การให้เหตุผล : Reasoning การให้เหตุผล · PDF fileการให้เหตุผล : Reasoning หน้าที่ 1 -- For Educational

การใหเหตผล : Reasoning หนาท 1

-- For Educational Purpose only. Not for commerce – by…Supanut Chaidee ::[MoDErN_SnC®]::

การใหเหตผล Reasoning

ฉบบหนงสอออนไลน http://www.thai-mathpaper.net จดทาเสรจสน วนท 28 มกราคม 2549 แกไขขอผดพลาด 1 กมภาพนธ 2549 (ตรวจสอบโดย ผศ.ดร.สรศกด ลรตนาวล ขอขอบพระคณมา ณ.โอกาสน) รวบรวมและเรยบเรยงโดย นายศภณฐ ชยด , นามปากกา ::[MoDErN_SnC®]::

คานา หนงสอออนไลนเรอง การใหเหตผล เปนเอกสารทรวบรวมเนอหาวชาคณตศาสตร สอดคลองกบหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พ.ศ.2544 ในชวงชนท 4 ภายในเอกสารประกอบไปดวยเนอหาภาคบรรยายซงมการสอดแทรกความรเพมเตม และการประยกตใชในชวตประจาวน และจดรปแบบใหอานไดงาย ซงเนอหาสาระไดรวบรวมจากเอกสารตาง ๆ หลายๆ แหลงขอมลเพอใหขอมลเกดความสมบรณมากทสด และเกดประโยชนตอการศกษาสงสด ผจดทาคาดหวงวา หนงสอดงกลาวจะกอเกดประโยชนสงสดแกผศกษาทกทาน อนง เอกสารฉบบนเผยแพรเพอประโยชนการศกษาเทานน ไมอนญาตใหทาเพอการคาหรอทางพาณชย หากเอกสารฉบบนมขอบกพรองประการใด กขออภยมา ณ.ทนดวย และสามารถแจงขอผดพลาดเพอนาไปแกไขตอไปไดผานทาง E-mail Address : [email protected] จกเปนพระคณอยางยง คณงามความดของหนงสอเลมน ขอมอบใหแกบดา มารดา ครอาจารย ญาตสนทมตรสหายทกทาน นายศภณฐ ชยด 28 มกราคม 2549

สารบญ 1. โครงสรางคณตศาสตร และรปแบบการใหเหตผล หนา 2

- โครงสรางของคณตศาสตร หนา 2 - การอางเหตผล หนา 2 - รปแบบการใหเหตผล หนา 3

2. การใหเหตผลแบบอปนย หนา 4 - การใหเหตผลแบบอปนย หนา 4 - ความสมพนธเวยนเกด หนา 8 - หลกการอปนยเชงคณตศาสตร หนา 10

3. การใหเหตผลแบบนรนย หนา 13 - ตรรกบทและขอความเชงนรนย หนา 13 - การตรวจสอบความสมเหตสมผล หนา 14 - การใชแผนภาพเวนนออยเลอร ในการตรวจสอบความสมเหตสมผล หนา 14 - การใชความสมพนธระหวางพจน ในการตรวจสอบความสมเหตสมผล หนา 20



1. โครงสรางคณตศาสตรและรปแบบการใหเหตผล

คณตศาสตรประกอบดวยสวนประกอบทสาคญ 4 สวน คอ อนยาม นยาม สจพจน และทฤษฎบท

1. อนยาม (Undefined Terms) หมายถง คาหรอขอความทมการตกลงกนวาไมตองใหความหมาย หรอคาจากดความ แตเขาใจตรงกนเปนสากล

2. บทนยาม (Defined Terms) หมายถง คาหรอขอความทมการใหความหมายหรอคาจากดความไวอยางชดเจน เพอทกคนจะไดมความเขาใจทตรงกน

3. สจพจน (Axiom / postulate) หมายถง ขอความทตกลงกนและยอมรบวาเปนความจรงโดยไมตองพสจน และนาไปอางเพอการพสจนขอความอนวาเปนความจรงได

4. ทฤษฎบท (Theorem) หมายถง ขอความทยอมรบวาเปนความจรงโดยทขอความเหลานไดมการพสจนโดยอาศยจากทฤษฎบท นยาม สจพจน และวธการอยางมเหตผล และขอพสจนนนเปนการอางเหตผลทสมเหตสมผล

แผนภาพแสดงความสมพนธระบบคณตศาสตร

การอางเหตผล การอางเหตผล (Arguments) เปนกระบวนการคดของมนษย และสอความหมายกบผอนดวยภาษา ซงจะประกอบดวยขอวาม หรอ ประโยคกลมหนงทยกขนมาเพอสนบสนนใหไดขอความ หรอประโยคทตามมา เรยกขอความกลมแรกวา ขออาง หรอ ขอตง (Premises) และเรยกขอความทตามมาวา ขอสรป หรอขอยต (Conclusion) เชน เหต สงมชวตทกชนดตองการอาหาร แบคทเรยเปนสงมชวต (เรยกวา ขออาง) ผล แบคทเรยตองการอาหาร (เรยกวา ขอสรป) ขอความแตละขอความของการอางเหตผล จะอยในรปขอความทแสดงความคดเหนเพอเปนการยนยน หรอปฏเสธ และมคาเปนจรง (True) หรอ เทจ (False) อยางหนงอยางใด ซงแตละขอความ จะประกอบดวยภาคประธาน และภาคแสดง เรยกขอความทมโครงสรางดงกลาววา ขอความเชงตรรก (Logical Statements) ภาคประธาน และภาคแสดง ในขอความเชงตรรกน จะเรยกวา พจน (terms) ถาภาคประธานในขอความเชงตรรกเปนพจนทมความหมายกนความเพยงหนวยเดยว จะเรยกขอความนนวา ขอความเอกพจน (Singular statements) และถาภาคประธานเปนพจนทมความหมายกนความตงแตหนงหนวยขนไป โดยมคาทแสดงถงปรมาณขยาย จะเรยกขอความนนวา ขอความบงปรมาณ (Quantified Statements) เชน “1 เปนจานวนเตม” เปนขอความเชงเอกพจน “จานวนเตมทกจานวนเปนจานวนตรรกยะ” เปนขอความบงปรมาณ

อนยาม บทนยาม สจพจน

ขอพสจน

สมเหตสมผล ไมสมเหตสมผล

ทฤษฎบท ไมใชทฤษฎบท

กระบวนการคด ทาใหเกดทฤษฎตาง ๆ มากมาย



รปแบบการใหเหตผล มนษยเรารจกการใหเหตผลมาแตชานานแลว เพอเปนการสนบสนนความเชอหรอหาความจรงหรอขอสรปในเรองใดเรองหนงมาตงแตครงโบราณ การใหเหตผลทางคณตศาสตรทสาคญ มอย 2 วธ ไดแก

1) การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) 2) การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning)

