Παναγιώτα Αργύρη ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνηςusers.sch.gr/mipapagr/images/alyk_fylla_ergasias_alg_evang.pdfστην αριθμογραμμή

Συμμετέχοντες σε ετήσια βάση:

Κώστας Γαβρίλης Σχολικός σύμβουλος Δ΄Αθήνας

Παναγιώτα Αργύρη ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Πέτρος Αρμάος 6ο ΓΕΛ Καλλιθέας

Αντωνία Αρμάου Ελληνογαλλική Σχολή Jeanne d΄Arc

Γιάννης Γιώτης 2ο ΓΕΛ Αργυρούπολης

Μυρτώ Καλαφάτη Ιδιωτική Εκπαίδευση

Χρήστος Καννάβης 2ο ΣΔΕ Φυλακών Κορυδαλλού

Μαρία Κυλιάδου 2ο Γυμνάσιο Αγ. Δημητρίου «Δημήτρης Γληνός»

Αμαλία Μανιατοπούλου Ιδιωτική Εκπαίδευση

Νίκος Μαυρογιάννης ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Λεμονιά Ραχιώτου 5ο ΓΕΛ Λαμίας

Αποστόλης Σίδερης 3ο ΓΕΛ Αλίμου

Πόπη Σιώπη ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Αποστόλης Σπύρου 1ο ΓΕΛ Δάφνης

Ειρήνη Σπύρου 1ο ΓΕΛ Αγ. Δημητρίου

Σωτήρης Στόγιας Ιδιωτική Εκπαίδευση

Άλκης Τζελέπης ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Αναστασία Φανέλη 6ο ΓΕΛ Περιστερίου «Καβάφειο»

Σωτήρης Χασάπης ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 2

ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ

Το σχολικό έτος 2014-2015 ένα από τα θέματα που απασχόλησαν το Εργαστήριο

Άλγεβρας ήταν ή διδασκαλία Άλγεβρας για 'Ολους.

Πίσω από αυτό το τίτλο βρίσκεται η έγνοια και η συνακόλουθη προσπάθεια όλα τα

παιδιά να μπορέσουν να προσεγγίσουν το μορφωτικό αγαθό της Άλγεβρας. Εστιάσαμε την

προσπάθεια μας στην υποστήριξη της διδασκαλίας της Άλγεβρας της Α΄Τάξης σε τρεις

τάξεις ισάριθμων Λυκείων: 5ο Λαμίας, 3ο Αλίμου, 2ο Αργυρούπολης όπου, αντίστοιχα,

δίδαξαν οι εκπαιδευτικοί Λεμονιά Ραχιώτου (Διευθύντρια), Αποστόλης Σίδερης και

Γιάννης Γιώτης.

Ένα από τα βασικά υλικά που χρησιμοποιήθηκαν ήταν τα φύλλα εργασίας που

εκπονήθηκαν και συζητήθηκαν στο Εργαστήριο. Στα φύλλα αυτά καλύπτονται οι βασικές

έννοιες και δεξιότητες ενώ πιο σύνθετες δεξιότητες-ασκήσεις καλύφθηκαν με πρωτοβουλία

των διδασκόντων.

Το όλο εχγείρημα παρουσιάτηκε στην 3η Ετήσια Ημερίδα του Εργαστηρίου που

πραγματοποιήθηκε στο Ίδρυμα Ευγενίδου (29-6-2015) υλικά της οποίας μπορούν να

βρεθούν στο Ιστολόγιο του Εργαστηρίου ( http://algebrateacherlab.blogspot.gr ).

Ελπίζοντας ότι τα φύλλα αυτά θα είναι χρήσιμα τα παραδίδουμε στην εκπαιδευτική

κοινότητα.

Σεπτέμβριος 2015



Περιεχόμενα Σελ.

Σύνολα 7

Πιθανότητες 11

Δυνάμεις 14

Ισότητα 18

Ταυτότητες 24

Διάταξη πραγματικών αριθμών 27

Διαστήματα 29

Απόλυτη τιμή πραγματικών αριθμών 34

Απόλυτη τιμή και πράξεις 39

Απόλυτη τιμή και διάταξη 42

Τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών 46

Ρίζες πραγματικών αριθμών 50

Εξισώσεις 1ου βαθμού 54

Η εξίσωση xν =α 57

Εξισώσεις 2ου βαθμού 61

Τύποι του Vieta 67

Ανισώσεις 1ου βαθμού 71

Ανισώσεις 2ου βαθμού 76

Αριθμητική πρόοδος 83

Γεωμετρική πρόοδος 89

Η έννοια της Συνάρτησης 97

Γραφική παράσταση Συνάρτησης 103

Η Συνάρτηση f(x)=αx+β 106

Μελέτη της Συνάρτησης f(x)=αx2 110

Μελέτη της Συνάρτησης f(x)=αx2 +βx +γ 113



Σύνολα

Συντάκτες: Στόγιας Σωτήρης, Λέλα Λυμπεροπούλου


ΓΝΩΣΤΙΚΟ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ:

Σύνολα αριθμών . Τοποθέτηση αριθμών πάνω στον άξονα . Πυκνότητα

ΤΑΞΗ: A ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /

Φύλλο εργασίας Πραγματικών Αριθμών Μέρος 1ο

Μια κυκλική ρόδα, με διάμετρο 1cm, κινείται επάνω σε έναν άξονα με μονάδα 1cm. Σε ένα σημείο της έχει μια γραφίδα Γ που αφήνει σημάδι όταν ακουμπά στον άξονα. Η γραφίδα αφήνει σημάδι στο 0.

1. Κατασκευάστε έναν άξονα με μονάδα 1cm και βαθμολογήστε τον στα σημεία που ακουμπά η γραφίδα Γ, όταν γνωρίζετε ότι περνάει από το 0.

2. Πάνω στον ίδιο άξονα τοποθετείστε τα σημεία: √3, -3.14, , 1.333…, 53 , 3.14, √48

3, 6

3 , συν 30ο , 2 ,

√3 + √483

, √3 ∙ √483

, √3 + 53

, 53

− 3.14.

3. Χρησιμοποιώντας τις παρατηρήσεις σας από τις κατασκευές του ερωτήματος 2 χαρακτηρίστε με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις:

Α. Ο αριθμός -3.14 είναι άρρητος

Β. Ο αριθμός √483

είναι ρητός

Γ. Ο αριθμός 2 είναι ρητός

Δ. Ο αριθμός 2 είναι πραγματικός

Ε. Ο αριθμός √3 + √483

είναι άρρητος

ΣΤ. Ο αριθμός -3.14+53 είναι άρρητος

Ζ. Ο αριθμός -3.14∙ 5 3

είναι ρητός

Η. Ο αριθμός √3 ∙ √483

είναι φυσικός

Θ. Ο αριθμός √3 ∙ √483

είναι πραγματικός

Ι. Δεν υπάρχει άλλος ρητός αριθμός ανάμεσα στους αριθμούς 53 και 6

3

10

Γ


ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:……………………………………………….

Φύλλο εργασίας Πραγματικών Αριθμών Μέρος 2ο

Δραστηριότητα 1η

Σας δίνονται οι παρακάτω αριθμοί

-2 , 4, 12

, 43

− , 25 , -1 , 0.6 , 143

, 2 , 63

, 5 , 0.3 , 32

, 17 , 4 , 133

1.1. Όπως έχουμε αναφέρει στο προηγούμενο κεφάλαιο είναι ⊆ ⊆ ⊆ . Αφού εντοπίσετε ποιοι από τους παραπάνω αριθμούς είναι φυσικοί , ακέραιοι , ρητοί και άρρητοι , να τους τοποθετήσετε στο παρακάτω διάγραμμα Venn και στη συνέχεια στον άξονα των πραγματικών αριθμών με την ίδια σειρά .

