ANLISE DE SOBREVIVNCIA/

TBUAS DE MORTALIDADE

Professor: Dani Gamerman

Instituto de Matemtica UFRJ

Sala 121E do bloco C do CT

email: dani@im.ufrj.br

Tel: (21) 2562 7911

acd.ufrj.br/~dani

Para obter material do curso: ir na homepage acima, verso em Portugues, para a seo de Ensino e clicar no curso

Referncia bsica do curso:

Captulos 3 (tbuas de mortalidade) e 18 (teoria de populaes) de

Actuarial Mathematics, de Bowers Jr, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J. C., Jones, D. A e Nesbitt, C. J., publicado pela Society of Actuaries em 1986.

CONTEDO

Distribuio de Sobrevivncia e Tbuas de Mortalidade

1. Funo de sobrevivncia

2. Fora (taxa) de mortalidade

3. Relaes entre F(x), f(x), S(x) e ((x)

4. Relaes de funes de sobrevivncia com tbuas de mortalidade

5. Outras funes de tbuas de mortalidade

Leis de mortalidade

Tipos de tbuas de mortalidade: seleta, final e agregada

Inferncia em tbuas de mortalidade: estimadores de px e mx

Dinmica de populaes (diagrama de Lexis)

Sequncias de tbuas de mortalidade (previso)

Planejamento do curso

DIA(CH)TEMAS RECURSOS 27/06 2Apresentao do curso e introduo Datashow e PC04/07 2Elementos bsicos de anlise de sobrevivncia Datashow e PC11/07 2Fora de mortalidade Datashow e PC18/07 2Relaes de funes de sobrevivncia com tbuas Datashow e PC25/07 2Aplicaes com tbuas de mortalidade reais Datashow e PC01/08 2Outras funes de tbuas de mortalidade Datashow e PC08/08 2Aplicaes defora central de mortalidade Datashow e PC15/08 2Leis de mortalidade Datashow e PC22/08 2Tipos de tbuas: seleta, final, agregada Datashow e PC29/08 2Inferncia em tbuas de mortalidade Datashow e PC05/09 2Dinmica de populaes e sequncia de tbuas Datashow e PC12/09 2Reviso e tirada de dvidas final Quadro-negro12/09 2Prova final Avaliao

A avaliao ser com base em

trabalhos feitos ao final de cada aula (peso 40%) uma provafinal (peso 60%).

Distribuio de Sobrevivncia e Tbuas de Mortalidade

1. Funo de sobrevivncia

X tempo de vida ou idade na morte (varivel contnua)

F(x) = P(X ( x) , para x ( 0 - funo de distribuio de X

S(x) = 1 - F(x) = P(X > x) , para x ( 0 - f de sobrevivncia de X

Observe que F(0) = 0 e S(0) = 1.

i) A probabilidade de morte entre x e z

P(x < X ( z) = F(z) - F(x) = S(x) - S(z)

ii) Tempo at a morte de uma pessoa com idade x.

Pessoa com idade x denotada por (x).

Tempo de vida futuro de (x) X-x, tambm denotado por T(x).

A probabilidade de morte entre x e z dado que j sobreviveu at a idade x

P( X ( x + t | X > x ) = P(x < X ( x + t ) / P( X > x ) = 1 S(x+t) / S(x)

Afirmaes probabilsticas sobre T(x) utilizam a notao

t qx = P( T(x) ( t) = P( T ( x + t | T > x ), para t ( 0

t px = 1 - t qx = P( T(x) > t), para t ( 0

portanto

a funo de distribuio de T(x)

a funo de sobrevivncia de T(x).

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Observe as seguintes relaes

i)

ii) se t=1, tqx = qx = P( morte em 1 ano aps x ) e

tpx = px = P( sobrevivncia a 1 ano aps x )

Notao especial usada para

t|uqx = P( t < T(x) ( t + u ) = t+uqx - tqx ,

a probabilidade de (x) sobreviver t anos e morrer nos u anos seguintes.

Analogamente, se u=1, t|uqx = t|qx .

Temos ainda:

t|uqx = [ S(x+t) S(x+t+u) ] / S(x) = tpx . uqx+t

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Os seguintes eventos so de interesse

P( X > x )

P( x < T ( x + t )

P( x < T ( x + t | X > x)

P( T(x) > t )

P( t < T(x) ( t + u )

Tempo de vida futura encurtado (discretizado)

Tbuas de mortalidade so frequentemente apresentadas com dados agrupados por anos inteiros.

Pode-se definir a varivel discreta K(x),dada pelo #anos completados por (x) antes de sua morte.

K(x) = parte inteira de T(x).

Assim, K(x) tem f de probabilidadeP( K(x) = k ) = P( k < T(x) k+1 ) = k|qx

A funo de distribuio de K(x) uma funo escada (K(x) discreta) comF(k) = 0|qx + ... + k|qx = k+1qx , para k= 0, 1, 2, ..

Note que k|qx = kpx - k+1px

2. Fora (taxa) de mortalidade

Sendo F(x) a funo de distribuio de X, define-se

funo de densidade de X por f(x) = F(x),

isto ,

.

