σημειωσεις Ε.Φ.Η..pdf

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Εισαγωγή στην φυσική των ημιαγωγών

Σημειώσεις για το μάθημα Εισαγωγή στην Φυσική των Ημιαγωγών

Π. Τζανετάκης, Σεπτέμβριος 1998

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κρήτης


Πίνακας Περιεχομένων

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ..................................................................................................... 5

2. ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ. ......................................................... 7

2.1 Τύποι στερεών σωμάτων, δεσμοί. .................................................................... 7 2.2 Συμμετρία στους κρυστάλλους. Γεωμετρία πλεγμάτων. .................................. 9

2.2.1 Μοναδιαία κυψελίδα, στοιχειώδης κυψελίδα. ................................................ 11 2.2.2 Κυψελίδα Wigner-Seitz .................................................................................. 13 2.2.3 Σημαντικές κρυσταλλικές δομές σε τρείς διαστάσεις..................................... 14 2.2.4 Η δομή του διαμαντιού ................................................................................... 16

2.3 Αντίστροφο πλέγμα ........................................................................................ 17 2.3.1 1η Ζώνη Brillouin. .......................................................................................... 18

2.4 Κρυσταλλογραφικά επίπεδα ........................................................................... 18 2.4.1 Δείκτες Miller ................................................................................................. 19 2.4.2 Συμβάσεις γραφής δεικτών Miller επιπέδων και διευθύνσεων. ..................... 20

2.5 Ατέλειες δομής στους κρυστάλλους ............................................................... 20 2.6 Μονοκρυσταλλικά, πολυκρυσταλλικά και άμορφα στερεά ........................... 23 2.7 Προβλήματα εξάσκησης ................................................................................. 23

3. ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ...................................................... 26

3.1 Η περίθλαση ακτίνων Χ σε κρυσταλλικά πλέγματα....................................... 26 3.1.1 Οι πρώτες πειραματικές παρατηρήσεις και το μοντέλo του Bragg. ............... 27 3.1.2 Η εικόνα του Laue για την περίθλαση των ακτίνων Χ. .................................. 28 3.1.3 Η σφαίρα του Ewald. ...................................................................................... 31

3.2 Φωνόνια .......................................................................................................... 32 3.3 Προβλήματα εξάσκησης ................................................................................ 33

4. ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ ............................... 34

4.1 Ηλεκτρόνια στα στερεά σώματα..................................................................... 34 4.1.1 Από τα άτομα στα μόρια και τους κρυστάλλους ............................................ 36 4.1.2 Συναρτήσεις Bloch. Θεώρημα Bloch. ............................................................ 38 4.1.3 Αναγωγή στην 1η ΖΩΝΗ Brillouin ................................................................ 39 4.1.4 Κρυσταλλική ορμή.......................................................................................... 39 4.1.5 Ελεύθερα ηλεκτρόνια σε κρυστάλλους. Η μηδενικής τάξεως προσέγγιση στην ηλεκτρονική δομή τους...................................................................................... 40

4.2 Πυκνότητα Καταστάσεων.............................................................................. 41 4.3 Επίδραση ασθενούς περιοδικού δυναμικού στις σχέσεις διασποράς. ............ 44 4.4 Mέταλλα, μονωτές, ημιαγωγοί........................................................................ 45

5. ΗΜΙΚΛΑΣΣΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΚΑΙ ΟΠΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΥΣ............................................................................................. 47

5.1 Ενεργός μάζα .................................................................................................. 47 5.2 Η έννοια της οπής: Ενας φανταστικό "σωματίδιο" με πολύ πραγματικές εφαρμογές ...................................................................................................................... 51 5.3 Προβλήματα.................................................................................................... 53

6. ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ ................................................................................................ 54

2


6.1 Το χάσμα των ημιαγωγών............................................................................... 56 6.1.1 Αμεσο ή έμμεσο χάσμα................................................................................... 56 6.1.2 Πυκνότητα καταστάσεων στις ζώνες.............................................................. 57

6.2 Καταστάσεις μέσα στο χάσμα ........................................................................ 58 6.2.1 Δότες και αποδέκτες ....................................................................................... 59 6.2.2 Ημιαγωγοί τύπου n και p. ............................................................................... 61

6.3 Προβλήματα εξάσκησης ................................................................................. 73

7. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΕΙΣ ΦΟΡΕΩΝ ΣΤΟΥΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ Ι. ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ.................................................................................................................... 61

7.1 Η κατανομή Fermi-Dirac ................................................................................ 61 7.2 Συγκεντρώσεις ισορροπίας ............................................................................. 63

7.2.1 Η προσέγγιση Boltzmann ............................................................................... 64 7.2.2 Ισοδύναμες πυκνότητες καταστάσεων............................................................ 65 7.2.3 Ενδογενής συγκέντρωση φορέων ................................................................... 68

7.3 Καθορισμός της θέσης της στάθμης Fermi..................................................... 69 7.3.1 Η έννοια της αντιστάθμησης .......................................................................... 72 7.3.2 Κανόνες για τον προσεγγιστικό καθορισμό της στάθμης Fermi. ................... 72

8. ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΦΟΡΕΩΝ. ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΥΣΗ ........................................................................................................................ 75

8.1 Αγωγιμότητα ................................................................................................... 75 8.1.1 Ο νόμος του Ohm............................................................................................ 75 8.1.2 Το μοντέλo του Drude .................................................................................... 76 8.1.3 Ολίσθηση φορέων σε ηλεκτρικό πεδίο. Ευκινησία. ....................................... 77 8.1.4 Πού είχε λάθος ο Drude.................................................................................. 78

8.2 Διάχυση........................................................................................................... 79 8.2.1 Βασική φαινομενολογία. Νόμος του Fick ...................................................... 79 8.2.2 Εξίσωση συνέχειας ......................................................................................... 79

8.3 Η στάθμη Fermi σαν ηλεκτροχημικό δυναμικό ............................................. 81 8.3.1 Η σχέση του Einstein ...................................................................................... 83

8.4 Προβλήματα εξάσκησης ................................................................................. 84

9. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΕΙΣ ΦΟΡΕΩΝ ΙΙ. ΕΚΤΟΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ..................... 85

9.1 Ρυθμοί μεταβολής συγκεντρώσεων. ............................................................... 85 9.1.1 Ομοιόμορφος φωτισμός. ................................................................................. 86 9.1.2 Ενεση φορέων ................................................................................................. 88 9.1.3 Φωτοαγωγιμότητα ενδογενούς ημιαγωγού..................................................... 90

9.2 Επανασύνδεση. ............................................................................................... 91 9.2.1 Επανασύδεση με την βοήθεια καταστάσεων στο χάσμα. ............................... 92 9.2.2 Παράλληλοι δρόμοι επανασύνδεσης .............................................................. 95

9.3 προβλήματα εξάσκησης .................................................................................. 96

10. ΕΠΑΦΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ .................................................. 97

10.1 Επαφή δύο διαφορετικών μετάλλων............................................................... 97 10.1.1 Δυναμικό επαφής .................................................................................... 100 10.1.2 Διπλό στρώμα φορτίου στην επαφή δύο μετάλλων................................ 101

10.2 Επαφές μετάλλου - ημιαγωγού. .................................................................... 102 10.2.1 Επαφή Schottky μετάλλου με ημιαγωγό τύπου n. .................................. 103

3


10.2.2 Φραγμός δυναμικού. ............................................................................... 104 10.2.3 Απογύμνωση και Συσσώρευση............................................................... 106 10.2.4 Η Περιοχή Απογύμνωσης στην επαφή Schottky .................................... 107 10.2.5 Επαφή Schottky μετάλλου με ημιαγωγό τύπου p. .................................. 109 10.2.6 Εξωτερική πόλωση επαφής Schottky ..................................................... 109 10.2.7 Φορτίο, πεδίο και δυναμικό στην περιοχή απογύμνωσης. ..................... 110 10.2.8 Πάχος της περιοχής απογύμνωσης και εξωτερική πόλωση.................... 112

10.3 Επαφές pn ..................................................................................................... 113 10.3.1 Απότομη επαφή pn.................................................................................. 114 10.3.2 Η συνθήκη ολικής ηλεκτρικής ουδετερότητας. ...................................... 115 10.3.3 Δυναμικό επαφής .................................................................................... 116 10.3.4 Φορτίο, πεδίο και δυναμικό στην περιοχή απογύμνωσης. ..................... 117 10.3.5 Χωρητικότητα της περιοχής απογύμνωσης ............................................ 118 10.3.6 Η επαφή pn με τάση πόλωσης ................................................................ 120 10.3.7 Βαθμιαίες επαφές pn............................................................................... 120

10.4 Προβλήματα εξάσκησης ............................................................................... 122

11. ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΚΑΙ ΕΚΠΟΜΠΗ ΦΩΤΟΝΙΩΝ ΣΕ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ123

11.1 Τα γενικά οπτικά χαρακτηριστικά των ημιαγωγών σε σύγκριση με τους μονωτές και τα μέταλλα. .............................................................................................. 124 11.2 Απορρόφηση φωτός στους ημιαγωγούς ....................................................... 125

11.2.1 Θεμελιώδης απορρόφηση ....................................................................... 126 11.2.2 Πιθανότητα άμεσης οπτικής μετάβασης................................................. 127

11.3 Απορρόφηση, αυθόρμητη και εξαναγκασμένη εκπομπή στο πλαίσιο του μοντέλου ισοδύναμων συγκεντρώσεων καταστάσεων ζωνών..................................... 130 11.4 Προβλήματα.................................................................................................. 132

12. Παραρτήματα .............................................................................................. 133

12.1 Παράρτημα Α. Δυό λόγια για τις μονάδες στην φυσική των ημιαγωγών .... 133 12.2 Παράρτημα Β. Παγκόσμιες σταθερές και χρήσιμες ποσότητες στην Φυσική Ημιαγωγών...................................................................................................... 133

4


1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη των ηλεκτρικών και οπτικών ιδιοτήτων των στερεών σωμάτων και ιδιαίτερα των ημιαγωγών αποτελεί αναμφισβήτητα ένα πολύ ενδιαφέρον και σημαντικό αντικείμενο της σύγχρονης φυσικής. Είναι όμως επίσης μία επιστήμη όπου η βασική έρευνα και η τεχνολογία συνεχίζουν να προχωρούν παράλληλα, με στενή αλληλεπίδραση. Στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα η παράλληλη αυτή πορεία έδωσε και συνεχίζει να δίνει εντυπωσιακά αποτελέσματα και για την τεχνολογία και για την φυσική της συμπυκνωμένης ύλης. Η σύγχρονη φυσική στερεάς κατάστασης είναι, σε μεγάλο βαθμό, η εφαρμογή της κβαντομηχανικής και της στατιστικής μηχανικής στην μελέτη των ηλεκτρονίων στα στερεά, στην μελέτη της ηλεκτρονικής δομής τους, όπως συχνά λέγεται. Η χρήση της κβαντικής μηχανικής στην μελέτη της ηλεκτρονικής δομής έχει επιτρέψει, τις τελευταίες δεκαετίες, μία πολύ ικανοποιητική κατανόηση των ιδιοτήτων διαφόρων κατηγοριών στερεών υλικών, όπως τα μέταλλα, οι ημιαγωγοί, οι υπεραγωγοί, τα μαγνητικά υλικά. Τα στερεά σώματα αυτά έχουν ιδιότητες που εκμεταλλευόμαστε με ολοένα καλύτερο τρόπο στην σύγχρονη τεχνολογία. Οι ιδιότητές τους αυτές είναι ταυτόχρονα ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες από την σκοπιά της βασικής έρευνας. Η καλή κατανόηση της φυσικής των ημιαγωγών και οι εντυπωσιακές πρόοδοι της τεχνολογίας υλικών τα τελευταία χρόνια έχουν δώσει την δυνατότητα να κατασκευαστούν σύνθετα ημιαγωγικά υλικά και δομές σε κλίμακα μερικών ενδοατομικών αποστάσεων που δέν υπάρχουν στην φύση και έχουν διάφορες επιθυμητές ιδιότητες. Η ηλεκτρονική τους δομή είναι εντελώς διαφορετική απ' αυτή των μακροσκοπικών κρυστάλλων και των περιοχών τους, με ή χωρίς προσμίξεις διαφόρων στοιχείων, που αποτέλεσαν μέχρι τώρα τους δομικούς λίθους όλων των ημιαγωγικών διατάξεων. Η μικροηλεκτρονική χρησιμοποιεί σήμερα πολλές από τις δομές αυτές. Ακούγεται συχνά ο όρος wavefunction engineering που μπορεί να αποδώσει κανείς στα Ελληνικά σαν "σχεδίαση κυματοσυναρτήσεων". Αυτό είναι το τελευταίο και ίσως το τελικό σκαλοπάτι την πορεία που ακολούθησε η σχεδίαση ηλεκτρονικών κυκλωμάτων από την αρχή του 20ο αιώνα : σύνδεση με σύρματα διάκριτων ηλεκτρονικών εξαρτημάτων κενού ή ημιαγωγών, τυπωμένα κυκλώματα, ολοκληρωμένα κυκλώματα και τέλος επιταξιακή ανάπτυξη σύνθετων υλικών και δομών που μας δίνουν δυνατότητες ελέγχου της συμπεριφοράς και των κυματοσυναρτήσεων ηλεκτρονίων αλλά και των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Και το φώς και τα ηλεκτρικά σήματα είναι σήμερα απαραίτητα στην μεταφορά και επεξεργασία της πληροφορίας. Με τα δεδομένα αυτά είναι εύκολο να καταλάβει κανείς πόσο είναι απαραίτητη στην σύγχρονη ηλεκτρονική σχεδίαση η καλή γνώση όχι μόνο της φυσικής των ημιαγωγών αλλά και των θεμελιωδών θεωριών της σύγχρονης φυσικής . Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν για να βοηθήσουν την διδασκαλία του μαθήματος "Εισαγωγή στην Φυσική Ημιαγωγών" στο Φυσικό τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης. Το μάθημα αυτό και κατά συνέπεια και οι σημειώσεις, απευθύνονται κύρια στον φοιτητή που ενδιαφέρεται για τις ημιαγωγικές διατάξεις και τις εφαρμογές τους στα ηλεκτρονικά και μικροηλεκτρονικά κυκλώματα. Στο βαθμό που είναι δυνατό,

5


καλύπτονται όλες οι έννοιες της Φυσικής που είναι απαραίτητες στην καλή κατανόηση της δομής και λειτουργίας όλων των ημιαγωγικών και οπτοηλεκτρονικών διατάξεων. Αυτό δέν σημαίνει ότι εξετάζονται η δομή και η λειτουργία των διατάξεων. Τα περισότερα από τα θέματα που αναπτύσσονται είναι αντικείμενα της φυσικής των στερεών με γενικότερο ενδιαφέρον όπως η θεωρία ζωνών, τα φαινόμενα μεταφοράς φορτίου και η απορρόφηση και εκπομπή φωτονίων από ημιαγωγούς. Αυτός είναι ο λόγος που μας κάνει να πιστεύουμε ότι το μάθημα " Εισαγωγή στην Φυσική των Ημιαγωγών" είναι απαραίτητο σε όλους τους φοιτητές που θα προσανατολισθούν σε άλλους τεχνολογικούς τομείς εφαρμογών της φυσικής καθώς επίσης και σ' εκείνους που θα διδάξουν αργότερα στην β'βάθμια εκπαίδευση.

6

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.

2. ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ. Μία σύντομη επισκόπηση της δομής των κρυστάλλων και του φορμαλισμού περιγραφής της. Η χρήση του ηλεκτρικού ρεύματος σάν μέσου μεταφοράς ενέργειας από τα τέλη του 19ου αιώνα βασίστηκε σε καλούς αγωγούς, σε μέταλλα όπως ο χαλκός και το αλουμίνιο και σε μονωτές όπως το γυαλί και η πορσελάνη. Η ηλεκτρική αγωγιμότητα στα στερεά αυτά δέν είχε κατανοηθεί καλά αλλά το γεγονός αυτό δέν εμπόδισε την χρήση τους σε αρκετά πολύπλοκες ηλεκτρικές μηχανές. Σχεδόν αμέσως με την χρήση του ηλεκτρισμού για την μεταφορά ενέργειας, ο τηλέγραφος ανοίγει την εποχή της μεταφοράς πληροφορίας μεγάλης ταχύτητας σε όλο τον πλανήτη. Τον Δεκέμβριο του 1902 ο G. Marconi, με χρήση μόνο ηλεκτρικών, όχι ηλεκτρονικών, διατάξεων ελευθερώνει την τηλεπικοινωνία μεγάλων αποστάσεων από τον δεσμό του σύρματος, γεφυρόνωντας τον Ατλαντικό με ραδιοκύματα. Η ηλεκτρονική εποχή ανοίγει λίγο αργότερα το 1906 από τον Lee DeForest και την τρίοδο λυχνία του. Για πρώτη φορά είναι δυνατός ο καθορισμός του ρεύματος σε ένα κύκλωμα από ένα άλλο κύκλωμα πολύ μικρότερης ισχύος. Στα επόμενα 40 χρόνια, που σημαδεύονται από δύο παγκόσμιους πόλεμους, τα ηλεκτρονικά κυκλώματα με βάση τις λυχνίες κενού φέρνουν ανάμεσα σε άλλα, το ραδιοφώνο, την τηλεόραση και το ραντάρ αλλά και τους πρώτους υπολογιστές χωρίς γρανάζια.

Παράλληλα έχει αρχίσει η προσπάθεια να αξιοποιηθούν οι περίεργες και ενδιαφέρουσες ιδιότητες αγωγιμότητας μιάς άλλης κατηγορίας στερεών σωμάτων: των ημιαγωγών, με την ελπίδα ότι θα αντικαταστήσουν, στα ηλεκτρονικά κυκλώματα, τις ογκώδεις και ενεργειοβόρες λυχνίες που καίγονται πολύ συχνά. Εδώ η τεχνολογία χρειάζεται να περιμένει την καλύτερη κατανόηση των φαινομένων μεταφοράς φορτίου στους ημιαγωγούς για τους οποίους η τελειότητα της κρυσταλλικής δομής φαίνεται να έχει άμεσο αντίκρυσμα στις εφαρμογές.

Μέχρι τότε, οι κρύσταλλοι, ένα σπάνιο και όμορφο κατασκεύασμα της φύσης, είχαν τραβήξει το ενδιαφέρον πολλών επιστημόνων και όχι μόνο, με τις συμμετρίες τους και την γεωμετρική, μαθηματική τελειότητά τους. Αμέσως μετά τον 2ο Παγκόσμιο Πόλεμο, με την κατασκευή του πρώτου τρανζίστορ το 1947, αρχίζει η εποχή της ηλεκτρονικής στερεάς κατάστασης και αργότερα της Μικροηλεκτρονικής. Ενα φορητό «ραδιοφωνάκι» εχει τρία! (διαφημιζόμενα στο κουτί ) τρανζίστορ στην δεκαετία του ’50 και μερικές δεκάδες χιλιάδες τρανζίστορς στην δεκαετία του ’90. Η μικροηλεκτρονική έχει φέρει την επανάσταση της πληροφορικής και έχει ανοίξει νέους ορίζοντες για την ανθρωπότητα στον πλανήτη Γή και πέρα απ’ αυτόν. Οι κρύσταλλοι των ημιαγωγών, η κατασκευή τους η δομή και οι ατέλειές τους απασχολούν τώρα όχι μόνο τους τους επιστήμονες αλλά και τους μηχανικούς και τεχνικούς παραγωγής στην βιομηχανία της Μικροηλεκτρονικής.

2.1 Τύποι στερεών σωμάτων, δεσμοί. Για μερικά από τα ηλεκτρόνια κάθε ατόμου σ'ένα στερεό σώμα δεν μπορούμε να πούμε ότι "ανήκουν" στο άτομο αυτό. Ας συμφωνήσουμε ότι θα πούμε ότι ένα

7


ηλεκτρόνιο "ανήκει" σ'ένα άτομο όταν η κυματοσυνάρτησή του δεν διαφέρει ουσιαστικά από εκείνη που έχει στο ελεύθερο, μεμονωμένο, άτομο. Τα ηλεκτρόνια που δεν ανήκουν αποκλειστικά σ'ένα άτομο, τα ηλεκτρόνια σθένους, δημιουργούν τους δεσμούς που καθορίζουν τα στερεά σώματα. Χωρίς οι διαχωριστικές γραμμές να είναι πολύ ξεκάθαρες, μπορούμε να μιλήσουμε για τρείς κύριους χαρακτήρες δεσμών α) για ιοντικά στερεά όπως το NaCl, β) για ομοιοπολικά στερεά όπως είναι το πυρίτιο, και γ) για τα μέταλλα όπου τα ηλεκτρόνια του μεταλλικού δεσμού "ανήκουν" σ'όλα τα άτομα του κρυστάλλου. Ας αναφέρουμε απλά και δύο ακόμα τύπους δεσμών: τους κρυστάλλους Van Der Waals που σχηματίζουν τα ευγενή αέρια σε χαμηλές θερμοκρασίες και τους κρυστάλλους με δεσμούς υδρογόνου, με δεσμούς δηλαδή όπου το σωματίδιο που ανταλλάσεται μεταξύ δύο ατόμων και τα συνδέει, δεν είναι ηλεκτρόνιο αλλά πρωτόνιο. Στην τελευταία κατηγορία ανήκει ένας κρύσταλλος που μας είναι πολύ γνώριμος: ο πάγος. Οι δεσμοί αυτοί και η θερμοδυναμική (στατιστική μηχανική) καθορίζουν ποιά δομή

του στερεού είναι η πιό ευσταθής, ποιά έχει την ελάχιστη ελεύθερη ενθαλπία, σε κάποια συγκεκριμένη θερμοκρασία και πίεση. Πολύ συχνά όμως υπάρχουν πολλά άλλα μετασταθή ελάχιστα, άλλες δομές δηλαδή, στα οποία μπορεί να βρεθεί σε στερεή κατάσταση ένα σώμα με δεδομένη χημική σύνθεση. Πάντα η πιό ευσταθής δομή έχει τάξη σε μεγάλη, σχετικά με τις ενδοατομικές αποστάσεις, κλίμακα. Με τον όρο τάξη εννοούμε την περιοδική διάταξη των ατόμων στον χώρο, που εξασφαλίζει την συμμετρία μετατόπισης και επί πλέον, πολύ συχνά, άλλες μορφές συμμετρίας όπως π.χ. η σε στροφή γύρω από άξονα.

Σχήμα 2.1 Κάθε κρύσταλλος χτίζεται με την τοποθέτηση μιας βάσης στους κόμβους ενός πλέγματος. Στο σχήμα βλέπουμε ένα απλό διδιάστατο ανάλογο.

Η κανονική διάταξη των ατόμων στο στερεό σώμα σχηματίζει αυτό που λέγεται Κρυσταλλική δομή Πολύ συχνά μιλούμε για υλικό με κρυσταλλική, για την ακρίβεια πολυκρυσταλλική, δομή ακόμα και άν το στερεό αποτελείται από ένα μωσαϊκό από μικρούς κρυστάλλους με διαφορετικό προσανατολισμό μεταξύ τους. Η τελευταία αυτή περίπτωση είναι αναμφισβήτητα η πιό συνηθισμένη αφού αντιστοιχεί

8


π.χ. σ'ολα τα κομμάτια μέταλλο που συναντάμε στην καθημερινή μας ζωή. Εκτός από τα κρυσταλλικά (και πολυκρυσταλλικά) σώματα υπάρχει μία άλλη κατηγορία στερεών που λέγονται άμορφα ή γυαλιά (glasses). Σ'αυτά δεν υπάρχει τάξη τουλάχιστον σε μεγάλη (με την σημασία της προηγούμενης παραγράφου) κλίμακα. Αυτό που λείπει κυρίως είναι η συμμετρία μετατόπισης που θα μας απασχολήσει πολύ στην συνέχεια. Το κοινό γυαλί δέν είναι τίποτα άλλο από SiO2 σε άμορφη δομή. Τα άμορφα στερεά έχουν σήμερα αρκετά μεγάλη τεχνολογική σημασία με κύριες εφαρμογές σε μαγνητικά και ημιαγωγικά υλικά χωρίς να ξεχάσουμε βέβαια και τα γυαλιά της οπτικής.

2.2 Συμμετρία στους κρυστάλλους. Γεωμετρία πλεγμάτων. Ενας κρύσταλλος είναι μία περιοδική διάταξη ατόμων ή μορίων στον χώρο. Χρειάζεται να περιγράψουμε την διάταξη αυτή και να ανακαλύψουμε όλες τις συμμετρίες που έχει, πράγμα που θα διευκολύνει πολύ την μελέτη των ιδιοτήτων του κρυστάλλου. Η κρυσταλλογραφία είναι συνήθως μιά δύσκολη σπαζοκεφαλιά, που γίνεται ευκολότερη μόνο με αρκετή εξοικείωση μαζί της. Επειδή όμως βασίζεται σε μερικές απλές έννοιες που θα μας είναι χρήσιμες στην συνέχεια, θα τις αναφέρουμε χωρίς καμμία φιλοδοξία πληρότητας και με την χρήση διδιάστατων παραδειγμάτων που εύκολα μπορεί ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης να επεκτείνει σε τρείς διαστάσεις. Θα θεωρήσουμε λοιπόν ότι κάθε κρύσταλλος αποτελείται από έναν δομικό λίθο, ένα μοτίβο, την βάση όπως λέγεται που μπορεί να είναι ένα άτομο, ένα μόριο, ένας συγκεκριμένος συνδυασμός από δύο ή περισσότερα άτομα με καθορισμένη σχετική θέση στον χώρο. Η επανάληψη της βάσης τοποθετημένης με τον ίδιο πάντα τρόπο, χωρίς αλλαγή προσανατολισμού, πάνω σε ένα περιοδικό πλέγμα από σημεία (κόμβους) στον χώρο δίνει τον κρύσταλλο. Το πλέγμα μιας κρυσταλλικής δομής δέν είναι μόνο μια περιοδική διάταξη σημείων στον χώρο. Πρέπει να έχει επιπλέον πλήρη συμμετρία μετατόπισης, μία συγκεκριμένη ιδιότητα που επιτρέπει να "χτιστεί" ο κρύσταλλος με την τοποθέτηση της βάσης στα σημεία (κόμβους) του πλέγματος. Στην συνέχεια θα θεωρήσουμε πάντα κρυσταλλικές δομές χωρίς όρια, χωρίς άκρη. Δέν θα μας απασχολήσει στην συζήτηση που ακολουθεί το γεγονός ότι ένας πραγματικός κρύσταλλος είναι πεπερασμένος. Ο λόγος είναι πολύ απλός : ολες οι κρυσταλλικές περιοχές ημιαγωγών που συναντάμε, ακόμα και στις πιό μικρής κλίμακας μικροηλεκτρονικές διατάξεις περιέχουν τόσο μεγάλο αριθμό ατόμων που μπορούμε να τις θεωρήσουμε "άπειρες", που σημαίνει ότι οι ιδιότητές τους είναι ανεξάρτητες από το μέγεθός τους1.

1Οπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή μπορούμε να κατασκευάσουμε σήμερα και να χρησιμοποιήσουμε δομές ημιαγωγών που δέν πληρούν την προϋπόθεση αυτή Η μελέτη της συμπεριφοράς των ηλεκτρονίων σ’ αυτές τις δομές είναι ένα θέμα που δεν θα μας απασχολήσει στο κείμενο αυτό.

9


Για να υπάρχει συμμετρία μετατόπισης θα πρέπει δύο oποιαδήποτε σημεία που ανήκουν στο πλέγμα να συνδέονται με άνυσμα μετατόπισης Τ (translation) της μορφής:

Σχήμα 2.2 Η περιοδική εξαγωνική δομή του σχήματος ΔΕΝ είναι πλέγμα Bravais. Μία παράλληλη μετατόπιση κατά το άνυσμα Τ , ένα άνυσμα που συνδέει δύο κόμβους του πλέγματος, ΔΕΝ φέρνει το πλέγμα σε σύμπτωση με το αρχικό του ίχνος

T = n⋅a + m⋅b + l⋅c ( 2.1 ) Οπου n,m,l είναι ακέραιοι αριθμοί και a, b, c , είναι τα ανύσματα βάσης του πλέγματος το οποίο και χαρακτηρίζουν πλήρως. Παράλληλες μετατοπίσεις του κρυστάλλου κατά οποιοδήποτε άνυσμα Τ, τον αφήνουν αναλλοίωτο. Με τον όρο παράλληλη εννοούμε μία μετατόπιση χωρίς καμμία στροφή. Επίσης θα πρέπει ένα οποιοδήποτε άνυσμα μετατόπισης Τ, δηλαδή κάθε γραμμικός συνδυασμός των ανυσμάτων βάσης με ακέραιους συντελεστές, που έχει αρχή οποιοδήποτε σημείο (κόμβο) του πλέγματος, να καταλήγει σε κόμβο του πλέγματος. Η ιδιότητα αυτή θα γίνει πιό εύκολα κατανοητή άν την εκφράσουμε με τον ακόλουθο τρόπο: Θα πρέπει να "βλέπουμε" ακριβώς την ίδια εικόνα, με τον ίδιο προσανατολισμό σ'όποιο σημείο του πλέγματος και άν "σταθούμε". Επίσης μπορούμε να σκεφτούμε τις γραμμές που συνδέουν τους κόμβους του πλέγματος σάν σύρματα που αφήνουν ίχνη στην αρχική τους θέση. Κάθε παράλληλη μετατόπιση του "συρμάτινου" δικτύου αυτού κατά οποιοδήποτε άνυσμα Τ θα πρέπει να φέρνει τα σύρματα στις νέες θέσεις τους σε σύμπτωση με τα αρχικά τους ίχνη. Ενα πλέγμα που έχει αυτή την ιδιότητα λέγεται και πλέγμα Bravais2

2 Ο Bravais βρήκε ότι σε τρείς διαστάσεις υπάρχουν 14 τύποι πλεγμάτων με διαφορετικές συμμετρίες. Είναι τα 14 δυνατά πλέγματα Bravais.

10


Στό σχήμα 2.2 βλέπουμε μία περιοδική διδιάστατη εξαγωνική δομή που δέν είναι πλέγμα Bravais. Αν και το κέντρο του εξαγώνου ήταν σημείο του πλέγματος τότε θα είχαμε το διδιάστατο εξαγωνικό πλέγμα Bravais.

2.2.1 Μοναδιαία κυψελίδα, στοιχειώδης κυψελίδα. Μία ακόμα έννοια που μας είναι πολύ χρήσιμη στην περιγραφή των κρυστάλλων είναι αυτή της μοναδιαίας κυψελίδας (ΜΚ). Η βασική ιδιότητα συμμετρίας μετατόπισης που έχει κάθε κρύσταλλος εξασφαλίζει ότι μπορούμε πάντα να βρούμε ένα στοιχείο όγκου (ή επιφάνειας σε δύο διαστάσεις) με καθορισμένο σχήμα, ένα

πολύπλευρο συνήθως, που να είναι μοναδιαία κυψελίδα δηλαδή "δομικός του λίθος". Οι δομικοί λίθοι ενός τοίχου: τα τούβλα π.χ. μπορούν να τοποθετηθούν με διαφορετικό προσανατολισμό το ένα σε σχέση με το άλλο. Αν μείνουν κενά ανάμεσά τους, μπορούν να γεμίσουν με λάσπη. Στο χτίσιμο ενός κρυστάλλου από πανομοιότυπες μοναδιαίες κυψελίδες δεν έχουμε αυτές τις ελευθερίες. Δεν επιτρέπονται στροφές των ΜΚ ούτε κενά μεταξύ τους.. Η ΜΚ μπορεί να περιλαμβάνει έναν ή περισσότερους κόμβους με τα αντίστοιχα άτομα, δηλαδή το/τα άτομο/α της βάσης για κάθε κόμβο. Η επιλογή μοναδιαίας κυψελίδας ΔΕΝ είναι μοναδική. Αντίθετα υπάρχουν άπειρες δυνατές ΜΚ για κάθε κρύσταλλο άν και οι περισσότερες από αυτές δέν μας είναι χρήσιμες στην μελέτη του.

Σχήμα 2.3 Ενας διδιάστατος κρύσταλλος ανάλογος, σε δύο διαστάσεις, της τρισδιάστατης δομής του διαμαντιού. Α. Μία δυνατή επιλογή μοναδιαίας κυψελίδας και το αντίστοιχο πλέγμα. Β δύο δυνατές επιλογές στοιχειώδους κυψελίδας με το αντίστοιχο, το ίδιο και για τις δύο πλέγμα

11


Η πιό μικρή δυνατή μοναδιαία κυψελίδα που, περιλαμβάνει έναν μόνο κόμβο του πλέγματος Bravais και ένα ή περισσότερα άτομα λέγεται στοιχειώδης κυψελίδα3. Η

στοιχειώδης κυψελίδα επίσης δεν ορίζεται μονοσήμαντα, πρέπει όμως όλες οι δυνατές στοιχειώδεις κυψελίδες ενός πλέγματος να έχουν τον ίδιο όγκο (ή επιφάνεια σε 2 διαστάσεις).

Σχήμα 2.4 Οι δύο δυνατές διατάξεις πυκνής δομής σφαιρών στον χώρο. Η εξαγωνική πυκνής διάταξης (Hexagonal Close Packed, HCP) με θέσεις των διαδοχικών στρωμάτων: ABABAB...και η κυβική εδροκεντρωμένη (Face centered cubic, FCC) με θέσεις των διαδοχικών στρωμάτων: ABCABCABC...

Πολύ συχνά σε έναν κρύσταλλο με ένα μόνο είδος ατόμου μπορούμε να διαλέξουμε μοναδιαία κυψελίδα και πλέγμα με κυβική συμμετρία, παρά το γεγονός ότι η στοιχειώδης κυψελίδα δέν έχει κυβική συμμετρία. Τα στοιχεία της στήλης 4Α του περιοδικού συστήματος (C, Si, Ge και μία μορφή του ψευδάργυρου Sn) κρυσταλλώνουν σε δομή που είναι γνωστή με το όνομα δομή διαμαντιού4. Στην περίπτωση του διαμαντιού, ένα άτομο στο κέντρο κανονικού τετραέδρου συνδέεται με 4 ισοδύναμους δεσμούς (τετρασθενές) προς άτομα που βρίσκονται στις κορυφές του. Το κανονικό αυτό τετράεδρο ΔΕΝ είναι στοιχειώδης κυψελίδα διότι ο κρύσταλλος σχηματίζεται μεν από επανάληψή του στον χώρο ΟΧΙ όμως με παράλληλη μετατόπιση. Μπορούμε, στο σχήμα 2.3 να δούμε ένα παράδειγμα επιλογής μοναδιαίας κυψελίδας, και του αντίστοιχου πλέγματος (Bravais), σ' ένα διδιάστατο ανάλογο της δομής του διαμαντιού στην οποία όλα τα όμοια άτομα συνδέονται με τους κοντινούς τους 3 Ακόμα και άν έχουμε ένα μόνο είδος ατόμου στον κρύσταλλο, η στοιχειώδης κυψελλίδα μπορεί να περιέχει περισσότερα από ένα άτομα. Ας θυμηθούμε οτι οι θέσεις των ατόμων δέν σχηματίζουν αναγκαστικά πλέγμα Bravais.

4 Ο καθαρός άνθρακας (C) σχηματίζει στερεά σώματα με διαφορετικές κρυσταλλικές δομές και πολύ διαφορετικές φυσικές ιδιότητες. Δύο πολύ γνωστές από αυτές είναι το διαμάντι και ο γραφίτης.

12


γείτονες με 3 ισομήκεις δεσμούς σε γωνίες 120 μοιρών μεταξύ τους. Το πλέγμα της περίπτωσης Α έχει το πλεονέκτημα να είναι ορθογώνιο, τετράγωνο για την ακρίβεια, αλλά το μέγεθος της είναι μεγάλο. Εχει οκτώ "άτομα" δηλαδή μαύρους κύκλους: έξι στο εσωτερικό της και τέσσερα που μοιράζονται ανάμεσα σε δύο μοναδιαίες κυψελίδες. Δύο επιλογές για στοιχειώδη κυψελίδα για τον διδιάστατο κρύσταλλο αυτό, φαίνονται στο 2.3Β . Το αντίχοιχο πλέγμα δέν είναι ορθογώνιο. Οι στοιχειώδεις κυψελίδες περιέχουν δύο άτομα5 και έχουν ίσο εμβαδό. Είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι το εμβαδό αυτό είναι ίσο με το 1/4 του εμβαδού της τετράγωνης μοναδιαίας κυψελίδας, κάτι που περιμένουμε εφόσον η μία περιλαμβάνει οκτώ και η άλλη δύο άτομα.

2.2.2 Κυψελίδα Wigner-Seitz Υπάρχει μία σίγουρη μέθοδος να βρούμε μία στοιχειώδη κυψελίδα σ'ένα πλέγμα Bravais, την κυψελίδα Wigner-Seitz (WS). Η κυψελίδα WS είναι μονοσήμαντα ορισμένη για κάθε πλέγμα και έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες όπως θα δούμε στην συνέχεια. Ο αλγόριθμος για την κατασκευή της είναι ο ακόλουθος για 3 διαστάσεις:

• Φέρουμε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν έναν κόμβο, ας τον ονομάσουμε αρχικό, με όλους τους κοντινότερους γειτονικούς του κόμβους.

• Φέρουμε μεσοκάθετα επίπεδα6 σε όλα τα τμήματα αυτά. Τα επίπεδα αυτά καθορίζουν ένα κλειστό πολύπλευρο. Είναι η πρώτη προσέγγιση στην κυψελίδα WS

• Φέρουμε τις ευθείες που ενώνουν τον αρχικό κόμβο με τους δεύτερους γείτονες: τους κόμβους δηλαδή που βρίσκονται στην αμέσως μεγαλύτερη απόσταση από τον αρχικό απ' ότι οι προηγούμενοι.

5 Η εξαγωνική στοιχειώδης κυψελίδα έχει 6 άτομα στην περίμετρό της που τα μοιράζεται με άλλες δύο

6⋅ 1/3 = 2. 6 Σε δύο διαστάσεις αντί για μεσοκάθετα επίπεδα φέρουμε μεσοκάθετες ευθείες.

13


Σχήμα2.5 Η κυβική κυψελίδα της δομής FCC πυκνής διάταξης σφαιρών. Το γκρίζο επίπεδο είναι επίπεδο πυκνής στρώσης σφαιρών με κέντρα σε θέσεις που ονομάζουμε A. Οι σφαίρες του αμέσως κατώτερου επίπεδου βρίσκονται σε θέσεις B με προβολή B" στο γκρίζο και εκείνες του αμέσως ανώτερου, σε θέσεις C με προβολή C

• Φέρουμε τα μεσοκάθετα επίπεδα και σ'αυτές τις ευθείες. Το πολύπλευρο που σχηματίζεται από οποιοδήποτε τμήμα μεσοκάθετου επίπεδου βρίσκεται σε μικρότερη απόσταση από τον αρχικό κόμβο, είναι η δεύτερη προσέγγιση της κυψελίδας WS. Αν τα μεσοκάθετα επίπεδα στις αποστάσεις προς τους δεύτερους γείτονες, δεν τέμνουν τα προηγούμενα, η δεύτερη προσέγγιση στην κυψελίδα WS είναι η ίδια με την πρωτη.

• Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο για τους τρίτους γείτονες κλπ7.

2.2.3 Σημαντικές κρυσταλλικές δομές σε τρείς διαστάσεις

7 Συνήθως δέν χρειάζεται να πάμε στους 3ους γείτονες. Από κεί και πέρα οι αποστάσεις από τον αρχικό κόμβο γίνονται τόσο μεγάλες που τα μεσοκάθετα επίπεδα δεν τέμνουν την προηγούμενη προσέγγιση της κυψελίδας WS

14


Το απλούστερο "άτομο" που μπορούμε να σκεφτούμε είναι μία σφαίρα που δέν παραμορφώνεται, μία σκληρή σφαίρα8. Ο απλούστερος κανόνας κρυσταλλικής δομής που μπορούμε να σκεφτούμε είναι να τοποθετήσουμε σκληρές σφαίρες σ'ένα δοχείο πολύ μεγαλύτερο απ΄αυτές με τρόπο ώστε να έχουμε όσο το δυνατό λιγότερο κενό χώρο ή, ισοδύναμα, όσο το δυνατό μεγαλύτερη πυκνότητα σφαιρών ανά μονάδα όγκου. Η διάταξη αυτή είναι λογικά να ονομάζεται πυκνή δόμηση (close packing). Οι κρυσταλλικές δομές που προκύπτουν είναι δύο, όσο κι' αν φαίνεται παράξενο από πρώτη ματιά. Εχουν, προφανώς την ίδια πυκνότητα σκληρών σφαιρών στον όγκο, την μέγιστη δυνατή. Το ένα πλέγμα ονομάζεται Εξαγωνικό, Πυκνής Δόμησης. (Hexagonal Close Packed, HCP) και δέν είναι πλέγμα Bravais. Το άλλο είναι ένα από τα τρία δυνατά πλέγματα Bravais με κυβική συμμετρία και ονομάζεται κυβικό εδροκεντρωμένο (Face Centered Cubic, FCC). Ενα μεγάλο δοχείο με σφαίρες σε πυκνή δόμηση μπορεί να είναι εξ' ολοκλήρου σε μία από τις δύο δομές, να είναι δηλαδή "μονοκρυσταλλικό", ή να αποτελείται από ένα μωσαϊκό με περιοχές μεγαλύτερες ή μικρότερες με ενιαία δομή, να είναι επομένως "πολυκρυσταλλικό". Στο σχήμα 2.4 βλέπουμε, σε κάτοψη, πώς η διαφορετική πυκνή στοίβαξη σφαιρών οδηγεί στις δομές HCP ή FCC. Η πρώτη στρώση σφαιρών (λευκές) καταλαμβάνει τις θέσεις που ονομάζουμε A. Η δεύτερη ( γκρί σφαίρες) τις θέσεις B. Αν η τρίτη στρώση σφαιρών (μαύρες) καταλάβει θέσεις ακριβώς από πάνω από τις Α τότε έχουμε εξαγωνικό πλέγμα πυκνής δομής (HCP). Αν, αντίθετα η τρίτη στρώση καταλάβει το άλλο σύνολο θέσεων που είναι δυνατό: τις θέσεις C, τότε έχουμε κυβική εδροκεντρωμένη (FCC) δομή.

Σχήμα 2.6 Η δομή HCP δηλαδή η πυκνή στοίβαξη ABAB... δέν είναι πλέγμα Bravais. Αν μετατοπίσουμε τα κέντρα των σφαιρών της στρώσης Ι με τρόπο ώστε να συμπέσουν με αυτά της ΙΙ τότε η νέα θέση της ΙΙ δέν συμπίπτει με την αρχική θέση της ΙΙΙ (γκρίζο)

8 Γίνεται πιό εύκολο να πιστέψουμε ότι πραγματικά άτομα μπορούν να συμπεριφερθούν σαν σφαίρες, άν σκεφτούμε την σφαιρική συμμετρία των τροχιακών s.

15


Στο σχήμα 2.5 βλέπουμε το κυβικό πλέγμα της δομής FCC. Το γκρίζο επίπεδο στο σχήμα αυτό αντιστοιχεί στο επίπεδο μιάς στρώσης της πυκνής δομής: ένα επίπεδο,

δηλαδή που είναι παράλληλο στο χαρτί στο σχήμα 2.4 Εστω A τα κέντρα της στρώσης του επιπέδου αυτού και B τα κέντρα της στρώσης που είναι από κάτω. Τα σημεία αυτά προβάλλονται στις θέσεις B' στο γκρίζο επίπεδο της μεσαίας στρώσης . Η κορυφή του κύβου που είναι πάνω από το γκρίζο επίπεδο είναι κέντρο σφαίρας της υψηλότερης στρώσης, είναι δηλαδή σημεία C, με προβολή στο γκρίζο επίπεδο C', που είναι το τρίτο σύνολο σημείων, διαφορετικών από τα B στην δομή FCC. Είναι σχετικά εύκολο να καταλάβει κανείς με την βοήθεια των σχημάτων 2.6 και 2.7 γιατί η δομή HCP δέν είναι πλέγμα Bravais ενώ η FCC είναι.

Σχήμα 2.7 Η δομή FCC δηλαδή η πυκνή στοίβαξη ABCABC... είναι πλέγμα Bravais. Αν μετατοπίσουμε τα κέντρα των σφαιρών της στρώσης Ι με τρόπο ώστε να συμπέσουν με αυτά της ΙΙ τότε η νέα θέση της ΙΙ συμπίπτει με την αρχική θέση της ΙΙΙ (γκρίζο)

2.2.4 Η δομή του διαμαντιού Τα στοιχεία της στήλης IV του περιοδικού πίνακα σχηματίζουν, μεταξύ άλλων, κρυστάλλους που έχουν την δομή που υπαγορεύει η συμμετρία των 4 ισοδύναμων δεσμών στον χώρο με τα αμέσως γειτονικά τους άτομα Οι δεσμοί αυτοί έχουν την ίδια γωνία ανά δύο. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει τα τέσσερα άτομα που είναι οι πρώτοι γείτονες ενός οποιουδήποτε ατόμου Α στο πλέγμα να έχουν τα κέντρα τους στις κορυφές κανονικού τετραέδρου στο κέντρο του οποίου βρίσκεται το Α. Το διαμάντι, το πυρίτιο, το γερμάνιο και μία μορφή του κασσίτερου (Sn) έχουν όλα αυτή την λεγόμενη δομή του διαμαντιού. Στο σχήμα 2.8 βλέπουμε την κυβική μοναδιαία κυψελίδα της δομής αυτής. Εχει άτομα στους κόμβους εδροκεντρωμένου κύβου αλλά και σε 4 επιπλέον σημεία στο εσωτερικό του κύβου. Αν θεωρήσουμε σύστημα 3 αξόνων με μονάδα a την ακμή του κύβου τότε βρίσκουμε ότι οι θέσεις ατόμων που έχει η δομή του διαμαντιού επιπλέον των θέσεων του FCC είναι οι ακόλουθες:

16


Σχήμα2.8 Η μοναδιαία κυψελίδα της δομής του διαμαντιού. Τα γκρίζα και μαύρα άτομα βρίσκονται στις θέσεις του FCC. Τα άσπρα, είναι τα επιπλέον άτομα της δομής του διαμαντιού που βρίσκονται στο εσωτερικό του κύβου. Ολοι οι δεσμοί που βρίσκονται στο εσωτερικό του κύβου έχουν σχεδιαστεί

a a a4

34 4

, , 34 4 4a a a, ,

a a a4 4

34

, , 34

34

34

a a a, ,

Μία παραλλαγή της δομής του διαμαντιού με δύο τύπους ατόμων σε ίση αναλογία είναι η δομή στην οποία κρυσταλλώνεται ο θειούχος ψευδάργυρος (ZnS) Η δομή αυτή είναι διεθνώς γνωστή με το γερμανικό όνομα του ZnS : Zincblende. Ο σημαντικότερος ίσως σύνθετος ημιαγωγός το αρσενιούχο γάλλιο GaAs κρυσταλλώνει στην δομή αυτή. Στην δομή Zincblende ένα άτομο του ενός τύπου, έστω Α συνδέεται με τέσσερα άτομα του άλλου τύπου (Β) που έχουν τα κέντρα τους στις κορυφές κανονικού τετραέδρου με κέντρο το άτομο Α.

2.3 Αντίστροφο πλέγμα Στην μελέτη πολλών, διαφορετικών φαινομένων στους κρυστάλλους όπως είναι η περίθλαση ακτίνων Χ ή νετρονίων, η ελαστική σκέδαση ηλεκτρονίων ή φωνονίων9 από το πλέγμα συναντούμε επίπεδα κύματα που έχουν μία από τις δυνατές περιοδικότητες μετατόπισης στον χώρο, που χαρακτρηρίζουν κάθε πλέγμα Bravais.

9 Ενα φωνόνιο είναι μία στοιχειώδης διέγερση (ένα κβάντο) ενός συλλογικού, κυματικού, τρόπου κίνησης των ατόμων του στερεού. Οι τρόποι (modes) αυτοί είναι περισσότερο ή λιγότερο κατειλλημένοι από φωνόνια ανάλογα με την θερμοκρασία

17


Ενα επίπεδο αρμονικό κύμα με κάποια από τις περιοδικότητες του πλέγματος ικανοποιεί μία σχέση της μορφής: ei( )G T⋅ = 1 ή G⋅T = ακέραιος ⋅ 2π (2.2) όπου Τ είναι ένα άνυσμα του πλέγματος (Bravais), που στην συνέχεια ας ονομάζουμε ευθύ πλέγμα, και G είναι το κυματάνυσμα του κύματος. Ολα τα δυνατά ανύσματα G που αντιστοιχούν στα ανύσματα T του ευθέος πλέγματος μέσα από την σχέση (2.2) σχηματίζουν ένα νέο πλέγμα που είναι και αυτό πλέγμα Bravais και ονομάζεται το Αντίστροφο Πλέγμα (ΑΠ) του δεδομένου αρχικού, ευθέος, πλέγματος. Tα ανύσματα G του αντιστρόφου πλέγματος είναι γραμμικοί συνδυασμοί, με ακέραιους συντελεστές, τριών (σε 3 διαστάσεις) μοναδιαίων ανυσμάτων, A,B,C, των ανυσμάτων βάσης του αντίστροφου πλέγματος που μπορούν εύκολα να καθοριστούν από τα ανύσματα βάσης a,b,c, του ευθέος πλέγματος, σύμφωνα με τις σχέσεις: A⋅a=2π, A⋅b=0, A⋅c=0 B⋅b=2π, B⋅a=0, B⋅c=0 (2.3) C⋅c=2π, C⋅a=0, C⋅b=0 Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι το αντίστροφο πλέγμα είναι μία περιοδική δομή στον χώρο των κυματανυσμάτων ή, ισοδύναμα, τον χώρο ορμών άν πάρουμε υπ'όψη μας την βασική σχέση p=h⋅k, μεταξύ ορμής και κυματανύσματος, k, στην κβαντική μηχανική10.

2.3.1 1η Ζώνη Brillouin. Η κυψελίδα Wigner-Seitz του αντιστρόφου πλέγματος λέγεται 1η ζώνη Brillouin και παίζει σημαντικότατο ρόλο στην μελέτη των ηλεκτρονίων στα στερεά. Οι κυματοσυναρτήσεις τους χαρακτηρίζονται από τον κβαντικό αριθμό k που είναι το ανάλογο του κυματανύσματος των ελευθέρων ηλεκτρονίων. Οπως θα δούμε κάθε k στο αντίστροφο πλέγμα ανάγεται στο εσωτερικό της 1ης ζώνης Brillouin.

