Справочный материал для подготовки к ЕГЭsemenova-klass.moy.su/_ld/0/3______.pdf · 120 14400 14641 14884 15129 15376 15625 15876 16129 16384 16641

Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ №5-«Школа здоровья и развития» г. Радужный

Справочный материал для подготовки к ЕГЭ

Таблица квадратов

а2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361

20 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841

30 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521

40 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401

50 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481

60 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761

70 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241

80 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921

90 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

100 10000 10201 10404 10609 10816 11025 11236 11449 11664 11881

110 12100 12321 12544 12769 12996 13225 13456 13689 13924 14161

120 14400 14641 14884 15129 15376 15625 15876 16129 16384 16641

130 16900 17161 17424 17689 17956 18225 18496 18769 19044 19321

140 19600 19881 20164 20449 20736 21025 21316 21609 21904 22201

150 22500 22801 23104 23409 23716 24025 24336 24649 24964 25281

160 25600 25921 26244 26569 26896 27225 27556 27889 28224 28561

170 28900 29241 29584 29929 30276 30625 30976 31329 31684 32041

180 32400 32761 33124 33489 33856 34225 34596 34969 35344 35721

190 36100 36481 36864 37249 37636 38025 38416 38809 39204 39601

200 40000 40401 40804 41209 41616 42025 42436 42849 43264 43681

Таблица степеней

an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

3 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

4 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576

5 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625

6 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176

7 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 282475249

8 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824

9 9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401

10 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000

11 11 121 1331 14641 161051 1771561 19487171 214358881 2357947691 25937424601

12 12 144 1728 20736 248832 2985984 35831808 429981696 5159780352 61917364224

Формулы сокращенного умножения

22 bababa – разность квадратов;

2222 bababa – квадрат разности;

2222 bababa – квадрат суммы;

2233 babababa – разность кубов;

2233 babababa – сумма кубов;

3223333 babbaaba – куб разности;

3223333 babbaaba – куб суммы;

22abba – квадрат разности.

Модуль числа

.аесли,а

,аесли,aa

0

0

Свойства модуля

1. abba ;

2. aa 2 ;

3. 02

a,aa ;

4. 22aa ;

5. 0 a,axaax ;

6. axилиaxax .


Уравнения и неравенства с модулем

1.

.xgxf

,xgxf

,xg

xgxf

0

2.

.xgxf

,xgxf

xgxf

,xgxfxgxfxgxf

0

022

3.

.xgxf

,xgxfxgxfxgxgxf

4.

.xgxf

,xgxfxgxf

5. .xgxfxgxfxgxfxgxf 022

Последовательности и прогрессии

Прогрессия Арифметическая Геометрическая

Формула n-го члена, Nn dnaan 11 1

1

n

n qbb

Рекуррентная формула daa nn 1 qbb nn 1

Характеристическое

свойство nnn aaa

2

11 02

11 nnnn b,bbb

Формула суммы n первых

членов

naa

S nn

2

1

n

dnaSn

2

12 1

q

qbbS n

n

1

1

q

qbS

n

n

1

11

Дополнительные формулы mn,dmn

aa mn

mn

mn qb:b

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 10 q , q

bS

1

1 – формула суммы

Метод координат на плоскости

Для векторов 11 y,xa

и 22 y,xb

имеют место действия:

1) сложение 2121 yy;xxba

;

2) вычитание 2121 yy;xxba

;

3) умножение на число 11 ky;kxak

.

Скалярное произведение векторов:

b;acosbayyxxba

2121 .

2

2

2

2

2

1

2

1

2121

yxyx

yyxx

ba

bab;acos

.

Длина вектора a

: 2

1

2

1 yxa

.

Пусть заданы точки АА y,xА и ВВ y,xВ , тогда

Координаты вектора: АВАВ yy;xxАВ .

Координаты середины отрезка АВ: 22

BAМ

BAМ

yyy;

xxx

.