Seja agora:

P(x < X ( x + (x | X > x) =

Define-se a fora de mortalidade de X como

.

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Para cada idade x, a fora de mortalidade fornece a probabilidade de morte de X num pequeno intervalo aps x, dada a sobrevivncia at a idade x.

A fora de mortalidade tambm chamada (em anlise de sobrevivncia/confiabilidade) de taxa de falha.

Da relao

, temos que (x = - [log S(x)].

Logo,

e

a densidade f(x) = F(x) = xp0 (x .

A funo de distribuio de T(x) dada por G(t) = tqx

e sua densidade por g(t) = tpx (x+t .

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_1115801414.unknown

_934889643.unknown

3. Relaes entre F(x), f(x), S(x), ((x)

F(x)

f(x)

S(x)

((x)

F(x)

-

F(x)

1-F(x)

F(x)/1-F(x)

f(x)

-

S(x)

1-S(x)

-S(x)

-

-S(x)/S(x)

((x)

-

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4. Relaes de funes de sobrevivncia com Tbuas de Mortalidade

As tbuas em geral contm as funes bsicas:

lx - nmero (esperado) de sobreviventes na idade x

dx - nmero (esperado) de mortes na idade x

qx - probabilidade de morte de uma pessoa de idade x antes de completar x+1.

l0 - chamado de raiz, nmero inicial de pessoas do grupo a ser observado

Relaes:

e, quando t=1,

.

lx = l0 S(x) e lx ((x) = l0 f(x) = l0

dx = l0 [ S(x) S(x+1) ] = lx lx+1 .

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Relao entre (x , qx e lx

(x - taxa instantnea de mortalidade ou fora de mortalidade

qx - probabilidade de morte em 1 ano para (x)

lx -nmero esperado de indivduos vivos em x

i) qx = 1 S(x+1) / S(x) = 1 ( lx+1 / l0 ) / ( lx / l0) = 1 - ( lx+1 / lx ).

ii) ( t+(qx - tqx ) / ( ( (x , quando ( ( 0

iii) Considere uma frao ( de um ano e suponha qx constante entre x e x+1.

Logo, a probabilidade de morte entre x e x+( ser (qx = ( lx - lx+( ) / lx = qx / ( .

Assim qx = - (1 / lx ) ( lx+( - lx ) / (.

Fazendo ( ( 0, temos (x = - (1 / lx ) ( dlx / dx ) = - ( d log lx / dx )

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Comentrios sobre a Tbua de Mortalidade americana 1979-1981

tabela parte de uma raiz (hipottica) l0 = 100 000;

1% dos recm-nascidos dever morrer no 1o. ano de vida;

77% dos recm-nascidos viver at 65 anos;

Mnimos locais no nmero de mortes ocorrem aos 11 e 27 anos;

O mximo nmero de mortes dentro de um grupo aos 83 anos;

No h indicao de idade limite pois 21 ainda esto vivos;

lx e dx foram arredondados (sem haver necessidade).

Exerccios sobre tbuas de mortalidade - Parte I

1) Usando a tbua de mortalidade americana 1979-1981, qual a probabilidade de (20) i) viver at 100 anos? ii) morrer antes de 70 anos? iii) morrer em sua 10a dcada?

Soluo:i) P( T(20) > 100) = P( T > 100 | T > 20 ) = P( T > 100)/ P( T > 20 ) = S(100)/S(20). Mas S(x) = lx / l0 . Logo, S(100)/S(20) = l100 / l20 .ii) P( T(20) 70 ) = P( 20 < T 70 | T > 20 ) = [S(20) - S(70)] / S(20) = 1 - S(70)/S(20). Das contas em (i), S(70)/S(20) = l70 / l20 .iii) P( 90 < T(20) 100 ) = P( 90 < T 100 | T > 20 ) = [S(90) - S(100)] / S(20). Das contas em (i), P( 90 < T(20) 100 ) = ( l90 - l100 )/ l20 .

2) Com auxlio da tbua American Experience, determinar a probabilidade de vida para a idade de 45 anos.

Soluo:

Queremos obter p45.

Temos da tbua American Experience quel45 = 74 173 el46 = 73 345.

A probabilidade de vida da idade de x anos

.

Logo,

(

.

Assim, p45 = 0,98884 .

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3) O nmero de mortos entre as idades de 30 e 31 anos na tbua semitropical de Hunter de 858 pessoas e a probabilidade de morte para 30 anos 0,00984. Determinar o nmero de sobreviventes das idades de 30 e 31 anos e a probabilidade de vida da idade de 30 anos.

Soluo:

Encontraremos em primeiro lugar, a probabilidade de vida da idade de 30 anos.

Como, px = 1 - qx temos que p30 = 1 - q30.

Logo, p30 = 1 - 0,00984 = 0,990159422.

Achemos agora o nmero de sobreviventes da idade de 30 anos:

Como

temos que

.

Portanto,

= 858 / 0,00984 = 87190

Finalmente determinaremos o nmero de sobreviventes da idade de 31 anos:

Como lx+1 = lx - dx ( l31 = l30 - d30.

Assim, l31 = 87190 - 858 = 86.332.