2.4 Κρυσταλλογραφικά επίπεδα Η συμμετρία μετατόπισης που υπάρχει σε κάθε κρύσταλλο εξασφαλίζει το γεγονός ότι τα κέντρα των ατόμων ανήκουν ταυτόχρονα σε πολλές διαφορετικές μεταξύ τους οικογένειες επιπέδων που αποτελούνται από παράλληλα και εντελώς ισοδύναμα

10 Μέσα σ' έναν κρύσταλλο η αντιστοιχία κυματανύσματος-ορμής δεν είναι τόσο απλή όσο στον ελεύθερο χώρο. Θα δούμε, σε επόμενες παραγράφους ότι η ποσότητα hk ονομάζεται κρυσταλλική ορμή και είναι αντίστοιχη ποσότητα της ορμής χωρίς να είναι η ορμή.

18


επίπεδα. Τα επίπεδα αυτά είναι γνωστά με το όνομα κρυσταλλογραφικά επίπεδα. Συχνά σε μακροσκοπικά κρυσταλλικά στερεά οι εξωτερικές επιφάνειες ακολουθούν κρυσταλλογραφικά επίπεδα. Το γεγονός αυτό βοήθησε τους μελετητές των κρυστάλλων όπως ο Bravais να καταλάβουν πολλά πράγματα από τις συμμετρίες τους πολύ πρίν ανακαλυφθούν οι τεχνικές μελέτης της δομής τους π.χ. με ακτίνες Χ. Οι μηχανικές ιδιότητες των κρυστάλλων, τα χαρακτηριστικά χημικών αντιδράσεων, όπως η οξείδωση ή η χημική προσβολή με οξέα, οι ιδιότητες των επιφανειών και πολλά άλλα εξαρτώνται από τα κρυσταλλογραφικά επίπεδα. Για πολλά χρόνια η περίθλαση των ΗΜ κυμάτων όπως οι ακτίνες Χ στους κρυστάλλους αντιμετωπιζόταν σαν συμβολή από "ανακλάσεις" στα παράλληλα μεταξύ τους επίπεδα μιας οικογένειας, μιά εικόνα που είναι ισοδύναμη με την σωστότερη της τρισδιάστατης συμβολής σφαιρικών κυμάτων που προέρχονται από σκέδαση του προσπίπτοντος κύματος σε όλα τα άτομα του πλέγματος11 .

2.4.1 Δείκτες Miller Είναι προφανές ότι χρειαζόμαστε ένα σύστημα συμβολισμού των κρυσταλλογραφικών επιδέδων και των χαρακτηριστικών διευθύνσεων στα πλέγματα. Οι Δείκτες Miller καλύπτουν αυτήν ακριβώς την ανάγκη. Δείκτες Miller επιπέδων Ας θυμηθούμε ότι στην γενική περίπτωση έχουμε να κάνουμε με δύο πλέγματα Bravais: το ευθύ και το αντίστροφο, με ανύσματα βάσης a,b,c και A,B,C αντίστοιχα. Οι δείκτες Miller h,k,l μιάς οικογένειας παραλλήλων επιπέδων στο ευθύ πλέγμα είναι οι, αναγκαστικά ακέραιες, συντεταγμένες του μικρότερου ανύσματος του ΑΠ που είναι κάθετο στην οικογένεια επιπέδων . Αρα το άνυσμα G = h A + k B + l C του ΑΠ είναι κάθετο στα επίπεδα με δείκτες h,k,l. Μπορούμε να ορίσουμε ισοδύναμα τους δείκτες Miller χωρίς αναφορά στο ΑΠ. Εστω ότι ένα από τα παράλληλα κρυσταλλογραφικά επίδεδα που μας ενδιαφέρουν ή και οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο πρός αυτά, τέμνει τους άξονες των ανυσμάτων βάσης a,b,c του ευθέως πλέγματος στις θέσεις η,κ,λ Οι δείκτες Miller των είναι οι μικρότεροι δυνατοί ακέραιοι αριθμοί που έχουν τις ίδιους λόγους μεταξύ τους με τους αριθμούς : 1 1 1η κ λ

, ,

Δείκτες Miller διευθύνσεων σε πλέγμα. Εδώ τα πραγματα είναι πιό απλά. Μία κρυσταλλογραφική διεύθυνση στο ευθύ ή το αντίστροφο πλέγμα έχει δείκτες τους ακέραιους συντελεστές του μικρότερου ανύσματος πλέγματος στην διεύθυνση αυτή.

11 Το θέμα αυτό αναπτύσσεται σε επόμενη παράγραφο

19


2.4.2 Συμβάσεις γραφής δεικτών Miller επιπέδων και διευθύνσεων. Οι δείκτες Miller μιας οικογένειας επιπέδων σημειώνονται σε παρενθέσεις, χωρίς διαχωριστικά : κόμματα ή κάτι άλλο. (hkl) Είναι δυνατό να έχουμε αρνητικούς δείκτες Miller. Στην περίπτωση αυτή σημειώνουμε ένα - από πάνω από τον αντίστοιχο ακέραιο. Αν απο την συμμετρία του κρυστάλλου περισσότερες από μία οικογένειες παράλληλων επιπέδων είναι ισοδύναμες οι δείκτες Miller όλων τους συμβολίζονται με hkl όπου hkl οι δείκτες Miller μιάς από αυτές. Για τις διευθύνσεις έχουμε [hkl] για μία διεύθυνση και <hkl> για όλες τις ισοδύναμες μεταξύ τους. λόγω συμμετρίας, διευθύνσεις. Ας δούμε, για παράδειγμα, τα επίπεδα των 6 εδρών του κύβου ενός κυβικού πλέγματος Bravais. Εχουν τους ακόλουθους δείκτες Miller: (100), (010) και (001) για κάθε ζεύγος παράλληλων εδρών κάθετων στον άξονα x ή y ή z αντίστοιχα. Σε ΚΥΒΙΚΟ πλέγμα τα επίπεδα αυτά είναι ισοδύναμα και συμβολίζονται με τους δείκτες Miller 100. Ενα δεύτερο παράδειγμα είναι το γκρίζο επίπεδο στο σχήμα 2.5 . Οι δείκτες Miller του είναι (111) που ανήκει στο σύνολο επιπέδων τύπου 111

2.5 Ατέλειες δομής στους κρυστάλλους Δέν είναι υπερβολή να πεί κανείς ότι οι ιδιότητες των κρυσταλλικών στερεών σωμάτων καθορίζονται τόσο από τις ατέλειες στην δομή τους και τα ξένα άτομα που τυχόν περιέχουν, όσο και από τις ιδιότητες των ατόμων τους. Θα περιοριστούμε εδώ στο να αναφέρουμε τις απλούστερες και σημαντικότερες ατέλειες που συναντάμε στους κρυστάλλους : Σημειακές ατέλειες Περιορίζονται σε όγκο συγκρίσιμο με την μοναδιαία κυψελίδα. Αντιστοιχούν σε έλλειψη ενός ατόμου από την θέση του στο πλέγμα οπότε έχουμε ένα κενό ή στην ύπαρξη ενός ατόμου επιπλέον σε μία θέση στο πλέγμα στην οποία κανονικά δέν υπάρχει άτομο. Εχουμε τότε το λεγόμενο ενδοπλεγματικό άτομο είτε είναι του ίδιου στοιχείου με τα άτομα του πλέγματος (αυτο-ενδοπλεγματικό) είτε είναι ξένο άτομο οπότε έχουμε μία ενδοπλεγματική πρόσμιξη .

20


Γραμμικές ατέλειες Οι γραμμικές ατέλειες στους κρυστάλλους ονομάζονται εξαρμώσεις. Στα σχήματα 2.9 και 2.10 βλέπουμε του δύο βασικούς τύπους εξαρμώσεων. Ο ρόλος των εξαρμώσεων σ' όλα τα κρυσταλλικά στερεά είναι καθοριστικός της πλαστικής παραμόρφωσης του κρυστάλλου . Πράγματι είναι εύκολο να καταλάβει κανείς τον λόγο. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να παραμορφώσουμε έναν κρύσταλλο με το να μετακινήσουμε μεταξύ τους, κατά μία ατομική απόσταση, τα δύο μισά που

καθορίζονται από ένα νοητό επίπεδο παράλληλο σε πλεγματικά επίπεδα. Ενας τρόπος παραμόρφωσης θα ήταν το να σπάσουμε, ή να τεντώσουμε υπερβολικά, όλους τους δεσμούς ταυτόχρονα και να μετακινήσουμε τα δύο μισά στην νέα θέση. Ο ενεργειακός φραγμός για την παραμόρφωση αυτή είναι τεράστιος, παρά το γεγονός ότι συνολικά, ότι ενέργεια δίνουμε στο σπάσιμο των δεσμών την παίρνουμε πίσω στο ξανακόλλημα. Ενας πολύ ευκολότερος τρόπος να γίνει η παραμόρφωση αυτή είναι η δημιουργία και κίνηση εξαρμώσεων ακμής στο επίπεδο της παραμόρφωσης. Για κάθε εξάρμωση που διασχίζει τον κρύσταλλο κινούμενη παράλληλα στο επίπεδο αυτό,

Σχήμα 2.9 Εξάρμωση ακμής. Αντιστοιχεί στην νοητή γραμμή όπου τελειώνει στο εσωτερικού του κρυστάλλου ένα ημιεπίπεδο ατόμων που παρεμβάλλεται σαν σφήνα. Τα άτομα του επιπλέον επιπέδου εμφανίζονται γκρίζα για να διευκολύνεται το μάτι. Η τελευταία σειρά ατόμων του επιπέδου αυτού που εμφανίζονται με σκουρότερο γκρίζο καθορίζουν κάπως ασαφώς την εξάρμωση ακμής. Η δομή του κρύσταλλου είναι διαταραγμένη σε μία κυλινδρική περιοχή με άξονα την εξάρμωση. Μακρυά από την εξάρμωση, ο κρύσταλλος είναι τελείως αδιατάρακτος, πράγμα που είναι λίγο δύσκολο να φανεί στο σχήμα λόγω του αναγκαστικά περιορισμένου αριθμού ατόμων που εμφανίζονται.

21


έχουμε μετατόπιση των δύο μισών κατά μία ατομική απόσταση. Οι δεσμοί που αναδιοργανώνονται δέν είναι σε καμμία στιγμή περισσότεροι από τους δεσμούς της άμεσης περιοχής της εξάρμωσης.

Σχήμα 2.10 Εξάρμωση έλικας. Μπορούμε να καταλάβουμε την δομή της γραμμικής ατέλειας αυτής άν σκεφτούμε ένα νοητό ημιεπίπεδο μεταξύ δύο γειτονικών ατομικών επιπέδων που καταλήγει σε ευθεία που παριστάνεται στο σχήμα με την παχειά γραμμή. Κατόπιν μετακινούμε, παράλληλα προς την ευθεία αυτή, τα δύο μισά του κρυστάλλου που διαχωρίζει το ημιεπίπεδο μέχρις ότου να συμπέσουν τα ατομικά επίπεδα, τα κάθετα πρός την ευθεία, από την μία πλευρά του νοητού ημιεπιπέδου με τα αμέσως επόμενα στην άλλη πλευρά. Η σύμπτωση αυτή δέν είναι βέβαια καλή κοντά στην ευθεία, την εξάρμωση. Αν κινηθούμε γύρω από την εξάρμωση αυτή ακολουθώντας πάντα τα ατομικά επίπεδα είναι σαν να κατεβαίνουμε ή να ανεβαίνουμε μία ελικοειδή σκάλα. Τα γκρίζα άτομα στο σχήμα δείχνουν την αδιατάραχτη περιοχή δεξιά, την ατελή σύμπτωση στο μέσον, κοντά στην εξάρμωση και την τέλεια σύμπτωση με το επόμενο επίπεδο στο αριστερό άκρο του σχήματος.

Στους ημιαγωγούς, οι εξαρμώσεις εχουν σημαντικό ρόλο εκτός από την πλαστική παραμόρφωση, στις ηλεκτρικές ιδιότητες, στην διάχυση των προσμίξεων και στις χημικές αντιδράσεις όπως είναι η αφαίρεση υλικού με οξέα ή η οξείδωση. Οι αντιδράσεις αυτές που αποτελούν τις βασικές διεργασίες στην κατασκευή ημιαγωγικών διατάξεων. Καθοριστικό ρόλο έχουν οι εξαρμώσεις και στην επιταξία την ανάπτυξη δηλαδή νέου κρυσταλλικού υλικού πάνω σε ήδη υπάρχοντα κρύσταλλο.

22


2.6 Μονοκρυσταλλικά, πολυκρυσταλλικά και άμορφα στερεά Οι πολύτιμες πέτρες στα κοσμήματα είναι μακροσκοπικά στερεά που αποτελούνται από έναν ενιαίο κρύσταλλο με τον ίδιο προσανατολισμό στον χώρο των εσωτερικών του κρυσταλλογραφικών επιπέδων έστω και άν οι εξωτερικές του επιφάνειες μπορεί να μήν τα ακολουθούν. Ενα τέτοιο σώμα ονομζεται μονοκρυσταλλικό. Ολα τα μέταλλα με τα οποία ερχόμαστε σε επαφή κάθε μέρα12 είναι επίσης κρυσταλλικά στερεά. Δεν αποτελούνται όμως από έναν ενιαίο κρύσταλλο με τον ίδιο προσανατολισμό αλλά είναι ένα μωσαϊκό από έναν τεράστιο αριθμό μικρών κρυσταλλιτών ή κόκκων με ακανόνιστο σχήμα, ενωμένων μεταξύ τους σ' ένα ενιαίο σώμα. Το μέγεθος των κρυσταλλιτών είναι όμως αρκετά μεγάλο ώστε η φυσική της ηλεκτρονικής δομής τους να είναι η ίδια με αυτή του ενιαίου "άπειρου" κρυστάλλου. Οταν το μέγεθος των κόκκων γίνει τόσο μικρό ώστε να μήν ισχύει η προηγούμενη πρόταση μιλούμε για μικρο-κρυσταλλικό σώμα. Υπάρχουν στερεά σώματα όπως το κοινό γυαλί που δέν έχουν κρυσταλλική δομή. Η οποιαδήποτε τάξη στην σύνδεση των ατόμων τους μεταξύ13 τους δέν ξεπερνά μία ή δύο το πολύ ατομικές αποστάσεις. Πέραν της απόστασης αυτής δέν υπάρχει κανένας συσχετισμός στην σχετική θέση ατόμων και τις γωνίες δεσμών. Τα στερεά αυτά λεγονται άμορφα. Υπάρχουν άμορφα μέταλλα μονωτές και ημιαγωγοί. Οι ιδιότητες τους είναι πολύ διαφορετικές από τα αντίστοιχα κρυσταλλικά στερεά και αυτό οφείλεται στην άμορφη δομή τους.

2.7 Προβλήματα εξάσκησης

2.1 Βρείτε την γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους δύο ευθείες που είναι κάθετες η μία στα επίπεδα (111) και η άλλη στα (110) κυβικού πλέγματος.

2.2 Διαθετουμε έναν μεγάλο αριθμό από πανομοιότυπα ισοσκελή τρίγωνα. Τα τοποθετούμε σε ένα επίπεδο με τρόπο ώστε να το καλύπτουν πλήρως. Βρείτε το εμβαδό της στοιχειώδους κυψελίδας της δομής που σχηματίζεται άν δίνεται ότι το μήκος των δύο ίσων πλευρών του τριγώνου είναι a και η γωνία μεταξύ τους είναι θ.

12 Ας σκεφτουμε για παράδειγμα ένα πηρούνι 13 Τα μήκη και οι γωνίες των δεσμών π.χ.

23


Σχήμα 2.11 Η δομή του NaCl . Οι παχειές γραμμές που περιγράφουν έναν κύβο, έχουν σχεδιαστεί μόνο για βοήθεια στο μάτι.

2.3 Οι γνωστοί μας κρύσταλλοι αλατιού, NaCl, έχουν την κρυσταλλική δομή που φαίνεται στο σχήμα. 2.11 Υπάρχουν δύο είδη ατόμων στον κρύσταλλο: Na με ατομικό βάρος 23 και Cl, με ατομικό βάρος 35.4 που συμβολίζονται με μαύρες και άσπρες σφαίρες αντίστοιχα. Το NaCl έχει πυκνότητα 2.165 g/cm3 . Να βρεθεί το πλέγμα Bravais της δομής, η στοιχειώδης κυψελίδα, η κυβική μοναδιαία κυψελίδα , ο αριθμός ατόμων κάθε είδους στις κυψελίδες αυτές, η σταθερά πλέγματος της κυβικής ΜΚ και η απόσταση νάμεσα στα κέντρα των ατόμων Χλωρίου και των γειτονικών τους ατόμων Νατρίου. Επίσης να βρεθούν οι δείκτες Miller των επιπέδων που περιέχουν ένα μόνο είδος ατόμου και η επιφανειακή πυκνότητα ατόμων σε αυτά.

2.4 Σε απλό τετραγωνικό διδιάστατο πλέγμα σταθεράς d τοποθετούμε δύο διαφορετικά είδη "ατόμων", Α και Β, με τρόπο ώστε κάθε άτομο Α να έχει 4 κοντινότερους γείτονες Β και το αντίστροφο.

Βρείτε την στοιχειώδη κυψελίδα της δομής αυτής και το αντίστοιχο πλέγμα Bravais(a,b). Πόσα άτομα Α και πόσα Β έχει η στοιχειώδης κυψελίδα ; Βρείτε μία γωνία πρόσπτωσης κατάλληλη για σκέδαση, από την δομή αυτή,

κύματος με λ =d 2

5 , σε γωνία 60° από την αρχική του διεύθυνση.

2.5 Το αλουμίνιο, Al, με ατομικό βάρος 26.98, έχει στην θερμοκρασία περιβάλλοντος πυκνότητα ρ = 2.70 g/cm3 . Γνωρίζουμε ότι κρυσταλλώνεται στο κυβικό εδροκεντρωμένο (FCC) πλέγμα Bravais. Πόση είναι (σε Angstrom) η σταθερά πλέγματος, η ακμή, δηλαδή, της κυβικής εδροκεντρωμένης μοναδιαίας κυψελίδας.

2.6 Σ' ένα κουτί βάζουμε ένα μεγάλο αριθμό από, πανομοιότυπες, μικρές μεταλλικές σφαίρες ακτίνας R=2mm. Με δεδομένο ότι η κυβική εδροκεντρωμένη δομή (FCC) έχει την μεγαλύτερη δυνατή πυκνότητα για σκληρές σφαίρες βρείτε την σταθερά a του κυβικού πλέγματος (το κοινό μέτρο των ορθογώνιων ανυσμάτων βάσης του) που σχηματίζεται. Πόσες το πολύ σφαίρες χωρούν σε κουτί 1 λίτρου.

24


2.7 Δείξτε ότι τα ανύσματα που ενώνουν το κέντρο της κυβικής μοναδιαίας κυψελίδας με τις 3 κορυφές που βρίσκονται πλησιέστερα σε μία οποιαδήποτε άλλη κορυφή, είναι ανύσματα βάσης του κυβικού χωροκεντρωμένου (BCC) πλέγματος. Γράψτε, στην βάση αυτή, τα ανύσματα που ενώνουν μία οποιαδήποτε κορυφή της κυβικής μοναδιαίας κυψελίδας με τις υπόλοιπες.

2.8 Βρείτε τα ανύσματα βάσης (προσοχή όχι αναγκαστικά ορθογώνια) του κυβικού εδρωκεντρωμένου (FCC) πλέγματος Bravais. Γράψτε, στην βάση αυτή, τα ανύσματα που συνδέουν μία κορυφή της κυβικής μοναδιαίας κυψελίδας του FCC με όλες τις άλλες κορυφές και τα κέντρα όλων των εδρών της κυβικής κυψελίδας.

2.9 Βρείτε την επιφανειακή πυκνότητα ατόμων στα επίπεδα (100) , (110) και (111) κυβικού εδροκεντρωμένου πλέγματος.

2.10 Δείξτε ότι το αντίστροφο πλέγμα (ενός πλέγματος Bravais εννοείται ) είναι επίσης πλέγμα Bravais. Επίσης δείξτε ότι το αντίστροφο πλέγμα του αντιστρόφου συμπίπτει με το ευθύ.

2.11 Δείξτε ότι το αντίστροφο πλέγμα ενός FCC είναι BCC. Ισχύει το αντίστροφο ;

2.12 Το πυρίτιο (Si) έχει (στην θερμοκρασία περιβάλλοντος) πυκνότητα 2.328 g/cm3 . Βρείτε την σταθερά πλέγματος: το κοινό μέτρο, δηλαδή, των τριών ορθογωνίων ανυσμάτων της κυβικής μοναδιαίας κυψελίδας καθώς και το μήκος δεσμού, την απόσταση δηλαδή μεταξύ των κέντρων γειτονικών ατόμων.

2.13 Ενας διδιάστατος “κρύσταλλος” σχηματίζεται από “άτομα” με τρείς ισομήκεις δεσμούς σε 120° μεταξύ τους. Το μήκος δεσμού είναι r. Α) Βρείτε το πλέγμα Bravais της δομής, δίνοντας τα ανύσματα βάσης του : a και b (μέτρα και γωνία μεταξύ τους) β) Πόσα “άτομα” έχει η στοιχειώδης κυψελίδα. Τί εμβαδό έχει ; γ)Υπάρχει τετράγωνη μοναδιαία κυψελίδα ; Πόσα “ άτομα” περιέχει ; δ) Βρείτε το μέτρο του μικρότερου δυνατού ανύσματος του ΑΠ του πλέγματος Bravais της δομής αυτής.

2.14 Βρείτε την απόσταση μεταξύ διαδοχικών επιπέδων (στρώσεων) πυκνής δόμησης σφαιρών ακτίνας R. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι μία δυνατή πυκνή δόμηση είναι η δομή FCC και ότι τα επίπεδα πυκνής δόμησης στο FCC είναι τα (111).

25

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

3. ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Ενα πρωταρχικό φαινόμενο με πολλές όψεις στην φυσική των στερεών

Μπορεί να πεί κανείς, χωρίς υπερβολή, ότι το πρωταρχικό φαινόμενο στην φυσική των κρυσταλλικών στερεών είναι η αλληλεπίδραση των κυμάτων με περιοδικές στον χώρο δομές. Τα κύματα μπορεί να είναι κλασσικά όπως είναι τα ηλεκτρομαγνητικά ή τα ακουστικά, μπορεί επίσης να είναι κβαντικά, να υπακούουν δηλαδή στην εξίσωση του Schroedinger, όπως όλα τα σωμάτια-κύματα : ηλεκτρόνια, νετρόνια. Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε μερικά βασικά φαινόμενα της σκέδασης κυμάτων σε περιοδικά μέσα, έχοντας σαν συγκεκριμένο αντικείμενο συζήτησης τις ακτίνες Χ, γεγονός που δέν περιορίζει καθόλου την γενικότητα των βασικών εξισώσεων και συμπερασμάτων. Θα δούμε επίσης πολύ λίγα, βασικά σημεία σχετικά με τα φωνόνια, όσα μας είναι απαραίτητα στην μελέτη των ημιαγωγών. Τα φωνόνια είναι τα κβάντα ενέργειας, οι στοιχειώδεις διεγέρσεις ταλαντώσεων του πλέγματος.

3.1 Η περίθλαση ακτίνων Χ σε κρυσταλλικά πλέγματα. Η ανακάλυψη των ακτίνων Χ έδωσε το σημαντικότερο ίσως εργαλείο μελέτης των κρυστάλλων. Τα φωτόνια Χ εμφανίζουν πολύ ενδιαφέροντα και πολύπλοκα φαινόμενα περίθλασης και συμβολής όταν περνούν μέσα από κρυστάλλους . Οι ακτίνες Χ ήταν και είναι τόσο σημαντικές στην μελέτη των κρυσταλλικών στερεών όσο είναι και στην ιατρική. Η εμπειρία που συσσωρεύτηκε από τα πρώτα πειράματα του Bragg στην αρχή του αιώνα μέχρι σήμερα έχει ενσωματωθεί στο λογισμικό που συνοδεύει τα σύγχρονα περιθλασίμετρα ακτίνων Χ και επιτρέπει στους επιστήμονες να καθορίσουν την δομή εξαιρετικά πολύπλοκων σύνθετων στερεών σωμάτων. Προϋπόθεση για να υπάρχουν τα φαινόμενα περίθλασης κυμάτων σε κρυστάλλους, είναι το μήκος κύματος να είναι συγκρίσιμο ή μικρότερο από τις τυπικές αποστάσεις γειτονικών ατόμων. Τα ΗΜ κύματα των ακτίνων Χ ικανοποιούν την συνθήκη αυτή, δέν είναι όμως τα μόνα κύματα που περιθλώνται στους κρυστάλλους. Υλικά κύματα, όπως τα νετρόνια και τα ηλεκτρόνια δίνουν τελείως ανάλογα φαινόμενα με τις ακτίνες Χ. Νετρόνια, χωρίς φορτίο, σκεδάζονται και ελαστικά και ανελαστικά στους πυρήνες των ατόμων και χρησιμοποιούνται κύρια για την μελέτη ταλαντώσεων του πλέγματος. Η ηλεκτρονική μικροσκοπία διέλευσης δημιουργεί εικόνες που βασίζονται σε διαφορετικές φυσικές αρχές για την δημιουργία αντίθεσης : στην περίπτωση βιολογικών δειγμάτων π.χ. , η αντίθεση βασίζεται μόνο στην διαφορετική απορρόφηση της δέσμης των ηλεκτρονίων σε περιοχές του δείγματος με διαφορετικό πάχος ή διαφορετική χημική σύσταση. Σε κρυσταλλικά δείγματα όμως είναι δυνατό να δημιουργηθεί αντίθεση με την συμβολή δεσμών που προέρχονται από περίθλαση στον κρύσταλλο. Με τον τρόπο αυτό γίνεται δυνατή η παρατήρηση π.χ. ατελειών όπως είναι οι εξαρμώσεις.

26


Σχήμα 3.1 Η εικόνα του Bragg για την περίθλαση των ακτίνων Χ στους κρυστάλλους. Βασικό ρόλο παίζουν οι οικογένειες παράλληλων κρυσταλλικών επιπέδων. Εχουμε ενισχυτική "ανάκλαση" από όλα τα παράλληλα επίδεδα μαζύ, όταν η διαφορά δρόμου του κύματος, μεταξύ δύο διαδοχικών επιπέδων, είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος. Η διαφορά οπτικού δρόμου είναι σημειωμένη με παχύτερη γραμμή στο σχήμα.

3.1.1 Οι πρώτες πειραματικές παρατηρήσεις και το μοντέλo του Bragg. H ελαστική σκέδαση των ακτίνων Χ αλλά και άλλων κυμάτων σε πλέγματα και άλλες περιοδικές δομές αναφέρεται σαν σκέδαση Bragg. Οπως αναφέραμε προηγούμενα, ο W.L Bragg που δημοσίευσε το 1913 το μοντέλο του σκέδασης ακτίνων Χ σε κρυστάλλους θεώρησε ότι οι ακτίνες Χ ανακλώνται σε κρυσταλλικά επίπεδα και ότι συνθήκη ενισχυτικής συμβολής είναι η διαφορά οπτικού δρόμου ανάμεσα σε δύο παράλληλα επίπεδα να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος. Στο σχήμα 3.1 βλέπουμε την γεωμετρία της ανάκλασης Bragg. Αν θ είναι η γωνία που σχηματίζει η προσπίπτουσα δέσμη σε σχέση με μία οποιαδήποτε οικογένεια παράλληλων επιπέδων του πλέγματος θα υπάρχει ενισχυτική συμβολή των ανακλώμενων δεσμών από τα παράλληλα επίπεδα άν η διαφορά οπτικού δρόμου μεταξύ δύο διαδοχικών επιπέδων είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ. Αν αυτή η ελάχιστη διαφορά είναι nλ, n ακέραιος τότε και η διαφορά δρόμου ανάμεσα σε δύο οποιαδήποτε επίπεδα της οικογένειας θα είναι επίσης ακέραιο πολλαπλάσιο του λ και όλα τα ανακλώμενα κύματα θα βρίσκονται σε συμφωνία φάσης . Η συνθήκη πλεγματικής ανάκλασης, η συνθήκη του Bragg, είναι επομένως:

27


2d nsin( )ϑ = λ (3.4) όπου n ακέραιος.

3.1.2 Η εικόνα του Laue για την περίθλαση των ακτίνων Χ.

Σχήμα3.2 Γεωμετρία της σκέδασης επίπεδου κύματος από πλέγμα. Οι σκεδαστές που συμβολίζονται με μαύρες κουκίδες στα σημεία του πλέγματος είναι άτομα ή πιό πολύπλοκες βάσεις . Θεωρούμε ότι από όλα τα σημεία του πλέγματος ξεκινούν σφαιρικά κύματα που διεγείρονται από το προσπίπτον επίπεδο κύμα. Αν όλες οι ισοφασικές επιφάνειες των σφαιρικών κυμάτων δημιουργούν πρός κάποια κατεύθυνση επίπεδο κύμα τότε έχουμε ενισχυτική συμβολή πρός την κατεύθυνση αυτή, Η συνθήκη για να συμβεί αυτό, η συνθήκη Laue είναι k-k'=G όπου G ένα οποιοδήποτε άνυσμα του αντιστρόφου πλέγματος.

Παρά το γεγονός ότι ιστορικά η περίθλαση των ακτίνων Χ στους κρυστάλλους αντιμετωπίστηκε στην αρχή σάν ανάκλαση σε διάφορα κρυσταλλικά επίπεδα η πιό σωστή φυσικά εικόνα του φαινόμενου είναι αυτή της ενισχυτικής συμβολής σφαιρικών κυμάτων που ανάπτυξε ο Laue1. Τα δευτερογενή αυτά κύματα πού διεγείρονται από το προσπίπτον επίπεδο κύμα ξεκινάνε από ένα μεγάλο αριθμό από σκεδαστές τοποθετημένους στα σημεία ενός πλέγματος Bravais2. Οι σκεδαστές αυτοί μπορεί να είναι άτομα ή πιό πολύπλοκες βάσεις χωρίς να αλλάζει το βασικό αποτέλεσμα που θα εξετάσουμε στην συνέχεια. Το ερώτημα είναι : Ποιές είναι η προϋποθέσεις ώστε ένα κύμα να σκεδαστεί από έναν κρύσταλλο. 1 O von Laue, για την ακρίβεια, αναμφισβήτητα έμεινε στην ιστορία για την πειραματική του μέθοθο περίθλασης ακτίνων Χ στους κρυστάλλους και την θεωρητική της ανάλυση και όχι για τον τίτλο ευγενείας του. Ας ξεχάσουμε λοιπόν το von.

2 Στην συνέχεια δέν θα επαναλαμβάνουμε κάθε φορά όταν χρησιμοποιούμε τον όρο πλέγμα ότι είναι πλέγμα Bravais. Ολα τα πλέγματα με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι πλέγματα Bravais.

28


Στο σχήμα 3.2 βλέπουμε σχηματικά τα βασικά στοιχεία της γωμετρίας του προβλήματος. Ενα επίπεδο κύμα με κυματάνυσμα k :

F t F e j( , ) (r k r= t)⋅ +0

ω (3.1) προσπίπτει με τυχαία γωνία σ' έναν κρύσταλλο που αποτελείται από πανομοιότυπους σκεδαστές διατεταγμένους σε οποιοδήποτε πλέγμα. Κάθε σκεδαστής μπορεί να σκεδάζει ή όχι πρός κάποια κατεύθυνση στον χώρο. Επειδή το ζητούμενό μας είναι μία γενική αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη σκέδασης στον κρύσταλλο θα εξετάσουμε μόνο την φάση των σκεδαζόμενων κυμάτων και όχι το πλάτος τους και την γωνιακή εξάρτησή τους3. Ας θεωρήσουμε λοιπόν ότι κάθε σκεδαστής εκπέμπει ένα σφαιρικό κύμα, κάτω από την διέγερση του πρωτογενούς προσπίπτοντος επίπεδου κύματος . Για να έχουμε ενισχυτική συμβολή των σφαιρικών κυμάτων σε κάποια διεύθυνση θα πρέπει σφαιρικές ισοφασικές επιφάνειες από όλους τους σκεδαστές να εφάπτονται σ'ενα επίπεδο με σταθερό προσανατολισμό στον χώρο. Τότε θα έχουμε την δυνατότητα αξιόλογης σκεδαζόμενης έντασης, σε διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο αυτό. Εστω k' το σκεδαζόμενο κύμα. Παίρνουμε δύο τυχαίους σκεδαστές στα σημεία Α και Β που βρίσκεται στην θέση r σε σχέση με το Α, την χρονική στιγμή t=0. Θα πρέπει να έχουμε διαφορά φάσης στην κατεύθυνση k' που είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π για να έχουμε ενισχυτική συμβολή και σκεδαζόμενο κύμα k'. Η διαφορά φάσης του προσπίπτοντος στο σημείο Β σε σχέση με το Α είναι k⋅r Η διαφορά φάσης του σκεδαζόμενου στο Α σφαιρικού κύματος μέχρι το επίπεδο που είναι κάθετο στην διεύθυνση k' και περνά από το Β είναι η προβολή του r στην διεύθυνση k'. Αρα η συνολική διαφορά φάσης είναι: k r k r (k k ) r⋅ − ′ ⋅ = − ′ ⋅ Η διαφορά αυτή θα πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π για όλα τα διανύσματα r του πλέγματος. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει η διαφορά k - k' να είναι ίση με κάποιο από τα διανύσματα G του αντίστροφου πλέγματος. Πράγματι έστω a, b, c τα θεμελειώδη ανύσματα του ευθέως πλέγματος και A, B, C του αντιστρόφου πλέγματος. Tότε, εφόσον το r συνδέει δύο σημεία του πλέγματος θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των a, b, c με ακέραιους συντελεστές και το G ένας γραμμικός συνδυασμός με ακέραιους συντελεστές των A, B, C, έστω: r a b= + +n n n1 2 3c

C

και G A B= + +m m m1 2 3 Η αναγκαία συνθήκη για να έχουμε σκέδαση του κύματος από τον κρύσταλλο είναι: (k k ) G− ′ = (3.2)

3 Αυτό δέν σημαίνει ότι δέν είναι σημαντικά. Το αντίθετο μάλιστα όπως θα δούμε στην συνέχεια.

29


Πράγματι το γινόμενο G r A B C a b c

a A b B c C⋅ = + + ⋅ + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + +( ) ( )

( )m m m n n n

m n m n m n m n m n m n1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 π2

σύμφωνα με τις σχέσεις (2.3) ορισμού του ΑΠ. Η συνθήκη (3.2) είναι γνωστή σάν συνθήκη του Laue. Η συνθήκη αυτή δίνει ένα κατώτατο όριο κυματανύσματος που μπορεί να σκεδαστεί από πλέγμα. Εφόσον το μέτρο του ανακλώμενου κυματανύσματος θα είναι το πολύ ίσο, στην ελαστική σκέδαση, με το μέτρο του προσπίπτοντος δέν είναι δυνατό να ικανοποιηθεί η συνθήκη του Laue για k < Gmin/2 , όπου Gmin το μικρότερο δυνατό άνυσμα του ΑΠ. Ας δούμε τί τάξης μεγέθους ενέργειες σωματιδίων-κυμάτων έχουμε σε κάθε περίπτωση. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κυβικό πλέγμα με σταθερά a =5 Αο = 5 x 10-8cm. Το μικρότερο δυνατό άνυσμα του ΑΠ θα έχει μέτρο 2π/a = 1.25 x 108 cm-1. Αρα το μικρότερο κυματάνυσμα που μπορεί να σκεδαστεί είναι : kmin = 6.25 x 107 cm-1 και το μέγιστο μήκος κύματος λmax που μπορεί να σκεδαστεί είναι περίπου 1 x 10-7 cm = 1 x 10-9 m = 10 Αο. Για ακτίνες Χ έχουμε :

E h hc keV= = ≈νλ

125.

Για υλικά κύματα έχουμε:

p k= =hhλ

και E pm m

= =2

22 2h2

λ

για ηλεκτρόνια βρίσκουμε, πάντα για μήκος κύματος 10 Αο, ελάχιστη ενέργεια της τάξης του 1 eV 4 και για νετρόνια του 1 meV.

4 Η ηλεκτρονική μικροσκοπία διέλευσης χρησιμοποιεί ηλεκτρόνια της τάξης των 105 eV τα οποία διαπερνούν, περίπου ανενόχλητα, κρυσταλλικά δείγματα. Οι γωνίες σκέδασης από τα βασικά κρυσταλλογραφικά επίπεδα του δείγματος είναι εξαιρετικά μικρές. Παρ' όλα αυτά η ηλεκτρονική οπτική του μικροσκοπίου που επιτρέπει τεράστιες μεγεθύνσεις επιτρέπει επίσης την παρατήρηση του φαινομένου και την δημιουργία εικόνας του λεγόμενου επίπεδου περίθλασης στο οποίο εστιάζουν οι διάφορες σκεδαζόμενες δέσμες. Με την απομόνωση μερικών από αυτές είναι δυνατή η δημιουργία αντίθεσης με βάση τον προσανατολισμό των κρυσταλλογραφικών επιπέδων στο δείγμα σε σχέση με την προσπίπτουσα δέσμη, με άλλα λόγια συνθηκών παρατήρησης ατελειών.

30


Σχήμα 3.3 Διδιάστατο ανάλογο της σφαίρας του Ewald. Σχεδιάζουμε σφαίρα (κύκλο στο σχήμα) με ακτίνα 2π/λ. Διαλέγουμε ένα οποιοδήποτε σημείο του ΑΠ, τοποθετούμε την σφαίρα με τρόπο ώστε το σημείο να είναι στην επιφάνειά της. Στην συνέχεια περιστρέφουμε την σφαίρα στον χώρο γύρω απο το αρχικό σημείο που παραμένει πάντα στην επιφάνειά της. Κάθε φορά που η επιφάνεια της συναντά ένα άλλο σημείο του ΑΠ έχουμε συνθήκες σκέδασης. Τότε ξέρουμε την διεύθυνση στον χώρο και της προσπίπτουσας και της ανακλώμενης δέσμης σε σχέση με το ΑΠ, άρα και με το ευθύ. Στην περίπτωση κυβικού πλέγματος οι διευθύνσεις του ευθέος συμπίπτουν με αυτές του αντίστροφου.

3.1.3 Η σφαίρα του Ewald. Η συνθήκη του Laue για την σκέδαση σε πλέγμα υποδεικνύει μία απλή γωμετρική κατασκευή για να βρεί κανείς, στην περίπτωση της ελαστικής σκέδασης ακτίνων Χ αλλά και άλλων κυμάτων, τις γωνίες πρόσπτωσης και σκέδασης για δεδομένο μήκος κύματος . Πράγματι άν η σκέδαση είναι ελαστική, το μέτρο του σκεδαζόμενου κυματανύσματος k' πρέπει να είναι ίσο με το μέτρο του προσπίπτοντος, k. Τότε η συνθήκη του Laue μπορεί να πάρει την εξής γεωμετρική ερμηνεία: Θα υπάρχει σκέδαση από τον κρύσταλλο όταν δύο σημεία του ΑΠ βρίσκονται στην επιφάνεια σφαίρας , της σφαίρας του Ewald, με ακτίνα ίση με το μέτρο του κυματανύσματος5, δηλαδή με 2π/λ.

Η κατασκευή του Ewald κάνει εντελώς σαφή πολλά χαρακτηριστικά της περίθλασης ακτίνων Χ σε κρύσταλλο: 5 προσπίπτοντος ή σκεδαζομένου, το ίδιο είναι.

31


• Υπάρχει ένα μέγιστο μήκος κύματος στην περίθλαση σ' έναν κρύσταλλο. Για μεγαλύτερα μήκη κύματος η σφαίρα Ewald είναι τόσο μικρή που δέν είναι δυνατό να ακουμπά η επιφάνειά της ταυτόχρονα σε δύο σημεία του ΑΠ.

• Μονοχρωματική ακτινοβολία Χ που προσπίπτει από τυχαία αλλά σταθερή

διεύθυνση σε κρυσταλλο είναι δυνατόν να μήν σκεδάζεται καθόλου έστω και άν το μήκος κύματός της είναι κατάλληλο.

• Οι ανακλάσεις που θα πάρουμε άν στρέψουμε, σε τρείς διαστάσεις, έναν

κρύσταλλο που δέχεται μονοχρωματική δέσμη Χ, δίνουν τις διευθύνσεις και κατα συνέπεια τα μέτρα6 όλων των ανυσμάτων του ΑΠ του που είναι μικρότερα από την διάμετρο π/λ της σφαίρας Ewald

• Ακτινοβολία Χ ευρέος φάσματος7, όταν προσπίπτει με σταθερή διεύθυνση σε

κρύσταλλο δίνει μονοχρωματικές σκεδαζόμενες δέσμες σε συγκεκριμένες διευθύνσεις σε σχέση με τον κρύσταλλο.

3.2 Φωνόνια Σε θερμοκρασίες μεγαλύτερες από το απόλυτο μηδέν, τα άτομα που απαρτίζουν έναν κρύσταλλο ταλαντώνονται, με μικρότερο ή μεγαλύτερο πλάτος ταλάντωσης, γύρω από την θέση ηρεμίας τους. Η θερμική κίνηση ενός ατόμου σε οποιοδήποτε στερεό σώμα δέν είναι ανεξάρτητη από τη κίνηση των υπολοίπων ατόμων. Περιοριζόμαστε εδώ σε μία πάρα πολύ απλουστευμένη αναφορά στην εικόνα της σύγχρονης φυσικής για την θερμική κίνηση των ατόμων σ’ έναν κρύσταλλο με μόνο σκοπό την εισαγωγή της έννοιας του φωνονίου έννοιας απαραίτητης στην μελέτη των φαινομένων μεταφοράς και επανασύνδεσης φορέων στους ημιαγωγούς. Σε κάθε στερεό, ανάλογα με την κρυσταλλική του δομή, τα άτομα ενός ή περισσοτέρων στοιχείων που το απαρτίζουν και τις μάζες των ατόμων αυτών, μπορούμε να έχουμε συγκεκριμένους τρόπους συλλογικής ταλάντωσης, δηλαδή κύματα, που χαρακτηρίζονται από γωνιακές συχνότητες ω της τάξης του 1013 s-1. Η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη σε κάθε χρονική στιγμή σε ένα τέτοιο κύμα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της συχνότητας του επί h, είναι δηλαδή κβαντισμένη. Τα κβάντα της συλλογικής κίνησης των ατόμων ενός πλέγματος ονομάζονται φωνόνια. Τα φωνόνια είναι για τα ελαστικά κύματα στα στερεά ότι είναι τα φωτόνια για το ΗΜ κύμα. Τα φωνόνια αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, με τα ηλεκτρόνια, με τα φωτόνια και κάθε άλλο κύμα στο στερεό. Για παράδειγμα μπορούμε να έχουμε απορρόφηση ή εκπομπή φωνονίου σε μία μή ελαστική σκέδαση ηλεκτρονίου στο πλέγμα. Μπορούμε επίσης να έχουμε σκεδάσεις φωτονίων και νετρονίων από φωνόνια. Οι σκεδάσεις αυτές χρησιμοποιούνται σε, κλασσικές σήμερα, πειραματικές τεχνικές για την μελέτη των φωνονίων στα στερεά. Τα φωνόνια είναι παροδικές ατέλειες του πλέγματος.

6 Με την επίλυση του ισόπλευρου τριγώνου της σχέσης του Laue, (3.2), εφόσον είναι γνωστό το μέτρο των k.

7 Τα διαφορετικά μήκη κύματος που περιέχονται αντιστοιχούν σε μία μία συνεχή κατανομή ακτίνων σφαιρών Ewald. Κάποιες απ' αυτές θα εφάπτονται σε διάφορα σημεία του ΑΠ.

32


3.3 Προβλήματα εξάσκησης 3.1 Βρείτε το ελάχιστο μέτρο κυματανύσματος που μπορεί να σκεδαστεί ελαστικά,

σε ορθή γωνία σε σχέση με την αρχική του διεύθυνση, σε απλό κυβικό κρύσταλλο σταθεράς 5 Angstrom. Σε τί ενέργεια ελευθέρου ηλεκτρονίου ( eV) αντιστοιχεί το κυματάνυσμα αυτό ;

3.2 Βρείτε τις τρείς μικρότερες γωνίες σκέδασης φωτονίων Χ ενέργειας 20keV από απλό κυβικό πλέγμα σταθεράς 4 Angstrom

3.3 Βρείτε την ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να έχει μονο-ενεργειακή δέσμη ηλεκτρονίων ενός ηλεκτρονικού μικροσκοπίου ώστε να έχουμε τουλάχιστον μία ελαστικά σκεδαζόμενη δέσμη, από λεπτά δείγματα αλουμίνιου, σε γωνίες μικρότερες από 1°. Το Al κρυσταλλώνεται σε κυβικό εδροκεντρωμένο (FCC) πλέγμα, έχει ατομικό βάρος 27 και πυκνότητα 2.7 g/cm3.

3.4 Ποιά είναι η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να έχουν νετρόνια για να σκεδαστούν ελαστικά από Al. Το Al κρυσταλλώνεται σε κυβικό εδροκεντρωμένο (FCC) πλέγμα, έχει ατομικό βάρος 27 και πυκνότητα 2.7 g/cm3.

3.5 Δείξτε την ισοδυναμία των τύπων του Bragg και του Laue για ανάκλαση στα επίπεδα (110) κυβικής μοναδιαίας κυψελίδας του FCC.

3.6 Βρείτε την ελάχιστη γωνία σκέδασης δέσμης φωτονίων Χ, ενέργειας 9keV, από κρύσταλλο NaCl. Το χλωριούχο νάτριο έχει απλό κυβικό πλέγμα και πυκνότητα 2.65 g/cm3.

33

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ

4. ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ

Μερικά έτοιμα αποτελέσματα της κβαντικής μηχανικής σχετικά με τις ηλεκτρονικές καταστάσεις στα στερεά σώματα

Στο κεφάλαιο αυτό θα προσπαθήσουμε να δώσουμε στον αναγνώστη μία συνοπτική, ποιοτική, περιγραφή των παραδοχών και των αποτελεσμάτων της θεωρίας των ηλεκτρονίων στα κρυσταλλικά στερεά σώματα. Με το να αναζητήσουμε και μόνο τις ιδιοσυναρτήσεις ηλεκτρονίων και τις ιδιοτιμές ενέργειας τους σ' έναν κρύσταλλο με δεδομένη γεωμετρία είναι ήδη μία σημαντική απλούστευση του γενικού προβλήματος αφού θεωρούμε δεδομένη και σταθερή την δομή του στερεού. Είναι σημαντική απλούστευση διότι δέν πρέπει να ξεχνάμε ότι τα στερεά, όπως και τα μόρια, είναι δεμένα με ηλεκτρόνια. Η δομή και ηλεκτρονική δομή των στερεών είναι αλληλένδετες. Οι υπομονετικοί και μεθοδικοί μελετητές των κρυστάλλων και των συμμετριών τους και η ανακάλυψη των ακτίνων Χ και των μεθόδων μελέτης της σκέδασής τους από κρυσταλλικά στερεά, έδωσαν μία τεράστια βοήθεια στους θεωρητικούς φυσικούς που εφάρμοσαν, στον 20ο αιώνα την κβαντική μηχανική στην μελέτη των ηλεκτρονίων στα στερεά σώματα. Μπορούμε να πούμε ότι το πρόβλημα τώρα στην γενική του μορφή είναι η γραφή της Χαμιλτονιανής για τα ηλεκτρόνια σ'ενα κρυσταλλικό στερεό και της εύρεσης των ιδιοσυναρτήσεων και των ιδιοτιμών της ενέργειάς τους. Μ' όλη την βοήθεια που έχει κανείς από την βασική συμμετρία μετατόπισης κάθε πλέγματος Bravais καθώς και από τις διάφορες συμμετρίες της στοιχειώδους κυψελίδας των κρυστάλλων, το πρόβλημα αυτό παραμένει ένα άλυτο πρόβλημα Ν σωμάτων, στην γενική περίπτωση. Ακόμα και άν μπορούσαμε να το λύσουμε, ισως να ήταν προτιμότερο να κάνουμε αυτό που έγινε σταδιακά στον 20ο αιώνα και συνεχίζεται μέχρι σήμερα στην θεωρία της στερεάς κατάστασης. Να προσπαθήσουμε να λύσουμε δηλαδή μία σειρά από προβλήματα που αφορούν σε απλουστεύσεις του γενικότερου προβλήματος. Τα επιμέρους προβλήματα αυτά βασίζονται σε εικόνες, μοντέλα, που μοιάζουν αρκετά συχνά χονδροειδείς υπεραπλουστεύσεις αλλά δίνουν ικανοποιητική ερμηνεία σε φαινόμενα που παρατηρήθηκαν πειραματικά και αποτέλεσαν την βάση πολλών τεχνολογικών καινοτομιών. Η επιτυχία των απλών μοντέλων αυτών, μερικά από τα οποία θα συζητηθούν στην συνέχεια, δεν είναι μόνο βολική στην σχεδίαση και ανάπτυξη εφαρμογών αλλά αποτελεί τον οδηγό μας για το πόσο σημανικός είναι κάθε παράγοντας, κάθε αλληλεπίδραση, στον καθορισμό των διαφόρων ιδιοτήτων των στερεών γενικότερα και των ημιαγωγών που μας ενδιαφέρουν ειδικότερα εδώ.

4.1 Ηλεκτρόνια στα στερεά σώματα. Οπως αναφέραμε και στα προηγούμενα, θα θεωρήσουμε ότι ένα στερεό σώμα αποτελείται από ιόντα, που περιλαμβάνουν τον πυρήνα του ατόμου και τα περισσότερα από τα ηλεκτρόνιά του, εκείνα που ελάχιστα επηρεάζονται από το γεγονός ότι το άτομο αυτό δέν είναι μεμονωμένο αλλά συμμετέχει σε μία δομή. Τα υπόλοιπα ηλεκτρόνια, εκείνα που δημιουργούν τους δεσμούς μεταξύ ατόμων στο στερεό, εκείνα που δέν είναι υποχρεωτικά εντοπισμένα στο ελκτικό δυναμικό του

34


πυρήνα του ατόμου αλλά περιγράφονται με κυματοσυναρτήσεις που εκτείνονται στον χώρο πέρα από τα όρια ενός ατόμου, τα ονομάζουμε ηλεκτρόνια σθένους. Το ερώτημα που θα μας απασχολήσει στο κεφάλαιο αυτό είναι ποιές είναι οι ιδιοκαταστάσεις και οι ιδιοτιμές ενέργειας των ηλεκτρονίων σθένους , στο δυναμικό ενός μεγάλου αριθμού ιόντων που βρίσκονται σε συγκεκριμένες θέσεις στο πλέγμα. Το ζητούμενο αυτό είναι η λεγόμενη ηλεκτρονική δομή του στερεού. Για την μελέτη των ημιαγωγών χρειαζόμαστε δύο πληροφορίες σχετικά με την ηλεκτρονική δομή: • Τις σχέσεις ενέργειας κυματανύσματος Ε(k) στις οποίες αναφερόμαστε συχνά σάν

σχέσεις διασποράς, για λόγους που εξηγούνται σε επόμενες παραγράφους • Την πυκνότητα καταστάσεων, g(E) , που ορίζεται σαν το πλήθος ηλεκτρονικών

καταστάσεων ανά μονάδα όγκου που έχουν ενέργεια μεταξύ Ε και Ε+dE διαιρεμένο με dE. Είναι επομένως η πυκνότητα καταστάσεων μία διπλή πυκνότητα και ως προς τον όγκο και ως προς την ενέργεια. Στις μονάδες που έχουν επικρατήσει την φυσική των ημιαγωγών η τιμή της δίνεται σε cm-3eV-1.

