56
[ ] . [ ] a M ΄ µ η ατ κα µ γ κ α γ ε λ τ ε α κ ε να [ ηπ ] κ ς α ησ ς ε π λ σ μ μ α μ[ θη ] ατ κω γ γ ν[ ασ] ου ν υ

εναατεκς α ησςκ - users.sch.grusers.sch.gr/maggelko/pdf/C_algebra.pdf · Ma µ γ καγε λ ∂ηµατ κα∫ ′ G ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 / 56 Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Embed Size (px)

Citation preview

[ ]

. [ ]

′∂ ∫aM

΄

µη ατ καµ γκ α γ ελ

τ εα κε να [ηπ] κ ς α ησ ςεπ λ σµµαµ [θη] ατ κω γ γ ν[ασ] ουν υ

′∫ ∫′

′ ′∫ ∫

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 / 56

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

3 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. .............................................................................. 4

1ο ΚΕΦ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ................................................................. 4

∆ΥΝΑΜΕΙΣ. .......................................................................................................................... 7

ΡΙΖΕΣ................................................................................................................................. 10

∆ΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ....................................................................................................... 14

ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ ................................................................................ 22

ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ ................................................................................................... 25

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ................................................................................... 27

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. .......................................................................................... 29

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ................................................................................... 35

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ......................................................................... 39

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ............................ 44

2ο ΚΕΦ. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ..................................................................... 46

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ..................................................................................................... 49

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ .................................................................................................................... 52

Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ+β .................................................................................... 55

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

4 / 56

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1ο ΚΕΦ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 1. α) Να κάνετε έναν άξονα χ΄Οχ και να τοποθετήσετε πάνω σ’ αυτόν τους αριθµούς: 0, 1, -1, π, -π, 2 , 2− β) Να υπολογίσετε τις απόλυτες τιµές των παραπάνω αριθµών. γ) Να υπολογίσετε το άθροισµά τους και το γινόµενό τους.

2. Καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις µπορεί να είναι σωστή , µπορεί όµως να είναι λάθος. Γράψτε δίπλα από κάθε πρόταση το Σ αν αυτή είναι σωστή και το Λ αν αυτή είναι λάθος. • Ο αριθµός –χ είναι ένας αρνητικός ρητός αριθµός. ……… • Ο αριθµός –χ είναι ο αντίθετος του αριθµού χ και µπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός αν ο χ είναι αρνητικός ή θετικός αντίστοιχα. …….. • Οι αντίθετοι αριθµοί έχουν αντίθετες απόλυτες τιµές. ……. • Οι αντίθετοι αριθµοί έχουν την ίδια πάντα απόλυτη τιµή αφού αυτή εκφράζει την απόσταση των σηµείων του άξονα στα οποία αυτοί µπαίνουν από την αρχή του. ….. • Η απόλυτη τιµή ενός αριθµού είναι πάντα µη αρνητικός αριθµός. …… • Η απόλυτη τιµή ενός αριθµού µπορεί να είναι και αρνητικός αριθµός. ….. • Ο αντίθετος του χ είναι ίσος µε το γινόµενο του –1 µε τον χ δηλαδή –χ = (-1)·χ • Οι οµόσηµοι αριθµοί έχουν γινόµενο αριθµό οµόσηµο µ’ αυτούς. • Οι οµόσηµοι αριθµοί έχουν γινόµενο έναν θετικό αριθµό. • Οι ετερόσηµοι έχουν γινόµενο έναν αρνητικό αριθµό. • Οι αντίθετοι αριθµοί έχουν γινόµενο αρνητικό αριθµό. • Αν α ένας ρητός αριθµός τότε α ·1 = α και α ·0 = 0. • Οι αντίστροφοι αριθµοί έχουν γινόµενο 0 • Οι αντίστροφοι αριθµοί έχουν γινόµενο –1 • Οι αντίστροφοι αριθµοί έχουν γινόµενο 1

3. Σε κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε το σωστό συµπέρασµα συµπληρώνοντας τον πίνακα που ακολουθεί. 1. Το γινόµενο δύο αριθµών είναι αρνητικός αριθµός Α. Οι αριθµοί είναι αρνητικοί. Β. Οι αριθµοί είναι οµόσηµοι. Γ. Οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι. ∆. Οι αριθµοί είναι θετικοί. 2. Το γινόµενο δύο αριθµών είναι αριθµός θετικός. Α. Οι αριθµοί είναι αρνητικοί. Β. Οι αριθµοί είναι οµόσηµοι. Γ. Οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι. ∆. Οι αριθµοί είναι θετικοί. 3. Έστω οι ρητοί αριθµοί α , β , γ ώστε αβγ = 1 Α. Οι αριθµοί α , β , γ είναι αντίστροφοι. Β. Οι αριθµοί α , β , γ είναι οµόσηµοι.

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

5 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Γ. Ο αριθµός α είναι αντίστροφος του β. ∆. Ο αριθµός α είναι αντίστροφος του βγ. 4. Έστω οι ρητοί αριθµοί α , β ώστε -3·(α + β) = 0. Α. Οι αριθµοί α , β είναι αντίστροφοι. Β. Οι αριθµοί α , β είναι 0. Γ. Ο αριθµός α είναι αντίθετος του β. ∆. Ισχύει α + β = 3. 5. Το γινόµενο και το άθροισµα δύο αριθµών είναι αριθµός θετικός. Α. Οι αριθµοί είναι αρνητικοί. Β. Οι αριθµοί είναι οµόσηµοι. Γ. Οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι. ∆. Οι αριθµοί είναι θετικοί.

Πρόταση 1 2 3 4 5 Σωστό συµπέρασµα

4. Γνωρίζοντας ότι α – β = -1 και χ + ψ = 7 να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων µε την βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας: Π1 = -2α + 2β +5χ +5ψ Π2 = 4 . (χ + ψ + 5α) - 20β Π3 = 2α + 3α - 5β + 7χ + 2ψ +5ψ Π4 = α – β + χ + 8ψ – 3ψ + 4χ Π5 = χα +ψα– χβ – ψβ

5. Καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις µπορεί να είναι σωστή , µπορεί όµως να είναι λάθος. Γράψτε δίπλα από κάθε πρόταση το Σ αν αυτή είναι σωστή και το Λ αν αυτή είναι λάθος. • Για δύο ρητούς αριθµούς α και β διαφορετικούς από το 0 ισχύει: α : β = β : α • Για τον αριθµό α διαφορετικό του 0 ισχύει: 0 : α = 0 …….. • Για τον αριθµό α ισχύει: α : 0 = α …….. • Για τον αριθµό α διαφορετικό του 0 ισχύει: α : (-α) = -1 ……..

• Για τον αριθµό α διαφορετικό του 0 ισχύει: α : 1α

= 1 ……..

• Για τον αριθµό α ισχύει: α : 1 = 1 …….. • Για τον αριθµό α διαφορετικό του 0 ισχύει: - α : (-α) = -1 …….. • Για τον αριθµό α ισχύει: α : (-1) = -α …….. • Το πηλίκο α : β µε β διαφορετικό του 0 παριστάνει το γινόµενο του α µε τον αντίστροφο του β …………….……..

6. Συµπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: • χ . α = α τότε χ = …….. • -α . χ = 2α τότε χ = …….. • χ : (-α) = -1 τότε χ = …….. • α : χ = -1 τότε χ = …….. • Οι αντίθετοι αριθµοί έχουν πηλίκο ……

7. Έστω κ , λ δύο ακέραιοι αριθµοί µε γινόµενο -2 .

α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών για τους κ, λ: Τιµή του κ Τιµή του λ

β) Να υπολογίσετε το άθροισµα των κ, λ.

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 / 56

8. Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων.

Π1 =

13 52 :2 :( 3 2) 2

− − + ,

Π2 =

2 3χ(ψ ) ψ( χ)χ ψ : ( 5)

3 2714 7

− − +−

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

Π3 =

123

11113

− −

−+

9. Να γίνουν οι πράξεις

α)

2 4 25 3 5

113

− −+ −

− −

β) 1 7 22 :3 3 4004

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

γ) 2 ( 2) ( 5) ( 10): ( 2) ( 3) 2 1 4:2 8 2 36 :3

− − − ⋅ − − − − − ⋅ + −− +

− ⋅−

10. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: Π = (200 + 196 + 192 + ……+ 8 + 4 ) – (198 + 194 + 190 + ….+ 6 + 2) (Ε.Μ.Ε. 1999) 11.

Αν για τους αριθµούς α, β ισχύει: α β 3β+

= , να υπολογίσετε τις τιµές των

παραστάσεων:

Α = α ββ− , Β = 2α 3β

β− +

− , Γ = 4α 3β

3α 4β−−

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

7 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

∆ΥΝΑΜΕΙΣ. 12.

Να συµπληρώσετε τις ισότητες : α) –24 = … β) (-2)3 = … γ) -23 = … δ) (-2)4 = …

13. Οµοίως: • Αν ν: άρτιος , τότε (-1)ν = … • Αν ν: περιττός , τότε (-1)ν = …

14. Αν α κ + λ = 1 , τότε ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστή;

Α.: κ = λ Β.: κ + λ ≠ 0 Γ.: α = 0 ∆.: α ≠ 0 και κ = -λ 15.

Αν α ≠ 0 , τότε : (αα)2α = … Α.: α3α Β.:

22αα Γ.: α2α ∆.: α3

Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 16.

Αν 5χ = (-5)χ , τότε o ακέραιος αριθµός x είναι ………………. . Α.: 1 Β.: -1 Γ.: ένας περιττός ακέραιος ∆.: ένας άρτιος ακέραιος

Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 17.

∆ίνονται οι δυνάµεις: (-x3)-2ν , (-x2ν)-3 , (-x-2ν)-3 , όπου ν: φυσικός αριθµός. α) Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού x ορίζονται ; β) Να βρείτε αν είναι αρνητικοί ή θετικοί αριθµοί . γ) Προσθέστε τις 2 πρώτες. Τι αριθµοί είναι; δ) Πολλαπλασιάστε τις 2 τελευταίες. Τι αριθµοί είναι ;

18. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση:

• 5ν + 2 - 5ν + 1 = …… Α.: 5ν + 1 Β.: 5ν Γ.: 4⋅5ν + 1 ∆.: 5 Ε.: 5(ν + 2):(ν + 1)

• 4⋅3ν + 3 - 10⋅3ν + 2 = …… Α.: -6⋅3ν + 1 Β.: -6⋅3ν + 5 Γ.: -6⋅32ν + 5 ∆.: 18⋅3ν + 2 Ε.: 2⋅3ν + 2

• 4ν + 2 +6⋅(-2)2ν + 1 = …… Α.: 22ν + 1 Β.: (- 2)2(ν + 1) Γ.: 4⋅22ν + 1 ∆.: (-2)2ν Ε.: (-2)2ν + 1

19. Να λυθεί η εξίσωση (2/3)x – 3 = (3/2)2x

20. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α = (3ν + 4 - 6⋅3ν + 1)⋅(3ν + 2⋅7)-1 . Εξαρτάται η τιµή της , απ’ την τιµή του φυσικού αριθµού ν;

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

8 / 56

21.

Να υπολογίσετε τις δυνάµεις: Α = [(-2)-3]2 Β = [-(-2)3]2 Γ = - [(-2)3]2 ∆ = (-1)2⋅(-2)3 Ε = (-22)3

22. Να γράψετε τους παρακάτω αριθµούς ως δυνάµεις µε βάση το 2 ή το –2 . Α = 1 Β = 16 Γ = -32 ∆ = 1/8 Ε = -1/128

23. Να βρείτε το x σε κάθε περίπτωση: Α) 2x = 16 Β) 5x = 125 Γ) 3x = 27 ∆) 3x⋅5x = 225 Ε) 2x⋅5x = 100

24. Προσπαθήστε να γράψετε τις παραστάσεις που ακολουθούν , εφαρµόζοντας τις ιδιότητες των δυνάµεων , σε γινόµενο πρώτων παραγόντων , όπως στο παράδειγµα: 93⋅184⋅50⋅53 = (32)3⋅(2⋅32)4⋅(2⋅52)⋅53 = 36⋅24⋅(32)4⋅2⋅52⋅53 = 36⋅24⋅38⋅2⋅52⋅53 = 36+8⋅24+1⋅52+3 = 314⋅25⋅55

15

223

27846(-2)

A −

⋅⋅⋅

=

102

2312

)3()12(])6([])3[(

Β−−

−−

−⋅−−−⋅−

=

532

4

)2()3()6(2251000

Γ−⋅−−⋅⋅

=−

25

3033

)8()36(225)1000()1000(

∆−

−⋅−⋅⋅−

=

21

23

)4(271000)50()12(

Ε−−

−⋅⋅−⋅−

=

25. Εφαρµόζοντας ιδιότητες δυνάµεων να γράψετε σε πιο απλή µορφή τις παραστάσεις: Α = (x-2⋅x-3)-2 Β = (x3⋅x4⋅x5)⋅(x-6:x2) Γ = (x4:x2)2:(x2:x3)3 ∆ = x7:(x5:x3) E = [(x-3)-3]-3:[x-6:x-10]3

26. Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) 83x = 4 Β) (-6)2x-1 = 1 Γ) 272-3x = 81 ∆) (-2)2-3x = -8 Ε) (3 – 2x)2004 = 0

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

9 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

27. Εφαρµόζοντας ιδιότητες δυνάµεων να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις και στη συνέχεια να τις υπολογίσετε

-13 2 2 3 3 3 2 2x y (x y ) (x y )A 4 3 4(x y )

− − − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= −⋅ για x = (-10)2 και y = -106 .