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4) Tomando por base a tbua HM de 1869, determinar a probabilidade que um homem, atualmente com 40 anos, tem de chegar aos 50 anos.

Soluo:

Se a pessoa tem atualmente 40 anos, para que a mesma chegue aos 50 anos, claro que tem de sobreviver mais 50-40= 10 anos.

Como

(

.

Assim,

e, como, l40 = 82.284 e l50 = 72.726

Temos que 10p40= 72.726 / 82.284 = 0,88384 .

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5) Utilizando a Tbua Italiana (M), qual a probabilidade que um homem atualmente com a idade de 20 anos tem de falecer no 450. ano.

Soluo:

Temos x = 20 anos (idade atual da pessoa) en = 44 - 20 = 24 anos

Utilizemos a frmula n|qx = dx+n / lx ( 24|q20 = d24+20 / l20 = d44 / l20 .

O nmero de mortos entre as idades de 44 e 45 anos

d44 = l44 - l45 = 55.790 - 55.230

Logo, d44 = 560.

Como l20 = 69.524, a probabilidade desejada igual

24|q20 = 560 / 69.524 = 0,00805.

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6) Determinar, pela Tbua das Cias. Alems, qual a probabilidade de uma pessoa com a idade atual de 30 anos, falecer antes de alcanar os 60 anos.

Soluo:

Temos que x = 30 anos (idade atual da pessoa) e n = 60 - 30 = 30 anos.

Utilizaremos a frmula

( 30q30 = 1 - 30p30 .

Mas 30p30 = l60 / l30

Da tbua, tem-se que l30 = 91.578 e l60 = 55.892.

Logo, 30p30 = 55.892 / 91.578 = 0,61032.

Assim, 30q30 = 1 0,61032 = 0,38968.

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7) Pela tbua American Experience, achar a probabilidade que tem uma pessoa de 30 anos, de morrer entre 45 e 50 anos.

Soluo:

Temos que x = 30 anos (idade atual da pessoa), n = 45 - 30 = 15 anos e m = 50 - 45 = 5 anos.

Usaremos a frmula n|mqx = ( lx+n - lx+n+m )/ lx ( 15|5q30 = ( l45 - l50 )/ l30

Da tbua, temos que l30 = 85.441, l45 = 74.173 e l50 = 69.804.

Logo, 15|5q30 = ( 74.173 - 69.804 ) / 85.441 = 0,051135.

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8) Sendo dados

,

e p40=0,991, calcular a probabilidade que tem uma pessoa de 30 anos de morrer:

i) antes da idade de 50 anos;

ii) entre as idades de 40 e 50 anos;

iii) no seu 410. ano.

Soluo:

i) Queremos

Como no temos o valor de

, fazemos o artifcio de clculo

Assim,

= 0,8188 e

20q30 = 1 0,8188 = 0,1812.

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ii) Temos que 10|10q30 = ( l40 l50 ) / l30 = ( l40 / l30 ) - ( l50 / l30 ).

Mas ( l40 / l30 ) = 10p30 e ( l50 / l30 ) = ( l50 / l40 ) ( l40 / l30 ) = 10p40 10p30

Logo, 10|10q30 = 10p30 - 10p40 10p30 .

Colocando

em evidncia, temos 10|10q30 = 10p30 ( 1 - 10p40 ) .

Substituindo pelos valores numricos da tbua, teremos:

10|10q30 = 0,920 ( 1 - 0,890 ) = 0,1012

iii) Apliquemos a frmula 10|q30 =10p30 q40.

Como q40 = ( 1 - p40 ), temos que 10|q30 =10p30 ( 1 - p40 ).

Substituindo pelos valores numricos da tbua, teremos

10|q30 = 0,920 (1 - 0,991) = 0,00828.

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5. Outras funes de tbuas de mortalidades

Esperana de vida na idade x

e0x = E[ T(x) ] = ((0 t g(t) dt = ((0 t t px (x+t dt = ((0 t px dt

Similarmente, Var[ T(x) ] = 2 ((0 t t px dt - [ ((0 t px dt ]2.

Vida mediana na idade x

P(T(x) > m(x)) = 0,5

m(x) deve satisfazer a S(x+m(x)) / S(x) = 0,5.

Esperana de vida encurtada na idade x

ex = E[ K(x) ] = ((0 k k|qx = ((0 k+1px

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Nmeros esperados de anos vividos por sobreviventes

Tx - nmero esperado de anos vividos pelos sobreviventes at x

Tx = 0 t lx+t x+t dt = 0 lx+t dt

Pode se mostrar que Tx / lx = e0x .

Lx - nmero esperado de anos vividos entre x e x+1 pelos sobreviventes at x

Lx = 10 t lx+t x+t dt + lx+1 . 1 = 10 lx+t dt

Logo, Tx = Lx + Lx+1 + ...

Vida mdia entre x e x+1

ax = E[ T(x) | T(x) < 1 ] = [ 10 t lx+t x+t dt ] / [ 10 lx+t x+t dt ]

Logo, Lx = ax dx + lx+1 .

