ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ - schooltime · 2 ! Απλήαρμονικήταλάντωση* 3. Μικρό!σώμα!μάζας!m!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!πλάτους!Α=0

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

Θετικής - ΤεχνολογικήςΚατεύθυνσης

Επανάληπτικά ΘέματαΦυσική Γ΄Λυκείου

Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

e-mail: [email protected] www.iliaskos.gr

1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ*ΘΕΜΑΤΑ***1ου*ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ**!

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ*ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ**

ΑΠΛΗ*ΑΡΜΟΝΙΚΗ*ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ**Απλή*αρμονική*ταλάντωση*1. Ένα! σώμα! μάζας! m! ! που! ! εκτελεί!απλή! αρμονική! ταλάντωση,! δέχεται!!!!συνισταμένη! δύναμη! της! οποίας! η!αλγεβρική! τιμή! ! μεταβάλλεται! ! ! με! ! το!χρόνο! ! όπως! φαίνεται! στο! ! ! διπλανό!!!!διάγραμμα.! ! Τη! χρονική! ! ! ! ! ! ! στιγμή!t1=0,1π! s! ! η! κινητική! ! ! ! ενέργεια! της!ταλάντωσης!του!σώματος!είναι!!!Κ1=2J.!

*********ΣF(N)!!+20!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0*!!!!!!!!!!!!!!0,1π!!!!!!!!!!0,2π!!!!!t(s)!!****K20*

α)!!!Να!!υπολογίσετε!!!τη!μάζα!m!του!σώματος*β)!!!Να!!!γράψετε!!την!!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!!σε!!συνάρτηση!με!το!χρόνο.*γ)!!!Να!!!βρεθεί!!!η!!!κινητική!!!ενέργεια!!του!!σώματος!τη!στιγμή!που!βρίσκεται!στη!θέση!x2=Α/2.!δ)!!!Να!!υπολογίσετε!!το!!έργο!!της!!δύναμης!!επαναφοράς!!από!τη!!στιγμή!!t=0!μέχρι!τη!στιγμή!t2!που!περνά!από!τη!θέση!x2!για!πρώτη!φορά.!ε)! ! ! Να! ! βρεθούν! οι! ρυθμοί! μεταβολής! της! ορμής! και! της! κινητικής! ενέργειας! τη!στιγμή!t2.!!Απάντηση:!

α)!m=1kg,! !β)! x=0,2ημ10t! (SI),! !γ)! Κ2! =! 1,5! J,! !δ)!W!=! ]! 0,5! J,!ε)! /10p kgm st s

Δ = −Δ

,!

10 3 /K J st

Δ = −Δ

!

!!Απλή*αρμονική*ταλάντωση*2. Ένα!σώμα!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!με!περίοδο!Τ=0,5s.!Τη!στιγμή!t=0!το! σώμα! διέρχεται! από! κάποιο! σημείο! του! θετικού! ημιάξονα,! κινούμενο! κατά! τη!θετική! φορά! και! η! δυναμική! του! ενέργεια! είναι! τριπλάσια! από! την! κινητική! του!ενέργεια.! Στο! χρονικό! διάστημα! από! t=0! μέχρι! t=T/12! η! κινητική! ενέργεια! του!σώματος!ελαττώνεται!κατά!2,5`10]4J.!Να!γραφεί!η!εξίσωση!της!δυναμικής!ενέργειας!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!!Απάντηση:!!!!!!U=10]3ημ2(4πt+π/3)!!!(SI)!

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

2

!Απλή*αρμονική*ταλάντωση*3. Μικρό!σώμα!μάζας!m!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!πλάτους!Α=0,4!m!και!περιόδου! Τ=0,2πs! και! τη! χρονική! στιγμή! t=0! διέρχεται! από! τη! θέση! y1! έχοντας!αρνητική!επιτάχυνση.!Την!ίδια!χρονική!στιγμή!η!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσης!ισούται! με! U1=6! J! και! αυξάνεται,! ενώ! η! κινητική! ενέργεια! του! κύβου! ισούται! με!!Κ1=2!J.!!*α)!!Να!υπολογίσετε!τη!σταθερά!επαναφοράς.!β)!!Να!γράψετε!τη!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!από!τη!θέση!ισορροπίας.!γ)! ! Να! υπολογίσετε! τη! χρονική! στιγμή! που! το! σώμα! θα! περάσει! από! τη! θέση!ισορροπίας!του!για!πρώτη!φορά.!δ)!!Να!υπολογίσετε!την!απόσταση!μεταξύ!των!δύο!θέσεων!του!σώματος!στις!οποίες!η!κινητική!ενέργεια!ισούται!με!τι!1/3!της!δυναμικής!ενέργειας!της!ταλάντωσης.!!Απάντηση.!α)!D=100!N/m!!!!!!β)!y=0,4ημ(10t+π/3)!(S.I)!!!!!!!γ)!t=π/15!s!!!!!!!δ)!d=0,4 3!m!!!Απλή*αρμονική*ταλάντωση*4. Ένα! σώμα! μάζας! m=0,1! Κg! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση! με! εξίσωση!απομάκρυνσης:!

! = !,!"# !"!+ !!! ! !. ! *

*α)!Να!βρεθεί!η!ολική!ενέργεια!του!ταλαντωτή!και!να!δειχθεί!ότι!τη!χρονική!στιγμή!t=0!η!κινητική!ενέργεια!είναι!τριπλάσια!της!δυναμικής.!β)! Να! υπολογιστεί! η! ελάχιστη! χρονική! διάρκεια! μέχρι! η! κινητική! ενέργεια! να!ξαναγίνει!τριπλάσια!της!δυναμικής.!γ)!Να!βρεθεί!ο!ρυθμός!μεταβολής!της!ορμής!του!σώματος!τη!χρονική!στιγμή!t=2s.!δ)! Να! βρεθεί! ο! ρυθμός! μεταβολής! της! δυναμικής! ενέργειας! της! ταλάντωσης! του!σώματος!τη!χρονική!στιγμή!t=2s.!Απάντηση.!!

!α)!Ε=0,32!J!!!!β)!Δt=1/6!s!!!!!γ)!dp/dt==1,6Kg.m/s2!!!!!δ)!dU/dt=0,64 3π!J/s.!!!!Απλή*αρμονική*ταλάντωση*5. Ένα! σώμα! μάζας! m=2! Κg! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση! με! εξίσωση!απομάκρυνσης:!

! = !"# !"+ !!! ! !. ! *

Τη!χρονική!στιγμή!t1=1,5s!η!επιτάχυνση!του!σώματος!ισούται!με!α1=+8 3!m/s2!και!η!φάση!της!ταλάντωσης!ισούται!με!φ1=10π/3!rad.!


3

!α)!Να!βρεθεί!η!γωνιακή!συχνότητα!και!το!πλάτος!της!ταλάντωσης,!β)!Να!υπολογίσετε!τη!χρονική!διάρκεια!για!την!απευθείας!μετάβαση!του!σώματος!από!τη!θέση!x1=!]!0,2m!στη!θέση!x2=!+!0,2 3m.!γ)!Να!βρείτε! τη! ταχύτητα!του!σώματος!τη!χρονική!στιγμή!t=5/3!s!και! τη! ταχύτητα!του! σώματος! όταν! διέρχεται! από! τη! θέση! x! =! ]! 0,2m! κινούμενο! προς! τη! θέση!ισορροπίας.!δ)! Ποιες! τιμές! παίρνει! η! δύναμη! επαναφοράς! όταν! το! μέτρο! της! ταχύτητας! του!σώματος!είναι!0,4π!m/s.!Απάντηση.!

α)!ω=2π!rad/s!,!A=0,4!m!!!!!!!β)!Δt=1/4!s!!!!!!!!!!γ)!υ=0,4π!m/s!,!υ=0,4π 3!m/s!!!!

δ)!!! = ±16 3N.!!!!Απλή*αρμονική*ταλάντωση*6. Ένα! σώμα! μάζας!m=1Kg! εκτελεί! γραμμική! αρμονική! ταλάντωση.! Τη! χρονική!στιγμή!t=0!διέρχεται!από!τη!θέση!x=− 2m!κινούμενο!προς!τη!θέση!ισορροπίας!και!η!κινητική!του!ενέργεια!είναι!τριπλάσια!της!δυναμικής.!Η!δύναμη!επαναφοράς!της!ταλάντωσης!δίνεται!από!τη!σχέση!ΣF=!]!16x!(S.I).!Να!υπολογίσετε:!α)!Το!πλάτος!της!ταλάντωσης.!β)!Τη!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!της!ταλάντωσης.!γ)!Το!ρυθμό!μεταβολής!της!κινητικής!ενέργειας!τη!στιγμή!t1=π/24!s.!δ)!Το!έργο!της!δύναμη!επαναφοράς!από!τη!χρονική!στιγμή!t1=π/24!s!μέχρι!και! τη!χρονική!στιγμή!t2=π/6!s.!Απάντηση.!

!α)!Α=2 2m!!!!!!β)!! = 2 2!" 4! + !!!!! ! !. ! !!!γ)!dK/dt=0!!!δ)!W==64!J.!

!!Απλή*αρμονική*ταλάντωση*(κατακόρυφο*ελατήριοKσώμα)*7. Το! ένα! άκρο! κατακόρυφου! ελατηρίου! σταθεράς! k! στερεώνεται! στην! οροφή!ενώ!στο!άλλο!άκρο! του! κρεμάμε! ένα!σώμα!βάρους!w=10N.! Εκτρέπουμε! το!σώμα!μέχρι!να!φτάσει!στη!θέση!που!είναι!10cm!πάνω!από!τη!θέση!φυσικού!μήκους!του!ελατηρίου! και! τη! χρονική! στιγμή! t=0! το! αφήνουμε! ελεύθερο.! Το! σώμα! σταματά!στιγμιαία!για!πρώτη!φορά!τη!χρονική!στιγμή!t1=π/10!s.!!α)!Να!βρεθεί!η!σταθερά!του!ελατηρίου.!β)*Να!βρεθεί!το!πλάτος!της!ταλάντωσης.!γ)!Να!γραφεί!η!χρονική!εξίσωση!της!ταχύτητας!της!ταλάντωσης!θεωρώντας!θετική!φορά!προς!τα!πάνω.!


4

δ)!Να!βρεθεί!ο!ρυθμός!μεταβολής!της!κινητικής!ενέργειας!του!σώματος!τη!χρονική!στιγμή!που!διέρχεται!για!πρώτη!φορά!από!τη!θέση!φυσικού!μήκους!του!ελατηρίου.!Δίνεται!g=10!m/s2.!Απάντηση.!

!α)!k=100N/m!!!β)!Α=0,2m!!!γ)!υ=2συν(10t!+!π/2)!(S.I)!!!δ)!dK/dt=+10 3J/s.!!!!Απλή*αρμονική*ταλάντωση(οριζόντιο*ελατήριοKσώμα)*&*πλαστική*κρούση*8. Σώμα! μάζας!Μ=2Kg! είναι! δεμένο! στο! ελεύθερο! άκρο! οριζόντιου! ελατηρίου!σταθεράς!k=250!N/m!και!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!πλάτους!Α=0,3m!πάνω!σε!λείο!οριζόντιο!δάπεδο.!Κάποια!στιγμή!που!τη!θεωρούμε!t=0,!ένα!βλήμα!μάζας!m!που!κινείται!ομόρροπα!με!το!σώμα!σφηνώνεται!σε!αυτό!και!το!συσσωμάτωμα!που!προκύπτει!εκτελεί!μια!νέα!αρμονική!ταλάντωση,!με!εξίσωση!απομάκρυνσης:!

! = !,!"# !"#+ !!! ! !. ! *

!α)!Να!υπολογίσετε!τη!ταχύτητα!του!σώματος!Μ!τη!στιγμή!της!κρούσης.!β)!Να!υπολογίσετε!τη!ταχύτητα!του!συσσωματώματος!αμέσως!μετά!τη!κρούση.!γ)!Να!υπολογίσετε!τη!ταχύτητα!του!βλήματος!τη!στιγμή!της!κρούσης.!δ)!Να!βρείτε!τη!θερμότητα!που!παράχθηκε!κατά!τη!διάρκεια!της!κρούσης.!Δίνεται! 3 = 1,73.!Απάντηση.!

!α)!υ=2,5!m/s!!!β)!υ=2 3!!m/s!!!!γ)!υ=7,3!m/s!!!δ)!Q=4,57!J.!

!!!Απλή*αρμονική*ταλάντωση(οριζόντιο*ελατήριοKσώμα)*&*πλαστική*κρούση*9. To!σώμα!Σ1!του!παρακάτω!σχήματος!κινείται!με!ταχύτητα!μέτρου!υ1=6m/s!και!συγκρούεται!μετωπικά!και!πλαστικά!με!το!ακίνητο!σώμα!Σ2!μάζας!m2=5!Kg.!Μετά!τη!κρούση! το! συσσωμάτωμα! κινείται! με! ταχύτητα! μέτρου! υ=2m/s! και! συγκρούεται!μετωπικά!και!πλαστικά!με!το!σώμα!Σ3!μάζας!m3=2,5Kg!το!οποίο!είναι!στερεωμένο!στο!ελατήριο!σταθεράς!k=250!N/m!και!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!πλάτους!Α=0,2m.! Tη!στιγμή! της! κρούσης!που!πραγματοποιείται! στη!θέση!φυσικού!μήκους!του!ελατηρίου!τα!σώματα!κινούνται!σε!αντίθετες!κατευθύνσεις.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Θ.Φ.Μ*!!!!!!!!!Σ1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ2!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ3!************************υ1*************************************************k*!


5

!!!α)!Να!βρείτε!τη!μάζα!του!σώματος!Σ1.!β)!Να!βρείτε!το!μέτρο!της!μέγιστης!δύναμης!που!δέχεται!το!συσσωμάτωμα!από!το!ελατήριο.!γ)! Να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! της! επιτάχυνσης! του! συσσωματώματος,!θεωρώντας!ως!στιγμή! t=0! τη!στιγμή! της!κρούσης! του!Σ1]Σ2!με! το!Σ3! και!ως!θετική!φορά!τη!φορά!προς!τα!αριστερά.!Απάντηση.!

!α)!m1=2,5!Kg!!!!!β)!Fmax=50N!!!!γ)!α==5ημ(5t!+!π)!(S.I).!

!!!Απλή*αρμονική*ταλάντωση(οριζόντιο*ελατήριοKσώμα)*&*πλάγια*πλαστική*κρούση*10. Ένα! σώμα! Σ1! μάζας! m1=1Kg! είναι! δεμένο! στο! άκρο! οριζόντιου! ελατηρίου!σταθεράς! k=400N/m! και! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση! πλάτους! Α=0,4m! σε!λείο!οριζόντιο!επίπεδο.!Από!σημείο!Κ!που!βρίσκεται!στη!κατακόρυφο!που!διέρχεται!από!τη!θέση!ισορροπίας!Ο!αφήνουμε!να!πέσει!ελεύθερα!σώμα!Σ2!μάζας!m2=3Kg!τη!στιγμή! που! το! Σ1! διέρχεται! από! τη! θέση! ισορροπίας! του.! Τα! δύο! σώματα!συγκρούονται!πλαστικά!τη!στιγμή!που!το!Σ1!επιστρέφει!ξανά!στη!θέση!ισορροπίας!του!για!πρώτη!φορά.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ2**********************************************************************************K*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!***************************************************************************υ1*

!!*************************************************************O*!!α)!Να!υπολογιστεί!η!ταχύτητα!του!σώματος!Σ1!τη!στιγμή!της!κρούσης.!β)!Να!βρεθεί!το!ύψος!h!από!το!οποίο!αφέθηκε!ελεύθερο!το!σώμα!Σ2.!γ)!Να!βρεθεί!η!χρονική!εξίσωση!της!κινητικής!ενέργειας!του!συσσωματώματος!και!να!παρασταθεί!γραφικά.!Θεωρείστε!ως!χρονική!στιγμή!t=0!τη!στιγμή!της!κρούσης!και!ως!θετικά!φορά!τη!φορά!προς!τα!δεξιά.!


6

δ)! Να! βρεθεί! το! έργο! της! δύναμης! του! ελατηρίου! κατά! τη! κίνηση! του!συσσωματώματος! από! τη! χρονική! στιγμή! t1=π/30! s! ως! τη! χρονική! στιγμή! που!μηδενίζεται!η!ταχύτητά!του!για!πρώτη!φορά.!Δίνεται!g=10m/s2!και!π2=10.!Απάντηση.!

!α)!υ1=8!m/s!!!β)!h=1/8!m!!!γ)!Κ=8συν2(10t!+!π)!!(S.I)!!!δ)!W==2J.! Απλή*αρμονική*ταλάντωση(κατακόρυφο*ελατήριοKσώμα)*&*πλαστική*κρούση*11. Το!πάνω!άκρο!κατακόρυφου!ιδανικού!ελατηρίου!σταθεράς!k!=!400!N/m!είναι!σταθερά! στερεωμένο! σε! οροφή! και! το! ελατήριο! έχει! το! φυσικό! μήκος.! Στο! κάτω!άκρο! προσδένεται! σώμα! Σ1! μάζας! m1=1! kg! το! οποίο! αφήνεται! ελεύθερο! να!εκτελέσει!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!Τη!στιγμή!κατά!την!οποία!η!κινητική!ενέργεια!του! σώματος! Σ1! γίνεται! τριπλάσια! της! δυναμικής! ενέργειας! ταλάντωσής! του! για!δεύτερη! φορά,! το! σώμα! Σ1! συναντά! σώμα! Σ2! μάζας! m2=3! kg! που! ανέρχεται!κατακόρυφα!με!ταχύτητα!μέτρου!υ2!= 3/12!m/s!με!το!οποίο!συγκρούεται!κεντρικά!και!πλαστικά.!Να!υπολογίσετε:!*α)*Το!πλάτος!και!την!περίοδο!ταλάντωσης!του!σώματος!Σ1.!β)*Το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!σώματος!Σ1!αμέσως!πριν!την!κρούση.!γ)*Το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!συσσωματώματος!αμέσως!μετά!την!κρούση.!δ)*Την!απώλεια!ενέργειας!εξαιτίας!της!πλαστικής!κρούσης.!ε)*Το!πλάτος!και!τη!συχνότητα!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος.!!Θεωρώντας!ως!χρονική!στιγμή!t0!=!0,!τη!στιγμή!της!κρούσης,!στ)* Να! γράψετε! την! εξίσωση! της! ταχύτητας! σε! συνάρτηση! με! το! χρόνο! για! την!ταλάντωση!του!συσσωματώματος.!ζ)*Να!υπολογίσετε!το!ρυθμό!μεταβολής!της!ορμής!του!συσσωματώματος!τη!χρονική!στιγμή!αμέσως!μετά!την!πλαστική!κρούση!η)* Να! υπολογίσετε! το! ρυθμό! μεταβολής! της! κινητικής! ενέργειας! του!συσσωματώματος!τη!χρονική!στιγμή!t2!=!π/40!s.!θ)*Να!υπολογίσετε!το!ρυθμό!μεταβολής!της!δυναμικής!ενέργειας!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος!τη!χρονική!στιγμή!t2!=!π/40!s.!!Να!θεωρήσετε!αμελητέα!τη!χρονική!διάρκεια!της!κρούσης,!την!κατεύθυνση!προς!τα!πάνω!θετική,!τριβές!δεν!εμφανίζονται!κατά!τη!διάρκεια!κίνησης!των!σωμάτων!και!ότι! οι! απομακρύνσεις! και! των! δύο! ταλαντώσεων! είναι! ημιτονοειδείς! συναρτήσεις!του!χρόνου.!Δίνεται!g!=!10!m/s2.!!Απαντήσεις.!!α)!A1=0,025m,!!!T1=0,1πs!!!!β)!√3/4!m/s!!!!!!!!γ)!υκ=0!!!!!!!δ)!!ΔΕ=0,125!J!!ε)!A2=0,0625m,!!f2=5/π!Hz!!!!!!!!!!!!!στ)!υ=0,0625συν(10t!+!π/2)!(S.I)!!!!!ζ)!dp/dt=]25!Kg.m2/s!!!!!!!!η)!dK/dt=7,8125!J/s!!!!!θ)!dU/dt=]!7,8125!J/s!!!!*


7

Απλή*αρμονική*ταλάντωση(κατακόρυφο*ελατήριοKσώμα)*&*έκρηξη*12. Το!πάνω!άκρο!κατακόρυφου!ιδανικού!ελατηρίου!σταθεράς!k!=!100!N/m!είναι!σταθερά!στερεωμένο!σε!οροφή!και!το!ελατήριο!έχει!το!φυσικό!του!μήκος.!Στο!κάτω!άκρο!προσδένεται!σώμα!Σ!μάζας!M=4!kg!το!οποίο!αφήνεται!ελεύθερο!να!εκτελέσει!απλή! αρμονική! ταλάντωση.! Τη! στιγμή! κατά! την! οποία! η! κινητική! ενέργεια! του!σώματος!Σ!γίνεται!τριπλάσια!της!δυναμικής!ενέργειας!ταλάντωσής!του!για!δεύτερη!φορά,!το!σώμα!Σ!με!κατάλληλο!μηχανισμό!εκρήγνυται!και!διασπάται!ακαριαία!σε!δύο! κομμάτια! Α! και! Β! με! μάζες! mA! και! mB! =3mA! αντίστοιχα.! Κατά! την! έκρηξη! το!κομμάτι! Β! αποκτά! κατακόρυφη! ταχύτητα! μέτρου! υΒ! =! 3 3!m/s! με! φορά! προς! τα!κάτω! και! το! κομμάτι! Α! παραμένει! συνδεδεμένο! στο! ελατήριο! συνεχίζοντας! να!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!Να!υπολογίσετε:!!*α)*Το!πλάτος!ταλάντωσης!του!σώματος!Σ.!!β)*Το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!σώματος!Σ!αμέσως!πριν!την!έκρηξη.!!γ)*Το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!κομματιού!A!αμέσως!μετά!την!έκρηξη.!!δ)*Τη!μηχανική!ενέργεια!που!προσφέρεται!μέσω!του!εκρηκτικού!μηχανισμού.!!ε)*Το!πλάτος!ταλάντωσης!του!κομματιού!A.!!!Θεωρώντας!ως!χρονική!στιγμή!t0!=!0,!τη!στιγμή!της!έκρηξης:!!στ)*Να!γράψετε!την!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο!για!την!ταλάντωση!του!κομματιού!A.!!ζ)* Να! υπολογίσετε! το! ρυθμό! μεταβολής! της! ορμής! του! κομματιού! A! τη! χρονική!στιγμή!αμέσως!μετά!την!έκρηξη.!!η)*Να!υπολογίσετε!τη!μέγιστη!τιμή!του!ρυθμού!μεταβολής!της!δυναμικής!ενέργειας!ταλάντωσης!του!κομματιού!A.!!!Να!θεωρήσετε!αμελητέα!τη!χρονική!διάρκεια!της!έκρηξης.!Τριβές!δεν!εμφανίζονται!κατά! τη! διάρκεια! κίνησης! των! σωμάτων.! Θετική! κατεύθυνση! και! για! τις! δύο!ταλαντώσεις!θεωρήστε!την!κατεύθυνση!προς!τα!πάνω.!Δίνεται!g=10m/s2.!!Απαντήσεις.!!!α)!Α=0,4m!!!!!!!!!!β)!υ1= 3!m/s!!!!!!!!!!γ)!υ=5 3!m/s!!!!!!!!!!δ)*ΔΕ=72!J!!!!!!!!!!ε)!A2=1m!!!!!στ)!y=1ημ(10t!+!11π/6)!(S.I)!!!!!!!!!!!!!ζ)!dp/dt=50!Κg.m/s2!!!!!!!!!!!!!!!η)!dU/dt=500!J/s.!!!!!!!!!!!!!!!


8

Ασκούμε*διαρκώς*σταθερή*δύναμη.*Αργότερα*καταργείται*η*δύναμη*13. Σώμα! μάζας! m=1! kg! ισορροπεί! δεμένο! στην! ελεύθερη! άκρη! οριζόντιου!ιδανικού! ελατηρίου! σταθεράς! k=100! N/m,! η! άλλη! άκρη! του! οποίου! είναι!στερεωμένη! σε! σταθερό! τοίχο,! όπως! φαίνεται! στο! σχήμα.! Τη! χρονική! στιγμή! t=0!ασκούμε! στο! σώμα! οριζόντια! σταθερή! δύναμη! μέτρου! F=10! N! με! φορά! προς! τα!δεξιά.!**********************************************************************************Θ.Φ.Μ************************************************k**************************************************************************************************************F*****Α.**α.* Να! αποδείξετε! ότι! το! σώμα! θα! εκτελέσει! απλή! αρμονική! ταλάντωση! και! να!υπολογίσετε!την!περίοδο!Τ!της!ταλάντωσής!του.!β.*Να!γράψετε!την!εξίσωση!που!περιγράφει!την!απομάκρυνση!του!σώματος!από!τη!θέση! ισορροπίας! του,! σε! συνάρτηση! με! το! χρόνο,! θεωρώντας! θετική! την!κατεύθυνση!προς!τα!δεξιά.!γ.*Να!υπολογίσετε!το!μέτρο!της!μέγιστης!δύναμης!του!ελατηρίου!κατά!τη!διάρκεια!της!ταλάντωσης!του!σώματος.!δ.*Να!υπολογίσετε!ποια!χρονική!στιγμή!t1!η!κινητική!ενέργεια!του!σώματος!γίνεται!ίση!με!τη!δυναμική!ενέργεια!ταλάντωσής!του!για!πρώτη!φορά.!ε.*Να!υπολογίσετε!το!ρυθμό!προσφοράς!ενέργειας!στο!σώμα,!μέσω!της!δύναμης!F,!τη!χρονική!στιγμή!t2!=!T/12!.!στ.*Να!υπολογίσετε!το!μέγιστο!κατά!απόλυτη!τιμή!ρυθμό!μεταβολής!της!κινητικής!ενέργειας! του! σώματος,! καθώς! και! τη! χρονική! στιγμή! t3! κατά! την! οποία!επιτυγχάνεται!για!πρώτη!φορά!στην!ταλάντωση.!*Β.*Τη!χρονική!στιγμή!t4!=!4T/3!καταργούμε!ακαριαία!τη!δύναμη!F.!ζ.*Να!υπολογίσετε!το!νέο!πλάτος!ταλάντωσης!του!σώματος.!η.*Να!υπολογίσετε!το!ποσοστό!μεταβολής!της!ενέργειας!ταλάντωσης!του!σώματος.!!Θεωρήστε!ότι!κατά!τη!διάρκεια!της!κίνησης!του!σώματος!δεν!υπάρχουν!τριβές!και!αντιστάσεις!από!αέρα.!!Απαντήσεις.!!!Α.!α.!Τ=0,2π!s!!!!β.!x=0,1ημ(10t+3π/2)!(S.I)!!!!!γ.!Fελ,max=20N!!!!δ.!t1=π/40!s!!!!!!ε.!P=5!J/s!!!!!!!!στ.!(dK/dt)max=5!J/s,!!!t3=π/40!s!!!!!!Β.!ζ.!A2=0,1 3!m!!!!!η.!π%=200%!!!!!!!!


9

Ασκούμε*αρχικά*μεταβλητή*δύναμη*14. Το! σώμα! του! διπλανού! σχήματος! έχει!μάζα! m=4Kg! και! ισορροπεί! στο! πάνω! άκρο!κατακόρυφου! ιδανικού!ελατηρίου!σταθεράς!k.!Ασκούμε! στο! σώμα! κατακόρυφη! δύναμη! F! με!φορά! προς! τα! πάνω! της! οποίας! το! μέτρο!μεταβάλλεται!σύμφωνα!με!τη!σχέση:!!

! = !"+ !"#!!!(!. !)*όπου! x! είναι! η! απομάκρυνση! από! τη! θέση!ισορροπίας.! Το! σώμα! αρχίζει! να! κινείται! προς!τα!πάνω!και!όταν!μηδενιστεί!για!πρώτη!φορά!η!ταχύτητα! του! (t=0)! καταργείται! η! δύναμη.! Το!σώμα! μετά! τη! στιγμή! t=0! αρχίζει! να! εκτελεί!απλή! αρμονική! ταλάντωση! και! διέρχεται! από!τη!θέση!ισορροπίας!του!τη!στιγμή!t=π/10s.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Fεξ************

!α)!Να!υπολογίσετε!το!πλάτος!της!ταλάντωσης.!β)! Να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! της! δυναμικής! ενέργειας! ! της! ταλάντωσης,!θεωρώντας!θετική!φορά!προς!τα!πάνω.!γ)! Να! βρείτε! το! μέτρο! της! ταχύτητας! της! ταλάντωσης! του! σώματος,! όταν! το!ελατήριο!είναι!συσπειρωμένο!κατά!Δl=0,6m.!Δίνεται:!g=10m/s2.!!Απαντήσεις:!α)*Α=0,8m!!!!!!!!!!!β)!U=32.ημ2(5t+π/2)!(S.I)!!!!!!!!!!γ)!υ= 15!m/s!!!!!Χάσιμο*επαφής*15. Στο! παρακάτω! σχήμα! φαίνεται! ένα! σώμα! (2)! μάζας! m2=3Kg! το! οποίο! είναι!δεμένο! στο! άκρο! του! ιδανικού! ελατηρίου! σταθεράς! k=100N/m! και! εκτελεί! απλή!αρμονική!ταλάντωση.!Πάνω!στο!σώμα!(2)!βρίσκεται!το!σώμα!(1)!μάζας!m1=1Kg.!Οι!επιφάνειες! των! δύο! σωμάτων! είναι! τραχιές! και! ο! συντελεστής! στατικής! τριβής!μεταξύ!των!δύο!επιφανειών!είναι!μoρ=1.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2)!!!!!α)! Να! βρείτε! το! μέγιστο! πλάτος! ταλάντωσης!ώστε! το! σώμα! (1)! να! μη! γλιστρήσει!πάνω!από!στο!σώμα!(2),!με!αποτέλεσμα!να!χαθεί!η!επαφή!των!δύο!σωμάτων.!!!β)!Να!βρείτε!το!μέτρο!της!στατικής!τριβής!που!δέχεται!το!σώμα!(1)!τη!στιγμή!που!η!ταχύτητα!του!συστήματος!των!δύο!σωμάτων!έχει!μέτρο!υ=1m/s.!


10

!!Απάντηση:!α)!Α=0,4m!!!!!!!!!!!!!!!!!β)!Τστ=5 3!Ν.!!!Σύνδεση*ελατηρίων*σε*σειρά*και*παράλληλα*16. A.!Τα!δύο!ελατήρια!του!παρακάτω!σχήματος!έχουν!σταθερές!k1=1200N/m!και!k2=400N/m!και!το!σώμα!έχει!μάζα!m=3kg.!Τα!δύο!ελατήρια!βρίσκονται!στο!φυσικό!τους!μήκος!και!το!σώμα!ισορροπεί!ακίνητο!πάνω!στο!λείο!οριζόντιο!δάπεδο.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m!!!!!Να!αποδείξετε!ότι!το!σύστημα!μπορεί!να!εκτελέσει!απλή!αρμονική!ταλάντωση!και!να!υπολογίσετε!τη!περίοδο!της.!!B.! Τα! δύο! ελατήρια! του! παρακάτω! σχήματος! έχουν! σταθερές! k1=300N/m! και!k2=500N/m!και!το!σώμα!έχει!μάζα!m=2kg.!Τα!δύο!ελατήρια!βρίσκονται!στο!φυσικό!τους!μήκος!και!το!σώμα!ισορροπεί!ακίνητο!πάνω!στο!λείο!οριζόντιο!δάπεδο!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k1*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k2*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Να!αποδείξετε!ότι!το!σύστημα!μπορεί!να!εκτελέσει!απλή!αρμονική!ταλάντωση!και!να!υπολογίσετε!τη!περίοδο!της.!!Απάντηση:!!!Α.!Τ=π/5!s!!!!!!!!!!!!!!!B.!T=π/15!s!!!!!!!!!!!!


11

Σύνδεση*ελατηρίων*σε*σειρά*17. Τα! ελατήρια! του! διπλανού! σχήματος!έχουν! σταθερές! k1=400N/m! και! k2=100N/m!και! το!σώμα!μάζας!m=0,8Kg!συγκρατείται! σε!τέτοια! θέση! ώστε! τα! ελατήρια! να! έχουν! το!φυσικό! τους! μήκος.! Τη! χρονική! στιγμή! t1! το!σώμα!αφήνεται!ελεύθερο!να!κινηθεί.!!α)! Να! αποδείξετε! ότι! το! σώμα! θα! εκτελέσει!απλή! αρμονική! ταλάντωση! και! να!υπολογίσετε!τη!περίοδο!της.!β)!Να!υπολογίσετε!τη!δυναμική!ενέργεια!του!κάθε! ελατηρίου! τη! χρονική! στιγμή! που!μηδενίζεται! η! δυναμική! ενέργεια! της!ταλάντωσης.!γ)! Να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! της!ταχύτητας! του! σώματος,! θεωρώντας! θετική!φορά!τη!προς!τα!πάνω.!Δίνεται:!g=10m/s2!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k2*!!!!****************************************k1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!*****************************************m!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*

Απάντηση:!α)!Τ=0,2π!s!!!!!β)!Uελατ(1)=!0,08J!,!!Uελατ(2)=!!0,32J!!!!γ)!υ=1.συν(10t+π/2)!(S.I)!!!Το*σώμα*ακουμπάει*στο*ένα*ελατήριο*18. Στο! παρακάτω! σχήμα! το! σώμα! Σ! έχει! μάζα! m=1Kg! και! είναι! δεμένο! στο!ελατήριο! σταθεράς! k1=100N/m,! ενώ! απλά! ακουμπάει! στο! ελατήριο! σταθεράς!k2=300N/m.!Στη!θέση!αυτή(x=0),!τα!δύο!ελατήρια!έχουν!το!φυσικό!τους!μήκος!και!το! σώμα! ισορροπεί! ακίνητο.! Τη! χρονική! στιγμή! t=0! δίνουμε! στο! σώμα! ταχύτητα!μέτρου! υ=3m/s! με! φορά! προς! το! ελατήριο! σταθεράς! k2,! η! οποία! θεωρείται! και!θετική!φορά.!****************************************************************************m*************************(+)***************************************k1************************************************************k2*************************************************************************x=0*α)! Να! δείξετε! ότι! η! κίνηση! του! σώματος! είναι! περιοδική! και! να! υπολογίσετε! τη!περίοδό!της.!β)!Ποιες!είναι!οι!μέγιστες!απομακρύνσεις!του!σώματος!προς!τη!θετική!και!προς!την!αρνητική!κατεύθυνση;!γ)! Να! υπολογίσετε! την! απομάκρυνση! και! την! ταχύτητα! του! σώματος! τις! χρονικές!στιγμές!t1=π/120!s!και!t2=8π/120!s.!Απάντηση.!α)***Τ=3π/20!s*****β)**A1=3/20!m,!!A2=3/10!m***********γ)*x1=+3/40!m,!υ1=+1,5 3m/s,!!!!!!!x2=]3/20!m,!υ2=!]!1,5 3m/s,!!!


12

Ασκούμε*διαρκώς*σταθερή*δύναμη*19. Το! σώμα! μάζας! m=1kg! του! διπλανού! σχήματος! ισορροπεί! δεμένο! στα!ελεύθερα!άκρα!των!δύο!οριζόντιων!ιδανικών!ελατηρίων!με!σταθερές!k1!=!100!N/m!και!k2!=!300!N/m.!Θεωρήστε!ότι!τα!δύο!ελατήρια!έχουν!το!φυσικό!τους!μήκος.!Τη!χρονική!στιγμή!to!=!0!ασκούμε!στο!σώμα!σταθερή!οριζόντια!δύναμη!μέτρου!F=100N,!στη!διεύθυνση!των!δύο!ελατηρίων!με!φορά!προς!τα!δεξιά.!!*********************************************************************m***************************************k1************************************************************k2*****α.* Να! αποδείξετε! ότι! το! σώμα! θα! εκτελέσει! απλή! αρμονική! ταλάντωση! και! να!υπολογίσετε!την!περίοδό!της.!!β.*Να!υπολογίσετε!την!ενέργεια!ταλάντωσης!του!σώματος.!!γ.* Να! γράψετε! την! εξίσωση! της! απομάκρυνσης! σε! συνάρτηση! με! το! χρόνο,!θεωρώντας!θετική!την!κατεύθυνση!προς!τα!δεξιά.!!δ.*Να! υπολογίσετε! τη! χρονική! στιγμή! t1! κατά! την! οποία! η! κινητική! ενέργεια! του!σώματος!γίνεται!τριπλάσια!της!δυναμικής!ενέργειας!ταλάντωσης,!για!πρώτη!φορά.!!ε.*Να!υπολογίσετε!το!ρυθμό!μεταβολής!της!ορμής!του!σώματος!τη!χρονική!στιγμή!!t2!=!π/30!s.!!στ.*Να!υπολογίσετε! το!ρυθμό!μεταβολής! της! κινητικής! ενέργειας! του!σώματος! τη!χρονική!στιγμή!που!η!επιτάχυνσή!του!έχει!αλγεβρική!τιμή!α!=!+50!m/s2,!για!πρώτη!φορά.!!ζ.* Να! υπολογίσετε! την! ορμή! του! σώματος! τη! χρονική! στιγμή! που! διέρχεται! για!πρώτη! φορά! από! τη! θέση! στην! οποία! το! μέτρο! της! δύναμης! από! το! ελατήριο!σταθεράς!k2!είναι!ίσο!με!το!μισό!του!μέτρου!της!δύναμης!F.!!η.*Να!υπολογίσετε!το!έργο!της!δύναμης!επαναφοράς!από!τη!χρονική!στιγμή!to!=!0!έως!τη!στιγμή!t3!=!π/40!s.!!θ.* Να! υπολογίσετε! την! ισχύ! της! δύναμης! F! τη! χρονική! στιγμή! που! η! ελαστική!δυναμική! ενέργεια! του! ελατηρίου! σταθεράς! k1,! ισούται! με! το! 25%! της! ενέργειας!ταλάντωσης!του!σώματος!για!πρώτη!φορά.!!!Θεωρήστε!ότι!κατά!τη!διάρκεια!της!κίνησης!του!σώματος!δεν!υπάρχουν!τριβές!και!αντιστάσεις!από!αέρα.!Απ.!α)***Τ!=!0,1π!s ***β)**E!=!12,5!J.***γ)**x!=!0,25.ημ(20t!+!3π/2)!στο!S.I.**δ)*t1=π/60!s***ε)dp/dt!=!]50N!!!!!!!**στ)*dK/dt!=!125 3!J/s!!!!!!*ζ)p2!=!(10 2)/3!Kg.m/s*****η)WΣF!=!12,5!J**θ)!!P!=!500!W*!!!!!!!!!


13

20. Το!κιβώτιο!του!διπλανού!σχήματος!έχει! μάζα! m! και! είναι! δεμένο! στο!ελεύθερο! άκρο! κατακόρυφου! ιδανικού!ελατήριου! το! άλλο! άκρο! του! οποίου!είναι! ακλόνητα! στερεωμένο! σε! οροφή.!!!!!Στην! οροφή! του! κιβωτίου! είναι!κολλημένο!σώμα!ίσης!μάζας!με!αυτό!και!η!διάταξη!ισορροπεί.!!Η!επιμήκυνση!του!ελατήριου!είναι!20cm.!Κάποια!στιγμή!το!σώμα! ξεκολλά! από! την! οροφή! και!αρχίζει!να!πέφτει,!ενώ!το!κιβώτιο!ξεκινά!να! κάνει! απλή! αρμονική! ταλάντωση.!Μετά! από! λίγο! το! σώμα! συγκρούεται!πλαστικά! με! το! δάπεδο! του! κιβωτίου!όταν!αυτό!βρίσκεται!στην!ανωτάτη!θέση!της!ταλάντωσής!του.!!Να!υπολογιστούν:!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!d*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!d*************************************************************************

α.!το!πλάτος!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος.!β.!το!ύψος!d!του!κιβωτίου.!!Δίνεται!π2=10!.!Απ.!!α)!!A=30cm!!!!!!!!!β)!d=70cm!!!Κάποια*στιγμή*αποκολλάται*το*ένα*ελατήριο*21. Τα!δύο!ιδανικά!ελατήρια!του!παρακάτω!σχήματος,!είναι!κατακόρυφα,!έχουν!το! φυσικό! τους! μήκος! ,! τα! ελεύθερα! άκρα! τους! εφάπτονται! και! έχουν! σταθερές!k1=100N/m!και!k2=300N/m.!Δένουμε!στα!άκρα!των!δύο!ελατηρίων!ένα!σώμα!μάζας!m=1Kg!και!το!αφήνουμε!να!ισορροπήσει.!Στη!συνέχεια!το!εκτρέπουμε!προς!τα!κάτω!κατά!d=4cm!και!το!αφήνουμε!ελεύθερο!να!κινηθεί.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k1*!!!!!!!!Θ.Φ.Μ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k2*!!!!Α.! ! ! Να! αποδείξετε! ότι! το! σώμα! θα! κάνει! απλή! αρμονική! ταλάντωση! και! να!υπολογίσετε!τη!περίοδό!της.!

m


14

*Β.*!!Όταν!το!σώμα!βρίσκεται!στη!θέση!x=+A,!το!ελατήριο!σταθεράς!k2!αποκολλάται!απότομα!χωρίς!να!μεταβληθεί!η!ταχύτητα!του!σώματος.!Το!σώμα!συνεχίζει!να!κάνει!απλή!αρμονική!ταλάντωση!δεμένο!μόνο!στο!ελατήριο!σταθεράς!k1.!α)!!Να!υπολογίσετε!το!πλάτος!της!νέας!ταλάντωσης.!β)!!Να!βρείτε!το!λόγο!των!ενεργειών!των!δύο!ταλαντώσεων.!γ)!!Να!γράψετε!την!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!για!τη!νέα!ταλάντωση.!!!Θεωρείστε!χρονική!στιγμή!t=0!τη!στιγμή!της!αποκόλλησης!και!θετική!φορά!προς!τα!κάτω.!Δίνεται!g=10m/s2.!!Απάντηση.**Α)!Τ=π/10!s!!!!!!!!!!!!!!!!!!!B)***α)!Α’=3,5cm!!!!!β)!256/49!!!!!!!!γ)!x=3,5ημ(10t+3π/2)!(S.I)!!!!!!Κατακόρυφο* ελατήριοKδίσκος* πάνω* στον* οποίο* βρίσκεται* ένα* σώμα.* Χάσιμο*επαφής.*22. Ένας! δίσκος! μάζας! Μ=1Kg! ισορροπεί! συνδεδεμένος! στο! πάνω! άκρο! ενός!κατακόρυφου! ιδανικού!ελατηρίου!σταθεράς!k=100N/m,! το!κάτω!άκρο!του!οποίου!είναι! στερεωμένο! στο! έδαφος.! Τη! χρονική! στιγμή! t=0! αφήνουμε! πάνω! στο! δίσκο!σώμα! μάζας! m=3Kg! οπότε! το! σύστημα! αρχίζει! να! εκτελεί! απλή! αρμονική!ταλάντωση.!*α)! !Να!υπολογίσετε! τη!σταθερά!επαναφοράς!της! ταλάντωσης!του!σώματος!μάζας!m,!το!οποίο!ακουμπά!πάνω!στο!δίσκο.!β)!!Να!γράψετε!την!εξίσωση!της!δύναμης!που!δέχεται!το!σώμα!μάζας!m!εξαιτίας!της!επαφής! του! με! το! δίσκο,! σε! συνάρτηση! με! την! απομάκρυνση! y! του! συστήματος!δίσκος]σώμα!από! τη!θέση! ισορροπίας! του,! να!σχεδιάσετε! την!αντίστοιχη!γραφική!παράσταση!και!να!αποδείξετε!ότι!το!σώμα!μάζας!m!δεν!χάνει!την!επαφή!του!με!τον!δίσκο.!γ)!!Να!γράψετε!τις!χρονικές!εξισώσεις!της!κινητικής!ενέργειας!του!σώματος!μάζας!m!και!της!δυναμικής!ενέργειας!ταλάντωσης!του,!θεωρώντας!ως!θετική!φορά!προς!τα!πάνω! και! να! σχεδιάσετε! τις! γραφικές! τους! παραστάσεις! σε! κοινό! σύστημα!βαθμολογημένων!αξόνων.!δ)* !Να!υπολογίσετε! το!ρυθμό!μεταβολής! της!ορμής! του!συστήματος!δίσκος]σώμα!τις! στιγμές! κατά! τη! διάρκεια! της! ταλάντωσης! που! η! δυναμική! ενέργεια! του!ελατηρίου!είναι!μέγιστη.!Δίνεται!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας:!g=10m/s2!!!Απάντηση:!α)!D1=75N/m!!!!!!β)!!Ν=30]75y!(S.I)!!]0,3m<y<+0,3m!!!!γ)!!U=3,375ημ2!(5t+π/2)!(S.I),!!!!!!!K=3,375συν2!(5t+π/2)!(S.I)!!!!!!δ)!!dp/dt=30!Kg.m/s2!


