Upload
dane
View
217
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 1/13
Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPTThành phố Hồ Chí Minh CẤP THÀNH PHỐ
________________ Năm học 2011 2012 (khoá ngày 14/3/2012)MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút ________________
ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1. (4 điểm)
Giải các phương trình sau : a) sin 2 cos2 tan 2 x x x
b)3
sin 2 sin4
x x
Bài 2. (4 điểm)
Giải các phương trình sau :a)
33 2 2
10 2 7 23 12 x x x x x
b)2
(3 2) 2 3 2 3 6 x x x x Bài 3. (4 điểm)
a) Cho 3 số dương , ,a b c thoả điều kiện 1abc . Chứng minh :
1 1 11
1 1 1a b b c c a
b) Cho các số thực , , 1;2a b c và 0a b c . Chứng minh :
2 2 2
6a b c Bài 4. (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh đều bằng a . Gọi M là một điểm trên cạnh
CD sao cho1
.3
CM CD Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AMB
Bài 5. (2 điểm)
Cho các số thực , , (0;1) x y z và 1. xy yz zx Chứng minh
2 2 2
3 3
1 1 1 2
x y z
x y z
Bài 6. (3 điểm)
Giải hệ phương trình :
2 2 2
2 2 2
2 4 7
2 6 3
x y y xy
x y y xy
HẾT
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 2/13
Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPTThành phố Hồ Chí Minh CẤP THÀNH PHỐ
________________ Năm học 2012 2013 (khoá ngày 14/3/2013)MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút ________________
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1. (4 điểm)Giải các phương trình :
a)2
8( 3) 1 22 7 0 x x x x b)
2 2
sin (4 cos 1) cos (sin cos sin3 ) x x x x x x Bài 2. (4 điểm)
Giải hệ phương trình :
2
2
2
1
16 1
xy y x x
xy y
x y y y x
Bài 3. (3 điểm)
Cho 3 số dương , ,a b c thoả điều kiện 2 2 2
3a b c . Chứng minh rằng:
1 1 1 32 2 2a b c
Bài 4. (3 điểm)
Tìm mđể phương trình:4 3 2
( 1) 2 1 0 x mx m x x không có nghiệmthực.
Bài 5. (4 điểm)
Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a . Gọi M là trung điểm củaCD.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC. b) Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AMC
Bài 6. (2 điểm)
Tính:1 0 2 1 3 2 4 3 2011 2010 2012 2011
2011 2011 2011 2011 2011 20112 2 2 2 2 2
...
1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012 2012.2013
C C C C C C A
HẾT
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 3/13
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2011 – 2012 (Ngày thi 14/3/2012)
Bài 1 : a/ sin2x + cos2x + tanx = 2 (1) đ/k : cosx 0
Cách 1 :2 2
2 2 2 2
2sin cos cos sin(1) tan 2
cos sin cos sin
x x x x x
x x x x
2
2 2
2 tan 1 tantan 2
1 tan 1 tan
x x x
x x
Đặt tanx = t t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0 (t – 1)3 = 0 t = 1
tanx = 1 4
x k
, k z
Cách 2 : Do cosx = 0 không là nghiệm đặt t = tanx ta có :
2
2sin2
1
t x
t
,
2
2
1cos2
1
t x
t
Phương trình trở thành t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0 (t – 1)3 = 0 t = 1
b/ 3sin 2 sin
4 x x
. Ta có :
1sin sin cos
4 2 x x x
33 1
sin sin cos4 2 2
x x x
Pt (sinx – cosx)3 = 4sinx(sin2x + cos2x) = 4sin3x + 4sinxcos2x
sin3x – 3sin2xcosx + 3sinxcos2x – cos3x = 4sin3x + 4sinxcos2x
3sin3x + sinxcos2x + 3sin2xcosx + cos3x = 0
cosx = 0 không thỏa phương trình 3tan3x + 3tan2x + tanx + 1 = 0
tanx = – 1 4
x k
(k z)
Bài 2 :
a/33 2 2
10 2 7 23 12 x x x x x
Cách 1 : 33 2 2 26 13 10 7 23 12 7 23 12 pt x x x x x x x
3 3 2 2
2 2 7 23 12 7 23 12 x x x x x x
Xét f(t) = t3 + t f ’(t) = 3t2 + 1 0 tR f(t) đồng biến trên R
3 2
( 2) 7 23 12 f x f x x
3 2
7 23 12 2 x x x
4
3 5
2
3 52
x
x
x
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 4/13
Cách 2 : Đặt3 2
2
7 23 12
u x
v x x
3 2
3 2
7 22 10
7 22 10
u x x v
v x x u
3 3u v v u 2 2
1 0u v u uv v
2 2 2
1 0 ( 3 4 0)u vu uv v voâ nghieäm vì v
3 2
2 7 23 12u v x x x (Cách giải giống trên)
b/ 23 2 2 3 2 3 6 x x x x
Cách 1 : Đặt2
32 3 0
2
t x t x
Phương trình trở thành t4
– 3t3
+ 9t2
– 13t + 6 = 0 t = 1 x = 2Cách 2 : Đặt 2 3 0 x t phương trình 2 2
3 2 2 3 x t x x t
2 22 2 2 3 0t x t x x ,
228 16 4 0 x x x
2 3
1
t x
t x
Với2
2 3 02 3 2 3 2 3
2 3 4 12 9
xt x x x
x x x
2
3
24 10 12 0 /
x
x x v n
Với2
1 01 2 3 1
2 3 2 1
xt x x x
x x x
2
12
4 4 0
x x
x x
Bài 3 :
a/ a, b, c 0 thỏa abc = 1. Chứng minh :1 1 1
1 (1)1 1 1a b b c c a
.
