ΕπιχειρησιακήΈρευνα Προγραμματισμός …tsantas/DownLoadFiles/OR_ProjectScheduling.pdf · 6 Παράδειγμα: Frank’s Fine Floats ΑμέσωςΠροηγ

1

Επιχειρησιακή ΈρευναΠρογραμματισμός – ∆ιαχείριση Έργων

Νίκος ΤσάνταςΤμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος 2007-08

ΠρογραμματισμόςΠρογραμματισμός –– ΔιαχείρισηΔιαχείριση ΈργωνΈργων

ΕΡΓΟ (πέρα από κάθε μεγάλη τεχνική κατασκευή) θεωρείται ηδιαδικασία υλοποίησης (πρωτότυπων) «προϊόντων» όπως,η παροχή υπηρεσιών, ο σχεδιασμός αναπτυξιακώνπρογραμμάτων, η ανάπτυξη και το πλασάρισμα ενός νέουπροϊόντος ή μιας νέας υπηρεσίας, οι εργασίες συντήρησηςμιας κατασκευής, η υλοποίηση ενός επενδυτικού σχεδίου, …

Κύρια χαρακτηριστικά αυτής της διαδικασίας:• έχει αρχή και τέλος,• έχει (κάποιου βαθμού) πρωτοτυπία,• αναλύεται σε αλληλένδετες και αλληλοεξαρτώμενες επί

μέρους εργασίες, γνωστές ως ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ,οι οποίες πρέπει να υλοποιηθούν μέσα σε προκαθορισμένοχρόνο, (με τη χρήση ποικίλων περιορισμένων πόρων).

ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 13/11/2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ

2

Δεν μας ενοχλεί το πλήθος των δραστηριοτήτων ενός έργου, αλλά τογεγονός ότι…οι δραστηριότητες δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Αντίθεταείναι αλληλοεξαρτώμενες τόσο σε ότι αφορά την αλληλουχίαεκτέλεσής τους, αλλά και σε ότι αφορά τη χρήση κοινών πόρων.Η κατασκευή του πρώτου Boeing Jumbo jet ήταν ένα έργο (ησημερινή όμως κατασκευή τους δεν είναι παρά μια διαδικασίαρουτίνας, δεν είναι ένα έργο). Ως έργα μπορούν επίσης ναχαρακτηριστούν η κατασκευή του Channel tunnel στη Μάγχη, ηκατασκευή του London Eye, η ανάπτυξη ενός νέου φαρμάκου.Παρόλο που η πρωτοτυπία είναι ζητούμενο, η έμφαση πια είναιστην διαδικασία υλοποίησης.Απλά –καθημερινά- παραδείγματα.


Οι τεχνικές που θα αναπτυχθούν αποσκοπούν στον (i) σχεδιασμό, (ii) χρονικό προγραμματισμό και (iii) έλεγχο των δραστηριοτήτωνπου απαρτίζουν το έργο, μέσα στα πλαίσια των διαθέσιμων πόρωντου, του σχεδιαζόμενου χρόνου παράδοσής του, κ.λπ.

Οι τεχνικές αυτές επιδιώκουν την ανάπτυξη ενός λεπτομερούςχρονοδιαγράμματος αλληλουχίας των δραστηριοτήτων. Ιδιαίτεραμας ενδιαφέρει εάν

η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι γνωστή (σταθερά)η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι μεταβλητή.




3

οι τεχνικές αυτές έχουν χειριστεί με επιτυχία τον σχεδιασμό, προγραμματισμό και έλεγχο έργων όπως:•Ολυμπιακοί Αγώνες,•ΠΑΘΕ, Εγνατία Οδός,•κατασκευή μεγάλων οικοδομικών έργων,•εγκατάσταση και συντήρηση εξοπλισμού εργοστασίων,•ανάπτυξη νέων προϊόντων, εισαγωγικές εξετάσεις, φάκελοιυποψηφιότητας ανάληψης αθλητικών εκδηλώσεων, κ.λπ.


PERT/CPMPERT/CPM

PERT•Program Evaluation and Review Technique•Developed by U.S. Navy for Polaris missile project•Developed to handle uncertain activity times

CPM•Critical Path Method•Developed by Du Pont Company & Remington Rand Univac•Developed for industrial projects for which activity times

generally were known

Τα λογισμικά ενσωματώνουν μια σύνθεση των δύο τεχνικών(με την κοινή ονομασία PERT/CPM).

Τεχνική Δικτυωτής Ανάλυσης.



