РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины

«МАТЕМАТИКА»

для студентов специальностей 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,

080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Менеджмент организации»

Р а з д е л 4

М е т о д ы о п т и м и з а ц и и и и с с л е д о в а н и я о п е р а ц и й

в э к о н о м и к е и у п р а в л е н и и

(четвертый семестр)

Москва 2008

Рабочая программа составлена на основе государственного образо�вательного стандарта высшего профессионального образования по спе�циальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Менеджмент орга�низации», утвержденного 17.03.2000 г.

С о с т а в и т е л ь

декан факультета бизнес�администрирования, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики,

кандидат экономических наук, доцент В. И. Соловьев

О т в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р

декан факультета бизнес�администрирования, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики,

кандидат экономических наук, доцент В. И. Соловьев

Р а с с м о т р е н а и о д о б р е н а

на заседании кафедры математической экономики и эконометрики 1 сентября 2008 г. (протокол № 2)

С о г л а с о в а н а

с выпускающими кафедрами специальностей 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,

080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Менеджмент организации»

3

ОРГАНИЗАЦИОННО*МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Программа учебной дисциплины «Математика» составлена в соответст�вии с Государственным образовательным стандартом высшего профессио�нального образования по специальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Ме�неджмент организации».

Согласно Государственному образовательному стандарту высшего про�фессионального образования по специальности 080507 «Менеджмент органи�зации», «область профессиональной деятельности менеджера — обеспечение эффективного управления организацией, организация систем управления, со�вершенствование управления в соответствии с тенденциями социально�экономического развития… Менеджер должен быть готов к следующим видам деятельности: управленческая, организационная, экономическая, планово�финансовая, маркетинговая, информационно�аналитическая, проектно�исследовательская, диагностическая, инновационная, методическая, консуль�тационная, образовательная,… должен знать принципы принятия и реализа�ции экономических и управленческих решений, уметь выявлять проблемы экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты, использовать ос�новные и специальные методы экономического анализа информации в сфере профессиональной деятельности, разрабатывать и обосновывать варианты эффективных хозяйственных решений, критически оценивать поведение эко�номических агентов, тенденции развития объектов в сфере профессиональной деятельности, уметь использовать компьютерную технику в режиме пользо�вателя для решения экономических задач». Аналогичные требования содер�жатся в Государственном образовательном стандарте высшего профессио�нального образования по другим экономическим специальностям.

В Государственном образовательном стандарте определяются требования к содержанию и уровню математического образования экономистов и менед�жеров, в соответствии с которыми экономист и менеджер должен иметь пред�ставление о месте современной математики в общечеловеческой культуре и ее роли в экономических исследованиях, об истории развития математики и ее экономических приложений, знать и уметь использовать основы математиче�ского анализа, основы алгебры, геометрии и дискретной математики, основы теории дифференциальных уравнений и численных методов, основы теории вероятностей и математической статистики.

Целью преподавания дисциплины «Математика» студентам экономиче�ских специальностей является обучение студентов основным математическим понятиям и методам применительно к решению задач принятия и реализации экономических и управленческих решений, анализа, прогнозирования и эф�фективного управления экономическими системами с учетом неопределенно�сти внешней среды и ограниченности внутренних возможностей управляемого объекта.

При преподавании дисциплины ставятся следующие задачи:

4

• ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходи�мого для решения практических экономических и управленческих задач;

• привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную литературу по математике и ее экономическим приложениям;

• выработать у студентов навыки математического исследования приклад�ных экономических вопросов и умение перевести экономическую задачу на математический язык, найти подходящий метод решения задачи, вос�пользоваться для ее решения вычислительной техникой, экономически проанализировать результаты решения и применить их на практике;

• развить у студентов логическое мышление и повысить общий уровень их математической культуры. Овладение дисциплиной развивает у студентов аналитическое мышление,

прививает навыки количественного обоснования принимаемых управленческих решений. Знания, умения и навыки, полученные в результате освоения дисцип�лины, могут быть использованы выпускниками во всех видах их деятельности в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профес�сионального образования. Все это имеет большое значение для последующей практической работы экономистов и менеджеров.

Особенностью программы является ее п р и к л а д н а я н а п р а в л е н �н о с т ь, позволяющая развить у студентов навыки анализа экономических проблем, повысить мотивацию к изучению дисциплины, тем самым повысить эффективность обучения.

Дисциплина «Математика» состоит из четырех разделов («Линейная ал�гебра и аналитическая геометрия», «Математический анализ и дифференци�альные уравнения с экономическими приложениями», «Теория вероятностей и математическая статистика в экономике и управлении», «Методы оптими�зации и исследования операций в экономике и управлении») и изучается в те�чение первых четырех семестров. Объем аудиторной нагрузки, необходимой для освоения программы, составляет 240 ч. для студентов очной формы обуче�ния.

Методика преподавания дисциплины «Математика» строится на сочета�нии лекций со следующими видами учебной работы: групповыми практиче�скими занятиями, групповыми и индивидуальными консультациями по от�дельным разделам программы; выполнением студентами индивидуальных и групповых домашних заданий; выполнением студентами контрольных зада�ний, внеаудиторной самостоятельной работой студентов с учебным материа�лом под контролем преподавателя (работа с учебниками, учебными пособия�ми, методическими указаниями, заданиями, специальной литературой, поиск необходимой информации в сети Интернет). Кроме того, на практических за�нятиях активно используются активные методы обучения, в том числе, метод конкретных ситуаций, когда студентам предлагается для рассмотрения ре�альная проблема, и они находят ее решение при помощи изучаемых матема�тических методов. Важной методической особенностью является интенсифи�кация самостоятельной работы студентов с использованием персональных компьютеров, особенно в третьем и четвертом семестрах.

5

Особенно отметим обязательное выполнение студентами индивидуаль�ных семестровых контрольных заданий, приведенных в настоящей програм�ме (номер варианта индивидуального задания выбирается по последней циф�ре номера зачетной книжки студента).

В конце первого, второго, третьего и четвертого семестров по дисципли�не «Математика» проводятся экзамены.

Дисциплина «Математика» изучается параллельно с общепрофессиональ�ными дисциплинами, что позволяет активизировать освоение математических методов применительно к решению экономических задач и выработке управ�ленческих решений на основе математического моделирования. В свою очередь, после изучения дисциплины «Математика» студенты смогут легче осваивать все последующие дисциплины специальностей (умея формализовать экономические постановки задач и делать выводы на основе исследования соответствующих экономико�математических моделей), а также использовать математические методы и модели при курсовом и дипломном проектировании.

