МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО

Н.І. Мотрій

В.П. Черепанов

О.В. Сукачов

В.В. Журав

ЗАДАЧІ З ФІЗИКИ

ЧАСТИНА ДРУГА

2

УДК 530.1(076)

Мотрій Н.І., Черепанов В.П., Сукачов О.В., Журав В.В.. Задачі з фізики.

Частина друга: Навч. посібник для студентів вищих навчальних закладів. –

Кременчук: КДПУ, 2008. – 168 с.

З метою забезпечення самостійної роботи студента над курсом фізики

дано загальні методичні вказівки щодо розв’язування задач і виконання

контрольних робіт, наведено широке коло прикладів розв’язків і задач для

самостійного розв’язування з розділів „Електростатика”, „Електричний струм і

електромагнетизм”, подано відомості про точність обчислень.

Посібник призначений для студентів інженерно-технічних спеціальностей

вищих навчальних закладів денної та заочної форм навчання, може бути

корисним для інженерно-технічних працівників машинобудівних підприємств

та вчителів.

Рецензенти: В.М. Шмандій, д. т. н., проф., академік УЕАН,

В.П. Ляшенко, к. ф.-м. н., проф.

Кафедра фізики

Затверджено методичною радою КДПУ імені Михайла Остроградського

Протокол № __ від _________ 200_ року

Заступник голови методичної ради ____________ доц. С.А. Сергієнко

3

ЗМІСТ

Вступ …... ................................................................................….………………......4

Програма курсу з фізики для інженерно-технічних спеціальностей ..............…...5

Загальні методичні вказівки .......................................................................……….12

1. Електрика..............................................................................................………….22

1.1 Електростатика ...........................................................................…………....22

1.2 Постійний електричний струм .........................................................……….70

1.3 Електричні струми в металах, вакуумі та газах ..........................................83

2. Магнетизм..............................................................................................................86

2.1 Магнітне поле..................................................................……........................86

2.2 Електромагнітна індукція ................................................................………133

2.3 Магнітні властивості речовини .........................................................……..147

2.4 Основи теорії Максвелла для електромагнітного поля.........................…152

Список літератури ...............................................................................…….……..154

Додатки........................................................................................................……….155

Відповіді...................................................................................................................161

4

ВСТУП

Фізика є фундаментальною базою для теоретичної підготовки інженера,

без опанування якою неможлива його успішна діяльність.

На всіх етапах вивчення курсу фізики велике значення має практичне

застосовування теоретичних знань, зокрема розв’язування задач. Особливо це

важливо при вдосконаленні різних форм самостійної роботи студентів.

Цей посібник задумано як практичне застосування теоретичного

матеріалу викладеного з курсу фізики. Видання призначено для спеціальностей

з обмеженою кількістю годин з фізики, насамперед для заочної форми

навчання.

Мета даного навчально-методичного посібника ― допомогти студентам

вищих навчальних закладів у вивченні курсу фізики.

Навчальний матеріал програми курсу розбито у посібнику на чотири

частини:

1) механіка, молекулярна фізика і термодинаміка;

2) електростатика, електричний струм і електромагнетизм;

3) коливання та хвилі;

4) оптика, квантова природа випромінювання, елементи квантової

фізики атомів, молекул і твердих тіл, елементи фізики атомного ядра та

елементарних частинок.

Цю (другу) частину присвячено електростатиці, електричному струму й

електромагнетизму. У кожному з розділів дано основні формули, приклади

розв’язування задач, задачі для самостійного розв’язування. Крім того, у

посібнику наведено загальні методичні вказівки, відомості про наближені

обчислення та деякі довідкові таблиці, матеріали.

5

ПРОГРАМА КУРСУ ФІЗИКИ ДЛЯ ІНЖЕНЕРНО-ТЕХНІЧНИХ

СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ

Предмет фізики. Методи фізичного дослідження: дослід, гіпотеза,

експеримент, теорія. Роль фізики у розвитку техніки і вплив техніки на

розвиток фізики. Зв'язок фізики з іншими науками.

Фізичні основи класичної механіки

Механічний рух як найпростіша форма руху матерії. Уявлення про

властивості простору й часу, що лежать в основі класичної (ньютонівської)

механіки. Елементи кінематики матеріальної точки. Швидкість і прискорення

точки як похідні радіуса-вектора за часом. Нормальне і тангенціальне

прискорення. Радіус кривизни траєкторії. Поступальний рух твердого тіла.

Динаміка матеріальної точки і поступального руху твердого тіла. Закон

інерції та інерціальні системи відліку. Закони динаміки матеріальної точки і

системи матеріальних точок. Зовнішні й внутрішні сили. Центр мас (центр

інерції) механічної системи і закон його руху. Закон збереження імпульсу.

Енергія як універсальна міра різних форм руху і взаємодії. Робота змінної

сили. Кінетична енергія механічної системи та її зв'язок з роботою прикладених

до системи зовнішніх і внутрішніх сил.

Поле як форма матерії, що здійснює силову взаємодію між частинками

речовини. Потенціальна енергія матеріальної точки у зовнішньому силовому

полі та її зв'язок із силою, що діє на матеріальну точку. Поняття про градієнт

скалярної функції координат. Поле центральних сил. Потенціальна енергія

системи. Закон збереження механічної енергії. Дисипація енергії. Закон

збереження і перетворення енергії як прояв незнищенності матерії та її руху.

Застосування законів збереження до зіткнень пружних і непружних тіл.

Елементи кінематики обертального руху. Кутова швидкість і кутове

прискорення, їх зв'язок з лінійними швидкостями і прискореннями точок

обертового тіла. Момент сили і момент імпульсу механічної системи.

6

Момент сили відносно вісі. Момент імпульсу тіла відносно нерухомої вісі

обертання. Момент інерції тіла відносно вісі. Рівняння динаміки обертального

руху твердого тіла відносно нерухомої вісі. Кінетична енергія обертового тіла.

Закон збереження моменту імпульсу і його зв'язок з ізотропністю простору.

Неінерціальні системи відліку. Сили інерції.

Елементи спеціальної теорії відносності

Перетворення Галілея. Механічний принцип відносності. Постулати

спеціальної теорії відносності. Перетворення Лоренца. Поняття одночасності.

Відносність довжин і проміжків часу. Інтервал між подіями і його інваріантість

стосовно вибору інерціальної системи відліку як прояв взаємозв'язку простору і

часу. Релятивістський закон додавання швидкостей. Релятивістський імпульс.

Основний закон релятивістської динаміки матеріальної точки.

Релятивістський вираз для кінетичної енергії. Взаємозв'язок маси та енергії.

Енергія зв'язку системи. Співвідношення між повною енергією та імпульсом

частинки. Межі застосування класичної (ньютонівської) механіки.

Механічні коливання і хвилі у пружних середовищах

Гармонічні механічні коливання. Кінематичні характеристики

гармонічних коливань. Диференціальне рівняння гармонічних коливань.

