相似形與 SSS 相似性質

相似形與比例線段

1

相似形與 SSS 相似性質在國一「放大圖與縮小圖」的單元中，我們知道放大圖或縮小圖與原

圖之間，有什麼的關係呢？對應角相等對應角相等且對應邊成比例對應邊成比例的關係。

A B

C

D

A1

D1

C1

B1

四邊形 A1B1C1D1 為四邊形 ABCD 的 2 倍放大圖時，可知兩圖形的對應角相等對應角相等，即

∠A＝∠ A1 ，∠ B ＝∠ B1 ，∠ C ＝∠ C1 ，∠ D＝∠ D1

且對應邊成比例對應邊成比例

AB ： A1B1 ＝ BC ： B1C1 ＝ CD ： C1D1 ＝ DA ： D1A1

ABA1B1

BCB1C1

CDC1D1

DAD1A1

＝＝＝或


2

上述例題中， A1B1 ： AB 的比值是多少？ 2

像上面四邊形的例子，如果兩個多邊形，它們的對應角相等對應角相等且對應邊成比例對應邊成比例，我們說這兩個多邊形相似，並已符號「～」表示相似關係。因此上述例子可以記成四邊形 ABCD ～四邊形 A1B1C1D1


3

例題 1

已知四邊形 ABCD ～四邊形 PQRS ，且∠ P 是∠ A 的對應角，∠ Q ＝ 760 ，∠ R ＝ 640 ，∠ S ＝ 1000 ，則∠ A 是幾度？

Sol ∵ 相似形的對應角相等，∴∠A ＝∠ P

＝ 3600 －∠ Q －∠ R －∠S

(( 四邊形內角和為四邊形內角和為 36036000))＝ 3600 － 760 － 640 － 1000

＝ 1200

P 100S

64R

76Q

D

CB

A


4

隨堂練習

已知四邊形 ABCD ～四邊形 PQRS ，且 PQ 是 AB 的對應邊， PS 是AD 的對應邊。若 PQ ＝ 8cm ， PS ＝ 6cm ， AB ＝ 5cm ，則 AD＝？

P

S

RQ

D

C

A

B

5

8

6

Sol ∵ 四邊形 ABCD ～四邊形 PQRS∴ 對應邊成比例

AB

PQ＝

AD

PS∴

5

8＝

AD

6

8×AD ＝ 30

AD ＝30

8＝

15

4（ cm ）∴


5

例題 2 兩個正方形是否一定相似？

Sola

b

設兩個正方形的邊長分別為 a 單位與 b 單位∵ 四組對應邊的比均為 a ： b

∴ 它們的對應邊成比例又四組對應角均為 900 ，也相等所以兩個正方形一定相似


6

隨堂練習

兩個長方形是否一定相似？兩個菱形是否一定相似？兩個正三角形是否一定相似？

Sol 兩個長方形其對應角均為 900 相等，但是對應邊不成比例，所以不一定相似。

2

3 5

2

兩個菱角其四組對應邊成比例，但是其對應角不一定相等，所以不一定相似。 1 2

兩個正三角形其對應角均為 600 ，而且三組對應邊成比例，所以一定相似。

12


7

當兩個四邊形的對應角都相等時，並不能確定它們的對應邊都成比例。( 如兩個長方形不一定相似 )

當兩個四邊形的對應邊都成比例時，也不能確定它們的對應角都相等。

( 如兩個菱形不一定相似 )也就是說，要檢查兩個四邊形是否相似，哪兩個條件是不可省略其一的？「對應角都相等」與「對應邊都成比例」「對應角都相等」與「對應邊都成比例」

事實上，我們要檢查兩個邊數相同的多邊形兩個邊數相同的多邊形是否相似時，也必須符合「對應角都相等」與「對應邊都成比例」「對應角都相等」與「對應邊都成比例」


8

隨堂練習

1. 小梅設計一個方向指示牌，如右圖的五邊形 ABCDE ，其中∠ A 、∠ B 均為直角，後來覺得太長而裁掉矩形 ABQP 的部分，剩下五邊形 PQCDE ，請問：