1.2. Μπορείτε να αναφέρετε έναν αριθμό o οποίος βρίσκεται μεταξύ των 133

και 163

;

……………………………………………………………………………………………………………

1.3. Μπορείτε να αναφέρετε έναν αριθμό o οποίος βρίσκεται μεταξύ των 133

και 143

;


……………………………………………………………………………………………………………...

1.4. Μπορείτε να αναφέρετε δύο αριθμούς oι οποίοι βρίσκονται μεταξύ των 133

και 143

;

……………………………………………………………………………………………………………

1.5. Δώστε ανάλογο παράδειγμα με αριθμούς της επιλογής σας .

1.6. Εξηγήστε με ποιο κριτήριο επιλέξατε τους αριθμούς του προηγούμενου ερωτήματος .

1.7. Γενικεύοντας πόσους αριθμούς μπορείτε να βρείτε οι οποίοι βρίσκονται ανάμεσα στους δύο αριθμούς που διαλέξατε ;

1.8. Πόσο εύκολο είναι να παρασταθούν όλοι αυτοί οι αριθμοί πάνω άξονα των πραγματικών αριθμών;

Δραστηριότητα 2η στον Η/Υ. Εκτελέστε την δραστηριότητα του αρχείου Geogebra για εντοπισμό της θέσης δεκαδικών αριθμών πάνω στην αριθμογραμμή .


Πιθανότητες

Συντάκτης: Τζελέπης Άλκης



ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Πιθανότητες

Σε ένα λούνα παρκ υπάρχει ο τροχός της τύχης που έχει έξι ίσους

κυκλικούς τομείς. Σε τρεις από αυτούς υπάρχει η ένδειξη «χάνεις»,

σε άλλους δύο υπάρχει η ένδειξη 3 € και σε έναν η ένδειξη 4 €.

Η συμμετοχή σε κάθε γύρο του τροχού είναι 2 €. Από τις έως τώρα

γνώσεις και εμπειρία σας να εκτιμήσετε:

1. την πιθανότητα σε μία προσπάθεια ο παίκτης να χάσει

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. την πιθανότητα σε μία προσπάθεια ο παίκτης να κερδίσει 3 €

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. την πιθανότητα σε μία προσπάθεια ο παίκτης να κερδίσει 4 €

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. αν ο παίκτης παίξει 30 φορές, πόσες φορές αναμένεται να χάσει

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………….

5. αν ο παίκτης παίξει 30 φορές, πόσες φορές αναμένεται να κερδίσει 3 €

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. αν ο παίκτης παίξει 30 φορές, πόσες φορές αναμένεται να κερδίσει 4 €

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7. το συνολικό ποσό της συμμετοχής για 30 γυρίσματα του τροχού

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


8. ποιο ποσό αναμένεται να εισπράξει συνολικά αν παίξει 30 φορές

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

9. αν το παιχνίδι ευνοεί τον παίκτη ή τον ιδιοκτήτη

…………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………….……

10. Να απαντήσετε αν είναι Σωστές ή Λάθος οι παρακάτω προτάσεις (με αιτιολόγηση):

α) «αν γυρίσουμε τον τροχό 6 συνεχόμενες φορές θα χάσουμε 3 φορές, θα κερδίσουμε από 3 € δύο φορές και 4 € μία φορά» β) «αν γυρίσουμε τον τροχό 10 φορές δεν είναι δυνατόν να χάσουμε και τις 10 φορές» …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11. Να συμπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω πρόταση: «αν επαναλάβουμε το πείραμα 1000 (ή 10000, ή 100000 ή όσο περισσότερες φορές μπορούμε), τότε η πιθανότητα να χάσουμε είναι ……, η πιθανότητα να κερδίσουμε 3 € είναι …… και η πιθανότητα να κερδίσουμε 4 € είναι ……»

Ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στις παρακάτω ερωτήσεις:

Πώς θα ορίζατε την έννοια της πιθανότητας; …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ποιες τιμές μπορεί να πάρει η πιθανότητα ενός ενδεχομένου; …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ο τροχός: http://www.shodor.org/interactivate/activities/BasicSpinner/


http://www.shodor.org/interactivate/activities/BasicSpinner/

Δυνάμεις

Συντάκτες: Ροϊδούλα Κιούφτη, Μαυρογιάννης Νίκος




ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Δυνάμεις

Αν έχουμε το γινόμενο α ⋅α το γράφουμε για συντομία 2α (διαβάζεται «άλφα στο τετράγωνο»). Όμοια αντί για α ⋅α ⋅α γράφουμε 3α (διαβάζεται «άλφα στον κύβο») αντί για α ⋅α ⋅α ⋅α γράφουμε 4α (διαβάζεται «άλφα στην τετάρτη») κ. ο. κ.

1. Να γράψετε με σύμβολα το «άλφα στην πέμπτη»: …………………. 2. Να γράψετε με σύμβολα το «βήτα στην εβδόμη»: …………………. 3. Να γράψετε με συντομία το α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α : …………………. 4. Να γράψετε με συντομία το x x x x x x x x x x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ : ……………. 5. Να συμπληρώσετε τις ισότητες γράφοντας το τελικό αποτέλεσμα:

32 =…….. 23 =…….. ( )32− = ……… ( )23− = ……… 31 = ……… 13 =…………

Γενικά αντί για έ

...ν ϕορ ς

α ⋅α ⋅α ⋅α

γράφουμε να . Δηλαδή:

έ

...ν

ν ϕορ ς

α = α ⋅α ⋅α ⋅α

Το να λέγεται ν-οστή δύναμη του α . Το α λέγεται βάση της δύναμης και το ν εκθέτης.

6. Να γράψετε την δύναμη με βάση x και εκθέτη 3:……………………………. 7. Να γράψετε την δύναμη με βάση p και εκθέτη 5:…………………………….

8. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το γινόμενο ( ) ( )α ⋅α ⋅α ⋅ α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α : ……...

9. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το γινόμενο α4 α5 : ……………………. 10. Να γράψετε ως γινόμενο δύο δυνάμεων του α τη δύναμη α6 : ………………….….

11. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το πηλίκο α ⋅α ⋅α

α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α: ……………

12. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το πηλίκο α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α ⋅α

α ⋅α ⋅α: ……………

13. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το 0α ≠ το πηλίκο11

7

αα

: ………………….

14. Να γράψετε ως μία δύναμη του 0α ≠ το πηλίκο7

11

αα

: ………………………….

15. Για 0α ≠ βρείτε το 11

11

αα

: ………………..


16. Να βρείτε ένα κανόνα για να γράφουμε ως μία δύναμη το γινόμενο ν µα ⋅α : ……………………

17. Για 0α ≠ να βρείτε ένα κανόνα για να γράφουμε ως μία δύναμη το πηλίκο ν

µ

αα

όταν το ν είναι

μεγαλύτερο από τοµ : …………………………………………

18. Για 0α ≠ να βρείτε ένα κανόνα για να γράφουμε με την βοήθεια μίας δύναμης το πηλίκο ν

µ

αα

όταν το ν

είναι μικρότερο από τοµ : ………………………………………….

19. Για 0α ≠ να βρείτε ένα συμβολισμό για να γράφουμε ως μία δύναμη το πηλίκο ν

µ

αα

όταν το ν είναι

μικρότερο από τοµ : ………………

20. Να συγκρίνετε τα 1να

και 1 ν

α

: ……………………………………..

Μέχρι στιγμής έχουμε ορίσει το να όταν το ν είναι θετικός ακέραιος. Ορίζουμε ακόμη για 0α ≠ το 0α να

είναι το 1 και για ν θετικό ακέραιο το −να να είναι το 1να

που είναι το ίδιο με το 1 ν α

. Έτσι:

1 1 ν−ν

ν

α = = α α

21. Βρείτε τα 32− =……. 23− =……33

2 =

……..32

3

− =

……..03

4 =

…………..

22. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

121 2

2

− + =

………………………………………………………………….……………………..

(22)-1+20+03= ………………………………………………………………………………………..