Taxa central de mortalidade

mx = [ 10 lx+t x+t dt ] / [ 10 lx+t dt ] = ( lx - lx+1 ) / Lx = dx / Lx

Mdia de x ponderada pela padronizao de lx

uma espcie de verso discreta da fora de mortalidade x

til na modelagem estatstica de tbuas de mortalidade pois fornece a relao entre o nmero de falecidos entre as idades x e x+1 e o nmero de indivduos que possuem a idade x.

Temos ainda que

mx = dx / [ lx - (dx /2) ] = (dx / lx ) / [ (lx / lx)- (dx /2 lx) ] = 2 qx / ( 2 - qx ).

Da decorre que qx = 2 mx / (2 + mx ) e px = 2 - mx / (2 + mx ).

Se as mortes entre x e x+1 se distribuem uniformemente (lx+t x+t = dx )

ax = 1/2

Lx = lx+1 + (1/2) dx = lx - (1/2) dx = ( lx + lx+1 ) / 2

Tx = (1/2) lx + lx+1 + lx+2 + ... (provar)

e0x = ex + 0,5

Outras possibilidades podem ser contempladas para a forma de distribuio das mortes entre x e x+1. As mais famosas so:i) uniforme (vista acima), ii) exponencial (fora de mortalidade constante)iii) Balducci

Exerccios sobre tbuas de mortalidade parte II

1) Sabendo-se que l10=100.000, l11=99.251 e l12=98.505, determinar as taxas centrais de mortalidade para as idades de 10 e 11 anos.

Soluo:

Temos que

.

Como dx = lx - lx+1, a frmula acima ficar

=

=

=

.

Substituindo os valores numricos, temos

= 0,007518.

Analogamente,

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_934896906.unknown

_1116247106.unknown

_1116247108.unknown

_1116247105.unknown

_934896290.unknown

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2) Uma tbua tem taxas centrais de mortalidade para as idades de 20 e 21 anos dadas respectivamente por 0,007835 e 0,007886 e o nmero de sobreviventes para a idade de 20 anos 92.637. Determinar os valores de l21, l22, p20, p21, q20 e q21.

Soluo:

Vimos antes que

.

Podemos assim, obter o valor de lx+1 atravs das operaes

mx(lx + lx+1) = 2lx - 2lx+1 (

2lx+1 + mxlx+1 = 2lx - mxlx (

(2 + mx) lx+1 = (2 - mx) lx.

Portanto,

.

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_934896283.unknown

_1116247315.unknown

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_934896282.unknown

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Substituindo os valores numricos, temos

=

Donde obtemos l21 = 91.914.

Analogamente,

= 91.192

As probabilidades so dadas por

,

q20 = 1 - p20 = 1 - 0,992195 =0,007805 e, finalmente,

q21 = 1 - p21 = 1 - 0,992145 =0,007855.

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Leis de Mortalidade

Seria til poder ter formas analticas descrevendo o padro de mortalidade.

Assim, ao invs de + de 100 probabilidades, bastariam 2 ou 3 nmeros para

descrio completa.

Hoje em dia, isso no mais to importante.

Algumas leis mais famosas:

1) de Moivre (1697-1754) matemtico

Supe que lx uma funo linear que decresce em progresso aritmtica (

lx = l0 (w - x)

Portanto,

,

e S(x) = 1 x / w.

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_934701350.unknown

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2) Gompertz (1779 - 1875)

Supe que a fora de mortalidade (x cresce em partes proporcionais (

(x = B cx , para B > 0 e c > 1.

Assim, S(x) =

onde m = B/log c.

3) Makeham (1826-1891) - Aturio

Envelhecimento faz com que log tpx decresa em progresso geomtrica quando x cresce em progresso aritmtica ( log tpx = cx ( ct 1) log g, com c > 1 e 0 < g < 1.

Da, (x = A + B cx onde B = -log g > 0 , - B ( A, que representa riscos acidentais,

e

.

A = 0 ( Gompertz = Makeham

c = 1 ( Gompertz = exponencial (fora constante)

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_934701675.unknown

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_934701937.unknown

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Outras leis propostas:

a) Lambert (1765) - lx = a+b (x-45) + c(x-45)2 + d(x-45)3 + e(x-45)4+ f(x-45)5

b) Young e Littrow - lx - polinomio de grau n

c) Babbage (1823) - lx = A + Bx +

d) Thiele - (x = (1(x) + (2(x) + (3(x) onde

(1(x) = a1

, para a populao infantil

(2(x) = a2

, para a populao adulta

(3(x) = a3

, para a populao idosa

e) Lang - lx = a + bcx

f) Moser (1839) - lx = lo - ax1/4 - bx3/4 - cx7/4

g) Opperman - (x = (( + (x) ekx + (e(x (x < 15)

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_934702927.unknown

_934702989.unknown

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Tbuas e ndices de Mortalidade

Tabela de Mortalidade - instrumento destinado a medir as probabilidades de vida e de morte.

Tabela de 1a. Espcie - construda tendo em vista todo um grupo da populao.

Tabela de 2a. Espcie - construda levando-se em conta um grupo de pessoas selecionadas (por exemplo, por exame mdico) e por esta razo determina um grupo homogneo.

Existem situaes que fazem com que mortalidade seja diferenciada:

indivduos podem ter sido aprovados em exame mdico indivduos podem ter deficincia fsica etc...