การอางเหตผลทงสองวธแตกตางกน โดยสามารถพจารณาการอางเหตผลงายๆ ดงน ตวอยาง 1 เนองจาก นกเรยนไทยเปนคนเกง และ นพวรรณเปนนกเรยนไทย ฉะนนจงสรปไดวา นพวรรณเปนคนเกง ตวอยาง 2 ดวยเหตทวา พนกงานในบรษท ส แตละคนทเคยรจกมาเปนคนเรยบรอย ดงนน จงเชอไดวา พนกงานในบรษท ส ทกคนเปนคนเรยบรอยดวย ตวอยาง 3 ถา ตะวนนาเปนนกเรยน แลว ตะวนนาเปนคนด และ ตะวนนาเปนนกเรยนจรง ดงนน ตะวนนาจงตองเปนคนด ตวอยาง 4 จากการสารวจครในโรงเรยนแหงหนง บางสวน พบวา ครกอย เปนครในโรงเรยนแหงนน และเปนคนหนาตาด ครแกว เปนครในโรงเรยนแหงนน และกเปนคนหนาตาด ครเกา กเปนครในโรงเรยนแหงนน

จงอาจสรปไดวา ครเกากนาจะเปนคนหนาตาดดวย จากตวอยางการอางเหตผลขางตน จะพบวา ตวอยางท 1 และ 3 มขอสรปตามมาจากขออางทกาหนด ซงมเนอหาสาระอยภายในขอบเขตของขออาง ดงนนเราจงสามารถหาขอสรปไดอยางแนนอน (Certainly conclusion)

แตจากตวอยาง 2 และ 4 นน มเนอหาสาระเกนขอบเขตของขออางทกาหนด ซงการหาขอสรปนนจะเปนการใชความนาจะเปน (Probable conclusion)

การอางเหตผลทมขอสรปตามมานเนอหาสาระอยภายในขอบเขตของขออางทกาหนด เรยกวา “การอางเหตผลโดยวธนรนย” และการอางเหตผลทมขอสรปตามมามเนอหาสาระเกนขอบเขตของขออางทกาหนด จะเรยกวา “การอางเหตผลโดยวธอปนย” พอจะสรปวธการอางเหตผลไดเปน 2 แบบ ดงน 1. การใหเหตผลแบบอปนย การใหเหตผลแบบนเปนการสรปผลโดยใชประสบการณ หรอใชเหตการณเฉพาะ ซงเกดขนซาๆ กนหลายๆ ครงมาคาดคะเนผลสรป หรอสรปเปนกฏเกณฑทวไป ผลสรปทไดอาจเปนจรงหรอเทจกได 2. การใหเหตผลแบบนรนย เปนการใหเหตผลทอางวาสงทกาหนดใหยนยนผลสรป โดยกาหนดใหเหต (หรอขอสมมต) เปนจรง หรอยอมรบวาเปนจรง แลวใชกฏเกณฑตางๆ สรปผลจากเหตทกาหนดให

ทานคดวา การใหเหตผล มความสาคญตอการดารงชวตอยางไร และมความสาคญในทางคณตศาสตรอยางไร ?

การใหเหตผลแบบนรนย 1. อาศยหลกฐานจากความร

เดม 2. เ รมตนจากขออางซ ง ม

ล ก ษ ณ ะ ท ว ไ ป (universal) ไปสขอสรปซ ง ม ล ก ษ ณ ะ เ ฉ พ า ะ (particular)

3. ค ว า ม น า เ ช อ ถ อ ข อ งขอสรปอย ในข นความแนนอน (certainty)

4. ไมใหความรใหม

การใหเหตผลแบบอปนย 1. อ า ศ ย ห ล ก ฐ า น จ า ก

ประสบการณ 2. เ ร ม ต น จ า ก ข อ ม ลท ม

ล ก ษ ณ ะ เ ฉ พ า ะ (particular) ไปสขอสรปซ ง ม ล ก ษ ณ ะ ท ว ไ ป (universal)

3. ค ว า ม น า เ ช อ ถ อ ข อ งขอสรปอยในระดบ ความนาจะเปน (probability)

4. มความรใหมเกดขน



แบบฝกหดท 1

1. จงทาเครองหมาย ลงในชองใหตรงกบขอความทกาหนดใหในแตละขอ

ขอ คาหรอขอความ

อนยาม

นยาม

สจพจน

ทฤษฎบท

1. จด 2. สงมชวตทกชนดตองตาย 3. กตกาฟตบอลคอ มผเลนทมละไมเกน 11 คน 4. เสนตรง 5. คนเราเกดมายอมม เกด แก เจบ ตาย 6. มมฉากคอมมทมขนาด 90 องศา 7. ดวงอาทตยขนทางทศตะวนออกเสมอ 8. ดน นา ลม ไฟ 9. รปสเหลยมจตรส คอรปสเหลยมทมดานเทากน 4 ดาน และมม

ทกมมเปนมมฉาก

10. เสนตรง 2 เสนตดกนทจด ๆเดยว 11. รศมของวงกลมวงเดยวกนมขนาดเทากน 12. ในวงกลมใด ๆ มมทจดศนยกลางยอมมขนาดเปน 2 เทาของมมท

เสนรอบวงทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน

13. มมในครงวงกลมใด ๆ ยอมเปนมมฉาก 14. มมฉากทกมมมขนาดเทากน 15. ในสามเหลยมมมฉากใดๆ กาลงสองของดานตรงขามมมฉาก จะ

เทากบผลบวกของกาลงสองของดานประกอบมมฉาก

16. สามเหลยมดานเทา คอ สามเหลยมทมดานยาวเทากน 3 ดาน 2. การใหเหตผลแบบอปนย นกวทยาศาสตรชอบคนหาความจรงในธรรมชาต โดยจะเรมสงเกตธรรมชาตกอน และจะเชอเมอไดทดสอบหลาย ๆ ครงจนมนใจ ในขณะทสงเกตหรอทดสอบ นกวทยาศาสตรอาจคนพบขอเทจจรงใหม ๆ ทตนไมเคยพบมากอน และจะนาขอเทจจรงใหม ๆ เหลานมาพจารณาหาความสมพนธกบขอเทจจรงเดมท มอยกอน เ มอผานขนการทดลองแลว นกวทยาศาสตรอาจจะประมวลสรปเปนความรในรปทว ๆ ไป เพอใชอธบายปรากฏการณทางธรรมชาตตอไป วธการสรปผลคนหาความจรงจากการสงเกตหรอทดลองหลายครงจากกรณยอย ๆ แลวสรปเปนความรแบบทวไปเชนน เราเรยกวา การใหเหตผลแบบอปนย (Deductive Reasoning) ปจจบนไดพฒนามาเปนระเบยบวธทางวทยาศาสตร (Scientific Method) ความรทไดมาดวยวธการดงกลาว หากมผพบวาไมเปนไปตามทสรปไว นกวทยาศาสตรจะพยายามเปลยนหรอแกไขขอสรปเดม เพอใหไดขอสรปใหมทเหมาะสมกวา และถาหากวาขอสรปนนสอดคลองกบทกกรณทเปนไปได และอาจใชพยากรณขอเทจจรงอน ๆ ไดอก ขอสรปนนจะกลายเปนกฎหรอทฤษฎ กฎหรอทฤษฎนนอาจมการเปลยนแปลงไดอก ถามผพบขอเทจจรงใหมทขดแยงกบขอทไดตงไวแลว ซงสอดคลองกบระบบคณตศาสตร ในทางคณตศาสตร มการใชการใหเหตผลแบบอปนยเพอชวยสรปคาตอบ หรอชวยในการแกปญหา เชน แบบรปของจานวน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 เราสามารถหา

กระบวนการทางวทยาศาสตรสมพนธกนกบกระบวนการทางคณตศาสตรอยางไร ?