Έχουμε πλέον ορίσει την δύναμη του α σε οποιοδήποτε ακέραιο εκθέτη. Απλώς αν ο εκθέτης είναι μικρότερος ή ίσος του μηδενός η δύναμη ορίζεται για 0α ≠ . Συνοψίζοντας έχουμε:

1 0 0

1 0

έ

... ί ό έ

ί ό έ

ν ϕορ ς

ν

−ν

α ⋅α ⋅ ⋅α αν ο ν ε ναι θετικ ς ακ ραιοςα = αν ν = και α ≠

αν ον ε ναιαρνητικ ς ακ ραιος και α ≠ α

Για τις δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη επεκτείνονται οι ιδιότητες των δυνάμεων που έχουμε μάθει στο Γυμνάσιο:

( )νµ µνα = α , ( )µ µ ναβ = α α , µ µ

µ

α α= β β


23. Αν 3 27α = και 3 31β = τότε ( )3αβ =…………………………………………..

24. Αν 3 11α = τότε 6α =……………………………………………………………. 25. Αν 4αβ = τότε 2 2α β =…………………………………………………………..

26. Αν 3 28α = και 3 14β = τότε 3

α= β

……………………………………………

Μερικές φορές αντί για πολλά γράμματα χρησιμοποιούμε το ίδιο γράμμα αλλά με τόνους: , ', '', '''α α α α κ. ο. κ. Επίσης χρησιμοποιούμε το ίδιο γράμμα αλλά με δείκτες: 1 2 3, ,α α α κ. ο. κ. Οι δείκτες είναι ονόματα και δεν πρέπει να συγχέονται με τις δυνάμεις.

27. Δίνεται ότι: α1=3, α2=-1, α3=6, α4=-5, α5=-4, α6=7 και α7=0. Να συμπληρωθούν οι ισότητες:1 3α +α =…………………………………………………………………………………………

2 3 12 3 4

−α +α +α =………………………………………………………………………………….

1 2 2 3 3 4+ + +α +α +α =………………………………………………………………………………

Συμπλήρωμα:

Μερικές ερωτήσεις κατανόησης:

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ αν είναι σωστές ή με Λ αν είναι λανθασμένες:

i. Ισχύει 5( 2) 0− > ……………………….

ii. Ισχύει 8( 3) 0− > ………………………. iii. Ισχύει 83 0− > …………………………. iv. Ισχύει 73 0− > …………………………. v. Ισχύει ( 4)( 3) 0−− > ………………………

vi. Ισχύει 03 0− > ………………………….. vii. Ισχύει ( 1) 0ν− > , αν ν άρτιος……………

viii. Ισχύει ( 1) 0ν− < , αν ν περιττός………….

ix. Ισχύει ( 1) 0ν− = , αν ν=0…………………… x. Αν 0α ≠ τότε ισχύει 2 0να > , για κάθε φυσικό αριθμό ν………….

xi. Αν 2α κ= τότε 32 8α κ+ = + …………………..


Ισότητα

Συντάκτες: Σίδερης Αποστόλης, Κανάβης Χρήστος




ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στην Ισότητα

Ποιο είναι πιο βαρύ ένα κιλό σίδερο ή ένα κιλό βαμβάκι;

Απάντηση: Είναι ίσα.

Ένα τούβλο ζυγίζει 1 Κιλό και μισό τούβλο. Πόσα κιλά ζυγίζουν τα δύο τούβλα;

Απάντηση:4 κιλά. Από την αρχική πρόταση προκύπτει πως αν αφαιρέσουμε μισό τούβλο από κάθε ζύγι, θα βρούμε πως το μισό τούβλο ζυγίζει ένα κιλό.

Ιδιότητες του =

1. Αν α β= τότε και αντίστροφα β α= συμβ. α β β α= ⇔ =

Ασκήσεις 1. Συμπληρώστε τα παρακάτω κλάσματα ώστε να ισχύει το ίσον:

α) 1217 17 17

= + β) 1217 17 17

−=

γ) 12 717 17

+= −

δ) 917 17

−=

2. Αν α β= και β γ= τότε α γ=

συμβ. (α β= και β γ= )⇒ α γ=

3. α βγ δ=

+=

τότε α γ β δ+ = + συμβ. (α β= και γ δ= ) α γ β δ⇒ + = +

Πόρισμα

α βγ γ=

+=

τότε α γ β γ+ = +


συμβ. (α β= και γ δ= )α γ β γ⇔ + = +

Συμπληρώστε α βγ δ

−==

τότε…………….. συμβ………………

Συμπληρώστε α βγ γ

−==

τότε…………….. συμβ………………

Ασκήσεις: 2. Διατυπώστε τους κανόνες που περιγράφουν τις ιδιότητες του πίνακα 3. (μόνο το πρώτο κελί)

3. Παρατηρήστε ότι στον πίνακα 3 έχουμε χρησιμοποιήσει στη μια περίπτωση «⇒» ενώ στην άλλη

«⇔ » , γιατί;

4. Αποδείξτε ότι 3 5 5 3α α+ = ⇔ = −

5. Αποδείξτε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πίνακα 3 την ιδιότητα του πίνακα 2.

4. α βγ δ

⋅==

τότε α γ β δ⋅ = ⋅ συμβ. (α β= και γ δ= ) α γ β δ⇒ ⋅ = ⋅

Πόρισμα

α βγ γ

⋅==

0γ ≠

τότε α γ β γ⋅ = ⋅ συμβ. (α β= και 0γ ≠ ) α γ β γ⇔ ⋅ = ⋅

Συμπληρώστε α βγ δ

÷==

, 0γ δ ≠

τότε…………….. συμβ………………

Συμπληρώστε α βγ γ

÷==

0γ ≠

τότε…………….. συμβ………………

Ασκήσεις: 6. Διατυπώστε τους κανόνες που περιγράφουν τις ιδιότητες του πίνακα 4.

7. Παρατηρήστε ότι στον πίνακα 4 έχουμε χρησιμοποιήσει στη μια περίπτωση «⇒» ενώ στην άλλη

«⇔ » , γιατί;

8. Αποδείξτε το αντίστροφο του πορίσματος στον πίνακα 4, δηλαδή

(α γ β γ⋅ = ⋅ και 0γ ≠ ) α β⇒ =

9. Αποδείξτε την ισοδυναμία 83 83

α α= ⇔ =

10. Αποδείξτε την ισοδυναμία 9 5 95α α= ⇔ = ⋅


11. α γ α δ β γβ δ= ⇔ ⋅ = ⋅ με , 0β δ ≠

5. Αν 0α β⋅ = τότε και αντίστροφα 0α = ή 0β = συμβ. ( )0 0 0ήα β α β⋅ = ⇔ = = Αν 0α β⋅ ≠ τότε και αντίστροφα 0α ≠ και 0β ≠ συμβ. ( )0 0 0α β α καιβ⋅ ≠ ⇔ ≠ ≠

Ασκήσεις 12. Αν ( ) ( )1 2 3 0x y− ⋅ + = υπολογίστε τα ,x y

13. Αν ( )3 0x y⋅ + ≠ τι συμπεραίνουμε για τα ,x y ;

Σχόλιο - Συζήτηση

Δίνεται η εξίσωση 2x x= . Ακολουθούν δύο διαφορετικές λύσεις της: Α. 2 2 1x x x x x= ⇔ = ⇔ = Β. ( )2 2 0 1 0 0 1x x x x x x x ή x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = = Σχολιάστε την ορθότητα ή μη των δύο λύσεων.

Γενικές ασκήσεις

14. Να γίνουν οι αναγωγές, όπου είναι δυνατόν: α) 2 23x 4 4x 2x x− + − + = β) 3 2x x+ = γ) 3 2 2 2 3 2 2 22x y xy x y x y xy 4x yω− + ω+ ω+ − ω =

15. Γράψτε την παράσταση 32 3 4 5 45

α β γ δ ζ− + + − − ώστε ο 2ος και 3ος όρος να είναι σε παρένθεση

με το + μπροστά ενώ οι δύο τελευταίοι όροι σε παρένθεση με το – μπροστά.

