กราฟวเคราะหิข อสอบ PAT 1 ณิต-PAT1...หน้า.pdf · PDF fileคือ r แล้ว d + r เท่ากับเท่าใด (PAT

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (51)

กราฟว เคราะห ข อสอบ PAT 1

แคลคลส

ลาดบ &

อนกรม

คณตศาสตร (52)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26

Main Map


ตรรกศาสตร ตวเชอมประพจน และตารางคาความจรง

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q ∼p T T T T T T F T F F T F F F T F T T F T F F F F T T

ความหมายของสมมลและนเสธ สมมล คอ มคาความจรง “ตรงกน” ทกกรณ นเสธ คอ มคาความจรง “ตรงขามกน” ทกกรณ กฎพชคณต 1. p ∧ q ≡ q ∧ p 4. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ q ≡ q ∨ p p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ↔ q ≡ q ↔ p 5. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q 2. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 6. p → q ≡ ∼p ∨ q ≡ ∼q → ∼p 3. ∼(∼p) ≡ p 7. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ ∼p ↔ ∼q 1. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนใดๆ พจารณาขอความตอไปน (ก) ถาประพจน (p ∨ q) ↔ (r ∧ s) และประพจน p มคาความจรงเปนจรง แลวสรปไดวาประพจน s มคาความจรงเปนจรง (ข) ประพจน (p ∧ q) → (r ∧ s) สมมลกบประพจน [q → (p → r)] ∧ [p → (q → s)] ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


2. กาหนดให p, q, r, s และ t เปนประพจน ซง p → (q ∧ r) มคาความจรงเปน เทจ p ↔ (s ∨ t) มคาความจรงเปน จรง ประพจนในขอใดตอไปน มคาความจรงเปนจรง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (q ∧ s) → (p ∧ q) 2) (s ∧ t) → ∼q 3) (q ∨ s) ↔ p 4) (p → r) → s 3. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง โดยท ab > 0 ให p แทนประพจน “ถา a < b แลว a

1 > b1 ”

และ q แทนประพจน “ ab = a b ” ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (p → q) ∨ (q ∧ ∼p) 2) (∼q → ∼p) ∧ (∼q ∨ p) 3) (p ∧ ∼q) ∧ (q → p) 4) (∼p → q) → (p ∧ q) 4. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนใดๆ ประพจน [(p ∧ ∼q) ∨ ∼p] → [(r ∨ s) ∧ (r ∨ ∼s)]

สมมลกบประพจนในขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 55) 1) p → r 2) q → r 3) (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) 4) (q ∨ r) ∧ (q ∨ s) 5. กาหนดให p และ q เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนเปนสจนรนดร ( PAT 1 ต.ค. 55) 1) (p → q) → (q → p) 2) (∼p ∨ ∼q) → (p → q) 3) [(p ∧ ∼q) → ∼p] → (p → q) 4) [(p ∧ q) → ∼q] → (p → q)


ระบบจ านวนจร ง การแกสมการพหนามกาลง 2

ถา ax2 + bx + c = 0 แลว x = 2a 4ac b b 2 -- ± สตรทควรร

> 0 ; ม 2 คาตอบ (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 โดยท b2 - 4ac = 0 ; ม 1 คาตอบ a2 - b2 = (a + b)(a - b) < 0 ; ไมมคาตอบใน R a3 ± b3 = (a ± b)(a2 m ab + b2) การแกสมการ / อสมการ คาสมบรณ 1. |P(x)| = Q(x) P(x) = ±Q(x) |P(x)| < Q(x) -Q(x) < P(x) < Q(x) |P(x)| > Q(x) P(x) < -Q(x) หรอ P(x) > Q(x) 2. |P(x)| = P(x) P(x) ≥ 0 |P(x)| = -P(x) P(x) ≤ 0 3. |P(x)| = |Q(x)| (P(x))2 = (Q(x))2 4. x2 = |x|2 5. ถาม | | หลายพจน ใหปลด | |, แยกกรณคด 6. |a| + |b| = |a + b| ab ≥ 0 |a| + |b| = |a - b| ab ≤ 0 |a| + |b| > |a + b| ab < 0 |a| + |b| ≥ |a + b| R 6. กาหนดให เอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรงบวก พจารณาขอความตอไปน (ก) ประพจน ∀x[|x2 - 5x + 4| < x2 + 6x + 5] มคาความจรงเปนจรง (ข) ประพจน ∀x[|x2 - 1| ≥ 2x - 2] มคาความจรงเปนเทจ ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