4

PERT/CPMPERT/CPM

Με τη βοήθεια των PERT/CPM μπορούν να απαντηθούν όλεςοι εύλογες ερωτήσεις για την υλοποίηση ενός έργου όπως:• Πόσο σύντομα μπορεί να υλοποιηθεί το έργο;

Ποιες πρέπει να είναι οι προγραμματισμένεςημερομηνίες έναρξης και λήξης της κάθεδραστηριότητας;Ποιες δραστηριότητες είναι κρίσιμες για τηνολοκλήρωση του έργου χωρίς καθυστερήσεις;Ποια είναι τα περιθώρια καθυστέρησης στις μηκρίσιμες δραστηριότητες;

• Ποια είναι η πιθανότητα υλοποίησης του έργου σεσυγκεκριμένο χρόνο;

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: Frank: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

ΗΗ Frank’s Fine Floats κατασκευάζει αποκριάτικα άρματα. ΟFrank και η ομάδα του ετοιμάζονται να κατασκευάσουν ένα νέοάρμα και σκέπτονται να χρησιμοποιήσουν την PERT/CPM γιανα διαχειριστούν την όλη διαδικασία.



5

PERT/CPMPERT/CPM

Προχωρούμε σε δομική ανάλυση του έργου, δηλ. επιμερίζουμε τοέργο σε διακριτές φάσεις. Στη συνέχειααναλύουμε κάθε φάση σε αυτοτελείς δραστηριότητες (εργασίες)

ΔραστηριότηταΔραστηριότητα::το στοιχειώδες δομικό στοιχείο αναφοράς στην ανάλυσή μας

• συστηματική-κριτική καταγραφή του τρόπου υλοποίησης.• εκτιμήσεις για το χρόνο που απαιτεί η ολοκλήρωσή της,• καθορισμός σχέσεων προ-απαίτησης (ορίζουν τη σειρά μετην οποία πραγματοποιείται η κάθε δραστηριότητα: ποιεςδραστηριότητες προ-απαιτούνται για την ολοκλήρωσή τηςπριν ξεκινήσει η συγκεκριμένη).


ΟΟ πίνακαςπίνακας στηνστην επόμενηεπόμενη διαφάνειαδιαφάνεια, , δείχνειδείχνει τιςτις δραστηριότητεςδραστηριότητεςστιςστις οποίεςοποίες χωρίστηκεχωρίστηκε τοτο έργοέργο. . ΓιαΓια κάθεκάθε δραστηριότηταδραστηριότηταεκτιμήθηκεεκτιμήθηκε οο απαιτούμενοςαπαιτούμενος χρόνοςχρόνος γιαγια τηντην υλοποίησήυλοποίησή τηςτης ((σεσεημέρεςημέρες) ) καικαι καταγράφηκεκαταγράφηκε ηη χρονικήχρονική αλληλουχίααλληλουχία τηςτης σεσε σχέσησχέσημεμε τιςτις υπόλοιπεςυπόλοιπες..

((προφανώςπροφανώς οιοι δραστηριότητεςδραστηριότητες πρέπειπρέπει νανα καταγράφονταικαταγράφονται μεμε μιαμιαλογικήλογική//χρονολογικήχρονολογική σειράσειρά).).

ΟΟ Frank Frank επιθυμείεπιθυμεί νανα προσδιορίσειπροσδιορίσει (i) (i) τοτο λιγότερολιγότερο δυνατόδυνατό χρόνοχρόνογιαγια τηντην ολοκλήρωσηολοκλήρωση τουτου έργουέργου, , (ii) (ii) ποιεςποιες δραστηριότητεςδραστηριότητες είναιείναικρίσιμεςκρίσιμες καικαι (iii) (iii) ποιεςποιες πρέπειπρέπει νανα είναιείναι οιοι ημερομηνίεςημερομηνίες έναρξηςέναρξηςκαικαι λήξηςλήξης εκάστηςεκάστης δραστηριότηταςδραστηριότητας..



6


ΑμέσωςΑμέσως ΠροηγΠροηγ ΔιάρκειαΔιάρκειαΔραστηρΔραστηρ ΠεριγραφήΠεριγραφή ΔραστηριότΔραστηριότ ((σεσε ημέρεςημέρες))

A Initial Paperwork A Initial Paperwork ------ 33B Build Body B Build Body AA 33C Build Frame C Build Frame AA 22D Finish Body D Finish Body BB 33E Finish Frame E Finish Frame CC 77F Final Paperwork F Final Paperwork B,CB,C 33G Mount Body to Frame D,EG Mount Body to Frame D,E 66

88 H Install Skirt on Frame CH Install Skirt on Frame C 22

Activities B, C must be finished before activity F can start.