16. Γράψτε το x y− με τρείς τρόπους χρησιμοποιώντας πρόσημα και παρενθέσεις.

17. Αν 2α = − και 4β = συμπληρώστε i) 3α = ii) 2α + = iii) 2α + = iv) 3 7α− + =

v) α β⋅ = vi) 2 3α β− = vii) 3αβ

=

18. αν 2 3 2

3

α βκαι

β γ δ

+ =

= − ποια σχέση συνδέει τα α, γ, δ;


19. Αν 3 2 9

2 2α β γα β γ

+ + =− + = −

τότε: 4 3α β γ+ + =

20. Να κάνετε τις πράξεις,

( ) ( )) 2 5 6 3 3 7 3 4α + − − − − =

( )( )) 3 5 2 2x x xβ − − − =

( ) ( )1 1) 3 3 1 4 22 3

x x x xγ + + − − − − =

2 2 1 2 4) 1 : 25 3 5 3 3

δ − − − =

21. Να γίνουν οι πράξεις: α) ( )( ) ( )52 3x y 3 x 1 y 2 4 xy 12

− + + + + − − + =

β)

x12

x 1

+=

+ γ)

3y213x2

−=

+

δ)

142 2

1 1

+α −α− =

α + α −

22. Στη σχέση 3 4 9x y− + = αντικαταστήστε τα ,x y από τις σχέσεις 3 1x α= − και 4 3y α= − . Ακολούθως υπολογίστε το α .

23. Αν 2 1α β+ = να βρείτε την τιμή της παράστασης ( ) ( )1 2 2α α β αΑ = + + +

24. α) Α=3 2a β− κάντε πράξεις

β) αν 5xα = και xβ = βρείτε το Α μόνο με τη βοήθεια του x.

25. Αν είναι 3 2 5α β γ= = και 20α +β+ γ = να βρείτε τους αριθμούς , ,α β γ .

(Υπόδειξη: Θέτουμε 3α= λ∈ )

Ερωτήσεις Κατανόησης

Α. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).

1. Αν α γ β δ+ = + τότε ισχύει ότι α β και γ δ= =

2. Αν α γβ δ= τότε ισχύει ότι α γ και β δ= =


3. Αν α γ β γ⋅ = ⋅ τότε ισχύει α β= . 4. Αν ( ) ( )α γ β α γ δ− ⋅ = − ⋅ τότε ισχύει ότι β δ=

5. Η ισότητα ( )( )1 2

21

x xx

x− −

= −− ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς.

6. Ισχύει η ισοδυναμία: ( ) ( )1 2 0 1 2x x x ή x− ⋅ − ≠ ⇔ ≠ ≠ .

7. Αν 0β ≠ και 0αβ= τότε 0α = .

8. Αν 1α β⋅ = τότε 0 0α και β≠ ≠ .

9. Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: 2 2x x− =

10. Για κάθε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: a β β α− = −


Ταυτότητες

Συντάκτης: Χασάπης Σωτήρης




ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Ταυτότητες και στην Απόδειξη

Δραστηριότητα 1η .

Έχουμε δύο τετράγωνα με πλευρές α και β αντίστοιχα. Ένα τρίτο τετράγωνο έχει πλευρά α+β.

1. Να εξετάσετε αν τα δύο πρώτα τετράγωνα μαζί έχουν το ίδιο εμβαδόν με το τρίτο τετράγωνο

2. Ανοίξτε το «Ταυτότητα α+β.ggb», στο οποίο βλέπετε τα τρία τετράγωνα και δικαιολογήστε την απάντησή σας.

3. Μετακινήστε τα τετράγωνα, για να συγκρίνετε το συνολικό εμβαδόν των δύο πρώτων τετραγώνων με εκείνο του

τρίτου.

4.Μεταβάλετε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων α και β. Ισχύουν τα ίδια συμπεράσματα;

5.Μπορείτε τώρα να συγκρίνετε τις ποσότητες (α+ β)2 και 𝛼2 + 𝛽2 ;

6.Μπορείτε να βρείτε κατά πόσο υπολείπεται η μία ποσότητα από την άλλη; Αναζητήστε το στη γεωμετρική

ερμηνεία.

7.Με βάση τις παρατηρήσεις σας συμπληρώστε την ταυτότητα (α+ β)2 = α2+β2+.....και αποδείξτε την αλγεβρικά με

τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας.


Χρησιμοποιώντας το αρχείο α+β3.ggb να εξετάσετε με όμοιο τρόπο με εκείνον της δραστηριότητας 1 αν ισχύει η

ισότητα: (𝛼 + 𝛽)3 = 𝛼3 + 𝛽3 για οποιεσδήποτε τιμές των

α, β.


Διάταξη πραγματικών αριθμών

Συντάκτης: Σιώπη Πόπη




ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Βασικές έννοιες της διάταξης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών

Δραστηριότητα 1η:

Να συγκρίνετε τους αριθμούς α και β και να βρείτε το πρόσημο της διαφοράς τους σε κάθε μια από τις

παρακάτω περιπτώσεις:

α=12 , β=3

i) 12 …. 3 και 12-3 …..0

ii) 3 …. 12 και 3- 12 …..0

α=5 ,και β=-4

i) -4 …. 5 και -4 –5…. 0

ii) 5 …. -4 και 5 – (-4)…0

α=-20 , β=-8

i) -20 …. -8 και -20- (-8) ….0

ii) -8 …. -20 και -8- (-20) ….0

α) Υπάρχει σχέση μεταξύ της διάταξης των αριθμών α και β και του προσήμου της διαφοράς τους;

β) Τα προηγούμενα συμπεράσματά σας ισχύουν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β;

γ) Τι θα συμβαίνει στην περίπτωση που οι αριθμοί α και β είναι ίσοι μεταξύ τους;

Να περιγράψετε αλγεβρικά τη σχέση της διάταξης μεταξύ δυο αριθμών α και β με το πρόσημο της

διαφοράς τους α-β .

Δραστηριότητα 2η: Για τα προηγούμενα ζεύγη αριθμών α, β να προσδιορίσετε το πρόσημο του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου τους .

α=12 , β=3

i) α + β

ii) α ⋅ β

iii) αβ

α=5 ,και β=-4

i) α + β

ii) α ⋅ β

iii) αβ

α=-20 , β=-8

i) α + β

ii) α ⋅ β

iii) αβ

α) Τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου τους σε σχέση με το πρόσημο των αριθμών α, β; β) Τα συμπεράσματά σας ισχύουν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β; γ) Τι συμβαίνει στην περίπτωση της διαφοράς α-β; δ) Αν γνωρίζετε το πρόσημο α) του αθροίσματος, β) του γινομένου ή γ) του πηλίκου δυο αριθμών α και β , μπορείτε να προσδιορίσετε το πρόσημο των α και β; Εξηγείστε. Να διατυπώσετε και να περιγράψετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματά σας.



Με βάση τη θέση των αριθμών α, β και γ στον άξονα του σχήματος, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης 𝛢 = 𝛼−𝛾

𝛽(𝛾+4)

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας

Δραστηριότητα 4η: Έστω ότι α και β είναι δυο πραγματικοί αριθμοί. Αν 𝛼 ≥ 0 𝜅𝛼𝜄 𝛽 > 0 ,

α) τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του γινόμενου τους α. β ; β) τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του αθροίσματός τους α+ β; Δραστηριότητα 5η: Ένας μαθητής κάνει το συλλογισμό «Κάθε αριθμός α είναι ομόσημος με τον εαυτό του. Άρα, το γινόμενο 𝛼. 𝛼 είναι πάντα θετικό ως γινόμενο ομόσημων ή μηδέν αν α=0, συνεπώς θα ισχύει (1). Οπότε, αν β είναι ένας άλλος πραγματικός αριθμός , τότε θα ισχύει (2). Από (1) και (2) θα ισχύει (3) . Με βάση τις σχέσεις (1), (2) και (3) , θα ισχύει και η ανισότητα (4) για κάθε πραγματικό αριθμό χ».