Είναι αξιοπερίεργο το γεγονός ότι μπορούμε να οδηγηθούμε στα βασικά συμπεράσματα της θεωρίας των ηλεκτρονίων στα στερεά από δύο αντιδιαμετρικούς δρόμους. Ο ένας δρόμος ξεκινάει από τα μεμονωμένα άτομα και εξετάζει πώς η προσέγγιση δύο ή περισσότερων από αυτά τροποποιεί τις κυματοσυναρτήσεις των ηλεκτρονίων, δημιουργεί δεσμούς και ηλεκτρονικές καταστάσεις που εκτείνονται σε πολύ περισσότερα από ένα ή δύο άτομα1. Ο δεύτερος δρόμος ξεκινάει από ηλεκτρόνια που κινούνται τελείως ελέυθερα σ' ένα "άδειο κουτί" που καθορίζεται από την επιφάνεια του στερεού σώματος. Τα πρώτα αποτελέσματα σχετικά με την συμπεριφορά των ηλεκτρονίων έρχονται με την λύση του προβλήματος της επίδρασης που έχει το περιοδικό δυναμικό των ιόντων στα "σχεδόν ελεύθερα" πλέον ηλεκτρόνια. Εδώ πρέπει να επισημάνουμε ότι στην συνέχεια θα θεωρήσουμε, χωρίς να το αναφέρουμε κάθε φορά, ότι βρισκόμαστε στα πλαίσια της προσέγγισης ενός ηλεκτρονίου. Στην προσέγγιση αυτή θεωρούμε ότι όλα τα ηλεκτρόνια του στερεού "βλέπουν" το ίδιο, σταθερό, δυναμικό ενός ηλεκτρονίου το οποίο δέν είναι δυνατό να περιγράφει ούτε τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους ούτε τις επιδράσεις που έχουν τα ηλεκτρόνια σθένους στο πλέγμα των ιόντων. Θα εξετάσουμε, στην συνέχεια, πολύ σύντομα και εντελώς ποιοτικά τα βασικά συμπεράσματα και των δύο θεωρήσεων που, όπως θα δούμε, συμφωνούν τουλάχιστον στα βασικά ποιοτικά χαρακτρηριστικά της ηλεκτρονικής δομής του στερεού που συνοψίζονται στην λεγόμενη θεωρία ζωνών. Ευτυχώς υπάρχουν θεμελιώδη θέματα σχετικά με τα ηλεκτρόνια στα στερεά που δέν χρειάζεται να μας απασχολήσουν στην εισαγωγική αυτή μελέτη των ημιαγωγών καθώς επίσης και στην μελέτη των περισσοτέρων ημιαγωγικών διατάξεων. Ενα παράδειγμα είναι οι αλληλεπιδράσεις ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου που είναι ένα δύσκολο πρόβλημα, απαραίτητο στην κατανόηση φαινομένων όπως η υπεραγωγιμότητα. Ενα δεύτερο παράδειγμα είναι διάφορα φαινόμενα σχετικά με την κίνηση ηλεκτρονίων σε μαγνητικό πεδίο. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται για τα φαινόμενα αυτά μπορεί να ανατρέξει στα βιβλία φυσικής στερεάς κατάστασης.

1 Η προσέγγιση αυτή είναι γνωστή στην βιβλιογραφία με τον όρο Tight Binding .

35


Σχήμα 4.1 Ενα σκίτσο με τις έννοιες της προσέγγισης Tight Binding (Βλέπε το κείμενο).

4.1.1 Από τα άτομα στα μόρια και τους κρυστάλλους Οταν δύο άτομα πλησιάσουν αρκετά κοντά ώστε να μπορούν τα ηλεκτρόνια τους να αλληλεπιδράσουν, συμβαίνει ένα φαινόμενο θεμελιώδες στην κβαντική ερμηνεία του χημικού δεσμού που μπορεί κανείς να δεί σχετικά εύκολα σε απλά προβλήματα κβαντομηχανικής με δύο πηγάδια δυναμικού, σε κοντινή μεταξύ τους απόσταση και με πεπερασμένο φραγμό δυναμικού ανάμεσά τους. Το φαινόμενο αυτό είναι ο διπλασιασμός των υψηλότερων ενεργειακών σταθμών του κάθε πηγαδιού, εκείνων δηλαδή που βρίσκονται σε ενέργειες κοντά στην κορυφή του φράγματος δυναμικού ανάμεσα στα δύο πηγάδια. Οι αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις ηλεκτρονίων εκτείνονται λιγότερο ή περισσότερο και στα δύο πηγάδια. Οι χαμηλότερες ενεργειακά από τις στάθμες που δημιουργούνται είναι γνωστές με το όνομα δεσμικά τροχιακά γιατί είναι εκείνες που δημιουργούν τους ομοιοπολικούς δεσμούς ανάμεσα σε όμοια άτομα. Οι υψηλότερες στάθμες είναι γνωστές σαν αντιδεσμικά τροχιακά. Οι καταστάσεις αυτές έχουν κυματοσυναρτήσεις που είναι γραμμικοί συνδυασμοί των ατομικών τροχιακών2. Αν έχουμε πολλά άτομα σε κοντινές αποστάσεις όπως π.χ. σ’ ένα κρύσταλλο τότε οι δεσμικές και οι αντιδεσμικές καταστάσεις σχηματίζουν ενεργειακές ζώνες από ένα μεγάλο αριθμό καταστάσεων, τόσο κοντά σε ενέργεια η μία από την άλλη ώστε να θεωρούμε ότι είναι συνεχόμενες και να ορίζουμε απλώς μία πυκνότητα καταστάσεων σαν ένα μέτρο του πόσες καταστάσεις είναι διαθέσιμες σε μία ενεργειακή περιοχή που μας ενδιαφέρει. Η πυκνότητα καταστάσεων θα οριστεί στην συνέχεια με λεπτομέρεια.

2Για τον λόγο αυτό η αντίστοιχη κβαντομηχανική μέθοδος υπολογισμού είναι γνωστή και με το όνομα

LCAO (Linear Combiation of Atomic Orbitals).

36


Στο σχήμα 4.1 βλέπουμε μία εντελώς ποιοτική απεικόνιση των εννοιών της προηγούμενης παραγράφου για ένα μονοδιάστατο σύστημα από θετικά ιόντα που συμβολίζονται με μαύρες κηλίδες και δημιουργούν στην περιοχή τους ένα κεντρικό ελκτικό δυναμικό V(r) για τα ηλεκτρόνια. Στο άτομο, οι ενεργειακές καταστάσεις είναι καλά καθορισμένες και απέχουν αρκετά ή μία από την άλλη. Στο μόριο η επέκταση κυματοσυναρτήσεων και στα δύο πηγάδια δυναμικού, δίνει δεσμικές και αντιδεσμικές καταστάσεις με ενέργειες λίγο χαμηλότερα και λίγο υψηλότερα, αντίστοιχα, από εκείνες των ιδιοκαταστάσεων των ατόμων που συνεισφέρουν στο μόριο, των υψηλότερων ενεργειακά καταστασεων των ατόμων που αντιστοιχούν στα ηλεκρόνια σθένους. Στο στερεό με πολλά άτομα οι δεσμικές και αντιδεσμικές ιδιοκαταστάσεις του μορίου εξελίσσονται σε ενεργειακές ζώνες. Μεταξύ των ζωνών είναι πιθανό να μείνουν ενεργειακές περιοχές όπου δέν έχουμε καθόλου καταστάσεις. Οι περιοχές αυτές είναι τα ενεργειακά χάσματα του στερεού. Στο σχήμα 4.2 βλέπουμε ποιοτικά την εξάρτηση των ενεργειακών καταστάσεων Ν όμοιων ατόμων σαν συνάρτηση της απόστασης a μεταξύ τους. Οσο η απόσταση αυτή αυξάνει, τόσο οι ενέργειες του συστήματος βρίσκονται πλησιέστερα στις στάθμες των μεμονωμένων ατόμων. Σε ενδιάμεσες αποστάσεις βλέπουμε την ύπαρξη ζωνών και χάσματος μεταξύ τους. Σε μικρές αποστάσεις μπορεί να έχουμε υπερκάλυψη δύο διαδοχικών ζωνών και, σαν συνέπεια, απουσία χάσματος. Ενα άλλο ενδιαφέρον στοιχείο είναι ο αριθμός καταστάσεων σε μία ζώνη. Ας σκεφτούμε, με την βοήθεια του διαγράμματος αυτού, μία συνεχή μετάβαση από μεμονωμένα άτομα στο στερεό. Κάθε ενεργειακή κατάσταση για το σύστημα των Ν ατόμων , στο όριο της μεγάλης

απόστασης μεταξύ ατόμων, έχει εκφυλισμό Ν εφόσον το ένα ηλεκτρόνιο της

Σχήμα 4.2 Εξάρτηση των ενεργειακών σταθμών ενός συστήματος Ν ατόμων από την απόσταση μεταξύ τους

37


προσέγγισης 1 ηλεκτρονίου που αναφέραμε προηγούμενα μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα Ν άτομα, ή πηγάδια δυναμικού, του συστήματος. Ειναι λοιπόν λογικό να περιμένουμε ότι κάθε ζώνη που "προέρχεται "από μία ατομική ιδιοκατάσταση περιλαμβάνει Ν ηλεκτρονικές καταστάσεις Ο δεύτερος τρόπος προσέγγισης του προβλήματος της ηλεκτρονικής δομής των στερεών είναι να ξεκινήσουμε από ελεύθερα ηλεκτρόνια στο κενό. Η εισαγωγή ενός ασθενούς περιοδικού δυναμικού τροποποιεί τις σχέσεις ενέργειας-κυματανύσματος, κυρίως σε κυματανύσματα κοντά στην 1η ΖΒ και δημιουργεί ενεργειακά χάσματα. Οι επόμενες παράγραφοι ακολουθούν τον δεύτερο τρόπο. Πρίν όμως προχωρήσουμε πρεπει να οπλιστούμε με ένα πολύ βασικό θεώρημα σχετικό με την μορφή των κυματοσυναρτήσεων ηλεκτρονίου σε περιοδικό δυναμικό.

4.1.2 Συναρτήσεις Bloch. Θεώρημα Bloch. Η συμμετρία μετατόπισης, η περιοδικότητα που υπάρχει σ'όλους τους κρυστάλλους, καθορίζει πλαίσια τα οποία υπακούουν οι λύσεις της εξίσωσης του Schrφdinger ανεξάρτητα από την ακριβή μορφή του δυναμικού. Τα πλαίσια αυτά οδηγούν συχνά σε σημαντικά συμπεράσματα σχετικά με τις ηλεκτρονικές κατατάσεις των κρυστάλλων όπως η θερμοδυναμική απαντά συχνά σε κάποια σημαντικά ερωτήματα χωρίς να προϋποθέτει ακριβή γνώση συγκεκριμένου συστήματος. Το θεώρημα Bloch που δίνουμε εδώ χωρίς απόδειξη έχει δύο τρόπους διατύπωσης που θα μας είναι χρήσιμοι. α' διατύπωση θεωρήματος Bloch:

Οι ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής ενός ηλεκτρονίου, σε περιοδικό δυναμικό μπορούν να πάρουν την μορφή επίπεδου κύματος πολλαπλασιασμένου επί μία συνάρτηση που έχει την περιοδικότητα του πλέγματος Bravais.

ψ ni

ne U, ( ) ( )kk r

kr = ⋅⋅, r

n, )k

(4.3) όπου: U Un, ( ) (k r T r+ = (4.4) Τ είναι ένα οποιοδήποτε άνυσμα του ευθέος πλέγματος. Το άνυσμα k είναι ο βασικός κβαντικός αριθμός του προβλήματος. Για ένα δεδομένο k, υπάρχουν γενικά περισσότερες από μία ιδιοσυναρτήσεις που τις συμβολίζουμε με τον ακέραιο κβαντικό αριθμό n.

β' διατυπωση του θεωρήματος Bloch:

38


Σε κάθε ιδιοσυνάρτηση ψ της χαμιλτονιανής H ηλεκτρονίου σε περιοδικό δυναμικό, αντιστοιχεί κυματάνυσμα k τέτοιο ώστε να ισχύει:

ψ ni

ne,( )

,( ) (kk T

kr T r+ = ⋅ ψ ) (4.5) για κάθε άνυσμα μετατόπισης T του πλέγματος Bravais.

4.1.3 Αναγωγή στην 1η ΖΩΝΗ Brillouin Η δεύτερη διατύπωση του Θεωρήματος του Bloch μας επιτρέπει να περιορίσουμε την αναζήτηση των ιδιοσυναρτήσεων και αντίστοιχων ιδιοτιμών ενέργειας, της Χαμιλτονιανής H ενός ηλεκτρονίου που κινείται σε περιοδικό πλέγμα Πράγματι, άν έχουμε λύσει πλήρως το πρόβλημα εύρεσης των ιδιοτιμών της H στην 1η Ζώνη Brillouin (ΖΒ), το έχουμε λύσει και για οποιοδηποτε k. Η αναγωγή στην 1η ΖΒ γίνεται με την διανυσματική πρόσθεση στο k που μας ενδιαφέρει κατάλληλου διανύσματος G του ΑΠ ώστε: k' = k + G (4.6) Με βάση τον ορισμό του ΑΠ, το γινόμενο G.T μπορεί να είναι μόνο 0 ή ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π. Ο όρος ei G⋅T είναι πάντα μονάδα, πράγμα που σημαίνει ότι η κυματοσυνάρτηση ψ που ικανοποιεί την σχέση (4.5), το θεώρημα Bloch δηλαδή, για κάποιο k έξω από την 1η ΖΒ, πρέπει να είναι μία από τις ιδιοσυναρτήσεις ψn,k'(r) που ικανοποιούν την σχέση (4.3) για k' μέσα στην 1η ΖΒ που συνδέεται με το k σύμφωνα με την (4.6).

4.1.4 Κρυσταλλική ορμή Το κυματάνυσμα k στον ελεύθερο χώρο συνδέεται με την ορμή p μέσα από την σχέση: k p= / h (4.7) Σε περιοδικό δυναμικό όμως η ποσότητα hk δέν αντιστοιχεί στην ορμή του ηλεκτρονίου. Ονομάζεται κρυσταλλική ορμή του ηλεκτρονίου και είναι κατά κάποιο τρόπο η επέκταση της ορμής του ελεύθερου ηλεκτρονίου στο εσωτερικό του πλέγματος. Δέν είναι όμως ορμή και πρέπει να θεωρούμε αυτή την ποσότητα απλά σαν ένα κβαντικό αριθμό χαρακτηριστικό της περιοδικής συμμετρίας του πλέγματος, όπως η ορμή στον ελεύθερο χώρο είναι ένας κβαντικός αριθμός χαρακτηριστικός της πλήρους συμμετρίας μετατόπισης στον ελεύθερο χώρο. Θα επανέλθουμε στο θέμα αυτό σε επόμενο κεφάλαιο.

39


4.1.5 Ελεύθερα ηλεκτρόνια σε κρυστάλλους. Η μηδενικής τάξεως προσέγγιση στην ηλεκτρονική δομή τους.

Σχήμα 4.3 Η σχέση διασποράς για ελεύθερα ηλεκτρόνια και τα όρια της πρώτης ζώνης Brillouin

Ας ξεκινήσουμε να εξετάσουμε, στο πλαίσιο του φορμαλισμού που αναπτύξαμε προηγούμενα, την περίπτωση του ελεύθερου ηλεκτρόνιου. Θα μπορούσαμε να πούμε την οριακή περίπτωση, όταν το περιοδικό δυναμικό τείνει προς το μηδέν. Εκτός από το εκπαιδευτικό ενδιαφέρον της μελέτης της εύκολης αυτής περίπτωσης, ο αναγνώστης θα εκπλαγεί από την χρησιμότητα των βασικών συμπερασμάτων στην κατανόηση της συμπεριφοράς των ηλεκτρονίων στους κρυστάλλους. Ο λόγος του περίεργου αυτού γεγονότος είναι ότι το κύμα ηλεκτρόνιο αλληλεπιδρά πολύ λίγο με το περιοδικό δυναμικό άν δεν συμβαίνει να "συντονίζεται", κατα κάποιο τρόπο, το μήκος κύματος του με την περιοδικότητα του δυναμικού. Η σχέση διασποράς E(k) για ελεύθερο ηλεκτρόνιο είναι πολύ απλή:

2km2

2

m2

2pE h== (4.8)

Με p και k συμβολίζουμε τα μέτρα των p και k, αντίστοιχα. Στις επόμενες παραγράφους θα χρησιμοποιήσουμε διαγράμματα ενέργειας ή άλλων ποσοτήτων σε συνάρτηση του κυματανύσματος όπου αναγκαστικά θα περιοριστούμε σέ μία διάσταση. Τα διαγράμματα αυτά τις περισότερες φορές δέν είναι ακριβείς συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένη περίπτωση αλλά "σκίτσα με το χέρι" της ποιοτικής αυτής συμπεριφοράς. Μπορεί να σημαίνουν πράγματι ότι παρουσιάζουμε αποτελέσματα της λύσης ισοδύναμου προβλήματος σε 1 διάσταση ή

40


απλά ότι η τυπική εξάρτηση της ποσότητας που μας ενδιαφέρει από το k σε κάποια διεύθυνση έχει την μορφή του γραφήματος Σε ένα μονοδιάστατο πλέγμα (αλυσίδα) από άτομα που απέχουν μεταξύ τους a, η 1η ΖΒ εκτείνεται μέχρι π/a και -π/a. Στο σχήμα 4.3 βλέπουμε την μορφή της σχέσης E(k) για ελεύθερα ηλεκτρόνια. Η παραβολή αυτή εκτείνεται και σε θετικά και σε αρνητικά k πέρα από τα όρια της 1ης ΖΒ. Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό (4.6)για να μεταφέρουμε στο εσωτερικό της 1ης ΖΒ τους κλάδους που βρίσκονται εκτός. Βλέπουμε για παράδειγμα με το διακεκομένο βέλος την μεταφορά ενός εξωτερικού κλάδου με G = -2π/a. Οι διάφοροι κλάδοι της σχέσης διασποράς για ελεύθερα ηλεκτρόνια στο εσωτερικό της 1ης ΖΒ δίνονται τότε από την σχέση:

E k k n amn ( ) ( /

=−h2 222

π ) (4.9)

όπου n = 0, ±1, ±2, ±3,...

4.2 Πυκνότητα Καταστάσεων. Στην περιγραφή των ηλεκτρονικών ιδιοτήτων ενός στερεού σώματος χρειαζόμαστε πολύ συχνά την Πυκνότητα Καταστάσεων g(E) που ορίζεται μέσα απ'την σχέση:

dE)E(gdN = (4.10) όπου dN έιναι ο συνολικός αριθμός ηλεκτρονικών καταστάσεων ανά μονάδα όγκου μεταξύ ενεργειών E και E+dE. H g(E) είναι μία πυκνότητα και στον χώρο και στην ενέργεια, με διαστάσεις αντίστροφου όγκου και αντίστροφης ενέργειας. (cm-3 eV-1 ). Ο υπολογισμός της πυκνότητας καταστάσεων σ'ένα συγκεκριμένο κρύσταλλο είναι ένα πολύπλοκο πρόβλημα κβαντικής μηχανικής και λύνεται μόνο αριθμητικά σε περιπτώσεις που πλησιάσουν την πραγματικότητα. Υπάρχει μία οριακή περίπτωση: αυτή του κενού χώρου με τελείως ελεύθερα ηλεκτρόνια. Οσο και αν φαίνεται απίστευτο η αντίστοιχη πυκνότητα καταστάσεων δίνει μία πολύ καλή προσέγγιση της ηλεκτρονικής πυκότητας καταστάσεων σ'ένα πραγματικό στερεό που γίνεται ακόμα καλύτερη αν χρησιμοποιήσουμε την ενεργό μάζα του ηλεκτρονίου μέσα στο στερεό, στην ενεργειακή περιοχή που μας ενδιαφέρει αντί της μάζας του ελεύθερου ηλεκτρόνιου. Με το όρο "χώρο" εννοούμε περιοχές αρκετά μεγάλες, της τάξης πολλών εκετοντάδων ατόμων τουλάχιστον, ώστε να μπορούμε να μιλάμε για πυκνότητα καταστάσεων αντί να τις απαριθμούμε μία-μία. Ας ξεκαθαρίσουμε πρώτα οτι η μέγιστη πυκνότητα ηλεκτρονικών καταστάσεων που θα υπολογίσουμε για τον κενό χώρο δέν έχει τίποτα να κάνει με άπωση Coulomb μεταξύ τους. Σ'ένα πραγματικό στερεό, υπάρχει το θετικό φορτίο των ιόντων του πλέγματος που επιτρέπει την συνύπαρξη πολλών ηλεκτρονίων στον ίδιο χώρο, χωρίς να έχουμε συνολικό φορτίο χώρου και κατά συνέπεια ηλεκτρικό πεδίο. Ο λόγος για

41


τον οποίο έχουμε πεπερασμένη πυκνότητα καταστάσεων ηλεκτρονίων σε μία περιοχή του χώρου είναι καθαρά κβαντομηχανικός και έχει να κάνει με την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg από την οποία και θα ξακινήσουμε για να υπολογίσουμε την πυκνότητα καταστάσεων του κενού χώρου. Η αρχή του Heisenberg γράφεται: Δ Δx p h⋅ ≈ (4.11) ή Δ Δx k⋅ ≈ 2π (4.12) Αν θεωρήσουμε ότι ο χώρος μέσα στον οποίον κινούνται τα ηλεκτρόνια ελεύθερα είναι ένας κύβος διαστάσεων L3. Η αβεβαιότητα Δx(= Δy =Δz) είναι επομένως L. Είναι λοιπόν λογικό να υποθέσουμε ότι, για να ικανοποιήσουμε μία από τις βασικότερες σχέσεις της κβαντομηχανικής, θα πρέπει στον χώρο των ορμών η μία ηλεκτρονική κατάσταση από την επόμενη να απέχει περίπου h/L. Ισοδύναμα στον χώρο k, των κυματανυσμάτων, θα πρέπει η μία κατάσταση να απέχει από την άλλη κατά 2π/L . Βλέπουμε λοιπόν ότι ο χώρος k χωρίζεται σε κυβάκια ακμής 2π/L και ότι στο καθένα απ'αυτά αντιστοιχεί μία κατάσταση ηλεκτρονίου όσον αφορά στους βαθμούς ελευθερίας μετατόπισης με κβαντικούς αριθμούς kx, ky, kz. Επειδή όμως υπάρχει πάντα ο βαθμός ελευθερίας του spin του ηλεκτρονίου, με τον αντίστοιχο κβαντικό αριθμό να έχει δυνατές τιμές 1/2 και -1/2 ,οι καταστάσεις που βρήκαμε είναι διπλές: σε κάθε k μπορούμε να έχουμε 2 ηλεκτρόνια με διαφορετικό spin. Η πυκνότητα στον χώρο k των καταστάσεων ολόκληρου του κύβου ακμής L είναι τότε:

( )g k L L( ) 3

3

32

2=

π (4.13)

άρα η πυκνότητα των καταστάσεων που αντιστοιχούν στην μονάδα όγκου του "κρυστάλλου", δηλαδή του χώρου των θέσεων ή αλλιώς τον χώρο του ευθέως πλέγματος, είναι:

( )g k( ) = 2

2 3π (4.14)

Βλέπουμε λοιπόν ότι η πυκνότητα αυτή δέν εξαρτάται από τις διαστάσεις του κύβου L3 που χρησιμοποιήσαμε, με την προϋπόθεση μόνο να είναι αρκετά μεγάλος για να περιγράφεται καλά η πυκνότητα αυτή από μία συνεχή συνάρτηση. Για να βρούμε τώρα την πυκνότητα g(E) χρησιμοποιούμε την σχέση ενέργειας-κυματανύσματος για τα ελεύθερα ηλεκτρόνια που είναι απλή:

E pm

km

= =2 2

2 2h 2

(4.15)

42


Ολες οι καταστάσεις με ενέργεια μικρότερη απ'αυτήν που αντιστοιχεί σε κάποιο k βρίσκονται σε μία σφαίρα, στον χώρο k, με ακτίνα k. Η πυκνότητα καταστάσεων στο χώρο αυτό είναι όμως σταθερή, άρα ο αριθμός Ν των καταστάσεων (πάντα ανά μονάδα όγκου του ευθέως χώρου) θα είναι:

( )N g k V kk= = ⋅( ) 2

2

433

3

ππ (4.16)

όπου Ν το πλήθος των καταστάσεων με ενέργεια μικρότερη από:

E km

=h2 2

2 (4.17)

άρα το Ν μπορεί να γραφεί επίσης:

( )N mE= ⋅

2

2

43

23 2

32

ππ(

h) (4.18)

Η πυκνότητα, ως προς την ενέργεια, καταστάσεων που αντιστοιχούν στην μονάδα όγκου του "κρυστάλλου" θα είναι, σύμφωνα με τον ορισμό(4.10) :

g EdNdE

m mEE( ) = = = ⋅

h h2 2 22 1

2

πσταϑ (4.19)

Επαναλαμβάνουμε εδώ ότι η πυκνότητα αυτή ηλεκτρονικών καταστάσεων υπολογίστηκε με την παραδοχή ότι είναι ελεύθερα σ'έναν μακροσκοπικό όγκο και είδαμε ότι δέν εξαρτάται από τον όγκο αυτό.

43


4.3 Επίδραση ασθενούς περιοδικού δυναμικού στις σχέσεις διασποράς. Ας προχωρήσουμε τώρα στην περιγραφή των αποτελεσμάτων της παρουσίας ασθενούς δυναμικού στα "σχεδόν ελεύθερα" ηλεκτρόνια. Παρά το γεγονός ότι, τουλάχιστον οι μονοδιάστατοι, αντίστοιχοι υπολογισμοί είναι σχετικά εύκολοι, θα περιοριστούμε εδώ στην ποιοτική περιγραφή των αποτελεσμάτων μόνο. Ο

αναγνώστης που ενδιαφέρεται περισσότερο μπορεί να βρεί πολύ περισσότερα στοιχεία σχετικά με το αντικείμενο αυτό σε οποιοδήποτε βιβλίο φυσικής στερεάς κατάστασης3.

Σχήμα 4.4Σκίτσο της επίδρασης περιοδικού δυναμικού στις σχέσεις διασποράς σχεδόν ελεύθερων ηλεκτρονίων. Η καμπύλη E(k) διαφέρει από αυτή των τελείως ελεύθερων ηλεκτρονίων μόνο κοντά στα όρια της ΖΒ. Φαίνεται καθαρά ότι σχηματίζεται ένα ενεργειακό χάσμα

Ο ρόλος του ασθενούς δυναμικού είναι πολύ έντονος κοντά στα όρια της ΖΒ. Οι καμπύλες διασποράς στην περιοχή αυτή αποκλίνουν από αυτές των ελευθέρων ηλεκτρονίων και εμφανίζουν μία ασυνέχεια ακριβώς στο όριο ζώνης. Στο 4.4φαίνεται ποιοτικά η τροποποίηση της μορφής των καμπυλών E(k) σε σχέση με αυτές των ελευθέρων ηλεκτρονίων Το σημαντικότερο αποτέλεσμα είναι ότι υπάρχουν τώρα περιοχές ενεργειών, στην ασυνέχεια που δημιουργείται στα όρια της ΖΒ για τις οποίες δέν υπάρχουν αντίστοιχα k, Οι ιδιοτιμές ενέργειας για όλα τα k βρίσκονται στις γραμμοσκιασμένες περιοχές 3 Το απλούστερο μονοδιάστατο μοντέλο που βρισκει κανείς σ' όλα τα βιβλία φυσικής στερεάς κατάστασης λέγεται μοντέλο Kroning-Peney

44


στο4.4. Αυτές οι περιοχές είναι οι επιτρεπόμενες ζώνες ή ταινίες4 στο περιοδικό δυναμικό. Οι ζώνες χωρίζονται μεταξύ τους από ενεργειακά χάσματα δηλαδή περιοχές ενέργειας για τις οποίες δέν είναι δυνατό να έχουμε ηλεκτρονική κατάσταση. Οπως είδαμε σε προηγούμενη παράγραφο φτάνουμε στό βασικό αποτέλεσμα αυτό και μέσα από την πορεία από τα άτομα στα μόρια και τα στερεά που ακολουθεί η προσέγγιση Tight Binding. Το βασικό αποτέλεσμα είναι η λεγόμενη θεωρία ζωνών της στερεάς κατάστασης που ερμηνεύει τον βασικό διαχωρισμό των στερεών σωμάτων, ανάλογα με την ηλεκτρική τους αγωγιμότητα, σε αγωγούς ή μέταλλα, σε μονωτές και ημιαγωγούς Η υπολογιστική φυσική στερεάς κατάστασης έχει στην διάθεσή της πολλές μεθόδους υπολογισμού της ηλεκτρονικής δομής όλων των τύπων στερεών. Ανάλογα με το ή τα άτομα και τον χαρακτήρα των τροχιακών σθένους τους (s,p κλπ) που σχηματίζουν το στερεό, η μία ή η άλλη τεχνική μπορεί να δίνει καλύτερα αποτελέσματα. Πολλά από τα αποτελέσματα αυτά μπορούν να συγκριθούν με άμεσα μετρήσιμες ποσότητες. Το συμπέρασμα είναι ότι για κάθε στερεό που μας ενδιαφέρει μπορούμε να βρούμε στην βιβλιογραφία αξιόπιστα λεπτομερή δεδομένα υπολογισμών σχετικά με τις σχέσεις διασποράς σε τρείς διαστάσεις και την πυκνότητα καταστάσεων. Στο σχήμα 6.1 φαίνεται ένα παράδειγμα για τις σχέσεις διασποράς δύο σημαντικών ημιαγωγών του πυριτίου, Si, και του αρσενικούχου γαλλίου, GaAs. Στο σχήμα 6.2 ορίζονται τα ονόματα διευθύνσεων στο ΑΠ και σημείων αναφοράς στην 1η ΖΒ που χρησιμοποιούνται στο διάγραμμα του σχήματος 6.1. Υπάρχουν πολλοί κλάδοι των σχέσεων διασποράς που αντιστοιχούν σε ένα συγκεκριμένο k σε διαφορετικές τιμές του κβαντικού αριθμού n των συναρτήσεων Bloch. Αν αυτοί οι κλάδοι αφήνουν κενές μία ή περισσότερες ενεργειακές περιοχές για οποιοδήποτε k στην 1η ΖΒ, τότε έχουμε χάσμα(τα).

4.4 Mέταλλα, μονωτές, ημιαγωγοί. Το πρώτο σημαντικό συμπέρασμα που απορρέει από την θεωρία ζωνών είναι ο διαχωρισμός των στερεών ανάλογα με τις ιδιότητες αγωγιμότητας που έχουν σε μέταλλα, μονωτές και ημιαγωγούς. Ο διαχωρισμός αυτός είναι πολύ βαθύτερος και σχετίζεται και με την δομή και τον τύπο "χημικού" δεσμού των ατόμων στο στερεό. Πρίν προχωρήσουμε χρειαζόμαστε μία ακόμα έννοια: την ενέργεια Fermi. Η ενέργεια Fermi EF ορίζεται σαν την ενέργεια της ανώτατης κατειλημμένης στάθμης στην θεμελιώδη κατάσταση συστήματος Ν ηλεκτρονίων που αντιστοιχεί σε πλήρη κατάληψη όλων των καταστάσεων με ενέργεια μικρότερη απο EF. Το άθροισμα δηλαδή όλων των καταστάσεων ενός ηλεκτρονίου που έχουν ενέργεια μικρότερη από EF, θα πρεπει να είναι ίσο με το πλήθος Ν των διαθέσιμων ηλεκτρονίων. Αν το στερεό που μας ενδιαφέρει δέν δημιουργεί ενεργειακό χάσμα, άν δηλαδή οι κλάδοι διασποράς καλύπτουν εξ'ολοκλήρου τον άξονα ενεργειών το σώμα αυτό είναι μέταλλο και καλός αγωγός του ηλεκτρικού ρεύματος. 4 Οι αγγλικοί όροι διαφοροποιούνται για τις ζώνες Brillouin για τις οποίες χρησιμοποιείται ο όρος

zone και για τις ενεργειακές ζώνες που ονομάζονται bands. Η χρήση του ελληνικού όρου: ταινίες που αντιστοιχεί σωστότερα στο bands μπορεί μέν να μην δημιουργεί σύγχυση μεταξύ των δύο αλλά δέν έχει υοθετηθεί από την μεγάλη πλειοψηφία των Ελλήνων φυσικών

45


Αν το στερεό που μας ενδιαφέρει εμφανίζει χάσμα αλλά η ενέργεια Fermi βρίσκεται στο εσωτερικό επιτρεπτής ζώνης, έχουμε επίσης μέταλλο. Αν τελικά η EF βρίσκεται στην υψηλότερη ενέργεια μίας ζώνης, στο όριο του ενεργιακού χάσματος, τότε έχουμε να κάνουμε με ένα μονωτή ή ημιαγωγό. Η διαφορά μεταξύ των δύο είναι ποσοτική και έχει να κάνει με το μέγεθος του ενεργειακού χάσματος Eg. Ενας χονδρικός, ασαφής, διαχωρισμός είναι: ημιαγωγός άν Eg < 2.5 eV και μονωτής άν Eg > 2.5 eV. Πληρέστερη κατανόηση του διαχωρισμού μεταξύ μονωτή και ημιαγωγού θα γίνει δυνατή στα επόμενα κεφάλαια. Πρέπει να αναφέρουμε αμέσως ότι όλοι οι ημιαγωγοί στην θεμελιώδη κατάσταση του συστήματος των ηλεκτρονίων τους είναι μονωτές. Θεωρητικά αυτό συμβαίνει στο απόλυτο μηδέν, πρακτικά σε χαμηλές θερμοκρασίες. Αντίθετα τα μέταλλα παραμένουν αγωγοί στο απόλυτο μηδέν. Είναι μάλιστα τόσο καλύτεροι αγωγοί όσο μειώνεται η θερμοκρασία επειδή μειώνονται οι σκεδάσεις ηλεκτρονίων από τις θερμικές διαταραχές του πλέγματος, τα φωνόνια. Το χάσμα στους μονωτές και ημιαγωγούς διαχωρίζει μία εντελώς κατειλημμένη ζώνη κάτω από EF που λέγεται ζώνη σθένους (ΖΣ) του ημιαγωγού και μία εντελώς άδεια ζώνη αμέσως πάνω από το χάσμα που λέγεται ζώνη αγωγιμότητας (ΖΑ). Το "πάνω" και "κάτω" εδώ αναφέρονται, όπως σχεδόν πάντα στην φυσική στερεάς κατάστασης, σε ηλεκτρόνια: τα περισσότερα διαγράμματα σχεδιάζονται με τρόπο ώστε προς το "πάνω" να σημαίνει αύξηση της ενέργειας ηλεκτρονίου5.

5 Επειδή το μηδέν της ενέργειας μπορεί να οριστεί αυθαίρετα όπου θέλουμε, είναι προτιμότερο να μιλούμε για φορά αύξησης ενέργειας αντί για θετική ενέργεια.

46

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΗΜΙΚΛΑΣΣΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΚΑΙ ΟΠΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΥΣ

5. ΗΜΙΚΛΑΣΣΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΚΑΙ ΟΠΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΥΣ

Η περίεργη συμπεριφορά "σωματιδίων" που έχουν πολύ έντονα τα χαρακτηριστικά του κύματος, μέσα σ'ένα στερεό σώμα.

Η περιγραφή της κίνησης του ηλεκτρονίου στο κενό, πιό σωστά σε χώρο με μικρή πίεση αερίου, γίνεται απόλυτα ικανοποιητικά με την κλασσική μηχανική. Σε μεγάλες ταχύτητες πρέπει να πάρουμε υπ'όψη μας την σχετικότητα αλλά η εικόνα του ηλεκτρονίου σαν σωματίδιο παραμένει σωστή. Αντίθετα η κίνηση του ηλεκτρονίου σ'ένα στερεό σώμα είναι μία από τις λίγες περιπτώσεις που η κβαντική συμπεριφορά εμφανίζεται τόσο έντονα σε σύστημα του μακρόκοσμου1. Οπως, γίνεται συχνά στην φυσική, είναι δυνατό, με την εισαγωγή των κατάλληλων φαινομενολογικών παραμέτρων, να κρατήσουμε έστω και τροποποιημένες, μερικές βασικές σχέσεις όπως ο νόμος του Νεύτωνα. Οι νόμοι αυτοί είναι πολύ βαθειά ριζωμένοι στην εμπειρία μας και δέν είναι εύκολο να τους ξεχάσουμε όταν σκεφτόμαστε μία κίνηση. Ενα παράδειγμα αντίστοιχης νοητικής διεργασίας είναι η μετατροπή ενός στρεφόμενου συστήματος αναφοράς σε ψευδοαδρανειακό με την βοήθεια της φυγόκεντρης δύναμης και της δύναμης Coriolis. Στήν περίπτωση της κίνησης των ηλεκτρονίων σ'ένα στερεό οι φαινομενολογικές ένοιες που θα χρειαστούμε και θα ορίσουμε στις επόμενες παραγράφους είναι η ενεργός μάζα και η έννοια της οπής.

5.1 Ενεργός μάζα Το σημείο επαφής της κυματικής και της σωματιδιακής φύσης του ηλεκτρονίου θα είναι στην περιγραφή μας η ομαδική ταχύτητα vg. Οταν έχουμε μεταφορά πληροφορίας από ένα κύμα π.χ. το ηλεκτρομαγνητικό κύμα της ασύρματης επικοινωνίας, ή όταν έχουμε μεταφορά μάζας από ένα κύμα που υπακούει στην εξίσωση του Schrφdinger, χρειαζόμαστε διαμόρφωση του πλάτους του κύματος ή δημιουργία ενός κυματοπακέτου (wave packet) με την πρόσθεση πολλών, ατέρμονων, αρμονικών, συνιστωσών με λίγο διαφορετικές μεταξύ τους συχνότητες. Η ταχύτητα μετατόπισης του κυματοπακέτου είναι εν γένει πολύ διαφορετική από την φασική ταχύτητα του κύματος. Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα επίπεδο κύμα της μορφής:

ψ ω( , ) (x t ei kx t= − )

(5.1) για τα επίπεδα φάσης 0 έχουμε:

1 Οι διαστάσεις των διατάξεων της σύγχρονης μικροηλεκτρονικής είναι εντυπωσιακά μικρές, μικρότερες από 1 μm. Είναι όμως σίγουρα μακρόκοσμος άν σκεφτούμε ότι ένα κυβικό μm περιέχει περίπου 1010 άτομα

47


kx t− =ω 0 (5.2) άρα η φασική ταχύτητα είναι:

vkϕω

= (5.3)

Δίνουμε εδώ χωρίς απόδειξη ότι η ομαδική ταχύτητα για κυματοπακέτο που σχηματίζεται από αρμονικές συνιστώσες με γωνιακή συχνότητα γύρω από ω είναι:

v ddk

dEdkg = =

ω 1h

(5.4)

Για να ξέρουμε λοιπόν την ομαδική ταχύτητα πρέπει να είναι γνωστή, για το μέσο που μας ενδιαφέρει, η σχέση συχνότητας (ενέργειας στην κβαντική μηχανική) και κυματανύσματος2. Θα ορίσουμε την ενεργό μάζα μέσα από την σχέση:

F mdvdt

gεξ =

* (5.5)

Οπου Fεξ η "εξωτερική" δύναμη που ασκείται στο ηλεκτρόνιο και m* η ενεργός μάζα του. Ο όρος εξωτερική δεν σημαίνει ότι οφείλεται πχ σε φορτία που βρίσκονται έξω από τον κρύσταλλο που μας ενδιαφέρει. Σημαίνει ότι η Fεξ δέν περιλαμβάνει το δυναμικό του κρυστάλλου, τις δυνάμεις που δέχεται το ηλεκτρόνιο από τα ιόντα και τα άλλα ηλεκτρόνια στο στερεό, αλλά είναι η δυναμη που εξασκείται πάνω στο ηλεκτρόνιο από ένα μακροσκοπικό ηλεκτρικό ή μαγνητικό3 πεδίο, ένα πεδίο που μεταβάλλεται πολύ αργά σε σχέση με τις ενδοατομικές αποστάσεις.

2 Η σχέση αυτή λέγεται σχέση διασποράς γιατί το κυματοπακέτο, ταυτόχρονα με την διάδοσή του, εμφανίζει και ένα φαινόμενο διασποράς, "απλώματος" στον χώρο και τον χρόνο που είναι μάλιστα τόσο πιό έντονο όσο μεγαλύτερη είναι εξάρτηση της ομαδικής ταχύτητας από την ενέργεια

3 Η κίνηση των ηλεκτρονίων ενός στερεού κάτω από την επίδραση ενός εξωτερικού μαγνητικού πεδίου είναι ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα της φυσικής στερεάς κατάστασης και υπάρχουν διάφορα "περίεργα" σχετικά φαινόμενα παρατηρήσιμα πειραματικά. Εμάς θα μας απασχολήσει πολύ λίγο στην συνέχεια. Θα ενδιαφερθούμε κυρίως για την κίνηση των ηλεκτρονίων κάτω από την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου. Η ημικλασσική δυναμική που σκιαγραφούμε εδώ ισχύει όμως και για μαγνητικές (Lorentz) δυνάμεις.

48


Σχήμα 5.1 Φασική, vφ, και ομαδική, vg , ταχύτητα διάδοσης κυματοπακέτου. Η κλίση της ευθείας του διαγράμματος δίνει σχηματικά την φασική ταχύτητα, την ταχύτητα δηλαδή με την οποία μετατοπίζονται στον χώρο οι ισοφασικές επιφάνειες του κύματος. Οταν η vφ δέν είναι η ίδια για όλες τις συχνότητες, τότε η ταχύτητα της περιβάλλουσας του κυματοπακέτου, η ομαδική ταχύτητα, είναι διαφορετική από την φασική. Στο παράδειγμα του σχήματος, η περιβάλλουσα του κυματοπακέτου διαδίδεται αργότερα από τις ισοφασικές επιφάνειες : vg < vφ.

Σε τρείς διαστάσεις η σχέση (5.5) είναι διανυσματική. Είναι λογικό να περιμένει κανείς ότι η χρονική μεταβολή της ομαδικής ταχύτητας δεν θα είναι αναγκαστικά συγγραμμική με την δύναμη που την προκαλεί. Θα ήταν πολύ απαιτητικό από μέρους μας να περιμένουμε από την ημικλασσική δυναμική των ηλεκτρονίων να ξεχνά τελείως το γεγονός ότι πρόκειται για κύματα σε κρύσταλλο και όχι για Νευτώνια σώματα στον, τελείως ισότροπο, ελεύθερο χώρο. Η ενεργός μάζα πρέπει λοιπόν να είναι ενας τανυστής M που ορίζεται μέσα από την σχέση :

F Mv

εξ∂

∂= g

t (5.6)

Ας συνεχίσουμε πρός το παρόν την μονοδιάστατη θεώρηση της ενεργού μάζας που έχουμε ξεκινήσει. Οπως θα δούμε στο τέλος αυτού του κεφαλαίου και στα επόμενα θα μπορέσουμε να μελετήσουμε πολλά ενδιαφέροντα φαινόμενα στους, αναγκαστικά

49


τρισδιάστατους, ημιαγωγούς με χρήση βαθμωτών ενεργών μαζών έστω και άν χρειαστούμε παραπάνω από μία, ανάλογα με την διεύθυνση στον κρύσταλλο. Ας προσπαθήσουμε τώρα να βρούμε από τί εξαρτάται η ενεργός μάζα και ας απλουστεύσουμε τον συμβολισμό μας γράφοντας στην συνέχεια F για την Fεξ και v για την vg. Κάτω από την επίδραση της F η ενέργεια του ηλεκτρονίου αυξάνει με ρυθμό Fv dE FvdtdEdt

Fv

=

= (5.7)

Εχουμε όμως για την χρονική παράγωγο της ομαδικής ταχύτητας την σχέση: dvdt

ddt

dEdk

ddk

dEdt

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 1h h

(5.8)

Η (5.8)μαζί με τις(5.5) και(5.7) δίνει, για μή χρονοεξαρτώμενη δύναμη:

F2dk

E2d21

dkdvF1

dtdv

hh== (5.9)

Συγκρίνοντας την (5.9) με την (5.5) βλέπουμε ότι τον ρόλο της ενεργού μάζας στην (5.9) παίζει η ποσότητα:

2

2

2*

dkEd

m h= (5.10)

Η ενεργός μάζα μπορεί να είναι ίση ή πολύ κοντινή με την μάζα ηρεμίας του ηλεκτρονίου. Πράγματι άν η σχέση διασποράς είναι αυτή του ελεύθερου ηλεκτρόνιου:

E k km

( ) = h2 2

2 (5.11)

50


Μπορούμε εύκολα να βεβαιωθούμε ότι για ελεύθερα ηλεκτρόνια m* = m. Οταν όμως η σχέση διασποράς διαφοροποιηθεί από την (5.11) τότε η ενεργός μάζα μπορεί να απειριστεί όπως συμβαίνει στο σημείο καμπής της σχέσης διασποράς στο σχήμα 4.4 ή να γίνει αρνητική όπως συμβαίνει κοντά στο όριο της ζώνης Brillouin. Αρνητική ενεργός μάζα σημαίνει ότι μία δύναμη που εξασκείται στο ηλεκτρόνιο προκαλεί επιτάχυνση σε αντίθετη φορά απ' αυτήν που θα προκαλούσε στον ελεύθερο χώρο. Η επιτάχυνση δηλαδή που προκαλεί ένα ηλεκτρικό πεδίο σε ηλεκτρόνιο με αρνητική ενεργό μάζα, έχει την φορά που θα είχε στον ελεύθερο χώρο για ένα θετικά φορτισμένο σωματίδιο.

5.2 Η έννοια της οπής: Ενας φανταστικό "σωματίδιο" με πολύ πραγματικές εφαρμογές Αν όλες οι καταστάσεις μιάς ζώνης είναι κατειλημμένες από ηλεκτρόνια, η συμβολή της στην αγωγιμότητα είναι μηδενική. Το ηλεκτρικό πεδίο δεν μπορεί να αλλάξει το κυματάνυσμα κανενός από τα ηλεκτρόνια αυτά γιατί δεν υπάρχουν διαθέσιμες καταστάσεις να τα υποδεχθούν. Αν όμως μία (ή, πιό σωστά, πολύ λίγες) καταστάσεις της ζώνης είναι διαθέσιμες, τότε το ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να ανακατανείμει τα ηλεκτρόνια στις καταστάσεις με διαφορετικά κυματανύσματα με αποτέλεσμα να υπάρξει αγωγιμότητα, μία αγωγιμότητα με περίεργα χαρακτηριστικά γιατί, όπως είδαμε στην παράγραφο που αναφέρεται στην ενεργό μάζα, τα ηλεκτρόνια στο πάνω όριο ζώνης συμπεριφέρονται "περίεργα", έχουν δηλαδή αρνητική ενεργό μάζα. Οι διαθέσιμες καταστάσεις στην ζώνη σθένους ονομάζονται οπές. Στην συνέχεια θα δούμε τα βασικά χαρακτηριστικά των οπών, μιάς έννοιας απαραίτητης για να καταλάβουμε τα φαινόμενα που συμβαίνουν στις ημιαγωγικές διατάξεις Η κίνηση της οπής στο χώρο των θέσεων και τον χώρο των ορμών κάτω από την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου είναι συμβατή με την κίνηση ενός "σωματίδιου" με θετικό φορτίο και θετική ενεργό μάζα. Ας εξετάσουμε την σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις ποσότητες που χαρακτηρίζουν την οπή και εκείνες του ηλεκτρονίου που λείπει από την ζώνη σθένους. Θυμίζουμε ότι η συμπεριφορά ηλεκτρονίου στο πάνω όριο ζώνης είναι εντελώς διαφορετική από το κάτω όριο, όπου είναι "σχεδόν ελεύθερο". Το κυματάνυσμα της οπής είναι αντίθετο απ'αυτό του ηλεκτρονίου που λείπει. Το άθροισμα των κυματανυσμάτων όλων των ηλεκτρονίων μιάς πλήρους ζώνης είναι μηδέν. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η συνολική ορμή της ζώνης είναι μηδέν με βάση στη σχέση: p k= h της κβαντικής μηχανικής. Το γεγονός αυτό φαίνεται πολύ λογικό άν σκεφτούμε ότι για κάθε κατάσταση με κυματάνυσμα k πρέπει να υπάρχει στην ζώνη και η κατάσταση με -k. Ακόμα και σε ανισότροπους κρυστάλλους, δέν υπάρχει κανένας λόγος να έχουμε διαφοροποίηση των δύο φορών μιας συγκεκριμένης διεύθυνσης. Αν λοιπόν έχουμε μία ζώνη από την οποία λείπει ηλεκτρόνιο με κυματάνυσμα k, η συνολική ορμή της ζώνης είναι -k. Είναι δηλαδή ισοδύναμο το να πούμε ότι έχουμε μία οπή στην (πλήρη) ζώνη με κυματάνυσμα -k.

