6소음·진동제29권 제5호, 2019년

특집: 소음진동을위한축소모델링기술

1. 머리말

2000년 전후 계산공학의 급격한 발전으로 소음

진동문제를다루기위한다양한해석기술이개발

되었다. 이는 유한요소해석(finite element

analysis, FEA) 기반의다양한상용소프트웨어에

구현되어왔으며, 이러한툴의사용은관련분야연

구자들에게 일반적인 것이 되었다. 이 글에서는

전산역학의 주요 분야인 축소모델링(reduced-

order modeling, ROM) 중소음진동분야에서가

장 널리 활용되고 있는 자유도(degrees of

freedom, DOFs) 기반 축소법, 부분구조합성법

(component mode synthesis, CMS) 등을다루고

자한다. 아울러관련연구동향및적용사례를소

개하여산학계의관심을증대시키고자한다.

2. 기술소개및개발동향

선형구조동역학에서축소모델링의가장기본적

인 형태는 고유벡터(eigenvector) 기반의 모드중

첩법(mode superposition)으로 볼 수 있다. 일반

적인 선형 구조동역학은 식 (1)과 같이 질량행렬

M, 감쇠행렬 C, 강성행렬K 및가속도 u, 속도

HHu, 변위 u, 하중 f의관계식으로표현할수있다.

Mu+CHHu+Ku=f (1)

이때 질량행렬과 강성행렬을 사용한 고유치 문

제(eigenvalue problem)를통해얻어진고유벡터

행렬을 활용하면 식 (1)을 독립적인 방정식들로

표현할 수 있으며, 이중 주요한 고유진동수

(natural frequency) 내의응답을중첩하여전체응

답을근사할수있다.

선형구조동역학에서널리활용되고있는또다른

대표적인 축소법은 자유도 기반 축소법으로,

Guyan(1965)에의해제안되었다(1). 식 (1)에서비

감쇠를 가정한 후 이를 응답에 주요한 자유도

(master DOFs)와 그렇지 않은 자유도(slave

DOFs)로구분하면식 (2)와같이표현이가능하다.

[ ][ ]+[ ][ ]=[ ] (2)

이때 아래첨자 1은 주자유도를, 아래첨자 2는 나

머지자유도를의미한다(그림 1 참조)(2). 식 (2)의

강성행렬에서첫행을고려하면 u2는 u1으로표현

할 수 있으며, 이를 이용하면 변위벡터 u는 변환

행렬TG을통해 u1만으로근사할수있다.

u≈TG[ ], TG=[ ], C=-K-122-K21 (3)

식 (3)에서 유도된 변환행렬을 이용하면 식 (2)

의 질량행렬, 강성행렬을 식 (4)와 같이 축소하는

것이가능하다.

CI

u2

u1

0

f1

u2

u1

K22 K21

K12 K11

u2

u1

M22 M21

M12 M11

소음진동분야축소모델링기술

김진 균

(경희대학교 기계공학과)

특집특집

소소음음진진동동을을위위한한축축소소모모델델링링기기술술

* E-mail : jingyun.kim@khu.ac.kr

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7소음·진동

September 2019

특집: 소음진동을위한축소모델링기술

MG=TGT[ ]TG,

KG=TGT[ ]TG

(4)

Guyan 법으로명명된위의자유도기반축소법

은 이후 다양한 형태로 발전되어 왔으나, 질량행

렬에의한관성(inertia)의영향을무시한채정적

탄성거동만으로축소하는한계를가지고있다. 이

러한 문제를 극복하기 위해 IRS법, Iterative IRS

법등이제안되어널리활용되고있다(3,4). 특히자

유도기반축소법은모달시험데이터를활용한유

한요소모델의 보정을 위한 기반기술로 활용성을

크게 인정받았다(5). 응용수학의 관점에서 해당 자

유도 기반 축소는 선형방정식의 병렬처리기법인

FETI(finite element tearing and interconnection)

알고리듬 또는 domain decomposition 알고리듬

등과연결되어있다(6,7).

앞서 자유도기반축소법이 u2를 u1으로축약하

는것과달리 u2의기저(basis)로M22와K22로부

터계산된고유벡터(u22)i를활용하여축소모델을

만드는 것 또한 가능하다. 이 경우 변위벡터 u는새로운 변환행렬 T0를 통해 일반화된 좌표 q2와

u1으로근사할수있다.

u≈T0[ ], T0=[ ] (5)

이를 활용하면 식 (2)의 질량행렬, 강성행렬을

아래와같이축소할수있다.