ΔίκτυαΔίκτυα ΑναπαράστασηςΑναπαράστασης ΈργωνΈργων

Η αλληλουχία των δραστηριοτήτων που απαρτίζουν το έργοαναπαριστάται γραφικά μ’ ένα δίκτυο στο οποίο•οι κόμβοι απεικονίζουν τις δραστηριότητες,•τα βέλη απεικονίζουν την αλληλουχία των δραστηριοτήτων.

Kομβικά δίκτυα – Activity On Node.(αναπαρίστανται και με τα τοξωτά δίκτυα - Activity On Arrow).

Για να κατασκευάσουμε το δίκτυο πρέπει να:σχηματίσουμε έναν κόμβο για κάθε δραστηριότητασχεδιάσουμε ένα βέλος/ακμή από τον κόμβο i προς τον κόμβο j, εάν η δραστηριότητα i πρέπει να έχει ολοκληρωθεί πριν τηνέναρξη της δραστηριότητας j.



7

ΔίκτυαΔίκτυα ΑναπαράστασηςΑναπαράστασης ΈργωνΈργων ((ΑΟΝΑΟΝ))

Όλες οι ακμές είναι βέλη, προκειμένου να προσδιορίζεται ηκατεύθυνση εξέλιξης του έργου.Συνιστάται το έργο να ξεκινά με ένα κόμβο start (αυτή η“δραστηριότητα” έχει διάρκεια 0). Στη συνέχεια σχεδιάζουμεβέλη προς κάθε δραστηριότητα της οποίας η έναρξη δεν απαιτείτη λήξη καμίας δραστηριότητας.Όταν δεν υπάρχουν δραστηριότητες που έπονται κάποιωνδραστηριοτήτων, συνιστάται (οι τελευταίες) να συνδέονται μεέναν κόμβο με το όνομα finish.

Σε ένα τέτοιο διάγραμμα υποθέτουμε ότι δραστηριότητες πουδεν συνδέονται με σχέσεις προ-απαίτησης, μπορούν να υλοποιη-θούν ταυτόχρονα.


ΔίκτυοΔίκτυο ΑναπαράστασηςΑναπαράστασης ––AONAON--

StartStart FinishFinish

BB33

DD33

AA33

CC22

GG66FF

33

HH22

EE77

δραστηριότητα

απαιτούμενος χρόνος

Ενδείξεις (κόμβοι)• Start• Finish



8

ΔίκτυαΔίκτυα ΑναπαράστασηςΑναπαράστασης ΈργωνΈργων

Το ανωτέρω διάγραμμα δεν απαιτείται για τη λύση τουπροβλήματος από κάποιο λογισμικό.Το διάγραμμα είναι αναγκαίο για τη λύση του προβλήματοςαπό τον άνθρωπο.Όταν έχει προηγηθεί ο σχεδιασμός του διαγράμματος, είναισχετικά εύκολο θέμα η ανάλυσή του (dynamic programming algorithm).

11οο βήμαβήμα: : υπολογίζουμευπολογίζουμε τοντον συντομότεροσυντομότερο χρόνοχρόνο έναρξηςέναρξης (ES)(ES)καικαι ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης ((EF)EF) κάθεκάθε δραστηριότηταςδραστηριότητας..

22οο βήμαβήμα: : υπολογίζουμευπολογίζουμε τοτο βραδύτεροβραδύτερο χρόνοχρόνο έναρξηςέναρξης (LS)(LS) καικαιολοκλήρωσηςολοκλήρωσης ((LF)LF) κάθεκάθε δραστηριότηταςδραστηριότητας..

33οο βήμαβήμα: : υπολογίζουμευπολογίζουμε τοτο χρονικόχρονικό περιθώριοπεριθώριο κάθεκάθε δραστηριότδραστηριότ44οο βήμαβήμα: : υποδεικνύουμευποδεικνύουμε τηντην κρίσιμηκρίσιμη διαδρομήδιαδρομή καικαι τοτο συνολικόσυνολικό

χρόνοχρόνο ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου..

ΛύσηΛύση τουτου ((κομβικούκομβικού) ) δικτύουδικτύου

συντομότεροισυντομότεροι χρόνοιχρόνοιβραδύτεροιβραδύτεροι χρόνοιχρόνοι

Χρονικό περιθώριο ονομάζεται το χρονικό διάστημα που μπορεί να καθυστερήσει ηυλοποίηση μιας δραστηριότητας χωρίς ανάλογη καθυστέρηση στο συνολικό χρόνο τουέργου.