15

Απλή*αρμονική*ταλάντωση*και*διάσπαση*23. Ένας! γλάρος! μάζας!m! στέκεται! ακίνητος! πάνω! σε! δίσκο! μάζας!Μ! που! είναι!δεμένος!στο!πάνω!άκρο!ιδανικού!κατακόρυφου!ελατηρίου!σταθεράς!k=200N/m,!το!κάτω! άκρο! του! οποίου! στερεώνεται! στο! έδαφος.! Κάποια! χρονική! στιγμή! που! τη!θεωρούμε! ως! ! t=0,! ο! γλάρος! απογειώνεται! κατακόρυφα! από! το! δίσκο! έχοντας!αρχική!ταχύτητα!υ0.!Ο!δίσκος!μετά!το!πέταγμα!του!γλάρου!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!με!χρονική!εξίσωση!απομάκρυνσης!:!!

y=0,1 3!ημ(10t!+!4π/3)!(S.I).!!Nα!υπολογίσετε:!α)!!τη!μάζα!Μ!του!δίσκου,!β)!!το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!γλάρου!τη!στιγμή!της!απογείωσής!του,!γ)! !το!ρυθμό!μεταβολής!της!ταχύτητας!του!δίσκου!της!στιγμή!της!απογείωσης!του!γλάρου,!δ)! το! ρυθμό! μεταβολής! της! κινητικής! ενέργειας! του! δίσκου! της! στιγμή! της!απογείωσης!του!γλάρου.!!Δίνεται!ότι!για!την!ταλάντωση!του!δίσκου!θετική!φορά!είναι!η!προς!τα!πάνω!και!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g=10m/s2.!!Απάντηση:!α)*!Μ=2Κg!!!!!!!!!!!!!β)!υ0= 3/3!m/s!!!!!!!!!!!γ)!α=+15m/s2!!!!!!!!!δ)!dK/dt=]15 3!J/s.!!!!!!24. Ένα! βλήμα! μάζας! m1=0,1! Kg! κινείται! οριζόντια! με! ταχύτητα! υ=60! m/s! και!σφηνώνεται! στο! σώμα! Α! που! έχει! μάζα!m2=0,9! Kg! .! Το! σώμα! Α! συνδέεται! μέσω!ιδανικού! ελατηρίου! σταθεράς! k=400!N/m!με! ένα!άλλο! σώμα!Β! μάζας!M=20Kg.Το!δάπεδο! ακριβώς! κάτω! από! το! σώμα! Β! είναι! τραχύ! και! παρουσιάζει! συντελεστή!στατικής!τριβής!μορ=0,8.!Το!συσσωμάτωμα!που!προκύπτει!αρχίζει!να!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!υ*!!!1.!Να!βρεθεί!η!μέγιστη!τιμή!της!τριβής!που!ασκείται!στο!σώμα!Β.!2.!Να!βρεθεί!η!χρονική!συνάρτηση!της!δύναμης!τριβής!που!δέχεται!το!σώμα!Β!από!το! δάπεδο.!Να!θεωρήσετε!ως! στιγμή! t=0! τη! στιγμή! της! κρούσης! και! θετική!φορά!προς!τα!δεξιά.!

�

�


16

3.!Ποια!πρέπει!να!είναι!η!μέγιστη!τιμή!της! ταχύτητας!του!βλήματος,!ώστε!να!μην!μετακινηθεί!το!σώμα!Β;!!Απάντηση.!!!!!!!!!1.!Τ=120!Ν!!!!!!!!!!!!!!!!!!2.!Τ=]120ημ(20t)!(S.I)!!!!!!!!!!!!!!!!!3.!υ=80!m/s.!!!!!25. Στο! διπλανό! σχήμα! φαίνεται! ένα!ιδανικό! ελατήριο! σταθεράς! k! στο! κάτω!άκρο! του! οποίου! είναι! δεμένο! σώμα! Σ’!μάζας! m.! Το! σώμα! Σ’! με! τη! σειρά! του!ηρεμεί! πάνω! σε! οριζόντιο! δάπεδο.! Από!ύψος! h=0,1m! αφήνεται! να! πέσει! ένα!άλλο! σώμα! Σ,! ίσης! μάζας,! το! οποίο!προσκολλάται! στο! ελατήριο! και! αρχίζει!να!ταλαντώνεται.!Η!μέγιστη!συσπείρωση!του!ελατηρίου!είναι!επίσης!ίση!με!h.!!!1.*Να!υπολογίσετε! τη! μέγιστη! ταχύτητα!του!Σ!μέχρι!να!ακινητοποιηθεί!στιγμιαία.!!2.! Να! αποδείξετε! ότι! το! Σ’! θα!αναπηδήσει!από!το!έδαφος.!!

!!!!!!!Σ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h!!!!!!!!!!!!!!!Σ’!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ’!!!

3.!!Ποια!θα!είναι!η!παραμόρφωση!του!ελατηρίου!όταν!θα!συμβεί!η!αναπήδηση;!Απάντηση.!!!!!!!!1.!υmax=1,5m/s!!!!!!!!!!!!!!!!!3.!Επιμήκυνση!κατά!1/40!m!!!!26. Στο! διπλανό! σχήμα! φαίνεται! ένα!ιδανικό! ελατήριο! σταθεράς! k=100! N/m,!στο!κάτω!άκρο!του!οποίου!είναι!δεμένο!σώμα!Σ’!μάζας!Μ=3,5Kg.! Το!σώμα!Σ’!με!τη! σειρά! του! ηρεμεί! πάνω! σε! οριζόντιο!δάπεδο.! Στο! πάνω! άκρο! του! ελατηρίου!βρίσκεται! δεμένο! ένα! άλλο! σώμα! Σ!μάζας! m=3Kg,! το! οποίο! επίσης! είναι!ακίνητο.!Τη!χρονική!στιγμή!t=0!το!σώμα!Σ! εκρήγνυται! σε! δύο! κομμάτια! Σ2! και! Σ1!με! μάζες! m2! και! m1=m2/2.! Το! σώμα! Σ1!μένει! δεμένο! στο! ελατήριο! και! εκτελεί!απλή! αρμονική! ταλάντωση! ενώ! το! Σ2!εκτοξεύεται! κατακόρυφα! προς! τα! πάνω!φτάνοντας!σε!ύψος! h=0,15m!πάνω!από!το! σημείο! της! έκρηξης,! από! όπου! και!απομακρύνεται.!Να!υπολογίσετε:!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!υ2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ2!!!!!!!!Σ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!υ1!!!!!!!!!!!!!!!!Σ’!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ’!!!


17

!α)!Το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!Σ1.!β)! Τη! χρονική!στιγμή! t1!που!καθώς!εξελίσσεται!η! ταλάντωση!το!ελατήριο!έχει! για!πρώτη!φορά!τη!μέγιστη!επιμήκυνση.!!γ)!Τη!χρονική!συνάρτηση!της!δύναμης!επαφής!που!δέχεται!το!Σ’!από!το!δάπεδο.!δ)!Το!μέγιστο!πλάτος!ταλάντωσης!του!Σ1,!ώστε!το!Σ’!να!μη!χάσει!την!επαφή!του!με!το!έδαφος.!Απάντηση.!α)**Α=0,4!m***β)**t=4π/30!s***γ)*N=45]40ημ(10t+7π/6)!(S.I)*********δ)*Amax=0,45!m!!!!27. Στο!διπλανό!σχήμα!φαίνονται! δύο!σώματα!Σ1!και!Σ2!με!μάζες!m1=m2=1Kg!τα!οποία! είναι! κολλημένα! μεταξύ! τους! με!ειδική! κόλλα! που! αντέχει! μέγιστη!δύναμη! F=30N.! Το! συσσωμάτωμα! είναι!δεμένο! στο! κάτω! άκρο! ιδανικού!κατακόρυφου!ελατηρίου!σταθεράς!k!και!ισορροπεί! ακίνητο! με! το! ελατήριο! να!είναι! επιμηκυμένο! κατά! Δl0=0,1m! σε!σχέση!με!το!φυσικό!του!μήκος.!!Α.* Τη! χρονική! στιγμή! t=0! δίνουμε! στο!σύστημα!κατακόρυφη!ταχύτητα!προς!τα!πάνω!,!μέτρου!υ=4m/s* *και!αυτό!αρχίζει!να!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!!1.!Ποιο!είναι!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος;!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(+)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Θ.Φ.Μ!!!!!!!!!!!!!Δl0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!υ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Θ.Ι!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ2!!!

2.! Ποια! είναι! η! συνάρτηση! με! την! απομάκρυνση! από! τη! θέση! ισορροπίας,! της!δύναμης!F!που!ασκεί!η!κόλλα!στο!σώμα!Σ2;!3.!Σε!ποια!απομάκρυνση!και!ποια!χρονική!στιγμή!το!Σ2!αποκολλάται!από!το!Σ1;!!Β.*Μετά! την! αποκόλληση! το! Σ1! συνεχίζει! να! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση.!Δεχόμαστε! επίσης! ότι! δεν! μεταβάλλεται! η! ταχύτητα! του! Σ1! εξαιτίας! της!αποκόλλησης.!1.*Να!βρείτε!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!Σ1.!2.! Να! υπολογίσετε! την! απόλυτη! τιμή! του! μέγιστου! ρυθμού! μεταβολής! της!ταχύτητας!του!Σ1.!!Δίνονται:!g=10!m/s2!και!π=3,14.!!Απάντηση.!Α.*1.**2.*Β.*1.*2.*!


18

28. Δύο!σώματα!Α! και!Β! έχουν!μάζες!m1=1Kg! και!m2=2Kg! και! κρέμονται!από! το!ένα!άκρο!ελατηρίου!σταθεράς!k=100N/m!όπως!φαίνεται!στο!σχήμα.!Η!γωνία!κλίσης!του! λείου! κεκλιμένου! επιπέδου! είναι! φ=300.! Τα! δύο! σώματα! αρχικά! ισορροπούν!ακίνητα! και! είναι! δεμένα! μεταξύ! τους! με! αβαρές! νήμα.! Τη! χρονική! στιγμή! t=0!κόβουμε!το!νήμα!οπότε!το!σώμα!Α!αρχίζει!να!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!A*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!B*!!!α)!Να!βρεθεί!ο!χρόνος!που!χρειάζεται!το!σώμα!Α!για!να!φτάσει!στη!πάνω!ακραία!θέση!για!πρώτη!φορά.!β)!Να!βρεθεί!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!σώματος!Α.!γ)! Να! γραφεί! η! χρονική! εξίσωση! της! επιτάχυνσης! της! ταλάντωσης! θεωρώντας!ως!θετική!φορά!τη!φορά!προς!τα!πάνω.!δ)!Να!βρεθεί!το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!σώματος!Α!κάθε!φορά!που!διέρχεται!από!τη!θέση!φυσικού!μήκους!του!ελατηρίου.!Απ.!!α)!t=π/10!s!!!β)!Α=0,1m!!!γ)!α==10ημ(10t!–!π/2)!(S.I)!!!!δ)! ! = 3/2!m/s.! Χάσιμο*επαφής*29. Στο! πάνω! άκρο! κατακόρυφου! ελατηρίου! σταθεράς! k=400! N/m! που! έχει!στερεωθεί! στο! έδαφος! δένουμε! δίσκο! μάζας! Μ=3! Kg.! Πάνω! στο! δίσκο! έχει!τοποθετηθεί! σώμα! μάζας! m=1Kg! και! το! σύστημα! ισορροπεί.! Συμπιέζουμε! το!σύστημα!έτσι!ώστε! το!ελατήριο!να!συσπειρωθεί!κατά!0,2m!και! τη!χρονική!στιγμή!t=0!το!αφήνουμε!ελεύθερο!να!κινηθεί!χωρίς!αρχική!ταχύτητα.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!M!!!!!!!!!!α)!Να!βρεθεί!η!θέση!που!το!σώμα!χάνει!την!επαφή!του!με!το!δίσκο.!


19

β)!Ποια!χρονική!στιγμή!χάνεται!η!επαφή;!γ)!Να!βρεθεί!η!ταχύτητα!του!συστήματος!τη!στιγμή!που!χάνεται!η!επαφή.!Δίνεται!g=10m/s2!.!Απ.!α)!χ=0,1m!!!!!β)!t=π/15!s!!!!!γ)!υ= 3!m/s.!

!!30. Στο!διπλανό!σχήμα!φαίνονται! δύο!σώματα! Σ1! και! Σ2! με! μάζες!m1=! 1Kg! και!m2=3Kg!τα!οποία!είναι!δεμένα!στο!κάτω!άκρο! κατακόρυφου! ιδανικού! ελατηρίου!σταθεράς!k.!!A.* To! σύστημα! εκτελεί! απλή! αρμονική!ταλάντωση! με! χρονική! εξίσωση!απομάκρυνσης! x=0,08.ημ(10t)! (S.I).! Να!υπολογίσετε:!!1.!!Τη!σταθερά!k!του!ελατηρίου.!2.!!Την!ενέργεια!της!ταλάντωσης.!3.! Την! τάση! του! νήματος! τη! χρονική!στιγμή!t=π/60!s.!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(+)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ2!!!

!B.*Όταν! το! σώμα! Σ2! βρίσκεται! στη! κατώτερη! θέση! της! ταλάντωσης,! κόβουμε! το!νήμα!οπότε!συνεχίζει!να!ταλαντώνεται!μόνο!το!Σ1.!Να!βρείτε:!!1.!Το!πλάτος!ταλάντωσης!του!Σ1.!!2.!Το!ρυθμό!μεταβολής!της!ορμής!του!Σ1!όταν!το!ελατήριο!είναι!συσπειρωμένο!κατά!Δl=0,115m.!!Γ.*Ποιο!είναι! το!μέγιστο!πλάτος!ταλάντωσης!του!συστήματος!της!περίπτωσης! (Α),!ώστε!να!παραμένει!τεντωμένο!το!νήμα;!Δίνεται:!g=10!m/s2!!Απάντηση.!Α.*1.******************************************************2.*******************************************3.*Β.*1.******************************************************2.*Γ.!!!!!!!!!


20

31. Τα!δύο!σώματα! Σ1! και! Σ2! του!παρακάτω!σχήματος,! έχουν!μάζες!m1=1Kg! και!m2=3Kg! αντίστοιχα! και! ηρεμούν! πάνω! στο! λείο! οριζόντιο! δάπεδο,! δεμένα! μεταξύ!τους! με! νήμα! μήκους! d.! Το! σώμα! Σ1! είναι! δεμένο! στο! ελατήριο! σταθεράς! k=400!N/m.!Τραβάμε!το!σώμα!Σ2!προς!τα!αριστερά!επιμηκύνοντας!το!ελατήριο!κατά!0,4m!και! τη! στιγμή! t=0,! αφήνουμε! ελεύθερο! το! σύστημα! να! εκτελέσει! απλή! αρμονική!ταλάντωση.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(+)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*Σ2*********************************Σ1*!!!!!1.! Να! βρεθεί! η! τάση! του! νήματος! που! δέχεται! το! σώμα! Σ2! ! σε! συνάρτηση! με! το!χρόνο! και! να! γίνει! η! γραφική! της! παράσταση.! Θεωρείστε! θετική! φορά! προς! τα!δεξιά.!2.!Τα!δύο!σώματα!συγκρούονται!πλαστικά!τη!χρονική!στιγμή!t=3π/40!s.!Να!βρεθεί!το!μήκος!του!νήματος.!3.*!Να!βρεθεί!η!ενέργεια!της!ταλάντωσης!τις!χρονικές!στιγμές!t1=3π/80s,!t2=5π/80s,!t3=7π/80s.!4.!Να!βρεθεί!ο!ρυθμός!μεταβολής!της!κινητικής!ενέργειας!αμέσως!μετά!τη!κρούση.!!Απάντηση.!1.!Τ=!]120.ημ(10t+3π/2)!(S.I)!!!2.d=0,114m!3.!Ε1=32J,!E2=8J,!!E3=27J!!!4.dK/dt=!]240J/s!(K.!MAΡ)!!!!32. Ένα!σώμα!είναι!δεμένο!στο!δεξιό!άκρο!οριζόντιου!ιδανικού!ελατηρίου!και!στο!αριστερό!άκρο!οριζόντιου!νήματος!και!ηρεμεί!σε!ισορροπία!όπως!δείχνει!το!σχήμα.!Το! ελατήριο! και! το! νήμα! έχουν! τα!άλλα! τους!άκρα!ακλόνητα.! ! Στη!θέση!αυτή,! το!ελατήριο!έχει!επιμηκυνθεί!κατά!Δℓ!=!0,2!m!από!το!φυσικό!του!μήκος,!και!το!νήμα!είναι! τεντωμένο.!Κάποια!στιγμή!κόβουμε!το!νήμα!και! το!σύστημα!ελατήριο]σώμα!αρχίζει!να!κάνει!απλή!αρμονική!ταλάντωση!με!πλάτος!Α.!!!!!!!Θα!είναι!!α.!Α!=!0,1!m!!!!!!!!!!!β.!Α!=!0,2!m!!!!!!!!!!!!!!!!γ.!Α!=!0,3!m!!!!!!!!!!!!!!!!!!δ.!Α!=!0,4!m!!Απάντηση:!β.!!!!


21

33. To! σώμα! του! σχήματος! βάρους!w=40N,! είναι! δεμένο! στο! κάτω! άκρο!κατακόρυφου! νήματος! και! στο! πάνω!άκρο! κατακόρυφου! ιδανικού! ελατηρίου!σταθεράς! k=400N/m! και! ισορροπεί! σε!ηρεμία.!Το!ελατήριο!στη!θέση!αυτή!έχει!επιμηκυνθεί! κατά! Δℓ=0,2m! από! το!φυσικό! του! μήκος.! Τη! χρονική! στιγμή!t=0,! κόβουμε! το! νήμα! και! το! σώμα!αρχίζει! να! κάνει! απλή! αρμονική!ταλάντωση!πλάτους!Α.!!!!Θα!είναι!!α.!Α!=!0,1!m!!!!!!!!!β.!Α!=!0,2!m!!γ.!Α!=!0,3!m!!!!!!!!!!δ.!Α!=!0,4m!!!

!

Απάντηση:!!γ!!!!Ασκούμε*διαρκώς*σταθερή*δύναμη*34. Το! σώμα! Σ1! του! σχήματος! μάζας! m,! αρχικά! ηρεμεί! πάνω! σε! λείο! οριζόντιο!επίπεδο,! δεμένο! στο! δεξιό! άκρο! του! οριζόντιου! ιδανικού! ελατηρίου! που! έχει!σταθερά! k! και! το! άλλο! του! άκρο! ακλόνητο.! Στη! θέση! αυτή! το! ελατήριο! έχει! το!φυσικό!του!μήκος.!Τη!χρονική!στιγμή!t!=!0!,!ασκούμε!διαρκώς!στο!σώμα!οριζόντια!σταθερή!δύναμη!F!στη!διεύθυνση!του!ελατηρίου!,!όπως!στο!σχήμα!με!αποτέλεσμα!να!αρχίσει!να!κάνει!απλή!αρμονική!ταλάντωση!πλάτους!Α1=0,1m.!Αν!επαναλάβουμε!το! ίδιο! πείραμα! αλλά! αντί! του! Σ1! δέσουμε! στο! ελατήριο! σώμα! Σ2! μάζας! 2m! το!πλάτος!της!νέας!ταλάντωσης!θα!είναι:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ1*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!F*!!*α.!Α!=!0,1!m!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β.!Α!=!0,2!m!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ.!Α!=!0,3!m!!!!!!!!!!!!!!!!δ.*Α!=!0,4!m!!Απάντηση:!α!!!!!!!!


22

Ασκούμε*μεταβλητή*δύναμη*η*οποία*καταργείται*35. Το! μεγάλου! μήκους! ελατήριο! του! παρακάτω! σχήματος! έχει! σταθερά!k=100N/m!και!το!σώμα!έχει!μάζα!m=2Kg.!Κάποια!στιγμή!και!ενώ!το!σώμα!βρίσκεται!στη! θέση! του! φυσικού! του! μήκους! ασκείται! στο! σώμα! η! δύναμη! F! της! οποίας! η!συνάρτηση!με!την!απόσταση!x!δίνεται!από!τη!σχέση!F(x)=1000]100x! (S.I).!Όταν!το!σώμα! έχει! διανύσει! στο! λείο! οριζόντιο! επίπεδο! απόσταση! 6m! καταργείται! η!επίδραση!της!δύναμης!F.!Να!υπολογίσετε:!!*********************************************************Θ.Φ.Μ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ1*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!F(x)*!!**********************************************************************x!*α)!!την!μέγιστη!ταχύτητα!που!αποκτά!το!σώμα!καθώς!κινείται!με!την!επίδραση!της!δύναμης!F,!*β)!!την!ταχύτητα!του!σώματος!τη!χρονική!στιγμή!που!καταργείται!η!δύναμη!F,!*γ)!!την!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!για!την!ταλάντωση!που!εκτελεί!το!σώμα!μετά! την!κατάργηση!της!δύναμης!F.!Να!θεωρήσετε! t=0! τη!στιγμή!της!κατάργησης!της!δύναμης!και!θετική!φορά!προς!τα!δεξιά.!!!36. Α.* Από! το! κάτω! άκρο!κατακόρυφου! ελατηρίου! σταθεράς!k=100N/m,! κρέμεται! ένα! σώμα! μάζας!m=1Κg! και! το! σύστημα! είναι! ακίνητο.!Τραβάμε! το! σώμα! προς! τα! κάτω! κατά!d=0,16m! με! τη! βοήθεια! σταθερής!κατακόρυφης! δύναμης! μέτρου! F=12,5N!και! αμέσως! μετά! καταργούμε! τη!δύναμη.!Το!σώμα!αρχίζει!τότε!να!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!!1.!Να!βρείτε!το!πλάτος!της!ταλάντωσης.!2.!Να!βρείτε!το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!σώματος! κάθε! φορά! που! το! ελατήριο!έχει!το!φυσικό!του!μήκος.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m**************************Θ.Ι*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!F*

Β.* Έστω! ότι! η! δύναμη! καταργείται! όταν! το! ελατήριο! πάθει! τη! μέγιστη! δυνατή!επιμήκυνση.!!1.!Ποιο!θα!είναι!τότε!το!πλάτος!της!ταλάντωσης;!!!


23

Γ.*Έστω!ότι!η!δύναμη!δεν!καταργείται!ποτέ.!1.!Να!δείξετε!ότι!το!σώμα!θα!κάνει!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!2.!Να!υπολογίσετε!το!πλάτος!και!τη!περίοδο!της!ταλάντωσης.!!Δίνονται:!g=10!m/s2!και!π=3,14!!!37. Μια!σφαίρα!Σ1!βάρους!w!είναι!δεμένη!στο!κάτω!άκρο!κατακόρυφου!ιδανικού!ελατηρίου! σταθεράς! k! .! Το! πάνω! άκρο! του! ελατηρίου! είναι! ακλόνητο.! Αρχικά,!κρατάμε!τη!σφαίρα!ακίνητη!έτσι!ώστε!το!ελατήριο!να!μην!έχει!παραμόρφωση!και!τη!χρονική!στιγμή!t!=!0,! την!αφήνουμε!ελεύθερη!από!τη!θέση!αυτή.!Στη!συνέχεια!το!σύστημα!ελατήριο!]!σφαίρα!κάνει!απλή!αρμονική!ταλάντωση!πλάτους!Α1!=!0,1!m.!Αντίσταση! αέρα! αμελητέα! ! Αν! επαναλάβουμε! το! ίδιο! πείραμα! αλλά! αντί! του! Σ1!δέσουμε!στο!ελατήριο!σώμα!Σ2!μάζας!2m!,!το!πλάτος!της!νέας!ταλάντωσης!θα!είναι!!!α.!Α2!=!0,1m!!!!!!!!!!!!!!!β.!Α2!=!0,2!m!!!!!!!!!!!!γ.!Α2!=!0,3!m!!!!!!!!!!!!!!!!!δ.!Α2!=!0,4!m!!Απάντηση:!β!!!38. Στο! ελεύθερο! κάτω! άκρο! ιδανικού! κατακόρυφου! ελατηρίου! σταθεράς! k,!κρεμάμε!ένα!σώμα!μάζας!m!και!το!κρατάμε!ακίνητο!στη!θέση!που!το!ελατήριο!έχει!το! φυσικό! του! μήκος.! Κάποια! στιγμή! αφήνουμε! ελεύθερο! το! σώμα! να! εκτελέσει!απλή! αρμονική! ταλάντωση! και! παρατηρούμε! ότι! ακινητοποιείται! στιγμιαία! αφού!διανύσει! απόσταση! d=5cm.! Η! περίοδος! της! ταλάντωσης! του! συστήματος! αυτού!είναι:!*α)!Τ!=!π/10!s!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β)!Τ!=!π/20!s!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ)!Τ!=!π/5!s!!Απάντηση:!!!α!!!39. Δυο!οριζόντια!εντελώς!όμοια!ιδανικά!ελατήρια!Α!και!Β! ,!έχουν!στερεωθεί!σε!δυο! κατακόρυφους! τοίχους! όπως! δείχνει! το! σχήμα,! έτσι! ώστε! τα! ελεύθερα! άκρα!τους!να!απέχουν!κατά!d.!Το!σώμα!Σ! ,!εφάπτεται!στο!δεξιό!άκρο!του!ελατηρίου!Α,!και! ηρεμεί! σε! ισορροπία! πάνω! στο! λείο! οριζόντιο! επίπεδο.! Εκτρέπουμε! προς! τα!αριστερά!το!σώμα!Σ!κατά!Δx!=!d/2!!και!!το!αφήνουμε!ελεύθερο!από!τη!θέση!αυτή.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!d*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Α!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Β!!!!!Το!πλάτος!της!ταλάντωσης!που!θα!κάνει!το!σώμα!Σ!είναι!!α.!Α!=!d!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β*.!A!=!d/2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ.!Α!=!2d!,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!δ*Α!=!d/3!!


24

!Απάντηση:!α!!!40. Ένα!σώμα!Σ!μάζας!βάρους!w!είναι!δεμένο! στο! πάνω! άκρο! κατακόρυφου!ιδανικού!ελατηρίου.!Αρχικά,!κρατάμε!το!σώμα! έτσι! ώστε! το! κάτω! άκρο! του!ελατηρίου! να! βρίσκεται! σε! ύψος! h=w/k!πάνω! από! ένα! οριζόντιο! δάπεδο,! και!από! τη! θέση! αυτή,! το! αφήνουμε!ελεύθερο.! Όταν! το! κάτω! άκρο! του!ελατήριου! φτάνει! στο! δάπεδο!σφηνώνεται! σ’! αυτό! και! το! σύστημα!ελατήριο!]!σφαίρα!κάνει!απλή!αρμονική!ταλάντωση!πλάτους!Α.!!!!Θα!είναι:!α)*****!/!*β)****(2!)/!*γ)****( 3!)/!*δ)****( 2!)/!*

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h*

!Απάντηση:!!γ!!!41. Ένα!σώμα!μάζας!m=4kg!είναι!δεμένο!στο!κάτω!άκρο!κατακόρυφου! ιδανικού!ελατηρίου! και! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση.! Το! πάνω! άκρο! του! ελατηρίου!είναι! δεμένο! σε! σταθερό! σημείο.! ! Στο! σχήμα! δίνεται! η! γραφική! παράσταση! της!αλγεβρικής! τιμής! της! ταχύτητας! του! σώματος,! σε! συνάρτηση! με! το! χρόνο! ! όπου!!!!!!!t4! ]! t2! =! π/5! s! .!Με! δεδομένο! ακόμη! ότι,! τη! χρονική! στιγμή! t=0! το! σώμα! κινείται!κατακόρυφα!προς!τα!επάνω!να!υπολογίσετε:!!***************************************υ*(m/s)*****************************+2************************************************************** !*********************************0***************t1***********t2***********t3************t4******************t******************************************************************K2***1.!Την!απομάκρυνση!xo!του!σώματος!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!τη!χρονική!στιγμή!t!=!0.!!


25

2.!Την!συνάρτηση!απομάκρυνσης!]!χρόνου!x!=!f(t).!!3.!Τις!χρονικές!στιγμές!t1!,!t2!και!t3.!!4.!Την!δυναμική!ενέργεια!του!ελατηρίου!τη!χρονική!στιγμή!t!=!t2.!!5.! Τις! τιμές! του! έργου! της! δύναμης! επαναφοράς,! του! ! έργου! της! δύναμης! του!ελατηρίου!και!του!!έργου!του!βάρους,!από!t!=!0!μέχρι!t!=!t2!!!Δίνεται!g!=!10!m!/s²!!Απάντηση.!1.!!x0=]0,1m!!!2.!! = 0,2. !" 10! + !!!

! !(!. !)!!!3.*t1=!π/60!s,!!t2=!4π/60!s,!t3=7π/60!s!4.!Uελ=!2J!!!!!!!!!!5.!WΣF=!]6J,!!!!WFελ=!+6J,!!!Ww=]12!!J!!!!!!Ανακύκλωση*42. Σώμα!μάζας!m2=0,4Kg!κρέμεται!από!νήμα!μήκους!L=0,5!m!όπως!φαίνεται!στο!παρακάτω! σχήμα.! Σε! κάποια! απόσταση! από! αυτό! υπάρχει! το! ελεύθερο! άκρο!οριζόντιου! ελατηρίου! σταθεράς! k=80N/m! του! οποίου! το! άλλο! άκρο! είναι!στερεωμένο!σε!κατακόρυφο!τοίχο.!Στο!ελεύθερο!άκρο!του!ελατηρίου!τοποθετούμε!σώμα! μάζας! m1=0,1! Kg! χωρίς! να! το! δέσουμε.! Βλήμα! μάζας! m=0,1Kg! έρχεται! με!ταχύτητα! υ! και! αφού! διαπεράσει! το! σώμα! μάζας! m2! συνεχίζει! να! κινείται! με!ταχύτητα!υ/2!και!σφηνώνεται!στο!σώμα!μάζας!m1.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m1!!!!!!!!!!!!!!!!k*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m!!!!!!!!!!υ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m2!*α)! !Να!βρείτε!τη!ταχύτητα!του!βλήματος!υ!αν!είναι!γνωστό!ότι!μετά!τη!κρούση!το!σώμα!μάζας!m2,!εκτελεί!οριακά!ανακύκλωση.!β)!!Να!βρείτε!τη!τάση!του!νήματος!αμέσως!μετά!τη!κρούση.!γ)!!Να!βρείτε!τη!μέγιστη!συσπείρωση!του!ελατηρίου.!δ)!Αν!το!σώμα!μάζας!m2,!βρεθεί!ταυτόχρονα!στην!ίδια!θέση!Α!με!το!συσσωμάτωμα!μάζας! m+m1! και! συγκρουστούν! πλαστικά,! να! βρεθεί! η! ταχύτητα! του!συσσωματώματος.!!

O

L


26

Δίνεται!ότι!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!ισούται!με!g=10m/s2!και!ότι!οι!διαστάσεις!των!σωμάτων!είναι!ασήμαντες.!!Απ.!!α)!υ=40m/s!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β)!Τ=!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ)!ΔLmax=0,5m!!!!!!!!!!!δ)!υκ=10m/s.!!!!!Πλαστική*κρούση*43. Το!ακίνητο!σώμα!Σ1!μάζας!Μ=9Kg!του!παρακάτω!σχήματος!είναι!δεμένο!στο!ένα!άκρο!οριζόντιου!ελατηρίου!σταθεράς!k=400N/m,!το!άλλο!άκρο!του!οποίου!είναι!στερεωμένο! σε! ακλόνητο! σημείο.! Το! ελατήριο! βρίσκεται! στη! κατάσταση!φυσικού!μήκους.!Μετακινούμε! το! σώμα! Σ1! στη! θέση!Δ,! συσπειρώνοντας! το! ελατήριο! κατά!Δx=0,2m! και! αμέσως! μετά! το! αφήνουμε! ελεύθερο! να! κινηθεί! χωρίς! αρχική!ταχύτητα.! Ένα!άλλο! σώμα! Σ2! μάζας!m=7Kg! κινείται! οριζόντια! στο! λείο! δάπεδο!με!

ταχύτητα!u2=2 2m/s!και!τη!χρονική!στιγμή!t=0!συγκρούεται!κεντρικά!και!πλαστικά!με!το!σώμα!Σ1!τη!στιγμή!που!αυτό!διέρχεται!από!θέση!x1>0!της!ταλάντωσής!του.!Το!συσσωμάτωμα!που!προκύπτει!από!την!κρούση!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!με!ενέργεια!ίση!με!την!ενέργεια!της!ταλάντωσης!του!σώματος!Σ1!πριν!την!κρούση.!

******************************************************************************************(+)***********************************!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Θ.Ι*****************************************************u2********u1************************k************************************************m****************Μ*!*************************************************************************************************************************************x1***************Δx**************(Δ)!!!!α)!!Να!υπολογίσετε!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος.!β)!!Να!υπολογίσετε!την!ταχύτητα!της!ταλάντωσης!του!σώματος!Σ1!ελάχιστα!πριν!την!κρούση,!θεωρώντας!ότι!οι!ταχύτητες!των!σωμάτων!Σ1!και!Σ2!πριν!την!κρούση!είναι!θετική!και!αρνητική!αντίστοιχα!και!η!ταχύτητα!του!συσσωματώματος!αμέσως!μετά!τη!κρούση!είναι!αρνητική.!γ)!Να!γράψετε!την!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!του!συσσωματώματος!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!

Απ.!!!α)!!0,2!m!!!!!!!!β)!!2! 2 /3!m/s!!!!!!!!!!γ)!!x=0,2ημ(5t+3π/4)!

!!!!!!


27

Πλαστική*κρούση*44. Από! σημείο! της! οροφής! έχουμε! κρεμάσει! ιδανικό! κατακόρυφο! ελατήριο!σταθεράς!k=200!Ν/m!στο!άλλο!άκρο!του!οποίου!έχουμε!στερεώσει!μικρό!σώμα!(1)!μάζας! m1! το! οποίο! ισορροπεί! ακίνητο.! Σώμα! (2)! που! έχει! μάζα! m2! κινείται!κατακόρυφα!προς! τα!πάνω!και! τη!στιγμή! t=0!σφηνώνεται!στο!σώμα! (1).!Μετά! τη!κρούση! το! συσσωμάτωμα! που! προκύπτει! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση! με!

εξίσωση!!απομάκρυνσης!!y=0,6ημ(5t+6π )!(S.I).!Nα!υπολογίσετε:*

*α)!!το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!συσσωματώματος!αμέσως!μετά!τη!κρούση,!β)!!το!πηλίκο!της!θερμότητας!που!εκλύθηκε!εξαιτίας!της!κρούσης!προς!την!ενέργεια!της!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος,!γ)!!τη!μεταβολή!της!ορμής!του!σώματος!(2)!εξαιτίας!της!κρούσης,!δ)! !το!ρυθμό!με!τον!οποίο!μεταβάλλεται!η!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος!τη!χρονική!στιγμή!αμέσως!μετά!τη!κρούση.(g=10!m/s2)!!Απ.!!α)!1,5! 3 !m/s!!!!!!!!β)!0,25!!!!!!!!!!!!!!γ)!=3! 3!Κ!g.m/s!!!!!!!!!!δ)!+90 3!J/s!!!!Πλαστική*κρούση*45. Το! σώμα! μάζας! Μ=3Kg! του! σχήματος! είναι! συνδεδεμένο! με! κατακόρυφο!ελατήριο! σταθεράς! k=400N/m! και! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση! πλάτους!Α=0,2m.!Τη!χρονική!στιγμή!t=0!που!διέρχεται!από!τη!θέση!x=+Α/2!με!ταχύτητα!που!έχει! φορά! προς! τα! κάτω! συγκρούεται! μετωπικά! και! πλαστικά* * με! μικρή! σφαίρα!μάζας!m=1Kg!που!κινείται!με!ταχύτητα!u1!κατακόρυφα!προς!τα!πάνω.!Αμέσως!μετά!την!κρούση!το!συσσωμάτωμα!έχει!μηδενική!ορμή.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!************!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!******************************************************************M****************u*****************************************************************************************************A/2*******m********u1****************************************************************************************************************************************************************Θ.Ι(Μ)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!α)!!!Να!υπολογίσετε!το!μέτρο!της!ταχύτητας!u1!β)!!!Να!υπολογίσετε!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος.!


28

γ)! Να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! ταχύτητας! της! ταλάντωσης! του!συσσωματώματος,!θεωρώντας!θετική!φορά!της!ταχύτητας!u1.!(g=10!m/s2)!Απ.!!α)!6!m/s!!!!!!!!!!!!!!β)!0,125!m!!!!!!!!!!!!γ)*u=1,25συν(10t+π/2)!!!!!!!Πλαστική*κρούσηKΝ(t)*46. Τα!!!δύο!!σώματα!!του!!!σχήματος!έχουν!μάζες! ! !m1=m2=2Kg! ! και! ! το! ! ! ελατήριο! ! έχει!σταθερά! ! ! k=400N/m.! ! ! Αφήνουμε! ! το! σώμα!μάζας!!m2!!να!!!πέσει!!!από!!!ύψος!!!h=0,15m!πάνω!!από!!το!!σώμα!!μάζας!!m1!!και!!τα!δύο!!!!!!!!!σώματα! συγκρούονται! πλαστικά! τη! χρονική!στιγμή!t=0.!Nα!βρείτε:!**α)! ! ! Τη! ταχύτητα! του! συσσωματώματος!αμέσως!μετά!τη!κρούση.*β)! ! ! Τη! χρονική! εξίσωση! της! ταλάντωσης! του!συσσωματώματος! και! να! κάνετε! τη! γραφική!της! παράσταση! για! την! πρώτη! περίοδο.!(Θεωρήστε! σαν! θετική! φορά! την! προς! τα!πάνω.)!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h!!!!!!!!!!!!!m1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k!

γ)! ! ! Ποια!η! χρονική! εξίσωση! της! δύναμης!που!δέχεται! το! σώμα!μάζας!m2!από! το!σώμα!μάζας!m1!κατά!τη!διάρκεια!της!ταλάντωσης;!Δίνεται!g=10m/s2.!!

Aπ:!!α)! !! !m/s!!!!!!!!!!β)!x=0,1.ημ(10t+5π/6)!(S.I)!!!!!!!γ)!Ν=20]20ημ(10t+5π/6)!!(S.I)!!!Πλαστική*κρούση*47. Σώμα!μάζας!m1=2Kg!ισορροπεί!δεμένο!στο!κάτω!άκρο!κατακόρυφου!ιδανικού!ελατηρίου! σταθεράς! k.! Απομακρύνουμε! το! σώμα! κατακόρυφα! από! τη! θέση!ισορροπίας! του,! προκαλώντας! στο! ελατήριο! συσπείρωση! ίση! με! την! αρχική!παραμόρφωση!που!προκάλεσε!η!μάζα!m1!και!τη!χρονική!στιγμή!t=0!αφήνουμε!το!σύστημα!ελεύθερο!να!εκτελέσει!απλή!αρμονική!ταλάντωση.**α)!!Αν!η!περίοδος!της!ταλάντωσης!είναι!Τ1=0,1π!s!να!υπολογίσετε!τη!σταθερά!k!του!ελατηρίου!και!να!γράψετε!την!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης.**


29

β)! !Τη!χρονική!στιγμή!t=2π/15!s!το!σώμα!μάζας!m1!συγκρούεται!πλαστικά!με!άλλο!σώμα! μάζας! m2! που! ανεβαίνει! με! ταχύτητα! μέτρου! υ2=1,5. 3m/s! και! το!συσσωμάτωμα! που! προκύπτει! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση! με! περίοδο!Τ2=2Τ1.*i)! !Να!υπολογίσετε!τη!παραμόρφωση!του!ελατηρίου!και!τη!ταχύτητα!της!μάζας!m1!τη!χρονική!στιγμή!της!κρούσης.*ii)!Να!υπολογίσετε!τη!μάζα!m2!και!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος.**γ)! ! Να!συγκρίνετε! τη!μέγιστη!συσπείρωση!που!προκαλείται! στο! ελατήριο!από! τις!δύο!ταλαντώσεις.*!Θεωρήστε!τις!τριβές!ασήμαντες!και!ως!θετική!φορά!για!την!ταλάντωση!την!προς!τα!πάνω.!Δίνεται!g=10m/s2!!!

ΦΘΙΝΟΥΣΑ*ΜΗΧΑΝΙΚΗ*ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ*!Φθίνουσα*αρμονική*ταλάντωση*48. Ένα!ελατήριο!σταθεράς!k=100!N/m!κρέμεται! κατακόρυφα! και! έχει! φυσικό!μήκος!L0=0,5m.!Δένουμε!στο!κάτω!άκρο!του! ένα! σώμα! μάζας! m=2Kg! και! το!αφήνουμε! να! κινηθεί! οπότε! και! εκτελεί!φθίνουσα! ταλάντωση! εξαιτίας! της!αντίστασης! του! αέρα! που! είναι! της!μορφής! F’=]bυ.! Κάποια! στιγμή! t1! το!σώμα! κινείται! προς! τα! κάτω! και! το!ελατήριο! έχει! μήκος! L=0,8m.! Στη! θέση!αυτή! η! ταχύτητα! του! σώματος! έχει!μέτρο!υ=0,8!m/s!και!μειώνεται!με!ρυθμό!5,2!m/s2.!Να!υπολογίσετε:!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L0*!************************************************L1*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!υ*

α)!Την!ελάττωση!της!ενέργειας!της!ταλάντωσης!από!τη!στιγμή!t=0!μέχρι!τη!στιγμή!t1.!β)!!Τη!σταθερά!απόσβεσης!b.!γ)*!Το!ρυθμό!με!τον!οποίο!μειώνεται!η!ενέργεια!της!ταλάντωσης!τη!στιγμή!t1.!!Απάντηση.!!α)!0,86!J!!!!!!!!!!β)!0,5!Kg/s!!!!!!!!γ)!0.32!J/s!!!!!!!!


30

Α.Α.Τ*και*πλαστική*κρούση.*Φθίνουσα*αρμονική*ταλάντωση**49. Σώμα! ! μάζας! m1=4Kg! ισορροπεί! στο! κάτω! άκρο! κατακόρυφου! ιδανικού!ελατηρίου! σταθεράς! k=400N/m.! Ανεβάζουμε! το! σώμα!αυτό! κατά! l=0,05m!από! τη!θέση! ισορροπίας! του! και! το! εκτοξεύουμε! κατακόρυφα!προς! τα! κάτω!με! ταχύτητα!

μέτρου!υ0=23 m/s!οπότε!το!σώμα!αρχίζει!να!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!

*α)!!!!!Να!βρεθεί!το!μέτρο!της!μέγιστης!ταχύτητας!ταλάντωσης.!*β)! ! ! Κάποια! στιγμή! που! το! σώμα! μάζας! m1! περνά! από! τη! θέση! ισορροπίας! της!ταλάντωσής! του! και! κατεβαίνει! συγκρούεται! πλαστικά! με! σώμα! μάζας! m2! που!ανεβαίνει!με!ταχύτητα!μέτρου!υ2.!Μετά!τη!σύγκρουση!το!συσσωμάτωμα!ανεβαίνει!και!φτάνει!μέχρι!τη!θέση!που!βρίσκεται!πάνω!από!το!φυσικό!μήκος!του!ελατηρίου!κατά! d=0,1m.! Δίνεται! ότι! η! περίοδος! ΤΟΛ! της! ταλάντωσης! του! συσσωματώματος!

είναι!ΤΟΛ= 2 Τ1,!όπου!Τ1!είναι!η!περίοδος!της!ταλάντωσης!του!σώματος!μάζας!m1.!Να!βρεθούν:!i) η!μάζα!m2!ii) η!ταχύτητα!υ2!*γ)! ! !Κάποια!στιγμή!(t=0)!που!το!συσσωμάτωμα!είναι!σε!ακραία!θέση!ταλάντωσης,!βυθίζεται!σε!υγρό!οπότε!αρχίζει! να!εκτελεί!φθίνουσα! ταλάντωση!για! την!οποία!η!αντιτιθέμενη!δύναμη!είναι!της!μορφής!F!=!]!bυ.!Να!βρεθεί!ποια!χρονική!στιγμή!το!σύστημα!συσσωμάτωμα]ελατήριο!έχει!χάσει!ενέργεια!13,5J.!!Δίνεται!ότι!η!σταθερά!Λ=0,231s]1!και!ότι!ln2=0,693.!!!!!!!!!!!!!!Aπ:!!α)!υ=1m/s!!!!!!!!!!!!!!!!!β)!!m2=4Kg!!,!!!υ2=5m/s!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ)!!t=3s!!!!!!!!!!!!!!!!Φθίνουσα*αρμονική*ταλάντωση*!50. Ένας! ταλαντωτής! μάζας! m=0,2! Kg! εκτελεί! φθίνουσα! ταλάντωση! μικρής!απόσβεσης!με!συχνότητα!f=0,5!Hz!και!πλάτος!που!μειώνεται!εκθετικά!με!το!χρόνο!σύμφωνα! με! τη! σχέση! Α=2.e]Λt! (S.I).! Μετά! από! 10! ταλαντώσεις! η! ενέργεια! της!ταλάντωσης!ισούται!με!0,25!J.!Να!υπολογίσετε:!*α)! ! την! ! απώλεια! της! ενέργειας! στη! χρονική! διάρκεια! των! 10! πρώτων!δευτερολέπτων,!*β)!!τη!σταθερά!Λ,!


