Tentukan a2 +b2 +c2 +d2 jika 1 8 1 8 3 8 5 8 7 1 6 1 6 3 6 5 6 7 1 4 1 4 3 4 5 4 7 1 2 1 2 3 2 5 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

  • View
    250

  • Download
    3

Embed Size (px)

Transcript

  • 301. Jika 10,,, =+++> dcbadandcba . Buktikan 161111 +++dcba

    Jawab :

    164414

    41111

    11111111+++

    +++

    ++++++ dcba

    dcbadcba

    dcba

    302. Jika a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan real positif, tunjukkan bahwa

    4+++ad

    dc

    cb

    ba

    Jawab :

    414

    ...4

    4 ++++++

    +++

    ad

    dc

    cb

    baa

    ddc

    cb

    ba

    ad

    dc

    cb

    baa

    ddc

    cb

    ba

    303. Diketahui akar-akar persamaan 0543 23 =++ xxx adalah a, b dan c. Tentukan nilai 333 cba ++

    Jawab :

    ( ) ( )

    543543543

    543054314.232

    414

    313

    23

    23

    23

    2323

    22222

    ==

    ===++

    ==++++=++

    ===++

    ===++

    cccbbbaaa

    xxxxxxbcacabcbacba

    acbcacab

    abcba

    +( ) ( ) 24153.41.31543 222333 ==++++=++ cbacbacba

    304. Diketahui akar-akar persamaan 08 234 =++ cbxaxxx membentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Tentukan nilai a, b dan c !Jawab :Misal akar-akar persamaan : 6,4,2, 4321 +=+=+== pxpxpxpx

    ( ) ( ) ( )

    ccxxxxbbbxxxxxxxxxxxx

    aaaxxxxxxxxxxxxxxxxMaka

    pppppxxxx

    ====+=+++

    ==+++=+++++====

    ==++++++=+++

    158151553

    1415535315,3,1,1

    186428

    4321

    432431421321

    434232413121

    4321

    4321

    305. Diketahui dan merupakan dua akar persamaan 013 =+ xx . Tunjukkan bahwa merupakan akar-akar persamaan 0123 =+ xx Jawab :Misal akar-akar persamaan 013 =+ xx adalah dan, maka :

    ( )

    ( ) 0111:)1()2(

    )2.......(11

    )1.....(11

    0

    22

    2

    =+=

    ==

    ==++=++

    =+==++

    keSubstitusi

    ac

    ab

    Jadi merupakan akar-akar persamaan 0123 =+ xx

  • 306. Tentukan 2222 dcba +++ jika

    178583818

    176563616

    174543414

    172523212

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    =

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    dcba

    dcba

    dcba

    dcba

    Jawab :

    Sistem persamaan di atas memenuhi persamaan 17531 22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    +

    + x

    dxc

    xb

    xa

    dengan akar-akar 242

    32

    22

    1 86,4,2 ==== xdanxxx .( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )

    ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )

    3675318642

    0.......75310531731

    7517537531

    7531531731751753

    2222

    222222222222

    4321

    3222222224

    22222222

    222222222222

    22222222

    222222222222

    =+++

    +++++++=+++

    =+++

    =++++++++=

    =+++

    dcbadcba

    abxxxx

    xdcbaxxxxdxxxc

    xxxbxxxaxxxx

    xxxxxxxdxxxcxxxbxxxa

    307. Diketahui a, b dan c bilangan real positif. Buktikan bahwa ( )cbaabcaccbba ++++ 222222

    Jawab :

    ( )cbaabcbcaabcacb

    cbabaccab

    accbbaaccbbaaccbba

    ++++

    +++++=

    +++++=++

    )2()2()2(

    )()()(

    )()(

    2212

    212

    21

    22221222

    21222

    21

    22222221222222

    21222222

    308. Diketahui a, b dan c bilangan real positif dan a+b+c = 1. Tunjukkan bahwa

    31++ acbcab

    Jawab :( )

    bccbaccaabba

    bcacabcbabcacabcba

    cba

    222

    )1.......(22211222

    1

    22

    22

    22

    222

    222

    2

    +++

    =++=+++++

    =++

    +( )

    312221)1(

    2222 222222

    ++++

    ++++++++

    bcacabbcacabbcacabDari

    bcacabcbabcacabcba

  • 309. Jika a, b, c dan d bilangan positif, maka tunjukkan bahwa ( ) ( ) cdabdbca +++Jawab :

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) cdabdbcacdabdbca

    abcdcdabdbca

    Daribcadcdabdbca

    abcdbcadbcad

    +++

    +++

    ++++

    +++=+++

    2

    2

    2

    :)1(

    )1......(20

    310. Jika a dan b bilangan real positif, tunjukkan bahwa 333

    22

    ++ baba

    Jawab :( ) ( ) ( )

    ( )333

    333

    223333

    332233

    22332233

    22

    22

    8:44

    3344

    )(3333

    000

    ++

    ++

    ++++

    ++++

    ++++

    baba

    baba

    abbababa

    baabbaba

    abbabaabbababababa

    311. Diketahui x, y dan z adalah bilangan real positif sedemikian hingga x+y+z = 1. Buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) xyzxzzxzyyzyxxy 4222 +++++Jawab :

    xyzxyzzxyyzxxyzyzxzxyxyzxyzzxyyzxyzxzxy

    xyzxyzzxyyzxyzxzxy

    zyx

    zyx

    zyx

    zyx

    zyxzyxzyx

    4610

    10

    10

    101

    93313

    3

    222

    222

    222

    111

    111

    111111111

    ++++++++++

    +++++

    +++++

    +++

    ++++

    ++

    ++

    ( ) ( ) ( ) xyzxzzxzyyzyxxy 4222 +++++

    312. Diketahui a, b dan c bilangan positif dan (1+a) (1+b) (1+c) = 8. Buktikan bahwa 1abcJawab :(1+a) (1+b) (1+c) = 81 + (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc

    ( ) ( )( )( )

    ( )( )

    11

    21

    81

    8331

    31

    31

    31

    32

    31

    3

    +

    +

    +++

    abcabc

    abc

    abc

    abcabcabc

  • 313. Diketahui a, b, c dan d bilangan real positif dan a+b+c+d = 1. Buktikan bahwa 614141414

  • Jawab :( )

    ( ) ( ) ( )( )( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) )2.........(444

    222

    222...222

    )1.........(333

    222

    222222

    2

    2

    2222

    2

    2

    222122

    2122

    21

    2222

    bcacabcba

    bcacabbaccabcbacba

    bcacabccbbaabcacabcbacba

    bcacabcba

    bcacabbcacabcba

    bcacabcbcababcacabcbacba

    ++

  • Jawab :

    212111

    111)1(

    212)1(

    321

    323121

    321

    3

    333321

    3

    232323121

    ==++=++

    ===

    ===++

    xxxxxxxxx

    xxx

    aaxxx

    aaxxxxxx

    320. Akar-akar persamaan 014 23 =++ qpxxx merupakan deret geometri dengan rasio 2. Tentukan nilai p dan q yang memenuhi !Jawab :Misal akar-akar tersebut adalah axaxax 4,2, 321 ===

    648.4.2

    56321681

    8,4,2

    2144214114

    321

    323121

    321

    321

    ===

    ==++=++

    ===

    ==++==++

    qqqxxx

    pppxxxxxx

    xxxBerarti

    aaaaxxx

    321. Jika dan akar-akar persamaan ( )Rbabaxx =+ ,02 . Bentuklah persamaan

    kuadrat yang akar-akarnya

    33 dan

    Jawab :

    ( ) ( ){ } ( )

    ( )

    ( ) 2233

    22422233

    222222224433

    .

    2422

    222

    b

    bbbaa

    bbba

    bdana

    ==

    +==+

    +=+=+=+

    ==+

    Jadi persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah :

    ( ) 024024 322422224

    2 =++=+

    + bxbbaabxataubxb

    bbaax

    322. Jika a, b dan c adalah akar-akar persamaan kubik 0532 23 =+ xxx . Tentukan

    persamaan kubik yang ketiga akarnya c

    danba

    11,1

    Jawab :

    5211153111

    515

    313

    212

    =++=++

    =++=++

    ==

    ==++

    ==++

    abccba

    bcacab

    abcbcacab

    cba

    abc

    bcacab

    cba

    Persamaan kubik yang dimaksud adalah :

  • 01235

    051)()(

    01111111

    0111

    23

    522

    533

    23

    =+

    =+

    =

    +++

    ++

    =

    xxx

    xxx

    abcx

    bcacabx

    cbax

    cx

    bx

    ax

    Catatan :1. Keterbagian

    a habis dibagi b ditulis b/aa tidak habis dibagi b ditulis b/aSifat-sifat keterbagian :1. a/b dan b/c maka a/c2. ab/c maka a/c dan b/c3. a/b dan a/c maka a/(ax+by) dimana x,y B

    A. Keterbagian oleh n21. Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhirnya habis dibagi 22. Suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirnya habis dibagi 43. Suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 angka terakhirnya habis dibagi 8

    B. Keterbagian 3, 9, 11Misal bilangan 0121 ........ aaaaaa nnn =1. Bilangan a habis dibagi 3 jika ( )0121 ..... aaaaa nnn +++++ habis dibagi 32. Bilangan a habis dibagi 9 jika ( )0121 ..... aaaaa nnn +++++ habis dibagi 93. Bilangan a habis dibagi 11 jika ( )0121 ..... aaaaa nnn habis dibagi

    11

    323. Bilangan berangka enam a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b !Jawab :72 = 8 x 9 maka 8/a1989b sehingga 8/89b atau b = 6 9/a1989b sehingga 9/(a+1+9+8+9+6) atau 9/(33+a) atau a = 3

    324. Tentukan semua pasangan-pasangan bilangan asli a dan b sehingga 199122 = baJawab :(a-b)(a+b) = 1.1991 atau (a-b)(a+b) = 11.181a+b = 1991 a+b = 181a-b = 1 a-b = 11Maka a = 996 dan b = 995 maka a = 96 dan b = 85

    Catatan :Bilangan Kuadrat1. Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6 dan 92. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 13. Jika p bilangan prima dan p/ 2n maka 22 / np

    325. Carilah suatu bilangan kuadrat sempurna yang angka-angkanya berturut-turut adalah : k(k+1)(k+2)(3k)(k+3)

    Jawab :1. Angka pertama k yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,92. Angka keempat 3k yang mungkin adalah 0,1,2,3Dari (1) dan (2) maka k yang mungkin adalah 1,2,3Bilangan kuadrat yang mungkin adalah 12334, 23465 atau 3459612334 dibagi 4 sisa 2 , jadi 12334 tidak mungkin23465 dibagi 5 adalah 4693 tidak dapat lagi dibagi 5, jadi 23465 tidak mungkin34596 = 222 3132 xx merupakan bilangan kuadrat yang dimaksud.

    Catatan :

  • Bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo n ditulis a b(mod n) jika a dan b memberikan sisa yang sama jika dibagi oleh n.

    326. Jika a dan b k

Recommended

View more >