3 3 2 3 1(x y) (x y )B 3 2 3 3 2(x y ) (x y )

− − −⋅ ⋅ ⋅= − − − −⋅ ⋅ ⋅

για x = (-2)-3 και y = - 23

2)1y3(x3)2y:5(x

4)2y1(x3)2y2(x Γ

−⋅⋅−⋅−⋅−⋅

= για x = 105 και y = (-0,1)-2

6y:2)3x:2y(

4x3)3y:-2(x ∆

−⋅−= για x = 2-2 και y = -44

2)2x(:6y

x1)2y:-3(x Ε

⋅−−= για χ = - 33 και y = 3-3

28. Αν αx = 2 , αy = 3 και 2ψ⋅3χ = (α2)x + y , να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης x-1 + y-1 , όπου οι αριθµοί α , x , y είναι θετικοί πραγµατικοί, α 1≠

29. Έστω ότι ισχύει : [ 9ν⋅32⋅(3-ν)-1 – 27ν ]⋅(3µ⋅2)-3 = 27-1 , όπου µ , ν φυσικοί αριθµοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί µ και ν είναι διαδοχικοί φυσικοί.

30. Μία µπάλα όταν πέφτει από κάποιο ύψος αναπηδά και φτάνει στο µισό αυτού του ύψους. Αφήνουµε την µπάλα να πέσει από κάποιο ύψος χ. α) Να υπολογίσετε σε σχέση µε το χ το ύψος που θα φτάσει η µπάλα µετά από:

• 1 αναπήδηση. • 2 αναπηδήσεις. • 3 αναπηδήσεις . • ν αναπηδήσεις. β) Αν αφήσουµε την µπάλα από ύψος 1m να βρείτε µετά από ποια αναπήδηση θα φτάσει σε ύψος 6,25 cm. γ) Να υπολογίσετε από ποιο ύψος αφήσαµε την µπάλα να πέσει αν µετά την 10η αναπήδηση έφτασε στα 2-9 m.

31. Να δείξετε ότι το άθροισµα

2009 9άρια

9 99 999 ...999...9+ + + είναι ίσο µε τη

διαφορά:2009

111...10 2009−

32. Να υπολογίσετε τους αριθµούς α, β αν γνωρίζετε ότι: αβ2 = 2 και α3β = -2-2.

33. Αν 2χ = α και αψ = β και βζ = 1 δείξτε ότι ένας τουλάχιστον από τους χ, ψ, ζ είναι ίσος µε 0.

34. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης (1520.810.27-5):(1019.125)

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 / 56

ΡΙΖΕΣ. 35.

Να συµπληρώσετε τις ισότητες : α) 0,04 ....= β) 225 ...= γ) 610 ....= δ) 16 .....=

36. Συµπληρώστε τις προτάσεις:

• Αν α x= µε α, χ µη αρνητικούς αριθµούς τότε ισχύει …………..

• Αν 2α α= τότε ο αριθµός α πρέπει να είναι ……………

• Αν 2α α= − , τότε ο αριθµός α πρέπει να είναι…………………

• Αν α οποιοσδήποτε αριθµός τότε 2α .......=

• Αν α 0≥ τότε ( )2α .......=

• Αν α 0≥ τότε α α .......⋅ = • Αν x 0 και 5 x≥ = τότε 2x .......= • Αν x2=5 και x 0≥ τότε x=……. • Αν x2=5 και x<0 τότε x=…….

37. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων :

α) 0,02 0.08 ....= β) 2003 2003 ...= γ)5α ....α

= δ) 16 200 .....2

=

38. α) Να αναλύσετε τους αριθµούς 8, 12, 18, 20, 27 σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. β) Στον παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της α΄ στήλης του σε ένα µόνο στοιχείο της β΄ στήλης του συµπληρώνοντας τον επόµενο πίνακα.

Αριθµός Τετραγωνική ρίζα αριθµού

8 3 3 12 2 2 18 3 2 20 2 3 27 2 5

Αριθµός Τετραγωνική ρίζα του αριθµού

39. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων: Α = ( 5 5 5) 5+ + Β = 2 8 4 2 3 2 18− + −

Γ = 50 2 32− − ∆ = 28 63700− Ε = ( )75 125 20+

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

11 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

40.

Έστω οι θετικοί αριθµοί α, χ για τους οποίους ισχύει χ χ α= α) Να δείξετε ότι ισχύει 3 2χ α=

β) Αν 3χ 32= να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης α 2 41.

Έστω οι θετικοί αριθµοί α, β, γ για τους οποίους ισχύει: α2 = β2 + γ2.

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 2 2 2 2β γ α β β α γ α+ − − −

42. Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων:

Α 1 43 31 15 100 18= + + + +

4Β 12 9 1,53

=

43. Να υπολογίσετε τους αγνώστους χ, ψ, ω αν χ 3 300= , ψ χ 90= , χψ ω 1=

44. Αν το τετράγωνο ενός αρνητικού αριθµού χ είναι 5 , να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: Α= 2 3(χ χ ) 125+

45. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις µε ρητό παρονοµαστή

• 12

=

• 312

=

• 33

=

• 20 4580−

• 23 8

• 23

46. Να κάνετε τις πράξεις: α) ( ) ( )2 1 2 1− + β) ( ) ( )3 2 3 2− + γ) ( ) ( )2 5 2 5+ −

δ) ( ) ( )α β α β+ − ε) ( ) ( )α β α β− +

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

12 / 56

47.

Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς παρονοµαστή

α) 12 1−

β) 33 2+

γ) 2 52 5+

δ) α βα β−

48. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις µε ρητό παρονοµαστή

α) 13 1−

β) 56 3+

γ) 4 54 5+

δ) 1α β−

49. Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων:

Α = 3 1 3 1 3 3 2− + + −

Β = ( ) ( ) ( )5 3 2 5 3 2 1 24+ + − − +

50. Το εµβαδόν ενός ορθογωνίου είναι 4 cm2 . Η µία του διάσταση είναι 5 1− cm α) Να υπολογίσετε την άλλη διάστασή του. β) Να δείξετε ότι η περίµετρός του είναι 4 5 cm.

51. Να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης:

Π = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 4 57 2 2 2 2 2 2 2 1+ + + + + − είναι ίση µε 7.

52. α. Να υπολογίσετε το τετράγωνο της παράστασης: 3 2+ β. Να βρείτε την τετραγωνική ρίζα της παράστασης: 5 2 6+

53. Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων:

Α = 1 1 11 2 2 3 3 4

− +− − −

Β = 1 1 1 1 1.......1 2 2 3 3 4 4 5 99 100

− + − + +− − − − −

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

13 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

54.

Έστω α, β δύο αρνητικοί ακέραιοι αριθµοί για τους οποίους ισχύει: α4 = β2. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: α β2009 + −

55. Να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα του αριθµού:

2222 .

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

14 / 56

∆ΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ. 56.

α) Έστω α, β δύο θετικοί πραγµατικοί αριθµοί µε α>β. Να τοποθετήσετε στο κενό (…) το κατάλληλο σύµβολο (>, <, =) : • α + β … 0 • α – β … 0 • αβ … 0

• αβ

… 0

• β – α … 0 • - α – β … 0 • α(-β) … 0 • α – (β – 2) … 0 • α + 2 – β … 0 β) Έστω α, β δύο αρνητικοί πραγµατικοί αριθµοί µε α>β. Να τοποθετήσετε στο κενό (…) το κατάλληλο σύµβολο (>, <, =) : • α + β … 0 • α – β … 0 • αβ … 0

• βα … 0

• β – α … 0 • - α – β … 0 • α(-β) … 0 • α – (β – 2) … 0 • α + 2 – β … 0

57. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις µε µία από τις εκφράσεις : «προκύπτει ανισότητα µε την ίδια φορά» , «προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς» ή «δεν µπορούµε να γνωρίζουµε αν προκύπτει ανισότητα ίδιας ή αντίθετης φοράς» :

• Αν και στα δύο µέλη µιας ανισότητας προσθέσουµε τον ίδιο αριθµό τότε ……………………………………………………………………………

• Αν και στα δύο µέλη µιας ανισότητας αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό τότε ……………………………………………………………………………

• Αν και στα δύο µέλη µιας ανισότητας πολλαπλασιάσουµε τον ίδιο αριθµό τότε ……………………………………………………………………………

• Αν και στα δύο µέλη µιας ανισότητας πολλαπλασιάσουµε τον ίδιο θετικό αριθµό τότε ……………………………………………………………………………

• Αν και στα δύο µέλη µιας ανισότητας πολλαπλασιάσουµε τον ίδιο αρνητικό αριθµό τότε ……………………………………………………………………………

• Αν και στα δύο µέλη µιας ανισότητας διαιρέσουµε τον ίδιο θετικό αριθµό τότε ……………………………………………………………………………

• Αν και στα δύο µέλη µιας ανισότητας διαιρέσουµε τον ίδιο αρνητικό αριθµό τότε ……………………………………………………………………………

• Αν προσθέσουµε κατά µέλη δύο ανισότητες της ίδιας φοράς τότε …………………………………………………………………………………

• Αν αφαιρέσουµε κατά µέλη δύο ανισότητες της ίδιας φοράς τότε

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

15 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

………………………………………………………………………………… 58.

α) Να τοποθετήσετε στο κενό (…) το κατάλληλο σύµβολο (>, <, =) : • Αν α ένας θετικός αριθµός τότε α … 0 • Αν α ένας αρνητικός αριθµός τότε α … 0 • Αν α > β τότε α – β …0 • Αν α – β < 0 τότε α … β • Αν α – β > 0 τότε α …. β • Αν α < β τότε α – β … 0 β) Να τοποθετήσετε στο κενό (…) το κατάλληλο σύµβολο, (>, <, =) και στην παρένθεση στο τέλος κάθε πρότασης την κατάλληλη λέξη, (θετικός ή αρνητικός) : • Το τετράγωνο ενός µη µηδενικού αριθµού είναι αριθµός …. 0 ( ……………) • Ο κύβος ενός αρνητικού αριθµού είναι αριθµός ….. 0 ( ……………) • Ο κύβος ενός θετικού αριθµού είναι αριθµός ….. 0 ( ……………) • ∆ύο οµόσηµοι αριθµοί έχουν πάντα γινόµενο αριθµό …. 0 ( ……………) • ∆ύο ετερόσηµοι αριθµοί έχουν πάντα γινόµενο αριθµό … 0 ( ……………) • Η άρτια δύναµη ενός µη µηδενικού αριθµού είναι πάντα αριθµός …. 0 (

……………) • Η περιττή δύναµη ενός αρνητικού αριθµού είναι πάντα αριθµός …. 0 ( ……………) • Η περιττή δύναµη ενός θετικού αριθµού είναι πάντα αριθµός …. 0 ( ……………) • Το πηλίκο δύο ετερόσηµων αριθµών είναι αριθµός …. 0 ( ……………) • Το πηλίκο δύο οµόσηµων αριθµών είναι αριθµός …. 0 ( ……………) • Το άθροισµα δύο θετικών αριθµών είναι αριθµός … 0 ( ……………) • Το άθροισµα δύο αρνητικών αριθµών είναι αριθµός …. 0 ( ……………)

59. Έστω α το ύψος του Αλέξανδρου β το ύψος της Κλεοπάτρας και γ το ύψος του Πλάτωνα. Γνωρίζουµε ότι ο Αλέξανδρος είναι ψηλότερος από την Κλεοπάτρα και η Κλεοπάτρα είναι ψηλότερη από τον Πλάτωνα. α) Μπορούµε να συµπεράνουµε τη σχέση ύψους του Αλέξανδρου και του Πλάτωνα; Ποιος είναι πιο ψηλός; β) Να συµπληρώσετε την παρακάτω σχέση: α …. β και β .… γ τότε …………. (Μεταβατική ιδιότητα στη διάταξη)

60. Έστω α η ηλικία της Ηώς, β η ηλικία του Θαλή και γ η ηλικία του Ηρακλή . Γνωρίζουµε ότι η Ηώ είναι µικρότερη του Θαλή και ο Θαλής µικρότερος του Ηρακλή. α) Μπορούµε να συµπεράνουµε τη σχέση ηλικίας της Ηώς και του Ηρακλή; Ποιος είναι πιο µικρός; β) Να συµπληρώσετε την παρακάτω σχέση: α …. β και β .… γ τότε …………. (Μεταβατική ιδιότητα στη διάταξη)

61. Έστω α, β, γ, δ τέσσερις θετικοί πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους γνωρίζουµε ότι:

( )( )1α β

γ δ 2<⎧ ⎫

⎨ ⎬<⎩ ⎭

α) Πολλαπλασιάστε στα δύο µέλη της ανισότητας (1) τον αριθµό γ . Η ανισότητα που προκύπτει έχει την ίδια φορά, γιατί;

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

16 / 56

Πολλαπλασιάστε στα δύο µέλη της ανισότητας (2) τον αριθµό β . Η ανισότητα που προκύπτει έχει την ίδια φορά, γιατί; Εφαρµόστε την µεταβατική ιδιότητα στις δύο ανισότητες που προέκυψαν. Ποια ανισότητα προκύπτει; β) Μπορούµε να πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη ανισότητες; Με ποιες προϋποθέσεις µπορούµε να το κάνουµε;

62. Έστω α, β δύο οµόσηµοι αριθµοί µε α < β. α) ∆ιαιρέστε και τα δύο µέλη της ανισότητας α < β µε το γινόµενο αβ. Η ανισότητα που προκύπτει έχει την ίδια φορά, γιατί;

β) Συγκρίνεται τους αριθµούς 1 1 και α β

γ) Αν γνωρίζουµε την διάταξη δύο αριθµών µπορούµε να συγκρίνουµε πάντα τους αντίστροφούς τους; Τι επιπλέον χρειάζεται να γνωρίζουµε;

63. Έστω χ ένας αριθµός ο οποίος παίρνει τιµές µεταξύ του 1 και του 2. α) Ο αντίθετος του χ µεταξύ ποιών αριθµών θα παίρνει τιµές; β) Συµπληρώστε τη σχέση: 1 < χ < 2 τότε …. < -χ < ….. γ) Ο τριπλάσιος του χ µεταξύ ποιών αριθµών θα παίρνει τιµές; δ) Συµπληρώστε τη σχέση: 1 < χ < 2 τότε …. < 3χ < …..