Padro de mortalidade alterado e novas probabilidades devem ser utilizadas.

Para explicitar esse ponto, notao tambm ser alterada:x [x] , idade na qual indivduo teve padro mudado (por exame mdico).(x+u) ([x]+u) , indivduo com x+u anos que teve padro mudado em x

Exemplo: considere 3 indivduos com 30+i anos: (30+i), ([30]+i) e ([31]+i-1)

2q30+i a probabilidade de (30+i) morrer em 2 anos

2q[30]+i a probabilidade de [30]+i morrer em 2 anos

2q[31]+i-1 a probabilidade de [31]+i-1 morrer em 2 anos

Tbuas construdas para esses indivduos so ditas tbuas seletas.

Espera-se que efeito do exame acabe com o tempo e mortalidade dependa apenas da idade,

isto , que exista r tal que q[x-j]+r+j q[x]+r q[x]+r , para j > 0

r o perodo de seleo.

A sociedade de aturia americana recomenda r=15, isto , tomar q[x-j]+15+j q[x]+15

Com isso, tbuas seletas s precisam ter r colunas com probs. q[x]+j , j=1,... , r.

A tbua de mortalidade para ([25]) necessita dos valores de q[25]+j , j=1, ... , 15, 16, ... Podemos obter q[25]+j , j=1,... , 15 da tbua seleta q[25]+15+j , j=1,... das relaes q[25]+16 q[26]+15 q41 , q[25]+17 q[27]+15 q42 , ...

Tbuas seletas e finais so obtidas pela truncagem das tabelas seletasaps o perodo de seleo r.

A coluna contendo q[x]+r (= qx+r ) de uma tbua seleta e final chamada de tbua final.

A tabela abaixo contm um trecho da tbua de seguradoras inglesas 1967-1970

[x] 1000 q[x] 1000 q[x]+1 1000 qx+2 l[x] l[x]+1 lx+2 x+230 0,43767 0,57371 0,69882 33.829 33.81433.7953231 0,45326 0,59924 0,73813 33.807 33.79133.7713332 0,47711 0,63446 0,79004 33.784 33.76733.7463433 0,50961 0,68001 0,85577 33.760 33.74233.7193534 0,55117 0,73655 0,93663 33.734 33.71533.69036

O perodo de seleo usado nessa tbua foi r=2.

Note que l[x+2] l[x+1]+1 lx+2 e portanto razovel supor que l[x]+2 = lx+2 .

Entretanto q[x+2] < q[x+1]+1 < qx+2 so bem diferentes e, embora todas se refiram a (32), ordem faz sentido.

Tbua agregada leva em conta apenas a idade dos indivduos.

Exerccio sobre tbuas seletas

Com base na tbua das seguradoras inglesas, calcule 2q[30], 5p[30] , 1|q[31] e 3q[31]+1

Soluo:

i) 2q[30] = P( ([30]) sobreviver 2 anos) = l32 / l[30] = 33.795 / 33.829 = 0,99899.

ii) 5p[30] = P( ([30]) sobreviver 5 anos) = l35 / l[30] = 33.719 / 33.829 = 0,99675.

iii) 1|q[31] = P( ([31]) morrer em seu 32o. ano) = ( l[31]+1 - l[31]+2 ) / l[31]

Como l[31]+2 = l33 ., 1|q[31] = ( 33.791 - 33.771 ) / 33.807 = 0,00059.

iv) 3q[31]+1 = P( ([31]+1) morrer em 3 anos) = ( l[31]+1 - l[31]+4 ) / l[31]+1 Como l[31]+4 = l35 ., 3q[31]+1 = ( 33.791 - 33.719) / 33.791 = 0,00213.

,

Inferncia em tbuas de mortalidade

Estimadores de px

1) Amostra reduzida

Neste caso, supe-se que a sada no perodo de observao s ocorre por morte.

Assim,

2) Atuarial - Se no perodo de observao pode haver sada (censura) devido a outros fatores alm de morte em cada idade x, o estimador atuarial supe que as sadas cx ocorrem no meio do intervalo (x, x + 1)

Assim,

.

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Inferncia em tbuas de mortalidade (cont.)

Normalmente em tbuas, no h censura qx = dx / lx .

Supondo que as mortes na idade [x] esto concentradas em x + , o tempo de exposio na idade x Ex = lx+1 . 1 + dx . = lx - dx .

Supondo que a taxa de mortalidade constante em cada idade (x+s = x+1/2 , para 0 < s < 1), estimamosx+1/2 = dx / Ex qx = 1 exp( - x+1/2 ) = 1 exp(- dx / Ex).

Observaes: Os 2 estimadores de qx so parecidos pois 1 exp(-z) z, se z for pequeno Se a taxa de mortalidade constante para cada idade, a verossimilhana da idade x (x+1/2 )dx exp( - x+1/2 Ex) dx / Ex EMV de x+1/2

,

Para usar mtodos analticos de inferncia, precisamos assumir distribuio para v.a.s dx e Ex (ou lx).

Costuma-se assumir Ex (ou lx) conhecidos.