Пружинний, фізичний і математичний маятники. Енергія гармонічних

коливань. Додавання гармонічних коливань одного напрямку й однакової

частоти. Биття. Додавання взаємно перпендикулярних коливань.

Диференціальне рівняння згасаючих коливань і його розв’язання.

Аперіодичний процес. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його

розв’язання. Амплітуда зсуву і фаза вимушених коливань. Поняття про

резонанс.

Хвильові процеси. Механізм утворення механічних хвиль у пружному

середовищі. Поздовжні та поперечні хвилі. Синусоїдальні (гармонічні) хвилі.

7

Рівняння біжучої хвилі. Довжина хвилі та хвильове число. Хвильове

рівняння. Фазова швидкість і дисперсія хвиль. Енергія хвилі. Принцип

суперпозиції хвиль і межі його застосовності. Хвильовий пакет. Групова

швидкість. Когерентність.

Інтерференція хвиль. Утворення стоячих хвиль. Рівняння стоячої хвилі та

його аналіз.

Основи молекулярної фізики і термодинаміки

Статистичний метод дослідження. Термодинамічний метод дослідження.

Термодинамічні параметри. Рівноважні стани і процеси, їх відображення на

термодинамічних діаграмах. Виведення рівняння молекулярно-кінетичної теорії

ідеальних газів для тиску і його порівнювання з рівнянням Клапейрона-

Менделєєва. Середня кінетична енергія молекул. Молекулярно-кінетичне

тлумачення термодинамічної температури. Число ступенів вільності молекули.

Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності молекул.

Внутрішня енергія ідеального газу. Робота газу при зміні його об’єму. Кількість

теплоти. Теплоємність. Перший закон термодинаміки. Застосування першого

закону термодинаміки до ізопроцесів та адіабатного процесу ідеального газу.

Залежність теплоємності ідеального газу від виду процесу. Класична

молекулярно-кінетична теорія теплоємностей ідеальних газів та її обмеженість.

Закон Максвелла для розподілу молекул ідеального газу за швидкостями

і енергіями теплового руху. Барометрична формула. Закон Больцмана для

розподілу частинок у зовнішньому потенціальному полі. Середня кількість

зіткнень і середня довжина вільного пробігу молекул. Час релаксації. Явища

перенесення у термодинамічно нерівноважних системах. Дослідні закони

дифузії, теплопровідності та внутрішнього тертя. Молекулярно-кінетична

теорія цих явищ.

Оборотні та необоротні процеси. Коловий процес (цикл). Теплові двигуни

і холодильні машини. Цикл Карно і його ККД для ідеального газу. Другий

закон термодинаміки. Незалежність ККД циклу Карно від природи робочого

8

тіла. Ентропія. Ентропія ідеального газу. Статистичне тлумачення другого

закону термодинаміки. Критика ідеалістичного тлумачення другого закону

термодинаміки.

Відступи від законів ідеальних газів. Реальні гази. Сили і потенціальна

енергія міжмолекулярної взаємодії. Ефективний діаметр молекул. Рівняння

Ван-дер-Ваальса. Порівнювання ізотерм Ван-дер-Ваальса з

експериментальними. Фазові переходи І і ІІ родів. Критичний стан. Внутрішня

енергія реального газу. Особливості рідкого і твердого станів речовини.

Електростатика

Закон збереження електричного заряду. Електричне поле. Основні

характеристики електростатичного поля ― напруженість і потенціал.

Напруженість як градієнт потенціалу. Розрахунок електростатичних полів

методом суперпозиції. Потік вектора напруженості. Теорема Остроградського-

Гаусса для електростатичного поля у вакуумі. Застосування теореми

Остроградського-Гаусса до розрахунку поля. Електричне поле у речовині.

Вільні та зв'язані заряди в діелектриках. Типи діелектриків. Електронна й

орієнтаційна поляризація. Поляризованість. Діелектрична сприйнятливість

речовини. Електричне зміщення. Діелектрична проникність середовища.

Обчислення напруженості поля у діелектрику. Сегнетоелектрики.

Провідники в електричному полі. Поле всередині провідника і біля його

поверхні. Розподіл зарядів у провіднику. Електроємність окремого провідника.

Взаємна ємність двох провідників. Конденсатори. Енергія зарядженого

провідника, конденсатора і системи провідників. Енергія електростатичного

поля. Об'ємна густина енергії.

Постійний електричний струм

Постійний електричний струм, його характеристики й умови існування.

Класична електронна теорія електропровідності металів та її дослідні засади.

Виведення закону Ома у диференціальній формі з електронних уявлень. Закон

9

Відемана-Франца. Закон Ома в інтегральній формі. Різниця потенціалів,

електрорушійна сила, напруга. Труднощі класичної теорії електропровідності

металів. Межі застосування закону Ома. Струм у газах. Плазма. Робота виходу

електронів з металу. Термоелектронна емісія.

Електромагнетизм

Магнітне поле. Магнітна індукція. Закон Ампера. Магнітне поле струму.

Закон Біо-Савара-Лапласа і його застосування до розрахунку магнітного поля.

Магнітне поле прямолінійного провідника зі струмом. Магнітне поле колового

струму. Магнітний момент витка зі струмом. Вихровий характер магнітного

поля. Закон повного струму (циркуляція вектора магнітної індукції) для

магнітного поля у вакуумі та його застосування до розрахунку магнітного поля

тороїда і довгого соленоїда. Дія магнітного поля на заряд, що рухається. Сила

Лоренца. Рух заряджених частинок у магнітному полі. Принцип дії циклічних

прискорювачів заряджених часток. Ефект Холла. МГД-генератор. Контур зі

струмом у магнітному полі. Магнітний потік. Теорема Остроградського-Гаусса.

Робота переміщення провідника і контуру зі струмом у магнітному полі.

Явище електромагнітної індукції (досліди Фарадея). Правило Ленца.

Закон електромагнітної індукції та його виведення з закону збереження енергії.

Явище самоіндукції. Індуктивність. Струми при замиканні та розмиканні кола.

Явище взаємної індукції. Взаємна індуктивність. Енергія системи провідників зі

струмом. Об'ємна густина енергії магнітного поля.

Магнітне поле у речовині. Магнітні моменти атомів. Типи магнітиків.

Намагніченість. Мікро- і макроструми. Елементарна теорія діа- і

парамагнетизму. Магнітна сприйнятливість речовини та її залежність від

температури. Закон повного струму для магнітного поля в речовині.

Напруженість магнітного поля. Магнітна проникність середовища.

Феромагнетики. Досліди Столєтова. Крива намагнічування. Магнітний

гістерезис. Точка Кюрі. Домени. Спінова природа феромагнетизму.

10

Основи теорії Максвелла для електромагнітного поля. Струм зміщення.

Рівняння Максвелла для електромагнітного поля в інтегральній формі.

Електромагнітні коливання і хвилі

Гармонічні електромагнітні коливання та їх характеристики.

