AcircUcircNtildeOslashAgraveszlig IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircAgrave

УЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ ДЛЯ СПО

Под общей редакцией Igrave Aacute Otildeethegraveiumloacuteiacuteicircacircicirceacute Egrave Egrave Oumlucircatildeagraveiacuteicircecirc

ETHaringecircicircigravearingiacuteaumlicircacircagraveiacuteicirc Oacutedividearingaacuteiacuteicirc-igravearingograveicircaumlegravedividearingntildeecircegraveigrave icircograveaumlaringeumlicircigrave ntildeetharingaumliacutearingatildeicirc iumlethicircocircaringntildentildeegraveicirciacuteagraveeumluumliacuteicircatildeicirc icircaacuteethagraveccedilicircacircagraveiacuteegraveyuml acirc ecircagravedividearingntildeograveacircaring oacutedividearingaacuteiacuteegraveecircagrave egrave iumlethagraveecircograveegraveecircoacuteigraveagrave

aumleumlyuml ntildeograveoacuteaumlaringiacuteograveicircacirc icircaacuteethagraveccedilicircacircagraveogravearingeumluumliacuteucircotilde oacutedivideetharingaeligaumlaringiacuteegraveeacute ntildeetharingaumliacutearingatildeicirc iumlethicircocircaringntildentildeegraveicirciacuteagraveeumluumliacuteicircatildeicirc icircaacuteethagraveccedilicircacircagraveiacuteegraveyuml

Igraveicircntildeecircacircagrave THORNethagraveeacuteograve 2016

Ecirciacuteegraveatildeagrave aumlicircntildeograveoacuteiumliacuteagrave acirc yacuteeumlaringecircograveethicirciacuteiacuteicirceacute aacuteegraveaacuteeumlegraveicircogravearingdivideiacuteicirceacute ntildeegraventildeogravearingigravearingbiblio-onlineru

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УДК 51(07532)ББК 221я723 В93

АвторыХрипунова Марина Борисовна mdash кандидат физико-математических наук доцент

заведующая кафедрой математики и информатики Владимирского филиала Финан-сового университета при Правительстве Российской Федерации

Цыганок Ирина Ивановна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Департамента мате-матики и информатики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

РецензентыПопов В Ю mdash доктор физико-математических наук заведующий кафедрой при-

кладной математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

Микеш Й mdash доктор физико-математических наук профессор университета имени Ф Палацкого Чешской Республики

В93

Высшая математика учебник и практикум для СПО под общ ред М Б Хри-

пуновой И И Цыганок mdash М Издательство Юрайт 2016 mdash 474 с mdash Серия Про-фессиональное образование

ISBN 978-5-9916-9011-9

Содержание издания включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и матема-тической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравне-ния элементы линейного программирования элементы вычислительной математики теория вероятностей математическая статистика

Учебник включает теоретический минимум необходимый для освоения курса высшей математики и большое количество решенных с использованием математиче-ского аппарата задач экономического содержания и упражнений для самостоятельной работы контролирующих усвоение изученного материала

Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образо-вательного стандарта среднего профессионального образования и профессиональным требованиям

Для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образо-вания обучающихся по экономическим направлениям и специальностям а также для всех кто изучает высшую математику самостоятельно

УДК 51(07532)ББК 221я723

ISBN 978-5-9916-9011-9copy Коллектив авторов 2014copy ООО laquoИздательство Юрайтraquo 2016

Все права защищены Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских правПравовую поддержку издательства обеспечивает юридическая компания laquoДельфиraquo

3

Icircatildeeumlagraveacirceumlaringiacuteegravearing

Авторcкий коллектив 9Введение10

Раздел IЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИГлава 1 Элементы линейной алгебры 15

11 Матрицы и действия над ними 15111 Виды матриц 15112 Операции над матрицами и их свойства 17

12 Определители 20121 Определители второго и третьего порядков 21122 Определители и свойства определителей n-го порядка 21123 Обратная матрица 23124 Ранг матрицы 24

13 Системы линейных уравнений 31131 Основные понятия и определения32132 Метод Гаусса35133 Метод обратной матрицы 36134 Правило Крамера 37

14 Комплексные числа 45141 Действия над комплексными числами в алгебраической форме 45142 Тригонометрическая и экспоненциальная формы комплексного числа 47

Задания для самостоятельной работы 51

Глава 2 Элементы аналитической геометрии 5621 Линейные пространства 56

211 Векторы на плоскости и в пространстве Операции над векторами 56212 n-мерные векторные пространства 65213 Линейная зависимость векторов Базис и размерность линейного пространства 67

22 Линейные операторы 79221 Матрица линейного оператора 80222 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 81

4

23 Квадратичные формы 8424 Фигуры на плоскости и в пространстве 86

241 Прямая на плоскости 86242 Кривые второго порядка 88243 Прямая и плоскость в пространстве 95

Задания для самостоятельной работы 97

Глава 3 Элементы дискретной математики и математической логики 10031 Комбинаторика 100

311 Элементы теории множеств Правила суммы и произведения 101312 Размещения перестановки сочетания без повторений и с повторениями 105313 Задачи перечисления 108

32 Математическая логика 110321 Высказывания Основные логические операции и их свойства 110322 Логические функции и способы их задания 114323 Исчисление высказываний 116324 Логика предикатов 118

33 Элементы теории графов 122331 Общие понятия теории графов Вершины и ребра 122332 Связность графа Графы и деревья 124333 Эйлеровы путь и цикл 128

Задания для самостоятельной работы 130

Раздел IIМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Глава 4 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 135

41 Пределы и непрерывность 135411 Числовые функции 135412 Предел числовой последовательности 137413 Предел функции 139414 Теоремы о пределах функций 141415 Непрерывность функции 144

42 Дифференциальное исчисление функции одной переменной 148421 Производная функции таблица производных 148422 Основные правила дифференцирования 151423 Основные теоремы дифференциального исчисления 154424 Исследование функций с помощью производных построение графиков 156425 Дифференциал функции и его приложения 164

43 Интегральное исчисление функций одной переменной 165431 Первообразная и неопределенный интеграл 165

5

432 Методы интегрирования 168433 Определенный интеграл и его свойства 179434 Приложения определенного интеграла 181435 Несобственные интегралы 183

44 Примеры применения дифференциального исчисления для решения финансово-экономических задач 184441 Эластичность функции ее свойства и геометрический смысл 184442 Функция спроса 187443 Функция предложения 189444 Предельные величины в экономике и оптимизация прибыли 190

Задания для самостоятельной работы 192

Глава 5 Функции нескольких переменных числовые и функциональные ряды 196

51 Функции нескольких переменных 196511 Понятие функции нескольких переменных Предел и непрерывность 196512 Дифференцирование функций нескольких переменных 199513 Экстремумы функции нескольких переменных 205514 Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов 214515 Основные виды функций нескольких переменных в экономических задачах 219

52 Числовые и функциональные ряды 225521 Определения и свойства числовых рядов 225522 Положительные ряды 227523 Знакочередующиеся ряды 229524 Функциональные ряды 230525 Степенные ряды 231526 Ряды Тейлора и Маклорена Разложение элементарных функций в степенной ряд 232

Задания для самостоятельной работы 236

Глава 6 Дифференциальные и разностные уравнения 23961 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 239

611 Основные понятия 239612 Виды дифференциальных уравнений первого порядка 242613 Уравнения Бернулли и Риккати 251614 Уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множитель 254

62 Дифференциальные уравнения высших порядков 256621 Уравнения допускающие понижение порядка 256622 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 258623 Линейные однородные дифференциальные уравнения Фундаментальный набор решений 259624 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 260625 Линейные неоднородные уравнения 263

6

63 Разностные уравнения 268631 Основные понятия 268632 Линейные разностные уравнения 269633 Применение разностных уравнений в экономической динамике 273

64 Простейшие математические модели экономической динамики с непрерывным временем 276641 Модель естественного роста 277642 Логистический рост 279643 Неоклассический рост 282644 Линейные уравнения в экономической динамике 283

Задания для самостоятельной работы 285

Глава 7 Элементы линейного программирования 28871 Линейные экономические модели 288

711 Модель Леонтьева 288712 Линейная модель обмена Модель международной торговли 290713 Модель равновесных цен 291

72 Задача линейного программирования 292721 Постановка задачи линейного программирования 292722 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных Графический метод решения 294723 Симплекс-метод решения задач линейного программирования 295724 Понятие о взаимно двойственных задачах линейного программирования Двойственность в экономико-математических моделях 297

Задания для самостоятельной работы 300

Глава 8 Элементы вычислительной математики 30381 Элементы машинной арифметики Теория погрешностей

Вычислительные алгоритмы 303811 Понятие о численном методе Аппроксимация 303812 Основы теории погрешностей 305

82 Устойчивость и сходимость алгоритмов 307821 Понятие об устойчивости метода и задачи 307822 Понятие о сходимости численного метода 307

83 Численные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной 308831 Постановка задачи 308832 Метод половинного деления 309833 Метод простой итерации 310834 Метод Ньютона 311

84 Численное интегрирование 312841 Квадратурная формула прямоугольников 312842 Квадратурная формула Симпсона 314843 Квадратурная формула трапеций 314844 Интерполяционный многочлен Лагранжа 316

Задания для самостоятельной работы 317

7

Раздел IIIТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАГлава 9 Теория вероятностей 321

91 Основные понятия теории вероятностей 321911 Случайные события и операции над ними 321912 Классическое определение вероятности 327913 Геометрическое определение вероятности 327914 Основные формулы вычисления вероятностей 328915 Повторные независимые испытания 333

92 Случайные величины 337921 Закон распределения дискретной случайной величины 337922 Арифметические операции над дискретными случайными величинами 339923 Числовые характеристики дискретных случайных величин 343924 Непрерывные случайные величины 349

93 Основные законы распределений наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях 354931 Биномиальный закон распределения 354932 Распределение Пуассона 357933 Геометрическое и гипергеометрическое распределения 359934 Равномерное распределение 361935 Показательное распределение 363936 Нормальное распределение 366937 Логарифмически-нормальное распределение 369

94 Многомерные случайные величины 371941 Дискретные многомерные случайные величины 371942 Непрерывные многомерные случайные величины 377943 Числовые характеристики двумерной случайной величины 381944 Функции от случайных величин 389

95 Закон больших чисел и предельные теоремы 393951 Неравенство Маркова 393952 Теорема Чебышева 395953 Центральная предельная теорема 397

Задания для самостоятельной работы 398

Глава 10 Математическая статистика 405101 Статистические методы обработки экспериментальных данных 405

1011 Эмпирические характеристики признаков 4051012 Выборочный метод 415

102 Статистические оценки параметров распределения 420103 Статистическая проверка гипотез 434104 Элементы корреляционно-регрессионного анализа 450Задания для самостоятельной работы 456

Литература 463Приложение Таблицы значений функций 468

Agraveacircograveicircethcecircegraveeacute ecircicirceumleumlaringecircograveegraveacirc

Хрипунова Марина Борисовна mdash кандидат физико-математически наук доцент заведующая кафедрой математики и информатики Влади-мирского филиала Финансового университета при Правительстве Россий-ской Федерации mdash гл 1 2 4 (параграфы 41mdash43)

Цыганок Ирина Ивановна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Депар-тамента математики и информатики Финансового университета при Пра-вительстве Российской Федерации mdash гл 9 10