51


Η ενέργεια για τις οπές γίνεται μεγαλύτερη όταν η ενέργεια του ηλεκτρονίου που λείπει γίνεται μικρότερη. Η οπή είναι μία κατάσταση της ζώνης σθένους που μπορεί να είναι κατειλημμένη από ηλεκτρόνιο αλλά δέν είναι. Το σύστημα των ηλεκτρονίων της ζώνης σθένους έχει τόσο μικρότερη ενέργεια όσο χαμηλότερες είναι οι ενέργειες των κατειλλημένων καταστάσεων άρα όσο υψηλότερα, στο ενεργειακό διάγραμμα για ηλεκτρόνια, είναι οι άδειες καταστάσεις, δηλαδή οι οπές. Η ταχύτητα (ομαδική ταχύτητα) της οπής είναι η ίδια με το ηλεκτρόνιο που λείπει. Μπορούμε εύκολα να βεβαιωθούμε γι'αυτό με βάση τις δύο προηγούμενες παραγράφους για το κυματάνυσμα και την ενέργεια της οπής και την σχέση (5.4) Η παράγωγος dE/dk δέν αλλάζει πρόσημο άν και το dE και το dk γίνουν αντίθετα από αυτά του ηλεκτρονίου που λείπει. Η ενεργός μάζα της οπής είναι θετική Με την αλλαγή της φοράς στην ενέργεια τα μέγιστα της καμπύλης διασποράς γίνονται ελάχιστα έστω και άν αλλάξει φορά και το κυματάνυσμα. Η δεύτερη παράγωγος, από την οποία εξαρτάται η ενεργός μάζα είναι τότε αντίθετη από την τιμή που έχει για ηλεκτρόνια. Οι οπές βρίσκονται πάντα κοντά στο πάνω όριο της ζώνης σθένους. Οπως αναφέραμε στην παράγραφο για την ενεργό μάζα τα ηλεκτρόνια στην περιοχή αυτή της ζώνης έχουν αρνητική ενεργό μάζα άρα οι οπές έχουν θετική. Το φορτίο της οπής είναι θετικό Εστω ηλεκτρόνιο, στο πάνω μέρος της ζώνης σθένους, με αρνητική ενεργό μάζα και ταχύτητα v. Η αντίστοιχη οπή έχει όπως αναφέραμε προηγούμενα την ίδια ταχύτητα v. Κάτω από την επίδραση του πεδίου η ταχύτητα αυτή μεταβάλλεται με τον ίδιο τρόπο για την οπή όπως και για το ηλεκτρόνιο που λείπει. Για να συμβεί αυτό για ένα σωματίδιο με θετική ενεργό μάζα, όπως η οπή, θα πρέπει να έχει και αντίθετο φορτίο απ'αυτό του ηλεκτρονίου οπότε ο ψευδονόμος του Νεύτωνα της ημικλασσικής δυναμικής, θα δίνει την ίδια επιτάχυνση είτε για σωματίδιο με αρνητικό φορτίο και αρνητική ενεργό μάζα όπως είναι ένα ηλεκτρόνιο στο πάνω μέρος της ζώνης σθένους, είτε για σωματίδιο με θετικό φορτίο και θετική ενεργό μάζα όπως είναι μία οπή. Στην μελέτη των φαινομένων αγωγιμότητας στους ημιαγωγούς χρειαζόμαστε και τα δύο είδη φορέων : ηλεκτρόνια στο κάτω άκρο της ζώνης αγωγιμότητας και οπές στο πάνω άκρο της ζώνης σθένους4

Πρέπει να θυμόμαστε πάντα ότι άλλο είναι ένα ηλεκτρόνιο που λείπει από την, σχεδόν γεμάτη, ζώνη σθένους και άλλο ένα ηλεκτρόνιο στην, σχεδόν άδεια, ζώνη

4 Το "πάνω και κάτω" είναι πάντα σχετικά με την ενέργεια για ηλεκτρόνια. Στην φυσική στερεάς κατάστασης και την φυσική των ημιαγωγών τα ενεργειακά διαγράμματα είναι πάντα ανάποδα από την συμβατική φορά για δυναμικό και δυναμική ενέργεια θετικού υποθέματος.

52


αγωγιμότητας. Για τους φορείς λοιπόν θα έχουμε αρνητικό φορτίο για τα ηλεκτρόνια και θετικό για τις οπές. Η ενεργός μάζα, όμως, και των δύο είναι η ίδια: είναι θετική .

5.3 Προβλήματα 5.7 Σε δύο πρίσματα Α και Β, ο δείκτης διάθλασης μεταβάλλεται γραμμικά με

το μήκος κύματος από 1.50 στα 600 nm σε 1.55 στα 400 nm για το Α και από 1.50 στα 600 nm σε 1.45 στα 400 nm για το Β. Ποιό απ' αυτά τα πρίσματα είναι πραγματικό και πόση είναι η ομαδική ταχύτητα των φωτονίων μέσα του.

5.8 Θεωρήστε ένα ελάχιστο, σε κυματάνυσμα k1, δεδομένης συνάρτησης E(k) για ηλεκτρόνια σε ΖΑ. Προσεγγίστε τοπικά, με βάση το ανάπτυγμα Taylor, το ελάχιστο αυτό με σχέση διασποράς ελευθέρου "ηλεκτρονίου", με ότι μάζα προκύψει από την προσέγγιση αυτή. Ποιά σχέση δίνει την μάζα αυτή; Πόση η κινητική και πόση η δυναμική ενέργεια , πάντοτε για κυματανύσμα k κοντά στο k1, του "ηλεκτρονίου" αυτού με την διαφορετική μάζα, στην προσέγγιση που κάνατε;

5.9 Δείξτε ότι σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β, η κίνηση (θετικά φορτισμένης) ελεύθερης οπής με αρχική ταχύτητα κάθετη στο Β, είναι η ίδια με την κίνηση ηλεκτρονίου που βρίσκεται στις υψηλότερες ενεργειακά καταστάσεις της ΖΣ.

53

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ

6. ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ Ενδογενείς και με προσμίξεις. Περιγραφή και προσεγγίσεις μιάς ηλεκτρονικής δομής με τεράστιες τεχνολογικές εφαρμογές.

Σχήμα6.1 Η δομή ζωνών των κυριότερων ημιαγωγών: Si, Ge, GaAs. Οι οριζόντιοι ημι-άξονες δίνουν το κυματάνυσμα σε διαφορετικές διευθύνσεις που ορίζονται στο σχήμα 6.2 .

Δύο από τα στοιχεία της στήλης IV του περιοδικού πίνακα, το πυρίτιο και το γερμάνιο σχηματίζουν ημιαγωγικούς κρυστάλλους. Το Si και το Ge είναι οι μόνοι ημιαγωγοί ενός στοιχείου. Αντίθετα υπάρχουν πάρα πολλά σύνθετα ημιαγωγικά υλικά τα οποία σχηματίζονται από δύο ή περισσότερα στοιχεία. Το πυρίτιο έχει χρησιμοποιηθεί και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στις εφαρμογές περισσότερο από οποιονδήποτε ημιαγωγό, στοιχειακό ή σύνθετο, με μεγάλη διαφορά από τους υπόλοιπους. Το στοιχείο αυτό, από τα πιό άφθονα στον πλανήτη μας, έχει πραγματικά μοναδικές ιδιότητες. Οι κρύσταλλοι Si είναι τα καθαρότερα και τελειότερα, με τις λιγότερες δομικές ατέλειες, κρυσταλλικά στερεά που μπορεί να κατασκευάσει ο άνθρωπος1. Το μέγεθος του ενεργειακού χάσματος του Si , Eg = 1.1 eV, είναι ικανοποιητικό για διατάξεις που λειτουργούν στην θερμοκρασία περιβάλλοντος2 Το

1 Πολύ καθαρότερα και τελειότερα απο τους όλους τους κρυστάλλους που βρίσκουμε στην φύση. 2 Δέν μπορεί να πεί κανείς το ίδιο για το γερμάνιο που έχει μικρότερο χάσμα: 0.7 eV. Τα χαρακτηριστικά διατάξεων γερμανίου σε θερμοκρασία περιβάλλοντος και λίγο υψηλότερη δέν είναι ικανοποιητικά και αυτό οφείλεται στο μικρό του ενεργειακό χάσμα Στην ανίχνευση υπέρυθρης ακτινοβολίας χρησιμοποιείται γερμάνιο και σύνθετοι ημιαγωγοί με σημαντικά μικρότερο χάσμα απ'

54


πυρίτιο απορροφά το μεγαλύτερο μέρος του ηλιακού φάσματος. Παρά το γεγονός ότι το ιδανικό χάσμα για φωτοβολταϊκές εφαρμογές είναι κοντά στο 1.4 eV το Si χρησιμοποιείται σε όλα τα φωτοβολταϊκά στοιχεία με εξαίρεση τις διαστημικές εφαρμογές όπου η υψηλότερη απόδοση και το μικρότερο βάρος των κυψελίδων αρσενικούχου γαλλίου3 έχουν πολύ μεγαλύτερη σημασία από το κόστος. Εκτός από τις ηλεκτρονικές ιδιότητες του που είναι πολύ ικανοποιητικές, υπάρχουν και άλλες ευτυχείς συμπτώσεις ιδιοτήτων του Si σχετικά με την διαδικασία κατασκευής διατάξεων μικροηλεκτρονικής. Το οξείδιο του πυριτίου, SiO2 , είναι ένας εξαιρετικός μονωτής που αναπτύσσεται στην επιφάνειά του Si σε στρώματα ελεγχόμενου πάχους, με οξείδωση σε υψηλή θερμοκρασία. Είναι εύκολο με χημική αντίδραση με οξέα, επιλεκτική μεταξύ του Si και του SiO2, να δημιουργούνται δομές

κλίμακας μικρόμερου (μm) και ακόμα μικρότερες. Το SiO2 είναι ένα πολύ ανθεκτικό και αδρανές υλικό.

Σχήμα 6.2 Η ζώνη Brillouin του κυβικού εδροκεντρωμένου πλέγματος που είναι το κοινό πλέγμα Bravais της δομής του διαμαντιού (Ge, Si) και zincblende (GaAs). Το κέντρο της ΖΒ συμβολίζεται με το γράμμα Γ. Αλλα χαρακτηριστικά σημεία είναι τα κέντρα, Χ, των τετραγωνικών εδρών του πολυέδρου της ΖΒ και τα κέντρα, L, των εξαέδρων.

αυτό του Ge. Οι διατάξεις όμως που κατασκευάζονται με τα υλικά αυτά πρέπει να ψυχθούν σε αρκετά χαμηλές θερμοκρασίες για να λειτουργήσουν ικανοποιητικά.

3 Το ιδανικό χάσμα του GaAs, 1.4 eV, και η μεγάλη ευκινησία των φορέων στο υλικό αυτό το φέρνουν στην πρώτη θέση των επιλογών για φωτοβολταϊκές κυψελίδες άν δέν πάρει κανείς υπ' όψη του το μεγάλο κόστος κατασκευής διατάξεων GaAs.

55


Οι σύνθετοι ημιαγωγοί με δύο άτομα σχηματίζονται συχνά από στοιχεία που βρίσκονται σε στήλες συμμετρικά, δεξιά και αριστερά της στήλης IV4. Εχουμε με τον τρόπο αυτό τους λεγόμενους ημαγωγούς III-V μεταξύ των οποίων την σημαντικότερη θέση κατέχει αναμφισβήτητα το αρσενικούχο γάλλιο, GaAs. Επίσης υπάρχουν και ημιαγωγοί II-VI όπως π.χ : CdS, ZnS, CdSe κλπ.

6.1 Το χάσμα των ημιαγωγών Η δομή ζωνών, οι σχέσεις διασποράς δηλαδή για τρείς βασικούς ημιαγωγούς το Si το Ge και το GaAs δίνονται συνοπτικά στα διαγράμματα του σχήματος 6.1 Διακρίνονται διάφοροι κλάδοι διασποράς που αντιστοιχούν σε διαφορετικές λύσεις για δεδομένο k. Στα διαγράμματα του σχήματος 6.1 οι σχέσεις διασποράς απεικονείζονται μόνο για μία φορά του k. (ημι-άξονες) Είναι προφανές ότι : ότι ισχύει σ' έναν άξονα για k ισχύει και για -k. Η ενεργειακή περιοχή στην οποία δέν υπάρχει κανένας κλάδος διασποράς είναι το χάσμα του ημιαγωγού. Το εύρος Eg του χάσματος είναι ίσο με 0.7 eV για το Ge 1.12 eV για το Si 1.42 eV για το GaAs. Κλάδοι πάνω από το χάσμα αποτελούν την ζώνη αγωγιμότητας και κλάδοι κάτω απ' αυτό, την ζώνη σθένους. Βλέπουμε ότι είναι δυνατό να υπάρχουν δύο διαφορετικοί κλάδοι στις υψηλότερες ενέργειες της ΖΣ. Η ενεργός μάζα που υπολογίζεται είναι διαφορετική για κάθε κλάδο. Ετσι μιλούμε για βαρειές οπές και ελαφρές οπές . Τα ηλεκτρόνια στην ΖΑ βρίσκονται σε ενέργειες πολύ κοντινές στο κάτω όριο της ζώνης. Για το πυρίτιο, οι επιφάνειες ίσης ενέργειας στον τρισδιάστατο χώρο των κυματανυσμάτων είναι έξι ισοδύναμα ελλειψοειδή από περιστροφή των οποίων τα κέντρα και οι άξονες βρίσκονται στις διευθύνσεις ΓΧ του σχήματος 6.2 Χρειαζόμαστε δύο ενεργές μάζες : μία κατά μήκος του άξονα συμμετρίας των ελλειψοειδών, που συμβολίζεται με ml και δύο, ίσες μεταξύ τους, σε δύο διευθύνσεις, ορθογώνιες μεταξύ τους, εγκάρσιες στον άξονα συμμετρίας. Η ενεργός μάζα στις εγκάρσιες διευθύνσεις συμβολίζεται με mt Για το GaAs τα πράγματα είναι πιό απλά, οι επιφάνειες ίσης ενέργειας στον χώρο των κυματανυσμάτων είναι σφαίρες με κέντρο το κέντρο της ΖΒ. Μία μόνο βαθμωτή ενεργός μάζα για ηλεκτρόνια είναι αρκετή. διέγερση ή αποδιέγερση, με αξιόλογη αλλαγή στο k, χωρίς να παραβιάζεται η διατήρηση της ορμής. Τέτοιες μεταβάσεις είναι δυνατές μόνο με συμμετοχή, απορρόφηση ή εκπομπή, φωνονίου. Σημαντικότερη για τις εφαρμογές είναι η αποδιέγερση ή επανασύνδεση που γίνεται πάντα με ηλεκτρόνια και οπές που βρίσκονται σε ενέργειες κοντά στα όρια της αντίστοιχης ζώνης. Η πιθανότητα μία επανασύνδεση να γίνει με εκπομπή φωτονίου5 με ενέργεια ίση με το εύρος του χάσματος του ημιαγωγού, είναι πολύ μεγαλύτερη για άμεσο χάσμα.

6.1.1 Αμεσο ή έμμεσο χάσμα Στο Si και Ge, οι καταστάσεις με την μικρότερη ενέργεια στην ΖΑ και αυτές με την μεγαλύτερη ενέργεια στην ΖΣ δέν έχουν το ίδιο k. Για να περιγράψουμε την

4 Αυτό δέν είναι κανόνας. Yπάρχουν σύνθετοι ημιαγωγοί IV-VI όπως ο θειούχος μόλυβδος: PbS. 5 Η εκπομπή φωτονίου στην επανασύνδεση είναι απαραίτητη σε εφαρμογές όπως οι δίοδοι ηλεκτροφωταύγειας (Light Emmiting Diodes, LEDs) και οι δίοδοι laser.

56


Σχήμα 6.3 Προσέγγιση της πυκνότητας καταστάσεων στην περιοχή του ενεργειακού χάσματος των ημιαγωγών με την ίδια συνάρτηση (σταθερά ⋅ Ε1/2) που περιγράφει την πυκνότητα καταστάσεων ελευθέρων ηλεκτρονίων. Η μάζα που υπάρχει στην σταθερά αντικαθίσταται από την ενεργό μάζα του αντίστοιχου φορέα. Η προσέγγιση αυτή είναι καλή κοντά στα όρια ζώνης : στο Ec στην ΖΑ και στο Ev στην ΖΣ. Οι διακεκομένες γραμμές δείχνουν μία πιθανή μορφή της πραγματικής πυκνότητας καταστάσεων στις ζώνες

περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε τον όρο έμμεσο χάσμα. Αυτό δέν συμβαίνει στο GaAs το οποίο έχει άμεσο χάσμα. Η ύπαρξη άμεσου χάσματος είναι σημαντική στις οπτοηλεκτρονικές εφαρμογές. Σε ημιαγωγούς με άμεσο χάσμα είναι δυνατή η διέγερση ηλεκτρονίων από την ΖΣ στην ΖΑ, η δημιουργία ζεύγους φορέων δηλαδή με φωτόνια που έχουν ενέργεια ίση ή μεγαλύτερη απο Eg . Αυτό δέν είναι δυνατό να γίνει σε ημιαγωγούς εμμέσου χάσματος γιατί η ορμή του φωτονίου είναι πάρα πολύ μικρότερη απ' αυτή του ηλεκτρονίου και δέν είναι δυνατό να γίνει μία

6.1.2 Πυκνότητα καταστάσεων στις ζώνες Οπως αναφέραμε στα προηγούμενα, οι δύο βασικές πληροφορίες που χρειαζόμαστε για να μελετήσουμε τις ηλεκτρικές ιδιότητες των ημιαγωγών είναι η δομή ζωνών και η πυκνότητα καταστάσεων g(E). Παρά το γεγονός ότι διάφορες πειραματικές τεχνικές δίνουν πληροφορία για την g(E), μπορούμε να μελετήσουμε με πολύ ικανοποιητικό τρόπο την συμπεριφορά των φορέων στους ημιαγωγούς κάνοντας την απλή παραδοχή ότι: Η πυκνότητα καταστάσεων g(E) δίνεται για την ζώνη αγωγιμότητας από την σχέση gc(E) = gFE,m*(E-Ec) όπου η συνάρτηση gFE,m*(Ε) (4.10) είναι η συνάρτηση που μας δίνει την πυκνότητα καταστάσεων ελευθέρων ηλεκτρονίων με την εξής μόνο αλλαγή: στην θέση της μάζας στην πολλαπλασιαστική σταθερά, χρησιμοποιείται η ενεργός μάζα των ηλεκτρονίων για την ΖΑ και των οπών για την ΖΣ. Το ρόλο της κινητικής ενέργειας βάσει της οποίας υπολογίστηκε η πυκνότητα καταστάσεων των

57


ελευθέρων ηλεκτρονίων παίζει εδώ η ενεργειακή διαφορά από το αντίστοιχο όριο ζώνης. Είναι σαν να κάνουμε την παραδοχή ότι όταν ένα ηλεκτρόνιο φτάσει στην χαμηλότερη ενέργεια της ΖΑ έχει μόνο δυναμική ενέργεια. Αν η ενέργειά του είναι μεγαλύτερη από Ec , τότε η διαφορά E - Ec αντιπροσωπεύει κινητική ενέργεια και μπορούμε να το θεωρήσουμε "ελεύθερο" με μόνη διαφορά από το πραγματικά ελεύθερο ηλεκτρόνιο στο κενό, την ενεργό του μάζα. Χρειαζόμαστε, για τον σκοπό αυτό, μία "μέση" ενεργό μάζα για κάθε ζώνη. Η μέση ενεργός μάζα της ΖΑ για το πυρίτιο προκύπτει από τον τύπο :

31*

t*t

*l

*c )mmm(m = (6.12)

Σχήμα 6.4 Ημιαγωγός τύπου n. Οταν οι δότες ιονίζονται χάνουν ένα ηλεκτρόνιο το οποίο διεγείρεται σε κάποια κατάσταση της ΖΑ. Οι μή ιονισμένοι δότες είναι ουδέτεροι. Οι ιονισμένοι είναι θετικά φορτισμένοι. Οι στάθμες προσμίξεων σχεδιάζονται στα ενεργειακά διαγράμματα με παύλες , όλες σε ενέργεια Ed , και όχι με συνεχόμενη γραμμή , για να υπενθυμίζεται ο εντοπισμένος χαρακτήρας των κυματοσυναρτήσεων των καταστάσεων αυτών. Ηλεκτρόνια δέν μπορούν να κινηθούν από ένα άτομο πρόσμιξης σε άλλο χωρίς να διεγερθούν στην ΖΑ

και χρησιμοποιείται στην θέση της μάζας ηρεμίας του ηλεκτρονίου, για να προσεγγίσουμε την πραγματική πυκνότητα καταστάσεων της ΖΑ με την συνάρτηση πυκνότητας καταστάσεων ελευθέρων ηλεκτρονίων. Αντίστοιχες παραδοχές κάνουμε για τις οπές6. Η μέση ενεργός μάζα της ΖΣ υπολογίζεται από τον τύπο :

[ ] 3/22/3*hh

2/3*lh

*v mmm += (6.13)

Οπου m*

lh και m*hh είναι η ενεργός μάζα

των ελαφρών και των βαρέων οπών αντίστοιχα. Η ακριβής μορφή της πυκνότητας καταστάσεων μπορεί να υπολογιστεί αριθμητικά και να καθοριστεί πειραματικά. Οι διακεκομένες γραμμές στο σχήμα 6.3 δίνουν σχηματικά την μορφή που μπορεί να έχει η πραγματική πυκνότητα καταστάσεων.

6.2 Καταστάσεις μέσα στο χάσμα

Η πλήρης απουσία καταστάσεσων από το χάσμα ενός ημιαγωγού αντιστοιχεί σε τέλειο κρύσταλλο. Στην πραγματικότητα, οι οποιεσδήποτε ατέλειες, δομικές και χημικές: τα ξένα άτομα δηλαδή είναι πιθανό να εισάγουν ηλεκτρονικές καταστάσεις με ενέργειες μέσα στο χάσμα του τέλειου κρυστάλλου. Συχνά οι καταστάσεις αυτές είναι ανεπιθύμητες για λόγους που θά γίνουν κατανοητοί με την μελέτη των μηχανισμών παγίδευσης και επανασύνδεσης φορέων στους ημιαγωγούς. Τότε γίνεται προσπάθεια να ελαττωθεί η συγκέντρωσή τους στο ελάχιστο δυνατό. 6 Υπενθυμίζουμε ότι η ενέργεια για τις οπές είναι τόσο μεγαλύτερη όσο μακρύτερα από την ενέργεια

Ev βρισκόμαστε στην ΖΣ. Η διαφορά Ev - E αντιστοιχεί στην κινητική ενέργεια των "ελευθέρων" οπών .

58


Αν οι καταστάσεις που αντιστοιχούν σε κάποια ξένα άτομα έχουν ενέργειες κοντά στα όρια του χάσματος Ec Ev , τότε θα δούμε ότι μπορούμε, με την ελεγχόμενη

προσθήκη κάποιου από αυτά τα στοιχεία, να έχουμε κρυστάλλους με μεγάλες συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων στην ΖΑ και αμελητέα μικρές συγκεντρώσεις οπών στην ΖΣ στην θερμοκρασία περιβάλλοντος. Οι κρύσταλλοι αυτοί, ή περιοχές κρυστάλλου, ονομάζονται τύπου n . Αντίστοιχα με την προσθήκη άλλου στοιχείου μπορούμε να έχουμε κρυστάλλους τύπου p, με συγκεντρώσεις οπών μεγαλύτερες κατά πολλές τάξεις μεγέθους απ' αυτές των ηλεκτρονίων.

6.2.1 Δότες και αποδέκτες Στο πλέγμα κάθε πραγματικού στερεού σώματος υπάρχουν, σε μεγαλύτερη ή μικρότερη συγκέντρωση, ξένα άτομα. Οταν τα άτομα αυτά είναι

μεμονωμένα έχουμε το λεγόμενο στερεό διάλυμα, που είναι μία ομογενής φάση. Τα ξένα άτομα αυτά βρίσκονται είτε σε θέσεις του πλέγματος αντικαθιστώντας ένα άτομο του βασικού στοιχείου του κρυστάλλου είτε έχουν παρεισφύσει ανάμεσα στα άτομα του κρυστάλλου σε μία περιοχή με ελαφρά παραμόρφωση. Στην πρώτη περίπτωση μιλάμε για πρόσμιξη υποκατάστασης και στην δεύτερη για πρόσμιξη ενδοπλεγματική.

Σχήμα 6.5 Ημιαγωγός τύπου p. Τα άτομα αποδεκτών σε ενέργεια Ea είναι ουδέτερα στην θεμελιώδη κατάσταση. Φορτίζονται αρνητικά όταν κάποιο από τα ηλεκτρόνια της ΖΣ διεγερθεί και καταλάβει την διαθέσιμη κατάσταση του δότη αφήνοντας μία ευκίνητη οπή στην ΖΣ. Μπορούμε να σκεφτούμε ισοδύναμα την διέγερση αυτή σαν την διέγερση οπής από το άτομο αποδέκτη πρός την ΖΣ. Υπενθυμίζουμε ότι το ενεργειακό διάγραμμα για τις οπές είναι ανάποδο από αυτό του σχήματος άρα πρέπει να δαπανήσουμε ενέργεια για να διεγείρουμε οπή από εντοπισμένη κατάσταση αποδέκτη σε ενέργεια Ea πρός κάποια κατάσταση της ΖΣ

Ας εξετάσουμε, ποιοτικά και λίγο απλοϊκά, τί συμβαίνει άν ένα άτομο από την στήλη VI του περιοδικού πίνακα, π.χ ένα άτομο Φωσφόρου, P, υποκαθιστά ένα άτομο Si σε κρύσταλλο πυριτίου. Ο P δημιουργεί με τα γειτονικά άτομα Si τέσσερεις δεσμούς. Επειδή όμως είναι πεντασθενής, απομένει ένα ηλεκτρόνιο σθένους αδέσμευτο. Με πολύ μικρή προσφορά ενέργειας το ηλεκτρόνιο αυτό "ιονίζεται" : εγκαταλείπει δηλαδή το άτομο φωσφόρου και διεγείρεται σε μία από τις απεντοπισμένες

59


καταστάσεις της ΖΑ αφήνοντας πίσω ένα θετικό "ιόν"7. Πρόκειται για έναν περίεργο ιονισμό, γεγονός που υπογραμίζεται με τα εισαγωγικά. Ο ιονισμός αυτός συμβαίνει στο εσωτερικό ενός κρυστάλλου. Οι τελική κατάσταση δέν είναι στο συνεχές της κβαντικής μηχανικής, σε θετική ενέργεια όπως συμβαίνει στα άτομα σε αέρια φάση. Η τελική κατάσταση είναι όμως και εδώ, όπως και στα άτομα, εκτεταμένη, απεντοπισμένη. Ανήκει σε μία ζώνη με πολύ μεγάλη πυκνότητα καταστάσεων συγκρίσιμη με τον κενό χώρο. Το ηλεκτρόνιο που ιονίστηκε είναι ευκίνητο, πιό ευκίνητο από το ηλεκτρόνιο που αφήνει ένα άτομο και βρίσκεται στο κενό θα λέγαμε, εφ' όσον η ενεργός του μάζα είναι συχνά μικρότερη από την μάζα ηρεμίας του ηλεκτρονίου. Οι ενέργειες ιονισμού θα είναι πολύ μικρότερες από την τάξη μεγέθους ενεργειών ιονισμού στο κενό ή σε αέρια φάση. Η ενέργεια ιονισμού του P σε μήτρα Si είναι πράγματι μόνο 0.045 eV. Το άτομο φωσφόρου είναι λοιπόν δότης (ηλεκτρονίου) στο πυρίτιο. Εφ' όσον η προσφορά αυτής της μικρής ενέργειας σ' ένα ηλεκτρόνιο του P, το διεγείρει στην ΖΑ του Si, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η προσθήκη προσμίξεων εισάγει νέες ηλεκτρονικές καταστάσεις μέσα στο ενεργειακό χάσμα του ημιαγωγού σε ενέργεια Ed , πολύ κοντά στο κάτω όριο Ec της ΖΑ. Η διαφορά Ec - Ed είναι η ενέργεια ιονισμού του δότη, η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε στο ηλεκτρόνιο αυτό για να διεγερθεί στην ΖΑ του ημιαγωγού. Αν αντίθετα έχουμε στην θέση ατόμου Si ένα τρισθενές άτομο, βορίου (B) π.χ., τότε ο ακόρεστος δεσμός ενός από τα γειτονικά πρός το B άτομα Si μπορεί να συμπληρωθεί με το να "δανειστεί" το Β ένα από τα ηλεκτρόνια σθένους. Μπορούμε τότε να μιλάμε για διέγερση οπής, η οποία αφήνει πίσω ένα αρνητικά φορτισμένο "ιόν" Β. Πάλι η ενέργεια που χρειάζεται είναι μικρή. Το άτομο Β είναι ένας αποδέκτης (ηλεκτρονίου). Οι καταστάσεις που εισάγει στο χάσμα η προσθήκη αποδεκτών, βρίσκονται σε ενέργεια Ea πολύ κοντά στο πάνω όριο Ev της ΖΣ. Η διαφορά Ea - Ev είναι η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε σ' ένα ηλεκτρόνιο της ΖΣ του ημιαγωγού για να εντοπιστεί στο άτομο αποδέκτη φορτίζοντάς τον αρνητικά, είναι η ενέργεια ιονισμού. Πρέπει να ομολογήσουμε ότι ο ιονισμός αυτός είναι ακόμα πιό ανορθόδοξος από τον ιονισμό δότη. Το ηλεκτρόνιο αφήνει τώρα εκτεταμένες καταστάσεις της ΖΣ για να εντοπιστεί σε ένα άτομο, σε ένα δεσμό στο πλέγμα. Τα πράγματα παίρνουν μια πιό συμβαστική όψη άν αναποδογυρίσουμε το ενεργειακό διάγραμμα και σκεφτούμε με οπές. Ας θεωρήσουμε ότι ο μή ιονισμένος αποδέκτης έχει μία εντοπισμένη οπή8. Με προσφορά κάποιας μικρής ενέργειας η οπή αυτή διεγείρεται στις εκτεταμένες καταστάσεις της ΖΣ και αποκτά ελευθερία και ευκινησία. Ο ιονισμός του αποδέκτη είναι λοιπόν η απελευθέρωση μιάς οπής που είναι λογικό, σαν θετικό σωμάτιο που είναι, να αφήνει πίσω ένα αρνητικό ιόν. 7 Το γεγονός ότι ο ιονισμός αυτός συμβαίνει στο εσωτερικό ενός κρυστάλλου, πράγμα που υπενθυμίζεται με τα εισαγωγικά, σημαίνει ότι οι ενέργειες ιονισμού θα είναι πολύ μικρότερες από την τάξη μεγέθους ενεργειών ιονισμού στο κενό ή σε αέρια φάση.

8 Δεν έχουμε ορίσει τίποτα τέτοιο ούτε θα χρειαστεί : Με δεδομένο τον εντοπισμό της η οπή αυτή δέν χρειάζεται δυναμικές ιδιότητες. Το ότι είναι μία κατάσταση που μπορεί να δεχθεί ηλεκτρόνιο αλλά δέν είναι κατειλημμένη θα μας αρκέσει.

60

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΕΙΣ ΦΟΡΕΩΝ ΣΤΟΥΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ Ι. ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ.

Ατομικές συγκεντρώσεις προσμίξεων της τάξεως του 10-6 , δηλαδή ένα άτομο δότη ή αποδέκτη για ένα εκατομύριο άτομα Si, είναι αρκετές για να αλλάξουν σημαντικά τις ηλεκτρικές ιδιότητες του ημιαγωγού. Η μέση απόσταση μεταξύ ατόμων πρόσμιξης είναι τότε της τάξης των 100 σταθερών πλέγματος. Ακόμα και σε μεγαλύτερες συγκεντρώσεις, η απόσταση μεταξύ ατόμων πρόσμιξης στο πλέγμα είναι τόσο μεγάλη ώστε να μήν υπάρχει δυνατότητα ανταλλαγής ηλεκτρονίων μεταξύ τους χωρίς προηγούμενη διέγερση σε ζώνη. Η σχετική αυτή απομόνωση των ατόμων πρόσμιξης μεταξύ τους, έχει σαν συνέπεια τον καλό καθορισμό της ενέργειας Ed ή της Ea . Η προσθήκη Nd δοτών ή Na αποδεκτών εισάγει μία ενεργειακή κατάστηση Ed με εκφυλισμό Nd ή μία ενεργειακή κατάσταση Ea με εκφυλισμό Na μέσα στο χάσμα. Αν θέλουμε οπωσδήποτε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση πυκνότητας καταστάσεων g(E), που εχει τιμή μηδέν μέσα στο χάσμα του ενδογενούς ημιαγωγού, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι καταστάσεις των προσμίξεων περιγράφονται με συναρτήσεις Nd δ(E-Ed) ή Na δ(E-Ea).

6.2.2 Ημιαγωγοί τύπου n και p. Η προσθήκη προσμίξεων στους ημιαγωγούς έχει ένα εξαιρετικά σημαντικό αποτέλεσμα: Οπως θα δούμε διεξοδικά σε επόμενα κεφάλαια, η συντριπτική πλειοψηφία των ατόμων προσμίξεων είναι ιονισμένα στην θερμοκρασία περιβάλλοντος. Η αγωγιμότητα του ημιαγωγού γίνεται σημαντικά μεγαλύτερη. Ανάλογα με τον τύπο πρόσμιξης μπορούμε να έχουμε ημιαγωγό τύπου n με αγωγιμότητα που οφείλεται σχεδόν αποκλειστικά σε ηλεκτρόνια ή ημιαγωγό τύπου p με αγωγιμότητα οπών. Χωρίς προσμίξεις οι ημιαγωγοί θα ήταν ένα αξιοπερίεργο φαινόμενο της φυσικής στερεάς κατάστασης και τίποτα περισσότερο. Χωρίς προσμίξεις είναι σίγουρο ότι θα χρησιμοποιούσαμε ακόμα λυχνίες στα ηλεκτρονικά κυκλώματα που δέν θα διέφεραν ποιοτικά απ' αυτά της εποχής του β' παγκόσμιου πόλεμου. Κοιτάζοντας πίσω μέσα από λίγα χρόνια στην εποχή της επανάστασης της πληροφορικής είναι αδύνατο να μήν περάσει από το μυαλό μας η σκέψη ότι οι ιδιότητες των ημιαγωγών και ιδιαίτερα του πυριτίου είναι πολύ ωραίες για να είναι αληθινές, και όμως είναι !

7. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΕΙΣ ΦΟΡΕΩΝ ΣΤΟΥΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ Ι. ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ.

Η θερμοδυναμική ή στατιστική μηχανική του πληθυσμού ηλεκτρονίων στις διάφορες καταστάσεις των ημιαγωγών.

7.1 Η κατανομή Fermi-Dirac Η κατανομή των ηλεκτρονίων στις διαθέσιμες καταστάσεις υπακούει, στην θερμοδυναμική ισορροπία την στατιστική Fermi-Dirac.

61


f E

eE E

kTf

( ) =

+−

1

1

(7.1)

Οπου k είναι η σταθερά του Boltzmann και Ef η στάθμη Fermi. Η στάθμη Fermi και η ενέργεια Fermi δεν είναι το ίδιο πράγμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ενέργεια Fermi, EF , ορίστηκε με τον ακόλουθο τρόπο: Η EF είναι η ενέργεια της ανώτερης κατειλημμένης στάθμης σ' ένα σύστημα με ηλεκτρονικές καταστάσεις πλήρως κατειλημμένες μέχρι την ενέργεια Fermi. Η συνάρτηση f(E) μας δίνει την πιθανότητα να είναι κατειλημμένη από ηλεκτρόνιο μία ηλεκτρονική κατάσταση σε ενέργεια Ε. Στο όριο χαμηλής θερμοκρασίας η

συνάρτηση Fermi-Dirac έχει τιμή 1 για E < Ef και 0 για E > Ef .Στο όριο αυτό η στάθμη Fermi ταυτίζεται με την ενέργεια Fermi. Οπως φαίνεται στο σχήμα 7.1 στην θερμοκρασία περιβάλλοντος η μετάβαση από κατειλημμένες σε άδειες καταστάσεις είναι αρκετά απότομη. Ο παρονομαστής kT είναι μικρός σε σχέση με το χάσμα των ημιαγωγών.

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

500K 300K 100K

f(E)

E-Ef (eV)

Σχήμα 7.1 Η συνάρτηση Fermi-Dirac , f(E), δίνει την πιθανότητα να είναι κατειλημμένη από ηλεκτρόνιο μία κατάσταση σε ενέργεια Ε. Η f(E) έχει τιμές που διαφέρουν αξιόλογα από το 0 ή το 1 μόνο σε μία περιοχή μερικών kT γύρω από την στάθμη Fermi.

62


7.2 Συγκεντρώσεις ισορροπίας Αν είναι γνωστή η στάθμη Fermi μπορούμε να υπολογίσουμε σε κάθε θερμοκρασία τις συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών.

n g E E

p g f E

cE

v

Ec

v

=

= −

∞

−∞

∫

∫

( )f( )dE

( ( ))d1 E

(7.2)

Τα όρια ολοκλήρωσης είναι για την ακρίβεια τα όρια της αντίστοιχης ζώνης επειδή όμως η συνάρτηση f(E) πέφτει εκθετικά όσο προχωρούμε μέσα στην ζώνη, έχουμε αξιόλογες συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων μόνο κοντά στο κάτω όριο Ec της ΖΑ και οπών κοντά στο πάνω όριο, Ev , της ΖΣ. Ετσι μπορούμε, αφ' ενός να αντικαταστήσουμε το πάνω όριο της ΖΑ και το κάτω της ΖΣ με το ∞ και - ∞ αντίστοιχα και αφ' ετέρου, να χρησιμοποιήσουμε τους προσεγγιστικούς τύπους για την πυκνότητα καταστάσεων στην κάθε ζώνη με αντικατάσταση μόνο της μάζας από την ενεργό μάζα, στους τύπους της πυκνότητας καταστάσεων ελευθέρων ηλεκτρονίων. Οπως αναφέραμε προηγούμενα οι συνάρτηση αυτή προσεγγίζει ικανοποιητικά την πραγματική πυκνότητα καταστάσεων μόνο κοντά στα όρια ζώνης.

63


0,00 0,05 0,10 0,15 0,200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Fermi-Dirac Boltzmann

f(E)

E-Ef (eV)

0,00 0,05 0,10 0,15 0,200,001

0,01

0,1

1

Fermi-Dirac Boltzmann

f(E)

E-Ef (eV)

Σχήμα 7.2 Η προσέγγιση Boltzmann για ηλεκτρόνια σε σχέση με την ακριβή συνάρτηση Fermi στους 300Κ, σε γραμμικό και λογαριθμικό διάγραμμα για καλύτερη σύγκριση των δύο σε μικρές τιμές. Οι δύο συναρτήσεις πρακτικά ταυτίζονται οταν E-Ef > 0.050 eV δηλαδή περίπου 2kT.

7.2.1 Η προσέγγιση Boltzmann Οταν η ενέργεια που μας ενδιαφέρει απέχει από την στάθμη Fermi περισσότερο από μερικά kT τότε ο εκθέτης στον πρώτο όρο του παρονομαστή της (7.1) είναι αρκετά μεγαλύτετρος από την μονάδα. Είναι τότε προφανές ότι μπορούμε να αγνοήσουμε την μονάδα στον παρονομαστή και η f(E) γράφεται:

f E

e

e fE EkT

E EkT B n

f

f

( ) ( ),=

+

≈ ≡−

−−

1

1

E (7.3)

οπου fB,n είναι η λεγόμενη προσέγγιση Bolztmann στην κατανομή των ηλεκτρονίων. Λέγεται προσέγγιση Boltzmann γιατί δίνεται από τον ίδιο τύπο με την ενεργειακή κατανομή Maxwell-Boltzmann, κλασσικών σωματιδίων. Αν αντίθετα ενδιαφερόμαστε για την πιθανότητα παρουσίας οπής (1-f(E)) σε ενέργειες χαμηλότερες από την στάθμη Fermi κατά αρκετά kT, θα παρατηρήσουμε

64


ότι ο εκθετικός όρος του παρονομαστή είναι πολύ μικρότερος από την μονάδα γιατί ο εκθέτης του είναι αρνητικός και αρκετά μεγαλύτερος από την μονάδα. Μπορούμε τότε να κάνουμε την ακόλουθη προσέγγιση:

1 1

1 1

−

+

=

+

≈ ≡−

−

−

−−

e

e

e

e fE EkT

E EkT

E EkT

E EkT B p

f

f

f

f

, ( )E (7.4)

Αυτή είναι η προσέγγιση Boltzmann για τις οπές. Παρατηρούμε ότι η προσέγγιση Boltzmann μπορεί να γραφεί και για τους δύο φορείς με την μορφή:

f eB

EkT=

−Δ

, (7.5) όπου ΔΕ πάντα θετικό : Οταν ενδιαφερόμαστε για ηλεκτρόνια, είμαστε πάνω από την στάθμη Fermi και ΔΕ = E-EF . Οταν ενδιαφερόμαστε για οπές, τότε βρισκόμαστε κάτω από την στάθμη Fermi και ΔΕ = Ef - E .

7.2.2 Ισοδύναμες πυκνότητες καταστάσεων

Οι σχέσεις (7.2) μας δίνουν τις συνολικές συγκεντρώσεις φορέων στις ζώνες ανεξάρτητα της ενέργειας στην οποία βρίσκονται αυτοί. Είναι προφανές ότι η συγκέντρωση ηλεκτρονίων σε κάθε ενέργεια μέσα στην ΖΑ δίνεται από: n E g E Ec( ) ( )f( )= (7.6) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης n(E) φαίνεται στο σχήμα 7.3 για θερμοκρασία περιβάλλοντος και για στάθμη Fermi 0.5 eV χαμηλότερα από την Ec Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση n(E) έχει μία σαφή κορυφή κοντά στην ενέργεια Ec. Το συμπέρασμα αυτό είναι γενικότερο και δέν επηρεάζεται ουσιαστικά από την θέση της Ef εφ' όσον αυτή παραμένει μέσα στο χάσμα1. Επίσης παρατηρούμε ότι το εύρος της κορυφής της n(E) είναι μικρό, μερικά kT μόνο. Με βάση τις παρατηρήσεις αυτές είναι δικαιολογημένο να προχωρήσουμε σε μία απλούστευση που ευκολύνει πολύ τους υπολογισμούς συγκεντρώσεων φορέων στους ημιαγωγούς χωρίς να εισάγει αξιόλογα σφάλματα:

1 Οταν η Ef βρίσκεται στο εσωτερικό ζώνης σ' εναν ημιαγωγό μιλούμε για εκφυλισμένο ημιαγωγό. Η περίπτωση αυτή είναι σπάνια και δέν χρειάζεται να μας απασχολήσει εδώ.

65


Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι όλες οι καταστάσεις της ΖΑ έχουν ενέργεια Ec και αυτές της ΖΣ ενέργεια Ev . Οι συγκεντρώσεις φορέων υπολογίζονται τότε, ,αν είναι γνωστή η θέση της στάθμης Fermi με την βοήθεια ισοδύναμων πυκνοτήτων καταστάσεων Nc , Nv για την ΖΑ και την ΖΣ αντίστοιχα και της στατιστικής Fermi ή της προσέγγισης Boltzmann. Οι ισοδύναμες πυκνότητες καταστάσεων, με διαστάσεις αντίστροφου όγκου δέν έχουν την έννοια της πυκνότητας καταστάσεων σε σχέση με την ενέργεια που έχει η g(E). Ειναι στην πραγματικότητα συγκεντρώσεις, δηλαδή πλήθος ανά μονάδα όγκου, διαθέσιμων καταστάσεων, όλες σε ενέργεια Ec ή Ev . Παρόλα αυτά έχει επικρατήσει ο όρος "ισοδύναμες πυκνότητες καταστάσεων", τον οποίο και υοθετούμε. Οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών σαν συνάρτηση των ισοδύναμων πυκνοτήτων καταστάσεων στην αντίστοιχη ζώνη δίνονται από τις σχέσεις:

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0

Ef

gc(E) n(E)=gc(E)f(E)

E-Ec

g c(E

) , g

c(E

)f(E

)

Σχήμα7.3 Η ενεργειακή κατανομή των κατειλημμένων καταστάσεων της ΖΑ, των ηλεκτρονίων-φορέων δηλαδή. Για την πυκνότητα καταστάσεων στην ΖΑ θεωρούμε ότι gc ∝ (E-Ec)1/2. Η θέση της στάθμης Fermi φαίνεται με βέλος στο σχήμα (Ec - Ef ) = 0.5 eV. T= 300K. Παρατηρούμε ότι μόνο καταστάσεις με ενέργεια κοντά στο όριο ζώνης έχουν αξιόλογο ποσοστό κατάληψης. Το μέγιστο της συνάρτησης n(E) εμφανίζεται σε ενέργεια Ec + ½kT . Ολα τα ηλεκτρόνια δηλαδή είναι συγκεντρωμένα, στην ισορροπία, κοντά στο κάτω όριο της ΖΑ.

66


kTEE

vvv

kTEE

cc

vf

fc

eN)E(f1(Np

eN)E(fNn−

−

−−

≈−=

≈= (7.7)

Οι πυκνότητες καταστάσεων μπορούν να υπολογιστούν με βάση την πυκνότητα καταστάσεων 4.19 με την κατάλληλη ενεργό μάζα2 και την προσέγγιση Boltzmann. Το ζητούμενο είναι η ανεξαρτησία των Nc , Nv από την θέση της στάθμης Fermi μέσα στο χάσμα. Αρα η ακρίβεια της προσέγγισης των ισοδύναμων πυκνοτήτων καταστάσεων δέν κινδυνεύει από την χρήση της Boltzmann. Αν η Fermi βρεθεί πολύ κοντά ή μέσα σε ζώνη ούτε η μία ούτε η άλλη προσέγγιση είναι ικανοποιητικές. Ας υπολογίσουμε για παράδειγμα την Nc :

n g E e dE m m E E e dE

m m e E E e dE

m m kT e e d

n m m kT e

cE

E EkT c c

cE

E EkT

c cE E

kT cE

E EkT

c cE E

kT

c cE E

kT

c

f

c

f

c f

c

f

c f

c f

= = −

= − =

= =

=

∞ −=

− ∞ −−

−− ∞ −

−

−− ∞

−

−−

∫ ∫

∫

∫

( ) ( )

( )

( )

( )

* */

* */

* */ /

* */

h h

h h

h h

h h

2 2 21 2

2 2 21 2

2 2 23 2 1 2

0

2 2 23 2

2

2

2

2 12

π

π

πε ε

ππ

ε

άρα στο πλαίσιο του προηγούμενου υπολογισμού η ισοδύναμη πυκνότητα καταστάσεων της ΖΑ δίνεται από την σχέση :

N m m kTcc c=* *

/( )2

22 2 2

3 2h hπ

π (7.8)

εντελώς αντίστοιχα υπολογίζουμε για την ΖΣ.

N m m kTvv v=* *

/( )2

22 2 2

3 2h hπ

π (7.9)

2 Η κατάλληλη ενεργός μάζα που συμβολίζουμε με mc

* υπολογίζεται με βάση τις ενεργούς μάζες την ημικλασσικής δυναμικής σε τρείς κύριες διευθύνσεις.

67


Οι ισοδύναμες πυκνότητες καταστάσεων εξαρτώνται από την θερμοκρασία. Η εξάρτηση όμως αυτή είναι αρκετά ασθενής (Τ3/2) ώστε για την τυπική περιοχή θερμοκρασιών στην οποία λειτουργούν οι ημιαγωγικές διατάξεις (250-350Κ) να τις θεωρούμε σταθερές. Στην πράξη οι Nc , Nv προσδιορίζονται πειραματικά με βάση τις σχέσεις (7.7)

7.2.3 Ενδογενής συγκέντρωση φορέων Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις σχέσεις (7.7) βρίσκουμε ότι:

np N N e N N ec v

E EkT c v

EkT

c v g

= =−

−−

Το αποτέλεσμα αυτό είναι σημαντικό διότι δείχνει ότι, στην θερμοδυναμική ισορροπία, το γινόμενο των συγκεντρώσεων φορέων είναι ανεξάρτητο από την θέση της στάθμης Fermi. Σε ενδογενή ημιαγωγό οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων n και οπών p είναι αναγκαστικά ίσες εφ' όσον τα ηλεκτρόνια στην ΖΑ δέν μπορεί παρά να προέρχονται από καταστάσεις της ΖΣ. Αν λοιπόν ονομάσουμε ni την ενδογενή συγκέντρωση φορέων3 έχουμε :

n N N e n N N ei c v

EkT i c v

EkT

g g2 2= =

− −, (7.10)

και

np ni= 2 (7.11) Η σχέση (7.11) ισχύει για κάθε τύπο ημιαγωγού ενδογενή ή με προσμίξεις αυτό που διαφέρει είναι η θέση της Ef μέσα στο χάσμα. Αναφέρεται και σαν νόμος δράσης μαζών για τους φορείς, σε αναλογία με χημικές αντιδράσεις. Η αναλογία αυτή θα γίνει πληρέστερα κατανοητή στο καφάλαιο της επανασύνδεσης. Οταν η στάθμη Fermi είναι κοντά στο μέσο του χάσματος έχουμε ενδογενή ημιαγωγό. Η συνθήκη n = p δέν σημαίνει ότι η Ef είναι ακριβώς στο μέσο του χάσματος γιατί οι ισοδύναμες πυκνότητες καταστάσεων δέν είναι ίσες4. Οπως μπορεί κανείς να βεβαιωθεί με μερικά αριθμητικά παραδείγματα στις σχέσεις (7.7), οι συγκεντρώσεις n και p αλλάζουν κατά πολλές τάξεις μεγέθους όταν η Ef μετακινείται μερικά δέκατα του eV. Το γινόμενό τους παραμένει πάντα σταθερό στην ισορροπία πράγμα που σημαίνει ότι σε ημιαγωγούς n και p οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών διαφέρουν συχνά κατά πολλές τάξεις μεγέθους. Εχουμε τότε σαφή υπεροχή της συγκέντρωσης του ενός τύπου φορέων. Οι φορείς πλειονότητας είναι τα ηλεκτρόνια σε ημιαγωγό n και οι οπές σε ημιαγωγό p. Οι φορείς πλειονότητας καθορίζουν την αγωγιμότητα του

3 Δεν χρειαζόμαστε pi εφ' όσον εξ' ορισμού είναι ίσο με το ni. 4 Αυτό δέν σημαίνει ότι είναι και πολύ διαφορετικές μεταξύ τους. Συνήθως διαφέρουν λιγότερο από μία τάξη μεγέθους.