Диференціальне рівняння електромагнітних коливань. Електричний

коливальний контур. Енергія електромагнітних коливань. Диференціальне

рівняння електромагнітних коливань і його розв’язання. Диференціальне

рівняння вимушених коливань і його розв’язання. Амплітуда і фаза вимушених

коливань. Випадок резонансу. Електромагнітні хвилі. Диференціальне рівняння

електромагнітної хвилі. Основні властивості електромагнітних хвиль.

Монохроматична хвиля. Енергія електромагнітних хвиль. Потік енергії. Вектор

Умова - Пойтінга. Випромінювання диполя.

Хвильова оптика

Інтерференція світла. Когерентність і монохроматичність світлових

хвиль. Розрахунок інтерференційної картини від двох когерентних джерел.

Оптична довжина шляху. Інтерференція світла у тонких плівках.

Інтерферометри. Дифракція світла. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон

Френеля. Прямолінійне поширення світла. Дифракція Френеля на круглому

отворі та диску. Дифракція Фраунгофера на одній щілині та дифракційних

ґратках. Роздільна здатність оптичних приладів. Дифракція на просторових

ґратках. Формула Вульфа-Брегга. Принцип голографії. Дослідження структури

кристалів. Оптично неоднорідне середовище. Дисперсія світла. Області

нормальної й аномальної дисперсії. Електронна теорія дисперсії світла. Ефект

Доплера. Випромінювання Вавілова-Черенкова. Поляризація світла. Природне і

поляризоване світло. Поляризація світла при відбиванні. Закон Брюстера.

Подвійна променезаломлюваність. Одновісні кристали. Поляроїди і

поляризаційні призми. Закон Малюса.

11

Квантова природа випромінювання

Теплове випромінювання. Чорне тіло. Закон Кірхгофа. Закон Стефана-

Больцмана. Розподіл енергії у спектрі абсолютно чорного тіла. Закон зміщення

Віна. Квантова гіпотеза і формула Планка. Оптична пірометрія. Зовнішній

фотоефект і його закони. Фотони. Рівняння Ейнштейна для зовнішнього

фотоефекту. Маса та імпульс фотона. Тиск світла. Досліди Лебедєва. Квантове і

хвильове пояснення тиску світла. Ефект Комптона і його теорія. Діалектична

єдність корпускулярних і хвильових властивостей електромагнітного

випромінювання.

Елементи атомної фізики і квантової механіки

Дослідне обґрунтування корпускулярно-хвильового дуалізму

властивостей речовини. Формула де Бройля. Співвідношення невизначеностей

як прояв корпускулярно-хвильового дуалізму властивостей матерії. Хвильова

функція та її статистична сутність. Обмеженість механічного детермінізму.

Принцип причинності в квантовій механіці. Стаціонарні стани. Рівняння

Шредінгера для стаціонарних станів. Вільна частинка. Тунельний ефект.

Частинка в одномірній прямокутній "потенціальній ямі". Квантування енергії та

імпульсу частинки. Поняття про лінійний гармонічний осцилятор. Атом водню.

Головне, орбітальне і магнітне квантові числа.

Дослід Штерна і Герлаха. Спін електрона. Спінове квантове число.

Ферміони і бозони. Принцип Паулі. Розподіл електронів в атомі за станами.

Поняття про енергетичні рівні молекул. Спектри атомів і молекул. Поглинання,

спонтанне і вимушене випромінювання. Поняття про лазер.

12

ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

1. Залежно від своєї спеціальності студент за час вивчення курсу

загальної фізики повинен здати до навчального закладу від двох до шести

контрольних робіт.

2. Номери задач, які студент повинен включити до своєї контрольної

роботи, визначають за таблицею варіантів, які видають студентові на кафедрі

фізики у ВНЗ.

3. Контрольні роботи треба виконувати чорнилом в учнівському

зошиті, на обкладинці якого написати прізвище, ім’я та по батькові, назву

факультету, шифр групи, номер залікової книжки, номер контрольної роботи та

домашню адресу.

4. Умови задач у контрольній роботі треба переписати повністю без

скорочень. Для зауважень викладача на сторінках зошита залишати поля.

5. У кінці контрольної роботи треба зазначити, яким підручником або

навчальним посібником студент користувався під час вивчення фізики (назва

підручника, автор, рік видання). Це роблять для того, щоб викладач у разі

потреби міг указати студентові, що саме слід вивчити для завершення роботи.

6. Розв’язання задач потрібно супроводжувати короткими, але

вичерпними поясненнями; у тих випадках, коли це можливо, дати креслення,

виконане за допомогою креслярських приладів.

7. Розв’язувати задачу треба у загальному вигляді, тобто виразити

шукану величину в літерних позначеннях величин, заданих в умові задачі. При

такому способі розв’язання не потрібно робити обчислення проміжних

величин.

8. Після одержання розрахункової формули для перевірки

правильності її треба підставити до правої частини формули замість символів

величин позначення одиниць цих величин, зробити необхідні дії над ними і

переконатись, що одержувана при цьому одиниця відповідає шуканій величині.

13

Якщо такої відповідності немає, то це означає, що задачу розв’язано

неправильно.

9. Числові значення величин при підстановці їх до розрахункової

формули треба виражати тільки в одиницях СІ. Як виняток допускається

виражати у будь-яких, але однакових одиницях числові значення однорідних

величин, що стоять у чисельнику і знаменнику дробу і мають однакові степені.

10. При підстановці до розрахункової формули, а також при написанні

відповіді числові значення величин треба записувати як добуток десяткового

дробу з однією значущою цифрою перед комою на відповідну степінь десяти.

Наприклад, замість 3520 потрібно записувати 3,52 · 103; замість 0,00129

записувати 1,29 · 10-3 і т.д.

11. Обчислення за розрахунковою формулою треба робити

дотримуючись правил дій над наближеними числами, коротко викладеними

нижче.

Числа поділяють на точні та наближені. Наприклад, число, яке виражає

кількість важків, що знаходяться в коробці, ― точне. Числа ж, отримані при

вимірюванні фізичних величин: довжини, часу, температури, напруги і т.д.,

завжди є наближеними з різним ступенем точності залежно від вибору

інструментів і способу вимірювань.

Наприклад, довжину стрижня можна виміряти сантиметровою стрічкою з

точністю до десятих часток сантиметра, а штангенциркулем ― до сотих часток

сантиметра, чутливішими інструментами точність вимірювань можна

збільшити до тисячних часток сантиметра і навіть до 0,00001 см = 0,1 µ ( до

десятих часток мікрона).

Багатозначні числа, точні або наближені, для спрощення розрахунків

можна округлити, якщо це не відображається негативно на подальшому

практичному застосуванні одержаного результату. Наприклад, не можна робити

значного округлення розмірів отвору для вісі колеса, бо це може призвести до

того, що вісь або не ввійде в отвір, або ходитиме в ньому вільно.