(1) 五邊形 ABCDE 與五邊形 PQCDE 的對應角是否相等？

(2) 五邊形 ABCDE 與五邊形 PQCDE 的對應邊是否成比例？

(3) 五邊形 ABCDE 與五邊形 PQCDE 是否相似？

2. 兩個正五邊形是否一定相似？

E

C

A

B

P

D

Q相等

不成比例不相似

∵ 「對應角相等」且「對應邊成比例」，∴兩個正五邊形一定相似。


9

那麼檢查兩個三角形是否相似，是不是也要同時同時檢查上述兩組條件呢？

我們在「放大圖與縮小圖」的單元中曾由實測的方式實測的方式知道，當兩個三角形的三組邊對應成比例時，這兩個三角形的三組對應角也會三角形的三組邊對應成比例時，這兩個三角形的三組對應角也會相等相等；也就是說，當兩個三角形有三組邊對應成比例時，這兩個三角形就相似。

一般把這個性質稱為 SSSSSS 相似性質相似性質。

因此要檢查兩個三角形是否相似，可省略對應角的檢查，只要看看它們三組邊是否對應成比例即可。

C

A

B RQ

P

△ABC ～△ PQR (SSS 相似 )


10

隨堂練習

1. 請勾選出與△ ABC 相似的三角形。

A

CB

1.5cm

2.1cm

1.8cm

1.5cm 1.6cm

1.7cm2.8cm

2.4cm

2cm53

cm

73

cm

2cm(1) □ (2) □ (3) □ˇ ˇ

2. 已知△ ABC 的三邊長分別為 18mm 、 36mm 、 24mm ，而△ DEF 的三邊長分別為 3cm 、 4cm 、 6cm ，則△ ABC 與△ DEF 是否相似？為什麼？

∴ 相似，根據 SSS 相似性質3018

＝ 4024

6036

＝∵


11

如果兩個三角形的三組對應角相等，是否可推知這兩個三角形的三組邊也會對應成比例呢？我們將會在下一章節討論這個問題。

平行線截比例線段

1. 已知△ ABC 與△ DEF 的三組對應角相等 (∠A ＝∠ D ，∠ B ＝∠E ，∠ C ＝∠ F) ，將一組相等的對應角∠ A 、∠ D 如下圖疊合後，這組角所對的邊線段 BC 與線段 EF 是否平行呢？為什麼？

AD

CB

FE

A

CB

平行。

∵ 在疊合圖中∠ ABC 與∠ DEF 兩同位角相等∴ BC//EF


12

D

E

F

A

CB

A

CB

D

E

F

A

CB

2. 將∠ B 、∠ E 仿照上面的方式疊合後，這組角所對的邊 AC 與DF 是否平行呢？

2. 將∠ C 、∠ F 仿照上面的方式疊合後，這組角所對的邊 AB 與DE 是否平行呢？

A

CB

平行平行

平行平行


13

由上面的探索活動可知，當兩個三角形的三組對應角相等時，可疊合任意一組相等的對應角，形成如下圖中 PQ 、 BC 兩邊平行的圖形。

QP

CB

A

×

ˇ

ˇ

●

●

因此我們要探討「兩個三角形有三組對應角相等時，三組邊是否兩個三角形有三組對應角相等時，三組邊是否也會對應成比例也會對應成比例」的問題時，

直接探討如上圖中， PQ//BC 的兩個三角形 (△ABC 與△ APQ) ，其對應邊長的比例即可。


14

已知△ ABC 與△ DEF 如右圖。600

620580

A

CB

D

E F

600

580 620

(1) 若將兩個三角形如右圖疊合，此時 BC 與 EF 是否平行？ D

E FD

E F

(2) 若將兩個三角形如右圖疊合，此時 BC 與 EF 是否平行？

A

CB

A

CB

是

否

不能單就直觀來判斷兩線段是否平行，要注意對應角的位置。


15

我們來看兩個等高等高三角形其對應底邊與面積的關係對應底邊與面積的關係。

例題 3 △ABC 中， AH⊥BC 於 H ， D 在 BC 上，且 BD ＝ 3， DC＝ 5， AH ＝ 4 ，則△ ABD 與△ ADC 的面積比是多少？