31

*γ)!!τη!χρονική!στιγμή!t2!που!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!έχει!γίνει!0,25!m,!*δ)!!το!έργο!της!δύναμης!αντίστασης!στη!κίνηση!από!τη!χρονική!στιγμή!t=0!μέχρι!τη!χρονική!στιγμή!t3=40!s.!!Δίνεται! για! τις! πράξεις! ότι! π2=10! και! ότι! η! συχνότητα! της!φθίνουσας! ταλάντωσης!ισούται!με!την!ιδιοσυχνότητα!του!ταλαντωτή.!!Απ.!!α)!ΔΕ=3,75!J!!!!!!!!!!!!!!!!β)!Λ=0,1.ln2!s]1!!!!!!!!!!!!!!!!γ)!t2=30!s!!!!!!!!!!!!!!δ)!W=]255/64!J!!!!Φθίνουσα*αρμονική*ταλάντωση*!51. Σημειακή!μάζα!m=1Kg!κρέμεται!από!ιδανικό!κατακόρυφο!ελατήριο!σταθεράς!k=100N/m! το! άλλο! άκρο! του! οποίου! είναι! στερεωμένο! στην! οροφή.! Το! σώμα!εκτρέπεται!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!κατακόρυφα!προς!τα!πάνω!κατά!Δx=1m!και!τη! χρονική! στιγμή! t=0! το! αφήνουμε! ελεύθερο! να! κινηθεί.! Το! σώμα! εκτελεί!φθίνουσα!ταλάντωση!και!το!πλάτος!του!μειώνεται!εκθετικά!με!το!χρόνο.!Το!πλάτος!μειώνεται!κατά!20%!στη!διάρκεια!της!πρώτης!περιόδου.!Να!υπολογίσετε:!*α)!!το!μέτρο!της!δύναμης!επαναφοράς!στη!διάρκεια!της!πρώτης!περιόδου,!*β)!!την!απώλεια!ενέργειας!στη!διάρκεια!της!δεύτερης!περιόδου,!*γ)!!το!μέτρο!της!δύναμης!του!ελατηρίου!στο!τέλος!της!τρίτης!περιόδου,!*δ)!!το!ποσοστό!%!της!μείωσης!του!πλάτους!στη!διάρκεια!της!δέκατης!περιόδου.!!Δίνεται!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g=10m/s2.!!Απ.!α)!Fεπαν=80Ν!!!!!β)!Εαπωλ=11,52J!!!!!!!γ)!Fελ=41,2Ν!!!!!!!δ)!π%=20%!!!!52. Ένα! σώμα! μάζας! m=2Kg! το! πλάτος! της! οποίας! μεταβάλλεται! με! το! χρόνο!σύμφωνα!με!τη!σχέση!Α=2.e]Λt!(S.I).!H!ενέργεια!της!ταλάντωσης!μεταβάλλεται!με!το!χρόνο!σύμφωνα!με!τη!σχέση!Ε=16π2.e](ln16)t!(S.I).!!Να!υπολογιστούν:!α)!!Η!περίοδος!της!ταλάντωσης.!β)!!Ο!χρόνος!που!πρέπει!να!περάσει!για!να!υποδιπλασιαστεί!το!πλάτος.!γ)!!Το!πλάτος!της!ταλάντωσης!τη!χρονική!στιγμή!t=2s.!δ)! ! Το!%! ποσοστό! μείωσης! της! αρχικής! ενέργειας! κατά! τη! διάρκεια! της! δεύτερης!περιόδου!της!ταλάντωσης.!


32

Απ.!!α)!Τ=1s!!!!!β)!Δt=0,5s!!!!!γ)!Α=1/8!m!!!!!δ)!π=5,86%! !

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ*ΜΗΧΑΝΙΚΗ*ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ*!Εξαναγκασμένη*ταλάντωση*–*Συντονισμός.**53. Ένα! σώμα! μάζας! m=2kg! δένεται! από! το! ένα! άκρο! κατακόρυφου! ελατηρίου!σταθεράς! k=200N/m! το! πάνω! άκρο! του! οποίου! είναι! στερεωμένο! σε! ακλόνητο!σημείο.!Μετακινούμε!το!σώμα!προς!τα!πάνω!και!το!φέρνουμε!στην!θέση!φυσικού!μήκους!του!ελατηρίου.!Την!χρονική!στιγμή!t!=!0!αφήνουμε!το!σώμα!ελεύθερο!από!την! θέση! αυτή! και! εκτελεί! ταλάντωση.! Πάνω! στο! σώμα! εκτός! από! την! δύναμη!επαναφοράς!ασκείται!και!εξωτερική!δύναμη!αντίστασης!της!μορφής!F΄=!]b.υ,!όπου!b! η! σταθερά! απόσβεσης! και! υ! η! αλγεβρική! τιμή! της! ταχύτητας! του! σώματος.!Παρατηρούμε!ότι!μετά!από!2s!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!έχει!υποτετραπλασιαστεί.!Να!βρείτε:!!α.!την!ενέργεια!που!προσφέρθηκε!αρχικά!στο!σύστημα!για!να!εκτελέσει!ταλάντωση!και!την!αρχική!επιτάχυνση!του!σώματος.!β.!την!σταθερά!Λ!της!ταλάντωσης!και!το!έργο!της!δύναμης!αντίστασης!από!την!t=!0!ως!την!2s.!γ.! την! απομάκρυνση! του! σώματος! από! την! θέση! ισορροπίας! συναρτήσει! του!χρόνου.!!Μετά! την! 2s! εξαναγκάζουμε! το! σύστημα! σε! αμείωτη! ταλάντωση,! οπότε! ασκούμε!μια!κατάλληλη!εξωτερική!περιοδική!δύναμη.!δ.! Ποια! πρέπει! να! είναι! η! τιμή! της! συχνότητας! της! εξωτερικής! δύναμης! ώστε! το!σύστημα! να! ταλαντώνεται! απορροφώντας! ενέργεια! με! το! βέλτιστο! τρόπο! και! με!πλάτος!αυτό!που!είχε!τη!στιγμή!t=2s;!ε.!Ποιος!είναι!ο!ρυθμός!προσφοράς!ενέργειας!από!τη! !εξωτερική!δύναμη!όταν!το!σώμα!διέρχεται!από!την!θέση!ισορροπίας!του;!!Δίνεται:!g=10!m/s²,! ln2=0,7!και!ότι!η!σταθερά!απόσβεσης!είναι!αρκετά!μικρή!ώστε!να! θεωρήσουμε! την! περίοδο! ίση! με! την! περίοδο! της! αμείωτης! ταλάντωσης! του!σώματος.!!Απ.!!α.Ε!=!1!J!,!α0!=!10!m/s2!!!*β.*Λ!=!0,7!s1!,!WF’=!]!0,9375!J!!!γ.*!x=0,1.e]0,7tσυν(10t)!(S.I)******δ.*f!=!5/π!Hz!!!!!!*ε.!dW/dt!=!0,175!J/s!!!Εξαναγκασμένη*ταλάντωση*–*Συντονισμός.*!54. Ένα!σώμα!μάζας!m=2Kg!εκτελεί!εξαναγκασμένη!ταλάντωση!πάνω!στον!άξονα!x’x!,!δεχόμενο!την!δύναμη!επαναφοράς!Fεπ=]450x!(S.I),!τη!δύναμη!αντίστασης!F’=]4υ!(S.I)!και!τη!περιοδική!εξωτερική!δύναμη!Fδ=30.συν14t!(S.I).!!α)!Να!υπολογίσετε!την!ιδιοσυχνότητα!του!συστήματος.!


33

β)*Να!βρείτε!τη!χρονική!διάρκεια!της!κίνησης!μεταξύ!δύο!διαδοχικών!μηδενισμών!της!δύναμης!αντίστασης.!γ)!Αλλάζουμε!τη!συχνότητα!της!εξωτερικής!περιοδικής!δύναμης!ώστε!να!γίνει!ίση!με!την! ιδιοσυχνότητα! του! ταλαντωτή,! οπότε! και! η! εξίσωση! της! απομάκρυνσης! είναι!x=0,5.ημω0t! (S.I).! Να! αποδείξετε! ότι! κάθε! χρονική! στιγμή! ο! ρυθμός! προσφοράς!ενέργειας!από!την!εξωτερική!δύναμη,!ισούται!με!το!ρυθμό!με!τον!οποίο!αφαιρείται!από!τη!δύναμη!αντίστασης.!!Απάντηση:!!!α)!f0=7,5/π!Hz!!!!!!!!!!!!β)!Δt=π/14!s!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ)!Ρ=225συν215t!!(S.I)!!!Εξαναγκασμένη*ταλάντωση*–*Φθίνουσα*ταλάντωση.*!55. Σώμα! μάζας! m=1Kg! εκτελεί! εξαναγκασμένη! ταλάντωση! με! τη! βοήθεια!εξωτερικής! περιοδικής! δύναμης! Fεξ=40.συν20t! (S.I)! και! η! χρονική! εξίσωση! της!απομάκρυνσης! είναι! η! x=0,5.ημωt! (S.I).! Επίσης! το! σώμα! δέχεται! και! δύναμη!αντίστασης! της! μορφής! ! F’=]bυ! η! οποία! είναι! διαρκώς! αντίθετη! της! Fεξ.! Η!ιδιοσυχνότητα!ταλάντωσης!είναι!f0=10/π!Hz.!!α)!Να!υπολογίσετε!τη!σταθερά!απόσβεσης!b.!β)! Να! βρείτε! το! ρυθμό! απορρόφησης! ενέργειας! από! την! δύναμη! αντίστασης! τη!στιγμή!t=33π/80!s.!γ)! Τη! στιγμή! που! το! σώμα! βρίσκεται! στη! θέση! μέγιστης! θετικής! απομάκρυνσης!καταργείται!η!εξωτερική!δύναμη.!Να!υπολογίσετε!το!έργο!της!δύναμης!αντίστασης!στη!διάρκεια!της!πρώτης!περιόδου!της!φθίνουσας!ταλάντωσης!.!!Θεωρείστε! ! ότι! ! η! ! συχνότητα! ! της! ! φθίνουσας! ! ταλάντωσης! ! είναι! ! ίση! ! με! ! την!ιδιοσυχνότητα!!του!!συστήματος!!κα!!η!!σταθερά!!Λ=b/2m.!!!!Για!τις!πράξεις!δίνεται!e]1,256=0,3.!!!Απάντηση:!!!!!!!!!α)!b=4Kg/s!!!!!!!!!!!!!!!!!!β)!P=200!J/s!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ)!W=]35!J!!!!!Εξαναγκασμένη*ταλάντωση*56. Ένα!σώμα!μάζας!m=1Kg!είναι!δεμένο!στο!ένα!άκρο!κατακόρυφου!ελατηρίου!το! οποίο! κρέμεται! από! την! οροφή.! Ένας! διεγέρτης! εξαναγκάζει! το! σύστημα! σε!ταλάντωση! πολύ! μικρής! απόσβεσης! με! συχνότητα! f1! τέτοια! ώστε! το! σώμα! να!διέρχεται! 4! φορές! από! τη! θέση! ισορροπίας! του! σε! κάθε! δευτερόλεπτο.! Αν! ο!διεγέρτης! εξαναγκάζει! το! σύστημα!σε! ταλάντωση!με!συχνότητα! f2! τέτοια!ώστε! το!σώμα! σε! κάθε! 8s! να! διέρχεται! 48! φορές! από! τη! θέση! ισορροπίας! του,! τότε!παρατηρείται!μεγιστοποίηση!του!πλάτους!της!ταλάντωσης!και!η!μέγιστη!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσης!ισούται!με!Umax(2)=45J.!*α)!!Να!υπολογίσετε!τη!σταθερά!k!του!ελατηρίου.!


34

β)!!Να!βρείτε!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!σώματος!με!συχνότητα!f1!αν!δίνεται!ότι!η!μέγιστη!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσης!με!τη!συχνότητα!αυτή!διαφέρει!από!τη!μέγιστη!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσης!με!συχνότητα!f2!κατά!16,2!J.!γ)* * Να! σχεδιάσετε! ποιοτικά! το! πλάτος! της! ταλάντωσης! σε! συνάρτηση! με! τη!συχνότητα!του!διεγέρτη.!Στο!σχήμα!αυτό!να!φαίνονται!οι!συχνότητες!f1!και!f2!καθώς!και!το!πλάτος!που!αντιστοιχεί!σε!καθεμιά!από!αυτές.!!Δίνεται!για!τις!πράξεις!π2=10.!!Απ.!!α)!!k=360N/m!!!!β)!!Α1=0,4m!!!!!γ)!!Α2=0,5m!!!

ΣΥΝΘΕΣΗ*ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ*!Σύνθεση*ταλαντώσεων(Α)*–*Φθίνουσα*ταλάντωση*–*Εξαναγκασμένη*ταλάντωση.*57. Υλικό! σημείο! μάζας! m=0,1! Kg! εκτελεί! περιοδική! ευθύγραμμη! κίνηση! με!χρονική!εξίσωση!!!!!!!! = 0,25 2.!"# 20!! − 0,25 2. !" 20!! !!(!. !)!!A.**1.*Να!δείξετε!ότι!η!παραπάνω!κίνηση!είναι!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!!2.!Να!γράψετε!τη!χρονική!εξίσωση!της!ταχύτητας.!!Β.*Κάποια!στιγμή!που!τη!θεωρούμε!ως!χρονική!στιγμή!t=0!και!ενώ!ο!ταλαντωτής!βρίσκεται!στη!μέγιστη!θετική!απομάκρυνση,!αρχίζει!να!δρα!δύναμη!απόσβεσης!της!μορφής!F’=]!0,2.υ!(S.I)!και!το!πλάτος!αρχίζει!να!μειώνεται!εκθετικά!με!το!χρόνο.!!1.!Ποιος!είναι!ο!ρυθμός!μείωσης!της!ενέργειας!του!ταλαντωτή,!όταν!η!ταχύτητα!του!έχει!μέτρο!υ=0,5!m/s;!2.!Ποια!στιγμή!η!ενέργεια!έχει!μειωθεί!στο!1/64!της!αρχικής!της!τιμής;!3.!Μετά!από!πόσες!ταλαντώσεις!το!πλάτος!θα!μειωθεί!κατά!50%;!!Γ.* ! Για! να!παραμένει! η! ταλάντωση!αμείωτη!με! εξίσωση!αυτή! της!περίπτωσης! (Α)!ασκούμε! εξωτερική! περιοδική! δύναμη! F.! Να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! της!δύναμης! αυτής! εφόσον! γνωρίζετε! ότι! το! σύστημα! βρίσκεται! σε! κατάσταση!συντονισμού.!!Να!θεωρήσετε!ότι!η!περίοδος!της!φθίνουσας!ταλάντωσης!είναι! ίση!με!τη!περίοδο!της!απλής!αρμονικής!ταλάντωσης.!!Δίνονται!ln2=0,7!,!!π=3,14!!!και!π2=10.!!!!!Σύνθεση*ταλαντώσεων*(Α)*58. Μικρό!σώμα!εκτελεί!ταυτόχρονα!δύο!απλές!αρμονικές!ταλαντώσεις!x1=f(t)!και!x2=f(t)! ίδιας! συχνότητας! f=5Hz,! οι! οποίες! εξελίσσονται! στην! ίδια! διεύθυνση! και!


35

γύρω! από! την! ίδια! θέση! ισορροπίας! και! εμφανίζουν! διαφορά! φάσης! π/2! με! την!x2=f(t)!να!προηγείται.!Η!συνισταμένη!ταλάντωση!που!εκτελεί!το!σώμα!έχει!πλάτος!Α=2m! και! ενέργεια! Ε=20J.! Αν! το! σώμα! εκτελούσε! μόνο! την! ταλάντωση! x1=f(t)! οι!ακραίες!θέσεις!της!ταλάντωσης!θα!απείχαν!μεταξύ!τους!απόσταση!d=2 3m!και!τη!χρονική! στιγμή! t=0! το! σώμα! θα! περνούσε! από! τη! θέση! ισορροπίας! με! θετική!ταχύτητα.!!*α)!Να!βρείτε!τη!μέγιστη!τιμή!της!συνισταμένης!δύναμης!που!δέχεται!η!σφαίρα!κατά!τη!διάρκεια!της!συνισταμένης!ταλάντωσης.!β)!Να!γράψετε!τη!χρονική!εξίσωση!x2=f(t).!γ)! Να! γράψετε! τις! χρονικές! εξισώσεις! της! ταχύτητας! και! της! επιτάχυνσης! της!συνισταμένης!ταλάντωσης!που!εκτελεί!το!σώμα.!δ)! Να! υπολογίσετε! το! έργο! της! δύναμης! επαναφοράς! κατά! τη! διάρκεια! της!συνισταμένης!ταλάντωσης!από!τη!χρονική!στιγμή!t=0!μέχρι!τη!χρονική!στιγμή!που!το!σώμα!φτάνει!για!πρώτη!φορά!σε!ακραία!θέση!της!ταλάντωσης.!!Απάντηση.!!!!!!!!!!α)!ΣFmax=20N!!!β)!x2=1.ημ(10πt+π/2)!(S.I)!!γ)!υ=20π.συν(10πt+π/6)!(S.I),!!!!!!α=]!2000.ημ(10πt+π/6)!(S.I)!!!!!!!!!!!!!!!δ)!W=]15J!!!!!Σύνθεση*ταλαντώσεων*(Α)*και*φθίνουσα*ταλάντωση*59. Σώμα! μάζας! m=1,2Kg! εκτελεί! σύνθετη! αρμονική! ταλάντωση! της! οποίας! οι!συνιστώσες!ταλαντώσεις!έχουν!εξισώσεις:!

x1=3ημ(ωt)!(S.I)!!και!!x2=3ημ(ωt+π/3)!(S.I)!!*α)*!Υπολογίστε!το!πλάτος!Α!και!την!αρχική!φάση!θ!της!συνισταμένης!ταλάντωσης.!*β)! !Να!γράψετε!τη!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!του!σώματος!αν!γνωρίζετε!ότι!το!σώμα!περνά!για!πρώτη!φορά!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!τη!χρονική!στιγμή!t=2,5s.!!*γ)**Να!υπολογίσετε!την!κινητική!ενέργεια!του!σώματος!τη!χρονική!στιγμή!t=5,5s.!*δ)* !Θεωρήστε!ότι!κάποια!χρονική!στιγμή! t1>5,5s!που!το!σώμα!βρίσκεται!στη!θέση!x=+A,! αρχίζει! να! δέχεται! δύναμη! απόσβεσης! της! μορφής! F=]b.υ,! οπότε! μετά! από!χρόνο!t=12s!το!πλάτος!υποδιπλασιάζεται.!Μετά!από!πόσο!χρόνο!από!τη!στιγμή!t1!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!θα!γίνει!Α/16;!Δίνεται!π2=10.!!!!Σύνθεση*ταλαντώσεων*(Α)*60. Ένα! σώμα! μάζας! m=2Kg! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση! που! προκύπτει!από! τη!σύνθεση!δύο!απλών!αρμονικών! ταλαντώσεων! (Ι)! και! (ΙΙ)!με!πλάτη!Α1=5cm!και! Α2=5 3 cm.! Οι! ταλαντώσεις! εξελίσσονται! στην! ίδια! διεύθυνση! γύρω! από! την!


36

ίδια! θέση! ισορροπίας! και! με! την! ίδια! συχνότητα! f=2Hz.! Τη! χρονική! στιγμή! t=0! το!σώμα!εξαιτίας!της!ταλάντωσης!(Ι)!θα!βρισκόταν!στη!θέση!ισορροπίας!του!κινούμενο!κατά! τη! θετική! φορά! ενώ! εξαιτίας! της! ταλάντωσης! (ΙΙ)! θα! είχε! βρεθεί! στην!αντίστοιχη!κατάσταση!πριν!από!χρόνο!Δt=1/8!s.!*α)! ! ! Να! γραφούν! οι! χρονικές! εξισώσεις! των! συνιστωσών! ταλαντώσεων! και! της!συνισταμένης!ταλάντωσης.!β)!!!Να!υπολογιστεί!η!κινητική!ενέργεια!του!σώματος!τη!χρονική!στιγμή!t=1/4!s.!γ)! ! !Να!υπολογιστεί! το!έργο! της!δύναμης!επαναφοράς!από! τη! χρονική!στιγμή! t=0!μέχρι!τη!χρονική!στιγμή!t=1/4!s.!!Απ:!α)!x1=0,05ημ(4πt)!(S.I)!,!x2=0,05 3ημ(4πt+π/2)!(S.I),!x=0,1ημ(4πt+π/2)!(S.I)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!Σύνθεση*ταλαντώσεων*(Α)*61. Μικρό! σώμα! μάζας! m=4Kg! εκτελεί! ταυτόχρονα! 3! ταλαντώσεις! που!εξελίσσονται!στην!ίδια!διεύθυνση!και!γύρω!από!την!ίδια!θέση!ισορροπίας!και!έχουν!εξισώσεις!x1=0,4ημ(10t)!(S.I),!!x2=0,1ημ(10t!+!π)!(S.I)!και!!x3=Α3!ημ(10t!+!2π/3)!(S.I).!Η!μέγιστη! δύναμη! επαναφοράς! που! δέχεται! το! μικρό! σώμα! κατά! τη! διάρκεια! της!ταλάντωσής!του!είναι!120Ν.!*α)!!Να!υπολογίσετε!το!πλάτος!της!συνισταμένης!ταλάντωσης.!β)!!Να!βρείτε!το!πλάτος!Α3.!γ)!!Να!γράψετε!τη!χρονική!εξίσωση!της!κινητικής!ενέργειας!του!σώματος.!δ)!!Να!υπολογίσετε!το!μέτρο!της!επιτάχυνσης!του!σώματος!τις!χρονικές!στιγμές!που!η!δυναμική!ενέργεια!της!συνισταμένης!ταλάντωσης!ισούται!με!2J.!!Aπ.!!α)!Α=0,3m!!!!!!!!!!β)!Α3=0,3m!!!!!!!!!!!γ)!Κ=18συν2(10t!+!π/3)!(S.I)!!!!!!!!!δ)!α=10m/s2!!!!!!!Σύνθεση*ταλαντώσεων*(Α)*62. Υλικό!σημείο!μάζας!m=0,2Kg!κινείται!ευθύγραμμα!και!η!εξίσωση!της!κίνησής!του!δίνεται!από!τη!σχέση:!

!y=3.ημ2πt!+!3.συν2πt!(S.I)!

*α)! Να! δείξετε! ότι! το! υλικό! σημείο! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση! και! να!υπολογίσετε!το!πλάτος!της!και!τη!περίοδό!της.!β)!!Να!βρείτε!τη!μέγιστη!τιμή!του!μέτρου!της!δύναμης!επαναφοράς.!γ)!!Να!βρείτε!την!ενέργεια!της!ταλάντωσης.!!!


37

!!!!Σύνθεση*ταλαντώσεων*(Α).*63. Ένα! σώμα! μάζας! m=2Kg! μετέχει! ταυτόχρονα! σε! δύο! απλές! αρμονικές!ταλαντώσεις,! που! γίνονται! στην! ίδια! διεύθυνση! και! γύρω! από! την! ίδια! θέση!ισορροπίας.!Η!εξίσωση!της!ταχύτητας!του!σώματος!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο!για!κάθε!μια!από!τις!επιμέρους!ταλαντώσεις!είναι:!

υ1=υ1,max.συνωt!!(S.I)!υ2=8π.συν(ωt+π)!!(S.I)!

!Η!εξίσωση!της!σύνθετης!ταλάντωσης!που!προκύπτει!δίνεται!από!τη!σχέση:!

x=0,04.ημ100πt!!(S.I)!*α)! !Να!σχεδιάσετε!τη!γραφική!παράσταση!της!δυναμικής!ενέργειας!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο,!για!τη!σύνθετη!ταλάντωση.!β)! ! Να! γραφεί! η! εξίσωση! της! απομάκρυνσης! για! κάθε! μια! από! τις! σύνθετες!ταλαντώσεις.!γ)!!Ποια!θα!έπρεπε!να!ήταν!η!μέγιστη!επιτάχυνση!του!σώματος!εξαιτίας!της!πρώτης!ταλάντωσης!ώστε!το!σώμα!να!παρέμεινε!συνεχώς!στη!θέση!ισορροπίας!του;!*!!!Σύνθεση*ταλαντώσεων*(Β)*64. Ένα! σημειακό! αντικείμενο! εκτελεί! ταυτόχρονα! δυο! απλές! αρμονικές!ταλαντώσεις! που! εξελίσσονται! στην! ίδια! διεύθυνση,! έχουν! ίσα! πλάτη,! μηδενικές!αρχικές!φάσεις! και! χρονικές! εξισώσεις!απομάκρυνσης! x1=A1ημ(98πt)! και! x2=f(t).!Η!συνισταμένη!ταλάντωση!έχει!συχνότητα!f=50Hz!και!κατά!τη!διάρκειά!της!το!σώμα!φτάνει!σε!μέγιστη!απόσταση!0,4m!από!τη!θέση!ισορροπίας!του.!*α)!!Να!υπολογίσετε!τα!πλάτη!των!δύο!συνιστωσών!ταλαντώσεων.!β)*!Να!βρείτε!την!περίοδο!των!διακροτημάτων.!γ)! Να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! της! απομάκρυνσης! για! τη! συνισταμένη!ταλάντωση.!δ)! ! Να! υπολογίσετε! τον! αριθμό! των! ταλαντώσεων! που! εκτελούνται! στη! διάρκεια!μιας!περιόδου!του!διακροτήματος.!!

Απ.!!α)!Α=0,2m!!!!!!!!β)!Tδ=0,5!s!!!!!!!γ)!x=0,4συν2πt.ημ100πt!(S.I)!!!!!!!δ)!N=25!!!!!!


38

!!!Σύνθεση*ταλαντώσεων(Β)*65. Δύο!διαπασών!(1)!και!(2)!εκπέμπουν!ήχους!με!συχνότητες!f1!και!f2,!οι!οποίες!διαφέρουν!μεταξύ!τους!κατά!4!Hz.!Όταν!και!τα!δύο!διαπασών!ηχούν!ταυτόχρονα,!ακούμε! έναν! ήχο! συχνότητας! f=435! Ηz! του! οποίου! η! ένταση! αυξομειώνεται!περιοδικά.*α)!Να!υπολογίσετε!τις!συχνότητες!f1!και!f2.!β)!Όταν! το!διαπασών! (1)!ηχεί! ταυτόχρονα!με! τη! χορδή!ενός!μπουζουκιού!ακούμε!διακροτήματα!συχνότητας!$Hz,!ενώ!όταν!το!διαπασών!(2)!ηχεί!ταυτόχρονα!με!την!ίδια! χορδή!ακούμε! διακροτήματα! συχνότητας! 8Hz.! Να! υπολογίσετε! τη! συχνότητα!του!ήχου!που!εκπέμπει!η!χορδή.!!Απάντηση:!!α)!f1=437Hz!,!f2=433Hz!!!!!!β)!f=441Hz!*!!Σύνθεση*ταλαντώσεων(Α&Β)*–*Φθίνουσα*ταλάντωση*66. Σώμα! μάζας! m! εκτελεί! γραμμική! αρμονική! ταλάντωση! χωρίς! τριβές! με!εξίσωση!x1!=!A1ημ(ωt),!όπου!Α1!=! 3!cm.!!Δίνονται!οι!παρακάτω!πληροφορίες:!*(i)* Αν! το! σώμα! συμμετάσχει! ταυτόχρονα! και! σε! μια! δεύτερη! ταλάντωση! ίδιου!πλάτους! Α1,! μηδενικής! αρχικής! φάσης! και! γωνιακής! συχνότητας! κατά! 8%!μεγαλύτερης! της! ω,! τότε! το! πλάτος! της! σύνθετης! ταλάντωσης! μηδενίζεται! με!συχνότητα!4!Hz.!(ii)*Αν!το!σώμα!συμμετάσχει!ταυτόχρονα!και!σε!μια!δεύτερη!ταλάντωση!με!εξίσωση!x2!=!Α1ημ(ωt!+!φ)!(όπου!0!≤!φ!≤!π/2!),!τότε!το!πλάτος!της!σύνθετης!ταλάντωσης!είναι!A!=!3cm.!*α.*Υπολογίστε!την!τιμή!της!γωνιακής!συχνότητας!ω.!β.* Θεωρώντας! ότι! το! σώμα! εκτελεί! τη! σύνθετη! ταλάντωση! της! περίπτωσης! (ii),!υπολογίστε! την! αρχική! φάση! φ! της! δεύτερης! ταλάντωσης! καθώς! και! την! αρχική!φάση!θ!της!σύνθετης!ταλάντωσης.!γ.* Θεωρώντας! ότι! το! σώμα! εκτελεί! τη! σύνθετη! ταλάντωση! της! περίπτωσης! (ii),!υπολογίστε!το!μέτρο!της!ταχύτητάς!του!όταν!η!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσής!του!είναι!τριπλάσια!της!κινητικής!του.!δ.* Ενώ! το! σώμα! εκτελεί! τη! σύνθετη! ταλάντωση! της! περίπτωσης! (ii),! αρχίζει! να!ενεργεί! επάνω! του! δύναμη! τριβής! της! μορφής! F! =! –bυ,! όπου! b! μια! σταθερά.!Υπολογίστε! το! πλάτος! της! ταλάντωσης! του! σώματος! όταν! η! ενέργεια! ταλάντωσης!έχει!μειωθεί!κατά!75%!σε!σχέση!με!την!τιμή!που!είχε!όταν!το!πλάτος!ήταν! ίσο!με!1,5cm.!Απάντηση.!α)!ω=100π!rad/s!!!!!!β)!φ=π/3!rad,!θ=π/6!rad!!!!!!!!!γ)!υ=1,5π!m/s!!!!!!!!!!δ)*A3=0,75!m!


39

!!!Σύνθεση*ταλαντώσεων(Α&Β)*–*Φθίνουσα*ταλάντωση*67. Σώμα! μάζας! m! εκτελεί! γραμμική! αρμονική! ταλάντωση! (1)! με! εξίσωση!x1=A1ημ(ω1t).!!Δίνονται!οι!ακόλουθες!πληροφορίες:!!i.* Αν! το! σώμα! συμμετέχει! ταυτόχρονα! και! σε! μια! δεύτερη! ταλάντωση! (2)! ίδιου!πλάτους!με!παραπλήσια!συχνότητα!f2!(f2!>!f1)!που!εξελίσσεται!στην!ίδια!διεύθυνση!και! γύρω! απ’! την! ίδια! θέση! ισορροπίας,! τότε! σε! χρόνο! 2,5sec! το! πλάτος! της!σύνθετης! ταλάντωσης! μηδενίζεται! 10! φορές! και! το! σώμα! περνάει! από! τη! θέση!ισορροπίας!του!260!φορές.!!ii.*Αν! το! σώμα!που! εκτελεί! την! ταλάντωση! (1)! συμμετέχει! ταυτόχρονα! και! σε! μια!δεύτερη!ταλάντωση! (3)!με!εξίσωση!x3!=!A3ημ(ω1t+π/3),!η!συνισταμένη!ταλάντωση!έχει!εξίσωση!x!=!A.ημ(ω1t+θ).!Δίνεται!Ε/(Ε1+Ε3)!=!3/2!όπου!Ε!η!ενέργεια!ταλάντωσης!αν! το!σώμα!εκτελεί! την!συνισταμένη! ταλάντωση,!Ε1!η!ενέργεια! ταλάντωσης!αν! το!σώμα! εκτελεί! μόνο! την! ταλάντωση! (1)! και! Ε3! η! ενέργεια! ταλάντωσης!αν! το! σώμα!εκτελεί!μόνο!την!ταλάντωση!(3).!!!Με!βάση!τις!πληροφορίες!αυτές:!!α.*Να!υπολογίσετε!την!τιμή!της!γωνιακής!συχνότητας!ω1.!!β.*Να!βρεθεί!η!τιμή!της!γωνίας!θ!(0 ≤ ! ≤ !!!"#).!γ.*Εάν!το!σώμα!εκτελεί!την!σύνθετη!ταλάντωση!της!περίπτωσης!(i),!να!βρεθεί!ποια!χρονική! στιγμή! οι! απομακρύνσεις! των! δύο! συνιστωσών! ταλαντώσεων! (1)! και! (2),!είναι!αντίθετες!για!πρώτη!φορά.!!δ.*Εάν!το!σώμα!εκτελεί!την!σύνθετη!ταλάντωση!της!περίπτωσης!(ii),!να!βρεθεί!ποια!χρονική! στιγμή! οι! ταχύτητες! των! δύο! συνιστωσών! ταλαντώσεων! (1)! και! (3),! είναι!αντίθετες!για!πρώτη!φορά.!!ε.*Εάν!το!σώμα!εκτελεί!την!σύνθετη!ταλάντωση!της!περίπτωσης!(ii),!να!βρεθεί!ποια!χρονική!στιγμή!για!πρώτη!φορά,!το!έργο!της!συνισταμένης!δύναμης!είναι!WΣF=+E/4,!όπου!Ε!η!ολική!ενέργεια!της!ταλάντωσης.!!στ.*Αν! η! σύνθετη! ταλάντωση! της! περίπτωσης! (ii)*αρχίζει! τη! στιγμή! t’=0,! όπου! το!σώμα! έχει! μηδενική! ταχύτητα,! να!πραγματοποιείται! μέσα!σε!υγρό!που!ασκεί! στο!σώμα!δύναμη!αντίστασης!της!μορφής!Fαντ.=]!b.υ,!με!b!θετική!σταθερά!απόσβεσης,!τότε!το!πλάτος!μειώνεται!σύμφωνα!με!τη!σχέση!A=A0.e]Λt’! .!Να!βρεθεί!το!ποσοστό!της!αρχικής! ενέργειας!που! χάθηκε! λόγω! της! Fαντ! μετά!από!2!πλήρεις! ταλαντώσεις!μέσα!στο!υγρό.!!Δίνεται! η! σταθερά! Λ=ln2/T,! όπου! Τ! η! περίοδος! της! σύνθετης! ταλάντωσης! της!περίπτωσης!(ii).!Απ.!α.!ω1=100π!rad/s! * * * *β.!θ=π/6!rad!! * *γ.!t=1/104!s!!! * *δ.!t=1/300!s* * * * *ε.!t=1/120!s*****στ.!π%=93,75%!!!!!!!!!


40

!Σύνθεση*ταλαντώσεων*(Α)*68. Ένα!σώμα!μάζας!m=0,5Kg!εκτελεί! ταυτόχρονα!δύο! ταλαντώσεις!Α!και!Β!που!εξελίσσονται! στην! ίδια! διεύθυνση! και! γύρω! από! την! ίδια! θέση! ισορροπίας! και!περιγράφονται!από!τις!καμπύλες!(1)!και!(2)!του!σχήματος!αντίστοιχα.*!!!!!!!!!!!!!!!x(cm)*!!!!!!!!!!!!!+10!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2)*!!!!!!!!!!!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!t(s)*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1/6!!!1/2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!!!!!!!!!!!]10!!!!Να!βρεθούν:!α)!Η!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!της!ταλάντωσης!Β.!β)!Η!ενέργεια!της!ταλάντωσης!του!σώματος.!γ)!Η!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!του!σώματος.!Δίνεται:!π2=10.!Απ.!!!α)!χ2=0,1ημ(πt+π/3)!(S.I)!!!!!!β)!Ε=0,075!J!!!!γ)!χ=0,1 3ημ(πt+π/6)!(S.I)! !!!!!!!!!!!!!!


41

!

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ*ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ**

69. Διαθέτουμε!δύο!κυκλώματα!ηλεκτρικών!ταλαντώσεων!Α!και!Β.!Στο!κύκλωμα!Α(L,C)! προσφέρουμε! ενέργεια! Ε! και! στο! κύκλωμα! Β(2L,2C)! ενέργεια! Ε’=2Ε!προκειμένου!να!εκτελέσουν!ηλεκτρική!ταλάντωση.!Αν!το!φορτίο!του!πυκνωτή!και!η!ένταση! του! ρεύματος! στο! κύκλωμα!περιγράφονται! από! τις! σχέσεις!q=Qσυνωt! και!!!i=]Iημωt!αντίστοιχα!να!παρασταθούν!γραφικά!σε!κοινό!διάγραμμα!το!φορτίο!q!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο!και!η!ένταση!του!ρεύματος!i!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο!και!για!τα!δύο!κυκλώματα.!!Απ:!!ΤΒ=2ΤΑ!!,!!!!QB=2QA!!!,!!IB=IA!!!!Σύνθετο*κύκλωμα*με*το*πηνίο*να*διαρρέεται*αρχικά*από*σταθερό*ρεύμα*70. Στο!παρακάτω! κύκλωμα!ο!μεταγωγός! βρίσκεται! στη! θέση! (1)! και! το! ιδανικό!πηνίο! διαρρέεται! από! σταθερό! ρεύμα.! Η! ηλεκτρική! πηγή! έχει! ΗΕΔ! Ε=10! V! και!εσωτερική!αντίσταση! r=4!Ω,! ο! αντιστάτης! έχει! αντίσταση! R=16!Ω! και! ο! πυκνωτής!είναι! αφόρτιστος! και! έχει! χωρητικότητα! C=0,5! μF.! Τη! χρονική! στιγμή! t=0!μετακινούμε! ακαριαία! τον! μεταγωγό! στη! θέση! (2)! οπότε! το! ιδανικό! κύκλωμα! LC!εκτελεί!ηλεκτρικές!ταλαντώσεις!με!συχνότητα!f=500/π!Hz.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1*******2*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!μ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!E,r****************************************************************************************!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!C*********************************************************************************************L*********************************************!!!!α)! ! Να! εξηγήσετε! ποιος! από! τους! δύο! οπλισμούς! του! πυκνωτή! θα! ! αποκτήσει!πρώτος!αρνητικό!φορτίο.!β)! !Να!γράψετε! τις! χρονικές! εξισώσεις! του!φορτίου! του!πυκνωτή!και! της! έντασης!του! ρεύματος! στο! κύκλωμα,! θεωρώντας! θετική! τη! φορά! του! ρεύματος! τη! στιγμή!t=0.!γ)! !Να!υπολογίσετε!την!απόλυτη!τιμή!του!φορτίου!του!πυκνωτή!τις!στιγμές!που!η!ενέργεια! του! μαγνητικού! πεδίου! του! πηνίου! ισούται! με! την! ενέργεια! του!ηλεκτρικού!πεδίου!του!πυκνωτή.!δ)! !Να!βρείτε!ποια!πρέπει!να!είναι!η!μέγιστη!τιμή!της!ΗΕΔ!της!πηγής,!ώστε!η!τάση!του!πυκνωτή!κατά!τη!διάρκεια!των!ηλεκτρικών!ταλαντώσεων!να!μην!υπερβαίνει!την!τιμή!1200!V.!!Απ.!!β)!i=0,5συν(1000t)!(S.I)!,!q=5.10=4ημ(1000t)!(S.I)!!!!γ)! ! = 2,5 2. 10!!!!!!!!!!!δ)!Εmax=12!V!!!


42

!Σύνθετο* κύκλωμα* με* το* πηνίο* να* διαρρέεται* αρχικά* από* σταθερό* ρεύμα.*Φθίνουσα*ηλεκτρική*ταλάντωση*71. Στο!κύκλωμα!του!σχήματος!η!πηγή!έχει!ΗΕΔ!Ε!και!εσωτερική!αντίσταση!r=1Ω,!o!αντιστάτης!R1=4Ω!και!ο!πυκνωτής!έχει!χωρητικότητα!C=1μF.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R2*

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!δ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Δ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!I!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!μ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(B)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!C!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!E,r!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(A)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R1*

!

Α.**!Αρχικά!ο!διακόπτης!(δ)!είναι!κλειστός,!ο!μεταγωγός!(μ)!βρίσκεται!στη!θέση!(1)!το!πηνίο!διαρρέεται!από!σταθερό!ρεύμα!Ι=2Α!και!ο!πυκνωτής!είναι!αφόρτιστος.!i) Nα! αποδείξετε! ότι! η! ωμική! αντίσταση! του! σύρματος! από! το! οποίο! είναι!

κατασκευασμένο!το!πηνίο!ισούται!με!μηδέν.!ii) Να!υπολογίσετε!την!ΗΕΔ!Ε!της!πηγής.!*Β.!!!Τη!χρονική!στιγμή!t=0!ανοίγουμε!τον!διακόπτη!(δ)!και!το!ιδανικό!κύκλωμα!LC!αρχίζει! να! εκτελεί! ηλεκτρικές! ταλαντώσεις.! Τη! χρονική! στιγμή! t1=3π.10]5s! ο!οπλισμός!(Β)!του!πυκνωτή!έχει!αποκτήσει!το!μέγιστο!θετικό!φορτίο!του!για!πρώτη!φορά.! Θεωρώντας! θετική! τη! φορά! του! ρεύματος! που! διαρρέει! το! πηνίο! πριν!ανοίξουμε!τον!διακόπτη!(δ),!να!γράψετε!τις!χρονικές!εξισώσεις:!i) της!έντασης! i! του!ρεύματος!που!διαρρέει! το!κύκλωμα!και! του!φορτίου!q! του!

πυκνωτή!ii) της!διαφοράς!δυναμικού!VAB!μεταξύ!των!οπλισμών!του!πυκνωτή.!*Γ.****i) Nα!βρείτε!την!απόλυτη!τιμή!του!ρυθμού!μεταβολής!της!έντασης!του!ρεύματος,!

τη!στιγμή!που!το!φορτίο!του!πυκνωτή!είναι!ίσο!με!το!μισό!της!μέγιστης!τιμής!του.!

ii) Να! βρείτε! την! απόλυτη! τιμή! του! ρυθμού! μεταβολής! της! τάσης! VAB! του!πυκνωτή,! τη! στιγμή! που! η! ένταση! του! ρεύματος! είναι! ίση! με! το! μισό! της!μέγιστης!τιμής!της.!

*Δ.!!!Τη!χρονική!στιγμή!t2=5π.10]5s!μεταφέρουμε!ακαριαία!τον!μεταγωγό!(μ)!από!τη!θέση!(1)!στη!θέση!(2)!χωρίς!να!σχηματιστεί!σπινθήρας!οπότε!το!κύκλωμα!αρχίζει!να!εκτελεί! φθίνουσα! ηλεκτρική! ταλάντωση.! Εάν! η! σταθερά! της! φθίνουσας!ταλάντωσης! είναι! Λ=125s]1! να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! της! ενέργειας! της!ταλάντωσης!για! 0≥t .!!!!!!!!!!!!*


43

!!Απάντηση:!!!Α)!ii)!E=10V!!!!!!!!!!Β)*!I=2συν(5.104t)!,!!!q=4.10]5ημ(5.104t),!!!!!VAB=40ημ(5.104t)!!!!!!!!

Γ)!i)! sAdtdi /10.5 4= !!ii)! sV

dtdVAB /106=

!!!

Δ)!⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥=

≤≤=−−−−

−−

−

steE

stEt 5)10.5(2504

54

10.5,.10.8

10.50,10.85

π

ππ

!

!!!!Με*αρχική*φάση*διαφορετική*από*0*ή*π/2*72. Στο! κύκλωμα! του! σχήματος! δίνονται! Ε1=10! 3! V,! r1=2Ω,! R=48Ω,! Ε2=4V,! το!πηνίο! είναι! ιδανικό! με! συντελεστή! αυτεπαγωγής! L=4mΗ! και! ο! πυκνωτής! έχει!χωρητικότητα!C=10μF.!!*******************************δ1!***************************************************************************************************************** E1,r1 R δ2***********************************************δ3

E2

L C !!!Διακρίνουμε!τις!ακόλουθες!περιπτώσεις:!*Περίπτωση*1η:*Ο!διακόπτης!δ3!είναι!κλειστός!για!μεγάλο!χρονικό!διάστημα!ενώ!οι!διακόπτες!δ1,δ2!ανοικτοί.!Κάποια!χρονική!στιγμή!που!τη!θεωρούμε!t=0,!ανοίγουμε!το!διακόπτη!δ3!και!κλείνουμε!τον!δ2,!διατηρώντας!τον!δ1!ανοικτό.!*Να! γράψετε! τις! χρονικές! εξισώσεις! του! φορτίου! του! οπλισμού! αναφοράς! του!πυκνωτή! και! της! έντασης! του! ρεύματος! που! διαρρέει! το! κύκλωμα! της! ηλεκτρικής!ταλάντωσης!σχεδιάζοντας!και!τις!αντίστοιχες!γραφικές!παραστάσεις!*Περίπτωση*2η:*Ο!διακόπτης!δ1!είναι!κλειστός!για!μεγάλο!χρονικό!διάστημα!ενώ!οι!διακόπτες!δ2,δ3!ανοικτοί.!Κάποια!χρονική!στιγμή!που!τη!θεωρούμε!t=0,!ανοίγουμε!το!διακόπτη!δ1!και!κλείνουμε!τον!δ2,!διατηρώντας!τον!δ3!ανοικτό.!!


44

Να! γράψετε! τις! χρονικές! εξισώσεις! του! φορτίου! του! οπλισμού! αναφοράς! του!πυκνωτή! και! της! έντασης! του! ρεύματος! που! διαρρέει! το! κύκλωμα! της! ηλεκτρικής!ταλάντωσης!σχεδιάζοντας!και!τις!αντίστοιχες!γραφικές!παραστάσεις.!**Περίπτωση*3η:*Οι!διακόπτες!δ1!και!δ3!είναι!κλειστοί!για!μεγάλο!χρονικό!διάστημα!ενώ! οι! διακόπτης! δ2! ανοικτός.! Κάποια! χρονική! στιγμή! που! τη! θεωρούμε! t=0,!ανοίγουμε!τους!διακόπτες!δ1!και!δ3!και!κλείνουμε!τον!δ2.!!1.*Ο!πυκνωτής!θα!αρχίσει!να!φορτίζεται!ή!να!εκφορτίζεται;!2.! Να! γράψετε! τις! χρονικές! εξισώσεις! του! φορτίου! του! οπλισμού! αναφοράς! του!πυκνωτή! και! της! έντασης! του! ρεύματος! που! διαρρέει! το! κύκλωμα! της! ηλεκτρικής!ταλάντωσης.!!Απάντηση.!Περίπτωση*1:*!! = 4. 10!!.!"# 5000! !. ! ,!!!!!! = −0,2. !" 5000! !(!. !)!Περίπτωση*2:!! = 4 3. 10!!. !" 5000! !. ! ,!!!!!! = 0,2 3.!"# 5000! !(!. !)!Περίπτωση*3:**1.!Εκφορτίζεται.!2.!!! = 8. 10!!!" 5000! + !!

! !. ! ,!!!!!!! = 0,2 3!"# 5000! + !!! (!. !)!

!!Με*αρχική*φάση*διαφορετική*από*0*ή*π/2*73. Ο! πυκνωτής! του! διπλανού!σχήματος!έχει!χωρητικότητα!C=10]5F!και!έχει!φορτιστεί!από!πηγή!τάσης!V=20V.!Ο!πυκνωτής! αυτός! συνδέεται! στα! άκρα!ιδανικού! πηνίου! με! συντελεστή!αυτεπαγωγής! L! και! το! κύκλωμα! εκτελεί!αμείωτες! ηλεκτρικές! ταλαντώσεις.!Θεωρούμε!ως!στιγμή! t=0!τη!στιγμή!που!ο! οπλισμός! Α! του! πυκνωτή! έχει! φορτίο!q=+10]4C! και! το! ρεύμα! στο! κύκλωμα!είναι!i=+ 3/2!A.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!i!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+++++!!A!******************L*******************C*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!]!]!]!]!]!!!B*!!!!