Ένας άλλος συμμαθητής του υποστηρίζει ότι ο ισχυρισμός (4) δεν ισχύει πάντα. Ποιος έχει δίκιο;

Εφαρμογές

1) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύπτουν αληθείς ισχυρισμοί. α) 𝛼𝜈 𝜒 < 1 , τότε το πρόσημο της παράστασης 𝜒 − 1 είναι …………….. β) 𝛼𝜈 − 1 < 𝜒 < 1 , τότε 𝜒 − 1 … 0 𝜅𝛼𝜄 𝜒 + 1 … .0

2) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μια από τις προτάσεις: Για κάθε αριθμό α ισχύει:

1) 2𝛼 ≥ 𝛼 2) 𝛼 + 2 ≥ 𝛼 3) 𝛼 − 2 ≤ 𝛼

3) Να συμπληρώσετε τα κενά με κατάλληλο σύμβολο της διάταξης α) 𝛼𝜈 𝜒 ≠ 1, 𝜏ό𝜏𝜀 (𝜒 − 1)2 … .0 β) 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 𝜒 ∈ 𝑅, (𝑥 − 1)2 + (2𝑥 − 4)2 … .0 γ) 𝑎2 + (𝛽 − 1)2 ≤ 0 ⇔ 𝛼 … . .0 𝜅𝛼𝜄 𝛽 … .1

4) Αν 𝛼 > 1 > 𝛽 να βρεθεί το πρόσημο της παράστασης: 𝛼𝛽 + 1 − 𝛼 − 𝛽

5) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει i) (𝛼 − 2)2 + (𝛽 + 2)2 = 0 𝛼2 + (2 − 𝛽)2 > 0

𝛼2 + 𝛽2 − 2(𝛼 − 𝛽) + 2 = 0


Διαστήματα

Συντάκτης: Μαυρογιάννης Νίκος




Φύλλο Εργασίας στα διαστήματα


Δίπλα σε κάθε ένα διάστημα να γράψετε τις ανισοτικές σχέσεις που το περιγράφουν:

Διάστημα Ανισοτική σχέση που ισχύει για τα στοιχεία του x

( )2 5,

[ )2 5,

( ]2 5,

[ ]2 5,

( )2,+∞

[ )2,+∞

( )2,−∞

( ]2,−∞


Στο παρακάτω σχήμα:

Να γράψετε υπό μορφή διαστήματος:

α) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται από το σημείο Α συμπεριλαμβανομένου έως το σημείο Β συμπεριλαμβανομένου. β) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται από το σημείο Α μη συμπεριλαμβανομένου έως το σημείο Γ συμπεριλαμβανομένου. γ) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται αριστερά του Α (μη συμπεριλαμβανομένου); δ) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται δεξιά του Α συμπεριλαμβανομένου και αριστερά του Γ μη συμπεριλαμβανομένου.



Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της Στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β 1. 0 2x< < Α. [ )7,x∈ − +∞ 2. 0.5x < Β. 3 8

10 10x< ≤

3. 7 x− < Γ. ( ]0.15,2.13x∈

4. 327

x− ≤ < Δ. 32,7

x

∈ −

5. [ ]0.3,0.8x∈ Ε. 1,2

x ∈ −∞

6. 10,3

x ∈ −∞ ΣΤ. 332,

3x

∈ −

7. [ )3,x∈ +∞ Ζ. ( )0,2x∈ 8. 11 7x− ≤ < − Η. [ )11, 7x∈ − −

9. 15 2,13100

x< ≤ Θ. 3x ≥

10. 5 123

x− < < I. 103

x≥

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Ανισότητα που ικανοποιεί ο πραγματικός αριθμός x.

Διάστημα στο οποίο ανήκει ο πραγματικός αριθμός x.

7x < 7 x− ≥

32 3x− ≤ ≤ − 1 02

x≥ ≥

0 x≤ ( 4, )∈ − +∞x



Να εκφράσετε υπό μορφή ενός διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τις παρακάτω εκφράσεις:

Έκφραση για το x Σύνολο που περιγράφει την έκφραση: 3 2x ή x≥ < − ( ) ( ), 2 3,−∞ − ∪ +∞

10 2 0x ή x− ≤ < − ≥ [ ] [ )10, 2 0,− − ∪ +∞ 10 2 0x ή x− ≤ < − < 10 0x x− ≤ <και

10 20x x− ≤ − <και 10 2 5 7x x− ≤ < − < <και

Δραστηριότητα 6η Να περιγραφούν με την βοήθεια διαστημάτων οι παρακάτω σχέσεις: 1. x 3≤ ή x>5…………………………………………………………………………………… 2. 0 x 2 ή 3 x 7< ≤ ≤ < ………………………………………………………………………… 3. 2 x 3 ή 3 x 5− < ≤ > > ……………………………………………………………………….. 4. 0<x<3 και x<2………………………………………………………………………………... 5. x 0 2 x 7≥ και − ≤ < ………………………………………………………………………… 6. 1 x 2 x 5− < και − < ≤ ………………………………………………………………………… 7. x<3 και x>3…………………………………………………………………………………….. Δραστηριότητα 7η Να περιγραφούν με ανισότητες οι παρακάτω σχέσεις

1. ( )x , 4 ( 4, )∈ −∞ − ∪ − +∞ …………………………………………………………………………

2. ( ) ( ], 2 7,10x∈ −∞ ∪ ………………………………………………………………………….

3. [ )5,7 9,x ∈ − ∪ +∞ ……………………………………………………………………………

4. [ ] [ )5,0 0,2x∈ − ∪ …………………………………………………………………………………

Δραστηριότητα 8η Να γράψετε την ανισοτικές σχέσεις και τα διαστήματα που προκύπτουν από τα παρακάτω διαγράμματα.

Ανισοτική σχέση Διάστημα






Να γράψετε 20 αριθμούς του διαστήματος ( )0 1, .


Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

[ ] [ ]2 4 2 4, ,⊆ [ ] [ )2 4 2 4, ,⊆ [ ] [ )2 4 2, ,⊆ +∞ [ ] ( )2 4 5, ,⊆ −∞ Σ


Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Συντάκτες: Αρδαβάνη Πόπη, Καλογερία Ελισσάβετ, Τζελέπης Άλκης




Φύλλο Εργασίας στην Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού

ΜΕΡΟΣ 1ο

1) Πότε ισχύει κάθε μια από τις παρακάτω σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς α και –α;

i) α > -α …………….………….……… ii) α <-α …………….…………………..… iii) α =-α ……………………..…………

• Ποια η σχέση ανάμεσα σε |𝛼| και |−𝛼|; ……..………………………………………………………………………….

2) Βρείτε στον άξονα τους πραγματικούς αριθμούς x, έτσι ώστε:

• |𝑥| = 2 • −2 < 𝑥 < 2 • να απέχουν από το μηδέν απόσταση μικρότερη από 2 • |𝑥| < 2

Τι παρατηρείτε; ………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………....

Θυμόμαστε από το Γυμνάσιο:

Απόσταση δυο σημείων Α και Β: ………………………………………………………………………………………………………..

Παράσταση πραγματικών αριθμών με σημεία ενός άξονα x΄x:

• Τοποθετείστε σε αντίστοιχα σημεία Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η του παραπάνω άξονα τους αριθμούς: 2, -2, 1

2, − 1

2, √2, −√2

• Βρείτε τις αποστάσεις των παραπάνω σημείων από το 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Αν ο πραγματικός αριθμός α αντιστοιχεί σε σημείο Κ του άξονα x΄x, τότε η απόσταση του Κ από το Ο ονομάζεται ………………………………………………………… του α και παριστάνεται με…………………….