Александрова Ирина Александровна mdash доцент кандидат физико-мате-матических наук доцент кафедры прикладной математики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правитель-стве Российской Федерации mdash гл 7

Балджы Анна Сергеевна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского филиала Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 8

Денежкина Ирина Евгеньевна mdash кандидат технических наук доцент заведующая кафедрой теории вероятностей и математической статистики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 6

Никифорова Светлана Владимировна mdash кандидат экономических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского фили-ала Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 3

Степанов Сергей Евгеньевич mdash доктор физико-математических наук профессор кафедры математики-1 Департамента математики и информа-тики Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 4 (параграф 44) 5

10

Acircacircaringaumlaringiacuteegravearing

Общепризнано что математика mdash это один из самых мощных методов изучения окружающего мира с ее помощью можно решать как теоретиче-ские так и практические проблемы возникающие в социально-экономи-ческой сфере деятельности людей Для этого достаточно перевести эконо-мическую транспортную управленческую как впрочем и любую другую задачу на математический язык те построить ее математическую модель Конечно такая модель основана на некотором упрощении и не является точным описанием реального процесса однако математизация практиче-ской задачи позволяет находить необнаруженные ранее закономерности давать математический анализ условий при которых возможно решение такой задачи или строить средствами математики прогноз развития того или иного экономического процесса Современный практик грамотно при-меняющий математику способен принести пользу в любой сфере деятель-ности в том числе и экономической где роль математических методов год от года только возрастает

Математику считают трудной наукой Причина в том что для нее харак-терны и серьезные логические построения не допускающие ни малейшей ошибки и громоздкие формулы Поэтому распространено мнение что среди учебных курсов самые непонятные mdash это курсы лекций по матема-тике В настоящем издании которое предназначено для студентов сред-них профессиональных учебных заведений а также для всех кто изучает данную дисциплину самостоятельно авторы постарались сосредоточиться на практической стороне вопроса Конечно данное издание включает и тео-ретический компонент необходимый для освоения курса высшей мате-матики но больше всего оно будет интересно читателю примерами при-кладных задач с их решениями и заданиями для самостоятельной работы контролирующими усвоение им изученного материала

Содержание учебника соответствует требованиям Федерального госу-дарственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и математической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравнения элементы линейного программирования эле-менты вычислительной математики теория вероятностей и математиче-ская статистика

В результате изучения дисциплины студент должен освоитьтрудовые действия bull владеть навыками применения современного математического

инструментария для решения экономических задач

bull владеть методикой построения анализа и применения математиче-ских моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций соответствующих методам основы математического анализа линейной алгебры теории вероятностей и дискретной математики)

необходимые умения bull применять математические методы для решения экономических

задачнеобходимые знания bull основы математического анализа линейной алгебры теории вероят-

ностей и дискретной математики необходимые для решения финансовых и экономических задач

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-матема-тических наук профессору Финансового университета при Правитель-стве РФ В Ю Попову доктору физико-математических наук профес-сору Университета имени Ф Палацкого (Чешская Республика) Йозефу Микешу за рецензирование рукописи и сделанные замечания

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

УДК 51(07532)ББК 221я723 В93

АвторыХрипунова Марина Борисовна mdash кандидат физико-математических наук доцент

заведующая кафедрой математики и информатики Владимирского филиала Финан-сового университета при Правительстве Российской Федерации

Цыганок Ирина Ивановна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Департамента мате-матики и информатики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

РецензентыПопов В Ю mdash доктор физико-математических наук заведующий кафедрой при-

кладной математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

Микеш Й mdash доктор физико-математических наук профессор университета имени Ф Палацкого Чешской Республики

В93

Высшая математика учебник и практикум для СПО под общ ред М Б Хри-

пуновой И И Цыганок mdash М Издательство Юрайт 2016 mdash 474 с mdash Серия Про-фессиональное образование

ISBN 978-5-9916-9011-9

Содержание издания включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и матема-тической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравне-ния элементы линейного программирования элементы вычислительной математики теория вероятностей математическая статистика

Учебник включает теоретический минимум необходимый для освоения курса высшей математики и большое количество решенных с использованием математиче-ского аппарата задач экономического содержания и упражнений для самостоятельной работы контролирующих усвоение изученного материала

Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образо-вательного стандарта среднего профессионального образования и профессиональным требованиям

Для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образо-вания обучающихся по экономическим направлениям и специальностям а также для всех кто изучает высшую математику самостоятельно

УДК 51(07532)ББК 221я723

ISBN 978-5-9916-9011-9copy Коллектив авторов 2014copy ООО laquoИздательство Юрайтraquo 2016

Все права защищены Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских правПравовую поддержку издательства обеспечивает юридическая компания laquoДельфиraquo

3

Icircatildeeumlagraveacirceumlaringiacuteegravearing

Авторcкий коллектив 9Введение10

Раздел IЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИГлава 1 Элементы линейной алгебры 15

11 Матрицы и действия над ними 15111 Виды матриц 15112 Операции над матрицами и их свойства 17

12 Определители 20121 Определители второго и третьего порядков 21122 Определители и свойства определителей n-го порядка 21123 Обратная матрица 23124 Ранг матрицы 24

13 Системы линейных уравнений 31131 Основные понятия и определения32132 Метод Гаусса35133 Метод обратной матрицы 36134 Правило Крамера 37

14 Комплексные числа 45141 Действия над комплексными числами в алгебраической форме 45142 Тригонометрическая и экспоненциальная формы комплексного числа 47

Задания для самостоятельной работы 51

Глава 2 Элементы аналитической геометрии 5621 Линейные пространства 56

211 Векторы на плоскости и в пространстве Операции над векторами 56212 n-мерные векторные пространства 65213 Линейная зависимость векторов Базис и размерность линейного пространства 67

22 Линейные операторы 79221 Матрица линейного оператора 80222 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 81

4

23 Квадратичные формы 8424 Фигуры на плоскости и в пространстве 86

241 Прямая на плоскости 86242 Кривые второго порядка 88243 Прямая и плоскость в пространстве 95

Задания для самостоятельной работы 97

Глава 3 Элементы дискретной математики и математической логики 10031 Комбинаторика 100

311 Элементы теории множеств Правила суммы и произведения 101312 Размещения перестановки сочетания без повторений и с повторениями 105313 Задачи перечисления 108

32 Математическая логика 110321 Высказывания Основные логические операции и их свойства 110322 Логические функции и способы их задания 114323 Исчисление высказываний 116324 Логика предикатов 118

33 Элементы теории графов 122331 Общие понятия теории графов Вершины и ребра 122332 Связность графа Графы и деревья 124333 Эйлеровы путь и цикл 128

Задания для самостоятельной работы 130

Раздел IIМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Глава 4 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 135

41 Пределы и непрерывность 135411 Числовые функции 135412 Предел числовой последовательности 137413 Предел функции 139414 Теоремы о пределах функций 141415 Непрерывность функции 144

42 Дифференциальное исчисление функции одной переменной 148421 Производная функции таблица производных 148422 Основные правила дифференцирования 151423 Основные теоремы дифференциального исчисления 154424 Исследование функций с помощью производных построение графиков 156425 Дифференциал функции и его приложения 164

43 Интегральное исчисление функций одной переменной 165431 Первообразная и неопределенный интеграл 165

5

432 Методы интегрирования 168433 Определенный интеграл и его свойства 179434 Приложения определенного интеграла 181435 Несобственные интегралы 183

44 Примеры применения дифференциального исчисления для решения финансово-экономических задач 184441 Эластичность функции ее свойства и геометрический смысл 184442 Функция спроса 187443 Функция предложения 189444 Предельные величины в экономике и оптимизация прибыли 190

Задания для самостоятельной работы 192

Глава 5 Функции нескольких переменных числовые и функциональные ряды 196

51 Функции нескольких переменных 196511 Понятие функции нескольких переменных Предел и непрерывность 196512 Дифференцирование функций нескольких переменных 199513 Экстремумы функции нескольких переменных 205514 Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов 214515 Основные виды функций нескольких переменных в экономических задачах 219

52 Числовые и функциональные ряды 225521 Определения и свойства числовых рядов 225522 Положительные ряды 227523 Знакочередующиеся ряды 229524 Функциональные ряды 230525 Степенные ряды 231526 Ряды Тейлора и Маклорена Разложение элементарных функций в степенной ряд 232

Задания для самостоятельной работы 236

Глава 6 Дифференциальные и разностные уравнения 23961 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 239

611 Основные понятия 239612 Виды дифференциальных уравнений первого порядка 242613 Уравнения Бернулли и Риккати 251614 Уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множитель 254

62 Дифференциальные уравнения высших порядков 256621 Уравнения допускающие понижение порядка 256622 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 258623 Линейные однородные дифференциальные уравнения Фундаментальный набор решений 259624 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 260625 Линейные неоднородные уравнения 263

6

63 Разностные уравнения 268631 Основные понятия 268632 Линейные разностные уравнения 269633 Применение разностных уравнений в экономической динамике 273

64 Простейшие математические модели экономической динамики с непрерывным временем 276641 Модель естественного роста 277642 Логистический рост 279643 Неоклассический рост 282644 Линейные уравнения в экономической динамике 283

Задания для самостоятельной работы 285

Глава 7 Элементы линейного программирования 28871 Линейные экономические модели 288

711 Модель Леонтьева 288712 Линейная модель обмена Модель международной торговли 290713 Модель равновесных цен 291

72 Задача линейного программирования 292721 Постановка задачи линейного программирования 292722 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных Графический метод решения 294723 Симплекс-метод решения задач линейного программирования 295724 Понятие о взаимно двойственных задачах линейного программирования Двойственность в экономико-математических моделях 297

Задания для самостоятельной работы 300

Глава 8 Элементы вычислительной математики 30381 Элементы машинной арифметики Теория погрешностей

Вычислительные алгоритмы 303811 Понятие о численном методе Аппроксимация 303812 Основы теории погрешностей 305

82 Устойчивость и сходимость алгоритмов 307821 Понятие об устойчивости метода и задачи 307822 Понятие о сходимости численного метода 307

83 Численные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной 308831 Постановка задачи 308832 Метод половинного деления 309833 Метод простой итерации 310834 Метод Ньютона 311

84 Численное интегрирование 312841 Квадратурная формула прямоугольников 312842 Квадратурная формула Симпсона 314843 Квадратурная формула трапеций 314844 Интерполяционный многочлен Лагранжа 316

Задания для самостоятельной работы 317

7

Раздел IIIТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАГлава 9 Теория вероятностей 321

91 Основные понятия теории вероятностей 321911 Случайные события и операции над ними 321912 Классическое определение вероятности 327913 Геометрическое определение вероятности 327914 Основные формулы вычисления вероятностей 328915 Повторные независимые испытания 333

92 Случайные величины 337921 Закон распределения дискретной случайной величины 337922 Арифметические операции над дискретными случайными величинами 339923 Числовые характеристики дискретных случайных величин 343924 Непрерывные случайные величины 349

93 Основные законы распределений наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях 354931 Биномиальный закон распределения 354932 Распределение Пуассона 357933 Геометрическое и гипергеометрическое распределения 359934 Равномерное распределение 361935 Показательное распределение 363936 Нормальное распределение 366937 Логарифмически-нормальное распределение 369