64. Έστω χ ένας αριθµός ο οποίος παίρνει τιµές µεταξύ του -1 και του 1, δηλαδή -1 < χ < 1 Τοποθετήστε µε την σωστή σειρά τις παρακάτω προτάσεις ,συµπληρωµένες µε την βοήθεια των οποίων θα βρούµε µεταξύ ποιων αριθµών παίρνει τιµές η παράσταση -2χ + 3. • Προσθέτουµε στα µέλη της ανισότητας τον αριθµό 3 και έτσι προκύπτει η ανισότητα: ……………………………

• Πολλαπλασιάζουµε στα µέλη της ανισότητας τον αριθµό -2 και έτσι προκύπτει ανισότητα µε ……………. φορά: ………………………………..

• Έχουµε την ανισότητα ……………………… • Γράφουµε την ανισότητα από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο:

…………………………. • Η παράσταση -2χ +3 παίρνει τιµές µεταξύ των αριθµών ….. και ……

65. Έστω χ ένας αριθµός ο οποίος παίρνει τιµές µεταξύ του -1 και του 3, δηλαδή -1 < χ < 3 και ψ ένας αριθµός ο οποίος παίρνει τιµές µεταξύ του – 5 και του -3 , δηλαδή -5 < ψ < -3 . Τοποθετήστε µε την σωστή σειρά τις παρακάτω προτάσεις ,συµπληρωµένες µε την βοήθεια των οποίων θα βρούµε µεταξύ ποιων αριθµών παίρνει τιµές η παράσταση -2χ + ψ -5. • Προσθέτουµε κατά µέλη τις ανισότητες …………………… και ………………….. και έτσι προκύπτει η ανισότητα …………………………………

• Προσθέτουµε στα µέλη της ανισότητας τον αριθµό -5 και έτσι προκύπτει η ανισότητα: ……………………………

• Πολλαπλασιάζουµε στα µέλη της ανισότητας τον αριθµό -2 και έτσι προκύπτει ανισότητα µε ……………. φορά: ………………………………..

• Έχουµε την ανισότητα ……………………… • Γράφουµε την ανισότητα από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο:

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

17 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

…………………………. • Η παράσταση -2χ + ψ -5παίρνει τιµές µεταξύ των αριθµών ….. και ……

66. Έστω χ ένας αριθµός ο οποίος παίρνει τιµές µεταξύ του 2,5 και του 4, δηλαδή 2,5 < χ < 4 και ψ ένας αριθµός ο οποίος παίρνει τιµές µεταξύ του 0 και του 1,5 , δηλαδή 0 < ψ < 1,5 . Να υπολογίσετε µεταξύ ποιών αριθµών παίρνουν τιµές οι παρακάτω παραστάσεις: α) χ + 6,1 β) χ + ψ γ) χ – ψ δ) 2χ – 3ψ + 4

ε) 1χ

67. α) ∆είξτε , µε τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας ότι : (α – β)(α + β) = α2 – β2. β) Έστω α , β δύο θετικοί αριθµοί µε α < β. • Ο αριθµός α2 – β2 είναι θετικός ή αρνητικός και γιατί; • Συγκρίνετε τον α2 µε τον β2. γ) Έστω α , β δύο αρνητικοί αριθµοί µε α < β. • Ο αριθµός α2 – β2 είναι θετικός ή αρνητικός και γιατί; • Συγκρίνετε τον α2 µε τον β2. δ) Έστω α , β δύο αριθµοί µε α < β. Είναι σωστό ή λάθος ότι α2 < β2 ;

68. Έστω α , β δύο αριθµοί µε α < β. α) Να εξετάσετε αν η διαφορά (2α – 3β) – (α – 2β) είναι αριθµός θετικός ή αρνητικός; β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς 2α – 3β και α – 2β.

69. Έστω α , β δύο αριθµοί µε α < 0 < β . Να δικαιολογήσετε ότι το γινόµενο ( α – 1)(β – α)(β + 2)(α – β) είναι θετικός αριθµός.

70. Έστω α , β δύο αντίθετοι αριθµοί. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του παρακάτω πίνακα µε ένα µόνο στοιχείο της δεύτερης στήλης του συµπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα.

Στήλη 1η Στήλη 2η

Α.: Το γινόµενο των α, β α. 0 Β.: Το πηλίκο των α, β β. ένας αρνητικός αριθµός Γ.: Το άθροισµα των α, β γ. ένας θετικός αριθµός

δ. 1 ε. -1

Α Β Γ

71. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση: • Αν -2χ > 0 τότε : Α.: χ < 0 , Β.: χ = 0 , Γ.: χ > 0 , ∆.: χ > 2. • Αν 3χ < 0 τότε : Α.: χ < 0 , Β.: χ = 0 , Γ.: χ > 0 , ∆.: χ > - 3 .

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

18 / 56

• Αν χ(χ2+1) > 0 τότε : Α.: χ < 0 , Β.: χ = 0 , Γ.: χ > 0 , ∆.: χ > -1. • Αν (χ – 1)2 ≤0: τότε Α.: χ < 1 , Β.: χ = 1 , Γ.: χ > 1 , ∆.: χ ≥ 1.

72.

Για τον αριθµό χ ισχύει; (χ + 1)(χ – 1) ≤ 0. α) Ποιος από τους αριθµούς χ – 1 , χ + 1 είναι µεγαλύτερος; β) Τι αριθµοί πρέπει να είναι οι χ – 1 , χ + 1; Οµόσηµοι ή ετερόσηµοι; γ) Συµπληρώστε τις ανισώσεις: χ – 1 …. 0 και χ + 1 …. 0 δ) Συµπληρώστε την ανίσωση: ……≤ χ ≤ …… ε) Συµπληρώστε την πρόταση: Ο αριθµός χ πρέπει να παίρνει τιµές από …. µέχρι και

73. Για τον αριθµό χ ισχύει; (χ - 1)(χ – 3) > 0. Να δικαιολογήσετε ότι ο αριθµός χ παίρνει τιµές µεγαλύτερες του 3 ή µικρότερες του 1.

74. Αν χ, ψ δύο ετερόσηµοι αριθµοί να βρείτε αν ο αριθµός χ(χ – ψ)ψ(ψ –χ) είναι θετικός ή αρνητικός. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

75. α) Να απλοποιήσετε την παράσταση: (3α – 5 ) – (α + 1) β) Αν α < 3 να συγκρίνετε τους αριθµούς 3α – 5 και α +1.

76. Αν α< β και β αρνητικός αριθµός να διατάξετε από τον µικρότερο προς το

µεγαλύτερο τους αριθµούς: α0,α β, ,1β

77. Να λυθεί η ανίσωση : αχ α< − όταν α) Ο αριθµός α είναι αρνητικός. β) Ο αριθµός α είναι θετικός.

78.

α) Αν αα 0 και 0β

< > τότε : Α.: β < 0 , Β.: β = 0 , Γ.: β > 0 , ∆.: δεν µπορούµε

να γνωρίζουµε αν ο β είναι θετικός ή αρνητικός. Επιλέξτε την σωστή απάντηση.

β) Να λυθεί η ανίσωση 2 02x 6−

>− +

79. Να γράψετε στο τέλος της κάθε πρότασης ,«Σωστό», αν αυτή είναι σωστή και «Λάθος», αν αυτή είναι λάθος: • Η ανίσωση 0χ > 1 αληθεύει για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς ………… • Η ανίσωση 0χ ≥ -1 αληθεύει για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς ………… • Η ανίσωση 0χ < 1 είναι αδύνατη ………… • Η ανίσωση 0χ > 0 είναι αδύνατη ………… • Η ανίσωση 0χ ≥ 1 αληθεύει για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς ………… • Για κάθε πραγµατικό αριθµό χ ισχύει: (χ – 2)2 >0 ………… • Αν 0 < χ < 4 τότε χ = 1 ή χ = 2 ή χ = 3………….. • Μπορούµε να γράφουµε 0 < χ < -1 ……………. • Η ανίσωση 3χ ≥ 0 αληθεύει για όλους τους µη αρνητικούς αριθµούς …………

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

19 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

• Η ανίσωση 1 0χ> αληθεύει µόνο για τους αριθµούς χ µε χ >1 …………

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

20 / 56

80.

α) Να σηµειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθµούς χ για τους οποίους ισχύει: 1,5 χ 0− ≤ ≤ β) Να σηµειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθµούς χ για τους οποίους ισχύει:

5 1χ3 3

− < ≤

γ) Να σηµειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθµούς χ για τους οποίους ισχύει:

110 χ2

≤ − <

δ) Να σηµειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθµούς χ για τους οποίους ισχύει:

2 χ 15

− < <

ε) Να σηµειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθµούς χ για τους οποίους ισχύει:

3χ2

στ) Να σηµειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθµούς χ για τους οποίους ισχύει:

3χ5

> −

ζ) Να σηµειώσετε πάνω σε άξονα τους αριθµούς χ για τους οποίους ισχύει: χ 2 ή χ 2> < −

81. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να σηµειώσετε τις λύσεις τους πάνω σε άξονα.

α) 3χ 2 2 5 2χχ 12 7 14− −

− + − ≤ −

β) ( )1 χ 4χ 3 10 8χχ 3

5 3 15− − +− −

− + ≥ − +

γ) χ 3 5χ8 1 2χ2 4

−≥ − + −

δ) 3χ 2 2χ3 2 1 5 1 2χ 02 5

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − − + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

82. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να τις σηµειώσετε πάνω σε άξονα.:

α) ( ) ( )

( ) ( )

5χ 7 χ 2 3 χ 5 1

1 χ 4 χ 2 χ 12

⎫− + − < − +⎪⎬

− − ≥ − ⎪⎭

β) ( )χ 4 1,25 0,5χ 0

χ 3 χ2 22 3

⎫− − ≤⎪⎬−

− + > − ⎪⎭

γ)

3 2χ χ 17 4

4χ 2χ 11 33 21 2

2 3

− − ⎫< ⎪− ⎪⎬−− + ⎪

+ ≥ − ⎪⎭

δ)

χ 7 χ0 1 χ2 6χ 1 χ1 52 3

− ⎫< − + − ⎪⎪⎬

− ⎪< + −⎪− ⎭

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

21 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

83.

Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) (χ-2)(χ+2)<0 β) χ2-4χ>0 γ) χ3+χ≤0

84. α) Υπάρχουν άπειροι θετικοί αριθµοί που το τετράγωνό τους είναι µικρότερο από τον εαυτό τους. Μπορείτε να βρείτε κάποιον. β) Βρείτε όλους τους αριθµούς που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του α) και σηµειώστε τους πάνω σε έναν άξονα.

85. Η απόλυτη τιµή του αριθµού 2χ – 1 δεν ξεπερνάει το 1. α) Σηµειώστε πάνω σε έναν άξονα την περιοχή που µπορεί να βρίσκεται ο αριθµός 2χ – 1. β) Βρείτε τις τιµές που µπορεί να πάρει η µεταβλητή χ.

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

22 / 56

ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ 86.

Να γράψετε τις αλγεβρικές παραστάσεις που προκύπτουν από τις παρακάτω προτάσεις, συµπληρώνοντας τον πίνακα που ακολουθεί :

• Η περίµετρος ενός ορθογωνίου µε διαστάσεις α και 3 • Το εµβαδό ενός ορθογωνίου µε διαστάσεις α και 3 • Η απόσταση που διανύει ένα αυτοκίνητο µε ταχύτητα υ (Km/h) σε χρόνο 3

h • Το µήκος ενός ορθογωνίου µε εµβαδό 10 (cm2) , αν το πλάτος του είναι χ. • Το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου µε κάθετες πλευρές χ και 4.

• Η επιφάνεια ενός κύβου µε ακµή α. • Η επιφάνεια ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε διαστάσεις α, β, γ. • Η περίµετρος ενός κύκλου ακτίνας ρ. • Το εµβαδό ενός κύκλου ακτίνας ρ. • Το τριπλάσιο ενός αριθµού χ αυξηµένο κατά τον κύβο του.

Α/Α Παράσταση Είδος παράστασης (µονώνυµο – πολυώνυµο)

i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x.

87. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Μονώνυµο Συντελεστής Κύριο µέρος -2α3β

2 3α βγ2

31βα3

( ) 22 1 χψ−

2 3α γ β− 2χψ

Υπάρχουν τρεις οµάδες όµοιων µονωνύµων. Ποιες είναι αυτές; Να βρείτε το άθροισµα των µονωνύµων της κάθε οµάδας. Να γράψετε το πολυώνυµο που προκύπτει από το άθροισµα όλων των µονωνύµων.

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

23 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

88.