!Να!υπολογίσετε:!α)!Το!ρυθμό!μεταβολής!του!φορτίου!του!οπλισμού!Α!και!το!ρυθμό!μεταβολής!του!ρεύματος!στο!κύκλωμα.!β)! Τις! χρονικές! εξισώσεις! του! φορτίου! του! οπλισμού! Α! και! της! έντασης! του!ρεύματος!στο!κύκλωμα.!γ)!Τη!ενέργεια!που!είναι!αποθηκευμένη!στο!πηνίο!τη!χρονική!στιγμή!t=0,!καθώς!και!το!ρυθμό!μεταβολής!της.!!Απάντηση.!α)!dq/dt!=!+ 3/2!C/s,!!!di/dt!=!]2500!A/s!β)!! = 2. 10!!. !" 5000! + !

! !. ! ,!!!! = 1.!"# 5000! + !! (!. !)!

t=0


45

γ)*!! = 1,5. 10!!!!!,!!!!! !!!!" = −5. 3!!/!!!Δύο*κυκλώματα*με*κοινό*πηνίο*74. Για! το! κύκλωμα! του! παρακάτω!σχήματος! δίνεται:! C1=10]4! F,! C2=4.! 10]4! F! και!L=1H! .! Οι! διακόπτες! (δ1),! (δ2)! είναι! αρχικά! ανοικτοί! και! οι! πυκνωτές! είναι!φορτισμένοι! με! φορτία! Q1=10]2! C! και! Q2= 2.10]2! C! αντίστοιχα,! έχοντας! θετικά!φορτισμένο!τον!πάνω!οπλισμό.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!! !!α)!Να!βρεθεί!ο!λόγος!των!τάσεων!των!δύο!πυκνωτών.!β)!Κάποια!στιγμή!που!θεωρούμε!t!=!0!,!κλείνει!ο!(δ1)!ενώ!ο!(δ2)!παραμένει!ανοικτός.!Να!υπολογίσετε!το!ρυθμό!μεταβολής!της!τάσης!του!πυκνωτή,!το!ρυθμό!μεταβολής!της!έντασης!του!ρεύματος!και! το!ρυθμό!μεταβολής!της!ενέργειας! του!μαγνητικού!πεδίου!του!πηνίου!τη!χρονική!στιγμή!όπου!η!ενέργεια!του!ηλεκτρικού!πεδίου!του!πυκνωτή!είναι!τριπλάσια!από!την!ενέργεια!του!μαγνητικού!πεδίου!του!πηνίου!για!πρώτη!φορά.!γ)!Τη!χρονική!στιγμή!!t!1=1,75π!×10−2!s!ανοίγει!ο!(δ1)!και!ταυτόχρονα!κλείνει!ο!(δ2),!χωρίς!απώλειες!ενέργειας.!Πόση!ενέργεια!παραμένει!αποθηκευμένη!στον!πυκνωτή!!C1;!!δ)!Να!γραφούν!οι! χρονικές!εξισώσεις! της!έντασης! του!ρεύματος! i! 2! =! f! (t)! και! του!φορτίου!του!πυκνωτή!q!2!=!f!(t)!,!θεωρώντας!ως!θετική!φορά!για!το!ρεύμα,!τη!φορά!του! ρεύματος! στο! πηνίο! τη! στιγμή! ! t! 1.! Για! τις! εξισώσεις! αυτές! να! θεωρήσετε!ως!αρχή! μέτρησης! του! χρόνου! t! =! 0! ,! τη! στιγμή! που! ανοίγει! ο! (δ1)! και! ταυτόχρονα!κλείνει!ο!(δ2).!!Απ.!!α)!V1!/V2=2 2!s!!!!!!!!β)!!di/dt==50 3!A/s,!!dVC/dt==5.10

3!V/s,!!dUB/dt=25 3!J/s!!!!!γ)!U=0,25!J!!!!!!!δ)!!i2=συν(50t+π/4)!(S.I),!!!q2=200ημ(50t+π/4)!(S.I)!!!!!!!!!Δύο*κυκλώματα*με*κοινό*πηνίο*!75. Στο!παρακάτω!κύκλωμα!οι!δύο!πυκνωτές!έχουν! χωρητικότητες!C1! και!C2! και!είναι!C2=4C1.!Αρχικά!ο!μεταγωγός!μ!τοποθετείται!στη!θέση!(1)!και!το!κύκλωμα!L]C1!εκτελεί!ηλεκτρικές!ταλαντώσεις!με!το!φορτίο!του!πυκνωτή!να!μεταβάλλεται!με!το!χρόνο!όπως!δείχνει!η!σχέση:!!!!

q1=4.10'4(συν(4.103t)(((S.I).(!


46

Τη!χρονική!στιγμή!t=(π/24).10]3!s!μετακινούμε!ακαριαία!το!μεταγωγό!μ!στη!θέση!(2)!οπότε!και!αρχίζει!να!εκτελεί!ηλεκτρικές!ταλαντώσεις!το!κύκλωμα!L]C2.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1)!!!!!!(2)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!μ!!!*****************************************************C1***********************************L*******************************C2!**************************!**************************************************************************!**********************************************************!!α)! Να! υπολογίσετε! το! πηλίκο! των! κυκλικών! συχνοτήτων! των! δύο! κυκλωμάτων!(ω1/ω2).!β)!Να!βρείτε!το!πλάτος!του!ρεύματος!που!διαρρέει!το!κύκλωμα!L]C2.!γ)*Να!βρείτε!το!πηλίκο!των!ενεργειών!των!δύο!κυκλωμάτων!(Ε1/Ε2).!δ)! Αν!θεωρήσουμε!ως!στιγμή! t=0! τη!στιγμή!που! τοποθετείται! ο!μεταγωγός!μ!στη!θέση!(2),!να!γράψετε!τη!χρονική!εξίσωση!της!ενέργειας!του!πυκνωτή!C2.!Δίνεται!ο!συντελεστής!αυτεπαγωγής!του!πηνίου!L=10]3!H.!Απάντηση.!

!α)!ω1/ω2=2!!!!β)!Ι2=0,8Α!!!!!!γ)!Ε1/Ε2=4!!!!!!!!δ)!U=32.10

=5ημ2(2000t)!(S.I).!

!!!Δύο* κυκλώματα* με* κοινό* πυκνωτή* &* φθίνουσα* ηλεκτρική* ταλάντωση* &*εξαναγκασμένη*ηλεκτρική*ταλάντωση*76. Στο!κύκλωμα!του!παρακάτω!σχήματος!ο!πυκνωτής!έχει! χωρητικότητα!C=2μF!και! έχει! τη! δυνατότητα! μέσω! ενός! μεταγωγού! μ! να! συνδέεται! είτε! με! πηνίο!συντελεστή! αυτεπαγωγής! L1=0,02H,! είτε! με! ένα! άλλο! πηνίο! συντελεστή!αυτεπαγωγής!L2=0,05H!το!οποίο!είναι!σε!σειρά!με!αντιστάτη!R=10000Ω.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2)!!!!!!!(1)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!μ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!**************************!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L2**********************************************************************************C******!!!!!!!!!!!!!!!L1!!!!!!!!!!!!!!!


47

Α)! ! Αρχικά! ο! μεταγωγός! βρίσκεται! στη! θέση! (1)! οπότε! το! κύκλωμα! L1]C! εκτελεί!αμείωτες! ηλεκτρικές! ταλαντώσεις.! Θεωρούμε! ως! στιγμή! t=0! τη! στιγμή! κατά! την!οποία!η!ένταση!του!ρεύματος!είναι!10mA!και!ο!ρυθμός!μεταβολής!της! ισούται!με!μηδέν.!Να!βρεθούν!οι!χρονικές!εξισώσεις!του!φορτίου!του!πυκνωτή!και!της!έντασης!του!ρεύματος!στο!κύκλωμα.!!!Β)!!Τη!χρονική!στιγμή!t1=(π/6).10]3s!ο!μεταγωγός!m!μεταφέρεται!στη!θέση!(2)!οπότε!και! αρχίζει! μια! φθίνουσα! ηλεκτρική! ταλάντωση.! Να! βρεθεί! η! θερμότητα! που!αναπτύσσεται! στον! αντιστάτη! R! μέχρι! τη! στιγμή! που! το! μέγιστο! φορτίο! στον!πυκνωτή!γίνει!Q=0,5!!μC.!!Γ)! !Πόση!ενέργεια!θα!έπρεπε!να!προσφέρεται!στο!κύκλωμα!L2]R]C!σε!χρόνο!ίσο!με!την!ιδιοπερίοδο!του!ώστε!να!εκτελεί!αμείωτη!εξαναγκασμένη!ηλεκτρική!ταλάντωση!με!πλάτος!ρεύματος!Ι=0,2mA;!Απ.! !Α)! i=10=2.συν(5000t)! (S.I)! ,! ! q=2.10=6.ημ(5000t)! (S.I)! ! ! B)!QΘ=(3/16).10

=6J! ! ! ! ! ! ! Γ)!

W=3,97.10=7!J.!

!!!*Βραχυκύκλωμα*&*φθίνουσα*ηλεκτρική*ταλάντωση*77. Το! κύκλωμα! του! παρακάτω! σχήματος,! εκτελεί! ηλεκτρική! ταλάντωση! με! το!διακόπτη! κλειστό! και! στο! παρακάτω! σχήμα! δίνεται! το! φορτίο! του! πυκνωτή! (το!φορτίο!του!οπλισμού!Α!του!πυκνωτή)!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!Δίνονται!ακόμη!η!χωρητικότητα! του! πυκνωτή! C=0,4μF,! ο! συντελεστής! αυτεπαγωγής! του! πηνίου!L=0,3Η!και!η!αντίσταση!του!αντιστάτη!R=100Ω.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!δ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!q(10K6C)*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*R************************40*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!20!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!A***********************************************************************t!******************L********************C**********************0**************************t1*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!B*!!!!1)! Να! υπολογίσετε! την! ενέργεια! ταλάντωσης! και! το! πλάτος! του! ρεύματος! που!διαρρέει!το!κύκλωμα.!*2)! Βρείτε! την! ένταση! του! ρεύματος! τη! χρονική! στιγμή! t1! (που! δίνεται! στο!διάγραμμα)!και!σχεδιάστε!πάνω!στο!κύκλωμα!τη!φορά!του!ρεύματος.!*


48

3)!Τη!στιγμή!t1!ανοίγουμε!το!διακόπτη.!Για!αμέσως!μετά!(στιγμή!t1=0+)!να!βρεθούν:!α)!Ο!ρυθμός!μεταβολής!της!ενέργειας!του!πυκνωτή.!β)!Ο!ρυθμός!με!τον!οποίο!παράγεται!θερμότητα!στον!αντιστάτη.!γ)!Ο!ρυθμός!μεταβολής!της!ενέργειας!του!πηνίου.!*4)! Πόση! συνολικά! θερμότητα! θα! παραχθεί! πάνω! στον! αντιστάτη! με! το! διακόπτη!ανοικτό;!!Απάντηση.!1.!E=2.10]3!J,!!!I!=!(0,4. 3)/3!A!2.!I!=!+!0,1!A!3.*α)!dUE/dt!=!5!J/s,!!!!!*β)*dQ/dt!=!1!J/s********γ)*dUB/dt!=!]6!J/s***4.!!Q=2.10]3!J!!!!!!!!Με*αρχική*φάση*διαφορετική*από*0*ή*π/2*78. Για!το!κύκλωμα!του!παρακάτω!σχήματος!δίνονται!Ε=10V!,!r=0,!R=1Ω,!C=10]3F!και!L=10]3H.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Ε,*r!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!C!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*L!!!!A.!O!διακόπτης!βρίσκεται!αρχικά!στη!θέση!Α!για!αρκετά!μεγάλο!χρονικό!διάστημα.!Να!υπολογίσετε!το!φορτίο!του!πυκνωτή!και!την!ένταση!του!ρεύματος!που!διαρρέει!το!πηνίο.!!B.! Αν! ο! διακόπτης! ξαφνικά,! τη! χρονική! στιγμή! t=0! μεταφερθεί! στη! θέση! Β,! να!υπολογίσετε! τις! χρονικές! συναρτήσεις! του!φορτίου! του! πυκνωτή! και! της! έντασης!του!ρεύματος.!!Απάντηση.!Α.!Q1=10]2!C,!!!I1=10A!Β.!! = 2. 10!!. !" 1000! + !!

! !. ! , ! = 10 2.!"# 1000! + !!! !. ! !

!!!!


49

!Σύνθετη*άσκηση*79. Α.! Στο! κύκλωμα! του! σχήματος,! η! πηγή! έχει! ΗΕΔ! Ε! =! 100V! και! r! =! 1Ω,! ο!αντιστάτης! R1! =! 4Ω! διαρρέεται! από! σταθερό! ρεύμα! έντασης! Ι0! =! 10Α,! ενώ! ο!διακόπτης!(δ1)!είναι!κλειστός.!!!1.!!Να!υπολογίσετε!την!τιμή!της!R2!!2.!!!Να!υπολογίσετε!το!φορτίο!του!πυκνωτή!με!χωρητικότητα!C1!=!20μF.!!***************************R1*****************************δ1*************************μ**********************δ2************R* � � � � �0

++++ E,r R2 C1 L1 C2 ------ 4L1 � � �

Β.*Ανοίγουμε!το!διακόπτη!(δ1)!και!φέρουμε!το!μεταγωγό!(μ)!στη!θέση!Α,!χωρίς!να!ξεσπάσει! σπινθήρας,! οπότε! τη! στιγμή! t! =! 0! ξεκινά! αμείωτη! ηλεκτρική! ταλάντωση!στο!ιδανικό!κύκλωμα!L1C1,!όπου!L1!=!2mH.!!*1.* Να! γράψετε! τις! χρονικές! εξισώσεις! για! το! φορτίο! και! για! την! ένταση! του!ρεύματος.!!2.*Να!υπολογίσετε!το!ρυθμό!μεταβολής!της!έντασης!του!ρεύματος!όταν!UB!=!3UE!για!πρώτη!φορά.!!3.*Να!υπολογίσετε!τον!ρυθμό!μεταβολής!της!ενέργειας!του!μαγνητικού!πεδίου!του!πηνίου! σε! συνάρτηση! με! το! χρόνο! και! να! βρείτε! τη! χρονική! στιγμή! που! γίνεται!μέγιστος!για!πρώτη!φορά.!!*Γ.* Κάποια! στιγμή! που! η! ένταση! του! ρεύματος! στο! κύκλωμα! ηλεκτρικών!ταλαντώσεων! L1C1! είναι! μέγιστη! και! έχει!φορά!από! το! Γ! προς! το!Α,! μεταφέρουμε!ακαριαία!τον!μεταγωγό!(μ)!από!το!Α!στο!Κ.!Κατά!τη!μεταφορά!ξεσπάει!σπινθήρας!οπότε!η!ενέργεια!του!μαγνητικού!πεδίου!του!πηνίου!μειώνεται!κατά!25%.!Τη!στιγμή!που! ο! μεταγωγός! φτάνει! στο! Κ,! (την! οποία! θεωρούμε! t΄! =! 0),! ξεκινά! ηλεκτρική!ταλάντωση! στο! ιδανικό! κύκλωμα! L1C2,! με! διπλάσια! συχνότητα! από! αυτή! της!προηγούμενης!και!ενέργεια!ίση!με!την!ενέργεια!της!προηγούμενης!ταλάντωσης.!!*1.*Να!υπολογίσετε!τη!χωρητικότητα!C2!καθώς!και!την!αρχική!τάση!που!είχε!φορτίσει!τον!πυκνωτή!C2.!!2.*Να! γράψετε! την! εξίσωση! του! φορτίου! του! οπλισμού! του! πυκνωτή! C2! που! την!στιγμή!t!=!0!ήταν!θετικά!φορτισμένος!(συνδεμένος!στο!Λ!όπως!φαίνεται!στο!σχήμα).!!3.*Να!υπολογίσετε! τη!χρονική!στιγμή!που!η!ένταση!του!ρεύματος!μηδενίζεται!για!πρώτη!φορά.!!


50

*Δ.* Την! παραπάνω! χρονική! στιγμή! φέρνουμε! τον! μεταγωγό! (μ)! πάλι! στο! Α! και!κλείνουμε!τον!διακόπτη!(δ2).!Μετά!από!300!πλήρεις!ταλαντώσεις!το!μέγιστο!φορτίο!του!πυκνωτή!υποδιπλασιάζεται.!!*1.*Να!παραστήσετε! γραφικά! το!μέγιστο!φορτίο! του!πυκνωτή!σε!συνάρτηση!με! το!χρόνο!Q!=!f(t).!!2.*Να!υπολογίσετε!σε!πόσο!χρόνο!η!θερμότητα!που!αναπτύσσεται!στον!αντιστάτη!R!είναι!ίση!με!τα!15/16!της!αρχικής!ενέργειας!του!νέου!κυκλώματος.!!!Απαντήσεις.!!!Α.**1.!R2!=!5!Ω!!!!!!!**2.*Q1!=!10]3!C*************Β.* *1.* * !q!=!10]3συν(5000t)!(S.I),! ! i!=!]5ημ(5000t)!(S.I)! * * * * * * * * * * * *2.*di/dt!!=!]12500!A/s!********3.!dUB/dt!=!125ημ(10000t)!(S.I)!,!!!!t!=!5π.10]5!s*******Γ.***1.!C2!=!5μF!,!!!!V02!=!50V!*****2.!q=5.10]4συν(10000t+5π/3)!(S.I),!!!***3.!t!=!(π/3).10]4s******!Δ.**1*Q!=!5.10]4!e](ln2/0,12π)t!!(S.I)*****2.!t=0,24π!s!!!!!!Σύνθετη*άσκηση*80. Στο! κύκλωμα! του! παρακάτω! σχήματος! δίνονται! Ε=12V,! R=120Ω,! L1=0,1H,!L2=0,4H!και!C=4.10]5F.!Αρχικά!οι!δύο!μεταγωγοί!μ1! και!μ2! είναι!συνδεδεμένοι!στις!θέσεις! (1)! και! (3)! αντίστοιχα! και! το! ρεύμα! που! διαρρέει! το! ! κύκλωμα! έχει! μια!σταθερή!τιμή.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1)!!!!!!!(2)!!!!!!!!!!(3)!!!!!!!(4)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!μ1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!μ2!!!!!!!!!!**************************!!!!!!!!!!!!E!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L1**********C!!!!!!!!!!!!!!!L2!!!!!!!!!!!!!!!Α)! !Κάποια!χρονική!στιγμή!(t=0)!μεταφέρουμε!ακαριαία!τον!μεταγωγό!μ1!στη!θέση!(2)! οπότε! το! κύκλωμα! L]C1! αρχίζει! να! εκτελεί! αμείωτη! ηλεκτρική! ταλάντωση.! Να!γράψετε! τις! χρονικές! εξισώσεις! της! έντασης! του! ρεύματος! και! του! φορτίου! του!πυκνωτή.!!Β)! Τη! χρονική!στιγμή! t1=(5π/3).10]3s!μεταφέρουμε!ακαριαία! τον!μεταγωγό! (2)!στη!θέση!(4)!οπότε!το!κύκλωμα!L]C2!αρχίζει!να!εκτελεί!αμείωτη!ηλεκτρική!ταλάντωση.!!


51

α)!Να!υπολογίσετε!τη!χρονική!στιγμή!t2!κατά!την!οποία!η!ενέργεια!του!ηλεκτρικού!πεδίου!του!πυκνωτή!ισούται!με!την!ενέργεια!του!μαγνητικού!πεδίου!του!πηνίου!L2.!β)!Να!βρεθεί!ο!ρυθμός!μεταβολής!της!έντασης!του!ρεύματος!την!ίδια!στιγμή!t2.!Απ.!Α)!q=2.10=4ημ(500t)!,!i=0,1συν(500t)!(S.I)!!B)!α)!t=8π/3000!s!!β)!100 2/32!Α/s.! !!!!

ΚΕΦΑΛΑΙΟ(2(ΑΡΜΟΝΙΚΟ*ΚΥΜΑ*

*ΑΣΚΗΣΕΙΣ*

*1. Στην! άκρη! Ο! μιας! ομογενούς! χορδής! βρίσκεται! πηγή! κύματος! η! οποία!ταλαντώνεται!σύμφωνα!με!την!εξίσωση!y=0,1.ημ(4πt)!(S.I).!Το!κύμα!που!παράγεται!διαδίδεται!με!ταχύτητα!2m/s.!Ένα!σημείο!Σ!απέχει!απόσταση!1,25!m!από!το!άκρο!Ο.**α)!!Να!βρεθεί!η!φάση!και!η!ταχύτητα!του!σημείου!Σ!τις!χρονικές!στιγμές!t1=0,5s!και!t2=1,5s.!β)!!Να!βρείτε!την!κινητική!ενέργεια!και!τη!συνισταμένη!δύναμη!που!ασκείται!σε!μια!στοιχειώδη!μάζα!της!χορδής!m=10]6Kg!η!οποία!βρίσκεται!στο!σημείο!Σ! τη!χρονική!στιγμή!t3=2s.******2. Σε! ένα! γραμμικό! ελαστικό! μέσο! που! συμπίπτει! με! τον! άξονα! χ’χ! διαδίδεται!εγκάρσιο!αρμονικό!κύμα!που!έχει!εξίσωση!

! = !,!"#$ !− !" !!!(!! → !!",!! → !!, !! → !!)(α)! Ποια! χρονική! στιγμή! αρχίζει! να! ταλαντώνεται! ένα! σημείο! Α! του! μέσου! που!βρίσκεται!στη!θέση!x=+1,5m;!β)! Ποιο! είναι! το! μέτρο! τη! ταχύτητας! ταλάντωσης! του! σημείου! Α! όταν! η!απομάκρυνση!του!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!είναι!! = 5 3!!";!γ)!Ποια!σημεία!μεταξύ!των!σημείων!Ο! (x=0)!και!Α!έχουν! τη!χρονική!στιγμή! t=2,5s!απομάκρυνση!y=+5cm;!Απ:!!α)!t=3s!!!!!!!β)!υ=0,05π!m/s!!!!!γ)!x=1/6!m,!5/6!m,!7/6!m!! ***


52

3. Γραμμικό!ελαστικό!μέσο!ταυτίζεται!με!τον!ημιάξονα!Οx.!Μια!πηγή!παραγωγής!αρμονικών!κυμάτων!βρίσκεται!στη!θέση!x=0!και!αρχίζει!να!ταλαντώνεται!τη!στιγμή!t=0,!κινούμενη!προς!τα!πάνω!(θετική!φορά).!Το!εγκάρσιο!κύμα!που!δημιουργείται,!διαδίδεται! με! ταχύτητα! υ=2m/s.! Στο! παρακάτω! σχήμα! φαίνεται! ένα! στιγμιότυπο!αυτού!του!κύματος,!τη!χρονική!στιγμή!t=t1.*!!!!!!!!!!!!!y(m)!!!!!!!!+0,4!!!!!!!!!!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!10!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x(m)!!!!!!!!!]0,4!!α)!!!!Να!γράψετε!την!εξίσωση!του!εγκάρσιου!αρμονικού!κύματος.!β)!!!!!Να!υπολογίσετε!τη!χρονική!στιγμή!t1.!γ)! ! Να! κάνετε! τη! γραφική! παράσταση! της! φάσης! των! διαφόρων! σημείων! του!ελαστικού! μέσου! σε! συνάρτηση! με! την! απόστασή! τους! από! την! πηγή,! για! τις!χρονικές!στιγμές!t1!και!t1+T.!δ)!!!!Ένα!σημείο!Β!αρχίζει!να!ταλαντώνεται,!όταν!ένα!άλλο!σημείο!Α!που!βρίσκεται!στη!θέση!xA=15m!είναι!στη!μέγιστη!αρνητική!απομάκρυνση!του!για!δεύτερη!φορά.!Να! βρείτε! τη! θέση! του! σημείου! B,! να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! της!απομάκρυνσής!του!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!και!να!τη!παραστήσετε!γραφικά.!ε)!!!Να!βρείτε!ποια!χρονική!στιγμή!η!κινητική!και!η!δυναμική!ενέργεια!του!σημείου!Β!γίνονται!ίσες!για!πρώτη!φορά.!!Απαντήσεις:!α)!y=0,4ημ2π(0,2t]0,1x)!(S.I),!!!!β)!t1=12,5s!!!!γ)!φ(x,t)=0,4πt]0,2πx!(S.I)!!!!δ)!!xB=32,5m,!yB=0,4ημ(0,4πt]6,5π)!(S.I)!!!!ε)!t=16,875!s.!!!!!!!!!!!4. Σε!ένα!γραμμικό!ελαστικό!μέσο!που!συμπίπτει!με!τον!ημιάξονα!Οχ!διαδίδεται!εγκάρσιο!αρμονικό!κύμα.!Η!πηγή!του!κύματος!που!βρίσκεται!στο!σημείο!Ο!(x=0)!τη!στιγμή! t=0! ξεκινά! να! ταλαντώνεται! με! θετική! ταχύτητα.! Στο! σχήμα! φαίνεται! το!στιγμιότυπο!του!κύματος!τη!χρονική!στιγμή!t=1,4s.!

t=t1


53

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!y(m)*!!!!!!!!!!!!!!+0,4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!υ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x(s)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2,8!!!!!!!!!!!!!!!!!!]0,4!!α)!Να!υπολογίσετε!τη!ταχύτητα!διάδοσης!του!κύματος.!β)!Να!γραφεί!η!εξίσωση!του!κύματος.!γ)!Να!σχεδιαστεί!το!διάγραμμα!των!φάσεων!των!διαφόρων!σημείων!του!ελαστικού!μέσου!σε!συνάρτηση!με!τη!θέση!τους,!τη!χρονική!στιγμή!t=2,4s.!δ)! Να! βρείτε! τη! διαφορά! φάσης! δύο! σημείων! του! ελαστικού! μέσου! Α! και! Β! αν!γνωρίζεται! ότι! για! να! μεταβεί! το! κύμα! από! το! σημείο! Α! στο! σημείο! Β! χρειάζεται!χρόνο!Δt=0,35s.!Ποιο!από!τα!δύο!αυτά!σημεία!έχει!μεγαλύτερη!φάση!και!γιατί;!

Απ:!α)!υ=2m/s!!!!!β)!y=0,4ημ2π! 5! 4− 5! 8 !(!. !)!!γ)!φ=6π=5πx/4!!!!δ)!Δφ=7π/8!!!5. Σε!γραμμικό!ελαστικό!μέσο! το!οποίο! ταυτίζεται!με! τον!οριζόντιο!άξονα!x’Ox!διαδίδεται!εγκάρσιο!αρμονικό!κύμα!προς!την!αρνητική!κατεύθυνση!του!άξονα.!Στο!παρακάτω!σχήμα!φαίνεται!το!στιγμιότυπο!του!κύματος!κάποια!χρονική!στιγμή!t1.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!y(m)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!K!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+Α!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!O!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!]0,3!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!xK!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x(m)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!]A!!!!!!!!!Tη!χρονική!στιγμή!t=0!το!κύμα!έχει!φτάσει!στην!αρχή!του!άξονα!(x=0)!αναγκάζοντας!το! σημείο! αυτό! να! κινηθεί! προς! τη! μέγιστη! θετική!απομάκρυνση.! ! Από! τη! στιγμή!που! ξεκίνησε! να! ταλαντώνεται! το! σημείο! Κ! μέχρι! και! τη! στιγμή! t1! πέρασε! χρόνος!0,25s!και!στο!χρόνο!αυτό!το!σημείο!Κ!διένυσε!διάστημα!0,2m.!!

t=1,4s ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

54

α)!Να!υπολογίσετε!τη!χρονική!στιγμή!t1!και!το!μήκος!κύματος.!β)!Να!βρείτε!πόσα!σημεία!του!αρνητικού!ημιάξονα!στα!οποία!έχει!φτάσει!ήδη!το!κύμα,!έχουν!ακινητοποιηθεί!στιγμιαία!τη!χρονική!στιγμή!t2=0,7s.!γ)! Να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! της! δυναμικής! ενέργειας! ταλάντωσης! ενός!σημείου! Δ! μάζας! 4g! που! βρίσκεται! στον! αρνητικό! ημιάξονα! και! τη! στιγμή! t3=1s!μόλις!έχει!ολοκληρώσει!την!πρώτη!του!ταλάντωση.!δ)!Να!γράψετε!τη!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!του!υλικού!σημείου!Κ!από!τη!χρονική!στιγμή!t=0!και!μετά!και!να!σχεδιάσετε!τη!γραφική!της!παράσταση.!!Απαντήσεις.!α)t1=1,15s,!λ=0,4m!β)!Ν=7!!γ)!U=32.10]4.ημ2(10πt]8π)!(S.I)!δ)*yK=0,04.ημ(10πt+π)!(S.I)!!!!6. Σε! γραμμικό! ελαστικό! μέσο! που!ταυτίζεται! με! τον! ημιάξονα! Οx!διαδίδεται! εγκάρσιο! αρμονικό! κύμα!πλάτους!0,2m.!H!πηγή!του!κύματος!(x=0)!αρχίζει! να! ταλαντώνεται! τη! στιγμή! t=0!με! εξίσωση! y=A.ημωt.! Στο! διπλανό!διάγραμμα! φαίνεται! η! φάση! των!διαφόρων! σημείων! του! ελαστικού!μέσου! τη! χρονική! στιγμή! t=2s.! Nα!υπολογίσετε:!α)!το!μήκος!κύματος!

!!!!!!!!!!!!!!!!!φ(rad)*!!!!!!!!!!!!!!!8π!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x(m)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+1,6!

β)!το!μέτρο!της!επιτάχυνσης!ενός!σημείου!Δ!τη!χρονική!στιγμή!που!η!ταχύτητα!του!λόγω!της!ταλάντωσης!που!εκτελεί!έχει!μέτρο!υ=0,4π!m/s.!γ)!την!απομάκρυνση!από!τη!θέση!ισορροπίας!του,!ενός!σημείου!Μ!μετά!από!χρόνο!Δt=1/16!s!από!τη!στιγμή!που!άρχισε!να!ταλαντώνεται!δ)! τις! τετμημένες! των! σημείων! του! μέσου! διάδοσης! που! τη! χρονική! στιγμή! t=1s!βρίσκονται!σε!απομάκρυνση!+0,1 2!m!και!κινούνται!προς!τη!θέση!ισορροπίας!τους.!Δίνεται!π2=10.!!Απαντήσεις.!α)!λ=0,4m!!!!!β)!α=16 3!m/s2!!!!!γ)!yM=+0,1 2!m!!!!δ)!x=+0,25m!,!x=+0,65m!**7. Αρμονικό! κύμα! περιόδου! Τ! διαδίδεται! κατά! μήκος! του! άξονα! x’Ox! προς! τη!θετική!κατεύθυνση.!Το!σημείο!Ο!του!ελαστικού!μέσου!που!βρίσκεται!στην!αρχή!του!άξονα! αρχίζει! να! ταλαντώνεται! τη! στιγμή! t=0! με! θετική! ταχύτητα.! Η! μικρότερη!απόσταση!μεταξύ!των!θέσεων!ισορροπίας!δύο!σημείων!που!την!ίδια!χρονική!στιγμή!έχουν!μέγιστη!δυναμική!ενέργεια!ταλάντωσης!είναι!0,25m.!Tη!στιγμή!t1=1s!η!φάση!του!σημείου!Κ!(xK=1,375m)!ισούται!με!φΚ=2,5π!rad.!**α)!!Να!υπολογίσετε!τη!ταχύτητα!διάδοσης!του!κύματος.!β)!!Να!υπολογίσετε!τη!μέγιστη!ταχύτητα!ταλάντωσης!του!σημείου!Ο!αν!τη!χρονική!στιγμή!t1=1s!η!απομάκρυνση!του!σημείου!Κ!είναι!y=0,2m.!


55

γ)! !Να!υπολογίσετε!πόσα!σημεία! του!θετικού!ημιάξονα!έχουν! τη!στιγμή! t2=t1+T/4!την!ίδια!απομάκρυνση!με!το!σημείο!Ο.!δ)! !Να!βρείτε! την! ταχύτητα! ταλάντωσης! και! την!απομάκρυνση! του!σημείου!Κ! την!στιγμή! που! το! σημείο! Λ! (xΛ=2,625m)! διέρχεται! από! τη! θέση! ισορροπίας! του! με!θετική!ταχύτητα.!***8. Αρμονικά! κύματα! πλάτους! Α=0,4m! και! περιόδου! Τ=0,1s! διαδίδονται! με!ταχύτητα!υ=2m/s! κατά!μήκος! γραμμικού!ελαστικού!μέσου! το!οποίο! ταυτίζεται!με!τον!ημιάξονα!Οx.!H!πηγή!του!κύματος!βρίσκεται!στο!άκρο!Ο!του!ελαστικού!μέσου!και!ταλαντώνεται!με!εξίσωση!y=Aημωt.!Υλικό!σημείο!Α!του!ελαστικού!μέσου!έχει!τη!χρονική! στιγμή! t1!φάση! ταλάντωσης!φΑ=10π/4! rad,! ενώ! ένα!άλλο! υλικό! σημείο! Β!του! ελαστικού!μέσου! έχει! τη! χρονική! στιγμή! t1+5T/8!φάση! ταλάντωσης!φΒ=13π/4!rad.!**α)!!Να!διερευνήσετε!ποιό!από!τα!δύο!σημεία!Α!και!Β!βρίσκεται!πιο!κοντά!στην!πηγή!Ο!των!κυμάτων.!β)! ! Να! υπολογίσετε! την! απομάκρυνση! από! την! θέση! ισορροπίας! καθώς! και! την!ταχύτητα!ταλάντωσης!των!σημείων!Α!και!Β!τη!χρονική!στιγμή!t1.!γ)!!Αν!το!υλικό!σημείο!Β!βρίσκεται!στη!θέση!xB=+0,8m,!να!υπολογίσετε!ποια!χρονική!στιγμή! ξεκινά! να! ταλαντώνεται! το! σημείο! Α! και! κατόπιν! να! γράψετε! τις! χρονικές!εξισώσεις!της!απομάκρυνσης!για!τα!σημεία!Α!και!Β.!Απ.! !α)!Α! ! ! ! !β)!yA=+0,4m!,!vA=0! ,!yB=0! ,!vB=8π!m/s! ! ! ! !γ)!yB=0,4ημ(20πt=8π)!(S.I)!για!t>0,4s!!yA=0,4ημ(20πt=7,5π)!(S.I)!για!t>0,375s!!(***9. Το!άκρο!Ο!μιας!χορδής!πολύ!μεγάλου!μήκους!η!οποία!εκτείνεται!κατά!μήκος!του!θετικού!ημιάξονα!Οχ!αρχίζει!να!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!χωρίς!αρχική!φάση!τη!χρονική!στιγμή!t=0.!Στη!χορδή!διαδίδεται!κύμα!προς!τη!θετική!κατεύθυνση!του!άξονα!με!ταχύτητα!διάδοσης!υ=2m/s!μήκος!κύματος!λ=4m!και!πλάτος!Α=1m.!Τη!χρονική!στιγμή! t=2,5s! ένα!σημείο!Β! της! χορδής! έχει!αποκτήσει! για!δεύτερη!φορά!μηδενική! ταχύτητα! ταλάντωσης! ενώ! την! ίδια! χρονική! στιγμή! ένα! σημείο! Γ! της!χορδής!βρίσκεται!για!πρώτη!φορά!στη!μέγιστη!θετική!απομάκρυνσή!του.!!*α)!!Να!βρεθούν!οι!θέσεις!των!σημείων!Β!και!Γ!πάνω!στον!άξονα!Οχ.!β)!!Να!βρεθεί!η!απόσταση!των!σημείων!Β!και!Γ!τη!χρονική!στιγμή!t=2,5s.!γ)! Να! σχεδιαστούν! σε! κοινό! διάγραμμα! οι! φάσεις! των! διαφόρων! σημείων! του!ελαστικού!μέσου!σε!συνάρτηση!με!τη!θέση!τους!πάνω!στον!άξονα!Οχ,!τις!χρονικές!στιγμές!που!το!κύμα!φτάνει!στα!σημεία!Β!και!Γ.!δ)! ! Να! βρεθεί! η! ταχύτητα! ταλάντωσης! του! σημείου! Β! τη! χρονική! στιγμή! που! η!κινητική! ενέργεια! ενός! σημείου! Δ! με! xΔ=3,5m! είναι! ίση! για! πρώτη! φορά! με! τη!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσης!του!σημείου!Δ.!!Απ:!!!α)!!xB=2m!,!xΓ=4m!!!!!!!!!!!!β)!!d=2 2m!!!!!!!!!!!!!!δ)!!υΒ=]π!m/s!**


56

*10. Σε! γραμμικό! ελαστικό! μέσο! που! βρίσκεται! στη! διεύθυνση! του! ημιάξονα! Ox!διαδίδεται! προς! τη! θετική! φορά! εγκάρσιο! αρμονικό! κύμα.! Η! πηγή! του! κύματος!βρίσκεται!στην!αρχή!του!άξονα!Ο!και!τη!χρονική!στιγμή!t=0!διέρχεται!από!τη!θέση!ισορροπίας! με! θετική! ταχύτητα.! Στο! παρακάτω! σχήμα! φαίνεται! η! γραφική!παράσταση!της!απομάκρυνσης!ενός!υλικού!σημείου!Κ!(x=+1m)!μάζας!m=0,02Kg!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!!!!!!!!!!!!!!y(m)!!!!!+0,2!!!!!!!!!!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!t(s)!!!!!!!!!]0,2!!α)!!Να!υπολογίσετε!τη!ταχύτητα!διάδοσης!του!κύματος.!β)!!Να!γράψετε!την!εξίσωση!του!κύματος.!γ)!!Να!σχεδιάσετε!το!στιγμιότυπο!του!κύματος!τη!χρονική!στιγμή!t=5s.!δ)!!Να!υπολογίσετε!τη!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσης!του!υλικού!σημείου!Κ!τη!χρονική!στιγμή!t=4,25s.!Δίνεται!ότι!π2=10.!Απ.!!α)!υ=0,5m/s!!!!!β)!y=0,2ημ2π(0,5t=x)!(S.I)!!!!!δ)!U=4.10=3J!!!11. Γραμμικό!ελαστικό!μέσο!ταυτίζεται!με!τον!άξονα!x’Ox.!Στην!αρχή!Ο!του!άξονα!υπάρχει! πηγή! αρμονικών! κυμάτων! η! οποία! τη! χρονική! στιγμή! t=0! αρχίζει! να!ταλαντώνεται! χωρίς! αρχική! φάση.! Στο! παρακάτω! διάγραμμα! παριστάνεται! η!απομάκρυνση! ενός! σημείου! Σ1! του! ελαστικού! μέσου! που! βρίσκεται! στη! θέση!x1=+0,6m!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!!!!!!!!!!!!!!y(m)!!!!!+0,04!!!!!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0,03!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0,07!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!t(s)!!!!!!!!]0,04!!


57

α)! !Να! γραφούν!οι! χρονικές! εξισώσεις! της!απομάκρυνσης! για! τα!σημεία! Σ1! και! Σ2!!!(x=]0,6m)!και!να!υπολογιστεί!η!διαφορά!φάσης!των!δύο!αυτών!σημείων.!β)!!Να!γίνει!η!γραφική!παράσταση!y=f(x)!για!τα!σημεία!του!άξονα!τη!χρονική!στιγμή!t=0,03s.!γ)!Να!βρεθεί!πόσες!φορές!μέχρι! και! τη! χρονική!στιγμή! t=0,075s! το!σημείο!Σ1! έχει!κινητική!ενέργεια!ίση!με!τη!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσής!του.!!δ)! !Να!βρεθεί!το!πλήθος!των!σημείων!του!ελαστικού!μέσου!που!τη!χρονική!στιγμή!t=0,125s!έχουν!την!ίδια!απομάκρυνση!και!την!ίδια!ταχύτητα!με!το!σημείο!Σ1.!!!Απ:!!α)!y1=y2=0,04ημ2π(25t!–!3/4)!(S.I)!με!t!≥!0,03s!!,!Δφ=0!!γ)!5!!!!!!!!!!!δ)!4!!!!12. Μια!πηγή!κυμάτων!βρίσκεται!στην!αρχή!Ο!ενός!γραμμικού!ελαστικού!μέσου!το!οποίο!ταυτίζεται!με!τον!ημιάξονα!Οx!και!τη!στιγμή!t=0!αρχίζει!να!ταλαντώνεται!σύμφωνα!με!την!εξίσωση!y=0,05ημ(4πt)!(S.I).!Το!κύμα!που!παράγεται!διαδίδεται!με!ταχύτητα! υ=1m/s.! Σε! απόσταση! 2m! από! την! πηγή! βρίσκεται! μια! σημειακή! μάζα!m=0,1Kg.!*α)!!Ποια!είναι!η!εξίσωση!του!παραγόμενου!κύματος;!β)*!Ποια!είναι!η!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!και!της!ταχύτητας!ταλάντωσης!της!σημειακής!μάζας;!γ)! ! Ποια! είναι! η! γραφική! παράσταση! της! ενέργειας! ταλάντωσης! της! σημειακής!μάζας!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο;!δ)!!Ποια!χρονική!στιγμή!γίνεται!για!πρώτη!φορά!η!κινητική!ενέργεια!της!σημειακής!μάζας!ίση!με!τη!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσής!της;!!Απ:! !α)!y=0,05ημ(4πt=4πx)! (S.I)! !β)!y=0,05ημ(4πt=8π)! (S.I),!υ=20πσυν(4πt=8π)! (S.I)!δ)!t=2,0625!s!!!!13. Ένα!αρμονικό! κύμα! διαδίδεται! με! ταχύτητα! 2m/s! κατά! μήκος! του!άξονα! x’x!προς!τη!θετική!φορά!και!τη!στιγμή!t=0!φτάνει!σε!ένα!σημείο!Ρ!που!βρίσκεται!στη!θέση!x=4/3!m.!To!σημείο!Ρ!αρχίζει!την!ταλάντωσή!του!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!και!κινείται!προς!τη!θετική!κατεύθυνση!με!συχνότητα!f=1!Hz!και!πλάτος!Α=0,2m.!α)!!Να!βρεθεί!η!εξίσωση!του!κύματος.!β)!!Να!σχεδιάσετε!το!στιγμιότυπο!του!κύματος!τη!χρονική!στιγμή!t1=5/6!s.!γ)!!Να!βρείτε!τη!θέση!ενός!σημείου!Σ!το!οποίο!τη!στιγμή!t1!έχει!φάση!8π.!!(****)!(Με!αρχική!φάση)!!!!!!!!


58

14. Σώμα! (2)! μάζας! m2=3Kg! είναι!δεμένο! στο! κάτω! άκρο! κατακόρυφου!ιδανικού! ελατηρίου! σταθεράς!k=300N/m,! το! άλλο! άκρο! του! οποίου!είναι! στερεωμένο! στην! οροφή! και!ισορροπεί! ακίνητο! σε! ύψος! h=0,15m!πάνω! από! το! οριζόντιο! δάπεδο.! Στο!σώμα! αυτό! είναι! δεμένο! αβαρές!οριζόντιο! νήμα! μεγάλου! μήκους! που!ταυτίζεται!με!τον!ημιάξονα!Οx.!Σώμα!(1)!μάζας! m1=1Kg! εκτοξεύεται! από! το!δάπεδο! κατακόρυφα! προς! τα! πάνω! με!ταχύτητα! υ0! και! τη! χρονική! στιγμή! t=0!συγκρούεται! μετωπικά! και! ελαστικά! με!το! ακίνητο! σώμα! (2).! Εξαιτίας! της!κρούσης! το! σώμα! (2)! αρχίζει! να! εκτελεί!απλή! αρμονική! ταλάντωση,! με!αποτέλεσμα! να! αρχίσει! να! διαδίδεται!στο! νήμα! εγκάρσιο! αρμονικό! κύμα! με!εξίσωση!y=0,05ημ(10t]2πx)!(S.I).!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!O!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x!!!!!!!!!!!!!m2*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!υ0*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m1*

α)!Να!υπολογίσετε!το!μέτρο!της!ορμής!του!σώματος!(2)!αμέσως!μετά!τη!κρούση.!β)!Να!βρείτε!το!μέτρο!της!ταχύτητας!υ0.!γ)!Να!υπολογίσετε!τη!μεταβολή!της!ορμής!του!σώματος!(1)!εξαιτίας!της!κρούσης.!δ)!Να!σχεδιάσετε!το!στιγμιότυπο!του!κύματος!τη!χρονική!στιγμή!t=3π/4!s.!Δίνεται!g=10m/s2.!Aπ:!!α)!p’2=1,5!Κg.m/s!!!!!β)!!υ0=2!m/s!!!!!γ)!Δp1=]1,5!Kg.m/s!!!15. Σε!ένα!γραμμικό!ελαστικό!μέσο!που!συμπίπτει!με!τον!ημιάξονα!Οχ!διαδίδεται!εγκάρσιο! αρμονικό! κύμα.!Η! πηγή! του! κύματος! που! βρίσκεται! στο! σημείο!Ο! (x=0)!εκτελεί! ταυτόχρονα! δύο! κατακόρυφες! αρμονικές! ταλαντώσεις! οι! οποίες!περιγράφονται!από!τις!εξισώσεις:!!