В четвертом семестре изучаются м а т е м а т и ч е с к и е м е т о д ы о п �т и м и з а ц и и и и с с л е д о в а н и я о п е р а ц и й, которые затем будут ис�пользованы в дисциплинах «Финансовая математика», «Математические моде�ли и методы в экономике».

6

СО

ДЕР

ЖА

НИ

Е Д

ИС

ЦИ

ПЛ

ИН

Ы

ЛЕ

КЦ

ИИ

П

РА

КТ

ИЧ

ЕС

КИ

Е З

АН

ЯТ

ИЯ

С

АМ

ОС

ТО

ЯТ

ЕЛ

ЬН

АЯ

РА

БО

ТА

С

ТУ

ДЕ

НТ

А

№ за

н.

Тем

а, о

снов

ны

е во

про

сы

№ за

н.

Тем

а, о

снов

ны

е во

про

сы

Сод

ерж

ани

е Б

юдж

ет

врем

ени

Т

ема

1. Л

ин

ейн

ое п

рогр

амм

иро

ван

ие

1 П

ри

мер

ы

ли

ней

ных

оп

тим

иза

ци

он�

ных

мод

елей

в э

коно

ми

ке и

уп

рав

лен

ии

. Л

ине

йна

я п

рои

звод

стве

нная

зад

ача.

По�

стан

овка

и р

азл

ичн

ые

фор

мы

зап

иси

за�

дачи

ли

ней

ного

пр

огр

амм

ир

ован

ия.

Гео

�м

етр

иче

ская

инт

ерп

рет

аци

я за

дачи

ли

�не

йно

го п

рог

рам

ми

ров

ани

я.

Кан

они

ческ

ая ф

орм

а за

дач

и л

ин

ей�

ног

о п

рог

рам

ми

ров

ани

я.

Доп

уст

им

ые

реш

ени

я. С

вой

ства

обл

асти

доп

уст

им

ых

р

ешен

ий

. Ал

гор

итм

си

мп

лек

сног

о м

ето�

да

ли

ней

ног

о п

рог

рам

ми

ров

ани

я.

Си

мп

лек

сны

й

мет

од

как

мет

од

на�

пр

авл

енн

ого

пер

ебор

а ба

зисн

ых

доп

ус�

тим

ых

реш

ени

й. К

ри

тер

ий

оп

тим

альн

о�ст

и.

Эко

ном

иче

ская

ин

тер

пр

етац

ия

за�

дач

и

ли

ней

ног

о п

рог

рам

ми

ров

ани

я,

сим

пл

ексн

ого

мет

ода,

си

мп

лек

сны

х

оцен

ок.

1 Р

ешен

ие

зад

ачи

п

лан

ир

ован

ия

п

рои

звод

ство

м

сим

пл

ексн

ым

м

ето�

дом

.

Мет

од

иск

усс

твен

ного

ба

зиса

. М

оди

фи

ци

ров

анн

ый

си

мп

лек

с�н

ый

мет

од.

Кон

трол

ьное

зад

ани

е.

4

2 С

им

мет

ри

чная

п

ара

дво

йст

вен

ны

х

зад

ач.

Эко

ном

иче

ская

и

нте

рп

рет

аци

я

дво

йст

вен

ной

зад

ачи

. О

снов

ное

нер

авен

ство

тео

ри

и д

вой

ст�

вен

нос

ти,

его

экон

оми

ческ

ая и

нте

рп

ре�

тац

ия

. М

алая

тео

рем

а д

вой

стве

нн

ости

. Д

оста

точн

ое

усл

ови

е оп

тим

альн

ости

2 Э

кон

оми

ческ

ое

сод

ерж

ани

е вт

о�р

ой о

снов

ной

тео

рем

ы д

вой

стве

нн

о�ст

и. Е

е п

ри

мен

ени

е к

реш

ени

ю з

адач

и

ин

тер

пр

етац

ии

рез

ул

ьтат

ов.

Кон

трол

ьное

зад

ани

е.

4

7

пар

ы

взаи

мн

о д

вой

стве

нн

ых

за

дач

. П

ерва

я

и

втор

ая

осн

овн

ые

теор

емы

д

вой

стве

ннос

ти,

их

ге

омет

ри

ческ

ая

и

экон

оми

ческ

ая и

нте

рп

рет

аци

я.

3 Н

еси

мм

етр

ичн

ая п

ара

дво

йст

вен

ны

х

зада

ч.

Тр

етья

осн

овн

ая т

еор

ема

дво

йст

вен

�н

ости

, ее

гео

мет

ри

ческ

ая и

эко

ном

иче

�ск

ая и

нте

рп

рет

аци

я.

Обл

асть

уст

ойчи

�во

сти

дво

йст

вен

ны

х о

цен

ок.

3 З

адач

а о

рас

ши

вке

узк

их

м

ест

пр

оизв

одст

ва.

Пос

топ

тим

иза

ци

онн

ый

ан

али

з за

�д

ач л

ин

ейн

ого

пр

огр

амм

ир

ован

ия

.

Пон

яти

е о

пар

амет

ри

ческ

ом

ли

ней

ном

п

рог

рам

ми

ров

ани

и.

Дво

йст

вен

ны

й

сим

пл

ексн

ый

м

е�то

д. Кон

трол

ьное

зад

ани

е.

4

4 Т

ран

спор

тная

за

дача

п

о кр

ите

ри

ю

стои

мос

ти.

Зад

ача,

дв

ойст

венн

ая

к тр

ансп

ортн

ой.

Зам

кну

тая

тран

спор

тная

за

дача

и е

е р

ешен

ие

мет

одом

пот

енц

иа�

лов

. Эко

ном

иче

ская

инт

ерп

рет

аци

я оц

е�но

к кл

еток

, п

отен

ци

алов

пос

тавщ

ико

в и

п

отр

еби

тел

ей.

Вы

рож

денн

ая

тран

спор

тная

за

дача

. Ф

икт

ивн

ые

пос

тавк

и.

Отк

ры

тая

тран

с�п

ортн

ая з

адач

а, ф

икт

ивн

ые

пос

тавщ

ики

и

пот

реб

ите

ли

. О

бяза

тел

ьны

е и

зап

ре�

щен

ные

пос

тавк

и.

4 Р

ешен

ие

тран

спор

тны

х

зад

ач

с д

опол

ни

тел

ьны

ми

тр

ебов

ани

ям

и

(обя

зате

льн

ые

и

зап

рещ

енн

ые

по�

став

ки).

Кон

трол

ьное

зад

ани

е.

4

5 П

оста

нов

ка и

эко

ном

иче

ская

ин

тер

�п

рет

аци

я

зад

ач

цел

очи

слен

ног

о п

ро�

грам

ми

ров

ани

я. М

етод

ы о

тсеч

ени

я.