7. ถา A แทนเซตของเซตคาตอบของสมการ |2 - 2x| + |x + 2| = 4 - x แลวเซต A เปนสบเซตของขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57)

1) (-4, 0) 2) (-1, 1) 3) (0, 4) 4) (-3, 2) 8. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก และ a < b เซตคาตอบของสมการ |x - a| - |x - b| = b - a

เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) {b} 2) (a, b] 3) [b, ∞) 4)

+ ∞ ,2

b a

9. ให A แทนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทสอดคลองกบสมการ

7 8x 4x4x

2 +- +

7 10x 4x3x

2 +- = 1

และให B แทนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทสอดคลองกบอสมการ |x2 - 2x| + x2 > 4 พจารณาขอความตอไปน (ก) A ⊂ B (ข) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของเซต AI B เทากบ 2 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


10. ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา A = {x ∈ R | x2 + 4 3x x2 +- > 3x + 2} แลวเซต A เปนสบเซตของขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (-∞, 2)U (3, 4) 2) (-∞, 0)U (3, ∞) 3) (-∞, -1)U (4, ∞) 4) (-1, ∞) 11. กาหนดให I แทนเซตของจานวนเตม ให A = {x ∈ I | |2x + 7| ≤ 9} และ B = {x ∈ I | |x2 - x - 1| > 1} พจารณาขอความตอไปน (ก) จานวนสมาชกของเซต AI B เทากบ 7 (ข) A - B เปนเซตวาง ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 12. ถา A แทนเซตของจานวนเตมทงหมด ทสอดคลองกบอสมการ 3|x - 1| - 2x > 2|3x + 1| และ B แทนเซตคาตอบของอสมการ x(x + 2)(x + 1)2 < 0 แลวขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 55) 1) เซต A - B มสมาชก 5 ตว 2) AU B = A 3) เซต AI B มสมาชก 1 ตว 4) (A - B)U (B - A) = B


ทฤษฎ จ านวน ห.ร.ม. นยาม (a, b) = d กตอเมอ 1. d|a และ d|b 2. ถา c|a และ c|b แลว c|d สมบต 1. d = ax + by โดยท x, y ∈ I 2. (a, b) = (-a, b) = (a, -b) = (-a, -b) ค.ร.น. นยาม [a, b] = c กตอเมอ 1. a|c และ b|c 2. ถา a|d และ b|d แลว c|d สมบต a ⋅ b = (a, b) ⋅ [a, b] 13. กาหนดให a เปนจานวนเตมบวก ถา ห.ร.ม. ของ a และ 2520 เทากบ 60 และ ค.ร.น. ของ a และ 420 เทากบ 4620 แลว a อยในชวงในขอใดตอไปน (สามญ 56) 1) [200, 350) 2) [350, 500) 3) [500, 650) 4) [650, 800) 5) [800, 950) 14. กาหนดให n เปนจานวนนบทมากทสดทหาร 166 และ 1101 แลวไดเศษเหลอ 1 แลว n มคาเทากบเทาใด

(สามญ 57)


15. กาหนดให m และ n เปนจานวนเตมบวกซง m = n + 2 และ ค.ร.น ของ m และ n เทากบ 180 แลว ผลคณ mn มคาเทากบเทาใด (สามญ 57)

16. ถา S เปนเซตของจานวนนบ n ซง ค.ร.น. ของ 720 และ n มคาเทากบ 10800 แลวสมาชกของ S ทมคา

นอยทสดมคาเทากบเทาใด (สามญ 55) 17. กาหนดให a, b เปนจานวนเตมบวกซง ab - 25a - 25b = 1575 ถา ห.ร.ม. (a, b) = 5 แลว |a - b|

มคาเทากบขอใดตอไปน (สามญ 55) 1) 15 2) 45 3) 90 4) 210 5) 435 18. เศษเหลอจากการหาร 4999 + 9555 ดวย 5 มคาเทากบเทาใด (สามญ 57) 19. ถา d เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 และจานวน 3456, 2561 และ 1308 หารดวย d มเศษเหลอเทากน

คอ r แลว d + r เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)


เรขาคณ ตว เคราะห และภาคต ดกรวย เรขาคณตวเคราะห

) y,(x 11

) y,(x 22

d

) y,(x 11

dAx + By + C = 0

0 C By Ax 1 =++

d0 C By Ax 2 =++

d = 221

221 ) y (y )x (x -- + d =

2211

B A

|C By Ax|

+

++ d = 22

21

B A

|C C|

+

-

ภาคตดกรวย

วงกลม (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ; จดศนยกลาง คอ (h, k) รศม = r (x - h)2 = 4c(y - k) ; c > 0 หงาย, c < 0 ควา