!! = !"# !"#!− !! !!!"#!!!!!! = ! !!" !"#!+ !! !!!!!!(! → !", ! → !)!!α)!Να!γράψετε!τη!χρονική!εξίσωση!της!ταλάντωσης!της!πηγής!του!κύματος.!β)!Να!γράψετε!την!εξίσωση!του!εγκάρσιου!αρμονικού!κύματος!που!παράγεται,!αν!γνωρίζετε!ότι!η!ταχύτητα!διάδοσης!είναι!υ=2!m/s.!γ)!Να!υπολογίσετε!τη!ταχύτητα!ταλάντωσης!του!σημείου!A!που!βρίσκεται!στη!θέση!x=4m!τη!χρονική!στιγμή!t=3s.!δ)!Κάποια!χρονική!στιγμή!η!φάση!της!ταλάντωσης!του!σημείου!Α!είναι!φ=14π!rad.!Ποια!είναι!τη!στιγμή!την!ίδια!στιγμή!η!φάση!ενός!άλλου!σημείου!Β!που!βρίσκεται!στη!θέση!x=5m;!


59

Απ:! ! α)! y=0,08ημ(10πt)! (S.I)! ! ! β)! ! = 0,08!"2! 5! − 2,5! !(!. !)! ! γ)! υ=0,8π! m/s!!!!!!!!

δ)!φ=9π!rad! ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ**16. Σε!γραμμικό!ελαστικό!μέσο!διαδίδεται!αρμονικό!κύμα!κατά!τη!θετική!φορά.!Οι!ταλαντώσεις!δύο!σημείων!Α!και!Β!του!ελαστικού!μέσου!περιγράφονται!από!τις!εξισώσεις:!yA=0,1ημπ(2t]4)!(S.I)!!και!!!yB=0,1ημπ(2t]7)!(S.I)!*α)!!Το!κύμα!διαδίδεται!με!φορά!από!το!Β!προς!το!Α.!β)!!Το!κύμα!διαδίδεται!με!φορά!από!το!Α!προς!το!Β.!Να!επιλέξετε!τη!σωστή!απάντηση!δικαιολογώντας!την!άποψη!σας.!!!!!

ΣΥΜΒΟΛΗ*ΚΥΜΑΤΩΝ*ΣΤΗΝ*ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ*ΥΓΡΟΥ**

ΑΣΚΗΣΕΙΣ**17. Δύο! εγκάρσια! αρμονικά! κύματα! διαδίδονται! ταυτόχρονα! σε! γραμμικό!ελαστικό! μέσο! το! οποίο! ταυτίζεται! με! τον! άξονα! x’Ox.! Τα! δύο! αυτά! κύματα!περιγράφονται!από!τις!εξισώσεις!y1=0,1ημ(2πt]4πx)!(S.I)!και!y2=0,1ημ(2πt]4πx+0,5π)!(S.I).*α)!!Να!βρείτε!ποιο!από!τα!δύο!κύματα!θα!φτάσει!πρώτο!στο!σημείο!K!που!βρίσκεται!στη!θέση!x=+2m!και!ποια!χρονική!στιγμή!συμβαίνει!αυτό.!β)! ! Να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! της! απομάκρυνσης! του! σημείου! Κ,! μετά! τη!συμβολή!των!δύο!κυμάτων!στο!σημείο!αυτό.!γ)! ! Να! υπολογίσετε! την! ταχύτητα! ταλάντωσης! του! σημείου! Κ! τη! χρονική! στιγμή!t=10s.!Απ.!!α)!το!κύμα!(2),!t=3,75s!!!β)!y=0,1 2ημ(2πt=7,75π)!(S.I)!!!γ)!υ=0,2π!m/s(**18. Στην!επιφάνεια!υγρού!διαδίδονται!αρμονικά!κύματα! ίδιας!συχνότητας!f=5Hz!και!ίδιου!μήκους!κύματος!λ=0,3m!που!δημιουργούνται!από!δύο!σύγχρονες!πηγές!Π1!και! Π2! οι! οποίες! ταλαντώνονται! με! εξίσωση! y=Aημωt.! Τα! δύο! αυτά! κύματα!συμβάλλουν!σε! ένα!σημείο!Κ!που!ανήκει!στο! ευθύγραμμο! τμήμα! των!δύο!πηγών!και!απέχει! από!αυτές!αποστάσεις! x1! και! x2! με! x1<x2.! Τα! δύο! κύματα! !φτάνουν!σε!αυτό! το! σημείο! με! διαφορά! φάσης! Δφ=4π! rad.! Η! εξίσωση! της! ταλάντωσης! του!σημείου!Κ!εξαιτίας!της!συμβολής!των!δύο!κυμάτων!είναι!y=0,04ημ(10πt]4π)!(S.I).*α)!!Να!γράψετε!την!εξίσωση!της!ταλάντωσης!των!δύο!πηγών.!β)!!Να!υπολογίσετε!τις!αποστάσεις!του!σημείου!Κ!από!τις!δύο!πηγές.*γ)!!Αν!ένα!κομμάτι!φελλού!μάζας!1g!βρίσκεται!στο!σημείο!Κ!και!ταλαντώνεται!λόγω!συμβολής,!να!υπολογίσετε!την!ενέργεια!της!ταλάντωσής!του.!Δίνεται!π2=10.!Απ.!α)!y=0,02ημ10πt!(S.I)!!!β)!x1=0,3m!!x2=0,9m!!!!γ)!Ε=8.10=4J!


60

19. Στα! σημεία! Α! και! Β! της! επιφάνειας! υγρού! που! ηρεμεί! δημιουργούνται! από!δύο!σύγχρονες!πηγές!κυμάτων!Π1!και!Π2!εγκάρσια!επιφανειακά!κύματα.!Η!εξίσωση!ταλάντωσης!της!κάθε!πηγής!είναι!!ψ=2ημ5πt!!(ψ!σε!mm!,!t!σε!sec.).!Ένα!πολύ!μικρό!κομμάτι!φελλού!βρίσκεται!σε!σημείο! Σ! της! επιφάνειας! του!υγρού,!σε!αποστάσεις!r1=4m! και! r2! αντίστοιχα,! από! τις! δύο! πηγές.! Το! κύμα! από! τη! πηγή!Π1!φτάνει! στο!σημείο!Σ!τη!στιγμή!t1=0,4s!και!από!τη!πηγή!Π2!με!καθυστέρηση!Δt=0,4s.**α)!!Να!βρεθούν!η!ταχύτητα!διάδοσης!και!το!μήκος!κύματος!των!κυμάτων.!β)!!Να!σχεδιάσετε!την!γραφική!παράσταση!της!απομάκρυνσης!του!φελλού!από!την!θέση!ισορροπίας!του!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο,!έως!τη!χρονική!στιγμή!t2=0,8!s.!γ)! !Να!βρεθεί!το!πλάτος!ταλάντωσης!που!εκτελεί!ο!φελλός!εξαιτίας!της!συμβολής!των!δύο!κυμάτων!δ)!!Να!βρεθεί!η!ταχύτητα!του!φελλού!τη!χρονική!στιγμή!t3=1,2!s.!ε)! !Να!βρεθεί!η! ελάχιστη!συχνότητα!που!πρέπει! να!έχουν!οι!δύο!πηγές!ώστε!στο!σημείο!Σ!να!έχουμε!ακυρωτική!συμβολή.!!!20. Δύο!σύγχρονες!πηγές!αρμονικών!κυμάτων!Π1!και!Π2!βρίσκονται!στα!σημεία!Ζ!και!Θ!αντίστοιχα!τη!επιφάνειας!υγρού,!απέχουν!μεταξύ!τους!απόσταση!d=0,9m!και!ταλαντώνονται! χωρίς! αρχική! φάση! με! πλάτος! Α.! Τα! κύματα! που! δημιουργούνται!έχουν! μήκος! κύματος! λ=0,15m! και! διαδίδονται! στην! επιφάνεια! του! υγρού! με!ταχύτητα! υ=3m/s.! Σημείο! Κ! της! επιφάνειας! του! υγρού! απέχει! από! τη! πηγή! Π1!απόσταση!r1!και!από!τη!πηγή!Π2!απόσταση!r2,!για!τις!οποίες!ισχύει!r2]r1=0,75m.!Το!σημείο!Κ! ξεκινά!να! ταλαντώνεται! τη!στιγμή! t1! ενώ!το!πλάτος! της! ταλάντωσής! του!αλλάζει!μια! επόμενη! χρονική!στιγμή! t2=0,4s.!Η!μέγιστη! ταχύτητα! ταλάντωσης! του!σημείου!Κ!μετά!τη!στιγμή!t2!ισούται!με!16π!m/s.!!α)! ! Να! υπολογίσετε! το! πλάτος! της! ταλάντωσης! του! σημείου! Κ! μετά! τη! χρονική!στιγμή!t2.!β)*!Να!γράψετε!τη!χρονική!εξίσωση!της!ταλάντωσης!των!δύο!πηγών.!γ)! ! Να!υπολογίσετε! τη! χρονική!στιγμή! t1! καθώς! και! τη!φάση! της! ταλάντωσης! του!σημείου!Κ!τη!χρονική!στιγμή!t3=4t1.!δ)!!Να!γράψετε!την!εξίσωση!της!ταχύτητας!ταλάντωσης!του!σημείου!Μ!που!είναι!το!μέσο! του! ευθυγράμμου! τμήματος! ΖΘ,! μετά! τη! συμβολή! των! κυμάτων!στο! σημείο!αυτό.!!Απ.!α)!Α=0,4m!!!!!β)!y=0,2ημ40πt!(S.I)!!!!γ)!φ=14π!rad!!!!!δ)!υ=16πσυν(40πt]6π)!!!!!21. Δύο!σύγχρονες!πηγές!αρμονικών!κυμάτων!Π1!και!Π2!οι!οποίες!απέχουν!μεταξύ!τους!απόσταση!12cm!ταλαντώνονται!!με!εξισώσεις:!y1=!y2=0,3ημ(10πt)!(S.I)!Τα!κύματα!που!δημιουργούνται!διαδίδονται!στην!επιφάνεια!του!υγρού!με!ταχύτητα!υ=10!cm/s.!Ένα!σημείο!Ζ!βρίσκεται!πάνω!στην!ημιευθεία!Π1y!η!οποία!είναι!κάθετος!στο!ευθύγραμμο!τμήμα!Π1Π2!και!απέχει!5cm!από!την!πηγή!Π1.!!


61

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!y!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Z!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Π1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Π2!α)!!Να!γράψετε!τις!εξισώσεις!των!κυμάτων!που!δημιουργούν!οι!δύο!πηγές.!β)!!Να!υπολογίσετε!την!απομάκρυνση!του!σημείου!Ζ!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!τη!χρονική!στιγμή!t=1s.!γ)! ! Να! υπολογίσετε! τη! μέγιστη! ταχύτητα! ταλάντωσης! του! σημείου! Ζ! εξαιτίας! της!συμβολής!των!δύο!κυμάτων.!δ)!!Να!υπολογίσετε!την!απομάκρυνση!του!σημείου!Ζ!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!τη!χρονική!στιγμή!t=1,5s.!ε)*!Ένα!σημείο!Ν!της!ημιευθείας!Π1y!απέχει!αποστάσεις!r1!και!r2!από!τις!δύο!πηγές!αντίστοιχα.! Τη! χρονική! στιγμή! t1! όπου! τα! δύο! κύματα! έχουν! ήδη! συμβάλλει! στο!σημείο!Ν!οι!φάσεις!τους!στο!σημείο!Ν!διαφέρουν!κατά!2π!rad.!Να!υπολογίσετε!τις!αποστάσεις!r1!και!r2.!στ)!Να!γράψετε!τη!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!του!σημείου!Ζ!εξαιτίας!της!συμβολής! των!δύο!κυμάτων!σε!αυτό,!αν!η!εξίσωση!της! ταλάντωσης! της!πηγής!Π2!είναι!!!y2=0,3ημ(10πt+π)!(S.I)!!!!!(***)!!!22. Α.!!Ακίνητο!σώμα!Σ2!μάζας!Μ!είναι!στερεωμένο!στο!ελεύθερο!άκρο!οριζόντιου!ιδανικού! ελατηρίου! σταθεράς! k=0,6N/m.! Σώμα! Σ1! μάζας!m=0,2Kg! που! κινείται! με!ταχύτητα!μέτρου!υ1=4,4m/s!προς!τη!θετική!κατεύθυνση!συγκρούεται!κεντρικά!και!ελαστικά!με!το!Σ2!τη!χρονική!στιγμή!t=0!όπως!φαίνεται!στο!σχήμα.!Μετά!τη!κρούση!το!Σ1!κινείται!προς!την!αντίθετη!κατεύθυνση!έχοντας!χάσει!το!75%!της!αρχικής!του!κινητικής!ενέργειας,!ενώ!το!Σ2!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!α)!!!!Να!υπολογίσετε!τη!μάζα!του!σώματος!Σ2.!β)! ! Να! γράψετε! τη! χρονική! εξίσωση! της! απομάκρυνσης! της! ταλάντωσης! του!σώματος!Σ2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!***************************************************************************************************************************Σ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Μ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!υ1!!!!Δ!!!!****************************************************************************************************************************Π!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*


62

!Β)! ! ! Το! σώμα! Σ2! μπορεί! να! λειτουργήσει! ως! ανακλαστήρας! ηλεκτρομαγνητικών!κυμάτων! ! τα! οποία! δημιουργούνται! από! μια! πηγή! που! είναι! τοποθετημένη! στο!σημείο!Π!του!οριζόντιου!επιπέδου.!Στο!σημείο!Σ!του!οριζόντιου!επιπέδου!τα!κύματα!μπορούν! να! φτάσουν! είτε! απευθείας! ακολουθώντας! τη! διαδρομή! ΠΣ=α=2m! είτε!αφού!ανακλαστούν!στο!Σ2!το!οποίο!βρίσκεται!συνεχώς!πάνω!στη!μεσοκάθετο!του!ΠΣ.! Τη! χρονική! στιγμή! t=0! o! ανακλαστήρας! βρίσκεται! στο! σημείο! Δ! σε! απόσταση!r=3m!από! την! πηγή! Π! και! στο! σημείο! Σ! παρατηρείται! ενισχυτική! συμβολή.! Αν! το!μήκος! κύματος! των! ηλεκτρομαγνητικών! κυμάτων! είναι! λ=2m! να! βρείτε! σε! ποια!χρονική!στιγμή! κατά! τη!διάρκεια! της! ταλάντωσης! του!ανακλαστήρα!παρατηρείται!ξανά!ενισχυτική!συμβολή!στο!σημείο!Σ.!!!Θεωρήστε! ότι! η! διάδοση! των! ηλεκτρομαγνητικών! κυμάτων! δεν! επηρεάζει! την!

κίνηση!του!ανακλαστήρα!και!ότι! 4,12 = !και! 7,13 = .!!!!Απ:!!!Α)!!α)!Μ=0,6Κg!!!!β)!x=2,2ημt!(S.I)!!!!!B)!!t=π/6!s.!! 23. Τη!χρονική!στιγμή!t0!=!0!s!δύο!πηγές!κυμάτων!Π1!και!Π2,!που!βρίσκονται!στην!ήρεμη! επιφάνεια! μιας! λίμνης,! αρχίζουν! να! ταλαντώνονται! με! μέγιστη! ταχύτητα!ταλάντωσης! και! προς! τη! θετική! κατεύθυνση,! έχοντας! συνεχώς! την! ίδια! φάση.! Τα!παραγόμενα!εγκάρσια!αρμονικά!κύματα!διαδίδονται!στην!επιφάνεια!του!νερού!με!αμείωτο! πλάτος! A! =! 1! cm.! Ένα! σημείο! Σ,! που! απέχει! από! τις! πηγές! Π1! και! Π2!αποστάσεις!d1=10!cm!και!d2!=14!cm!αντίστοιχα,!αρχίζει!να!ταλαντώνεται!τη!χρονική!στιγμή! t1=1s,! κατά! την! οποία! η! κάθε! πηγή! έχει! πραγματοποιήσει! 5! πλήρεις!ταλαντώσεις.!α.!Να!υπολογίσετε!την!ταχύτητα!διάδοσης!και!το!μήκος!κύματος!των!κυμάτων!που!παράγονται!από!τις!δύο!πηγές.!β.!Να!παραστήσετε!γραφικά!το!πλάτος!ταλάντωσης!του!σημείου!Σ!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο,!από!τη!χρονική!στιγμή!!t0=!0!s!μέχρι!τη!χρονική!στιγμή!!t3=!2!s.!γ.!Να!υπολογίσετε!την!ταχύτητα!ταλάντωσης!του!σημείου!Σ!τη!χρονική!στιγμή!t2=1,7!s.!δ.! Να! υπολογίσετε! την! ελάχιστη! οριζόντια! απόσταση! ανάμεσα! σε! δύο! διαδοχικά!σημεία! του! ευθύγραμμου! τμήματος! που! συνδέει! τις! δύο! πηγές,! τα! οποία!ταλαντώνονται! με! μέγιστο! πλάτος! 2Α.! Θεωρήστε! ότι! ανάμεσα! στις! δύο! πηγές!υπάρχουν!τουλάχιστον!3!τέτοια!σημεία.!!!!!!!!!


63

ΣΤΑΣΙΜΟ*ΚΥΜΑ**

ΑΣΚΗΣΕΙΣ**24. Ένα!τεντωμένο!οριζόντιο!σχοινί!ΟΑ!μήκους!L!εκτείνεται!κατά!μήκος!του!άξονα!x’x.! Το! άκρο! Α! είναι! στερεωμένο! ακλόνητα! στη! θέση! x=L=1,8m! ενώ! το! άκρο! Ο!βρίσκεται! στη! θέση! x=0! ελεύθερο! έτσι! ώστε! με! κατάλληλη! διαδικασία! να!δημιουργείται!στάσιμο!κύμα!με!πέντε!συνολικά!κοιλίες.!Στη!θέση!x=0!εμφανίζεται!κοιλία.! Τη! χρονική! στιγμή! το! σημείο! x=0! βρίσκεται! στη! θέση! ισορροπίας! του!κινούμενο! προς! τη! θετική! φορά.! Στο! παρακάτω! διάγραμμα! φαίνεται! η! κινητική!ενέργεια!σε!συνάρτηση!με! την!απομάκρυνση,! για! ένα!σημείο!Μ!μάζας!m=10]6! Kg!που!βρίσκεται!στη!θέση!μιας!κοιλίας.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Κ(J)*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!32π2.10]6J!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!y’!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!y(m)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!]0,1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+0,1!**α)!!Να!γράψετε!την!εξίσωση!του!στάσιμου!κύματος.!β)! !Να!υπολογίσετε!την!κινητική!ενέργεια!του!σημείου!Λ!του!σχοινιού,!με!xΛ=0,5m!τη!χρονική!στιγμή!που!η!απομάκρυνση!του!από!τη!θέση!ισορροπίας!είναι!η!μισή!της!μέγιστης!τιμής!της.!γ)*!Να!βρεθεί!η!θέση!του!πλησιέστερου!σημείου,!εκ!δεξιών!του!πρώτου!δεσμού!που!έχει! μέγιστη! ταχύτητα! ταλάντωσης! ίση! με! τα! 3/2! της! μέγιστης! ταχύτητας!ταλάντωσης!του!σημείου!Λ.!Να!θεωρήσετε!ότι!όλα!τα!υλικά!σημεία!του!ελαστικού!μέσου!έχουν!την!ίδια!μάζα.!!!25. Ένα! στάσιμο! κύμα! που! έχει! εξίσωση! y(x,t)=0,4.συν(2πx).ημ(πt/2)! (S.I)!σχηματίζεται!πάνω!σε!χορδή!ΟΑ.!Το!άκρο!Α!είναι!στερεωμένο!ακλόνητα!στη!θέση!x=L! ενώ! το! άκρο! Ο! βρίσκεται! στη! θέση! x=0! ελεύθερο! έτσι! ώστε! με! κατάλληλη!διαδικασία! να! δημιουργείται! στάσιμο! κύμα! με! πέντε! δεσμούς.! Στη! θέση! x=0!εμφανίζεται!κοιλία.!*α)**Ποιες!είναι!οι!εξισώσεις!των!κυμάτων!από!τη!συμβολή!των!οποίων!προέκυψε!το!στάσιμο!κύμα;!β)!!Ποια!είναι!η!ταχύτητα!διάδοσης!των!δύο!κυμάτων!πάνω!στη!χορδή;!γ)!!Ποια!είναι!η!απόσταση!του!δεύτερου!δεσμού!από!την!τρίτη!κοιλία;!δ)!!Ποιο!είναι!το!μήκος!L!της!χορδής;!ε)!!Σημείο!Σ!απέχει!από!την!αρχή!Ο!απόσταση!0,625m.!!!!!!i)!Ποιο!είναι!το!πλάτος!της!ταλάντωσής!του;!


64

!!!!!ii)!Ποια!είναι!η!διαφορά!φάσης!του!με!το!σημείο!x=0;!!!!!!iii)!Nα!υπολογίσετε!τη!μέγιστη!ταχύτητα!ταλάντωσης!του!σημείου!Σ.!στ)!!Να!βρείτε!τις!ταχύτητες!της!πρώτης!και!της!δεύτερης!κοιλίας!τη!στιγμή!t=0.!ζ)! ! Να! σχεδιάσετε! τα! στιγμιότυπα! του! στάσιμου! κύματος! τις! στιγμές! t=0,! t=T/8,!t=T/4,!t=3T/4.!***26. Δύο! αρμονικά! κύματα! ίδιου! πλάτους! Α,! ίδιου! μήκους! κύματος! λ=0,12m!!διαδίδονται! σε! μια! χορδή! μήκους! L=1,35m! προς! αντίθετες! κατευθύνσεις! και!συμβάλλουν.!Η!χορδή!έχει!και!τα!δύο!άκρα!της!ακλόνητα!στερεωμένα.!*α)!Να!εξετάσετε!αν!είναι!δυνατό!να!δημιουργηθεί!πάνω!στη!χορδή!στάσιμο!κύμα.!β)! Να! υπολογίσετε! κατά! πόσο! πρέπει! να! μεταβάλλουμε! το! μήκος! κύματος! λ! των!κυμάτων!που!διαδίδονται!πάνω!στη! χορδή,!ώστε! να!δημιουργηθεί!πάνω!σε!αυτή!στάσιμο!κύμα!με!πέντε!δεσμούς.!Απ.!!α)!Όχι!!!!!!!!!β)!Δλ=+0,555m!****27. !!!Σε!χορδή!μήκους!l=5,25cm!έχουμε!ακλόνητα!στερεωμένο!το!δεξιό!της!άκρο.!Πάνω! στη! χορδή! δημιουργείται! στάσιμο! κύμα! συχνότητας! f=25Hz! με! τέσσερα!σημεία! να! παραμένουν! συνεχώς! ακίνητα.! Στο! αριστερό! άκρο! της! χορδής! (x=0)!!δημιουργείται! κοιλία! Δίνεται! ότι! μια! κοιλία! του! στάσιμου! κύματος! έχει! ταχύτητα!μέτρου!υ=300π!cm/s!όταν!η!απομάκρυνσή!της!είναι!y=8cm.!!α)!!Να!γράψετε!την!εξίσωση!του!στάσιμου!κύματος.!β)!!Να!βρείτε!την!επιτάχυνση!που!έχει!το!σημείο!x=1,5cm!τη!χρονική!στιγμή!t=0,07s.!γ)! !Να!βρείτε!το!πλησιέστερο!από!τα!δεξιά!στον!πρώτο!δεσμό!σημείο!της!χορδής,!που! έχει! μέγιστη! ταχύτητα! ταλάντωσης,! ίση! με! τη! μισή! μέγιστη! ταχύτητα!ταλάντωσης!μιας!κοιλίας.!δ)! ! Να! αποδειχθεί! ότι! αν! μεταβληθεί! η! συχνότητα! σε! f’=30Hz! δεν! μπορούμε! να!έχουμε!δημιουργία!στάσιμου!κύματος!στη!χορδή!με!το!σημείο!x=0!να!είναι!κοιλία.!

Απ:!!α)!!y=10συν ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛32 xπ

ημ(50πt)!!!(x,y!σε!cm)!!!!!β)!!α==250π2!m/s2!!!!!!γ)!!x=1cm!!!

***28. Το!αριστερό!άκρο!Ο!μιας!χορδής!το!οποίο!θεωρείται!ως!αρχή!μέτρησης!των!αποστάσεων! (x=0)! αρχίζει! τη! χρονική! στιγμή! t=0! να! εκτελεί! απλή! αρμονική!ταλάντωση.! Έτσι! αρχίζει! να! διαδίδεται! ένα! αρμονικό! κύμα! με! ταχύτητα! διάδοσης!υ=10m/s.Το!κύμα!αυτό!ανακλάται!στο!άλλο!άκρο!της!χορδής!Ν!και!επιστρέφοντας!συμβάλλει! με! το! προσπίπτων! κύμα,! δημιουργώντας! πάνω! της! στάσιμο! κύμα! με!κοιλία!στο!σημείο!Ο.!Στο!παρακάτω!διάγραμμα!φαίνεται!η!γραφική!παράσταση!της!απομάκρυνσης!ενός!σημείου!Σ!της!χορδής!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!Να!βρεθούν:!!


65

!!!!!!!!!!!!!y(m)*!!!!!!!+0,1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0,65!!!!!!!!!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!0,25!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!t(s)!!!!!!!!!]0,1!!*α)!!Το!μήκος!κύματος!των!κυμάτων!που!συμβάλλουν!πάνω!στη!χορδή.!β)!!Η!απόσταση!του!σημείου!Σ!από!το!σημείο!Ο!και!το!!μήκος!της!χορδής.!γ)! !Η!εξίσωση!του!στάσιμου!κύματος!αν!ως!χρονική!στιγμή!t=0!θεωρήσουμε!ότι!το!σημείο!Ο!διέρχεται!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!κινούμενο!με!θετική!ταχύτητα.!δ)! ! Η! χρονική! εξίσωση! της! ταχύτητας! του! σημείου! Ρ! που! βρίσκεται! στο! μέσο! της!απόστασης!ανάμεσα!στο!σημείο!Σ!και!στην!επόμενη!από!αυτό!κοιλία.!Απ:!! ! !α)!λ=2m!!! ! !β)!xΣ=2,5m!!! !L=4,5m!!! ! !γ)!y=0,2.συν(πx).ημ(10πt)!(S.I)! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !δ)!v=π 2.συν(10πt+π)!(S.I)!!!!!29. !!!!Κατά!μήκος!μιας!οριζόντιας!ελαστικής!χορδής!μήκους!l=66cm!της!οποίας!το!ένα! άκρο! είναι! ελεύθερο! και! το! άλλο! άκρο! είναι! ακλόνητα! στερεωμένο!δημιουργείται!στάσιμο!κύμα.!Στην!αρχή!της!χορδής!δημιουργείται!κοιλία!με!πλάτος!ταλάντωσης!8cm!και!πάνω!στη!χορδή!υπάρχουν!6!ακίνητα!σημεία.!Αν!η!ταχύτητα!διάδοσης!των!δύο!κυμάτων!από!τη!συμβολή!των!οποίων!δημιουργείται!το!στάσιμο!κύμα!είναι!υ=48m/s:!*α)!!!!να!γράψετε!την!εξίσωση!του!στάσιμου!κύματος!β)! ! !να!βρείτε!το!ρυθμό!μεταβολής!της!ταχύτητας!του!σημείου!χ=60cm!τη!χρονική!στιγμή!t=1/40!s!γ)! ! ! να!βρείτε! την!ενέργεια! ταλάντωσης! του!σημείου!χ=44cm!αν!η!μάζα! του!είναι!m=1g.!(π2=10)!δ)!!!να!!σχεδιάσετε!!το!!στιγμιότυπο!του!στάσιμου!κύματος!τη!χρονική!στιγμή!t=3/80!s.! στο! οποίο! να! φαίνεται! και! η! φορά! της! κίνησης! των! διαφόρων! σημείων! της!χορδής.!!!30. Δύο! κύματα! συχνότητας! f=40Hz! διαδίδονται! ταυτόχρονα! κατά! μήκος! μιας!τεντωμένης!ελαστικής!χορδής!που!ταυτίζεται!με!τον!άξονα!των!x.!Από!τη!συμβολή!των! δύο! κυμάτων! προκύπτει! στάσιμο! κύμα.! Στο! ακόλουθο! σχήμα! φαίνεται! ένα!στιγμιότυπο! της! χορδής! τη! χρονική! στιγμή! κατά! την! οποία! όλα! τα! σημεία! της!χορδής! που! ταλαντώνονται! βρίσκονται! στις! θέσεις! μέγιστης! απομάκρυνσης.! Τη!χρονική!στιγμή!t=0!για!το!σημείο!x=0!ισχύει!y=0.*


66

!!!!!!!!!!!!!!y(cm)*!!!!!10!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!20!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!50!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x(cm)*!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Κ*α)**Να!γραφεί!η!εξίσωση!του!στάσιμου!κύματος.!β)! ! Να! υπολογίσετε! το! πλάτος! ταλάντωσης! του! σημείου! Κ! της! χορδής! το! οποίο!βρίσκεται!στη!θέση!xK=50cm.!γ)* !Να!βρεθεί!η!απομάκρυνση!από! τη!θέση! ισορροπίας! του!σημείου!Κ,! τη!στιγμή!που!η!ταχύτητά!του!είναι!ίση!με!το!μισό!της!μέγιστης!τιμής!της.!δ)! !Πόσο!είναι!το!πηλίκο!της!δυναμικής!προς!τη!κινητική!ενέργεια!τη!ταλάντωσης!του!σημείου!Κ!αυτή!τη!στιγμή;!ε)! !Έστω!Λ!ένα!σημείο,!το!οποίο!είναι!το!πλησιέστερο!σημείο!αριστερά!του!Κ!που!ταλαντώνεται! με! πλάτος! ίσο! με! το! πλάτος! των! κυμάτων! που! συμβάλλουν! για! να!δημιουργήσουν! το! στάσιμο! κύμα.!Πόση! είναι! η!απόσταση!μεταξύ! των!σημείων! Κ!και!Λ!τη!στιγμή!που!και!τα!δύο!σημεία!ταλαντώνονται!με!τη!μέγιστη!ταχύτητά!τους;! 31. Σε! οριζόντιο,! ομογενές! και! γραμμικό! ελαστικό! μέσο! που! ταυτίζεται! με! τον!άξονα! x’Ox,! διαδίδεται! εγκάρσιο! αρμονικό! κύμα! κατά! τη! θετική! φορά.! Καθώς! το!κάθε!σημείο!του!ελαστικού!μέσου!ταλαντώνεται!εξαιτίας!του!κύματος,!περνά!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!20!φορές!σε!κάθε!δύο!δευτερόλεπτα!με!ταχύτητα!μέτρου!2π!m/s.!Η! οριζόντια!απόσταση!δύο!σημείων! του! ελαστικού!μέσου! των! οποίων! οι!ταλαντώσεις!έχουν!διαφορά!φάσης!Δφ!=π!rad!είναι!1m.!!*A)!!Nα!υπολογίσετε!το!μήκος!κύματος,!τη!συχνότητα!και!τη!ταχύτητα!διάδοσης!του!κύματος.!*Β)!!Ένα!δεύτερο!πανομοιότυπο!κύμα!διαδίδεται!πάνω!στο!ίδιο!ελαστικό!μέσο!κατά!την!αρνητική!φορά!του!άξονα!και!συναντιέται!με!το!πρώτο!κύμα!τη!στιγμή!t=0!στο!σημείο!Ο!(x=0).!α)!!Να!γραφούν!οι!εξισώσεις!των!δύο!κυμάτων.!β)! !Σε!πόσο!μήκος!του!ελαστικού!μέσου!έχει!διαδοθεί!το!στάσιμο!κύμα!τη!χρονική!στιγμή!t1=0,2!s;!γ)!!Πόσοι!δεσμοί!έχουν!δημιουργηθεί!στη!περιοχή!αυτή!του!στάσιμου!κύματος;!


67

δ)!!Ποια!είναι!η!εξίσωση!του!στάσιμου!κύματος;! Γ ) �� π�� xK=2,25m �� t=0,2s; !

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ**32. Το!ένα!άκρο!μιας!ελαστικής!!τεντωμένης!χορδής!είναι!στερεωμένο!ακλόνητα,!ενώ!το!ελεύθερο!άκρο!της!Ο!εξαναγκάζεται!σε!αρμονική!ταλάντωση!συχνότητας!f1.!Παρατηρούμε! τότε! ότι! κατά! μήκος! της! χορδής! υπάρχουν! συνολικά! 3! σημεία! που!παραμένουν! ακίνητα,! ενώ! το! Ο! εκτελεί! ταλάντωση! µε! μέγιστο! πλάτος.!Μεταβάλλοντας!τη!συχνότητα!ταλάντωσης!του!Ο!από!!f1!σε!!f2,!διαπιστώνουμε!ότι!το!Ο!εξακολουθεί!να!εκτελεί!ταλάντωση!µε!μέγιστο!πλάτος,!ενώ!τα!ακίνητα!σημεία!της!χορδής!έχουν!γίνει!13.!Η!σχέση!που!συνδέει!τις!συχνότητες!!f1!και!f2,!είναι:!α.*f2!=!4f1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β.*f2=13/3!f1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ.!f*2!!=!5f1!Η!απάντηση!να!αιτιολογηθεί!*!!33. Σε! τεντωμένο! οριζόντιο! σχοινί! ΟΓ! μήκους! L! που! εκτείνεται! κατά! μήκος! του!άξονα!Οx!σχηματίζεται!στάσιμο!κύμα!με!τέσσερις!συνολικά!κοιλίες.!Το!άκρο!Ο!είναι!κοιλία,!ενώ!το!άκρο!Γ!είναι!ακλόνητο.!Τη!χρονική!στιγμή!t!=!0!το!σημείο!Ο!(x!=!0)!βρίσκεται!στη!θέση!μηδενικής!απομάκρυνσης!κινούμενο!κατά!τη!θετική!φορά.!Έστω!λ! το! μήκος! κύματος! των! αρχικών! αρμονικών! κυμάτων! που! δημιούργησαν! το!στάσιμο!κύμα.!Θεωρήστε!ότι!όλα!τα!σημεία!του!σχοινιού!έχουν!την!ίδια!μάζα.!!*Α.*Το!μήκος!L!του!σχοινιού!είναι:!!α.*3λ/2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β.*5λ/4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ.*7λ/4.!!Να!επιλέξετε!τη!σωστή!απάντηση!αιτιολογώντας!την!επιλογή!σας.!!*Β.*Ο!λόγος!της!ενέργειας!ταλάντωσης!του!μέσου!Μ!του!σχοινιού,!προς!την!ενέργεια!ταλάντωσης!μιας!κοιλίας,!είναι:!!α.*1/2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β.!2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ.*1/4.!!Να!επιλέξετε!τη!σωστή!απάντηση!αιτιολογώντας!την!επιλογή!σας.!***

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ*ΚΥΜΑ*!ΑΣΚΗΣΕΙΣ*!34. Ηλεκτρομαγνητικό! κύμα! διαδίδεται! μακριά! από! τη! πηγή! του! κατά! τη!διεύθυνση!του!άξονα!x’Ox!σε!οπτικό!μέσο!(1)!με!δείκτη!διάθλασης!n1=1,5.!H!ένταση!του! ηλεκτρικού! πεδίου! του! κύματος! σε! αυτό! το! οπτικό! μέσο! έχει! εξίσωση! της!μορφής!Ε=0,5.ημ(ωt]2πx/λ)!(S.I).!Αν!στη!θέση!του!οπτικού!μέσου!(1)!υπήρχε!αέρας!η!εξίσωση!της!φάσης!του!κύματος!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο!θα!ήταν!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!φ!=!ωt!]!4π.106!x!!(S.I).!


68

*α)!Να!υπολογίσετε!το!μήκος!του!κύματος!στον!αέρα!και!στο!οπτικό!μέσο!(1).!*β)!Να!γράψετε! την!εξίσωση! της!έντασης! του!μαγνητικού!πεδίου!κατά! τη!διάδοση!του!κύματος!στο!οπτικό!μέσο!(1).!*γ)! Το! κύμα! περνά! από! το! οπτικό! μέσο! (1)! σε! οπτικό! μέσο! (2)! που! έχει! δείκτη!διάθλασης!n2!με!αποτέλεσμα!να!υποστεί! εκτροπή!κατά!γωνία!150!από! την!αρχική!του! διεύθυνση.! Η! γωνία! διάθλασης! ισούται! με! 600! ενώ! το! κύμα! έχει! μεγαλύτερη!ταχύτητα!διάδοσης!στο!οπτικό!μέσο!(2)!από!ότι!στο!οπτικό!μέσο!(1).!*i)!Να!υπολογίσετε!τη!γωνία!πρόσπτωσης!του!κύματος!στη!διαχωριστική!επιφάνεια!των!δύο!οπτικών!μέσων.!*ii)! Nα! υπολογίσετε! την! ελάχιστη! απόσταση! μεταξύ! δύο! σημείων! στη! διεύθυνση!διάδοσης!του!κύματος,! του!οπτικού!μέσου!(2)!όπου!επαναλαμβάνεται!η!κυματική!εικόνα.!!Δίνεται!ότι!η!ταχύτητα!διάδοσης!του!κύματος!στον!αέρα!ισούται!με!c=3.108m/s.!!Απ:!α)!λ0=5.10]7m!!,!!λ1=10]6/3!m!!!!!β)!Β=2,5.10]9ημ(12π.1014t]6π.106x)!(S.I)!!!!!!!!!!!!γ)!θπ=450!,!λ2=!( 6/6).10]6!m.!!!Αμείωτη*ηλεκτρική*ταλάντωση,*ηλεκτρομαγνητικό*κύμα*και*συντονισμός.*35. Ο!μεταγωγός!!(μ)!βρίσκεται!για!αρκετή!ώρα!στη!θέση!1.!Το!ιδανικό!πηνίο!έχει!συντελεστή!αυτεπαγωγής!L1=0,1H!και!ο!πυκνωτής!με!χωρητικότητα!C1=4.10]7F!είναι!αφόρτιστος.! H! πηγή! έχει! ΗΕΔ! Ε=40V! και! εσωτερική! αντίσταση! r=2Ω.! Τη! χρονική!στιγμή! t=0! μετακινούμε! ακαριαία! τον! μεταγωγό! στη! θέση! 2,! οπότε! ξεκινά! η!ηλεκτρική!ταλάντωση!του!ιδανικού!κυκλώματος!L1C1.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R=8Ω*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!μ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2*!!!!!!!!!!!!!!Ε,r*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!C1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L1!!!!!!!A.! !α)! Να! εξηγήσετε! γιατί! θα! φορτιστεί! ο! πυκνωτής! χωρητικότητας! C1! καθώς! και!ποιος!οπλισμός!του!θα!φορτιστεί!πρώτος!θετικά.!


69

*β)!Να!γράψετε!τις!χρονικές!εξισώσεις!του!φορτίου!του!πυκνωτή!και!της!έντασης!του!ρεύματος!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!*γ)!Βρείτε!το!ρυθμό!μεταβολής!της!τάσης!στους!οπλισμούς!του!πυκνωτή!τη!χρονική!στιγμή!που!η! ενέργεια! του!μαγνητικού!πεδίου! του!πηνίου!έχει!μειωθεί! κατά!75%!για!πρώτη!φορά!αφότου!ο!μεταγωγός!βρέθηκε!στη!θέση!2.!*δ)!Υπολογίστε!τη!χρονική!στιγμή!του!παραπάνω!ερωτήματος.!!Β.***Αν!το!πηνίο!θεωρηθεί!ως!κεραία!που!εκπέμπει!ηλεκτρομαγνητικά!κύματα!στον!αέρα,!με!μέγιστη!ένταση!μαγνητικού!πεδίου!Βmax=2.10]6T,!να!βρείτε:!*α)! την! μέγιστη! τιμή! της! έντασης! του! ηλεκτρικού! πεδίου! του! ηλεκτρομαγνητικού!κύματος.!*β)!το!μήκος!του!κύματος.!!*γ)!τη!χωρητικότητα!C2!του!πυκνωτή!ενός!ραδιοφώνου!του!οποίου!το!κύκλωμα!L2C2!έχει! πηνίο! με! συντελεστή! αυτεπαγωγής! L2=(1/125)H,! ώστε! να! μεγιστοποιείται! η!ένταση! του! ρεύματος! που! θα! δημιουργηθεί! σε! αυτό! εξαιτίας! του!ηλεκτρομαγνητικού!κύματος.!!Δίνεται!η!ταχύτητα!του!φωτός!στον!αέρα!c=3.108m/s.*!!!!36. � �� π�� :

! = !.!"!!!" !.!"!". !− !!!! .!"!.! !!(!. !) α ) �� ; �� π�� . β ) �� ; γ ) �� π�� π�� ; δ ) �� π�� π�� π�� ; �� : c=3.108 m/s.

�π: �) �� ) n=2 �) �� ) ! = 2.10−10!"2! 0,5.1015. !−!1310

7.! !!(!. !)


70

37. � �� π�� π�� :

! = !.!"!!!" !.!"!. !− !!.! !!(!. !) α ) �� π�� . β ) �� π�� . γ ) �� , � �� π�� π��π��. �� n=4/3 �� π�� π�� . �π: �) �0=6m �) ! = 2. 10!!!!"2! 0,5. 10!. ! − !!/6 !!(!. !) �) ! = 1,5. 10!!!"2! 5. 10!. ! − !!! . ! !!(!. !) !

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ*!38. Από!το!πηνίο! ιδανικού!κυκλώματος!LC!με!συντελεστή!αυτεπαγωγής!L=10mH!εκπέμπεται!ηλεκτρομαγνητικό!κύμα,!που!το!μαγνητικό!του!πεδίο!περιγράφεται!από!την!εξίσωση,!Β=Βmaxημ50(αt]x/3)!(x!σε!Km)!όπου!α!θετική!σταθερά.!Εάν!η!ταχύτητα!του!φωτός!στον!αέρα!είναι!c=3.108!m/s,!τότε!η!χωρητικότητα!του!πυκνωτή!θα!είναι:!!α)!250μF!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β)!400μF!!!Επιλέξτε!τη!σωστή!απάντηση!και!δικαιολογήστε!την!επιλογή!σας.!!**39. Έστω! ηλεκτρικό! φορτίο! το! οποίο! εκτελεί! κυκλική! κίνηση,! τότε! το! φορτίο!δημιουργεί!ηλεκτρομαγνητικό!κύμα!α)!!μόνο!στην!περίπτωση!που!η!κίνηση!γίνεται!με!σταθερή!γωνιακή!ταχύτητα.!!β)!!μόνο!στην!περίπτωση!που!η!κίνηση!παρουσιάζει!γωνιακή!επιτάχυνση.!!γ)!!σε!κάθε!περίπτωση!ανεξάρτητα!από!τα!αν!δέχεται!γωνιακή!επιτάχυνση!!Επιλέξτε!τη!σωστή!απάντηση!και!δικαιολογήστε!την!επιλογή!σας.!!!!40. Στο! διάγραμμα! φαίνεται! η! κοινή! φάση! του! ηλεκτρικού! και! του! μαγνητικού!πεδίου!ενός!ηλεκτρομαγνητικού!κύματος,!τη!χρονική!στιγμή!t=2.10]3s.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!φ(rad)*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


71

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8π!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x*(104m)*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!4!!A)!Η!συχνότητα!του!κύματος!είναι:!α)*2.103!Hz!!!!!!!!!!!!!!!!β)!2.10]3!Ηz!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ)103!Ηz!*B)!O!δείκτης!διάθλασης!του!μέσου!στο!οποίο!διαδίδεται!το!κύμα!είναι:!α)!1,5!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β)!15!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ)!2!!Να!επιλέξετε!τις!σωστές!απαντήσεις!και!να!δικαιολογήσετε!τις!επιλογές!σας.!!!!

ΑΝΑΚΛΑΣΗKΔΙΑΘΛΑΣΗKΟΛΙΚΗ*ΑΝΑΚΛΑΣΗ!*ΑΣΚΗΣΕΙΣ**41. H!κάθετη!τομή!ενός!πρίσματος!που!έχει! δείκτη! διάθλασης! n= 2! είναι! το!ορθογώνιο! τρίγωνο! του! διπλανού!σχήματος.! Μονοχρωματική! ακτινοβολία!προσπίπτει! κάθετα! σε! μια! έδρα! του!πρίσματος.!α)! ! Να! εξετάσετε! από! ποια! έδρα! του!πρίσματος!εξέρχεται!η!ακτινοβολία.!β)! ! Να! σχεδιάσετε! την! πορεία! της!ακτίνας! μέχρι! και! την! έξοδό! της! από! το!πρίσμα.!γ)! !Να!υπολογίσετε!τη!γωνιακή!εκτροπή!που!έπαθε!η!ακτινοβολία!καθώς!πέρασε!μέσα!από!το!πρίσμα.!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Α!!!!!!!!!!!!!!!!!!600!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Κ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Β!

!Απ.!!!α)!ΓΒ!!!!!!!γ)!450!!!42. Κυβικό!κομμάτι!γυαλιού!βρίσκεται!στον!αέρα!και!στο!κέντρο!Ζ!της!μιας!του!έδρας! προσπίπτει! μονοχρωματική!ακτινοβολία!υπό!γωνία!450!σε!σχέση!με!την! επιφάνεια! του! γυαλιού.! Η!ακτινοβολία! εισέρχεται! στο! γυαλί!έχοντας! υποστεί! εκτροπή! κατά! 150! από!την!αρχική!της!διεύθυνση.!!

!!!!!!!!!!!!!!Α!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Β!!!!!!!!!!!450!

!!!!!!!!!!!!!!Ζ!!

��


72

α)! Να! υπολογίσετε! την! ταχύτητα!διάδοσης!της!ακτινοβολίας!στο!γυαλί.!β)! ! Να! σχεδιάσετε! την! πορεία! της!ακτίνας! στο! γυαλί! μέχρι! το! σημείο! Μ!που!εξέρχεται!από!αυτό.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!Δ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ!!