Sol△ABD 的面積：△ ADC 的面積

＝ 3 ： 5

＝ ×BD×AH ： ×DC×AH 12

12

＝ ×3×4 ： ×5×412

12

A

D CB H

A

B DH

A

D CHBD ： DC 也是 3 ：5


16

在例題 3 中，△ ABD 與△ ADC 分別以 BD 、 DC 為底時，有相同的高 AH ，此時兩個三角形的面積比等於 BD ： DC( 底邊比 ) 。

A

B DH

A

D CH

而這是否表示任意兩個等高的三角形，其面積比會等於底邊的比呢？

數學上，由特殊性推導出一般性

h

ba

h甲乙甲的面積：乙的面積

＝ a ： b ( 底邊比 )

＝ ah ： bh12

12

由此可見，等高三角形的面積比等於其底邊的比。


17

我們利用「等高三角形的面積比等於底邊比」的關係，來討論線段長度比的問題。

1. 如右圖，若△ ADC 的面積是 12 平方單位，△ ABC 的面積是 18 平方單位，且 CH⊥AB 於H ，則 AD ： DB 與 AD ： AB 的比值各是多少？

2. 如右圖，已知 AD ： DC ＝ 4： 3 ，則△ ABD 與△ ABC 面積的比值為何？

A

B

D

H

C

A

D

C

B

△CDB 面積＝△ ABC 面積－△ ADC 面積＝ 18 － 12 ＝ 6 ( 平方單位 )∴AD ： DB ＝ 12 ： 6 ＝ 2 ： 1∴ 比值＝

2∴AD ： AB ＝ 12 ： 18 ＝ 2 ：3

∴ 比值＝ 23

△ABD 面積： ABC 面積＝ AD ： AC＝ AD ： (AD ＋ DC)＝ 4 ：

7∴ 比值＝ 4

7


18

如右圖，已知 PQ//BC ，連接 PC 、 BQ 後，請問：QP

A

CB

PCPC 、、 BQ BQ 稱為「輔助線」稱為「輔助線」

(1) △PQB 的面積與△ PQC 的面積是否相等？為什麼？

(2)AP ： PB 和△ APQ 面積：△ PQB 面積是否相等？為什麼？

(3)AQ ： QC 和△ APQ 面積：△ PQC 面積是否相等？為什麼？

(4) 由上面三個問題的結果，是否可知 AP ： PB 與 AQ ： QC 相等？為什麼？

∵△PQB 與△ PQC 同底等高 ∴面積相等

∵ 等高的三角形面積比等於底邊的比∴AP ： PB ＝△ APQ 面積：△ PQB 面積

∵ 等高的三角形面積比等於底邊的比

∴AQ ： QC ＝△ APQ 面積：△ PQC 面積


19

(4) 由上面三個問題的結果，是否可知 AP ： PB 與 AQ ： QC 相等？為什麼？

QP

A

CB

∵AP ： PB ＝△ APQ 面積：△ PQB 面積

∵AQ ： QC ＝△ APQ 面積：△ PQC 面積

且△ PQB 面積＝△ PQC 面積

∴ △APQ 面積：△ PQB 面積＝ △ APQ 面積：△ PQC 面積

∴AP ： PB ＝ AQ ： QC ＃


20

我們可以把以上所討論的問題與結果，整理為數學推理證明數學推理證明的方式。

QP

A

CB

已知：右圖△ ABC 中， PQ//BC ，且分別交 AB 、AC 兩邊於 P 、 Q 兩點。求證： AP ： PB ＝ AQ ： QC證明 ∵PQ//BC

∴△PQB 與△ PQC 以 PQ 為底時有等高。 ( 平行線間距離相等 )∴△PQB 面積＝△ PQC 面積 ( 同底等高 )又△ APQ 面積：△ PQB 面積＝ AP ： PB ( 同高 )