พาราโบลา (y - k)2 = 4c(x - h) ; c > 0 ขวา, c < 0 ซาย

นอน : 22

ah) (x - + 2

2

bk) (y - = 1 ตง : 2

2

bh) (x - + 2

2

ak) (y - = 1

วงร a2 = b2 + c2 ; คาความเยองศนยกลาง (e) = a

c ; 0 < e < 1

นอน : 22

ah) (x - - 2

2

bk) (y - = 1 ตง : 2

2

ak) (y - - 2

2

bh) (x - = 1

ไฮเพอรโบลา c2 = a2 + b2

20. กาหนดใหวงรรปหนงมสมการเปน x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92 = 0 ; A, B, C ∈ I โดยทมจดศนยกลาง

อยท (2, 1) และแกนเอกยาวเปน 2 เทาของแกนโท ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) A + B + C = 0

2) ความเยองศนยกลางของวงรเทากบ 53

3) วงรมจดศนยกลางรวมกบจดศนยกลางของวงกลม x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 และแกนเอก ยาวเทากบรศมของวงกลม

4) ผลบวกของระยะทางจากจด (2, 6) ไปยงโฟกสทงสองของวงรเทากบ 20 หนวย


21. ให F เปนโฟกสของพาราโบลา 4y = x2 - 6x + 13 ถาไฮเพอรโบลารปหนงมสมบตดงน (ก) แกนตามขวางขนานแกน y (ข) จดศนยกลางของไฮเพอรโบลาอยท F (ค) โฟกสหนงของไฮเพอรโบลา คอ (3, 2 + 2 13 ) (ง) แกนสงยคยาว 12 หนวย แลวไฮเพอรโบลารปนมสมการตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57) 1) 4x2 - 9y2 - 24x + 36y + 144 = 0 2) 4x2 - 9y2 - 24x + 36y - 36 = 0 3) 9y2 - 4x2 + 24x + 36y - 144 = 0 4) 9y2 - 4x2 + 24x + 36y + 36 = 0 22. ถาวงกลมวงหนงมจดศนยกลาง คอ C(h, k) อยบนเสนตรง x + y + 4 = 0 และวงกลมนผานจด

A(-5, -2) และจด B(-2, 5) แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55) 23. ให A เปนจดตดของเสนตรง x - 3y + 1 = 0 และ 2x + 5y - 9 = 0 ถาเสนตรง L มความชนเทากบ m

เมอ m < 0 มระยะหางจากจดกาเนด (0, 0) เทากบ k หนวย โดยท k2 + 2m = 1 และผานจด A แลวสมการของเสนตรง L ตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57)

1) 2x + y - 5 = 0 2) 3x + y - 7 = 0 3) x + 2y - 4 = 0 4) x + 3y - 5 = 0


24. พจารณาขอความตอไปน (ก) ให P(x, y) เปนจดใดๆ ในระนาบ ถาผลบวกของระยะทางจากจด P(x, y) ไปยงจด (0, -2) และ

ระยะทาง จากจด P(x, y) ไปยงจด (2, -2) เทากบ 2 5 แลวเซตของจด P(x, y) คอ {(x, y) | 4x2 + 5y2 - 8x + 20y - 12 = 0}

(ข) จด (1, 1) เปนจดบนพาราโบลา y = x2 อยใกลกบเสนตรง y = 2x - 4 มากทสด ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 25. แกนเอกของวงรเปนสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดตดของวงกลม x2 + y2 = 25 กบวงกลม

x2 + y2 + 6y - 7 = 0 และโฟกสจดหนงของวงรอยบนเสนตรง x + 2 3 = 0 สมการของวงรตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55)

1) x2 + 4y2 - 8x = 0 2) x2 + 4y2 + 24y + 20 = 0 3) 4x2 + y2 + 6y - 7 = 0 4) 4x2 + y2 - 32x + 48 = 0 26. กาหนดใหไฮเพอรโบลารปหนงมสมการเปน x2 - y2 - 2x = 0 ถาพาราโบลามโฟกสเปนจดกงกลางของ

สวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดตดของเสนตรง y = 2x กบเสนกากบของไฮเพอรโบลา และมเสนไดเรกตรกซเปนเสนตรงทผานจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลา แลวสมการของพาราโบลาคอขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57)