γ)! !Να!βρείτε!τη!γωνία!που!σχηματίζει!η!εξερχόμενη!ακτίνα!με!την!επιφάνεια!του!γυαλιού.!Απ:!!α)!υ=1,5 2.108!m/s!!!!!!!! 43. Ακτίνα! μονοχρωματικού! φωτός! προερχόμενη! από! τον! αέρα! προσπίπτει! στο!μέσο!Μ!της!πλευράς!ΑΔ!ορθογώνιας!πλάκας!με!πλευρές!ΑΔ=10cm!και!ΓΔ=20cm,!με!γωνία!πρόσπτωσης!θ1=600.!Ο!δείκτης!διάθλασης!του!υλικού!της!πλάκας!είναι!n= 3.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Α!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Β!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!θ1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Μ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Δ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ!!α)!Να!σχεδιαστεί!η!πορεία!της!ακτίνας!μέχρι!να!βγει!από!την!ορθογώνια!πλάκα!και!να!δικαιολογήσετε!αναλυτικά!την!απάντησή!σας.!β)!Να!προσδιοριστεί!το!σημείο!εξόδου!στον!αέρα.!!

Απ:!β)!ΝΓ=6,5!cm!

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ**44. Δέσμη!ακτίνων!φτάνει!στα!μάτια!ενός!δύτη!που!βρίσκεται!μέσα!στο!νερό!και!κοιτάζει!προς!τα!πάνω,!υπό!γωνία!300!ως!προς!την!οριζόντια!επιφάνεια!του!νερού.!Εάν!ο!δείκτης!διάθλασης!του!νερού!είναι! 2!,!τότε!αυτό!που!βλέπει!ο!δύτης!είναι:!!*α)!εικόνες!από!το!βυθό,!!β)!εικόνες!έξω!από!το!νερό.!!!Επιλέξτε!τη!σωστή!απάντηση!και!δικαιολογήστε!την!επιλογή!σας.!!!


73

!45. Μονοχρωματική! ακτινοβολία! διέρχεται! διαδοχικά! από! δύο! οπτικά! μέσα! (Α)!και! (Β)! τα! οποία! έχουν! δείκτες! διάθλασης! nA! και! nB! αντίστοιχα.! Το! πηλίκο! της!μέγιστης! έντασης! του!ηλεκτρικού!προς! τη!μέγιστη! ένταση! του!μαγνητικού!πεδίου!της!ακτινοβολίας!όταν!διαδίδεται!στο!μέσο!(Α)!είναι!δύο!φορές!μεγαλύτερο!από!το!αντίστοιχο!πηλίκο!όταν!διαδίδεται!στο!οπτικό!μέσο!(Β).!*Α)! ! Το! πηλίκο! των! μηκών! κύματος! της! ακτινοβολίας! ! λΑ/λΒ! στα! δύο! οπτικά! μέσα!ισούται!με:!α)!2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β)!4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ)!8!*Β)! !Αν!η!μονοχρωματική!ακτινοβολία!προσπίπτει!στη!διαχωριστική!επιφάνεια! των!δύο! οπτικών! μέσων! υπό! γωνία! 600! διερχόμενη! από! το! οπτικό! μέσο! (Β)! προς! το!οπτικό!μέσο!(Α),!τότε:!α)*θα!διαθλαστεί!υπό!γωνία!300!β)!θα!διαθλαστεί!υπό!γωνία!900!γ)!θα!υποστεί!ολική!ανάκλαση.!Να!επιλέξετε!τις!σωστές!απαντήσεις!και!να!δικαιολογήσετε!τις!επιλογές!σας.!!!46. Ακτίνα! μονοχρωματικού! φωτός! διαδίδεται! στο! μέσο! (Ι)! και! προσπίπτει! στη!διαχωριστική! επιφάνεια!με! το!μέσο! (ΙΙ)! όπως!φαίνεται! στο!σχήμα.!Να!αποδείξετε!ότι! για! να! διαδοθεί! η! ακτίνα! στο! μέσο! (ΙΙ)! και! να! υποστεί! ολική! ανάκλαση! στη!διαχωριστική! επιφάνεια! του! μέσου! (ΙΙ)! με! τον! αέρα,! πρέπει! η! γωνία! πρόσπτωσης!και! οι! δείκτες! διάθλασης! ,! (n! 1>n! 2)! των! δύο! οπτικών! μέσων! να! ικανοποιούν! τη!σχέση!1/n1!<!ημ(θ�)!<!n2!/n1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Αέρας!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!n2!!!Μέσο!ΙΙ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!θΠ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!n1!!!!!!!Μέσο!Ι!!!!!! !!!


74

!!!!!!!!!!

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ!ΘΕΜΑΤΑ!!!4ου!ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ!! 1. Στο!παρακάτω!σχήμα!φαίνεται!μια!ομογενής!ράβδος!ΟΑ!μήκους!ℓ!=!1!m!και!μάζας!Μ=0,016!kg!η!οποία!μπορεί!να!περιστρέφεται!χωρίς! τριβές!σε!κατακόρυφο!επίπεδο,!γύρω!από!οριζόντιο!άξονα!που!διέρχεται!από!το!ένα!άκρο!της!O!και!είναι!κάθετος! σ’! αυτή.! Η! ράβδος! σχηματίζει! με! τον! ορίζοντα! γωνία! θ! (με! ημθ=0,6! και!συνθ=0,8)! και! παραμένει! ακίνητη! με! τη! βοήθεια! οριζόντιου! αβαρούς! μη! εκτατού!νήματος!ΑΓ!που!έχει!όριο!θραύσης!Fθρ!=!1,44!Ν.!!!!!!!!!!!!!!!Ο!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!θ!!!!!!!!!!!!!!!!Α!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Τη! χρονική! στιγμή! t! =! 0! αφήνεται! να!κινηθεί! από! το! σημείο! Ο! ομογενής!κύλινδρος!μάζας!m1!και!ακτίνας!R!=0,1m.!Ο! κύλινδρος! κυλίεται! χωρίς! να!ολισθαίνει!πάνω!στη!ράβδο!έτσι!ώστε!ο!άξονάς! του! να! μετακινείται! παράλληλα!στον! εαυτό! του! και! κάθετα! στο!κατακόρυφο! επίπεδο.! Το! διπλανό!διάγραμμα!παριστάνει! τη! μεταβολή! της!στροφορμής! του! κυλίνδρου! σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!!

!!!!L(10K3*Kg.m2/s)!!!!!8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*t(s)!!!0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0,2!

!Να!υπολογιστούν:!!α.*Το!μέτρο!της!στατικής!τριβής!μεταξύ!του!κυλίνδρου!και!της!ράβδου.!!β.*Η!μάζα!m1!του!κυλίνδρου.!!


75

γ.* Για! ποιες! τιμές! του! συντελεστή! στατικής! τριβής! μεταξύ! ράβδου! και! κυλίνδρου!συμβαίνει!κύλιση!χωρίς!ολίσθηση.!!δ.*Ο! ρυθμός! μεταβολής! της! κινητικής! ενέργειας! του! κυλίνδρου! τη! στιγμή! που! το!νήμα!είναι!έτοιμο!να!σπάσει.!!ε.*Η!απόσταση!που!έχει!διανύσει!ο!κύλινδρος!τη!στιγμή!που!η!δύναμη!που!δέχεται!η! ράβδος! από! την! άρθρωση! είναι! κάθετη! στη! δύναμη! που! ασκεί! το! νήμα! στην!ράβδο.!!Δίνονται! η! επιτάχυνση! της! βαρύτητας! g=10m/s2! και! η! ροπή! αδράνειας! του!κυλίνδρου!Ι=(1/2)m1R2.!!Απ.!!α)!Τσ=0,4!Ν!!!!β)!m1=0,2!Kg!!!!!γ)!μ!≥!0,25!!!!!!!!δ)!d=0,2!m!2. Λεπτή!και!ομογενής!ράβδος!ΑΓ!βάρους!w=100N!και!μήκους!L=1m,!ισορροπεί!οριζόντια! όπως! φαίνεται! στο! παρακάτω! σχήμα.! Το! άκρο! της! Α! στηρίζεται! σε!άρθρωση!που!υπάρχει!στον!τοίχο,!ενώ!το!άλλο!άκρο!της!Γ!στερεώνεται!με!τον!τοίχο!μέσω!αβαρούς!και!μη!εκτατού!νήματος!το!οποίο!σχηματίζει!γωνία!φ!με!τη!ράβδο.!H!ράβδος!δέχεται!από!το!σχοινί!δύναμη!Τ!και!από!την!άρθρωση!δύναμη!F’!οι!φορείς!των!οποίων!τέμνονται!κάθετα!μεταξύ!τους.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!φ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ!!!!!Α.!Να!βρεθεί!η!γωνία!φ.!!Β.* Κάποια! στιγμή! το! νήμα! κόβεται! και! ταυτόχρονα! στη! ράβδο! ασκείται! ζεύγος!δυνάμεων!οι!φορείς!των!οποίων!είναι!συνεχώς!κάθετοι!στη!ράβδο!και!βρίσκονται!στο! κατακόρυφο! επίπεδο.! Η! ροπή! του! ζεύγους! είναι! κάθετη! στη! σελίδα! με!φορά!προς! τον! αναγνώστη,! το! μέτρο! της! κάθε! μιας! δύναμης! είναι! F=100 3! N! και! η!απόσταση!των!φορέων!τους!είναι!d=0,25m.!*α)*!Προς!ποια!κατεύθυνση!θα!αρχίσει!να!περιστρέφεται!η!ράβδος!και!γιατί;!β)!!Να!δικαιολογήσετε!γιατί!η!ράβδος!θα!αποκτήσει!μέγιστη!γωνιακή!ταχύτητα!και!να!βρείτε!ποια!γωνία!θα!έχει!διαγράψει!μέχρι!τότε.!


76

γ)**Να!βρεθεί!η!μέγιστη!κινητική!ενέργεια!της!ράβδου.!!Δίνεται!ότι!π 3=5,4.!!Απ.(Α)!φ=π/4!rad!!!!!!!!!!!B)(α)!ωρολόγια!φορά!!!β)!θ=π/6!rad!!!!γ)!Κ=2,5!J!!!!!!3. Ένας!ομογενής!οριζόντιος!επίπεδος!κυκλικός!δίσκος!ακτίνας!R=1m!και!μάζας!Μ=40kg!μπορεί! να!περιστρέφεται! χωρίς! τριβές!γύρω!από!κατακόρυφο!άξονα!που!διέρχεται! από! το! κέντρο! του! Κ! και! είναι! κάθετος! στο! επίπεδό! του.! Άνθρωπος! ο!οποίος!θεωρείται!σημειακό!αντικείμενο!!μάζας!m=80!kg,!βρίσκεται!στη!θέση!Α!του!δίσκου!όπου!(ΚΑ)=0,5!m.!Το!σύστημα!δίσκος]άνθρωπος!είναι!αρχικά!ακίνητο.!*Α.*Ασκούμε!εφαπτομενικά!στην!περιφέρεια!του!δίσκου!οριζόντια!δύναμη!σταθερού!μέτρου!F!=!2000π!Ν,!η!οποία! καταργείται! τη!στιγμή!που!ο!δίσκος! έχει!διαγράψει!δύο!πλήρεις!περιστροφές.!Θεωρήστε!ότι!κατά!τη!διάρκεια!που!ασκείται!η!δύναμη!F!ο!άνθρωπος!βρίσκεται!διαρκώς!στο!σημείο!Α!του!δίσκου.!!Να!υπολογίσετε:!!α.* Τη! ροπή! αδράνειας! του! συστήματος! δίσκος]άνθρωπος! ως! προς! τον! άξονα!περιστροφής!του.!!β.*Το!μέτρο!του!ρυθμού!μεταβολής!της!στροφορμής!του!συστήματος!ως!προς!τον!άξονα!περιστροφής!του!κατά!τη!διάρκεια!που!ασκείται!η!δύναμη!F.!!γ.* Το! μέτρο! της! γωνιακής! ταχύτητας! που! αποκτά! το! σύστημα! τη! στιγμή! που!καταργείται!η!δύναμη!F.!!δ.* Το! ρυθμό! προσφοράς! ενέργειας! στο! σύστημα! από! τη! δύναμη! F! στο! τέλος! της!πρώτης!περιστροφής.!!*Β.*Μετά! την! κατάργηση! της! δύναμης! F,! ο! άνθρωπος! ξεκινά! να! κινείται! ακτινικά!πάνω!στο! δίσκο,!ώσπου!φτάνει! σε! ένα! σημείο! Δ! της! περιφέρειας! του! δίσκου! και!ακινητοποιείται!ως!προς!το!δίσκο,!στο!σημείο!αυτό.!!Να!υπολογίσετε:!!ε.*Το!μέτρο!της!γραμμικής!ταχύτητας!περιστροφής!του!ανθρώπου!στη!θέση!Δ.!!στ.* Το! ποσοστό! μεταβολής! της! κινητικής! ενέργειας! του! συστήματος! κατά! την!παραπάνω!μετακίνηση.!!*Γ.*Από! τη! θέση! Δ,! ο! άνθρωπος! εγκαταλείπει! το! δίσκο! με! ένα! άλμα,! με! ταχύτητα!διεύθυνσης!οριζόντιας!και!εφαπτομενικής!στο!δίσκο,!μέτρου!υ!=!12!m/s!και!φοράς!ίδιας!με! τη!φορά!της!γραμμικής! ταχύτητας!περιστροφής!που!είχε!αμέσως!πριν! το!άλμα.!Να!υπολογίσετε:!!ζ.*Τη!νέα!γωνιακή!ταχύτητα!περιστροφής!που!αποκτά!ο!δίσκος.!!η.*Το!μέτρο!της!μεταβολής!της!στροφορμής!του!δίσκου.!!θ.*Την!ενέργεια!που!δαπάνησε!ο!άνθρωπος!κατά!τη!διάρκεια!της!εγκατάλειψης!του!δίσκου.!!


77

ι.*Τη!μέση!τιμή!του!μέτρου!της!ροπής!που!ασκήθηκε!στο!δίσκο!από!τον!άνθρωπο!κατά!την!εγκατάλειψη,!αν!αυτή!έγινε!σε!χρόνο!Δt!=!0,05!s.!!!Δίνεται!η!ροπή!αδράνειας!του!κυκλικού!δίσκου!ως!προς!τον!άξονα!περιστροφής!του!Ι(Κ)!=!(1/2)ΜR2.!!Απ.!!Α.α)Ι(ΟΛ)=40Κg.m2!!β)dL/dt=2000/π!Kg.m2/s2!!!γ)!ω1=20rad/s!!δ)!P=(20000 2)/π!J/s!!!!!Β.!ε)!υ2=8!m/s!!!!στ)!π%=]60%!!!!!!!Γ.!ζ)!ω3=]8!rad/s!!!!η)!ΔL=320!Kg.m2/s!!!!θ)!E=3200!J!!!!!ι)!τ=6400!Nm.!!!!!!4. Σώμα! Α! μάζας! m1=1kg! ισορροπεί!δεμένο! στο! κάτω! άκρο! κατακόρυφου!ιδανικού! ελατηρίου! σταθεράς! k=!400N/m!το!άλλο!άκρο! του!οποίου!είναι!ακλόνητα! στερεωμένο.! Κατακόρυφος!ομογενής! δίσκος! μάζας! m=18kg! και!ακτίνας! R=1m! έχει! προσκολλημένο! σε!κάποιο! σημείο! Γ! της! περιφέρειάς! του!μικρό! σώμα! Β! μάζας! m2.! Το! σύστημα!δίσκου! –! σώματος! Β! μπορεί! να!στρέφεται! χωρίς! τριβές! γύρω! από!σταθερό! οριζόντιο! άξονα! x΄x! που!διέρχεται! από! το! κέντρο! Ο! του! δίσκου!και! είναι! κάθετος! στο! επίπεδό! του.! Τα!σώματα!Α! και! Β! ενώνονται! μεταξύ! τους!με!αβαρές,!μη!εκτατό,!κατακόρυφο!νήμα!το! οποίο! έχει! όριο! θραύσης! 10Ν,! με!τρόπο! ώστε! το! τμήμα! ΟΓ! να! είναι!οριζόντιο,!και!όλο!το!σύστημα!ισορροπεί!όπως!φαίνεται!στο!διπλανό!σχήμα.!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!A!!!!!!!!!!!!!m1*

!!!!!!

Γ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m2*!!!!!!!!!!!!!!!!!!

α.*Να!υπολογίσετε!την!ελάχιστη!τιμή,!m2,min,!της!μάζας!m2!του!σώματος!Β!που!είναι!προσκολλημένο!στο!δίσκο,!ώστε!το!νήμα!να!κοπεί.!β.* Για! την! τιμή! της! μάζας!m2! του! προηγούμενου! ερωτήματος! να! υπολογίσετε! τη!γωνιακή!επιτάχυνση!του!συστήματος!δίσκος!–!σώμα!Β.!i)*τη!στιγμή!που!κόβεται!το!νήμα.!ii)*όταν!το!σύστημα!έχει!στραφεί!κατά!θ=60ο!από!την!αρχική!του!θέση.!γ.*Να!υπολογίσετε! το! μέτρο! της! γωνιακής! ταχύτητας!ω! του! συστήματος! δίσκος! –!σώμα!Β,!όταν! το!σώμα!Β!διέρχεται!από! το!κατώτερο!σημείο! της!κυκλικής! τροχιάς!του.!δ.*Όταν!το!σώμα!Β!διέρχεται!από!το!κατώτερο!σημείο!της!τροχιάς!του,!εκτινάσσεται!από! το! δίσκο! με! οριζόντια! ταχύτητα! υ! χωρίς! να! αλλάξει! κατεύθυνση! και! κινητική!ενέργεια!ίση!με!το!1/5!της!κινητικής!ενέργειας!του!συστήματος!δίσκος!–σώμα!Β.!Να!υπολογίσετε:!i)*το!μέτρο!της!οριζόντιας!ταχύτητας!υ!του!σώματος!Β!αμέσως!μετά!την!αποκόλληση!

O


78

ii)*το!μέτρο!ω!δ!της!γωνιακής!ταχύτητας!του!δίσκου!αμέσως!μετά!την!αποκόλληση!του!σώματος!Β!(δίνεται! 2!=!1,4!).!ε.! Για! την! απλή! αρμονική! ταλάντωση! που! εκτελεί! η! μάζα!m1,! από! τη! στιγμή! που!κόβεται! το!νήμα! (t!=!0),! να!γράψετε! την!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!από!τη!θέση!ισορροπίας!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!Ως!θετική!φορά!να!θεωρήσετε!τη!φορά!προς!τα!πάνω.!Δίνεται!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g!=!10m/s2!και!η!ροπή!αδράνειας!του!δίσκου!ως!προς!άξονα!που!διέρχεται!από!το!κέντρο!μάζας!του!και!είναι!κάθετος!σ’!αυτόν!Ι=(1/2)mR2.!Απ.*α)!m2,min=1Kg!!!!!!!!!!!!β)!i)!αγ(1)=1!rad/s2!!!!ii)!αγ(2)=0,5!rad/s2!!!!!!!!!!!!!γ)!ω= 2!rad/s!!!!!!!!!!!!!!!!!δ)!i)!υ=2m/s!!!ii)!ωδ=4/3!rad/s!!!!!!!!!!!!ε)!y=(1/40)ημ(20t!+!3π/2)!(S.I)!!5. Ο!ομογενής! κύλινδρος! του!σχήματος!μάζας!Μ! και! ακτίνας! R=1m,! μπορεί! να!περιστρέφεται!χωρίς!τριβές!γύρω!από!σταθερό!κατακόρυφο!άξονα!που!ταυτίζεται!με!τον!άξονα!συμμετρίας!του.!Γύρω!από!τον!κύλινδρο!είναι!τυλιγμένο!αβαρές!και!μη! εκτατό! νήμα,!μέσω! του!οποίου!ασκείται! τη! χρονική!στιγμή! t0=0! εφαπτομενικά!προς! τον! κύλινδρο,! σταθερή! οριζόντια! δύναμη! μέτρου! F=10N,! οπότε! ο! κύλινδρος!αρχίζει! να! περιστρέφεται.! Τη! χρονική! στιγμή! t1! που! ο! κύλινδρος! έχει! διαγράψει!Ν1=5/π!περιστροφές!έχει!αποκτήσει!γωνιακή!ταχύτητα!μέτρου!ω1=10!rad/s.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m*!!***************************************************************************************************************F!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!M*!!!!A.*α)* Να! υπολογίσετε! τη! ροπή! αδράνειας! του! κυλίνδρου! ως! προς! τον! άξονα!περιστροφής!του.(Ο!αντίστοιχος!τύπος!να!μη!χρησιμοποιηθεί).!β)!Να!υπολογίσετε!τη!γωνιακή!επιτάχυνση!του!κυλίνδρου.!γ)*!Να!βρείτε!τη!συνάρτηση!της!κινητικής!ενέργειας!του!κυλίνδρου!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο,!για!τη!χρονική!διάρκεια!από!t0!έως!t1!και!να!σχεδιάσετε!τη!γραφική!της!παράσταση.!!B.! Ακριβώς! πάνω! από! τον! κύλινδρο! και! σε! αμελητέο! ύψος! από! αυτόν! υπάρχει!ακίνητος!ένας!πολύ!λεπτός!δακτύλιος!μάζας!m=0,5!Kg!και!ακτίνας!R=1m.!Τη!χρονική!στιγμή!t2=10s!καταργείται!η!δύναμη!F!και!τα!δύο!σώματα!ενώνονται!ακαριαία,!έτσι!ώστε!ο!άξονας!του!κυλίνδρου!να!διέρχεται!από!το!κέντρο!του!δακτυλίου.!α)!Να!υπολογίσετε!τη!γωνιακή!ταχύτητα!την!οποία!αποκτά!το!σύστημα!κύλινδρος]δαχτυλίδι,!αμέσως!μετά!την!επαφή!των!δύο!σωμάτων.!


79

β)!Να!υπολογίσετε!το!ποσοστό!μεταβολής!της!κινητικής!ενέργειας!του!συστήματος!λόγω!της!επαφής.!Γ.! Το! σύστημα! κύλινδρος]δαχτυλίδι! συνεχίζει! να! περιστρέφεται! χωρίς! τριβές! για!χρονικό! διάστημα! Δt1=2s! και! στη! συνέχεια! ασκείται! εφαπτομενικά! στον! κύλινδρο!ζεύγος!σταθερών!οριζόντιων!δυνάμεων!μέτρου!F1,! οπότε! το!σύστημα!σταματά!να!περιστρέφεται!ύστερα!από!χρόνο!Δt2=4s.!!α)!Να!υπολογίσετε!το!μέτρο!των!δυνάμεων!του!ζεύγους.!β)!Να!υπολογίστε!το!μέσο!ρυθμό!με!τον!οποίο!το!ζεύγος!αφαιρεί!ενέργεια!από!το!σύστημα.!γ)!Να!γίνει!το!διάγραμμα!στροφορμής]χρόνου!για!τον!κύλινδρο!σε!όλη!τη!χρονική!διάρκεια!της!κίνησής!του.!Απ.!!Α.!!α)!Ι=2Kg.m2!!!!!!!!!β)!αγ(1)=5rad/s2!!!!!γ)!K=25t2!(S.I)!!!!!!!Β.*!α)!ωΚ=40!rad/s!!!!!!β)!π%=]20%!!!!!!Γ.!!α)!F1=12,5!N!!!!!!!!!β)!PF=]500W!!!!!!!!!6. Ομογενής!σφαιρικός!φλοιός!μάζας!m=2Kg!και!ακτίνας! r=0,3m! ισορροπεί!στη!θέση!Α!οριζόντιας!σιδηροτροχιάς!ΑΓ.!Η!σιδηροτροχιά! καμπυλώνεται! στο!σημείο! Γ!σχηματίζοντας!κατακόρυφο!ημικύκλιο!ΓΔ,!ακτίνας!R=5,8m.!Τη!στιγμή!t=0!ασκούμε!με!κατάλληλο!μηχανισμό!οριζόντια!σταθερή!δύναμη!μέτρου!F=20N!παράλληλη!στη!σιδηροτροχιά! ΑΓ! και! συνεχώς! εφαπτόμενη! στο! ανώτερο! σημείο! του! φλοιού,! με!συνέπεια!ο!φλοιός!να!κυλάει!χωρίς!να!ολισθαίνει!κατά!μήκος!της!σιδηροτροχιάς!ΑΓ.!Η!δύναμη!καταργείται!τη!στιγμή!που!ο!φλοιός!φτάνει!στο!σημείο!Γ!και!στη!συνέχεια!συνεχίζεται!η!κύλιση!χωρίς!ολίσθηση!και!στο!κομμάτι!ΓΔ.!************************************************************!***********************************************************************************************Δ*****************************************************************************************************************************************************************************************************Κ*************R**m,r****************F*********A*****************************************************************************************Γ*Α.!Να!υπολογίσετε!την!ελάχιστη!ταχύτητα!που!πρέπει!να!έχει!το!κέντρο!μάζας!του!φλοιού! στο! ανώτερο! σημείο! Δ! του! ημικυκλίου,! ώστε! ο! φλοιός! να! κάνει! οριακά!ανακύκλωση.!Β.! Θεωρείστε! ότι! ο! φλοιός! κάνει! οριακά! ανακύκλωση.! Κατά! τη! κίνησή! του! στην!οριζόντια!σιδηροτροχιά!ΑΓ,!να!υπολογίσετε:!1.!Το!μέτρο!της!επιτάχυνσης!του!κέντρου!μάζας!του!φλοιού.!2.!Το!μέτρο!της!στατικής!τριβής!που!ασκείται!στο!φλοιό.!3.!Το!έργο!της!δύναμης!F.!4.*Το!μέτρο!του!ρυθμού!μεταβολής!της!στροφορμής!του!φλοιού.!Γ.!Κατά!τη!κίνηση!του!φλοιού!στο!ημικύκλιο!ΓΔ,! τη!στιγμή!που!διέρχεται!από!ένα!σημείο!Μ!το!οποίο!βρίσκεται!σε!ύψος!R!από!το!έδαφος,!να!υπολογίσετε:!1.!Το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!κέντρου!μάζας!του!φλοιού.!2.!Το!μέτρο!της!δύναμης!που!δέχεται!ο!φλοιός!από!τη!σιδηροτροχιά.!3.!Το!μέτρο!της!συνολικής!επιτάχυνσης!του!κέντρου!μάζας!του!φλοιού.!


80

4.! Το!μέτρο! της!στροφορμής! του!φλοιού!λόγω! spin!και! λόγω!της!κίνησής! του!στο!ημικύκλιο!ΓΔ.!Δ.! Στο!ανώτερο!σημείο!Δ!της!τροχιάς!του!ο!φλοιός!εγκαταλείπει! το!ημικύκλιο.!Να!υπολογίσετε:!1.! Το! μέτρο! της! ταχύτητας! του! κέντρου! μάζας! του! φλοιού! τη! στιγμή! που! θα!συναντήσει!το!οριζόντιο!δάπεδο.!2.! Το!μέτρο! της!στροφορμής! του!φλοιού! λόγω! spin!στη!διάρκεια! της! κίνησης! του!μέχρι!να!φτάσει!στο!οριζόντιο!δάπεδο.!Δίνεται!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g!=!10m/s2!και!η!ροπή!αδράνειας!του!φλοιού!ως!προς!άξονα!που!διέρχεται!από!το!κέντρο!μάζας!του!Ι=(2/3)mr2.!Απ.***Α.!υΔ= 55!m/s!!!!!!!Β.!1.αcm=12!m/s2!!!2.!Tσ=4Ν!!!!3.!WF=935/3!J!!!!!!4.!dL/dt=4,8!N.m!!!!!!Γ.!1.υΜ=11m/s!!2.A=20 5!N!!3.!α= 520!m/s2!!!4.!LS=4,4!Kg.m2/s,!L=121!Kg.m2/s!!!!!!Δ.!1.!!υ=5 11m/s!!!!!!!2.!L’S= 8,8!Kg.m2/s!!7. Ομογενής! ράβδος! AΓ! μάζας!Μ=12Kg! και! μήκους! ℓ=2m! αναρτάται!από!το!άκρο!της!Α,!έτσι!ώστε!να!μπορεί!να! στρέφεται! χωρίς! τριβές! σε!κατακόρυφο! επίπεδο! γύρω! από!οριζόντιο! άξονα! που! περνά! από! το!σημείο! Α! και! είναι! κάθετος! σ’! αυτή.! Η!ράβδος! ισορροπεί! στην! κατακόρυφη!θέση.! Σημειακό! σώμα! Σ,! μάζας! m=3Kg!κινούμενο!με!οριζόντια!ταχύτητα!μέτρου!υ!=!4!m/s!συγκρούεται!με!τη!ράβδο!στο!κατώτατο! σημείο! της! Γ.! Μετά! την!κρούση! η! ταχύτητα! του! σώματος! Σ!μηδενίζεται.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ!!!!!!!!υ!!!!!!!!!!!!!!m!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ!

*α.*Να!αποδείξετε!ότι! η! κρούση!είναι!ανελαστική! και! να!υπολογίσετε! το!ποσό! της!εκλυόμενης!θερμότητας.!!β.*Να!εξετάσετε!αν!η!ράβδος!μετά!την!κρούση!εκτελεί!ανακύκλωση.!!γ.*Υπολογίστε!την!ελάχιστη!κινητική!ενέργεια!του!σώματος!Σ!πριν!την!κρούση,!ώστε!η!ράβδος!μόλις!να!κάνει!ανακύκλωση.!!!Στην! περίπτωση! αυτή! που! η! ράβδος! μόλις! κάνει! ανακύκλωση,! κατά! τη! χρονική!στιγμή!που!διέρχεται!από!την!οριζόντια!θέση!να!υπολογίσετε:!!δ.*Το!μέτρο!της!γωνιακής!ταχύτητάς!της.!!ε.*Το!ρυθμό!μεταβολής!της!βαρυτικής!δυναμικής!ενέργειάς!της.!!!Δίνονται!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g!=!10!m/s2!και!η!ροπή!αδράνειας!της!ράβδου!ως!προς!άξονα!που!περνάει!από!το!μέσο!της!και!είναι!κάθετος!σε!αυτή!Ι=(1/12)Ml2.!!!Απ.**α)!Q=6J!!!!β)!!Όχι!!!!!γ)!Κmin=320J!!!!!δ)!ω= 15!m/s!!!!!ε)!dU/dt=120 15!J/s.!!!!!


81

!!!!!!!!!!!!!!!8. Μια!λεπτή!και!μη*ομογενής!δοκός!ΑΓ!έχει!μήκος!L=12m!και!μάζα!Μ.!Η!δοκός!ισορροπεί!οριζόντια!στηριζόμενη!στην!άρθρωση!και!σε!τεντωμένο!αβαρές!νήμα,!το!οποίο! σχηματίζει! γωνία! φ=300! με! την! διεύθυνση! της! δοκού! όπως! φαίνεται! στο!παρακάτω! σχήμα.! Κάποια! στιγμή! το! νήμα! κόβεται! και! η! δοκός! αρχίζει! να!περιστρέφεται!σε!κατακόρυφο!επίπεδο!γύρω!από!την!άρθρωση.!Τη!στιγμή!που!έχει!περιστραφεί!κατά!θ=300!έχει!αποκτήσει!γωνιακή!ταχύτητα!ω= 10/3!rad/s.!Η!ροπή!αδράνειας!της!ράβδου!ως!προς!τον!άξονα!περιστροφής!της!είναι!ΙΑ=(1/2)ΜL2.!!!!!!!***********************************************************************************************************************φ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!!!Α*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*Γ!!!*α)!Βρείτε!την!απόσταση!του!κέντρου!μάζας!της!δοκού!από!το!άκρο!της!Α.!β)!Υπολογίστε!τη!μάζα!της!δοκού!αν!γνωρίζετε!ότι!η!ροπή!αδράνειας!της!ως!προς!κάθετο!σε!αυτήν!άξονα!που!περνάει!από!το!κέντρο!μάζας!της!είναι!240!Kg.m2.!γ)!Τη!στιγμή!που!η!δοκός!έχει!στραφεί!κατά!γωνία!θ,!ασκούμε!στο!άκρο!της!Γ!και!κάθετα!σε!αυτή!δύναμη!σταθερού!μέτρου!F1,!η!οποία!βρίσκεται!στο!κατακόρυφο!επίπεδο,!έτσι!ώστε!η!δοκός!να!ακινητοποιηθεί!μόλις!γίνει!κατακόρυφη.!Τη!στιγμή!εκείνη!καταργείται!και!η!δύναμη!F1.!Υπολογίστε!το!μέτρο!της!δύναμης!F1.!!δ)!Υπολογίστε!τη!τάση!του!νήματος!και!το!μέτρο!της!δύναμης!που!δεχόταν!η!δοκός!από!την!άρθρωση,!όταν!ισορροπούσε!στην!οριζόντια!θέση.!ε)!Αν!το!όριο!θραύσης!του!νήματος!είναι!Τθρ=800Ν!να!βρείτε!τη!μέγιστη!απόσταση!από! το! άκρο! Α! που! μπορεί! να! τοποθετηθεί! ένα! σώμα! μάζας! m=24! Kg,! χωρίς! να!κοπεί!το!νήμα.!Δίνεται!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g!=!10!m/s2!


82

!Απ.**α)!d=8m!!!β)!M=30Kg!!!!!γ)!F1=600/π!Ν!!!!δ)!Τ=400Ν,!F=100 13!N!!!ε)!d’=10m!!!!!!!!!!!!!!!9. Λεπτή! τροχαλία! μάζας! Μ! και!ακτίνας! R=0,5m! μπορεί! να!περιστρέφεται! γύρω! από! οριζόντιο!άξονα! που! περνάει! από! το! κέντρο! της!και!είναι!κάθετος!στο!επίπεδό!της.!Γύρω!από! την! τροχαλία! είναι! τυλιγμένο!αβαρές! και! μη! ελαστικό! νήμα.! Στο!ελεύθερο! άκρο! του! νήματος! είναι!δεμένος! μικρός! ανιχνευτής! ηχητικών!συχνοτήτων!μάζας!m=2Κg.!Ο!ανιχνευτής!βρίσκεται! στην! ίδια! κατακόρυφο! και! σε!ύψος! h=21m! πάνω! από! σημειακή!ηχητική! πηγή! που! εκπέμπει! ήχο!συχνότητας! f=680Hz.! Τη! χρονική! στιγμή!t=0! αφήνουμε! ελεύθερο! το! σύστημα!τροχαλία]ανιχνευτής,! οπότε! και! η!τροχαλία! αρχίζει! να! περιστρέφεται! με!σταθερή! γωνιακή! επιτάχυνση!αγ=8rad/s

2.!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h*

!α)!Να!υπολογίσετε!τη!μάζα!της!τροχαλίας.!!Τη! χρονική! στιγμή! t1! στην! οποία! η! τροχαλία! έχει! εκτελέσει! Ν=8/π! περιστροφές!κόβουμε!το!νήμα.!*β)!Να!βρείτε!το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!ανιχνευτή!τη!χρονική!στιγμή!t1.!γ)!Να!υπολογίσετε!τη!συχνότητα!του!ήχου!που!καταγράφει!ο!ανιχνευτής!τη!χρονική!στιγμή!t1.!δ)! Να! παραστήσετε! γραφικά! το! μέτρο! της! γωνιακής! ταχύτητα! της! τροχαλίας! σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο!από!τη!χρονική!στιγμή!t=0!μέχρι!τη!χρονική!στιγμή!t2!κατά!την! οποία! ο! ανιχνευτής! φτάνει! στην! πηγή! και! να! βρείτε! τη! γωνία! στροφής! της!τροχαλίας!μέχρι!εκείνη!τη!στιγμή.!

R


83

ε)!Να!παραστήσετε!γραφικά!τη!συχνότητα!του!ήχου!που!καταγράφει!ο!ανιχνευτής!μέχρι!τη!χρονική!στιγμή!t2!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!Δίνονται:! η! ροπή! αδράνειας! της! τροχαλίας! ως! προς! άξονα! που! διέρχεται! από! το!κέντρο! της! και! είναι! κάθετος! στο! επίπεδό! της! Ι=(1/2)ΜR2! ! ,! η! ταχύτητα! του! ήχου!στον!αέρα!υΗΧ=340m/s!και!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g=10m/s2.!!Απ.!α)!Μ=6!Kg!!!!!!!!!!!!!β)!υ=8!m/s!!!!!!!!!B!!!!γ)!f=696!Hz!!!!!!!!!!!!!!!δ)!θ=32!rad!

ε)!! = 680+ 8!!, 0 ≤ ! ≤ 2!! = 656+ 20!!, 2! ≤ ! ≤ 3! !

!!!!!10. Μια!λεπτή!και!αβαρής!ράβδος!ΑΒ!με!μήκος!L=6m!ισορροπεί!σε!οριζόντια!θέση!όπως!φαίνεται!στο!παρακάτω!σχήμα.!Στο!άκρο!Α!της!ράβδου!βρίσκεται!στερεωμένο!μικρό!σφαιρίδιο!Σ1!μάζας!m=2Kg.!Η!ράβδος!μπορεί!να!περιστρέφεται!χωρίς!τριβές!γύρω!από! ακλόνητο! σημείο!Ο! που! απέχει! απόσταση! L/4! από! το! άκρο! της! Α.! Ένα!αβαρές!και!μη!ελαστικό!νήμα!συνδέει! το!σημείο!Ν! της!ράβδου!με!μικρό!σώμα!Σ2!μάζας!Μ=5Kg! το! οποίο! είναι! στερεωμένο! στο! πάνω! άκρο! κατακόρυφου! ιδανικού!ελατηρίου! σταθεράς! k=80N/m.! Το! άλλο! άκρο! του! ελατηρίου! στερεώνεται! στο!δάπεδο.!Το!σημείο!Ν!απέχει!απόσταση!3L/4!από!το!άκρο!Α!της!ράβδου.!!!************A******************************O*************************************N*****************************B*!!!!!!!!!!!!Σ1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ2!!!!!!!!!*α)!Να!υπολογίσετε!το!μέτρο!της!τάσης!του!νήματος!που!ασκείται!στη!ράβδο!και!τη!δυναμική!ενέργεια!που!είναι!αποθηκευμένη!στο!ελατήριο.!!Τη! χρονική! στιγμή! t=0! κόβουμε! το! νήμα! και! ταυτόχρονα! ασκούμε! στο! σημείο! Ν!δύναμη! F! μεταβλητού! μέτρου! που! δρα! συνεχώς! κάθετα! στη! ράβδο.! Το! σώμα! Σ2!αρχίζει! να! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση! και! η! ράβδος! αρχίζει! να!περιστρέφεται!με!σταθερή!γωνιακή!επιτάχυνση!αγ=4!rad/s

2!με!φορά!αντίθετη!από!τη!φορά!περιστροφής!των!δεικτών!του!ρολογιού.!!


84

*β)! Να! υπολογίσετε! το! πλάτος! της! ταλάντωσης! που! εκτελεί! το! σώμα! Σ2! και! την!απομάκρυνσή!του!από!τη!θέση!ισορροπίας!όταν!η!ράβδος!έχει!αποκτήσει!γωνιακή!ταχύτητα!μέτρου!ω=3π/2!rad/s.!γ)!Να!γράψετε!τη!συνάρτηση!της!αλγεβρικής!τιμής!της!ροπής!της!δύναμης!F!με!τη!γωνία!θ!που!σχηματίζει!η!ράβδος!με!την!οριζόντια!διεύθυνση!για!0≤ ! ≤900.!!!δ)!Να!υπολογίσετε!το!ρυθμό!μεταβολής!της!κινητικής!ενέργειας!της!ράβδου!όταν!η!ροπή!της!δύναμης!F!ισούται!με!μηδέν.!!Δίνεται!συν(3π/10)=0,6!και!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g=10m/s2.!!Απ.*α)!Τ=10Ν!,!U=10J!!!β)!Α=0,125m,!!x=0!!!γ)!τ=18]30συνθ!(S.I)!δ)!72 3!/20!J/s!!11. Σώμα! Σ1! μάζας! m1=1Κg! ισορροπεί! δεμένο! στο! πάνω! άκρο! κατακόρυφου!ιδανικού!ελατηρίου!σταθεράς!k=100N/m!το!άλλο!άκρο!του!οποίου!είναι!ακλόνητα!στερεωμένο! στο! έδαφος.!Ομογενής! και! συμπαγής! κύλινδρος! με! μάζα!m2=4Κg! και!ακτίνας! R=0,2m,! βρίσκεται! τοποθετημένος! σε! πλάγιο! επίπεδο! με! γωνία! κλίσης!φ=30ο!και!συνδέεται!μέσω!αβαρούς!μη!εκτατού!νήματος!και!τροχαλίας!με!το!σώμα!Σ1!και!όλο!το!σύστημα!ισορροπεί,!όπως!φαίνεται!στο!διπλανό!σχήμα.!!!!!!!!!!!!!!!Α.*i.*Να!υπολογίσετε!τη!δύναμη!που!ασκεί!το!νήμα!στον!κύλινδρο!στην!κατάσταση!ισορροπίας.!ii.*Να!δείξετε!ότι!στην!κατάσταση!ισορροπίας!το!ελατήριο!έχει!επιμηκυνθεί!και!να!υπολογίσετε!την!επιμήκυνση!που!έχει!υποστεί.!Β.*Τη!χρονική!στιγμή!t=0!το!νήμα!κόβεται!οπότε!ο!κύλινδρος!αρχίζει!να!κυλίεται!στο!πλάγιο!επίπεδο!χωρίς!να!ολισθαίνει!και!ταυτόχρονα!το!Σ1!πραγματοποιεί!Α.Α.Τ.!i.*Να!υπολογίσετε!την!επιτάχυνση!του!άξονα!του!κυλίνδρου,!τη!γωνιακή!επιτάχυνση!του! κυλίνδρου! και! το! μέτρο! της! στατικής! τριβής! που! δέχεται! ο! κύλινδρος! από! το!πλάγιο!επίπεδο.!ii.* Να! δείξετε! ότι! η! κίνηση! του! κυλίνδρου! στο! πλάγιο! επίπεδο! γίνεται! πράγματι!χωρίς!ολίσθηση.!Γ.*Αν!για! την!Α.Α.Τ.! του!Σ1!θεωρήσουμε!ως!θετική!φορά!την!κατακόρυφη!προς! τα!κάτω:!i.*να!υπολογίσετε!το!πλάτος!της!ταλάντωσης,!


85

ii.* να! γράψετε! την! εξίσωση! της! απομάκρυνσης! του! σώματος! Σ1! από! τη! θέση!ισορροπίας!του!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!Δ.*Αν!ο!κύλινδρος!φτάνει!στη!βάση!του!πλάγιου!επιπέδου!τη!στιγμή!που!το!σώμα!Σ1!διέρχεται! από! τη! θέση! φυσικού! μήκους! του! ελατηρίου! για! 4η! φορά,! να!υπολογίσετε:!i.*το!χρόνο!κίνησης!του!κυλίνδρου!στο!πλάγιο!επίπεδο!ii.*το!μέτρο!της!κατακόρυφης!μετατόπισης!h!του!κυλίνδρου!iii.*το!μήκος!της!διαδρομής!που!διανύουν!τα!σώματα!Σ1!και!Σ2.!!Δίνεται!g=10m/s2!,!Icm=1/2mR2,!ο!συντελεστής!μέγιστης!στατικής!τριβής!μεταξύ!του!κυλίνδρου!και!του!πλάγιου!επιπέδου!μs= 3/4!και!π2=!10.!Απ:! !Α)! i)!Τ=20Ν!,ii)! l1=0,1m!!Β)! i)!αcm=10/3!m/s2!,!αγ=50/3!rad/s2! ! ,!Tστ=20/3!Ν!! ,! ii)!Tστ<15!Ν!!!!!Γ)!i)!Α=0,2m!!,!ii)!x=0,2ημ(10t!+!3π/2)!(S.I)!!!Δ)!i)!t=11π/30!s!!,!ii)!h=11,2m!!,iii)!S1=1,5m!!,!S2=2,24m!!12. Λεπτή! ομογενής! ράβδος! ΑΒ!μήκους!L=3m!και!μάζας!Μ=12Κg,!μπορεί!να! περιστρέφεται! χωρίς! τριβές! σε!κατακόρυφο! επίπεδο! γύρω! από!οριζόντιο! άξονα! που! είναι! κάθετος! σε!αυτή!και!διέρχεται!από! το!σημείο!Ο,! το!!!!οποίο! απέχει! από! το! άκρο! της! Α!απόσταση! ΑΟ=1m.! Στο! άκρο! Β! της!ράβδου! υπάρχει! στερεωμένη! σημειακή!μάζα! m2=2Kg.! Το! άκρο! Α! της! ράβδου!συνδέεται! μέσω! κατακόρυφου! και!τεντωμένου! αβαρούς! νήματος! με! σώμα!μάζας!m1=1Kg.! Το!σώμα!μάζας!m1!είναι!δεμένο! στο! πάνω! άκρο! κατακόρυφου!ιδανικού!ελατηρίου!σταθεράς!k=400N/m!το! κάτω! άκρο! του! οποίου! στερεώνεται!στο!έδαφος.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!O!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m2*

A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m1*

!!!!!!!!!!!!!!!!k********************************************

*Α.!!Να!υπολογίσετε:!α)! ! τη! ροπή! αδράνειας! του! συστήματος! ! ράβδος]μάζα! m2! ως! προς! τον! άξονα!περιστροφής!που!περνά!από!το!σημείο!Ο!της!ράβδου!β)!!!το!μέτρο!της!τάσης!του!νήματος!καθώς!και!το!μέτρο!της!δύναμης!που!δέχεται!η!ράβδος!από!τον!άξονα!περιστροφής.!*Β.! ! Τη! χρονική! στιγμή! t=0! κόβουμε! το! νήμα! οπότε! το! σώμα! μάζας!m1! αρχίζει! να!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!με!θετική!φορά!προς!τα!πάνω,!ενώ!το!σύστημα!ράβδος]μάζα!m2!αρχίζει!να!περιστρέφεται.!Να!υπολογίσετε:!α)!!το!μέτρο!του!ρυθμού!μεταβολής!της!στροφορμής!του!συστήματος!ράβδος]μάζα!m2!τη!χρονική!στιγμή!t=0!