• Βρείτε τις τιμές: |2| = . . . , |−2| = . . ., �12� = . . ., �− 1

2� = . . ., �√2� = . . ., �−√2� = . . ., |0| = . . ..

• Τι παρατηρείτε; ……………………………………………………………………………………………………………


Να γενικεύσετε τα ευρήματά σας ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3) Βρείτε στον άξονα τους πραγματικούς αριθμούς x, έτσι ώστε: • |𝑥| = 2 • x < −2 ή x > 2 • να απέχουν από το μηδέν απόσταση μεγαλύτερη από 2 • |x| > 2 Τι παρατηρείτε; …………………………………………………………………………………………………………………………….................................................................................................................................... Να γενικεύσετε τα ευρήματά σας ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4) i) Πώς θα ορίζατε την απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού x ; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. ii) Να διατυπώσετε λεκτικά τον ορισμό …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..

5) Πώς θα ορίζατε την απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού 𝑥 − 2 ; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ασκήσεις:

Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 𝛼) 𝐴 = |𝑥 − 1|, 𝛽) 𝐵 = 2|𝑥 − 1| + 1, 𝛾) 𝛤 = |𝑥 − 1| + |𝑥 + 2| , με − 2 < 𝑥 < 1, δ) 𝛥 = |𝑥 − 3| −|𝑥 − 4|, ε) 𝛦 = |𝑥|

𝑥+ |𝜓|

𝜓, 𝑥 ∙ 𝜓 ≠ 0

ΜΕΡΟΣ 2o

6) Είναι προφανές ότι ισχύει |𝑥| = |𝑥 − 0| Πώς θα ερμηνεύατε γεωμετρικά το |𝑥 − 2|; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...................................

7) Πώς θα ορίζαμε την απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών α, β; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………....................................


………………………………………………………………………………………

| 𝛼 − 𝛽| =

8) Να συγκρίνετε τις απόλυτες τιμές |𝛼 − 𝛽| … |𝛽 − 𝛼|

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας: ……………………………………………... ..…………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………

9) Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α

και Β αντίστοιχα

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας τις απαραίτητες επεξηγήσεις: • Το μήκος του διαστήματος [𝛼, 𝛽], είναι …………………………………………………………….. .…………………………………………………………………………………………………………… διότι……………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………….….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………. • Ο αριθμός που αντιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήματος ΑΒ, είναι ο …………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. διότι ………………………………………………………………………………………………………. ...………………………………….……………………………………………………..……………………………………………………………………………………………. και ονομάζεται κέντρο του [𝛼, 𝛽] 10) Να διαβάσετε (λεκτικά) τις σχέσεις χωρίς να χρησιμοποιείτε την έκφραση Απόλυτη Τιμή: |𝑥 − 4| = 3 ..………………………………………………………………………………………………..

|𝑥 + 4| = 3 …………………………………………………………………………………………………

|𝑥 − 4| < 3 …………………………………………………………………………………………………

|𝑥 − 4| > 3………………………………………………………………………………………………….

|𝑥 − 4| > - 5 ……………………………………………………………………………………………….. | 𝑥 + 4| < - 5 ……………………………….…………………………………………..…………..............

11) Μπορείτε να βρείτε τις τιμές του x που ικανοποιούν κάθε μία από τις επόμενες σχέσεις;

|𝑥 − 4| = 3 ………………………………………………………………………………………………… |𝑥 + 4| = 3 ………………………………………………………………………………………………… |𝑥 − 4| < 3 ………………………………………………………………………………………………… |𝑥 − 4| > 3 …………………………………………………………………………………………………


|𝑥 − 4| > - 5 ……………………………………..…………………………………………….................... |𝑥 + 4| < -5 ……………………………….…………………………………………………..…………… Ασκήσεις:

1. Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία

Α και Β αντίστοιχα

α) Αν θέλετε να χωρίσετε το παραπάνω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα μέρη, να υπολογίσετε

πόσο θα είναι το μήκος του καθενός από αυτά

β) Να βρείτε τους αριθμούς γ και δ (συναρτήσει των α και β), πο που αντιστοιχούν στα σημεία Μ

και Ν του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, έτσι ώστε ΑΜ = ΜΝ = ΝΒ

Τι μπορείτε να συμπεράνετε τότε για τα μήκη των διαστημάτων [𝛼, 𝛾], [𝛾, 𝛿] και [𝛿, 𝛽];

2. Η απόσταση ενός πραγματικού αριθμού x από το 1 δεν ξεπερνά τις 2 μονάδες.

Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του x


Απόλυτη τιμή και πράξεις

ΣΥΝΤΑΚΤΕΣ: Γιώτης Γιάννης, Πετεινάρα Αλεξία


ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /



1.1 Στον παρακάτω πίνακα Α, συμπληρώστε τις στήλες 1 έως 5.

Πίνακας Α.

1 2 3 4 5 6 7

α β α⋅β |α| |β| Απόλυτο γινομένου

|α⋅β|

Γινόμενο

απολύτων

|α|⋅|β|

σύγκριση του |α⋅β|

με το

|α|⋅|β|

Πρόσημο

των α, β

2 3

-2 -3

2 -5

-2 5

1.2 Συμπληρώστε τη στήλη 6 με ένα από τα σύμβολα «=», «<» ή «>».

Τι παρατηρείτε;……………………………………………………………………………………………..

1.3 Συμπληρώστε τη στήλη 7.

1.4 Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που καταγράψατε στη στήλη 6 με το πρόσημο των α, β που

συμπληρώσατε στη στήλη 7, νομίζετε ότι εξαρτάται το αποτέλεσμα της μίας στήλης από την άλλη;

Δικαιολογήστε την απάντησή σας ...............................................................................................................

1.5 Μπορείτε να γενικεύσετε τα συμπεράσματά σας; …………………………………………………….

1.6 Συμπληρώστε τα κενά: |α⋅β| … |α|⋅|β| για ……. α, β ∈R

1.7 Πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την παραπάνω σχέση;

Α΄ΤΡΟΠΟΣ

Αν α<0 και β<0 , τότε αβ>0, άρα |α⋅β|=αβ=(-α)(-β)=|α|⋅|β|

Αν α<0 και β>0 , τότε αβ<0, άρα |α⋅β|=-αβ=(-α) β=|α|⋅|β|

Αν α>0 και β<0 , τότε αβ<0, άρα |α⋅β|=-αβ= α(-β)=|α|⋅|β|

Αν α>0 και β>0 , τότε αβ>0, άρα |α⋅β|=αβ=|α|⋅|β|

Β΄ΤΡΟΠΟΣ ΣΕΛ. 62 ΣΧΟΛ. ΒΙΒΛΙΟΥ



2.1 Στον παρακάτω πίνακα B. συμπληρώστε τις στήλες 1 έως 5.

Πίνακας Β.

1 2 3 4 5 6 7

Α β α+β |α| |β|

Απόλυτο τιμή του

αθροίσματος

|α+β|

Άθροισμα απολύτων

τιμών |α|+|β|

σύγκριση του

|α+β| με το |α|+|β| Πρόσημο

των α, β

-4 -6

4 6

-4 6

4 -6

2.2 Συμπληρώστε τη στήλη 6 με ένα από τα σύμβολα «=», «<» ή «>».

Τι παρατηρείτε; ……………………………………………………………………………………………

2.3 Συμπληρώστε τη στήλη 7.

2.4 Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που καταγράψατε στη στήλη 6 με το πρόσημο των α, β που

συμπληρώσατε στη στήλη 7, νομίζετε ότι εξαρτάται το αποτέλεσμα της μίας στήλης από την άλλη;

Δικαιολογήστε την απάντησή σας …………………………………………………………………………

2.5 Μπορείτε να γενικεύσετε τα συμπεράσματά σας; ……………………………………………………..