1) 9x2 + 12x + 12y - 3 = 0 2) 9x2 + 12x + 12y + 8 = 0 3) 9x2 + 6x - 12y - 3 = 0 4) 9x2 + 6x + 12y + 5 = 0


27. พาราโบลาทมจดโฟกส F อยทจดศนยกลางของวงกลม x2 + y2 - 6x + 4y + 4 = 0 และมจดยอด V อยทจดตดของวงกลมกบแกน y ถา A และ B เปนจดบนพาราโบลาซงสวนของเสนตรง AB ผานจดโฟกส F และตงฉากกบแกนของพาราโบลา แลวพนทของรปสามเหลยม VAB เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 55)

1) 9 ตารางหนวย 2) 12 ตารางหนวย 3) 18 ตารางหนวย 4) 36 ตารางหนวย 28. กาหนดให L เปนเสนตรงมสมการเปน a

x + by = 1 เมอ a, b > 0 และให C1 และ C2 เปนวงกลมสองวง

ทตางกน โดยทมรศมเทากนและวงกลมทงสองวงตางสมผสกบเสนตรง L ทจดเดยวกน ถาวงกลม C1 มจดศนยกลางทจด (0, 0) แลวสมการของวงกลม C2 คอขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57)

1) (a2 + b2)2(x2 + y2) - 4ab(a2 + b2)(bx + ay) + 3a2b2 = 0 2) (a2 + b2)(x2 + y2) - 4ab(bx + ay) + 3a2b2 = 0 3) (a2 + b2)2(x2 + y2) - 4ab(a2 + b2)(bx + ay) + 5a2b2 = 0 4) (a2 + b2)(x2 + y2) - 4ab(bx + ay) + 5a2b2 = 0


ฟ งก ช น ฟงกชนอนเวอรส 1. Df-1 = Rf และ Rf-1 = Df 2. (f-1)-1 = f 3. f(∆) = → ∆ = f-1( ) ฟงกชนประกอบ 1. (fog)(x) = f(g(x)) 2. (fog)-1(x) = (g-1of-1)(x) 29. ให R แทนเซตของจานวนจรง และ a เปนจานวนจรงโดยท a ≠ 0 ให f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนทนยามโดย f(x) = ax + 2 และ g(x) = x3 - 3x(x - 1)

สาหรบทกจานวนจรง x ถา (f-1og-1)(1) = 1 แลว (gof)(a) เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57) 30. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนทสอดคลองกบ f(x + g(y)) = 2x + y + 15 สาหรบ

ทกจานวนจรง x และ y พจารณาขอความตอไปน (ก) (gof)(x) = 2x + 15 สาหรบทกจานวนจรง x (ข) g(25 + f(57)) = 75 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


31. ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนหนงตอหนง โดยท (fog)(x) = 4x - 5 และ g-1(x) = 2x + 1

สาหรบทกจานวนจรง x พจารณาขอความตอไปน (ก) 4(f-1og)(2x + 1) = g(x) + 1 สาหรบทกจานวนจรง x (ข) (g-1o(f-1og))(x) = f-1(x) + 1 สาหรบทกจานวนจรง x ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก และ (ข) ผด 3) (ก) ผด และ (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 32. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง กาหนด g(x) = x2 + x + 3 สาหรบทกจานวนจรง x ถา f : R → R เปนฟงกชน และสอดคลองกบ (fog)(x) + 2(fog)(1 - x) = 6x2 - 10x + 17 2(fog)(x) + (fog)(1 - x) = 6x2 - 2x + 13 คาของ f(383) เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 55) 33. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง และให I แทนเซตของจานวนเตม ให f และ g เปนฟงกชนจาก R ไปยง R โดยท f(x + 5) = x3 - x2 + 2x สาหรบทกจานวนจรง x และ

g-1(2x - 1) = x + 4 สาหรบทกจานวนจรง x พจารณาขอความตอไปน (ก) (f - g)(0) < -169 (ข) {x ∈ I|(gof)(x) + 5 = 0}เปนเซตวาง ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


34. ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา f เปนฟงกชน ซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตจานวนจรง โดยท f(x) = 1 x 4 4x 2x2

+++ เมอ

x ≠ -1 แลวเรนจของฟงกชน f เปนสบเซตของขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) {x ∈ R|x2 + 6x - 7 ≥ 0} 2) {x ∈ R|x2 + 3x - 10 ≥ 0} 3) {x ∈ R|x2 + x - 12 ≥ 0} 4) {x ∈ R|x2 - 6x - 16 ≥ 0} 35. ให R แทนเซตของจานวนจรง และให f : R → R เปนฟงกชนทมสมบตสอดคลองกบ f