Расстояние между точками А и В (длина вектора АВ ): 22

АВАВ yyxxАВАВ

АА y,xА

ВВ y,xВ y

x 0

АВ


Тригонометрия

1. 122 αα sincos ; 1 αα ctgtg ;

2. α

αα

cos

sintg ;

α

αα

sin

cosctg ;

3. α

αctg

tg1

; α

αtg

ctg1

;

4. α

α2

2 11

costg ;

αα

2

2 11

sinctg ;

5. βsincosβcossinβsin ααα ;

6. βsinsinβcoscosβcos ααα ;

7. βtgtg

βtgtgβtg

α

αα

1;

8. ααα cossinsin 22 ;

9. ααα 222 sincoscos ;

10. ααα 22 21122 sincoscos ;

11. α

αα

21

22

tg

tgtg

;

α

αα

сtg

сtgсtg

2

12

2 ;

12. 22

2β

cosβ

sinβsinsinαα

α

;

13. 22

2β

cosβ

cosβcoscos

αα

α ;

14. 22

2β

sinβ

sinβcoscos

αα

α ;

15.

βcoscos

βsinβtgtg

α

αα ;

16. 2

212 αα

cossin

;

2

212 αα

coscos

;

17. βsinβsinβcossin ααα2

1;

18. βcosβcosβcoscos ααα2

1;

19. βcosβcosβsinsin ααα2

1

20. 2

1

2

αα cossin

;

2

1

2

αα coscos

;

21. α

αα

cos

sintg

12

; α

αα

cos

sinctg

12

.

Таблица значений тригонометрических функций

α, рад

0 6

π

4

π

3

π

2

π

3

2π

4

3π

6

5π π

6

7π

4

5π

3

4π

2

3π

3

5π

4

7π

6

11π π2

α, ° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

sinα 0 2

1

2

2

2

3 1

2

3

2

2

2

1 0 –

2

1 –

2

2 –

2

3 –1 –

2

3 –

2

2 –

2

1 0

cos α 1 2

3

2

2

2

1 0 –

2

1 –

2

2 –

2

3 –1 –

2

3 –

2

2 –

2

1 0

2

1

2

2

2

3 1

tgα 0 3

1 1 3 − – 3 –1 –

3

1 0

3

1 1 3 − – 3 –1 –

3

1 0

ctgα − 3 1 3

1 0 –

3

1 –1 – 3 − 3 1

3

1 0 –

3

1 –1 – 3 −

Решение тригонометрических уравнений

Уравнение Общее решение Частные случаи

а = 0 а = 1 а = −1

axsin

nπaarcsinxn

1

или

nπaarcsinπx

nπaarcsinx

2

2

2

1

nπx nππ

x 22 nπ

πx 2

2

axcos

nπaarccosx 2

или

nπaarccosx

nπaarccosx

2

2

2

1

nππ

x 2

nπx 2 nππx 2

axtg nπaarctgx nπx nππ

x 4

nππ

x 4

axctg nπaarcctgx nππ

x 2

nππ

x 4

nππ

x 4

3

где n ∈ Z (Z – множество целых чисел: …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …)


Свойства четности и нечетности тригонометрических функций

xcosxcos − четная

xsinxsin − нечетная

tgxxtg − нечетная

ctgxxctg − нечетная

xarccosπxarccos

xarcsinxarcsin arctgxxarctg arcctgxπxarcctg

Обратные тригонометрические функции

1122

;a,atsin,π;

πt,taarcsin

22

π;

πt,ttsinarcsin

11;a,aaarcsinsin

110 ;a,atcos,π;t,taarccos

π;t,ttcosarccos 0

11;a,aaarccoscos

Ra,attg,π;

πt,taarctg

22

22

π;

πt,tttgarctg

Ra,aaarctgtg

Ra,atctg,π;t,taarcctg 0

π;t,ttctgarcctg 0

Ra,aaarcctgctg

Формулы приведения

tcostπ

sin

2

tsintπsin

tcostπ

sin

2

3

tsintπsin 2

tsintπ

cos

2

tcostπcos

tsintπ

cos

2

3

tcostπcos 2

tctgtπ

tg

2

ttgtπtg

tctgtπ

tg

2

3

ttgtπtg 2

ttgtπ

ctg

2

tctgtπctg

ttgtπ

ctg

2

3

tctgtπctg 2

Знаки тригонометрических функций

Показательные уравнения и неравенства

1. .xgxfaaa

xgxf 1

2.