Existem 2 opes mais comuns para dx: dx Poisson (x+1/2 Ex) da verossim. Acima dx Binomial ( lx , qx )

Na prtica, no h muita diferena nos 2 caminhos;

Se lx grande e qx pequeno (normalmente verdade) ento Binomial Poisson, lx Ex qx x+1/2

Intervalos de confiana (caminho Poisson)

Assumindo o caminho Poisson, podem-se construir I.C.s para x+1/2 a partir de I.C.s para = x+1/2 Ex.

Exemplo: suponha dx = 19 e Ex = 2000, para algum x

O I.C. 90% para 12,44 < < 27,88 (da tabela do Gerber)

Dividindo todos os termos por 2000,I.C. 90% para x+1/2 0,00622 < x+1/2 < 0,01394.

1,00624 < exp ( x+1/2 ) < 1,01404 0,98616 < exp ( - x+1/2 ) < 0,99380 0,00620 < 1 - exp (-x+1/2) < 0,01384 I.C. para qx

Note semelhana entre os I.C.s de x+1/2 e qx

Intervalos de confiana (caminho binomial)

Assumindo o caminho binomial, podem-se construir I.C.s para qx a partir da aproximao normaldx /lx normal (qx , qx (1- qx )/lx ).

Da, obtm-se o I.C. 95% para qx dado pelos limites(dx /lx) 1,96 [ dx (lx - dx )/ (lx)3 ]1/2Para I.C. 99% troca-se 1,96 por 2,576.

Exemplo: suponha dx = 19 e lx = 2000, para algum xdx /lx = 0,0095dx (lx - dx )/ (lx)3 = 19 (2000-19)/20003 = (0,002169)2

Assim, I.C. 95% para qx tem limites 0,0095 1,96 . 0,002169 I.C. 95%: 0,00525 < qx < 0,01375

Aproximao normal funciona bem para lx grandes.

Abordagem Bayesiana (caminho Poisson)

Usando Poisson, a verossimilhana da idade x dada porl(x+1/2 ) = (x+1/2 )dx exp( - x+1/2 Ex)

Supondo prioris x+1/2 Gama ( x , x ), obtm-se, pelo teorema de Bayes, a posteriorix+1/2 | dados Gama ( x + dx , x + Ex).

A mdia a posteriori de x+1/2 (x + dx ) / ( x + Ex).

A mdia a posteriori de qx = 1 exp( - x+1/2 ) 1[x/(x + 1) ]x.

Intervalos de credibilidade para x+1/2 podem ser construdos, a partir da distribuio Gama. Intervalos de credibilidade para qx podem ser construdos, a partir dos intervalos para x+1/2 .

Abordagem Bayesiana (caminho Binomial)

Usando binomial, a verossimilhana da idade x dada porl(x+1/2 ) (qx )dx (1 - qx )lx -dx

Supondo prioris qx Beta ( x , x ), obtm-se, pelo teorema de Bayes, a posterioriqx | dados Gama ( x + dx , x + lx).

A mdia a posteriori de qx (x + dx ) / ( x + lx).

Intervalos de credibilidade para x+1/2 podem ser construdos, a partir da distribuio Gama. Intervalos de credibilidade para qx podem ser construdos, a partir dos intervalos para x+1/2 .

Graduao

Os valores de qx estimados por todos os procedimentos acima no levam em conta nenhuma relao entre seus sucessivos valores.

A decorrncia disso que eles podem ter grandes e indesejveis flutuaes, principalmente nas idades mais avanadas.

Alm disso, no levam em conta possveis formas determinsticas (leis de mortalidade) que pode se querer impor.

A idia da teoria de graduao, introduzida por Whittaker em 1920, visa justamente tratar essas questes.

Veremos mais tarde como isso pode ser feito.

Foras de mortalidade proporcionais

Sejampx+1/2 = f. m. para idade x da tbua padrox+1/2 = f. m. para idade x da tbua de interesse

Suponha que tbua de interesse tenha fora de mortalidade proporcional uma tbua padro, isto ,x+1/2 = f px+1/2 , para toda idade x.

Temos que dx Poisson (x+1/2 Ex) = Poisson (fpx+1/2 Ex).Assim, d = x dx Poisson (f x px+1/2 Ex).

Portanto, f pode ser estimado por (x dx)/(x px+1/2 Ex) ee s+1/2 pode ser estimado por ps+1/2 .(x dx)/(x px+1/2 Ex)

Intervalos de confiana para f (e x+1/2) podem ser construdos.

Mltiplas causas de morte

Considere a decomposio da morte pelas suas m causas.

Temos assim, para cada idade x, m foras de mortalidade 1,x+1/2 , ... , m,x+1/2 m prob. condicionais de morte q1,x , ... , qm,x m contagens de mortos d1,x , ... , dm,x

Os E.M.V. de j,x+1/2 so dados por dj,x / Ex , j = 1, ... , m.

Analogamente, os E.M.V. de qj,x so dados por (dj,x/dx) [ 1 exp ( - dx/Ex ) ], j = 1, ... , m.

Intervalos de confiana para j,x+1/2 e qj,x podem ser construdos.

Estimadores e intervalos Bayesianos tambm podem ser obtidos.

