, Pesquisa Operacional Programação Linear Solução Gráfica

,

Pesquisa Operacional

ProgramaçãoLinear

Solução Gráfica

,

Áreas de Aplicação

Solução Gráfica

Exercícios Básicos

Agenda

Referência:

LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de Janeiro: Campus, 2005.

ProgramaçãoLinear

Solução Gráfica

, Programação Linear

Áreas de Aplicação

Administração da Produção Análise de Investimentos Alocação de Recursos Limitados Planejamento Regional Logística

Custo de transporte Localização de rede de distribuição

Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de comunicação.

Administração da Produção Análise de Investimentos Alocação de Recursos Limitados Planejamento Regional Logística

Custo de transporte Localização de rede de distribuição

Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de comunicação.


Problema na Forma Padrão

Existem 4 características para um problema na forma padrão: A função objetivo é de Maximizar; As restrições têm sinal de menor ou igual; As constantes de todas as restrições são não

negativas; As variáveis podem assumir valores não

negativos.



Forma Padrão

0,

60020180

2042

max

21

21

21

xx

xx

xx

0,

60020180

2042

max

21

21

21

xx

xx

xx

21 xx 21 xx

Restrições:

Função Objetivo



Forma Não Padrão

Restrições:

Função Objetivo

0,

60020180

2032

2min

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx


Solução Ótima

A Solução Ótima é uma solução viável especial.

Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da função objetivo otimizado é chamada de ótima;

A grande questão é como determinar a solução ótima.


Solução Gráfica

Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.

Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.

Max Z x x 5 21 2

1

x (b)42

x x (c) 2 91 2

s r x (a)3. .

x x (d) 0 01 2,


Solução Gráfica

21 4

1

2

x13

x2

x 4 23

4

x 3 1

x0 1

x0 2


Solução Gráfica

x 42

92 12 xx

121

29

2 xx

x 31

x1

92 21 xx

x 01

x 02

x2

(3,0)(0,0)

(0,4)(3,4)

Limite

Reta92 21 xx

121

29

2 xx Região Limitada

(1,4)

(3,3)


Solução Gráfica

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

SoluçãoViável

(3,3)

21 2510 xxZ

= Solução Ótima

21 2521 xxZ

(3,3)21 250 xxZ

(0,0)


Exercício 1 Considere o seguinte o problema de Programação

Linear:

Encontre a solução ótima.

0,

2446

1242 ..

33

21

21

21

21

xx

xx

xxrs

xxMax


Exercício 1

(0,0)

1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

02 x

01 x x1

(0,3)

(6,0)

1242 21 xx

(4,0)

(0,6)

2446 21 xx5

4

6

7


Exercício 1

1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

x1

5

4

6

7

2446 21 xx

1242 21 xx

O valor máximo de

será no ponto onde

as duas retas se cruzam.

33 21 xx


Exercício 1

:(1) em se-doSubstituin

:equação 1ª na se-doSubstituin

(1)

:sistema o se-Resolvendo

32/66)2/3(26

2/34/664122618

122)26(3

2662

1223

621242

12232446

1

2222

22

2121

21

2121

2121

x

xxxx

xx

xxxx

xx

xxxx

xxxx


Exercício 1

Z. maximiza que valor o se-Tem

:objetivo função na valores estes se-doSubstituin

:retas duas das cruzamento de ponto o então se-Tem

5,132/99)2/3(3)3(333

2/3

3

21

2

1

xx Z

x

x


Exercício 1

1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

x1

5

4

6

7

21 330 xxZ

21 336 xxZ 21 335,13 xxZ

2446 21 xx

1242 21 xx


Exercício 2

Max 4x1 + 3x2

s.r.x1 + 3x2 72x1 + 2x2 8x1 + x2 3x2 2x1, x2 0

Resolva utilizando o método gráfico.


Exercício 2

x2 2

x1 + x2 3

2x1 + 2x2 8

x1 + 3x2 7

x2

x1

4x1 + 3x2


Exercício 2

Solução Ótima

x2

x1


Exercício 3Max 4x1 +

8x2

s.r.3x1 + 2x2

18x1 + x2 5x1 4x1, x2 0



Exercício 3

4x1 + 8x2

3x1 + 2x2 18

x1 + x2 5

x1 4


Exercício 3

Solução Ótima


Exercício 4

Max 21 3xx s.r.