14

При округленні багатозначних чисел, точних або наближених, необхідно

керуватися наведеними нижче правилами.

Округлення чисел Округленням даного числа до деякого його розряду називають заміну

його новим числом, яке одержують з даного, відкидаючи всі його цифри,

записані праворуч від цифри цього розряду, або заміняючи їх нулями. Ці нулі

звичайно записують меншими, наприклад: 36520 ≈ 37000 (число 36520

округлено до тисяч). При округленні числа користуються наступними

правилами:

1) якщо перша (зліва) з відкинутих цифр менша за 5, то цифру останнього

залишеного розряду не змінюють. Наприклад,

25,42 см ≈ 25,4 см.

2) якщо перша відкинута цифра дорівнює 5 або більша за 5, то цифру

останнього залишеного розряду збільшують на одиницю. Наприклад,

25,48 см ≈25,5 см.

3) нулі, які стоять у кінці десяткового дробу, не відкидають, якщо вони

означають ті розряди, з точністю до яких зроблено вимірювання. Наприклад,

питома вага речовини 7,80 г/см3 (точність вимірювання до сотих).

Інколи числа округлюють з надлишком або з недостачею.

При округленні з надлишком цифру останнього залишеного розряду

завжди збільшують на одиницю, незалежно від того, яка цифра була за нею.

Наприклад,

325 ≈ 400 округлено до сотих (з надлишком).

2,75 ≈ 2,8 округлено до десятих (з надлишком).

При округленні з недостачею цифру останнього залишеного розряду не

змінюють. Наприклад,

275 ≈ 200 округлено до сотих (з недостачею).

3,5 ≈ 3 округлено до одиниць (з недостачею).

15

Значущі цифри

Значущими цифрами числа називають усі його цифри, починаючи з

першої ліворуч, відмінної від нуля цифри, крім нулів, що стоять у кінці числа

на місці відкинутих при округленні цифр (як вже зазначалось, ці нулі звичайно

пишуть меншими).

Наприклад, число 0,026 має дві значущі цифри, бо нулі, які стоять лівіше

першої ненульової цифри (тобто двійки), не вважаються значущими.

У виразі 1 км = 1000 м нулі у кінці числа 1000 є точними, вони вказують

на відсутність у числі 1000 сотень, десятків і одиниць і отже, є значущими,

тому число 1000 в даному випадку має чотири значущі цифри.

Те саме число 1000, якщо воно одержане при округленні до тисяч чисел

845 ≈ 1000 або, наприклад, 1320 ≈ 1000, матиме одну значущу цифру, бо в ньому

всі три нулі після одиниці з’явились у результаті округлення і є неточними.

Якщо ж, наприклад число 1000 одержане при округленні якогось числа до

сотих (987 ≈ 1000, 1041 ≈ 1000 і т.д.), то в ньому буде дві значущі цифри (останні

два нулі є результатом округлення, і тому не рахуються).

Число 25000=25⋅103=25000 (з точністю до тисяч), якщо воно означає,

наприклад, кількість населення якого-небудь міста, має дві значущі цифри, бо

три останні нулі в ньому поставлені замість невідомих цифр і є неточними.

Точні цілі та дробові числа можуть мати будь-яке число значущих цифр,

бо приписувані до них праворуч нулі вказуватимуть на відсутність у числа

відповідних частин і, отже, ці нулі будуть значущими цифрами.

Приклади:

25 книжок, 25=25,000... ― нулі означають відсутність у числа десятих, сотих і

т.д. частин.

10:4=2,5=2,5000... ― нулі означають відсутність у числа сотих, тисячних і т.д.

частин.

16

Записування неточних чисел

В одержуваних у вимірюваннях результатах останні значущі цифри є

звичайно сумнівними, і записують такі числа тільки з однією сумнівною

цифрою. Наприклад, якщо довжина стрижня записана числом 12 мм, то це

означає, що цифра 2 ― сумнівна.

Якщо ж довжина стрижня не набагато більша за 12 мм, то необхідно її

записати 12,0 мм, де цифра 2 - цілком надійна, а десяті долі міліметрів невідомі

та сумнівні.

Додавання і віднімання наближених чисел

П р а в и л о: При додаванні та відніманні наближених чисел в

одержаному результаті треба відкидати (або, якщо число ціле, заміняти на

маленькі нулі) цифри тих розрядів праворуч, яких нема хоча б в одному з

даних наближених чисел.

Приклади

1. Додавання і віднімання цілих наближених чисел.

25000 точність до 1000

+ 3245 " до 1

250 " до 10

28495 ≈28000.

Згідно з правилом в одержаній сумі відкинуто цифри одиниць, десятків і

сотих, бо вони невідомі в першому з доданків, і замінено на маленькі нулі.

_ 32000 округлено до тисяч

6720 " до десятих

25280 ≈ 25000.

Результат округлено до тисяч, бо в першому доданку число відкинутих

сотень невідоме.

17

2. Додавання і віднімання наближених десяткових дробів.

2,62 Округлюємо результат до двох десяткових знаків,

+ 13,536 бо найменше число десяткових знаків ― два ― в числі 2,62.

7,6803

23,8363 ≈ 23,84.

_ 18,326 Округлюємо результат до двох десяткових знаків,

6,27 бо у від’ємнику (6,27) число тисячних часток невідоме.

12,056 ≈ 12,06.

Множення і ділення наближених чисел

При множенні та діленні часто даремно намагаються одержати

якнайбільше цифр, обчислюють стотисячні, мільйонні й т.д. частки,

розраховуючи цим підвищити точність результату. Насправді ж точність

обчислення повинна відповідати точності вимірювань, бо неточність

вимірювань не можна компенсувати високою точністю обчислень.

П р а в и л о. При множенні та діленні наближених чисел у результаті

треба лишати стільки значущих цифр, скільки їх є в числі з найменшою

кількістю значущих цифр.

П р и к л а д и н а м н о ж е н н я

1. Множення наближених цілих чисел.

385

× 23

1155

770

8855 ≈ 8900.

Залишаємо в добутку дві значущі цифри, бо множник з найменшою

кількістю значущих цифр (23) має їх дві. Відкинуті цифри цілого числа

заміняємо маленькими нулями.

18

2) Множення наближеного цілого числа на наближений дріб.

2 · 3,85 = 7,70 ≈ 8.

З двох множників найменшу кількість значущих цифр ― одну ― має число 2,

тому в добутку залишаємо одну значущу цифру.

3) Множення двох наближених дробових чисел.

3,82 три значущі цифри

× 0,04 одна " "

0,1528 ≈ 0,2. одна " "

4) Множення наближеного числа на точне ціле або дробове число.

У цьому випадку добуток має стільки значущих цифр, скільки їх є в

наближеному числі:

а) 35 ⋅ 3 = 1055 ≈ 100.

(тут 35 ― наближене число, 3 ― точне число);

б) 2 ⋅ 3,85 = 7,70.