จานวนนบถดจาก 10 อก 5 จานวน โดยสงเกตจากแบบรปของจานวน 1 – 10 พบวา มคาเพมขนทละหนง ดงนน จานวนอก 5 จานวนกจะเปน 11, 12, 13, 14 และ 15 จานวน 5 จานวนดงกลาว จงเปนตวอยางการใหเหตผลแบบอปนย นยาม การใหเหตผลแบบอปนย (Deductive Reasoning) หมายถง วธการสรปผลการคนหาความจรงจากการสงเกต หรอการทดลองหลายครงจากกรณยอย ๆ แลวนามาสรปเปนความรแบบทวไป ซงรายละเอยดสวนหนง ไดกลาวไวในหวขอท 1 แลว ตวอยางการใหเหตผลแบบอปนย

1. ทถนนเจรญประเทศ จงหวดเชยงใหม สมพงษลองสงเกตดวาเมอวานรถตด วนนรถกตด พรงนรถนาจะตด

2. กอลฟพบวา ไขเปดทคณแมซอมามสขาวทกใบ จงสรปวา ไขเปดมสขาว 3. (ลองคดรปแบบการใหเหตผลแบบอปนยดเองสก 1 ตวอยาง)

......................................................................................................................... .........................................................................................................................

ตวอยางท 1 จงสงเกตรปแบบในการดาเนนการของจานวนตอไปน แลวหาคาตอบทถดไป 1.1 (1 + 1) × 1 = 2 (1 + 2) × 2 = 4 (1 + 3) × 3 = 12

………..…………………. = ……………..

1.2 9 × 9 = 81 99 × 9 = 891 999 × 9 = 8991

………..…………………. = ……………..

ตวอยางท 2 จงหาวา ผลคณของจานวนนบสองจานวนทเปนจานวนค จะเปนจานวนค หรอจานวนค โดยการใหเหตผลแบบอปนย วธทา เราจะลองหาผลคณของจานวนนบทเปนจานวนคหลาย ๆ จานวนดงน

1 × 3 = 3 1 × 5 = 5 1 × 7 = 7 1 × 9 = 9

3 × 5 = 15 3 × 7 = 21 3 × 9 = 27 3 × 11 = 33

5 × 7 = 35 5 × 9 = 45 5 × 11 = 55 5 × 13 = 65

7 × 9 = 63 7 × 11 = 77 7 × 13 = 91 7 × 15 = 105

จากการหาผลคณดงกลาว โดยการอปนย จะพบวา ผลคณทไดเปนจานวนค สรป ผลคณของจานวนนบสองจานวนทเปนจานวนค จะเปนจานวนค โดยการใหเหตผลแบบอปนย ตวอยางท 3 จงหาพจนทอยถดไปอก 3 พจน

1) 1, 3, 5, 7, 9, ... 2) 2, 4, 8, 16, 32, ...

วธทา 1) จากการสงเกต พบวา แตละพจนมผลตางอย 2 (3 – 1 = 2, 5 – 3 = 2 , 9 - 7 = 2) ดงนน อก 3 จานวน คอ 11, 13, 15 2) จากการสงเกต พบวา แตละพจนจะมการไลลาดบขนไป ถาลองสงเกตด จะอยในรปแบบ 2×2n โดยท n เปนจานวนเตมบวกทเรมตงแต 0 ดงนน พจนท 6 คอ 2×25 = 64, พจนท 7 คอ 128 และพจนท 8 คอ 256



หรออาจมองในอกแงหนง เราจะพบวา จานวนแตละจานวนจะเพมขนเรอย ๆ 2 เทา กได ขอสงเกตการใหเหตผลแบบอปนย 1. จานวนขอมลทไดมาอางอง อาจไมเพยงพอกบการตงขอสรป เชน ถาไปทานสมตาท

รานอาหารแหงหนงแลวทองเสย แลวสรปวา สมตานนทาใหทองเสย การสรปเหตการณนนอาจเกดขนเพยงครงเดยว ยอมเชอถอไดนอยกวาการทไปรบประทานสมตาบอย ๆ แลวทองเสยเกอบทกครง

2. จากขอมลเดยวกน หากผสรปคดตางกน อาจไดขอสรปทไมตรงกน 3. การสรปโดยการใหเหตผลแบบอปนย บางครงขนอยกบประสบการณของผสรป 4. การสรปโดยการใหเหตผลแบบอปนย แมวาไดสงเกตหรอทดลองหลายครงแลว แตอาจ

เกดขอผดพลาดกได

แบบฝกหดท 2 1. จงหาพจนทอยถดไปอก 3 พจน

1) 1 , 3 , 9 , 27 , … 2) 1 , 6 , 3 , 4 , 5 , 2 , … 3) 3 , 6 , 12 , … 4) 1, 6, 11, 16, … 5) 1, 4, 9, 16, 25, …

2. จงพจารณาผลคณตอไปน 37 × 3 = 111 37 × 6 = 222 37 × 9 = 333 37 × 12 = 444 1. จงหาขอสงเกตของผลคณขางตน 2. จงใชหลกการอปนยในการหาผลคณทเทากบ 555, 666, 777, 888, 999 3. จงหาสมการถดไป จากแบบรปทกาหนดใหโดยใชหลกการอปนย แลวตรวจสอบโดยการคานวณ 9 × 9 + 7 = 88 98 × 9 + 6 = 888 987 × 9 + 5 = 8,888 9,876 × 9 + 4 = 88,888

…………………………… = …………………..

4. พจารณาการหากาลงสองของจานวนทลงทายดวย 5 ผลลพธ โจทย 1. โดยการคณ 2. โดยการสงเกตรปแบบ

1. 152 15 x 15 = 1 x 2 25 → 225 2. 252 2 x 3 25 → 625 3. 352 3 x 4 25 → 1125 4. 452 4 x 5 25 → 2025 5. 552 6. 652 7. 752



และ จงหาจานวนคาของจานวนตอไปน โดยใชหลกการอปนย 1. 852 2. 952

3. 1052 4. 3952

5. พจารณาการหาเศษทตวหารคอ 9 โจทย เศษจากการตงหาร นาเลขโดดของตวตงรวมกน

1. 129

1

9 12

9

3

เศษคอ 3 12 → 1 + 2 = 3 ถาผลลพธของเลขโดด

มคามากกวา 9 ใหนาเลขโดดของผลลพธรวมกนอก

2. 769

3. 2699

4. 9

ใหกาหนดตวตงเอง

และ จงใชหลกการอปนยในการสรปขอสงเกตดงกลาว

6. มเรองเลาขานวา คารล ฟรดรช เกาส (Carl Fruedrich Gauss, ค.ศ. 1777 – 1855) ซงเปนนกคณตศาสตรผยงใหญชาวเยอรมน เมอทานไดอายประมาณ 10 ป ในชนเรยนของทานไดถกครทาโทษดวยการใหหาผลบวกทดเหมอนจะยงยากเกนอายเดก ๆ ในวยทาน คอ

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 98 + 99 + 100 ในขณะทเดกคนอนๆ พยายามนาตวเลขมาบวกกนทละตว ๆ เดกชายเกาสไดเหนความสมมาตรในตวเลข โดยไดนา 1 มาจบคกนกบ 100 นา 2 มาจบคกนกบ 99 นา 3 มาจบคกนกบ 98 จนครบ 50 ค โดยทแตละคมผลบวกเปน 101 ทาใหเกาสเปนนกเรยนคนเดยวทใหคาตอบวา ผลบวกเทากบ (50)(101) = 5050 และปจจบน มผนาเทคนคดงกลาวไปประยกตในหลายๆ เรอง เรยกเทคนคนวา “เครองมอการจบคแบบเกาส (Gaussian Pairing Tool)” จงใชเครองมอนในกาหาผลบวกของจานวนตอไปน