∆ίνεται η αλγεβρική παράσταση: Α = -5χψ + χ2 – 2ψ2 α) Από ποια µονώνυµα αποτελείται η παράσταση; β) Είναι σωστό ή λάθος ότι αυτή η παράσταση είναι ένα πολυώνυµο; γ) Υπολογίστε την αριθµητική τιµή της παράστασης για χ = -1 και ψ = 2

89. ∆ίνονται τα µονώνυµα -4χ και χ3. α) Είναι σωστό ή λάθος ότι τα µονώνυµα είναι όµοια; β) Ποιο είναι το άθροισµά τους; Είναι µονώνυµο ή πολυώνυµο; γ) Υπάρχει τιµή της µεταβλητής χ για την οποία η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου να είναι ίση µε 0; Αν ναι ποια είναι αυτή;

90. Καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις µπορεί να είναι σωστή , µπορεί όµως να είναι λάθος. Γράψτε δίπλα από κάθε πρόταση το Σ αν αυτή είναι σωστή και το Λ αν αυτή είναι λάθος.

• Η αλγεβρική παράσταση 2x

είναι ένα µονώνυµο µε συντελεστή 2. ………

• Η αλγεβρική παράσταση x2

είναι ένα µονώνυµο µε συντελεστή 12

. ………

• Το µονώνυµο χ3ψ δεν έχει συντελεστή. ……. • Τα άθροισµα των µονωνύµων 2χ3ψ και χ3ψ είναι το µονώνυµο 3χ3ψ. …… • Ο αριθµός 2004 µπορεί να χαρακτηριστεί µονώνυµο. ……. • Η παράσταση ( )2 3 xα+ δεν είναι µονώνυµο. …….

• Το κύριο µέρος του µονωνύµου -4α3β2 είναι το αβ. ….. • Η παράσταση 2χ + 7χ –χ δεν είναι µονώνυµο ……. • Το γινόµενο δύο µονωνύµων είναι πάντα µονώνυµο. ….. • Το πηλίκο δύο µονωνύµων είναι πάντα µονώνυµο. …… • Το άθροισµα δύο µονωνύµων µε το ίδιο κύριο µέρος είναι πάντα µονώνυµο. …. • Το άθροισµα δύο µονωνύµων είναι πάντα µονώνυµο. ….. • Η δύναµη ενός µονωνύµου µε εκθέτη θετικό ακέραιο είναι ένα µονώνυµο. …..

91. Σε καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση. • Η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου 1 + 2χ + χ2 για χ = -1 είναι: Α.: 4 Β.: 2 Γ.: 0 ∆.: δεν µπορεί να υπολογιστεί.

• Η αριθµητική τιµή της παράστασης 3χ 5χχ 3++

για χ = -3 είναι:

Α.: 0 Β.: -39 Γ.: 6

39− ∆.: δεν µπορεί να υπολογιστεί.

• Το τετράγωνο του µονωνύµου -3χψ3 είναι: Α.: -3χ2ψ6 Β.: 9χψ3 Γ.: 9χ2ψ6 ∆.: -9χ2ψ6. • Το γινόµενο των µονωνύµων 2χ και 8χ είναι ίσο µε: Α.: 4χ2 Β.: 4χ Γ.: 4 ∆.: 8χ2.

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

24 / 56

92.

Να κάνετε τις πράξεις, (άθροισµα οµοίων µονωνύµων): • 5χ +3χ – 2χ – χ • –χ2 + χ2 • 2αχ3 – 0,5αχ3 + 1,25αχ3

• 3 3 31 8χ ψ χ ψ χ ψ3 12

− + +

• 3 3 3

3α α α 2α2 6 3

− + − +

• χ χ 2χ χ42 8

− − +

93. Να κάνετε τις πράξεις, (γινόµενο µονωνύµων):

• -5χ ·3χ • 0,5χ3ψ·(-2χψ3)·χ

• ( )1 12ωφ ω 3φ ω2 3

− ⋅ ⋅ − ⋅

• ( )23 45x α−

• 3 22 3x x x 1,5x

3 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• ( ) ( )33 1t c 5 tc2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

94. Να κάνετε τις πράξεις, (διαίρεση µονωνύµων):

• -5χ :4χ • 4αχ3:(-2αχ) • -5ψ:(3ψ3χ)

• 3 3xt x t:

3 6

• β:(-β2)

• 2xc 4: x3 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

95. Να κάνετε τις πράξεις:

• ( )22 32χ 3χ χ : χ χ⋅ − −

• ( ) ( )3 2 22α βγ : 2αβγ 2α 3α : α 2α γ− ⋅ −

• 3 2 2χ (ψ 3ψ): ( 2) 3ψ(χ 2χ) (χψ) : (χ ψ )⋅ − − + − −

• ( ) ( ) ( )( )3

23 21ω : 0,2ω : 2ω 5ω 3ω5⎛ ⎞ − + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

25 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ 96.

Να κάνετε τις πράξεις (: Αναγωγή οµοίων όρων) i. 3α – 5β + 2α - β ii. χ 2 χ 2 3χ 1+ − + −

iii. 2 2 2 21 2 1χ ψ χψ χψ χ ψ χψ χψ 15 3 2

− + − − + +

iv. κ λ κ2κ λ2 3 3

− − + − +

v. 2 2 2χ χψ ψχ ψ χ− − + − vi. 2 22 3χ χ 5χ 3 7χ− + + − + vii. 3 2 2 2 2 3α α β αβ 2α β 2αβ β− + − + − viii. ( ) ( ) ( )2α β 3α 4β α 1 3β 2− − + − − − − +

ix. ( )2 21 χ χ 1 χ χ 2χ+ + − − + −

x. ( ) ( ) ( ) ( )1 α 2 α 3 α ..... 100 α+ + + + + + + + 97.

∆ίνεται η παράσταση Α = 3χ2ψ -2ψ3-2χ2ψ+ψ3 α) Να κάνετε την αναγωγή οµοίων όρων.

β) Αν χψ3

= δείξτε ότι: 32Α χ 0

3⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

98. Θέτοντας τον αριθµό 111111 µε την µεταβλητή χ να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 3 · 555555 – 333333 - 5 · 222222 – 2002 .

99. Αν χα = 2 δείξτε ότι η τιµή της παράστασης : Α = αχ3 + α3χ + α2χ2 – 2χ2 – 2α2 +2000 είναι ίση µε 2004.

100. Υπολογίστε την τιµή της παράστασης: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 α 2 2α 3 3α 4 4α ... 4003 4003α 4004 4004α+ − + + + − + + + + − +

101. Αν το άθροισµα των α και β είναι ίσο µε 5 , να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων:

( ) ( )( )

Α 2α β 3 γ α 2β γ 1 3 2α

Β α 2α 5 β 3β α 3α β

⎡ ⎤= − + + − − − − − − + +⎣ ⎦⎡ ⎤= − + + − − + −⎣ ⎦

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

26 / 56

102.

Ένας οπωροπώλης είχε χ κιλά µήλα και ψ κιλά πορτοκάλια. Πούλησε την α΄

ηµέρα την µισή ποσότητα των µήλων και το 13

της ποσότητας των πορτοκαλιών.

Πούλησε την β΄ ηµέρα τα 34

της ποσότητας των µήλων και τα 34

της ποσότητας

των πορτοκαλιών που του έµειναν από την α΄ ηµέρα. α) Να συµπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις κάνοντας όπου χρειάζεται τις πράξεις: • Στην αρχή η συνολική ποσότητα των µήλων και των πορτοκαλιών είναι: …. +

….. κιλά. • Στο τέλος της α΄ ηµέρας η συνολική ποσότητα των µήλων και των

πορτοκαλιών που έµειναν είναι: …. + ….. - ... ...χ ψ... ...

− = …………………κιλά.

• Στο τέλος της β΄ ηµέρας η συνολική ποσότητα των µήλων και των

πορτοκαλιών που έµειναν είναι: …. + ….. - ... ...χ ψ... ...

− = …………………κιλά.

β) Να υπολογίσετε την συνολική ποσότητα των µήλων και των πορτοκαλιών που έµειναν στο τέλος της β΄ ηµέρας αν η αρχική ποσότητα των µήλων είναι 16 κιλά και η αρχική ποσότητα των πορτοκαλιών είναι 24 κιλά.

103. Έστω α= -2χ + ψ + ω , β = χ – 2ψ + ω , γ = χ + ψ – 2ω. α) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης α + β + γ β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης (2α – β) + (2β – γ) + (2γ – α). γ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης (α + 2χ) – (β + 2ψ) + (γ + 2ω) – 2ψ.

104. Αν α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε: α + β + γ =20 και 3α + 2β + 3γ =67 , να προσδιορίσετε την τιµή της παράστασης Α = (2α + β + 2γ)(4α +3β + 4γ) (Ε.Μ.Ε. 1998)

105.

Έστω

χ ψ

χ ψ

χ

3α81 273 9β

27γ 9 9

⎫= ⎪⋅ ⎪⋅ ⎪= ⎬

⎪⎪= ⋅⎪⎭

Να δείξετε ότι χ ψ

1αβγ3 3

=⋅

106. Αν α + β = -3 , β + γ = 2 και γ +α = 1 να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων: Α = β – (α – γ) – (2α - β) + 4α Β = α – [β – (α – β) – (β – γ)] + 2β + 2γ Γ = 2β + γ – - α -[-β – (-γ)] ∆ = 2α + 2β + 2γ

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

27 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 107.

Να συµπληρώσετε την επιµεριστική ιδιότητα: • α(β + γ) = ….. +…… • α(β – γ) = …...- ……. • (α + β)(γ + δ) = …..+ ……+ ……+ …….

108. Να κάνετε τις πράξεις: α) – 2(χ – ψ) β) 3(- χ + 2)

γ) 3 ( 2χ 6ψ)2

− − +

δ) 0,7(2α +3β) ε) – α(β – α +2) στ) χ(χ2 – 3 + χ) ζ) –ψ(χψ – ψ +6) η) χψ( χ –ψ ) θ) αβγ(α + β + γ) ι) -3χ(χ3 – 2χ + 5)

109. Να κάνετε τις πράξεις: α) – 2χ(χ – ψ) + 2ψ(ψ – χ) – 2(ψ2 – χ2) β) 3α(3 – 2α) – 6(2 – α2) – 9(α + 1) + 20 γ) – χ2(χ – 2) + χ(χ2 – 1) + χ(2χ + 1) δ) α(α – β + 1) – β(β – α – 1) – α(α + 1) – β(β + 1) ε) αχ(α – χ) – α(1 – χ2) + χ(1 – α2) – (χ – α)

110. Να κάνετε τις πράξεις: α) (χ + 2)(χ + 3) – χ(χ + 5) – 5 β) (χ – 1)(χ + 4) + 6 – χ(χ + 3) γ) (χ – 4)(χ – 5) + χ(9 – χ) – 17

δ) (2χ + 3)(2χ – 3) – 4(χ2- 4

13 )

111. Να κάνετε τις πράξεις: α) (α – 2β)(α + β) – (α + β)(α – β) +β(β + α) β) – α(3α – 2β – 5) + (3α + β)(α – β) +β2 – 5(α -1) γ) (2κ – 3λ)(4κ2 + 6κλ +9λ2) – 8κ3 +27λ3 +10 δ) (3µ – 2ν)(3ν – 2µ) – 6(µ + ν)(µ + ν) –νµ +15

112. Να κάνετε τις πράξεις: α) (χ – 1)(χ – 2)(χ + 1)(χ + 2) – χ2(χ2 – 5) + 6. β) (χ2 – 4χ + 4)(χ – 2) – χ3 + 108 +6χ(χ-2) γ) (χ + 10)(χ2 + 20χ +100) –χ2(χ + 30) – 300χ δ) (χ + 1)(χ4 – χ3+ χ2 – χ + 1) – χ5 + 10001

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

28 / 56

113.

Αν α4 = 10 και β4 = 9 να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: (α – β)(α3 + α2β + αβ2 + β3)

114. Αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί περιττοί ακέραιοι αριθµοί να δείξετε ότι το τετράγωνο του β είναι κατά 4 µονάδες µεγαλύτερο από το γινόµενο των α, γ. Ισχύει το ίδιο για τους άρτιους αριθµούς;

115. Να υπολογίσετε την διαφορά του γινοµένου δύο διαδοχικών περιττών ακεραίων από το γινόµενο του άρτιου, που προηγείται του µικρότερου περιττού, και του άρτιου που έπεται του µεγαλύτερου περιττού.

116. Αν για τους αριθµούς χ , ψ ισχύει ότι: χ3 - ψ3 = 3χψ(χ – ψ) να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης: Α = (χ – ψ)(χ2 – 2χψ + ψ2) είναι ίση µε 0.

117. Αν χ2 + 5χ = ψ και ψ2 + 10ψ = -24 να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης Α = (χ + 1)(χ + 2)(χ + 3)(χ + 4) είναι ίση µε το 0.

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

29 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ.

118. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

i. (… - ….)… = χ2 - ….. + ψ2 ii. (… - ….)… = χ3 - …….. +…….. – ψ3 iii. (… + ….)… = χ2 + ….. + ψ2 iv. (… + ….)… = χ3+ …….. +…….. + ψ3 v. (χ – ψ)(…. + ….) = .…. - ….. vi. χ3 – ψ3 = (…. - …..)(….. + ….. + …..) vii. χ3 + ψ3 = (…. + …..)(….. - ….. + …..)

119. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της 1ης στήλης του παρακάτω πίνακα µε ένα µόνο στοιχείο της 2ης στήλης του συµπληρώνοντας τον 2ο πίνακα.