2.6 Συμπληρώστε τα κενά: |α+β| … |α|+|β| για ……. α, β ∈R

2.7 Πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την παραπάνω σχέση;

Α΄ΤΡΟΠΟΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (ΒΛΕΠΕ ΠΙΝΑΚΑ)

Β΄ΤΡΟΠΟΣ ΣΕΛ. 63 ΣΧΟΛ. ΒΙΒΛΙΟΥ

2.8 Πότε ισχύει η ισότητα : |α +β| =|α| + |β|

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Αν |α|= α και |β|> β να αποδείξετε ότι αβ≤0.

2. |α| ≤2 και |β| ≤3 να αποδειχθεί ότι α) |2α+3β| ≤13 β) |5α-2β+1| ≤17

3. Για κάθε πραγματικό αριθμό χ να αποδείξετε:

4. Άσκηση Β1,Β3/σελ.68


Απόλυτη τιμή και διάταξη

Συντάκτες: Αρμάος Πέτρος, Μανιατοπούλου Αμαλία




Φύλλο Εργασίας στην Απόλυτη Τιμή και Διάταξη Σε ένα υπό κατασκευή κτίριο, ύψους 50 μέτρων από την επιφάνεια

του εδάφους, με υπόγεια βάθους 20 μέτρων από την επιφάνεια του

εδάφους, οι εργάτες μετακινούνται στο κατάλληλο ύψος με μία

πλατφόρμα επιβίβασης – αποβίβασης. Προκειμένου οι εργάτες να

γνωρίζουν σε ποιο σημείο βρίσκονται κάθε στιγμή, υπάρχει

ηλεκτρονική ένδειξη για το ύψος σε μέτρα σε σχέση με την

επιφάνεια του εδάφους, θετική όταν βρίσκονται πάνω από αυτή και

αρνητική όταν βρίσκονται κάτω από αυτή.

Α. Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις:

1. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μικρότερη από 9 m, μεταξύ ποιων υψών κινείται;

Απ.: ......................................................................................................................

2. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μικρότερη από 7 m, μεταξύ ποιων υψών κινείται; Απ.: ......................................................................................................................

3. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μεγαλύτερη από 9 m, ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης της πλατφόρμας; Απ.: ......................................................................................................................

4. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μεγαλύτερη από 7 m, ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης της πλατφόρμας; Απ.: ......................................................................................................................

5. Η πλατφόρμα έχει τη δυνατότητα να κινείται κάθε φορά 5 μέτρα προς τα πάνω ή προς τα κάτω από το προηγούμενο σημείο στάσης. Αν η πλατφόρμα έχει σταματήσει 2 m πάνω από την επιφάνεια του εδάφους ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης στην επόμενη χρήση της. Απ.: ...................................................................................................................... 6. Η πλατφόρμα έχει τη δυνατότητα να κινείται κάθε φορά 5 μέτρα προς τα πάνω ή προς τα κάτω από το προηγούμενο σημείο στάσης. Αν η πλατφόρμα έχει σταματήσει 2 m κάτω από την επιφάνεια του εδάφους ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης στην επόμενη χρήση της. Απ.: ......................................................................................................................


Β.

1. Nα μεταφέρετε την κίνηση της πλατφόρμας στον άξονα ψ΄ψ, συμβολίζοντας

με ψ τη θέση της πλατφόρμας.

2. Απαντήστε στις ερωτήσεις Α1- Α6 με αλγεβρικό τρόπο

Α1 : ( ,0) 9 9 9 9d x x x< ⇔ < ⇔ − < <

Α2 : ………………………………………………………………..

Α3 : ………………………………………………………………..

Α4 : ………………………………………………………………..

Α5 : ………………………………………………………………..

Α6 : ………………………………………………………………..

3. Γενίκευση: α) Αν x <θ με θ>0, τότε……………………………….

β) Αν x >θ με θ>0, τότε……………………………….

4. Εργασία για το σπίτι: Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Απόλυτη τιμή

Ανισότητα Γεωμετρική ερμηνεία Διάστημα

3x < -3<x<3

x∈(-3,3)

3x ≥

2x ≤

3 2x − <

3 2x − ≥

3x < −


3x ≥ −

2 1x + < −

2 1x + > −

https://drive.google.com/file/d/0BzRYPL76qa4ickdKUElndHVOTWs/view?usp=sharing



Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Συντάκτες: Αρμάου Αντωνία, Καλαφάτη Μυρτώ




Φύλλο Εργασίας στην τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών

Δραστηριότητα 1η 1.1 • Θυμάστε τους τετράγωνους αριθμούς;

• Ποιοι τετράγωνοι αριθμοί υπάρχουν μέχρι το 100;

• Το 144 είναι τετράγωνος αριθμός;

• Να εξηγήσετε πώς εξετάζουμε αν ένας αριθμός είναι τετράγωνος.

• Ξέρατε ότι…

1.2 • Ο κ. Ισίδωρος έχει ένα χωράφι σχήματος τετραγώνου με εμβαδόν 81 m2. Πρέπει

να περιφράξει με σύρμα τη βορινή πλευρά του χωραφιού. Πόσα μέτρα σύρμα θα πρέπει να αγοράσει; Να λύσετε το παραπάνω πρόβλημα με τη βοήθεια εξίσωσης.

• Αν το χωράφι του κ. Ισίδωρου έχει εμβαδόν 27 m2, πόσα μέτρα σύρμα θα πρέπει να αγοράσει;

1.3 Να αποδειχθεί ότι για κάθε x 0≥ ισχύει: 2 1 0x x+ + ≥ Δραστηριότητα 2η . 2.1 Να εξηγήσετε γιατί δεν ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς η τετραγωνική ρίζα του -1 και κατά συνέπεια οποιουδήποτε αρνητικού αριθμού.

2.2 Ορίζεται η 2( 3)− ;……….. Ισχύει ότι 2( 3) 3− = − ;…………………………. Δραστηριότητα 3η 3.1


Να βρείτε τις ρίζες: 25 , ( )25− , 2α Τι παρατηρείτε; 3.2

α) Να βρείτε το ανάπτυγμα )( 27 3−

β) Να βρείτε τη ρίζα του 16 6 7− 3.3 α) Αν 0x > , να απλοποιήσετε την παράσταση: 2 225 4A x x x= − −

β) Αν 0y < , να απλοποιήσετε την παράσταση: 2 236 9 2B y y y= − + Δραστηριότητα 4η 4.1 Παρατηρώντας τον παρακάτω πίνακα να απλοποιήσετε τις ρίζες και να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων.

50 18 8Α = − − 3 32 128 18Β = − + 5 1 5 1Γ = − ⋅ +

32 50 98

2+ +

∆ = ( 12 48 27) 3Ε = + −

4.2 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) ;

• 3 4 6 2⋅ = ⋅

• −

=

βαβ α

1

• α β α β⋅ = ⋅ με

,α β ∈

• 2014 2014 2014⋅ = 4.3 Να εξετάσετε αν 100 36 64= + . Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το άθροισμα τετραγωνικών ριζών; Ισχύει κάτι ανάλογο για τη διαφορά τετραγωνικών ριζών; Δώστε ένα παράδειγμα. Δραστηριότητα 5η Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή:


212

, 65 2

, 13 4−


Ρίζες πραγματικών αριθμών

ΣΥΝΤΑΚΤΕΣ: Αργύρη Παναγιώτα, Ραχιώτου Λεμονιά


Φύλλο εργασίας

ΓΝΩΣΤΙΚΟ


Νιοστές Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

ΤΑΞΗ: ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:……………………………………………………

Δραστηριότητα 1η Ερώτημα 1.1 Ποια είναι η πλευρά τετραγώνου με εμβαδόν 64;

Απάντηση:…………………………………………..

Άρα 64 =..........

Ποια είναι η πλευρά κύβου με όγκο 64;

Απάντηση:…………….............................................

Άρα 3 64 =......

