рівнянь дуже часто. Розглянемо спочатку застосування методу для рівнянь з одним невідомим.Для початку пошуку необхідно задати початкову точку 0x , розміщену біля кореня, який розшукується. Розкладемо ( )f x у ряд точці 0x і обмежимось першими двома членами

0 0 0( ) ( ) ( )( ) ...f x f x f x x x′= + − + . Оскільки x – корінь рівняння ( ) 0f x = , то прирівнюючи нулю праву частину цього розкладення нулю,одержимо

0 0 0( ) ( )( ) 0f x f x x x′+ − = , звідки

00

0

( ) .( )

f xx xf x

= −′

Таким чином, якщо відомо наближене значення кореня 0x , то одержана формула дозволяє його уточнити. Таке уточнення можна проводити декілька разів до досягнення необхідної точності. Ітераційна формула має вигляд

1( ) .( )

kk k

k

f xx xf x+ = −′

(15.4)

Умова завершення процесу 1k kx x ε+ − < деε – задана точність. У такому вигляді метод Ньютона носить назву методу дотичних, оскільки обмежуючись двома членами ряду ми фактично замінюємо прямою, дотичною до кривої f(x)у точці 0x .

Приклад 15.1 Знайти корені нелінійного рівняння для полінома четвертого порядку у заданому діапазоні зміни аргумента x.

Приклад реалізації методу Ньютона засобами системи Mathcad наведено нижче.

Як видно, значення знайдених коренів залежать від початкового наближення, у зв’язку з чим доцільно спочатку провести аналіз поведінки функції на заданому відрізку, що можна зробити побудувавши графік.

103

Для полегшення обчислення похідної можна використати наближене її

значення, скориставшись формулою,

xxfxxfxf

Δ−Δ+

=′ )()()( ,

де xΔ – мала величина, наприклад x εΔ = . Модифікації методу Ньютона використовують квадратичне наближення функції f(x). Розглянемо використання методу Ньютона у випадку функції декількох змінних.

Відповідна система рівнянь у матричному вигляді F(x)=0,

де [ ] [ ]1 2 n 1 2 n( ), ( ), ..., ( ) , , x , ..., xT TF F F x= =F(x) x x x x .

104

Згідно з (15.4), ітераційну формулу для знаходження кореня (у даному випадку це вектор х) запишемо у вигляді

1 , k 0, 1, 2, ...,k

k kk

+ = − =F(x )x xW(x )

(15.5)

де - попереднє, - наступне значення кореня, W(x) – матриця Якобі (аналог похідної для функції однієї змінної)

kx 1k+x

1 1

1 2

2 2

1 2

1 2

...

...)

... ... ... ...

...

n

n

n n

n

F F F1

2

n

x x xF F Fx x

F F F

x

x x x

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢′ ∂ ∂ ∂= = ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

W(x F (x) ⎥⎥

)k

. (15.6)

Враховуючи, що у даному випадку матриця, формулу (15.5) необхідно записати у вигляді

′F (x)

1 1( ) (k k+ −′= −x x F (x) F x . (15.7) Покажемо процес використання методу ньютона для розв’язання

системи трьох нелінійних рівнянь

f1 x1 x2, x3,( ) x12 x22+ x32+ 1−:= f2 x1 x2, x3,( ) 2 x12⋅ x22+ 4 x3⋅−:=

f3 x1 x2, x3,( ) 3 x12⋅ 4 x2⋅− x32+:= Ітераційний процес реалізується заcобами Mathcad за формулою (1.57)

105

Точний розв’язок, який відповідає початковому наближенню, одержано

після п’яти кроків. Для реалізації ітераційного процесу необхідно обчислювати обернену

матрицю на кожному кроці ітерації, що суттєво ускладнює розрахунок. Якщо виявиться, що визначник матриці ( ) дорівнює нулю (матриця сингулярна), необхідно вибирати інше початкове наближення.

1( )k −′F xk′F x

Щоб уникнути операції знаходження оберненої матриці ( k )′F x , матричне рівняння (15.7) записують у вигляді системи рівнянь

1 )

( )) )

n n n

n n n

n n

+

′= −

′=

A(x )x = b(x

b x F (x )x F(x )A(x F (x

n , (15.8)

Ітераційний процес полягає у багаторазовому розв’язанні лінійної системи рівнянь (15.8), починаючи з заданого наближення . Процес закінчується, якщо виконується нерівність

0x1k k ε+ − <x x (нагадаємо, що x

– норма матриці x). Для зменшення кількості операцій обчислення матриці Якобі її

обчислюють через задану кількість ітерацій.

106

У більшості випадків для обчислення матриці Якобі використовується скінченно-різницеве наближення

( 1) ( )( ) ( ) ( )i i i

n nj j j

F F Fx x x+

∂ + −=

∂ −x x Δ x

.

Загальний недолік розглянутих вище методів розв’язання задач для нелінійних рівнянь – суттєва залежність від вибору початкового наближення. Щоб уникнути цього доцільно використати для знаходження коренів методи теорії нелінійного програмування (методи оптимізації), зокрема градієнтні методи. Дамо визначення градієнта функції. Градієнт функції f(x)є вектор, прикладений у точці x, направлений по нормалі до поверхні, яку описує функція f (x) ( вважаємо, що f (x) - функція декількох змінних. При одній змінній це буде крива), у напрямку зростання функції і маючий довжину

fn

∂∂

.

1 21 2

... nn

f f ff fx x x

∂ ∂ ∂≡ ∇ = + + +

∂ ∂ ∂grad e e e , (15.9)

( - координатні орти). ieУ матричному вигляді

1 2

...T

n

f ff fx x x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

grad . (15.10)

Розглянемо для прикладу систему з двох рівнянь . ⎩⎨⎧

==

0y) ,(0y) ,(

xgxf

Побудуємо нову функцію . 2 2( , y) (x, y) (x, y)x f gΦ = +Оскільки функція ( , )x yΦ ) невід’ємна, то знайдеться точка * *( , )x y , така, що

)R y) ((x, ,0)y ,(xy) ,( 2** ∈≥Φ≥Φ x .

Таким чином, якщо знайти точку * *( , )x y , яка мінімізує функцію ( , )x yΦ , і якщо при цьому виявиться, що * *( , ) 0x yΦ = то ця точка є

розв’язком системи ( , ) 0, ( , ) 0,f x y g x y= =

оскільки

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒=Φ

0)y ,(

0)y ,( 0)y ,(

**

****

xg

xfx .

Послідовність точок * *( , )x y знаходять за формулою, аналогічною формулі Ньютона

)y ,( k1

kk

kkxf

yx

yx

∇λ−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

.

107

Множник kλ можна знайти з умови, щоб функція 1 1( ,k k )x y+ +Φ мала найменше значення тобто була точною умовного мінімуму. Для цього продиференціюємо функцію ),(-)y ,()( kk

kkkk yxx Φ∇λΦ=λΦ по kλ і

прирівняємо одержаний вираз до нуля k( ) ( ( , y )- ( , ) 0k kk

d x x yd

λ λλ

′Φ = Φ ∇Φ =

Найменший додатній корінь цього рівняння дасть значення kλ . Для обчислення параметра kλ розроблено ефективні методи, які

враховують специфіку функції ( )λΦ . Ці методи поєднують високу швидкість збіжності з нечутливістю до вибору початкової точки. До таких методів можна віднести, зокрема, метод Девідона-Флетчера-Пауелла, Левенберга – Марквардта та інші [47]). Метод Левенберга – Марквардта використовується у таких функціях системи Mathcad, як Find, Maximize і Minimize. Реалізацію алгоритму Левенберга – Марквардта у Mathcad-програмі для пошуку екстремальних значень функції показано у лекції 16.

15.3 Методи розв’язання рівнянь динаміки При використанні методів дискретизації (зокрема МСЕ) для розв’язання задач динаміки одержують матричні рівняння виду

tMq + Cq + Kq = F( ) , (15.11) де точками позначені похідні, t – час, M – матриця мас, К –матриця жорсткості, С – матриця демпфірування, F (t) – матриця зовнішніх навантажень, q – невідомі узагальнені переміщення. Рівняння (15.11) є системою лінійних диференційних рівнянь другого порядку. Принципово, розв’язок таких рівнянь можна одержати стандартними методами [3], але у зв’язку з високим порядком системи ці методи стають неефективними. Алгоритми, які використовуються для розв’язання рівнянь (15.11), розділяються на дві групи: прямого інтегрування і розкладення за власними формами [3]. При прямому інтегруванні використовується апроксимація швидкостей і прискорень скінченно-різницевими аналогами і розв’язання одержаних алгебраїчних рівнянь для окремих моментів часу. Одним з таких методів є метод центральних різниць. У цьому методі прискорення і переміщення апроксимують такими виразами:

( )

( )

21 2 ,

1 ,2

t t t t t

t t t t t

t

t

−Δ +Δ

−Δ +Δ

= − +Δ

= − +

t

Δ

q q q q

q q q (15.12)

tΔ – вибраний відрізок часу – крок інтегрування. Після підстановки (15.12) у рівняння (15.11), записане для моменту часу

t , одержимо

108

2 2 21 1 2 1 1

2 2t t t t t tt t t t t+Δ −Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

M C q F K M q M C q ,

звідки можна визначити t t+Δq – переміщення у наступний момент часу. Для початку обчислень необхідно визначити 0 t−Δq за формулою

2

0 0 2ttt−Δ

Δ= − Δ +q q q 0q .

Алгоритм методу складається з таких кроків: 1) Вибирається крок інтегрування tΔ менший критичного, щоб забезпечити збіжність процесу. 2) Обчислюється за відомими 0 0 0, ,q q q

2

0 0 2ttt−Δ

Δ= − Δ +q q q 0q .

Якщо не задано, його визначають за допомогою рівняння oq

( )( )10 0 0 0t−= − −q M F Cq Kq0 .

3) Формується матриця лівої частини рівняння (ефективна матриця мас)

21 1

2t t t= +

Δ ΔM M C .

4) Формується матриця правої частини рівняння

2 22 1 1

2t t t tt t t −Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

F F K M q M C q t

5) Знаходиться розв’язок системи рівнянь t t t t+Δ =M q F .

6) При необхідності обчислюються прискорення і швидкості для моменту часу t . 7) Перехід до п.3. Результатом розрахунку є дискретний набір векторів переміщень для заданого інтервалу часу. У конкретних реалізаціях алгоритму використовуються додаткові прийоми, які полегшують процедуру визначення переміщень, або сприяють зменшенню часу розрахунку підвищенню точності. Суттєвим обмеженням на застосування алгоритму є обмеження на величину кроку . Для одержання

достовірного результату необхідно, щоб виконувалась умова

tΔ

1

2ω

≤Δt ,

де 1ω - нижня частота коливань системи. Алгоритми, які вимагають обмеження кроку , називають умовно стійкими. tΔ До безумовно стійких відносяться методи Хаболта, Вілсона, Ньюмарка та ін. [3]. У методі Хаболта для апроксимації швидкостей і прискорень використовуються вирази

109

( )

( )ttttttttt

ttttttttt

qqqqt

q

qqqqt

q

Δ−Δ−Δ+Δ+

Δ−Δ−Δ+Δ+

−+−Δ

=

−+−Δ

=

2

22

29181161

4521

,

які є різницевими формулами екстраполяції наперед з похибкою порядку . У методі Вілсона швидкості і переміщення у момент записуються через величини у момент t такими виразами:

2( )tΔt + Δt

( )

( )

2 26 6

3 22

t t t t t t

t t t t t t

t tt

t

θ θ

θ θ

θ θθ

tθ

+ Δ − Δ

+ Δ − Δ

= − −Δ Δ

Δ= − − −

Δ

q q q

q q q q

q

q.

Реалізація алгоритму принципово не відрізняється від реалізації алгоритму центральних різниць. Коефіцієнт θ приймається θ =1,4. Безумовна стійкість методу забезпечується при 1.37θ ≥ . Метод Ньюмарка принципово не відрізняється від методу Вілсона. В ньому використовуються такі апроксимації:

( )2

1

12

t t t t t t

t t t t t t t

t

t t

δ δ

α α

+Δ +Δ

+Δ +Δ

= + − + Δ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡⎛ ⎞= + Δ + − + Δ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

q q q q

q q q q q ⎤ . (15.13)

( ,α δ – параметри, які визначають точність і стійкість процесу. При 1/ 2, 1/ 6δ α= = співвідношення (15.13) відповідають методу Вілсона при 1θ = ).

Зазначимо, що методи Вілсона, Ньюмарка, використовуються і для одержання розв’язку нелінійних рівнянь динаміки [3].

Аналіз ефективності прямих методів інтегрування, розглянутих вище, показує, що пряме інтегрування ефективне при порівняно короткому проміжку часу дії навантаження і при невеликій кількості кроків. У зв’язку з цим по можливості рівняння (15.11) приводять до такої форми, щоб матриці були діагональними. Тоді кожне з рівнянь описує рух системи по одній з форм коливань, які складають сумарне переміщення. Кожній з форм коливань відповідає одна власна частота. Сукупність форми і відповідної частоти називають модою коливань. Приведення матриць системи (15.11) до діагональної форми називають модальним аналізом. Будемо розшукувати розв’язок системи

( )tMu + Cu + Ku = F (15.14) у вигляді

( ) ( )t t=u Qq , (15.15) де Q – квадратна матриця, q (t) – вектор узагальнених переміщень. Підставляючи (15.15) в (15.14) і помноживши зліва на , одержимо TQ

( ) ( ) ( ) ( )t t tMq + Cq + Kq = F t , (15.16)

110

де TM = Q MQ , , , . TC = Q CQ TK = Q KQ TF = Q F

Метою такої заміни є зменшення ширини стрічки матриць, що полегшить розв’язок рівняння (15.16). Як правило, матрицю Q вибирають, розглядаючи рівняння (15.16) без демпфірування і знаходячи відповідні форми і частоти коливань. Для рівняння

Mu + Ku = 0 (15.17) розв’язок приймають у формі

( )0sin t tω= −u U , (15.18) де U – вектор порядку n ; t – час; – початкова фаза; 0t ω – частота коливань (рад/с ). Підставляючи (15.18) у (15.17) одержують рівняння загальної задачі власних значень для визначення U і ω .

2ωKU = MU . (15.19) Рівняння (15.17) має n – розв’язків відносно векторів частот iU iω ,

причому вектори є М – ортогональними, тобто iU1,0,

Ti j

при i jпри i j

⎧= == ⎨

= ≠⎩U MU .

Вектор називають вектором і-ї власної форми, або просто і-ю власною формою. Для конструкції кожна власна форма визначається набором вузлових переміщень, які є компонентами відповідного вектора .

iU

iUРух по заданій формі відбувається з відповідною частотою iω Позначимо , [ ]1 2, ,... n=Φ U U U ( )2 2 2

1 2, ,... ndiag 2ω ω ω=Ω , тоді рівняння (15.19) матиме вигляд

2KΦ = MΦΩ , (15.20) причому, завдяки ортогональності векторів матимемо iU

2TΦ KΦ = Ω , ,( I – одинична матриця). UΦ MΦ = IВикориставши матрицю як матрицю перетворень Q, одержимо

систему рівнянь для узагальнених переміщень, Φ

( ) ( )t t=u Φq , (15.21)

( ) ( ) ( )2 ( )Tit t t+ + =q Φ CΦq Ω q Φ RT t , (15.22)

Якщо демпфірування не враховується, окремі рівняння у системі (15.20) є незв’язаними, що дозволяє їх розглядати окремо.

( ) ( ) ( )2 Ti i i iq t q t tω+ = U R , ni ,...,2,1= (15.23)

Початкові умови ( ) 00 Ti iq = U Mu , ( ) 00 T

i iq = U Mu . Розв’язок кожного рівняння (15.23) можна знайти за допомогою інтеграла Дюамеля, який у загальному випадку обчислюється чисельним способом. Повна реакція системи складається з окремих розв’язків ,

111

( ) ( ) ( )0

1 sin sin cost

i i i i i ii

q t r t d t tiτ ω τ τ α ω β ωω

= − + +∫ , (15.22)

( ) ( )1

n

i ii

t U q=

= ∑U t (15.23)

Таким чином, для визначення реакції системи методом розкладення за

власними формами необхідно визначити власні частоти і форми коливань системи, знайти розв’язок рівнянь для кожної форми для заданого навантаження і скласти реакції по кожній формі у відповідності з (15.23) ).