Η διαδρομή που αποτελείται από τις δραστηριότητες που έχουν μηδενικό χρονικό περιθώριοονομάζεται ΚΡΙΣΙΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ.



9

ΣυντομότεροςΣυντομότερος ΧρόνοςΧρόνος ΈναρξηςΈναρξης (ES) (ES) & & ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης (EF)(EF)μιαςμιας δραστηριότηταςδραστηριότητας

Ξεκινήστε ένα forward πέρασμα του δικτύου με αρχή τον κόμβοStart. Για κάθε δραστηριότητα i, υπολογίστε:•Earliest Start Time = max {EF(k), ∀ k ∈ P}, όπου P το σύνολοτων δραστηριοτήτων που είναι άμεσα προ-απαιτούμενες

= ο μεγαλύτερος χρόνος ολοκλήρωσηςτων δραστηριοτήτων που είναι άμεσα προαπαιτούμενες.

•Earliest Finish Time = ES + (χρόνος ολοκλήρωσης της i ).

Ο (ελάχιστος) ΧΡΟΝΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ του έργου ισούται μετο μεγαλύτερο εκ των ενωρίτερων χρόνων ολοκλήρωσης τωνκόμβων (δραστηριοτήτων) οι οποίοι οδηγούν στον κόμβο Finish.

Example: FrankExample: Frank’’s Fine Floatss Fine Floats

ΣυντομότεροιΣυντομότεροι χρόνοιχρόνοι ΈναρξηςΈναρξης καικαι ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης

κόμβοι οι οποίοι οδηγούν στον κόμβο Finish οι: F, G και H

((ελάχιστοςελάχιστος) ) χρόνοςχρόνος ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου = 18= 18 = = max{9, 18, 7}max{9, 18, 7}


3 63 6BB33

6 96 9DD33

0 30 3AA33

3 53 5CC22

12 1812 18GG666 96 9FF

33

5 75 7HH22

5 125 12EE77

max{6, 5}



10


ΣυντομότεροιΣυντομότεροι χρόνοιχρόνοι ΈναρξηςΈναρξης (ES)(ES) καικαι ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης (EF)(EF)ESA = 0 EFA = ESA + tA = 0 + 3 = 3ESB = EFA = 3 EFB = ESB + tB = 3 + 3 = 6ESC = EFA = 3 EFC = ESC + tC = 3 + 2 = 5ESD = EFB = 6 EFD = ESD + tD = 6 + 3 = 9ESE = EFC = 5 EFE = ESE + tE = 5 + 7 = 12ESF = max{EFB, EFC} = max{6, 5} = 6 EFF = ESF + tF = 6 + 3 = 9ESG = max{EFD, EFE} = max{9, 12} = 12 EFG = ESG + tG = 12+6=18ESH = EFC = 5 EFH = ESH + + ttHH = 5 + 2 = 7= 5 + 2 = 7

ESFINISH = max{EFF, EFG, EFH} = max{9, 18, 7} = 18

Ξεκινήστε ένα backward πέρασμα του δικτύου με αρχή τον κόμβοFinish. Για κάθε δραστηριότητα i, υπολογίστε•Latest Finish Time = min {LS(k), ∀ k ∈ S}, όπου S το σύνολοτων δραστηριοτήτων που έπονται της i και συνδέονται άμεσαμαζί της

= ο μικρότερος χρόνος έναρξης τωνδραστηριοτήτων των οποίων είναι άμεσα προαπαιτούμενη.

•Latest Start Time = LF - (χρόνος ολοκλήρωσης της i).

ΒραδύτεροςΒραδύτερος ΧρόνοςΧρόνος ΈναρξηςΈναρξης (LS) (LS) καικαι ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης (LF)(LF)μιαςμιας δραστηριότηταςδραστηριότητας



11


ΒραδύτεροιΒραδύτεροι χρόνοιχρόνοι ΈναρξηςΈναρξης καικαι ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης


3 63 6

99BB33

6 96 9

1212DD33

0 30 3

0 30 3AA33

3 53 5

55CC22

12 1812 18

1818GG666 96 9

1818FF33

5 75 7

1818HH22

5 125 12

1212EE77

12

16

15

9

5

6

3

min{9, 15}


ΒραδύτεροιΒραδύτεροι χρόνοιχρόνοι ΈναρξηςΈναρξης (LS)(LS) καικαι ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης (LF)(LF)LFG = 18 LSG = LFG - tG = 18 - 6 =12LFH = 18 LSH = LFH - tH = 18 - 2 =16LFF = 18 LSF = LFF - tF = 18 - 3 = 15LFD = LSG = 12 LSD = LFD - tD = 12 - 3 = 9LFE = LSG = 12 LSE = LFE - tE = 12 - 7 = 5LFB = min{LSD, LSF} = min{9, 15} = 9 LSB = LFB - tB = 9 - 3 = 6LFC = min{LSF, EFE} = min{15, 5} = 5 LSC = LFC - tC = 5 - 2 = 3LFA = min{LSB, EFC} = min{6, 3} = 3 LSA = LFA - tA = 3 - 3 = 0