Общ

ая

хар

акте

ри

сти

ка

ком

бин

атор

�н

ых

м

етод

ов

реш

ени

я

зад

ач

цел

очи

с�л

енн

ого

пр

огр

амм

ир

ован

ия

. М

етод

вет

�ве

й и

гр

ани

ц.

5 Р

ешен

ие

зад

ач

цел

очи

слен

ног

о п

рог

рам

ми

ров

ани

я м

етод

ом в

етве

й и

гр

ани

ц.

Кон

трол

ьное

зад

ани

е.

4

Тем

а 2.

Нел

ин

ейн

ое п

рогр

амм

иро

ван

ие

6 О

бщая

зад

ача

нел

ин

ейн

ого

пр

огр

ам�

ми

ров

ани

я,

ее

геом

етр

иче

ская

и

нте

р�

пр

етац

ия

и э

кон

оми

ческ

ие

пр

ил

ожен

ия

.

6 Н

ели

ней

ная

п

рои

звод

стве

нн

ая

зада

ча.

Зад

ача

опти

ми

зац

ии

зат

рат

н

а р

екл

аму

.

Кон

трол

ьное

зад

ани

е.

4

8

Нео

бход

им

ые

и д

оста

точн

ые

усл

ови

я

экст

рем

ум

а ф

ун

кци

и н

еско

льк

их

пер

е�м

енн

ых

. Тео

рем

а Ф

ерм

а. С

тац

ион

арн

ые

точк

и

ди

фф

ерен

ци

ру

емы

х

фу

нкц

ий

. М

атр

иц

а Г

ессе

. К

ри

тер

ий

С

ил

ьвес

тра

дл

я и

ссл

едов

ани

я с

тац

ион

арн

ых

точ

ек.

Ока

йм

лен

ная

мат

ри

ца

Гес

се.

Усл

овн

ый

экс

трем

ум

. М

етод

мн

ожи

�те

лей

Лаг

ран

жа.

Дет

ерм

ин

ир

ован

ны

е м

одел

и

уп

рав

лен

ия

зап

асам

и, ф

орм

ул

а В

ил

�со

на.

П

рои

звод

стве

нн

ые

фу

нкц

ии

, те

о�р

ия

фи

рм

ы,

анал

из

пр

оизв

одст

вен

�н

ой

фу

нкц

ии

К

обба

—

Ду

глас

а.

Фу

нкц

ия

сп

рос

а, п

оиск

точ

ки с

пр

оса

пот

реб

ите

ля

. Ф

ун

кци

я

благ

осос

тоя

ни

я,

вогн

у�

тост

ь ф

ун

кци

и

благ

осос

тоя

ния

п

о от

нош

ени

ю к

дох

оду

. 7

Вы

пу

клы

е м

нож

еств

а и

их

сво

йст

ва.

Тео

рем

ы о

тдел

им

ости

. Си

стем

ы в

ып

ук�

лы

х н

ерав

енст

в. В

ып

укл

ые

фу

нкц

ии

и

их

сво

йст

ва.

Зад

ача

вып

укл

ого

пр

огр

амм

ир

ова�

ни

я,

ее г

еом

етр

иче

ская

ин

тер

пр

етац

ия

и

эко

ном

иче

ски

е п

ри

лож

ени

я.

Усл

ови

е р

егу

ля

рн

ости

. Ф

ун

кци

я Л

а�гр

анж

а. У

слов

ие

опти

мал

ьнос

ти. Т

еор

е�м

а К

ун

а —

Так

кер

а. У

слов

ия

Кар

уш

а —

К

ун

а —

Так

кер

а в

ди

фф

ерен

ци

альн

ой

фор

ме,

их

гео

мет

ри

ческ

ая и

эко

ном

иче

�ск

ая и

нте

рп

рет

аци

я.

7 З

адач

а кв

адр

ати

чног

о п

рог

рам

�м

ир

ован

ия

. Усл

ови

я К

ару

ша

— К

ун

а —

Т

акке

ра

в д

иф

фер

енц

иал

ьной

ф

орм

е и

си

мп

лек

сны

й м

етод

дл

я р

е�ш

ени

я

зад

ачи

кв

адр

ати

чног

о п

ро�

грам

ми

ров

ани

я.

Кон

трол

ьное

зад

ани

е.

4

8 Г

рад

иен

тны

е м

етод

ы н

ели

ней

ной

оп

�ти

ми

зац

ии

. М

етод

ы ш

траф

ны

х ф

ун

кци

й.

Мн

огок

ри

тер

иал

ьная

оп

тим

иза

ци

я.

Оп

тим

альн

ость

п

о П

арет

о.

Мет

од

по�

след

оват

ельн

ых

уст

уп

ок.

8 Р

ешен

ие

зад

ач

вып

укл

ого

п

ро�

грам

ми

ров

ани

я г

рад

иен

тны

ми

мет

о�д

ами

и м

етод

ами

штр

афн

ых

фу

нк�

ци

й.

Сов

рем

енн

ые

пак

еты

пр

икл

ад�

ны

х п

рог

рам

м,

реа

ли

зац

ия

в н

их

чи

слен

ны

х

мет

одов

у

слов

ной

и

бе

зусл

овно

й о

пти

ми

зац

ии

. Р

еше�

ни

е за

дач

ли

ней

ног

о, н

ели

ней

ног

о и

ц

елоч

исл

енн

ого

пр

огр

амм

ир

о�ва

ни

я в

пак

ете

Mic

roso

ft E

xce

l. К

онтр

ольн

ое з

адан

ие.

12

9

Тем

а 3.

Ди

нам

ич

еск

ое п

рогр

амм

иро

ван

ие

и о

пти

мал

ьное

уп

равл

ени

е 9

Сп

еци

фи

ка з

адач

ди

нам

иче

ског

о п

ро�

грам

ми

ров

ани

я.

Пр

ин

ци

п

опти

мал

ьно�

сти

Б

елл

ман

а.

Пар

амет

р

сост

оян

ия

, у

рав

нен

ие

сост

оян

ия

. Р

еку

рр

ентн

ое с

о�от

нош

ени

е.

9 З

адач

а об

оп

тим

альн

ом р

асп

ред

е�л

ени

и и

нве

сти

ци

й.

Ди

нам

иче

ская

зад

ача

уп

рав

лен

ия

за

пас

ами

и е

е р

ешен

ие

мет

одом

ди

�н

ами

ческ

ого

пр

огр

амм

ир

ован

ия

. С

вед

ени

е за

дач

и д

ин

ами

ческ

ого

пр

о�гр

амм

ир

ован

ия

к з

адач

е о

крат

чай

�ш

ем п

ути

.