94 Многомерные случайные величины 371941 Дискретные многомерные случайные величины 371942 Непрерывные многомерные случайные величины 377943 Числовые характеристики двумерной случайной величины 381944 Функции от случайных величин 389

95 Закон больших чисел и предельные теоремы 393951 Неравенство Маркова 393952 Теорема Чебышева 395953 Центральная предельная теорема 397

Задания для самостоятельной работы 398

Глава 10 Математическая статистика 405101 Статистические методы обработки экспериментальных данных 405

1011 Эмпирические характеристики признаков 4051012 Выборочный метод 415

102 Статистические оценки параметров распределения 420103 Статистическая проверка гипотез 434104 Элементы корреляционно-регрессионного анализа 450Задания для самостоятельной работы 456

Литература 463Приложение Таблицы значений функций 468

Agraveacircograveicircethcecircegraveeacute ecircicirceumleumlaringecircograveegraveacirc

Хрипунова Марина Борисовна mdash кандидат физико-математически наук доцент заведующая кафедрой математики и информатики Влади-мирского филиала Финансового университета при Правительстве Россий-ской Федерации mdash гл 1 2 4 (параграфы 41mdash43)

Цыганок Ирина Ивановна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Депар-тамента математики и информатики Финансового университета при Пра-вительстве Российской Федерации mdash гл 9 10

Александрова Ирина Александровна mdash доцент кандидат физико-мате-матических наук доцент кафедры прикладной математики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правитель-стве Российской Федерации mdash гл 7

Балджы Анна Сергеевна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского филиала Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 8

Денежкина Ирина Евгеньевна mdash кандидат технических наук доцент заведующая кафедрой теории вероятностей и математической статистики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 6

Никифорова Светлана Владимировна mdash кандидат экономических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского фили-ала Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 3

Степанов Сергей Евгеньевич mdash доктор физико-математических наук профессор кафедры математики-1 Департамента математики и информа-тики Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 4 (параграф 44) 5

10

Acircacircaringaumlaringiacuteegravearing

Общепризнано что математика mdash это один из самых мощных методов изучения окружающего мира с ее помощью можно решать как теоретиче-ские так и практические проблемы возникающие в социально-экономи-ческой сфере деятельности людей Для этого достаточно перевести эконо-мическую транспортную управленческую как впрочем и любую другую задачу на математический язык те построить ее математическую модель Конечно такая модель основана на некотором упрощении и не является точным описанием реального процесса однако математизация практиче-ской задачи позволяет находить необнаруженные ранее закономерности давать математический анализ условий при которых возможно решение такой задачи или строить средствами математики прогноз развития того или иного экономического процесса Современный практик грамотно при-меняющий математику способен принести пользу в любой сфере деятель-ности в том числе и экономической где роль математических методов год от года только возрастает

Математику считают трудной наукой Причина в том что для нее харак-терны и серьезные логические построения не допускающие ни малейшей ошибки и громоздкие формулы Поэтому распространено мнение что среди учебных курсов самые непонятные mdash это курсы лекций по матема-тике В настоящем издании которое предназначено для студентов сред-них профессиональных учебных заведений а также для всех кто изучает данную дисциплину самостоятельно авторы постарались сосредоточиться на практической стороне вопроса Конечно данное издание включает и тео-ретический компонент необходимый для освоения курса высшей мате-матики но больше всего оно будет интересно читателю примерами при-кладных задач с их решениями и заданиями для самостоятельной работы контролирующими усвоение им изученного материала

Содержание учебника соответствует требованиям Федерального госу-дарственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и математической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравнения элементы линейного программирования эле-менты вычислительной математики теория вероятностей и математиче-ская статистика

В результате изучения дисциплины студент должен освоитьтрудовые действия bull владеть навыками применения современного математического

инструментария для решения экономических задач

bull владеть методикой построения анализа и применения математиче-ских моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций соответствующих методам основы математического анализа линейной алгебры теории вероятностей и дискретной математики)

необходимые умения bull применять математические методы для решения экономических

задачнеобходимые знания bull основы математического анализа линейной алгебры теории вероят-

ностей и дискретной математики необходимые для решения финансовых и экономических задач

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-матема-тических наук профессору Финансового университета при Правитель-стве РФ В Ю Попову доктору физико-математических наук профес-сору Университета имени Ф Палацкого (Чешская Республика) Йозефу Микешу за рецензирование рукописи и сделанные замечания

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

3

Icircatildeeumlagraveacirceumlaringiacuteegravearing

Авторcкий коллектив 9Введение10

Раздел IЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИГлава 1 Элементы линейной алгебры 15

11 Матрицы и действия над ними 15111 Виды матриц 15112 Операции над матрицами и их свойства 17

12 Определители 20121 Определители второго и третьего порядков 21122 Определители и свойства определителей n-го порядка 21123 Обратная матрица 23124 Ранг матрицы 24

13 Системы линейных уравнений 31131 Основные понятия и определения32132 Метод Гаусса35133 Метод обратной матрицы 36134 Правило Крамера 37

14 Комплексные числа 45141 Действия над комплексными числами в алгебраической форме 45142 Тригонометрическая и экспоненциальная формы комплексного числа 47

Задания для самостоятельной работы 51

Глава 2 Элементы аналитической геометрии 5621 Линейные пространства 56

211 Векторы на плоскости и в пространстве Операции над векторами 56212 n-мерные векторные пространства 65213 Линейная зависимость векторов Базис и размерность линейного пространства 67

22 Линейные операторы 79221 Матрица линейного оператора 80222 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 81

4

23 Квадратичные формы 8424 Фигуры на плоскости и в пространстве 86

241 Прямая на плоскости 86242 Кривые второго порядка 88243 Прямая и плоскость в пространстве 95

Задания для самостоятельной работы 97

Глава 3 Элементы дискретной математики и математической логики 10031 Комбинаторика 100

311 Элементы теории множеств Правила суммы и произведения 101312 Размещения перестановки сочетания без повторений и с повторениями 105313 Задачи перечисления 108

32 Математическая логика 110321 Высказывания Основные логические операции и их свойства 110322 Логические функции и способы их задания 114323 Исчисление высказываний 116324 Логика предикатов 118

33 Элементы теории графов 122331 Общие понятия теории графов Вершины и ребра 122332 Связность графа Графы и деревья 124333 Эйлеровы путь и цикл 128

Задания для самостоятельной работы 130

Раздел IIМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Глава 4 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 135

41 Пределы и непрерывность 135411 Числовые функции 135412 Предел числовой последовательности 137413 Предел функции 139414 Теоремы о пределах функций 141415 Непрерывность функции 144

42 Дифференциальное исчисление функции одной переменной 148421 Производная функции таблица производных 148422 Основные правила дифференцирования 151423 Основные теоремы дифференциального исчисления 154424 Исследование функций с помощью производных построение графиков 156425 Дифференциал функции и его приложения 164

43 Интегральное исчисление функций одной переменной 165431 Первообразная и неопределенный интеграл 165

5

432 Методы интегрирования 168433 Определенный интеграл и его свойства 179434 Приложения определенного интеграла 181435 Несобственные интегралы 183

44 Примеры применения дифференциального исчисления для решения финансово-экономических задач 184441 Эластичность функции ее свойства и геометрический смысл 184442 Функция спроса 187443 Функция предложения 189444 Предельные величины в экономике и оптимизация прибыли 190

Задания для самостоятельной работы 192

Глава 5 Функции нескольких переменных числовые и функциональные ряды 196

51 Функции нескольких переменных 196511 Понятие функции нескольких переменных Предел и непрерывность 196512 Дифференцирование функций нескольких переменных 199513 Экстремумы функции нескольких переменных 205514 Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов 214515 Основные виды функций нескольких переменных в экономических задачах 219

52 Числовые и функциональные ряды 225521 Определения и свойства числовых рядов 225522 Положительные ряды 227523 Знакочередующиеся ряды 229524 Функциональные ряды 230525 Степенные ряды 231526 Ряды Тейлора и Маклорена Разложение элементарных функций в степенной ряд 232

Задания для самостоятельной работы 236

Глава 6 Дифференциальные и разностные уравнения 23961 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 239

611 Основные понятия 239612 Виды дифференциальных уравнений первого порядка 242613 Уравнения Бернулли и Риккати 251614 Уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множитель 254

62 Дифференциальные уравнения высших порядков 256621 Уравнения допускающие понижение порядка 256622 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 258623 Линейные однородные дифференциальные уравнения Фундаментальный набор решений 259624 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 260625 Линейные неоднородные уравнения 263

6

63 Разностные уравнения 268631 Основные понятия 268632 Линейные разностные уравнения 269633 Применение разностных уравнений в экономической динамике 273

64 Простейшие математические модели экономической динамики с непрерывным временем 276641 Модель естественного роста 277642 Логистический рост 279643 Неоклассический рост 282644 Линейные уравнения в экономической динамике 283

Задания для самостоятельной работы 285

Глава 7 Элементы линейного программирования 28871 Линейные экономические модели 288

711 Модель Леонтьева 288712 Линейная модель обмена Модель международной торговли 290713 Модель равновесных цен 291

72 Задача линейного программирования 292721 Постановка задачи линейного программирования 292722 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных Графический метод решения 294723 Симплекс-метод решения задач линейного программирования 295724 Понятие о взаимно двойственных задачах линейного программирования Двойственность в экономико-математических моделях 297

Задания для самостоятельной работы 300

Глава 8 Элементы вычислительной математики 30381 Элементы машинной арифметики Теория погрешностей

Вычислительные алгоритмы 303811 Понятие о численном методе Аппроксимация 303812 Основы теории погрешностей 305

82 Устойчивость и сходимость алгоритмов 307821 Понятие об устойчивости метода и задачи 307822 Понятие о сходимости численного метода 307

83 Численные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной 308831 Постановка задачи 308832 Метод половинного деления 309833 Метод простой итерации 310834 Метод Ньютона 311

84 Численное интегрирование 312841 Квадратурная формула прямоугольников 312842 Квадратурная формула Симпсона 314843 Квадратурная формула трапеций 314844 Интерполяционный многочлен Лагранжа 316

Задания для самостоятельной работы 317

7

Раздел IIIТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАГлава 9 Теория вероятностей 321

91 Основные понятия теории вероятностей 321911 Случайные события и операции над ними 321912 Классическое определение вероятности 327913 Геометрическое определение вероятности 327914 Основные формулы вычисления вероятностей 328915 Повторные независимые испытания 333

92 Случайные величины 337921 Закон распределения дискретной случайной величины 337922 Арифметические операции над дискретными случайными величинами 339923 Числовые характеристики дискретных случайных величин 343924 Непрерывные случайные величины 349

93 Основные законы распределений наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях 354931 Биномиальный закон распределения 354932 Распределение Пуассона 357933 Геометрическое и гипергеометрическое распределения 359934 Равномерное распределение 361935 Показательное распределение 363936 Нормальное распределение 366937 Логарифмически-нормальное распределение 369

94 Многомерные случайные величины 371941 Дискретные многомерные случайные величины 371942 Непрерывные многомерные случайные величины 377943 Числовые характеристики двумерной случайной величины 381944 Функции от случайных величин 389

95 Закон больших чисел и предельные теоремы 393951 Неравенство Маркова 393952 Теорема Чебышева 395953 Центральная предельная теорема 397