1) 1 + 2 + 3 + ... + 150 2) 1 + 2 + 3 + ... + 1,000

7. จากเครองมอของเกาส จงหาผลบวกตอไปน

1) 2 + 4 + 6 + 8 + .. + 100 2) 1 + 2 + 3 + ... + n

8. ถานาสมประสทธของพจนตางๆ จากการยกกาลง (a + b)n มาเขยนดงน (a + b)1 = a + b 1 1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1 2 1 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 1 3 3 1 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 4 6 4 1 ขอใหสงเกตตวเลขขางใตระหวางเลขสองตวทอยถดกน เชน 6 อยระหวาง 3 กบ 3 จะเหนวา 3 + 3 = 6 ถาสงเกตตวเลขอนๆ กจะเปนเชนเดยวกน เชน 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3 ทานองเดยวกน กสามารถหาสมประสทธของพจนตางๆ จาก (a + b)5 แลวนามาเขยนใตบรรทด “1 4 6 6 1”



เราเรยกวา ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem / Binomial Expansion) และเรยกสมประสทธจากการกระจายพจนวา สมประสทธทวนาม (Binomial Coefficient) นาสมประสทธทวนามมาเขยนเปนรปสามเหลยม เรยกวา สามเหลยมปาสคาล (Pascal Triangle) จากทฤษฎบททวนาม จงหา

1. สมประสทธทงหมดทไดจากการกระจายพจน (a + b)5, (a + b)8 2. คาของ (a + b)8, (a + b)10

9. เซต S มสมาชก 1 ตว มจานวนสบเซตของ S เทากบ 2 เซต เซต S มสมาชก 2 ตว มจานวนสบเซตของ S เทากบ 4 เซต เซต S มสมาชก 3 ตว มจานวนสบเซตของ S เทากบ 8 เซต . . . เซต S มสมาชก n ตว มจานวนสบเซตของ S เทากบกเซต

ความสมพนธเวยนเกด ความสมพนธเวยนเกด (Recurrence Relation) เปนการกาหนดเงอนไขเรมตน แลวจะมเงอนไขถดไปทมการใชเงอนไขเรมตนในการกาหนดผลทไดจากความสมพนธนนๆ ซงใชการใหเหตผลแบบอปนยรปแบบหนง เพราะเปนการนาหลกการ ความรหรอสงทมอย ไปสรปในขอตงตอไป ซงจะมประโยชนในการศกษาคณตศาสตรขนสงตอไป โดยจะมการกาหนดเงอนไขเรมตน (Initial Condition) และ เงอนไขเวยนเกด (Recursive Condition) ดงตวอยาง

ตวอยางท 1 กาหนดให f(1) = 2 และ f(x + 1) = f(x) + 4 จงหาคาของ f(2) และ f(5) วธทา กอนอน เราจะไดเงอนไขเรมตนเปน คอ f(1) = 2 ตองการหาคาของ f(2) หาไดจาก f(1 + 1) = f(1) + 4 f(2) = 2 + 4 = 6 ตองการหาคาของ f(5) ตองหา f(3), f(4) กอน f(2 + 1) = f(2) + 4 f(3) = 6 + 4 = 10 f(3 + 1) = f(3) + 4 f(4) = 10 + 4 = 14 ทาใหได f(4 + 1) = f(4) + 4 f(5) = 14 + 4 = 18 ดงนน f(2) เทากบ 6 และ f(5) เทากบ 18

ตวอยางท 2 The recursive description of f is given as follows: 1. f(0) = 1 initial Condition 2. f(x + 1) = f(x) + 2 recursive condition

เราอาจเขยนรปจาก Recurrence Relation ใหสนลงเปน explicit formula ไดเปน f(x) = f(0) + [f(1) - f(0)] + [f(2) - f(1)] + ... [f(x + 1) – f(x)] + [f(x) - f(x-1)] จากตวอยาง = 1 + 2 + 2 + .. + 2 x ตว f(x) = 1 + 2x explicit formula

แฟรกทล (Fractal) ในปจจบนเปนคาทใชในเชงวทยาศาสตรและคณตศาสตร หมายถง วตถทางเรขาคณต ท มคณสมบต self-similar คอ ดเหมอนกนไปหมด (เมอพจารณาจากแงใดแงหนง) ไมวาจะดทระดบความละเอยด (โดยการสองขยาย) หรอ สเกลใด ๆ กตาม ทมา : http://th.wikipedia.org/wiki/



ตวอยางท 3 ให f(0) = 3, f(x + 1) = f(x) + 5 จงหา explicit formula วธทา จาก f(0) = 3 f(x+1) = f(x) + 5 f(x) = 3 +...+[f(x + 1) - f(x)] = 3 + [f(x) + 5 - f(x)] = 3 + 5x ดงนน explicit formula คอ f(x) = 3 + 5x ตวอยางท 4 เมอวตถเคลอนทดวยอตราเรวทคงท 10 ft/s ในแนวเสนตรงบนระบบพกด ฉากเมอเวลา 0 วนาทวดตาแหนงได -7 ให f(x) แทนตาแหนงท x (ณ. เวลา) จงเขยน Recurrence Relation., explicit formula วธทา จากโจทย เราจะไดเงอนไขเรมตน f(0) = -7 f(x + 1) = f(x) + 10 จะได Recurrence Relation เปน f(x + 1) = f(x) + 10

หา Explicit Formula จาก f(x) = f(0) + [f(1) - f(0)] + [f(2) - f(1)] + ... [f(x + 1) – f(x)] + [f(x) - f(x-1)]

จะได f(x) = - 7 + [f(0 + 1) – f(0)] + [f(1 + 1) – f(0 + 1)] + … +[f(x) + 10 – f(x)] = - 7 + [3 – (-7)] + [3 – (-7)] + … + 10 = -7 + 10x = 10x – 7 ดงนน Explicit Formula คอ f(x) = 10x - 7

แบบฝกหดท 3 1. สปรงแขวนอยางอสระ จะยดออก 11 cm ถาใสตมนาหนก 1 g สปรงจะยด 2 cm ให f(x) แทนความยาวเมอยด x g

จงเขยน Recurrence Relation, explicit formula. 2. นายจางจายเงนเดอน ปทเรมงานปแรก 17,000$ และจะเพมปละ 2,000 $ ตอป ให f(x) แทนเงนเดอนแตละป โดยป

ทเรมตนใหเปน 0 จงเขยน Recurrence Relation, explicit formula 3. ลกบอลตะกวถกหยอนลงจากตกทมความสง 999 ft วนาทท 1 ตกลงมา 16 ft แตละวนาทตอมาจะเปน 32 ft ให

f(x) แทนระยะทตกในวนาท x เขยน Recurrence Relation, explicit formula 4. กาหนดสถานการณ ใหรปแบบของสเหลยมจตรสเปนไปตามลาดบ รปแบบท 0 มเพยงสเหลยมโปรงสขาว รปแบบท 1 ลอมรอบดวยสเหลยมจตรส 8 รป รปแบบท 2 ลอมรอบดวยสเหลยมจตรส 16 รป รปแบบท 3 ลอมรอบดวยสเหลยมจตรส 32 รป 1 2 3 4

