复杂电路机械化求解的复杂电路机械化求解的

新理论和新算法新理论和新算法

PB03001036 PB03001036 申述 申述 PB03001061 PB03001061 辛辛璐璐 PB03001021 PB03001021 刘刘

博博

•电路求解问题在实际工程和应用中有非常重要的使用价值•此问题已有非常经典、成熟的理论和算法， 因此，最近人们关注不多•我们对此问题进行了研究，建立了新的理论得到了更好的算法

引言：

目录

经典理论及其缺陷 新的理论 新理论的优点和不足 附录

经典理论 电路图论化

经典理论

关联矩阵 Aa和降阶关联矩阵 A ：

A 是由 Aa删去最后一行得到

有完备方程 :

（不记 0 电势点意义下）

经典理论的缺陷 1. 在实际中对复杂电路我们只想知道某些支路的电流和某些节点的电势，而对于其他的地方，从技术上来讲是无关紧要的。而电势又能够通过某些支路的电流进行简单的求解。这也就是说我们关心的仅仅是某些支路的电流，而用原来算法中的高斯消元法求出所有支路的电流和所有节点的电势是一种资源上的浪费。

经典理论的缺陷 2. 对每一个电路，即使是结构相同，仅是阻值或电动势大小稍加改变就将导致新的计算，这造成了对前一次计算的浪费。若结构不同 , 则两个电路之间几乎没有任何联系 , 新的计算是不可避免的 . 这是经典理论自身无法克服的 .

经典理论的缺陷 3 ．采用数值计算，却未对结果的误差进行分析，无法确定高斯消元法及浮点型数据舍入造成的误差是否在误差允许的范围内。

目录

经典理论及其缺陷 新的理论 新理论的优点和不足 附录

新的理论基本思路 :

完全电路

完全电路的解

化归

求解

还原

任意电路

概念 完全电路 每两个结点之间有且仅有一个条支路 ,每条支路上有且仅有一个电源和一个电动势 .

记号

先用 1,2,…n 标定各节点 不妨记 Iij是从节点 i 到节点 j 的电流，方向从 i 到 j,Εij是支路 ij 上的电动势 ,Kij的方向从 i 到 j 。（显然用负值即可代替方向相反的情况）

引理：若用（ i,j,k ）来表示 i—>j—>k—>i 的一段回路，则（ 1 ， 2 ， 3 ），（ 1 ，3 ， 4 ）……（ 1 ， n-1,n ） ,(2 ， 3 ， 4) ，（ 2 ， 4 ， 5 ……） (2,n-1,n) …… （ n-2,n-1,n ）是 (n-1)(n-2)/2 条独立回路

证明：（见附录）

K1=

由引理得到 KVL 方程： K1RJ=K1E

得到 KCL 方程： K2J=0

K2=

完备方程 K1RJ=K1E,K2J=0 是 (n-1)(n-2)/2+n-1=n(n-

1)/2 个独立方程，它足以解 J 这个 n(n-1)/2 维向量 , 联立这两个方程 ,得完备方程 :

求解 I12=Δ12/Δ （ Δ和 Δ12分别对应于 Cramer法则中的行列式

考虑到完全电路中各条支路是因支路参数的不同而不具备对称性，但各条支路的地位是平等的 . 也就是我们求出 I12后，不需再求其他支路，只需重新标定结点的次序 , 使要求的电流两端标定 1 ， 2,再将新的支路参数代入 I12即可

关于 I12

I12 和节点数一一对应 采用数学上常用的编制各种函数表的一劳永逸的方法：如先利用计算机计算出结点数 4<=n<=100000时的表达式，以后再计算时就可以直接调用

新的理论基本思路 :

完全电路

完全电路的解

化归

求解

还原

任意电路

任意电路到完全电路的化归 0 ．用虚支路连接不关联的节点 1 ．增加结点法：

2. 合并结点法：

2 1 2

3

4

1

1 2 1 2

两种化归方法的比较 第一种方法比较简单，但增加一个结点将增加 n 条支路，对（ * ）的求解带来困难。而第二种方法通过减少节点可以使（ * ）的阶数下降，使求解的复杂度减小，但化简和还原（ 公式见附录）的过程会增加复杂度。因此，当节点数比较少时我们采用第一种方法，节点数比较多时采用第二种方法

新的理论基本思路 :

完全电路

完全电路的解

化归

求解

还原

任意电路

任意电路到完全电路的还原 对添加的支路的参数 (R,E)→(∞,0) 对合并的支路用反变换公式（见附录）

结论：求解复杂电路 = 数节点个数 !!!