12

Determining the Critical PathDetermining the Critical Path

Υπολογίστε το χρονικό περιθώριο κάθε δραστηριότητας(Slack)i = (Latest Start)i - (Earliest Start)i, or

= (Latest Finish)i - (Earliest Finish)i.

6 96 9

15 1815 18FF33


Activity Slack TimeActivity Slack Time

ActivityActivity ESES EFEF LSLS LFLF SlackSlackA 0 3 0 3 0 (crit.A 0 3 0 3 0 (crit.))B 3 6 6 9 3B 3 6 6 9 3C 3 5 3 5 0 (crit.C 3 5 3 5 0 (crit.))D 6 9 9 12 3D 6 9 9 12 3E 5 12 5 12 0 (crit.)E 5 12 5 12 0 (crit.)F 6 9 15 18 9F 6 9 15 18 9G 12 18 12 18 0 (crit.)G 12 18 12 18 0 (crit.)H 5 7 16 18 11H 5 7 16 18 11



13

ΥποδείξτεΥποδείξτε τηντην κρίσιμηκρίσιμη διαδρομήδιαδρομή ((δενδεν είναιείναι κατκατ’’ ανάγκηανάγκη μίαμία))


••ΗΗ ΚρίσιμηΚρίσιμη ΔιαδρομήΔιαδρομή ξεκινάξεκινά απόαπό τοντον κόμβοκόμβο Start Start καικαιτερματίζειτερματίζει στονστον κόμβοκόμβο FinishFinish, , καικαι αποτελείταιαποτελείται απόαπό τιςτιςδραστηριότητεςδραστηριότητες πουπου έχουνέχουν μηδενικόμηδενικό χρονικόχρονικό περιθώριοπεριθώριο..For any network there will always be a path of critical activities from the initialnode to final node.

••Critical Path: A Critical Path: A –– C C –– E E –– GG

••Project Completion Time: 18 daysProject Completion Time: 18 days


Critical PathCritical Path


3 63 6

6 96 9BB33

6 96 9

9 129 12DD33

0 30 3

0 30 3AA33

3 53 5

3 53 5CC22

12 1812 18

12 1812 18GG666 96 9

15 1815 18FF33

5 75 7

16 1816 18HH22

5 125 12

5 125 12EE77

Οι δραστηριότητες A, C, E και G είναι κρίσιμες για την υλοποίηση του έργου χωρίς καθυστερήσεις

Οι δραστηριότητες B, D, F και H έχουν, αντίστοιχα, περιθώριο καθυστέρησης 3, 3, 9 και 11 ημερών



14

Πρόκειται για ένα απλό γραμμικό ημερολόγιο, πάνω στο οποίοσημειώνουμε τους χρόνους έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτωνΠροτάθηκε από τον Henry Gantt, ως μεθοδολογικό εργαλείο γιατον προγραμματισμό και έλεγχο της πορείας υλοποίησης μεγάλωνβιομηχανικών έργων στις αρχές του περασμένου αιώνα (το 1918).Ο οριζόντιος άξονας είναι ο άξονας μέτρησης του χρόνου, ενώ γιακάθε δραστηριότητα του έργου σχεδιάζουμε μια οριζόντια ράβδομε μήκος τη χρονική στιγμή ενωρίτερης (βραδύτερης) έναρξης καιλήξης.

Πλεονέκτημα η απλότητά τους και ο άμεσος απολογισμός.Μειονέκτημα η αδυναμία έκφρασης των σχέσεων εξάρτησης.

ΔιαγράμματαΔιαγράμματα GanttGantt




15

ΗΗ διάρκειαδιάρκεια τωντων δραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων είναιείναι τυχαίατυχαία μεταβλητήμεταβλητή. . ΓίνονταιΓίνονται τρειςτρεις εκτιμήσειςεκτιμήσεις τηςτης διάρκειαςδιάρκειας κάθεκάθε δραστηριότηταςδραστηριότητας: : ((i) i) αισιόδοξηαισιόδοξη, , (ii)(ii) απαισιόδοξηαπαισιόδοξη καικαι (iii)(iii) πλέονπλέον πιθανήπιθανή..ΥποθέτουμεΥποθέτουμε ότιότι ηη διάρκειαδιάρκεια κάθεκάθε δραστηριότηταςδραστηριότητας ακολουθείακολουθείτηντην κατανομήκατανομή ΒΒ. .