Задания для самостоятельной работы 398

Глава 10 Математическая статистика 405101 Статистические методы обработки экспериментальных данных 405

1011 Эмпирические характеристики признаков 4051012 Выборочный метод 415

102 Статистические оценки параметров распределения 420103 Статистическая проверка гипотез 434104 Элементы корреляционно-регрессионного анализа 450Задания для самостоятельной работы 456

Литература 463Приложение Таблицы значений функций 468

Agraveacircograveicircethcecircegraveeacute ecircicirceumleumlaringecircograveegraveacirc

Хрипунова Марина Борисовна mdash кандидат физико-математически наук доцент заведующая кафедрой математики и информатики Влади-мирского филиала Финансового университета при Правительстве Россий-ской Федерации mdash гл 1 2 4 (параграфы 41mdash43)

Цыганок Ирина Ивановна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Депар-тамента математики и информатики Финансового университета при Пра-вительстве Российской Федерации mdash гл 9 10

Александрова Ирина Александровна mdash доцент кандидат физико-мате-матических наук доцент кафедры прикладной математики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правитель-стве Российской Федерации mdash гл 7

Балджы Анна Сергеевна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского филиала Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 8

Денежкина Ирина Евгеньевна mdash кандидат технических наук доцент заведующая кафедрой теории вероятностей и математической статистики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 6

Никифорова Светлана Владимировна mdash кандидат экономических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского фили-ала Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 3

Степанов Сергей Евгеньевич mdash доктор физико-математических наук профессор кафедры математики-1 Департамента математики и информа-тики Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 4 (параграф 44) 5

10

Acircacircaringaumlaringiacuteegravearing

Общепризнано что математика mdash это один из самых мощных методов изучения окружающего мира с ее помощью можно решать как теоретиче-ские так и практические проблемы возникающие в социально-экономи-ческой сфере деятельности людей Для этого достаточно перевести эконо-мическую транспортную управленческую как впрочем и любую другую задачу на математический язык те построить ее математическую модель Конечно такая модель основана на некотором упрощении и не является точным описанием реального процесса однако математизация практиче-ской задачи позволяет находить необнаруженные ранее закономерности давать математический анализ условий при которых возможно решение такой задачи или строить средствами математики прогноз развития того или иного экономического процесса Современный практик грамотно при-меняющий математику способен принести пользу в любой сфере деятель-ности в том числе и экономической где роль математических методов год от года только возрастает

Математику считают трудной наукой Причина в том что для нее харак-терны и серьезные логические построения не допускающие ни малейшей ошибки и громоздкие формулы Поэтому распространено мнение что среди учебных курсов самые непонятные mdash это курсы лекций по матема-тике В настоящем издании которое предназначено для студентов сред-них профессиональных учебных заведений а также для всех кто изучает данную дисциплину самостоятельно авторы постарались сосредоточиться на практической стороне вопроса Конечно данное издание включает и тео-ретический компонент необходимый для освоения курса высшей мате-матики но больше всего оно будет интересно читателю примерами при-кладных задач с их решениями и заданиями для самостоятельной работы контролирующими усвоение им изученного материала

Содержание учебника соответствует требованиям Федерального госу-дарственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и математической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравнения элементы линейного программирования эле-менты вычислительной математики теория вероятностей и математиче-ская статистика

В результате изучения дисциплины студент должен освоитьтрудовые действия bull владеть навыками применения современного математического

инструментария для решения экономических задач

bull владеть методикой построения анализа и применения математиче-ских моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций соответствующих методам основы математического анализа линейной алгебры теории вероятностей и дискретной математики)

необходимые умения bull применять математические методы для решения экономических

задачнеобходимые знания bull основы математического анализа линейной алгебры теории вероят-

ностей и дискретной математики необходимые для решения финансовых и экономических задач

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-матема-тических наук профессору Финансового университета при Правитель-стве РФ В Ю Попову доктору физико-математических наук профес-сору Университета имени Ф Палацкого (Чешская Республика) Йозефу Микешу за рецензирование рукописи и сделанные замечания

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

4

23 Квадратичные формы 8424 Фигуры на плоскости и в пространстве 86

241 Прямая на плоскости 86242 Кривые второго порядка 88243 Прямая и плоскость в пространстве 95

Задания для самостоятельной работы 97

Глава 3 Элементы дискретной математики и математической логики 10031 Комбинаторика 100

311 Элементы теории множеств Правила суммы и произведения 101312 Размещения перестановки сочетания без повторений и с повторениями 105313 Задачи перечисления 108

32 Математическая логика 110321 Высказывания Основные логические операции и их свойства 110322 Логические функции и способы их задания 114323 Исчисление высказываний 116324 Логика предикатов 118

33 Элементы теории графов 122331 Общие понятия теории графов Вершины и ребра 122332 Связность графа Графы и деревья 124333 Эйлеровы путь и цикл 128

Задания для самостоятельной работы 130

Раздел IIМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Глава 4 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 135

41 Пределы и непрерывность 135411 Числовые функции 135412 Предел числовой последовательности 137413 Предел функции 139414 Теоремы о пределах функций 141415 Непрерывность функции 144

42 Дифференциальное исчисление функции одной переменной 148421 Производная функции таблица производных 148422 Основные правила дифференцирования 151423 Основные теоремы дифференциального исчисления 154424 Исследование функций с помощью производных построение графиков 156425 Дифференциал функции и его приложения 164

43 Интегральное исчисление функций одной переменной 165431 Первообразная и неопределенный интеграл 165

5

432 Методы интегрирования 168433 Определенный интеграл и его свойства 179434 Приложения определенного интеграла 181435 Несобственные интегралы 183

44 Примеры применения дифференциального исчисления для решения финансово-экономических задач 184441 Эластичность функции ее свойства и геометрический смысл 184442 Функция спроса 187443 Функция предложения 189444 Предельные величины в экономике и оптимизация прибыли 190

Задания для самостоятельной работы 192

Глава 5 Функции нескольких переменных числовые и функциональные ряды 196

51 Функции нескольких переменных 196511 Понятие функции нескольких переменных Предел и непрерывность 196512 Дифференцирование функций нескольких переменных 199513 Экстремумы функции нескольких переменных 205514 Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов 214515 Основные виды функций нескольких переменных в экономических задачах 219

52 Числовые и функциональные ряды 225521 Определения и свойства числовых рядов 225522 Положительные ряды 227523 Знакочередующиеся ряды 229524 Функциональные ряды 230525 Степенные ряды 231526 Ряды Тейлора и Маклорена Разложение элементарных функций в степенной ряд 232

Задания для самостоятельной работы 236

Глава 6 Дифференциальные и разностные уравнения 23961 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 239

611 Основные понятия 239612 Виды дифференциальных уравнений первого порядка 242613 Уравнения Бернулли и Риккати 251614 Уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множитель 254

62 Дифференциальные уравнения высших порядков 256621 Уравнения допускающие понижение порядка 256622 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 258623 Линейные однородные дифференциальные уравнения Фундаментальный набор решений 259624 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 260625 Линейные неоднородные уравнения 263

6

63 Разностные уравнения 268631 Основные понятия 268632 Линейные разностные уравнения 269633 Применение разностных уравнений в экономической динамике 273

64 Простейшие математические модели экономической динамики с непрерывным временем 276641 Модель естественного роста 277642 Логистический рост 279643 Неоклассический рост 282644 Линейные уравнения в экономической динамике 283

Задания для самостоятельной работы 285

Глава 7 Элементы линейного программирования 28871 Линейные экономические модели 288

711 Модель Леонтьева 288712 Линейная модель обмена Модель международной торговли 290713 Модель равновесных цен 291

72 Задача линейного программирования 292721 Постановка задачи линейного программирования 292722 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных Графический метод решения 294723 Симплекс-метод решения задач линейного программирования 295724 Понятие о взаимно двойственных задачах линейного программирования Двойственность в экономико-математических моделях 297

Задания для самостоятельной работы 300

Глава 8 Элементы вычислительной математики 30381 Элементы машинной арифметики Теория погрешностей

Вычислительные алгоритмы 303811 Понятие о численном методе Аппроксимация 303812 Основы теории погрешностей 305

82 Устойчивость и сходимость алгоритмов 307821 Понятие об устойчивости метода и задачи 307822 Понятие о сходимости численного метода 307

83 Численные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной 308831 Постановка задачи 308832 Метод половинного деления 309833 Метод простой итерации 310834 Метод Ньютона 311

84 Численное интегрирование 312841 Квадратурная формула прямоугольников 312842 Квадратурная формула Симпсона 314843 Квадратурная формула трапеций 314844 Интерполяционный многочлен Лагранжа 316

Задания для самостоятельной работы 317

7

Раздел IIIТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАГлава 9 Теория вероятностей 321

91 Основные понятия теории вероятностей 321911 Случайные события и операции над ними 321912 Классическое определение вероятности 327913 Геометрическое определение вероятности 327914 Основные формулы вычисления вероятностей 328915 Повторные независимые испытания 333

92 Случайные величины 337921 Закон распределения дискретной случайной величины 337922 Арифметические операции над дискретными случайными величинами 339923 Числовые характеристики дискретных случайных величин 343924 Непрерывные случайные величины 349

93 Основные законы распределений наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях 354931 Биномиальный закон распределения 354932 Распределение Пуассона 357933 Геометрическое и гипергеометрическое распределения 359934 Равномерное распределение 361935 Показательное распределение 363936 Нормальное распределение 366937 Логарифмически-нормальное распределение 369

94 Многомерные случайные величины 371941 Дискретные многомерные случайные величины 371942 Непрерывные многомерные случайные величины 377943 Числовые характеристики двумерной случайной величины 381944 Функции от случайных величин 389

95 Закон больших чисел и предельные теоремы 393951 Неравенство Маркова 393952 Теорема Чебышева 395953 Центральная предельная теорема 397

Задания для самостоятельной работы 398

Глава 10 Математическая статистика 405101 Статистические методы обработки экспериментальных данных 405

1011 Эмпирические характеристики признаков 4051012 Выборочный метод 415

102 Статистические оценки параметров распределения 420103 Статистическая проверка гипотез 434104 Элементы корреляционно-регрессионного анализа 450Задания для самостоятельной работы 456

Литература 463Приложение Таблицы значений функций 468

Agraveacircograveicircethcecircegraveeacute ecircicirceumleumlaringecircograveegraveacirc

Хрипунова Марина Борисовна mdash кандидат физико-математически наук доцент заведующая кафедрой математики и информатики Влади-мирского филиала Финансового университета при Правительстве Россий-ской Федерации mdash гл 1 2 4 (параграфы 41mdash43)

Цыганок Ирина Ивановна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Депар-тамента математики и информатики Финансового университета при Пра-вительстве Российской Федерации mdash гл 9 10

Александрова Ирина Александровна mdash доцент кандидат физико-мате-матических наук доцент кафедры прикладной математики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правитель-стве Российской Федерации mdash гл 7

Балджы Анна Сергеевна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского филиала Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 8

Денежкина Ирина Евгеньевна mdash кандидат технических наук доцент заведующая кафедрой теории вероятностей и математической статистики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 6

Никифорова Светлана Владимировна mdash кандидат экономических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского фили-ала Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 3