Вибір між методами прямого інтегрування і розвинення за власними формами визначається ефективністю обчислень. За відсутністю демпфірування ефективнішим є розвинення за власними формами. При наявності демпфірування як правило, за винятком штучних виразів для матриці С, не можна привести до діагональної форми усі три матриці М, К, С і розвинення за власними формами становиться неможливим. Доцільність і ефективність методу розвинення за власними формами проявляється при обмеженні кількості форм, що враховуються, і ефективному врахуванні демпфірування по кожній з форм.

15.4 Поняття власного числа і власного вектора

Число λ називається власним числом матриці А (nxn), якщо існує ненульовий вектор х, задовольняючий рівнянню

λ=Ax x . (15.24) Такий вектор х називається власним вектором матриці А, відповідним

власному числу λ . Власні числа і власні вектори є важливими характеристиками лінійних

моделей. Зокрема, в електричних і механічних системах власні числа відповідають власним частотам коливань, а власні вектори характеризують їх форми.

Запишемо рівняння у вигляді ( )λ− =A I x 0 , (15.25)

де матриця ( )λA - I називається характеристичною матрицею. Система (15.25), оскільки вільні члени усіх рівнянь рівні нулю, є однорідною системою лінійних рівнянь. Така система має ненульові рішення, коли її визначник рівний нулю, тобто

det( ) 0λ− =A I . (15.26) Рівняння (15.26) називається характеристичним рівнянням матриці А,

а визначник det( )λ−A I – характеристичним визначником. В розгорнутому вигляді рівняння (А4.16) запишеться так:

112

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...0,

... ... ... ......

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

λλ

λ

−−

=

−

або 1 2

1 2 1... 0n n nn np p p pλ λ λ λ− −

−+ + + + + = (15.27) Таким чином, знаходження власних значень матриці А можна звести до

обчислення 1 2, ,..., np p p

,

і подальшому розв’язку характеристичного рівняння (15.27), яке в загальному випадку має n коренів. Причому якщо матриця А є дійсною симетричною або комплексною ермітовою, то корені многочлена (15.27) є дійсними, інакше вони комплексні. Також справедливо наступне: якщо власні значення матриці різні, то кожному власному значенню відповідає з точністю до коефіцієнта пропорційності рівно один власний вектор.

Приклад 15.1. Знайти власні значення і власні вектори задачі

( )λ− =A I x 0 де 2 1 1 1 0 01 2 1 , 0 1 01 1 2 0 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢= = ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

A I

⎦

(15.28)

Складемо характеристичне рівняння матриці ( )λ−A I : 2 1 1

1 2 11 1 2

0λ

λλ

−− =

−, або 2( 1) (4 )λ λ 0.− − = (15.29)

Таким чином власні значення матриці дорівнюють 1 2 31, 4.λ λ λ= = = Знайдемо тепер власний вектор, відповідний 1 1λ = . Підставимо це

значення у рівняння (15.28): 1

2

3

1 1 11 1 1 * 0,1 1 1

xxx

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

або 1 2 3

1 2 3

1 2 3

0,0,0.

x x xx x xx x x

+ + =+ + =

+ + =

Отримана однорідна система має нескінченну кількість рішень, які знаходяться з рівняння х1 + х2 + х3 + 0. Дві невідомі можна вибрати довільно. Поклавши знайдемо 1 21, 0,x x= = 3 1 2( )x x x 1= − + = − . Таким чином маємо власний вектор для 1 1λ = :

(1) [1,0, 1] .T= −x Вибравши для власного значення 2 1 21 0,x x 1,= = =λ знайдемо

відповідний йому власний вектор (2) [0,1, 1] .T= −x

113

Решта власних векторів матриці А, відповідні власним значенням 1 1λ λ= = , є лінійною комбінацією векторів х(1) і х(2).

Власний вектор, відповідаючий власному значенню 3 4λ = , знайдемо, підставивши 3λ в (1). Уцьому випадку маємо систему

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 02 0

2 0.

x x xx x xx x x

,,

− + + =

− + =

+ − =

Розглядаючи її третє рівняння як наслідок двох перших, отримаємо систему

1 2 3

1 2 3

2 02 0

x x xx x x

,.

− + + =

− + =

Неважко показати, що її рішення зв'язані рівністю х1 = х2= х3 = с, де с –дійсне ненульове число. Поклавши с = 1, знайдемо найпростіший відповідний 3 4λ = власний вектор

(3) [0,1, 1]T= −x .

Пошук всіх власних значень і власних векторів, як це було виконано у вищенаведеному прикладі, називають повною проблемою власних значень.

На практиці, проте, часто вимагається знайти не всі а лише деякі власні значення, наприклад, при вивченні стійкості процесів достатньо вказати межі, в яких лежать власні значення, тобто знайти їх максимальні і мінімальні величини; при вивченні резонансу вимагається знайти власні значення, близькі до відомого числа. Тому, оскільки в таких ситуаціях рішення повної проблеми власних значень недоцільно, вирішують часткову проблему власних значень, визначення одного або невеликого числа власних значень і власних векторів. Як правило, для вирішення повної і часткової проблем власних значень використовуються різні методи.

Крім звичайної виділяють також узагальнену проблему власних значень, яка полягає в обчисленні власних значень і власних векторів системи

λ=Az Bz , (15.30) в якій А і В – n х n- матриці.

Підхід, пов’язаний з пошуком коренів характеристичного рівняння, вимагає обчислення 2n – 1 визначників різних порядків. Тому були створені спеціальні методи розгортання характеристичних визначників, (А.Н Крилова, Данилевского А.М., і ін.), які отримали назву прямих методів. Проте такий підхід виявляється незадовільним, коли визначаються власні значення матриць високого порядку. Одна з причин полягає в тому, що задачі (А4.15) і (15.30) мають різну обумовленість. Причому гірше обумовлена задача (15.30), оскільки нерідко корені характеристичного многочлена високого ступеня (15.26) чутливі до похибок, які неминуче виникають при обчисленні його коефіцієнтів.

114

До початку 60-х років. прямі методи були практично повністю витиснені ітераційними, які не використовують обчислення коефіцієнтів характеристичного рівняння, а побудовані на так званих подібних перетвореннях матриць.

Матриці А і В подібні, якщо існує така невироджена матриця Р, що справедливою є рівність

1−B = P AP . (15.31) Щодо матриць А і В, зв'язаних співвідношенням (А4.21), говорять, що матрицю B одержують з матриці А шляхом подібного перетворення за допомогою матриці Р.

Подібні матриці в проблемі власних значень цікаві тим, що їх власні значення співпадають. Причому власні вектори х і у подібних матриць А і В є зв'язаними співвідношенням х = Ру. Таким чином, використовуючи подібні перетворення, можна привести початкову матрицю до більш простого виду, пошук власних значень якої порівняно простий. Так, якщо привести матрицю до трикутного виду

11 12 1

22 2

...0 ...

,... ... ... ...0 0 ...

n

n

nn

a a aa a

a

′ ′ ′⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥′⎣ ⎦

U

то враховуючи, що визначник трикутної матриці дорівнює добутку його діагональних елементів, отримаємо

11 1 22 2( )( )...( ) 0nn na a aλ λ λ′ ′ ′− − − = , тобто власні значення трикутної матриці рівні її діагональним

елементам. Існують також матриці, названі матрицями простої структури, які

можна за допомогою перетворення подібності привести до діагонального виду. До них відносяться квадратні матриці, власні значення яких попарно різні, а також дійсні симетричні матриці. Причому для останніх матриця подібності Р може бути вибрана ортогональною, тобто такою, що задовольняє умову . 1 T− =P P

Очевидно, що власні значення діагональної матриці дорівнюють її діагональним елементам.

Приведення матриць до трикутного або діагонального виду методами подібності – досить трудомістке заняття. Тому, якщо розв'язується часткова проблема власних значень, часто застосовуються методи, в яких перетворення подібності не використовуються.

Наведемо деякі властивості власних чисел і власних векторів: - кожна n х n – матриця має n власних значень (кожне власне значення

вважається стільки разів, яка його кратність); - сума всіх власних значень матриці рівна кореню з суми її діагональних

елементів (тобто її сліду);

115

- власні значення дійсної симетричної і комплексної ермітової матриць є дійсними;

- модулі власних значень симетричної матриці співпадають з її відповідними сингулярними значеннями;

- усі власні значення ортогональних і унітарних матриць по модулю дорівнюють одиниці;

- добуток власного вектора матриці на скаляр є також її власним вектором, відповідним тому ж власному значенню. Ця властивість дозволяє використовувати нормовані власні вектори (що звичайно і роблять), одержувані в результаті ділення кожного елемента вектора або на його найбільший елемент, або на суму квадратів всіх його елементів; в останньому випадку евклідова довжина кожного власного вектора буде дорівнювати одиниці;

- якщо матриці А і В подібні, то їх власні значення співпадають; - власні вектори, відповідні попарно різним власним значенням, лінійно

незалежні; - якщо власні значення n х n –матриці попарно різні, то її власні вектори

ортогональні (скалярний добуток будь-якої пари власних векторів дорівнює нулю); іншими словами, за таких умов власні вектори утворюють ортонормований базис відповідного n- вимірного простору;

- матриця є невиродженою тоді і тільки тоді, коли всі її власні значення відмінні від нуля;

- власні значення і власні вектори дозволяють записати матрицю А у вигляді

1−A = VDV , де D – діагональна матриця, складена з власних значень А; V – ортогональна матриця ( ), яка складена з власних векторів матриці А. 1T −V = V

При визначенні власних значень дійсної симетричної або комплексної ермітової матриць спочатку за допомогою перетворень подібності приводять її до трьохдіагонального вигляду. Одним з методів, виконуючих такі перетворення, є метод Хаусхолдера. Потім застосовується множення на матрицю обертань Гівенса, у результаті чого трьохдіагональна матриця перетворюється в подібну їй діагональну. Власними значеннями таких матриць є їх діагональні елементи. Докладний аналіз цих алгоритмів наведено в [3].

15.5 Розв’язання алгебраїчних рівнянь у системі Mathcad Розв’язання системи рівнянь за допомогою блоку Given-Find:

116

Використання функції lsolve () для розв’язання системи рівнянь:

Розкладення за Холецьким з подальшим розв’язком системи з трикутною матрицею прямим ходом Гауса

117

LU – розкладення з використанням прямого ходу Гауса на завершальному етапі []:

118

QR – розкладення [14]:

119

Функції визначення власних значень для задачі ( )λ− =A I q 0 :

Функції визначення власних значень для задачі ( )λ− =A B q 0 :

120

Знаходження коренів полінома за допомогою функцій root() і polyroots():

121

Лекція 16 Чисельні методи оптимізації

Розглянемо коливання квадратної пластини з закріпленими краями. Нехай прогин пластини в якийсь момент часу описується функцією

Необхідно знайти точки з максимальним прогином. Якщо розглянути графіки (рисунок 16.1), можна побачити що функція прогину має два локальних максимуми і два локальних мінімуми на квадраті 0 , 0x yπ π≤ ≤ ≤ ≤ . Для визначення точок з екстремальними значеннями необхідно використати спеціальні чисельні методи. У даному випадку локальні мінімуми і максимуми, знайдені за допомогою математичного пакета Mathcad, будуть такі:

f x y,( ) 0.02 sin x( )⋅ sin y( )⋅ 0.03 sin 2 x⋅( )⋅ sin y( )⋅−0.04 sin x( )⋅ sin 2 y⋅( )⋅ 0.08 sin 2 x⋅( )⋅ sin 2 y⋅( )⋅++

...:=

(0.8278; 2.3322)= – 0.1200 і f(2.5351; 0.6298)= – 0.0264, а локальні максимуми – (0.9241; 0.7640)=0.0998 і (2.3979; 2.2287)=0.0853. Як видно, для функції двох змінних положення екстремальних точок можна побачити на графіку. При більшій кількості невідомих задача суттєво ускладнюється і для пошуку екстремумів використовують спеціальні методи пошуку.

xn 20:= xlow 0:= xhigh π:= ylow 0:= yn 20:= yhigh π:=

F CreateMesh f xlow, xhigh, ylow, yhigh, xn, yn,( ):=

F

F

Рисунок 16.1 – Графік функції двох змінних

122

Подібні задачі визначення максимумів і мінімумів зустрічаються

завжди при проектуванні конструкцій. У більшості випадків аналітичне розв’язання таких задач є неможливим, що пов’язано або зі складністю функції, екстремум якої треба знайти, або зі складністю додаткових умов (обмежень), які накладаються на пошук екстремуму.

Введемо деякі фундаментальні положення математичного аналізу щодо властивостей функцій і пошуку їх екстремумів.

Функцією ( )f x називають правило, згідно з яким кожному значенню x поставлено у відповідність єдине значення ( )f x . Якщо для елемента множини дійсних чисел S встановлено відповідність з елементами множини усіх дійсних чисел N, тобто , таку відповідність називають скалярною функцією. Якщо S=R, матимемо всюди визначену функцію однієї змінної. Якщо S підмножина множини R, то функція f є визначеною в обмеженій області. Змінна може приймати усі дійсні значення у деякому інтервалі, а може приймати тільки дискретні значення. У першому випадку, якщо функція означена для усіх x, у цьому діапазоні, її називають неперервною, у другому – розривною.

S ⊂ R

Функцію називають монотонною, якщо виконуються умови: при 1 2 ,x x< ( ) ( )f x f x≤ –функція монотонно збільшується, 1( ) ( )2f x f x≥ – функція

монотонно зменшується. Монотонна функція не обов’язково повинна бути неперервною. Функцію називають унімодальною на відрізку тільки у тому випадку, якщо вона монотонна по обидві сторони від єдиної на відрізку точки з мінімальним значенням.

a x b≤ ≤

Функція f (x) має локальний мінімум у точці 0x , якщо в околі точки 0x для усіх x виконується нерівність 0( ) ( )f x f x< .

Функція f (x) має глобальний мінімум у точці *x , якщо для усіх x справедливою є нерівність *( ) ( )f x f x≥ .

На рисунку 16.2 побудовано функцію f (x), яка має локальний мінімум у точці 0x і глобальний мінімум у точці *x .

Рисунок 16.2 – Графік функції з екстремумами

0x *x

mx

cx

123

Класичний підхід до задачі знаходження значень 0x і *x полягає у складені рівнянь, яким вони повинні задовольняти. Як видно з рисунку 16.2, похідні у точках 0x і *x дорівнюють нулю. Таким чином 0x і *x є коренями (розв’язками) рівняння f1(x)=0. Точки mx і

cx також задовольняють цьому рівнянню. Таким чином умова f1(x)=0 є тільки необхідною, але недостатньою умовою наявності мінімуму. Очевидно, що ситуацію можна прояснити, визначивши другу похідну f11(xo). У точках мінімуму 0x і *x друга похідна є додатньою, у точці mx – від’ємною, а у точці cx вона дорівнює нулю, і ситуація тут залишається невизначеною. Цю невизначеність можна прояснити розклавши функцію у ряд Тейлора біля цієї точки ( кажуть „ в околі точки cx ”).

2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ..2! 3!c c ch hf x h f x hf x f x f x′ ′′ ′′′+ = + + + + .c (16.1)

Існує таке правило (перевірте): якщо функція f(x) і її похідні неперервні, то точка cx є точкою екстремуму (максимуму чи мінімуму) тоді і тільки тоді коли , де n –парне (n – порядок першої ненульової похідної). Якщо , то у точці

( ) 0ncf x >

( ) 0ncf x > cx буде максимум. При непарному n

матимемо точку перегину.

16.1 Одновимірні методи пошуку мінімуму

16.1.1 Методи виключення інтервалів Якщо функція не є неперервною, або не має похідних відповідного порядку, єдиними методами визначення максимуму або мінімуму є пошукові. Найпростіші з цих методів для функції однієї змінної – це методи виключення інтервалів. Пошук екстремуму (далі ”оптимуму”) проводиться поступовим виключенням інтервалів, на яких оптимуму немає. Пошук закінчується, коли інтервал, що залишається, буде достатньо малим. Пошукові методи принципово не вимагають диференційованості і неперервності функції, але використовують властивість унімодальності. Корисність цього поняття пов’язана з тим, що для унімодальної функції f(x) порівняння значень f(x) у двох різних точках інтервалу пошуку дозволяє визначити, у якому з заданих двома точками підінтервалів точка оптимуму відсутня. Нехай функція f є унімодальною на замкнутому інтервалі [a,b] (рисунок 16.3), а мінімум буде у точці *x . Розмістимо на інтервалі дві точки

1x і 2x так, щоб . Порівнюючи значення f(x1 ) і f(x2), можна зробити наступні висновки:

1 2a x x b< < <

1) Якщо 1( ) ( )2f x f x> то точка мінімуму *x не лежить на інтервалі , тобто 1[ , ]a x *

1[ , ]x x b∈ (рисунок 16.3а). ;

124

2) Якщо 1( ) ( )2f x f x< то точка *x не лежить у інтервалі 2[ , ]x b тобто *

2[ , ]x a x∈ (рисунок 16.3б). Ці очевидні висновки є наслідками монотонності унімодальної функції.