1. ให f(x) แทนสเหลยมจตรสทเปนสลอมรอบ จงหา Recurrence Relation, f(10), f(100), explicit formula 2. ให g(x) แทนสเหลยมจตรสทงหมดทเปนส จงหา Recurrence Relation, explicit formula

การหา Explicit Formula โดยวธลด (จากการอปนย) กาหนด Recursive f(0) = c f(x + 1) = f(x) + b Explicit f(x) = c + bx



หลกอปนยเชงคณตศาสตร ในการศกษาคณตศาสตรนน บางครง จะพบแบบรปทเกยวของกบจานวนเตม เชน จากการสงเกตผลบวกของจานวนค 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 33 . . . . . . . . . แลวทานายแบบรปทวไปวา 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 ซงเราจะเรยกขอความนวา ขอความคาดการณ (Conjecture) เราไมสามารถทราบไดวา รปแบบทเราไดกาหนดมาเปนจรงหรอเทจ หากเราตรวจสอบโดยการแทนจานวนเตมเขาไปทงหมดจะไมสามารถทาได เพราะอาจมกรณใดกรณหนงททาใหขอความคาดการณนเปนเทจซงเราจะตองเสยเวลาในการแทนคา กวาทจะหากรณทจะใหเปนเทจได ซงเราจะใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร (Mathematical Induction) ในการตรวจสอบความสมเหตสมผลของขอความคาดการณทกาหนดใหไว หลกอปนยเชงคณตศาสตร เปนสจพจนของเอปาโน (Peano Postulates) ขอท 5 ซงกลาววา “ถา S เปนเซตยอยใด ๆ ของเซตของจานวนนบ N ซงมสมบตดงน

1. 1 ∈ S และ 2. สาหรบเซตของจานวนนบ k ถา k ∈ S แลว k + 1 ∈ S แลวจะไดวา s = N”

การพสจนแบบอปนยเชงคณตศาสตร นยาม กาหนดให N เปนจานวนเตมบวก สาหรบ n ∈ N และ P(n) เปนขอความในพจนของ n ถา 1. P(1) เปนจรง 2. ถา P(k) เปนจรงแลว P(k + 1) เปนจรง แลว P(n) เปนจรงทกคา n ∈ N เราทราบมาแลววาการพสจนโดยอปนยเชงคณตศาสตร ใชพสจนทฤษฎหรอสตรทวไปวาเปนจรง ดงนน คาของ n ในทฤษฎหรอสตรนน ๆ จงจาเปนตองนามาพจารณาเฉพาะกรณๆไป แบงการพสจนออกเปนสองขนเปน ขนท 1 กาหนดคาของ n ซงเปนบวกมาคาหนง แลวจงแสดงใหเหนวา ทฤษฎหรอสตรทวไปนน เปนจรงสาหรบคา n ทกาหนดขนมานน โดยการเอาคาของ n ทกาหนดขนมา แทนคาลงไปในทฤษฎหรอสตรทวไปนน ขนท 2 ใหทฤษฎหรอสตรนนเปนจรงสาหรบคาของ n เทากบ k ตอไป เราจงพสจนใหเหนวา ทฤษฎหรอสตรทวไปเปนจรงสาหรบทก ๆ คาของ n ซงเทากบ k + 1ดวย จากนน เราจงสรปไดวาทฤษฎหรอสตรทวไปนน เปนจรงสาหรบทกคาของ n

ก า ร พ ส จ น แ บ บ อ ป น ย เ ช งคณตศาสตรไมใชรปแบบของการใหเ ห ต ผ ล แ บ บ อ ป น ย ซ ะ ท เ ด ย ว ถงแมวา เราจะยดหลกในการพสจนเปนอยางเดยวกนกตาม ทงนเพราะผลสรปท ไ ดจากการพ สจนแบบอปนยเชงคณตศาสตรถอวาแนนอนและเปนจรงเสมอ ซงผดกบผลสรปทไดจากแบบอปนย ซงเปนเพยงแคความนาจะเปนเทานน



ตวอยางท 1 จงใชอปนยเชงคณตศาสตรพสจนวา

1 + 2 + 3 + … + n = n(n 1)

2+

สาหรบจานวนเตมบวก n ใด ๆ

วธทา ให P(n) แทนขอความ

1 + 2 + 3 + … + n = n(n 1)

2+

……(1)

จะแสดงวา P(1) เปนจรง

1 = 1(1 1)

2+

1 = 1 เพราฉะนน P(1) เปนจรง จะพสจนวาถา P(k) จรงแลว P(k + 1) จะเปนจรงดวย ให P(k) เปนจรง

1 + 2 + 3 + … + k = k(k 1)

2+

……(2)

จะแสดงวา P(k + 1) เปนจรง นนคอ

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = (k 1)(k 2)

2+ +

จาก (2) บวกดวย (k + 1) ทงสองขาง จะไดวา

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = k(k 1)

(k 1)2+

+ +

= k(k 1) 2(k 1)

2+ + +

= (k 1)(k 2)

2+ +

ดงนน ถา P(k) เปนจรงแลว P(k + 1) เปนจรงดวย จาก (1) และ (2) โดยวธอปนยเชงคณตศาสตร สรปไดวา P(n) เปนจรงสาหรบทกจานวนเตมบวก หมายเหต (1) เรยกวา ขนตอนฐานหลก และ (2) เรยกวา ขนตอนอปนย สรป จากขนท 1 เราทราบวา ขอความคาดการณนเปนจรงสาหรบคา n = 1 และจากขนท 2 เราทราบตอไปอกวา ถาขอความคาดการณนเปนจรงสาหรบคา n = k แลว ขอความคาดการณนกจะเปนจรงสาหรบ n = k + 1 ดวย นนคอ ขอความคาดการณนจะเปนจรงสาหรบคา n = 1 + 1 = 2 ดวย ทานองเดยวกน กจะเปนจรงสาหรบ n = 2 + 1 = 3 และไปเรอย ๆ นนคอ ถาขนตอน p(k + 1) เปนเทจ จะทาใหขอความอน ๆ เทจตามไปดวย เสมอนกบการลมโดมโนนนเอง



ตวอยางท 2 จงใชอปนยเชงคณตศาสตรพสจนวา n3 + 2n หารดวย 3 ลงตวสาหรบทก ๆ คาของ n ซงเปนบวก วธทา ให P(n) แทนขอความ 3 หารดวย n3 + 2n ลงตว (เขยนเปนสญลกษณ 3|n3 + 2n) ……(1) จะแสดงวา P(1) เปนจรง (1)3 + 2(1) = 3 และ 3 หาร 3 ลงตว เพราฉะนน P(1) เปนจรง จะพสจนวาถา P(k) จรงแลว P(k + 1) จะเปนจรงดวย ให P(k) เปนจรง 3|k3 + 2k ……(2) จะแสดงวา P(k + 1) เปนจรง นนคอ 3|(k + 1)3 + 2(k + 1) พจารณานพจน (k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + k + 1) + (2k + 2) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3) = (k3 + 2k) + 3(k3 + k + 1) ซง 3|(k3 + 2k) + 3(k3 + k + 1) ดงนน ถา P(k) เปนจรงแลว P(k + 1) เปนจรงดวย จาก (1) และ (2) โดยวธอปนยเชงคณตศาสตร สรปไดวา P(n) เปนจรงสาหรบทกจานวนเตมบวก นอกจากน ยงมการพสจนอปนยเชงคณตศาสตรอกหลายๆ รปแบบ แตในระดบน จะนาเสนอเพยงเทาน


จงใชหลกอปนยเชงคณตศาสตรพสจนขอความตอไปน เมอกาหนดให n เปนจานวนนบใด ๆ

1. 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n 1)(2n 1)

6+ +

2. 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n(n 1)

2+ )2

3. 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = n(3n 1)

2−

4. 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 + ... + n(n+1) = 13(n + 1)(n + 2)

5. 1 1 1 1 n...