Степанов Сергей Евгеньевич mdash доктор физико-математических наук профессор кафедры математики-1 Департамента математики и информа-тики Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 4 (параграф 44) 5

10

Acircacircaringaumlaringiacuteegravearing

Общепризнано что математика mdash это один из самых мощных методов изучения окружающего мира с ее помощью можно решать как теоретиче-ские так и практические проблемы возникающие в социально-экономи-ческой сфере деятельности людей Для этого достаточно перевести эконо-мическую транспортную управленческую как впрочем и любую другую задачу на математический язык те построить ее математическую модель Конечно такая модель основана на некотором упрощении и не является точным описанием реального процесса однако математизация практиче-ской задачи позволяет находить необнаруженные ранее закономерности давать математический анализ условий при которых возможно решение такой задачи или строить средствами математики прогноз развития того или иного экономического процесса Современный практик грамотно при-меняющий математику способен принести пользу в любой сфере деятель-ности в том числе и экономической где роль математических методов год от года только возрастает

Математику считают трудной наукой Причина в том что для нее харак-терны и серьезные логические построения не допускающие ни малейшей ошибки и громоздкие формулы Поэтому распространено мнение что среди учебных курсов самые непонятные mdash это курсы лекций по матема-тике В настоящем издании которое предназначено для студентов сред-них профессиональных учебных заведений а также для всех кто изучает данную дисциплину самостоятельно авторы постарались сосредоточиться на практической стороне вопроса Конечно данное издание включает и тео-ретический компонент необходимый для освоения курса высшей мате-матики но больше всего оно будет интересно читателю примерами при-кладных задач с их решениями и заданиями для самостоятельной работы контролирующими усвоение им изученного материала

Содержание учебника соответствует требованиям Федерального госу-дарственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и математической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравнения элементы линейного программирования эле-менты вычислительной математики теория вероятностей и математиче-ская статистика

В результате изучения дисциплины студент должен освоитьтрудовые действия bull владеть навыками применения современного математического

инструментария для решения экономических задач

bull владеть методикой построения анализа и применения математиче-ских моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций соответствующих методам основы математического анализа линейной алгебры теории вероятностей и дискретной математики)

необходимые умения bull применять математические методы для решения экономических

задачнеобходимые знания bull основы математического анализа линейной алгебры теории вероят-

ностей и дискретной математики необходимые для решения финансовых и экономических задач

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-матема-тических наук профессору Финансового университета при Правитель-стве РФ В Ю Попову доктору физико-математических наук профес-сору Университета имени Ф Палацкого (Чешская Республика) Йозефу Микешу за рецензирование рукописи и сделанные замечания

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

5

432 Методы интегрирования 168433 Определенный интеграл и его свойства 179434 Приложения определенного интеграла 181435 Несобственные интегралы 183

44 Примеры применения дифференциального исчисления для решения финансово-экономических задач 184441 Эластичность функции ее свойства и геометрический смысл 184442 Функция спроса 187443 Функция предложения 189444 Предельные величины в экономике и оптимизация прибыли 190

Задания для самостоятельной работы 192

Глава 5 Функции нескольких переменных числовые и функциональные ряды 196

51 Функции нескольких переменных 196511 Понятие функции нескольких переменных Предел и непрерывность 196512 Дифференцирование функций нескольких переменных 199513 Экстремумы функции нескольких переменных 205514 Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов 214515 Основные виды функций нескольких переменных в экономических задачах 219

52 Числовые и функциональные ряды 225521 Определения и свойства числовых рядов 225522 Положительные ряды 227523 Знакочередующиеся ряды 229524 Функциональные ряды 230525 Степенные ряды 231526 Ряды Тейлора и Маклорена Разложение элементарных функций в степенной ряд 232

Задания для самостоятельной работы 236

Глава 6 Дифференциальные и разностные уравнения 23961 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 239

611 Основные понятия 239612 Виды дифференциальных уравнений первого порядка 242613 Уравнения Бернулли и Риккати 251614 Уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множитель 254

62 Дифференциальные уравнения высших порядков 256621 Уравнения допускающие понижение порядка 256622 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 258623 Линейные однородные дифференциальные уравнения Фундаментальный набор решений 259624 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 260625 Линейные неоднородные уравнения 263

6

63 Разностные уравнения 268631 Основные понятия 268632 Линейные разностные уравнения 269633 Применение разностных уравнений в экономической динамике 273

64 Простейшие математические модели экономической динамики с непрерывным временем 276641 Модель естественного роста 277642 Логистический рост 279643 Неоклассический рост 282644 Линейные уравнения в экономической динамике 283

Задания для самостоятельной работы 285

Глава 7 Элементы линейного программирования 28871 Линейные экономические модели 288

711 Модель Леонтьева 288712 Линейная модель обмена Модель международной торговли 290713 Модель равновесных цен 291

72 Задача линейного программирования 292721 Постановка задачи линейного программирования 292722 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных Графический метод решения 294723 Симплекс-метод решения задач линейного программирования 295724 Понятие о взаимно двойственных задачах линейного программирования Двойственность в экономико-математических моделях 297

Задания для самостоятельной работы 300

Глава 8 Элементы вычислительной математики 30381 Элементы машинной арифметики Теория погрешностей

Вычислительные алгоритмы 303811 Понятие о численном методе Аппроксимация 303812 Основы теории погрешностей 305

82 Устойчивость и сходимость алгоритмов 307821 Понятие об устойчивости метода и задачи 307822 Понятие о сходимости численного метода 307

83 Численные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной 308831 Постановка задачи 308832 Метод половинного деления 309833 Метод простой итерации 310834 Метод Ньютона 311

84 Численное интегрирование 312841 Квадратурная формула прямоугольников 312842 Квадратурная формула Симпсона 314843 Квадратурная формула трапеций 314844 Интерполяционный многочлен Лагранжа 316

Задания для самостоятельной работы 317

7

Раздел IIIТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАГлава 9 Теория вероятностей 321

91 Основные понятия теории вероятностей 321911 Случайные события и операции над ними 321912 Классическое определение вероятности 327913 Геометрическое определение вероятности 327914 Основные формулы вычисления вероятностей 328915 Повторные независимые испытания 333

92 Случайные величины 337921 Закон распределения дискретной случайной величины 337922 Арифметические операции над дискретными случайными величинами 339923 Числовые характеристики дискретных случайных величин 343924 Непрерывные случайные величины 349

93 Основные законы распределений наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях 354931 Биномиальный закон распределения 354932 Распределение Пуассона 357933 Геометрическое и гипергеометрическое распределения 359934 Равномерное распределение 361935 Показательное распределение 363936 Нормальное распределение 366937 Логарифмически-нормальное распределение 369

94 Многомерные случайные величины 371941 Дискретные многомерные случайные величины 371942 Непрерывные многомерные случайные величины 377943 Числовые характеристики двумерной случайной величины 381944 Функции от случайных величин 389

95 Закон больших чисел и предельные теоремы 393951 Неравенство Маркова 393952 Теорема Чебышева 395953 Центральная предельная теорема 397

Задания для самостоятельной работы 398

Глава 10 Математическая статистика 405101 Статистические методы обработки экспериментальных данных 405

1011 Эмпирические характеристики признаков 4051012 Выборочный метод 415

102 Статистические оценки параметров распределения 420103 Статистическая проверка гипотез 434104 Элементы корреляционно-регрессионного анализа 450Задания для самостоятельной работы 456

Литература 463Приложение Таблицы значений функций 468

Agraveacircograveicircethcecircegraveeacute ecircicirceumleumlaringecircograveegraveacirc

Хрипунова Марина Борисовна mdash кандидат физико-математически наук доцент заведующая кафедрой математики и информатики Влади-мирского филиала Финансового университета при Правительстве Россий-ской Федерации mdash гл 1 2 4 (параграфы 41mdash43)

Цыганок Ирина Ивановна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Депар-тамента математики и информатики Финансового университета при Пра-вительстве Российской Федерации mdash гл 9 10

Александрова Ирина Александровна mdash доцент кандидат физико-мате-матических наук доцент кафедры прикладной математики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правитель-стве Российской Федерации mdash гл 7

Балджы Анна Сергеевна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского филиала Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 8

Денежкина Ирина Евгеньевна mdash кандидат технических наук доцент заведующая кафедрой теории вероятностей и математической статистики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 6

Никифорова Светлана Владимировна mdash кандидат экономических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского фили-ала Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 3

Степанов Сергей Евгеньевич mdash доктор физико-математических наук профессор кафедры математики-1 Департамента математики и информа-тики Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 4 (параграф 44) 5

10

Acircacircaringaumlaringiacuteegravearing

Общепризнано что математика mdash это один из самых мощных методов изучения окружающего мира с ее помощью можно решать как теоретиче-ские так и практические проблемы возникающие в социально-экономи-ческой сфере деятельности людей Для этого достаточно перевести эконо-мическую транспортную управленческую как впрочем и любую другую задачу на математический язык те построить ее математическую модель Конечно такая модель основана на некотором упрощении и не является точным описанием реального процесса однако математизация практиче-ской задачи позволяет находить необнаруженные ранее закономерности давать математический анализ условий при которых возможно решение такой задачи или строить средствами математики прогноз развития того или иного экономического процесса Современный практик грамотно при-меняющий математику способен принести пользу в любой сфере деятель-ности в том числе и экономической где роль математических методов год от года только возрастает

Математику считают трудной наукой Причина в том что для нее харак-терны и серьезные логические построения не допускающие ни малейшей ошибки и громоздкие формулы Поэтому распространено мнение что среди учебных курсов самые непонятные mdash это курсы лекций по матема-тике В настоящем издании которое предназначено для студентов сред-них профессиональных учебных заведений а также для всех кто изучает данную дисциплину самостоятельно авторы постарались сосредоточиться на практической стороне вопроса Конечно данное издание включает и тео-ретический компонент необходимый для освоения курса высшей мате-матики но больше всего оно будет интересно читателю примерами при-кладных задач с их решениями и заданиями для самостоятельной работы контролирующими усвоение им изученного материала

Содержание учебника соответствует требованиям Федерального госу-дарственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и математической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравнения элементы линейного программирования эле-менты вычислительной математики теория вероятностей и математиче-ская статистика

В результате изучения дисциплины студент должен освоитьтрудовые действия bull владеть навыками применения современного математического

инструментария для решения экономических задач

bull владеть методикой построения анализа и применения математиче-ских моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций соответствующих методам основы математического анализа линейной алгебры теории вероятностей и дискретной математики)

необходимые умения bull применять математические методы для решения экономических

задачнеобходимые знания bull основы математического анализа линейной алгебры теории вероят-

ностей и дискретной математики необходимые для решения финансовых и экономических задач

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-матема-тических наук профессору Финансового университета при Правитель-стве РФ В Ю Попову доктору физико-математических наук профес-сору Университета имени Ф Палацкого (Чешская Республика) Йозефу Микешу за рецензирование рукописи и сделанные замечания

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

6

63 Разностные уравнения 268631 Основные понятия 268632 Линейные разностные уравнения 269633 Применение разностных уравнений в экономической динамике 273

64 Простейшие математические модели экономической динамики с непрерывным временем 276641 Модель естественного роста 277642 Логистический рост 279643 Неоклассический рост 282644 Линейные уравнения в экономической динамике 283