Рисунок 16.3

Таким чином, у пошуковому методі для знаходження оптимуму необхідно знайти інтервал, на якому знаходиться оптимум (мінімум), і функція на цьому інтервалі є унімодальною, і реалізувати процес зменшення інтервалу до встановленої величини, скориставшись якоюсь ефективною стратегією розділення і відкидання інтервалів. Один з варіантів реалізації першого етапу, тобто визначення інтервалу, де знаходиться точка оптимуму, може бути таким : Вибирається довільна початкова точка 0x , після чого вибираються дві точки по обидві сторони від 0x за рекурентною формулою

1 2 , 1,2,...,kk kx x k+ = = Δ = (16.2)

де – величина кроку. Знак Δ Δ вибирається при порівнянні значень 0 0 0( ), ( ), ( )f x f x f x+ Δ − Δ .

Якщо 0( )f x знаходиться між значеннями 0 0( ), (f x f x ),+ Δ − Δ тобто

0 0 0( ) ( ) (f x f x f x+ Δ ≥ ≥ − Δ ) , то згідно з припущенням про унімодальність, точка мінімуму повинна знаходитись правіше точки 0x .

Якщо 0 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x+ Δ ≤ ≤ − Δ , Δ треба взяти від’ємним. Якщо 0 0 0( ) ( ) (f x f x f x )+ Δ ≥ ≤ − Δ , точка мінімуму лежить між

( ) i ( )x x+ Δ − Δ і пошук граничних точок завершено. Якщо ж 0 0 0( ) ( ) (f x f x f x+ Δ ≤ ≥ − Δ ), то це означає, що функція f(x)

не є унімодальною. Після встановлення границь інтервалу виконується поступове зменшення інтервалу до встановленого мінімального значення. Найбільш ефективним методом пошуку мінімуму на даному інтервалі є метод золотого перерізу. У цьому методі кожна нова точка повинна ділити інтервал у такому співвідношенні (рисунок 16.4 ):

*x b 1x 2xa

125

L xx L x

=−

, звідки AC=0.61803L, BD=0.61803L.

Рисунок 16.4 Якщо ( ) ( )D ,Cf x f x< виключається інтервал СВ, якщо ( ) ( )D C ,f x f x> виключається інтервал АВ. Відрізок, який залишився, знову ділиться у вказаному співвідношенні і процедура порівняння і видалення інтервалу, де мінімум відсутній, повторюється. Програму, що реалізує метод золотого перерізу наведено нижче.

А

L-x

В x

x С

D L-x

126

16.1.2 Методи поліноміальної апроксимації

Застосування методів виключення інтервалів накладає вимогу до функції, яка досліджується, тільки щоб вона була унімодальною, тобто їх можна застосувати для розривних і дискретно означених функцій. Якщо функція є гладкою, більш ефективний метод можна одержати, використовуючи процедуру апроксимації функції поліномом. Необхідними умовами ефективної реалізації методу є унімодальність і неперервність функції. Якщо функція є унімодальною, неперервна у деякому інтервалі, і знайдено поліном, який апроксимує функцію з необхідною точністю, то мінімум можна знайти, розшукуючи координату точки екстремуму полінома, що можна зробити аналізуючи похідні полінома. Розглянемо один з варіантів методу поліноміальної апроксимації – квадратичну апроксимацію. Припускаємо, що в обмеженому інтервалі функцію можна апроксимувати квадратичним поліномом. Для цього необхідно вибрати послідовність точок і знайти значення функції у цих точках.

127

Коефіцієнти апроксимуючого полінома визначають методом інтерполяції. Стаціонарні точки функції однієї змінної визначаються прирівнюванням нулю першої похідної одержаного полінома. Оскільки функція f(x) на інтервалі є унімодальною, а апроксимуючий поліном також є унімодальною функцією, то можна вважати, що величина знайденої координати є прийнятною оцінкою положення точки справжнього оптимуму *x . Як правило, на практиці використовують тільки квадратичну і кубічну поліноміальну інтерполяцію [3]

16.1.3 Методи, які використовують похідні функції Якщо для неперервної функції виконується вимога диференційованості, то ефективність пошуку оптимуму можна суттєво підвищити. Одним із характерних методів, які використовують похідні, є метод Ньютона-Рафсона. У цьому методі припускають, що функція f(x) два рази диференційована. Тоді знаходження мінімуму або максимуму функції можна замінити визначенням кореня її похідної f1(x). Розрахунок починається з точки 1x , яку приймають як початкову оцінку кореня функції f1(x). Після цього будується лінійна апроксимація функції f1(x) у точці х1 і визначається точка, у якій ця лінійна функція перетинає вісь х (рисунок). Одержана точка приймається за наступне наближення. Якщо маємо точку kx , то лінійна функція, апроксимуюча функцію f1(x) у точці kx , записують у вигляді

( , ) ( ) ( )( )k k k kf x x f x f x x x′ ′ ′′= + − . Прирівнюючи цей вираз нулю, одержуємо (к+1)- те наближення.

1 [ ( ) / ( )]k k k k .x x f x f x+ ′ ′′= − Збіжність методу залежить від вибору початкової точки (рисунок 16.6).

16.2 Методи теорії нелінійного програмування (ТНП)

16.2.1 Загальні положення

Вектор функцію f(x), де 1 2[ , ..., ]Tnx x x=x вектор параметрів називають

скалярною функцією векторного аргументу. Вектор x належить до n-вимірного векторного простору nx R∈ . Компонентами вектора можуть бути конструктивні, фізичні параметри конструкції. Функцію f(x) називають цільовою функцією. Нею може бути вага, різні характеристики конструкції, для яких необхідно знайти максимальне або мінімальне (оптимальне) значення. Задача знаходження оптимального значення цільової функції формулюється як задача теорії нелінійного програмування:

Мінімізувати f(x), nx R∈ . при m лінійних або нелінійних обмеженнях у вигляді рівностей

( ) 0, 1,...,j j n= =h x ,

128

і (p-m ) – лінійних або нелінійних обмеженнях у вигляді нерівностей ( ) 0, 1,...,j j m p≥ = +g x

Обмеженнями можуть довільні умови, які накладаються на параметри вектора x. Якщо можливо розв’язати обмеження типу рівностей відносно якогось з елементів вектора x, цей елемент виключається і розмірність задачі зменшується. У кожній точці n-вимірного простору змінних функція f(x) має відповідне значення. Таким чином цей n-вимірний простір є скалярним полем для критерію оптимальності (цільової функції). За допомогою ліній рівня можна побудувати сімейство так званих еквіпотенціальних поверхонь (поверхонь рівня) для вибраних значень функції f(x) у випадку, коли х має два елементи (двовимірна функція f(x)). На побудованій таким чином поверхні можна побачити мінімуми, максимуми і інші характерні точки (рисунок 16.1). У випадку більшої кількості параметрів це зробити неможливо. При наявності обмежень це важко зробити і для двовимірної функції. Задачі оптимізації у теорії нелінійного програмування класифікуються за видом цільової функції і обмежень. Якщо цільова функція і обмеження лінійні функції, маємо задачу лінійного програмування; у випадку нелінійності або цільової функції, або обмежень, приходимо до задачі нелінійного програмування. Якщо цільова функція квадратична, а обмеження лінійні, задачу відносять до розділу квадратичного програмування. У матричному вигляді квадратична цільова функція має вигляд

0( ) ,T Tf = + +x a c x x Qx (16.3) де Q – додатньо означена, квадратна, симетрична матриця. Обмеження у цьому випадку мають вигляд

,T b≥ ≥a x x 0

2

. (16.4) де a і b – матриці коефіцієнтів. Приклад квадратичного програмування: Мінімізувати 2 2

1 2 1( ) 0.5 0.5 2 ,f x x x= + − −x x при обмеженнях 1 1 2

2 1 2

3 1

4 2

( ) : 6 2 3 0,( ) :5 4 0,( ) : 0,( ) : 0.

g x xg x xg xg x

− − ≥− − ≥≥≥

xxxx

(16.5)

Наведемо деякі терміни задачі нелінійного програмування. Вектор *

1 2[ , ,..., ]Tnx x x=x , який задовольняє усі обмеження і задовольняє

умову *min( )f f=x , називають оптимальною точкою, а відповідне значення

f(x*) – оптимальним значенням цільової функції. Пара і f(x*) cкладає *x

129

оптимальний розв’язок. Якщо цільова функція не є унімодальною (тобто має більше одного екстремуму), то оптимальних розв’язків може бути декілька (рисунок 16.2 ). У зв’язку з цим розрізняють локальний і глобальний оптимуми. Для глобального умова виконується в усій області, для локального – тільки у невеликій області навколо точки . *x Більшість алгоритмів, що використовуються у ТНП, знаходять локальні екстремуми. Важливими поняттями у ТНП є поняття опуклої і увігнутої функції. Функцію ( )ϕ x називають опуклою в області R, якщо для довільних двох точок 1 2, R∈x x виконується нерівність

1 2 1( (1 ) ) ( ) (1 ) ( 2 ),x x x xϕ θ θ θϕ θ ϕ+ − ≤ + − де 0 1.θ≤ ≤ Якщо знак нерівності буде < , функція називається строго опуклою.

Увігнутою є функція, для якої ця нерівність виконується зі знаком . Диференційована і опукла функція має такі властивості:

≥

1) . 2 1 1 2( ) ( ) ( )(Tϕ ϕ ϕ− ≥ ∇ −x x x x 1)x 2) Матриця частинних похідних ( )ϕ x по x (матриця Гессе) є додатньо визначеною (або додатньо напіввизначеною) для усіх x, якщо ( )ϕ x є опуклою. 3) В області R функція ( )ϕ x має тільки один екстремум. Вимога унімодальності функції є більш слабкою, ніж вимога увігнутості або опуклості. В останніх двох випадках добавляються вимоги неперервності і однозначності похідної.

Для багатовимірного простору множину точок називають опуклою, якщо для усіх пар точок цієї множини відрізок прямої, що їх з’єднує, також повністю належить цій множині. Задачу опуклого нелінійного програмування формулюють так: мінімізувати f(x)

при обмеженнях ( ) 0, 1...

0,g x j px

≥ =≥

де ( ), ( )f gx x – опуклі функції. У цій задачі локальний мінімум є одночасно і глобальним..

У задачах лінійного програмування, які мають оптимальний розв’язок, цільова функція завжди опукла, а обмеження створюють опуклу множину, таким чином локальний оптимум є одночасно і глобальним. У квадратичному програмуванні цільова функція опукла, якщо матриця є невід’ємно означеною. У загальному випадку стверджувати про опуклість функції можна тільки тоді, коли обмеження є тільки типу нерівностей і функції обмежень опуклі. Допустимою точкою називають вектор x, який задовольняє усі обмеження. Множина таких точок називається допустимою областю. Умовним називають локальний оптимум на границі допустимої області.

130

Множину точок, для якої значення цільової функції однакові, називають лінією рівня. Якщо цільова функція f(x) диференційована і неперервна, то існує градієнт функції

( ) ( )( )

1

( ) ( )( ) [ ... ]k k

k

n

f ffx x

∂ ∂∇ =

∂ ∂x xx . (16.6)

Градієнт скалярної функції направлений у сторону найшвидшого зростання функції і ортогональний до лінії рівня, що проходить через дану точку. Антиградієнт (від’ємний градієнт) направлений у сторону найшвидшого зменшення (найшвидшого спуску). Умова ортогональності вектора v і градієнта , має вигляд ( )( kf∇ x ) 0( )( )T kf∇ =v x (скалярний добуток векторів дорівнює нулю у евклідовій метриці, де норма визначається як

12( )T=x x x .

Для деяких методів знаходження оптимуму використовується лінійна або квадратична апроксимація функцій . Така апроксимація може бути виконана за допомогою ряду Тейлора. Зокрема, лінійна –

( ), j jf g hx (x), (x)

( ) ( ) ( )( )k T kf f f= + ∇ −x x x x xk , (16.6) квадратична –

21( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

k T k k k T kf f f f= + ∇ − + − ∇ −x x x x x x x x x xk

)

, (16.7)

де – так звана матриця Гессе. 2 ( )( kf∇ x2 ( ) 2 ( )

21 1

2 ( ) ( )

2 ( ) 2 ( )

21

( ) ( )...

( ) ( )

( ) ( )...

k k

nk k

k k

n

f fx x

f H

f fx x x

x⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∇ = =⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

x x

x x

x x

. (16.8)

У теорії нелінійного програмування визначаються умови оптимальності розв’язку. Такі умови можна сформулювати, зокрема, для нелінійного програмування без обмежень.

Необхідні умови: 1) Функція f(x) має похідні у точці . *x 2) тобто є стаціонарна точка в . ( )( )kf∇ x 0=

0>

*x Достатні умови окрім перших двох такі:

3) , тобто матриця Гессе додатньо визначена. Можливим є існування мінімуму , який не задовольняє цим умовам, але протилежне неможливе.

2 ( )( )kf∇ x

В інших випадках формулювання необхідних і достатніх умов є досить складною задачею [46].

131

Методи, які використовуються у ТНП, у першому наближенні розділяються на пошукові, які не використовують похідних, і методи, які використовують похідні. У першому і другому випадках при пошуку мінімуму цільової функції можуть накладатись або не накладатись обмеження на параметри оптимізації. Хоча сучасні алгоритми оптимізації здебільшого є комплексними, що включають елементи обох методів, доцільно розглянути класичні градієнтні і пошукові методи окремо.

16.2.2 Градієнтні методи

Градієнтні методи використовують поняття градієнта функції

1 2

( ) ( ) ( )( ) [ , ,..., ]T

n

f f ffx x x

∂ ∂ ∂∇ =

∂ ∂ ∂x x xx , (16.9)

(х – вектор змінних – параметрів проектування; f ( х ) – скалярна функція векторного аргумента) і матриці Гесса

2 2 2

21 1 2 1

2 2 2

21 2

( ) ( ) ( )...

( ) ... ... ... ...

( ) ( ) ( )...

n

n n n

f f fx x x x x

f

f f fx x x x x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∇ =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

x x

x

x x

x

x

. (16.10)

Вважається, що ( ), ( ), ( )f f f′ ′′x x x

,

існують і є неперервними. Взагалі ця вимога є дуже жорсткою, і більшість сучасних методів не передбачають безпосереднього обчислення градієнта і матриці Гесса (аналогів першої і другої похідної для функції однієї змінної). Усі градієнтні методи використовують ітераційну процедуру знаходження оптимальної точки у відповідності з формулою

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )k k k k k kλ+ Δx = x + x = x + s x (16.11) де – поточне наближення до розв’язку х*, ( )kx ( )kλ – параметр, що визначає величину приросту координат вектора х на кожному кроці ітерації;

– напрямок пошуку в N – вимірному просторі змінних .

( ) ( )( )k =s x s k

,( 1,2,..., )i i N=x Спосіб визначення ( )kλ i на кожній ітерації залежить від методу, який використовується.

( )ks

Таким чином, при використанні градієнтних методів необхідно визначити величину і напрям вектора ( )kΔx , що забезпечує наближення до оптимального значення , яке забезпечує мінімум цільової функції f (x). *x Одним із найстаріших градієнтних методів є метод Коші. Розкладемо цільову функцію в ряд Тейлора в околі деякої точки x з точністю до членів першого порядку включно

( ) ( ) ( ) ...f f f= + ∇ Δ +x x x x .

132

Як видно, локальна зміна функції f (x) визначається другим доданком. Оскільки градієнт є вектором, направленим у напрямку найбільшого локального збільшення функції, то для досягнення мінімуму необхідно рухатися у протилежному напрямку, тобто напрямку найшвидшого спуску. Від’ємний декремент функції f (x) у точці , направлений у бік найбільшого зменшення f (x) по усіх компонентах х і є ортогональним до лінії рівня f (x) у точці . Цей напрям можна вказати одиничним вектором

*x

( )kx( )

( )( )

( )( )

kk

k

ff

∇= −

∇xsx

.

Згідно з формулою (16.11) маємо таку формулу для переходу від

до : x

( 1)k +x

( ) ( )( 1) ( ) ( ) */( ) ( )

( )

( ) (( )

k kk k k k

k

f ff

λ λ+ ∇= − = − ∇

∇xx x x x

x)k

)

. (16.12)

У цьому виразі визначає напрям, а коефіцієнт ( )( kf∇ x*( ) ( ) ( )/ (k k kfλ λ= ∇ x ) – величину кроку для одержання координат точки

). Метод називають методом найшвидшого спуску. Формула (16.12) не приводить до мінімального значення f (x*) за один крок і повинна застосовуватися декілька разів до досягнення мінімуму. Оскільки у точці мінімуму усі компоненти вектора градієнта дорівнюють нулю, метод має погану збіжність біля точки мінімуму і застосовується здебільшого на початковому стані пошуку.

