การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ (Probability Distribution)

ผศ . น่�คม ถน่อมเสี�ยงภาคว�ชาช�วสีถ�ติ�และป็ระชากรศาสีติร�

คณะสีาธารณสี ขศาสีติร� ม.ขอน่แก�น่Email: nikom@kku.ac.th

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่-การแสดงความน่�าจะเป็�น่ของค�าที่��เป็�น่ไป็ได�ที่�กค�า ของตั�วแป็รส��ม- แสดงใน่ร�ป็ ตัาราง, กราฟ, ฟ!งก"ชั�น่ที่างคณิ%ตัศาสตัร"

ตั�วแป็รที่��สน่ใจของหน่�วยส�งเกตั� เชั�น่เพศของบุ�คคล เม,�อ หน่�วยส�งเกตัถู�กส��ม ตั�วแป็รที่��สน่ใจเร�ยกว�า “ ”ติ"วแป็รสี �ม“ ”ติ"วแป็รสี �ม

ติ"วแป็รสี �ม ติ"วแป็รสี �ม x 1=malex 1=male 0=female0=female

การแสีดงความน่�าจะเป็�น่เช�น่การแสีดงความน่�าจะเป็�น่เช�น่ สีมม ติ� ม�ป็ระชัากร 2 คน่ เป็�น่ โรคฟ!น่พ� 1 คน่ D+ ไม�ผุ� 1 คน่ - D - ส��มแล�วใส�ค,น่ 2 คร�0ง

โอกาสที่��ส��มแตั�ละคร�0ง ได�คน่ฟ!น่พ� =1/2 ฟ!น่ไม�ผุ� =1/2 เม,�อส��ม 2 คร�0ง โอกาสพบุฟ!น่ผุ�, ไม�ผุ� ได�แก�

D+D+, D+D-, D-D+, D-D-

P(X=2) = P(D+D+) =

P(X=1) = P(D+D-)+P(D-D+) =

P(X=0) = P(D-D-) =

41

21

x21

41

21

x21

21

x21

41

21

x21

ความน่�าจะเป็�น่ใน่การเก�ดเหติ การณ�ความน่�าจะเป็�น่ใน่การเก�ดเหติ การณ� ตั�วแป็รส��มที่��สน่ใจ ค,อ ฟ!น่ผุ� (X)

ถู�าให�การส��มได�ผุ��ป็1วยฟ!น่ผุ�ที่�0งสองคน่ =2 (X=2) หน่2�งคน่=1 (X=1) ศ�น่ย"คน่=0 (X=0)ความน่�าจะเป็�น่

แสดงใน่ร�ป็ตัาราง X ความน่�าจะเป็�น่ 0 1/4 1 24/ 2 14/

กราฟ

ฟ!งก"ชั�น่ที่างคณิ%ตัศาสตัร"

2;4

1

1,0;4

1

xx

xx

f(x)

ป็ระเภทการแจกแจงความน่�าจะเป็�น่การเก�ดเหติ การณ�ป็ระเภทการแจกแจงความน่�าจะเป็�น่การเก�ดเหติ การณ�1. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ตั�วแป็รไม�ตั�อเน่,�อง

เชั�น่ ป็1วย ไม�ป็1วย, หาย ไม�หาย

2. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ตั�วแป็รตั�อเน่,�อง เชั�น่ อาย� น่30าหน่�ก ความด�น่โลห%ตั sysBP

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ติ"วแป็รไม�ติ�อเน่()องการแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ติ"วแป็รไม�ติ�อเน่()องค�ณิสมบุ�ตั%

1. f(x) = P(X=x) ค�าฟ!งก"ชั�น่ของตั�วแป็รส��ม x ที่��ค�าเที่�าก�บุ x

ค,อความน่�าจะเป็�น่ที่�� X ม�ค�าเที่�าก�บุ x2. f(x) 0 ที่�กค�าของ x3.