(тут 3,85 ― наближене число, 2 ― точне число).

Порівняєте з прикладом №2, де множник (2) ― наближене число.

в) 5,62 ⋅ 2,3 = 12,926 ≈ 12,9.

(тут 5,62 ― наближене число, 2,3 ― точне число).

П р и к л а д и н а д і л е н н я

Ділення цілих наближених чисел.

а) 256000 : 25 =10240 ≈10000 (тут точність числа 256000 ― до 1000, числа 25 ― до 1).

У частці залишаємо дві значущі цифри, бо компонент з найменшою кількістю

значущих цифр (дільник) має їх дві. Відкинуті цифри цілого числа заміняємо

маленькими нулями.

б) 125300 : 150 = 835,3 ≈ 840.

Ділене має чотири значущі цифри, дільник ― дві. У частці залишаємо дві

значущі цифри.

19

2) Ділення наближеного дробу на наближене ціле число.

3,8 : 2 = 1,9 ≈ 2.

Найменша кількість значущих цифр у компонентах (ділене, дільник) ― одна.

3) Ділення дробу на дріб, коли вони обидва наближені.

а) 23,6 : 0,02 = 1180 ≈ 1000.

Тут число 23,6 має три значущі цифри, а число 0,02 ― одну, тому в результаті

― 1000 ― залишаємо значущу цифру.

б) 0,82 : 3,25 = 0,252 ≈ 0,25.

4) Ділення наближеного числа на точне і навпаки.

У цьому випадку в частці залишаємо стільки значущих цифр, скільки їх є в

наближеному числі.

а) 3,8 : 2 = 1,9.

(3,8 ― наближене число, 2 ― точне число).

Порівняйте з прикладом №2, коли дільник (2) був

наближеним числом.

б) 6,29 : 0,4 = 15,725 ≈ 15,7.

6,29 ― наближене число, 0,4 ― точне число.

в) 4 : 2,4 = 1,666 ≈ 1,7.

4 ― точне число, 2,4 ― наближене число.

г) 3,5 : 2 = 1,75 ≈ 2.

3,5 ― точне число, 2 ― наближене число.

Піднесення до степеня

П р а в и л о. При піднесенні наближеного числа до квадрата чи куба

в результаті треба залишити стільки значущих цифр, скільки їх має бути

піднесено до степеня число.

Приклад

Потрібно знайти площу квадрата, сторона якого дорівнює 2,3 см.

Одержуємо:

2,32 = 5,29 ≈ 5,3 см2.

20

Добування кореня

П р а в и л о. При добуванні квадратного чи кубічного коренів з

наближеного числа в результаті треба брати стільки значущих цифр,

скільки їх має підкореневе (наближене) число.

Приклад

3,8 = 2,88 ≈ 2,9.

Обчислення проміжних результатів При обчисленнях проміжні результати варто брати на одну цифру

більшими. В остаточному результаті цю “запасну” цифру відкидають.

Приклад

Потрібно виконати дію 2,3 × 3,82 : 7,5.

Спершу множимо:

3,82

× 2,3

1146

+ 764

8,786 ≈ 8,79.

Беремо дві значущі цифри, бо множник із найменшою кількістю

значущих цифр (2,3) має їх дві, та залишаємо одну запасну цифру 9, бо

множення ― проміжна дія; а потім одержаний добуток ділимо на 7,5:

8,79 : 7,5 = 1,17 ≈ 1,2.

У частці 1,17 цифра 7 є запасною, бо компонент з найменшою кількістю

значущих цифр ― дільник 7,5 ― має тільки дві значущі цифри.

Оскільки ця дія остання, то в результаті відкидаємо запасну цифру,

користуючись правилами округлення.

Попереднє округлення Якщо при операціях додавання і віднімання, множення і ділення,

піднесення до степеня чи добування кореня деякі дані мають більше десяткових

21

знаків ніж інші, тому треба попередньо їх округлити, залишаючи тільки одну

зайву цифру.

Приклад

Без округлення: З округленням:

2,62 + 13,536 + 7,6803 = 23,8363 ≈ 23,84. 2,62 + 13,54 + 7,68 = 23,84.

2,82 ⋅ 3,5 = 9,87 ≈ 9,9. 2,8 ⋅ 3,5 = 9,8.

Округлення у практичних розрахунках Приклад 1

Потрібно обчислити площу прямокутної дошки, при вимірюванні

довжини і ширини якої (за допомогою сантиметрової стрічки) одержано

наступні результати:

довжина 124,0 см ± 0,5 см,

ширина 24,0 см ± 0,5 см.

Розрахунок: площа дошки у см2 дорівнює: 124 ⋅ 24 = 2976 ≈3000 Приклад 2

Потрібно обчислити питому вагу бруска, розміри якого:

довжина = 6,4 см ± 0,1 см,

ширина = 2,3 см ± 0,1 см,

висота = 1,6 см ±0,1 см,

вага бруска = 209,22г ± 0,1г.

Знайдемо площу основи бруска:

6,4 см ⋅ 2,3 см = 14,72 см2 ≈ 14,7 см2.

Знайдемо об’єм бруска:

14,7см2 ⋅ 1,6 см = 23,52 см3 ≈ 14,7 см3.

Знайдемо питому масу:

209 г : 23,5см3 = 8,89 г/см3 ≈8,9 г/см3.

У наукових вимірюваннях одержують наближені числа, які мають до

восьми значущих цифр, і тільки у виняткових випадках більше.

22

1 ЕЛЕКТРИКА

1.1 Електростатика

Основні закони і формули

• Закон Кулона

2

21

04

1

r

QQF

πε= ,

де F – сила взаємодії двох точкових зарядів Q1 і Q2 у вакуумі;

r – відстань між зарядами;

ε0 – електрична стала, яка дорівнює 8,85·10-12 Ф/м.

• Напруженість і потенціал електростатичного поля

,// ; 00 QA=,QΠ=F/Q=E 0 ∞

де F – сила, що діє на точковий позитивний заряд Q0, який поміщено у дану

точку поля;

П – потенціальна енергія заряду Q0;

А∞ - робота переміщення заряду Q0 з даної точки поля за його межі.

• Напруженість і потенціал електростатичного поля точкового заряду

Q на відстані r від заряду

.4

1;

4

1

02

0 r

Q

r

Q

πεϕ

πε==Ε

• Потік вектора напруженості через площину dS

,dSEdd nE ==Φ SSSSEEEE

де dS = dSn – вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрямок збігається з

нормаллю n до площини;

En – складова вектора Е за напрямком нормалі n до площини.

• Потік вектора напруженості через довільну поверхню S

.dSEds

n

S

Е ∫∫ ==Φ SE

23

• Принцип суперпозиції (накладання) електростатичних полів

, ;11∑∑

==

==n

ii

n

ii ϕϕEE

де Еі, ϕі – відповідно напруженість і потенціал поля, створюваного зарядом Qi.