Зад

ача

о н

аибо

лее

рац

ион

аль�

ном

исп

ольз

ован

ии

раб

очей

си

лы

. З

адач

а о

зам

ене

обор

уд

ован

ия

. К

онтр

ольн

ое з

адан

ие.

12

10

Пр

осте

йш

ая

зад

ача

вар

иац

ион

ног

о и

счи

слен

ия

в ф

орм

е Л

агр

анж

а и

ее

эко�

ном

иче

ски

й с

мы

сл. Ф

ун

кци

я Г

ами

льт

о�н

а. У

слов

ия

оп

тим

альн

ости

. З

адач

а оп

�ти

мал

ьног

о у

пр

авл

ени

я,

ее э

кон

оми

че�

ская

и

нте

рп

рет

аци

я.

Пр

ин

ци

п

мак

си�

му

ма

Пон

тря

гин

а, е

го п

ри

мен

ени

е в

мо�

дел

ях

оп

тим

альн

ого

экон

оми

ческ

ого

рос

та.

10

Оп

тим

альн

ый

эко

ном

иче

ски

й р

ост

в м

одел

и С

олоу

. О

пти

мал

ьное

уп

рав

лен

ие

рас

�п

ред

елен

ны

ми

си

стем

ами

. О

боб�

щен

ны

й п

ри

нц

ип

мак

сим

ум

а. О

п�

тим

иза

ци

я д

еяте

льн

ости

ин

нов

а�ц

ион

ны

х

стр

ахов

ых

ко

мп

ани

й

пр

и у

слов

ии

их

дея

тел

ьнос

ти н

а р

ын

ке ц

енн

ых

бу

маг

.

12

Тем

а 4.

Осн

овн

ые

пон

яти

я т

еори

и г

раф

ов. П

оиск

кра

тчай

шег

о и

кри

тич

еск

ого

пут

и

11

Гр

аф.

Ду

ги и

вер

ши

ны.

Пол

ный

гр

аф.

Изо

мор

фи

зм г

раф

ов.

Свя

знос

ть,

раз

рез

гр

афа.

Оп

ерац

ии

над

гр

афам

и. М

атр

иц

ы

смеж

ност

и и

инц

иде

нтно

сти

. Дер

ево.

Лес

. И

зобр

ажен

ие

граф

а. П

лос

кий

гр

аф. Ф

ор�

му

ла

Эй

лер

а.

Тео

рем

а П

онтр

яги

на —

К

ур

атов

ског

о. А

лго

ри

тм Д

ейкс

тры

реш

е�ни

я за

дачи

о к

рат

чай

шем

пу

ти.

11

Зад

ача

о кр

атча

йш

ем п

ути

. Уп

рав

�л

ени

е п

рое

ктам

и и

сет

евое

пл

ани

ро�

вани

е.

Зад

ача

о кр

ити

ческ

ом

пу

ти

и

ее

пр

ил

ожен

ия

к у

пр

авл

ени

ю п

рое

кта�

ми

. Зад

ача

о на

ибо

лее

над

ежно

м п

ути

..

Сов

рем

енны

е п

акет

ы п

ри

клад

�ны

х п

рог

рам

м д

ля

авто

мат

иза

ци

и

уп

рав

лен

ия

пр

оект

ами

. Р

ешен

ие

зада

ч у

пр

авл

ени

я

пр

оект

ами

в

пак

ете

Mic

roso

ft P

roje

ct.

Кон

трол

ьное

зад

ани

е.

4

Тем

а 5.

Пот

оки

в с

етях

. Пои

ск м

акси

мал

ьног

о п

оток

а 12

С

еть.

Пот

оки

в с

етях

. Зад

ача

о м

акси

�м

альн

ом

пот

оке.

А

лго

ри

тм

Фор

да —

Ф

алке

рсо

на.

12

Реш

ени

е за

дач

о

мак

сим

альн

ых

од

но�

и м

ног

опр

оду

ктов

ых

пот

оках

. К

онтр

ольн

ое з

адан

ие

4

Тем

а 6.

Осн

овы

тео

рии

игр

13

М

атем

ати

ческ

ие

мод

ели

ко

нф

ли

кт�

13

Реш

ени

е м

атр

ичн

ых

и

гр

пу

тем

К

онтр

ольн

ое з

адан

ие.

4

10

ны

х с

иту

аци

й. А

нта

гон

ист

иче

ское

пов

е�д

ени

е и

грок

ов.

Мат

ри

чная

игр

а, е

е ге

о�м

етр

иче

ская

и

эк

оном

иче

ская

и

нте

р�

пр

етац

ия

. Чи

сты

е и

см

ешан

ны

е ст

рат

е�ги

и. О

пти

мал

ьны

е ст

рат

еги

и.

Осн

овн

ая т

еор

ема

теор

ии

мат

ри

чны

х

игр

, вы

раж

ени

е оп

тим

альн

ых

стр

атег

ий

и

грок

ов

чер

ез

реш

ени

я

пар

ы

дво

йст

�ве

нн

ых

зад

ач л

ин

ейн

ого

пр

огр

амм

ир

о�ва

ни

я.

свед

ени

я к

пр

е д

вой

стве

нн

ых

зад

ач

ли

ней

ног

о п

рог

рам

ми

ров

ани

я.

14

Мат

ри

чная

игр

а ка

к м

одел

ь со

тру

д�

ни

чест

ва и

кон

кур

енц

ии

. П

оня

тие

о ко

опер

ати

вны

х и

грах

. Б

и�

мат

ри

чная

и

гра.

П

ерег

овор

ное

м

нож

е�ст

во.

Оп

тим

альн

ость

по

Пар

ето.

Рав

но�

веси

е Н

эша.

14

Реш

ени

е би

мат

ри

чны

х и

гр в

не�

кооп

ерат

ивн

ом и

коо

пер

ати

вном

ва�

ри

анта

х.

Кон

трол

ьное

зад

ани

е.

4

Тем

а 7.

Осн

овы

тео

рии

при

ня

тия

реш

ени

й в

усл

ови

ях

нео

пре

дел

енн

ости

15

М

атр

иц

а п

осл

едст

вий

и м

атр

иц

а со

�ж

ален

ий

, и

х э

кон

оми

ческ

ая и

нте

рп

ре�

тац

ия

. П

ри

ня

тие

реш

ени

й

в у

слов

ия

х

пол

ной

н

еоп

ред

елен

нос

ти:

кри

тер

ии

В

альд

а,

Сэв

ид

жа,

Г

ур

виц

а.

