機率(Probability)

•機率與統計的關係•樣本空間及事件•機率基本概念及性質•計數技巧•條件機率、獨立事件及貝氏定理

機率與統計的關係• 機率是推論統計的理論基礎。使用民意調查做簡單的說明

– 想知道全台灣成年民眾對承認大陸學歷的看法。– 訊息可以如何取得？– 藉由抽樣做民意調查，因為母體太大了，不可能問得到每一個人的意見。– 一般民調要訪問多少人？– 可以把一千多個人的意見，當作一千多萬人意見的估計，又如何知道估計得好不好呢 ?關鍵在於抽樣方式。

– 使用正確的方式抽樣，不僅能得到相當可靠的結果，還能評估誤差大小。所謂正確的抽樣方式，就是指隨機抽樣。

• 隨機抽樣的結果背後會有一個架構。– 如果用相同的隨機抽樣方式重複不斷地抽樣 (樣本大小固定 )，雖然每次抽樣的結果會有所變化，且事前無法預測，但若把所有可能的結果放在一起考慮，必定會符合某種機率模型；這個模型描述了樣本結果和母體之間的關係，我們就可以據以評估樣本結果的好壞，而且還可以利用機率式子把誤差大小表示出來。

– 推論統計的根本就是隨機抽樣，其理論基礎就是機率。如果胡亂抽樣，因為不可能找得出樣本和母體之間的關聯，也就無法評估誤差，所做出的結果則和瞎猜沒兩樣。

隨機實驗任何一個不能事先確定結果的過程，我們把它統稱為「試驗」。隨機實驗 (random experiment) 是一種過程 (process)，是一種不能確定預知會發生何種結果的實驗方式。在實驗前已知所有可能出現的結果，而實驗後的結果為所有可能的結果之一，但實驗前並未能正確的、肯定的預知它是何種結果。隨機實驗可重複進行，而經過長期重複實驗，出現的結果會遵循某一些統計規則。一個實驗若具有下列四種特性，就被稱為隨機實驗 (random experiment) 。(1)此實驗之全部可能結果，均可事先預知。(2)正在執行此實驗時，無法預測將會出現何種結果。(3)此實驗在相同條件下，可重複執行。(4)若此實驗重複執行許多次，則會出現一些可預測之統計規則。

樣本空間定義 (樣本空間， sample space)一項試驗所有可能發生的結果所構成的集合，叫做該試驗的樣本空間，常用符號 S 或 Ω表示，且該集合中的元素稱為樣本點。例：擲一顆骰子，骰子丟擲之後出現的點數，必定是 1 、 2 、3 、 4 、 5 、 6的其中之一，這些可能點數所構成的集合

S={1,2,3,4,5,6}

例：想知道某企業生產 LED燈管的壽命，則S={t|t0}

例 3.2-1連續丟擲一枚硬幣三次，觀察哪一面朝上，寫出樣本空間。解：每一次的結果都可能是正面 (head) 或反面 (tail)，如果用 H代表正面， T 代表反面，則樣本空間為

S1 = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

例 3.2-2連續擲一枚硬幣三次，觀察正面出現的次數，試寫出樣本空間。解：將一枚硬幣連擲三次的正面總數，可能是 0 、 1 、 2 或 3，所以樣本空間為

S2= {0,1,2,3}

註：如果所擲的是平衡的硬幣，即正、反面機率完全一樣，例3.2-1樣本空間中八個樣本點的發生機率都會相同。

事件定義 (事件， event)樣本空間的任一子集均稱為事件，當試驗結果為該事件當中任一樣本點時，我們稱該事件發生了。

連續擲一枚硬幣三次之後，我們想知道，正面是否至少出現兩次。

A= { HHH,HHT,HTH,THH }，則明顯可見 A是例 3.2-1樣本空間 S1的子集 (也稱部份集合 )，這叫做一個事件 (event)。

事件表達方法

一、描述方式令 A 代表「正面至少出現兩次的事件」

二、用集合表示A = { HHH, HHT, HTH, THH}

假設我們連續擲一枚硬幣三次，並關心正面是否至少出現兩次這件事，可以用兩種方式表達：

試驗結果是 HHH, HHT, HTH, THH當中的任意一個，我們就說「事件 A發生了」。

若試驗結果落在 A集合外面時 (例如擲出 TTH的結果 )，則我們說 A沒有發生；但是結果若落在 A的外面，就必定落在 A的補集裡，所以我們可以做出結論：

『若 A沒發生，則 A的補集 Ac必有發生』

補集定義 ( 補集， complement)