( 1)k+x

Процедура найшвидшого спуску може закінчиться у стаціонарній точці (де компоненти градієнта ( )f∇ x дорівнюють нулю) різного типу. Перевірку якості досягнутої точки проводять за допомогою матриці Гессе у даній точці. Якщо матриця є додатньо визначеною то це точка мінімуму, якщо ні, то це сідлова точка. Розмір кроку доцільно вибрати на кожній ітерації. Метод є стійким у тому смислі, що гарантує при достатньо малому кроці Δx забезпечення нерівності

( 1) ( )( ) (k kf f+ ≤x x )

2

. Приклад 16.1 Знайти мінімум функції двох змінних.

2 21 1 2( ) 8 4 5f x x x= + +x x .

Просторовий графік функції побудовано на рисунку 16.5,а. Контурний графік ліній однакового значення функції наведено на рисунку 16.5,б. Як видно,мінімум функції ( )f x знаходиться у точці (0,0).

133

f f

Рисунок 16.5

Приймемо початковою точку , у якій . Компоненти градієнта –

(0) [10,10]T=x 0( ) 1700f =x

16 1 4 2, 10 1 4 21 2f f .x x xx x

∂ ∂= + = +

∂ ∂x

Нове наближення . (1) (0) *(0) (0)( )fλ= + ∇x x xВиберемо *(0)λ таким чином, щоб значення досягло мінімуму. Для

визначення цієї точки можна скористатись одним з одновимірних способів визначення мінімуму, наприклад, підставити наближення у вираз для заданої функції, взяти похідну по

(1)(f x )

*(0)λ і прирівняти її до нуля. Корінь одержаної таким способом функції і буде розшукуваним значенням *(0)λ . У даному випадку *(0)λ =0.056. Тоді . Далі аналогічно попередній знаходимо

(1) [ 1.20,2.16]T= −x*(1)λ з умови мінімуму функції у точці і т.д.

Послідовність одержання точок подано у таблиці

(2) (1) *(1) (1)(fλ= + ∇x x x )

Таблиця 16.1 – Результати обчислень за методом Коші k ( )

1kx ( )

2kx ( )( )kf x

1 -1.2403 2.1181 24.2309 2 0.1441 0.1447 0.3540 3 -0.0181 0.0369 0.0052 4 0.0021 0.0021 0.0000 В методі Коші рух у напрямку протилежному градієнту приводить у точку мінімуму тільки у тому випадку, коли лінії рівня – кола. У загальному випадку напрям, протилежний градієнту, не приводить то точки оптимуму.

134

Метод Коші використовує послідовну лінійну апроксимацію цільової функції і потребує визначення функції і її перших похідних на кожній ітерації. У методі Ньютона використовуються також і другі похідні, а для функції декількох змінних – матриця других похідних (матриця Гессе). Розкладемо цільову функцію у ряд Тейлора, але, на відміну від попереднього, утримаємо і доданки з другими похідними.

( 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )1( )) ( ) ( ) ( ( )2

k k k k T kf f f f+ = + ∇ Δ + Δ ∇ Δx x x x x x .kx (16.12)

Мінімум функції f(x) у напряму Δx визначається диференціюванням f(x) по кожній з компонент Δx і прирівнюванням до нуля одержаних виразів. У матричному вигляді

( ) 2 ( ) 1 ( )[ ( )] (k kf f−Δ = − ∇ ∇x x )kx . Підставляючи значення ( )kΔx у формулу ітерацій ( 16.12), одержимо

ітераційну формулу Ньютона ( 1) ( ) 2 ( ) 1 ( )[ ( )] (k k k kf f+ −= − ∇ ∇x x x x ). (16.13)

Зазначимо, що тут і напрям, і величина кроку визначені точно, однак у загальному випадку за один крок мінімум знайти неможливо. У зв’язку з цим, рівняння (16.13) приводять до вигляду

2 ( ) 1 ( )( 1) ( ) ( )

2 ( ) 1 ( )

[ ( )] [ ( )]( )] [ ( )

k kk k k

k k

f ff f

λ−

+−

∇ ∇= −

∇ ∇x xx xx x

. (16.14)

У знаменнику записана норма чисельника, таким чином, дріб визначає нормований вектор, і відношення

( ) *( )2 ( ) ( )

1( )][ ( )

k kk kf f

λ λ=∇ ∇x x

є скалярним коефіцієнтом рівняння (16.3), яке записують так: , (16.15) ( 1) ( ) *( ) 1( ) ( )k k k k fλ+ −= − ∇x x H x xk

)k

де . ( ) 2( ) (k kf= ∇H x xНапрямок пошуку визначається вектором . ( ) 1 ( ) ( )( ) ( )k k f−= − ∇s H x x

Рівняння (16.15) застосовується ітеративно до тих пір, поки не буде задовольнятися вибраний критерій закінчення процесу. Зазначимо, що у рівняння (16.4) входить обернена матриця Гесса 1−H , що вимагає забезпечення додатньої визначеності цієї матриці у кожній точці. (Нагадаємо, що матрицю A називають додатньо напіввизначеною (або невід’ємно визначеною) якщо 0 і додатньо визначеною, якщо

для довільного

T ≥x Ax0T >x Ax ≠x 0).

Необхідні і доcтатні умови, при яких матриця буде додатньо визначеною: усі головні мінори і визначник повинні бути додатніми; або додатніми повинні бути усі власні значення даної матриці. Метод Ньютона надійно працює в околі точки мінімуму і гірше, коли розрахунок починається далеко від цієї точки.

135

Приклад 16.2 Розглянемо процедуру визначення оптимуму для функції, яка аналізувалась у попередньому прикладі.

2 21 1 2( ) 8 4 5 2f x x x= + +x x

,.

1 2 1 2( ) [16 4 ,10 4 ]16 4

( ) .4 10

Tf x x x x x

f x H

∇ = + +

⎡ ⎤∇ = = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

У відповідності з формулою Ньютона , одержимо

( 1) ( ) 1 ( )( )k k f+ −= − ∇x x H x k

(1) 10 4 01[10,10] ( ) [200,140]4 16 0144

T T−⎡ ⎤ ⎡= − =

⎤⎢ ⎥ ⎢− ⎥⎣ ⎦ ⎣

x⎦

2

,

що співпадає з точним розв’язком.

Приклад 16.3 Знайти мінімум функції Хіммельблау (рисунок 16.6).

2 2 2( , ) ( 11) ( 7)h x y x y x y= + − + + −

Рисунок 16.6

Програму, яка реалізує алгоритм Ньютона, наведено нижче. Вихідні дані показують координати точки мінімуму і значення функції у цій точці. Необхідно зазначити, що ця функція має декілька мінімумів, і результати пошуку залежать від початкового наближення.

136

Як відмічалося вище, метод Коші, який використовує антиградієнт

функції, забезпечує швидкий рух у напрямку точки оптимуму, але в околі цієї точки швидкість і точність розрахунку суттєво зменшується, оскільки зменшується величина градієнта. Метод Ньютона навпаки, – надійно і швидко працює в околі оптимальної точки. Ідея об’єднання цих двох методів була реалізована в алгоритмі, запропонованому Марквардтом (іноді його називають «метод Левенберга-Марквардта»). У відповідності з цим методом напрям пошуку визначається системою рівнянь:

( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) [ ] (k k k fλ −= − + ∇s x H I x )k

k

, (I – одинична матриця), а наступне наближення обчислюється за формулою

( 1) ( ) ( )( )k k+ = +x x s x . Параметр λ при цьому дозволяє змінювати напрям пошуку і величину

кроку. На початковій стадії пошуку параметру (0)λ присвоюють велике значення, так що

(0) (0) (0)(0)1[ ] [ ] (λ λ

λ+ = =H I I ) .I

Як видно, великим значенням (0)λ відповідає напрямок, протилежний градієнту, як це пропонується у методі Коші. При нульовому значенні λ напрямок обчислюється, як у методі Ньютона. Таким чином, вибір коефіцієнта ( )kλ на кожному наступному кроці ітераційного процесу визначає ефективність пошуку. Головний недолік методу – необхідність

137

визначення і розв’язання системи рівнянь відносно . Метод Марквардта реалізований у функції Mathcad Given-Find. Приклад знаходження оптимуму для функції двох змінних методом Марквардта наведено нижче.

( )kH ( )( ks x )

16.2.3 Методи прямого пошуку для функції n змінних Методи, у яких використовуються тільки значення функції і не

використовуються відомості про похідні, називають пошуковими. Розглянемо функцію двох змінних (рисунок 16.7), для якої побудовані лінії рівня і позначена точка мінімуму ( ( ) ( )

1 2,k kx x ) . Найпростішим методом пошуку є метод покоординатного спуску. З

точки А проводиться пошук вздовж координати х до точки В, у якій дотична до лінії сталого рівня паралельна осі х1. Далі проводиться пошук з точки В у напрямку осі х2 до точки С, далі паралельно осі х2. Таким чином приходимо до оптимальної точки. Для пошуку мінімуму вздовж кожної з осей можна використати один із методів одновимірного пошуку, зокрема, метод золотого перерізу.

138

x2

C

B A

x1

Рисунок 16.7 – Метод покоординатного спуску

Метод покоординатного спуску можна застосувати для функції n змінних. Метод можна використовувати при наявності одного мінімуму функції. Порівняно з іншими більш прогресивними методами цей метод є надто повільним. Найбільш ефективним серед методів пошуку є метод Нелдера – Міда, якщо кількість невідомих n < 6. Метод називають симплекс – методом. Для двох змінних симплексом називається трикутник, для трьох – чотирикутник і т.д. У загальному випадку ці фігури називають комплексами. У процесі пошуку оптимальної точки порівнюються значення функції у вершинах комплекса. При кожному кроці вершина комплекса, де значення функції найбільше, відкидається і замінюється новою за спеціальною стратегією. Таким чином, будується послідовність комплексів, у вершинах яких значення функції зменшуються. Розглянемо послідовність пошуку (рисунок 16.8) При цьому використовуються три основні операції: відображення, розтягу, стиску.

e

h r

0 k

g

Рисунок 16.8 – Послідовність пошуку

1. Знайдемо значення функції у вершинах комплексу

1 1 2 2 1( ), ( ),..., ( );n nf f x f f x f f x+= = = 1+ (у даному випадку n = 2). 2. Знайдемо найбільше значення функції hf , друге за величиною gf і

найменше значення ef і відповідні їм точки , ,h g e.x x x 3. Знайдемо центр ваги усіх точок окрім точки hx

139

01

ii h

x xn ≠

= ∑

і обчислимо 0 0( )f x f= . 4. Відображаємо точку hx відносно точки 0x , одержимо точку r і знайдемо ( )r rf x f= . Положення точки rx визначається так:

0 0(1 ) , / .r h r 0 hx x x x x x xα α α= + − = − − ( α - коефіцієнт відображення). 5. Порівнюємо значення функцій ir ef f . Якщо r ef f< , то одержуємо найменше значення функції і проводимо розтяг у цьому напрямку, знаходимо точку ex і значення функції ( )e ef f x= (рисунок 16.8). Коефіцієнт розтягу γ > 1 можна знайти з таких співвідношень

0 0 00

( ) (1 ) e oe r e r

r

x xx x x x x x x

x xγ γ γ γ

−− = − ⇒ = + − ⇒ =

−.

Далі точка з найбільшим значенням функції f відкидається і з одержаним комплексом повторюють вказані вище операції. Процес закінчуєтьс коли два послідовно знайдені мінімальні значення будуть близькими з заданою точністю. До методів пошуку відносяться також методи Хука-Дживса, Бокса, методи Монте-Карло, методи генетичні і пошукові, використовуючі різні стратегії [46]. Загальною ознакою таких методів є можливість пошуку глобального оптимуму, вони надійні, але порівняно повільно працюють. Докладно з методами оптимізації на основі теорії нелінійного програмування можна ознайомитися у [46], [47]. Що стосується практичного використання алгоритмів оптимізації, необхідно зазначити, що при цьому доцільно використовувати готові програми, які з достатньою повнотою представлені у математичних пакетах Mathcad, Maple, Matlab, у бібліотеці IMSL програм, написаних алгоритмічною мовою Фортран, та інших. Найбільш популярними вважаються так звані квазиньютоновські методи, методи штрафних функцій, генетичні пошукові методи. Алгоритми цих методів досить складні, а їх програмні реалізації тим більше. Слід додати, що універсальних програм оптимізації не існує, у кожному випадку необхідно вибирати найбільш прийнятну. Декілька зауважень щодо врахування обмежень на проектні параметри при знаходженні оптимуму цільової функції. При наявності обмежень типу рівностей необхідно спробувати за їх допомогою зменшити кількість проектних параметрів, якщо обмеження допускають явне визначення частини параметрів. У інших випадках доцільно використати методи, які використовують множники Лагранжа [47]. Обмеження типу нерівностей враховуються при побудові алгоритму у вигляді періодичних перевірок виконання цих умов і відкидання точок, які обмеженням не задовольняють. Стратегія пошуку оптимуму у задачах з обмеженнями на параметри

140

проектування полягає в тому, що на кожній ітерації використовуються методи оптимізації без обмежень з періодичними перевірками прийнятності одержаного результату. У математичному пакеті Mathcad є дві функції для визначення локальних максимумів і мінімумів функцій при заданих обмеженнях . Нижче наведено приклади використання цих функції для знаходження екстремальних значень функцій. 16.3 Використання системи Mathcad для пошуку екстремальних значень Для чисельного пошуку локального максимуму або мінімуму в Mathcad є функції Minimize і Maximize. Ці функції використовують ті ж градієнтні чисельні методи, що і функція Find і допускають вибір методу пошуку. Функції потребують початкового наближення і розшукують тільки один локальний мінімум або максимум. Для пошуку глобального мінімуму необхідно проаналізувати функцію на наявність екстремальних значень. Нижче наведено декілька прикладів використання цих функцій Визначення екстремумів функції безпосередньо функціями Minimize i Maximize:

f x( ) x4 3x3− 2 x2⋅+ x+ 0.5−:= x 0:=

Minimizef x,( ) 0.175−=

x 100:= Minimizef x,( ) 1.425= x 1.426:= Minimizef x,( ) 0.175−=

Визначення мінімуму і максимуму для функції з обмеженнями:

f x( ) x4 3x3− 2 x2⋅+ x+ 0.5−:= x 0:=

Minimizef x,( ) 1.425= Given 1 x< ∞<

f x( ) x4 3x3− 2 x2⋅+ x+ 0.5−:= x 1:=

2 x< 10< Given Maximizef x,( ) 10=

141

Визначення локального мінімуму для функції двох змінних з обмеженням за допомогою функцій Mathcad [14]:

f x y,( ) 2 x 5.07−( )2⋅ y 10.03−( )2+ 0.2 x 5.07−( )3⋅−:=

x 0 15..:= y 0 20..:=

Gx y, f x y,( ):=

x 1:= y 1:= Given

0 y< 20< 0 x< 15<

Minimizef x, y,( )5.07

10.03⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

G

G

142

Програма знаходження глобального максимуму для багатоекстремальної функції за допомогою сканування відрізка, на якому розшукується екстремум.

143

Лекція 17 ОСОБЛИВОСТІ ЗАСТОСУВАННЯ ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ

У МЕХАНІЦІ 17.1 Оцінка точності методу скінченних елементів 17.1.1 Джерела похибок Дослідження точності наближеного розв'язку складається з вивчення

джерел похибок, аналізу величин похибок, умов збіжності і швидкості збіжності.

Похибка розв'язку складається з похибок, які не можна усунути, похибок, пов'язаних із методом, і похибок обчислення.

Похибки, які не можна усунути, виникають внаслідок невідповідності розрахункової схеми і конструкції. Ця невідповідність обумовлена неточністю вхідних даних, а також спрощеннями, які вносяться при побудові розрахункової схеми. Ці похибки не контролюються у процесі чисельного розв'язку і можуть бути зменшені тільки за рахунок більш точного описання конструкції.