0,

10216

21

21

xx

xx

304 21 xx


Exercício 4

Sem Soluções Viáveis

30421

xx

10216 21 xx


O Problema do Pintor

Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os vende por R$5,00 e R$3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3 quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos (detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira. Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar para maximizar a sua receita?



O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a

sua receita?

A decisão dele é como usar as 8 horas diárias. Quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer.



Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação linear para resolvê-lo;

Chamemos de x1 e x2 as quantidades de quadros grandes e pequenos que ele faz por dia, respectivamente.

O Objetivo do Pintor é aumentar sua receita ao máximo.



Max Z x x 5 31 2

Função-objetivo Maximizar a receita

1s r x 3. . Restrição de vendas de quadros grandes

x 42 Restrição de vendas de

quadros pequenos

x x 1,8 81 2 Restrição de tempo

x 01 , x 02 Não negatividade



970

135

2

21370

135

2

21

35

350

xx

xxz

xx

xxz

(3 ; 50/18)


Minimização

Encontre a solução ótima:

0,

2045

1553

6

5

2 ..

97

21

21

21

2

1

21

21

xx

xx

xx

x

x

xxrs

xxMin


Minimização

x11086

51 x

42

62 x

221 xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x


Minimização

117415

197

2

2165415 97

xx

xxz

197

2

21 970

xx

xxz

(40/13,15/13)


Restrições Redundantes

Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do conjunto de restrições de um problema não altera o conjunto de soluções viáveis deste.

É uma restrição que não participa da determinação do conjunto de soluções viáveis.

Existe um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ótima.



Considere o problema

0,

2045

1553

6

5

12

2 ..

106

21

21

21

2

1

21

21

21

xx

xx

xx

x

x

xx

xxrs

xxMin



x11086

51 x

42

62 x

221 xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

12 21 xx

Restrição Redundante


Soluções Múltiplas


0,

2045

1553

6

5

2 ..

106

21

21

21

2

1

21

21

xx

xx

xx

x

x

xxrs

xxMin


Soluções Múltiplas

x11086

51 x

42

62 x

221 xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

SoluçõesMúltiplas


Solução Ilimitada


0,

2045

1553

6

2 ..

106

21

21

21

2

21

21

xx

xx

xx

x

xxrs

xxMax


Solução Ilimitada

x1108642

62 x

221 xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

Cresce indefinidamente


Solução Inviável

Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de soluções viáveis é vazio.

Considere o problema

0,

20

12 ..

21

21

21

21

xx

xx

xxts

xxMax


Solução Inviável

2021 xx

-2-2

2

4

6

8

10

12

14

2 4 6 8 10

12 21 xx

x2

x1

Conjunto de Soluções Viáveis é vazio


Caso Alumilâminas S/A A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações

em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro.

Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas.

Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina.


Caso Alumilâminas S/A A fábrica de São Paulo tem um custo de produção

de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia.

O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas.

Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).


Caso Alumilâminas S/A

Variáveis de Decisão

X1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica

de São Paulo

X2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica

do Rio de Janeiro

Função-Objetiva

Minimizar Custo de Produção (mil R$) =


Caso Alumilâminas S/A

Restrições de Demanda Placas Finas

Placas Médias

Placas Grossas

Restrições de Não Negatividade

162821

xx

611 21 xx

287221

xx

0, 21xx


Caso Alumilâminas S/A - Modelo

0,

2872

6111628

200100

21

21

21

21

21

xxxx

xxxx

xxMin

(2)

(1)

(3)



(2) (1)(3) FunçãoObjetivo



Z = 920x1 = 14/5 e x2 = 16/5

(2) (1)(3) FunçãoObjetivo


Caso Esportes Radicais S/A

A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem.

A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais.

Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas.



Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).



Variáveis de Decisão

X1 – Quantidade de Pára-Quedas a serem

produzidos

X2 – Quantidade de Asa Deltas a serem

produzidos

Função-Objetiva

Max 60x1 + 40x2



Restrição de Produção

Linha 1

Linha 2

Restrição de Não Negatividade

100101021 xx

427321 xx

0,21xx


Caso Esportes Radicais S/A - Modelo

0,4273

10010104006

21

21

21

21

xxxx

xxxxMax

(1)

(2)


Caso Esportes Radicais S/A - Modelo

Z = 600x1 = 10 , x2 = 0

(1)

(2)

Função Objetivo

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