A的補集 Ac 代表「 A沒發生」的事件。

例 3.2-3擲一顆骰子，觀察朝上一面的點數，則樣本空間

S= {1, 2, 3, 4, 5,6}

令 A = {1,2}，即擲出點數小於 3的事件。如果 A沒有發生，表示擲出的點數大於或等於 3，也就是

Ac= {3, 4, 5, 6}發生了。

註：補集的符號有 Ac 、 A 或 。A

集合表示「 A 和 B 都發生了」代表試驗結果既落在 A集合、也落在 B集合，所以必定落在 A 和 B的交集 (intersection) 裡。

A∩B 代表「 A 和 B 都發生」的事件。

「 A 和 B事件中至少有一件發生」代表試驗結果不是在 A就是在 B( 或同時在 A 和 B) 裡，所以必在 A 和 B的聯集 (union)裡。

A∪B 代表「 A 和 B 至少有一件發生」的事件。當 A 和 B事件中沒有共同元素，即 A∩∪B =時，我們稱 A和 B為互斥 (mutually exclusive)事件，此時 A 和 B不可能同時發生。

A∩B =時，稱 A 和 B為互斥事件。

註：互斥的條件不需要透過機率來定義。

文氏圖 (Vann Diagram)是說明事件關係很有用的工具，矩形代表全部事件的集合、矩形中的圓圈代表某一事件的集合 (也就是一個子集合 )。以下三個圖中深色部份分別代表交集、聯集、及補集。

兩事件的文氏圖

例 3.2-4連續擲一枚硬幣三次，令 A 代表「正面至少出現兩次」的事件， B 代表「三次結果都相同」的事件，試寫出「 A 和 B 都發生」的事件和「 A 和 B 至少有一件發生」的事件。

解：

令 H 代表正面、 T 代表反面，則A = {HHH, HHT, HTH, THH}B = {HHH, TTT}

A 和 B 都發生的事件即A∩B= {HHH}

A 和 B 至少有一件發生的事件即A∪B ={HHH, HHT, HTH, THH, TTT}

機率基本概念及性質

機率的定義方式• 古典機率 (classical probability，也稱傳統機率 )

• 相對次數機率 (relative frequency probability)

• 主觀機率 (subjective probability，也稱個人機率 )

古典機率(classical probability，傳統機率 )

假設某一試驗的可能結果有 n種，其中每一種發生的機率都相同，若事件 A中包含了 n種結果中的 k個，則事件 A的機率等於 k 除以 n，記為

其中符號 n( ． )中的 n 代表總數 (number) ， n(A)就代表事件A中的結果總數。

( )( )

( )n A k

P An S n

各種撲克牌和擲骰子遊戲都適用這種機率。例如，擲一顆骰子時，通常都可假設骰子很均勻，因此出現每種點數的機率都相同，都等於六分之一。

例 3.3-1便利商店因週年慶而提供折扣優惠，只要消費滿 88元就可參加抽獎，即從紙盒中抽號碼球來決定折扣比例。假設號碼球共有12顆，其中 6 折和 7 折的各有 1顆、 8 折 2顆、 9 折 3顆、 95折 5顆，小胖買了 100元的東西，試求他頂多只需要付 80元的機率。解：

小胖抽中 12顆球當中任一顆的機率都相同，而頂多需要付80元代表必須抽中 6 折、 7 折或 8 折的球，總共有 4顆，所以機率等於

4 112 3

相對次數機率(relative frequency probability)

假設在 n次試驗當中，事件 A發生了 k次，則事件 A的相對次數機率為

用這種方式定義機率時，應該要試驗很多次才恰當。例如，上述不夠平衡的骰子，若想要知道各點數出現的機率，應該要將它擲非常多次，所得到的機率才比較準確。當然，所謂「非常多次」也沒有一定的標準，在可能的情況下盡量多擲幾次就對了。

( )k

P An

主觀機率(subjective probability，個人機率 )個人主觀認定的機率，就叫做主觀機率。

阿佑根據考試成績、上課出席率，和統計學老師以往的當人比例判斷：經過老師調整分數之後，自己應有一半機率會通過；這完全是主觀認定。如果去間他的統計學老師，說不定老師認為他八成會當；也就是說，依據老師的主觀機率判斷，他會通過的機率只有兩成。

根據主觀機率的定義，明顯可知這種機率很不可靠；但有時我們需要做判斷，面對的狀況又不適合用第一種或第二種機率描述時，還是會用到主觀機率，這時應盡量多蒐集資訊之後才來決定機率。

機率性質設 S為一試驗之樣本空間，則以下性質必成立

1. P(S)=1。

2. 對任一事件 A，必有 0P(A) l。

3. 若事件 A1 ， A2，…， Ak兩兩之間都互斥，則P(A1∪A2 …∪ ∪Ak) =P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)