M0=T0T[ ]T0,

K0=T0T[ ]T0

(6)

식 (6)에서얻어진축소모델은자유도기반축소

법과 달리 u2의 고유벡터들을 추가적으로 고려하

였기 때문에, Guyan법으로부터 얻어진 식 (4)의

축소모델에 비해 조금 더 많은 자유도를 가지게

되지만, 고유벡터수를자유롭게조절하여축소모

델의 정확도 향상을 가져올 수 있다는 장점이 있

다. 해당축소법은고유벡터를활용하는모드중첩

법과 Guyan법을 같이 활용하는 하이브리드 타입

으로분류될수있다.

식 (5)는부분구조합성법중가장널리활용되고

있는 Craig-Bampton(CB)법과 일견 동일한 수식

을가지는것으로보여질수있다(8,9). 그러나부분

구조합성법이 구조물을 여러 개의 부구조

(substructure)로분할하여사용하기때문에, 이는

식 (5)의결과와명확하게구분할필요가있다. 그

림 1(b)에서(2) 확인 할 수 있듯이 한 개의 구조물

을 두 개의 부구조로 구분할 경우 주자유도 u1은

타 기법들과 달리 부구조 사이의 경계자유도

(interface DOFs)로 정의될 수 있으며, u22는 윗

K22 K21

K12 K11

M22 M21

M12 M11

u 22 C0 I

q2

u1

K22 K21

K12 K11

M22 M21

M12 M11

그림2 CB법의부조분할예그림1 Guyan 축소법의노트선택방법예

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8소음·진동제29권 제5호, 2019년

특집: 소음진동을위한축소모델링기술

첨자로 정의한 두 부구조의 고유치 문제를 각각

풀어 얻어진 블록대각행렬(block diagonal

matrix)형태로정의된다. 따라서변위벡터 u는다

음과같이정의될수있다.

u≈TCB[ ], TCB=[ ],

C(1)=-(K22(1))-1K21

(1) (7)

C(2)=-(K22(2))-1K21

(2)

이를활용하면 CB법의축소행렬은아래와같이

계산할수있다.

MCB=TCBT[ ]TCB,

KCB=TCBT[ ]TCB

(8)

이 글에서는 CB법을 자세하게 설명하였으나,

부구조사이의경계면을정의하는방식에따라다

양한부분구조합성법이존재한다. CB법이수학적

으로 슈어 보완(Schur complement)을 활용(이는

유한요소해석에서고정단)하여부구조사이의관

계를 정의하는 것과 달리, 부구조의 관계를 라그

랑지 승수(Lagrange multipliers)를 활용해 정의

하는 방식 또한 널리 활용되고 있다(10,11). 해당 분

야 연구에 있어서 최근 활발하게 연구되고 있는

테마는다음과같다.

(1) 부구조로부터 최적의 고유벡터를 선정하는

기준이있는가?

(2) 축소모델의신뢰도를예측할수있는가?

(3) 경계자유도의축약역시가능한가?

(4) 축소모델의 자유도수를 증가시키지 않고 정

확도를향상시킬수있는가?

(5) 계산공학의 관점에서 어떠한 방식으로 부구

조를정의하는것이최적의방법인가?

이중기존 CB법에서고려하지않는고유벡터들

을 활용해 축소모델의 응답을 보완하는 기법이

Kim et al.에의해제안되어 CB법의정확도를크

게 향상시켰으며(9,12,13), 현재 해당 연구결과는 국

내외관련분야연구에폭넓게활용되고있다.

소음진동분야에서 축소모델링은 전통적으로 선

형구조진동 문제를 중심으로 발전하여 왔으나,

유연다물체동역학(flexible multibody dyna-

mics, FMBD)과같은비선형문제를효율적으로

다루는데도 폭넓게 활용되고 있으며(그림 3 참

조)(14~16), 최근 동력전달계의 소음진동을 시스템

단위에서 수행하기 위해 KISSsoft, Romax,

Masta 등의관련소프트웨어에탑재되고있다.