1η Στήλη 2η Στήλη Α.: κ2 - λ2 1.: (κ – λ)3

Β.: κ2- 2κλ +λ2 2.: (κ + λ)2

Γ.: κ2+ 2κλ +λ2 3.: (κ – λ)2 ∆.: κ3 – λ3 4.: (κ – λ)(κ + λ)

5.: (κ – λ)(κ2+ κλ + λ2) 6.: (κ + λ)(κ2- κλ + λ2)

Α Β Γ ∆

120. Καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις µπορεί να είναι σωστή , µπορεί όµως να είναι λάθος. Γράψτε δίπλα από κάθε πρόταση Σωστό αν αυτή είναι σωστή και Λάθος αν αυτή είναι λάθος.

I. Ταυτότητα ονοµάζεται µια ισότητα που περιέχει µεταβλητές και επαληθεύεται για κάποιες τιµές αυτών των µεταβλητών. ………….

II. Ταυτότητα ονοµάζεται µια ισότητα που περιέχει µεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιµές αυτών των µεταβλητών. ………….

III. Η ισότητα χ2 + ψ2 – 2χψ = (χ – ψ)2 δεν είναι ταυτότητα. …………. IV. Αν α + β = 5 τότε α2 + 2αβ + β2 = 25 ………….. V. Αν α2 + β2 = 10 και αβ = 3 τότε α + β = 4 …………

VI. Ισχύει: α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ …………. VII. Ισχύει: α2 + β2 = (α - β)2 + 2αβ ………….

VIII. Ισχύει: χ3 + ψ3 + 3χψ(χ+ψ) = (χ + ψ)3 ……………. IX. Ισχύει: χ3 - ψ3 - 3χψ(χ - ψ) = (χ - ψ)3 ……………. X. Ισχύει: (-χ - 2)2 = -χ2-4χ-4 ……………

XI. Ισχύει: (- α - β)(α - β) = β2 – α2 ………….

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

30 / 56

121.

Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: α) α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ β) α2 + β2 = (α - β)2 + 2αβ γ) (α + β)3 = α3 + β3 +3αβ(α + β) δ) (α - β)3 = α3 - β3 -3αβ(α - β)

122. Να βρείτε τα αναπτύγµατα:

i. (χ + 3)2 ii. (χ – 4)2 iii. (2χ + 5)2 iv. (1 – 3χ)2 v. (2χ + 5ψ)2

vi. (3κ – 2λ)2 vii. (χ2 + 1)2 viii. (χ3 – 2)2

ix. 25 3x ψ

5 3⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

x. 22 3χ ψ

3 4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

123. Να βρείτε τα αναπτύγµατα:

vi. 21x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

vii. 21x

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

viii. (-χ + 5)2 ix. (-1 –χ)2 x. (-2χ - 5ψ)2

vi. 23 x

x 3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

vii. (χ1002 - 1)2 viii. (χκ – ψλ)2

ix. 2

χ ψψ χ⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

x. ( )2α β2 2−

124. Να κάνετε τις πράξεις χρησιµοποιώντας την ταυτότητα: (α + β)(α – β) = α2 – β2:

xi. (χ + 3)(χ -3) xii. (χ – 1)(χ + 1) xiii. (2χ - 5)(2χ +5) xiv. (1 – 3χ)(1 + 3χ) xv. (2χ + 5ψ)(2χ – 5ψ)

vi. (3κ – 2λ)(3κ + 2λ) vii. (χ2 + 1)(χ2 – 1) viii. (χ3 – 2)(χ3 + 2)

ix. 5 3x ψ

5 3⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

5 3x ψ5 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

x. 2 3χ ψ3 4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3χ ψ3 4⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

31 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

125.

Να βρείτε τα αναπτύγµατα: xvi. (α + 1)3 xvii. (χ + 2)3 xviii. (2α + 3)3 xix. (1 + 3α)3 xx. (α + 5β)3

vi. (3κ – 2λ)3 vii. (χ2 - 1)3 viii. (χ3 – 2)3

ix. 31x

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

x. 31χ

x⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

126.

∆ίνονται οι παραστάσεις: ( )2Α 3 2= + ( )2Β 3 2= −

α) Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων Α , Β β) Να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης Γ=Α.Β είναι ίση µε 1

127.

∆ίνονται οι παραστάσεις: ( )3Α 2 1= − ( )3Β 2 1= +

α) Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων Α , Β β) Να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης Γ=Α.Β είναι ίση µε 1

128. Αν για τον πραγµατικό αριθµό χ ισχύει χ3 = 5, να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων: Α = (χ – 1)(χ2 + χ + 1) Β = (χ + 1)(χ2 - χ + 1) Γ = (2χ – 1)(4χ2 + 2χ + 1) ∆ = (2χ + 3)(4χ2 – 6χ + 9)

129. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

xxi. χ2 – …. +1 = (…. - ….)2 xxii. 4α2 + ….. + 9 = (…. + ….)2 xxiii. χ4 – …….. +α2 = (…. - ….)2 xxiv. 100 + …….+α10 = (…. + ….)2 xxv. 25ψ2 - ……..+16χ2 = (…. - ….)2

vi. 29 1x .......4 9

+ + = (…. +….)2

vii. 16α16 - ……+36β36 = (…. - ….)2

viii. 6 1χ .....4

+ + = (…. + ….)2

ix. χ2ν - ……..+ψ2µ = (…. - ….)2 x. 2χ2 + …… +2 = (…. + …..)2

130. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

xxvi. χ2 - 4χ +…… = (…. - ….)2 xxvii. 9α2 +6α +….. = (…. + ….)2 xxviii. 25 – 20α +…… = (…. - ….)2 xxix. α2 + 2+….. = (…. + ….)2 xxx. 49κ4 – 14κ2+…… = (…. - ….)2

vi. 1 + 10χ + …….. = (…. +….)2 vii. 64χ2ψ6 – 80χω2ψ3 + …..= (…. - ….)2 viii. α2 + 5α + …..= (…. + ….)2 ix. χ4004- 2 +……= (…. - ….)2 x. χ2ψ2 + 2χ + ……= (…. + …..)2

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

32 / 56

131.

Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: i. 8x3 - ……. + ……. – 27 = (….. - ……)3 ii. 1 + …….. + …….. + χ3ψ3 = (…… + …..)3 iii. 64α6 - …….. + …….. – β9 = (……. - ……)3

iv. ( )333

1χ ... ... ... ...χ

+ + + = +

v. κ6λ6 - ……… +…… - 8 = (……- ……)3 132.

Να αποδείξετε ότι: i. ( ) ( )2 2α β 4αβ α β+ − = −

ii. ( ) ( )2 2α β 4αβ α β− + = +

iii. ( ) ( )33 3α β α β 3αβ α β+ = + − +

iv. ( ) ( )33 3α β α β 3αβ α β− = − + −

v. ( ) ( ) ( )2 2 22 2 22α 2β 2γ 2αβ 2βγ 2γα α β β γ γ α+ + − − − = − + − + − 133.

Με τη βοήθεια της ταυτότητας α2 – β2 =(α – β)(α + β) να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: Α = 2002 – 1902 = Β = 1112 - 112 = Γ = 472 – 432 = ∆ = 7,552 – 2,452 =

134. Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων α2 +2αβ + β2 =(α + β)2 , α2 - 2αβ + β2 =(α - β)2 να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: Α = 992 + 198 + 1 = Β = 10012 – 2002 +1 = Γ = (α – 1)2 – 2(α2 – 1) + (α + 1)2 = ∆ = (3 – χ)2 + (3 + χ)2 - 2(χ2 – 9) =

135. Έστω α 5 3= − και β 5 3= + α) Να υπολογίσετε το άθροισµα και το γινόµενο των α , β. β) Με τη βοήθεια της ταυτότητας α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ, να υπολογίσετε το άθροισµα τετραγώνων των α, β. γ) Να υπολογίσετε το άθροισµα των κύβων των α, β.

136. α) Να αποδείξετε ότι (α + β)2 – (α – β)2 = 4αβ. β) Αν για τους αριθµούς α , β γνωρίζουµε ότι: α + β = 5 και α – β = 3 να δείξετε ότι

αβ = 12

και να υπολογίσετε το άθροισµα τετραγώνων των α, β.

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

33 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

137.

α) Να δείξετε ότι ( )2κ λ κ λ 2 κλ+ = + +

β) Να βρείτε δύο θετικούς ακέραιους αριθµούς κ, λ ώστε κλ = 3 και κ + λ = 4 γ) Να κάνετε την παράσταση 4 + 2 3 τέλειο τετράγωνο. δ) Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του 4 + 2 3

138. Με την βοήθεια των εµβαδών στο παρακάτω σχήµα να δείξετε την ταυτότητα (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2.

139. Με την βοήθεια των εµβαδών στο παρακάτω σχήµα να δείξετε την ταυτότητα (α - β)2 = α2 - 2αβ + β2.

140. Με την βοήθεια των εµβαδών στο παρακάτω σχήµα να δείξετε την ταυτότητα α2 – β2 = (α – β)(α + β).

α

β

α

β

β

β

β α

β α

α

β

β

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

34 / 56

141.

Το άθροισµα δύο αντίστροφων αριθµών είναι 2 2 Να υπολογιστούν α) Το άθροισµα των τετραγώνων τους. β) Το άθροισµα των κύβων τους γ) Το τετράγωνο της διαφοράς τους δ) Τη διαφορά τους.

142. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

( )2 2 2 2 21 2 3 ... 99 100 2 1 2 3 4 5 6 ... 99 100+ + + + + − ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 143.

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 11 101 1.001 10.001 100.001 9 99 999 9.999 99.999+ + + + + − + + + +

144. Αν α + β = χ –ψ = 2 , να δείξετε ότι οι τιµές των παρακάτω παραστάσεων Α, Β είναι ίσες µε 4. Α = (α3 + β3) – (α2 + β2) + 4αβ. Β = (χ3 – ψ3) – (χ2 + ψ2) – 4χψ

145. Αν α8 = β8 + 2002 , να υπολογίσετε την τιµή του γινοµένου: (α – β)(α + β)(α2 + β2)(α4 + β4)

146. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 +2αβ + 2βγ + 2αγ. β) Αν αβ + βγ + αγ = α + β + γ , να δείξετε ότι η παράσταση Α = (α + 1)2 + (β + 1)2 + (γ + 1)2 – 3 είναι τέλειο τετράγωνο.

147. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α2+β2+γ2)(χ2+ψ2+ω2)=(αχ+βψ+γω)2+(αψ–βχ)2+(αω–γχ)2+(βω–γψ)2. β) Να γράψετε τους αριθµούς 14 και 141 ως άθροισµα τετραγώνων 3 θετικών ακεραίων. γ) Να γράψετε το γινόµενο 14·141 ως άθροισµα τετραγώνων 4 θετικών ακεραίων

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

35 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 148.

Στα παρακάτω πολυώνυµα να βγάλετε κοινό παράγοντα τον ΜΚ∆ των συντελεστών των όρων τους.

i. 6χ + 3 ii. 2α5 - 10 iii. 24κ – 16λ iv. 15 + 20µ v. 220ω2 +33t3

vi. 3x2 – 9x + 12 vii. 14 + 49β +70α viii. 4ρ – 6ρ3 + 8 ix. 26µ2 – 39ν x. 25z – 75 t + 100

149. Να κάνετε παραγοντοποίηση τα παρακάτω πολυώνυµα .

i. 6αχ + 3α ii. 2α5 – 10α iii. 24κ2λ – 16κλ2 iv. 15µ2 + 20µ v. 220ω2 +33ω3

vi. 3x2 – 9x + 12x3 vii. 14α2 + 49αβ +70αβ3 viii. 4νρ – 6ν 2 ρ3 + 8ρ2ν ix. 26µ2 – 39µ x. 25z2 – 75 z xi. α2 – α xii. α3 – α2 – α xiii. χ2004 – χ2003 – χ2002

150. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα κάνετε τις πράξεις.

i. 2χ(2χ2 – 4) + χ3 – 2χ ii. (α + 1)(α – 1) – (α – 1)(α2 + α +1) iii. (χ + ψ)3 – χ3 – ψ3 iv. χ2(χ + 6) – χ3 – 8χ v. (α + β)3 – α(α – β)2 – β(β – α)2

vi. (2χ + 1)2 – χ(χ – 2) -1 vii. (2α + 3β)(2α – 3β) – 4α(α – 3β) viii. (α + β)2 – α(α – β) ix. (α – β )2 - β(α + β) x. (α + β)2 – (β + γ)2 – (α – γ)(α + γ)

151. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις:

i. χ(χ + 3) + 2(χ + 3) ii. χ3(χ + 1) – χ(χ + 1) iii. α(χ + ψ) + β(χ + ψ) iv. χ(α – β) + ψ(β – α) v. (χ – 1)(χ – 2) - (1 – χ)(2χ + 1)

vi. (2ψ + 2)(ψ – 6) – (3ψ + 3)(2 – ψ) vii. (α – β)3 + (α – β) viii. χ(χ – α)2(χ + 2α) –χ2(χ – α)(χ + 2α)2 ix. α2(α – β)β3 + α(α – β)2β x. (χ + ψ + 1) + (χ + ψ +1)χ + (χ + ψ + 1)ψ

152. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις : «Οµαδοποίηση»

i. 2α + 4αβ + 6β + 3 ii. αβ – βγ + χα –χγ iii. α3β2γ + α2βγ + 2αβ + 2 iv. 4χ2ψ + 10χ – 6χψ2 - 15ψ v. αβ + βχ +α + γα +γχ + χ

vi. χ2 – χ - ψχ +ψ + ω – ωχ vii. χ5 – 4χ4 + 3χ3 – 12χ2 - χ + 4 viii. α3 + α2 + (α + 1)(α + 2) ix. αβ + βγ + αγ + γ2 + (β + γ)(α + β) x. χ2 + (α + β)χ + αβ

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

36 / 56

153.

Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις : (Χρησιµοποιήστε τις ταυτότητες: α2 – β2 = (α – β)(α + β) , α3 – β3 = (α – β)(α2 + αβ +β2) και α3 + β3 = (α + β)(α2 – αβ + β2) )

i. α2β2 – 4 ii. 16χ4 – 81ψ2 iii. 1 – 8χ3 iv. 64 +125α3 v. 36ω2 - 104

vi. 27α3 – 1000 vii. 216χ6 + ψ3 viii. (α + β)2 – 1 ix. 49χ2ψ4 – 64

x. 2 2χ ψ

4 9−

xi. 0,001χ3 – 0,064ψ3

xii. 3 9α β 127

+

154. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :

i. χ2 – (χ +3ψ)2 ii. (α + β)2 – (β + γ)2 iii. (χ + 2)3 – (ψ + 2)3 iv. (χ + 1)3 + 1 v. (5χ + 3ψ)2 – (3χ + 5ψ)2

155. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :

i. αχ2 – αψ2 ii. χα3 – χβ3 iii. χ6 – ψ6 iv. 2κ3 + 16λ3 v. 32ν4 – 8µ2

vi. 75αβ3 – 27αβ vii. αχ4 – α4χ viii. 24χ3 + 81ψ3 ix. α6 – α3 x. 2χ4 – 18χ2

156. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :

i. α(χ – ψ) + χ2 – ψ2 ii. (α – β)2 + α2 – β2 iii. χ4 – χ2 + χ + 1 iv. αβ - β2 + α3 – β3 v. χ5 – 8χ2 + χ4 – 16

vi. χ3 + χ2 + 5χ + 125 vii. 4χ4 + 8χ6 + ψ3 – ψ2 viii. κ3– 2κ2 + – 27λ3 + 18λ2

157. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις : (Τέλεια τετράγωνα)

i. χ2 + 2χ + 1 ii. 4α2 – 4α + 1 iii. 25κ2 + 20κ + 4

iv. χ2 – χ + 41

v. 18 + 12χ +2χ2

vi. 5χ4 – 100χ2 + 500 vii. (α + β)2 + 2(αβ + β2) + β2 viii. (χ + ψ + 1)2 – 2(χ + ψ + 1) + 1

ix. 41 χ10 + χ5 + 1

x. α3 – 4 α2 + 4α

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

37 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

158.

Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις : (Τέλεια τετράγωνα, διαφορά τετραγώνων )

i. χ2 + 2χ + 1 – 9ψ2 ii. 25α2 – χ2 + 4χψ - 4ψ2 iii. 49χ2 + 64ψ2 – 112χψ – ψ4 iv. γ2 – α2 – 2αβ – β2 v. χ2 +6χψ + 9ψ2 – (9χ2 – 6χψ +ψ2)

159. Παραγοντοποίηση τριωνύµων:Γράφουµε τον δεύτερο όρο του τριωνύµου σε άθροισµα δύο µονωνύµων τέτοιων ώστε, το γινόµενο των συντελεστών τους να ισούται µε το γινόµενο των συντελεστών του πρώτου και τρίτου όρου των τριωνύµων. Κατόπιν παραγοντοποιούµε… «ανά δύο». Παράδειγµα στο τριώνυµο 3χ2 - 5χψ - 2ψ2 , θα γράψουµε το – 5χψ : - 6χψ + 1χψ , εφ’ όσον -6·1 = 3·(-2). Έτσι έχουµε: 3χ2 - 5χψ - 2ψ2 = 3χ2 - 6χψ + 1χψ - 2ψ2 = 3χ(χ – 2ψ) + ψ(χ – 2ψ) = (χ – 2ψ)(3χ + ψ) Να κάνετε παραγοντοποίηση τα παρακάτω τριώνυµα ,

i. 2α2 – 7αβ + 3β2 ii. 6χ2 – 5χ – 1 iii. 1χ2 + χ – 2 iv. χ2 – χ – 2 v. χ3 – 3χ + 2 vi. χ2 – 10χ + 16 vii. -5χ2 + 2χ + 3 viii. 4χ4 – 5χ2 + 1 ix. χ2 + 3χψ – 4ψ2 x. 2χ2 – χ – 1

xi. (α + β)2 – 5(α + β) + 6 xii. α6 + 7α3 – 8 xiii. 11χ2 – χ – 10 xiv. χ2 + χ – 110 xv. χ2 – ( 32 + )χ + 6 xvi. 16(χ2 + 7χ)2 – 2(χ2 + 7χ) – 3 xvii. 3(χ2 – 3)2 – 7(χ2 – 3) + 2 xviii. (α2 + 2α)2 – 2(α2 + 2α) – 3 xix. χ3 – 20χ2 + 64χ xx. 3·22ν + 2ν+2 + 1

160. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις : (Χρησιµοποιήστε τις ταυτότητες: α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ ή α2 + β2 = (α - β)2 + 2αβ και την διαφορά τετραγώνων ).

i. α4 + β4 – 7α2β2 ii. α4 + β4 – 11α2β2 iii. χ4 + 1 – 3χ2 iv. χ8 + 4ψ8 v. χ4 + 4

161. α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: ψ2 + 10ψ + 21. β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: (χ2 + 5χ + 4)(χ2+5χ + 6) – 3 . γ) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: (χ + 1)(χ + 2)(χ + 3)(χ + 4) – 3.

162. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

i. (χ – 1)(χ – 2)(χ – 3)(χ – 4) +1 ii. (χ – 1)(χ – 2)(χ – 3)(χ – 4) +1 – χ4

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

38 / 56

163.

Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: αβ(β – α) + βγ(γ – β) + γα(α – γ)

164. α) Να δείξετε ότι α4 + β4 + γ4 + 2α2β2 – 2β2γ2 – 2β2γ2 είναι τέλειο τετράγωνο. β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: (α2 + β2 – γ2)2 – 4α2β2. γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα του De Moivre:

α4 + β4 + γ4 + 2α2β2 – 2β2γ2 – 2β2γ2 = (α + β + γ)(α – β + γ)(α + β – γ)(α – β – γ) 165.

Αν α + β + γ = 0 τότε: α) Να δείξετε ότι η παράσταση α2 – β2 – 2βγ είναι τέλειο τετράγωνο. β) Να κάνετε γινόµενο την παράσταση α3 + β3 + γ3 (Απ.: ….= 3αβγ) γ) Να κάνετε γινόµενο την παράσταση (χ – ψ)3 + (ψ – ω)3 + (ω – χ)3.

166. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: Α = x2 – 25y2 B = 12x2 – 3 , Γ = 3(α – β) – (α2 – β2) ∆ = αβ – 3α + 2β2 – 6β Ε = 21 + 4α – α2 Ζ = αχ – 2αψ +2βψ – βχ Η = 2αβ + 4α – β – 2 Θ = α3 + 1 Ι = 2β2 – β + 2βα – α Κ = 4x2(y2 – 1) + 4y2(1 – x2) Λ = x4 – x8 M = x2y2 + xy – y3 - x2y N = (x + y)2 – w2 + x + y + w Ξ = x2 – (α – β)x – αβ O = x2 + 3xy + 2y2 + xz +yz Π = x3 + x2 – 2 Ρ = 6x2 + 5xy + y2 Σ = 64x4 + y4 T = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Y = x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) Φ = x8 – 12x4 + 16 X = (x – xy)2 + (x – xy)4 – (1 – y)4 Ψ = x7 – x5 – x3 + x Ω = 4x4 + 3x2y2 + y4

167. α) Να δείξετε την ταυτότητα του Εuler : α3 + β3 + γ3 – 3αβγ = (α + β + γ)(α2 + β2 + γ2 – αβ – βγ – γα) β) Με την βοήθεια της παραπάνω ταυτότητας να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

i. α3 – β3 + γ3 + 3αβγ ii. α3 – β3 - γ3 - 3αβγ iii. χ3 + ψ3 – 8 + 6ψχ iv. α3 + β3 + γ3 – (α + β + γ)(α2 + β2 + γ2 – αβ – βγ – γα)

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

39 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

168.

Καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις µπορεί να είναι σωστή , µπορεί όµως να είναι λάθος. Γράψτε δίπλα από κάθε πρόταση Σωστό αν αυτή είναι σωστή και Λάθος αν αυτή είναι λάθος.

I. Η παράσταση ( )

2χχ 1 χ−

ορίζεται για χ = 0 εφ’ όσον αυτή µπορεί να πάρει τη

µορφή 2χ 1−

.

II. Η παράσταση 2χ 4χ 1

−−

δεν ορίζεται για χ = 2 ……….

III. Η παράσταση ( ) ( ) ( )

χ 3χ 1 χ 3 χ 3

+− + −

δεν ορίζεται για χ = 1 και για χ = 3 και για χ

= - 3 …….

IV. Η παράσταση 111χ

− ορίζεται για όλους τους αριθµούς εκτός του 0 ……….

V. Η τιµή της παράστασης 2αχ χ

α 1−−

για χ = 1 και οποιοδήποτε α είναι ίση µε το 0 ……

VI. Η παράσταση 2 2

3α β(α β)(α β) α β

+− + − +

δεν έχει νόηµα για καµιά τιµή των α, β. …….

VII. Ισχύει

1χ 6χ 5

1 χ 5χ 6

−− =−

για οποιαδήποτε τιµή του χ εκτός του 5. ………

VIII. Ισχύει α β 1 βα+

= + , εφ’ όσον α 0≠ . ……

IX. Ισχύει α β βα+

= , εφ’ όσον α 0≠ . ……

X. Ισχύει α β β1α α+

= + , εφ’ όσον α 0≠ . ……

XI. Ισχύει αβ βα

= , εφ’ όσον α 0≠ . ……

XII. Η πράξη χ χ 2:χ 1 χ 1

−− −

έχει νόηµα για οποιαδήποτε τιµή του χ εκτός του 1 …….

XIII. Όταν χ, ψ είναι αντίθετοι η παράσταση 2 2

2χ 4ψχ ψ

+−

δεν ορίζεται. ………

XIV. Η πράξη α:(α – 1) µας δίνει την κλασµατική παράσταση αα 1−

, εφ’ όσον α 1≠ .

………

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

40 / 56

XV. Η πράξη χ:χ2 µας δίνει την κλασµατική παράσταση 1χ

, εφ’ όσον χ 0≠ . ………

XVI. Για να απλοποιήσουµε µια κλασµατική παράσταση, για τις τιµές των µεταβλητών που

ορίζεται, πρέπει να κάνουµε γινόµενο τον αριθµητή και τον παρονοµαστή της. 169.

Να βρείτε τις τιµές της µεταβλητής χ για τις οποίες δεν ορίζεται η πράξη της

διαίρεσης της παράστασης 2χ 5χχ 3−−

µε την παράσταση 2χ 8χ(χ 9)

−−

170. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

i. 2

αα

ii. 3

3

αχχα

iii. ( )( )2

6 t 1

2 t 1

+

+

iv. 2 3

2 2 2

αβ γα β γ

v. ( ) ( )( ) ( )

2

2

8 χ 1 χ 2

24 χ 2 χ 1

+ −

− +

vi. 14α7(α 1)+

vii. 3

9x(c 9)36(9 c)x

−−

viii. ν 1

ν

3 2 (ν 1)6 2 ν

+⋅ +⋅

ix. 2

(x 1)(x 1)x 1− +

x. 2 2

2

α 2αβ β(α β)+ +

+

171. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: (Να κάνετε πρώτα γινόµενο τον αριθµητή και τον παρονοµαστή τους)

i. 2

2α 8α 4α

−−

ii. 2

2

x 1x x

−−

iii. 2 2

αβ αγγ β

−−

iv. 2 2

3 3

χ ψ χψχ ψ χψ

+−

v. 2

2χ 4χ 4χ 4

++ +

vi. 2

2

4x 4x 11 4x− +−

vii. 2

3 2

15α 6αβ25α 4αβ

−−

viii. 5

3 2

χ χχ χ

−−

ix. 3 3

2 2

2α 2βα αβ β

−+ +

x. 3

2

2χ 162χ 8

+−

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

41 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

172.

Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: (Να κάνετε πρώτα γινόµενο τον αριθµητή και τον παρονοµαστή τους)

i. 2χ 3ψχ 6ψ 43ψχ 3ψ 2χ 2

+ + ++ + +

ii. αβ α 4β 4αβ 4β α 4

+ − −− − +

iii. 2 2

χψ χβ αψ αβχ 2αχ α+ − −− +

iv. 2

4 2 2 2 2

x 2α x 2αxx x 4α x 4α

+ + +− − +

v. 3 2 2 3

3 3

α α β αβ βα 3αβ(α β) β

− − +− − −

vi. 3 2

4

χ χ χ 1χ 1

+ − −−

173. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: (Να κάνετε πρώτα γινόµενο τον αριθµητή και τον παρονοµαστή τους)

i. 2 2

2 2

3α 5αβ 2β9α 12αβ 4β

+ ++ +

ii. 2

3

x 5x 6x 27− +−

iii. ( )

6 6

22 2 2 2

χ ψ

χ ψ χ ψ

+ −

iv. 2

3

χ 2χ 1χ 3χ 2

− +− +

v. 2

3

5χ 5χ 15χ 4χ 1

+ +− −

vi. 4

3 2

χ 4χ χ 2

++ −

174. Να κάνετε τους πολλαπλασιασµούς:

i. 2

1αα

ii. 22 α 3β

αβ 4β α⋅ ⋅

iii. 2

3

4 χ χ2ψ ψχ⋅ ⋅

iv. 21 3α 25

5α 10 αχ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠

v. 2

2

9α χ ψχψω 3αψ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

vi. ( )

( )2

7 χ 2 2 χ14χχ 2−

⋅ ⋅ −−

175. Να κάνετε τις διαιρέσεις:

i. α 2:2 α

ii. 23α 9α:β β

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

iii. α1:β

iv. α α:β β

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

v. α : ( α)β

vi. 65

5

α α:ββ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

42 / 56

176.