Похибки математичної моделі МСЕ (похибки методу) виникають внаслідок апроксимації розшукуваних функцій наближеними виразами. У МСЕ функції апроксимації (координатні функції) є локально визначеними і тому похибки методу залежать як від якісної відповідності координатних функцій розшукуваного розв'язку, так і від розмірів елементів. Якість координатних функцій оцінюється по повноті координатних функцій і виконанню умов сумісності для сусідніх скінченних елементів на їх спільних границях. Для МСЕ у варіанті методу переміщень доведено, що при зменшенні кроку сітки в області, зайнятій тілом, збіжність розв'язку МСЕ до точного можна гарантувати тільки у тому випадку, якщо набір координатних функцій буде повним, а самі вони забезпечують виконання умов сумісності для суміжних скінченних елементів.

Похибки обчислень складаються з похибок округлення при арифметичних діях зі скінченною кількістю розрядів. Похибки зростають зі збільшенням розмірності задачі у зв'язку зі збільшенням кількості арифметичних дій.

Вплив похибок округлення на похибки обчислень суттєво залежить від обумовленості системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких зводиться розв'язок у МСЕ. Ці похибки обумовлюються такими причинами:

1) наявність похибок, які не можуть бути усунутими, у зв'язку з чим замість системи FUK = розв'язується система ΔFFUΔKK +=+ )( , де ΔK і

– похибки при визначенні матриць ΔF K і F ; 2) похибки округлення чисел при виконанні алгебраїчних дій на ЕОМ. Вплив цих джерел похибок залежить від такої фундаментальної

властивості матриці K як обумовленість. Мірою обумовленості матриці є

144

число обумовленості, яке визначається як відношення minmax)( λλ=KC , де і – відповідно найбільше і найменше власні числа матриці maxλ minλ K , які

визначаються з характеристичного рівняння 0=λ− EK .

Якщо 0min =λ і ∞=)(KC , то матриця є виродженою. Чим більше число обумовленості, тим гірша обумовленість матриці K .

Роль числа обумовленості можна проілюструвати таким прикладом [40]. Розглянемо дві системи, які відрізняються на величини, пов'язані з наявністю похибок

)()(, ΔRRUΔKKRUK +=+= . Для невиродженої матриці K має місце відношення

KΔK

KUΔU

)(C< ,

де UΔU

– відносна похибка у розв'язку, обумовлена наявністю похибок ( …

– норма вектора або матриці). Нерівність показує, що число обумовленості є коефіцієнтом

пропорціональності у виразі для відносної похибки розв'язку. Чим більше )(KC , тим більше зростає похибка, обумовлена похибками визначення

матриць. Аналогічно впливає число обумовленості на зростання похибки,

пов'язаної з округленням чисел у ЕОМ. Відносна похибка може бути визначена згідно із залежністю , )(10 KCS ⋅≈δ −

де S – число десяткових цифр у відповідності з розрядною сіткою ЕОМ. У МСЕ число обумовленості можна зв'язати з параметрами сітки. При

нерівномірній сітці

m

laAC

2

)(−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=K ,

де A – число, яке залежить від степеня p апроксимуючого полінома; la, – характерні розміри елемента і конструкції; – порядок вищої похідної у варіаційному рівнянні задачі. m

Таким чином, задачі більш високого порядку більш чутливі до числа обумовленості.

Зменшення кроку сітки скінченних елементів, тобто відношення la ,

приводить до зменшення похибки методу, але збільшує похибку обчислень, тому у практичних розрахунках сітки необхідно вибирати на основі компромісного рішення.

145

Існує зв'язок між числом обумовленості та формою скінченного елемента. Наприклад, при зменшенні кута у трикутних скінченних елементів обумовленість значно погіршується. Таким чином, необхідно уникати таких варіантів сітки, в яких з’являються скінченні елементи з малим гострим кутом або з одним розміром, значно більшим за інші габаритні розміри (у плоских і об'ємних елементах).

17.1.2 Збіжність методу скінченних елементів

Теоретична збіжність розв'язку до точного визначається похибками методу. Важливою характеристикою є також швидкість збіжності. Якщо швидкість збіжності висока, то хороші результати можна одержати на достатньо грубій сітці.

Як вказувалось вище, метод скінченних елементів у переміщеннях є варіантом методу Рітца із специфічними (локальними) координатними функціями.

Збіжність методу Рітца вивчена з достатньою повнотою, і ці результати можна поширити і на метод скінченних елементів.

Будемо вважати, що номер наближення пов'язаний з числом скінченних елементів. Тоді зі збільшенням номера наближення крок сітки зменшується. Граничним варіантом скінченно-елементної моделі буде такий, у якому число скінченних елементів, рівномірно розподілених по області тіла, безмежно зростає.

Розв'язок МСЕ збігається до точного, якщо виконуються такі умови: 1. На спільних границях суміжних елементів координатні функції

повинні забезпечувати неперервність функції переміщень і усіх її похідних, порядок яких хоча б на одиницю менше порядку старших похідних, які входять у варіаційне рівняння задачі. Цією умовою встановлюються необхідні вимоги до гладкості координатних функцій у відповідності з принципом можливих переміщень.

Наприклад, у задачах теорії пружності варіаційне рівняння разом з функцією переміщень вміщує її перші похідні. Координатні функції у цьому випадку повинні забезпечувати тільки неперервність самих функцій. Перші похідні при цьому матимуть розриви першого роду. У задачах згину пластин у варіаційне рівняння входять другі похідні від переміщень. У цьому випадку необхідною є неперервність переміщень і перших похідних.

Взагалі, для задач, що описуються рівняннями порядку, варіаційне рівняння вміщує похідні порядку, і розв'язок необхідно розшукувати у класі функцій, що забезпечують на границях скінченних елементів неперервність похідних до 1

m2m

−m порядку включно. Скінченні елементи, для яких виконується ця вимога, називають сумісними. В інших випадках маємо несумісні елементи.

2. Координатні функції повинні забезпечувати як переміщення елемента як твердого тіла, так і сталу по об'єму деформацію. Стала частина деформації

146

є основним компонентом поля деформацій, – при зменшенні розмірів елементів змінна частина деформації (тобто залежна від координат) у межах елемента зменшується порівняно із сталою складовою. Ця умова відображає властивість координатних функцій створювати повну систему функцій. Умові повноти системи функцій задовольняють, зокрема, функції у вигляді повних поліномів відповідного степеня.

Для оцінки збіжності встановлено залежність похибки розв'язку від характерних параметрів задачі та її скінченно-елементної моделі. Нехай для координатних функцій використовується повний поліном степеня p . Тоді, згідно з теоремою Тейлора [38], похибка апроксимації функції переміщень

пропорційна величині 1+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

p

la , де – характерний розмір – крок сітки, a l –

характерний розмір тіла. Якщо диференціальні рівняння мають порядок вираз для енергії деформації і, відповідно, варіаційне рівняння вміщують похідні порядку. Ці похідні апроксимуються вже з похибкою,

пропорційною величині

m2 ,

mmp

la −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

. Оскільки у вирази для енергії входять

квадрати похідних (див. розділ 2), похибка у визначенні енергії, а значить й усього розв'язку, дорівнює

)1(2 mp

lak

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=δ ,

де k – коефіцієнт пропорціональності. Звідси виходить, що швидкість збіжності залежить від параметра p .

Оскільки 1<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

la , то чим більше p , тим вище швидкість збіжності. При

вибраному параметрі p точність розв'язку регулюється за допомогою кроку сітки. Зменшуючи крок сітки, можна досягнути необхідної точності.

3. Ще однією умовою збіжності є умова геометричної апроксимації змінної на елементі при ортогональних перетвореннях системи координат. Геометрична інваріантність або геометрична ізотропія є гарантією повноти поліноміальної апроксимації вздовж границь скінченного елемента того ж порядку, що й у самому елементі.

Ця вимога є суттєвою при використанні переходу від локальної до глобальної системи координат, зокрема при використанні ізопараметричних елементів.

Якщо пробною функцією є повний поліном, то елемент відповідає геометричній ізотропії. Якщо деякі члени виключаються, то це необхідно робити так, щоб не порушувалась геометрична ізотропія. Зокрема, можна відкидати симетричні пари змінних, наприклад, 3x і , і , не зменшуючи порядок полінома.

3y 25 yx 52 yx

147

17.2 Аналіз результатів чисельних розрахунків і обробка даних При використанні чисельних методів результати розрахунку видаються у вигляді масивів чисел. Для підвищення наглядності ,визначення функціональних залежностей, обчислення додаткових результатів, виведення графічних зображень необхідно провести обробку цих результатів даних. При обробці даних треба розв’язувати декілька типів задач: 1) Побудова графіків за одержанними чисельними даними, пов’язана з використанням методів інтерполяції даних; 2) Визначення виду залежності з використанням функцій регресії; 3) Відокремлення необхідних даних від інших, які вважають зайвими (фільтрація та згладжування даних); 4) Визначення точних значень величин за одержаними випадковими значеннями; 5) Визначення нових результатів за одержаними даними. Розглянемо можливості системи Mathсad для розв’язання цих задач.

17.2.1 Інтерполяція Нагадаємо, що інтерполяція – це апроксимація заданих дискретних

значень шляхом послідовного з’єднання цих значень відрізками прямих ліній. Для лінійної інтерполяції використовується функція Mathcad linterp(x,y,t), де х – вектор (стовпець) значень аргументу; y – вектор значень функції, t – значення аргументу, при якому обчислюється значення функції. Аргумент може бути числом, тоді визначається значення функції у заданій точці, або масивом, що використовується при побудові графіків, або просто аргумент функції, тоді результатом інтерполяції є кусково-лінійна неперервна функція. Приклад лінійної інтерполяції наведено на рисунку нижче.

148

У більшості випадків бажано з’єднати одержані точки не ламаною лінією, а гладкою кривою. Для цього використовується сплайн-інтерполяція. Кубічна сплайн-інтерполяція дозволяє провести криву через набір точок таким чином, щоб перші і другі похідні кривої були неперервними у кожній точці. Ця крива утворюється відрізками кубічних поліномів відповідним чином з’єднаних між собою. Для кубічної інтерполяції використовується функція interp(vs,x,y,t), де vs – вектор других похідних, створених функціями lspline(x,y), psplsne(x,y), або cspline (x,y); x – вектор значень аргумента, розміщених у порядку зростання; y - вектор значень функції (одержаних результатів розрахунку); t -значення аргумента, при якому обчислюється функція interp(vs,x,y,t). Приклад кубічної інтерполяції наведено на рисунку 17.2. Перед використанням функції interp(vs,x,y,t) необхідно спочатку визначити вектор vs за допомогою однієї з трьох вказаних вище функцій. Lspline(x,y) створює вектор коефіцієнтів кривої, яка наближається до прямої лінії у граничних точках;

pspline (x,y) створює вектор коефіцієнтів кривої, яка наближається до квадратичної параболи у граничних точках;

cspline (x,y) створює вектор коефіцієнтів кривої, яка наближається до до кубічної параболи у граничних точках. У Mathcad є ще одна функція для інтерполяції В-сплайнами. Ця функція використовується рідко, опис її можна знайти у документації Mathcad. При необхідності екстраполяції результатів на невеликі відстані використовується функція predict(Y,m,n), де Y – вектор значень функції, заданих через рівні проміжки; m - кількість послідовних значень Y, на основі яких функція predict(Y,m,n), повертає n додаткових значень Y

149

У випадку інтерполяції функції двох змінних інтерполяція проводиться по двох координатах так, що частинні похідні є неперервними у кожному вузлі сітки, побудованій на площині хOу лініями, паралельними координатним. На першому етапі двовимірної сплайн-інтерполяції необхідно визначити вузли, через які повинна пройти поверхня Z(x,y). Для цього: 1. Будується матриця XY розмірністю nx2, елементи якої є координатами х, у по діагоналі прямокутної сітки; 2. Вводиться матриця Z (nxn) , кожний елемент якої – задане значення функції у відповідному вузлі. 3. Обчислюється вектор других похідних cspline (x,Z) функції Z у вузлах. 4. Використовується функція interp (vs,x,y,t) для знаходження значень функції Z у точці з координатами x0,y0.

00 : int erp(cspline(XY,Z),XY,Z, )

0x

Zy

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Для обчислення значень інтерпольованої функції зразу в усіх точках використовується така послідовність функцій:

( , ) : interp(cspline( , ) , , )

1; CreateMech( , 1, 2, 1, 2, , ).

xZZ x y XY Z XY Z

yZ ZZ x x y y nx ny

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦=

Функція CreateMech створює масив точок для побудови графіка поверхні. Аргументи функції – ZZ значення функції, x1, x2, y1, y2 – граничні координати області у площині xOy; кількість поділок nx, ny.

Зазначимо, що функція CreateMech створює масив точок на прямокутній області xOy. Для більш складних областей необхідно вводити відповідні обмеження.

150

151

17.2.2 Функції регресії Якщо вимога проходження функції через усі точки не є обов’язковою,

що і має місце у більшості випадків, у зв’язку з випадковими похибками, використовують методи регресії. Регресія зводиться до підбору коефіцієнтів для вибраної аналітичної залежності, або просто побудови масиву точок, які найближче апроксимують заданий масив точок. Регресія з використанням одного полінома реалізується комбінацією двох функцій: interp(s,x,y,t), regress(x,y,n), де х – вектор значень аргумента з елементами, розміщеними за зростанням;

y – вектор значень функції; s – вектор коефіцієнтів для побудови апроксимуючого полінома, який створюється функцією regress ; t – значення аргумента, при якому обчислюється функція інтерполяції; n – степінь апроксимуючого полінома (звичайно достатньо приймати n=5). Звернення до цих функцій виглядає так:

: regress( , , ) ( ) : interp( , , , )s x y n YY t s x y t= = , або ( ) : interp(regress( , , ) , , )YY t x y n x y t= .

152

Регресія з використанням декількох відрізків полінома реалізується такою комбінацією:

interp( , , , ) : loess( , , )s x y t s x y span= (span > 0 – параметр, який визначає розмір відрізків поліномів, 0.2 < span <2).

Для одержання функції у явному вигляді у Mathcad є ряд функцій, які вимагають попереднього встановлення апроксимуючої функції. Це такі функції: expfit(x,y,g) – регресія експонентою ( ) txf x ae c= + , lgsfit(x,y,g) – регресія синусоїдою ( ) sin( )f x a x b c= + + , sinfit(x,y,g) – регресія степеневою залежністю ( ) bf x ax= + c , pwfit(x,y,g)– регресія логістичною функцією ( ) /(1 )cxf x a be−= + , logfit(x,y,g) – регресія логарифмічною функцією , ( ) ln( )f x a x b= + c+ lnfit(x,y,g) – регресія двопараметричною логарифмічною функцією

153

( ) ln( )f x a x= + b (x – вектор дійсних даних аргумента, y – вектор дійсних значень, g – вектор з трьох елементів з початковими значеннями a, b, c).

17.2.3 Двовимірна регресія

При двовимірній регресії масив ХУ координат точок складається з

двох стовпців – координат по осях х і у. Двовимірна інтерполяція реалізується функціями regress(XY,z,n) або loess(XY,z,span), де Z – масив значень функції у точках прямокутної області, заданих масивом ХУ . Якщо необхідно підібрати коефіцієнти функції, для якої відсутні формули, необхідно скористатися функціями linfit і genfit. Якщо залежність є лінійною комбінацією функцій

0 0 1 1( ) ( ) ... ( )n ny a f x a f x a f x= + + + , для якої треба підібрати тільки коефіцієнти , використовують функцію linfit(x,y,F), де y = y(x) – вектор заданих значень функції при значеннях аргументу х ; F - вектор функцій, які входять у лінійну комбінацію у (х).

ia

Для довільної функції з невідомими коефіцієнтами необхідно використати функцію genfit(x,y,C,F) , яка повертає вектор з n – параметрів, найкращим способом апроксимуючий дані з векторів х і у задані функцією f(x); F(x) – функція, яка повертає n+1-мірний вектор, який вміщує функцію f(x) і її частинні похідні відносно невідомих параметрів; С – n-вимірний вектор початкових значень для n-невідомих параметрів.

17.2.4 Функції згладжування У процесі згладжування з заданого набору даних одержується новий набір даних більш гладкий ніж заданий.

У Mathсad є три функції згладжування: medsmooth(y,n), де у – вимірний вектор дійсних чисел; n – ширина

вікна, по якому проводиться згладжування; ( n – повинно бути непарним числом, меншим або рівним кількості елементів вектора у );

ksmooth(x,y,b), де x,y – вимірні вектори, b – параметр, який управляє вікном згладжування;

supsmooth(x,y) (x,y – n-вимірні вектори даних ).