.xgxf

,xa

,xa

xaxaxgxf

0

1

3. .xgxfaaa xgxf 01

4. .xgxfaaa xgxf 01

5.

.

xh

xgxfa

xh

aa xgxf

01

0

6.

.

xh

xgxfa

xh

aa xgxf

01

0

7.

.xpxh

xgxf

aa

aaxpxh

xgxf

00

8.

.xgxfxa

,xa

xaxaxgxf

01

0

9.

.xgxfxa

,xa

xaxaxgxf

01

0

sin t

+ +

− −

cos t

− +

− +

tg t, ctg t

− +

+ −


Корень n-ой степени

,ab,ba nn где 100 n,Nn,b,a

Свойства корня n-ой степени

1. 00 b,aгде,baab nnn ;

2. 00 b,aгде,b

a

b

an

n

n ;

3. 0 aгде,aa n kk

n ;

4. 0 aгде,aa nkk n ;

5. 0 aгде,aa n knp kp;

6.

;нечетноn,a

,четноn,aan n

7. нечетноn,aa nn ;

8. 0 aгде,aa n kn

k

.

Степени

Zp,Nq,aгде,aaq pq

p

0

Свойства степени (для n ∈ R, k ∈ R)

1. 010 агде,a ;

2. аa 1 ;

3. 011 агде,а

a ;

4. 01

агде,а

an

n ;

5. knkn aaa ;

6. 0 агде,aa:a knkn ;

7. nkkn aa ;

8. nnn abba ;

9. 0

bгде,b

a

b

an

n

n

;

10. 00

b,aгде,a

b

b

ann

.

Иррациональные уравнения и неравенства

1.

.xgxf

,xf

xgxf

,xgxgxf

00

2.

.xgxf

,xgxgxf

2

0

3.

.xg

,xf

;xg

,xf

xg

xf

0

0

0

0

0

4.

.xgxf

,xf

,xg

xgxf2

0

0

5.

.xgxf

,xg

;xf

,xg

xgxf

2

0

0

0

6.

.xgxf

,xfxgxf

0

7.

.xgxf

,xfxgxf

0

Логарифм

ba,cblog c

a , где 010 b,a,a .

Основное логарифмическое тождество: bа bloga .

Свойства логарифмов

1 01 alog 6 k

malog m

ak 11 blog

k

mblog a

m

ak

2 1aloga 7 blogalogablog ccс 12 alogblog cc ba

3 11

a

loga 8 blogalogb

alog ccс

13

alog

blogblog

c

ca

4 k

alog ka

1 9 blog

kblog aak

1 14

alogblog

b

a

1

5 malog m

a 10 blogmblog a

m

a 15 dlogblogdlogblog acca


Логарифмические уравнения и неравенства

При условии 10101000 xp,xp,xh,xh,xа,xa,xg,xf

выполняются следующие переходы:

1 xglogxflog aa xgxf

2 xglogxflog xaxa xgxf

3 0xfloga или 000 ;; 011 xfa или 000 ;;

4 0xflog xa или 000 ;; 011 xfxa или 000 ;;

5 xglogxflog aa или ;; 01 xgxfa или 000 ;;

6 xglogxflog xaxa или ;; 01 xgxfxa или 000 ;;

7 0 xаlogxаlog xpxh

или 000 ;;

0111 xhxpxpxhxа

или 000 ;;

8 0 xglogxflog xpxh

или 000 ;;

011

11

xpxh

xgxf или 000 ;;

9

0

xglog

xflog

xp

xh или 000 ;;