ΣυνθήκεςΣυνθήκες ΑβεβαιότηταςΑβεβαιότητας: : εκτίμησηεκτίμηση τριώντριών χρόνωνχρόνων

ΤΟΤΕΤΟΤΕΟ μέσος χρόνος ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητας είναι ίσοςμε μ = (a + 4m + b)/6

Η μεταβλητότητα του χρόνου ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητείναι ίσος με σ2 = ((b-a)/6)2

όπουa = η αισιόδοξη εκτίμησηb = η απαισιόδοξη εκτίμησηm = η πλέον πιθανή εκτίμηση




16

Αναμενόμενη κρίσιμη διαδρομή: η διαδρομή που θα ήτανκρίσιμη εάν η διάρκεια κάθε δραστηριότητας ήταν ίση με τηνμέση τιμή της.Θεωρώντας ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων στηναναμενόμενη κρίσιμη διαδρομή είναι στατιστικά ανεξάρτητες

ΤΟΤΕΓια ικανό αριθμό δραστηριοτήτων η τ.μ. «συνολική διάρκεια τουέργου» ακολουθεί την κανονική κατανομή με παραμέτρουςμ = SUM(μέσων χρόνων του αναμενόμ. κρίσιμου μονοπατιού)σ2 = SUM(διασπορών χρόνων του αναμ. κρίσιμου μονοπατιού)


Example: ABC Associates Example: ABC Associates

ΘεωρήστεΘεωρήστε τοτο έργοέργο

ImmedImmed. Optimistic Most Likely Pessimistic. Optimistic Most Likely PessimisticActivityActivity PredecPredec.. Time (Hr.Time (Hr.) ) Time (Hr.)Time (Hr.) Time (Hr.)Time (Hr.)

A A ---- 4 4 6 6 88B B ---- 1 1 4.5 54.5 5C C A A 3 3 33 3 3D D A 4 5 A 4 5 6 6 E E A 0.5 1 1.5A 0.5 1 1.5F F B,C 3 4 5B,C 3 4 5G G B,C B,C 1 1.5 51 1.5 5H H E,F E,F 5 6 75 6 7I I E,F 2 5 8E,F 2 5 8J J D,H D,H 2.5 2.75 4.52.5 2.75 4.5

11 K 11 K G,I 3 5 7G,I 3 5 7



17

Example: ABC AssociatesExample: ABC Associates

ΑναμενόμενοιΑναμενόμενοι χρόνοιχρόνοι δραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων καικαι διασπορέςδιασπορές

tt = (= (aa + 4+ 4mm + + bb)/6 )/6 σσ22 = ((= ((bb--aa)/6))/6)22

ActivityActivity Expected TimeExpected Time VarianceVarianceA A 6 6 4/94/9B B 4 4 4/94/9C C 3 3 00D D 5 5 1/91/9E E 1 1 1/361/36F F 4 4 1/91/9G G 2 2 4/94/9H H 6 6 1/91/9I I 5 5 11J J 3 3 1/91/9K K 5 5 4/94/9


ΔίκτυοΔίκτυο ΑναπαράστασηςΑναπαράστασης

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

666

444

333

555

555

222

444

111666

333

555



18


ΥπολογισμοίΥπολογισμοί τωντων χρόνωνχρόνων ES, EF ES, EF καικαι LS, LFLS, LF

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

666

444

333

555

555

222

444

111666

333

555

0 60 60 60 6

9 139 139 139 13

13 1813 1813 1813 18

9 119 1116 1816 18

13 1913 1914 2014 20

19 2219 2220 2320 23

18 2318 2318 2318 23

6 76 712 1312 13

6 96 96 96 9

0 40 45 95 9

6 116 1115 2015 20

ΧρόνοςΧρόνος ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου = max{22, 23} = 23= max{22, 23} = 23