3) Kaplan-Meier - Neste mtodo, o indivduo perdido (ou censurado) considerado no estudo e, somente aps a sada, deixa de ser considerado na estimao de px. Portanto necessria saber a ordem das sadas e mortes.

Seja Nj = nmero de indivduos ainda sob observao antes da ja morte em (x, x+ 1)

Logo, px =

.

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Exemplo do estimador Kaplan-Meyer

Suponha uma sada e uma morte no intervalo (x, x+ 1) com

a sada (censura) no tempo t e a morte no tempo u.

Nx - nmero de indivduos no incio do intervalo.

10. Caso: x ( t < u ( x + 1

(x, x + 1) = (x, t) ( (t,u) ( (u,x+1)

px = p(x, t) p(t, u) p(u, x + 1)

=

20. Caso: x ( u < t ( x + 1

px = p(x, u) p(u, t) p(t, x + 1)

=

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Comparao de estimadores AR (amostra reduzida), PL (produto limite ou Kaplan-Meier) e Atuarial para estimar sobrevivncia.

Uma amostra de 100 indivduos acompanhada no comeo de 1995. Durante o ano, 70 morrem e 30 sobrevivem. Ao final do ano, uma amostra maior de 1000 indivduos est disponvel. Durante 1996, 15 indivduos da 1a. amostra e 750 da 2a. amostra morrem, deixando como sobreviventes 15 indivduos na 1a. amostra e 250 indivduos na 2a. amostra.

Ao final de 1996, desejamos estimar 2p0, que a probabilidade dos indivduos da populao sobreviverem mais de 2 anos.

Amostra

I

II

Inicial

100

1000

Mortes no 10. ano

70

750

Sobreviventes no 10. ano

30

250

Mortes no 20. ano

15

Sobreviventes no 20. ano

15

RS)2p0 =

(s usa informao da amostra completa)

KM)p0 =

e

p1 = 15/30 = 0,5 (Probabilidade de (1) sobreviver 2 ano).

Logo, 2p0 = p0 p1 = 0,255 . 0,50 = 0,127

Atuarial) p1 =

e

2p0 = p0 p1 = 0,255 (1 - 0,094) = 0,231

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Inferncia em tbuas de mortalidade Estimao de mx

Na prtica, dispomos de informao sobre mortes observadas na populao.

Com base, nesses dados procuramos obter estimadores de propriedades da populao.Uma das mais usadas a taxa central de mortalidade pois dada por uma relao direta entre mortes e indivduos em risco para cada dado intervalo (de 1 ano).

Sejam Dx = nmero observado de mortes na idade x e Lx = nmero observado de anos vividos na idade x

Note que E[Dx ] = dx , E [ Lx ] = Lx e mx = dx / Lx .

Uma hiptese comumente feita que Dx | Lx Poisson ( mx Lx ).

Da, obtm-se o estimador Dx / Lx para mx

Hipteses paramtricas sobre mx podem ser feitas. Exemplo: Gompertz - mx= B cx

Pela regra de multiplicao P(A1... An) = P(A1) P(A2 | A1) .... P(An|An-1... A1) ( D1 | L1 ) , ( D2 | L2 ), ( D3 | L3 ) , ... so independentes.

Temos todas as condies de um modelo linear generalizado (MLG): observaes independentes D1 , D2, ... , Dw funo de ligao para a mdia variveis explicativas (no caso, x a idade)

Aplicando para o caso Gompertz temos mx= B cx.

Portanto, E [Dx ] = mx Lx = B Lx cx.

Tomando ligao logartmica temos log E [Dx ] = log Lx + log B + (log c) x.

Trata-se de MLG com 1 covarivel: x e intercepto dado por log Lx + log B .

Se Gompertz no apropriada, outras opes podem ser usadas.Descries mais realistas podem ter covariveis x, x2 , x3 , ...

Ligao logartmica til pois garante positividade de mx

Outra opo a abordagem no-paramtrica.

Exemplo: modelos autocorrelacionados para mx

mx = mx-1 + vx onde vx N(0, V) .

Beltro e Pinheiro (2002) num relatorio tcnico da Funenseg construram uma tbua seleta da populao consumidora de produtos das seguradoras brasileiras .

Eles optaram pelo caminho binomial.

A graduao foi feita atravs da especificao de Thiele

qx = q1(x) + q2(x) + q3(x) onde

q1(x) cuidaria da populao infantil (ausente nesse caso),q2(x) cuida da mortalidade por causas externasq3(x) cuida da mortalidade por envelhecimento

As formas adotadas foramq2(x) = D exp [ - E (log x log F )2 ] eq3(x) = G Hx / ( 1 + K G Hx )

Outras possibilidades a serem exploradas em graduao:

Ao tomar o caminho binomial, queremos modelar probabilidades de morte qx que esto no intervalo [0,1].

Nesse caso, a transformao mais apropriada no a logartmica,usada no caso de taxas de mortalidade.

A mais comum a trasformao logit: x = log [qx /(1- qx )].

Diferentes modelos podem ser usados aqui como visto anteriormente.

Outra opo aplicar as transformaes diretamente nos dados e assumir a partir da distribuio normal.