154

Для оцінки параметрів одержаних масивів даних часто необхідно обчислювати статистичні характеристики цих масивів. У MathKad є 16 таких функцій і 17 функцій для оцінки функцій розподілення випадкових величин. Для оцінки вибірки даних використовують такі функції: mean(A) – середнє значення елементів масиву А; hmean(A) – середнє гармонічне елементів масиву А; gmean(A) – середнє геометричне значення елементів; var(A) – дисперсія елементів масиву А; Var(A) – незміщена дисперсія масиву А; stdev(A) – середньо квадратичне відхилення елементів масиву А; Stdev(A) – незміщене середньоквадратичне відхилення елементів масиву А; median(A) – медіана масиву А, яка ділить гістограму щільності ймовірності на дві рівні частини; mode(A) – мода масиву А (найбільше часте значення вибірки даних); skev(A) – асиметрія масиву А (асиметрія гістограми щільності ймовірності відносно осі, що проходить через її центр ваги); kurt(A) – ексцес масиву А (ступінь згладженості щільності вірогідності в околі головного максимуму); stderr(A) – стандартна похибка при лінійній регресії масивів А, В ; cvar(A,B) – коваріація масивів А і В; cor(A,B) – коефіцієнт кореляції двох масивів А і В; hist(int,y) –будує гістограму масиву А; histogram(n,y) – будує гістограму масиву А; Для оцінки зв’язку двох векторів або матриць використовуються такі функції:

155

stderr(A,B) – повертає стандартну похибку при лінійній регресії масивів А і В; cvar(A,B) – повертає коваріацію елементів двох масивів А і В; corr(A,B) – повертає коефіцієнт кореляції двох масивів А і В.

Коваріація визначається за формулою 1

1 ( )( )n

,AB i c ii

cA A B Bn

μ=

= − −∑

Коефіцієнт кореляції – за формулою ,ABAB

A B

r μσ σ

= де ,A Bσ σ –

середньоквадратичні відхилення масивів А і В. Коефіцієнт кореляції показує відносну оцінку зв’язку двох масивів. Усі статистичні функції можуть мати декілька аргументів – векторів або матриць. Об’єм виборки складається з об’ємів кожного аргументу. 17.2.5. Приклади статистичних розрахунків

Задачі математичної статистики пов’язані з одержанням оцінок різних параметрів випадкової величини. Розглянемо докладніше ті, які найбільш часто використовуються.

Середнє значення або математичне сподівання вважається рівним істинному значенню величини, масив якої задано.

1

N

ii

xx

N==∑

.

Це твердження правильне для генеральної вибірки, тобто коли вибірка вміщує усі значення величини, яка вимірюється. У залежності від об’єму і умов виборки, вона може бути представницькою в більшій або меншій мірі, тобто передавати особливості генеральної виборки з різною точністю. При цьому такі характеристики, як середнє значення і дисперсія будуть випадковими величинами. Значення середнього залежить від кількості паралельних вимірювань.

Дисперсія випадкової величини – це середнє арифметичне квадратів відхилення випадкової величини від її середнього значення.

2

1( )

N

ii

x xD

N=

−=

∑.

У загальному випадку дисперсія є оцінкою розсіяння значень вибірки порівняно з її середнім значенням. У Mathcad ця величина обчислюється функцією var(x). При малих об’ємах вибірки використовують так звану незміщену дисперсію

2

1( )

1

N

ii

n

x xD

N=

−=

−

∑.

156

У системі Mathcad ця величина обчислюється функцією Var(x). У розрахунках частіше використовують середньоквадратичне відхилення Dσ = , яке визначається як корінь квадратний з дисперсії. Відповідні функції Mathcad – stdev(x) – вибіркове середньоквадратичне відхилення і Stdev(x) – виправлене середньоквадратичне відхилення. Довірчий інтервал – числовий інтервал у якому з заданою вірогідністю лежить та чи інша випадкова величина. Для визначення довірчого інтервалу для математичного сподівання при невеликій кількості даних використовують розподілення Стьюдента.

[ ,t S t S

x xN N

γ γ− + ] ,

де N – об’єм вибірки, nD – виправлене середньоквадратичне відхилення, tγ –значення ординати розподілення Стьюдента. У Mathcad коефіцієнт tγ

визначається функцією qt(1 ,2

N 1α− − ), де 1–α – задана вірогідність.

Приклад обчислення довірчого інтервалу наведено нижче . Модою називають значення, яке зустрічається у виборці найбільш

часто. Відповідна функція Mathcad – mode(x). Медіана – значення з вибірки, яке ділить просортовану вибірку на дві частини за числом значень. Якщо кількість елементів вибірки непарне 2к–1 , то медіаною буде (к+1)-й елемент. Якщо кількість значень 2к то медіана визначається як середнє арифметичне між к і к+1 елементами вибірки. Відповідна функція Mathcad – median(x)/ Розмах варіювання у вибірці обчислюють як різницю між найбільшим і найменшим елементами вибірки. У Mathcad для цього використовуються дві функції max(x) і min(x). Коваріація і коефіцієнт кореляції є мірами залежності двох випадкових векторів. Коваріація ( xyμ ) – математичне сподівання добутку відхилень випадкових величин від їх середніх значень.

1

1 ( )(N

xy i ii

)x x y yN

μ=

= − −∑

Коефіцієнт кореляції обчислюється за формулою ,xyxy

x y

rμ

σ σ= ( ,x yσ σ –

середньоквадратичні відхилення масивів x, y). В Mathcad для обчислення цих величин використовують функції

cvar(x,y), corr(x,y). Усі статистичні функції можуть мати декілька аргументів, матричних і векторних. Вибірка обчислюється як сума елементів усіх матриць. Нижче наведено приклади розрахунку статистичних характеристик, які обчислюються за допомогою функцій Mathcad.

157

158

159

ДОДАТОК А

А1 Матричні методи Матриця визначається як прямокутний масив символів або чисел,

упорядкованих у рядки і стовпці, і записується у вигляді таблиці

. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

nnnn

n

n

nn

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A

Якщо матриця А має m рядків і n стовпців, то вона називається матрицею розмірністю . Довільний елемент матриці записують , де індекси

nm× ijaji, визначають відповідно номер рядка і стовпця, на перетині яких

перебуває елемент. Матриця називається квадратною, якщо nm = . У загальному випадку її

називають прямокутною. Квадратна матриця, в якої елементи, що розміщені симетрично відносно головної діагоналі , однакові ) , називається симетричною. Якщо ці елементи однакові за модулем, але мають різні знаки

, матрицю називають кососиметричною. У цьому разі діагональні елементи будуть нульовими.

iia ( jiij aa =

)( jiij aa −=

Квадратна матриця, в якої всі елементи, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною, наприклад,

. [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnb

bb

diag 22

11

B

Якщо в матриці В усі діагональні елементи однакові, вона називається скалярною, а якщо такі елементи дорівнюють одиниці, – одиничною: [ ]1diag=I .

Матриці, які мають ненульові елементи лише в смузі вздовж головної діагоналі, називають стрічковими. Наприклад, матриця

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

365000365400065430005432000321

A

є стрічковою матрицею з шириною стрічки 4. Елементи стрічкової матриці задовольняють співвідношення mijjilaij >−−<= ,,0 ,

160

для деяких невід’ємних чисел ml, . При 0=m матриця називається лівою, а при 0=l – правою стрічковою. Величина 1++ ml називається шириною стрічки. Якщо 1== ml , матриця називається тридіагональною.

У матричних операціях використовують трикутні матриці, у яких дорівнюють нулю усі елементи або над головною діагоналлю (у цьому випадку вона називається верхньою трикутною матрицею), або під нею (нижня трикутна матриця). Наприклад,

, . ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nn

n

n

a

aaaaa

00

0 222

11211

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn bbb

bbb

21

2221

11000

B

Трикутна матриця , діагональні елементи якої дорвнюють одиниці, називається унітрикутною.

Прямокутна матриця розмірністю 1×m , що складається з одного стовпця

,

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

na

aa

1

12

11

називається стовпцевою (вектор-стовпець). Матриця, що складається з одного рядка, називається рядковою

матрицею (вектор-рядок). Для спрощення операцій з матрицями великої розмірності

використовується поділ на блоки (підматриці). Матриця, що складається з блоків, називається блочною. Наприклад, матрицю

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaa

A

можна записати у вигляді

, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2221

1211AAAAA

де

, [ ][ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2221

1211aaaa

11A [ ]3231 aa=21A , [ ] [ ]3433 aa=22A , [ ] . ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2423

1413aaaa

12A

Можливі й інші варіанти поділу матриці на блоки; звичайно спосіб поділу визначається особливостями перетворень і матричних операцій.

Одна з особливостей матричної алгебри полягає в тому, що відношення між двома матрицями визначені лише при виконанні деяких умов, пов'язаних з їх розмірностями. Тому для виконання операцій з матрицями необхідно додержуватись певних правил відносно розмірів.

161

Дві матриці А і В рівні між собою, якщо вони мають однакове число рядків і стовпців і рівні відповідні елементи ( ijij ba = для всіх ji, ).

Сума двох матриць визначена тільки для матриць однакових розмірностей. Вираз CBA =+ означає, що кожний елемент матриці С дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В ijijij bac += .

Різниця матриць визначається аналогічно. Так, вираз означає для всіх

BAC −=ijijij bac −= ji, .

Добуток матриці А і числа k визначається як матриця AC k= з компонентами . ijij kac =

Добуток двох матриць А і В визначений, якщо матриця А має розмірність )( lm× , а матриця В – )( nl × , тобто кількість стовпців першої дорівнює кількості рядків другої. Кожний елемент матриці С визначається за формулою

, ∑=

=l

rrjirij bac

1

а розмірність її буде . Як бачимо, щоб дістати елемент матриці С, необхідно помножити відповідні елементи і-го рядка матриці А на елементи j-го стовпця матриці В і додати всі добутки. Наприклад, якщо

nm× ijc

, , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

140321

A ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 21

03B

; ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅⋅+⋅

⋅+⋅⋅+⋅

⋅+⋅⋅+⋅

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⋅=

2130945

21041134

20031033

22011231

2103

140321

BAC

, , . ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=321

A 432=B ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⋅

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==1296864432

432321

BAC

У загальному випадку операція множення не комутативна: ABBA ≠ ;

. BAABD ≠=⋅+⋅+⋅=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

== 20342312321

432

Для операції множення виконуються асоціативний та дистрибутивний закони: CBCACBA +=+ )( ,

)()( CBACBA = . Зауважимо, що при визначенні добутку матриць вдалим вибором

послідовності операцій можна зменшити трудомісткість операцій. Треба

162

також пам’ятати, що в матричних рівняннях скорочення матриць не завжди можливе, адже з рівності CBBA = не випливає CA = , так само, як і з умови

не випливає А = 0 або В = 0. 0=BAОперація транспонування матриці полягає у взаємній заміні стовпців і

рядків. Матриця А , транспонована щодо матриці А, визначається таким способом:

T

, . ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

21

22212

12111TA

Операція транспонування може застосовуватись до суми й добутку матриць. У цих випадках ; ; TTT BAB)(A +=+ TTT ABB)(A =

. TTTT ABCC)B(A =Квадратна матриця називається ортогональною, якщо вона задовольняє

одній з умов: Добуток двох ортогональних матриць також є ортогональною матрицею.

T T TQQ = E, Q Q = E, Q = Q .-1

Квадратна матриця з комплексними елементами називається ермітовою, якщо

HT =H H , де H – комплексно-спряжена з матриця.

Наприклад H

3 2 1 1 4 01 1 2 3 3 14 0 3 1 2 2

i ii ii i

+ + +⎡ ⎤⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + +⎣ ⎦

Hiii

.

Квадратна матриця називається унітарною, якщо вона задовольняє одній з умов 1.−AA = E, AA = E, A = A Визначник унітарної матриці є число, модуль якого дорівнює одиниці.

У практиці числових розрахунків велика кількість задач зводиться до

системи алгебраїчних рівнянь

nnnnnn

nn

nn

bXaXaXa

bXaXaXabXaXaXa

=+++

=+++=+++

…………

2211

22222121

11212111

;;

(А.1)

або у матричній формі BXA = , (А.2)

163

де

, , . ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

nX

XX

2

1

X⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

nb

bb

2

1

B

Визначимо для квадратної матриці А матрицю так, що 1A− EAA 1 =− (E– одинична матриця). Тоді називається оберненою матрицею. Якщо обернена матриця для матриці А існує, матриця називається неособливою. В інших випадках вона називається особливою або сингулярною. З урахуванням означення оберненої матриці помножимо рівняння (А.2) зліва на , після чого дістанемо

1A−

1A−

BAX 1−= . (А.3) Таким чином, для знаходження розв'язку рівнянь (А.2) необхідно знайти

обернену матрицю . Оскільки утворення оберненої матриці є трудомісткою операцією, розв'язок (А.3) є швидше символічним. Тому на практиці користуються іншими методами, не пов'язаними безпосередньо з оберненням матриці, зокрема, метод Гауса [37]. Водночас для систем із матрицями невеликої розмірності можна скористатися й операцією обернення. Покажемо цей процес на прикладі матриці розмірністю

1A−

)33( × :

. ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Матрицю запишемо у вигляді 1A−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=−

333231

232221

131211

bbbbbbbbb

1A

і скористаємось означенням оберненої матриці EAA 1 =− :

. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

100010001

E

Звідси одержимо систему рівнянь для визначення компонент від матриці . Наприклад, прирівнявши відповідні елементи перших рядків матриці,

запишемо 1A−

,0;0

;1

331323121311

321322121211

311321121111

=++=++=++

ababababababababab

(А.4)

звідки

164

,)(;)(;)(

2322231212

3312131212

2332332211

AAA

detaaaabdetaaaabdetaaaab

−=−=−=

де )()()(det 132223123132133312213223332211 aaaaaaaaaaaaaaa −+−−−=A – визначник матриці А.

Аналогічно визначаються й інші компоненти . Скомпонувавши знайдені елементи в матрицю, запишемо

ijb

CAA

A 1

detAAAAAAAAA

det11

333231

232221

131211=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=− ,

де , 2332232211 aaaaA −= 3312131212 aaaaA −= , тощо. Матриця С називається союзною або приєднаною щодо матриці А.

Можна показати, що необхідною і достатньою умовою існування оберненої матриці С є алгебраїчні доповнення відповідних елементів матриці А.

Приклад А1.1 Знайти матрицю, обернену до матриці

. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 34

12A

21432det =⋅−⋅=A – визначник матриці А. Алгебраїчні доповнення її елементів 2,1,4,3 22211211 =−=−== AAAA . Таким чином,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−=−

122123

2413

211A .

Для обернених матриць справедливі такі залежності:

( ) ,AA 11 =−− ( ) ( )T11T AA −−

= , ( ) 111 ABBA −−− = ,

[ ] [ ]1nn

122

111nn2211 AAAAAA −−−− = …… diagdiag 1 ,

AA 1 detdet 1=− . У матричних операціях велику роль відіграють вектори , для яких

виконується рівність V

VVA λ= , (А.5) де – скаляр. λ

Вектори, що задовольняють умові (А.5), називаються власними, а відповідні їм числа – характеристичними або власними значеннями матриці А. У загальному випадку існує ненульових розв'язків рівняння (А.5), де – розмірність матриці А.

λn

nЗадача визначення усіх власних значень і векторів матриці називається

повною проблемою власних значень. Запишемо (А.5) у вигляді системи однорідних рівнянь відносно

компонент вектора V :

165

0VEA =λ− )( . (А.6) Для того, щоб рівняння (А.6) мало ненульові розв'язки, потрібне

виконання умови 0)det( =λ− EA . (А.7)

Розкриваючи визначник, одержимо многочлен n-го степеня відносно λ , який називається характеристичним многочленом матриці А. Оскільки його порядок дорівнює числу рядків (стовпців), то з (А.7) можна дістати n коренів

(власних значень матриці А), а після розв'язання рівнянь (А.6) для кожного – n власних векторів . Зауважимо, що вектори з (А.6) можна знайти лише з точністю до сталого множника [37]. Розглянемо, наприклад, матрицю

nλλλ ,,, 21 …iλ iV

. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−= 22

21A

Система рівнянь буде такою

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−00

1001

2221

2

1

nn

.

Визначник системи

. (А.8) 0)2(22)1(

1001

2221 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

λ−λ+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡λ−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡− detdet

Розкривши визначник, запишемо , 0

3)3)(2(622)2)(1( 2 =−λ+λ=−λ−λ=⋅−λ−λ+−

звідки ,2 21 =λ−=λ . Власні вектори дістанемо, підставивши в (А.8) власні значення. Для маємо 21 −=λ

, ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−−00

)21(222)2(1

2

1

VV

звідки

. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

12

2

1

VV

Для 32 =λ

, ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−00

322231

2

1

VV

звідки

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

121

2

1

VV

.