△APQ 面積：△ PQC 面積＝ AQ ： QC ( 同高 )∴△APQ 面積：△ PQB 面積＝△ APQ 面積：△ PQC 面積

∴AP ： PB ＝ AQ ： QC ＃


21

我們可以進一步將討論及證明中，思考與推理的步驟說明如下：

PQ//BC平行線間距離相等 △PQB 與△ PQC 有等高

△PQB 與△ PQC 等面積

AP ： PB ＝ AQ ： QC

QP

A

CB

同底等高

等高的三角形面積比等於底邊比

透過上面的討論，我們發現

「三角形內平行一邊的直線截另兩邊成比例線段比例線段」


22

QP

A

CB

在討論問題中，我們已知△ PQB 與△ PQC的面積會相等，請問：

(1) △ABQ 與△ ACP 的面積是否相等？為什麼？

(2)AP ： AB 與 AQ ： AC 是否相等？為什麼？

∵△PQB 面積＝△ PQC 面積

∴ △PQB 面積＋△△ APQAPQ 面積面積＝△ PQC 面積＋△△ APQAPQ 面積面積( 等量加法公理 )

∴△ABQ 面積＝△ ACP 面積＃


23

QP

A

CB

(2)AP ： AB 與 AQ ： AC 是否相等？為什麼？

∵AP ： AB ＝△ APQ 面積：△ ABQ 面積

( 等高的三角形面積比等於底邊的比 )

AQ ： AC ＝△ APQ 面積：△ ACP 面積

又 △ ABQ 面積＝△ ACP 面積

∴ △APQ 面積：△ ABQ 面積＝ △ APQ 面積：△ ACP 面積

∴ AP ： AB ＝ AQ ： AC

＃

「三角形內平行一邊的直線截另兩邊成比例線段比例線段」(1) AP ： PB ＝ AQ ： QC(2) AP ： AB ＝ AQ ： AC


24

例題 4 右圖△ ABC 中， PQ//BC ，且 AP ＝ 12cm ，PB ＝ 7cm ， AQ ＝ 18cm ，則 QC 的長是多少？

Q

P

C

B

A 18

12

7

Sol∵△ABC 中， PQ//BC

∴ AP ： PB ＝ AQ ： QC

∴ 12 ： 7＝ 18 ： QC

12×QC ＝ 7×18 ( 比例式的內項乘積等於外項乘積 )

QC ＝ 212

(cm)＃


25

右圖△ ABC 中， PQ//AB ，且 CP ： PA ＝ 7 ： 9 ，若 BC ＝ 32cm ，則 QC 的長是多少？

Q

P

C

B

A

Sol ∵CP ： PA ＝ 7： 9

∴CP ： (CP ＋ PA) ＝ 7： (7 ＋ 9)

∴CP ： CA ＝ 7 ： 16∵ 在△ ABC 中， PQ//AB

∴CQ ： CB ＝ CP ： CA

∴CQ ： 32 ＝ 7 ： 16

16×CQ ＝ 7×32

∴CQ ＝ 14 ＃

32

9

7：


26

如果將以上的發現反過來說是否也成立呢？

也就是說，當一直線截三角形的兩邊成比例線段時，此截線是否會平行於三角形的第三邊？

我們將利用以下的討論活動來探討這問題。

如圖△ ABC 中， APAP ：： PBPB ＝＝ AQAQ ：： QCQC ，且 BD 和 CE 分別垂直直線 PQ 於 D 、 E 兩點，請問：

EQ

C

A

B

D P(1) △PQB 與△ PQC 的面積是否相等？為什麼？

返回


27

EQ

C

A

B

D P

(1) △PQB 與△ PQC 的面積是否相等？為什麼？上一張

∵△APQ 面積：△ PQB 面積＝ AP ： PB

∵△APQ 面積：△ PQC 面積＝ AQ ： QC


又 AP ： PB ＝ AQ ： QC ( 已知 )∴ △△APQAPQ 面積面積：△ PQB 面積＝ △△ APQAPQ 面積面積：△ PQC 面積

∴ △PQB 面積＝ △ PQC 面積＃


28

EQ

C

A

B

D P

(2) BD 與 CE 是否相等？為什麼？

∵△PQB 面積＝△ PQC 面積

∴ PQ×BD÷2 ＝ PQ×CE÷2

∴ BD ＝ CE ＃

(3) PQ 與 BC 是否平行？為什麼？

∵ BD⊥DE 且 CE⊥DE∴BD//CE

又 BD ＝ CE ( 已證 )∴ 四邊形 BCED 為平行四邊形 (( 一組對邊平行且等長一組對邊平行且等長 ))