xall xall

1f(x)x)P(X

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ติ"วแป็รติ�อเน่()องการแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ติ"วแป็รติ�อเน่()องค�ณิสมบุ�ตั%

1. f(x) 0 ที่�กค�าของ x2. พ,0น่ที่��ใตั�โค�ง f(x) ที่�0งหมดค,อ

ความน่�าจะเป็�น่ของที่�กค�าของ x ม�ค�าเที่�าก�บุ 13. P(X=a) =0 เม,�อ a=ค�าคงที่�� ความน่�าจะเป็�น่ของ X ที่��ม�ค�าเที่�าก�บุค�าคงที่��

ม�ค�าเที่�าก�บุ 0

1f(x)dx

b)XP(ab)XP(a

b)XP(ab)XP(a

F(x)

a bX

b)XP(a

พ,0น่ที่��ใตั�โค�ง f(x) ที่�0งหมดค,อความน่�าจะเป็�น่ของที่�กค�าของ x ม�ค�าเที่�าก�บุ 1 ( ถู2ง )

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ติ"วแป็รไม�ติ�อเน่()องการแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ติ"วแป็รไม�ติ�อเน่()อง การแจกแจงที่ว%น่าม (binomial)

1. การเก%ดเหตั�การณิ"เป็�น่อ%สระตั�อก�น่2. การเก%ดเหตั�การณิ" ให�ผุลล�พธ์" อย�างใดอย�างหน่2�ง ส3าเร5จหร,อไม�ส3าเร5จ3. ความน่�าจะเป็�น่ของความส3าเร5จม�ค�าคงที่��เที่�าก�บุ p ความน่�าจะเป็�น่ของความไม�ส3าเร5จม�ค�าคงที่��เที่�าก�บุ 1- p

ฟั+งก�ช")น่การแจกแจงทว�น่าม ฟั+งก�ช")น่การแจกแจงทว�น่าม (binomial)(binomial)

เข�ยน่ฟ!งก"ชั� �น่ด�วยส�ญญล�กษณิ" X ~ b(n,p) หร,อ X ~ b(x; n, p)

nx ,...2,1,0;

xnx p)(1p

x

nf(x)

ล"กษณะการแจกแจงทว�น่าม ล"กษณะการแจกแจงทว�น่าม (binomial)(binomial)1. ม�พาราม%เตัอร" 2 ตั�วได�แก� n, p2. ค�าเฉล��ย = np3. ความแป็รป็รวน่ -1= np( p)

4. ส�วน่เบุ��ยงเบุน่มาตัรฐาน่ =5. ล�กษณิะการแจกแจงข20น่อย��ก�บุ n, p เม,�อ n น่�อย ล�กษณิะการแจกแจงที่��พบุ p น่�อย การแจกแจง เบุ�ที่างบุวก p = .5 แน่วโน่�มการแจกแจงสมมาตัร

p มาก การแจกแจง เบุ�ที่างลบุ เม,�อ n มาก ล�กษณิะการแจกแจงแบุบุสมมาตัร

p)np(1

ติ"วอย�าง จากการศ2กษาพบุว�า % 10 ของป็ระชัากรใน่หญ%งอาชั�พพ%เศษ

ม�เชั,0อ HIV ถู�าส��มตั�วอย�างหญ%งอาชั�พพ%เศษจ3าน่วน่ 20 คน่ ให�หาค�าความน่�าจะเป็�น่ที่��พบุ HIV น่�อยกว�าหร,อเที่�าก�บุ 4 คน่

01216 2702 2852 1901 0898= . + . + . + . + . 9569=.

4

0x

x20x .10)(1.10x

204)P(X

เป็;ดตัาราง ส.2 p=.10

02000200 .10)(1.100)!(200!