1 2 2 3 3 4 n(n 1) n 1+ + + + =

⋅ ⋅ ⋅ + +

6. 2 ⎜n(n+1)

7. 3 ⎜n(n+1)(n+2)

8. 3 ⎜ n(n2 + 2)

9. 24 ⎜ (2n – 1)((2n – 1)2 – 1)

10. a – b ⎜ an - bn

11. a + b ⎜ a2n – b2n



3. การใหเหตผลแบบนรนย ตรรกบท และขอความเชงตรรกนรนย ในหวขอท 1 เราไดกลาวโดยคราววา การใหเหตผลแบบนรนย เปนการนาความรพนฐาน ซงอาจเปนความเชอ ขอตกลง กฎ หรอบทนยามทรกนมากอน และยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผลไปสขอสรป เชน เหต สตวเลยงทกตวเปนสตวไมดราย แมวทกตวเปนสตวเลยง ผล แมวทกตวเปนสตวไมดราย หลกเกณฑและวธการอางเหตผลแบบนรนย เรยกวา ตรรกศาสตรนรนย ซงสงทสาคญในการใหเหตผลแบบนรนย คอ ตรรกบท (Syllogism) ตรรกบทหนง ๆจะประกอบดวยขอความ 3 ขอความ โดยท 2 ขอความแรกเปนขอตง และอกขอความหนงเปนขอยต ตรรกบท 1 ตรรกบท คอ การอางเหตผลทประกอบดวยพจน 3 พจน โดยมพจน 2 พจนทมความสมพนธกบพจนท 3 ในรปของภาคประธาน หรอภาคแสดงตอกนดวย เชน เหต สตวเลยงทกตวเปนสตวไมดราย แมวทกตวเปนสตวเลยง ผล แมวทกตวเปนสตวไมดราย สงกป (concept) หมายถง มโนคตหนง ๆ ทมองในขอความนน ๆ ขอความเชงตรรก 1 ขอความ ประกอบดวยเทอม 2 เทอม คอ เทอมภาคประธาน และเทอมภาคแสดง เทอมทใชแทนสงกปหนงๆ แบงออกได 2 ชนด คอ เทอมกระจาย (Distributed term) เปนเทอมทมความหมายกนความครบทกหนวยของสงกป เชน นกเรยนทกคน เทอมไมกระจาย (Undistributed term) เปนเทอมทมความหมายกนความไมครบทกหนวยของสงกป โดยมอยางนอยหนงหนวยขนไป เชน นกเรยนบางคน นกเรยนสวนมาก เปนตน พจนทเปนภาคแสดงในขอยต เรยกวา พจนหลก (major term) สวนพจนทเปนภาคประธานในขอยตเรยกวา พจนรอง (minor term) และพจนทปรากฏรวมกนในขอตงทงสอง เรยกวา พจนกลาง (middle term) ขอตงทมพจนหลก เรยกวา ขอตงหลก (major promise) และขอตงทมพจนรอง เรยกวา ขอตงรอง (minor promise) ตวอยางทแสดงใหเหนชดเจน

เหต สตวเลยงทกตวเปนสตวไมดราย

แมวทกตวเปนสตวเลยง

ผล แมวทกตวเปนสตวไมดราย

เรยกวา พจนกลาง

เรยกวา พจนหลก เรยกวา พจนรอง

เรยกวา ขอตงหลก

เรยกวา ขอตงรอง

เราใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร ในการตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลแบบนรนย



สงเกตวา ตรรกบทนทงตรรกบท เปนเทอมกระจายทงหมด ขอความเชงตรรกะ มคาความจรง (truth values) ในตวเอง คอมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ อยางใดอยางหนง การตรวจสอบความสมเหตสมผล ในการใหเหตผลแบบนรนย รวมถงจากตวอยาง จะเหนวา การยอมรบความรพนฐานหรอความจรงบางอยางกอน แลวหาขอสรปจากสงทยอมรบ ซงจะเรยกวา ผล การสรปผลจะสรปไดถกตองกตอเมอเปนการสรปไดอยางสมเหตสมผล (valid) เชน เหต หมอวกาศทกตวบนได โนตบนได ผล โนตเปนหมอวกาศ การสรปในขอนไมสมเหตสมผล (invalid) แมวาขออางทงสองจะเปนจรง แตการทเราทราบวา หมอวกาศบนได กไมไดหมายความวาสงอนทบนไดตองเปนหมอวกาศเสมอไป ขอสรปดงกลาวจงไมสมเหตสมผล สรป การใหเหตผลแบบนรนย ผลหรอขอสรปจะถกตองกตอเมอ ยอมรบเหตเปนจรงทกขอ และการสรปสมเหตสมผล การตรวจสอบขอความวาสมเหตสมผลนน สามารถทาไดหลายวธ ในทน จะนาเสนออย 2 วธ คอ การใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรในการตรวจสอบ และการใชความสมพนธระหวางขอความตรวจสอบ 1. การใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ในการตรวจสอบความสมเหตสมผล เราจะวาดแผนภาพตามสมมตฐานทเปนไปได แลวพจารณาวาแผนภาพแตละกรณแสดงผลสรปตามทสรปไวหรอไม ถาทกกรณแสดงผลตามทกาหนด แสดงวาสมเหตสมผล ถามแผนภาพทไมแสดงผลตามทสรปไว การสรปนนไมสมเหตสมผล โดยจะใชการอางเหตผลโดยตรรกบทของตรรกศาสตรเขามาตรวจสอบ ขอความทใชอางเหตผลมอย 4 แบบหลก ๆ (ขอ 1-4) และอก 2 แบบเพมเตม (ขอ 5-6)

ขอความ แผนภาพ 1. สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B

2. ไมมสมาชกตวใดของ A เปนสมาชกของ B



3. มสมาชกของ A บางตวเปนสมาชกของ B

4. สมาชกของ A บางตวไมเปนสมาชกของ B

5. มสมาชกของ A หนงตว ทเปนสมาชกของ B

6. มสมาชกของ A หนงตว ทไมเปนสมาชกของ B

ในการใชแผนภาพเพอตรวจสอบความสมเหตสมผล จะตองวาดแผนภาพตามเหตผลหรอสมมตฐานทกกรณทเปนไปได ถาทกกรณแสดงผลตามทกาหนด จะไดวา ขอสรปนน สมเหตสมผล แตถามบางกรณทไมสอดคลองกบผลสรปแลว ผลสรปนนจะไมสมเหตผมผล ตวอยางท 1 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม เหต เดกไทยทกคนเปนคนด เจาจกเปนคนไทย ผล เจาจกเปนคนด เขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดดงน

ดงนน ขอสรปทกลาววาเจาจกเปนคนด สมเหตสมผล

คนด

คนไทย

เจาจก



ตวอยางท 2 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม เหต นกกฬาทกคนมสขภาพด ตกตาสขภาพด ผล ตกตาเปนนกกฬา กาหนดให H แทนเซตของคนทมสขภาพด S แทนเซตของนกกฬา เขยนแผนภาพแทนนกกฬาทกคนทมสขภาพดไดดงน

เขยนแผนภาพเพอแสดงวา ตกตามสขภาพดไดดงน

จากแผนภาพ มกรณทตกตาไมไดเปนนกกฬา แตมสขภาพด ดงนน ผลทไดไมสมเหตสมผล ตวอยางท 3 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม

เหต ผลไมบางชนดเปรยว สงทเปรยวทาใหปวดทอง

ผล ผลไมบางชนดทาใหปวดทอง เขยนแผนภาพเวนน - ออยเลอรไดดงน

สงเกตดทง 2 กรณ มผลไมทเปนสาเหตของการปวดทองจรง ดงนน การใหเหตผลนสมเหตสมผล

H S

ตกตา

H

S

ตกตา

H

S

ผลไมบางชนดเปรยว

ปวดทอง

ผลไมบางชนดเปรยว

ปวดทอง

ผลไม รสเปรยว ผลไม รสเปรยว



ตวอยางท 4 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม เหต คนดบางคนเปนคนยากจน คนยากจนทกคนมนาใจ ผล คนดบางคนมนาใจ เขยนแผนภาพเวนน - ออยเลอรไดดงน

จากการตรวจสอบด พบวา ขอสรปนสมเหตสมผล ในบางครง ความรพนฐานทนามาอาง เราอาจไมทราบวาเปนจรงหรอไม แตถายอมรบวาเปนจรงตามสมมตฐานทตงไวแลวไดผลสรปทสมเหตสมผล ผลสรปทไดไมจาเปนตองเปนความจรงทางโลกเสมอไป เชน ตวอยางท 5 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม เหต ถามสงมชวตบนดาวพระเคราะหแลว ดาวพระเคราะหจะตองมนา มสงมชวตบนดาวพระเคราะห อาลาบามา ผล ดาวพระเคราะหอาลาบามา มนา

จากแผนภาพ เราจะไดวา ดาวอาลาบามามนา สมเหตสมผล แตเราไมทราบวาตามความจรงแลว ดาวนมนาจรงหรอเปลา

ดาวพระเคราะหทมนา

ดาวพระเคราะหทมสงมชวต

ดาวอาลาบามา

คนด

คนยากจน

คนมนาใจ

คนดบางคนมนาใจ



ตวอยางท 6 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม เหต นกทกตวเปนสตวมปก เปดทกตวเปนสตวมปก

ผล นกทกตวเปนเปดชนดหนง

จาก 4 กรณขางตน จะเหนวา นกและเปดตางกเปนสตวปก แตเราสรปไมไดแนนอนวา นกเปนเปดชนดหนงดงนน ขอสรปนไมสมเหตสมผล


จงใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร ตรวจสอบความสมเหตสมผลของขอความตอไปน 1. เหต โดยธรรมดาแลว ผชายชอบจบสาว แจวชอบจบสาว ผล แจวเปนผชาย

2. เหต ววม 4 ขา หมไมเปนวว ผล หมไมม 4 ขา

3. เหต นกเรยนทกคนชอบสฟา นกเรยนบางคนชอบสขาว ผล นกเรยนทชอบสขาวบางคนชอบสฟา

4. เหต ชาวนาบางคนเปนเศรษฐ เศรษฐบางคนเปนคนด ผล เศรษฐบางคนไมเปนชาวนาและไมเปนคนด

5. เหต จานวนนบทกจานวนเปนจานวนเตม จานวนเตมทกจานวนเปนจานวนจรง ผล จานวนนบทกจานวนเปนจานวนจรง

นก เปด นก เปด

สตวมปก สตวมปก

นก

สตวมปก

นก

เปด เปด

สตวมปก



6. เหต จานวนทหารดวย 2 ลงตวทกจานวนเปนจานวนค 7 หารดวย 2 ลงตว ผล 7 เปนจานวนค

7. เหต ไมมจานวนเฉพาะตวใดทหารดวย 2 ลงตว 21 หารดวย 2 ไมลงตว ผล 21 เปนจานวนเฉพาะ

8. เหต ดาวบางดวงไมมแสงสวางในตวเอง สตวบางตวไมมแสงสวางในตวเอง ผล สตวบางตวไมใชดาว

9. เหต แมวทกตวม 4 ขา ไมมสตวสขาใด ๆ มมอ ผล แมวทกตวไมมมอ

10. เหต คนทาดบางคนไมไดด คนไดดทกคนรารวย ผล คนทาดบางคนไมรารวย

จะสรปผลทสมเหตสมผลจากสมมตฐานในขอ 11 – 15 ไดหรอไม ถาได จงสรป

11. เหต นกเรยนทกคนตองอานหนงสอ คนอานหนงสอบางคนสอบตก 12. เหต นกเรยนทกคนตองอานหนงสอ คนอานหนงสอทกคนสอบได 13. เหต ดอกไมบางชนดมกลนหอม สงทมกลนหอมบางชนดมราคาแพง 14. เหต นกทกชนดเปนสตวเลอดอน สตวเลอดอนบางชนดไมอยในนา 15. เหต ครทกคนเปนคนใจด ไมมคนใจดคนใดเปนคนดราย



2. การใชความสมพนธระหวางพจน ในการตรวจสอบความสมเหตสมผล นอกจากการใชความสมพนธของแผนภาพเวนน – ออยเลอรแลว เรายงสามารถใชความสมพนธระหวางพจนของขอความตรรกบทในการพจาณาความสมเหตสมผลได ไดใชกฏเกณฑตาง ๆ ดงน 1. ตรรกบททถกตอง สมเหตสมผล จะมพจนกลางกระจาย (หรอกนความหมายครบทก

หนวย) อยางนอยหนงครง เพราะพจนกลางเปนตวชวยใหโยงหาความสมพนธระหวางพจนหลกและพจนรอง เชน

ตวอยางท 1 เหต จานวนอตรรกยะทกจานวนเปนจานวนจรง π เปนจานวนอตรรกยะ ผล π เปนจานวนจรง พจนกลาง คอ จานวนอตรรกยะ กระจายในขอตงแรก ตรรกบทดงกลาวจง สมเหตสมผล ตวอยางท 2 เหต คนไทยทกคนเปนผทยมแยมแจมใส ชาวปากซนเปนคนยมแยมแจมใส ผล ชาวปากซนเปนคนไทย พจนกลาง คอ คนยมแยมแจมใส เปนพจนไมกระจาย ตรรกบทดงกลาวจง ไมสมเหตสมผล 2. ตรรกบททสมเหตสมผล พจนทกระจายในขอยตจะตองกระจายในขอตง เพราะจะสรป