Đặt a = x3
, b = y3
, c = z 3
với xyz = 1
3 3 3 3 3 3
1 1 11
x y xyz y z xyz x z xyz
Ta có : x3 + y3 xy(x+y) thật vậy x3 + y3 xy(x+y) x2 – xy + y2 xy
x2 – 2xy + y2 0 (x – y)2 0 đúng. x3 + y3 + xyz xy(x + y) + xyz = xy(x + y + z)
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 5/13
Tương tự :
3 3
3 3
3 3
1 1
1
1
z
x y z xy x y z x y xyz
x
x y z y z xyz
y
x y z x z xyz
cộng vế với vế
3 3 3 3 3 3
1 1 11
x y xyz y z xyz x z xyz
đpcm
b/ a, b, c [ – 1; 2] và a + b + c = 0. Chứng minh : a2 + b
2 + c
2 6
a [ – 1; 2] a – 2 0 , a + 1 0 (a – 2)(a + 1) 0 a2 a + 2
Tương tự : b2 b + 2 , c2 c + 2
a2 + b2 + c2 a + b + c + 6 = 6 đpcm
Bài 4 :
Gọi O là hình chiếu của S trên ABCD.Từ GT ABCD là hình vuông, O là tâm
của hình vuông. Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho AC Ox , BD Oy , SO z
2 2 2
;0;0 , 0; ;0 , ;0;02 2 2
a a aC B A
2
22 2 2 22 2 2
0;0;2 2 2 2
a a a a
SO SC OC a a S
2 2; ;0
3 6
a a M
, Gọi I là tâm của cầu ngoại
tiếp chóp S.AMB.Giả sử I (x,y,z) Ta có :2
2 2 2 2
22 2 2 2
22 2 2 2
2 22 2 2 2
22
22
22
2 2 2 36
9 3 2
a IA x a x y z
a
IB x y a y z
a IS x y a z z
a a a IM x x a y y z
MO
D
B C
A
Sz
y
x
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 6/13
2
7
15 2 9 67
15 2 9 62 2 7
723 9
15 2 9 6
a x
IA IB x ya
IA IS x z y
IA IM a x aaa x a y
z
Tâm I và R.
Bài 5 : x, y, z (0, 1) và xy + yz + zx = 1
Chứng minh :2 2 2
3 3
21 1 1
x y z
x y z
Cách 1 : Xét hàm số f(t) = t – t3 t (0,1) f ’(t) = 1 – 3t2
f’(t) = 0
3t
2
= 1
1
3t
Bảng biên thiên
2 3
9 f t đẳng thức xảy ra
1
3t
Với x = t
22 2
2
2 3 1 9 3 31
9 22 31 1
x x x x
x x x x
2
2
2 391
x x x
. Tương tự 2
2 23 3 3 3,
2 21 1
y z y y z
Cộng vế với vế
2 2 2
2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 21 1 1
x y z x y z xy yz zx
x y z
Đẳng thức xảy ra 1
3 x y z
Cách 2 :
2 2 22
2 232 1 12
2 13 3
x x x x x
t
f '(t)
f(t)
1 0
+ 0
2 3
9
1
3
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 7/13
2
2 2 2 28 42 1 1 x x x x
2 2
2
2 3 31
23 3 1
x x x x
x
Tương tự :
2 2
2 2
3 3 3 3,
21 1
y z y z
y z
Cộng vế với vế đpcm.