68


Σχήμα 7.4 Σχηματική παράσταση ημιαγωγού τύπου n, στο πλαίσιο του μοντέλου ισοδύναμων πυκνοτήτων καταστάσεων Τα ηλεκτρόνια που βρίσκονται στην ΖΑ προέρχονται από καταστάσεις δοτών. Η συγκέντρωση οπών είναι αμελητέα. Τα ποσοστά κατάληψης από ηλεκτρόνια στις στάθμες Ec και Ed καθορίζονται από την θέση της Ef . Για λόγους ευκρίνειας τα ποσοστά αυτά εμφανίζονται στο σχήμα πολύ μεγαλύτερα απ’ ότι είναι στην πραγματικότητα. Συνήθως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι όλοι οι δότες είναι ιονισμένοι στην θερμοκρασία περιβάλλοντος

ημιαγωγού στην οποία ελάχιστα συμβάλουν οι φορείς μειονότητας5 χωρίς αυτό να σημαίνει ότι πρέπει να τους αγνοήσουμε πάντα. Ο λόγος είναι απλός αλλά πολύ σημαντικός. Η επανασύνδεση των ηλεκτρονίων και οπών, με άλλα λόγια η αποδιέγερση ενός ηλεκτρονίου από την ΖΑ στην ΖΣ, είναι καθοριστικός παράγοντας για την λειτουργία των ημιαγωγικών διατάξεων. Είναι προφανές ότι η επανασύνδεση είναι ένα φαινόμενο που εξαρτάται καί από τους δύο φορείς.

7.3 Καθορισμός της θέσης της στάθμης Fermi. Η προσθήκη προσμίξεων μετατοπίζει την στάθμη Fermi πρακτικά σε όλο το εύρος του ενεργειακού χάσματος. Αν είναι γνωστή η Ef μπορούμε αμέσως να υπολογίσουμε

5 Είναι προφανής ο ορισμός του όρου σε αντιδιαστολή με τους φορείς πλειονότητας.

69


τις συγκεντρώσεις των φορέων και το ποσοστό κατάληψης κάθε "στάθμης" με γνωστή ενέργεια. Η χρήση των εισαγωγικών στον όρο στάθμη έγινε για να τονίσει την διαφορά αυτού που εννούμε εδώ από την συνειθισμένη χρήση του όρου ενεργειακή στάθμη που σημαίνει μία καλά καθορισμένη ιδιοτιμή ενέργειας. Στο πλαίσιο της προσέγγισης ισοδύναμων πυκνοτήτων, έχουμε να κάνουμε με τις ακόλουθες "στάθμες" με τις αντίστοιχες πυκνότητες, ως προς το όγκο μόνο, δηλαδή πλήθος διαθέσιμων καταστάσεων ανά μονάδα όγκου :

1. Την Ec , με ισοδύναμη πυκνότητα καταστάσεων Nc

2. Την Ed , με πυκνότητα καταστάσεων Nd.

3. Την Ea , με πυκνότητα καταστάσεων Na

4. Την Ev , με ισοδύναμη πυκνότητα καταστάσεων Nv

με την εισαγωγή των συμβόλων nd , na για τους ΜΗ ιονισμένους δότες και αποδέκτες αντίστοιχα, έχουμε : • Θετικά φορτία : Οπές, p, και ιονισμένοι δότες, Nd - nd . • Αρνητικά φορτία : Ηλεκτρόνια, n, και ιονισμένοι αποδέκτες, Na -na . Η συνολική πυκνότητα φορτίου για τυχαία θέση της Ef είναι:

[ ])nN(n)nN(pq ddaae −−−−+=ρ (7.12) Η συνθήκη ουδετερότητας γράφεται:

)nN(n)nN(p adadd −+=−+ (7.13) Οι ποσότητες της συνθήκης ουδετερότητας δίνονται, στο πλαίσιο της προσέγγισης Boltzmann, από τις σχέσεις :

n N e

n N e

p N e

n N e

c

E EkT

d d

E EkT

v

E EkT

a a

E EkT

c f

d f

f v

f a

=

=

=

=

−−

−−

−−

−−

(7.14)

Στην γενική περίπτωση δέν είναι δυνατό να βρούμε αναλυτική σχέση που να δίνει την θέση της στάθμης Fermi σε σχέση με την Ec ή την Ev . Ο αριθμητικός όμως καθορισμός της Ef είναι εύκολος. Μπορούμε για παράδειγμα να αναζητήσουμε

70


γραφικά την θέση της Ef που μηδενιζει την πυκνότητα φορτίου ρ, υπολογίζοντάς την για διάφορες τιμές της Ef που να δίνουν, άλλες θετική και άλλες αρνητική τιμή. Επειδή οι συγκεντρώσεις μεταβάλλονται εκθετικά με την Ef είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε λογαριθμική κλίμακα για την πυκνότητα φορτίου. Για να αποφύγουμε τότε την αλλαγή προσήμου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε π.χ. τον λογάριθμο του λόγου :

)()(

dd

aanNnnNp

Q−+−+

=

σε συνάρτηση της Ec - Ef ή Ef - Ev , Στο διάγραμμα αυτό καθορίζουμε γραφικά το σημείο μηδενισμού του log(Q) το οποίο ικανοποιεί την συνθήκη ουδετερότητας άρα δίνει την στάθμη Fermi ισορροπίας.

Σχήμα 7.5 Σχηματική παράσταση ημιαγωγού τύπου p, στο πλαίσιο του μοντέλου ισοδύναμων πυκνοτήτων καταστάσεων Οι οπές που βρίσκονται στην ΖΑ προέρχονται από καταστάσεις αποδεκτών. Η συγκέτρωση ηλεκτρονίων είναι αμελητέα. Τα ποσοστά κατάληψης από ηλεκτρόνια στις στάθμες Ev και Ea καθορίζονται από την θέση της Ef . Για λόγους ευκρίνειας τα ποσοστά αυτά εμφανίζονται στο σχήμα πολύ μικρότερα( οι οπές πολύ περισσότερες) απ’ ότι είναι στην πραγματικότητα. Η καμπύλη με το βέλος δείχνει την διέγερση ηλεκτρονίων από την ΖΣ σε καταστάσεις αποδεκτών τις οποίες φορτίζει αρνητικά. Μπορούμε ισοδύναμα να θεωρήσουμε ότι έχουμε θερμική διέγερση οπών από καταστάσεις αποδεκτών πρός την ΖΣ

71


7.3.1 Η έννοια της αντιστάθμησης Συμβαίνει πολύ συχνά στις ημιαγωγικές διατάξεις να έχουμε παρουσία και των δύο τύπων προσμίξεων, να έχουμε δηλαδή ταυτόχρονη παρουσία και δοτών και αποδεκτών. Αν η θέση της στάθμης Fermi, παρουσία και των δύο τύπων προσμίξεων, είναι η ίδια με τον ενδογενή ημιαγωγό, έχουμε πλήρη αντιστάθμιση. Αυτό συμβαίνει όταν Nd = Na . Η ισότητα των συγκεντρώσεων προσμίξεων των δύο τύπων στην πλήρη αντιστάθμιση δέν είναι αυστηρά σωστή σε όλες τις περιπτώσεις. Είναι, όμως, μία πολύ ικανοποιητική προσέγγιση όταν οι ενέργειες των σταθμών δοτών και αποδεκτών είναι κοντά (Ec - Ed , Ea - Ev < .1 eV) στην αντίστοιχη ζώνη, πράγμα που συμβαίνει για τις περισσότερες προσμίξεις που ενσωματώνουμε εσκεμμένα στους ημιαγωγούς. Αν έχουμε παρουσία και των δύο τύπων προσμίξεων σε διαφορετικές συγκεντρώσεις τότε η αντιστάθμιση δέν είναι πλήρης. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τότε ενεργό συγκέντρωση προσμίξεων που ορίζεται αυστηρά μεν σαν την συγκέντρωση ενός μόνο τύπου που δίνει την ίδια στάθμη Fermi, στην πράξη όμως δέν διαφέρει ουσιαστικά από : Nd,ενεργός = Nd - Na άν Nd > Na και Na,ενεργός = Na - Nd άν Na > Nd .

7.3.2 Κανόνες για τον προσεγγιστικό καθορισμό της στάθμης Fermi. Μπορούμε να καθορίσουμε την θέση της Ef μέσα στο χάσμα και, κατά συνέπεια τις συγκεντρώσεις φορέων με αρκετή ακρίβεια, στην θερμοκρασία περιβάλλοντος (300Κ) , με βάση τους ακόλουθους εμπειρικούς κανόνες6. • Θεωρούμε τις προσμίξεις πλήρως ιονισμένες. • Χρησιμοποιούμε σαν μοναδική πρόσμιξη στο χάσμα, την ενεργό συγκέντρωση

του τύπου που υπερισχύει. • Θεωρούμε ότι n = Nd,ενεργός σε ημιαγωγό τύπου n ή ότι p = Na,ενεργός σε ημιαγωγό

τύπου p. • Υπολογίζουμε την θέση της Ef με βάση τις σχέσεις (7.7) δηλαδή : για ημιαγωγό n :

)ln()ln( ,

c

d

cfc N

NkT

NnkTEE εν−=−=− (7.15)

και για ημιαγωγό p :

6 Συμβουλεύουμε τον αναγνώστη να εξακριβώσει, με αριθμητικούς υπολογισμούς, την ακρίβεια των προσεγγίσεων αυτών με διάφορες συγκεντρώσεις προσμίξεων.

72


)ln()ln( ,

v

a

vvf N

NkT

NpkTEE εν−=−=− (7.16)

7.4 Προβλήματα εξάσκησης 7.1 Δίνονται, για κάποιο ημιαγωγό p στην θερμοκρασία περιβάλλοντος, τα Nv ,

Na , Ef - Ev στην θερμοδυναμική ισορροπία. Βρείτε τον βαθμό ιονισμού των προσμίξεων.

7.2 Δίνεται η ισοδύναμη πυκνότητα καταστάσεων NC της ΖΑ ημιαγωγού. Δίνεται επίσης ότι η μορφή της πυκνότητας καταστάσεων είναι : g E G E EC( ) = − Βρείτε την σταθερά G στο πλαίσιο της προσέγγισης Boltzmann.

Δίνεται ότι x e dxx⋅ =−∞

∫π

20.

7.3 Ποιά σχέση δίνει την ειδική θερμότητα ηλεκτρονίων, υπο σταθερό όγκο, σε

ενδογενή ημιαγωγό με χάσμα Eg, στο πλαίσιο της παραδοχής ισοδύναμων πυκνοτήτων καταστάσεων Nc = Nv , σε ενέργειες Ec και Ev , αντίστοιχα.

7.4 Βρείτε την σχέση, χωρίς προσέγγιση, που δίνει τον βαθμό ιονισμού, ξ, ατόμων δοτών σε ενέργεια Ed (ξ=1 πλήρως ιονισμένα) σε συνάρτηση της στάθμης Fermi. Με βάση το προηγούμενο αποτέλεσμα δείξτε ότι: κοντά στο απόλύτο μηδέν, η στάθμη Fermi σε ημιαγωγό τύπου n, πρέπει να βρίσκεται μεταξύ της στάθμης δοτών Ed και της ενέργειας Ec . Εφαρμογή: Si με προσμίξεις άτομων P, σε ενέργεια Ed (Ec - Ed = 0.045 eV) έχει συγκέντρωση ηλεκτρονίων n = 1017 cm-3. Βρείτε τον βαθμό ιονισμού και την συγκέντρωση δοτών. Αγνοήστε τις (ελάχιστες) οπές.

7.5 Τί ποσοστό από τις καταστάσεις της ΖΑ ενδογενούς πυριτίου είναι κατειλημμένο από ηλεκτρόνια στην θερμοδυναμική ισορροπία, στην θερμοκρασία περιβάλλοντος. Απαντήστε το πλαίσιο την ισοδύναμης πυκνότητας καταστάσεων. Θεωρήστε ότι NC=NV.

7.6 Βρείτε την μέση απόσταση μεταξύ φορέων, ανεξάρτητα προσήμου, α) στο

ενδογενές πυρίτιο και β) σε πυρίτιο τύπου n με Ec -Ef = 0.25 eV , στην θερμοκρασία περιβάλλοντος. Θεωρήστε σημειακούς φορείς. (Προσοχή οι φορείς δέν είναι ακίνητοι σε συγκεκριμένες θέσεις, αλλά κινούνται συνεχώς σάν ένα ρευστό).

7.7 Η πυκνότητα ηλεκτρονίων σάν συνάρτηση της ενέργειας n(E) ορίζεται σάν την συνάρτηση εκείνη που άν πολλαπλασιαστεί επί δΕ δίνει την πυκνότητα ηλεκτρονίων ( cm-3) μεταξύ Ε και Ε+δΕ. Ισχύει επίσης ότι

73


n n E dEc

=∞

∫ ( ) E

η πυκνότητα καταστάσεων στην ΖΑ δίνεται από την σχέση :

g E G E Ec( ) ( )= −12

c όπου G σταθερά . Βρείτε σε ποιά ενέργεια γίνεται μέγιστη η n(E) για δεδομένη θερμοκρασία. Χρησιμοποιήστε προσέγγιση Boltzmann.

7.8 Περιοχή πυριτίου τύπου n έχει, στην ισορροπία, στην θερμοκρασία περιβάλλοντος, αγωγιμότητα σ = 1.6 (Ohmcm)-1.. Βρείτε το πρόσημο και την πυκνότητα φορτίου (σε στοιχειώδη φορτια ανά cm3) που δημιουργείται άν μετατοπίσουμε τη στάθμη Fermi κατά 200meV προς την ΖΣ.

7.9 Βρείτε την συγκέντρωση ατόμων φωσφόρου (cm-3) που πρέπει να υπάρχει σε πυρίτιο ώστε η στάθμη Fermi ισορροπίας να είναι 0.3 eV χαμηλότερα από την Ec στην θερμοκρασία περιβάλλοντος (300K). Οι στάθμες των ατόμων φωσφόρου στο πυρίτιο είναι 45meV χαμηλότερα από την Ec.Κάντε όποιες παραδοχές θεωρείτε δικαιολογημένες. Ακρίβεια της τάξης του 20% είναι απόλυτα ικανοποιητική.

74

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΦΟΡΕΩΝ. ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΥΣΗ

8. ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΦΟΡΕΩΝ. ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΥΣΗ

Τα αίτια και οι μηχανισμοί κίνησης φορέων στους ημιαγωγούς.

Η μεταφορά φορτίου στους ημιαγωγούς οφείλεται σε εξωτερικά πεδία, ηλεκτρικό και μαγνητικό και σε διαφορές, από θέση σε θέση, του χημικού δυναμικού των φορέων που δέν είναι τίποτα άλλο από την στάθμη Fermi. Στην μελέτη των βασικών ημιαγωγικών διατάξεων δέν είναι απαραίτητο να εξετάσουμε την κίνηση φορέων σε μαγνητικό πεδίο. Θα εστιάσουμε λοιπόν την προσοχή μας στην μελέτη της συλλογικής κίνησης ηλεκτρονίων και οπών σε εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο E, δηλαδή σε βαθμίδα ηλεκτρικού δυναμικού, ένα φαινόμενο που είναι γνωστό με το όνομα ολίσθηση καθώς επίσης και στην διάχυση. Το φαινόμενο αυτό που εμφανίζεται σε πληθώρα περιπτώσεων, σε συστήματα πολύ διαφορετικά μεταξύ τους, δέν είναι τίποτα άλλο από την συλλογική κίνηση και στατιστική μεταφορά που εμφανίζεται σε βαθμίδα χημικού δυναμικού ή, απλούστερα, συγκέντρωσης όταν έχουμε να κάνουμε με ισόθερμες περιοχές,

8.1 Αγωγιμότητα Η κίνηση φορέων φορτίου σ' ένα στερεό κάτω από την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου δημιουργεί στο εσωτερκό του ηλεκτρικό ρεύμα. Η πυκνότητα ρεύματος J, το αποτέλεσμα, σχετίζεται με το πεδίο E , το αίτιο, μέσα από τον νόμο του Ohm.

E⋅= σJ (8.1) Οπου σ είναι η αγωγιμότητα του μέσου. Στην γενική περίπτωση τα ανύσματα J και E δέν είναι κατ' ανάγκη συγγραμικά οπότε η αγωγιμότητα είναι τανυστής. Η περίπτωση αυτή δέν θα μας απασχολήσει στην συνέχεια.

8.1.1 Ο νόμος του Ohm Ο νόμος του Ohm δέν είναι ο ορισμός της αγωγιμότητας ή της ειδικής αντίστασης ή της αντίστασης. Ο νόμος του Ohm δέν είναι η σχέση (8.1), είναι το γεγονός ότι η αγωγιμότητα, σ, στην (8.1) είναι ανεξάρτητη από το πεδίο, είναι το γεγονός ότι δέν υπάρχουν όροι ανώτερης τάξης στην εξάρτηση του αποτελέσματος, του ρεύματος , από το αίτιο, το ηλεκτρικό πεδίο. Είναι ίσως η καταπληκτικότερη περίπτωση γραμμικής απόκρισης στα στερεά. Κάτω από την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου, που μπορεί να μεταβάλλεται κατά πολλές τάξεις μεγέθους, μετρούμε, με όση ακρίβεια


είναι δυνατή, ρεύμα ανάλογο προς την ένταση του πεδίου. Θα εξετάσουμε σύντομα, στην συνέχεια, ένα απλό μοντέλο ερμηνείας του νόμου του Ohm, που προτάθηκε πολύ πρίν είναι γνωστή η δομή ζωνών των στερεών. Οπως θα δούμε, βασικές παραδοχές του μοντέλου αυτού ισχύουν με ποσοτικές μόνο τροποποιήσεις άν χρησιμοποιήσουμε την ημικλασσική μηχανική για την κίνηση των φορέων στα στερεά, που αναφέραμε σε προηγούμενη παράγραφο..

8.1.2 Το μοντέλo του Drude Το απλούστερο μοντέλο για την αγωγιμότητα στα στερεά προτάθηκε στα τέλη του περασμένου αιώνα από τον Drude λίγα μόνο χρόνια μετά την ανακάλυψη του ηλεκτρονίου από τον J.J. Thomson. Ο Drude εμπνεύστηκε από την κινητική θεωρία των αερίων και υπέθεσε ότι η αγωγιμότητα στα στερεά οφείλεται στην συλλογική κίνηση αερίου ελεύθερων ηλεκτρονίων που κινούνται μέσα σ' ένα πλέγμα ιόντων, που αποτελούνται από τους πυρήνες και τα εσωτερικά, δέσμια, ηλεκτρόνια. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια κινούνται συνεχώς, θερμικά, προς τυχαίες κατευθύνσεις Μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο, E, επιταχύνονται αντίθετα στην φορά του E και κερδίζουν κινητική ενέργεια. αλλά συγκρούονται με τα ιόντα, σκεδάζονται προς διάφορες κατευθύνσεις και χάνουν ένα μέρος από την κινητική ενέργεια που απέκτησαν επιταχυνόμενα στο ηλεκτρικό πεδίο. Ας δούμε ποσοτικά τις συνέπειες του μοντέλου Drude σχετικά με τον νόμο του Ohm. Θεωρούμε ότι ο πληθυσμός των ελεύθερων ηλεκτρονίων έχει μια μέση συνιστώσα ταχύτητας v στην διεύθυνση του E Το στατιστικό αποτέλεσμα των κρούσεων των ηλεκτρονίων είναι μία δύναμη "τριβής" ανάλογη με την v1. Κάτω από την επίδραση του E το μέτρο της v αλλάζει χρονικά σύμφωνα μέ την σχέση:

τvmEq

dtdvm e −= (8.2)

Οπου τ , σταθερά που ονομάζεται χρόνος χαλάρωσης για λόγο που εξηγηθεί στην συνέχεια. Πολύ γρήγορα η ταχύτητα v φτάνει στην οριακή της τιμή vd που ονομάζουμε ταχύτητα ολίσθησης2. Είναι προφανές ότι η ταχύτητα ολίσθησης δίνεται από την σχέση:

0=−τd

ev

mEq (8.3)

mEq

v ed

τ= (8.4)

1 Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι η παραδοχή αυτή είναι ισοδύναμη με την παραδοχή ότι ο ρυθμός απώλειας κινητικής ενέργειας είναι ανάλογος της ενέργειας.

2 Οι μέσες συνιστώσες ταχύτητας σε δύο οποιεσδήποτε διευθύνσεις κάθετες προς το E και μεταξύ τους, είναι 0. Αν δέν υπάρχει πεδίο και οι τρείς μέσες συνιστώσες ταχύτητας σε ορθογώνιους άξονες είναι 0.

76


Αν σε κάποια χρονική στιγμή πάψει απότομα να υπάρχει το εξωτερικό πεδίο Ε τότε η μέση ταχύτητα των ηλεκτρονίων στην διεύθυνση του θα μηδενιστεί σύμφωνα με την διαφορική εξίσωση :

τv

dtdv

−= (8.5)

που προκύπτει από την (8.2). H αρχική ταχύτητα είναι η vd. Η λύση της (8.5)είναι :

τt

d evtv−

=)( (8.6) από την οποία είναι προφανές γιατί ονομάσαμε το τ χρόνο χαλάρωσης. Αν είναι γνωστή η μέση ταχύτητα μεταφοράς: η ταχύτητα ολίσθησης vd , καθώς και η πυκνότητα των φορέων, είναι γνωστή και η πυκνότητα ρεύματος φορέων: Jn για τα ηλεκτρόνια και Jp για τις οπές μέσα από τις σχέσεις:

pvJ

nvJ

pdp

ndn

,

,

=

= (8,7)

Οπου vd,n vd,p είναι οι ταχύτητες ολίσθησης των ηλεκτρονίων και των οπών αντίστοιχα. Θα χρησιμοποιήσουμε στην συνέχεια τα εξής σύμβολα για τις πυκνότητες ρεύματος : Jn , Jp , συμβολίζουν τις πυκνότητες ρεύματος φορέων με την έννοια των "σωματιδίων" και διαστάσεις cm-2s-1. Το σύμβολο J χωρίς κανένα δείκτη θα χρησιμοποιείται για την πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος με διαστάσεις Cbcm-2s-1 δηλαδή Acm-2. Είναι προφανές η πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος δίνεται από την σχέση:

)( npe JJqJ −= (8.8)

8.1.3 Ολίσθηση φορέων σε ηλεκτρικό πεδίο. Ευκινησία.

Η σχέση (8.4) εκφράζει την γραμμική απόκριση της ταχύτητας ολίθησης σε συνάρτηση με την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Εφ' όσον, με δεδομένη συγκέντρωση φορέων, η πυκνότητα ρεύματος είναι ανάλογη της ταχύτητας ολίσθησης, η (8.4) δέν είναι τίποτα άλλο από τον νόμο του Ohm. Ανεξάρτητα από τον μικροσκοπικό μηχανισμό μεταφοράς φορτίου, μπορούμε πάντα να ονομάσουμε ευκινησία την σταθερά αναλογίας ανάμεσα στην ένταση του πεδίου και την ταχύτητα

77


ολίσθησης. Θα ορίσουμε τις ευκινησίες των δύο φορέων3 με τρόπο ώστε να είναι και οι δύο θετικές:

Ev

Ev

ppd

nnd

μ

μ

=

−=

,

, (8.9)

Οπου μn είναι η ευκινησία των ηλεκτρονίων και μp η ευκινησία των οπών. Ειναι πολύ εύκολο να βρούμε από την (8.8), την (8,7) και τις (8.9) την πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος και κατα συνέπεια την αγωγιμότητα

)(

)(

npq

EnpqJ

npe

npe

μμσ

μμ

+=

+= (8.10)

8.1.4 Πού είχε λάθος ο Drude Οι ιδέες του Drude πλησίαζαν πολύ στην πραγματικότητα άν και τα πειραματικά αποτελέσματα έδειχναν πολύ μικρότερη σκέδαση από αυτή που περίμενε από τα ιόντα. Την εποχή του Drude δέν υπήρχε ακόμα η κβαντική θεωρία, άν και φαίνονταν τα πρώτα σημάδια αποτυχίας της κλασσικής μηχανικής. Ο Drude δέν μπορούσε να φανταστεί ότι τα τα ηλεκτρόνια είναι κύματα. Πολύ περισσότερο ότι τα ηλεκτρόνια οποιασδήποτε ζώνης στα στερεά δέν σκεδάζονται καθόλου από τα ιόντα, όταν αυτά είναι στις σωστές τους θέσεις στο πλέγμα. Σήμερα ξέρουμε ότι οι κυματοσυναρτήσεις των ελευθέρων ηλεκτρονίων και των οπών εκτείνονται σε μεγάλες περιοχές του κρυστάλλου4 και ότι η σκέδαση των φορέων γίνεται από τις ατέλειες, δομικές ή θερμικές, του κρυστάλλου. Ο βασικός μηχανισμός ανελαστικής σκέδασης ηλεκτρονίων είναι τα φωνόνια. Επίσης ο Drude δέν μπορούσε να φανταστεί την συνεισφορά της ζώνης σθένους, για την ακρίβεια των άδειων ηλεκτρονικών καταστάσεών της, των οπών, στην αγωγιμότητα. Παρ' όλα αυτά μπορούμε να κρατήσουμε την απλή αυτή εικόνα του μοντέλου του Drude άν: • Θεωρήσουμε ότι η σκέδαση των ηλεκτρονίων (ή των οπών) δέν γίνεται στα ιόντα

του πλέγματος, αλλά σε ατέλειες του πλέγματος μόνο, δομικές ή θερμικές, Η μέση ελεύθερη διαδρομή στην πρώτη περίπτωση είναι μόνο μερικά Angstrom ενώ στην δεύτερη περίπτωση μπορεί να φτάσει σε χαμηλές θερμοκρασίες και τέλειους κρυστάλλους, τις μακροσκοπικές διαστάσεις δειγμάτων εργαστηρίου.

• Αντικαταστήσουμε την μάζα με την ενεργό μάζα της ημικλασσικής δυναμικής φορέων.

3 Στο σημείο αυτό προτρέχουμε με την εισαγωγή και δεύτερου φορέα, της οπής, κάτι που δέν είχε στο μυαλό του ο Drude. Ας μας συγχωρέσει αλλά είναι κρίμα να ξαναγυρίζουμε πιό κάτω στον ορισμό της ευκινησίας οπής.

4 Σ΄όλον τον κρύσταλλο άν είναι τέλειος

78


Εχουμε τότε για την ευκινησία:

*n

en

mqτ

μ = (8.11)

Με δεδομένη την αγωγιμότητα και συγκέντρωση ελεύθερων ηλεκτρονίων σ' ένα μέταλλο, ειναι εύκολο να εκτιμήσει κανείς από την (8.11) την τάξη μεγέθους του χρόνου χαλάρωσης τ. Βρίσκουμε εύκολα ότι για συνηθισμένα δείγματα, ο χρόνος χαλάρωσης είναι εξαιρετικά μικρός.

8.2 Διάχυση

8.2.1 Βασική φαινομενολογία. Νόμος του Fick Τα ρεύματα διάχυσης φορέων στους ημιαγωγούς, Jn,διαχ., Jp,διαχ για ηλεκτρόνια και οπές αντίστοιχα, υπολογίζονται από την βαθμίδα συγκέντρωσης φορέων με την βοήθεια ενός απλού εμπειρικού νόμου, του νόμου του Fick

)(., rJ nDnn ∇−=διαχ

(8.12) )(., rJ pD pp ∇−=διαχ

Οι σταθερές Dn , Dp ονομάζονται σταθερές διάχυσης5 των ηλεκτρονίων και των οπών. Τον νόμο του Fick χρησιμοποιούμε σε πρώτη προσέγγιση σε όλα τα φαινόμενα διάχυσης, ανεξάρτητα από την φύση του υποκείμενου της διάχυσης και το μέσο στο οποίο διαχέεται. Χρησιμοποιούμε, για παράδειγμα, τον νόμο του Fick, με την κατάλληλη σταθερά διάχυσης για να υπολογίσουμε την συγκεντρώση των ατόμων προσμίξεων, φωσφόρου, βορίου, κλπ. που διαχέονται σε υψηλή θερμοκρασία σε κρυστάλλους πυριτίου στην τεχνολογία κατασκευής ημιαγωγικών διατάξεων.

8.2.2 Εξίσωση συνέχειας

Στην μελέτη όλων των φαινομένων διάχυσης χρειαζόμαστε μία ακόμα σχέση που εκφράζει την διατήρηση του πλήθους "σωματιδίων", δηλαδή ατόμων, μορίων, φορέων. Συχνά, όπως συμβαίνει με τους φορείς στους ημιαγωγούς τα διαχεόμενα "σωματίδια" ΔΕΝ διατηρούνται. Η εξίσωση συνέχειας εμπλουτίζεται τότε με πηγές και καταβόθρες6 , όρους δηλαδή εμφάνισης και εξαφάνισης. Οταν πρόκειται για

5 Οι σταθερές διάχυσης είναι πάντα θετικές και εξαρτώμενες από την θερμοκρασία.

6 Η εξίσωση συνέχειας παίζει κεντρικό ρόλο και την μελέτη της κίνησης ρευστών. Οταν σ΄'ενα πεδίο ροής ρευστού δεν έχουμε διατήρηση μάζας σημαίνει ότι υπάρχουν "πηγές" που το τροφοδοτούν και "καταβόθρες" που το αδειάζουν.

79


φορείς στην φυσική των ημιαγωγών, χρησιμοποιούμε τους όρους γένεση και επανασύνδεση φορέων. Ας θεωρήσουμε πρός το παρόν ότι δέν υπάρχει γένεση και επανασύνδεση φορέων. Η διατήρηση τους εκφράζεται τότε με την ακόλουθη απλή πρόταση: Η συνολική ροή φορέων πρός τα έξω από μία κλειστή επιφάνεια είναι ίση με τον ρυθμό απώλειας τους από τον όγκο που περικλείεται από την κλειστή επιφάνεια. Η μαθηματική έκφραση της πρότασης αυτής είναι7:

∫−=∫ ⋅VS

ndvt∂∂dSJ (8.13)

Οπου S είναι μία τυχαία κλειστή επιφάνεια και V ο όγκος που περικλείεται απ' αυτήν. H (8.13) είναι η ολοκληρωτική μορφή της εξίσωσης συνέχειας χωρίς πηγές και καταβόθρες. Με την χρήση του θεωρήματος του Gauss για την απόκλιση διανυσματικού πεδίου: ∫ ⋅∇=∫ ⋅

VSdvJdSJ (8.14)

βρίσκουμε την διαφορική μορφή της εξίσωσης συνέχειας:

tn∂∂

−=⋅∇ J (8.15)

Που μπορεί να γραφεί με την βοήθεια του νόμου του Fick :

nDnDtn

nn2∇=∇⋅∇=

∂∂

(8.16)

Η σχέση αυτή είναι γνωστή και σαν 2ος νόμος του Fick. Είναι εύκολο τώρα να προσθέσουμε τον ρυθμό γένεσης φορέων G και τον ρυθμό επανασύνδεσης R, που είναι όροι χρονικής μεταβολής της τοπικής συγκέντρωσης που δέν οφείλονται σε διάχυση. Η (8.16) γράφεται τότε:

nDRGtn

n2∇+−=

∂∂

(8.17)

7 Ας την γράψουμε για ηλεκτρόνια. Εντελώς αντίστοιχα ισχύουν για τις οπές και για άλλα φαινόμενα διάχυσης.

80


Σε τρείς διαστάσεις. Πολύ συχνά στην μελέτη των ημιαγωγικών διατάξεων έχουμε αξιόλογες μεταβολές σε μία μόνο διάσταση. Η εξίσωση συνέχειας με γένεση και επανασύνδεση γίνεται τότε για ηλεκτρόνια και οπές:

2

2

xnDRG

tn

n∂∂

∂∂

+−=

(8.18)

2

2

xpDpRG

tp

∂∂

∂∂

+−=

Οι εξισώσεις (8.18) είναι οι βασικές διαφορικές εξισώσεις που καθορίζουν τις χρονικές και χωρικές μεταβολές των συγκεντρώσεων φορέων και χρησιμοποιούνται συνέχεια στην μελέτη των ημιαγωγικών διατάξεων.

8.3 Η στάθμη Fermi σαν ηλεκτροχημικό δυναμικό . Ας θεωρήσουμε τώρα έναν ημιαγωγό στον οποίο η συγκέντρωση προσμίξεων αλλάζει από θέση σε θέση, έστω κατα μήκος του άξονα x . Είναι προφανές ότι και η στάθμη Fermi στο χάσμα π.χ η διαφορά Ec - Ef αλλάζει με το x. Με δεδομένο ότι ∂ ∂n x/ ≠ 0 θα πρέπει να υπάρχει ρεύμα διάχυσης ηλεκτρονίων, αντίθετα προς την βαθμιδα συγκέντρωσης. Η μετακίνηση αυτή φορτίου έχει σαν αποτέλεσμα την δημιουργία βαθμίδας ηλεκτρικού δυναμικού, δηλαδή ηλεκτρικού πεδίου. Στην ισορροπία θα πρέπει το ρεύμα διάχυσης να αντισταθμιστεί πλήρως από ρεύμα ολίσθησης. Είναι λογικό θα θεωρήσουμε ότι στην ισορροπία το ηλεκτρο-χημικό δυναμικό θα είναι το ίδιο παντού. Ο όρος σημαίνει το συνδυασμένο, για φορτισμένα σωματίδια, ηλεκτρικό δυναμικό και το χημικό δυναμικό, μ , που ορίζεται θερμοδυναμικά για κάθε σύστημα μεταβλητού συνολικού αριθμού σωματίων Ν μέσα από την σχέση.

NN FF −= +1μ Οπου FΝ η ελεύθερη ενέργεια F = U - TS του συστήματος Ν ηλεκτρονίων. Οταν δέν υπάρχει βαθμίδα ηλεκτρικού δυναμικού, η στάθμη Fermi Ef ταυτίζεται με το χημικό δυναμικό. Το σχήμα 8.1 μας βοηθά να δούμε την επέκταση της χρήσης της Ef(x) σαν ηλεκτροχημικό δυναμικό σε περίπτωση που έχουμε και ηλεκτρικό πεδίο. Στα τυπικά ενεργειακά διαγράμματα της περιοχής του χάσματος ημιαγωγών, όπως αυτά του σχήματος 8.1 μία οποιαδήποτε διαφορά δυναμικού, του συμβατικού ηλεκτρικού δυναμικού μεταξύ περιοχών a και b εμφανίζεται με μετατόπιση κατά

81


-qe (Va - Vb)8 όλων των σταθερών εσωτερικών σταθμών αναφοράς με συγκεκριμένη δυναμική ενέργεια όπως είναι τα όρια ζωνών Ec ή Ev . Στο σχήμα 8.1 έχουμε τις εξής περιπτώσεις : 1. Οι περιοχές a και b έχουν την ίδια συγκέντρωση προσμίξεων, άρα και την ίδια

θέση της Ef σε σχέση με τις Ec , Ev . Βρίσκονται επίσης στό ίδιο ηλεκτρικό δυναμικό. Αν δοθεί η δυνατότητα ανταλλαγής ηλεκτρονίων, το συνολικό ρεύμα

διάχυσης και ολίσθησης ηλεκτρονίων μεταξύ a και b θα είναι μηδέν.

Σχήμα8.1 Η διαφορά της στάθμης Fermi μεταξύ δύο σημείων σ' εναν ημιαγωγό είναι η διαφορά ηλεκτροχημικού δυναμικού μεταξύ τους. 1) Το ίδιο χημικό και ηλεκτρικό δυναμικό στα a και b. 2) Οι περιοχές a και b με το ίδιο χημικό δυναμικό ηλεκτρονίων: τό ίδιο Ec - Ef , έχουν διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού -Δη/qe 3) Τα a και b, σε ίδιο ηλεκτρικό δυναμικό, έχουν διαφορετικό χημικό δυναμικό Δx 4) Μεταξύ των a και b υπάρχει και διαφορά χημικού και διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Αν αυτές οι διαφορές, εκφρασμένες στην ίδια μονάδα π.χ eV/ηλεκτρόνιο , είναι αντίθετες μεταξύ τους, το συνολικό ηλεκτροχημικό δυναμικό μεταξύ a και b είναι 0. Η στάθμη Fermi είναι οριζόντια και δέν υπάρχει συνολικά ροή ηλεκτρονίων μεταξύ τους

2. Οι περιοχές a και b έχουν την ίδια συγκέντρωση προσμίξεων, άρα και την ίδια

θέση της Ef σε σχέση με τις Ec , Ev αλλά έχουν διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού - qeΔη Αν υπάρχει δυνατότητα ανταλλαγής ηλεκτρονίων μεταξύ a και b τότε έχουμε συνολικό ρεύμα ολίσθησης (γκρίζο βέλος) ηλεκτρονίων από a το στο b.

3. Οι περιοχές a και b έχουν διαφορετική συγκέντρωση ή και τύπο προσμίξεων άρα

και διαφορετική θέση της Ef , κατά Δχ, αλλά βρίσκονται στο ίδιο ηλεκτρικό δυναμικό. Αν δοθεί η δυνατότητα ανταλλαγής ηλεκτρονίων, τότε υπάρχει

8 Υπενθυμίζουμε ότι τα συνηθισμένα ενεργειακά διαγράμματα των ημιαγωγών αφορούν ηλεκτρόνια άρα είναι ανάποδα σε σχέση με την συμβατική φορά ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας και δυναμικού που ορίζονται για θετικό υπόθεμα.

82


συνολικό ρεύμα διάχυσης ηλεκτρονίων (γραμμοσκιασμένο βέλος) μεταξύ a και b.

4. Οι περιοχές a και b έχουν διαφορετική συγκέντρωση ή και τύπο προσμίξεων άρα και διαφορετική θέση της Ef , κατά Δχ, Επισης υπάρχει διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού μεταξύ a και b . Αν αυτές οι διαφορές, εκφρασμένες στην ίδια μονάδα π.χ eV/ηλεκτρόνιο , είναι αντίθετες μεταξύ τους, το συνολικό ηλεκτροχημικό δυναμικό μεταξύ a και b είναι 0. Η στάθμη Fermi είναι οριζόντια και δέν υπάρχει συνολικά ροή ηλεκτρονίων μεταξύ τους .Αν δοθεί η δυνατότητα ανταλλαγής ηλεκτρονίων, υπάρχει συνολικό ρεύμα διάχυσης ηλεκτρονίων (γραμμοσκιασμένο βέλος) μεταξύ a και b και, αντίθετο πρός το προηγούμενο, ρεύμα ολίσθησης ηλεκτρονίων ( γκρίζο βέλος) Οι περιοχές a και b βρίσκονται σε ηλεκτροχημική ισορροπία και το ηλεκτροχημικό δυναμικό : η στάθμη Fermi, είναι οριζόντια.

8.3.1 Η σχέση του Einstein Η ισότητα της απόλυτης τιμής των ρευμάτων διάχυσης και ολίσθησης στην ηλεκτροχημική ισορροπία μας οδηγεί εύκολα σε μία σχέση ανάμεσα στην σταθερά διάχυσης του νόμου του Fick και την ευκινησία. Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε ηλεκτροχημική ισορροπία σε μία περιοχή ημιαγωγού n με βαθμίδα δοτών άρα και ηλεκτρονίων. Διαλέγουμε το μηδέν ενεργειών στην στάθμη Fermi που είναι οριζόντια συμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο. Το ρεύμα διάχυσης θα είναι :

nx

EkTD

xE

eNkTD

xnDJ cnckT

E

cn

nn

c

∂∂

∂∂

∂∂

διαχ ==−=−

, (8.19)

nx

Eq

nxVnEJ c

e

nnnn ∂

∂μ∂∂μμολ −===, (8.20)

Στην ισορροπία το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων διάχυσης και ολίσθησης θα πρέπει να 0:

0,, =+−=+ nx

EkTD

nx

Eq

JJ cnc

e

nnn ∂

∂∂∂μ

διαχολ (8.21)

Από την οποία προκύπτει η λεγόμενη σχέση του Einstein:

83


kTD

qn

e

n =μ

(8.22)

Η σχέση του Einstein συνδέει τα δύο φαινομένα μεταφοράς φορέων στους ημιαγωγούς: την διάχυση και την ολίσθηση.

8.4 Προβλήματα εξάσκησης 8.1 Βρείτε την μέση ενέργεια ανά μονάδα χρόνου που χάνει ένα ηλεκτρόνιο

σε μή ελαστικές κρούσεις στην ΖΑ του πυριτίου στην θερμοκρασία περιβάλονοντος σε ηλεκτρικό πεδίο 104 V/cm.

8.2 Σ’ ένα απλό μοντέλο για την ολίσθηση μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ηλεκτρόνιο με ενεργό μάζα m* κινείται εντελώς ελεύθερα μεταξύ δύο διαδοχικών ανελαστικών κρούσεων και ότι σε κάθε κρούση χάνει όλη του την κινητική ενέργεια. Αν ο μέσος χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων είναι τ, βρείτε πόση είναι η ευκινησία του. Υπολογίστε τον χρόνο τ για πυρίτιο στην θερμοκρασία περιβάλλοντος.

8.3 Ενας συνηθισμένος τρόπος προσθήκης προσμίξεων σε ημιαγωγό είναι με διάχυση σε υψηλή θερμοκρασία από την επιφάνεια. Σε μία περίπτωση, η συγκέντρωση δοτών σε ημιαγωγό σάν συνάρτηση του βάθους z από την επιφάνεια και του χρόνου t δίνεται από την σχέση:

N zQDt

ed

zDt( ) =

−

π

2

4

οπου D είναι η σταθερά διάχυσης. Βρείτε: Την ροή ατόμων δοτών στην επιφάνεια. Τον ολικό αριθμό ατόμων πρόσμιξης ανα μονάδα επιφάνειας, ανεξαρτήτως του βάθους, σάν συνάρτηση του χρόνου.

84

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΕΙΣ ΦΟΡΕΩΝ ΙΙ. ΕΚΤΟΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

9. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΕΙΣ ΦΟΡΕΩΝ ΙΙ. ΕΚΤΟΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Η κινητική της χρονικής και χωρικής μεταβολής των συγκεντρώσεων

φορέων εκτός ισορροπίας.

Στις ημιαγωγικές διατάξεις έχουμε σχεδόν πάντα αποκλίσεις των συγκεντρώσεων φορέων από τις τιμές ισορροπίας τους1 . Με δεδομένη την ανάγκη της τεχνολογίας για ολοένα μεγαλύτερες συχνότητες λειτουργίας των διατάξεων, η μελέτη της χρονικής εξέλιξης των συγκεντρώσεων φορέων είναι ένα από τα θεμελιώδη αντικείμενα της φυσικής των ημιαγωγών. Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι να αυξηθεί, σε κάποια περιοχή του ημιαγωγού, η συγκέντρωση φορέων πάνω από τις τιμές ισορροπίας2 : η ένεση στην οποία έχουμε εισροή φορέων στην περιοχή που μας ενδιαφέρει και η δημιουργία φορέων, μέσα στην περιοχή αυτή, από κάποιο εξωτερικό αίτιο. Το πιό συνηθισμένο και σημαντικό για τις εφαρμογές εξωτερικό αίτιο είναι ο φωτισμός. Η επιστροφή στην ισορροπία ή η σταθεροποίηση των συγκεντρώσεων φορέων σε μία χρονοανεξάρτητη, στάσιμη, κατάσταση γίνεται είτε με απομάκρυνση των πλεοναζόντων φορέων από την περιοχή είτε με επανασύνδεση τους. Η επανασύνδεση ηλεκτρονίου-οπής δέν είναι τίποτα άλλο από την αποδιέγερση ενός ηλεκτρονίου από κάποια κατάσταση της ΖΑ, προς κάποια κενή κατάσταση (οπή) στην ΖΣ. Πολύ συχνά, η μετάβαση αυτή γίνεται με ενδιάμεσο σταθμό κάποια από τις εντοπισμένες καταστάσεις, μέσα στο ενεργειακό χάσμα του ημιαγωγού, που δημιουργούν δομικές ατέλειες του πλέγματος. ή ξένα άτομα. Η επανασύνδεση είναι μία εξώθερμη αντίδραση που απελευθερώνει ενέργεια ίση περίπου με το χάσμα του ημιαγωγού για κάθε ζευγάρι ηλεκτρονίου-οπής που εξαφανίζεται. Η ενέργεια αυτή απομακρύνεται με εκπομπή φωτονίου ή φωνονίων ή με διέγερση άλλου ηλεκτρονίου3. Ολες οι ηλεκτρονικές μεταβάσεις από και πρός καταστάσεις μέσα στο χάσμα έχουν μεγάλο ενδιαφέρον και για την φυσική και για την τεχνολογία των ημιαγωγών.

9.1 Ρυθμοί μεταβολής συγκεντρώσεων.

Η κινητική της επανασύνδεσης των φορέων αντιμετωπίζεται με τον απλό φορμαλισμό των εξισώσεων χημικής κινητικής, σαν μία χημική αντίδραση. Ο ρυθμός μεταβολής της συγκέντρωσης ηλεκτρονίων π.χ. που οφείλεται σε επανασύνδεση, είναι ανάλογος του γινομένου των συγκεντρώσεων ηλεκτρονίων και οπών. Η σταθερά αναλογίας 1 Πλήρης θερμοδυναμική ισορροπία υπάρχει μόνο στις διατάξεις που είναι ή στο συρτάρι ή στον κάλαθο των αχρήστων.

2 Είναι προτιμότερο να δώσουμε από την αρχή, στην έκφραση " πάνω από τις τιμές ισορροπίας " την εικόνα λογαριθμικού διαγράμματος, εφόσον συχνά έχουμε να κάνουμε με συγκεντρώσεις φορέων κατά πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερες από τις συγκεντρώσεις θερμοδυναμικής ισορροπίας.

3 H τελευταία αυτή δυνατότητα, είναι γνωστή με το όνομα: Φαινόμενο Auger. Ενα μέρος της κινητικής ενέργειας ενός ηλεκτρονίου του στερεού ή μιάς εξωτερικής δέσμης, αποδίδεται στην διέγερση άλλου ηλεκτρονίου από καταστάσεις ζωνών ή μεμονωμένων ατόμων σε κάποια κατάσταση του στερεού με μεγαλύτερη ενέργεια ή, έξω απ' αυτό, στο ενεργειακό συνεχές,


είναι ο ρυθμός με τον οποίο προχωρεί η "αντίδραση" αυτή, είναι η ταχύτητα της αντίδρασης. Η εξισώσεις συνέχειας (8.17, 8.18) προσφέρουν ένα έτοιμο πλαίσιο για την ενσωμάτωση των όρων χημικής κινητικής.

2

2

xnDnpaG

tn

nr∂∂

∂∂

+−= (9.1)

2

2

xpDnpaG

tp

pr∂∂

∂∂

+−= (9.2)

Οπου ar είναι μία σταθερά που αντιστοιχεί στην ταχύτητα με την οποία προχωρεί η "αντίδραση" της επανασύνδεσης. Με βάση τις γενικές εξισώσεις αυτές θα εξετάσουμε συγκεκριμένες περιπτώσεις απόκλισης από τις συγκεντρώσεις ισορροπίας με ιδιαίτερο ενδιαφέρον στις εφαρμογές της φυσικής των ημιαγωγών.

9.1.1 Ομοιόμορφος φωτισμός. Σε γενικές γραμμές, οι ημιαγωγοί είναι διαφανείς σε φως με ενέργεια φωτονίων μικρότερη από το ενεργειακό τους χάσμα και απορροφούν φωτόνια με hν > Eg. Χωρίς να εξετάσουμε, στην παράγραφο αυτή, την φυσική της απορρόφησης φωτονίων από ημιαγωγούς, μπορούμε απλά να χρησιμοποιήσουμε την έννοια του συντελεστή απορρόφησης που ορίζεται μέσα από την σχέση:

xhahh eNxN )()0()( ννν

−= (9.3)

στην οποία Nhν(x) είναι ο αριθμός φωτονίων στην μονάδα όγκου με ενέργεια hν που κινούνται πρός τον θετικό άξονα x και a(hν) ο συντελεστής απορρόφησης . Για φωτόνια με ενέργεια μεγαλύτερη από το χάσμα του ημαγωγού η κβαντική απόδοση της δημιουργίας φορέων, δηλαδή ο αριθμός ζευγών ηλεκτρονίων-οπών που δημιουργούνται διά του αριθμού φωτονίων που απορροφούνται, είναι πολύ κοντά στην μονάδα. Αν μία περιοχή ημιαγωγού που μας ενδιαφέρει έχει πάχος ξ, στην διεύθυνση διάδοσης του φωτός, και ισχύει ότι:

1)( <ξνha για τα μήκη κύματος του προσπίπτοντος φωτός, τότε ο ρυθμός απορρόφησης φωτονίων και κατά συνέπεια ο ρυθμός φωτογένεσης φορέων, είναι περίπου ομοιόμορφος σε όλη την περιοχή.

Η διέγερση ηλεκτρονίου στην ΖΑ με απορρόφηση φωτονίου με hν > Eg , είναι δυνατό να καταλήξει σε κατάσταση με ενέργεια σημαντικά μεγαλύτερη από την περιοχή της τάξεως μερικών kT πάνω από την EC μέσα στην οποία βρίσκονται τα ηλεκτρόνια ισορροπίας. Μπορεί επίσης να αφήσει οπή στην ΖΣ σε ενέργεια σημαντικά μικρότερη από την EV . Η διαθεσιμότητα καταστάσεων, σε μεγάλο βαθμό μη κατειλημμένων από τον αντίστοιχο φορέα, στις ζώνες, επιτρέπει την ταχύτατη θερμοποίηση των διεγερμένων φορέων με τρόπο ώστε η κατανομή τους στις ενεργειακές κατστάσεις

86


των ζωνών να περιγράφεται με την στατιστική Fermi-Dirac στην θερμοκρασία του ημιαγωγού αλλά με διαφορετικές για κάθε φορέα στάθμες Fermi Efn , Efp για ηλεκτρόνια και οπές αντίστοιχα. H Efn βρίσκεται κοντύτερα στην EC και η Efp κοντύτερα στην EV από την, κοινή για τους δύο φορείς, Fermi της θερμοδυναμικής ισορροπίας. Οι στάθμες αυτές ονομάζονται ψευδοστάθμες Fermi4 και χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε όλες τις περιπτώσεις στις οποίες οι συγκεντρώσεις φορέων είναι μεγαλύτερες από τις τιμές θερμοδυναμικής ισορροπίας. Η φυσική τους σημασία είναι η ακόλουθη: είναι δυνατόν να μην υπάρχει θερμοδυναμική ισορροπία μεταξύ των δύο τύπων φορέων ενώ υπάρχει για κάθε φορέα χωριστά μεταξύ καταστάσεων με διαφορετικές ενέργειες μιας ζώνης ή μεταξύ περιοχών με διαφορετικό ηλεκτρικό δυναμικό. Είναι εύκολο να πεισθεί κανείς ότι αυτό συμβαίνει συχνά άν σκεφτεί ότι η θερμοποίηση των φορέων έχει συντελεστεί σε χρόνους της τάξης των ps (10-12s) ενώ ο χρόνος ζωής των φορέων εκτός ισορροπίας μπορεί εύκολα να είναι της τάξης των ms.