Задания для самостоятельной работы 285

Глава 7 Элементы линейного программирования 28871 Линейные экономические модели 288

711 Модель Леонтьева 288712 Линейная модель обмена Модель международной торговли 290713 Модель равновесных цен 291

72 Задача линейного программирования 292721 Постановка задачи линейного программирования 292722 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных Графический метод решения 294723 Симплекс-метод решения задач линейного программирования 295724 Понятие о взаимно двойственных задачах линейного программирования Двойственность в экономико-математических моделях 297

Задания для самостоятельной работы 300

Глава 8 Элементы вычислительной математики 30381 Элементы машинной арифметики Теория погрешностей

Вычислительные алгоритмы 303811 Понятие о численном методе Аппроксимация 303812 Основы теории погрешностей 305

82 Устойчивость и сходимость алгоритмов 307821 Понятие об устойчивости метода и задачи 307822 Понятие о сходимости численного метода 307

83 Численные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной 308831 Постановка задачи 308832 Метод половинного деления 309833 Метод простой итерации 310834 Метод Ньютона 311

84 Численное интегрирование 312841 Квадратурная формула прямоугольников 312842 Квадратурная формула Симпсона 314843 Квадратурная формула трапеций 314844 Интерполяционный многочлен Лагранжа 316

Задания для самостоятельной работы 317

7

Раздел IIIТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАГлава 9 Теория вероятностей 321

91 Основные понятия теории вероятностей 321911 Случайные события и операции над ними 321912 Классическое определение вероятности 327913 Геометрическое определение вероятности 327914 Основные формулы вычисления вероятностей 328915 Повторные независимые испытания 333

92 Случайные величины 337921 Закон распределения дискретной случайной величины 337922 Арифметические операции над дискретными случайными величинами 339923 Числовые характеристики дискретных случайных величин 343924 Непрерывные случайные величины 349

93 Основные законы распределений наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях 354931 Биномиальный закон распределения 354932 Распределение Пуассона 357933 Геометрическое и гипергеометрическое распределения 359934 Равномерное распределение 361935 Показательное распределение 363936 Нормальное распределение 366937 Логарифмически-нормальное распределение 369

94 Многомерные случайные величины 371941 Дискретные многомерные случайные величины 371942 Непрерывные многомерные случайные величины 377943 Числовые характеристики двумерной случайной величины 381944 Функции от случайных величин 389

95 Закон больших чисел и предельные теоремы 393951 Неравенство Маркова 393952 Теорема Чебышева 395953 Центральная предельная теорема 397

Задания для самостоятельной работы 398

Глава 10 Математическая статистика 405101 Статистические методы обработки экспериментальных данных 405

1011 Эмпирические характеристики признаков 4051012 Выборочный метод 415

102 Статистические оценки параметров распределения 420103 Статистическая проверка гипотез 434104 Элементы корреляционно-регрессионного анализа 450Задания для самостоятельной работы 456

Литература 463Приложение Таблицы значений функций 468

Agraveacircograveicircethcecircegraveeacute ecircicirceumleumlaringecircograveegraveacirc

Хрипунова Марина Борисовна mdash кандидат физико-математически наук доцент заведующая кафедрой математики и информатики Влади-мирского филиала Финансового университета при Правительстве Россий-ской Федерации mdash гл 1 2 4 (параграфы 41mdash43)

Цыганок Ирина Ивановна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Депар-тамента математики и информатики Финансового университета при Пра-вительстве Российской Федерации mdash гл 9 10

Александрова Ирина Александровна mdash доцент кандидат физико-мате-матических наук доцент кафедры прикладной математики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правитель-стве Российской Федерации mdash гл 7

Балджы Анна Сергеевна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского филиала Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 8

Денежкина Ирина Евгеньевна mdash кандидат технических наук доцент заведующая кафедрой теории вероятностей и математической статистики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 6

Никифорова Светлана Владимировна mdash кандидат экономических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского фили-ала Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 3

Степанов Сергей Евгеньевич mdash доктор физико-математических наук профессор кафедры математики-1 Департамента математики и информа-тики Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 4 (параграф 44) 5

10

Acircacircaringaumlaringiacuteegravearing

Общепризнано что математика mdash это один из самых мощных методов изучения окружающего мира с ее помощью можно решать как теоретиче-ские так и практические проблемы возникающие в социально-экономи-ческой сфере деятельности людей Для этого достаточно перевести эконо-мическую транспортную управленческую как впрочем и любую другую задачу на математический язык те построить ее математическую модель Конечно такая модель основана на некотором упрощении и не является точным описанием реального процесса однако математизация практиче-ской задачи позволяет находить необнаруженные ранее закономерности давать математический анализ условий при которых возможно решение такой задачи или строить средствами математики прогноз развития того или иного экономического процесса Современный практик грамотно при-меняющий математику способен принести пользу в любой сфере деятель-ности в том числе и экономической где роль математических методов год от года только возрастает

Математику считают трудной наукой Причина в том что для нее харак-терны и серьезные логические построения не допускающие ни малейшей ошибки и громоздкие формулы Поэтому распространено мнение что среди учебных курсов самые непонятные mdash это курсы лекций по матема-тике В настоящем издании которое предназначено для студентов сред-них профессиональных учебных заведений а также для всех кто изучает данную дисциплину самостоятельно авторы постарались сосредоточиться на практической стороне вопроса Конечно данное издание включает и тео-ретический компонент необходимый для освоения курса высшей мате-матики но больше всего оно будет интересно читателю примерами при-кладных задач с их решениями и заданиями для самостоятельной работы контролирующими усвоение им изученного материала

Содержание учебника соответствует требованиям Федерального госу-дарственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и математической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравнения элементы линейного программирования эле-менты вычислительной математики теория вероятностей и математиче-ская статистика

В результате изучения дисциплины студент должен освоитьтрудовые действия bull владеть навыками применения современного математического

инструментария для решения экономических задач

bull владеть методикой построения анализа и применения математиче-ских моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций соответствующих методам основы математического анализа линейной алгебры теории вероятностей и дискретной математики)

необходимые умения bull применять математические методы для решения экономических

задачнеобходимые знания bull основы математического анализа линейной алгебры теории вероят-

ностей и дискретной математики необходимые для решения финансовых и экономических задач

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-матема-тических наук профессору Финансового университета при Правитель-стве РФ В Ю Попову доктору физико-математических наук профес-сору Университета имени Ф Палацкого (Чешская Республика) Йозефу Микешу за рецензирование рукописи и сделанные замечания

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

7

Раздел IIIТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАГлава 9 Теория вероятностей 321

91 Основные понятия теории вероятностей 321911 Случайные события и операции над ними 321912 Классическое определение вероятности 327913 Геометрическое определение вероятности 327914 Основные формулы вычисления вероятностей 328915 Повторные независимые испытания 333

92 Случайные величины 337921 Закон распределения дискретной случайной величины 337922 Арифметические операции над дискретными случайными величинами 339923 Числовые характеристики дискретных случайных величин 343924 Непрерывные случайные величины 349

93 Основные законы распределений наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях 354931 Биномиальный закон распределения 354932 Распределение Пуассона 357933 Геометрическое и гипергеометрическое распределения 359934 Равномерное распределение 361935 Показательное распределение 363936 Нормальное распределение 366937 Логарифмически-нормальное распределение 369

94 Многомерные случайные величины 371941 Дискретные многомерные случайные величины 371942 Непрерывные многомерные случайные величины 377943 Числовые характеристики двумерной случайной величины 381944 Функции от случайных величин 389

95 Закон больших чисел и предельные теоремы 393951 Неравенство Маркова 393952 Теорема Чебышева 395953 Центральная предельная теорема 397

Задания для самостоятельной работы 398

Глава 10 Математическая статистика 405101 Статистические методы обработки экспериментальных данных 405

1011 Эмпирические характеристики признаков 4051012 Выборочный метод 415

102 Статистические оценки параметров распределения 420103 Статистическая проверка гипотез 434104 Элементы корреляционно-регрессионного анализа 450Задания для самостоятельной работы 456

Литература 463Приложение Таблицы значений функций 468

Agraveacircograveicircethcecircegraveeacute ecircicirceumleumlaringecircograveegraveacirc

Хрипунова Марина Борисовна mdash кандидат физико-математически наук доцент заведующая кафедрой математики и информатики Влади-мирского филиала Финансового университета при Правительстве Россий-ской Федерации mdash гл 1 2 4 (параграфы 41mdash43)

Цыганок Ирина Ивановна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Депар-тамента математики и информатики Финансового университета при Пра-вительстве Российской Федерации mdash гл 9 10

Александрова Ирина Александровна mdash доцент кандидат физико-мате-матических наук доцент кафедры прикладной математики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правитель-стве Российской Федерации mdash гл 7

Балджы Анна Сергеевна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского филиала Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 8

Денежкина Ирина Евгеньевна mdash кандидат технических наук доцент заведующая кафедрой теории вероятностей и математической статистики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 6

Никифорова Светлана Владимировна mdash кандидат экономических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского фили-ала Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 3

Степанов Сергей Евгеньевич mdash доктор физико-математических наук профессор кафедры математики-1 Департамента математики и информа-тики Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 4 (параграф 44) 5

10

Acircacircaringaumlaringiacuteegravearing

Общепризнано что математика mdash это один из самых мощных методов изучения окружающего мира с ее помощью можно решать как теоретиче-ские так и практические проблемы возникающие в социально-экономи-ческой сфере деятельности людей Для этого достаточно перевести эконо-мическую транспортную управленческую как впрочем и любую другую задачу на математический язык те построить ее математическую модель Конечно такая модель основана на некотором упрощении и не является точным описанием реального процесса однако математизация практиче-ской задачи позволяет находить необнаруженные ранее закономерности давать математический анализ условий при которых возможно решение такой задачи или строить средствами математики прогноз развития того или иного экономического процесса Современный практик грамотно при-меняющий математику способен принести пользу в любой сфере деятель-ности в том числе и экономической где роль математических методов год от года только возрастает

Математику считают трудной наукой Причина в том что для нее харак-терны и серьезные логические построения не допускающие ни малейшей ошибки и громоздкие формулы Поэтому распространено мнение что среди учебных курсов самые непонятные mdash это курсы лекций по матема-тике В настоящем издании которое предназначено для студентов сред-них профессиональных учебных заведений а также для всех кто изучает данную дисциплину самостоятельно авторы постарались сосредоточиться на практической стороне вопроса Конечно данное издание включает и тео-ретический компонент необходимый для освоения курса высшей мате-матики но больше всего оно будет интересно читателю примерами при-кладных задач с их решениями и заданиями для самостоятельной работы контролирующими усвоение им изученного материала

Содержание учебника соответствует требованиям Федерального госу-дарственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и математической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравнения элементы линейного программирования эле-менты вычислительной математики теория вероятностей и математиче-ская статистика

В результате изучения дисциплины студент должен освоитьтрудовые действия bull владеть навыками применения современного математического

инструментария для решения экономических задач

bull владеть методикой построения анализа и применения математиче-ских моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций соответствующих методам основы математического анализа линейной алгебры теории вероятностей и дискретной математики)

необходимые умения bull применять математические методы для решения экономических

задачнеобходимые знания bull основы математического анализа линейной алгебры теории вероят-

ностей и дискретной математики необходимые для решения финансовых и экономических задач