• Зв’язок між напруженістю і потенціалом електростатичного поля

, або ,

∂∂+

∂∂+

∂∂−== kjiEE

zyx-grad

ϕϕϕϕ

де i, j, k – одиничні вектори координатних вісей.

• У випадку поля з центральною або осьовою симетрією

.dr

dE

ϕ−=

• Електричний момент диполя (дипольний момент) lp ⋅= Q ,

де l – плече диполя.

• Лінійна, поверхнева та об’ємна густина зарядів

dV

dQ

dS

dQ

dl

dQ === ρστ ; ; ,

тобто відповідно заряд, який припадає на одиницю довжини, поверхні і

об’єму.

• Теорема Гаусса для електростатичного поля у вакуумі

,11

010∫∑∫∫ ====Φ

= V

n

ii

S

n

S

E dVQdSEd ρεεSSSSEEEE

де ε0 – електрична стала; ∑=

n

iiQ

1 - алгебраїчна сума зарядів, які розміщені в

середині замкненої поверхні S;

n – число зарядів;

ρ - об’ємна густина зарядів.

• Напруженість поля, що створюється рівномірно зарядженою

нескінченною площиною,

.)2( 0ε

σ=E

24

• Напруженість поля, що створюється двома нескінченними

паралельними різнойменно зарядженими площинами,

.0ε

σ=E

• Напруженість поля, що створюється рівномірно зарядженою

сферичною поверхнею радіусом R з загальним зарядом Q на відстані r від

центру сфери,

E 0= при r < R (у середині сфери);

204

1

r

QE

πε= при r ≥ R (за межами сфери).

• Напруженість поля, що створюється об’ємно зарядженою кулею

радіусом R з загальним зарядом Q на відстані r від центру кулі

rR

QE

304

1

πε= при r ≤ R (у середині кулі);

204

1

r

QE

πε= при r ≥ R (за межами кулі).

• Напруженість поля, що створюється рівномірно зарядженим

нескінченним циліндром радіусом R на відстані r від вісі циліндра

E 0= при r < R (у середині циліндра);

rE

τπε 021= при r ≥ R (за межами циліндра).

• Циркуляція вектора електростатичного поля вздовж замкненого

контуру

∫ ∫ ==L L

l dlEd 0lE ,

де El – проекція вектора Е на напрямок елементарного переміщення dl.

Інтегрування виконуюь за будь-яким замкненим шляхом L.

• Робота, яка здійснюється силами електростатичного поля при

переміщенні заряду Q0 з точки 1 до точки 2,

( ) dlEQdQAабоQA l∫∫ ==−=2

1

0

2

1

01221012 , llllEEEEϕϕ ,

25

де El – проекція вектора Е на напрямок елементарного переміщення dl.

• Поляризованість

Vi

i∑=

pP ,

де V – об’єм діелектрика;

pi – дипольний момент i – ї молекули.

• Зв’язок між поляризованістю діелектрика і напруженістю

електростатичного поля

,0 EEEEPPPP χε=

де χ - діелектрична сприйнятливість речовини.

• Зв’язок діелектричної проникливості ε з діелектричною

сприйнятливістю χ

.1 χε += • Зв’язок між напруженістю Е поля в діелектрику і напруженість Е0

зовнішнього поля

00 ε

PEE −= , або ε

0EE = .

• Зв’язок між векторами електричного зміщення і напруженістю

електростатичного поля

E.E.E.E.DDDD 0εε= • Зв’язок між D, E, P

.0 PPPPEEEEDDDD += ε

• Теорема Гаусса для електростатичного поля в діелектрику

,1∑∫∫

=

===Φn

ii

S

n

S

D QdSDdSSSS DDDD

де ∑=

n

iiQ

1 - алгебраїчна сума замкнених усередині замкненої поверхні S вільних

електричних зарядів;

Dn – складова вектора D за напрямком нормалі n до площини dS;

26

dS = dS·n – вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрямок збігається з

нормаллю n до площини. Інтегрування проводять по всій поверхні.

• Напруженість електростатичного поля біля поверхні провідника

,0εε

σ=E

де σ - поверхнева густина зарядів.

• Електроємність одиничного провідника

,ϕQ

C =

де Q – заряд, пройдений по провіднику;

ϕ - потенціал провідника.

• Ємність плоского конденсатора

,0d

SC

εε=

де S – площа кожної пластини конденсатора;

d – відстань між пластинами.

• Ємність циліндричного конденсатора

,)ln(

2

2

1

0

rr

lC

επε=

де l – довжина обкладинок конденсатора; r1 і r2 – радіуси коаксіальних

циліндрів.

• Ємність сферичного конденсатора

,412

210 rr

rrC

−= επε

де r1 і r2 – радіуси концентричних сфер.

• Ємність системи конденсаторів при послідовному та паралельному

з’єднанні

∑=

=n

i iCC 1

11 та ∑

=

=n

iiCC

1,

де Сі – ємність і-го конденсатора;

27

n – кількість конденсаторів.

• Енергія відокремленого зарядженого провідника

.222

22

C

QQCW === ϕϕ

• Енергія взаємодії системи точкових зарядів

i

n

iiQW ϕ∑

=

=12

1,

де ϕі – потенціал, який створюється у точці, де знаходиться заряд Qi, усіма

зарядами, крім і-го.

• Енергія зарядженого конденсатора

( )C

QQCW

222

22

=∆=∆= ϕϕ ,

де Q – заряд конденсатора;

C – його ємність;

∆ϕ – різниця потенціалів між обкладинками.

• Сила притягування між двома різнойменно зарядженими

обкладинками конденсатора

.222

20

0

2

0

2 SES

S

QF

εεεε

σεε

===

• Енергія електростатичного поля плоского конденсатора

,222

20

20

20 V

E

d

SUSd

EW

εεεεεε===

де S – площа однієї пластини;

U – різниця потенціалів між пластинами;

V = S·d – об’єм конденсатора.

• Об’ємна густина енергії

22

20 EDE ==εεω ,

де D – електростатичне зміщення.

28

• Зв’язок питомої провідності γ з рухливістю b заряджених частинок

(іонів)

)( −+ += bbQnγ , де Q – заряд іона;

n – концентрація іонів;

b+ і b- – це рухомості позитивних і негативних іонів.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1.1.1 Два точкові заряди 9Q і –Q закріплено на відстані l = 50 см

один від одного. Третій заряд Q1 може переміщуватися тільки вздовж прямої,

яка проходить через заряди. Визначити положення заряду Q1, при якому він

буде знаходиться у рівновазі. При якому знаку заряду Q1 рівновага буде стійка?

Д а н о : 9Q, –Q, l = 50 см = 0,5 м.

В и з н а ч и т и : Q1.