Cách 3 : Đặt tan , tan , tan tan , tan , tan 0;12 2 2 2 2 2
A B C A B C x y z
A, B, C là 3 góc của 1 tam giác 00 A, B, C 90
0
bđt tan tan tan 3 3 (*) A B C
Theo côsi ta có 3tan tan tan 3 tan .tan .tan A B C A B C
3tan tan tan 27 tan tan tan A B C A B C
(Vì tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC) tan tan tan 27 3 3 A B C đpcm.
Cách 4 : Ta luôn có2
6 3(*)
21
x x
x
Thật vậy 2(*) 2 6 3 1 x x x
2
36 3 3 0
3 x x
đúng
Tương tự cộng vế với vế :
6 3 3 36 3 3 3 3
2 2 2
xy xz yz x y zVT
Cách 5 : Ta luôn có :
2
1 3 3(1) 0;1
21 x
x x
Thật vậy : 2
2 2 221 1 1
273 3 x x x x
3
2 2 22 2 21 1 2 1 1 42 1 12 2 3 27
x x x x x x đúng.
2
22
1 3 3 3 3
2 11
x x
x x x
Tương tự : 2 2
2 2
3 3 3 3,
2 21 1
y z y z
y z
. Cộng vế với vế đpcm.
Bài 6 :
2 2 22 2 2
2 22 2 2
4 4 2 32 4 7
2 3 22 6 3
x y xy y xy x y y xy
x y y xy x y y xy
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 8/13
2 2
2 2
2 3 2 (1)
22 (2)
3
xy xy y
x y xy
y
(do y = 0 không là nghiệm)
Từ (1) và (2)
2
2 2 22 3 23
x y xy y y
.Vì y 0 chia 2 vế cho y2 ta được
22 2 2
2 2
2 3 2
3
x y xy y
y y
22
1 23 2
3 3
x x
y y
Đặt
22
4 223 2 4 27 22 0
3 3
x t t t t t t
y
21 2 3 11 0t t t t
1
2
t
t
Với 1 1 x
t x y y
Thay vào (1) 2
2 2 22 3 2 x x x
2
2 22 x x
2 2
2 2
1
2 2 0 2
12 2 02
x
x x x x x
x x x x x x
nghiệm của hệ : ( – 1, 1) , (2, 2) , (1, 1) , ( – 2, – 2)
Với 2 2 2 x
t x y y
thay vào (1)
1 5
2
1 5
2
y
y
1 5
1 5
x
x
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 9/13
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012 – 2013 (Ngày thi 14/3/2012)
Bài 1 : Giải phương trình
a) 28 3 1 22 7 0 1 x x x x
Cách 1:
2
2
3 01 3 4 1 0 3 4 1
6 9 16 16
x x x x x
x x x
2
3 35
510 25 0
x x x
x x x
Cách 2 :
Đặt 1 0 x t t
4 3 21 8 24 32 16 0t t t t 2 2
2 4 4 0 2t t t t
Với t = 2 1 2 5 x x
b) 2 2sin 4 1 cos s cos sin3 x cos x x inx x x
sin 4 4 1 2 sin 4 14
x cos x x
4 22 8 24 4sin 4
34 24 2
4 4 4 2
k x x k
x k k
x k x
Bài 2 :
2
2
2
11
16 1 2
xy y x x
xy y
x y y y
x
Điều kiện:
2
0
10
1 0
x
y x
xy y
3 2 2 21 0 x y x y x xy x y
20 1 0 x y x y x y x x y x y x y x
2
3
1 0 4
x y
x y x
x = y thay vào (2) 2 16 1 1 6 x x x x x x x x
x x
1 1 16 x x x
x x x
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 10/13
Đặt
2 2 31
0 6 6 02
t L x t t t t t
t N x
Với t = 2 21 2 34 4 1 0
2 3
x x x x
x x
Nghiệm của hệ 2 3,2 3 , 2 3,2 3
22
22
1 11 0
116 1
6 1
y x y x x x
x y y y x y y y x
x
vô nghiệm vì2
10 0 x
x
Bài 3 : , , 0a b c thỏa 2 2 23.a b c Chứng minh
1 1 13
2 2 2a b c
Cách 1: Từ giả thiết0 2
0 2
0 2
a
b
c
(*)
Xét hàm số: 22 0 f t t t t
, ' 2 2 0 1 f t t t
BBT:
Từ BBT 1 0 f t t .Đẳng thức xảy ra 1t
Áp dụng cho , ,a b c ta có:2
2 2 2
22 1 ( *)
22
aa a a do a
aa a
Tương tự 2
2
bb
b
,
2
2
cc
c
Cộng vế với vế ta được
2 2 23
2 2 2
a b ca b c
a b c
1 1 1 6
2 2 2
a b c
a b c
2 2 2 1 1 1
6 32 2 2 2 2 2a b c a b c
(đpcm).