Пр

ин

яти

е р

ешен

ий

в у

слов

ия

х ч

асти

чной

нео

пр

е�д

елен

нос

ти:

кри

тер

ии

м

акси

ми

зац

ии

ож

ид

аем

ого

дох

ода,

ми

ни

ми

зац

ии

ож

и�

дае

мы

х с

ожал

ени

й.

15

Исс

лед

ован

ие

ситу

аци

й п

ри

ня

тия

р

ешен

ий

в у

слов

ия

х п

олн

ой и

час

�ти

чной

нео

пр

едел

енн

ости

.

Бай

есов

ски

й п

одх

од к

пр

ин

я�

тию

р

ешен

ий

и

ег

о эк

оном

иче

�ск

ие

пр

ил

ожен

ия

. К

онтр

ольн

ое з

адан

ие.

4

15

Итого

15

84

11

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 1. Линейная производственная задача. Предприятие может вы�

пускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

a a a aa a a aa a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=A

затрат ресурсов на производство единицы каждого вида продукции [элемент aij этой матрицы равен количеству ресурса i�го вида (i = 1, 2, 3), которое необходимо затратить в процессе производства единицы про�дукции j�го вида (j = 1, 2, 3, 4)], вектор

1

2

3

bbb

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b

объемов ресурсов и вектор c = (c1 c2 c3 c4)

удельной прибыли на единицу продукции. Исходные данные для каждо�го варианта компактно записаны в прил. 1 в следующем виде.

c1 c2 c3 c4 а11 а12 а13 а14 b1 a21 a22 a23 a24 b2 a31 a32 a33 a34 b3

Требуется составить производственную программу, обеспечиваю�щую предприятию наибольшую прибыль с учетом ограниченности запа�сов ресурсов.

Для этого необходимо обсудить экономическое содержание линей�ной производственной задачи и сформулировать ее математическую мо�дель, преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее симплексным методом, обосновывая каж�дый шаг вычислительного процесса, найти оптимальную производствен�ную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и определить узкие места производства (дефицитные ресурсы).

Затем требуется сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, обсудить ее экономическое содержание и за�писать математическую модель, после чего найти решение двойственной задачи, пользуясь второй основной теоремой двойственности, обосновав экономический смысл этой теоремы.

Указать оптимальную производственную программу и оценки тех�нологий, максимальную прибыль и минимальную суммарную оценку

12

всех ресурсов, остатки и двойственные оценки ресурсов и обсудить эко�номический смысл всех этих величин.

После этого необходимо с помощью надстройки «Поиск решения» пакета «Microsoft Excel» проверить правильность решения задачи и, кроме того, определить границы, в которых могут изменяться коэффи�циенты целевой функции, в пределах которых не изменяется ассорти�мент выпускаемой продукции, и границы, в которых могут изменяться правые части ограничений, в пределах которых сохраняется устойчи�вость двойственных оценок.

2. Задача о расшивке узких мест производства. При выполнении оптимальной производственной программы в линейной производствен�ной задаче некоторые ресурсы расходуются полностью и образуют уз�кие места. Требуется определить план заказа дополнительных объемов этих ресурсов, обеспечивающий максимальный прирост прибыли пред�приятия при условии сохранения устойчивости двойственных оценок, если поставщики могут предоставить дополнительно не более трети от первоначальных запасов соответствующих ресурсов.

3. Целочисленная задача о расшивке узких мест производства. Если полученное решение задачи о расшивке узких мест производства оказалось не целочисленным, то требуется с помощью метода ветвей и границ найти целочисленное решение этой задачи.

4. Транспортная задача линейного программирования. Однород�ный продукт, сосредоточенный на трех складах фирмы в количествах a1, a2, a3 единиц, необходимо распределить между четырьмя магазинами, которым необходимо соответственно b1, b2, b3, b4 единиц продукта. Стои�мость перевозки единицы продукта из i�го пункта отправления (i = 1, 2, 3) в j�й пункт назначения (j = 1, 2, 3, 4) равна cij и известна для всех мар�шрутов. Вектор запасов продукта на складах

1

2

3

aa a

a

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

вектор запросов продукта магазинами b = (b1 b2 b3 b4) и матрица транспортных тарифов

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

c c c cc c c cc c c c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=C

известны и для каждого варианта компактно записаны в прил. 2 в сле�дующем виде.

b1 b2 b3 b4 a1 c11 c12 c13 c14

13

a2 c21 c22 c23 c24 a3 c31 c32 c33 c34

Требуется определить оптимальный план перевозок, при котором запросы магазинов были бы удовлетворены в наибольшей степени за счет имеющегося на складах количества продукта, и при этом обяза�тельно были бы удовлетворены запросы первого магазина, а общие транспортные расходы по доставке продукта были минимальны.

Для этого необходимо составить математическую модель транс�портной задачи, преобразовать ее к закрытой форме путем введения фиктивного поставщика или потребителя и найти решение этой задачи с помощью метода потенциалов, обосновывая каждый шаг вычислитель�ного процесса.

Указать оптимальный план перевозок, минимальные транспортные расходы, потенциалы поставщиков и потребителей, оценки клеток и об�судить экономический смысл всех этих величин.

5. Динамическая задача распределения инвестиций. Производст�венное объединение состоит из четырех предприятий (n = 4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 тыс. руб. (b = 700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. руб. Если j�е предприятие полу�чает инвестиции в объеме ξ тыс. руб., то прирост годовой прибыли на этом предприятии составит ( )jf ξ тыс. руб. в год. Значения функций ( )jf ξ

известны и для каждого варианта компактно записаны в прил. 3 в сле�дующем виде.

f1(0) f1(100) f1(200) f1(300) f1(400) f1(500) f1(600) f1(700)

f2(0) f2(100) f2(200) f2(300) f2(400) f2(500) f2(600) f2(700)

f3(0) f3(100) f3(200) f3(300) f3(400) f3(500) f3(600) f3(700)

f4(0) f4(100) f4(200) f4(300) f4(400) f4(500) f4(600) f4(700)

Требуется найти такое распределение инвестиций между предпри�ятиями, которое максимизирует суммарный прирост прибыли на всех предприятиях вместе. Для этого необходимо составить математическую модель динамической задачи распределения инвестиций и решить ее методом динамического программирования, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса.

6. Динамическая задача управления производством и запасами. Рассматривается трехэтапная система управления запасами с дискрет�ной продукцией и динамическим детерминированным спросом. Заявки потребителей на продукцию составляют на этапе j равен dj единиц (j = 1, 2, 3). К началу первого этапа на складе имеется только y1 единицы про�дукции. Затраты на хранение единицы продукции на этапе j равны hj. Затраты на производство xj единиц продукции на j�м этапе определяют�ся функцией

14

2( ) , 1, 2, 3j j j jx ax bx c jϕ = + + = .

Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наи�меньшими. Для этого необходимо составить математическую модель ди�намической задачи управления производством и запасами и решить ее методом динамического программирования, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса. Исходные данные приведены для каждого ва�рианта в прил. 4.

7. Задача о максимальном потоке в сети. Требуется определить максимальный поток в сети, изображенной на рис. 1, из вершины iX в вершину jX , где числа на дугах, снабженные стрелками, означают про�

пускные способности этих дуг в указанных направлениях. Номера вер�шин i и j для каждого варианта приведены в прил. 5.

8. Задача о кратчайшем пути. Требуется определить кратчайший путь из вершины iX в вершину jX в графе, изображенном на рис. 2, где

числа на дугах означают длины этих дуг. Номера вершин i и j для каждо�го варианта приведены в прил. 5.

9. Задача о критическом пути. Требуется определить кратчайший путь из вершины iX в вершину jX в графе, изображенном на рис. 2, где

числа на дугах означают длины этих дуг. Номера вершин i и j для каждо�го варианта приведены в прил. 5.

1 2 6

0 2 2

4 5

X5

3

X4

X3

2 0

X6

X 8

X 0 X 1

X7 X 2

2

2

3

2 2

1 1

3 3 2

2

1

1

1

0 4

0 3

2 Рис. 1. Сеть в задаче о максимальном потоке

15

1 6

3

2

3

2

1

1

1

4

5

X5

X4

X3

2

X6

X8

X0 X1

X7 X2

3

2

Рис. 2. Граф в задачах о кратчайшем и критическом путях

10. Матричная игра. Предприятие имеет две стратегии рыночного поведения, тогда как его конкурент имеет четыре таких стратегии. При�быль (в млн. руб.), которую получит предприятие при условии, что оно изберет стратегию i (i = 1, 2), а его конкурент — стратегию j (j = 1, 2, 3, 4), равна πij. Платежные матрицы Π для каждого варианта приведены в прил. 6. Требуется найти оптимальные смешанные страте�гии предприятия и конкурента, а также цену игры — оптимальную при�быль предприятия.

11. Принятие решений в условиях неопределенности. Возможные значения курса базовой валюты в течение ближайшего года представлены четырьмя интервалами. Банк рассматривает четыре инвестиционных про�екта, каждый из которых связан с международным бизнесом. Матрицы последствий от принятия банком i�го инвестиционного проекта при усло�вии, что курс валюты окажется в j�м интервале, приведены в прил. 7. Там же приведены прогнозируемые экспертами вероятности возможных ин�тервалов курса базовой валюты. Требуется построить матрицу сожалений, найти решения, рекомендуемые правилами Вальда, Сэвиджа, максималь�ного ожидаемого дохода и минимального ожидаемого риска, а также опре�делить проекты, оптимальные по Парето.

12. Оптимальность по Парето. Инвестор рассматривает четыре ин�вестиционные операции со случайными эффективностями, описывае�мыми случайными величинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения, приведенными для каждого варианта в прил. 8. Требуется определить, какие из этих операций оптимальны по Парето.

13. Многокритериальная оптимизация. Методом последователь�ных уступок (допустимые уступки по первым двум критериям принять

16

равными δ =1 3 и 2 2δ = ) требуется решить следующую задачу векторной оптимизации:

= − + − →= − + − →= − + − →

+⎧⎪ +⎨⎪⎩

1 1 2

2 1 2

1 1 2

1 2

1

2

(3 ) ( 6) max,

(5 ) ( 7) max,

( 5) (8 ) max,

18,

1 2,

1 9,

z n x n x

z n x n x

z n x n x

x x

x n

x

,

где n — номер варианта.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 1. Задача оптимального производственного планирования и ее матема�

тическая модель. 2. Общая задача математического программирования. 3. Различные формулировки задачи линейного программирования,

функция цели, допустимые и оптимальные решения. Основная задача линей�ного программирования, ее векторная и матричная формы записи.

4. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирова�ния и симплексного метода. Графическое решение задачи линейного програм�мирования с двумя переменными.

5. Симплексный метод линейного программирования: задача линейного программирования в предпочитаемой форме, выражение функции цели через свободные неизвестные, вычисление относительных оценочных коэффициен�тов Δ j и значения целевой функции, соответствующих данному базисному

допустимому решению. 6. Симплексный метод линейного программирования: исследование

данного базисного допустимого решения на оптимальность, условие опти�мальности в случае минимизируемой и максимизируемой функции цели.

7. Симплексный метод линейного программирования: условие единст�венности базисного оптимального решения. Условие неограниченности целе�вой функции на множестве допустимых решений.

8. Симплексный метод линейного программирования: переход от одного базисного допустимого решения к другому, правила выбора разрешающей не�известной и разрешающего уравнения, их обоснование. Монотонность и ко�нечность симплексного алгоритма для невырожденной задачи линейного про�граммирования.

9. Применение искусственных базисных неизвестных к решению ос�новной задачи линейного программирования. Условие противоречивости сис�темы условий исходной задачи.

10. Двойственные (расчетные) оценки ресурсов. Симметричная пара двойственных задач линейного программирования.

11. Несимметричная пара двойственных задач линейного программиро�вания, правила составления двойственной задачи для данной задачи линейно�го программирования со смешанными ограничениями.

17

12. Основное неравенство теории двойственности линейного программи�рования. Малая теорема двойственности и ее экономическое содержание.

13. Теорема о достаточном условии оптимальности решений пары двой�ственных задач линейного программирования.

14. Первая основная теорема двойственности и ее экономическое истол�кование.

15. Вторая основная теорема двойственности (о дополняющей нежестко�сти) и ее экономическое истолкование.

16. Третья основная теорема двойственности (об оценках влияния ре�сурсов на выпуск продукции) и ее экономическое содержание.

17. Перераспределение ресурсов между предприятиями холдинга с по�мощью двойственных оценок ресурсов.

18. Условие сохранения структуры производственной программы и двойственных оценок ресурсов при изменении объемов ресурсов.

19. Задача о расшивке узких мест производства, ее математическая мо�дель и решение.

20. Транспортная задача по критерию стоимости: постановка и матема�тическая модель, свойства закрытой модели. Преобразование открытой моде�ли в закрытую.

21. Методы построения первого базисного решения транспортной зада�чи.

22. Метод потенциалов для решения транспортной задачи. 23. Задача целочисленного программирования, понятие о методе ветвей

и границ: основные идеи, описание алгоритмов. 24. Задача выпуклого программирования, ее геометрическая интерпре�

тация и экономические приложения. Функция Лагранжа. Теорема Куна — Таккера. Условия Куна — Таккера в дифференциальной форме, их геометри�ческая и экономическая интерпретация.