Власні вектори матриці називають модальними стовпцями. Матриця μ , складена з модальних стовпців, називається модальною. У зв'язку з тим, що

166

модальні стовпці визначені з точністю до сталої, і її можна помножити справа на невироджену діагональну матрицю з довільних сталих. Запишемо (А.5) у вигляді

,

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

λ=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ni

i

i

i

ni

i

i

nnnn

n

n

V

VV

V

VV

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

або з урахуванням усіх коренів

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λλ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

VVV

VVVVVV

VVV

VVVVVV

aaa

aaaaaa

2

1

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

(А.9)

Помноживши обидві частини рівняння (А.9) зліва на , дістанемо 1μ−

AμAμ 1 =− . Як видно, матриця А перетворюється на діагональну матрицю власних

значень, якщо її помножити зліва на матрицю , а справа на 1μ− μ . При застосуванні матричної символіки часто виникає необхідність

виконувати операції інтегрування та диференціювання. Диференціювання матриці за скалярним аргументом виконується

шляхом застосування цієї операції до кожного елемента матриці. Таким чином, якщо )(tAA = і

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)()()(

)()()()()()(

)(

21

22221

11211

tatata

tatatatatata

t

nnnn

n

n

A

то

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

adtda

dtda

dtd

adtda

dtda

dtd

adtda

dtda

dtd

dtd

21

22221

11211

A .

Якщо матриці A(t), B(t), C(t) погоджені за операціями додавання та множення, то

BABAdtd

dtd

dtd

+=+ )( , dtd

dtd

dtd BABABA +=)( ,

dtd

dtd

dtd

dtd CBACBACBACBA ++=)( ,

167

111 AAAA −−− −=dtd

dtd .

Частинне диференціювання виконується аналогічно. Диференціювання за векторним аргументом визначається так:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

3

2

1

dxd

dxd

dxd

ddX

, ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=321 dx

ddxd

dxd

dd

TX.

Похідна

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

mm

mm

m

m

ydxdy

dxdy

dxd

ydxdy

dxdy

dxd

ydxdy

dxdy

dxd

dd

dd

21

222

21

112

11

TT

XYY

X.

Така матриця називається матрицею Якобі. Вона широко використовується при перетвореннях координат.

Наведемо правила диференціювання добутку матриць. Якщо XN=ϕ , де Х – вектор-стовпець, а N – вектор-рядок, то

TNX

=ϕ

dd .

Для похідної добутку трьох матриць маємо

XAXAXX

T 2)( =dd

AXXAXX

TTT 2)( =

dd .

Добуток , де Х – вектор-стовпець, а А – квадратна матриця, називається квадратичною формою.

XAXT

А.2 Лінійні простори Наведемо деякі відомості з лінійної алгебри, які дозволяють подивитись

на матриці дещо з іншого боку, не тільки як на масиви чисел. Теорії механіки суцільного середовища будуються на основі поняття

простору. Лінійним простором називають множину елементів довільної природи, в якій введені операції додавання і множення на число, що

168

підкоряються звичайним розподільному, комутативному і сполучному законам. У лінійному векторному просторі елементи називають векторами.

Прикладами лінійних просторів є множина усіх вільних векторів у трьохвимірному просторі, де операція додавання визначається за правилом паралелограма, а множення на число відповідно змінює довжину вектора.

Лінійним простором є множина рядків, кожен з яких складається з дійсних чисел. Елементи цієї множини називають векторами і позначають як

, де – координати елемента . Операції додавання і множення визначаються такими правилами:

n

),,,( 21 nxxx …=x ix x

),,,(),,,(),,,( 22112121 nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+=+ ………yx , ),,,(),,,( 2121 nn xxxxxx λλλ=λ=⋅λ ……x .

Лінійною комбінацією елементів …zy,x, простору R називають сукупність добутків …+γ+β+α zyx , де γβα ,, – які завгодно дійсні числа.

Елементи …zy,x, простору R називають лінійно незалежними, якщо рівність α β γ+ + + =x y z 0… можлива тільки у випадку, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю.

Розмірністю простору називають найбільше число лінійно незалежних векторів з цього простору. Якщо це число скінченне, то простір називають скінченно-мірним.

Систему лінійно-незалежних векторів простору називають базисом, якщо довільний вектор простору можна записати як лінійну комбінацію векторів базису ie nnxxx eeex +++= …2211 .

Кожний елемент простору можна розкласти по базису, причому однозначно.

Наведемо приклади базисів конкретних лінійних просторів. 1) Довільні три некомпланарні вектори є базисом лінійного

тривимірного простору вільних векторів. 2) Сукупність елементів -вимірного координатного простору з

елементами . n n

)

)

,,,( 21 nxxx …=xБазис цього простору:

0,,0,0,1(1 …=e , )0,,0,1,0(2 …=e , . . . . . . . . . .

)1,,0,0,0( …=ne . Лінійний простір R називають -вимірним, якщо у ньому існує

незалежних елементів, а довільні )n n

1( +n вже є лінійно-залежними.

169

При цьому число називають розмірністю простору n R , тобто розмірність дорівнює числу елементів базису.

Припустимо, що деяка підмножина L лінійного простору R задовольняє двом умовам:

1) якщо елементи yx, належать підмножині L , то їх сума yx + також належить цій підмножині;

2) якщо елемент x належить підмножині L , а λ – довільне дійсне число, то елемент xλ належить підмножині L .

Таку підмножину називають лінійним підпростором. Підпросторами є нульовий підпростір, який складається з одного

нульового елемента простору R ; підмножина векторів, паралельних деякій площині у лінійному тривимірному векторному просторі; множина елементів простору R zyx γ++β+α … , де γβα ,,, … – довільні дійсні числа.

Цю комбінацію елементів називають лінійною оболонкою простору R , і вона є найменшим підпростором з елементів zyx ,,, … . Вона позначається як

),,,( zyxL … . Розмірність лінійної оболонки дорівнює числу незалежних елементів, які складають підпростір.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад A2.1 Перевірити лінійну незалежність векторів тривимірного простору.

321 ,, eee

Перевіримо, чи існують коефіцієнти 321 ,, ααα , які не дорівнюють нулю, і задовольняється рівність

. 0100

010

001

321 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡α+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡α+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡α

Цю рівність можна записати як

, 03

2

1=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ααα

а це може бути, якщо всі 321 ,, ααα дорівнюють нулю. Значить, вектори

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

100

,010

,001

321 eee

лінійно незалежні.

Приклад А2.2 Перевірити лінійну незалежність заданих векторів чотирьохвимірного простору

170

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1010

,0101

,1100

,0011

4321 xxxx .

Розглянемо систему рівнянь 044332211 =α+α+α+α xxxx , або

.0,0,0,0

42

32

41

31

=α+α=α+α=α+α=α+α

Ці рівняння задовольняються, якщо 433121 ,, α=αα−=αα=α . Таким чином, вектори лінійно-залежні.

Приклад А2.3 Задані три лінійно-незалежні вектори 321 ,, xxx тривимірного простору 3R

.001

0,

0001

,0121

321

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= xxx

Знайти можливі двовимірні підпростори цього простору. Оскільки вектори лінійно-незалежні, то довільні два з них можуть бути

базисом лінійного підпростору розмірності 2=n . Взагалі, довільні два вектори простору , які є лінійно-незалежними, можуть бути базисом двовимірного підпростору. Таким чином, в існує нескінченна кількість підпросторів .

3R3R

2RОчевидно, можна розглядати матрицю порядку як множину

векторів розмірністю , тоді кількість лінійно-незалежних векторів-стовпців дорівнює розмірності простору стовпців, а кількість лінійно-незалежних векторів-рядків є розмірністю простору рядків.

qn× qn

Приклад А2.4 Визначити розмірність простору стовпців матриці ,

створеної векторами A

321, x,xx

. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=000001102

011A

Переставляючи другий і третій стовпці на місце першого і другого, одержимо

171

1

1 0 00 1 2

.0 0 10 1 0

A

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Віднімаючи далі перший стовпець з третього, добавляючи двічі другий стовпчик до третього, після множеня другого стовпця на (-1), одержимо

2

1 0 00 1 0

.0 0 10 1 2

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Як видно, усі три стовпці лініййно незалежні, оскільки перші три єлементи кожного з стовпців є елементами одиничної матриці. Матриця 2A була одержана у результаті перестановок і лінійних комбінацій, що не змінює розмірності простору, то розмірність простору стовпців матриці дорівнює трьом. Для визначення розмірності простору з трьох векторів,як видно з попередніх прикладів можна також розглянути систему однорідних рівнянь 0332211 =α+α+α xxx , або у матричній формі

0=αA , де – стовпець з елементами α 321 ,, ααα , а стовпці матриці є елементами векторів

A321 ,, xxx .

Якщо існують ненульові розв'язки цієї системи, то вектори будуть лінійно-незалежними.

Вектори x,y називають ортогональними, якщо Tx y . Кількість лінійно-незалежних стовпців (або рядків) визначає ранг

матриці. Ранг матриці (позначається ( ) ) визначається кількістю лінійно незалежних рядків або стовпців, причому . Найбільш простим способом визначення рангу матриці Є приведення її до діагональної форми. Після цього ранг визначається як кількість ненульових діагональних елементів.

rank A( ) ( )Trank rank=A A

Прикладом лінійних просторів є так звані евклідові простори. Лінійний простір називають дійсним евклідовим простором, якщо встановлене правило, за яким довільним двом елементам простору ставиться у відповідність дійсне число, яке називають скалярним добутком цих елементів

)( yx, , який відповідає таким умовам: )()( x,yy,x = , ),(),(),( 2121 yxyxyxx +=+ , )()( y,xy,x λ=λ ,

0)( >x,x – для ненульових елементів і 0)( =x,x , якщо x – нульовий елемент.

172

Приклади евклідових просторів: 1. Тривимірний простір вільних векторів, де скалярний добуток векторів

визначається як добуток довжин векторів на косинус кута між ними. 2. -вимірний простір векторів, де скалярний добуток означений як n

. nn yxyxyxC +++== …2211yxT

3. -вимірний простір векторів, де скалярний добуток визначається як n , yAxT=Cде – квадратна матриця порядку , симетрична відносно головної діагоналі, і для якої квадратична форма додатна для усіх значень змінних , одночасно не рівних нулю.

A nxAxT

nxxx ,,, 21 …Якщо матриця A – одинична, одержимо евклідовий простір з п. 2. Евклідовий простір називають нормованим, якщо норма (довжина)

довільного елемента визначається рівністю )( xx,=x .

Ортонормований базис -вимірного евклідового простору знаходиться з елементів , для яких справедлива умова

nneee …,,, 21

⎩⎨⎧

≠=

=.,0,,1

),(kiприkiпри

ee ki

Існує теорема [37], згідно з якою у всякому -вимірному евклідовому просторі існує ортонормований базис.

n

По аналогії з векторними просторами, де елементами є набори чисел, можна розглянути простори з вектор-функцій, тобто розглядати деякі набори функцій як вектори і застосувати до них операції алгебри. Цей напрям розглядається у розділі математики, який називають функціональним аналізом.

Іноді буває зручно розглядати комплекси різнорідних об'єктів (скажімо, пари число-функція) як точки одного простору. Це буває, зокрема, коли ми хочемо порівняти які-небудь пристрої, варіанти схем і т.п. відразу по декількох характеристиках, які відрізняються за формою математичного опису.

А3 Лінійні оператори Нехай V і W – лінійні простори, розмірності яких і . Оператором А,

діючим з n m

V у , називають відображення, яке кожному елементу простору

W xV ставить у відповідність елемент у простору W . Це відображення

записують так ),(xy A= або xy A= .

Оператор називають лінійним, якщо виконуються правила 2121 )( xxxx AAA +=+ ,

173

λλ=λ (,)( xx AA – число). Якщо простір W співпадає з простором V , то лінійний оператор, діючий

з V у V , називають лінійним перетворенням простору V . Розглянемо ці оператори докладніше.

Одиничним оператором I називають оператор, діючий за правилом )(, VI ∈= xxx .

Добутком операторів А і В називають оператор )()( xx BAAB = .

Справедливими є такі властивості операторів BAAB )()( λ=λ ,

,)( BCACCBA +=+ ,)( ACABCBA +=+ (AB ).()C A BC= Степінь оператора – це результат його повторного застосування

2 1( ) , ( )m m .A Ax A x A A x A x+= = Оберненим по відношенню до А називають оператор В з ),( VVL , для

якого IBAAB == , де І – так званий тотожній оператор.

Обернений оператор позначається символом 1−A . Справедливим є відношення

xAxA =−1 . Оператор А діє взаємно однозначно з V у V , якщо довільним двом

різним елементам 21, xx відповідають різні елементи 2211 , xyxy AA == .

Для того, щоб лінійний оператор А з ),( VVL мав обернений, необхідно і достатньо, щоб оператор діяв взаємно однозначно з V у V .

Назвемо ядром лінійного оператора А множину елементів простору V , для яких

0=xA . Ядро позначається символом AKer . Умовою існування оберненого оператора є

0=AKer . Образом лінійного простору називають множину цих елементів у

просторі V , які задовольняють умові xy A= .

Образ лінійного оператора А позначається символом Aim . Якщо 0=AKer , то VAim = і навпаки.

174

Оператор А* у скінченно-вимірному евклідовому просторі з ),( VVL називають спряженим до лінійного оператора А, якщо для довільних і x y з V виконується співвідношення

)*,()( yxyx, AA = . Кожний лінійний оператор має єдиний спряжений. Лінійний оператор з ),( VVL називають самоспряженим, якщо

справедлива рівність А* = А.

Для самоспряжених операторів існує декілька суттєвих положень: 1) Власні значення самоспряженого оператора – дійсні числа. 2) Скалярний добуток ),( xxA для самоспряженого оператора – дійсне

число. 3) Власні вектори самоспряженого оператора, які відповідають різним

власним значенням цього оператора, – ортогональні. 4) Матриця самоспряженого оператора симетрична, тобто

TAA = . 5) Самоспряжений оператор називають додатньо визначеним, якщо для

довільного з x V справедливе співвідношення 0)( ≥xx,A .

Кожне власне значення додатньо визначеного оператора додатне. Порівняємо відстань між парою яких-небудь точок x1, x2 постору Q (або

деякої його області q) з парою їх образів Ах1, Ах2. Якщо якимось способом у цьому просторі введено відстань між точками (метрику простору) ( 1, 2)x xρ і якщо

( 1, 2) ( 1, 2)Ax Ax M x xρ ρ≤ , де М – будь-яке не негативне число, то оператор А називають обмеженим. Нормою оператора А (позначається A ) у даній області q називають найменше з чисел М, при якому ця нерівність виконується для довільної пари точок х1,х2 з області q.

При всякому розширенні області норма оператора не може зменшуватися, а при всякому звуженні області не може збільшуватися. Очевидно, норма оператора вводиться погоджено з метрикою або нормуванням простору. Якщо в деякій області простору q ,A 1,α α≤ < то оператор називають стискаючим в цій області, бо для будь-яких 1, 2x x q∈ ( 1, 2) ( 1, 2)Ax Ax x xρ ρ< , Так, функція f(t) є стискаючим оператором в області аргументa , якщо [ , ]t a b∈

( ) 1f t m′ ≤ < при . [ , ]t a b∈ Нерухомі точки операторів – це такі точки, які не зміщуються у просторі цим оператором, Ax x∗ ∗= ,

175

в той час як інші точки відображаються цим оператором у деякі інші точки, інакше кажучи, зміщуються. Оператор довільного вигляду може мати деяку множину нерухомих точок, або всього одну, або взагалі не мати їх. Наприклад, оператор-функція дійсного змінного xy e= не має нерухомих точок – це можна перевірити графічно, а функція xy e−= має єдину нерухому точку. Нерухомою точкою оператора диференціювання

( )d f tdt

буде ( ) tf t ae∗ = ( а – довільне число). В даному випадку нерухома

точка легко відшукується безпосереднім рішенням диференціального

рівняння ( ) ( ), (0) .df t f t f adt

= = Універсального способу знаходження

нерухомих точок немає. ( ) tf t ae∗ =

Обчислювальні задачі часто зводяться до відшукання нерухомих точок операторів. Тому представляє інтерес спосіб, який хоча б в окремих випадках приводить до відповіді. Таким способом є побудова нескінченної послідовності тосок, починаючи із за правилом 0x

1k kx Ax+ = . Це правило можна записати і інакше

0k

kx A x= . Якщо виявляється, що ця послідовність має границю

, то ця границя і є нерухомою точкою. Збіжність до границі в загальному випадку залежить як від властивостей оператора А, так і від вибору початкової точки

lim ( )kx x k∗ = → ∞

0x . У цьому випадку дуже цінну властивість мають оператори, що є стискаючими у всьому просторі (наприклад, оператор-функція дійсного змінного

2xy e−= ). Такі оператори мають єдину нерухому точку і послідовність сходиться до x∗при будь-якому виборі 0x . Пояснимо, що наявність у оператора нерухомої точки є лише необхідною, але недостатньою умовою збіжності послідовності 1k kx Ax+ = .