20!.10)(1.10

0

20

combinations

. bitesti 20 4 0.10

N Observed k Expected k Assumed p Observed p------------------------------------------------------------ 20 4 2 0.10000 0.20000

Pr(k >= 4) = 0.132953 (one-sided test) Pr(k <= 4) = 0.956826 (one-sided test) Pr(k >= 4) = 0.132953 (two-sided test)

note: lower tail of two-sided p-value is empty

- ค�าความน่�าจะเป็�น่ที่��พบุ HIV อย�างน่�อย 5 คน่

4

0x

x20x .10)(1.10x

2015)P(X15)P(X

-19569= .. bitesti 20 5 0.01

N Observed k Expected k Assumed p Observed p------------------------------------------------------------ 20 5 .2 0.01000 0.25000

Pr(k >= 5) = 0.000001 (one-sided test) Pr(k <= 5) = 1.000000 (one-sided test) Pr(k >= 5) = 0.000001 (two-sided test)

note: lower tail of two-sided p-value is empty

การแจกแจงป็+วซอง การแจกแจงป็+วซอง (Poi ssonDi stri buti on) (Poi ssonDi stri buti on)- การแจกแจงป็!วซอง ตั�0งชั,�อตัามน่�กคณิ%ตัศาสตัร"ชัาวฝร��งเศส ชั,�อ %%% %%% % %%%% %%%%%%%

ถู�าให� x เป็�น่จ3าน่วน่เหตั�การณิ"ที่��เก%ดข20น่ใน่ชั�วงเวลาใดเวลาหน่2�งความน่�าจะเป็�น่ของเหตั�การณิ"ที่��เก%ดข20น่ได�แก�

2.7182e0,1,2,...;x;x!λe

f(x)nλ

= ค�าเฉล��ยของจ3าน่วน่คร�0งของเหตั�การณิ"ที่��เก%ดข20น่ใน่ชั�วงเวลา เข�ยน่ส�ญญล�กษณิ" X ~ p( ) หร,อ X ~ P(x; )

ล"กษณะของการแจกแจงแบบป็+วซองล"กษณะของการแจกแจงแบบป็+วซอง 1 เหตั�การณิ"ที่��เก%ดข20น่เป็�น่อ%สระตั�อก�น่ โดยที่��เหตั�การณิ"ที่��

เก%ดข20น่ใน่ชั�วงใดชั�วงหน่2�งหร,อเวลาใดเวลาหน่2�ง จะไม�ม�ผุลตั�อความน่�าจะเป็�น่ของการเก%ดเหตั�การณิ"

ใน่ชั�วงอ,�น่ๆ หร,อเวลาอ,�น่ๆ 2. ใน่ชั�วงใดชั�วงหน่2�งม�จ3าน่วน่เหตั�การณิ"ที่��เก%ดข20น่อย�างไม�จ3าก�ด

3 . ความน่�าจะเป็�น่ของการเก%ดเหตั�การณิ"ใน่ชั�วงใดๆ เป็�น่ส�ดส�วน่ก�บุความยาวของชั�วงที่�0งหมด

4. ใน่ชั�วงเวลาส�0น่ ความน่�าจะเป็�น่ของการเก%ดเหตั�การณิ" จะม�ค�าน่�อย

ล"กษณะของการแจกแจงแบบป็+วซองล"กษณะของการแจกแจงแบบป็+วซอง 1. ม�พาราม%เตัอร" 1 ตั�วได�แก�

2. ค�าเฉล��ย = ความแป็รป็รวน่ =3. ส�วน่เบุ��ยงเบุน่มาตัรฐาน่ =

ล�กษณิะการแจกแจง

ติ"วอย�างติ"วอย�าง การเก%ดอ�บุ�ตั%เหตั�ถูน่น่ม%ตัรภาพ ชั�วงระหว�างป็ระตั�เข�า มหาว%ที่ยาล�ยขอน่แก�น่ ก�บุโรงพยาบุาลศร�น่คร%น่ที่ร" โดยรถูจ�กรยาน่ยน่ตั"ใน่ชั�วง 1 ส�ป็ดาห" พบุว�าเก%ด

