การใหเหตผลการใหเหตผลReasoningReasoning

อ.ถนอมศกด เหลากลสาขาวชาคณตศาสตร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555

โครงสรางคณตศาสตรและรปแบบการใหเหตผลโครงสรางคณตศาสตรและรปแบบการใหเหตผล คณตศาสตรประกอบดวยสวนประกอบทสำาคญ 4 สวน คอ

1 .อนยาม (U ndefined Terms)2 .บทนยาม (D efined Terms)3 .สจพจน (A xiom / postulate)

4 .ทฤษฎบท (Theorem)

การอางเหตผล การอางเหตผล (Arguments)(Arguments)

ขออาง หรอ ขอตง ขออาง หรอ ขอตง (Premises)(Premises)

ขอสรป หรอขอยต ขอสรป หรอขอยต (Conclusion)(Conclusion)

ขอความเชงตรรก ) Logical Statements(

ตวอยาง เหต สงมชวตทกชนดตองการอาหาร แบคทเรยเปนสงมชวต (เรยกวา ขออาง ) ผล แบคทเรยตองการอาหาร (เรยกวา ขอสรป)

พจารณาตวอยางตอไปนตวอยาง เนองจากนกเรยนไทยเปนคนเกง และ ด.ญ.นวยา เปนนกเรยนไทย ฉะนนจงสรปไดวา ด.ญ.นวยา เปนคนเกง

ตวอยาง ดวยนกเรยนโรงเรยนมหดลวทยานสรณ แตละคนทเคยรจกมา เปนคนเรยบรอย ดงนน จงเชอไดวานกเรยนโรงเรยนมหดลวทยานสรณ ทกคนเปนคนเรยบรอยดวย

ตวอยาง ถา ด.ช.คณต เปนนกเรยน แลว ด.ช.คณต เปนคนด และ ด.ช.คณต เปนนกเรยนจรง ดงนน ด.ช.คณต จงตองเปนคนด

รปแบบการใหเหตผลรปแบบการใหเหตผล

1 )การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning)

2) การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning)

ตวอยางการใหเหตผลแบบอปนยตวอยางการใหเหตผลแบบอปนย

ทศตะวนออกทศตะวนออก ทศตะวนตกทศตะวนตก

ตวอยางการใหเหตผลแบบอปนยตวอยางการใหเหตผลแบบอปนย

ตวอยางการใหเหตผลแบบอปนยตวอยางการใหเหตผลแบบอปนยตวอยาง จงสงเกตรปแบบในการดำาเนนการของจำานวนตอไปน

แลวหาคำาตอบทถดไป 11. (1 + 1) × 1 = 2

(1 + 2) × 2 = 6 (1 + 3) × 3 = 12

…………… . = ……………..

12 9 9 81. × = 99 9 891× = 999 9 8991× = …………… . = ……………..

การใหเหตผลแบบอปนย หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรงจากการสงเกตหรอการทดลองหลายครงจากกรณยอย ๆ แลวนำามาสรปเปนความรทวไป

อาศยหลกฐานจากประสบการณ

เรมตนจากขอมลทมลกษณะเฉพาะ (particular) ไปสขอสรปซงมลกษณะทวไป(universal)

ความนาเชอถอของขอสรปอยในระดบ ความ

นาจะเปน (probability)มความรใหมเกดขน

การใหเหตผลแบบอปนยการใหเหตผลแบบอปนย

ตวอยาง จงหาวา ผลคณของจำานวนนบสองจำานวนทเปนจำานวนค จะเปนจำานวนคหรอจำานวนค โดยการใหเหตผลแบบอปนย

วธทำา เราจะลองหาผลคณของจำานวนนบทเปนจำานวนคหลาย ๆ จำานวนดงน 1 3 3× = 1 13515 5 7 35× = 7 9 63× = 1 5 5× = 1 13721 1 15945 7 11 77× = 1 7 7× = 3 9 27× = 5 11 55× = 7 13 91× = 1 9 9× = 3 11 33× = 5 13 65× = 715 105

จากการหาผลคณดงกลาว โดยการอปนย จะพบวา ผลคณทไดเปนจำานวนคโดยการใหเหตผลแบบอปนย สรปไดวาผลคณของจำานวนนบสองจำานวนทเปนจำานวนค จะเปนจำานวนค

ขอสงเกตการใหเหตผลแบบอปนย

1 .จำานวนขอมลทไดมาอางอง อาจไมเพยงพอกบการตงขอสรป

2. จากขอมลเดยวกน หากผสรปคดตางกน อาจไดขอสรปทไมตรงกน

3 . การสรปโดยการใหเหตผลแบบอปนย บางครงขนอยกบประสบการณ ของผสรป

4 . การสรปโดยการใหเหตผลแบบอปนย แมวาไดสงเกตหรอทดลองหลาย ครงแลว แตอาจเกดขอผดพลาดกได

EXCERCISE

1. จงหาพจนทอยถดไปอก 3 พจน 1 1 3 9 27) , , , , …

2 1 6 3 4 5 2) , , , , , , …

3 3 6 12) , , , …

4 1 6 11 16) , , , , …

5 ) 1 , 4 , 9 , 1 6 , 2 5 , …

2 . จงหาสมการถดไป จากแบบรปทกำาหนดใหโดยใชหลกการอปนย แลวตรวจสอบโดยการคำานวณ

9 9 7 88× + = 98 9 6 888× + =

987 9 5 8888× + = , 9876 9 4 88888, × + = ,

…………………………… = …………………..