พจนนนไดอยางทวถง กตอเมอ พจนดงกลาวตองกระจายครอบคลมทงหมดมากอน เชน ตวอยางท 3 เหต จานวนตรรกยะทกจานวนเปนจานวนจรง จานวนเตมทกจานวนเปนจานวนตรรกยะ ผล จานวนเตมทกจานวนเปนจานวนจรง พจนรอง คอ จานวนเตม กระจายในขอยต และกระจายในขอตง ตรรกบท ดงกลาวจงสมเหตสมผล ตวอยางท 4 เหต ผทสาเรจการศกษาทกคนเปนบณฑต ผทสาเรจการศกษาทกคนเปนผมเหตผล ผล ผมเหตผลทกคนเปนบณฑต พจนรอง คอ ผมเหตผล กระจายในขอยตแตไมกระจายในขอตง ตรรกบท ดงกลาวจงไมสมเหตสมผล 3. ตรรกบททขอตงทงสองเปนขอความเชงปฏเสธ จะไมสามารถสรปขอยตได เพราะการท

ขอตงทงสองเปนขอความปฏเสธ แสดงวา พจนหลกและพจนรองตางไมเกยวกนกบพจนกลาง จงไมสามารถบอกความเกยวของระหวางพจนหลกกบพจนรองนน เชน

ตวอยางท 5 เหต จานวนเตมทกจานวนไมเปนจานวนอตรรกยะ จานวนอตรรกยะทกจานวนไมเปนจานวนตรรกยะ ผล จานวนเตมทกจานวนไมเปนจานวนตรรกยะ ขอความทงสองตางกเปนขอความปฏเสธ ตรรกบทดงกลาวจงไม สมเหตสมผล 4. ตรรกบททสมเหตสมผล ถามขอตงทงสองเปนขอความยนยน ขอยตตองเปนขอความ

ยนยน เพราะเมอขอตงทงสองเปนขอความยนยน แสดงวา พจนหลกกบพจนกลางตองรวมอยดวยกน และพจนรองกบพจนกลางตองอยรวมกน ดงนน ขอยตตองแสดงถงการอยรวมกนของพจนหลกและพจนรองนน นนคอ ขอยตตองเปนขอความยนยนดวย เชน

ตวอยางท 6 เหต สงมชวตทกชนดตองการอาหาร แบคทเรยเปนสงมชวต ผล แบคทเรยตองการอาหาร ตรรกบทดงกลาวจงสมเหตสมผล



5. ตรรกบททสมเหตสมผล ถามขอตงหนงเปนขอความปฏเสธแลว ขอยตตองเปนขอความ

ปฏเสธ กรณทขอตงหนงเปนขอความปฏเสธและอกขอความหนงเปนขอความยนยน แสดงวา พจนหลกหรอพจนรองในขอตงขอหนงขอใด ตองไมเกยวของกบพจนกลาง ดงนน ขอยตจะตองเปนขอความทพจนหลก และพจนรองตองแยกออกจากกน หรอเปนขอความปฏเสธนนเอง

ตวอยางท 7 เหต 1. จานวนอตรรกยะทกจานวนไมสามารถเขยนในรป เศษสวนของจานวนเตม โดยทตวสวนไมเปนศนย 2. 2 สามารถเขยนในรปเศษสวนของจานวนเตม โดย ทตวสวนไมเปนศนย ผล 2 ไมเปนจานวนอตรรกยะ ตรรกบทดงกลาวจงสมเหตสมผล สาหรบการอางเหตผลทมขอตงหลาย ๆ ขอ อาจตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชแผนภาพ หรอพจารณาจากความสมพนธระหวางพจน อาจทาไดไมสะดวก หรอไมครบถวน จงมการพจารณาโดยใชความสมพนธระหวางขอความ ซงไดมการพฒนาไปอยางกวางขวาง และมการกาหนดสญลกษณแทนขอความ เพอขจดความกากวมของภาษา ซงใชไดในกรณทวไป ทเรยกวา ตรรกศาสตรสญลกษณ (Symbolic Logic) หรอ คณตตรรกศาสตร (Mathematical Logic) ซงเปนตรรกศาสตรแผนปจจบน ซงตรรกศาสตร จะกลาวไวในโอกาสตอไป

แบบฝกหดท 6 จากขอความทกาหนดให

1. จงหาขอตงหลก ขอตงรอง พจนหลก พจนรอง และพจนกลางของตรรกบท 2. จงตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชความสมพนธระหวางขอความ

1. เหต โดยธรรมดาแลว ผชายชอบจบสาว แจวชอบจบสาว ผล แจวเปนผชาย

2. เหต ววม 4 ขา หมไมเปนวว ผล หมไมม 4 ขา

3. เหต นกเรยนทกคนชอบสฟา นกเรยนบางคนชอบสขาว ผล นกเรยนทชอบสขาวบางคนชอบสฟา

4. เหต ชาวนาบางคนเปนเศรษฐ เศรษฐบางคนเปนคนด ผล เศรษฐบางคนไมเปนชาวนาและไมเปนคนด 5. เหต จานวนนบทกจานวนเปนจานวนเตม จานวนเตมทกจานวนเปนจานวนจรง ผล จานวนนบทกจานวนเปนจานวนจรง

6. เหต จานวนทหารดวย 2 ลงตวทกจานวนเปนจานวนค 7 หารดวย 2 ลงตว ผล 7 เปนจานวนค



7. เหต ไมมจานวนเฉพาะตวใดทหารดวย 2 ลงตว 21 หารดวย 2 ไมลงตว ผล 21 เปนจานวนเฉพาะ

8. เหต ดาวบางดวงไมมแสงสวางในตวเอง สตวบางตวไมมแสงสวางในตวเอง ผล สตวบางตวไมใชดาว

9. เหต แมวทกตวม 4 ขา ไมมสตวสขาใด ๆ มมอ ผล แมวทกตวไมมมอ

10. เหต คนทาดบางคนไมไดด คนไดดทกคนรารวย ผล คนทาดบางคนไมรารวย

เอกสารอางอง.....

1. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร มธยมศกษาปท 4: สานกพมพองคการคาของครสภา, 2546

2. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. เอกสารเสรมความรสาหรบนกเรยน วชาคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4 โครงการพฒนาและสงเสรมผมความสามารถทางวทยาศาสตรและเทคโนโลย : ไมทราบ พ.ศ.

3. ธรวฒน จตธรรม.เอกสารประกอบการสอน การใหเหตผล ระดบมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนมงฟอรตวทยาลย : โรงเรยนมงฟอรตวทยาลย, 2547

4. สรศกด ลรตนาวล. คณตตรรกศาสตรเบองตน. : เอกสารประกอบการเรยน ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยเชยงใหม, 2543

5. อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ตรรกศาสตรและระบบจานวนจรง. สมาคมวทยาศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมราชปถมภ, 2545

6. โครงการตาราวทยาศาสตรและคณตศาสตร มลนธ สอวน.พชคณต , 2547 7. รศ.ดารงค ทพยโยธา. รวมปญหาอปนยเชงคณตศาสตร และสารพนปญหาคณตศาสตร : สานกพมพ

จฬาลงกรณมหาวทยาลย. 2543 8. เอกสารประกอบการสอนโครงการพฒนาผมความสามารถพเศษทางคณตศาสตร ภาคเหนอ.Recurrence

Relation. 2547 9. ศภณฐ ชยด . หนงสอออนไลน เรอง การใหเหตผลและการพสจนทางคณตศาสตร. 2548

Documents

การให้เหตุผล : Reasoning การให้เหตุผล · PDF fileการให้เหตุผล : Reasoning หน้าที่ 1 -- For Educational