+ x 1x 1 - = x

สาหรบทกจานวนจรง x ≠ -1 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 54)

1) f(f(x)) = -x สาหรบทกจานวนจรง x 2) f(-x) = f

+

x 1x 1

- สาหรบทกจานวนจรง x ≠ 1

3) f

x1 = f(x) สาหรบทกจานวนจรง x ≠ 0 4) f(-2 - x) = -2 - f(x) สาหรบทกจานวนจรง x


เมทร กซ ดเทอรมแนนต กรณ n = 2

A =

dcba → det(A) = dc

ba = ad - bc

กรณ n = 3

A =

ihgfedcba

→ det(A) = ihgfedcba

gda

heb

สมบตของ det 1. det(At) = det(A) 2. det(AB) = det(A) ⋅ det(B) 3. det(An) = (detA)n 4. det(kA) = kndet(A) 5. det(I) = 1 และ det(0) = 0 6. ถาเมทรกซมสมาชกแถวใดหรอหลกใดเปนศนยทกตว จะไดวา det เทากบ 0

653000121

, 650430120

7. ถาเมทรกซมสองแถวใดหรอสองหลกใดเหมอนกน จะไดวา det เทากบ 0

121654121

, 668443112

8. คา det ของเมทรกซสามเหลยมจะเทากบ ผลคณของสมาชกในแนวทแยงมมหลก

356024001

, 600430122

9. ถาเมทรกซ B เกดจาก A โดยการสลบสองแถวใดหรอสองหลกใดแลว det(B) = -det(A)

333231232221131211

aaaaaaaaa

= -333231131211232221

aaaaaaaaa

= -333132232122131112

aaaaaaaaa


10. ถาเมทรกซ B เกดจาก A โดยการคณแถวใดแถวหนงดวย k ∈ R แลว det(B) = k ⋅ det(A)

333231232221131211

aaakakakaaaa

= k333231232221131211

aaaaaaaaa

11. ถาเมทรกซ B เกดจาก A โดยการคณแถวใดแถวหนงดวย k ∈ R แลวนาไปบวกกบอกแถวหนงหรอคณหลกใดหลกหนงดวย k ∈ R แลวนาไปบวกกบอกหลกหนง แลว det(B) = det(A)

333231232221131211

aaaaaaaaa

= 333231

132312221121131211

aaa)ka (a)ka (a)ka (a

aaa+++

36. พจารณาขอความตอไปน

(ก) ถา A =

0c000ba00

เมอ a, b, c เปนจานวนจรงบวกท abc = 1 และ I เปนเมทรกซเอกลกษณ

การคณมต 3 × 3 แลว det(A2 + A + I) = 0

(ข) ให A =

321321321

cccbbbaaa

และ B =

+++

321321

333222111

3c3c3c2b2b2b

3c 2b a3c 2b a3c 2b a ---

เมอ a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 เปนจานวนจรง ถา det(A) = 3 แลว det(B) = -18 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


37. กาหนดให A =

4ba1

, I =

1001

เมอ a และ b เปนจานวนจรงท ab ≠ 0 และเมทรกซ A

สอดคลองกบสมการ 2(A - I)-1 = 4I - A พจารณาขอความตอไปน (ก) ab = 2 (ข) det(3A2AtA-1) = 324 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


1021

--

, I =

1001

และ B เปนเมทรกซใดๆ มมต 2 × 2 ให x เปนจานวนจรงท

สอดคลองกบ det(A2 + xI) = 0 พจารณาขอความตอไปน (ก) det(A + xI) = 0 (ข) det(A2 + xI - B) = det(Bt) ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


39. กาหนดให A เปนเมทรกซ ทมมต 3 × 3 และ det(A) ≠ 0 พจารณาขอความตอไปน (ก) (det(A))3 = det(adj(A)) (ข) ถา A2 = 2A แลว det(A) = 2 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด

40. กาหนดให A, B และ C เปนเมทรกซมมต 3 × 3 โดยท det B ≠ 0 ถา A =

0 13 1 1 2 32 1

-

-- และ

det(BtCB-1) = -4 แลว det(CtAC) เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55) 41. กาหนดให A และ B เปนเมทรกซจตรสมตเทากน โดยท det(A) ≠ 0 และ det(B) ≠ 0 ถา

det(A-1 + B-1) ≠ 0 และ det(A + B) ≠ 0 แลว (A + B)-1 ตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) B-1(A-1 + B-1)A-1 2) B-1(A-1 + B-1)-1A-1 3) B(A-1 + B-1)A 4) B(A-1 + B-1)-1A