4 .ชาวกรกโบราณเขยนแทนจำานวน 1, 3, 6, 10, 15, 21 โดยใชสญลกษณดงน

เรยกจำานวนทสามารถเขยนแทนดวยสญลกษณดงกลาวในลกษณะขางตนวาจำานวนสามเหลยม (triangular numbers)

)1 (จงเขยนจำานวนสามเหลยมทอยถดจาก 21 อกสองจำานวน)2 (72 เปนจำานวนสามเหลยมหรอไม

5. จากรปทกำาหนดให จงเขยนรปทอยถดไป

4. ถาผลบวกของเลขโดดในแตละหลกของจำานวนนบใด ๆ หารดวย 3 ลงตวแลวมขอสรปเกยวกบจำานวนนบดงกลาวอยางไร

5. ใหเลอกจำานวนนบมา 1 จำานวน และปฏบตตามขนตอนดงน1) คณจำานวนนบทเลอกไวดวย 4 2) บวกผลลพธในขอ 1) ดวย 63) หารผลบวกในขอ 2) ดวย 24) ลบผลหารในขอ 3) ดวย 3

จากวธทกำาหนดไวขางตน มขอสรปอยางไรเมอใชวธการใหเหตผลแบบอปนย

การใหเหตผลแบบนรนยการใหเหตผลแบบนรนยการใหเหตผลแบบนรนย เปนการใหเหตผลทอางวาสงทกำาหนดใหยนยน

ผลสรป

อาศยหลกฐานจากความรเดม

เรมตนจากขออางซงมลกษณะทวไป (universal)ไปสขอสรปซงมลกษณะเฉพาะ(particular)

ความนาเชอถอของขอสรปอยในขนความ

แนนอน (certainty)

ไมใหความรใหม

โดยกำาหนดใหเหต (หรอขอสมมต ) เปนจรง หรอยอมรบวาเปนจรง แลวใชกฏเกณฑตางๆ สรปผลจากเหตทกำาหนดให

ตวอยางการใหเหตผลแบบนรนยตวอยางการใหเหตผลแบบนรนย

เหต 1) นกกฬากลางแจงทกคนจะตองมสขภาพด 2) ธระศลป เปนนกฟตบอลทมชาตไทยผล ธระศลป มสขภาพด

เหต 1) จำานวนคหมายถงจำานวนทหารดวย 2 ลงตว 2) 10 หารดวย 2 ลงตวผล 10 เปนจำานวนค

เหต 1) เรอทกลำาลอยนำาได 2) ถงนำาพลาสตกลอยนำาไดผล ถงนำาพลาสตกเปนเรอ

สมเหตสมผล

ไมสมเหตสมผล

การตรวจสอบวาขอสรปสมเหตสมผลหรอไมการตรวจสอบวาขอสรปสมเหตสมผลหรอไม

วาดภาพ (แผนภาพเวนน ออยเลอร– ) ในทกกรณทเปนไปได

พจารณาความสมเหตสมผล

การอางเหตผลสมเหตสมผล (Valid)

การอางเหตผลไมสมเหตสมผล(Invalid)

การอางเหตผลโดยใชตรรกบทของตรรกศาสตร (Syllogistic logic)

การใชแผนภาพเวนนการใชแผนภาพเวนน--ออยเลอร ในการตรวจสอบความสมเหตสมผลออยเลอร ในการตรวจสอบความสมเหตสมผลขอความทใชอางเหตผลมอย 4 แบบหลก ๆ (ขอ - 14) และอก 2 แบบเพมเตม (ขอ - 56) ดงน

1 .สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B

ตวอยางตวอยาง สตวเลยงลกดวยนมทกตวเปนสตวเลอดอน

การใชแผนภาพเวนนการใชแผนภาพเวนน--ออยเลอร ในการตรวจสอบความสมเหตสมผลออยเลอร ในการตรวจสอบความสมเหตสมผล

2. ไมมสมาชกของ A ตวใดเปนสมาชกของ B

ตวอยางตวอยาง ไมมงตวใดทมขา

3. มสมาชกของ A บางตวเปนสมาชกของ B

ตวอยางตวอยาง รถโดยสารบางคนเปนรถปรบอากาศ

4. สมาชกของ A บางตวไมเปนสมาชกของ B

ตวอยางตวอยาง รถโดยสารบางคนไมไดเปนรถปรบอากาศ

5. มสมาชกของ A หนงตว ทเปนสมาชกของ B

ตวอยางตวอยาง สนขของฉนเปนสนขพนธไทยแท

6. มสมาชกของ A หนงตว ทไมเปนสมาชกของ B

ตวอยางตวอยาง สนขของพมไมใชสนขพนธไทยแท

ตวอยางท 1 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม เหต ไทยทกคนเปนคนด เจาจก เปนคนไทย ผล เจาจก เปนคนด

เขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดดงน

ดงนน ขอสรปทกลาววาเจาจกเปนคนด สมเหตสมผล

ตวอยางท 2 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไมเหต นกกฬาทกคนมสขภาพด ตกตาสขภาพดผล ตกตาเปนนกกฬา

กำาหนดให H แทนเซตของคนทมสขภาพด S แทนเซตของนกกฬา

เขยนแผนภาพแทนนกกฬาทกคนทมสขภาพดไดดงน

เขยนแผนภาพเพอแสดงวา ตกตามสขภาพดไดดงน

จากแผนภาพ มกรณทตกตาไมไดเปนนกกฬา แตมสขภาพด ดงนน ผลทไดไมสมเหตสมผล

ตวอยางท 3 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไมเหต ผลไมบางชนดเปรยว สงทเปรยวทำาใหปวดทองผล ผลไมบางชนดทำาใหปวดทอง

เขยนแผนภาพเวนน - ออยเลอรไดดงน

สงเกตดทง 2 กรณ มผลไมทเปนสาเหตของการปวดทองจรง ดงนน การใหเหตผลนสมเหตสมผล

ตวอยางท 4 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไมเหต นกทกตวเปนสตวมปก เปดทกตวเปนสตวมปกผล นกทกตวเปนเปดชนดหนง

จาก 4 กรณขางตน จะเหนวา นกและเปดตางกเปนสตวปก แตเราสรปไมไดแนนอนวา นกเปนเปดชนดหนงดงนน ขอสรปนไมสมเหตสมผล

EXCERCISEจงใชแผนภาพเวนน ออยเลอร ตรวจสอบความสมเหตสมผลของขอความตอไปน–

1 .เหต 1. นกเรยนบางคนขยน 2. ผหญงทกคนขยน

ผล นกเรยนบางคนเปนผหญง

2. เหต 1. จำานวนนบทกจำานวนเปนจำานวนเตม 2. จำานวนเตมบางจำานวนเปนจำานวนลบ

ผล มจำานวนนบบางจำานวนเปนจำานวนลบ

EXCERCISEจงใชแผนภาพเวนน ออยเลอร ตรวจสอบความสมเหตสมผลของขอความตอไปน–

3. เหต 1. คนไทยทกคนเปนคนนารก 2. วรศรา เปนคนนารก

ผล วรศรา เปนคนไทย

4. เหต 1. กบทกตววายนำาได 2. สตวทวายนำาไดจะบนได

ผล กบทกตวบนได

EXCERCISEจงใชแผนภาพเวนน ออยเลอร ตรวจสอบความสมเหตสมผลของขอความตอไปน–

5. เหต 1. จำานวนเตมทหารดวย 2 ลงตว ทกจำานวนเปนจำานวนค 2. 7 หารดวย 2 ลงตว

ผล 7 เปนจำานวนค

6. เหต 1. สนขบางตวมขนยาว 2. มอมเปนสนขของฉน

ผล มอมเปนสนขทมขนยาว

EXCERCISEจงใชแผนภาพเวนน ออยเลอร ตรวจสอบความสมเหตสมผลของขอความตอไปน–

7. เหต 1. มาทกตวมสขา 2. ไมมสตวทมสขาตวใดทบนได

ผล ไมมมาตวใดบนได

8. เหต 1. ไมมจำานวนเฉพาะตวใดหารดวย 2 ลงตว 2. 21 หารดวย 2 ไมลงตว

ผล 21 เปนจำานวนเฉพาะ

EXCERCISEจงใชแผนภาพเวนน ออยเลอร ตรวจสอบความสมเหตสมผลของขอความตอไปน–

9. เหต 1. วนทมฝนตกทงวนจะมทองฟามดครมทกวน 2. วนนทองฟามดครม

ผล วนนฝนตกทงวน

10. เหต 1. ไมมคนจนคนใด เปนคนขยน 2. ไมมคนขยนคนใด เปนคนไมด

ผล ไมมคนจนคนใด เปนคนไมด

EXCERCISEจงใชแผนภาพเวนน ออยเลอร ตรวจสอบความสมเหตสมผลของขอความตอไปน–

11. เหต 1. ถาออกกำาลงกายทกวนแลวรางกายจะแขงแรง 2. ถารางกายแขงแรงแลวจะสขภาพด 3. ไมมคนสขภาพดคนใดทมโรคภย 4. วนเสนรางกายไมแขงแรง

ผล วนเสนไมมโรคภย

EXCERCISEจงใชแผนภาพเวนน ออยเลอร ตรวจสอบความสมเหตสมผลของขอความตอไปน–

12. เหต 1. ตนไมทกชนดมสเขยว 2. ตนไผบางชนดไมมสเขยว 3. ไผตงเปนตนไผชนดหนง

ผล ไผตงไมใชตนไม