目录

经典理论及其缺陷 新的理论 新理论的优点和不足 附录

新理论的优点 通过一次大规模的计算来使以后的计算变得相当简单，充分利用了资源，克服经典算法中一个电路算一次的缺点。并且可以只求某些支路，而不求那些对我们没有帮助的支路，又一次节省资源。另外，在整个计算过程中，除最后一步代入公式时浮点型数据产生舍入误差外，其他地方误差都为零！

新理论的不足和进一步的工作 如当 n很大时 I12的公式大得惊人，存储这样庞大的公式需要浪费很大的空间 。但是以空间换时间，我们认为是值得的。

电路是纯电阻的，没有其他电器元件：如电容，电感，二极管等 , 也没有引入到交流电上，但按完全电路的构造和支路参数的添加，这些元器件的引入应该是没有本质性的困难的。

猜想 定理 域上的对称多项式能唯一地表为初等对称多项式的多项式

I12虽不具备对称性 , 但他的不定元是地位平等的

猜想存在某个多项式 g 是 R12和 E12初等“地位对等”多项式 的多项式

基尔霍夫和他的定理

基尔霍夫（ Gustav Robert Kirchhoff,1824 ～ 1887 ）德国物理学家。 1824年 3月 12日生于柯尼斯堡； 1847年毕业于柯尼斯堡大学； 1848年起在柏林大学任教； 1850～1854年在布累斯劳大学任临时教授； 1854～ 1875年任海德堡大学教授； 1874年起为柏林科学院院士； 1875年重回柏林大学任理论物理学教授直到 1887年 10月 17日逝世。

附录

基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律

第一定律又称基尔霍夫电流定律，简记为第一定律又称基尔霍夫电流定律，简记为KCLKCL ，，是电流的连续性在集总参数电路上的体是电流的连续性在集总参数电路上的体现，其物理背景是电荷守恒公理。它有两种陈现，其物理背景是电荷守恒公理。它有两种陈述。述。

KCLKCL 的第一种陈述：对于任一集总电路中的任的第一种陈述：对于任一集总电路中的任一节点，在任一时刻，流出（或流进）该节点一节点，在任一时刻，流出（或流进）该节点的所有支路电流的代数和为零。的所有支路电流的代数和为零。

KCLKCL 的第二种陈述：对于任一集总电路中的任的第二种陈述：对于任一集总电路中的任一闭合面，在任一时刻，通过该闭合面的所有一闭合面，在任一时刻，通过该闭合面的所有支路电流的代数和等于零。支路电流的代数和等于零。

基尔霍夫第二定律 第二定律又称基尔霍夫电压定律，简记

为 KVL ，是电场为位场时电位的单值性在集总参数电路上的体现，其物理背景是能量守恒公理。

KVL 可表述为对于任一集总电路中的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压降的代数和为零。

引理证明 电压定律知 KVL方程知 :

矩阵形式 :

系数矩阵是一个准上三角阵，它的准对角块是行满秩的，所以系数矩阵是行满秩的。

即这 (n-1)(n-2)/2 个方程是独立的。引理证毕。

算法

合并支路参数的变换和反变换 变换公式 :

R=1/(1/Ra+1/Rb+1/Rc+…),

E=1/(1/Ea+1/Eb+1/Ec+…) 反变换公式 IaRa-Ea= IbRb-Eb= IcRc-Ec=…

I12=Ia+Ib+Ib+…

参考文献： ①. http://eelab.sjtu.edu.cn ② http://power.hust.edu.cn/study/ele/circuit.htm ③

http://www.teach.ustc.edu.cn/jpkc/shengji/dcx/qtzy/2003.htm

④http://www.math.pku.edu.cn/course/algebra/index.html

谢谢观看

特别感谢：

胡岳东教授、李文伟老师、肖沛老师的大力帮助和支持

章丹雯同学对换灯片的制作、美化提供的宝贵建议