ΕνωρίτεροιΕνωρίτεροι//ΒραδύτεροιΒραδύτεροι ΧρόνοιΧρόνοι and Slackand Slack

Expected TimeExpected Time VarianceVariance ActivityActivity ESES EF EF LSLS LFLF SlackSlack66 4/94/9 AA 0 6 0 6 0 *0 6 0 6 0 *44 4/9 4/9 BB 0 4 5 9 50 4 5 9 533 0 0 CC 6 9 6 9 0 *6 9 6 9 0 *55 1/9 1/9 DD 6 11 15 20 96 11 15 20 911 1/36 1/36 EE 6 7 12 13 66 7 12 13 644 1/9 1/9 FF 9 13 9 13 0 *9 13 9 13 0 *22 4/9 4/9 GG 9 11 16 18 79 11 16 18 766 1/9 1/9 HH 13 19 14 20 113 19 14 20 155 1 1 II 13 18 13 18 0 *13 18 13 18 0 *33 1/9 1/9 JJ 19 22 20 23 119 22 20 23 155 4/9 4/9 KK 18 23 18 23 0 *18 23 18 23 0 *



19

ΠροσδιορισμόςΠροσδιορισμός τηςτης κρίσιμηςκρίσιμης διαδρομήςδιαδρομής

••Critical Path: A Critical Path: A –– C C –– F F –– I I –– KK

••ΑναμενόμενοςΑναμενόμενος ΧρόνοςΧρόνος ΟλοκλήρωσηςΟλοκλήρωσης: 23 : 23 ώρεςώρες

μμ = = ttAA + + ttCC + + ttFF + + ttII + + ttKK

= 6 + 3 + 4 + 5 + 5 = 6 + 3 + 4 + 5 + 5 = 23= 23

σσ22 = = σσ22AA + + σσ22

CC + + σσ22FF + + σσ22

II + + σσ22KK

= 4/9 + 0 + 1/9 + 1 + 4/9 = 4/9 + 0 + 1/9 + 1 + 4/9 = 2= 2

••ΣυνολικήΣυνολική διάρκειαδιάρκεια τουτου έργουέργου ►► ΝΝ(23, 2)(23, 2)



Critical Path (ACritical Path (A--CC--FF--II--K)K)

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

E

Start

A

H

D

F

J

I

K

Finish

B

C

G

666

444

333

555

555

222

444

111666

333

555

0 60 60 60 6

9 139 139 139 13

13 1813 1813 1813 18

9 119 1116 1816 18

13 1913 1914 2014 20

19 2219 2220 2320 23

18 2318 2318 2318 23

6 76 712 1312 13

6 96 96 96 9

0 40 45 95 9

6 116 1115 2015 20



20


ΣυνολικήΣυνολική διάρκειαδιάρκεια τουτου έργουέργου ►► ΝΝ(23, 1.414(23, 1.41422))

20.172 23 25.828


Η τυχαία μεταβλητή XZ

μσ−

= ακολουθεί την Ν(0, 1) οπότε

Πιθανότητα (διάρκεια έργου ≤ x) = Probability (Z ≤ zx)



21

ΠιθανότηταΠιθανότητα ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου μέσαμέσα σεσε 24 hrs24 hrs

zz2424 = (24 = (24 -- 23)/23)/σσ = = (24(24--23)/1.414 = .7123)/1.414 = .71 P(zP(z << .71) = .5 + .2612 = .7612.71) = .5 + .2612 = .7612


ΑναμενΑναμεν. . διάρκειαδιάρκεια ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου μεμε πιθανότηταπιθανότητα 95%95%

P(zP(z << ((a a –– 23)/1.414) = .95 23)/1.414) = .95 ⇒⇒ (a (a -- 23)/1.23)/1. 414414 = = 1.645 1.645 ⇒⇒ a = 25.33 hrsa = 25.33 hrs




22


……εξασκηθείτεεξασκηθείτε (1)(1)

ΓιαΓια τηντην ολοκλήρωσηολοκλήρωση ενόςενός έργουέργουαπαιτείταιαπαιτείται ηη εκτέλεσηεκτέλεση ενόςενός αριθμούαριθμούδραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων. . ΟιΟι δραστηριότητεςδραστηριότητεςαυτέςαυτές, , οιοι διάρκειέςδιάρκειές τουςτους ((ημέρεςημέρες) ) καικαιοιοι περιορισμοίπεριορισμοί πουπου υπάρχουνυπάρχουν στηνστηνεκτέλεσήεκτέλεσή τουςτους, , σημειώνονταισημειώνονται στοστοδιπλανόδιπλανό πίνακαπίνακα..ΖητούνταιΖητούνται: (: (αα) ) ΝαΝα διαμορφωθείδιαμορφωθεί τοτοκατάλληλοκατάλληλο κομβικόκομβικό δίκτυοδίκτυο, , πουπου θαθααπεικονίζειαπεικονίζει γραφικάγραφικά τοτο έργοέργο, , πουπου μαςμαςαπασχολείαπασχολεί καικαι νανα βρεθείβρεθεί οο χρόνοςχρόνοςολοκλήρωσήςολοκλήρωσής τουτου. (. (ββ) ) ΝαΝα βρεθούνβρεθούν οιοισυντομότεροισυντομότεροι καικαι οιοι βραδύτεροιβραδύτεροιχρόνοιχρόνοι έναρξηςέναρξης καικαι λήξηςλήξης τωντωνδραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων, , τατα χρονικάχρονικάπεριθώριάπεριθώριά τουςτους καικαι ηη κρίσιμηκρίσιμηδιαδρομήδιαδρομή..