Р о з в ’ я з о к . Заряд Q1 знаходиться у рівновазі в тому випадку, якщо

геометрична сума сил, що діють на нього, дорівнює нулю. Це означає, що на

заряд Q1 повинні діяти дві сили, які рівні за модулем і протилежні за

напрямком. Розглянемо, на якій з трьох ділянок І, ІІ, ІІІ (рис. 1.1.1) може

виконуватися ця умова. Для визначеності будемо вважати, що заряд Q1 –

Рис. 1.1.1

29

додатній.

На ділянці І (рис. 1.1.1,а) на заряд Q1 будуть діяти дві протилежно

напрямлені сили: F1 і F2. Сила F1 діє з боку заряду 9Q, у будь-якій точці цієї

ділянки більше сили F2, яка діє з боку заряду – Q, оскільки більший заряд 9Q

знаходиться завжди ближче до заряду Q1, ніж менший (за модулем) заряд – Q.

Тому рівновага на цій ділянці неможлива.

На ділянці ІІ (рис. 1.1.1,б) дві сили F1 і F2 напрямлені в один бік – до

заряду – Q. Отже, і на другій ділянці рівновага неможлива.

На ділянці ІІІ (рис. 1.1.1,в) сили F1 і F2 напрямлені у протилежні боки, як

і на ділянці І, але на відміну від нього менший заряд – Q завжди знаходиться

ближче до заряду Q1, ніж більший заряд 9Q. Це значить, що можна знайти таку

точку на прямій, де сили F1 і F2 будуть однаковими за модулем, отже,

.21 FF = (1)

Нехай x і l + x – відстань від меншого і більшого зарядів до заряду Q1.

Виразимо у рівнянні (1) F1 і F2 відповідно до закону Кулона, отримаємо 9Q ·

Q1/(l+x)2 = Q · Q1/ x

2, або l + x = ± 3 x, звідки

x1 = + l/2, x2 = - l/4.

Корінь x2 не задовольняє фізичній умові задачі ( у цій точці сили F1 і F2

хоча і рівні за модулем, але вони співпадають за напрямком.

Визначимо знак заряду Q1, при якому рівновага буде стійкою. Рівновага

називається стійкою, якщо при зміщенні заряду від положення рівноваги

з’являються сили, які повертають його у положення рівноваги. Розглянемо

зміщення заряду Q1 у двох випадках: коли заряд додатній і від’ємний.

Якщо заряд Q1 додатній, то при зміщенні його вліво обидві сили F1 і F2

зростають. Оскільки сила F1 збільшується повільно, то результуюча сила, яка

діє на заряд Q1, буде напрямлена в той самий бік, у який зміщено цей заряд,

тобто вліво. Під дією цієї сили заряд Q1 буде віддалятися від положення

рівноваги. Те ж саме відбувається і при зміщенні заряду Q1 вправо. Сила F2

зменшується швидше ніж F1. Геометрична сума сил в цьому випадку

напрямлена вправо. Заряд під дією цієї сили також буде переміщуватися

30

вправо, тобто віддалятися від положення рівноваги. Таким чином, у випадку

додатнього заряду рівновага є нестійкою.

Якщо заряд Q1 від’ємний, то його зміщення вліво викличе збільшення сил

F1 і F2, але сила F1 збільшується повільніше, ніж F2 тобто то | F2 |>| F1 |.

Результуюча сила буде напрямлена вправо. Під її

дією заряд Q1 повертається до положення

рівноваги. При зміщенні Q1 управо сила F2

зменшується швидше, ніж F1 тобто | F1 |>| F2 |,

результуюча сила напрямлена вліво і заряд Q1

знову буде вертатися до положення рівноваги.

При від’ємному заряді рівновага є стійкою.

Величина самого заряду Q1 несуттєва.

Приклад 1.1.2 Три точкові заряди Q1 = Q2 = Q3 = 1нКл розміщено у вершинах

рівностороннього трикутника. Який заряд Q4 потрібно помістити у центр

трикутника, щоб вказана система зарядів знаходилася у рівновазі?

Д а н о : Q1 = Q2 = Q3 = 1нКл = 10-9 Кл.

В и з н а ч и т и : Q4.

Р о з в ’ я з о к . Усі три заряди, знаходяться по вершинах трикутника і за

однакових умов. Тому достатньо з’ясувати, який заряд потрібно розмістити

всередині трикутника, щоб будь-який з трьох зарядів, наприклад Q1, знаходився

у рівновазі. Заряд Q1 буде знаходитися у рівновазі, якщо векторна сума діючих

на нього сил дорівнює нулю (рис. 1.1.2):

04432 =+=++ FFFFFFFFFFFFFFFFFFFF , (1)

де F2, F3, F4 – сили, з якими відповідно діють на заряд Q1 заряди Q2, Q3,Q4;

F – рівнодійна сил F2 і F3.

Оскільки сили F і F4 напрямлені по одній прямій у протилежні боки, то

векторне рівняння (1) можна замінити скалярним: F - F4 =0, звідки F = F4.

Виразивши в останньому рівнянні F через F2 і F3 і врахувавши, що F2 = F3,

отримаємо:

Рис. 1.1.2

31

)cos1(224 α+= FF .

Застосувавши закон Кулона і маючи на увазі, що Q1 = Q2 = Q3, знайдемо

)cos1(244 20

21

210

41 απεπε

+=r

Q

r

QQ,

звідки

)cos1(22

211

4 α+= rrQ

Q . (2)

З геометричних побудов у рівносторонньому трикутнику випливає, що

330cos2)2/cos(2

1

rrrr =

°==

α, cos α = cos 60° = 1/2.

З урахуванням цього формула (2) набуде вигляд

31

4QQ = .

Виконаємо розрахунки:

Q4 = 10- 9/√3 Кл = 5.77·10-10 Кл = 577 пКл.

Потрібно зазначити, що рівновага системи зарядів буде нестійкою.

Приклад 1.1.3 На тонкому стрижні завдовжки l = 20 см знаходиться

рівномірно розподілений електричний заряд. На продовженні вісі стрижня на

відстані а = 10 см від найближчого кінця знаходиться точковий заряд

Q1 = 40 нКл, який взаємодіє зі стрижнем із силою F = 6 мкН. Визначити лінійну

густину τ заряду на стрижні.

Д а н о : l = 20 см = 0,2 м, а = 10 см = 0,1 м, Q1 = 40 нКл = 40 · 10-9 Кл,

F = 6 мкН = 6 · 10-6 Н.

В и з н а ч и т и : τ.

Р о з в ’ я з о к . Сила взаємодії F

зарядженого стрижня з точковим

зарядом Q1 залежить від лінійної

густини заряду на стрижні. Знаючи

цю залежність, можна визначити τ.

При розрахунку сили F потрібно мати на увазі, що заряд на стрижні не є

Рис. 1.1.3

32

точковим, тому закон Кулона безпосередньо застосувати неможливо. У цьому

випадку можна зробити наступним чином. Виділити зі стрижня (рис. 1.1.3)

маленьку ділянку dr із зарядом dQ = τ·dr. Цей заряд можна розглядати як

точковий. Тоді, відповідно до закону Кулона,

20

1

4 r

drQdF

πετ= .