86

β)!!τη!γωνιακή!ταχύτητα!που!αποκτά!το!σύστημα!ράβδος]μάζα!m2!τη!χρονική!στιγμή!που!διέρχεται!για!πρώτη!φορά!από!την!κατακόρυφη!θέση!γ)!!τη!περίοδο!και!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!της!μάζας!m1!δ)!!το!λόγο!της!κινητικής!προς!τη!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσης!της!μάζας!m1!τη!χρονική!στιγμή!t1=!

!!"!s!

ε)! ! το!ρυθμό!μεταβολής! της! κινητικής! ενέργειας! της! ταλάντωσης! της!μάζας!m1! τη!χρονική!στιγμή!t1=!

!!"!s!

Δίνονται! η! επιτάχυνση! της! βαρύτητας! g=10m/s2! και! ότι! η! ροπή! αδράνειας! μιας!λεπτής!και!ομογενούς!ράβδου!μάζας!Μ!και!μήκους!L!ως!προς!άξονα!που!διέρχεται!από!το!μέσο!της!και!είναι!κάθετος!σε!αυτή!ισούται!με!Ιcm=(1/12)ML2.!!

Απ:(Α)(α.! Ι=20Kg.m2,!β.! T=100N,! F=240N,!B)(α.!!"!"=100Kg.m2/s2,!β.!ω= 10rad/s,! γ.!

T=0,1π!s,!!A=0,25m!!!!!δ.(!!!=3,!!!!!!!!ε.(!!"!"=125 3J/s.!

!13. Στο! παρακάτω! σχήμα! το! ελατήριο! είναι! ιδανικό,! η! σταθερά! του! ισούται! με!k=100Ν/m! και! το! ένα! του! άκρο! είναι! δεμένο! με! αβαρές! και! μη! εκτατό! νήμα,! το!οποίο!διέρχεται!από! το!αυλάκι! τροχαλίας!μάζας!Μ=4kg! και!ακτίνας!R=0,15m.! Στο!άλλο! άκρο! του! νήματος! έχουμε! δέσει! ένα! μικρό! σώμα! μάζας! m=2kg! το! οποίο!βρίσκεται!σε!ύψος!h=1m!από!το!έδαφος.!Η!τροχαλία!μπορεί!να!περιστρέφεται!γύρω!από! οριζόντιο! ακλόνητο! άξονα! που! διέρχεται! από! το! κέντρο! της.! Αρχικά! κρατάμε!ακίνητο!το!σώμα,!ενώ!το!ελατήριο!βρίσκεται!στην!κατάσταση!φυσικού!του!μήκους,!όπως!φαίνεται!στο!σχήμα.!Κάποια!στιγμή!αφήνουμε!ελεύθερο!το!σώμα!να!κινηθεί.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h=1m*!*****


87

α.!Να!αποδειχθεί! ότι! το! σύστημα!θα! εκτελέσει! απλή!αρμονική! ταλάντωση! και! να!υπολογιστεί!η!περίοδος!της!ταλάντωσης.!β.!Να!υπολογιστεί!η!ταχύτητα!του!σώματος!Σ!όταν!αυτό!βρίσκεται!σε!ύψος!h1=0,8m!από!το!έδαφος.!γ.! Να! υπολογιστεί! το! μικρότερο! ύψος! από! το! έδαφος,! στο! οποίο! θα! κατέβει! το!σώμα!Σ.!!Δίνεται! η! επιτάχυνση! της! βαρύτητας! g=10m/s2! και! ότι! η! ροπή! αδράνειας! της!τροχαλίας! ως! προς! τον! άξονα! περιστροφής! της! υπολογίζεται! από! τον! τύπο:!Ι=(1/2)MR2!!Απ.((α)!Τ=0,4π!s!!!!!!!!!!β)!υ=1!m/s!!!!!!!!γ)!h2=0,6!m!!!!14. Σώμα! Σ! μάζας!m=2kg! είναι! δεμένο! στο!άκρο! οριζόντιου! ιδανικού! ελατηρίου!σταθεράς!k=200N/m,!το!άλλο!άκρο!του!οποίου!βρίσκεται!στερεωμένο!σε!ακλόνητο!σημείο.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(+)!!!!!!Α.!!Συσπειρώνουμε!το!ελατήριο!κατά!d=0,8m!και!το!αφήνουμε!ελεύθερο.!1.! ! Να! γράψετε! τις! εξισώσεις! απομάκρυνσης,! ταχύτητας! και! επιτάχυνσης! του!σώματος! Σ,! θεωρώντας! ως! θετική! την! φορά! την! αντίθετη! της! αρχικής!απομάκρυνσης.!2.!Ποια!χρονική!στιγμή!η!κινητική!ενέργεια!ταλάντωσης!γίνεται!μέγιστη!για!πρώτη!φορά;!*Β.* ! Όταν! το! σώμα! Σ! διέρχεται! για! δεύτερη! φορά! από! την! θέση! στην! οποία! η!δυναμική! ενέργεια! ταλάντωσης! είναι! τριπλάσια! της! κινητικής,! λόγω! κάποιου!εσωτερικού! αιτίου,! διασπάται! σε! δύο! κομμάτια! Σ1! και! Σ2,! με! μάζες! m1! και! m2!

αντίστοιχα,! για! τις! οποίες! ισχύει! m2=3m1.! Το! σώμα! Σ1! παραμένει! δεμένο! στο!ελατήριο! έχοντας,! αμέσως! μετά! την! διάσπαση,! ταχύτητα! διπλάσιου! μέτρου! και!αντίθετης!κατεύθυνσης!από!αυτή!που!είχε!το!σώμα!Σ!λίγο!πριν!την!κρούση,!ενώ!το!σώμα!Σ2!κινείται!οριζόντια!απομακρυνόμενο!από!το!σώμα!μάζας!m1.!1.!Να!βρεθεί!το!νέο!πλάτος!ταλάντωσης!του!σώματος!Σ1!που!προέκυψε!από!την!διάσπαση.!2.!Να!υπολογίσετε!την!ταχύτητα!του!κομματιού!Σ2!αμέσως!μετά!την!διάσπαση.!*


88

Γ.! ! Το! σώμα! μάζας! m2,! που! κινείται! οριζόντια,! συγκρούεται! πλαστικά! στην!περιφέρεια! δίσκου,! μάζας! Μ=3kg! και! ακτίνας! R=1m,! ο! οποίος! περιστρέφεται! σε!κατακόρυφο! επίπεδο! με! σταθερή! γωνιακή! ταχύτητα! μέτρου! ωο=32rad/s,! με!διεύθυνση!κάθετη!στην!σελίδα!και!φορά!προς!τον!αναγνώστη.!Να!υπολογίσετε:!1.! ! την! γωνιακή! ταχύτητα! περιστροφής! του! συστήματος! δίσκος]σώμα! Σ2! αμέσως!μετά!την!σύγκρουση.!2.! την! γραμμική! ταχύτητα! του! σώματος! μάζας! Σ2,! όταν! το! μέτρο! του! ρυθμού!μεταβολής! της! στροφορμής! του! συστήματος! δίσκος]Σ2,! ως! προς! τον! άξονα!περιστροφής!του!δίσκου,!γίνεται!μέγιστο!για!πρώτη!φορά.!Θεωρήστε! ότι! ο! άξονας! του! ελατηρίου! είναι! εφαπτόμενος! στην! περιφέρεια! του!δίσκου.!Δίνεται! η! ροπή! αδράνειας! του! δίσκου! ως! προς! τον! άξονα! περιστροφής! του!Ι=(1/2)MR2!και!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g=10m/s2.!Απ:**Α.(((1.!x=0,8ημ(10t+3π/2)!(S.I),!!!υ=8συν(10t+3π/2)!(S.I),!α==80ημ(10t+3π/2)!(S.I),!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!!!!2.!!Δt=π/20!s!Β.!!!1.!!A1=0,8!m!!!!!!!!!!!!!2.!υ2=8!m/s!!!!!!!Γ.!!!1.!!ω1=12!rad/s!!!!!!!!!2.!υ= 134!m/s!!15. Ισορροπία*και*Α.Α.Τ**Μια!ομογενής!ράβδος!μήκους!L!=!3m! ! και!μάζας!M!=!5Kg! ισορροπεί!σε!οριζόντια!θέση! πάνω! σε! δύο! υποστηρίγματα! που! απέχουν! D! =! 0,5m! από! κάθε! άκρο! της!ράβδου.! Στο! ένα! άκρο! της! ράβδου! κρέμεται! σώμα! Σ! μάζας!m!=! 3,2Kg! μέσω! ενός!ελατηρίου,!σταθεράς!k!=!80!N/m.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Α.! Να! βρείτε! τη! δύναμη! που! ασκεί! κάθε! στήριγμα! στη! ράβδο! όταν! το! σώμα! Σ!ισορροπεί.!*Β.! Απομακρύνουμε! το! σώμα! Σ! προς! τα! κάτω! κατά! Α! και! την! στιγμή! t! =! 0! το!αφήνουμε! ελεύθερο.! Να! βρείτε! τη! μέγιστη! τιμή! του! Α! για! να! μην! ανατραπεί! η!ράβδος.!*Γ.!Για!την!τιμή!πλάτους!που!βρήκατε!στο!ερώτημα!Β!να!γράψετε:!*i)! την!εξίσωση!απομάκρυνσης!σαν!συνάρτηση!του!χρόνου!Θεωρήστε!θετική!φορά!προς!τα!κάτω.!ii)!το!μέτρο!του!ρυθμού!μεταβολής!της!κινητικής!ενέργειας!για!απομάκρυνση!Α/2.!Δίνεται!:!g!=!10m/!s2!!


89

!Aπ.!!!Α)!!17Ν!,!65Ν!!!!!!!!!!!!Β)!0,85m!!!!!!!!!!!!!!Γ)!!i)!x=0,85ημ(5t!+!π/2)!(S.I)!!!!ii)72,25 3!J/s!!!!!!!!!!!!!16. Ισορροπία,*κύλιση,*Doppler!!Ο! σφαιρικός! φλοιός! του! σχήματος,! ισορροπεί! πάνω! σε! κεκλιμένο! επίπεδο! που!σχηματίζει! γωνία! φ! με! το! οριζόντιο! επίπεδο.! Συνδέεται! με! αβαρές! ελατήριο! στο!σημείο!Κ!του!όποιου!η!προβολή!του!Ζ!στην!ακτίνα!απέχει!απόσταση!OZ=d=0,25m!από! το! κέντρο! του! Ο.! Ο! άξονας! του! ελατηρίου! είναι! παράλληλος! στο! κεκλιμένο!επίπεδο.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!φ*!!!Δίνονται:!σταθερά! ιδανικού!ελατηρίου!K=100!N/m! ,!μάζα!φλοιού!m=6!Kg! ,!ακτίνα!φλοιού! R=0,5m,! ! ροπή! αδράνειας! ως! προς! το! κέντρο! μάζας! του! φλοιού!Icm=(2/3)mR2,!συνφ=0,8!,!ημφ=0,6,!g=10!m/s2!!*Α)!Όσο!ο!φλοιός!ισορροπεί,!να!βρείτε!και!να!δικαιολογήσετε!την!φορά!της!στατικής!τριβής!Tστ!και!να!υπολογίσετε!την!επιμήκυνση!του!ελατηρίου.!!*

O

Z ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

90

Β)!Αφαιρείται!το!ελατήριο!και!ο!φλοιός!αρχίζει!να!κυλίεται!χωρίς!να!ολισθαίνει.!Να!υπολογίσετε!επιτάχυνση!κέντρου!μάζας!acm,!καθώς!και!την!γωνιακή!επιτάχυνση!του!φλοιού!aγ.!!*Γ)!Στο!κέντρο!του!ο!φλοιός!έχει!ηχητική!πηγή!συχνότητας!fS!.!Ένας!παρατηρητής!που!βρίσκεται! στη! βάση,! ακούει! ήχο! συχνότητας! fA=1,25fS! ! ακριβώς! τη! στιγμή! που! ο!φλοιός!φτάνει!σε!αυτόν.!!Να!υπολογίσετε!για!τον!φλοιό!:!!α)!Τη!στροφορμή!του,!τη!χρονική!στιγμή!που!φτάνει!στην!βάση.!!β)!Το!ρυθμό!μεταβολής!της!κινητικής!του!ενέργειας,!τη!στιγμή!φτάνει!στη!βάση.!!Δίνεται!:!uηχ=340!m/s!!!Aπ.!Α)!0,72!m!!!!!!!!!B)!3,6!m/s2!!!7,2!rad/s2!!!!!!!!!!Γ)!α)!136!Kg.m2/s!!β)!2448!J/s!!17. (Τροχαλία,*Doppler)!!Λεπτή! τροχαλία! μάζας! Μ! και! ακτίνας!R=0,5m! μπορεί! να! περιστρέφεται! γύρω!από!οριζόντιο!άξονα!που!περνάει!από!το!κέντρο! της! και! είναι! κάθετος! στο!επίπεδό! της.! Γύρω! από! την! τροχαλία!είναι! τυλιγμένο!αβαρές!και!μη!ελαστικό!νήμα.! Στο! ελεύθερο! άκρο! του! νήματος!είναι! δεμένος! μικρός! ανιχνευτής!ηχητικών! συχνοτήτων! μάζας! m=2Κg.! Ο!ανιχνευτής! βρίσκεται! στην! ίδια!κατακόρυφο! και! σε! ύψος! h=21m! πάνω!από! σημειακή! ηχητική! πηγή! που!εκπέμπει! ήχο! συχνότητας! f=680Hz.! Τη!χρονική!στιγμή! t=0! αφήνουμε!ελεύθερο!το!σύστημα! τροχαλία]ανιχνευτής,! οπότε!και!η!τροχαλία!αρχίζει!να!περιστρέφεται!με! σταθερή! γωνιακή! επιτάχυνση!αγ=8rad/s

2.!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h*

!α)!Να!υπολογίσετε!τη!μάζα!της!τροχαλίας.!!Τη! χρονική! στιγμή! t1! στην! οποία! η! τροχαλία! έχει! εκτελέσει! Ν=8/π! περιστροφές!κόβουμε!το!νήμα.!*β)!Να!βρείτε!το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!ανιχνευτή!τη!χρονική!στιγμή!t1.!*γ)!Να!υπολογίσετε!τη!συχνότητα!του!ήχου!που!καταγράφει!ο!ανιχνευτής!τη!χρονική!στιγμή!t1.!*

R


91

δ)! Να! παραστήσετε! γραφικά! το! μέτρο! της! γωνιακής! ταχύτητα! της! τροχαλίας! σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο!από!τη!χρονική!στιγμή!t=0!μέχρι!τη!χρονική!στιγμή!t2!κατά!την! οποία! ο! ανιχνευτής! φτάνει! στην! πηγή! και! να! βρείτε! τη! γωνία! στροφής! της!τροχαλίας!μέχρι!εκείνη!τη!στιγμή.!*ε)!Να!παραστήσετε!γραφικά!τη!συχνότητα!του!ήχου!που!καταγράφει!ο!ανιχνευτής!μέχρι!τη!χρονική!στιγμή!t2!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!Δίνονται:! η! ροπή! αδράνειας! της! τροχαλίας! ως! προς! άξονα! που! διέρχεται! από! το!κέντρο! της! και! είναι! κάθετος! στο! επίπεδό! της! Ι=(1/2)ΜR2! ! ,! η! ταχύτητα! του! ήχου!στον!αέρα!υΗΧ=340m/s!και!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g=10m/s2.!!Απ.!α)!Μ=6!Kg!!!!!!!!!β)!υ=8!m/s!!!!!!!!!!γ)!f=696!Hz!!!!!!!!!δ)!θ=32!rad!

!!!!!!!!!ε)!! = 680+ 8!!, 0 ≤ ! ≤ 2!! = 656+ 20!!, 2! ≤ ! ≤ 3! !

!!18. Ισορροπία*και*Α.Α.Τ*και*περιστροφή!!Μια!λεπτή!και!αβαρής!ράβδος!ΑΒ!με!μήκος!L=6m!ισορροπεί!σε!οριζόντια!θέση!όπως!φαίνεται!στο!παρακάτω!σχήμα.!Στο!άκρο!Α!της!ράβδου!βρίσκεται!στερεωμένο!μικρό!σφαιρίδιο!Σ1!μάζας!m=2Kg.!Η!ράβδος!μπορεί!να!περιστρέφεται!χωρίς!τριβές!γύρω!από!ακλόνητο!σημείο!Ο!που!απέχει!απόσταση!L/4!από!το!άκρο!της!Α.!Ένα!αβαρές!και! μη! ελαστικό! νήμα! συνδέει! το! σημείο! Ν! της! ράβδου! με! μικρό! σώμα! Σ2! μάζας!Μ=5Kg! το! οποίο! είναι! στερεωμένο! στο! πάνω! άκρο! κατακόρυφου! ιδανικού!ελατηρίου! σταθεράς! k=80N/m.! Το! άλλο! άκρο! του! ελατηρίου! στερεώνεται! στο!δάπεδο.!Το!σημείο!Ν!απέχει!απόσταση!3L/4!από!το!άκρο!Α!της!ράβδου.!!************A******************************O*************************************N*****************************B*!!!!!!!!!!!!Σ1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Σ2!!!!!!!!α)!Να!υπολογίσετε!το!μέτρο!της!τάσης!του!νήματος!που!ασκείται!στη!ράβδο!και!τη!δυναμική!ενέργεια!που!είναι!αποθηκευμένη!στο!ελατήριο.!!Τη! χρονική! στιγμή! t=0! κόβουμε! το! νήμα! και! ταυτόχρονα! ασκούμε! στο! σημείο! Ν!δύναμη! F! μεταβλητού! μέτρου! που! δρα! συνεχώς! κάθετα! στη! ράβδο.! Το! σώμα! Σ2!αρχίζει! να! εκτελεί! απλή! αρμονική! ταλάντωση! και! η! ράβδος! αρχίζει! να!


92

περιστρέφεται!με!σταθερή!γωνιακή!επιτάχυνση!αγ=4!rad/s2!με!φορά!αντίθετη!από!

τη!φορά!περιστροφής!των!δεικτών!του!ρολογιού.!!*β)! Να! υπολογίσετε! το! πλάτος! της! ταλάντωσης! που! εκτελεί! το! σώμα! Σ2! και! την!απομάκρυνσή!του!από!τη!θέση!ισορροπίας!όταν!η!ράβδος!έχει!αποκτήσει!γωνιακή!ταχύτητα!μέτρου!ω=3π/2!rad/s.!*γ)!Να!γράψετε!τη!συνάρτηση!της!αλγεβρικής!τιμής!της!ροπής!της!δύναμης!F!με!τη!γωνία!θ!που!σχηματίζει!η!ράβδος!με!την!οριζόντια!διεύθυνση!για!0≤ ! ≤900.!!!*δ)!Να!υπολογίσετε!το!ρυθμό!μεταβολής!της!κινητικής!ενέργειας!της!ράβδου!όταν!η!ροπή!της!δύναμης!F!ισούται!με!μηδέν.!!Δίνεται!συν(3π/10)=0,6!και!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g=10m/s2.!!Απ.!!α)!Τ=10Ν!,!U=10J!!!!!!β)!Α=0,125m!!,!!x=0!!!!!!!!!!!!γ)!τ=18]30συνθ!(S.I)!!!!!!δ)!72 3!/20!J/s!19. κύλιση,*λείο*δάπεδο!!Το!οριζόντιο!τμήμα!ΑΓ!του!σχήματος!παρουσιάζει! τριβές!ενώ!το!τεταρτοκύκλιο!ΓΔ!ακτίνας! R=0,6m! είναι! λείο.! Ο! κύλινδρος! μάζας! m=8Κg! και! ακτίνας! r=0,05m! και!ροπής!αδράνειας!Ι=(1/2)mr2!που!αρχικά!ηρεμεί!στο!σημείο!Α!δέχεται!την!επίδραση!μιας! σταθερής! οριζόντιας! δύναμης! F! η! οποία! τον! υποχρεώνει! σε! κύλιση! χωρίς!ολίσθηση! πάνω! στο! οριζόντιο! δάπεδο! ΑΓ=4m.! Όταν! φτάσει! στο! σημείο! Γ! έχει!αποκτήσει!γωνιακή!ταχύτητα!ω=40!rad/s!και!η!δύναμη!F!καταργείται.!Στη!συνέχεια!ο!κύλινδρος!κινείται!πάνω!στο!λείο!τεταρτοκύκλιο.!Ζητούνται:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Δ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!**************************************************************************F!!!!!!!A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ!!!α)! Η! συχνότητα! περιστροφής! του! κυλίνδρου! στο! σημείο! Γ! και! η! ταχύτητα! του!κέντρου!μάζας!του!στο!ίδιο!σημείο.!*β)! Το! πηλίκο! της! δύναμης! F! προς! τη! στατική! τριβή! κατά! τη! κύλισή! του!πάνω!στο!οριζόντιο!επίπεδο.!*


93

γ)!Η!γωνιακή!επιτάχυνση!πάνω!στο!οριζόντιο!επίπεδο.!*δ)!Η!κατακόρυφη!απόσταση!h!που!θα!ανέβει!το!κέντρο!μάζας!του!κυλίνδρου!πάνω!στο!τεταρτοκύκλιο!μέχρι!το!στιγμιαίο!μηδενισμό!της!ταχύτητας!του!κέντρου!μάζας!του.!*ε)!Η!χρονική!στιγμή!κατά!την!οποία!ο!στιγμιαίος!ρυθμός!παραγωγής!έργου!από!τη!δύναμη!F!είναι!12!J/s.!!Δίνεται!g=10!m/s2.!!Απ:!α)!20/π!Hz!,!2!m/s!!!!!!β)!3!!!!!!γ)!10rad/s2!!!!!!!!δ)!!0,2m!!!!!!!!!!ε)!4s!!!!!!20. Περιστροφή,*Α.Δ.Σ.*,*πλαστική*κρούση,*Α.Α.Τ.!!Η! ράβδος! του! παρακάτω! σχήματος! μάζας! Μ=3Κg! και! μήκους! L=1m! μπορεί! να!στρέφεται!γύρω!από!οριζόντιο!άξονα!που!περνά!από!το!άκρο!της!Ο.!Στο!άλλο!της!άκρο! είναι! στερεωμένο!μικρό!σώμα!μάζας!m1=1Kg.! To!σύστημα!βρίσκεται!αρχικά!στην!οριζόντια!θέση!από!όπου!και!αφήνεται!να!περιστραφεί.!Όταν!η!ράβδος!φτάσει!στην!κατακόρυφη!θέση!το!σώμα!μάζας!m1!με!το!αρχικά!ακίνητο!μικρό!σώμα!μάζας!m2=2Kg.!Αμέσως!μετά! ! τη!κρούση!το!σύστημα!ράβδος]m1!ακινητοποιείται,!ενώ!το!m2! κινείται! πάνω! στο! λείο! οριζόντιο! επίπεδο! και! συγκρούεται! μετωπικά! και!πλαστικά!με! το!επίσης!μικρό!σώμα!μάζας!m3=3Kg!που!είναι!δεμένο!στο!ελατήριο!σταθεράς!k=500N/m.!!***m1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!O!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!θ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m3!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k*****


94

α)! Ποια! είναι! η! ροπή! αδράνειας! του! συστήματος! ράβδος]m1! ως! προς! τον! άξονα!περιστροφής;!*β)!Ποια!είναι!η!μέγιστη!και!ποια!η!ελάχιστη!γωνιακή!επιτάχυνση!του!συστήματος!ράβδος]m1!κατά!τη!διάρκεια!της!κίνησής!του;!*γ)!Βρείτε!τη!ταχύτητα!με!την!οποία!η!m2!θα!συγκρουστεί!με!την!m3.!*δ)!Ποια!είναι!η!μέγιστη!συσπείρωση!του!ελατηρίου;!*ε)! Καθώς! το! σύστημα! ράβδος]m1! περιστρέφεται,! βρείτε! τη! στιγμιαία! ισχύ! του!βάρους!της!μάζας!m1!τη!χρονική!στιγμή!κατά!την!οποία!η!ράβδος!έχει!στραφεί!κατά!γωνία!θ!(ημθ=0,25)!από!την!αρχική!οριζόντια!θέση!της.!!Δίνεται!g=10!m/s2!και!ότι!η!ροπή!αδράνειας!της!ράβδου!ως!προς!κάθετο!άξονα!που!περνά!από!το!κέντρο!μάζας!της!είναι!ΙCM=(1/12)ML2.!!!21. Κύλιση*και*μεταφορά.!!Στο! παρακάτω! σχήμα! φαίνεται! ένας! κύλινδρος! μάζας!Μ=2Kg! και! ακτίνας!R=0,4m!γύρω!από!τον!οποίο!έχουμε!τυλίξει!αβαρές!και!μη!εκτατό!νήμα.!Στο!ελεύθερο!άκρο!του! νήματος! έχουμε! δέσει! μικρό! σώμα! μάζας! m=0,2Kg! το! οποίο! μπορεί! να!ολισθαίνει! στο! οριζόντιο! δάπεδο! (Ι).!O! συντελεστής! τριβής! ολίσθησης!μεταξύ! του!σώματος! μάζας! m! και! του! δαπέδου! (Ι)! ισούται! με! μ=0,5.! Αρχικά! το! σύστημα!κύλινδρος]σώμα!είναι!ακίνητο.!Τη!χρονική!στιγμή!t=0!ασκούμε!στο!σώμα!μάζας!m!οριζόντια! σταθερή! δύναμη! F! με! αποτέλεσμα! το! μικρό! σώμα! να! ολισθαίνει! στο!δάπεδο! (Ι)! ενώ! ο! κύλινδρος! να! κυλίεται! χωρίς! να! ολισθαίνει! στο! δάπεδο! (ΙΙ).! Τη!χρονική! στιγμή! t1=2s! ο! κύλινδρος! φτάνει! στον! τοίχο! έχοντας! διανύσει! απόσταση!x1=8m.!Nα!υπολογίσετε:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!t=0*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Ζ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*F!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(I)*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(II)*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x1**α)!!το!μέτρο!της!γωνιακής!ταχύτητας!του!κυλίνδρου!τη!χρονική!στιγμή!t1,!*

R


95

β)! ! το! μέτρο! της! τάσης! του! νήματος,! το! μέτρο! της! στατικής! τριβής!που!δέχεται! ο!κύλινδρος!και!το!μέτρο!της!δύναμης!F,!*γ)!!το!μήκος!που!έχει!διανύσει!το!σώμα!μάζας!M!τη!χρονική!στιγμή!που!ο!κύλινδρος!φτάνει!στον!τοίχο,!*δ)!!το!ρυθμό!με!τον!οποίο!παράγεται!θερμότητα!λόγω!τριβών!την!ίδια!στιγμή,!*ε)! ! το!ποσοστό!της!προσφερόμενης!ενέργειας!μέσω!του!έργου!της!δύναμης!F!που!μεταφέρθηκε!στον!κύλινδρο!μέχρι!τη!χρονική!στιγμή!t1.!!Δίνεται!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g=10m/s2!και!η!ροπή!αδράνειας!του!κυλίνδρου!ως!προς!τον!άξονα!που!διέρχεται!από!το!κέντρο!μάζας!του!Icm=1/2ΜR2.!!Απ:!!α)!ω=20!rad/s!!!!β)!Τ’=6Ν!,!Τστ=2Ν!,!F=8,6N!!!!!γ)!S=16m!!!!δ)!16J/s!!!!ε)!69,8%!22. Ισορροπία,*κύλιση,**Α.Α.Τ.!!Σώμα! Σ1! μάζας!m1=1Κg! ισορροπεί! δεμένο! στο! πάνω!άκρο! κατακόρυφου! ιδανικού!ελατηρίου! σταθεράς! k=100N/m! το! άλλο! άκρο! του! οποίου! είναι! ακλόνητα!στερεωμένο! στο! έδαφος.!Ομογενής! και! συμπαγής! κύλινδρος! με! μάζα!m2=4Κg! και!ακτίνας! R=0,2m,! βρίσκεται! τοποθετημένος! σε! πλάγιο! επίπεδο! με! γωνία! κλίσης!φ=30ο!και!συνδέεται!μέσω!αβαρούς!μη!εκτατού!νήματος!και!τροχαλίας!με!το!σώμα!Σ1!και!όλο!το!σύστημα!ισορροπεί,!όπως!φαίνεται!στο!διπλανό!σχήμα.!!!!!!!!!!!!!!!!*Α.*i.*Να!υπολογίσετε!τη!δύναμη!που!ασκεί!το!νήμα!στον!κύλινδρο!στην!κατάσταση!ισορροπίας.!ii.*Να!δείξετε!ότι!στην!κατάσταση!ισορροπίας!το!ελατήριο!έχει!επιμηκυνθεί!και!να!υπολογίσετε!την!επιμήκυνση!που!έχει!υποστεί.!


96

Β.*Τη!χρονική!στιγμή!t=0!το!νήμα!κόβεται!οπότε!ο!κύλινδρος!αρχίζει!να!κυλίεται!στο!πλάγιο!επίπεδο!χωρίς!να!ολισθαίνει!και!ταυτόχρονα!το!Σ1!πραγματοποιεί!Α.Α.Τ.!i.*Να!υπολογίσετε!την!επιτάχυνση!του!άξονα!του!κυλίνδρου,!τη!γωνιακή!επιτάχυνση!του! κυλίνδρου! και! το! μέτρο! της! στατικής! τριβής! που! δέχεται! ο! κύλινδρος! από! το!πλάγιο!επίπεδο.!ii.* Να! δείξετε! ότι! η! κίνηση! του! κυλίνδρου! στο! πλάγιο! επίπεδο! γίνεται! πράγματι!χωρίς!ολίσθηση.!Γ.*Αν!για! την!Α.Α.Τ.! του!Σ1!θεωρήσουμε!ως!θετική!φορά!την!κατακόρυφη!προς! τα!κάτω:!i.*να!υπολογίσετε!το!πλάτος!της!ταλάντωσης,!ii.* να! γράψετε! την! εξίσωση! της! απομάκρυνσης! του! σώματος! Σ1! από! τη! θέση!ισορροπίας!του!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!Δ.*Αν!ο!κύλινδρος!φτάνει!στη!βάση!του!πλάγιου!επιπέδου!τη!στιγμή!που!το!σώμα!Σ1!διέρχεται! από! τη! θέση! φυσικού! μήκους! του! ελατηρίου! για! 4η! φορά,! να!υπολογίσετε:!i.*το!χρόνο!κίνησης!του!κυλίνδρου!στο!πλάγιο!επίπεδο!ii.*το!μέτρο!της!κατακόρυφης!μετατόπισης!h!του!κυλίνδρου!iii.*το!μήκος!της!διαδρομής!που!διανύουν!τα!σώματα!Σ1!και!Σ2.!!Δίνεται!η! επιτάχυνση! της!βαρύτητας!g=10m/s2! ,! η!ροπή!αδράνειας! του!κυλίνδρου!ως! προς! τον! άξονα! που! διέρχεται! από! το! κέντρο! μάζας! του! Icm=1/2mR2,! ο!συντελεστής! μέγιστης! στατικής! τριβής! μεταξύ! του! κυλίνδρου! και! του! πλάγιου!επιπέδου!μs= 3/4!και!π2=!10.!Απ:! !Α)! i)!Τ=20Ν!,ii)! l1=0,1m!!Β)! i)!αcm=10/3!m/s2! ,!αγ=50/3!rad/s2! ! ,!Tστ=20/3!Ν!! ,! ii)!Tστ<15!Ν!!!!!Γ)!i)!Α=0,2m!!,!ii)!x=0,2ημ(10t!+!3π/2)!(S.I)!!!Δ)!i)!t=11π/30!s!!,!ii)!h=11,2m!!,iii)!S1=1,5m!!,!S2=2,24m!!!!23. Ισορροπία,*Α.Α.Τ.*,*πλαστική*κρούση!!Η!λεπτή!ομογενής!ράβδος!ΑΓ!του!σχήματος!έχει!μήκος!l=8m!και!μάζα!m=4,5Kg!και!στηρίζεται!σε!δύο!στηρίγματα!Σ1,!Σ2!τα!οποία!απέχουν!από!τα!άκρα!της!Α!και!Γ!κατά!d1=1m! και! d2=2m! αντίστοιχα.! Στο! μέσο! Μ! της! ράβδου! βρίσκεται! σώμα! μάζας!m1=8,5Kg! το! οποίο! είναι! στερεωμένο! στο! ελεύθερο! άκρο! ιδανικού! οριζόντιου!ελατηρίου! σταθεράς! k=100N/m! και! μπορεί! να! κινείται! χωρίς! τριβές! πάνω! στην!ράβδο.! Το! άλλο! άκρο! του! ελατηρίου! είναι! στερεωμένο! σε! κατακόρυφο! τοίχο.! Τη!χρονική!στιγμή!t=0!ένα!βλήμα!μάζας!m2=0,5Kg!που!κινείται!οριζόντια!με!ταχύτητα!

υ0=180 2m/s!συγκρούεται!μετωπικά!και!πλαστικά!με!το!ακίνητο!σώμα!μάζας!m1.!Στη!συνέχεια!το!συσσωμάτωμα!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!Να!υπολογίσετε:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!υ0*****!!!!!m1********************************************k!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m2*

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Μ*


97

!!!!α)!!!Το!ποσοστό!της!!αρχικής!κινητικής!ενέργειας!του!βλήματος!που!έγινε!θερμότητα!κατά!τη!κρούση.!!*β)!!!Το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος.!*γ)!!!Τις!δυνάμεις!που!ασκούν!τα!στηρίγματα!στη!ράβδο!αμέσως!μετά!τη!κρούση.!*δ)!!!τη!χρονική!στιγμή!που!η!ράβδος!αρχίζει!να!ανατρέπεται.!!Δίνεται!g=10m/s2.!!!!!!!!!!!!!!!*!

Απ:!!α)!!π%=94,4%!!!!!!!!!!!!!!!β)!Α=3 2m!!!!!!!!!!γ)!F1=54N!,!F2=81N!!!!!!!!!!δ)!t=3π/40s!!!!!24. Α.Δ.Σ,**Α.Δ.Μ.Ε,**Ρ.*Μ.*Στροφορμής*,**ΙΣΧΥΣ!!Σώμα! αμελητέων! διαστάσεων! μάζας! m=2Kg! εκτοξεύεται! με! ταχύτητα! μέτρου!!!!!!!!

υ=2 2m/s! κατά! μήκος! λείου! τεταρτοκυκλίου! ακτίνας! R=0,4m.! Στη! βάση! του!τεταρτοκυκλίου! το! σώμα! συγκρούεται! με! κατακόρυφη! ράβδο! μήκους! l=0,4m! και!μάζας!Μ=3Kg.!Η!ράβδος!είναι!ομογενής!και!μπορεί!να!στρέφεται!χωρίς!τριβές!γύρω!από!οριζόντιο!άξονα!που!διέρχεται!από!το!άκρο!της!Ο,!που!συμπίπτει!με!το!κέντρο!του!τεταρτοκυκλίου.!Κατά!τη!διάρκεια!της!κρούσης!το!σώμα!αποδίδει!στη!ράβδο!το!50%!της!κινητικής!ενέργειας!που!είχε!ακριβώς!πριν!τη!σύγκρουση.!Να!υπολογίσετε:!***********************************************************************O***********************************************************A*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m*

!***************************************************************************************************************υ0*

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ*!*α)!!!Τη!γωνιακή!ταχύτητα!της!ράβδου!αμέσως!μετά!τη!σύγκρουσή!της!με!το!σώμα.!


98

*β)!!!Τη!ταχύτητα!του!σώματος!αμέσως!μετά!τη!σύγκρουσή!του!με!τη!ράβδο.!*γ)! ! ! Την! απώλεια! της! μηχανικής! ενέργειας! του! συστήματος! κατά! τη! διάρκεια! της!σύγκρουσης.!*δ)! ! !Το!ρυθμό!μεταβολής!της!στροφορμής!της!ράβδου!τη!στιγμή!κατά!την!οποία!η!ράβδος!σχηματίζει!γωνία!600!με!τη!κατακόρυφη!διεύθυνση.!*ε)!!!Την!ισχύ!του!βάρους!τη!στιγμή!κατά!την!οποία!η!ράβδος!σχηματίζει!γωνία!600!με!τη!κατακόρυφη!διεύθυνση.!!

Δίνονται!για!τη!ράβδο! 2

121 MlIcm = !και!g=10m/s2.!

!

Απ:!α)ω=10rad/s!!!!!β)υ1’=2m/s!!!!γ)Εαπωλ=4J!!!!δ) 33−=dtdL Κgm2/s2!!!!ε)Ρ=15 5,7 J/s!

!!!25. Θ.Ν.Σ.Κ,**Α.Δ.Μ.Ε,**Α.Δ.Σ**Μια!ομογενής!ράβδος!ΑΔ!μήκους!l=6m!και!μάζας!M=2Kg!μπορεί!να!περιστρέφεται!χωρίς!τριβές!σε!κατακόρυφο!επίπεδο!γύρω!από!οριζόντιο!άξονα!που!διέρχεται!από!ένα!σημείο! της!Ο!και!είναι!κάθετος!σε!αυτή.! !Η!απόσταση!του!σημείου!Ο!από!το!κέντρο!μάζας!Κ!της!ράβδου!είναι!x=1m.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!A*!!!!!!!!!!!!!O!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!K***!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Δ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x*!***********************************************************************w**α)! ! ! Να! υπολογίσετε! τη! ροπή! αδράνειας! της! ράβδου! ως! προς! τον! άξονα!περιστροφής!της.!*β)!!!Η!ράβδος!αφήνεται!ελεύθερη!από!την!οριζόντια!θέση.!Να!υπολογίσετε:!i) την!επιτάχυνση!του!σημείου!Δ!στην!οριζόντια!θέση!ii) την!γωνιακή!ταχύτητα!της!ράβδου!όταν!αυτή!έχει!στραφεί!κατά!γωνία!φ=300!iii) το! ρυθμό!μεταβολής! της! στροφορμής! της! ράβδου! όταν! αυτή! έχει! στραφεί!

κατά!γωνία!φ=300!*

γ)!!!Ένα!βλήμα!μάζας!m=1Kg!που!κινείται!οριζόντια!με!ταχύτητα!μέτρου!υ=25m/s!

συγκρούεται!πλαστικά!με!τη!ράβδο!στο!κάτω!άκρο!της!Δ!τη!στιγμή!που!η!ράβδος!γίνεται!κατακόρυφη!για!πρώτη!φορά.!Αν!το!βλήμα!κινείται!αντίθετα!από!την!κίνηση!


99

του! άκρου! Δ! της! ράβδου! να! βρείτε! προς! ποια! κατεύθυνση! και! με! ποια! γωνιακή!ταχύτητα!θα!κινηθεί!η!ράβδος!αμέσως!μετά!τη!κρούση.!!!

Δίνεται!g=10m/s2!και!για!τη!ράβδο! 2

121 MlIcm = .!

!

Απ:!!α)!!Ι=8kg.m2!!!!!β)!!i)!α=10m/s2!!!!!!!ii)!!ω= 5,2 rad/s!!!!!!!!iii)! 310=dtdL Kg.m2/s2!!!!

γ)!ω=45 rad/s!

!!!!!!!!!!26. Ισορροπία,*Α.Α.Τ,*Ρ.Μ.*Στροφορμής!!Ομογενής! ράβδος! ΒΓ! μήκους! l=3m! και! μάζας!Μ=2Kg! ισορροπεί! οριζόντια! με! τη!βοήθεια! νήματος! το! οποίο! είναι! στερεωμένο! στο! μέσο! Κ! της! ράβδου! και! σε!κατακόρυφο! τοίχο.! Το! νήμα! σχηματίζει! με! τη! ράβδο! γωνία!φ=300.! Το! άκρο! Β! της!ράβδου! συνδέεται! με! τον! τοίχο! μέσω! άρθρωσης.! Στο! άκρο! Γ! της! ράβδου! είναι!στερεωμένο!κατακόρυφο!ιδανικό!ελατήριο!σταθεράς!k=100N/m!στο!άλλο!άκρο!του!οποίου! είναι! δεμένη! και! ισορροπεί! μια! σημειακή! μάζα! m=1Kg.! Τη! στιγμή! t=0!δίνουμε!στη!σημειακή!μάζα!ταχύτητα!υ=2m/s!με!φορά!θετική!προς!τα!κάτω!οπότε!το!σύστημα!ελατηρίου]μάζας! !αρχίζει!να!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση.!Αν!το!όριο!θραύσης!του!νήματος!είναι!Τθρ=120Ν,!να!υπολογίσετε:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Κ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ!!!!!!!!α)! ! Το! μέτρο! της! τάσης! του! νήματος! κατά! τη! διάρκεια! της! ισορροπίας! του!συστήματος!ελατηρίου]μάζας.!


100

*β)!!!!Τη!χρονική!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!για!την!απλή!αρμονική!ταλάντωση!που!εκτελεί!το!σύστημα!ελατηρίου]μάζας.!*γ)!!!!!Τη!χρονική!στιγμή!που!θα!κοπεί!το!νήμα.!*δ)!!!!!Την!ταχύτητα!της!μάζας!m!τη!στιγμή!που!κόβεται!το!νήμα.!*ε)! ! ! Το! ρυθμό! μεταβολής! της! στροφορμής! όλου! του! συστήματος! τη! στιγμή! που!κόβεται!το!νήμα.!!Δίνεται!g=10m/s2.!!!!!!!!!!!!!!!

Απ:!α)!Τ=80Ν!!!!β)!y=0,2ημ10t!(S.I)!!!!!!γ)!t=π/60!s!!!!!!!!δ)!υ= 3 !!!!!!ε)!dtdL =60Κgm2/s2!

!!!!!27. Θ.Ν.Σ.Κ!!Ομογενής! κύλινδρος! ! μάζας! m=2Kg! και! ακτίνας! R=0,1m! ισορροπεί! σε! οριζόντιο!δάπεδο!με!τον!άξονά!του!οριζόντιο.!Τη!χρονική!στιγμή!t=0!ασκούμε!στον!κύλινδρο!ζεύγος! οριζόντιων! δυνάμεων! μέτρου! F=4N! η! κάθε! μια,! των! οποίων! οι! φορείς!βρίσκονται!στο! ίδιο! κατακόρυφο!επίπεδο!που!διέρχεται!από! το!κέντρο!μάζας! του!κυλίνδρου.!Ο!μοχλοβραχίονας!του!ζεύγους!είναι!ίσος!με!d=R/2.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*F*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!d*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!F!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!Α)!!!Αν!το!δάπεδο!είναι!λείο:!*α)!!!τι!είδους!κίνηση!θα!εκτελέσει!ο!κύλινδρος!και!γιατί;!*β)! ! ! βρείτε! τη! ταχύτητα! του! ανώτερου! σημείου! του! κυλίνδρου! τη! χρονική! στιγμή!t=3s!*γ)!!!υπολογίστε!το!ρυθμό!με!τον!οποίο!το!ζεύγος!των!δυνάμεων!προσφέρει!ενέργεια!στον!κύλινδρο!τη!χρονική!στιγμή!t=3s!!!


101

Β)!!!Αν!το!δάπεδο!δεν!είναι!λείο!και!ο!συντελεστής!οριακής!στατικής!τριβής!μεταξύ!του!δαπέδου!και!του!κυλίνδρου!είναι!μορ=0,5:!*α)!!!για!ποιες!τιμές!του!μέτρου!F!o!κύλινδρος!εκτελεί!κύλιση!χωρίς!ολίσθηση;!*β)! ! ! υπολογίστε! τη! ταχύτητα! του! ανώτερου! σημείου! του! κυλίνδρου! τη! χρονική!στιγμή!t=3s!αν!είναι!F=4N.!!!

Δίνεται!g=10m/s2!και!για!τον!κύλινδρο! 2

21 mRIcm = .!!!!!!!!!

!Απ:!!!Α)!!β)!υ=6m/s!!!!!γ)!Ρ=12W!!!!!!!!!!!!!!!!Β)!!α)!F≤30N!!!!!!β)!υ=4m/s!!!!!!!!28. Στροφορμή,**Έργο*!Η!ομογενής!ράβδος!του!παρακάτω!σχήματος!έχει!μάζα!Μ=1,2Κg! ,!μήκος!L=1m!και!μπορεί!να!περιστρέφεται!χωρίς!τριβές!σε!οριζόντιο!επίπεδο!γύρω!από!κατακόρυφο!άξονα!που!διέρχεται!από!σημείο!της!Ο!και!είναι!κάθετος!σε!αυτή.!Στα!δύο!άκρα!της!ράβδου! είναι! κολλημένες! δύο! σημειακές! μάζες! m1=2,8Kg! και! m2=0,8Kg,! που!απέχουν!από!το!σημείο!Ο!αποστάσεις!L/4!και!3L/4!αντίστοιχα.!Αρχικά!το!σύστημα!είναι! ακίνητο.! Τη! χρονική! στιγμή! t=0! αρχίζουν! να! ασκούνται! στο! σύστημα! δύο!δυνάμεις!F1!και!F2! των!οποίων!τα!μέτρα!των!σταθερών!ροπών!ως!προς!τον!άξονα!περιστροφής!ικανοποιούν!τη!σχέση!τ1=4τ2,!ενώ!τη!χρονική!στιγμή!t1=4s!καταργείται!η!μία!από! τις!δύο!δυνάμεις.! Στο!διάγραμμα!φαίνεται!πως!μεταβάλλεται! το!μέτρο!της!στροφορμής!του!συστήματος!σε!συνάρτηση!με!το!χρόνο.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L(Kg.m2/s)*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!12*****m1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!O!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m2!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L/4**********!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3L/4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!t(s)*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0*!!!!!!!!!!!!!!4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*t2**!***


102

α)!!Να!εξηγήσετε!ποια!από!τις!δύο!δυνάμεις!καταργήθηκε!τη!χρονική!στιγμή!t1=4s.!*β)!!Να!υπολογίσετε!τη!κινητική!ενέργεια!του!συστήματος!τη!χρονική!στιγμή!t1=4s.!*γ)!!Να!βρείτε!τη!χρονική!στιγμή!t2!που!ακινητοποιήθηκε!το!σύστημα.!*δ)! !Να!υπολογίσετε! το!έργο! της!ροπής! της!F2! για!όλη! τη!χρονική!διάρκεια!από!τη!στιγμή!τ=0!μέχρι!τη!στιγμή!t2.!!