ฟ งก ช นเอกซ โพเนนเช ยล และฟ งก ช นลอการ ท ม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล สมบตของเลขยกกาลง

1. am ⋅ an = am+n 2. nm

aa = am-n 3. (am)n = amn

4. (ab)m = ambm 5. m

ba

= m

m

ba 6. a-n = na

1

การแกสมการ Expo 1. ax = ay → x = y 2. ax = bx → x = 0 การแกอสมการ Expo 1. ax > ay 2. ax > bx

ถา 0 < a < 1 แลว x < y จดรปเปน x

ba

> 1 →

x

ba

>

0

ba

ถา a > 1 แลว x > y แลวพจารณาตามขอ 1. ฟงกชนลอการทม สมบต log 1. loga1 = 0 2. logaa = 1

3. logax + logay = loga(xy) 4. logax - logay = loga

yx

5. logax = alogxlog

cc = alog

1x

6. loganxm = nm logax

7. ylogax = xlogay 8. alogax = x ขอควรร log10x = logx, logex = ln x log 2 ≈ 0.3010, log 3 ≈ 0.4771, log 5 = 1 - log 2 การแกสมการ log 1. logax = logay → x = y 2.logax = logbx → x = 1 การแกอสมการ log 1. logax > logay 2. logax > logbx

ถา 0 < a < 1 แลว x < y จดรปเปน alogxlog

cc > blog

xlogcc

ถา a > 1 แลว x > y !!! การแกสมการ / อสมการ log ตองตรวจคาตอบ log∆ → > 0 และ ∆ > 0 แต ∆ ≠ 1


42. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ 3(1+2x) + 9(2-x) = 244 แลวเซต A เปนสบเซตของชวงใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55)

1) (-1, 4) 2) (-2, 0.5) 3) (0, 5) 4) (-3, 0) 43. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ log2(x + 7)2 + 4log4(x - 3) = 3log8(64x2 - 256x + 256)

ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต A เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57) 44. ให R แทนเซตของจานวนจรงและ ถา A = {x ∈ R|32x - 34(15x-1) + 52x = 0} และ B =

++=+∈ 2x1 1 6log 125) (5logR x 5

1/x5

แลวจานวนสมาชกของเซต AU B เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)


45. พจารณาขอความตอไปน (ก) ถา x เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ log2x + log4x + log8x + log16x - 2log64x = 7

แลว x สอดคลองกบสมการ x - 3 x = 4 (ข) ถา a, b และ c เปนจานวนจรงทสอดคลองกบ (1 - a)log32 = 2 - log35 (3 + b)log52 = 2 - log53 และ (3 + c)log72 = 4log73 - log75 แลว 2a + b - c = 2 + 5log25 - 9log23 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด

46. ถา x เปนจานวนจรงทมากทสดทเปนคาตอบของสมการ 2x 3x 14 -+ - 2x 5x 9 -+ = 1 แลวคาของ

1221

2x 3x9x 12x 4--

--

-- + เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)

47. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ log6(3 ⋅ 4x + 2 ⋅ 9x) = x + log65

และให B แทนเซตคาตอบของสมการ x + 2x 1 - = 1 + 2x 2x 1 - จานวนสมาชกของเซต AU B เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57)


48. ให A เปนเซตคาตอบของสมการ 1 3x2 2 3x +++ + 1 3x6 10 3x +++ = 14

และให B เปนเซตคาตอบของสมการ 2x2 - 6x + 11 + 2 5 3x x2 +- = 25 ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต AU B เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)


++ >∈ 32 2 2 2R x 1/2x2x2x -- เมอ R แทนเซตของจานวนจรง จงหาจานวน

สมาชกทเปนจานวนเตมของ R - A (PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 50. ถา A เปนเซตคาตอบของอสมการ (x - 2)x2+2 < (x - 2)2x+10 เมอ x > 2 แลว A เปนสบเซตของชวง

ในขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (2, 3) 2) (3.5, 5) 3) (2.5, 4) 4) (4, 7) 51. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ x2log4(x2 + 2x - 1) + xlog1/2(x2 + 2x - 1) = 2x - x2

และให B = {x2|x ∈ A} ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต B เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)