25. Градиентные методы нелинейной оптимизации. 26. Методы штрафных функций. 27. Многокритериальная оптимизация. Оптимальность по Парето. Метод

последовательных уступок. 28. Динамическое программирование как метод решения многошаговых

задач управления. Параметр состояния и функция состояния. Принцип опти�мальности и рекуррентные соотношения.

29. Задача распределения капитальных вложений: постановка, матема�тическая модель и решение методом динамического программирования.

30. Динамическая задача управления запасами: постановка, математи�ческая модель и решение методом динамического программирования.

31. Основные понятия теории графов. 32. Задача о максимальном потоке в сети и ее решение. 33. Задача о кратчайшем пути в графе и ее решение. 34. Задача о критическом пути в графе и ее решение. 35. Матричная игра как модель конфликтной ситуации. Матрица игры.

Верхняя и нижняя цена игры, седловая точка. Чистые и смешанные стратегии игроков.

18

36. Ряд распределения выигрышей в матричной игре. Средний ожидае�мый выигрыш и риск. Оптимальные стратегии игроков и цена игры. Представ�ление математического ожидания выигрыша первого игрока и дисперсии в иг�ре с двумя стратегиями первого игрока.

37. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества. Графи�ческое решение игр с двумя стратегиями одного из игроков. Доминирование чистых стратегий.

38. Матричная игра типа с произвольным числом стратегий игроков. Критерий оптимальности стратегий.

39. Теорема о преобразовании матрицы игры, сохраняющем оптималь�ные стратегии игроков.

40. Основная теорема теории игр, выражение оптимальных стратегий игроков через решения пары двойственных задач линейного программирова�ния.

41. Принятие решений в условиях полной неопределенности. Матрица последствий и матрица сожалений. Критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

42. Принятие решений в условиях частичной неопределенности. Крите�рии максимизации ожидаемого дохода, минимизации ожидаемых сожалений.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

О с н о в н а я 1. Колемаев В. А., Соловьев В. И., Гатауллин Т. М. и др. Математиче�

ские модели и методы исследования операций: Учебник. – М.: ЮНИТИ�ДАНА, 2008. – 386 с.

2. Колемаев В. А., Соловьев В. И., Бушуев А. Ю. и др. Практикум по ис�следованию операций в экономике: Учебное пособие. – М.: Вега�Инфо, 2008. – 208 с.

3. Соловьев В. И. Математика в экономической деятельности: Учебное пособие. – М.: Дрофа, 2008.

4. Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная матема�тика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА�М, 2001. – 256 с.

5. Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. Высшая математика: Ма�тематическое программирование: Учебник. – Минск: Вышэйшая школа, 2001. – 351 с.

6. Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. и др. Сборник задач и уп�ражнений по высшей математике: Математическое программирование: Учеб�ное пособие. – Минск: Вышэйшая школа, 2001. – 447 с.

Д о п о л н и т е л ь н а я 7. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и зада�

чах. – М.: Высшая школа, 1986. – 319 с. 8. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.

– М.: ИНФРА�М, 2003. – 326 с. 9. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. – М.: Факториал, 2002. – 824 с.

19

10. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Советское радио, 1972. – 552 с.

11. Вентцель Е. С. Исследование операций: Задачи, принципы, методо�логия. – М.: Дрофа, 2004. – 208 с.

12. Зайцев М. Г. Методы оптимизации управления для менеджеров: Компьютерно�ориентированный подход. – М.: Дело, 2002. – 304 с.

13. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Фридман М. Н. и др. Исследование опе�раций в экономике. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 407 с.

14. Карандаев И. С. Решение двойственных задач в оптимальном плани�ровании. – М.: Статистика, 1976. – 88 с.

15. Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование. – М: Высшая школа, 1980. – 300 с.

16. Дубров А. М., Лагоша Б. А., Хрусталев Е. Ю., Барановская Т. П. Мо�делирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. – М.: Финансы и ста�тистика, 2001. – 224 с.

17. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимиза�ции. – м.: Наука, 1978. – 352 с.

18. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.

19. Соловьев В. И. Математические методы управления рисками. – М.: ГУУ, 2003. – 100 с.

20. Соловьев В. И. Обобщенный принцип максимума как необходимое ус�ловие оптимальности в распределенной задаче оптимального управления с ограничениями в частных производных // Обозрение прикладной и промыш�ленной математики. – 2004. – Т. 11. – № 1. – С. 229–230.

21. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в эко�номике: Учебник: В 2�х ч. Ч. 1. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 224 с.

22. Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 912 с.

П р и л о ж е н и е 1 . Исходные данные для линейной производственной задачи

Вариант 1. 45 60 21 14 3 6 3 0 180 6 2 0 6 210 2 3 5 7 112

Вариант 2. 30 11 45 6 3 2 6 0 150 4 2 3 5 130 4 3 2 4 124

Вариант 3. 35 41 22 12 2 2 3 4 151 3 1 0 2 156 1 4 4 0 162

Вариант 4. 59 27 20 35 1 3 2 2 102 3 2 0 3 204 4 2 3 1 188

Вариант 5. 34 32 28 36 2 4 5 3 128 3 0 4 1 130 3 5 0 2 142

Вариант 6. 27 10 9 8 3 5 0 6 144 2 0 1 0 130 1 4 2 3 140

Вариант 7. 36 32 10 13 2 3 4 1 103 4 2 0 2 148 2 8 7 0 158

Вариант 8. 48 30 29 10 3 2 4 3 198 2 3 1 2 96 6 5 1 0 228

Вариант 9. 38 12 28 21 3 0 3 3 186 2 3 1 1 102 4 3 2 2 196

20

Вариант 0. 30 28 9 23 1 0 2 5 110 3 6 0 4 126 2 4 1 3 114

П р и л о ж е н и е 2 . Исходные данные для транспортной задачи

Вариант 1. Вариант 5. Вариант 9. 45 60 21 24 36 32 40 53 48 75 41 32 50 3 6 3 1 40 2 3 4 1 90 4 1 3 1 70 6 2 1 6 60 4 2 1 2 75 4 1 3 2 40 10 3 5 7 70 2 7 7 1 40 5 2 3 5 Вариант 2. Вариант 6. Вариант 0. 30 11 45 36 48 30 29 40 28 44 31 20 50 3 2 6 7 40 3 6 4 3 50 4 2 2 6 70 7 8 3 5 45 2 3 1 3 40 5 3 2 7 30 4 3 4 6 70 6 5 1 4 42 1 4 3 2 Вариант 3. Вариант 7. 35 41 52 32 38 42 28 41 70 2 2 3 2 60 3 2 4 3 80 4 1 5 2 50 5 3 1 4 47 6 4 6 3 48 4 3 6 1 Вариант 4. Вариант �8. 59 27 40 35 60 32 44 57 45 1 3 2 2 50 3 2 4 1 55 3 2 4 3 90 4 6 5 2 70 4 2 3 1 60 9 4 10 6