∴PQ//BC ＃


29

我們可以把以上所討論的問題與結果，整理為數學推理證明數學推理證明的方式。

EQ

C

A

B

D P

已知：右圖△ ABC 中， AP ： PB ＝ AQ ： QC ，

且 BD 和 CE 分別垂直直線 PQ 於 D 、 E 兩點。

求證： PQ//BC

證明：

∵△APQ 面積：△ PQB 面積＝ AP ： PB

△APQ 面積：△ PQC 面積＝ AQ ： QC( 等高的三角形面積比等於底邊的比 )

又 AP ： PB ＝ AQ ： QC ( 已知 )∴ △△APQAPQ 面積面積：△ PQB 面積＝ △△ APQAPQ 面積面積：△ PQC 面

積∴ △PQB 面積＝ △ PQC 面積∴ PQ×BD÷2 ＝ PQ×CE÷2 ∴ BD ＝ CE

∵ BD⊥DE 且 CE⊥DE

∴BD//CE

∴ 四邊形 BCED 為平行四邊形∴PQ//BC ＃


30

由上面的討論中，我們發現「當一直線截三角形的兩邊成比例線段比例線段時，此直線平行於平行於三角形的第三邊」 A

QP

CB

若 AP ： PB ＝ AQ ： QC ，則 PQ//BC 。

如果只將已知 APAP ：： PBPB ＝＝ AQAQ ：： QCQC 改為 APAP ：： ABAB ＝＝ AQAQ ：： ACAC ，其餘的條件均不變，則 PQ 與 BC 是否平行？

我們可以將此問題以幾何推理證明方式來說明。


31

A

QP

CB

已知：右圖△ ABC 中， APAP ：： ABAB ＝＝ AQAQ ：： ACAC ，

且 BD 和 CE 分別垂直直線 PQ 於 D 、 E 兩點。

求證： PQ//BC

∵△APQ 面積：△ ABQ 面積＝ AP ： AB△APQ 面積：△ ACP 面積＝ AQ ： AC


證明：連接 BQ 、 CP

又∵ AP ： AB ＝ AQ ： AC

DE

∴ △APQ 面積：△ ABQ 面積＝ △ APQ 面積：△ ACP 面積

∴ △ABQ 面積＝ △ ACP 面積△ABQ 面積－ △△ APQAPQ 面積面積＝ △ ACP 面積－△△ APQAPQ 面積面積

∴ △PQB 面積＝△ PQC 面積 ∴ BD ＝ CE又∵ BD⊥DE 且 CE⊥DE ∴BD//CE

∴ 四邊形 BCED 為平行四邊形 ∴PQ//BC ＃


32

例題 5 右圖△ ABC 中，已知 AB ＝ 12cm ， AC ＝ 9cm ，在 AB 上取一點 P ，使 AP ＝ 8cm ；在 AC 上取一點 Q ，使 AQ ＝ 6cm 。連接 PQ ，請問 PQ 與 BC是否平行？

A

Q

P

C

B

Sol

8

6

12

9

∵ AP ： PB ＝ 8 ： (12 － 8)＝ 8 ： 4 ＝ 2 ： 1

且 AQ ： QC ＝ 6 ： (9－ 6)