4. P(Ac)=1- P(A)

有了上述的三項基礎性質，很容易可以導出其他常用性質。

例 3.3-2同時擲兩顆均勻骰子，試求出現點數的和 10之機率。

解：

擲兩顆均勻骰子，每一顆都可能出現 1 到 6點，所以樣本空間包括 36個可能結果，機率都相同。

令 A 代表點數和 10的事件，

則 Ac 代表點數和 >10的事件。因此 Ac ={(5,6),(6,5),(6,6)}，可得

( ) ( )3 33 11

1 136 36 12

cP A P A

5. 對任兩事件 A 及 B ， P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

例 3.3-4若箱子中有七個材質及大小相同的球，分別標以 1 、 2 、 3 、4 、 5 、 6 、 7 等號碼。今自箱子中取出一球，試求其號碼為偶數或大於 4的機率。

解：

令 A 代表號碼為偶數之事件， B 代表號碼大於 4之事件，則

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 17 7 757

P A B P A P B P A B

計數技巧乘法原理、排列和組合

乘法原理 (multiplication principle)假設一事件要分 k個階段完成，第一階段有 n1種做法，第二階段有 n2種做法，…，第 k 階段有 nk種做法，則整件事共有n1 ． n2 ．…． nk種方法可以完成。

設有三名男生 ( 甲、乙、丙 )及四名女生 (A 、 B 、 C 、 D)參加聯誼活動 , 某遊戲需男女配對一同進行 ,  試問共有幾種不同的配對方式 ?

解：

第一個步驟：先從 3 名男生中選一名 , 共有 3種選法，第二個步驟：由 4 名女生中選一名 , 也有 4種選法。因第一個步驟中每選一名男生，都有 4 名女生可供選擇 , 故共有 3×4=12種選法。

加法原理如果完成某件事的方法可區分成 k個類別 , 而第 j(j=1,2, …,k)個類別有 mj種方法 , 且每個 類別互不相干 , 那麼完成這件事的方法共有 m1+m2+…+mk 種。

從甲地到乙地有飛機、火車與巴士等三種交通工具可到達，其中飛機每天有 3 班，火車每天有 15 班，巴士每天 25 班，若 A先生欲從甲地至乙地，很明顯地，可看出此問題的 A先生只能選擇一種交通工具的某個班次，故共有 3+15+25=43個交通班次可選擇。

階乘 (factorial)一個正整數的階乘是所有小於或等於該數的正整數的積，並且有 0的階乘為 1。自然數 n的階乘寫作 n!。 1808年，基斯頓 · 卡曼 (Christian Kramp)引進這個表示法。亦即

n!=1×2×3×...×n0!=1

階乘亦可以遞迴方式定義：1!=1n!=(n-1)!×n

1751年，歐拉以大寫字母M表示m 階乘M=1 ． 2 ． 3 ． ... ． m 　

1799年，魯非尼在他出版的方程論著 述中，則以小寫字母 π表示m 階乘，而在 1813年，高斯則以 Π(n)來表示 n 階乘。而 用來表示 n 階乘的方法起源於英國，但仍未能確定始創人是誰。直至 1827年，由於 雅萊特的建議而得到流行，現在有時也會 以這個符號作為階乘符號。 而最先提出階乘符號 n!的人是克拉姆 （ 1808 ），後來經過歐姆等人的提倡而流 行，直至現在仍然通用。

2!=1×2=23!=1×2×3=64!=1×2×3×4=245!=1×2×3×4×5=120

直線排列 (permutation)從 n件不同的物品中抽出 k 件 (kn) 排成一列，其排列數等於 。

當 k=n時，

!( )!

nk

nP

n k

! ! !!

( )! !0 1n

n

n n nP n

n n

組合 (combination)從 n件不同的物品中抽出 k 件 (0kn)的組合數是

組合數符號用 或 皆可。

!!( )!

nk

n nC

k k n k

nkC

n

k

例 3.4-1老師有兩張別人送的偶像團體演唱會門票想轉送給同學，一張在最貴的 A 區，一張在最便宜的 C 區。為公平起見，採用抽籤方式決定。若全班共有 45 位同學，則總共有多少種可能結果？

解：

假設老師先抽出一人給 1 區門票，再抽一人給 C 區門票 ( 或者順序顛倒 )，當然掉換順序會使得結果不同，所以是排列問題。可能結果有

!( )!