อ�บุ�ตั%เหตั� 2 คร�0ง 1. ให�หาค�าความน่�าจะเป็�น่ของการไม�เก%ดอ�บุ�ตั%เหตั�ใน่ชั�วง 1 ส�ป็ดาห"

ว�ธ�ท/า จากโจที่ย"ม�ค�า 2=

1. ให�หาค�าความน่�าจะเป็�น่ของการไม�เก%ดอ�บุ�ตั%เหตั�ใน่ชั�วง 1 ส�ป็ดาห" () =

p(0) = = .1353

!x

e n

!0

2 20 e

.display 1-gammap(0+1,2)

.13533528

2. ให�หาค�าความน่�าจะเป็�น่การเก%ดอ�บุ�ตั%เหตั� 3 คร�0งใน่ชั�วง 2 ส�ป็ดาห" ชั�วง 2 อาที่%ตัย"ม�การเก%ดอ�บุ�ตั%เหตั�เที่�าก�บุ 2 2 4( ) = ด�งน่�0น่ความน่�าจะเป็�น่เที่�าก�บุ p(x 3 ) = p(0 ) + p(1 ) +

%%% %2 3

.19543!e4

p(3) .1465;2!e4

p(2)

.07331!e4

p(1) ; .01830!e4

p(0)

4342

4140

ด�งน่�0น่ 3 0 1 2 3p(x ) = p( ) + p( ) + p( ) + p( ) 0183 0733 1465 1954= . + . + . + . 4335

.display 1-gammap(4,4)

.43347012

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของติ"วแป็รติ�อเน่()อง- การแจกแจงแบุบุป็กตั% (Normal Distribution) - ค%ดโดย Abraham De Moivre - - Carl Fredrich Guass (1 7 7 4 1 8 5 5 ) เผุยแพร� และใชั�อย�างกว�างขวาง เร�ยกชั,�อ Gaussian

x

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของติ"วแป็รติ�อเน่()อง ฟ!งก"ชั�น่การแจกแจงแบุบุป็กตั%

และ e เป็�น่ค�าคงที่��ม�ค�า 3 .1 4 5 9 และ 2 .7 1 8 2 8 ค�าเฉล��ย ส�วน่เบุ��ยงเบุน่มาตัรฐาน่ เข�ยน่ส�ญญล�กษณิ" X ~ n( )

2/22)(xe

21

f(x)σμ

π

μσ

2,

ค ณสีมบ"ติ�การแจกแจงแบบป็กติ�- ร�ป็โค�งระฆั�งคว3�าด�าน่ซ�ายและขวาของ ม�ความเที่�าก�น่ (mirror image) (สมมาตัรรอบุค�าเฉล��ย)- ป็ลายที่�0งสองข�างของโค�งค�อยๆ ลาดลงส��แกน่ x จรดแกน่ x ที่��อน่�น่ที่"- ม�จ�ดเป็ล��ยน่เว�าที่��- ค�าเฉล��ย ม�ธ์ยฐาน่ ฐาน่น่%ยม ม�ค�าเที่�าก�น่ เม,�อลากเส�น่จาก ยอดโค�งตั�0งฉากก�บุแกน่ x- พ,0น่ที่��ที่� 0งหมดใตั�โค�งเหน่,อแกน่ x หร,อ ค�าความน่�าเป็�น่ของพ,0น่ที่��เที่�าก�บุ 1

μ

x

- เม,�อแบุ�งโค�งโดยลากเส�น่ตั�0งฉากจากยอดถู2งแกน่ x ระยะห�างจากค�าเฉล��ยที่�0งสองข�างเป็�น่ด�งน่�0