Κάτω από φωτισμό, οι συγκεντρώσεις και των δύο τύπων φορέων αυξάνονται σε σχέση με τις τιμές ισορροπίας. Η απορρόφηση φωτονίων αυξάνει με τον ίδιο ρυθμό τις συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών. Αν όμως ο ημιαγωγός έχει προσμίξεις τύπου p ή n, μπορεί ο φωτισμός να προκαλέσει αξιόλογη αύξηση μόνο στον ένα τύπο φορέων, στους φορείς μειονότητας. Ας πάρουμε για παράδειγμα μία περιοχή n πυριτίου με 1017 cm-3 δότες. Στην ισορροπία, στους 300Κ, η συγκέντρωση των φορέων μειονότητας, των οπών, είναι της τάξης μεγέθους του 103 cm-3 . Ο φωτισμός είναι δυνατόν να αυξήσει την συγκέντρωση οπών κατά πολλές τάξεις μεγέθους χωρίς να αλλάξει η συγκέντρωση των φορέων πλειονότητας.. Η εξίσωση 9.2 γράφεται για την περίπτωση αυτή5:

npaGGtn

rphth −+=∂∂

(9.4)

στην οποία Gth είναι ο θερμικός ρυθμός γένεσης φορέων και Gph ο ρυθμός γένεσης που οφείλεται στα φωτόνια. Αν n0 και p0 είναι οι συγκεντρώσεις των φορέων στην θερμοδυναμική ισορροπία έχουμε:

000 =− pnaG rth (9.5)

Αν θεωρήσουμε επίσης ότι το n0 δέν μεταβάλεται αξιόλογα κάτω από φωτισμό έχουμε για τους φορείς μειονότητας μία αύξηση Δp που μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερη από την συγκέντρωση ισορροπίας p0 και μεταβάλεται χρονικά σύμφωνα με την σχέση:

)()(

000 ppnaGG

tpp

rphth Δ+−+=Δ+

∂∂

(9.6)

που γράφεται με την βοήθεια της 9.5 :

4 Ο αγγλικός όρος είναι quasi-Fermi levels. 5 Θεωρούμε ότι η φωτισμός είναι ομοιόμορφος και οι συγκεντρώσεις φορέων ανεξάρτητες του x. Κατά συνέπεια δέν υπάρχει διάχυση.

87


pphrph

pGpnaGtp

τ∂∂ Δ

−=Δ−=Δ

0 (9.7)

Η σχέση 9.7 ορίζει την παράμετρο τp που ονομάζεται χρόνος ζωής των οπών και είναι το αντίστροφο του γινομένου της σταθεράς επανασύνδεσης και της συγκέντρωσης των φορέων πλειονότητας. Ο χρόνος ζωής των φορέων δέν είναι μία σταθερά του υλικού. Ακόμα και στο πλαίσιο των παραδοχών που αναφέραμε, είναι δυνατό να αλλάζει ο χρόνος ζωής άν, όπως συμβαίνει σε αρκετές περιπτώσεις, η σταθερά6 ar , η ταχύτητα επανασύνδεσης, μπορεί να εξαρτάται από την συγκέντρωση των οπών. Στην στάσιμη κατάσταση, η συγκέντρωση φορέων που οφείλεται στο φώς δίνεται από την σχέση:

pphGp τ=Δ (9.8)

Αυτή είναι μία γενικότερη σχέση μέσα από την οποία μπορεί να οριστεί ο χρόνος ζωής και των δύο τύπων φορέων όχι σάν μία σταθερά αλλά σάν μία παράμετρος που έχει πράγματι το φυσικό περιεχόμενο του χρόνου ζωής έστω και άν αυτός ο χρόνος χαρακτηρίζει μόνο μία συγκεκριμένη στάσιμη κατάσταση.

Αν διακοπεί απότομα ο φωτισμός του δείγματος, άν δηλαδή μηδενιστεί ο ρυθμός φωτογένεσης τότε η επιστροφή της συγκέντρωσης οπών στην ισορροπία όπου Δp=0 γίνεται με βάση την εξίσωση 9.7 :

p

ptp

τ∂∂ Δ

−=Δ

(9.9)

που σημαίνει ότι στην περίπτωση αυτή της ομοιόμορφης συγκέντρωσης φορέων μειονότητας εκτός ισορροπίας, το πλεόνασμα φορέων μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο, με χαρακτηριστικό χρόνο αποκατάστασης που είναι ο χρόνος ζωής των φορέων:

p

t

eptp τ−

Δ=Δ )0()( (9.10)

9.1.2 Ενεση φορέων Η ένεση7 φορέων σε μία περιοχή ημιαγωγού είναι η πιό συνηθισμένη περίπτωση συγκεντρώσεων φορέων μεγαλύτερων απ' αυτές της θερμοδυναμικής ισορροπίας. Κάτω από την επίδραση εξωτερικού δυναμικού, συνήθως σε κάποια διάταξη, ρεύμα φορέων ενός τύπου περνά μία διαχωριστική επιφάνεια που μπορούμε να ορίσουμε ουσιαστικά αυθαίρετα και αυξάνει την συγκέντρωση φορέων του ίδιου τύπου στην περιοχή που μας ενδιαφέρει. Μπορεί να πεί κανείς ότι η επιφάνεια ένεσης ορίζεται με 6 Είναι προφανές ότι η λέξη "σταθερά" θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί εδώ με κάποια ανοχή μη απόλυτης σταθερότητας.

7 Η λέξη ένεση στην μελέτη των φορέων στους ημιαγωγούς είναι, κατά την γνώμη μου, η καλύτερη μετάφραση του όρου injection που έχει αναμφισβήτητα επικρατήσει στην διεθνή βιβλιογραφία. Σε κάποια βιβλία και μεταφράφεις στα ελληνικά συναντά κανείς επίσης τον όρο έγχυση.

88


μοναδικό κριτήριο τα όρια της περιοχής που μας ενδιαφέρει για κάποιο λόγο και ξεχωρίζει την περιοχή αυτή από τον υπόλοιπο ημιαγωγό από τον οποίο προέρχονται οι ενιέμενοι8 φορείς.

Θα εξετάσουμε εδώ μία απλή περίπτωση ένεσης σε στάσιμη, χρονοανεξάρτητη, κατάσταση που έχει απλή αναλυτική λύση και συναντάται στις διπολικές διόδους και τα διπολικά τρανζίστορ. Εστω περιοχή ημιαγωγού στην οποία εισέρχεται σταθερή πυκνότητα ρεύματος φορέων μειονότητας, κάθετα σε μία διαχωριστική επίπεδη επιφάνεια. Για να είμαστε πιό συγκεκριμένοι ας εξετάσουμε την περίπτωση ημιαγωγού τύπου n στον οποίο η συγκέντρωση ισορροπίας ηλεκτρονίων n0 είναι πολύ μεγαλύτερη από την συγκέντρωση ισορροπίας οπών p0. Εστω x άξονας κάθετος στην επιφάνεια. Με την ένεση οπών, η συγκέντρωση τους p(x) αυξάνει σημαντικά σε σχέση με την συγκέντρωση ισορροπίας p0 . Περιμένουμε επίσης η p(x) να είναι μεγαλύτερη κοντά στην επιφάνεια ένεσης και να τείνει ασυμπτωτικά πρός την τιμή ισορροπίας p0 , όσο απομακρυνόμαστε απ' αυτήν. Δέν συμβαίνει όμως το ίδιο με τα ηλεκτρόνια, τους φορείς πλειονότητας σ' αυτό το παράδειγμα, που διατηρούν, με πολύ καλή προσέγγιση την ίδια συγκέντρωση n0 σε κάθε x. Στην στάσιμη κατάσταση, η συγκέντρωση των φορέων μειονότητας καθορίζεται από την διαφορική εξίσωση:

02

2

0 =+−x

pDpnaG prth∂∂

(9.11)

και τις οριακές συνθήκες του προβλήματος μεταξύ των οποίων αυτή του δεδομένου ρεύματος ένεσης Jp στην θέση x=0 . Με χρήση της 9.5 η 9.11 γράφεται:

pp

prp

Dxp

xxp

xpxpnax

xpD

τ∂∂

τ∂∂

)()(

)()()(

2

2

02

2

Δ=

Δ

Δ=Δ=

Δ

(9.12)

Η διαφορική αυτή εξίσωση περιγράφει την χωρική μεταβολή της συγκέντρωσης οπών που προέρχονται από ένεση από την επιφάνεια x=0. Οι οπές αυτές διαχέονται και επανασυνδέονται μέσα στην περιοχή που μας ενδιαφέρει. Οσο απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια ένεσης τόσο η επιπλέον συγκέντρωση οπών Δp τείνει πρός το μηδέν. Με τις οριακές αυτές συνθήκες είναι λογικό να επιλέξουμε λύση της μορφής :

Δ Δp x p

xLp( ) ( )e=

−0 (9.13)

Η σταθερά Lp ονομάζεται μήκος διάχυσης των οπών και δίνεται , με βάση την 9.12 από την σχέση:

8 injected στα αγγλικά. Δέν φαίνεται να υπάρχει τίποτα καλύτερο στα νέα ελληνικά από την μετοχή της παθητικής φωνής του αρχαίου ελληνικού ενίημι από το οποίο προέρχεται η ένεση, λέξη που χρησιμοποιείται βέβαια και στα νέα ελληνικά.

89


ppp DL τ= (9.14)

Η συγκέντρωση (επιπλέον) οπών στην επιφάνεια, Δp(0), μπορεί να υπολογιστεί με βάση την 9.13 , τον νόμο του Fick και το ρεύμα ένεσης. Πράγματι:

)0()()0(0

pLD

xxpDJ

p

p

xpp Δ=Δ

−==∂

∂ (9.15)

Είναι προφανές ότι το ρεύμα Jp(0) είναι ίσο με το ρεύμα ένεσης. Οι ενιέμενες οπές επανασυνδέονται επομένως μέσα στην περιοχή n σε πάχος μερικών μηκών διάχυσης που, όπως είδαμε, εξαρτώνται από την σταθερά διάχυσης και τον χρόνο ζωής.

9.1.3 Φωτοαγωγιμότητα ενδογενούς ημιαγωγού Φωτορεύματα, ρεύματα δηλαδή φορέων που δημιουργούνται από την απορρόφηση φωτονίου και διέγερση ηλεκτρονίου από την ΖΣ στην ΖΑ, εμφανίζονται σε όλους τους ημιαγωγούς και έχουν μεγάλη τεχνολογική σημασία σε πολύ διαφορετικές εφαρμογές όπως η μετατροπή της ηλιακής ακτινοβολίας σε ηλεκτρική ισχύ και η μετατροπή οπτικού σήματος σε ηλεκτρικό σε επικοινωνίες με οπτικές ίνες. Είναι προφανές ότι η εξάρτηση της φωτοαγωγιμότητας από την ροή φωτονίων είναι άμεσα μετρήσιμη και, όπως θα δούμε, περιέχει πληροφορία σχετικά με τους μηχανισμούς επανασύνδεσης των φορέων στους ημιαγωγούς.

Ας εξετάσουμε την περίπτωση ενδογενούς ημιαγωγού όταν φωτίζεται με φώς που δημιουργεί συγκεντρώσεις φορέων μεγαλύτερες κατά τάξεις μεγέθους από τις συγκεντρώσεις ισορροπίας και για τούς δύο τύπους φορέων. Στην περίπτωση αυτή είναι λογικό να αγνοήσουμε τα n0 p0 και τον θερμικό ρυθμό διέγερσης και να γράψουμε την 9.1 με την μορφή:

2nanpaG rrph == (9.16)

άν οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών παραμένουν ίσες κάτω από φωτισμό9. Θεωρούμε επίσης ότι ο φωτισμός είναι ομοιόμορφος και οι συγκεντρώσεις φορέων ανεξάρτητες της θέσης. Παρατηρούμε ότι η φωτοαγωγιμότητα, που είναι ανάλογη της συγκέντρωσης φορέων, εξαρτάται από την τετραγωνική ρίζα του ρυθμού φωτογένεσης που είναι ανάλογος της ροής φωτονίων Φ. Εν γένει γράφουμε

γσ Φ=ph (9.17)

όπου ο εκθέτης γ παίρνει διάφορες τιμές ανάλογα με την περίπτωση. Στην περίπτωση που εξετάζουμε εδώ, για ενδογενή ημιαγωγό κάτω από φωτισμό αρκετά ισχυρό ωστε η φωτοαγωγιμότητα να είναι πολύ μεγαλύτερη από την αγωγιμότητα σκότους, γ=1/2

9 Είναι πιθανό να αναρωτηθεί ο αναγνώστης πώς είναι δυνατό να μήν συμβαίνει αυτό για ενδογενή ημιαγωγό. Θα δούμε όμως στην συνέχεια ότι μπορεί πράγματι ένας ενδογενής ημιαγωγός να έχει άνισες συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών κάτω από φωτισμό.

90


Σχήμα 9.1 Τα βήματα της επανασύνδεσης ενός ζεύγους ηλεκτρονίου-οπής μέσα από κέντρο επανασύνδεσης ΚΕ στο μέσον του χάσματος. Ι. Το κέντρο δέν έχει ηλεκτρόνιο και είναι ουδέτερο. ΙΙ. το ηλεκτρόνιο παγιδεύεται στο ΚΕ και το φορτίζει θετικά ΙΙΙ. Μία οπή συλλαμβάνεται από το (αρνητικά φορτισμένο) ΚΕ και ολοκληρώνεται η επανασύνδεση ο ημιαγωγός μένει με ένα ηλεκτρόνιο και μία οπή λιγότερα Είναι πιθανό στην θερμοδυναμική ισορροπία να είναι κατειλλημένα από ηλεκτρόνιο κάποια από τα

9.2 Επανασύνδεση. Στις προηγούμενες παραγράφους χρησιμοποιήσαμε μία γενική σταθερά επανασύνδεσης ar η οποία πολλαπλασιαζόμενη με το γινόμενο των συγκεντρώσεων δίνει τον ρυθμό μεταβολής τους που οφείλεται στην επανασύνδεση.

npatp

tn

rrecrec

−==∂∂

∂∂

(9.18)

Η εξίσωση 9.18 δέν είναι τίποτα άλλο από τον νόμο δράσης των μαζών για την αντίδραση : ηλεκτρόνιο + οπή ⇒ εξαφάνιση των φορέων αυτών και απελευθέρωση ενέργειας, με σταθερά χημικής αντίδρασης10 ar . Οπως συμβαίνει και με τις χημικές αντιδράσεις, η σταθερότητα της ar περιορίζεται σε δεδομένη θερμοκρασία και εύρος τιμών των συγκεντρώσεων. Η σύνδεση της ar με μικροσκοπικό μοντέλο κινητικής μεταβολών συγκεντρώσεων φορέων εκτός ισορροπίας στους ημιαγωγούς είναι μία άσκηση πολύ ενδιαφέρουσα από την άποψη της φυσικής και πολύ σημαντική για την κατανόηση της λειτουργίας όλων των ημιαγωγικών διατάξεων. Είναι ένα ευρύτατο θέμα για το οποίο δίνονται εδώ μόνο εισαγωγικά στοιχεία.

Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι να επανασυνδεθούν ένα ηλεκτρόνιο και μία οπή, να αποδιεγερθεί δηλαδή ένα ηλεκτρόνιο από μία κατάσταση της ΖΑ σε μία κατάσταση της ΖΣ : η απ' ευθείας επανασύδεση από ζώνη σε ζώνη και η επανασύδεση μέσα από

10 Το συνηθισμένο σύμβολο για την αντίστοιχη σταθερά των χημικών αντιδράσεων είναι Κ.

91


μία ενδιάμεση κατάσταση στο ενεργειακό χάσμα του ημιαγωγού που έχει τότε τον ρόλο του λεγόμενου κέντρου επανασύνδεσης (ΚΕ). Πρόκειται για ξένα άτομα ή ατέλειες του πλέγματος που δημιουργούν εντοπισμένες καταστάσεις με ενέργειες μέσα στο χάσμα του ημιαγωγού. Η άμεση επανασύνδεση προϋποθέτει συμφωνία των κυματανυσμάτων της αρχικής και τελικής κατάστασης όπως επίσης και αρκετή υπερκάλυψη, στον χώρο, των κυματοσυναρτήσεων του ηλεκτρονίου και της οπής. Σε ημιαγωγούς αμέσου χάσματος, η απ' ευθείας επανασύνδεση από ζώ7 φορέα είναι μεγάλη. Ο τρόπος επανασύνδεσης αυτός είναι ιδιαίτερα ελκυστικός για τις ημιαγωγικές διατάξεις εκπομπής φωτός : τα LED και τα laser διόδου. Οπως όμως θα δούμε στην συνέχεια, υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους η επανασύνδεση των φορέων διευκολύνεται σημαντικά από καταστάσεις μέσα στο ενεργειακό χάσμα ιδιαίτερα όταν αυτές βρίσκονται κοντά στο μέσον του χάσματος.

Στους ημιαγωγούς εμμέσου χάσματος όπως το Si και το Ge η άμεση επανασύνδεση είναι ουσιαστικά αδύνατη χωρίς την συμμετοχή και φωνονίου το οποίο μπορεί να απορροφήσει τη διαφορά κυματανύσματος μεταξύ του μεγίστου της ΖΣ και του ελαχίστου της ΖΑ. Εναλλακτικές λύσεις για την απομάκρυνση της ενέργειας που απελευθερώνεται στην επανασύνδεση είναι η εκπομπή φωνονίων και το φαινόμενο Auger : η μεταφορά δηλαδή της ενέργειας επανασύνδεσης, στην περίπτωση αυτή, πρός ένα άλλο ηλεκτρόνιο που διεγείρεται π.χ σε υψηλότερη ενέργειακά κατάσταση στην ΖΑ. Η πιθανότητα να γίνει μία αποδιέγερση με εκπομπή φωνονίων είναι τόσο πιθανότερη όσο η ενέργεια της και κατά συνέπεια ο αριθμός φωνονίων που πρέπει να εκπεμφθούν, είναι μικρότερα. Οι τυπικές ενέργειες φωνονίων στους ημιαγωγούς είναι μικρές, της τάξης των δεκάδων meV. Αν ο ημιαγωγός έχει έμμεσο χάσμα η εκπομπή φωτονίου είναι εξαιρετικά απίθανη εφόσον για να αλλάξει το k πρέπει να συμμετέχει και ένα φωνόνιο στην μετάβαση. Η ορμή των φωτονίων είναι πάρα πολύ μικρή σε σχέση με τις διαφορες hk μεταξύ του ελαχίστου της ΖΑ και του μεγίστου της ΖΣ..

9.2.1 Επανασύδεση με την βοήθεια καταστάσεων στο χάσμα. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι η παρουσία ενός ΚΕ διευκολύνει την επανασύνδεση των φορέων για δύο λόγους:

• Τον προσωρινό εντοπισμό του φορτίου του φορέα που παγιδεύεται πρώτος και την δημιουργία σντίστοιχου ελκτικού δυναμικού Coulomb για τον άλλο τύπο φορέα, έστω και όταν αυτό είναι σε μεγάλο βαθμό θωρακισμένο από ευκίνητους φορείς και

• Την ανεκτικότητα των δύο μερικών μεταβάσεων του ηλεκτρονιου (ΖΑ→ ΚΕ , ΚΕ→ ΖΣ ) στο κυματάνυσμα των φορέων εφ' όσον, σύμφωνα με την αρχή του Heisenberg η εντοπισμένη, ουσιαστικά στην περιοχή ενός ατόμου, κατάσταση του ΚΕ έχει μεγάλη αβεβαιότητα στο κυματάνυσμα.

Ο κύριος δρόμος επανασύδεσης στους ημιαγωγούς εμμέσου χάσματος έχει σαν ενδιάμεσο σταθμό ένα κέντρο επανασύνδεσης. Μία κατάσταση είναι αποτελεσματική σάν κέντρο επανασύνδεσης όταν η ενέργειά της είναι κοντά στο μέσον του χάσματος επειδή η πιθανότητα θερμικής εκπομπής φορέα από την κατάστηση αυτή πρός μία

92


ζώνη μειώνεται εκθετικά όσο αυξάνει η ενεργειακή της απόσταση από την αντίστοιχη ζώνη. Ας θεωρήσουμε π.χ. ένα ηλεκτρόνιο που παγιδεύεται σε ένα ΚΕ. Σε αντίθεση με την επανασύνδεση από ζώνη σε ζώνη, δέν υπάρχει πρόβλημα διατήρησης του k, της ορμής δηλαδή, γιατί η εντοπισμένη κατάσταση έχει πολύ καλά καθορισμένη θέση στο πλέγμα και η, αντίστοιχα, μεγάλη αβεβαιότητα στην ορμή της, επιτρέπει να υποδεχτεί ηλεκτρόνια με πολύ διαφορετικά k. Με την παγίδευση του ηλεκτρονίου το κέντρο φορτίζεται αρνητικά και έλκει τις οπές τουλάχιστον σε μικρή ακτίνα, πριν το φορτίο του θωρακιστεί με κατάλληλη κατανομή στον χώρο των ευκίνητων φορέων. Είναι τώρα πολύ πιθανό να συλλάβει το αρνητικά φορτισμένο κέντρο μιαν οπή που θα βρεθεί στην "περιοχή του" ανεξάρτητα από το κυματάνυσμα που είχε στην ΖΣ. Το πόσο μεγάλη είναι η περιοχή του, μπορούμε να εκφράσουμε με την έννοια της ενεργού διατομής σύλληψης ηλεκτρονίου και οπής από κάθε κέντρο. Η κίνηση ενός θερμοποιημένου φορέα στις ζώνες είναι στοχαστική με πληθώρα ελαστικών και μη σκεδάσεων. Κατά μέσο όρο, η ταχύτητα του φορέα κατά μήκος της τυχαίας διαδρομής που κάνει, μπορεί να υπολογιστεί άν θεωρήσουμε ότι η διαφορά E-EC για τα ηλεκτρόνια και EV-E για τις οπές είναι η κινητική ενέργεια 1/2m*v2 του φορέα με ενεργό μάζα m*. Επειδή, πολύ συχνά, οι ψευδοστάθμες Fermi είναι αρκετά μακρυά από την αντίστοιχη ζώνη, η κατανομή των φορέων στις καταστάσεις της ζώνης ακολουθεί πολύ ικανοποιητικά την στατιστική Maxwell-Boltzmann. Η μέση κινητική ενέργεια ανά ηλεκτρόνιο είναι τότε 3/2kT. Ετσι υπολογίζουμε την λεγόμενη θερμική ταχύτητα των φορέων με βάση την σχέση:

*

2*

3

23

21

mkTv

kTvm

th

th

=

=

(9.19)

Ας μελετήσουμε τις εξισώσεις χημικής κινητικής για επανασύνδεση μέσα από ΚΕ σε μία απλή περίπτωση: τον ομοιόμορφο φωτισμό ημιμονωτικού ημιαγωγού με ασθενές φώς ώστε οι συγκεντρώσεις φορέων να είναι πολύ μικρότερες από αυτές των κέντρων επανασύνδεσης. Με τον όρο "ημιμονωτικό" εννοούμε έναν ημιαγωγό με την στάθμη Fermi ισορροπίας κοντά στο μέσον του χάσματος, ενδογενή ή με περίπου αντισταθμισμένες προσμίξεις που είναι πιθανό να έχει αξιόλογες συγκεντρώσεις καταστάσεων κοντά στο κέντρο του χάσματος. Ανεξάρτητα από την αιτία για την οποία η στάθμη Fermi βρίσκεται κοντά στο μέσον του χάσματος, η συγκέντρωση και των δύο τύπων φορέων σε μία ημιμονωτική περιοχή είναι πολύ κοντά στην ενδογενή συγκέντρωση άρα και η αγωγιμότητα της περιοχής είναι πολύ μικρή, γεγονός που δικαιολογεί το όνομα της.

93


Θεωρούμε ότι υπάρχουν κοντά στο μέσον του χάσματος καταστάσεις που μπορεί να είναι κατειλλημένες από ηλεκτρόνιο ή να είναι κενές στην θερμοδυναμική ισορροπία Εστω Nr η ολική συγκέντρωση των καταστάσεων αυτών από τις οποίες nr είναι κατειλλημένες από ηλεκτρόνιο και pr όχι.

Ας θεωρήσουμε ότι το ηλεκτρόνιο συλλαμβάνεται από κάποιο διαθέσιμο κέντρο επανασύνδεσης άν το τελευταίο βρίσκεται μέσα σε τεθλασμένη κυλινδρική περιοχή κατά μήκος της τροχιάς του ηλεκτρονίου με διατομή ίση με την ενεργό διατομή Sr του κέντρου. Ο όγκος που σαρώνεται, με το τρόπο αυτό, στην μονάδα του χρόνου

είναι ίσος με Srvth , όπου vth είναι η μέση θερμική ταχύτητα του ηλεκτρονίου.

Σχήμα 9.2 Διάφορα κέντρα επανασύδεσης στην ενεργειακή περιοχή του μέσου του χάσματος σε έναν ημιμονωτικό ημιαγωγό. Οταν φωτίζεται ο ημιαγωγός και οι συγκεντρώσεις των φορέων είναι μικρότερες από αυτές των ΚΕ είναι δυνατό στην στάσιμη κατάσταση να έχουν οι δύο τύποι φορέων διαφορετικό χρόνο ζωής και κατά συνέπεια διαφορετική συγκέντρωση. Η οποιαδήποτε διαφορά φορτίου μπορεί να απορροφηθεί από αλλαγή της κατάληψης των ΚΕ, δηλαδή από αλλαγή των nr και pr . Κάτω από φωτισμό. είναι δυνατό να είναι n≠p. Αντίθετα θα πρέπει πάντα οι χρονικές παράγωγοι των συγκεντρώσεων αυτών να είναι ίσες μεταξύ τους

Ο μέσος χρόνος που θα κάνει ένα ηλεκτρόνιο για να συναντήσει ένα κέντρο, δηλαδή ο μέσος χρόνος ζωής του, τn , είναι ο χρόνος εκείνος στον οποίο ο όγκος, με διατομή Snr , που έχει σαρώσει το ηλεκτρόνιο περιέχει ένα διαθέσιμο κέντρο.

1=nrthr pvS τ (9.20)

ή

rnrrthrn

pCpvS ==τ1

(9.21)

Οπου η ποσότητα Cnr ονομάζεται ρυθμός σύλληψης ηλεκτρονίου και είναι το γινόμενο της ενεργού διατομής σύλληψης του ηλεκτρονίου επί την θερμική ταχύτητα

94


του. Εντελώς ανάλογες σχέσεις ισχύουν για τις οπές. Μπορούμε τότε να γράψουμε για την χρονική μεταβολή ομογενών συγκεντρώσεων φορέων, λόγω επανασύνδεσης μέσα από κέντρα, τις ακόλουθες σχέσεις :

rnr npCGtn

−=∂∂

(9.22)

rpr pnCGtp

−=∂∂

(9.23)

όπου G είναι πάντα ο ρυθμός φωτογένεσης φορέων. Στην στάσιμη κατάσταση:

rprrnr pnCnpCG == (9.24)

Αυτό που διαπιστώνουμε είναι ότι οι συγκεντρώσεις φορέων κάτω από φωτισμό εξαρτώνται από την ενεργό διατομή και την συγκέντρωση των ΚΕ. Μπορούμε να έχουμε έναν ενδογενή ημιαγωγό που αποκτά χαρακτήρα n ή p κάτω από φωτισμό. Μπορούμε ακόμα και να έχουμε αλλαγή της πολικότητας (n ή p) μεταξύ ισορροπίας και φωτισμού.

Είναι γεγονός ότι πάντα ένα ηλεκτρόνιο επανασυνδέεται τελικά με μία οπή. Αυτό όμως δέν σημαίνει ότι ο χρόνος ζωής τους είναι ο ίδιος, σημαίνει μόνο ότι ο ρυθμός επανασύνδεσής τους είναι ίσος. Οπως φαίνεται, για τα ηλεκτρόνια για παράδειγμα, από την σχέση 9.21 ο χρόνος ζωής εξαρτάται από την συγκέντρωση διαθέσιμων ΚΕ και την ενεργό διατομή τους και είναι διαφορετικός για τα ηλεκτρόνια και τις οπές.

9.2.2 Παράλληλοι δρόμοι επανασύνδεσης Οταν υπάρχουν περισσότερες από μία δυνατότητες επανασύνδεσης όπως για παράδειγμα: α) μεταξύ ζωνών και β) με την βοήθεια ΚΕ, τότε ο συνολικός ρυθμός επανασύνδεσης είναι προφανώς το άθροισμα των επιμέρους ρυθμών επανασύνδεσης. Αυτό σημαίνει ότι συνολικός χρόνος ζωής του φορέα δίνεται σάν συνάρτηση των χρόνων ζωής που υπολογίζονται για κάθε δρόμο επανασύνδεσης χωριστά από την σχέση:

⋅⋅⋅++=βα τττ111

n (9.25)

Οταν οι χρόνοι ζωής των διαφορετικών μηχανισμών επανασύνδεσης διαφέρουν αρκετά μεταξύ τους τότε υπερισχύει σαφώς ο μηχανισμός με τον μικρότερο χρόνο ζωής

95


9.3 Προβλήματα εξάσκησης 9.1 Φωτίζουμε ενδογενή ημιαγωγό με φώς που δημιουργεί φωτο-αγωγιμότητα

σL πολύ μεγαλύτερη από την αγωγιμότητα στο σκοτάδι. Εστω ότι η επανασύνδεση των φορέων γίνεται με ρυθμό : R = arnp Δείξτε ότι, στην στάσιμη κατάσταση, η φωτοαγωγιμότητα εξαρτάται από την τετραγωνική ρίζα της έντασης του φωτός. Θεωρήστε αμελητέες τις συγκεντρώσεις φορέων στο σκοτάδι.

9.2 Σε περιοχή n γίνεται, από μία επιφάνεια, ασθενής ένεση οπών με πυκνότητα ρεύματος Jp . Ο χρόνος ζωής τους είναι τp και η ευκινησία τους μp. Βρείτε τί ποσοστό από τις ενιέμενες οπές επανασυνδέεται σε επιφανειακό στρώμα πεπερασμένου πάχους ξ.

9.3 Σε στρώμα ημιαγωγού τύπου n, πάχους L, η συγκέντρωση δοτών μεταβάλλεται με το βάθος από Νd(0) σε Nd(L) σύμφωνα με την σχέση:

ln ( ) ln ( ) ln( )( )

N z NzL

N LNd d

d

d= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

0

2

2

Στο πλαίσιο της προσέγγισης Boltzmann, υποθέτοντας πλήρη ιονισμό προσμίξεων και τοπική ηλεκτρική ουδετερότητα, υπολογίστε την EC(z), Θεωρήστε πλήρη θερμοδυναμική ισορροπια με Ef=0 σε κάθε z. Κατόπιν υπολογίστε την πυκνότητα φορτίου ρ(z) και το ποσοστιαίο σφάλμα, σε σχέση με την μέγιστη δυνατή πυκνότητα ακίνητου φορτίου, που έχει γίνει με την παραδοχή τοπικής ουδετερότητας

96

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΕΠΑΦΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ

10. ΕΠΑΦΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ Τι συμβαίνει στην περιοχή της επαφής δύο διαφορετικών στερεών όταν

μπορούν να ανταλλάξουν ηλεκτρόνια.

Η λειτουργία όλων των ημιαγωγικών διατάξεων, των τρανζίστορ κάθε τύπου, των δίοδων, των φωτοδίοδων, των διατάξεων εκπομπής φωτός (light emitting diodes , LEDs και lasers) για να αναφέρουμε μόνο μερικά παραδείγματα, βασίζεται στα πολύ ενδιαφέροντα φαινόμενα που παρατηρούνται στην περιοχή της επαφής μεταξύ δύο διαφορετικών στερεών: μετάλλων, ημιαγωγών και μονωτών.

Δέν είναι ανάγκη να έχουν δύο στερεά εντελώς διαφορετική χημική σύνθεση για να τα θεωρήσουμε διαφορετικά από την άποψη της ηλεκτρικής επαφής τους. Δύο περιοχές πυριτίου: η μία, τύπου p, με 1 ppm1 βορίου και η άλλη, τύπου n, με 1 ppm φωσφόρου είναι αρκετά διαφορετικές μεταξύ τους ώστε η επαφή τους να επιτρέπει να περνάει το ρεύμα μόνο στην μία φορά2. Στην περίπτωση αυτή η μόνη διαφορά στην ηλεκτρονική δομή των δύο στερεών είναι η θέση της στάθμης Fermi μέσα στο χάσμα του πυριτίου. Σημαντικές στην τεχνολογία των ημιαγωγών είναι οι επαφές δύο ημιαγωγών με διαφορετική θέση της στάθμης Fermi (διπολικές επαφές) όπως αυτή που αναφέραμε, οι επαφές μεταξύ ημιαγωγών με διαφορετικό χάσμα (ετεροεπαφές) και οι επαφές μετάλλου ημιαγωγού μέ ή χωρίς ενδιάμεσο μονωτικό στρώμα3 . Στο κεφάλαιο αυτό δέν θα προσπαθήσουμε να καλύψουμε διεξοδικά όλα τα θέματα σχετικά με τα ηλεκτρικά δυναμικά, την πυκνότητα φορτίου και την κατανομή και κίνηση φορέων στις επαφές αυτές. Τα θέματα αυτά αφορούν στην μελέτη των αντίστοιχων ημιαγωγικών διατάξεων. Θα εξετάσουμε μόνο μερικά γενικά χαρακτηρηστικά με όσο το δυνατόν εννοποιημένο τρόπο. Θα αρχίσουμε από μία απλή, στην πρώτη ματιά, επαφή που μόνο έμεσα έχει σημασία στις ημιαγωγικές διατάξεις: την επαφή δύο διαφορετικών μετάλλων.

10.1 Επαφή δύο διαφορετικών μετάλλων. Η ηλεκτρονική δομή κάθε μετάλλου είναι αρκετά απλή άν το μόνο που μας ενδιαφέρει είναι το πόσο εύκολα μπορούμε να βγάλουμε ένα ηλεκτρόνιο απ' αυτό. Ας σκεφτούμε ένα ηλεκτρόνιο με μηδενική κινητική ενέργεια, στο κενό, έξω από την επιφάνεια ενός στερεού, αρκετά μακρυά απ' αυτήν ώστε να μήν έλκεται απο το στερεό, σε χώρο χωρίς πεδίο. Η ενέργεια του ηλεκτρονίου στην κατάσταση αυτή που ονομάζουμε στάθμη κενού (ΣΚ) μπορεί να μας χρησιμεύσει σαν κοινή αναφορά ενεργειών δύο στερεών. Η χρησιμότητα της στάθμης κενού θα φανεί πολύ καθαρά στην συνέχεια. Η ενεργειακή διαφορά μεταξύ της στάθμης κενού και της στάθμης

1 Το ppm είναι μια πολύ συνηθισμένη "μονάδα" μέτρησης πολύ μικρών συγκεντρώσεων ξένων ατόμων σε ένα υλικό. Είναι συντομογραφία των λέξεων part per million δηλαδή μέρος στο εκατομύριο και αναφέρεται συνήθως σε ατομική συγκέντρωση δηλαδή σε αριθμό ξένων ατόμων ανά εκατομύριο ατόμων του υλικού. Χρησιμοποιήθηκαν εισαγωγικά στην λέξη μονάδα γιατί το ppm είναι καθαρός, αδιάστατος αριθμός.

2 Από την p στην n για την συμβατική φορά του ρεύματος. 3 Στην τελευταία αυτή περίπτωση η δυνατότητα ανταλλαγής ηλεκτρονίων εξασφαλίζεται από το υπόλοιπο κύκλωμα , από την πίσω πόρτα.


Fermi, Efm , ενός μετάλλου είναι γνωστή με το όνομα: Εργο εξόδου του μετάλλου και συμβολίζεται συνήθως με Φm. Το έργο εξόδου εξαρτάται προφανώς από τη χημική σύνθεση και την μορφολογία της επιφάνειας. Οι τυπικές τιμές έργου εξόδου διαφόρων μετάλλων κυμαίνονται μεταξύ 1 και 5 eV. Είναι προφανές ότι στο απόλυτο μηδέν η ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται για να αποσπάσουμε ένα ηλεκτρόνιο από ένα μέταλλο είναι το έργο εξόδου. Η ενέργεια αυτή μπορεί να δοθεί από ένα φωτόνιο όπως γίνεται στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Σε θερμοκρασία δωματίου η κατανομή

Fermi δίνει μία μικρή πιθανότητα παρουσίας ηλεκτρονίου σε ενέργειες μεγαλύτερες από την Efm αλλά ισχύει πάντα ότι για να εχουμε αξιόλογα ρεύματα εξόδου ηλεκτρονίων από το μέταλλο πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια ίση ή μεγαλύτερη από το έργο εξόδου.

Σχήμα 10.1 Ενεργειακές καταστάσεις ηλεκτρονίων σε δύο διαφορετικά μέταλλα που δεν έχουν ηλεκτρική επαφή μεταξύ τους αλλά βρίσκονται στο ίδιο δυναμικό. Θεωρούμε ένα ηλεκτρονιο στις ακόλουθες καταστάσεις a) στην στάθμη Fermi μέσα στο μέταλλο 1. b) στην ΣΚ έξω από το μέταλλο 1. c) στην ΣΚ έξω από το μέταλλο 2. d) στην στάθμη Fermi του μετάλλου 2.

Σε θερμοκρασίες μεγαλύτερες από 2000Κ, για τα περισσότερα μέταλλα, η πιθανότητα κατάληψης της ενεργειακής στάθμης Φm + Efm , της στάθμης κενού δηλαδή, γίνεται αρκετά μεγάλη ώστε να έχουμε αξιόλογο ρεύμα θερμιονικής εκπομπής ηλεκτρονίων από το μέταλλο. Το φαινόμενο αυτό αποτέλεσε την αρχή λειτουργίας των λυχνιών κενού4.

Ας εξετάσουμε τώρα τα ηλεκτρικά φαινόμενα στην επαφή δύο διαφορετικών μετάλλων. Το ότι πρόκειται για διαφορετικά μέταλλα μεταφράζεται, στο θέμα που εξετάζουμε, με διαφορετικό έργο εξόδου. Στο σχήμα 10.2 βλέπουμε τις ενεργειακές καταστάσεις ηλεκτρονίων στο εσωτερικό ή την περιοχή δύο διαφορετικών μετάλλων. 4 Δέν πρέπει να ξεχνούμε ότι πολλές από τις "σύγχρονες" ηλεκτρονικές διατάξεις όπως η τηλεόραση και το Radar λειτούργησαν με λυχνίες σε μία εποχή που οι ημιαγωγικές διατάξεις ή δέν υπήρχαν καθόλου ή ήταν ακόμα αντικείμενο έρευνας στα εργαστήρια.

98


Η ΣΚ είναι η ίδια έξω από τα δύο μέταλλα οπότε ξέρουμε ότι αυτά βρίσκονται στο ίδιο δυναμικό. Για να μεταφέρουμε ένα ηλεκτρόνιο από την Ef του μετάλλου 1 στην

Ef του μετάλλου 2 θα πρέπει να δαπανήσουμε ενέργεια ίση με Φm1 - Φm2. Στό σχήμα 10.1 βλέπουμε τις ενεργειακές καταστάσεις όταν τα δύο μέταλλα έρθουν σε ηλεκτρική επαφή μεταξύ τους. Υπάρχει τότε δυνατότητα ανταλλαγής ηλεκτρονίων τα οποία είναι λογικό να κινηθούν από την περιοχή υψηλότερου ηλεκτροχημικού δυναμικού (μέταλλο 2 στο σχήμα 10.2) στην περιοχή χαμηλότερου ΧΔ.

Σχήμα 10.2 Ενεργειακές καταστάσεις ηλεκτρονίων στην επαφή δύο διαφορετικών μετάλλων. Υπάρχει δυνατότητα ανταλλαγής ηλετρονίων και θερμοδυναμική ισορροπία οπότε η στάθμη Fermi είναι ενιαία . Διαπιστώνουμε ότι έχει αναπτυχθεί διαφορά δυναμικού V0 μεταξύ των δύο μετάλλων, εφόσον η ΣΚ είναι διαφορετική μεταξύ των δύο θέσεων: b) έξω από το μέταλλο 1. και c) έξω από το μέταλλο 2.

Δυνατότητα ανταλλαγής ηλεκτρονίων υπάρχει όχι μόνο όταν το ένα μέταλλο έχει ουσιαστικά εισχωρήσει μέσα στο άλλο, όπως συμβαίνει με την συγκόλληση μετάλλων με κάποια τεχνική, αλλά και με απλή μηχανική επαφή, όπως συμβαίνει στους διακόπτες ή όταν ακουμπάμε ένα σύρμα με ένα άλλο. Υπάρχει τότε πάντα ένα πολύ λεπτό στρώμα οξειδίου του μετάλλου που αποτελεί κατ' αρχή φραγμό στην κίνηση των ηλεκτρονίων. Επειδή όμως, τουλάχιστον σε μερικά σημεία της περιοχής επαφής των δύο μετάλλων, το στρώμα οξειδίου έχει πάχος μόνο λίγων δεκάδων Å, είναι περατό με κβαντομηχανικό φαινόμενο σήραγγος. Το ρεύμα σήραγγος μπορεί να έχει μεγάλη πυκνότητα σε μία μικρή περιοχή οπότε μπορεί να προκαλέσει και μία παροδική τοπική συγκόλληση των δύο μετάλλων μειώνοντας ακόμα περισσότερο την αντίσταση της επαφής.

99


Η καθαρή κίνηση ηλεκτρονίων πρός κάποια φορά θα σταματήσει όταν υπάρξει ενιαία Fermi στα δύο στερεά.

Σχήμα 10.3 Φορτίο στην επαφή δύο μετάλλων. Το δυναμικό επαφής συνδέεται αναγκαστικά με ένα διπλό στρώμα φορτίου στην επιφάνεια των δύο μετάλλων που εκτείνεται σε βάθος λίγων μόνο Å ή δεκάδων Å μέσα σε κάθε μέταλλο.

10.1.1 Δυναμικό επαφής Παρατηρούμε ότι αναπτύσσεται, στην θερμοδυναμική ισορροπία, διαφορά δυναμικού V0 μεταξύ των δύο μετάλλων εξ' αιτίας της διαφοράς των έργων εξόδου τους. Το δυναμικό αυτό ονομάζεται Δυναμικό Επαφής (ΔΕ). Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς με βάση τα σχήματα 10.2 και 10.1 ότι το ΔΕ είναι ίσο με την διαφορά των έργων εξόδου των δύο μετάλλων. Θα θεωρήσουμε στην συνέχεια το δυναμικό επαφής σαν μία ποσότητα θετική πάντα ίση με το μέτρο της διαφοράς των έργων εξόδου. Οπου χρειάζεται, θα γράψουμε το δυναμικό επαφής μεταξύ του μετάλλου α και β σάν + V0 και - V0 ανάλογα με την περίσταση.

Το δυναμικό επαφής δέν μπορεί να μετρηθεί με ένα βολτόμετρο. Ας θεωρήσουμε ότι διαθέτουμε ένα βολτόμετρο κατασκευασμένο αποκλειστικά από χαλκό και θέλουμε να μετρήσουμε το δυναμικό επαφής μεταξύ αλουμινίου και σιδήρου. Θα έχουμε τότε αναγκαστικά στο κύκλωμα και τις επαφές Cu/Fe και Cu/Al. Αν όλες οι επαφές είναι στην ίδια θερμοκρασία θα πρέπει, σε μία κλειστή διαδρομή την οποία διαγράφουμε με κάποια φορά, το αλγεβρικό άθροισμα των ΔΕ μιας σειράς από μέταλλα συνδεμένα μεταξύ τους να είναι μηδέν. Αν δέν συνέβαινε αυτό θα μπορούσαμε να έχουμε ρεύμα μέσα από την κλειστή διαδρομή, εφ' όσον τα μέταλλα είναι καλοί αγωγοί, και θα είχαμε φτιάξει το αεικίνητο. Αν γενικεύσουμε τα ΔΕ για να συμπεριλάβουμε και διαλύματα ηλεκτρολυτών, τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ΔΕ σε κλειστή διαδρομή μπορεί να είναι διάφορο του μηδενός επειδή είναι δυνατό κάποια χημική αντίδραση να δώσει την απαραίτητη ενέργεια.

Το αλγεβρικό άθροισμα των ΔΕ σε κλειστή διαδρομή, σε μία σειρά από μέταλλα συνδεμένα μεταξύ τους μπορεί να είναι επίσης διάφορο του μηδενός όταν οι διαφορετικές επαφές δεν έχουν όλες την ίδια θερμοκρασία. Το φαινόμενο αυτό εκμεταλλευόμαστε στα θερμοζεύγη για την μέτρηση της θερμοκρασίας μιάς επαφής μεταξύ δύο διαφορετικών μετάλλων. Οι υπόλοιπες επαφές διαφορετικών μεταξύ τους μετάλλων που υπάρχουν στο κύκλωμα πρέπει να είναι σε δεδομένη και σταθερή θερμοκρασία Συνήθως επιλέγεται T = 273.15K = 0C. Χρειάζεται πάντα μεγάλη προσοχή σε μετρήσεις πολύ μικρών τάσεων DC, της τάξης των nV, ώστε να αποφύγει

100


κανείς μικρές θερμοηλεκτρικές τάσεις που αναπτύσσονται, χωρίς να το θέλουμε, απο μικροδιαφορές θερμοκρασίας μεταξύ επαφών διαφορετικών μετάλλων στο μετρητικό σύστημα.

10.1.2 Διπλό στρώμα φορτίου στην επαφή δύο μετάλλων Η μεταβολή της ΣΚ κατά μήκος άξονα x, κάθετου στην επιφάνεια επαφής, δέν είναι τίποτα άλλο από την συνάρτηση του ηλεκτρικού δυναμικού V(x) μεταξύ των δύο μετάλλων. Για την ακρίβεια ισχύει ότι:

refe

p Vq

xExV +−=

)()( (10.1)

Οπου Vref είναι μία αυθαίρετη σταθερά που μπορούμε να επιλέξουμε, άν θέλουμε, με τρόπο ώστε να καθοριστεί πλήρως το δυναμικό. Αυτό δέν είναι απαραίτητο, εφ’ όσον μόνο οι διαφορές του δυναμικού και οι παράγωγοί του έχουν φυσική σημασία. Ep μπορεί να είναι η στάθμη κενού ή μία οποιαδήποτε ενεργειακή στάθμη που έχει σταθερή ενεργειακή απόσταση απ’ αυτήν όπως η EC (ΣΚ-χS) ή η EV (ΣΚ-χS -Eg) ή η EV ή η ενδογενής στάθμη Fermi Ei κλπ. Μακρυά από την επαφή, η V(x) είναι πάντα σταθερή εφόσον το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό ενός μετάλλου είναι 0. Η δημιουργία ενός "σκαλοπατιού" δυναμικού στην επαφή των δύο μετάλλων σημαίνει αναγκαστικά ότι η δεύτερη παράγωγος της V(x) παίρνει τόσο μεγαλύτερες τιμές όσο πιό απότομο είναι το σκαλοπάτι δυναμικού και αλλάζει πρόσημο στο σημείο καμπής του δυναμικού ανάμεσα στα δύο μέταλλα. Η δεύτερη παράγωγος του δυναμικού συνδέεται με την πυκνότητα φορτίου, ρ, μέσα από την εξίσωση του Poisson :

ερ )()(2 rr −=∇ V (10.2)

που γράφεται σε μία διάσταση:

ερ

∂∂ )()(

2

2 xxVx

−= (10.3)

όπου ε είναι η διηλεκτρική σταθερά του μέσου. Είναι προφανές ότι πρέπει να υπάρχει ένα διπλό στρώμα φορτίου στην επιφάνεια των δύο μετάλλων, θετικό στο ένα και αρνητικό στο άλλο, για να δημιουργηθεί ένα σκαλοπάτι δυναμικού στην επαφή τους. Η πυκνότητα φορτίου ρ(x) που αλλάζει πρόσημο από το ένα υλικό στο άλλο, καθορίζει τη μορφή του δυναμικού στην επαφή.

Το διπλό στρώμα φορτίου είναι χαρακτηριστικό κάθε επαφής μεταξύ διαφορετικών στερεών. Στην θερμοδυναμική ισορροπία η στάθμη Fermi είναι ενιαία και οριζόντια. Στην περιοχή της επαφής και μόνο, η Ef στο εσωτερικό κάθε μετάλλου δέν βρίσκεται στην στάθμη ισορροπίας της, στην στάθμη εκείνη δηλαδή που αντιστοιχεί στην

101


ηλεκτρική ουδετερότητα. Επειδή στα μέταλλα η Ef βρίσκεται μέσα σε ζώνη, σε ενεργειακή περιοχή δηλαδή όπου η πυκνότητα καταστάσεων είναι μεγάλη, η μετατόπιση της Ef σε περιοχή μικρού πάχους είναι αρκετή για να δώσει το απαραίτητο φορτίο. Αυτό δέν ισχύει σε έναν ημιαγωγό όπως θα δούμε στην συνέχεια

στον οποίο η Ef βρίσκεται μέσα στο ενεργειακό χάσμα, σε ενεργειακή περιοχή δηλαδή με μηδενική ή πολύ μικρή πυκνότητα καταστάσεων.

Σχήμα 10.4 Ενα μέταλλο και ένας ημιαγωγός στο ίδιο δυναμικό. Επειδή η στάθμη Fermi στους ημιαγωγούς βρίσκεται συνήθως στο χάσμα και δέν είναι σταθερή, χρησιμοποιούμε, αντί του έργου εξόδου, την ενεργειακή απόσταση της ΣΚ από την Ec : την ηλεκτρονική συγγένεια, χs,. Μπορούμε παρόλα αυτά, άν θέλουμε, να μιλήσουμε για έργο εξόδου του ημιαγωγού: Φs=χs+(Ec-Efs). Ανάλογα με τις προσμίξεις (n ή p) του ημιαγωγού μπορεί το μέταλλο να είναι περισσότερο ή λιγότερο ηλεκτραρνητικό από τον ημιαγωγό. Σ’ αυτό το διάγραμμα ο ημιαγωγός είναι περισσότερο ηλεκτραρνητικός από το μέταλλο. Αν έρθουν σε επαφή, το μέταλλο θα πάρει ηλεκτρόνια από τον ημιαγωγό.

10.2 Επαφές μετάλλου - ημιαγωγού. Μία δίοδος είναι μία διάταξη από την οποία πρακτικά περνά ρεύμα μόνο όταν εφαρμόζεται μία πολικότητα τάσης, η λεγόμενη ορθή.