ฟ งก ช นตร โกณม ต เอกลกษณ sin2 A + cos2 A = 1 สตร ผลบวก/ผลตาง มม 2 เทา sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B sin 2A = 2 sin A cos A cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B cos 2A = cos2 A - sin2 A tan (A ± B) = B tanA tan 1

B tan A tanm

± tan 2A = A tan 1

A tan22-

มม 3 เทา มม 21 เทา

sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A sin 2A = ± 2

A cos 1 -

cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A cos 2A = ± 2

A cos 1 + สมบตของอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต สมบต arc มมลบ arcsin (-x) = -arcsin x arccos (-x) = π - arccos x arctan (-x) = -arctan x arccot (-x) = π - arccot x arccsc (-x) = -arccsc x arcsec (-x) = π - arcsec x สมบตสวนกลบ สมบตยบ arctan arcsin x = arccsc x

1 arctan x + arctan y = arctan xy 1 y x

-+ ; xy < 1

arccos x = arcsec x1 สมบตค co-function

arctan x = arccot x1 ; x > 0 arcsin x + arccos x = 2

π

arctan x + arccot x = 2π

arcsec x + arccsc x = 2π

ฟงกชนตรโกณมตกบเรขาคณต Law of Sine Law of Cosine a

A sin = bB sin = c

C sin a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

A

C Ba

b c


52. cot

+326 1 arccos 3

2 arccos - มคาเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57)

1) 32 2) 3

1 3) 326 1 + 4) 3

53. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B และมม C เปนมมแหลม โดยท 25 cos B - 13 cos C = 15,

65(cos B + cos C) = 77 และดานตรงขามมม C ยาว 20 หนวย ความยาวของเสนรอบรปสามเหลยม ABC เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57)

54. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยม โดยทมความยาวของดานตรงขามมม A มม B และมม C เทากบ a

หนวย b หนวย และ c หนวย ตามลาดบ และมม A มขนาดเปนสองเทาของมม B ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57)

1) c2 = a2 + ab 2) c2 = b2 + ab 3) a2 = b2 +bc 4) a2 = c2 + bc 55. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ โดยทมความยาวของดานตรงขามมม A มม B และมม C เทากบ a

หนวย b หนวย และ c หนวย ตามลาดบ ถามม A มขนาดมากกวา 90° มม B มขนาด 45° และ 2 c = ( 3 - 1)a แลว cos2 (A - B - C) + cos2 B + cos2 C เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)


56. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ ถา a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมม A มม B และ

มม C ตามลาดบ โดยท c a1+ + c b

1+ = c b a

3++ แลว sin C เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55)

1) 22 2) 2

1 3) 23 4) 1

57. คาของ sec2

+ 7

1 arctan 31 arctan 2 เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)

58. ถา x และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ 3 sin (x - y) = 2 sin (x + y) แลว (tan3 x)(cot3 y)

เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) 8 2) 27 3) 64 4) 125 59. กาหนดให θ เปนจานวนจรงใดๆ พจารณาขอความตอไปน (ก) 16 sin3 θ cos2 θ = 2 sin θ + sin 3θ - sin 5θ (ข) sin 3θ = (sin 2θ + sin θ)(2 cos θ - 1) ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


60. ถา cos 5θ = a cos5 θ + b cos3 θ + c cos θ เมอ θ เปนจานวนจรงใดๆ แลวคาของ a2 + b2 + c2 เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57)

61. กาหนดให sin θ - sin 2θ + sin 3θ = 0 โดยท 0 < θ < 2

π ถา a = θθθθ

2 cos cos2 tan tan

-- และ

b = θθθθθθ

++++

5 cos 4cos 3 cos5 sin 4sin 3 sin แลวคาของ a4 + b4 เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)

62. กาหนดให 0° < θ < 15° คาของ arctan

θθ sin 3 1

cos 3- - arccot

θθ sin 3

cos- เทากบขอใดตอไปน

(PAT 1 เม.ย. 57) 1) arctan (cot θ) 2) arctan (tan θ) 3) arctan (sin θ) 4) arctan (cos θ) 63. ให A แทนเซตคาตอบของจานวนจรง x ∈ [0, 2π) ทงหมดทสอดคลองกบสมการ 2(1+3sinx) - 5 ⋅ 22sinx + 2(2+sinx) = 1 จานวนสมาชกของเซต A เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)


64. พจารณาขอความตอไปน (ก) ถา A และ B เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ sin2 B = sin A cos A แลว cos 2B = 2 cos2 (45° + A) (ข) ถา 0 ≤ A, B ≤ 2