Δίνεται!για!τη!ράβδο:!Ιcm=121 Ml2.!

!Aπ.!!β)!!90!J!!!!!!!!!!!!γ)!!16!s!!!!!!!!!!!!!!δ)!!]120!J!!!!!!!!!!29. Ισορροπία,*Α.Α.Τ,*Ρ.Μ.*Στροφορμής,*Α.Δ.Μ.Ε,*Ρ.Μ.*Κινητικής*ενέργειας*!!Λεπτή! ομογενής! ράβδος! ΑΒ! μήκους!L=3m! και! μάζας! Μ=12Κg,! μπορεί! να!περιστρέφεται! χωρίς! τριβές! σε!κατακόρυφο! επίπεδο! γύρω! από!οριζόντιο! άξονα! που! είναι! κάθετος! σε!αυτή!και!διέρχεται!από! το!σημείο!Ο,! το!οποίο! απέχει! από! το! άκρο! της! Α!απόσταση! ΑΟ=1m.! Στο! άκρο! Β! της!ράβδου! υπάρχει! στερεωμένη! σημειακή!μάζα! m2=2Kg.! Το! άκρο! Α! της! ράβδου!συνδέεται! μέσω! κατακόρυφου! και!τεντωμένου! αβαρούς! νήματος! με! σώμα!μάζας!m1=1Kg.! Το!σώμα!μάζας!m1!είναι!δεμένο! στο! πάνω! άκρο! κατακόρυφου!ιδανικού!ελατηρίου!σταθεράς!k=400N/m!το! κάτω! άκρο! του! οποίου! στερεώνεται!στο!έδαφος.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!O!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m2*

A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m1*

!!!!!!!!!!!!!!!!!k********************************************

*Α.!!Να!υπολογίσετε:!*α)! ! τη! ροπή! αδράνειας! του! συστήματος! ! ράβδος]μάζα! m2! ως! προς! τον! άξονα!περιστροφής!που!περνά!από!το!σημείο!Ο!της!ράβδου!β)!!!το!μέτρο!της!τάσης!του!νήματος!καθώς!και!το!μέτρο!της!δύναμης!που!δέχεται!η!ράβδος!από!τον!άξονα!περιστροφής.!*


103

Β.! ! Τη! χρονική! στιγμή! t=0! κόβουμε! το! νήμα! οπότε! το! σώμα! μάζας!m1! αρχίζει! να!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!με!θετική!φορά!προς!τα!πάνω,!ενώ!το!σύστημα!ράβδος]μάζα!m2!αρχίζει!να!περιστρέφεται.!Να!υπολογίσετε:!α)!!το!μέτρο!του!ρυθμού!μεταβολής!της!στροφορμής!του!συστήματος!ράβδος]μάζα!m2!τη!χρονική!στιγμή!t=0!β)!!τη!γωνιακή!ταχύτητα!που!αποκτά!το!σύστημα!ράβδος]μάζα!m2!τη!χρονική!στιγμή!που!διέρχεται!για!πρώτη!φορά!από!την!κατακόρυφη!θέση!γ)!!τη!περίοδο!και!το!πλάτος!της!ταλάντωσης!της!μάζας!m1!δ)!!το!λόγο!της!κινητικής!προς!τη!δυναμική!ενέργεια!της!ταλάντωσης!της!μάζας!m1!τη!χρονική!στιγμή!t1=!

!!"!s!

ε)! ! το!ρυθμό!μεταβολής! της! κινητικής! ενέργειας! της! ταλάντωσης! της!μάζας!m1! τη!χρονική!στιγμή!t1=!

!!"!s!

!Δίνονται! η! επιτάχυνση! της! βαρύτητας! g=10m/s2! και! ότι! η! ροπή! αδράνειας! μιας!λεπτής!και!ομογενούς!ράβδου!μάζας!Μ!και!μήκους!L!ως!προς!άξονα!που!διέρχεται!από!το!μέσο!της!και!είναι!κάθετος!σε!αυτή!ισούται!με!Ιcm=(1/12)ML2.!!

Απ:! Α)! α.! Ι=20Kg.m2,! β.! T=100N,! F=240N,! B)! α.!!"!"=100Kg.m

2/s2,! β.!ω= 10rad/s,! γ.!T=0,1π!s,!!A=0,25m!!!!!δ.(!!!=3,!!!!!!!!ε.(!

!"!"=125 3J/s!

30. Ισορροπία,*Α.Α.Τ,*Α.Δ.Σ*,*Α.Δ.Μ.Ε.!!Ομογενής! ράβδος!μήκους! L=4m!και! μάζας!Μ=9Κg!μπορεί! να!περιστρέφεται! γύρω!από! οριζόντιο! άξονα! που! διέρχεται! από! το! άκρο! της! Ο! και! είναι! κάθετος! στο!επίπεδό!της.!Σε!απόσταση!x1!από!το!άκρο!Ο!της!ράβδου!έχουμε!κολλήσει!σε!αυτή!σημειακή!μάζα!m1=2!Kg.!Αρχικά!η!ράβδος!διατηρείται!ακίνητη!σε!οριζόντια!θέση!με!τη! βοήθεια! κατακόρυφου! νήματος!που!ασκεί! στη! ράβδο! τάση! Τ=50!Ν.! Ένα!σώμα!μάζας! m2=0,5! Kg! είναι! δεμένο! στο! ένα! άκρο! οριζόντιου! ιδανικού! ελατηρίου!σταθεράς!Κ=1250!Ν/m!και!ισορροπεί!πάνω!σε!λείο!οριζόντιο!δάπεδο!με!το!ελατήριο!στο!φυσικό!του!μήκος.!Κάποια!στιγμή!κόβουμε!το!νήμα,!οπότε!η!ράβδος!αρχίζει!να!περιστρέφεται.!Μόλις!η!ράβδος!γίνει!κατακόρυφη!το!άκρο!της!συγκρούεται!με!το!σώμα! μάζας! m2.! Αμέσως! μετά! τη! κρούση! το! σύστημα! ράβδος! –! σημειακή! μάζα!συνεχίζει!να!έχει!την!ίδια!φορά!περιστροφής!και!κινητική!ενέργεια!ίση!με!50!J.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Τ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m1*

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!O*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x1*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!k***************************************m2*

!!


104

**α)!!!!Να!υπολογίσετε!την!απόσταση!χ1!*β)! ! Να! υπολογίσετε! το! μέτρο! του! ρυθμού! μεταβολής! της! στροφορμής! του!συστήματος!ράβδος!–!σημειακή!μάζα!τη!στιγμή!που!κόψαμε!το!νήμα.!*γ)! !Να!βρείτε!το!μέτρο!της!γραμμικής!ταχύτητας!της!σημειακής!μάζας!m1!ελάχιστα!!πριν!τη!σύγκρουση.!*δ)!!Να!γράψετε!την!εξίσωση!της!δυναμικής!ενέργειας!της!ταλάντωσης!του!σώματος!m2!θεωρώντας!θετική!τη!φορά!προς!τα!δεξιά.!!

Δίνονται:!Ιcm=121 Ml2!,!g=10!m/s2!

!

Απ.!!α)!!1m!!!!!!!!β)!200!Kg.m2/s2!!!!!!!γ)!2 2m/s!!!!!!!!!δ)!U=312,5ημ2(50t!+!π)!!!!!!!!!!!!!!!31. Θ.Ν.Σ.Κ,**Α.Δ.Μ.Ε.,*Κύλιση*με*ολίσθηση!!Μια!κούφια!σφαίρα!μάζας!Μ=5Κg! και!ακτίνας!R=0,25m,!που! το!κέντρο!μάζας! της!βρίσκεται!στο!κέντρο!της,!αφήνεται!ελεύθερη!να!κινηθεί!τη!χρονική!στιγμή!t=0,!από!την!κορυφή!κεκλιμένου!επιπέδου!γωνίας!κλίσης!φ!(ημφ=0,8)!και!μήκους!!S=11,5m.!Αρχικά! το! κεκλιμένο! επίπεδο! είναι! τραχύ! οπότε! η! σφαίρα! κυλίεται! χωρίς! να!ολισθαίνει!και!τη!στιγμή!που!έχει!διανύσει!διάστημα!S1=2,5m!εισέρχεται!σε!περιοχή!όπου! το! κεκλιμένο! επίπεδο! είναι! λείο.! Η! επιτάχυνση! του! κέντρου! μάζας! της!σφαίρας! στο! τραχύ! μέρος! του! κεκλιμένου! επιπέδου! αcm! με! την! επιτάχυνση! του!κέντρου! μάζας! της! σφαίρας! στο! λείο! μέρος! του! κεκλιμένου! επιπέδου! α’cm!συνδέονται!με!τη!σχέση! ! ! ! ! !α’cm!=1,6αcm.!Η!ροπή!αδράνειας!της!σφαίρας!ως!προς!άξονα!που!διέρχεται!από!το!κέντρο!μάζας!της!υπολογίζεται!από!τον!τύπο! Ι=λΜR2,!όπου!λ>0.!Να!υπολογίσετε:!**********************************************S1********************************************************************************************S2***

��

��


105

***α)! ! την! κινητική! ενέργεια! της! σφαίρας! τη! στιγμή! που! φτάνει! στη! βάση! του!κεκλιμένου!επιπέδου,!*β)!!τη!σταθερά!λ,!*γ)! ! το!ποσοστό! της! κινητικής! ενέργειας! της! σφαίρας!που! εμφανίζεται!ως! κινητική!ενέργεια! λόγω! περιστροφής,! τη! στιγμή! που! η! σφαίρα! φτάνει! στη! βάση! του!κεκλιμένου!επιπέδου,!*δ)! ! τον! αριθμό! των! περιστροφών! της! σφαίρας! από! την! στιγμή! που! αφέθηκε!ελεύθερη!μέχρι!τη!στιγμή!που!φτάνει!στη!βάση!του!κεκλιμένου!επιπέδου.!!Δίνεται!η!επιτάχυνση!της!βαρύτητας!g=10m/s2.!!Απ:!α)!K=460J!!!!!!!!!!!β)!λ=0,!6!!!!!!!!!!!γ)!π%=8,15%!!!!!!!!!!δ)*N=15/π!!!!!32. Ισορροπία,*Α.Α.Τ,*πλαστική*κρούση*και*Doppler.!!Α.! Η! ράβδος! του! παρακάτω! σχήματος! μάζας!Μ=5Κg! και! μήκους! L=4m,! ισορροπεί!οριζόντια! εξαρτημένη! από! άρθρωση! στο! άκρο! της! Α! και! δεμένη! με! κατακόρυφο!νήμα! στο! άλλο! άκρο! της! Ο.! Πάνω! της! είναι! τοποθετημένο! υλικό! σημείο! μάζας!m=2Kg!που!είναι!δεμένο!στο!ελατήριο!σταθεράς!k=50!N/m.! Τo!φυσικό!μήκος! του!ελατηρίου!είναι!1m!και!το!υλικό!σημείο!μπορεί!να!κινείται!πάνω!στη!ράβδο!χωρίς!τριβές.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1m!!!!!!!α)!Να!υπολογίσετε!όλες! τις!δυνάμεις!που!δέχεται!η!ράβδος!όταν!το!υλικό!σημείο!ισορροπεί!ακίνητο.!β)!Τη!χρονική!στιγμή!t=0!δίνουμε!στο!υλικό!σημείο!οριζόντια!ταχύτητα!μέτρου!1m/s!προς!τα!δεξιά.!i)***Ποια!είναι!η!εξίσωση!της!απομάκρυνσης!του!υλικού!σημείου;!ii)! Ποια! είναι! η! μέγιστη! και! ποια!η! ελάχιστη! τιμή! της! τάσης! του! νήματος! κατά! τη!διάρκεια!της!ταλάντωσης;!


106

γ)*!Αν!το!όριο!θραύσης!του!νήματος!είναι!35Ν,!ποια!είναι!η!μέγιστη!επιτρεπτή!τιμή!της!αρχικής!ταχύτητας!για!να!μη!κοπεί!το!νήμα;!!Β.! Διατηρώντας! την! ίδια! ράβδο! και! την! ίδια! μάζα!m!δεμένη! στο!αρχικό! ελατήριο!έχουμε!αντικαταστήσει! το!νήμα!με!άθραυστο!σύρμα!που!στο!κάτω!του!άκρο!έχει!ανιχνευτή! ηχητικών! κυμάτων.! Στη! σημειακή! μάζα! έχουμε! προσαρμόσει! ηχητική!πηγή!που!εκπέμπει!ήχο!συχνότητας!fS=676!Hz.!Βλήμα!αμελητέων!διαστάσεων! !και!μάζας!m=0,5Kg! σφηνώνεται! στη! μάζα! m! έχοντας! λίγο! πριν! τη! κρούση! ταχύτητα!υ=10 2m/s!που!σχηματίζει!γωνία!φ=450!με!τον!ορίζοντα.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!φ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!**********υ*!!!!!!α)!Ποια!θα!είναι!η!μέγιστη!συχνότητα!του!ήχου!που!θα!φτάνει!στον!ανιχνευτή!μετά!τη!κρούση;!β)! Ποια! χρονική! διάρκεια! μεσολαβεί! ανάμεσα! σε! δύο! διαδοχικές! εμφανίσεις!μέγιστης!και!ελάχιστης!συχνότητας!ήχου!στον!ανιχνευτή;!Δίνεται!g=10!m/s2!και!η!ταχύτητα!του!ήχου!στον!αέρα!υΗΧ=340!m/s.!!!!!!33. Η! ράβδος! του! σχήματος! έχει! μήκος! L=1m! και! μάζα!M=0,9Kg! και! μπορεί! να!περιστρέφεται!γύρω!από!οριζόντιο!άξονα!που!διέρχεται!από!το!κέντρο!της!Ο.!Στα!άκρα! της! είναι! στερεωμένες! δύο! σημειακές! μάζες! m1=m2=0,1Kg! και! το! σύστημα!αρχικά! ισορροπεί! στην! οριζόντια! θέση.! Από! ύψος! h=1,8m! αφήνεται! να! πέσει!σημειακή!μάζα!m3=0,1!Kg!που!συγκρούεται!μετωπικά!και!πλαστικά!με!την!m1.!Να!υπολογίσετε:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m3*

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h*!!!!!!!!!!!m2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!O!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m1*!!!

��


107

!!α)!την!ταχύτητα!της!m3!λίγο!πριν!συγκρουστεί!με!την!m1,!!β)!την!ροπή!αδράνειας!του!συστήματος!που!θα!προκύψει!από!την!κρούση,!!γ)!την!γωνιακή!ταχύτητα!της!ράβδου!αμέσως!μετά!την!κρούση,!!δ)!την!γωνιακή!επιτάχυνση!της!ράβδου!αμέσως!μετά!τη!κρούση,!!ε)!την!γωνιακή!ταχύτητα!της!ράβδου!όταν!γίνει!κατακόρυφη.!!Δίνεται:! g=10m/s2! και! η! ροπή! αδράνειας! της! ράβδου! ως! προς! τον! άξονα!περιστροφής!της!Ι=(1/12)ΜL2.!!!!!!!!!!34. Ο!ομογενής! δίσκος! του! ! σχήματος!!έχει! μάζα!Μ=4Κg! και! ακτίνα! R=1m.! ! Σε!!ένα!!σημείο!!της!!!!περιφέρειάς!του!είναι!!στερεωμένο!!!ένα!!σημειακό!αντικείμενο!Σ1! μάζας! m1=1Kg.! Το! σύστημα!!!περιστρέφεται! ! σε! ! ! κατακόρυφο!επίπεδο! ! χωρίς! ! τριβές! ! γύρω! ! από!!!οριζόντιο! ! ! άξονα! ! που! περνάει! από! το!κέντρο!του!δίσκου.!Όταν!το!σώμα!μάζας!m1! βρίσκεται! σε! τέτοια! θέση! ώστε! η!επιβατική!του!ακτίνα!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!να!!είναι! ! οριζόντια! ! εγκαταλείπει! το! δίσκο!και!!!συνεχίζει!να!!κινείται!!!κατακόρυφα.!!Αρχικά! ! ! ο! δίσκος! μαζί! ! με! ! το! σώμα! Σ1!περιστρέφονταν! με! γωνιακή! ταχύτητα!ω1=7rad/s! ενώ! όταν! το! ! σώμα! Σ1!!εγκαταλείπει!το!δίσκο!,!!!!!!!ο!δίσκος!!!!

************************************Σ2************************(+)************************************************Σ1!!

στρέφεται! ! !με! !γωνιακή! !ταχύτητα!ω2=3rad/s.! ! !Ένα! !άλλο!σώμα!Σ2!μάζας!m2=1Kg!βρίσκεται!!στην!ίδια!!κατακόρυφο!θέση!από!την!οποία!το!σώμα!Σ1!εγκαταλείπει!το!δίσκο! και! είναι! στερεωμένο! στο! κάτω! άκρο! κατακόρυφου! ιδανικού! ελατηρίου!σταθεράς!k.!Το!σώμα!Σ2!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!με!εξίσωση!y=(5/π).ημπt!(S.I)!με!θετική!φορά!προς!τα!πάνω,!ενώ!ως!χρονική!στιγμή!t=0!θεωρείται!η!στιγμή!που! το! σώμα! Σ1! εγκαταλείπει! το! δίσκο.! Κατά! την! κίνησή! του! το! σώμα! Σ1!


108

συγκρούεται!μετωπικά!και!πλαστικά!με!το!σώμα!Σ2!τη!στιγμή!που!αυτό!περνά!για!πρώτη!φορά!από!τη!θέση!ισορροπίας!του!κινούμενο!προς!τα!κάτω.!Να!υπολογίσετε:!α)!!!Το!μέτρο!της!κατακόρυφης!ταχύτητας!υ0!με!την!οποία!το!σώμα!Σ1!εγκαταλείπει!το!δίσκο.!β)!!!Τη!χρονική!στιγμή!που!συγκρούονται!τα!δύο!σώματα.!γ)! ! ! Την!απόσταση!h!ανάμεσα!στη!θέση!σύγκρουσης!και! τη!θέση!που! το!σώμα!Σ1!εγκαταλείπει!το!δίσκο.!δ)!!!Το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!συσσωματώματος.!

Δίνεται!η!ροπή!αδράνειας!του!δίσκου!ως!προς!τον!άξονα!περιστροφής!του!Ι=2

21MR

,!g=10m/s2!και!ότι!π2=10.!!!!!!*Απ:!!!α)!!υ0=15m/s!!!!!!!!β)!!t=1s!!!!!!!!!!!!γ)!!h=10m!!!!!!!!!!!!!!δ)!Α=1m!!!!!!!!!35. H!ομογενής!ράβδος!ΟΑ!του!σχήματος!έχει!μήκος!l=2m!και!μάζα!Μ=0,3Κg!και!μπορεί!να!περιστρέφεται!χωρίς!τριβές!σε!κατακόρυφο!επίπεδο!γύρω!από!οριζόντιο!άξονα!που!διέρχεται!από!το!στερεωμένο!άκρο!της!Ο.!Στο!άλλο!άκρο!της!ράβδου!Α!βρίσκεται! στερεωμένο! ένα! σημειακό! αντικείμενο! μάζας! m1=0,1Kg.! Αφήνουμε! τη!ράβδο!ελεύθερη!από!την!οριζόντια!θέση!!και!όταν!αυτή!φτάσει!στη!θέση!Γ!το!σώμα!μάζας! m1! αποκολλάται! με! την! ταχύτητα! που! έχει! αποκτήσει! και! συγκρούεται!κεντρικά!και!ελαστικά!με!ακίνητο!σώμα!μάζας!m2=0,1Kg.!To!σώμα!μάζας!m2!είναι!στερεωμένο!στο!ελεύθερο!άκρο!ιδανικού!ελατηρίου!σταθεράς!k,!που!το!άλλο!άκρο!του!είναι!στερεωμένο!ακλόνητα.!Μετά!την!κρούση!το!σώμα!μάζας!m2!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!ενώ!το!σώμα!μάζας!m1!κατεβαίνει!στο!λείο!κεκλιμένο!επίπεδο!

γωνίας!κλίσης!φ=600!.!Όταν!το!σώμα!μάζας!m1!φτάσει!στο!σημείο!Δ!όπου!ΓΔ= 3m!!το! σώμα! μάζας! m2! έχει! φτάσει! στην! κάτω! ακραία! θέση! της! ταλάντωσής! του! για!δεύτερη!φορά.!Να!υπολογίσετε:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!A*****!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!O!**********m1********************

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!600*

!!******************************************************************************************************************m2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Δ*****************!!!!600*


109

!!!!!!!!!!!!

α)! ! ! ! Τη! ροπή! αδράνειας! του! συστήματος! ράβδος]m1! ως! προς! τον! άξονα!περιστροφής.!β)!!!!Τη!γωνιακή!ταχύτητα!του!συστήματος!ράβδος]m1!όταν!φτάσει!στο!σημείο!Γ.!γ)!!!!Τη!σταθερά!k!του!ελατηρίου.!δ)!!!!Το!πλάτος!της!ταλάντωσης!του!σώματος!μάζας!m2.!

Δίνεται!g=10m/s2!,!π2=10,!! 2

121 MLICM = .!!!!!!!!!!

!Απ:!!α)!Ι=0,8!Kgm2!!!!!!!!!!!β)!ω=2,5rad/s!!!!!!!!!γ)!k=45/8!N/m!!!!!!!!!δ)!Α=2/3!m!!!!!!!!!!!!!!36. Μια! σφαίρα! μάζας! Μ! και! ακτίνας! R! αφήνεται! να! κινηθεί! από! την! κορυφή!κεκλιμένου! επιπέδου,! οπότε! και! αρχίζει! να! κυλίεται! χωρίς! να! ολισθαίνει.! Ποιο!ποσοστό! της! αρχικής! δυναμικής! ενέργειας! είναι! η! κινητική! ενέργεια! λόγω!περιστροφικής! κίνησης! σε! κάθε! χρονική! στιγμή;! Δίνεται! η! ροπή! αδράνειας! της!σφαίρας!ως!προς!τον!άξονα!περιστροφής!της!Ι=(2/5)ΜR2.!!!!!37. Τροχός!μάζας!Μ!και!ακτίνας!R!αφήνεται! ελεύθερος! να!κινηθεί! χωρίς!αρχική!ταχύτητα!από!ένα!σημείο!Α!κεκλιμένου!επιπέδου.!Ο!τροχός!αρχίζει!να!κυλά!χωρίς!να!ολισθαίνει!οπότε!διέρχεται!από!τις!θέσεις!Β!και!Γ!αντίστοιχα.!Να!συμπληρώσετε!τον!επόμενο!πίνακα!αν!η!ροπή!αδράνειας!του!τροχού!ως!προς!άξονα!που!διέρχεται!

από!το!κέντρο!του!και!είναι!κάθετος!στο!επίπεδό!του!είναι!Ι= 21ΜR2.!Θεωρούμε!ότι!

το! οριζόντιο! επίπεδο! αναφοράς! μηδενικής! δυναμικής! ενέργειας! διέρχεται! από! το!κέντρο!μάζας!του!τροχού!όταν!αυτός!βρίσκεται!στη!θέση!Γ.!!!

Θέσεις* Μηχανική*ενέργεια*

Κινητική*ενέργεια*(μεταφορικής*κίνησης)*

Κινητική*ενέργεια*(στροφικής*κίνησης)*

Δυναμική*ενέργεια*

Α* 120! ! ! !


110

Β* ! ! ! 60!Γ* ! ! 40! !!!!38. Ένας! τροχός! με! ροπή! αδράνειας! Ι=0,5ΜR2! ως! προς! τον! άξονα! περιστροφής!του,! κυλάει! χωρίς! να! ολισθαίνει! πάνω! σε! οριζόντιο! δάπεδο! με! την! επίδρασή!οριζόντιας! και! σταθερής! δύναμης! F! η! οποία! ασκείται! στο! κέντρο! μάζας! του.! Η!μέγιστη! επιτάχυνση! που! μπορεί! να! αποκτήσει! το! κέντρο! μάζας! του! χωρίς! να!ολισθαίνει!ο!τροχός,!εξαρτάται!από:!α)!τον!συντελεστή!οριακής!στατικής!τριβής,(*)!β)!τη!μάζα!του!τροχού,!γ)!την!ακτίνα!του!τροχού,!δ)!τη!δύναμη!F.!Να!αιτιολογήσετε!την!απάντηση!σας.!!!39. Ομογενής,! οριζόντιος! κυκλικός! δίσκος,! ακτίνας! R=1m,! μπορεί! να!περιστρέφεται! γύρω! από! κατακόρυφο! άξονα! ο! οποίος! διέρχεται! από! το! κέντρο!μάζας! του.! Ο! δίσκος! αρχικά! ηρεμεί! και! τη! χρονική! στιγμή! μηδέν! αρχίζει! να!στρέφεται! με! σταθερή! γωνιακή! επιτάχυνση! αγων=1rad/s2.! Στην! περιφέρεια! του!κυκλικού! δίσκου! βρίσκεται! στερεωμένο! υλικό! σημείο! Α! το! οποίο! περιστρέφεται!μαζί!με!το!δίσκο.!Το!μέτρο!της!συνολικής!γραμμικής!επιτάχυνσης!που!έχει!το!υλικό!σημείο!τη!χρονική!στιγμή!t=!1sec,!είναι!!α)***1!m/s2!

β)!! 2*m/s2!!γ)*!0!Να!αιτιολογήσετε!την!απάντησή!σας.!!!!!40. Σώμα! μικρών! διαστάσεων,! μάζας!m=2 3!!kg! περιστρέφεται! γύρω! από!κατακόρυφο! άξονα! ΟΚ! και! κινείται! σε!οριζόντιο! επίπεδο! συγκρατούμενο! από!νήμα! μήκους! d=5 3m.! Αν! το! νήμα!σχηματίζει!γωνία!300!με!τον!άξονα,!είναι!αβαρές!και!μη!εκτατό!τότε!το!μέτρο!της!στροφορμής! του! σώματος,!ως! προς! τον!άξονα!περιστροφής!θα!είναι:!!α)!75!kg.m2/s!!!(*)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β)*25!kg.m2/s!Επιλέξτε!τη!σωστή!απάντηση.!!Δικαιολογήστε!την!επιλογή!σας.!!Δίνεται!g=10m/s2.!!!!

!O!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!300!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

K


111

!41. Δακτύλιος!μάζας!Μ!και!ακτίνας!R!περιστρέφεται!γύρω!από!τον!άξονά!του!με!γωνιακή!ταχύτητα!ω.!Η!κινητική!του!ενέργεια!είναι!ανάλογη:!α)!της!μάζας!του,!β)!της!γωνιακής!του!ταχύτητας,!γ)!της!ακτίνας!του,!δ)!με!όλα!τα!παραπάνω.(*)!!!!42. Οριζόντια!ράβδος!είναι!στερεωμένη!στο!ένα!άκρο!της!με!άρθρωση!και!αρχικά!συγκρατείται!παράλληλα!με!το!έδαφος.!Κάποια!στιγμή!αφήνεται!να!κινηθεί!με!την!επίδραση! του! βάρους! της.! Να! σχεδιαστεί! η! γραφική! παράσταση! του! ρυθμού!μεταβολής! της! στροφορμής! της! ράβδου! μέχρι! να! γίνει! κατακόρυφη! για! πρώτη!φορά,!σε!συνάρτηση!με!τη!γωνία!φ!ως!προς!την!αρχική!οριζόντια!διεύθυνση.!!!!43. Ένας!τροχός!με!ακτίνα!R,!κυλίεται!χωρίς!να!ολισθαίνει!με!σταθερή!ταχύτητα!κέντρου!μάζας!u!cm!,!πάνω!σε!οριζόντιο!επίπεδο.!Πόσα!σημεία!της!περιφέρειας!!του!τροχού!έχουν!ταχύτητα!ίση!κατά!μέτρο!με!την!ταχύτητα!του!κέντρου!μάζας;!!!Α.!κανένα!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Β.!ένα!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ.!δύο!(*)!!!!!!!!!!!!!!!!!Δ.!τέσσερα!Να!αιτιολογήσετε!την!απάντηση!σας.!!!44. Τα!αστέρια!στα!τελευταία!στάδια!της!ζωής!τους,!συρρικνώνονται!σε!αστέρες!νετρονίων!(Pulsar).!Κάποια!χρονική!στιγμή!η!ακτίνα!ενός!Pulsar!έχει!μειωθεί!στο!1/4!της!αρχικής!RA!.!Τη!χρονική!στιγμή!αυτή!η!κινητική!του!ενέργεια!KT,!σε!σχέση!με!την!αρχική!του!κινητική!ενέργεια!είναι!:!!!Α)!!!KT=KA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Β)!KT=4KA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Γ)!KT=16KA!!!!Δίνεται!:!Icm!=!(2/5)mR2!(Να!θεωρηθεί!ότι!ο!αστέρας!είναι!ομογενής!σφαίρα)!!Να!αιτιολογήσετε!την!απάντηση!σας.!!!!!!!

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ*ΘΕΜΑΤΑ***5ου*ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ**ΚΡΟΥΣΕΙΣ**

!1. Βλήμα!μάζας!m1!=1kg!που!κινείται!οριζόντια!με!ταχύτητα!μέτρου!υ1!=50!m/s!συγκρούεται!κεντρικά!με!αρχικά!ακίνητο!σώμα!μάζας!m2!=5!kg.!Το!βλήμα!διαπερνά!το!σώμα!m2!και!μόλις!εξέλθει!απ’!αυτό!συναντά!αρχικά!ακίνητο!σώμα!μάζας!m3=4kg!


112

με! το! οποίο! συγκρούεται! κεντρικά! και! πλαστικά.! Το! σώμα! μάζας! m3! είναι!προσδεμένο!στο!άκρο!τεντωμένου!μη!ελαστικού!νήματος,!αμελητέας!μάζας,!μήκους!l!=0,4!m,!το!οποίο!πριν!την!κρούση!ισορροπεί!με!το!νήμα!στην!κατακόρυφη!θέση,!όπως!φαίνεται!στο!σχήμα.!Η!κινητική!ενέργεια!του!βλήματος!κατά!τη!διάρκεια!της!πρώτης!κρούσης!μειώνεται!κατά!96%.!Να!υπολογίσετε:!!*******************************************************************************************************l**************************************************************************m2*

********************************m1*********υ1**************************************************************m3****α.*Το!μέτρο!της!ταχύτητας!που!αποκτά!το!σώμα!μάζας!m2!αμέσως!μετά!την!πρώτη!κρούση.!!β.*Το!μέτρο!της!ταχύτητας!του!συσσωματώματος!m1!και!m3!αμέσως!μετά!τη!δεύτερη!κρούση.!!γ.*Τη!μέγιστη!γωνία!εκτροπής!του!νήματος!από!την!κατακόρυφη!θέση.!!δ.*Το!ποσοστό!της!αρχικής!κινητικής!ενέργειας!του!βλήματος!που!μετατράπηκε!σε!θερμότητα!στη!διάρκεια!του!παραπάνω!φαινομένου.!!ε.* Αν! η! δεύτερη! κρούση! είναι! κεντρική! ελαστική,! να! υπολογίσετε! την! οριζόντια!ταχύτητα!που!πρέπει!να!έχει!το!σώμα!μάζας!m3,!πριν!την!κρούση!του!με!το!βλήμα,!ώστε!μετά!την!κρούση!του!με!το!βλήμα,!το!νήμα!να!εκτραπεί!από!την!κατακόρυφη!θέση!προς! την! ίδια!κατεύθυνση!κατά!μέγιστη!γωνία! ίση!με! τη!μέγιστη!γωνία!που!υπολογίσατε!στο!ερώτημα!γ.!!Θεωρήστε! αμελητέα! τη! χρονική! διάρκεια! κάθε! κρούσης! και! ότι! όλα! τα! σώματα!έχουν!αμελητέες!διαστάσεις.!Τριβές!δεν!εμφανίζονται!κατά!τη!διάρκεια!κίνησης!των!σωμάτων!πάνω!στο!οριζόντιο!δάπεδο.!Δίνεται!g=10!m/s2.!!Απ.!!α.!υ2=8!m/s!!!!!!β.!υ=2!m/s!!!!!!γ.!φ=600!!!!!!δ.!π%=86,4%!!!!!!!ε.υ3=]10/3!m/s!!!!!2. Στο!παρακάτω!σχήμα!τα!δύο!ακίνητα!σώματα!με!μάζες!m2=1,8Kg!και!m3=3Kg!είναι!ελεύθερα!να!κινηθούν!σε!λείο!οριζόντιο!δάπεδο!και!συνδέονται!μεταξύ!τους!με! ελατήριο! σταθεράς! k=750N/m.! Ένα! βλήμα! μάζας! m1=0,2Kg! που! κινείται!οριζόντια!με!ταχύτητα!μέτρου!u1=100m/s!συγκρούεται!μετωπικά!και!πλαστικά!με!το!σώμα!μάζας!m2.!Να!υπολογίσετε:!!

*****************************************************m2 ****************k**************************m3******************************m1**********u1!


113

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!!α)!!την!κινητική!ενέργεια!του!συσσωματώματος!αμέσως!μετά!την!κρούση!β)!!την!μέγιστη!συσπείρωση!του!ελατηρίου!γ)! το! ποσοστό! (%)! της! αρχικής! κινητικής! ενέργειας! του! βλήματος! που! έχει!μετατραπεί! σε! δυναμική! ενέργεια! του! ελατηρίου! τη! στιγμή! της! μέγιστης!συσπείρωσής!του.!Απ.!!!α)!!100!J!!!!!!!!!!!β)!!0,4!m!!!!!!!!!!γ)!9%!!*3. Από! νήμα! μήκους! l=2,5m! κρέμεται! ένα! σώμα! μάζας! Μ=0,95Kg.! Ένα! βλήμα!μάζας!m=0,05Kg!κινείται!οριζόντια!με!ταχύτητα!μέτρου!υ=100m/s!και!σφηνώνεται!στο!σώμα.!**α)*Ποια!θα!είναι!η!τάση!του!νήματος!αμέσως!μετά!τη!κρούση;!β)!Να!βρείτε!τo!μέγιστο!ύψος!που!θα!ανέβει!το!σώμα.!γ)!Να!βρείτε!σε!ποια!θέση!η!τάση!του!νήματος!θα!γίνει!ελάχιστη!και!να!υπολογίσετε!την!ελάχιστη!τάση!του!νήματος.!Απ.!!!α)!!Τ=20Ν!!!!!!!!!!!β)!η=1,25m!!!!!!!!!!γ)Τmin=5N!***ΕΛΑΣΤΙΚΗ*ΚΡΟΥΣΗ*!4. Τα! δύο! σώματα! του! σχήματος! έχουν! μάζες! m1=1Kg! και! m2=2Kg! και!συγκρούονται!μετωπικά!και!πλαστικά!με!ταχύτητες!μέτρων!υ1=1m/s!και!υ2=2m/s.!!!!**************************************************m1***********************************m2***************************************************************υ1*************υ2*!!!!!Ποιο! κλάσμα! της! αρχικής! κινητικής! ενέργειας! μετατράπηκε! σε! θερμότητα! λόγω!κρούσης.!!!!5. Τα! δύο! σώματα! του! σχήματος! έχουν! μάζες! m1! και! m2! και! συγκρούονται!μετωπικά! και! ελαστικά! με! ταχύτητες! ίσων! μέτρων! υ1=υ2.! Αν! διαπιστώσουμε! ότι!μετά!τη!κρούση!το!m1!ακινητοποιείται,!να!βρεθεί!η!σχέση!των!μαζών!m1!και!m2.!!!****************************************************m1********************************m2*****************************************************************υ1***********υ2*


114

!!!!6. Μια!σφαίρα!(1)!μάζας!m!κινείται!στη!διεύθυνση!του!άξονα!x’x!με!ταχύτητα!υ!και!ελαστικά!και!πλάγια!με!άλλη!ακίνητη!σφαίρα!(2)!μάζας!2m.!Μετά!τη!κρούση!η!σφαίρα! μάζας! m! κινείται! κάθετα! στην! αρχική! της! διεύθυνση.! Η! γωνία! που!σχηματίζει! η! ταχύτητα! της! σφαίρας! (2)! με! τον! άξονα! x’x! αμέσως! μετά! τη! κρούση!ισούται!με:!*α)!!300!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β)!!450!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ)!!600!!!Να!επιλέξετε!τη!σωστή!πρόταση!και!να!δικαιολογήσετε!την!επιλογή!σας.!!!ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗKΠΛΑΣΤΙΚΗ*ΚΡΟΥΣΗ***7. Δύο! σφαίρες! µε! μάζες! m1! =! m! και! m2! =! ρ! ⋅m! κινούνται! σε! αντίθετες!κατευθύνσεις,! µε! ταχύτητες! ίσου! μέτρου! ! ! υ1=! υ2! =! υ0.! Οι! σφαίρες! συγκρούονται!πλαστικά.! Αν! η! κινητική! ενέργεια! του! συσσωματώματος! είναι! ίση!µε! την! κινητική!ενέργεια!της!μικρής!σφαίρας!πριν!από!την!κρούση,!τότε!*α.*ρ!=1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β.*ρ!=!2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!γ.*ρ!=!3!*!Η!απάντηση!να!δικαιολογηθεί!!!!8. Μια!κινούμενη!μικρή!σφαίρα!μάζας!m!συγκρούεται!κεντρικά!και!πλαστικά!µε!άλλη! μικρή! σφαίρα,! ίσης! μάζας.! Αν! η! μισή! κινητική! ενέργεια! του! συστήματος!χάνεται!κατά!την!κρούση,!τότε!η!δεύτερη!σφαίρα!*α.*κινείται!ομόρροπα!µε!την!πρώτη.!β.*κινείται!αντίρροπα!από!την!πρώτη!γ.*είναι!αρχικά!ακίνητη!*!Η!απάντηση!να!αιτιολογηθεί!!!!9. Το! βλήμα! μάζας! m! του! διπλανού!σχήματος! έχει! μάζα! m! και! κινείται! με!ταχύτητα!υ!υπό!γωνία!φ=600ως!προς!το!οριζόντιο! δάπεδο! και! σφηνώνεται! στο!σώμα! μάζας! Μ=9m.! To! μέτρο! της!ταχύτητας! του! συσσωματώματος! που!δημιουργείται! αμέσως! μετά! τη! κρούση!είναι:!

!!!!!!!!!!!!m*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!600**************************************************υ**************M*******************************************


115

*α)**0,05υ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!β)!!0,10υ!!!!!!γ)!!0,15υ!!Να!επιλέξετε!την!σωστή!απάντηση!και!να!δικαιολογήσετε!την!επιλογή!σας.!!(6!μονάδες)!!!!

ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ*DOPPLER**10. Από! τη! κορυφή! κεκλιμένου! επιπέδου! γωνίας! κλίσης!φ! (ημφ=0,3)! και! ύψους!h=1,2m! αφήνουμε! ελεύθερο! να! κινηθεί! ένα! δίσκο! μάζας! Μ=2Κg! και! ακτίνας!R=0,2m,! στο! κέντρο! του! οποίου! έχουμε! προσαρμόσει! έναν! ανιχνευτή! ηχητικών!κυμάτων! ασήμαντης! μάζας.! Μια! πηγή! ηχητικών! κυμάτων! εκπέμπει! κύματα! με!συχνότητα! fS!και!βρίσκεται!στη!βάση!του!κεκλιμένου!επιπέδου!και!στη!διεύθυνση!της! παράλληλης! του! επιπέδου! ευθείας! που! διέρχεται! από! το! κέντρο! μάζας! του!δίσκου.!Ο!δίσκος!κυλίεται!χωρίς!να!ολισθαίνει!και!ελάχιστα!πριν!φτάσει!στη!βάση!του!κεκλιμένου!επιπέδου!ο!ανιχνευτής!μετρά!συχνότητα!ηχητικών!κυμάτων!ίση!με!fA=688!Hz.!*α)!Να!υπολογίσετε!το!μέτρο!της!επιτάχυνσης!του!κέντρου!μάζας!του!δίσκου.!*β)!Να!βρείτε!τη!συχνότητα!fS.!*γ)* Να! σχεδιάσετε! τη! συχνότητα! του! ήχου! που! αντιλαμβάνεται! ο! ανιχνευτής! σε!συνάρτηση! με! το! χρόνο! σε! βαθμολογημένους! άξονες! από! τη! στιγμή! t=0! που!ξεκίνησε!ο!δίσκος!και!μέχρι!να!φτάσει!στη!βάση!του!κεκλιμένου!επιπέδου.!*δ)! Να! υπολογίσετε! τη! συχνότητα! των! ηχητικών! κυμάτων! που! αντιλαμβάνεται! ο!ανιχνευτής!τη!χρονική!στιγμή!που!το!μέτρο!της!στροφορμής!του!δίσκου!ισούται!με!L=0,2!Kg.m2/s.!!H! ροπή!αδράνειας! του!δίσκου!ως!προς!άξονα!περιστροφής!που!διέρχεται!από! το!κέντρο! του!και! είναι! κάθετος!στο!επίπεδό! του!είναι! Ι=(1/2)ΜR2,!η! επιτάχυνση! της!βαρύτητας! είναι! g=10! m/s2! και! η! ταχύτητα! διάδοσης! του! ήχου! στον! αέρα! είναι!υΗΧ=340m/s.!!Απ:!α)!αcm=2m/s2!!!!!!β)!fS=680Hz!!!!γ)!fA=680+4t!(S.I)!!!!!δ)!fA=682Hz.!!!11. Ηχητική!πηγή!(S)!εκπέμπει!ήχο!συχνότητας!fS=310!Hz!και!κινείται!με!σταθερή!ταχύτητα!υS=30m/s! κάθετα!σε! ένα! τοίχο,!πλησιάζοντας!προς!αυτόν.!Παρατηρητής!(A)! κινείται! στην! ίδια! ευθεία! με! την! ηχητική! πηγή! όπως! φαίνεται! στο! σχήμα! με!ταχύτητα!μέτρου!υΑ=10m/s.!!


116

!!!!!!Να!υπολογίσετε:!α)!τη!συχνότητα!του!ήχου!που!αντιλαμβάνεται!ο!παρατηρητής!απευθείας!από!την!ηχητική!πηγή,!β)!τη!συχνότητα!του!ήχου!που!αντιλαμβάνεται!ο!παρατηρητής!από!τον!τοίχο,!γ)!το!μήκος!κύματος!του!ήχου!που!αντιλαμβάνεται!ο!παρατηρητής!απευθείας!από!την!ηχητική!πηγή,!δ)!τη!συχνότητα!των!διακροτημάτων!που!ακούει!ο!παρατηρητής.!Δίνεται!η!ταχύτητα!του!ήχου!στον!αέρα!υηχ=340m/s.!Απ.!α)!350!Hz!!!!!!β)!330!Hz!!!!!!γ)!!!!!!!!!!!!!!!δ)!20Hz!!!!12. Ακίνητος! παρατηρητής! απέχει! από! αρχικά! ακίνητο! περιπολικό! απόσταση!2000m.! Τη! χρονική! στιγμή! t=0! το! περιπολικό! αρχίζει! να! κινείται! προς! τον!παρατηρητή! με! επιτάχυνση! α=1m/s2! εκπέμποντας! συνεχώς! ήχο! με! συχνότητα!fS=400Hz.! Βρείτε! τη! συχνότητα! που! ακούει! ο! παρατηρητής! τη! στιγμή! που! το!περιπολικό!απέχει!από!αυτόν!απόσταση!1200m.!Δίνεται!η!ταχύτητα!του!ήχου!στον!αέρα!υηχ=340m/s.!!!!13. Σώμα!μάζας!m=0,1!Kg!στερεώνεται!στο!άκρο! ιδανικού!οριζόντιου!ελατηρίου!σταθεράς! k=1000! N/m.! Στο! σώμα! που! μπορεί! να! κινείται! χωρίς! τριβές! πάνω! στο!οριζόντιο! επίπεδο! στερεώνεται! ηχητική! πηγή! η! οποία! εκπέμπει! ήχο! συχνότητας!fS=2880!Hz!και!το!σύστημα!αρχίζει!να!ταλαντώνεται!χωρίς!αρχική!φάση,!με!πλάτος!Α=0,2m.! Ένας! ακίνητος! παρατηρητής! βρίσκεται! στη! διεύθυνση! ταλάντωσης! του!συστήματος!σε!απόσταση!d=1,7π!m!από!τη!θέση!ισορροπίας!της!ταλάντωσης.!!********α)!Ποια!είναι!η!μέγιστη!και!ποια!η!ελάχιστη!συχνότητα!που!ακούει!ο!παρατηρητής!κατά!τη!διάρκεια!της!ταλάντωσης;!β)! Σε!ποια!θέση!βρίσκεται!η!ηχητική!πηγή!κάθε!φορά!που!ο!παρατηρητής!ακούει!τον!ήχο!της!μέγιστης!συχνότητας;!Δίνεται!η!ταχύτητα!του!ήχου!στον!αέρα!υηχ=340m/s.!Απ.!α)!3060!Hz,!2720!Hz!!!!!β)!!x=+0,2m!

S A

A S


117

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


Documents

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ - schooltime · 2 ! Απλή*αρμονική*ταλάντωση* 3. Μικρό!σώμα!μάζας!m!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!πλάτους!Α=0

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ - schooltime · 2 ! Απλήαρμονικήταλάντωση* 3. Μικρό!σώμα!μάζας!m!εκτελεί!απλή!αρμονική!ταλάντωση!πλάτους!Α=0