Η πρώτη δίοδος στερεάς κατάστασης5 που κατασκευάστηκε ήταν μία συνηθισμένη περίπτωση επαφής μετάλλου ημιαγωγού που είναι γνωστή με το όνομα : επαφή Schottky. Οι επαφές μετάλλου ημιαγωγού ευτυχώς δέν είναι πάντα δίοδοι. Η ηλεκτρική σύνδεση των ημιαγωγικών διατάξεων με τα κυκλώματα στα οποία χρησιμοποιούνται γίνεται με την βοήθεια αγωγών που συγκολλούνται σε μεταλλικά 5 Βασική λειτουργία κάθε διόδου είναι η ανόρθωση. Το πρώτο φυσικό φαινόμενο που χρησιμοποιήθηκε για ανόρθωση ήταν η θερμιονική εκπομπή ηλεκτρονίων σε διόδους λυχνίες κενού.

102


ηλεκτρόδια στην επιφάνεια του ημιαγωγού. Είναι απαραίτητο για τις διατάξεις όχι μόνο να περνά ρεύμα και στις δύο πολικότητες μέσα από τις επαφές αυτές αλλά και να συναντά αμελητέα αντίσταση. Εχουμε τότε την λεγόμενη Ωμική επαφή. Θα εξετάσουμε στην συνέχεια τα βασικά χακτηριστικά των ηλεκτρικών φαινομένων που συμβαίνουν στην επαφή ενός μετάλλου με έναν ημιαγωγό, χαρακτηριστικά πολύ ενδιαφέροντα και πολύ χρήσιμα στις διατάξεις.

10.2.1 Επαφή Schottky μετάλλου με ημιαγωγό τύπου n.

Σχήμα 10.5 Επαφή Schottky με ημιαγωγό τύπου n. Οταν το μέταλλο και ο ημιαγωγός του σχήματος 10.4 έρθουν σε επαφή, ηλεκτρόνια από τον ημιαγωγό μεταφέρονται πρός το μέταλλο κάτω από την επίδραση του ηλεκτροχημικού δυναμικού. Μετά την αποκατάσταση της θερμοδυναμικής ισορροπίας,η στάθμη Fermi είναι ενιαία και οριζόντια και έχει αναπτυχθεί δυναμικό επαφής, V0, μεταξύ του μετάλλου και του ημιαγωγού.

Στο σχήμα 10.4 βλέπουμε τις ενεργειακές στάθμες μετάλλου και ημιαγωγού τύπου n όταν τα δύο στερεά βρίσκονται στο ίδιο δυναμικό και δέν έχουν την δυνατότητα να ανταλλάξουν ηλεκτρόνια. Επειδή η στάθμη Fermi στους ημιαγωγούς μπορεί να αλλάξει πολύ ανάλογα με τις προσμίξεις και την θερμοκρασία, χρησιμοποιούμε την ενεργειακή απόσταση της ΣΚ από την Ec , την λεγόμενη ηλεκτρονική συγγένεια, χs , αντί του έργου εξόδου. Ανάλογα με τις προσμίξεις (n ή p) του ημιαγωγού μπορεί το μέταλλο να είναι περισσότερο ή λιγότερο ηλεκτραρνητικό από τον ημιαγωγό. Βρίσκουμε τι από τα δύο συμβαίνει με την σύγκριση του Φm και του Φs=χs+(Ec-Efs) που είναι το αντίστοιχο του έργου εξόδου για τον ημιαγωγό.

103


Στο σχήμα 10.5 βλέπουμε τα ενεργειακά διαγράμματα όταν το μέταλλο και ο ημιαγωγός του σχήματος 10.4 είναι σε επαφή και το σύστημα βρίσκεται στην θερμοδυναμική ισορροπία. Οπως αναφέρθηκε προηγούμενα, το γεγονός ότι η στάθμη Fermi του ημιαγωγού βρίσκεται μέσα στο ενεργειακό χάσμα είναι καθοριστικό για την κατανομή του φορτίου στον ημιαγωγό. Σε αντίθεση με το φορτίο σε επαφή μετάλλου με μέταλλο, που είναι πραγματικά περιορισμένο σ’ ένα πολύ λεπτό επιφανειακό στρώμα, το φορτίο στον ημιαγωγό εκτείνεται σε πολύ μεγαλύτερο βάθος. Τυπικά πάχη της περιοχής φορτίου χώρου6 σε ημιαγωγό είναι της τάξης του

μm. Στο σχήμα 10.5 φαίνεται ότι το δυναμικό επαφής αναπτύσσεται εξ’ ολοκλήρου μέσα στον ημιαγωγό. Αυτό δέν είναι απόλυτα ακριβές αλλά είναι πρακτικά σωστό, όπως θα δούμε αναλυτικότερα στην συνέχεια. Στην περιοχή φορτίου χώρου του ημιαγωγού, η στάθμη Fermi απέχει περισσότερο από την EC απ’ ότι στην ουδέτερη περιοχή n, μακρυά από την επαφή. Η μετατόπιση αυτή της Ef μπορεί να δημιουργήσει σχετικά περιορισμένη πυκνότητα φορτίου, πολύ μικρότερη απ’ αυτήν που θα δημιουργούσε ίση μετατόπιση της Ef στο εσωτερικό ζώνης, σε μία ενεργειακή περιοχή δηλαδή, με πολύ μεγάλη πυκνότητα καταστάσεων, όπως συμβαίνει σε ένα μέταλλο.

Σχήμα 10.6 Ενεργειακό διάγραμμα μετάλλου και ημιαγωγού στο ίδιο δυναμικό. Οταν το έργο εξόδου του μετάλλου είναι μικρότερο από το άθροισμα χs+(Ec-Ef) τότε το μέταλλο είναι πιό ηλεκτραρνητικό από τον ημιαγωγό. Οταν έρθουν σε επαφή, το μέταλλο θα χάσει ηλεκτρόνια πρός τον ημιαγωγό.

10.2.2 Φραγμός δυναμικού. Στο διάγραμμα του σχήματος 10.5 παρατηρούμε ότι δημιουργείται ένας φραγμός δυναμικού Vb για τα ηλεκτρόνια. Στο πλαίσιο της κλασσικής φυσικής, μόνο τα ηλεκτρόνια που έχουν μεγαλύτερη ενέργεια από Ef + qeVb στο μέταλλο ή στον 6 Ο όρος φορτίο χώρου (στα αγγλικά space charge) προέρχεται απο τις λυχνίες κενού στις οποίες τα θερμιονικά εκπεμπόμενα ηλεκτρόνια σχηματίζουν, σε κάποιες περιπτώσεις, αξιόλογο φορτίο στον κενό χώρο ανάμεσα στα ηλεκτρόδια. Η χρήση του έχει γενικευτεί για πυκνότητα φορτίου στο εσωτερικό μονωτών και ημιαγωγών σε αντιδιαστολή με το επιφανειακό φορτίο.

104


ημιαγωγό μπορούν να κινηθούν από το ένα υλικό στο άλλο. Συχνά ο λόγος qeVb/kT είναι αρκετά μεγαλύτερος από την μονάδα με συνέπεια να είναι πολύ μικρές ή αμελητέες οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων με ενέργεια μεγαλύτερη από τον φραγμό. Αν πάρουμε υπ’ όψη μας το κβαντομηχανικό φαινόμενο σήραγγος μέσα από έναν φραγμό δυναμικού τότε θα πρέπει να εξετάσουμε και το πάχος του. Με εξαίρεση

ημιαγωγούς με μεγάλη συγκέντρωση προσμίξεων στους οποίους το πάχος του φραγμού είναι σχετικά μικρό το φαινόμενο σήραγγος δέν αλλάζει αξιόλογα το ρεύμα ηλεκτρονίων πάνω (ή και μέσα) από τον φραγμό για μηδεμική ή μικρή τάση πόλωσης7. Είναι εύκολο, με την βοήθεια του σχήματος 10.5 , να βεβαιωθεί κανείς ότι ο φραγμός δυναμικού δίνεται από την σχέση:

Σχήμα 10.7 Ωμική επαφή μετάλλου με ημιαγωγό τύπου n. Το αρνητικό φορτίο στην επιφάνεια του ημιαγωγού που βρίσκεται σε επαφή με το μέταλλο οφείλεται σε συσσώρευση ηλεκτρονίων. Η πυκνότητά του είναι μεγάλη και το πάχος της περιοχής φορτίου χώρου είναι μικρό. Η αντίσταση της επαφής είναι μικρότερη απ’ αυτήν του ουδέτερου ημιαγωγού. Υπάρχει απρόσκοπτη ροή ηλεκτρονίων και πρός τις δύο κατευθύνσεις.

Vqb

m

e=

−Φ χ s (10.4)

και το δυναμικό επαφής από την

VE E

qm s C f

e0 =

− + −Φ [ (χ )]

(10.5)

Η ανορθωτική συμπεριφορά της επαφής Schottky σχετίζεται άμεσα με την ύπαρξη του φραγμού δυναμικού στην επαφή όπως θα δούμε στην συνέχεια.

7 Σε μεγάλη ανάστροφη πόλωση το ηλεκτρικό πεδίο στην ΠΑ γίνεται πολύ ισχυρό, ο φραγμός λεπταίνει και το φαινόμενο σήραγγος έχει μεγαλύτερο ρόλο.

105


Στις προηγούμενες εξισώσεις και παραγράφους, όπως και στην συνέχεια του κειμένου αυτού, θεωρούμε ότι το δυναμικό επαφής V0 και ο φραγμός δυναμικού Vb είναι θετικές ποσότητες όπως το έργο εξόδου και η ηλεκτρονική συγγένεια. Ειδικά για το δυναμικό επαφής, θα μπορούσαμε, άν θέλαμε, να χρησιμοποιήσουμε πρόσημο, αρκεί να προσέξουμε το γεγονός ότι το δυναμικό επαφής του μετάλλου με τον ημιαγωγό είναι αντίθετο με αυτό του ημιαγωγού με το μέταλλο. Με άλλα λόγια θα έπρεπε να διευκρινίζουμε ποιό από τα δύο δυναμικά επαφής μεταξύ δύο διαφορετικών υλικών Α και Β εννοούμε το VAB ή, το αντίθετό του, VBA. Τότε θα είχαμε το πρόβλημα της επιλογής του στερεού Α. Να είναι αυτό που σχεδιάζουμε αριστερά; Να είναι πάντα το μέταλλο; Κι΄άν υπάρχουν δύο μέταλλα ή άν δέν υπάρχει κανένα στην επαφή; Για να αποφύγουμε λοιπόν την ασφυκτική και αυθαίρετη πειθαρχία που θα επέβαλε η χρήση προσημασμένου δυναμικού επαφής, ας το θεωρήσουμε πάντα σαν ένα μέτρο και ας φροντίζουμε να καθορίσουμε με άλλο τρόπο την πολικότητα της επαφής.

10.2.3 Απογύμνωση και Συσσώρευση. Φορτίο χώρου σε έναν ημιαγωγό μπορεί να δημιουργηθεί με δύο τρόπους ανάλογα με την απομάκρυνση της Ef από την θέση ισορροπίας της στον ουδέτερο ημιαγωγό. Αν η απομάκρυνση αυτή είναι πρός το κέντρο του χάσματος, τότε στην αντίστοιχη περιοχή του ημιαγωγού μειώνεται η συγκέντρωση ελεύθερων φορέων και το φορτίο των ιονισμένων προσμίξεων δέν αντισταθμίζεταιαπό το φορτίο των φορέων άρα απογυμνώνεται. Το φαινόμενο αυτό λέγεται απογύμνωση . Αν, αντίθετα, η απομάκρυνση της Fermi απο την θέση ισορροπίας της, την φέρνει κοντύτερα σε κάποια ζώνη, τότε η συγκέντρωση φορέων αυξάνει και το φορτίο τους γίνεται μεγαλύτερο απ’ αυτό των ιονισμένων προσμίξεων. Το φαινόμενο αυτό λέγεται Συσσώρευση (εννοείται φορέων) και είναι ουσιαστικά το αντίθετο από την απογύμνωση. Υπάρχουν σημαντικές διαφορές σχετικά με το φορτίο χώρου που δημιουργείται με τους δύο αυτούς τρόπους:

• Το φορτίο απογύμνωσης έχει αντίθετο πρόσημο απ’αυτό του φορέα πλειονότητας.

• Το φορτίο απογύμνωσης είναι ακίνητο εφ’ όσον προέρχεται από ιονισμένα άτομα προσμίξεων που έχουν απόλυτα καθορισμένες θέσεις στο πλέγμα, ιδιαίτερα στις θερμοκρασίες που λειτουργούν οι ημιαγωγικές διατάξεις. Αντίθετα το φορτίο συσσώρευσης είναι ευκίνητο και ισορροπεί μόνο δυναμικά όταν εξισώνεται το ρεύμα διάχυσης με το ρεύμα ολίσθησης

• Η πυκνότητα φορτίου απογύμνωσης είναι περιορισμένη. Πράγματι η πυκνότητα φορτίου απογύμνωσης δέν είναι δυνατό να γίνει μεγαλύτερη από την συγκέντρωση προσμίξεων (επί το στοιχειώδες φορτίο). Αντίθετα το φορτίο συσσώρευσης δέν έχει πρακτικά άνω όριο εφ’ όσον συνεχίζει να αυξάνεται όταν η Fermi μπεί μέσα σε μία ζώνη. Αν συμβεί αυτό, έχουμε τον λεγόμενο

106


εκφυλισμένο ημιαγωγό που έχει συγκεντρώσεις φορέων εξ’ ίσου μεγάλες με

ένα μέταλλο.

Σχήμα 10.8 Ενα μέταλλο και ένας ημιαγωγός τύπου p στο ίδιο δυναμικό. Εφόσον η αγωγιμότητα του ημιαγωγού οφείλεται σε οπές θα πρέπει να εξατάσουμε τί συμβαίνει στην περίπτωση της επαφής τους από την άποψη των οπών.

10.2.4 Η Περιοχή Απογύμνωσης στην επαφή Schottky Στο σχήμα 10.5 το δυναμικό επαφής αναπτύσσεται εξ ολοκλήρου σε περιοχή μέσα στον ημιαγωγό που ονομάζεται περιοχή απογύμνωσης (ΠΑ) και είναι, αναγκαστικά σύμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο, μία περιοχή φορτίου χώρου. Η ΠΑ έχει πολύ μικρές συγκεντρώσεις φορέων και κατά συνέπεια μεγάλη αντίσταση. Η ιδιότητα αυτή έχει σαν αποτέλεσμα να “μεταφέρεται”8 στην ΠΑ μία τάση που εφαρμόζεται εξωτερικά στην επαφή Schottky εφ’ όσον και το μέταλλο και η ουδέτερη περιοχή n του ημιαγωγού έχουν πολύ μεγαλύτερες συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και κατα συνέπεια πολύ μικρότερη αντίσταση. Το πάχος της ΠΑ καθορίζεται από το δυναμικό επαφής και την συγκέντρωση προσμίξεων. Το ολικό φορτίο της ΠΑ του ημιαγωγού, θετικό για την επαφή του σχήματος 10.5, πρέπει να έχει το ίδιο μέτρο με το, αρνητικό στην περίπτωση αυτή, φορτίο της επιφανειακής περιοχής του μετάλλου.

8 Αν προτιμήσουμε να είμαστε πιό ακριβολόγοι, με θυσία της παραστατικότητας, θα πρέπει να πούμε ότι, όταν εφαρμόζεται κάποια τάση σε αντιστάσεις σε σειρά, κατανέμεται σ’ αυτές ανάλογα με την τιμή της κάθε αντίστασης. Στην συγκεκριμένη περίπτωση, η πτώση τάσης στο μέταλλο και στην ουδέτερη περιοχή του ημιαγωγού είναι αμελητέα επειδή είναι αμελητέες οι αντιστάσεις των περιοχών αυτών σε σχέση μ’ αυτής της ΠΑ.

107


Η παρουσία του φορτίου χώρου στην ΠΑ έχει σάν αποτέλεσμα την λεγόμενη κάμψη των ζωνών . Ο πολύ γνωστός στην φυσική των διατάξεων όρος αυτός περιγράφει σωστά δύο γεγονότα:

ο νόμος του Poisson επιβάλλει μή μηδενική δεύτερη παράγωγο κάθε καμπύλης δυναμικού ή δυναμικής ενέργειας

•

•

Σχήμα 10.9 Επαφή Schottky μετάλλου με ημιαγωγό τύπου p. Σημειώνονται το δυναμικό επαφής V0 και ο φραγμός δυναμικού Vb για τις οπές.

Η κάμψη είναι κοινή για τις δύο ζώνες, εφ’ όσον δέν υπάρχει κανένας λόγος αλλαγής του ενεργειακού χάσματος του ημιαγωγού στην ΠΑ. Η κάμψη είναι επίσης ακριβώς η ίδια, για τους λόγους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο 10.1.2 και για την ΣΚ και την ενδογενή Fermi Ωμικές επαφές μετάλλου-ημιαγωγού.

Η κάμψη των ζωνών σε μία επαφή μετάλλου-ημιαγωγού καθορίζεται από την σχέση του έργου εξόδου του μετάλλου σε σχέση με την ηλεκτρονική συγγένεια του ημιαγωγού και δεν οδηγεί πάντα σε απογύμνωση και σε επαφή Schottky. Η δεύτερη δυνατότητα είναι να έχουμε κάμψη των ζωνών που προκαλεί συσσώρευση στην επιφάνεια του ημιαγωγού. με αποτέλεσμα τον σχηματισμό ωμικής επαφής. Στην ωμική επαφή το διπλό στρώμα φορτίου είναι παρόμιο μ’ αυτό που δημιουργείται στα μέταλλα. Το φορτίο του ημιαγωγού δημιουργείται με συσσώρευση φορέων, η πυκνότητά του είναι μεγάλη και το πάχος της περιοχής φορτίου χώρου είναι μικρό. Η αγωγιμότητα της περιοχής αυτής συσσώρευσης είναι μεγαλύτερη από τον υπόλοιπο ουδέτερο ημιαγωγό. Δέν υπάρχει κανένας φραγμός στην ελεύθερη ροή ηλεκτρονίων από το ένα στερεό στο άλλο. Το ρεύμα, που περνάει και για τις δύο πολικότητες, καθορίζεται από την μεγαλύτερη σε σειρά αντίσταση του συστήματος αυτού που είναι αυτή της ουδέτερης περιοχής του ημιαγωγού. Το δυναμικό επαφής δίνεται επίσης από την σχέση 10.5

108


Είναι δυνατό μία επαφή Schottky σε ημιαγωγό με μεγάλη συγκέντρωση προσμίξεων ή άλλων καταστάσεων μέσα στο ενεργειακό χάσμα9 να έχει πάχος φραγμού δυναμικού τόσο μικρό ώστε, σε συνδυασμό με σχετικά μικρό ύψος φραγμού δυναμικού, να υπάρχει αξιόλογο ρεύμα σχεδόν ανεξάρτητο από την πολικότητα της εφαρμοζόμενης τάσης. Παρά το γεγονός ότι δέν υπάρχει συσσώρευση σε επαφή με αυτά τα χαρακτηριστικά, η ηλεκτρική της συμπεριφορά την κατατάσσει στις ωμικές επαφές. Ανάμεσα στα δύο ξεκάθαρα όρια μιάς επαφής Schottky με φραγμό δυναμικού που επιτρέπει την διέλευση σε μηδαμινό πρακτικά ποσοστό από τα διαθέσιμα ηλεκτρόνια στον ημιαγωγό10 και σε μία πραγματική ωμική επαφή με φορτίο συσσώρευσης φορέων πλειονότητας, υπάρχει μία τεράστια γκρίζα περιοχή στην οποία βρίσκονται οι περισσότερες από τις επαφές μετάλλου ημιαγωγού. Για αυτές θα μπορούσαμε να πούμε ότι δέν είναι ούτε καλές Schottky ούτε καλές ωμικές επαφές. Στην τεχνολογία των διατάξεων θεωρείται πραγματική τέχνη, και λιγότερο επιστήμη, η δημιουργία των καλών δύο άκρων.

10.2.5 Επαφή Schottky μετάλλου με ημιαγωγό τύπου p. Επαφές Schottky και ωμικές σχηματίζονται και σε ημιαγωγούς τύπου p. Στο σχήμα 10.8 βλέπουμε το ενεργειακό διάγραμμα ενός μετάλλου και ενός ημιαγωγού τύπου p όταν βρίσκονται στο ίδιο δυναμικό. Με δεδομένο ότι η αγωγιμότητα του ημιαγωγού οφείλεται μόνο σε οπές που υπάρχουν και κινούνται στην ΖΣ του, θα πρέπει να εξετάσουμε την ανταλλαγή “οπών” μεταξύ των δύο στερεών. “Οπές” στο μέταλλο βρίσκονται σε αφθονία πάνω από την στάθμη Fermi. Τα εισαγωγικά στην λέξη οπές υπενθυμίζουν ότι δέν πρόκειται για οπές με τις δυναμικές ιδιότητες των οπών της ΖΣ των ημιαγωγών αλλά για άδειες καταστάσεις στο μέταλλο. Αν λοιπόν μιλήσουμε για ροή οπών από το μέταλλο προς τον ημιαγωγό εννούμε την μεταφορά ηλεκτρονίων από καταστάσεις της ΖΣ του ημιαγωγού σε διαθέσιμες καταστάσεις, πάνω από την Efm του μετάλλου. Αν αντίθετα μιλήσουμε για ροή οπών από τον ημιαγωγό πρός το μέταλλο θα εννοούμε την μετάβαση ηλετρονίου από κατάσταση κάτω από την Efm σε μία κατάσταση της ΖΣ του ημιαγωγού. Το δυναμικό επαφής δίνεται από την σχέση 10.5 και ο φραγμός δυναμικού από την:

e

gsmb q

EV

)( +−Φ=

χ (10.6)

10.2.6 Εξωτερική πόλωση επαφής Schottky

9 Σημαντικό ρόλο στις επαφές μετάλλου ημιαγωγού παίζουν οι επιφανειακές ηλεκτρονικές καταστάσεις που αναλύονται στην συνέχεια

10 Αρα σε ακόμα μικρότερο ποσοστό απ’ αυτά που είναι διαθέσιμα στο μέταλλο.

109


Οπως αναφέρθηκε προηγούμενα η αντίσταση της ΠΑ σε μία επαφή Schottky είναι κατά πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη απ’ αυτήν του μετάλλου και της ουδέτερης περιοχής του ημιαγωγού. Οταν εφαρμόζεται μία εξωτερική τάση πόλωσης , Vεξ , στην ουσία αλλάζει το δυναμικό επαφής και γίνεται ίσο με:

V V Vc = −0 εξ (10.7)

Το πρόσημο πλήν στην εξωτερικά εφαρμοζόμενη τάση προέρχεται από την σύμβαση που ακολουθείται πάντα στις διόδους, σύμφωνα με την οποία πάντα θεωρείται θετική η τάση ορθής πόλωσης της επαφής. Είναι δηλαδή θετική η πολικότητα για την οποία περνά αξιόλογο ρεύμα μέσα από την δίοδο. Από την άποψη

των ενεργειακών διαγραμμάτων, η εξωτερικά εφαρμοζόμενη τάση μπορεί να μειώνει ή να αυξάνει τον φραγμό δυναμικό που συναντούν οι φορείς στην περιοχή της επαφής. Οταν η εξωτερική πόλωση είναι μηδέν, η επαφή βρίσκεται στην θερμοδυναμική ισορροπία και η στάθμη Fermi είναι ενιαία στα δύο στερεά. Στην κατάσταση αυτή το ολικό ρεύμα που περνά μέσα από τη επαφή είναι μηδέν χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν ανταλλάσονται καθόλου φορείς μεταξύ των δύο στερεών. Αυτό που συμβαίνει είναι μία τέλεια αντιστάθμιση μεταξύ δύο αντίθετων ρευμάτων. Οταν ο φραγμός δυναμικού είναι αρκετά μεγάλος, τότε τα αντίθετα αυτά ρεύματα είναι πολύ μικρά.

Στο σχήμα Σχήμα10.10 βλέπουμε τα ενεργειακά διαγράμματα μίας επαφής Schottky σε ημιαγωγό τύπου n. Η εξωτερικά εφαρμοζόμενη τάση πόλωσης μεταφέρεται στην ΠΑ του ημιαγωγού και προκαλεί μείωση του φραγμού δυναμικού για ορθή πόλωση και αύξηση του για ανάστροφη, για ηλεκτρόνια που κινούνται από τον ημιαγωγό πρός το μέταλλο. Το μόνο αξιόλογο ρεύμα στην επαφή Schottky σε ημιαγωγό n, είναι το ρεύμα ηλεκτρονίων από τον ημιαγωγό πρός το μέταλλο, κάτω από ορθή πόλωση.

10.2.7 Φορτίο, πεδίο και δυναμικό

Σχήμα10.10 Εξωτερική πόλωση σε επαφή Schottky σε ημιαγωγό τύπου n. Η εξωτερικά εφαρμοζόμενη τάση, πολλαπλασιασμένη επί -qe είναι ίση με την διαφορά ανάμεσα στην ψευδοστάθμη Fermi στο ημιαγωγό και την Fermi του μετάλλου. Στην ορθή πόλωση : Vext > 0, ο φραγμός δυναμικού για ηλεκτρόνια που κινούνται από τον ημιαγωγό πρός το μέταλλο είναι πολύ μικρότερος από τον φραγμό που υπάρχει χωρίς πόλωση με αποτέλεσμα να παρατηρείται σημαντικό ρεύμα ηλεκτρονίων από τον ημιαγωγό πρός το μέταλλο. Ο φραγμός δυναμικού για ηλεκτρόνια που κινούνται από το μέταλλο προς τον ημιαγωγό είναι πρακτικά ανεξάρτπόλωση

ητος από την τάση ς.

Σχήμα10.11 Οι συναρτήσεις πυκνότητας φορτίου ρ(x), έντασης ηλεκτρικού πεδίου E(x) και δυναμικού V(x) στην ΠΑ επαφής Schottky μετάλλου σε ημιαγωγό τύπου n.

110


στην περιοχή απογύμνωσης. Ας εξετάσουμε τώρα ποσοτικά την εξάρτηση της έντασης του ηλεκρικού πεδίου και του δυναμικού από την θέση, στην ΠΑ του ημιαγωγού. Είναι προφανές ότι οι ποσότητες αυτές συνδέοντα με την πυκνότητα φορτίου μέσα από θεμελιώδεις σχέσεις του ηλεκτρομαγνητισμού και συγκεκριμένα την εξίσωση του Poisson (10.2, 10.3) και την βασική σχέση μεταξύ πεδίου και δυναμικού: E = −∇V x( ) (10.8) που σε μία διάσταση γράφεται:

E = −∂∂V x

x( )

(10.9)

Ας θεωρήσουμε επαφή Schottky σε ημιαγωγό n με σταθερή πυκνότητα δοτών Nd. Η μέγιστη πυκνότητα φορτίου στην ΠΑ, που αντιστοιχεί σε πλήρη απογύμνωση από ηλεκτρόνια, είναι: ρ( )x q Ne d= − (10.10) Επειδή η συγκέντρωση ηλεκτρονίων εξαρτάται εκθετικά από την διαφορά Ec-Ef , η πυκνότητα φορτίου είναι μικρότερη από την τιμή αυτή μόνο σε μία μικρή περιοχή κοντά στο όριο μεταξύ ΠΑ και ουδέτερης περιοχής n. Μπορούμε, χωρίς αξιόλογο λάθος, να θεωρήσουμε ότι η ΠΑ έχει ένα σαφές όριο και σταθερή πυκνότητα φορτίου χώρου, ίση με την μέγιστη τιμή που δίνεται από την 10.10. Εστω τότε xn το πάχος της ΠΑ11. Θεωρούμε επίπεδη και άπειρη, για την απλότητα της μαθηματικής ανάλυσης, την επαφή του μετάλλου με τον ημιαγωγό και άξονα x κάθετο σ’ αυτήν. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στην ΠΑ είναι ανεξάρτητη από τους άξονες y και z του επιπέδου της επαφής και δίνεται τότε από την σχέση:

E =( ) ( )x x dx C q N dx C q N xs s

e ds

e d

1 1 1ε

ρε ε

+ = + = +∫ ∫ C

(10.11)

οπου εs η διηλεκτρική σταθερά του ημιαγωγού και C σταθερά που θα καθοριστεί από τις οριακές συνθήκες. Η ουδέτερη περιοχή του ημιαγωγού έχει αγωγιμότητα μεγαλύτερη κατά πολλές τάξεις μεγέθους απ΄αυτήν της ΠΑ. Μπορούμε, κατά συνέπεια, να θεωρήσουμε μηδενική την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μέσα στην ουδέτερη περιοχή12. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου πρέπει να είναι συνεχής στο όριο μεταξύ ΠΑ και ουδέτερης n εφόσον η πυκνότητα φορτίου χώρου είναι πεπερασμένη.

11 Επιλέγουμε το σύμβολο xn για ομοιομορφία με την ανάλυση της επαφής pn που ακολουθεί.Θα χρησιμοποιήσουμε στην συνέχεια το σύμβολο w για το ολικό πάχος της περιοχής απογύμνωσης. Στην περίπτωση της Schottky w=xn.

12 Οταν δέν υπάρχει εξωτερική πόλωση και ρεύμα μέσα από την ουδέτερη περιοχή η ένταση του πεδίου είναι ακριβώς μηδέν. Στην αντίθετη περίπτωση το πεδίο στην ουδέτερη περιοχή είναι τόσο μικρό σε σχέση με αυτο της ΠΑ, που είναι λογικό να το αγνοήσουμε.

111


Μπορούμε λοιπόν να καθορίσουμε την τιμή της σταθεράς στην 10.11 θέτοντας :

E =( )x Cq

N xne

sd n0 ⇒ = −

ε (10.12)

από την οποία προκύπτει η συνάρτηση E (x) στην ΠΑ:

E( ) ( )xq

N x xne

sd= −

ε n (10.13)

που φαίνεται στο σχήμα Σχήμα10.11. Με δεδομένη την συνάρτηση E(x) και τις οριακές συνθήκες υπολογίζουμε την συνάρτηση του δυναμικού V(x) που δίνεται από την σχέση:

V x x dx Cq

N x x dx C

qN x x C

ve

sd n v

e

sd n v

( ) ( ) ( )

( )

= − + = − − + =

− − +

∫ ∫Eε

ε22

(10.14)

όπου η σταθερά Cv θα καθοριστεί επίσης απο τις οριακές συνθήκες. Εφ' όσον έχουμε ελευθερία στον καθορισμό της στάθμης αναφοράς δυναμικού ας θεωρήσουμε ότι το δυναμικό στην ουδέτερη περιοχή n και κατά συνέπεια και στο σημείο x=xn είναι μηδέν, οπότε και η τιμή της Cv είναι 0. Τελικά βρίσκουμε για το δυναμικό:

V xq

N x xe

sd n( ) ( )= − −

22

ε (10.15)

Το δυναμικό αυτό φαίνεται στο σχήμα Σχήμα10.. Η κάμψη των ζωνών που αντιστοιχεί στο δυναμικό αυτό δίνεται από την σχέση:

E x q V x E xq

N x x E xc e c ne

sd( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + = − +

22

2ε c n (10.16)

Η κάμψη ζωνών που φαίνεται στο σχήμα 10.5 , δηλαδή σ' ένα ενεργειακό διάγραμμα για ηλεκτρόνια, έχει αντίθετο πρόσημο από το δυναμικό του σχήματος Σχήμα10. που είναι το συμβατικό δυναμικό, για θετικό μοναδιαίο φορτίο, της εξίσωσης του Poisson.

10.2.8 Πάχος της περιοχής απογύμνωσης και εξωτερική πόλωση. Οι σχέσεις για το πεδίο και το δυναμικό της προηγούμενης παραγράφου δέν προυποθέτουν ότι η κατανομή και συγκέντρωση φορέων αντιστοιχούν στην θερμοδυναμική ισορροπία Αν το φορτίο των φορέων μέσα στην ΠΑ δέν είναι ικανό να θωρακίσει το φορτίο των ιονισμένων προσμίξεων τότε η σχέση 10.15 παραμένει ισχυρή. Το θετικό φορτίο στον ημιαγωγό και το αρνητικό στο μέταλλο σε μία επαφή Schottky σε ημιαγωγό τύπου n είναι κατανεμημένα πάρα πολύ άνισα. Ολο το αρνητικό φορτίο του μετάλλου είναι συγκεντρωμένο στην επιφάνεια ενώ το ίσο μ’ αυτό θετικό φορτίο του ημιαγωγού είναι κατανεμημένο σε όλη την ΠΑ με σχετικά μικρή πυκνότητα φορτίου χώρου. Η άνιση κατανομή αυτή έχει σάν αποτέλεσμα την αντίστοιχα άνιση κατανομή του δυναμικού επαφής στα δύο στερεά. Το ποσοστό της

112


τάσης επαφής που αναπτύσσεται μέσα στο μέταλλο, είναι τόσο μικρό ώστε πρακτικά μπορούμε να πούμε ότι η διαφορά δυναμικού στην ΠΑ του ημιαγωγού είναι ίση με το δυναμικό επαφής. Στην ισορροπία, με μηδενική τάση εξωτερικής πόλωσης της επαφής, το μέτρο του δυναμικού στο x=0 είναι πρακτικά ίσο με το δυναμικό επαφής V0. Αν ονομάσουμε w0 το πάχος της περιοχής απογύμνωσης13 στην ισορροπία βρίσκουμε από την 10.15 ότι:

Vq N

we d

s0

2

2=

ε 0 (10.17)

και για το πάχος της ΠΑ

wq N

Vs

e d0

2=

ε0 (10.18)

Για τους λόγους που αναφέρθηκαν, η 10.18 ισχύει γενικότερα για οποιοδήποτε πόλωση που δημιουργεί μεγαλύτερη, στην ανάστροφη πόλωση, ή μικρότερη, στην ορθή, διαφορά δυναμικού στην ΠΑ, σύμφωνα με την 10.7 Στην γενική περίπτωση:

wq N

V Vs

e dext= −

20

ε( )

(10.19)

Παρατηρούμε ότι το πάχος της ΠΑ μεταβάλλεται με τη τάση πόλωσης. Η ΠΑ συρρικνώνεται στην ορθή πόλωση (Vext>0) και εκτείνεται στην ανάστροφη (Vext<0).

10.3 Επαφές pn Οι επαφές Schottky χρησιμοποιήθηκαν στους πρώτους ανορθωτές στερεάς κατάστασης είναι όμως αναμφισβήτητο ότι στις καθοριστικές δεκαετίες της μεγάλης ανάπτυξη των ημιαγωγικών ηλεκτρονικών διατάξεων μετά τον 2ο Παγκόσμιο Πόλεμο, οι διατάξεις στερεάς κατάστασης βασίστηκαν στις λεγόμενες διπολικές επαφές. Από το πρώτο τρανζίστορ το 1947 μέχρι την δημοφιλή τεχνολογία TTL (Transistor-Transistor Logic) που άνοιξε την εποχή της ψηφιακής τεχνολογίας της πληροφορικής και των τηλεπιποινωνιών, χρησιμοποιήθηκε σχεδόν αποκλειστικά η διπολική επαφή. Σήμερα που κυριαρχούν τα Τρανζίστορ Πεδίου (FET) και κυρίως τα MOSFETs, οι διπολικές διατάξεις έχασαν την αποκλειστικότητα αλλά όχι και την σημασία τους. Οι δύο “πόλoι” είναι ένας ημιαγωγός τύπου n με ηλεκτρόνια και ένας τύπου p με οπές. Είναι δύο περιοχές του ίδιου ημιαγωγού με διαφορετικό τύπο προσμίξεων : δοτών και αποδεκτών.

Μία επαφή pn δέν γίνεται ποτέ με το να “κολλήσουν” μεταξύ τους δύο κομμάτια ημιαγωγού με διαφορετικές προσμίξεις, ούτε είναι δυνατό να αλλάξει απότομα σε κάποια εσωτερική επιφάνεια του ημιαγωγού ο τύπος των προσμίξεων από δότες σε αποδέκτες ή το αντίστροφο. Θα εξετάσουμε όμως στην αρχή αυτήν ακριβώς την περίπτωση, την λεγόμενη απότομη επαφή pn, για την απλούστευση της ανάλυσης των βασικών χαρακτηριστικών της διπολικής επαφής, τα οποία, όπως θα δούμε στην

13 ίσο με το xn στην Schottky σε ημιαγωγό n.

113


Σχήμα10.102 Ενεργειακό διάγραμμα διπολικής επαφής. Διακρίνουμε 4 περιοχές. Από τα αριστερά πρός τα δεξιά: η ουδέτερη περιοχή p έχει σχετικά μεγάλη συγκέντρωση οπών και μεγάλη αγωγιμότητα. Η απογυμνωμένη περιοχή p δέν έχει αξίόλογη συγκέντρωση φορέων και κατά συνέπεια είναι μη αγώγιμη έχει όμως το αρνητικό φορτίο των ιονισμένων αποδεκτών. Αντίστοιχα , με θετικό φορτίο χώρου, ισχύουν για την απογυμνωμένη περιοχή n στα δεξιά της μεταλλουργικής επαφής ΜΕ. Τέλος, η ουδέτερη περιοχή n έχει μεγάλη συγκέντρωση ηλεκτρονίων και είναι αγώγιμη όπως και η ουδέτερη p.

συνέχεια, είναι κοινά και στις επαφές όπου η μετάβαση από τον ένα τύπο πρόσμιξης στον άλλο γίνεται λιγότερο “απότομα”

10.3.1 Απότομη επαφή pn. Θεωρούμε ότι έχουμε έναν ημιαγωγό στο εσωτερικό του οποίου αλλάζει απότομα το είδος ατόμων πρόσμιξης από δότες σε αποδέκτες ή το αντίστροφο. Θεωρούμε επίσης ότι η εσωτερική επιφάνεια στην οποία γίνεται η αλλαγή στην χημική σύνθεση του ημιαγωγού, η λεγόμενη μεταλλουργική επαφή (ΜΕ) 14, είναι επίπεδη και “άπειρη”. Για την ποσοτική ανάλυση της θα χρησιμοοιήσουμε άξονα x, κάθετο στην μεταλλουργική επαφή την οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και σάν αρχή του x. Στο σχήμα 10.102 βλέπουμε το ενεργειακό διάγραμμα της επαφής pn στην ισορροπία, με μηδενική εξωτερική τάση. Η στάθμη Fermi είναι ενιαία και είναι προφανές ότι έχει δημιουργηθεί δυναμικό επαφής ίσο με :

14 Η ηλεκτρική επαφή των δύο περιοχών, όπως θα δούμε στην συνέχεια, δεν είναι μία επιφάνεια αλλά ένα διπλό στρώμα φορτίου, μία διπλή περιοχή απογύμνωσης, πολύ πιό πολύπλοκη και εκτεταμένη από την επαφάνεια αλλαγής χημικής σύστασης . Ο όρος μεταλλουργική υπενθυμίζει το γεγονός ότι η επαφή αυτή φτιάχνεται σε υψηλές θερμοκρασίες με διαδικασίες και συνθήκες μεταλλουργίας.

114


nfcpvfg0 )EE()EE(EV −−−−= (10.20)

όπου οι διαφορές (Ef – Ev ) και η (Ec - Ef) αναφέρονται στις ουδέτερες περιοχές p και n αντίστοιχα. Οι περιοχές του ημιαγωγού που είναι μακρυά από την ΜΕ, είναι αδιατάρακτες σε σχέση με την ισορροπία, είναι ηλεκτρικά ουδέτερες και αγώγιμες . Κοντά στην ΜΕ δημιουργείται ένα διπλό στρώμα φορτίου το οποίο έχει σαν αποτέλεσμα την ύπαρξη της διαφοράς δυναμικού V0 μεταξύ των δύο περιοχών του ημιαγωγού. Είναι το ίδιο με αυτό που συμβαίνει και στην επαφή μεταξύ διαφορετικών μετάλλων, με την σημαντική διαφορά ότι οι περιοχές ημιαγωγών με μή μηδενική πυκνότητα φορτίου χώρου είναι πολύ μεγαλύτερες απ΄αυτές των μετάλλων. Το στρώμα φορτίου δημιουργείται με απογύμνωση μέρους των περιοχών n και p, δεξιά και αριστερά της επαφής. Ολο το στρώμα φορτίου χώρου ονομάζεται περιοχή απογύμνωσης (ΠΑ) , όπως και στις επαφές Schottky.

10.3.2 Η συνθήκη ολικής ηλεκτρικής ουδετερότητας. Στην επαφή pn, όπως και στις επαφές που εξετάστηκαν στις προηγούμενες παραγράφους, το διπλό στρώμα φορτίου είναι συνολικά ουδέτερο: το αρνητικό φορτίο στο ένα στερεό είναι ίσο σε μέτρο με το θετικό φορτίο στο άλλο. Ενας απλός τρόπος για να το καταλάβει κανείς αυτό είναι να σκεφτεί ότι η επαφή μπορεί να δημιουργηθεί με την ανταλλαγή ηλεκτρονίων μεταξή δύο σωμάτων που είναι αρχικά ουδέτερα. Ακόμα και όταν το κάθε σώμα μπορεί να μήν παραμένει ουδέτερο μετά την επαφή, το σύστημα των δύο πρέπει να παραμείνει συνολικά ουδέτερο. Πρόκειται εδώ για την λεγόμενη Συνθήκη Ολικής15 Ηλεκτρικής Ουδετερότητας στην επαφή. Ενας άλλος τρόπος να δείξουμε ότι πρέπει να ισχύει η συνθήκη ολικής ηλεκτρικής ουδετερότητας είναι να θεωρήσουμε σε μία τυχαία θέση στην ΜΕ, μία κυλινδρική επιφάνεια Gauss την οποία η ΜΕ τέμνει κάθετα στο άξονα του κυλίνδρου και της οποίας οι βάσεις βρίσκονται στις αγώγιμες ουδέτερες περιοχές έξω από την ΠΑ. Το ηλεκτρικό πεδίο στις περιοχές αυτές πρέπει να είναι μηδενικό στην ισορροπία. Λόγω συμμετρίας, δεν περιμένουμε να υπάρχει συνιστώσα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E παράλληλα στην ΜΕ. Εφόσον λοιπόν, η συνολική ροή του E στην επιφάνεια Gauss αυτή είναι μηδέν, θα πρέπει και το συνολικό φορτίο στο εσωτερικό της να είναι μηδέν. Εστω xn και xp τα πάχη των απογυμνωμένων περιοχών σε μία απότομη, επίπεδη, διπολική επαφή. Αν θεωρήσουμε πλήρη απογύμνωση, η συνθήκη ολικής ουδετερότητας γράφεται: x N x Nn d p a= (10.21)

15 Σε αντιδιαστολή με την συνθήκη ουδετερότητας που χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό της στάθμης Fermi ισορροπίας στο εσωτερικό ενός ημιαγωγού, συνθήκη που είναι τοπική.

115


Οταν περνάει ρεύμα μέσα από την επαφή16, η συνθήκη ολικής ουδετερότητας δέν ισχύει αυστηρά γιατί πρέπει να υπάρχει κάποιο, μικρό σχετικά, πεδίο στις ουδέτερες περιοχές για να υπάρχει και αντίστοιχο ρεύμα ολίσθησης. Οι ευκινησίες των φορέων είναι εν γένει διαφορετικές, γεγονός που, συνδυαζόμενο με την συνέχεια ρεύματος, σημαίνει ότι το ηλεκτρικό πεδίο δεν είναι κατ΄ ανάγκη το ίδιο στις δύο ουδέτερες περιοχές. Αρα το φορτίο που περικλείει η επιφάνεια Gauss που θεωρήσαμε δέν είναι αυστηρά μηδέν όταν περνά ρεύμα μέσα από την επαφή. Ακόμα και όταν υπάρχει πεδίο στις ουδέτερες περιοχές η έντασή του είναι τόσο μικρή σε σχέση με το πεδίο στην ΠΑ ώστε να μπορούμε με ασφάλεια να θεωρήσουμε ότι ισχύει προσεγγιστικά η συνθήκη ολικής ουδετερότητας. Με βάση την 10.21 , παρατηρούμε ότι όσο μικρότερη η συγκέντρωση προσμίξεων σε μία περιοχή ημιαγωγού τόσο μεγαλύτερο είναι το πάχος της ΠΑ μέσα στην περιοχή αυτή.

10.3.3 Δυναμικό επαφής Το δυναμικό επαφής ονομάζεται και δυναμικό διάχυσης γιατί οφείλεται ουσιαστικά στην διάχυση φορέων από την μία περιοχή στην άλλη στην διπολική επαφή όπως και σε κάθε άλλη επαφή μεταξύ στερεών με διαφορετικό χημικό δυναμικό για ηλεκτρόνια. Είναι εύκολο να υπολογιστεί το δυναμικό δυναμικό επαφής από την 10.20 αν ξέρουμε το πόσο απέχει η στάθμη Fermi από την αντίστοιχη ζώνη σε κάθε ουδέτερη περιοχή. Στις ουδέτερες περιοχές, οι συγκεντρώσεις φορέων βρίσκονται σε θερμοδυναμική ισορροπία17. Εχουμε τώρα να κάνουμε με τέσσερεις διαφορετικές συγκεντρώσεις ισορροπίας. Ο καθιερωμένος συμβολισμός είναι να χρησιμοποιούμε τον τύπο n ή p της περιοχής σάν δείκτη στις αντίστοιχες συγκεντρώσεις. Για παράδειγμα np(x) είναι η συγκέντρωση ηλεκτρονίων (φορέων μειονότητας) στην περιοχή p και np0 η τιμή ισορροπίας της. Στο πλαίσιο της προσέγγισης Boltzmann έχουμε:

( ) ln( ), ( ) ln(E E kT Nn

E E kT Npc f n

c

nf v p

v

p− = − =

0 0) (10.22)

οπότε η 10.20 γράφεται:

VEq

kTq

Nn

Np

kTq

N Nn

N Nn p

kTq

n p

n

g

e e

c

n

v

p

e

c v

i

c v

n p e

n p

i

00 0

20 0

0 02

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ln ln

ln ln ln

(10.23)

η οποία, άν θεωρήσουμε πλήρη ιονισμό των προσμίξεων, γράφεται:

V kTq

N Nne

d a

i0 2≈

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ln (10.24)

16 Μία κατάσταση που δέν αντιστοιχεί σε θερμοδυναμική ισορροπία. 17 Ακόμα κι’ άν εφαρμόζεται εξωτερική πόλωση, οι συγκεντρώσεις φορέων στις ουδέτερες αγώγιμες περιοχές παραμένουν στις τιμές θερμοδυναμικής ισορροπίας για κάθε μία περιοχή χωριστά .

116


Οι συγκεντρώσεις ισορροπίας στις δύο ουδέτερες περιοχές ικανοποιούν πάντα τις σχέσεις:

n p n p nn n p p i0 0 0 02= =

(10.25) με βάση τις σχέσεις αυτές και την 10.23 καταλήγουμε στις ακόλουθες χρήσιμες σχέσεις μεταξύ του δυναμικού επαφής και των συγκεντρώσεων φορέων πλειονότητας και μειονότητας στις δύο ουδέτερες περιοχές της διπολικής επαφής.

V kTq

pp

kTq

nne

p

n e

n

p0

0

0

0

0=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ln ln

(10.26)

10.3.4 Φορτίο, πεδίο και δυναμικό στην περιοχή απογύμνωσης. Ο καθορισμός των συναρτήσεων της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και του δυναμικού στην ΠΑ με βάσει την πυκνότητα φορτίου ακολουθεί τα ίδια ακριβώς βήματα που αναλύθηκαν σε προηγούμενη παράγραφο για τις επαφές Schottky. Τα αντίστοιχα διαγράμματα για την διπολική επαφή φαίνονται στο σχήμα 10.113. Το ηλεκτρικό πεδίο αυξάνεται γραμμικά και από τα όρια των ΠΑ πρός την ΜΕ στην οποία παίρνει την μέγιστη τιμή του. Στην απογυμνωμένη p το φορτίο και η κλίση του Ε(x) είναι αρνητικά. Στην απογυμνωμένη n είναι θετικά. Το ηλεκτρικό πεδίο είναι μηδέν στις ουδέτερες περιοχές. Μπορούμε, σε τέλεια αναλογία με την 10.18 να

γράψουμε για τα μέτρα των δύο τμημάτων του δυναμικού επαφής :

Σχήμα 10.113 Διαγράμματα πυκνότητας φορτίου, έντασης ηλεκτρικού πεδίου και δυναμικού σαν συνάρτηση του x σε απότομη επαφή pn. Το δυναμικό επαφής κατανέμεται στα δύο τμήματα της περιοχής απογύμνωσης : ΔVp στην απογυμνωμένη p και ΔVn στην απογυμνωμένη n. Τα πάχη των περιοχών αυτών είναι αντίστοιχα xp και xn. Το ολικό πάχος της ΠΑ είναι w.

Δ ΔV q N x V q N xne d

sn p

e a

sp= =

2 22

ε ε2 (10.27)

117


με την βοήθεια της 10.21 βρίσκουμε για το ολικό πάχος της ΠΑ στην διπολική επαφή:

w N Nq N N

Vs a de a d

02

=+ε ( )

0 (10.28)

η οποία γενικεύεται για να συμπεριλάβει εξωτερική τάση πόλωσης με τον ίδιο τρόπο που έγινε στις επαφές Schottky και με δεδομένο ότι, και στην διπολική επαφή, ο φραγμός δυναμικού με εξωτερική πόλωση δίνεται επίσης από την 10.7. Στην γενική περίπτωση έχουμε:

w N Nq N N

V Vs a d

e a dext=

+−

20

ε ( ) ( ) (10.29)

Είναι εύκολο να υπολογίσουμε πως κατανέμεται το δυναμικό επαφής στις δύο απογυμνωμένες περιοχές. Πράγματι από τις 10.21 και 10.27 βρίσκουμε ότι:

ΔΔ

VV

N xN x

NN

np

d n

a p

ad

= =2

2 (10.30)

από την οποία παρατηρούμε ότι το δυναμικό κατανέμεται αντιστρόφως ανάλογα με την συγκέντρωση προσμίξεων: η μεγαλύτερη διαφορά δυναμικού αναπτύσσεται στην περιοχή με τις λιγότερες προσμίξεις. Σε μία επαφή Schottky η περιοχή φορτίου του μετάλλου είναι τόσο μικρη που ισοδυναμεί με ΠΑ ημιαγωγού με πυκνότητα προσμίξεων μεγαλύτερη κατά τάξεις μεγέθους από την συγκέντρωση δπροσμίξεων στον ημιαγωγό. Είναι επομένως δικαιολογημένη η παραδοχή που κάναμε ότι η τάση επαφής αναπτύσσεται εξ΄ολοκλήρου μέσα στον ημιαγωγό.