π สอดคลองกบ sin A = 2 sin B และ 3 sec B = 2 sec A แลว sin 10A + cos 10B = 0.5

ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 65. พจารณาขอความตอไปน (ก) cos 5

π + cos 53π + cos π = 2

1

(ข) tan 167π - tan 8

3π = cosec 8π

ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด


ล าด บอน นต และอน กรมอน นต ลมตอนนต เศษสวนพหนาม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล 1. ดกรสงสดของ “เศษ < สวน” 1. ฐานสงสดของ “เศษ < สวน”

∞→n

lim 4 n

3 2n n n423

+

+++ = 0 ∞→n

lim 1 52 3

nn1n

+

+ - = 0

2. ดกรสงสดของ “เศษ = สวน” 2. ฐานสงสดของ “เศษ = สวน”

∞→n

lim 3 2n 4n

1 4n n 3n23

23

--

+

++ = 43

∞→nlim nn

n1n

2 3 42 3

+

+

⋅- = 4

3

3. ดกรสงสดของ “เศษ > สวน” 3. ฐานสงสดของ “เศษ > สวน”

∞→n

lim 1 2n n

n n2

23

++

+ → หาคาไมได ∞→n

lim n1nn

2 31 5

++- → หาคาไมได

อนกรม เลขคณต / เรขาคณต

จากด อนนต

อนกรมเลขคณต Sn = 2n (a1 + an) 0 + 0 + 0 + ... = 0

อนกรมเรขาคณต Sn = r 1)r (1a n

1-- S∞ = r 1

a1- ; |r| < 1

อนกรมเศษสวนยอย

∑ d) n(n1+

= d1 ∑

+ d n1 n

1 -

∑ 2d) d)(n n(n1

++ = 2d

1 ∑

+++ 2d) d)(n (n

1 d) n(n1 -


66. กาหนดให an = 4 16n

n22

- เมอ n = 1, 2, 3, ... ถา

∞→nlim n

a ... a a a n321 ++++ = ba โดยท

a และ b เปนจานวนเตมบวก ซง ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ 1 แลว a2 + b2 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57)

1) 17 2) 25 3) 145 4) 257

67. กาหนดให an = k2kn

1k=∑ เมอ n = 1, 2, 3, ... คาของ

∞→nlim

1 5n n

)3a (622

nn

++

- เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)

68. กาหนดให an = 3 16n n2 ++ - 2 n2 + เมอ n = 1, 2, 3, ... คาของ ∞→n

lim 3 na เทากบเทาใด

(PAT 1 ม.ค. 57) 1) 0 2) 1 3) 2 4) 8


69. กาหนดให an = sin

ππ 2 n - - cos nπ สาหรบ n = 1, 2, 3, ... และ bn = 6 cos

ππ 3 2n -

สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ผลบวกของอนกรม 11

ba +

2

22

ba

+

3

33

ba

+ ... +

n

nn

ba

+ ... เทากบ

ขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55) 1) 5

2 2) - 52 3) 2 4) -2

70. สาหรบ n = 1, 2, 3, ... กาหนดให an = 2 + 4 + 6 + ... + 2n และ bn = a1 + a2 + a3 + ... + an

คาของ ∞→n

lim

+++++n321 b1 n ... b

4 b3 b

2 เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)


เฉลยตวอยางขอสอบ 1. 1) 2. 1) 3. 3) 4. 3) 5. 3) 6. 4) 7. 4) 8. 3) 9. 3) 10. 2) 11. 2) 12. 1) 13. 4) 14. 55 15. 360 16. 675 17. 1) 18. 3 19. 234 20. 4) 21. 3) 22. 14.5 23. 1) 24. 3) 25. 2) 26. 4) 27. 3) 28. 2) 29. 9 30. 4) 31. 1) 32. 763 33. 4) 34. 3) 35. 4) 36. 2) 37. 3) 38. 1) 39. 4) 40. 320 41. 2) 42. 1) 43. 5 44. 4 45. 1) 46. 4 47. 3 48. 11 49. 2) 50. 3) 51. 4 52. 4) 53. 54 54. 3) 55. 2 56. 3) 57. 2 58. 4) 59. 1) 60. 681 61. 153 62. 2) 63. 3 64. 2) 65. 3) 66. 4) 67. 3 68. 3) 69. 3) 70. 2.25

Documents

กราฟวเคราะหิข อสอบ PAT 1 ณิต-PAT1...หน้า.pdf · PDF fileคือ r แล้ว d + r เท่ากับเท่าใด (PAT