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-матема-тических наук профессору Финансового университета при Правитель-стве РФ В Ю Попову доктору физико-математических наук профес-сору Университета имени Ф Палацкого (Чешская Республика) Йозефу Микешу за рецензирование рукописи и сделанные замечания

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

Agraveacircograveicircethcecircegraveeacute ecircicirceumleumlaringecircograveegraveacirc

Хрипунова Марина Борисовна mdash кандидат физико-математически наук доцент заведующая кафедрой математики и информатики Влади-мирского филиала Финансового университета при Правительстве Россий-ской Федерации mdash гл 1 2 4 (параграфы 41mdash43)

Цыганок Ирина Ивановна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики Депар-тамента математики и информатики Финансового университета при Пра-вительстве Российской Федерации mdash гл 9 10

Александрова Ирина Александровна mdash доцент кандидат физико-мате-матических наук доцент кафедры прикладной математики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правитель-стве Российской Федерации mdash гл 7

Балджы Анна Сергеевна mdash кандидат физико-математических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского филиала Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 8

Денежкина Ирина Евгеньевна mdash кандидат технических наук доцент заведующая кафедрой теории вероятностей и математической статистики Департамента математики и информатики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации mdash гл 6

Никифорова Светлана Владимировна mdash кандидат экономических наук доцент кафедры математики и информатики Владимирского фили-ала Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 3

Степанов Сергей Евгеньевич mdash доктор физико-математических наук профессор кафедры математики-1 Департамента математики и информа-тики Финансового университета при Правительстве Российской Федера-ции mdash гл 4 (параграф 44) 5

10

Acircacircaringaumlaringiacuteegravearing

Общепризнано что математика mdash это один из самых мощных методов изучения окружающего мира с ее помощью можно решать как теоретиче-ские так и практические проблемы возникающие в социально-экономи-ческой сфере деятельности людей Для этого достаточно перевести эконо-мическую транспортную управленческую как впрочем и любую другую задачу на математический язык те построить ее математическую модель Конечно такая модель основана на некотором упрощении и не является точным описанием реального процесса однако математизация практиче-ской задачи позволяет находить необнаруженные ранее закономерности давать математический анализ условий при которых возможно решение такой задачи или строить средствами математики прогноз развития того или иного экономического процесса Современный практик грамотно при-меняющий математику способен принести пользу в любой сфере деятель-ности в том числе и экономической где роль математических методов год от года только возрастает

Математику считают трудной наукой Причина в том что для нее харак-терны и серьезные логические построения не допускающие ни малейшей ошибки и громоздкие формулы Поэтому распространено мнение что среди учебных курсов самые непонятные mdash это курсы лекций по матема-тике В настоящем издании которое предназначено для студентов сред-них профессиональных учебных заведений а также для всех кто изучает данную дисциплину самостоятельно авторы постарались сосредоточиться на практической стороне вопроса Конечно данное издание включает и тео-ретический компонент необходимый для освоения курса высшей мате-матики но больше всего оно будет интересно читателю примерами при-кладных задач с их решениями и заданиями для самостоятельной работы контролирующими усвоение им изученного материала

Содержание учебника соответствует требованиям Федерального госу-дарственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и математической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравнения элементы линейного программирования эле-менты вычислительной математики теория вероятностей и математиче-ская статистика

В результате изучения дисциплины студент должен освоитьтрудовые действия bull владеть навыками применения современного математического

инструментария для решения экономических задач

bull владеть методикой построения анализа и применения математиче-ских моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций соответствующих методам основы математического анализа линейной алгебры теории вероятностей и дискретной математики)

необходимые умения bull применять математические методы для решения экономических

задачнеобходимые знания bull основы математического анализа линейной алгебры теории вероят-

ностей и дискретной математики необходимые для решения финансовых и экономических задач

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-матема-тических наук профессору Финансового университета при Правитель-стве РФ В Ю Попову доктору физико-математических наук профес-сору Университета имени Ф Палацкого (Чешская Республика) Йозефу Микешу за рецензирование рукописи и сделанные замечания

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

10

Acircacircaringaumlaringiacuteegravearing

Общепризнано что математика mdash это один из самых мощных методов изучения окружающего мира с ее помощью можно решать как теоретиче-ские так и практические проблемы возникающие в социально-экономи-ческой сфере деятельности людей Для этого достаточно перевести эконо-мическую транспортную управленческую как впрочем и любую другую задачу на математический язык те построить ее математическую модель Конечно такая модель основана на некотором упрощении и не является точным описанием реального процесса однако математизация практиче-ской задачи позволяет находить необнаруженные ранее закономерности давать математический анализ условий при которых возможно решение такой задачи или строить средствами математики прогноз развития того или иного экономического процесса Современный практик грамотно при-меняющий математику способен принести пользу в любой сфере деятель-ности в том числе и экономической где роль математических методов год от года только возрастает

Математику считают трудной наукой Причина в том что для нее харак-терны и серьезные логические построения не допускающие ни малейшей ошибки и громоздкие формулы Поэтому распространено мнение что среди учебных курсов самые непонятные mdash это курсы лекций по матема-тике В настоящем издании которое предназначено для студентов сред-них профессиональных учебных заведений а также для всех кто изучает данную дисциплину самостоятельно авторы постарались сосредоточиться на практической стороне вопроса Конечно данное издание включает и тео-ретический компонент необходимый для освоения курса высшей мате-матики но больше всего оно будет интересно читателю примерами при-кладных задач с их решениями и заданиями для самостоятельной работы контролирующими усвоение им изученного материала

Содержание учебника соответствует требованиям Федерального госу-дарственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и включает следующие разделы математики элементы линей-ной алгебры и аналитической геометрии элементы дискретной математики и математической логики математический анализ дифференциальные и разностные уравнения элементы линейного программирования эле-менты вычислительной математики теория вероятностей и математиче-ская статистика

В результате изучения дисциплины студент должен освоитьтрудовые действия bull владеть навыками применения современного математического

инструментария для решения экономических задач

bull владеть методикой построения анализа и применения математиче-ских моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций соответствующих методам основы математического анализа линейной алгебры теории вероятностей и дискретной математики)

необходимые умения bull применять математические методы для решения экономических

задачнеобходимые знания bull основы математического анализа линейной алгебры теории вероят-

ностей и дискретной математики необходимые для решения финансовых и экономических задач

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-матема-тических наук профессору Финансового университета при Правитель-стве РФ В Ю Попову доктору физико-математических наук профес-сору Университета имени Ф Палацкого (Чешская Республика) Йозефу Микешу за рецензирование рукописи и сделанные замечания

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

bull владеть методикой построения анализа и применения математиче-ских моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций соответствующих методам основы математического анализа линейной алгебры теории вероятностей и дискретной математики)

необходимые умения bull применять математические методы для решения экономических

задачнеобходимые знания bull основы математического анализа линейной алгебры теории вероят-

ностей и дискретной математики необходимые для решения финансовых и экономических задач

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-матема-тических наук профессору Финансового университета при Правитель-стве РФ В Ю Попову доктору физико-математических наук профес-сору Университета имени Ф Палацкого (Чешская Республика) Йозефу Микешу за рецензирование рукописи и сделанные замечания

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

ETHagraveccedilaumlaringeuml I YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

AgraveIacuteAgraveEumlEgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute AtildeAringIcircIgraveAringOgraveETHEgraveEgrave AumlEgraveNtildeEcircETHAringOgraveIacuteIcircEacute IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgraveEcircEgrave

Egrave IgraveAgraveOgraveAringIgraveAgraveOgraveEgravetimesAringNtildeEcircIcircEacute EumlIcircAtildeEgraveEcircEgrave

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

15

Atildeeumlagraveacircagrave 1 YacuteEumlAringIgraveAringIacuteOgraveUcirc EumlEgraveIacuteAringEacuteIacuteIcircEacute AgraveEumlAtildeAringAacuteETHUcirc

В результате освоения содержания главы 1 студент должен знатьbull основы линейной алгебры необходимые для успешного изучения последующих

курсовbull доказательства основных теорем линейной алгебры bull основные методы вычислений и методы решения алгебраических задачуметьbull применять методы линейной алгебры для решения математических задач по-

строения и анализа моделей в экономике bull исследовать и решать системы линейных алгебраических уравненийвладетьbull понятийным аппаратом и основными методами матричной алгебры bull навыками применения современного математического аппарата для решения

задач экономики и информатики

11 Igraveagraveograveethegraveoumlucirc egrave aumlaringeacutentildeograveacircegraveyuml iacuteagraveauml iacuteegraveigraveegrave

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения

111 Виды матрицОпределение 11 Матрицей размера m n называется прямоугольная

таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита например А В С hellip а для обозначения элементов матрицы используют соответствующие строчные буквы с двойной индексацией aij bij cij hellip где i mdash номер строки j mdash номер столбца

Например матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A

в сокращенной записи имеет вид ( )ijA a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

16

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения для матриц

[ ] || ||ij ijA a A a i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nДве матрицы A и В одного размера называют равными если они совпа-

дают поэлементно ij ija b для любых значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip nЭлементы матрицы у которых номер строки и номер столбца равны

(a11 a22 a33 hellip amm hellip) называют диагональными элементами матрицыСреди матриц выделяют

нулевую матрицу

0 0 00 0 0 0 0 0

m n

0 она может быть любого размера

матрицу (вектор)-строку 11 12 11

( )nn

a a aA

матрицу (вектор)-столбец

11

21

1

1

m

m

aa

A

a

матрицу ступенчатого вида

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0 0 0 0 0 0

m n

m n

m nm n

mm mn

a a a a aa a a a

a a aA

a a

в ней

все элементы в столбцах стоящие ниже диагональных элементов равны нулю

квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

в ней коли-

чество строк равно количеству столбцов

диагональную матрицу n-го порядка

11

22

0 00 0 0 0

n n

nn

aa

A

a

она обяза-

тельно квадратная и в ней только диагональные элементы отличны от нуля

единичную матрицу n-го порядка

1 0 00 1 0

0 0 1

nn nEE

она обяза-

тельно квадратная и в ней все диагональные элементы равны 1

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

17

112 Операции над матрицами и их свойстваС матрицами выполнимы определенные операции среди них сложение

вычитание умножение матрицы на число умножение матриц возведение в степень транспонирование В результате действия операции определя-ется новая матрица для которой должен быть указаны размер и правило нахождения ее элементов

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m n называется матрица С А В размер которой m n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 11 22 334 40 5 50 6 60 44 55 66

A B

Для сложения матриц выполнимы следующие свойства1) А В В А (коммутативность)2) А (В С) (А В) С (ассоциативность)3) А 0 АДоказательство этих свойств следует из свойств действительных чиселПроизведением матрицы А размера m n на число называется матрица

С А размер которой m n и элементы находят по правилу ij ijc a где i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

5 то 2 3

5 10 155

20 25 30A

Для умножения матрицы на число выполнимы следующие свойства1) (А В) А В2) ( )А А А

здесь А В mdash матрицы размер которых диктуется выполнимостью опера-ции а mdash числа

Разностью двух матриц А и В одинакового размера m times n называется матрица С А В размер которой m times n и элементы находят по правилу

ij ij ijc a b i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Например если 2 3