П р и л о ж е н и е 3 . Исходные данные для динамической задачи распределения инвестиций

Вариант 1. ξ 0 100 200 300 400 500 600 700

f1 (ξ) 0 20 44 55 63 67 70 70

f2 (ξ) 0 18 29 49 72 87 100 108

f3 (ξ) 0 25 41 52 74 82 88 90

f4 (ξ) 0 30 52 76 90 104 116 125

Вариант 2. Вариант 4. 0 15 24 30 36 40 43 45 0 5 10 14 17 19 21 22 0 18 26 34 39 42 44 46 0 8 13 18 21 23 21 17 0 16 27 37 44 48 50 56 0 10 16 21 24 27 29 30 0 10 17 23 29 34 38 41 0 11 19 26 30 33 35 36

Вариант 3. Вариант 5. 0 42 58 71 80 89 95 100 0 28 45 65 78 90 102 113 0 30 49 63 68 69 65 60 0 25 41 55 65 75 80 85 0 22 37 49 59 68 76 82 0 15 25 40 50 62 73 82 0 50 68 82 92 100 107 112 0 20 33 42 48 53 56 58

21

Окончание прил. 3 Вариант 6. Вариант 9. 0 37 64 87 105 120 134 145 0 28 42 51 57 61 64 66 0 48 75 98 120 132 144 156 0 20 27 30 31 32 32 33 0 85 100 111 118 124 129 132 0 8 26 37 47 53 58 61 0 47 70 80 86 91 94 98 0 5 20 29 36 41 45 47 Вариант 7. Вариант 0. 0 10 20 30 38 43 49 52 0 5 10 14 17 19 21 22 0 13 25 37 47 55 61 66 0 20 34 45 50 48 40 40 0 6 13 20 27 33 38 41 0 15 24 30 38 46 52 53 0 24 36 42 46 48 48 49 0 26 30 35 40 45 48 50

Вариант 8. 0 3 5 7 8 9 10 10 0 5 8 10 12 13 14 15 0 8 13 17 20 23 25 27 0 6 10 13 15 16 16 16

П р и л о ж е н и е 4 . Исходные данные для динамической задачи управления производством и запасами

Вариант d1 d2 d3 a b c h1 h2 h3 y1

1 5 6 7 2 3 4 4 3 2 2 2 3 2 3 1 2 2 4 3 2 3 3 5 2 3 2 2 2 4 5 6 4 4 2 3 3 2 3 4 3 2 2 2 5 3 2 3 1 3 2 4 3 2 1 6 3 2 4 5 1 0 3 3 3 2 7 3 2 4 8 1 1 1 0 1 0 8 6 2 4 3 4 3 2 1 3 1 9 5 4 3 4 4 4 5 0 4 2 0 7 3 4 2 1 3 2 5 7 4

П р и л о ж е н и е 5 . Исходные данные для задач оптимизации на графах

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0i 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4j 8 7 6 5 4 3 2 7 8 8

П р и л о ж е н и е 6 . Исходные данные для матричной игры Вариант 1. Вариант 4. Вариант 7. Вариант 9.

1 2 4 52 3 2 3−⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1 2 4 52 3 2 5

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2 2 4 52 1 2 3

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1 2 4 02 0 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Вариант 2. Вариант 5. Вариант 8. Вариант 0. 1 2 4 02 0 2 3

− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 2 4 32 1 2 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1 2 4 02 0 2 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

3 2 4 32 1 2 3

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Вариант 3. Вариант 6. 1 2 4 32 1 2 3

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 3 5 02 0 2 5

− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

22

П р и л о ж е н и е 7 . Исходные данные для задачи принятия решений в условиях неопределенности

Последствия от реализации проектов 1. 0 8 16 20 6. 2 12 18 22 11. 0 8 12 20 2. 0 4 10 14 7. 2 6 12 20 12. –6 –5 –4 3 3. 0 4 5 20 8. 2 6 8 22 13. 0 2 4 16 4. 0 4 8 32 9. –6 –4 –2 10 5. 0 8 12 24 10. –6 –2 0 6

Вероятности интервалов курса валюты 1. 1/2 1/8 1/8 1/4 5. 1/2 1/8 1/8 1/4 9. 1/2 1/4 1/8 1/8 2. 1/4 1/4 1/4 1/4 6. 1/4 1/4 1/4 1/4 0. 1/4 1/4 1/3 1/6 3. 1/2 1/4 1/5 1/20 7. 1/2 1/4 1/5 1/20 4. 1/5 1/5 1/5 2/5 8. 1/3 1/3 1/6 1/6

В варианте с номером n необходимо выбрать проекты с номерами n + 1, n + 2, n + 3, n + 4 из числа приведенных выше, после этого нужно выбрать набор вероятностей интервалов курса валюты.

П р и л о ж е н и е 8 . Исходные данные для задачи оптимизации по Парето

1. (0, 1/2)(2, 1/4) (4, 1/8) (16, 1/8) 8. (2,1/2) (4,1/4) (6,1/8) (18,1/8) 2. (0, 1/4) (4, 1/4) (6, 1/3) (12, 1/6) 9. (2, 1/4) (6, 1/4) (8, 1/3) (14, 1/6) 3. (0, 1/3) (1, 1/3) (2, 1/6) (8, 1/6) 10. (2, 1/3) (3, 1/3) (4, 1/6) (10, 1/6) 4. (0, 1/5) (4, 1/5) (6, 1/5) (10, 2/5) 11. (2, 1/5) (6, 1/5) (8, 1/5) (12, 2/5) 5. (0, 1/5) (1, 2/5) (5, 1/5) (14, 1/5) 12. (2, 1/5) (4, 2/5) (6, 1/5) (18, 1/5) 6. (0, 1/2) (8, 1/8) (16, 1/8) (20, 1/4) 13. (2, 1/2) (12, 1/8) (18, 1/8) (22, 1/4) 7. (0, 1/4) (4, 1/4) (10, 1/4) (14, 1/4)

В варианте с номером n необходимо выбрать операции с номерами n + 1, n + 2, n + 3, n + 4 из числа приведенных выше (для каждой операции компактно записан ряд ее распределения: первое число в скобках означает возможное значение эффективности операции, а второе — ве�роятность соответствующего значения). Например, первая операция имеет эффективность, описываемую таким рядом распределения:

1 0 2 4 16

1/2 1/4 1/8 1/8

E

p.