＝ 6 ： 3 ＝ 2 ： 1

∴ AP ： PB ＝ AQ ： QC∴ PQ//BC ＃方法二

方法一

∵AP ： AB ＝ 8： 12 ＝ 2 ： 3

且 AQ ： AC ＝ 6：9

＝ 2 ： 3

∴ AP ： AB ＝ AQ ： AC ∴PQ//BC ＃


33

右圖△ ABC 中， AP ： PB ＝ 9 ： 11 ，且 AC ＝ 40cm ， QC ＝ 22cm ，則 PQ 與 BC 是否平行？

Q

C

A

BP

SolAQ ＝ AC － QC

＝ 40 － 22＝ 18

∴ AQ ： QC ＝ 18 ： 22＝ 9 ： 11

∴ AQ ： QC ＝ AP ： PB

∴ PQ//BC＃


34

由以上的討論與探討的結果可知

A

QP

B CPQ//BC

A

QP

B C

A

QP

B C

AP ： PB ＝ AQ ： QC

在左圖△ ABC 中，

(1) 若 PQ//BC ，可知 AP ： PB ＝ AQ ： QC

或 AP ： AB ＝ AQ ： AC反過來說，

(2) 若 AP ： PB ＝ AQ ： QC 或 AP ： AB ＝ AQ ： AC

均可知 PQ//BC

AP ： AB ＝ AQ ： AC

這個現象對任意的三角形都成立，一般將此幾何特性稱為

平行線截比例線段性質平行線截比例線段性質


35

例題 6 已知一線段 AB ，請用尺規依下面作法，在 AB 上找出一點 C ，使得 AC ： CB ＝ 2 ： 3 。

作法：

(1)過 A點任意作一直線 L。(2) 在 L上依序取 P1~P5 五點，使得 AP

1 ＝ P1P2 ＝ P2P3 ＝ P3P4 ＝ P4P5

(3) 連接 P5B

(4) 以 P2 為頂點， AP2 為一邊作∠ AP2M＝∠ AP5B ，且 P2M與 P5B 在 L的同側。(5) 將直線 P2M與 AB 的交點記為 C ，則 C點即為所求。

A B

L

C

P1

P5

P4

P3

P2

M利用平行線截比例線段性質


36

A B

L

C

P1

P5

P4

P3

P2

M

如右圖所做出的圖形中，

(1) AP2 ： P2P5 ＝？ 2 ： 3

(2)AC ： CB 與 AP2 ： P2P5 是否相等？為什麼？

∵ 在△ ABP5 中， P2C//P5B

∴ AC ： CB ＝ AP2 ： P2P5

( 平行線截比例線段 )


37

1. 右圖四邊形 ABCD 為梯形，且 EF 分別與 AD 、 BC 兩底平行，則下列敘述哪些是正確？

(A) 四邊形 AEFD 與 ABCD 的內角會對應相等。

(B) 四邊形 AEFD ～四邊形 ABCD

(C) 四邊形 AEFD 與 EBCF 的內角會對應相等(D) 四邊形 AEFD ～四邊形 EBCF

F

D

CB

A

E

(A) 、 (C)

∵ 對應邊都不成比例 ∴四邊形不相似


38

2. 已知△ ABC 如右圖，請用尺規依下面作法完成剩下的步驟，並回答問題。作法：(1)過 A點任意作一直線 L。

(2) 在 L上依序取 P1 、 P2 、 P3 三點，使得 AP1 ＝ P1P2 ＝ P2P3 。

(3) 連接 P3B 。

(4) 以 P2 為頂點， AP2 為一邊作∠ AP2M＝∠ AP3B ，且 P2M與 P3B 在 L的同側。

(5) 將直線 P2M與 AB 的交點記為 D 。

C

A B

LP3

P2

P1

DM


39

C

A B

LP3

P2

P1

DM

如右圖，回答下列問題：

(1) AP2 ： P2P3 ＝

(2)AD ： DB 與 AP2 ： P2P3 是否相等？為什麼？

(3) 連接 CD ，請問△ ABC 面積：△ ADC 面積的比值為多少？

2 ：1

相等；根據平行線截比例線段性質

∵ 兩三角形同高∴ 兩三角形面積比等於其底邊的比

△ABC 面積：△ ADC 面積＝ AB ： AD ＝ 3 ： 2∴ 比值＝ 3

2


40

3. 下列敘述正確的打「○」錯誤的打「 × 」。

( ) 兩個長方形一定相似。

( ) 與長方形相似的四邊形一定是長方形。

( ) 兩個六邊形的內角都對應相等時，這兩個六邊形一定相似。

( ) 兩個三角形的對應邊都成比例時，這兩個三角形一定相似。

×

×

○

○

∵ 對應邊不一定成比例

∵ 對應邊不一定成比例

SSS 相似性質

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相似形與 SSS 相似性質