Đẳng thức xảy ra 1a b c
Cách 2:
Ta có 2
2 2 2 2
21 0 2 1 0 2 1
2
aa a a a a a
a a
t
f'(t)
f(t)
1
0
+
1
0
+
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 11/13
Trở lại cách giải bên trên
Bài 4: Tìm m để pt 4 3 21 2 1 0 x mx m x x không có nghiệm thực
4 3 2 22 1 0 x mx mx x x
24 21 1 0 x x x m x
Pt không có nghiệm thực 1 x
24 2 2 2
21 0 1 0
1 1 11
x x x x pt m m
x x x x
Đặt 2
;0 4;1
xt t
x
. Ta được 2
2 11 1
t t mt m
t
Đặt 2 2
2
1 1, ' 0 1
t t f t f t t
t t
BBT
Pt không có nghiệm thực17
24
m
Bài 5:Gọi O là tâm của đáy SO ABCD
, ,2 2
a aOM MC SC a
2 2
2 2 34 4a aSM a
2 2 22 3 2 2
4 4 4 2
a a a aSO SO
Cách 1: a) Từ C dựng đường thẳng song song AM
cắt AB tại M’
M’A = M’B,2
2 5'
4 2
a a M C a
Dựng ' 'OE M C SE M C ( đl3 đường vuông góc)
I K
M'M
O
D
B
C
A
S
E
F
z
t
f '(t) + +
f(t)
1
0+
0
0
1
2
4
+
+
17
4
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 12/13
Dựng 'OF SE OF SM C OF SC
' 'OF M C doM C SOE mà ' '/ / , M C AM d AM SC OF
.' ' . 2 2
' ' 5 2 5
2
a a
OE M O M O MC aOE
MC M C M C a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 20 4 22 22
222
aOF
OF OE SO a a a
b) Gọi K là trung điểm của CM , qua K kẻ đường thẳng song song BC cắt BD tại I I
là tâm đường tròn ngoại tiếp AMC ( vì , IK MC IO AC )
IA = IC = IM mà 2 2 2 IC IK KC
2 2 2 223 3 9 5
4 4 16 16 8
a a a a IK BC IC
22 2 2 2
2 2 2 2 2 2 5
4 4 4 8 8
a a a a a IS SO IO
5 10
48
a a IS IC R
Cách 2: a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho , , AC Ox BD Oy OS Oz
2 2 2 2 20,0,0 , ,0,0 , 0,0, , , ,0 , ,0,02 2 4 4 2
a a a a aO A S M C
2 2 3 2 2 2,0, , , ,0 , ,0,0
2 2 4 4 2
a a a a aSC AM AC
2 2 2 3
3 2, , , , .
4 4 4 8
a a a aSC AM SC AM AC
33
24 4 4
2 2, . 8 228,
2211, 9
416 16 16
a aSC AM AC
ad AM SC
aSC AM a a a
b) Gọi I(x,y,z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD
Ta có:2 2
, , , , ,2 2
a a AI x y z SI x y z
2 2 2, , , , ,
4 4 4
a a a MI x y z CI x y z
8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)
http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 13/13
2 2
2 22 2
2 2
2 2 0
22 2 2
2 4 402 2
a x a z x AI SI
a a a AI MI a x a x a y y
AI CI za x a x
2 40 100, ,0 ,4 8 4
a a a I AI R
Câu 6:
Xét 2011 0 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 20111 ... f x x C C x C x C x C x
2011 0 1 2 2 3 3 2011 20112011 2011 2011 2011 2011
1 11 ...
2 2g x x x x C C x C x C x C x
2 2 2 22011 20111
12
f x dx g x dx x dx x x dx