Інтегруючи цей вираз у межах від а до a+l, отримаємо

)(4)

11(

44 0

1

0

11

20

1

laa

lQ

laa

Q

r

drQF

a

a +=

+−== ∫

+

πετ

πετ

πετ

,

звідки

lQ

Flaa

1

0 )(4 += πετ .

Перевіримо, чи дає розрахункова формула одиницю лінійної густини

електричного заряду. Для цього до правої частини формули замість символів

величин підставимо їх одиниці:

м

Кл

мН

КлН

КлДж

Н

В

Н

Кл

НВКл

Кл

НФ

мКл

Нмммф

lQ

Flaa

1

1

1

11

/1

1

1

1

1

1/1

1

11

11

111/1

]][[

]][][][[ 0 =⋅

⋅===⋅=⋅=⋅

⋅⋅⋅=+ε

.

Знайдена одиниця є одиницею лінійної густини заряду.

Виконаємо обчислення:

нКлмКлмКл 5,2/105,2/2,0104109

106)2,01,0(1,0 989

6

=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= −−

−

τ .

Приклад 1.1.4 Два точкові електричні заряди Q1 = 1нКл і Q2 = -2 нКл

знаходяться у повітрі на відстані d = 10 cм один від одного. Визначити

напруженість Е і потенціал ϕ поля, створюваного цими зарядами у точці А,

віддаленій від заряду Q1 на відстань r1 = 9 см і від заряду Q2 на r2 = 7 см.

Д а н о : Q1 = 1нКл = 10-9 Кл, Q2 = -2 нКл = -2 · 10

-9 Кл, d = 10 cм = 0,1 м,

r1 = 9 см = 0,09 м, r2 = 7 см = 0,07 м.

В и з н а ч и т и : Е; ϕ.

33

Р о з в ’ я з о к . Згідно з принципом

суперпозиції електричних полів, кожний заряд

створює поле незалежно від наявності у просторі

інших зарядів. Тому напруженість Е електричного

поля у шуканій точці може бути знайдена, як

геометрична сума напруженостей Е1 і Е2 полів,

створюваних кожним зарядом окремо: Е = Е1 + Е2.

Напруженість електричного поля, створюваного в повітрі (ε=0) зарядами Q1 і

Q2.

210

11 4 r

QE

πε= , (1)

220

22 4 r

QE

πε= . (2)

Вектор Е1 (рис. 1.1.4) напрямлено по силовій лінії від заряду Q1, оскільки цей

заряд додатній; вектор Е2 напрямлений також по силовій лінії, але до заряду Q2,

оскільки цей заряд від’ємний.

Модуль вектора Е знайдемо за теоремою косинусів

αcos2 2122

21 EEEEE ++= , (3)

де α - кут між векторами Е1 і Е2, який може бути знайдений з трикутника зі

сторонами r1, r2 і d:

21

22

21

2

2cos

rr

rrd −−=α .

У даному випадку, щоб уникнути великих записів, cos α розрахуємо

окремо:

238,007,009,02

)07,0()09,0()1,0(cos

222

−=⋅⋅

−−=α .

Підставляючи вираз Е1 з (1) і Е2 з (2) до (3) і виносячи спільний множник

за знак кореня, отримаємо

Рис. 1.1.4

34

απεcos2

4

12

22

1

21

42

22

41

21

0 rr

QQ

r

Q

r

QE ++= . (4)

Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів потенціал ϕ

результуючого поля, створюваного двома зарядами Q1 і Q2, дорівнює

алгебраїчній сумі потенціалів:

ϕ = ϕ1 + ϕ2. (5)

Потенціал електричного поля, що створюється у вакуумі точковим

зарядом Q на відстані r від нього, виражають формулою:

r

Q

04πεϕ = . (6)

У нашому випадку згідно з формулами (5) і (6) отримаємо

20

2

10

1

44 r

Q

r

Q

πεπεϕ += ,

або

+=

2

2

1

1

04

1

r

Q

r

Q

πεϕ .

Виконаємо розрахунки:

кВ/м 3,85 В/м 103,85)238,0()07,0()09,0(

102102

)07,0(

)102(

)09,0(

)10(109 3

22

99

4

29

4

299 =⋅=−⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=

−−−−

E

В 157)07,0

102

09,0

10(109

999 −=⋅+⋅=

−−

ϕ .

Приклад 1.1.5 По тонкому кільцю

рівномірно розподілений заряд Q = 40 нКл з

лінійною густиною τ = 50 нКл/м. Визначити

напруженість Е електричного поля,

створюваного цим зарядом у точці А, яка

лежить на вісі кільця і віддалена від нього на

відстань, яка дорівнює половині радіуса.

Д а н о : Q = 40 нКл = 40 · 10-9 Кл, τ = 50

нКл/м = 50 · 10Кл/м.

В и з н а ч и т и : Е.

Рис. 1.1.5

35

Р о з в ’ я з о к . Сумістимо координатну площину xOy з площиною кільця, а

вісь Oz – з віссю кільця (рис. 1.1.5). На кільці виділимо малу ділянку dl.

Оскільки заряд dQ = τ dl, що знаходиться на цій ділянці, можна вважати

точковим, то напруженість dE електричного поля, створюваного цим зарядом,

може бути записано у вигляді

rr

dld

rrrrEEEE 2

04πετ= ,

де r – радіус-вектор, напрямлений від елемента dl до точки А.

Розкладемо вектор dE на дві складові: dE1, перпендикулярну до площини

кільця, і dE2 паралельну до площини кільця, тобто

21 EEEEEEEEEEEE d dd += .

Напруженість Е електричного поля у точці А знайдемо за допомогою

інтегрування:

∫∫ +=LL

21 EEEEEEEEEEEE ,

де інтегрування проводять за всіма елементами зарядженого кільця. Зазначимо

що кожні пари зарядів dQ і dQ′ (dQ = dQ′), розміщені симетрично відносно

центру кільця, вектори dE2 і dE2′ у точці А рівні за модулем і протилежні за

напрямком: dE2 = - dE2′. Тому векторна сума (інтеграл) 02 =∫

L

dEEEE . Складові dE1

для всіх елементів кільця співнапрямлені з віссю Oz (одиничним вектором k),

тобто dE1 = k dE1.

Тоді

∫=L

dE 1kkkkEEEE .

Оскільки 204 r

dldE

πετ= , і 5/1/)2/(cos == rRα , то

20

20

15555

4

4

1

R

dldl

RdE

πεττ

πε== .

Таким чином,

RR

dlR

0

2

02

0 55

2

55 ετ

πε

π

kkkkkkkkEEEE == ∫ .

36

Із співвідношення Q = 2π Rτ визначимо радіус кільця R = Q/(2πτ). Тоді

QQ 0

2

0 55

4

55

22

επτ

επττ

kkkkkkkkEEEE == .

Модуль напруженості

Q0

2

55