Введемо поняття рангу лінійного оператора А. Рангом називають число, що дорівнює розмірності простору Aim

)dim( AimArang = . Покажемо, що кожному лінійному оператору А з ),( VVL при заданому

базисі лінійного простору V відповідає матриця А цього оператора. Зафіксуємо у лінійному просторі базис neee …,,, 21 . Якщо x – довільний

елемент з простору V і може бути розкладеним по даному базису

∑=

=n

kk

kex1

x ,

для лінійного оператора А одержимо

176

∑=

=n

kk

k eAxA1

x .

Позначимо координати вектора keA як ),2,1(,,,,, 221 nkaaaa nkkkk …… = , тобто

),2,1(,1

nkeaAn

iiikk …== ∑

=e .

Тоді

∑∑∑===

===n

iii

n

iiik

n

k

k eyeaxA111

xy ,

де

. ),2,1(,1

nixayn

kkiki …== ∑

=

Матрицю А з компонентами називають матрицею оператора А у

заданому базисі, тобто залежність між векторами ika

y і можна записати у вигляді

x

xAy = , де , T

nT

n xxxyyy ),,,(,),,,( 2121 …… == xy

. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

……………

……

21

22221

11211

A

Очевидно, що для нульового оператора матриця буде нульовою, а для одиничного – одиничною.

Таким чином, лінійному оператору А з ),( VVL при заданому базисі простору V відповідає матриця цього оператора. Справедливим є і обернене твердження – кожній матриці А у заданому базисі відповідає деякий лінійний оператор А. Рангом лінійного оператора називають ранг матриці цього оператора. (Ранг матриці дорівнює числу лінійно-незалежних рядків).

Матриця лінійного оператора при переході до нового базису змінюється. Нехай V – лінійний простір, А – лінійний оператор з ),( VVL , а ee , – два базиси у V , причому

),2,1(,1

nkun

iikik …== ∑

=

ee

– формули переходу від одного базису до іншого. Матриці оператора А у двох базисах позначимо

177

[ ] [ ]ikik aa == AA , . Між матрицями А і A існує залежність

−= 1A L AL ,

де [ ],kil −= 1L L – обернена матриця для матриці . LОбернена залежність має вигляд

−= 1A L AL . Для лінійного оператора BA λ+ матриця має вигляд

BAA λ+= . У новому базисі матимемо

BAA λ+= . Оскільки визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників цих

матриць, то , ( 1)det det det det det det det− −= =1 1A L A L A L L = .

Операція зміни базису у формі −= 1A L AL є особливо ефективною коли u є ортогональною матрицею. Дійсна матриця називається ортогональною, якщо її транспонована матриця співпадає з оберненою, тобто

1,T або−=A A AAT = I (I – одинична матриця ). Це означає, що при зміні базису справедливою є рівність

T -1A = L AL = L AL . Ортогональні матриці широко використовують при обчисленнях.

Зокрема, це відноситься до так званих матриць обертання і відображення. Матриця обертання має таку структуру: компоненти на перетині i-го рядка і і-го стовпця, а також на перетині j-го рядка і j-го стовпця дорівнюють cosθ , деθ – кут повороту (рис. 1): компоненти на перетині i-го рядка і j-го стовпця, і на перетині j-го рядка і і-го стовпця дорівнюють відповідно sinθ− і sinθ : Усі інші діагональні елементи дорівнюють одиниці, а недіагональні нулю. Наприклад матриця повороту у двовимірному прострі має вигляд

cos sin.

sin cosθ θθ θ

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦L

Вектор y , який одержується у результаті обертання вектора , x T=y L x .

Матриця відображення визначається за формулою 2; ,TTα α =L = I - vv

v v

де вектор v може бути довільним. Дія матриці полягає у відображенні довільного вектора w від площини, ортогональної вектору v, рис.(2). Для n - вимірного простору вектор w буде мати компоненту кw у напрямку вектора v і компоненту u у напрямку перпендикулярному вектору v. Компонента кw при відображенні змінює напрям на протилежний, а компонента u не змінюється.

178

Зокрема, у двовимірному випадку матриця обертання, яка повертає вектор проти годинникової стрілки на кутθ ,має вигляд

cos sin.

sin cosL

θ θθ θ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Матриця відображення у двовимірному випадку буде такою: sin cos

.cos sin

Hθ θθ θ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

А4 Реалізація матричних операцій у системі Mathcad

Операція транспонування матриць:

1.01 2.02 3.03 4.04( )T

1.01

2.02

3.03

4.04

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

1

4

2

5

3

6⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

T 1

2

3

4

5

6

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

Операції додавання і віднімання матриць:

a

d

b

f

c

g⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

u

x

v

y

w

z⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

+a u+

d x+

b v+

f y+

c w+

g z+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

a

d

b

f

c

g⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

u

x

v

y

w

z⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−a u−

d x−

b v−

f y−

c w−

g z−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

1

4

2

5

3

6⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−1−

4−

2−

5−

3−

6−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

a

d

b

f

c

g⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

k+a k+

d k+

b k+

f k+

c k+

g k+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

Операцiя множення:

a

d

b

f

c

g⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

u

v

w

x

y

z

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅a u⋅ b v⋅+ c w⋅+

d u⋅ f v⋅+ g w⋅+

a x⋅ b y⋅+ c z⋅+

d x⋅ f y⋅+ g z⋅+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

a b c d( )

s

x

y

z

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ a s⋅ b x⋅+ c y⋅+ d z⋅+→

179

s

x

y

z

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

a b c d( )⋅

a s⋅

a x⋅

y a⋅

z a⋅

s b⋅

b x⋅

b y⋅

z b⋅

s c⋅

x c⋅

c y⋅

c z⋅

s d⋅

d x⋅

y d⋅

d z⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

a

d

b

f

c

g⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

k⋅a k⋅

d k⋅

b k⋅

f k⋅

c k⋅

g k⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

Модуль вектора:

x

y

z

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

x( )2 y( )2+ z( )2+⎡⎣ ⎤⎦

12

→

1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

3.742=

Скалярний добуток векторів:

a

b

c

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

x

y

z

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅ a x⋅ b y⋅+ c z⋅+→ a b c( )

x

y

z

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅ a x⋅ b y⋅+ c z⋅+→

Векторний добуток векторів:

a

b

c

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

x

y

z

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

×

z b⋅ c y⋅−

x c⋅ z a⋅−

y a⋅ b x⋅−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

→

Операція векторизації:

v

1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

→⎯⎯⎯1

4

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

= v

1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= v

1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅ 14=

v

1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

exp v( )

2.718

7.389

20.086

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

= exp v→( )

2.718

7.389

20.086

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

180

Визначник матриці: 1

0

5

0

2

4

1−

0

3.00001

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

16=

1

0

5

0

2

4

1−

0

3.00001

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

16.00002→

Функція визначення рангу матриці:

1

4

7

2

5

8

3

6

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

0= rank

1

4

7

2

5

8

3

6

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

2= 1

4

7

2

5

8

3

6

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

27= rank

1

4

7

2

5

8

3

6

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

3=

Обернення матриці:

1

0

0

0

2

0

0

0

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

1− 1

0

0

0

0.5

0

0

0

0.25

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

1

0

0

0

0.5

0

0

0

0.25

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

1− 1

0

0

0

2

0

0

0

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

1

0

0

0

2

0

0

0

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

1

0

0

0

0.5

0

0

0

0.25

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅

1

0

0

0

1

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

1

0

0

0

0.5

0

0

0

0.25

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

1

0

0

0

2

0

0

0

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅

1

0

0

0

1

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

Степінь матриці:

1

0

0

0

2

0

0

0

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

2 1

0

0

0

4

0

0

0

16

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

1

0

0

0

2

0

0

0

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

1− 1

0

0

0

0.5

0

0

0

0.25

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

1

0

0

0

2

0

0

0

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

0 1

0

0

0

1

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

1

0

0

0

2

0

0

0

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

2− 1

0

0

0

0.25

0

0

0

0.063

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

181

Обчислення норм матриці:

A

1

4−

7−

2

5

8

3

6−

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= B

100

400−

700−

200

500

800

300

600−

900

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

norm1 B( ) 1.8 103×= norm1 A( ) 18=

norm2 B( ) 1.421 103×= norm2 A( ) 14.213= normi B( ) 2.4 103×= normi A( ) 24=

norme B( ) 1.688 103×= norme A( ) 16.882= max A( ) 9= max B( ) 900=

Визначення числа обумовленості матриці:

A

1

4−

7−

2

5

8

3

6−

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= B

1

4−

7−

2

5

8

4

10

16.1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

cond1 B( ) 1.535 103×= cond1 A( ) 12.14= cond2 B( ) 1.017 103×= cond2 A( ) 6.951=

condi B( ) 1.811 103×= condi A( ) 11.721=

conde B( ) 1.024 103×= conde A( ) 8.556=

Побудова матриць:

f i j,( ) i2 j2+:=

matrix 3 4, f,( )

0

1

4

1

2

5

4

5

8

9

10

13

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

identity3( )

1

0

0

0

1

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

v

1

2

3

4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= diag v( )

1

0

0

0

0

2

0

0

0

0

3

0

0

0

0

4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

182

Доступ до елементів матриці:

A

1

5

9

2

6

10

3

7

11

4

8

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= A1 0, 5= A2 1, 10=

A 0⟨ ⟩1

5

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

= A 3⟨ ⟩4

8

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

AT( ) 0⟨ ⟩T

1 2 3 4( )= AT( ) 1⟨ ⟩T

5 6 7 8( )=

Виділення частини матриці (підматриці):

A

1

5

9

2

6

10

3

7

11

4

8

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

submatrixA 0, 1, 0, 2,( )

1

5

2

6

3

7⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

submatrixA 0, 0, 0, 2,( ) 1 2( )= 3

Об’єднання матриць:

A2

2

2

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B4

4

4

4⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

stack A B,( )

2

2

4

4

2

2

4

4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= augmentA B,( )2

2

2

2

4

4

4

4⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

augmentA B, A, B,( )2

2

2

2

4

4

4

4

2

2

2

2

4

4

4

4⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

183

Функції визначення кількості рядків і стовпців матриці:

A

1

3

4

2

7

6

5

8

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

rows A( ) 4= cols A( ) 2=

Функції визначення параметрів векторів:

v

1

2

3

4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

w 1 2 3 4( ):=

last wT( ) 3=

length wT( ) 4=

last v( ) 3=

length v( ) 4= rows w( ) 1= rows v( ) 4=

cols v( ) 1= cols w( ) 4=

Функції сортування елементів матриці:

v

3

1

4

2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= sort v( )

1

2

3

4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= reverse v( )

2

4

1

3

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= reverse sort v( )( )

4

3

2

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

A

1

3

4

2

7

6

5

8

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= csort A 0,( )

1

2

3

4

7

8

6

5

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= csort A 1,( )

4

3

1

2

5

6

7

8

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

rsort A 0,( )

1

3

4

2

7

6

5

8

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= rsort A 1,( )

1

3

4

2

7

6

5

8

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

184

Обчислення градієнта функції трьох змінних

f x y, z,( ) z sin x y⋅( )⋅:=

grad x y, z,( )

xf x y, z,( )∂

∂

yf x y, z,( )∂

∂

zf x y, z,( )∂

∂

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:= grad 1 1, 1,( )

0.54

0.54

0.841

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

Обчислення якобіана векторної функції трьох скалярних аргументів

f x y, z,( )

x y⋅

z x⋅

y z⋅

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

J x y, z,( )

xf x y, z,( )0

∂

∂

xf x y, z,( )1

∂

∂

xf x y, z,( )2

∂

∂

yf x y, z,( )0

∂

∂

yf x y, z,( )1

∂

∂

yf x y, z,( )2

∂

∂

zf x y, z,( )0

∂

∂

zf x y, z,( )1

∂

∂

zf x y, z,( )2

∂

∂

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

J 1 1, 1,( )

1

1

0

1

0

1

0

1

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

→

J 1 1, 1,( ) 2−=

185

ЛІТЕРАТУРА 1. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета

конструкций с применением матриц. – М.: Стройиздат, 1968. – 210 с. 2. Баженов В. А., Гуляр А.И., Сахаров А.С., Топор А.Г.

Полуаналитический метол конечных элементов в механике деформируемых тел. – К.: НИИ строительной механики, 1993. – 374 с.

3. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных елементов. – М.: Стройиздат, 1982. – 447 с.

4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. – М.: Мир, 1984. – 428 с.

5. Дубенец В.Г., Хильчевский В.В.,Савченко О.В. Основи методу скінченних елементів. – Чернігів, ЧДТУ.– 2003. – 346 с.

6. Ершов И.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. – Л.: Судостроение, 1984. – 235 с.

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / Пер. с англ. – М.: Мир, 1975. – 541с.

8. Зенкевич О. Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.: Мир, 1986. – 308 с.

9. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. – М.: Высшая школа, 1985. – 480 с.

10. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. – М.: 1977. – т.2. – 544 с.

11. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. – 319 с.

12. Коннор Дж., Бреббиа. Метод конечных элементов в механике жидкостей. – Л.: Судостроение, 1979.– 263 с.

13. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1984. – 831с.

14. Кирьянов Д. Mathcad 12.: Санкт-Петербург «БХВ-Петербург», 2005. –557 с.

15. Математика и САПР. – М.: Мир, 1988. – Кн.2. – 206 с. 16. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. – М.: Мир,

1974. – 318 с. 17. Метод конечных элементов / Под ред. П.М.Варвака. – Киев: Вища

школа, 1981. – 170 с. 18. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под общей ред.

А.С.Сахарова, И. Альтенбаха. – Киев: Вища школа, 1982. – 479 с. 19. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / Под

ред. В.А.Постнова. – Л.: Судостроение, 1979. – 288 с. 20. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с

частными производными. – М.: Мир, 1981.– 215 с. 21. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. – М.:

Наука, 1970. – 475 с.

186

22. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. – К.: Наукова думка, 1989. – 289 с.

23. Морозов Е. М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. – М.: Мир, 1988. – 352 с.

24. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. – М.: Наука, 1971. – 632 с.

25. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. – М.: Мир, 1981. – 394 с.

26. Опір матеріалів:Підручник / Під ред. Г.С.Писаренка. – К.: Вища школа, 1993. – 655 с.

27. Отнесс Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. – М.: Мир, 1982. – 428 с.

28. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. – Л.: Судостроение, 1977. – 279 с.

29. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. – Л.: Судостроение, 1974. – 344 с.

30. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов / Руководитель авт. кол. В.Г.Пискунов. – К.: Вища школа, 1987. –200 с.

31. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник. – М.: Машиностроение, 1989. – 520 с.

32. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. – М.: Стройиздат, 1977. – 128 с.

33. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. – 392 с.

34. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. – М.: Мир, 1988. – 229 с.

35. Синицын А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений. – М.: Стройиздат, 1978. – 231с.

36. Справочник по строительной механике корабля / Под ред. В.А.Постнова. – Л.: Судостроение, 1982. – т.2. – 463 с.

37. Стренг Г. Линейная алгебра и её применение. – М.: Мир, 1975. – 541с.

38. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. – М.: Мир, 1977. – 349с.

39. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. – М.: Машиностроение, 1988. – 389 с.

40. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М., Л.: Наука, 1963. – 735 с.

41. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. – М.: Мир, 1989. – 352 с.

42. Харрис С.М., Крид Ч.М. Справочник по ударным нагрузкам. – Л.: Судостоение, 1980. – 346 с.

43. Цзе С., Морзе И.Е., Хинкл Р.Т. Механические колебания. – М.: Машиностроение, 1968. – 507 с.

187

44. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей силовых двигателей. – Л.: Машиностроение, 1983. – 209 с.

45. Можаровский Н.С. Теория пластичности и ползучести в инженерном деле.– К.: Вища школа, 1991. –293 с.

46. Химмельблау Д.М. Прикладное нелинейное программирование .– 46. Химмельблау Д.М. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1973. – 534 с.

47. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Регсдел К. Оптимизация в технике. –М.: Мир, 1986. –Кн.1. – 346 с.

48. Mathcad 11. User’s Guide. – Mathsoft Engineering and Education, Inc. –2002.

188