3. 기술활용분야: 소음진동연성해석

소음진동 분야에서 대표적인 유체구조상호작용

(fluid-structure interaction, FSI)인 진동-음향

(vibro-acoustic)모델, 자유수면을 갖는 슬로싱

K22 K21

K12 K11

M22 M21

M12 M11

u 22(1) 0 C(1)

0 u 22(2) C(2)

0 0 I

q2(1)

q2(2)

u1

그림3 피스톤유연다물체동역학해석의축소모델링결과비교(RecurDyn 활용예)

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9소음·진동

September 2019

특집: 소음진동을위한축소모델링기술

(sloshing)문제등에대한축소모델링은 1990년대

부터 다양하게 연구되어 왔다(17). 가장 대표적인

진동-음향모델의수식은구조부의변위 u, 음향-유체모델의압력 p을주요변수로다음과같이유

도된다.

[ ][ ]+[ ][ ]=[ ] (9)

이때아래첨자 s는구조부를, 아래첨자 f는유체부

를의미한다. 유체부의음속은 c, 밀도는 q로정의

되었다. 식 (9)는 비대칭(non-symmetric)행렬일

뿐만 아니라, 유체부와 구조부로 이루어져 있어,

일반 구조진동문제에 비해 다루기 어려운 문제가

있다. 그러나이를축소하는기본적인아이디어는

구조진동문제와크게다르지않다. 식 (9)의축소

모델링을 위해서는 먼저 구조부의 고유벡터

(ud)i, 유체부의고유벡터 (jd)i들을각각독립적

으로계산한후, 슈어 보완을통해계산된결합조

건행렬 w을 활용하여 변위 u와 압력 p을 다음과

같이근사하여야한다.

[ ]≈Twc[ ], Twc=[ ], w=Ks-1H (10)

이를 통해 얻어진 변환행렬 Twc를 활용하면 식

(9)를다음과같이축소할수있다.

Mwc=MwcT[ ]Twc,

Kwc=TwcT[ ]Twc

(11)

이와 같은 축소모델링 기술은 선형 고유벡터를

기반으로하나비선형/대변형문제에서도활용가

능함을 여러 연구에서 확인할 수 있다(18). 아울러

최근 국내연구진을 중심으로 구조부의 투영

(projection) 과정에서생기는유체부시스템행렬

의변화를고려한축소모델링기술의개발이성공

적으로수행되었으며, 이를고려하면식 (11)에비

해 정확도가 크게 향상된 축소모델링이 가능하다

(그림 4, 5 참조)(19,20).

4. 맺음말

계산공학의 성장은 단순히 고성능 컴퓨터 하드

웨어의활용으로만볼수없으며, 그 성능을극대

화할수있는알고리듬및소프트웨어개발과함

께 진행되었다고 보는 것이 타당하다. 이는 일견

전산과학(computer science)과 응용수학(applied

mathematics)의영역으로보일수있으나, 개발된

알고리듬을각공학분야에적용하기위해서는분

야별 전문가가 반드시 필요하다. 이러한 이유로

지난반세기동안기계, 항공, 토목, 조선, 전기전

자 등 각 공학 분야에서 전산역학(computational

mechanics) 전문가가 배출되어 왔다. 최근 해당

분야의 성숙도가 증대되어 전산역학에 대한 관심

도가낮아지는추세이나, 다양한공학문제에대한

Ks -H0 Kf

Ms 0qc2HT Mf

ud w0 Xd

qr

up

fs0

up

Ks -H0 Kf

up

Ms 0qc2HT Mf

그림4 진동음향모델예

그림5 예시모델의고유주파수상대오차

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10소음·진동제29권 제5호, 2019년

특집: 소음진동을위한축소모델링기술

다중물리(multiphysics), 다중스케일(multiscale),

다분야통합시스템에대한정확(accuracy)하고효

율(efficiency)적인 해석은 여전히 도전적인 주제

로남아있다. 아울러 최근화두가되고있는데이

터, 불확실성 기반 해석 기술은 기존의 결정론적

(deterministic)해석에 비해 더 많은 계산량을 요

구하기 때문에, 이에 대한 연구개발이 시급한 실

정이다. 향후해당분야에서다양한연구성과들이

도출되어연구및산업현장에서활용될수있기를

기대한다.

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11소음·진동

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특집: 소음진동을위한축소모델링기술

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