Assim, no caminho Poisson, tomamos log (dx/Ex) como sendo normal com mdia x+1/2; no caminho binomial, tomamos logit (dx /lx) como sendo normal com mdia qx.

Nesses casos, ainda resta a varincia normal para ser modelada.

Esse caminho aproximado (os anteriores so exatos).

Mas a aproximao ser boa para Ex (ou lx) grandes.

Dinmica de Populaes

Consideremos uma populao hipottica com idade limite w=4 anos.

Suponha que 700 indivduos nascem no ano z e so acompanhados at a morte

Destes indivduos, 140 morrem no primeiro ano (antes do 10. aniversrio)

56 morrem no segundo ano (com um ano mas antes de completar 20. aniversrio)

252 morrem no terceiro ano (com dois anos mas antes de completar 30. aniversrio)

252 morrem no quarto ano (com trs anos mas antes de completar 40. aniversrio)

O diagrama de Lexis* (1875) representa o acompanhamento dessas vidas com

i) tempo z no eixo x

ii) idade x no eixo dos y

iii) vidas em linhas fazendo 45o com os eixos x e y.

* Wilhelm Lexis (1837-1914) estatstico, demgrafo e aturio alemo

No diagrama, cada vida representada por uma linha inclinada de 45o.

A linha inicia-se na data do nascimento e termina na data e idade da morte.

Para nossa populao o diagrama ter 700 linhas inclinadas

comeando no eixo horizontal na idade z e teremos

140 terminando no paralelograma ADBC (antes da horizontal da idade).

56 terminando no paralelograma CDEF (entre as horizontais das idades 1 e 2).

252 terminando em EFGH e o resto em GHIJ.

Os nmeros que atingem as horizontais nas idades 0, 1, 2, 3, 4 so respectivamente 700, 560, 504, 252.

Podemos estimar probabilidades de morte com base no acompanhamento dessa populao.

Por exemplo, q1 = 56 / [ 700 140 ] = 0,1.

Na descrio feita anteriormente, a populao era um coorte, isto , um grupo (nascido em um certo ano e) acompanhado at extino.

Cada ano l0 nascimentos ocorrem em uma populao

Cada coorte (grupo) de nascimento segue o padro de uma dada tabela de mortalidade (padro)

Se isso permanecer inalterado por muitos anos a populao se torna estacionria. Assim, um censo tomado desta populao em qualquer momento aps o estado estacionrio ser atingido obteria

pessoas no intervalo x a x+n. Referimos esta populao como populao da tabela de mortalidade.

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Na construo de tabelas de mortalidade: essencial que o perodo de referncia (tempo) e intervalo de idade envolvido sejam bem especificados e entendidos.

O diagrama de Lexis permite deixar claro esses aspectos.

Por exemplo as estimativas de qx baseadas no coorte podem ser obtidas a partir de:

Px no. de pessoas no incio do ano z com idade entre x e x+1 (linhas cruzando AD).

= no. de pessoas que chegam a idade x no ano z (linhas cruzando AB)

- no. de mortes no ano z ds pessoas com idade x (linhas que terminam em ABCD).

- nmero de mortes no ano z entre as pessoas com idade x que completaram x anos no ano z (linhas que terminam em ABC).

- nmero de mortes no ano z entre as pessoas com idade x que completaram x anos no ano z-1 (linhas que terminam em ADC).

Relaes entre esses dados ( estimativa de qx dada por

.

Cada coluna do diagrama de Lexis fornece uma tbua de mortalidade (padro).

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Sequncia de tbuas de mortalidade

Na prtica, observamos vrias tbuas publicadas a intervalos de tempo regulares.

Podemos coloca-las em sequncia de forma a estabelecer padro para evoluo delas.Se populao for estacionria, padro constante. Isso pode ser checado!

Idade \ Ano1975198019851990199520001 D11975D11980D11985D11990D11995D120002D21975D21980D21985D21990D21995D220003D31975D31980D31985D31990D31995D320004D41975D41980D41985D41990D41995D420005D51975D51980D51985D51990D51995D520006D61975D61980D61985D61990D61995D62000...

onde Dxz denota o nmero de mortos da idade x observado no ano z

Continuamos com independncia (condicional) entre D1z , ... , Dwz , para todo ano z.

Supondo que as tabelas foram geradas de forma independente, temos independncia entre as tabelas.

Assim, temos independncia para D11975 , ... , Dw1975 , ... , D12000 , ... , Dw2000.

A hiptese bsica se mantm: Dxz | Lxz Poisson ( mxz Lxz ), onde

mxz a taxa central de mortalidade da idade x no ano z

Lxz o nmero observado de anos vividos aps x no ano z

Podemos propor MLG como o anterior s que agora temos x e z como possveis covariveis.

Modelando x (como vimos antes) estudamos o padro de morte da populao.

Modelando z estudamos o padro de evoluo da mortalidade ao longo do tempo.

Exemplo: razovel supor um declnio da taxa central de mortalidade ao longo dos anos para todas as idades (x=1, ... , w)

log mxz = x + x z onde espera-se < 0.

x = 0 indica estacionariedade da populao.