1 2 34 5 6

A

2 3

10 20 3040 50 60

B

то

2 3

1 10 2 20 3 30 9 18 27

4 40 5 50 6 60 36 45 54A B

а

2 3

10 1 20 2 30 3 9 18 27

40 4 50 5 60 6 36 45 54B A

Разность матриц можно рассматривать как сумму первой матрицы и второй умноженной на 1

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

18

Произведением матрицы А размера m times k на матрицу В размера k times n называют матрицу С АВ размер которой m times n и элементы находят по правилу

1 1 2 21

k

ij i j i j ik kj is sjs

c a b a b a b a b

i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Для того чтобы перемножать матрицы их размеры должны быть согла-сованы количество столбцов в первой равно количеству строк во второй тогда элемент сij в матрице произведения получают как сумму произведе-ний элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы

Например если 2 3 3 4

10 20 30 401 2 3

50 60 70 80 4 5 6

90 100 110 120A B

то

2 3 3 42 4

1 10 2 50 1 20 2 60 1 30 2 70 1 40 2 803 90 3 100 3 110 3 120

4 10 5 50 4 20 5 60 4 30 5 70 4 40 5 806 90 6 100 6 110 6 120

380 440 500 560

830 980 1130 1280

C A B

Операция умножения матриц некоммутативна в общем случае те АВ ВА Во-первых если АВ существует то ВА может не существовать Даже в случае существования матриц АВ и ВА равенство АВ ВА не всегда выполняется Для доказательства достаточно привести один пример Пусть

2 2 2 2

1 2 5 1

3 4 1 0A B

тогда

2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 8 14

11 3 1 2A B B A

те АВВАМатрицы для которых выполняется равенство АВ ВА называют пере-

становочными Для умножения матриц выполнимы следующие свойства1) А middot 0 0 2) АЕ ЕА А3) А(ВС) (АВ)С mdash ассоциативность4) А(В С) АВ АС mdash дистрибутивность 5) (А В)С АС ВС mdash дистрибутивность6) (АВ) (А)В А(В)Здесь А В С 0 Е mdash матрицы размер которых диктуется выполнимо-

стью операции а mdash число

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

19

Целой положительной степенью квадратной матрицы А n-го порядка называют матрицу m

m

C A A A A раз

(m gt 1)

Например если 1 23 4

A

то

3 1 2 1 2 1 2( )

3 4 3 4 3 4A A A A A A A

1 1 2 3 1 2 2 4 1 2 7 10 1 23 1 4 3 3 2 4 4 3 4 15 22 3 4

7 1 10 3 7 2 10 4 37 54

15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

Возведение в степень определено только для квадратных матриц n-го порядка очевидно при этом что получаемая матрица тоже будет квадрат-ной n-го порядка

Для возведения в степень по определению полагают А0 Е А1 А Кроме того можно говорить о справедливости следующих равенств

1) АmAk Am+k2) ( )m k mkA A Для матрицы А размера m n можно определить матрицу С AT транс-

понированную к А Размер матрицы С AT равен n m и ее элементы нахо-дят по правилу ij jic a для всех значений i 1 2 hellip m j 1 2 hellip n

Чтобы записать матрицу AT нужно в матрице А строки и столбцы поме-нять местами с сохранением порядка их следования

Например если 2 2

1 23 4

A

то 2 2

1 32 4

TA

а если

3 4

10 20 30 4050 60 70 8090 100 110 120

B

то 4 3

10 50 9020 60 10030 70 11040 80 120

TB

Для операции транспонирования выполнены следующие свойства1) ( )T TA A 2) ( )T TA A 3) ( )T T TA B A B 4) ( )T T TAB B A Приведем примеры решения задач с матрицами

Пример 11

Вычислим

( ) (2 5 )TA B C D

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

20

где 1 0 12 3 2

A

5 13 24 3

B

2 0 1 35 1 2 5

C

7 1 1 34 1 2 0

D

Решение Будем решать задачу по действиям

1) 1 2 5 1 6 30 3 3 2 3 5 1 2 4 3 3 5

TA B

2) 2 0 1 3 7 1 1 3

2 5 55 1 2 5 4 1 2

31 5 7 92

10 0 3 16 10C D

6 331 5 7 9

3 510 3 16 10

33 5

216 39 6 24143 30 59 23 43 0 101 77

) ( ) (2 5 )TA B C D

Ответ 216 39 6 24143 30 59 2343 0 101 77

Замечание 11 При выполнении операций над матрицами в современное время можно использовать программу MS Excel

Пример 12

Вычислим значение многочлена 3( ) 2 5f x x x от матрицы 1 0

2 2A

РешениеБудем решать задачу по действиям

3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8 12 16A

3 2 0 1 0 1 02)2

12 16 2 2 10 14A A

3 1 0 5 0 4 03)2 5

10 14 0 5 10 19A A E

Ответ 4 0

10 19

12 Icirciumletharingaumlaringeumlegraveogravearingeumlegrave

Определители являются числовыми характеристиками квадратных матриц и играют важную роль в решении прикладных задач

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

21

121 Определители второго и третьего порядковРассмотрим квадратные матрицы различных порядков Определитель mdash

это одна из числовых характеристик квадратной матрицы Определитель (другое название mdash детерминант) матрицы А обозначают A или или detA

Определение 12 Определителем матрицы первого порядка 11( )A a называют число a11 A 11a a11 Определителем матрицы второго

порядка А 11 12

21 22

a aa a

называют число которое находят по формуле

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Определителем матрицы третьего порядка А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

назы-

вают число которое находят по так называемой формуле треугольников

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

3

( )

|

|

a a a a a

a a aA a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a

122 Определители и свойства определителей n-го порядкаДля того чтобы ввести понятие определителя n-го порядка потребуются

дополнительные рассуждения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Из элементов этой матрицы можно составлять наборы из n элементов так чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Любой такой набор можно упорядочить по номерам строк запи-сав сначала элемент из первой строки затем из второй третьей и тд Такой набор имеет вид

1 2 31 2 3( )nj j j nja a a a Номера столбцов при этом состав-

ляют перестановку 1 2 3( )nJ j j j j из чисел 1 2 3 hellip n Всего таких перестановок существует n (n1 2 3 n) Для перестановки J можно ввести понятие инверсии Говорят что перестановка J содержит инверсию если в ней определяется хотя бы одна упорядоченная пара первый элемент которой больше второго Количество инверсий в перестановке обозначают r( J)

Определение 13 Определителем матрицы n-го порядка называют число равное алгебраической сумме n слагаемых равных произведе-ниям из n элементов матрицы взятым по одному из каждой строки и каж-дого столбца упорядоченным по номерам строк и записанным со знаком

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

22

( )( 1) r J где r( J) mdash число инверсий в перестановке из номеров столбцов соответствующего произведения

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )1 2

1 2

( 1)

n

n

n r Jj j nj

J

n n nn

a a aa a a

A a a a

a a a

Использовать напрямую данное определение для вычислений весьма затруднительно для решения задач связанных с нахождением определи-телей высоких порядков используют различные свойства определителей Чтобы сформулировать некоторые из них потребуются новые понятия

Определение 14 Минором Mij элемента aij матрицы А n-го порядка назы-вают определитель матрицы (n 1)-го порядка полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Например минором M21 элемента a21 матрицы А 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

будет определитель M21 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

32 33

a aa a

12 33 13 32a a a a

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называют его минор взятый со знаком (1)ij

Aij (1)ijMij те алгебраическое дополнение элемента aij совпадает с его минором когда сумма номеров строки и столбца (i j) mdash четное число и отличается от ми-нора только знаком когда (i j) mdash нечетное число

Для вычисления определителей важное значение имеет следующее утверждение

Теорема 11 Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произ-ведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические допол-нения

1 1 2 2 i i i i in ina A a A a A 1

n

ik ikk

a A

mdash разложение по элементам i-й строки (i 1 2 hellip n)

1 1 2 2 j j j j nj nja A a A a A 1

n

kj kjk

a A

mdash разложение по элементам j-го столбца (j 1 2 hellip n)Можно сделать вывод что значение определителя не зависит от способа

его раскрытия поэтому удобнее работать с теми строками или столбцами в которых есть нулевые элементы это позволит проводить вычисления значительно короче Кроме того есть целый ряд свойств используя кото-рые можно находить значение определителя не прибегая к громоздким выражениям Перечислим эти свойства

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

23

1 Если какая-либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю

2 Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число то определитель этой матрицы тоже умножится на это число

Замечание 12 Согласно этому свойству можно за знак определителя выно-сить общий множитель для всех элементов какой-либо строки (столбца)

3 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется TA A

4 При перестановке двух строк (столбцов) квадратной матрицы ее определитель меняет знак на противоположный

5 Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца) то ее определитель равен нулю

6 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю

7 Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число

8 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю

1

n

ik jkk

a A 0 при i j

9 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ-ведению определителей этих матриц A B A B

В свойстве 9 матрицы А и В должны быть одного и того же порядка иначе не будет возможным их умножение

Очень важным является свойство 7 Его используют для того чтобы получить в определителе строку или столбец с одним только ненулевым элементом в этом случае теорема о разложении определителя по строке или столбцу имеет самый простой вид

123 Обратная матрицаОпределение 15 Для квадратной матрицы А n-го порядка вводится

понятие обратной матрицы которую обозначают A1 и определяют как матрицу n-го порядка удовлетворяющую условиям

1 1 A A A A E

где Е mdash единичная матрица n-го порядкаНеобходимым и достаточным условием существования для матрицы А

обратной матрицы A1 является ее невырожденность Определение 16 Матрица А называется невырожденной если ее опре-

делитель A не равен нулюДля вычисления обратной матрицы существует алгоритм который мы

приведем без доказательства1 Найти определитель A данной матрицы А Если 0 то A1

не существует Если 0 то A1 существует 2 Найти матрицу AT транспонированную к данной матрице А

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го

24

3 Составить присоединенную матрицу A элементами которой явля-ются алгебраические дополнения элементов матрицы AT

4 Найти обратную матрицу по формуле 1 1 A AA

5 Осуществить проверку по определению 1 1A A A A E Пример применения этого алгоритма рассматривается нижеС использованием обратной матрицы связано решение матричных урав-

нений вида A X B или X A B где А В mdash заданные матрицы Х mdash неиз-вестная матрица подчиняющаяся соответствующему условию Для матриц действие деления не определено поэтому нахождение матрицы Х вообще говоря проблематично если не знать специальных приемов позволяющих справиться с такого рода задачей Достаточно провести цепочку преобра-зований с уравнением каждого вида чтобы получить расчетные формулы для неизвестной матрицы Х

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

A X B A AX A B

A A X A B X A B

домножим обе частислева на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения A X B решением будет матрица X A1BАналогичные рассуждения можно провести и для уравнения X A B

1 1 1

1 1 1

( )

( )

A

E

X A B XA A B A

X A A BA X A B

домножим обе частисправа на перегруппируем

по свойствуединичной матрицы

Таким образом для уравнения X A B решением будет матрица X BA1

124 Ранг матрицыЕсли определитель является числовой характеристикой только для

квадратной матрицы то ранг является числовой характеристикой для матрицы произвольного размера не обязательно квадратной Это важная характеристика для матрицы используемая при решении математических и прикладных задач поэтому рассмотрим ее подробно

В матрице

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

вычеркиванием каких-

либо строк и столбцов можно выделять квадратные подматрицы k-го