0111

1

xpxhxg

xf

или 000 ;;

Соотношения в правильных многоугольниках

n S(a) R(a) r(a) a(r) a(R) R(r) r(R) S(R) S(r) P(a) P(r) P(R) h(a)

−

−

Обозначения

a – сторона правильного n-угольника

R – радиус описанной окружности около правильного n-угольника

r – радиус вписанной окружности в правильный n-угольник

S – площадь правильного n-угольника

Р – периметр правильного n-угольника

h(a) – высота, проведенная к стороне правильного n-угольника

Теория вероятностей

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий,

которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения: n

mAP .

(Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: kn 2 .

Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: kn 6 )

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное

между нулем и единицей 10 AP .

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: BPAPBAP .

Теорема сложения вероятностей совместных событий: BAPBPAPBAP .


Производная

Функция, f(x) Производная, f '(x) Функция, f(x) Производная, f '(x)

A (const), A ∈ R 0 sin x cos x

kx+b, kx + b, kR, b ∈ R k, k ∈ R cos x − sin x

x² 2x cos²x − sin 2x nx , n ∈ N 1nnx , n ∈ N sin²x sin 2x

x

1

2

1

x xe xe

nx

1, n ∈ N

1

nx

n, n ∈ N xa xa ln a

n x , n ∈ N n nxn 1

1

, n ∈ N ln x

x

1

x x2

1 xloga

alnx

1

x

1

xx2

1 arcsin x

21

1

x

αx , α ∈ R 1αxα , α ∈ R arccos x −21

1

x

tg x xcos 2

1 arctg x

21

1

x

ctg x xsin 2

1 arcctg x −

21

1

x

Правила дифференцирования

1.

vuvu ;

2.

uCСu ;

3.

vuvuvu ;

4. 2

1

v

v

v

;

5. 2v

vuvu

v

u

.

Производная сложной функции

xfxfhxfh

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в

точке xо равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла α), проведенной к графику функции в точке с абсциссой xо.

αtgxfk о

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой хо:

ooо xfxxxfу

Физический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть мгновенная скорость:

tstv

Если в точке хо производная функции f(x)

меняет знак с «+» на «−», то хо – точка

максимума функции f(x).

Если в точке хо производная функции f(x)

меняет знак с «−» на «+», то хо – точка

минимума функции f(x).

xf

xf xf − + хо

+ − хо

xf


Логарифмические уравнения и неравенства

1.

.xg

,xf

,xgxf

xglogxflog aa

0

0

2.

.xg

,xf

,xa

,xa

,xgxf

xglogxflog xaxa

0

0

1

0

3.

.xfa

,xfxfloga

011

00

4.

.xfa

,xfxfloga

011

00

5.

.xfxa

,xf

,xa

xflog xa

011

0

0

0

6.

.xfxa

,xf

,xa

xflog xa

011

0

0

0

7.

.xfxa

,xf

,xa

,xa

xflog xa

011

0

1

0

0

8.

.xfxa

,xf

,xa

,xa

xflog xa

011

0

1

0

0

9.

.xgxfa

,xg

,xf

xglogxflog aa

01

0

0

10.

.xgxfxa

,xg

,xf

,xa

xglogxflog xaxa

01

0

0

0

11.

.xgxfxa

,xg

,xf

,xa

,xa

xglogxflog xaxa

01

0

0

1

0

12.

.xg

,xf

,xp

,xpxh

xgxf

,xp

,xh

,xh

xglogxflog xpxh

0

0

1

011

11

0

1

0

0

13.

.xgxpxh

xf

,xg

,xg

,xf

,xp

,xp

,xh

,xh

xglog

xflog

xp

xh

0111

1

1

0

0

1

0

1

0

0

Documents

Справочный материал для подготовки к ЕГЭsemenova-klass.moy.su/_ld/0/3______.pdf · 120 14400 14641 14884 15129 15376 15625 15876 16129 16384 16641