452

4545 44 1980

45 2P

如果題目改成兩張票都在同一區，且位置差別不大，這時只要從 45人中抽出 2人，不需再排列，就變成組合問題了。

條件機率在考慮機率的時候，有時會有相關資訊可供參考。像這樣把已知資訊納入考慮後計算的機率，就叫做條件機率 (conditional probability)。

定義 (條件機率 )假設 A 、 B為雨事件， P(B)>0，已知事件 B發生條件下、事件 A發生的機率等於

( )( | )

( )P A B

P A BP B

例 3.5-1同時擲兩顆平衡骰子，觀察所出現的點數。試求以下條件機率：(a)已知兩顆骰子點數相同，求點數和小於 4的機率。(b)已知點數和小於 4，求兩顆骰子點數相同的機率。解：令 A 代表點數和小於 4的事件， B 代表兩顆骰子點數相同的事件，則A ={(1,1),(1,2),(2,1)}B ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}A∩B= {(1,1)}

(a) 所求機率為 ( )( | )

( )

1 1366 6

36

P A BP A B

P B

(b) 所求機率為 ( )( | )

( )

1 1363 3

36

P A BP B A

P A

獨立事件定義 (獨立事件 ,independent)當事件 A 和 B符合以下機率條件時，稱 A 和 B為獨立事件

P(A∩B)=P(A)P(B)如果改寫上面的等式，可得

即 P(B|A)= P(B)

兩種方式的差別在於：若要使用 P(B|A)= P(B)的定義，因為P(A)出現在 P(B|A)的分母，所以必須限制 P(A)> 0，而使用P(A∩B)=P(A)P(B)當作定義則不必加任何限制。

( )( )

( )P A B

P BP A

獨立事件的定義以下任一條件成立時事件 A 和 B為互相獨立

1. P(A∩B)=P(A)P(B)

2. P(B|A)=P(B),P(A)>0

3. P(A|B)=P(A),P(B)>0

例 3.5-4擲一顆均勻骰子兩次，令 A 代表點數和為偶數的事件、 B 代表兩個點數相等的事件，試判斷事件 A 和 B是否獨立。解：方法一：若同為奇數，表示第一次擲出 1 、 3 或 5點，第二次也是，共有 3×3=9種可能；同為偶數也是有 9種可能，因此

( )18 136 2

P A

兩個點數相等共有 6種可能，所以 ( )6 136 6

P B

A B 代表點數和為偶數且兩個點數相等的事件，所以

( ) ( ) ( )6 136 6

P A B P A P B

事件 A 和 B並不獨立。

乘法規則

P(A∩B)= P(A)P(B|A) ， P(A)>0

P(A∩B)= P(B)P(A|B) ， P(B)>0

例 3.5-5假設一容器中裝著 3白球、 2紅球。現在從容器中依序取出 2 球( 第一球取出後不放回 )，試求取出的第一球為白球、第二球為紅球的機率。解：令 A 代表第一次取出白球的事件， B 代表第二次取出紅球的事件，則所求機率為

( ) ( ) ( | )3 2 35 4 10

P A B P A P B A

P(A∩B∩C)的乘法規則定義 (P(A∩B∩C)的乘法規則 )

P(A∩B∩C)=P(A)P(B|A)P(C| A∩B) ， P(A∩B)>0

例 3.5-6考慮例 3.5-5的相同問題。容器中裝著 3白球、 2紅球，只是現在要依序取出 3 球，每一階段取出的球都不放回，求取出的第一球為白球、第二球及第三球均為紅球的機率。解：令 A 代表第一次取出白球的事件， B 代表第二次取出紅球的事件， C 代表第三次取出紅球的事件，則所求機率為

( ) ( ) ( | ) ( | )3 2 1 15 4 3 10

P A B C P A P B A P C A B

分割定義 (樣本空間 S的分割 ,partition)

如果事件 A1 、 A2、…、 Ak雨兩均互斥，且 A1∪A2 …∪

∪Ak=S，則稱 {A1 、 A2、…、 Ak}為樣本空間 S的一組分割。

全機率法則 (total probability rule)某事件的邊際機率若無法直接獲得，經常可透過全機率法則(運用條件機率與另一特質的所有事件的機率 )來獲得。首先我們必須要有一組完全且互斥的事件，以 表示這組事件，註 : 完全指的是在 A1,A2, …,Ak 完全切割母群體，即構成所有可能發生情況， P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)=1；互斥則指其間兩兩事件的交集為 0，即 P(Ai∩Aj)=0 。則根據全機率法則

P(B)=P(B∩A1)+P(B∩A2)+…+P(B∩Ak)

=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+…+P(B|Ak)P(Ak)1A 2A 3A nA

B

貝氏定理定理 (貝氏定理 (Bayes’ Theorem))假設 {A1 、 A2 、…、 Ak}為樣本空間 S的一組分割， P(Ai)>0 ，i=1,2, …,k，且 B為任一事件， P(B)>0，則在已知事件 B發生的條件下，事件 A發生的機率為

( ) ( | )( | ) , , , ,

( ) ( | )1

1 2i ii k

j jj

P A P B AP A B i k

P A P B A