Να κάνετε τους πολλαπλασιασµούς:

i. ( ) ( )2

2 2

α β α βα βα β

− +⋅

−−

ii. 2

3

χ χ χχ 1 χ

−⋅

iii. ( )2

3

β α2α β αα β β 2α α

−−⋅ ⋅

− −

iv. ( )2

2 1 1α 2αα α 2

⎛ ⎞− ⋅ ⋅ −⎜ ⎟−⎝ ⎠

v. 2 2 2 2

χ α χ ββ χ α χ

+ +⋅

− −

vi. 2 2 2 2

3 3

1 α β α αβ βα α βα β− − +

⋅ ⋅−+

177. Να κάνετε τις διαιρέσεις:

i. ( )216χψ 8χ 4ψ : 8χψ+ −

ii. ( )2 2(α β) : α β− −

iii. ( ) ( )2 22α 3β : 6α 13αβ 6β+ + +

iv. 2 2

6 3χ 9ψ:χ ψ χ 2χψ 3ψ

−+ − −

v. 3 3 2

3

χ χ χ χ:3χ 1

+ +−

vi. 2 2

2

1 9χ 9χ 6χ 1:8χ 12χ 4χ− − +

178. Να κάνετε τις πράξεις:

i. ( )2

χ ωχ ωχ ω

−+

ii.

( )2

χ ωχ ωχ ω

−+

+

iii. 2

2

αα αα 1

+−

iv.

3

3

χψ χψ4 4ψχψ χ ψ6 6χ

−+−−

v. 2

2

χ 1χ 2χ 1χ 1 :

χ 1 χ 2χ 1χ 1

++ +−

− − ++

179.

Να δείξετε ότι ο αριθµός 2

333334 666663 333331 333327333333

⋅ ⋅ + είναι ακέραιος. Να

βρεθεί αυτός ο ακέραιος. (Ε.Μ.Ε. 1998) 180.

Αν για τους αριθµούς α, β, χ, ψ ισχύει: α χ ψ β− = − και χ ψ≠ ± να δείξετε ότι η παράσταση:

Α= 2 2

α β 1:χ ψχ ψ

+−−

είναι ίση µε 1.

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

43 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

181.

Αν για τους αριθµούς α, β, γ ισχύει α + β + γ = 0 , χωρίς κάποιος από αυτούς να είναι 0 να δείξετε:

α) Η παράσταση 2 2β 2βγ αα β

+ −+

είναι ίση µε γ.

β) Η παράσταση 2 2 2 2 2 2β 2βγ α α 2αβ γ γ 2γα βα β α γ γ β

+ − + − + −+ +

+ + + είναι ίση µε 0.

182.

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 5 3

3

χ χ 1χχ χ

−−

για χ = 2003

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

44 / 56

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 183.

Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση: i. Ποιο είναι τα Ε..ΚΠ. των α , α2 , α3 ;

Α.: Το α , Β.: Το α2 , Γ.: Το α3 , ∆.: Το α6 ii. Ποιο είναι τα Ε..ΚΠ. των α , α + 2 ; Α.: Το α , Β.: Το α + 2 , Γ.: Το 2α , ∆.: Το α(α + 2) iii. Ποιο είναι τα Ε..ΚΠ. των 2α , 3α2 , 6α3 ; Α.: Το α6 , Β.: Το 2α3 , Γ.: Το 6α3 , ∆.: Το 3α2 iv. Ποιο είναι τα Ε..ΚΠ. των χ + 1 , χ + 2 ; Α.: Το (χ + 1)(χ + 2) , Β.: Το 3χ + 3 , Γ.: Το 3χ , ∆.: Το 2χ v. Ποιο είναι τα Ε..ΚΠ. των α – β , β – α ; Α.: Το α – β , Β.: Το (α – β)(β – α) , Γ.: Το α , ∆.: Το β vi. Ποιο είναι τα Ε..ΚΠ. των 5(χ – ψ) , 2(χ + ψ) , χ2 – ψ2 ; Α.: Το χ2 – ψ2 , Β.: Το 10(χ2 – ψ2 ) , Γ.: Το 10(χ + ψ)2 , ∆.: Το 10(χ – ψ)2 vii. Ποιο είναι τα Ε..ΚΠ. των 7χ , 14χ2ψ , ψ ; Α.: 14χ2ψ , Β.: Το 14χ2ψ2 , Γ.: Το 14χψ , ∆.: Το 14χ3ψ2

184. Να κάνετε τις πράξεις:

i. 1 1 1x 2x 3x+ −

ii. 1 1ψ χ

iii. λ κκ λ−

iv. α 1β+

v. α 1β−

vi. α 3β 4−

vii. 14χ4χ

+

viii. 1 χ 1χ+ +

ix. 5χ 5χ 1 χ 1

++ +

185. Να κάνετε τις πράξεις:

i. α β12β 2α

+ +

ii. 2 3

1 1 1α α α+ +

iii. 3 1 22χ χψ 3ψ

− +

iv. 2

1 2 1χ ψχχ ψ− +

v. 3

2 42χ χ

− +

186. Να κάνετε τις πράξεις:

i. 1 1x x 1−

+

ii. 1 1x 1 x 1

+− +

iii. 2 1 1x 2 2 x x 2

+ −− − +

iv. 2

1 2χ 2 (χ 2)

+− −

v. 2

1 1(2χ 1)(χ 1) (1 2χ) (χ 1)

−− − − −

vi. 2 3

1 χ 2χχ 2 (χ 2) (χ 2)

− −+ + +

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

45 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

187.

Να κάνετε τις πράξεις: (Να κάνετε πρώτα γινόµενο τους παρονοµαστές)

i. 2 2

1 1 1χψχ χψ χψ ψ

+ −+ +

ii. 2

2 2 2 2

α β 2β 2βα αβ α 2αβ β α(α β)

+− +

− − + −

iii. 2 2 2

ψ 1 2ψχ ψχ χψ χ ψ

− −+− −

iv. 2 2

1 1αβ αγ βγ β βγ αβ αγ γ

+− + − − + −

v. 2 3

α 2α 1 1α 1α α 1 α 1

−− −

+− + +

vi. 2

5χ 1 122χ 6 6 3χχ 5χ 6

−+ +

− −− +

188. α) Να αλλάξετε κάποια πρόσηµα στους παράγοντες των γινοµένων (α – γ)(β – γ), (β – α)(γ – α), (γ – β)(α – β) ώστε να προκύψει το Ε.Κ.Π. τους. Ποιο είναι αυτό; β)Να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α β β γ γ α

α γ β γ γ α β α γ β α β+ + +

+ +− − − − − −

είναι πάντα ίση µε το 0.

γ) Να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )αβ βγ γα

α γ β γ γ α β α γ β α β+ +

− − − − − − είναι πάντα ίση µε το 1.

189. Να κάνετε τις πράξεις:

i. 1 1α(α 1)α α 1

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟+⎝ ⎠

ii. 1 1(α β) :α β

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

iii. 1 1 χ 11 1 2 2χ1 1χ χ

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠− +⎜ ⎟⎝ ⎠

iv. 3 3

α β 11 1β αα βα β

+ −⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

v. 2 3

1 1 11 : 1χ χ χ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

vi. 21 1 1 11 2 1 1 1

α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

vii.

1 11 1β α :

β α β α1 1α β

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠− −⎜ ⎟⎝ ⎠

190. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

8 8

4 2 2 2 4 4

α β 1 1 1 1 1 12β α β α β2β 2β α β α β

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎪ ⎪− − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟− + + +⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

46 / 56

2ο ΚΕΦ. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 191.

Ένας φοιτητής ξοδεύει 15 ευρώ την ηµέρα για φαγητό και ψυχαγωγία. Πόσα χρήµατα µπορεί να ξοδέψει για φαγητό και πόσα για ψυχαγωγία; α) Γράψε µια πιθανή επιλογή του φοιτητή. β) Αν ξοδέψει για φαγητό 10 ευρώ πόσα µπορεί να ξοδέψει για ψυχαγωγία; .................... γ) Αν ξοδέψει για ψυχαγωγία 12 ευρώ πόσα µπορεί να ξοδέψει για φαγητό; …................ δ) Το ζεύγος (9,5 , 5,5 ) είναι µια λύση του προβλήµατος; ε) Γράψε υπό µορφή ζευγών τρεις ακόµη λύσεις του προβλήµατος. στ) Αν ξοδέψει για φαγητό x δρχ. τότε για ψυχαγωγία πόσα µπορεί να ξοδέψει; y = ....... - ........ ζ) Η παραπάνω εξίσωση µπορεί να σου δώσει όλες τις λύσεις του προβλήµατος;

192. Ο Γιάννης είναι 5 χρόνια µικρότερος από τον Κώστα. Πόσων χρόνων µπορεί να είναι ο καθένας;

α) Γράψε µια πιθανή απάντηση για την ηλικία του καθενός. β) Γράψε δύο ζεύγη αριθµών που να είναι λύσεις του προβλήµατος. γ) Αν η ηλικία του Γιάννη είναι x και του Κώστα y γράψε την εξίσωση που µπορεί να δώσει τις λύσεις του προβλήµατος. δ) Ποια είναι η µικρότερη ακέραιη τιµή που µπορεί να πάρει ο x; ε) Ποιες τιµές µπορεί να πάρει ο y;

193. ∆ίνεται η εξίσωση 2y + x = 7. α) Να δείξετε ότι το ζεύγος (- 1, 4) είναι λύση αυτής της εξίσωσης. β) Αν x = 5 να βρείτε y = ....... ώστε το ζεύγος (5, y) να είναι λύση της εξίσωσης. γ) Σε ορθογώνιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις λύσεις της εξίσωσης 2y + x = 7.

194. ∆ίνεται η εξίσωση 5x + y = 6. Αποδείξτε ότι το ζεύγος (x = κ, y = 6 - 5κ), κ ∈ R επαληθεύει την εξίσωση.

195. Οι x, y, λ είναι πραγµατικοί αριθµοί και ισχύει: x = 2 - 3λ και y = 5 + 2λ. α) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y. β) Σε ορθογώνιο σύστηµα αξόνων, πού βρίσκονται τα ζεύγη (x, y) που επαληθεύουν την παραπάνω σχέση;

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

47 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

196. ∆ύο φίλοι Α και Β έχουν άθροισµα ηλικιών 35 χρόνια.

α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Αν ναι, ποιες είναι οι ηλικίες τους; Αν όχι, γιατί; β) Εάν σας έδιναν και ένα δεδοµένο ακόµη: «Η διαφορά των ηλικιών των Α και Β είναι 5 χρόνια», πώς θα υπολογίζατε τις ηλικίες αυτές;

197.

Σ’ ένα πορτοφόλι υπάρχουν 14 ευρώ σε κέρµατα του ενός και των δύο ευρώ. Πόσα κέρµατα του ενός και πόσα των δύο ευρώ υπάρχουν στο πορτοφόλι; α) Γράψε µια εξίσωση µε δύο αγνώστους x και y που να λύνει το πρόβληµα. β) Το πρόβληµα αυτό έχει µία ή περισσότερες λύσεις; ∆ικαιολόγησε την απάντησή σου. γ) Είναι δυνατόν ο αριθµός των κερµάτων του ενός ευρώ να είναι ίσος µε τον αριθµό των κερµάτων των δύο ευρώ; Αν ναι, πόσα θα είναι τα κέρµατα του ενός και πόσα των δύο ευρώ; Αν όχι, γιατί;

198. Να υπολογίσετε την τιµή του λ ώστε η εξίσωση x + y + 3λ - 6 = 0 να έχει λύση το ζευγάρι των αριθµών ( 2 , -1);

199. Η γραµµική εξίσωση που επαληθεύεται µε κάθε ζεύγος της µορφής x = κ - 2, και y = κ + 1, κ ∈ R είναι: Α. y - 2x = 5 Β. x - y = - 3 Γ. x - y = 2 ∆. x - y = 1 Ε. 2x + y = 7 (Επιλέξτε την σωστή εξίσωση).

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

48 / 56

200. Για τους αριθµούς x, y ∈ R∗ έχουµε τα δεδοµένα στη στήλη (Α). Συνδέστε µε µια γραµµή τα δεδοµένα αυτά µε το αντίστοιχες εξισώσεις της στήλης (Β).

στήλη (Α) στήλη (Β) ∆εδοµένα για τους x, y ∈ R∗ Εξισώσεις

1. Έχουν άθροισµα 12 και λόγο 5

x - y = 12 3y = x

2. ∆ιαφέρουν κατά 12 και το x είναι τριπλάσιο του y

x + y = 6 xy = 8

3. Είναι πλευρές ορθογωνίου παραλλη-λογράµµου µε περίµετρο 12 και εµβαδόν 8

xy = 6 x - y = 8

x + y = 12 x = 5y

x + y = 0 x + 3 = - y

x - y = 0 x + y = 3

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

49 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 201.

Καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις µπορεί να είναι σωστή , µπορεί όµως να είναι λάθος. Γράψτε δίπλα από κάθε πρόταση το Σ αν αυτή είναι σωστή και το Λ αν αυτή είναι λάθος. • Η εξίσωση 2χ2 – 2χ = 0 είναι εξίσωση 2ου βαθµού. • Η εξίσωση 3χ2 + 1 = 0 είναι εξίσωση 2ου βαθµού. • Η εξίσωση (λ – 1)χ2 – χ + 4 = 0 είναι εξίσωση 2ου βαθµού για κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού λ. • Η εξίσωση χ2 - χ(χ + 1) -2 =0 είναι εξίσωση 2ου βαθµού. • Αν η εξίσωση αχ2 + βχ + γ = 0 , α ≠ 0 δεν έχει πραγµατικές ρίζες τότε β2 < 4αγ • Η εξίσωση αχ2 + βχ + γ = 0 , α ≠ 0 µε γ = 0 έχει πάντα δύο ρίζες. • Η εξίσωση αχ2 + βχ + γ = 0 , α ≠ 0 µε αγ < 0 έχει πάντα δύο άνισες ρίζες.

• Η εξίσωση αχ2 + βχ = 0 , α ≠ 0 έχει ρίζες το 0 και το βα

• Η εξίσωση αχ2 + γ = 0 , α ≠ 0 έχει πάντα δύο ρίζες τους αριθµούς γα

− και

γα

− −

• Αν 2β αγ

2⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε η εξίσωση αχ2 + βχ = 0 , α ≠ 0 έχει δύο άνισες ρίζες.

202. Να συµπληρώσεις τα κενά: Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 µε διακρίνουσα ∆: • έχει δύο ρίζες άνισες, αν ∆ .............. • έχει µια διπλή ρίζα, αν ∆ ................. • δεν έχει καµιά πραγµατική ρίζα, αν ∆ .............

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

50 / 56

203.

Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του παρακάτω πίνακα µε ένα στοιχείο της δεύτερης στήλης του συµπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα.

στήλη (Α) Εξίσωση 2ου βαθµού

στήλη (Β) ∆ιακρίνουσα εξίσωσης

1. x2 - α = 0

2. x2 - αx = 0

3. x2 - 3x - α = 0

4. - x2 + αx + 3 = 0

A. α2

B. 4α

C. 9 + 4α

D. α2

E. α2 + 12

F. α2 - 12 1 2 3 4

204. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς x ή y: α) x2 - 4x = 0 β) 3x2 = 4x γ) 2x2 + x - 15 = 0 δ) 5x2 - 18x - 8 = 0 ε) x2 - 6x + 7 = 0 στ) y2 - y + 1 = 0 ζ) y2 - (α + 3) y + 3α = 0 η) – 0,5 x2 + 5x + 1 = 0 θ) x2 + 4κx - 21κ2 = 0 ι) 4x2 - 4κx - 35κ2 = 0 κ) 8y2 = 10κy + 3κ2

205. ∆ίνεται η εξίσωση (λ2 - 3λ + 2) x2 + (λ - 2) x + 3 = 0. Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός λ ώστε η παραπάνω εξίσωση: α) να έχει µία µόνο ρίζα β) να έχει διπλή ρίζα

206. Τα µήκη των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι τρεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθµοί. Να βρεθούν οι αριθµοί αυτοί.

207. Το εµβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι 25 cm2. Πότε το ορθογώνιο έχει την ελάχιστη περίµετρο και ποια είναι αυτή;

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

51 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

208.

Σε τραπέζιο το άθροισµα των βάσεών του και του ύψους του είναι 10. α) Για ποια τιµή του ύψους του το εµβαδόν του τραπεζίου γίνεται µέγιστο; β) Πόσο είναι το εµβαδόν αυτό;

209. Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι 4 cm µεγαλύτερη από την πλευρά ενός άλλου τετραγώνου. Βρείτε τις πλευρές τους αν γνωρίζουµε ότι η διαφορά των εµβαδών τους είναι 88 cm2.

210. Το πλήθος των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές δίνεται από τον τύπο:

δν = ν (ν - 3)2

. Αν το πολύγωνο έχει 104 διαγωνίους, πόσες είναι οι πλευρές

του; 211.

Το άθροισµα των ν πρώτων φυσικών αριθµών δίνεται από τον τύπο:

Σν = 1 + 2 + 3 + 4 + ....... + ν = ν (ν 1)2+

Βρείτε το ν, αν ξέρουµε ότι Σν = 300. 212.

Το εµβαδόν µιας σελίδας ενός βιβλίου είναι 300 cm2. Αν το µήκος της είναι 5 cm µεγαλύτερο από το πλάτος της, βρείτε τις διαστάσεις της σελίδας.

213. Να λυθούν οι διτετράγωνες εξισώσεις: α) x4 - 6x2 + 8 = 0 β) x4 - 3x2 - 4 = 0 γ) x4 - 2x2 - 15 = 0 δ) 6y4 + 17y2 = - 12 ε) x4 - 2 (α2 + β2) x2 + (α2 - β2) 2 = 0

214. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 2 + 2 x + 1 = 0

β) 1 -x 2 - 4 = 3 1 -x 215.

Να λυθεί η εξίσωση: x4 - (α + 1) x2 + α = 0

216. Ποιο είναι το κ, όταν η εξίσωση κx2 - 4x - 35 = 0 έχει άθροισµα ριζών ίσο µε 1;

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

52 / 56

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 217.

∆ίνεται η συνάρτηση 2

2χ 1 αν χ 0f(x)

3χ 1 αν χ 0− ≥⎧

= ⎨+ <⎩

α. Να υπολογίσετε τις παρακάτω τιµές της. Για χ = 1 : )1(f = ………..=…….. =…… Για χ = -1 : )1(−f = ………..=…….. =…… Για χ = 0 : )0(f = ………..=…….. =…… Για χ = 2 : )2(f = ………..=…….. =…… Για χ = -1,5 : )5,1(−f = ………..=…….. =……

Για χ = 43 : )

43(f = ………..=…….. =……

β. Να βρείτε την τιµή του χ αν η τιµή της συνάρτησης είναι 0.

218. ∆ίνεται η συνάρτηση ⎪⎩

⎪⎨

≥−<≤−−<−

=1xx,3

1x24,2x2x,

(x) f

Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α) f (-3) = ..... β) f (-2) = .....γ) f (0) = ..... δ) f (1) = .....

219. ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x - 1, x ∈ R Να συµπληρώσετε τις ισότητες:α) f (- 3) = ..... β) f (α) = ..... , α∈R

γ) f (3x) = .....δ) 2f(x ) .....= 220. Ο πίνακας τιµών

x - 1 2 3 -2

ψ - 2 1 6 1

αντιστοιχεί στη συνάρτηση:Α. y = 2x B. y = x + 3 Γ. 2y x 3= −

∆. y = x – 1 Ε. y = - x – 3 Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

221. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε f (x) = x2 - 3x + 2. Να βρείτε: α) το πεδίο ορισµού της, Α β) για ποιες τιµές του x ∈ Α έχουµε f (x) = 0

γ) το πεδίο ορισµού Β της συνάρτησης g (x) = 2

2xx - 3x 2+

222. Οι παρακάτω προτάσεις µπορεί να είναι σωστές µπορεί όµως να είναι και λάθος. Να γράψετε Σ ή Λ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι σωστή ή λάθος αντίστοιχα.

• Η συνάρτηση ψ = χ2 µε χ>0 , µπορεί να εκφράζει το εµβαδό ψ ενός τετραγώνου αν χ η πλευρά του.

• Η σχέση ψ2 = χ , µε χ>0 , δεν είναι συνάρτηση γιατί σε µια τιµή του χ µπορούµε να βρούµε δύο τιµές για το ψ.

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

53 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

• Στη συνάρτηση ψ = x , το χ µπορεί να πάρει τιµή οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.

• Στη συνάρτηση ψ = x2 , το χ και το ψ δεν µπορούν να πάρουν την τιµή

0. 223. Στη σχέση ψ = χ2 – χ το ψ γίνεται ίσο µε το 0 για δύο τιµές του χ. Ποιες είναι

αυτές; Εκφράζει η ισότητα αυτή συνάρτηση; 224. Ποια από τις παρακάτω γραµµές δεν αντιστοιχεί σε γραφική παράσταση

συνάρτησης: Α Β Γ 225. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f.

Σηµείωση: Τα δύο ευθύγραµµα τµήµατα τέµνουν τον χ΄χ στα σηµεία Α(20/3 , 0) και Β(-20/3 , 0)

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

54 / 56

α. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

χ 1 2 3 6 -6 7 -7 -1 -2 -3 ψ=f(x) -4 -4 4

β. Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η µέγιστη τιµή της συνάρτησης; γ. Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης; δ. Παρουσιάζει κάποια συµµετρία η γραφική παράσταση της συνάρτησης; Ως προς ποια ευθεία; ε. Να γράψετε τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέµνει τους άξονες. στ . Να βρείτε για ποια χ η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ.

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

55 / 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ+β 226.

Να συµπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : • Οι τιµές της γραµµικής συνάρτησης ψ = αχ +β προκύπτουν από τις τιµές της συνάρτησης ψ = αχ προσθέτοντας τον αριθµό …….

• Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι µια ευθεία η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία που παριστάνει γραφικά η συνάρτηση ……..

• Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι µια ευθεία η οποία τέµνει τον ψ΄ψ στο σηµείο (…. , ….).

227. ∆ίνονται οι συναρτήσεις: ψ = χ , ψ = χ+2 , ψ = χ-2. α) Να συµπληρώστε τους παρακάτω πίνακες τιµών: Τιµές του χ 0 1 -1 2 -2 Τιµές της ψ = χ Τιµές της ψ = χ+2

Τιµές της ψ = χ-2

β) Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο σύστηµα αξόνων στο οποίο να τοποθετήσετε τα σηµεία του παραπάνω πίνακα και να σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες που παριστάνουν γραφικά οι παραπάνω συναρτήσεις.

228. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 σηµεία στα οποία οι ευθείες που παριστάνουν αυτές οι συναρτήσεις τέµνουν τον ψ΄ψ: Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης µε ένα µόνο σηµείο της δεύτερης στήλης, συµπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟ 1. ψ = 3χ-5

2. ψ = -9χ+3 3. ψ = 4χ – 9 4. ψ = 5χ +1

Α. (0 , -5) Β. (0 , -9) Γ.(0 , 3) ∆. (0 , 1)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. 2. 3. 4. ΣΗΜΕΙΟ

4. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 σηµεία στα οποία οι ευθείες που παριστάνουν αυτές οι συναρτήσεις τέµνουν τον χ΄χ: Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης µε ένα µόνο σηµείο της δεύτερης στήλης, συµπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟ 1. ψ = 3χ-6

2. ψ = -3χ+9 3. ψ = 4χ – 4 4. ψ = 5χ +5

Α. (3 , 0) Β. (2 , 0) Γ.(1 , 0) ∆. (-1 , 0)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. 2. 3. 4. ΣΗΜΕΙΟ

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

56 / 56

229.

Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 διαφορετικές συναρτήσεις. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης µε κάθε συνάρτηση της δεύτερης στήλης , ώστε οι ευθείες που παριστάνουν να είναι παράλληλες, συµπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2η 1. ψ = 3χ-5

2. ψ = -9χ+3 3. ψ = 4χ – 9 4. ψ = 5χ +1

Α. ψ = 4χ + 1 Β. ψ = 5χ + 3 Γ. ψ = -9χ-5 ∆. ψ = 3χ -9

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1η 1. 2. 3. 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2η

230. ∆ίνεται η συνάρτηση ψ = -2χ + 6. α) Έστω Α και Β τα σηµεία στα οποία αυτή τέµνει τους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τις συντεταγµένες αυτών των σηµείων. β) Να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. γ) Να υπολογίσετε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ. δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

231. ∆ίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ψ = 2χ και τέµνει τον ψ΄ψ στο σηµείο (0, 4) α) Να υπολογίσετε την τιµή του α και την τιµή του β. β) Να βρείτε το σηµείο στο οποίο η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα χ΄χ.

232. ∆ίνονται οι συναρτήσεις ψ = 3χ+1 και ψ = -2χ + 6. α) Σε ποιο από τα παρακάτω σηµεία τέµνονται οι ευθείες που παριστάνουν γραφικά αυτές οι συναρτήσεις; Α. (0, 1) Β. (0, 3) Γ. (1, 2) ∆. (1, 4) (Επιλέξτε την σωστή απάντηση) β) Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες τοποθετώντας στους άξονες το σηµείο τοµής τους και τα σηµεία στα οποία αυτές τέµνουν τον ψ΄ψ.

233. ∆ίνονται οι συναρτήσεις ψ = χ –4 και ψ = -χ + 2 οι οποίες τέµνονται στο σηµείο (α, β). α) Να γράψετε τις δύο ισότητες που επαληθεύουν τα α και β. β) Να υπολογίσετε τις τιµές των α, β . Ποιο είναι το σηµείο τοµής τους;

234. . ∆ίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β. Γνωρίζουµε ότι η ευθεία που παριστάνει γραφικά αυτή η συνάρτηση τέµνει τον χ΄χ στο σηµείο (1, 0) και τον ψ΄ψ στο σηµείο (0, 1). α) Να υπολογίσετε τις τιµές των α , β. β) Να σχεδιάσετε την ευθεία ψ = αχ + β. γ) Να βρείτε το σηµείο τοµής της ευθείας αυτής µε την ευθεία που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = -2χ + 1.