1 หน่�วย SD พ,0น่ที่��ใตั�โค�งเที่�าก�บุ 6826. % 2 หน่�วย SD พ,0น่ที่��ใตั�โค�งเที่�าก�บุ 95.45% 3 หน่�วย SD พ,0น่ที่��ใตั�โค�งเที่�าก�บุ 99.73%

x

- ความแตักตั�างของการแจกแจงแบุบุป็กตั% ข20น่อย��ก�บุ ค�า และ

เม,�อค�า แตักตั�างก�น่ ตั3าแหน่�งบุน่แกน่ x แตักตั�างμ σμ

1μ

2μ x

ถู�าค�า ตั�างก�น่ ความแบุน่ราบุและความโด�งแตักตั�างσ

1σ

2σ

3σ

4σ5σ6σ

x

การแจกแจงป็กติ�มาติรฐาน่ Standard Normal Distribution

- เป็�น่การแจกแจงป็กตั%ที่��ม�ค�าเฉล��ยเที่�าก�บุ 0 และส�วน่เบุ��ยงเบุน่มาตัรฐาน่เที่�าก�บุ 1- บุางคร�0งเร�ยก unit normal distribution

Z0

σ=1Z~N(0,1)

การแจกแจงป็กติ�มาติรฐาน่ แป็ลงได2จากค�าติ"วแป็รสี �มด"งน่�3

σ

μxz i

μσ

X Z

50 -1.55

60 -0.77

70 0.00

80 0.77

90 1.55

70.00 0.00

12.91 1

ฟั+งก�ช"น่การแจกแจงป็กติ�มาติรฐาน่

/22ze2π

1f(x)

และ e เป็�น่ค�าคงที่��ม�ค�า 31459. และ 271828. Z ค�ามาตัรฐาน่ใชั�ค3าน่วณิความน่�าจะเป็�น่ใตั�โค�งป็กตั%

Z~N(0,1)

ค�า Z ม�ความส3าค�ญ เพราะเม,�อที่ราบุ ค�า Z

สามารถูหาค�าความน่�าจะเป็�น่ได� เชั�น่ Z = 1.96 ม�ค�าความน่�าจะเป็�น่

เที่�าก�บุ0025. Z = -1.96 ม�ค�าความน่�าจะเป็�น่

เที่�าก�บุ0025.

-1.96 1.96

การเป็4ดหาค�าความน่�าจะเป็�น่จากติารางNormal Distribution

(A) (B) (C)

Z Area Between Mean & ZArea Beyond Z

1.9500 0.4744 0.0256

1.9600 0.4750 0.0250

1.9700 0.4756 0.0244

Z-1.96 1.96

การใช2โป็รแกรม STATA หาค�าความน่�าจะเป็�น่Normal Distribution . ( 1 .9 6 ) 9750021

-1 196. display normprob( . )0249979.

-196. display normprob( . ) 0249979.

-1.96 1.96

ติ"วอย�าง ค�า CHOL ป็ระชากร ~N(0,1) ม� 200= mg/100ml = 20 mg/100ml

จงหาความน่�าจะเป็�น่ท�)คน่ คน่หน่6)งมาจากป็ระชากร ม�ค�า CHOL1. X ระหว�าง 180 ถ6ง 200

2 x>225 3. x<150

μ σ

1. ระหว�าง 180 ถ6ง200 -180 200 180P( <X< ) = P[(

200 20)/ ]<Z<-200200 20[( )/ ]

- =P( 1 <Z<0 ) =03414

. display-normprob((200 200)/20)

.5 . display normp

-rob((180 200)/20) 15865525.

-2 00 2

-00 20)/ )-180200 2normprob(( )/

0)34134475.

-1 0

180 200

2. x> 225 mg/100ml 225P(X> ) = P[Z>

-225 20020

=P(Z>1 .2 5 ) =01056

-1 22. display normprob((-5200 20)/ )

10564977

0 1.25

200 225

3. X< 150 mg/100ml 150P(X< ) = P[Z<

-150200 20[( )/ ] - =P(Z< 2 .5 ) =00062.

-15 0

200 20)/ ) 00620967

0 -2.50

150 200