10.3.5 Χωρητικότητα της περιοχής απογύμνωσης Η ΠΑ στην επαφή pn όπως άλλωστε και στην Schottky εμφανίζει για εναλλασόμενο ρεύμα χωρητικότητα που μεταβάλεται με την συνεχή τάση πόλωσης της επαφής. Η ιδιότητα αυτή που αποτελεί την βάση για πολλές πειραματικές τεχνικές μελέτης όχι μόνο των επαφών αλλά και των ημιαγωγικών υλικών γενικότερα είναι χρήσιμη και στις εφαρμογές18. Η διαφορική χωρητικότητα της ΠΑ οφείλεται στην αλλαγή του εύρους και κατά συνέπεια του φορτίου της όταν αλλάζει η τάση πόλωσης. Στο πλαίσιο της παραδοχής που κάναμε σχετικά με την απότομη μετάβαση από πλήρως απογυμνωμένη σε ουδέτερη περιοχή, είναι πολύ εύκολο να υπολογίσουμε την διαφορική χωρητικότητα της απότομης επαφής. Το θετικό φορτίο της απογυμνωμένης περιοχής n είναι ίσο με: Q+ = qeNdxn και το αντίθετο φορτίο της απογυμνωμένης p είναι Q- = -qeNaxp . Η διαφορική χωρητικότητα Cj ανά μονάδα επιφάνειας της επαφής είναι ίση με : 18 Οι πυκνωτές χρησιμεύουν, μεταξύ άλλων σε χρονοκυκλώματα και συντονιζόμενα κυκλώματα. Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς την χρησιμότητα της δυνατότητας ρύθμισης με μία τάση DC, κάποιου χρόνου ή κάποιας συχνότητας συντονισμού.

118


( ) ext

nde

extextoj V

xNqVQ

VVQ

C∂∂

−=∂∂

−=−∂

∂−= (10.31)

το πάχος της απογυμνωμένης n συνδέεται με το συνολικό πάχος w της ΠΑ με την σχέση:

x x w x NNn p n

da

+ = = +( )1 (10.32)

με την βοήθεια της οποίας βρίσκουμε από τις 10.31 και 10.29 ότι:

)VV)(NN(NNq2

21C

ext0da

dasej −+

ε=

(10.33) Η μέτρηση της χωρητικότητας επαφής σάν συνάρτηση της ανάστροφης τάσης που είναι γνωστή σάν χαρακτηριστική C(V) ή απλά CV και είναι μία βασική τεχνική χαρακτηρισμού κάθε είδους επαφής. Στην περίπτωση της απότομης επαφής pn η 10.33 υποδεικνύει ότι το κατάλληλο διάγραμμα για την ανάλυση των πειραματικών δεδομένων είναι το διάγραμμα 1/C2 σαν συνάρτηση της τάσης πόλωσης Vext . Σύμφωνα με την 10.33 τα δεδομένα θα πρέπει να βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή της οποίας η τομή με τον άξονα των τάσεων θα είναι ίση με την τάση επαφής V0 και η κλίση θα είναι ανάλογη με τον λόγο NaNd/(Na+Nd). Αν μία από τις δύο συγκεντρώσεις είναι σημαντικά μεγαλύτερη από την άλλη ο λόγος αυτός είναι ίσος με καλή προσέγγιση με την μικρότερη από τις δύο συγκεντρώσεις. Η ανάλυση που κατέληξε στην σχέση 10.33 για την απότομη επαφή μπορεί να γίνει για οποιαδήποτε γνωστή μεταβολή συγκέντρωσης προσμίξεων στην περιοχή της επαφής. Η διαφορική χωρητικότητα δίνεται τότε από κάποια άλλη σχέση σαν συνάρτηση της τάσης πόλωσης, όμως πάντα η χαρακτηριστική CV της επαφής δίνει πολύτιμα στοιχεία γι' αυτή.

Σχήμα 10.124 Εξωτερική πόλωση στην επαφή pn. Η γενικά παραδεκτή σύμβαση είναι να θεωρείται θετική, η ορθή πόλωση. Η ορθή πόλωση μειώνει τον φραγμό δυναμικού και καταλήγει σε ρεύμα μέσα από την επαφή και των δύο φορέων. Αντίθετα η ανάστροφη πόλωση (Vext < 0) αυξάνει τον φραγμό δυναμικού και για τους δύο φορείς. Το ρεύμα ηλεκτρονίων από την n και p και οπών αντίστροφα είναι μηδέν.

119


10.3.6 Η επαφή pn με τάση πόλωσης Οταν εφαρμόζεται εξωτερική πόλωση στην επαφή pn συμβαίνουν ανάλογα φαινόμενα με αυτά που εξετάσαμε για την πόλωση της Schottky. Στο σχήμα 10.124 βλέπουμε τα ενεργειακά διαγράμματα επαφής pn κάτω από μηδενική, ορθή (θετική) και ανάστροφη (αρνητική) πόλωση. Ο φραγμός δυναμικού που υπάρχει στην ισορροπία και για τους δύο φορείς και είναι ίσος με το δυναμικό επαφής, γίνεται μεγαλύτερος ή μικρότερος ανάλογα με την πολικότητα της εξωτερικά εφαρμοζόμενης τάσης πόλωσης. Η τάση πόλωσης "μεταφέρεται" ουσιαστικά στην ΠΑ γιατί και η ουδέτερη p και η ουδέτερη n έχουν πολύ μεγαλύτερη αγωγιμότητα από την ΠΑ. Στην ισορροπία, το συνολικό ρεύμα μέσα από την επαφή είναι μηδέν αλλά υπάρχει ανταλλαγή ηλεκτρονίων και οπών ανάμεσα στην n και την p γιατί έτσι μόνο μπορεί να εξασφαλιστεί η ισορροπία με κοινό ηλεκτροχημικό δυναμικό, κοινή Ef . Μέσα στην ΠΑ, υπάρχει πλήρης αντιστάθμιση του ρεύματος διάχυσης και του ρεύματος ολίσθησης για κάθε φορέα χωριστά. Για πυρίτιο στην θερμοκρασία περιβάλλοντος, αυτά τα ρεύματα είναι πολύ μικρά για φραγμό ίσο με το δυναμικό επαφής. Στην ορθή πόλωση ο φραγμός δυναμικού γίνεται μικρότερος από το V0 κατά την τάση πόλωσης και υπερισχύει το ρεύμα διάχυσης των φορέων από την περιοχή όπου είναι σε πλειονότητα πρός την περιοχή όπου είναι σε μειονότητα. Εμφανίζεται τότε μέσα σε κάθε ουδέτερη περιοχή, ένα στρώμα διάχυσης φορέων μειονότητας το οποίο πρακτικά εκτείνεται σε μερικά μήκη διάχυσης των φορέων μειονότητας και στο οποίο η συγκέντρωση φορέων μειονότητας, np ή pn , είναι μεγαλύτερη από την τιμή ισορροπίας της. Οταν, στην ορθή πόλωση, ο φραγμός δυναμικού είναι τόσο μικρός ώστε να μή αποτελεί εμπόδιο στην κίνηση φορέων, η ΠΑ έχει συρρικνωθεί και έχει κατακλυστεί από φορείς. Η αγωγιμότητά της είναι εξ' ίσου καλή με τις ουδέτερες περιοχές. Αν προσπαθήσουμε να αυξήσουμε την εξωτερικά εφαρμοζόμενη τάση πόλωσης, το ρεύμα δεν καθορίζεται πλέον από τα χαρακτηριστικά της επαφής και από την αλλαγή του φραγμού δυναμικού στην ΠΑ, αλλά από την συνολική αντίσταση της διάταξης. Συχνά το ρεύμα σε ορθή πόλωση μεγαλύτερη από την τάση επαφής είναι καταστροφικά μεγάλο για την διάταξη. Σε ανάστροφη πόλωση, ο φραγμός δυναμικού γίνεται μεγαλύτερος από V0 και το ρεύμα διάχυσης μέσα από την ΠΑ πρακτικά μηδενίζεται. Υπάρχουν διάφοροι μηχανισμοί που προκαλούν ανάστροφο ρεύμα μέσα από μία διπολική επαφή. Η περιγραφή τους ξεφεύγει από τους στόχους αυτού του κειμένου και είναι αντικείμενο της μελέτης των ημιαγωγικών διατάξεων. Εκτός από πολύ ειδικές περιπτώσεις, το ανάστροφο ρεύμα, ακόμα και για μεγάλες τιμές ανάστροφης τάσης, είναι μικρότερο κατά πολλές τάξεις μεγέθους από τυπικές τιμές ρεύματος με ορθή πόλωση.

10.3.7 Βαθμιαίες επαφές pn Το μεγάλο πλεονέκτημα των επαφών pn σε σχέση με άλλου τύπου επαφές, όπως οι Schottky, οι οποίες αναγκαστικά γίνονται στην διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο

120


διαφορετικών στερεών είναι η τελειότητα του κρυστάλλου στην περιοχή της επαφής που μπορεί να βρίσκεται μακρυά από την επιφάνεια του ημιαγωγού. Είναι δυνατό να μετακινηθεί η στάθμη Fermi από το πάνω όριο του χάσματος στο κάτω και να γίνει μία διπολική επαφή με την αντίστοιχη τάση επαφής, με αλλαγή μόνο στο είδος ατόμων προσμίξεων σε συγκεντρώσεις συχνά πολύ μικρότερες από 1/1000. Τα άτομα αυτά βρίσκονται σε θέσεις υποκατάστασης στο πλέγμα του ημιαγωγού και δέν προκαλούν καμμία άλλη διαταραχή ή ατέλεια του πλέγματος εκτός από την δημιουργία των επιθυμητών σταθμών δοτών και αποδεκτών και μία μικρή τοπική παραμόρφωση του πλέγματος του ημιαγωγού στην περιοχή των αμέσων γειτόνων των ατόμων πρόσμιξης δηλαδή σε ένα μικρό ποσοστό του όγκου του κρυστάλλου. Διπολικές επαφές στο εσωτερικό κρυστάλλου κατασκευάζονται με διάχυση σε στερεά φάση σε υψηλή θερμοκρασία ενός τύπου προσμίξεων από την επιφάνεια κρυστάλλου ημιαγωγού που περιέχει επιθυμητή συγκέντρωση ατόμων προσμίξεων του άλλου τύπου. Ο κρύσταλλος αυτός έχει αναπτυχθεί από τήγμα στο οποίο είχε προστεθεί κατάλληλη συγκέντρωση ατόμων πρόσμιξης. Εστω π.χ ένας κρυσταλλος πυριτίου τύπου n με 1017 cm-3άτομα φωσφόρου ομοιόμορφα κατανεμημένα σ' όλη του την μάζα. Μπορούμε, με διαχυση από μία επιφάνεια σε δεδομένη υψηλή θερμοκρασία, να προσθέσουμε άτομα βορίου με τρόπο ώστε στην επιφάνεια η συγκέντρωση βορίου να είναι 1019 cm-3 και να μειώνεται σύμφωνα με μία συνάρτηση που καθορίζεται από την σταθερά διάχυσης του βορίου στο πυρίτιο στην θερμοκρασία της διεργασίας διάχυσης και τον χρόνο που διαρκεί η διεργασία αυτή. Οποια και άν είναι η συνάρτηση αυτή περιμένουμε ότι θα είναι γνήσια φθίνουσα με το βάθος, έστω x, από την επιφάνεια του κρυστάλλου. Η μεταλλουργική επαφή είναι η εσωτερική, αδιατάρακτη, επιφάνεια του κρυστάλλου στην οποία η συγκέντρωση του βορίου γίνεται ίση με αυτήν του φωσφόρου. Εστω xME το βάθος της ΜΕ, για x> xME ο κρύσταλλος είναι τύπου n ενώ για x< xME είναι τύπου p. Σύμφωνα με την έννοια της αντιστάθμισης που αναπτυχθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο η ενεργός συγκέντρωση προσμίξεων είναι συνάρτηση του x και δίνεται στην περιοχή n από: N Nd d,εν = − Na

Nd

(10.34) και στην περιοχή p από: N Na a,εν = − (10.35) Μία λογική παραδοχή είναι να προσεγγίσουμε την μεταβολή με το x της συγκέντρωσης της πρόσμιξης που διαχέεται στο στερεό με μία γραμμική μεταβολή κοντά στην ΜΕ. Τότε και η ενεργός συγκέντρωση προσμίξεων μεταβάλλεται γραμμικά και αλλάζει τύπο στην ΜΕ. Ο υπολογισμός της πυκνότητας φορτίου, του ηλεκτρικού πεδίου και του δυναμικού στην επαφή αυτή που ονομάζεται γραμμική βαθμιαία επαφή ακολουθεί τα ίδια βήματα και είναι εξ' ίσου απλός με τον υπολογισμό των αντίστοιχων συναρτήσεων στην απότομη επαφή. Στην βαθμιαία επαφή η πυκνότητα φορτίου είναι γραμμική συνάρτηση του x, το πεδίο μεταβάλλεται γραμμικά με το x2 και το δυναμικό με το x3.

121


10.4 Προβλήματα εξάσκησης 10.1 Βρίσκουμε ότι το δυναμικό ιδανικής επαφής Schottky σε πυρίτιο τυπου n είναι

0.5V. Επίσης βρίσκουμε ότι η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να έχει ένα ηλεκτρόνιο του μετάλλου για να περάσει στην ΖΑ του ημιαγωγού είναι Efm + 0.65eV. Βρείτε την συγκέντρωση δοτών Nd που θεωρούμε πλήρως ιονισμένους. Εξηγήστε την απάντησή σας με την βοήθεια ενεργειακού διαγράμματος.

10.2 Βρείτε την διαφορική χωρητικότητα, ανα μονάδα επιφανείας, επαφής Schottky σε ημιαγωγό με ομογενή συγκέντρωση δοτών Nd.

122

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΚΑΙ ΕΚΠΟΜΠΗ ΦΩΤΟΝΙΩΝ ΣΕ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ

11. ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΚΑΙ ΕΚΠΟΜΠΗ ΦΩΤΟΝΙΩΝ ΣΕ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ

Οι οπτικές ιδιότητες των ημιαγωγών είναι εξ' ίσου χρήσιμες με τις ηλεκτρικές τους στην σύγχρονη τεχνολογία.

Φωτοευαίσθητες ημιαγωγικές διατάξεις, με δυνατότητα μεταβολής του ηλεκτρικού ρεύματος που τις διαρρέει ανάλογα με την φωτεινή ισχύ που δέχονται, χρησιμοποιήθηκαν πολύ πρίν την κατασκευή του πρώτου τρανζίστορ το 1947. Ηταν κύρια φωτοαντιστάσεις διαφόρων αμόρφων ή και κρυσταλλικών ημιαγωγών βασισμένες στο φαινόμενο της φωτοαγωγιμότητας. Αργότερα οι φωτοαντιστάσεις, οι φωτοδίοδοι και τα φωτοτρανζίστορς γίνονται ευρύτατα διαδεδομένα ηλεκτρονικά εξαρτήματα χαμηλού κόστους που χρησιμεύουν σε πάμπολλες καθημερινές εφαρμογές. Στην δεκαετία του '60 εμφανίζονται οι πρώτες ημιαγωγικές διατάξεις εκπομπής φωτός, τα γνωστά σε όλους LED που δέν είναι τίποτα άλλο από διπολικές δίοδοι ημιαγωγών αμέσου χάσματος που εκπέμπουν φωτόνια με την επανασύνδεση ενιέμενων φορέων σε ορθή πόλωση. Τα LED αντικαθιστούν γρήγορα τις λάμπες σαν ενδεικτικά λειτουργίας διαφόρων συσκευών κυρίως ηλεκτρονικών. Παράλληλα αναπτύσσεται και βελτιώνεται μία τεράσια ποικιλία φωτοδίοδων, κατασκευασμένων από διάφορα ημιαγωγικά υλικά, που λειτουργούν όλες με την ίδια αρχή: τον διαχωρισμό φωτοδιεγερμένων ηλεκτρονίων και οπών στην περιοχή φορτίου χώρου μιάς διπολικής επαφής που ισοδυναμεί με μία πηγή ρεύματος ανάλογου της φωτεινής ροής. Οι τεχνολογικές εφαρμογές των φωτοδιόδων είναι ευρύτατες από την ανίχνευση υπέρυθρης ακτινοβολίας μέχρι τις φωτοβολταϊκές κυψελίδες: που δέν είναι τίποτα άλλο από φωτοδίοδοι πολλών τετραγωνικών εκατοστών σχεδιασμένες για να παράγουν ισχύ αρκετών Watt όταν φωτίζονται από τον ήλιο. Στίς αρχές της δεκαετίας του '80 γίνεται ένα τεράστιο τεχνολογικό άλμα: κατασκευάζονται οι πρώτες δίοδοι LASER ανοίγοντας τον δρόμο σε σημαντικότατες τεχνολογικές εφαρμογές όπως η μετάδοση πληροφορίας με οπτικές ίνες, οι οπτικοί δίσκοι CD και οι εκτυπωτές laser αλλά και στην επέκταση πολλών από τις εφαρμογές των άλλων τύπων laser, με την ευελιξία, μικρό μέγεθος και μικρή ηλεκτρική κατανάλωση που μόνο τα διοδικά laser προσφέρουν. Αρχίζει η εποχή της Οπτοηλεκτρονικής. Η χρήση του φωτός σάν φορέα πληροφορίας αυξάνει κατά πολλές τάξεις μεγέθους το εύρος ζώνης, την ποσότητα της μεταφερόμενης πληροφορίας, σε σχέση με τις μεγαλύτερες συχνότητες ασύρματης επικοινωνίας: τα μικροκύματα. Υπάρχει ανάγκη για οπτοηλεκτρονικές διατάξεις που θα λειτουργούν σε συχνότητες πάνω από τα 10GHz, κατα προτίμηση ολοκληρωμένες στο υπόλοιπο ηλεκτρονικό κύκλωμα, με πολύ χαμηλή κατανάλωση ισχύος, με όρια ευαισθησίας και ταχύτητας που περιορίζονται μόνο από τα όρια της κβαντικής φύσης της ύλης και της ακτινοβολίας. Η κατασκευή των διοδικών laser έγινε δυνατή μόνο με την ανάπτυξη μεθόδων δόμησης τεχνητού ημιαγωγικού υλικού με ιδιότητες "κατά παραγγελία". Οι συνθετικοί αυτοί ημιαγωγοί δέν έχουν απλώς το επιθυμητό κρυσταλλικό πλέγμα και


χημική σύνθεση, αλλά στο πλέγμα αυτό υπερτίθενται γεωμετρικές και χημικές δομές, οι λεγόμενες υπερδομές που σχεδιάζονται με σκοπό να επιτύχουμε δεδομένη μορφή των κυματοσυνατρήσεων των ηλεκτρονίων. Στην αγγλική ορολογία υπάρχει ο όρος wavefunction engineering που δέν μεταφράζεται εύκολα στα ελληνικά1. Δέν θα είναι υπερβολή να περιγράψει κανείς τις οπτοηλεκτρονικές διατάξεις του 21ου αιώνα με τόν εξής τρόπο: Οι οπτοηλεκτρονικές διατάξεις είναι συνθετικές δομές της ύλης σε ατομική κλίμακα με ελεγχόμενες ιδιότητες σύζευξης των ηλεκτρονικών και των φωτονικών κυματοσυναρτήσεων. Ενα φωτόνιο μπορεί να προκαλέσει διέγερση ηλεκτρονίου στα στερεά, μία ηλεκτρονική μετάβαση από κατάσταση με ενέργεια μικρότερη σε μεγαλύτερη οπότε έχουμε απορρόφηση του φωτονίου. Αντίστοιχα είναι δυνατό η αποδιέγερση ηλεκτρονίων στους ημιαγωγούς, αυθόρμητη ή εξαναγκασμένη, να συνοδεύεται από εκπομπή φωτονίων. Στην συνέχεια εξετάζονται και τα δύο φαινόμενα αυτά που είναι προφανές ότι έχουν θεμελιακή σημασία στην κατανόηση του σχεδιασμού και της λειτουργίας όλων των οπτοηλεκτρονικών διατάξεων.

11.1 Τα γενικά οπτικά χαρακτηριστικά των ημιαγωγών σε σύγκριση με τους μονωτές και τα μέταλλα. Από την άποψη των οπτικών ιδιοτήτων οι ημιαγωγοί μοιάζουν περισσότερο με διηλεκτρικά (μονωτές) παρά με μέταλλα. Τα τελευταία είναι ανακλαστικά και αδιαφανή όχι μόνο για το ορατό φώς αλλά και για το υπέρυθρο και για το υπεριώδες. Φύλλα μετάλλου πάχους μερικών μικρών γίνονται περατά σε ΗΜ ακτινοβολία μόνο στην περιοχή των ακτίνων Χ. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην μεγάλη συγκέντρωση ευκίνητων φορέων στα μέταλλα. Από την κλασσική ΗΜ θεωρία ξέρουμε ότι ένα μέσο που περιέχει ευκίνητους φορείς με συγκέντρωση Ν, έχει μία χαρακτηριστική συχνότητα που ονομάζεται συχνότητα πλάσματος και δίνεται από την σχέση:

ω πεp

eNqm

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 2 1 2

*

/

(11.1)

ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος μεγαλύτερο από c/ωp ανακλάται από το μέσο και δέν διαδίδεται σ' αυτό. Η συχνότητα πλάσματος που αντιστοιχεί στις συγκεντρώσεις φορέων μετάλλων βρίσκεται συνήθως στο υπεριώδες. Οι τυπικές πυκνότητες φορέων που συναντάμε στους ημιαγωγούς τοποθετούν την συχνότητα πλάσματος από το βαθύ υπέρυθρο ( περίπου 10 μm, για Ν της ταξης του 1019 cm-3 ) μέχρι μικροκυματικές συχνότητες. για αρκετά μικρότερες συγκεντρώσεις φορέων. Θυμίζουμε ότι συναντάμε συχνότητες πλάσματος που βρίσκονται στην περιοχή των ραδιοφωνικών κυμάτων, με μήκη κύματος της τάξεως του 1 m, για τις συγκεντρώσεις φορέων στην ιονόσφαιρα που είναι προφανώς μικρότερες, κατά πολλές τάξεις μεγέθους, απ' αυτές των στερεών σωμάτων

1 Στην βιολογία το αντίστοιχο Genetic Engineering μεταφράζεται εύκολα σε Γενετική Μηχανική γιατί η λέξη μηχανική δέν είναι βιολογικός όρος και μεταφέρει στα ελληνικά το egnineering. Στην φυσική, η "Μηχανική Κυματοσυναρτήσεων" ακούγεται σάν ένα ασυνήθηστο όνομα της κβαντομηχανικής

124


Η ανακλαστικότητα ενός μέσου με δεδομένη συγκέντρωση φορέων σε ΗΜ ακτινοβολία, με συχνότητα μικρότερη από την συχνότητα πλάσματος, είναι τόσο πλησιέστερη στην μονάδα όσο η αγωγιμότητα του μέσου είναι μεγαλύτερη.

Το δεύτερο γενικό φυσικό φαινόμενο σχετικά με τις οπτικές ιδιότητες ενός στερεού είναι η μή συντονιστική απορρόφηση φωτός απο "ελεύθερα" ηλεκτρόνια. Χρησιμοποιούμε εδώ τα εισαγωγικά στον όρο "ελεύθερα" για να θυμίζουμε δύο αλήθειες: • τα τελείως ελεύθερα ηλεκτρόνια δέν απορροφούν την ΗΜ ακτινοβολία και • τα ηλεκτρόνια σε καταστάσεις ζωνών στα στερεά δέν είναι πραγματικά ελεύθερα

όσο και άν έχουμε ικανοποιηθεί από την προσέγγιση αυτή σε πολλά φαινόμενα που εξετάσαμε σε προηγούμενα κεφάλαια.

Ενα πραγματικά ελεύθερο ηλεκτρόνιο δέν μπορεί να αλλάξει ενέργεια με απορρόφηση φωτονίου γιατί πρέπει ταυτόχρονα να αλλάξει και ορμή δηλαδή κυματάνυσμα. Οπως θα δούμε στην συνέχεια, η ορμή φωτονίου δεδομένης ενέργειας hν είναι πάρα πολύ μικρότερη από την αλλαγή ορμής ηλεκτρονίου μεταξύ δύο ενεργειακών καταστάσεων που απέχουν κατά hν. Στα στερεά η μή συντονιστική απορρόφηση ΗΜ ακτινοβολίας από "ελεύθερα" ηλεκτρόνια είναι φαινόμενο που εμπλέκει και αλληλεπιδράσεις με το πλέγμα μέσα από σκεδάσεις σε φωνόνια ή προσμίξεις με τρόπο που να εξασφαλιστεί η διατήρηση ορμής.

11.2 Απορρόφηση φωτός στους ημιαγωγούς Το κύριο φαινόμενο οπτικής απορρόφησης στους μονωτές και ημιαγωγούς είναι η συντονιστική απορρόφηση με διέγερση ηλεκτρονίου από μία ζώνη σε άλλη. Παρά το γεγονός ότι πρόκειται για απορρόφηση συντονισμού, εμφανίζεται τις περισσότερες φορές με ευρύ φάσμα επειδή η πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων στα στερεά γενικότερα και στους ημιαγωγούς ειδικότερα, εκτείνεται σε ζώνες στο εσωτερικό των οποίων είναι αδύνατο να διακρίνουμε μεμονωμένες καταστάσεις. Σε πρώτη προσέγγιση, κάθε ημιαγωγός είναι διαφανής σε φώς με ενέργεια φωτονίων, hν , μικρότερη από το εύρος, Eg, του ενεργειακό του χάσματος, με ενώ απορροφά ισχυρά φωτόνια με hν>Eg. Το εύρος του ενεργειακού χάσματος καθορίζει την περιοχή μήκων κύματος που ονομάζεται θεμελιώδης ακμή απορρόφησης και χαρακτηρίζεται από δραστική αλαγή του συντελεστή οπτικής απορρόφησης. Η θεμελιώδης απορρόφηση φωτονίων στους ημιαγωγούς έχει σαν αποτέλεσμα μία μετάβαση ηλεκτρονίου από μία κατάσταση της ΖΣ σε μία της ΖΑ, δηλαδή την δημιουργία ενός ζεύγους φορέων. Η “διαφάνεια” των ημιαγωγών, όπως βέβαια και των μονωτών, σε φωτόνια με ενέργεια μικρότερη από Eg, επιτρέπει την πειραματική μελέτη άλλων φαινομένων απορρόφησης φωτονίων όπως για παράδειγμα από φωνόνια ή από άλλες κβαντικές διαγέρσεις που εμφανίζονται στα στερεά ή από εντοπισμένους τρόπους ταλάντωσης ξένων ατόμων στο πλέγμα. Η πολύτιμη αυτή διαφάνεια επιτρέπει την εφαρμογή στους ημιαγωγούς μιάς σειράς από τεχνικές οπτικής φασματοσκοπίας πολύ σημαντικές στην κατανόηση της δομής, των ατελειών και των δυναμικών ιδιοτήτων τους, κάτι που δέν είναι δυνατό να γίνει στα μέταλλα εξ΄αιτίας της μεγάλης απορρόφησης κάθε μήκους κύματος ΗΜ ακτινοβολίας από τις πολύ μεγαλύτερες συγκεντρώσεις “ελευθέρων” ηλεκτρονίων που υπάρχουν σ’ αυτά..

125


11.2.1 Θεμελιώδης απορρόφηση Στην μετάβαση αυτή όπως και σε κάθε άλλη στοιχειώδη διέγερση πρέπει να διατηρείται η συνολική ενέργεια και η ορμή ή ισοδύναμα, το κυματάνυσμα. Πρέπει να ισχύει, συνοπτικά για απορρόφηση ή εκπομπή φωτονίου, E E hf i− = ± ν (11.2)

k k kf i− = ± ph (11.3)

όπου Ε και k είναι η ενέργεια και το κυματάνυσμα, αντίστοιχα, της αρχικής (i) και τελικής (f) ηλεκτρονικής κατάστασης και kph είναι το κυματάνυσμα του φωτονίου. Η τάξη μεγέθους των ηλεκτρονικών και φωτονικών κυματανυσμάτων σε οπτικές μεταβάσεις σε ημιαγωγούς είναι πολύ διαφορετικές μεταξύ τους. Φώς με ενέργεια φωτονίου της τάξης μεγέθους του Eg, έχει μήκος κύματος της τάξης του 1 μm οπότε το κυματάνυσμα του φωτονίου (kph =2π/λ) είναι περίπου τέσσερεις τάξεις μεγέθους μικρότερο από τυπικά κυματανύσματα ηλεκτρονίων στην 1η ΖΒ που είναι της τάξης του k=2π/a με a της τάξης των λίγων Angstom. Το γεγονός αυτό σημαίνει στην πράξη ότι οι οπτικές μεταβάσεις που γίνονται με συμμετοχή ηλεκτρονίου και φωτονίου μόνο πρέπει να διατηρούν το κυματάνυσμα του ηλεκτρονίου. Θα αναφερόμαστε στην συνέχεια σε μεταβάσεις αυτού του τύπου με τον όρο άμεσες μεταβάσεις που είναι πολύ πιθανές σε ημιαγωγούς αμεσου χάσματος, στους οποίους οι καταστάσεις κοντά σε ενέργεια Ec και εκείνες κοντά σε Ev έχουν πολύ γειτονικά κυματανύσματα,. Είναι συχνό φαινόμενο, κυρίως στους ημιαγωγούς εμμέσου χάσματος, να γίνεται ταυτόχρονα με την εκπομπή ή απορρόφηση φωτονίου και εκπομπή ή απορρόφηση φωνονίου. Τυπικά φωνόνια σε ημιαγωγούς έχουν ενέργειες της τάξης του kBΘD (όπου ΘD είναι η θερμοκρασία Debey) που αντιστοιχούν σε μερικά meV μόνο, πολύ μικρότερες από τυπικές ενέργειες χάσματος. Αντίθετα, τα τυπικά κυματανύσματα των φωνονίων σε μία περιοδική κρυσταλλική δομή είναι συγκρίσιμα μ' αυτά των ηλεκτρονίων στην ίδια περιοδική δομή. Μεταβάσεις στις οποίες συμμετέχουν ηλεκτρόνιο, φωτόνιο και φωνόνιο λέγονται έμμεσες μεταβάσεις και εξαρτώνται πολύ από την θερμοκρασία. Προσεγγιστικά, και πάλι συνοπτικά για απορρόφηση και εκπομπή, μπορούμε να γράψουμε ότι, σε μία έμμεση μετάβαση: E E h E hf i q− = ± ± ≈ ±ν ν (11.4)

όπου Eq είναι η ενέργεια του φωνονίου , και k k k qf i ph− = ± ± ≈ ±q (11.5)

όπου q το κυματάνυσμα του φωνονίου και kph το, πολύ μικρότερο, κυματάνυσμα του φωτονίου.

126


11.2.2 Πιθανότητα άμεσης οπτικής μετάβασης Ας εξετάσουμε τώρα την πιθανότητα να προκαλέσει ένα φωτόνιο με ενέργεια μεγαλύτερη από το χάσμα Eg μία θεμελιώδη, άμεση, ηλεκτρονική μετάβαση σε έναν ημιαγωγό. Οι ημιαγωγικές διατάξεις εκπομπής φωτός βασίζονται πάντα σε ημιαγωγούς με άμεσο χάσμα. Αυτό που μας ενδιαφέρει στην πραγματικότητα είναι ο ρυθμός με τον οποίον γίνονται αυτές οι μεταβάσεις κάτω από δεδομένο φωτισμό. Μπορούμε χωρίς καμμία ουσιαστική θυσία να κάνουμε κάποιες παραδοχές που μας επιτρέπουν να καταλήξουμε σε κάποια απλά και ταυτόχρονα χρήσιμα αποτελέσματα. Θα θεωρήσουμε ότι έχουμε να κάνουμε με ηλεκτροδιπολικές μεταβάσεις από καταστάσεις Bloch της ΖΣ σε καταστάσεις Bloch της ΖΑ. Θα θεωρήσουμε επίσης ότι το μήκος κύματος του φωτός, τυπικά της τάξης του 1μm, είναι πολύ μεγαλύτερο από την έκταση των κυματοσυναρτήσεων των ηλεκτρονίων στην αρχική και τελική κατάσταση. Οι δύο αυτές καταστάσεις "βλέπουν" σε κάθε στιγμή το ίδιο ηλεκτρικό πεδίο Ε 2 Μία χρήσιμη μορφή του χρυσού κανόνα του Fermi για την περίπτωση αυτή3 είναι η εξής:

Γ =2 2πh

U g Ej i j, ( ) (11.6)

που δίνει τον ρυθμό μεταβάσεων από μία δεδομένη αρχική κατάσταση, i, πρός ένα συνεχές τελικών καταστάσεων, j, με πυκνότητα καταστάσεων g(Ej). Εστω επίπεδο ΗΜ κύμα με συχνότητα ω=2πν και κυματάνυσμα kph στον ημιαγωγό, πολωμένο σε κάποια διεύθυνση με πλάτος ηλεκτρικού πεδίου Ε0 .Το στοιχείο μήτρας Uj,i , από την αρχική στην τελική κατάσταση, ανήκει στον τελεστή της ηλεκτροδιπολικής διαταραχής, που δίνεται από την σχέση:

U = − ⋅12

d E0 (11.7)

όπου d είναι η ηλεκτρική διπολική ροπή που σχηματίζεται από την ισοβαρή κατανομή της ηλεκτρονικής κυματοσυνάρτησης στην αρχική και στην τελική κατάσταση. Ας θεωρήσουμε τώρα την θεμελιώδη απορρόφηση μονοχρωματικού φωτός hν, με όλες τις καταστάσεις της ΖΣ κατειλημένες και αυτές της ΖΑ άδειες, όπως συμβαίνει στο απόλυτο μηδέν. Ο συνολικός ρυθμός απορρόφησης φωτονίων από τον ημιαγωγό αυτό θα δίνεται από την σχέση :

2 Θα μπορούσε κανείς να σκεφτεί για μιά στιγμή ότι οι συναρτήσεις Bloch εκτείνονται σ' όλο τον κρύσταλλο. Αυτό όμως δέν είναι παρα μία υπεραπλουστευμένη εικόνα, διάφοροι μηχανισμοί σκέδασης ηλεκτρονίων σ' ένα πραγματικό στερεό φροντίζουν να κάνουν το μήκος συμφωνίας των ηλεκτρονικών κυματοσυναρτήσεων, την μέγιστη δηλαδή απόσταση στον κρύσταλλο στην οποία η συνάρτηση Bloch "θυμάται" την φάση της, πολύ μικρότερο από 1μm.

3 Δείτε, για παράδειγμα, τον τρίτο τόμο της "Κβαντομηχανικής" του Στέφανου Τραχανά. ΠΕΚ

127


W h U g E g E h dEj i v i c i iE h

E

c

v

( ) ( ) ( ),ν π νν

= +−∫

2 2

h (11.8)

στην οποία η ολοκλήρωση εκτείνεται σε όλες τις καταστάσεις της ΖΣ που βρίσκονται σε "ακτίνα βολής" από την ΖΑ, με τα διαθέσιμα φωτόνια. Μπορούμε με ασφάλεια να θεωρήσουμε ότι το στοιχείο μήτρας της ηλεκροδιπολικής μετάβασης απο μία κυματοσυνάρτηση Bloch σε άλλη, δέν έχει αξιόλογη μεταβολή με την ενέργεια και να το βγάλουμε έξω από το ολοκλήρωμα. Εχουμε κάνει πολύ πιό δραστικές απλουστεύσεις στην μελέτη των ιδιοκατστάσεων και της κίνησης των ηλεκτρονίων στους ημιαγωγούς. Η σχέση 11.8 παίρνει τότε την μορφή

W h U g E g E h dEj i v i c i iE h

E

c

v

( ) ( ) ( ),ν π νν

= +−∫

2 2

h (11.9)

Ας προσπαθήσουμε να συνδέσουμε τον συντελεστή απορρόφησης με τον ρυθμό που δίνεται από την σχεση 11.9. Ο συντελεστής απορρόφησης ορίζεται μέσα από την σχέση: dNN

adx= − (11.10)

που σημαίνει ότι σε ένα στρώμα ημιαγωγού πάχους dx απορροφάται ποσοσό -adx από τα φωτόνια που μπαίνουν στο στρώμα. η απώλεια αυτή συμβαίνει στο χρονικό διάστημα που χρειάζονται τα φωτόνια να διασχίσουν το στρώμα πάχους dx που είναι

dt dxc

n dxcs

s= = (11.11)

οπου c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό και cs = c/ns είναι η ταχύτητα του φωτός μέσα στον ημιαγωγό. Ο ρυθμός απορρόφησης ορίζεται μέσα από την σχέση: dNN

Wdt= − (11.12)

Γίνεται λοιπόν προφανές ότι ο ρυθμός απορρόφησης, W, και ο συντελεστής απορρόφησης, a, συνδέονται με την σχέση

a Wc

ns= (11.13)

Οπου ns είναι ο δείκτης διάθλασης του ημιαγωγού και c η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

128


Ας υπολογίσουμε, στο πλαίσιο αυτών των παραδοχών, την μεταβολή με την ενέργεια του συντελεστή οπτικής απορρόφησης για άμεση θεμελιώδη μετάβαση και για απλές παραβολικές ζώνες με διαφορετική ενεργό μάζα για ηλεκτρόνια και για οπές έστω Ε1 η ενέργεια, για ηλεκτρόνιο, της αρχικής κατάστασης στην ΖΣ και Ε2 αυτή της τελικής στην ζώνη αγωγιμότητας. Η ενέργεια ηλεκτρονίου στην ΖΑ δίνεται από την σχεση

E k km

En

c( ) = +h2 2

2 (11.14)

Η ενέργεια ηλεκτρονίου στην ΖΣ (που είναι αντίθετη με αυτή της οπής)

E k E kmv

p

( ) = −h2 2

2 (11.15)

Η διαφορά ενέργειας ανάμεσα σε τελική και αρχική κατάσταση με το ίδιο k είναι:

h E km

E km

E km m mc

nv

pg

n p

ν = + − − = + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟h h h2 2 2 2 2 2

2 2 21 1

(11.16)

η οποία μπορεί να γραφεί, με την βοήθεια μιάς ανηγμένης μάζας mr με προφανή ορισμό, στην μορφή:

h E kmg

r

ν = − h2 2

2 (11.17)

Η σχέση αυτή έχει την ίδια μορφή με την σχέση διασποράς ελεύθερων ηλεκτρονίων με ενεργό μάζα mr . Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την συνάρτηση N(hν) που είναι η πυκνότητα καταστάσεων που έχουν το ίδιο k και διαφορά ενέργειας hν. Χρησιμοποιούμε τούς ίδιους ακριβώς συλλογισμούς και πράξεις με τις οποίες υπολογίσαμε την πυκνότητα καταστάσεων g(E) ελεύθερων ηλεκτρονίων από την σταθερή πυκνότητα καταστάσεων στον χώρο k και την σχέση ενέργειας κυματανύσματος για το ελεύθερο ηλεκτρόνιο. Για την N(hν) χρησιμοποιούμε την 11.17 και βρίσκουμε ότι

N h mh

h Eg( ) ( ) (ν )π

ν= −2

2

32

12

2 3 (11.18)

Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι η πυκνότητα αυτή δέν είναι τίποτα άλλο από το ολοκλήρωμα της 11.9. Με την βοήθεια και της 11.13 βεβαιωνόμαστε εύκολα ότι ο συντελεστής απορρόφησης a(hν) για άμεση μετάβαση από παραβολική ΖΣ σε παραβολική ΖΑ δίνεται από την σχέση :

21

)()( gEhAha −= νν (11.19)

129


11.3 Απορρόφηση, αυθόρμητη και εξαναγκασμένη εκπομπή στο πλαίσιο του μοντέλου ισοδύναμων συγκεντρώσεων καταστάσεων ζωνών. Είναι ενδιαφέρον να εξετάσει κανείς τις οπτικές μεταβάσεις στο πλαίσιο του απλού αυτού μοντέλου ημιαγωγού που μας έχει φανεί πολύ χρήσιμο σε προηγούμενα κεφάλαια. Βασικά συμπεράσματα της ανάλυσης που ακολουθεί συμφωνούν και με πολύ πιό πολλύπλοκα μοντέλα και με το πείραμα. Οι λόγοι για τους οποίους υπάρχει η ανέλπιστη, θα μπορούσε κάποιος να πεί, συμφωνία αυτή θα συζητηθούν στο τέλος της παραγράφου. Θυμίζουμε ότι στο πλαίσιο του μοντέλου αυτού, η ΖΑ αντικαθίσταται από Nc καταστάσεις ανά cm3, σε ενέργεια Ec και η ΖΣ από Nv καταστάσεις ανά cm3 σε ενέργεια Ev . Το σύστημα αυτό μπορεί να απορροφήσει ή να εκπέμψει φωτόνια με ενέργεια

h E E Eg c vν = = − (11.20)

Εστω Νph(ν) η συγκέντρωση φωτονίων ενέργειας hν ανά μονάδα όγκου. Η συγκέντρωση αυτή μπορεί να είναι πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από την τιμή θερμοδυναμικής ισορροπίας Νph,0 (ν) που δίνεται από τον νόμο μέλανος σώματος του Plank για την πυκνότητα φωτονίων ενέργειας hν στον χώρο:

N nc

eph

shkT

, ( )0

3 2

38 1

1ν π ν

ν=−

+ (11.21)

Οι ρυθμοί μετάβασης, με αντίστοιχη εκπομπή ή απορρόφηση φωτονίου από/πρός Ec ή Ev θα δίνονται από τις σχέσεις που ακολουθούν. Εχουμε ένα φαινόμενο που δέν εξαρτάται από την πυκνότητα φωτονίων αλλά μόνο από τις συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών. Είναι η αυθόρμητη εκπομπή με ρυθμό rsp που δίνεται από την σχέση:

r A N f E E N f E Esp cv c c fn v v fp= − − −( ) [ (1 )] (11.22)

όπου Acv σταθερά που είναι γνωστή σάν πιθανότητα αυθόρμητης εκπομπής Einstein και είναι το αντίστροφο του χρόνου ζωής ηλεκτρονίου στην Ec.

Το δεύτερο φαινόμενο είναι οι εξαναγκασμένες μεταβάσεις με συνολικό ρυθμό rst που διακρίνονται σε: απορρόφηση φωτονίου με μετάβαση ηλεκτρονίου από Ev σε Ec που γίνεται με ρυθμό rabs

r B N N f E E N f E Eabs vc ph v v fp v c fn= − − −( ) [ (1 )] (11.23)

και η εξαναγκασμένη εκπομπή που γίνεται με ρυθμό rste

r B N N f E E N f E Este cv ph c c fn v v fp= − − −( ) [ (1 )] (11.24)

Στο πλαίσιο των παραδοχών που έχουμε κάνει ο ρυθμός rabs είναι ο ρυθμός γένεσης φορέων G που έχουμε συναντήσει σε προηγούμενα κεφάλαια.

130


Μπορούμε να ορίσουμε έναν ρυθμό εξαναγκασμένων μεταβάσεων rst που δίνεται από την σχέση

r r rst ste abs= − (11.25)

Με βάση τον ορισμό αυτό, προυπόθεση για να έχουμε LASER είναι ο ρυθμός rst να είναι θετικός.

Στις παραπάνω σχέσεις για τους ρυθμούς εμφανίζονται δύο διαφορές ενέργειας

ΔE E Ec1 = − fn (11.26)

ΔE E Ev2 = − fp (11.27)

με την βοήθεια της σχέσης

1− =f E f E eE

kT( ) ( )Δ ΔΔ

(11.28)

μπορούμε εύκολα να βρούμε ότι

rr

BA

BA

e N BA

BA

e Nst

sp

cv

cv

vc

cv

E EkT

phcv

cv

vc

cv

E FkT

ph

g

= −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −Δ Δ Δ1 2

(11.29)

Στην θερμοδυναμική ισορροπία έχουμε στάσιμη κατάσταση οπότε ο συνολικός ρυθμός μεταβάσεων πρέπει να είναι μηδέν

r rst sp+ = 0 (11.30)

οπότε και

rr

st

sp

= −1 (11.31)

αλλά επίσης έχουμε ότι ΔF=0 και η (11.29) γράφεται (με Eg = hν πάντα)

rr

BA

e BA

nc

e

st

sp

vc

cv

hvkT cv

cv

shkT

= − = − −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

1 8 1

1

2

3π ν

ν (11.32)

η οποία πρέπει να ικανοποιείται για κάθε ν, άρα θα πρέπει να ισχύουν οι εξής περιοριστικές σχέσεις για τις πιθανότητες μετάβασης Einstein:

B B Bcv vc= = (11.33)

131


AB

nc

cv s=8 2

3π ν

(11.34)

με την βοήθεια των οποίων η (11.29) γράφεται :

rr

BA

e Nst

sp cv

E FkT

ph

g

= −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

1Δ

(11.35)

από την οποία είναι προφανές ότι αναγκαία, αλλά όχι και ικανή, συνθήκη για να έχουμε LASER είναι η:

ΔF Eg> (11.36)

11.4 Προβλήματα

11.1 Οταν περνάει ρεύμα 5mA από μία κόκκινη δίοδο LED (λ=650 nm) παίρνουμε συνολικά 2 mW ισχύος φωτός. Αν διακόψουμε απότομα το ρεύμα μέσα από την δίοδο, η ισχύς φωτεινής εκπομπής απ’ αυτή πέφτει στο μισό της αρχικής της τιμής σε χρόνο τ1/2 = 200 ns .(Εννοείται ότι ο χρόνος μηδενισμού του ρεύματος από την αρχική του τιμή θα πρέπει να είναι πολύ μικρότερος από τ1/2 ώστε να τον θεωρήσουμε πρακτικά μηδέν). Με τα δεδομένα αυτά και την παραδοχή ότι n=p στην περιοχή που εκπέμπει φώς: Βρείτε την τιμή και τον τύπο (άμεσο ή έμμεσο) του χάσματος του ημιαγωγού. Βρείτε το ποσοστό των φορέων που επενασυνδέονται με εκπομπή φωτός στην δίοδο. Βρείτε την συγκέντρωση φορέων στην περιοχή που εκπέμπει, στην στάσιμη κατάσταση, όταν περνάει σταθερό ρεύμα 5 mA από την δίοδο. (Θυμηθείτε ότι ο ρυθμός επανασύνδεσης είναι ανάλογος του γινομένου np ανεξάρτητα από την εκπομπή ή όχι φωτονίου με την επανασύνδεση και λύστε την διαφορική εξίσωση για την χρονική εξέλιξη των συγκεντρώσεων προκειμένου να χρησιμοποιήσετε τον δεδομένο χρόνο τ1/2. )

132

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, Παραρτήματα

12. Παραρτήματα

12.1 Παράρτημα Α. Δυό λόγια για τις μονάδες στην φυσική των ημιαγωγών Στην φυσική των ημιαγωγών και των διατάξεων έχει επικρατήσει διεθνώς και χρησιμοποιείτε και στην Μικροηλεκτρονική και στις ερευνητικές δημοσιεύσεις ένα περίεργο ‘σύστημα’ μονάδων με βάση το cm για τα μήκη το eV για τις ενέργεις και τις μονάδες του SI1 για τα υπόλοιπα μεγέθη. Ετσι, για περάδειγμα, οι συγκεντρώσεις φορέων δίνονται σε cm-3, οι πυκνότητες καταστάσεων σε cm-3eV-1, το ηλεκτρικό πεδίο σε V/cm, η ευκινησία των φορέων σε cm2/Vs κλπ. Προσοχή: Επειδή η αριθμητική τιμή δυναμικής ενέργειας ηλεκτρονίων σε eV και του αντίστοιχου δυναμικού σε V συμπίπτουν, πολύ συχνά γίνεται χρήση του ενός ή του άλλου εναλλακτικά και ποσότητες όπως το εργο εξόδου Φ ορίζονται, ανάλογα με τον συγγραφέα, είτε σε eV πχ Φ = 4 eV ή σάν δυναμικό qeΦ = 4 eV οπότε το έργο εξόδου Φ θα δίνεται σε V. Δέν χρειάζεται πολύ σκέψη για να τα ξεχωρίσει κανείς. Βοηθητικές προσεγγιστικές σχέσεις μετατροπής. λ(nm) = 1240/hν(eV) (στο κενό) kB ⋅300K/qe = 25 mV

12.2 Παράρτημα Β. Παγκόσμιες σταθερές και χρήσιμες ποσότητες στην Φυσική Ημιαγωγών. I. Παγκόσμιες σταθερές Σύμβολο Περιγραφή Τιμή m0 Μάζα ηρεμίας του ηλεκτρονίου 0.91095 x 10-30 kg qe Στοιχειώδες φορτίο (μέτρο) 1.60218 x 10-19 C h σταθερά Plank 6.62617 x 10-34 Js h σταθερά Plank / 2π 1.05458 x 10-34 Js kB σταθερά Boltzmann 8.617 x 10-5 eV/K kB ⋅300K kT στην θερμοκρασία περιβάλλοντος 0.0258 eV NA Αριθμός Avogadro 6.02204 x 1023 mol-1

aB Ακτίνα Bohr .52917 ε0 Διηλεκτρική σταθερά του κενού 8.85418 x 10-12 F/m μ0 Μαγνητική διαπερατότητα του κενού 4π x 10-7 H/m

1 Τα επίσημα σύμβολα για τα Volt και seconde είναι V και s αντίστοιχα.

ΦΥΣΙΚΗ ΗΜΙΑΓΩΓΩΝ, Παραρτήματα

ΙΙ. Βασικές ιδιότητες Si, Ge, GaAs στην θερμοκρασία περιβάλλοντος (300Κ) Ημιαγωγός Ge Si GaAs Ενεργειακό χάσμα Eg 0.66 1.12 1.424 Ατομικό βάρος 72.60 28.09 144.63 πυκνότητα (g/cm3) 5.3267 2.328 5.32 Σχετική διηλεκτρική σταθερά εr 16 11.9 13.1 Ισοδύναμη πυκνότητα καταστάσεων ΖΑ: Nc (cm-3)

1.04 x 1019 2.8 x 1019 4.7 x 1017

Ισοδύναμη πυκνότητα καταστάσεων ΖΣ: Nv (cm-3)

6.0 x 1018 1.04 x 1019 7.0 x 1018

Ενδογενής συγκέντρωση φορέων ni στους 300K (cm-3)

2.4 x 1013 1.45 x 1010 1.79 x 106

Ευκινησία φορέων ηλεκτρόνια μn (cm2/Vs) οπές μp (cm2/Vs)

3900 1900

1500 450

8500 400

Ενεργός μάζα m*/m0 Ηλεκτρόνια Οπές

m*l = 1.64 m*t = 0.082 m*lh = 0.044 m*hh = 0.28

m*l = 0.98 m*t = 0.19 m*lh = 0.16 m*hh = 0.49

m* = 0.067 m*lh = 0.082 m*hh = 0.45

Ηλεκτρονική συγγένεια (electron affinity) (eV)

4.0

4.05

4.07

134

Documents

σημειωσεις Ε.Φ.Η..pdf