66EEII

22FFHH

44B,D,EB,D,EGG

44AAFF

44CCEE

11CCDD

44--CC

55--BB

33--ΑΑ

ΔΙΑΡΚΕΙΑΔΙΑΡΚΕΙΑΑΜΕΣΑΑΜΕΣΑΠΡΟΗΓΠΡΟΗΓΔΡΑΣΤΗΡΔΡΑΣΤΗΡ

ΔΡΑΣΤΗΡΔΡΑΣΤΗΡ



23

……εξασκηθείτεεξασκηθείτε (1)(1)

Κρίσιμη

Διαδρομή: C –

E -I

……εξασκηθείτεεξασκηθείτε ((22))

ΓιαΓια τηντην ολοκλήρωσηολοκλήρωση ενόςενός έργουέργουαπαιτείταιαπαιτείται ηη εκτέλεσηεκτέλεση ενόςενός αριθμούαριθμούδραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων. . ΟιΟι δραστηριότητεςδραστηριότητεςαυτέςαυτές, , οιοι εκτιμήσειςεκτιμήσεις διάρκειάςδιάρκειάς τουςτους ((μήνεςμήνες) ) καικαι οιοι περιορισμοίπεριορισμοί πουπου υπάρχουνυπάρχουν στηνστηνεκτέλεσήεκτέλεσή τουςτους, , σημειώνονταισημειώνονται στοστο διπλανόδιπλανόπίνακαπίνακα..ΖητούνταιΖητούνται: (: (αα) ) ΝαΝα διαμορφωθείδιαμορφωθεί τοτοκατάλληλοκατάλληλο κομβικόκομβικό δίκτυοδίκτυο, , πουπου θαθααπεικονίζειαπεικονίζει γραφικάγραφικά τοτο έργοέργο, , πουπου μαςμαςαπασχολείαπασχολεί καικαι νανα βρεθείβρεθεί οο μέσοςμέσος χρόνοςχρόνοςολοκλήρωσήςολοκλήρωσής τουτου. (. (ββ) ) ΝαΝα βρεθούνβρεθούν οιοισυντομότεροισυντομότεροι καικαι οιοι βραδύτεροιβραδύτεροι χρόνοιχρόνοιέναρξηςέναρξης καικαι λήξηςλήξης τωντων δραστηριοτήτωνδραστηριοτήτων, , τατα χρονικάχρονικά περιθώριάπεριθώριά τουςτους καικαι ηη κρίσιμηκρίσιμηδιαδρομήδιαδρομή.. ((γγ) ) ΠοιαΠοια είναιείναι ηη πιθανότηταπιθανότητα τοτοέργοέργο νανα ολοκληρωθείολοκληρωθεί σεσε 27 27 ημέρεςημέρες; (; (δδ) ) ΠοιαΠοια είναιείναι ηη αναμενόμενηαναμενόμενη διάρκειαδιάρκειαολοκλήρωσηςολοκλήρωσης τουτου έργουέργου μεμε πιθανότηταπιθανότητα90%;90%; 10107744D,E,FD,E,FHH

12128877CCGG

1919101077CCFF

11114433BBEE

997755AADD

141412121010--CC

1414111188--BB

443322--AA

ΑΠΣΑΠΣΧΡΝΧΡΝ

ΠΙΘΠΙΘΧΡΝΧΡΝ

ΑΙΣΑΙΣΧΡΝΧΡΝ

ΑΜΑΜΠΡΠΡ ΔΡΔΡΔΡΣΤΔΡΣΤ



24

……εξασκηθείτεεξασκηθείτε ((22))

Κρίσιμη Διαδρομή: C – F - H

Prob (X≤ 27) = 0.102

Prob (X≤ a) = 0.90 ⇒⇒ a = 32.98 μήνες

Χρόνος Ολοκλήρωσης ≈ Ν(30, 2.332)



Documents

ΕπιχειρησιακήΈρευνα Προγραμματισμός …tsantas/DownLoadFiles/OR_ProjectScheduling.pdf · 6 Παράδειγμα: Frank’s Fine Floats ΑμέσωςΠροηγ