Ερώτημα 1.2 Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας συμπληρώνοντας τα κενά στην ακόλουθη πρόταση: Η νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με v a και είναι ο μη αρνητικός αριθμός ..… που όταν υψωθεί στη .................δίνει τον............... Δραστηριότητα 2η Ερώτημα 2.1 Να εξετάσετε αν ορίζονται οι παρακάτω ρίζες και στην περίπτωση που υπάρχουν να υπολογιστούν.

( )5 2− 5 =……………. 5 2 5 = …………… ( )4 2− 4 = …………… 4 2 4 = …..…..

Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω ισότητες αληθεύουν:

4 10000 = 10……………………. 4 10000− = -10 …………………………….

Ερώτημα 2.2 Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας τις ακόλουθες προτάσεις Αν ν άρτιος και α≥0 τότε ν a ν =………..

Αν ν άρτιος και α∈ R τότε ν a ν =………


Αν ν περιττός και α‹0 τότε ν a ν =………

Αν ν περιττός και α›0 τότε ν a ν =………

Δραστηριότητα 3η Ερώτημα 3.1 Να υπολογίσετε τις ακόλουθες παραστάσεις : Α) 3 64 =…………………. 6 64 = ………………….. Β) 4 4⋅ =…………………... 4 16 = ………………….. Ερώτημα 3.2 Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας την ακόλουθη ισότητα µ ν α =..................... Ερώτημα 3.3 Να αποδείξετε τα συμπεράσματα σας , συμπληρώνοντας τις ακόλουθες ισότητες. ( µ ν α )μν = ..........................................................................

( µν α ) μν = ...........................................................................

Δραστηριότητα 4η Ερώτημα 4.1 Να απλοποιηθούν ακόλουθες παραστάσεις : 3 28 = ……………………………………. ( )6 48 = ………………………………….

Τι παρατηρείτε; ………………………………………………………………………

Ερώτημα 4.2 Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας την ακόλουθη πρόταση ν ρ µ ρα⋅ ⋅ = ..................... Ερώτημα 4.3 Να αποδείξετε τα συμπεράσματα σας , συμπληρώνοντας τις ακόλουθες ισότητες. ν ρ µ ρα⋅ ⋅ = .... ......aν = ................................................ Δραστηριότητα 5η Ερώτημα 5.1 Να υπολογίσετε τις ακόλουθες παραστάσεις : α) Να λυθεί η εξίσωση x5=32


β) Ποια είναι η τιμή του α ώστε ο αριθμός 32α να είναι ρίζα της εξίσωση x5=32 ;

Ερώτημα 5.2

Τι σημαίνει aµν ;

Εφαρμογές 1) Να απλοποιήσετε την παράσταση 4 844)4( βα− ………………………………………………………………………

2) Να υπολογίσετε τα α, b ∈ έτσι ώστε 4 42 )3()1( −+− ba = 0 3)Να απλοποιήσετε την παράσταση 3 5 4 222 ……………………………………………………………………….. 4) Να υπολογίσετε το γινόμενο

2 44 33 ααα ⋅⋅ ……………………………………………………………………


Εξισώσεις 1ου βαθμού

Συντάκτες: Αργύρη Παναγιώτα, Ραχιώτου Λεμονιά




Φύλλο Εργασίας στις εξισώσεις

ΓΝΩΣΤΙΚΟ


Κεφάλαιο 3.1 : Εξισώσεις 1ου βαθμού –Παραμετρική

Εξίσωση

ΤΑΞΗ: Α

ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………..

Δραστηριότητα 1η Ερώτημα 1.1 Να λυθούν οι εξισώσεις : 2x=4 2 4x = -4x=2 2x=α αx=3 1 42

x = 0x=3

Ερώτημα 1.2 Να λυθούν οι εξισώσεις :

2x=10 1 10 02

x −+ =

10 02x+ = 5 14 7 (3 9)

2 4 2x x−

+ = − −

Ερώτημα 1.3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στις ακόλουθες προτάσεις : • Μία εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής αχ = β έχει μοναδική μοναδική λύση όταν : Α. 0 και β 0a = ≠ Β. 0 και β 0a ≠ ≠ Γ. 0 και βa R≠ ∈ Δ. 0 και β=0a = • Μία εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής αχ = β είναι αδύνατη (δεν έχει λύση) όταν : Α. 0 και β 0a = ≠ Β. 0 και β 0a ≠ ≠ Γ. 0 και βa R≠ ∈ Δ. 0 και β=0a = • Μία εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής αχ = β είναι ταυτότητα ή αόριστη (έχει άπειρες

λύσεις ) όταν : Α. 0 και β 0a = ≠ Β. 0 και β 0a ≠ ≠ Γ. 0 και βa R≠ ∈ Δ. 0 και β=0a = Δραστηριότητα 2η Ερώτημα 2.1 Δίνεται η εξίσωση 1ου βαθμού : (4-μ2)χ=2μ(μ-2)(μ+1)


Για μ=1 η εξίσωση γράφεται ........................................................... και έχει λύση : ……………………………………………………………………………………. Για μ=-4 η εξίσωση γράφεται ...........................................................και έχει λύση : …………………………………………………………………………………….. Για μ=2 η εξίσωση γράφεται ...........................................................και είναι ……… …………........................................ Για μ=-2 η εξίσωση γράφεται ...........................................................και……………… ........................................................ Ερώτημα 2.2 Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας : Δίνεται η εξίσωση: μ2(x-1)-2=3μ+x, μ∈ , όπου .......ειναι ο άγνωστος της και .......... η παράμετρος. Μετά από την εκτέλεση των πράξεων γράφεται στη μορφή ..................................................... Α) Για ποιες τιμές του μ έχει μοναδική λύση ;Να βρείτε τη μοναδική λύση. ………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….. Β) Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση είναι ταυτότητα ή αόριστη ; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Γ) Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση είναι αδύνατη ; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ερώτημα 2.3 Να λύσετε την εξίσωση : λ2x-6+λ=3λ+9x για τις διάφορες τιμές του λ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Εργασία για το σπίτι : Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α Λυκείου:

Άσκηση 1ii), iv) σελ.83

Άσκηση 3 σελ.83

Άσκηση 4 σελ.83 (να λυθεί και μέσα στην τάξη)


Η εξίσωση xν=α

Συντάκτες: Αρμάος Πέτρος, Καννάβης Χρήστος




Φύλλο Εργασίας στην εξίσωση xν=α

Μέρος 1ο

Δραστηριότητα 1η :

Υπολογίστε τις δυνάμεις του πίνακα.

𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕

2

-2 1.1 Τι συμπέρασμα βγάζετε για το πρόσημο του αριθμού 𝑥𝜈 όταν: Α) Ο αριθμός x είναι θετικός και ο αριθμός ν περιττός. Β) Ο αριθμός x είναι θετικός και ο αριθμός ν άρτιος. Γ) Ο αριθμός x είναι αρνητικός και ο αριθμός ν περιττός. Δ) Ο αριθμός x είναι αρνητικός και ο αριθμός ν άρτιος. 1.2 Να βρείτε τις λύσεις των εξισώσεων: Α) 𝑥2 = 4 Β) 𝑥3 = 8 Γ) 𝑥2 = −4 Δ) 𝑥3 = −8 Δραστηριότητα 2η :

2.1 Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της Στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β 1. 2 16x = Α. ύδ νατηΑ

2. 3 27x = Β. 3 125 5x = − − =

3. 12 5x = − Γ. 4 4x ή x= = −

4. 3 8x = − Δ. 3 27 3x = = 5. 6 64x = Ε. 3 8 2x = − = − 6. 3 125x = − ΣΤ.

6 664 2 64 2x ή x= = = − = −

1. 2. 3. 4. 5. 6.

2.2 Με βάση τα παραπάνω, μπορείτε να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης 𝑥𝜈 = 𝛼 ;

Αν ν περιττός και 𝛼 > 0


2.3 Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε γιατί η εξίσωση 𝑥3 = −8 έχει μοναδική

λύση τη 𝑥 = −√83 = −2


1. Να λύσετε τις εξισώσεις i. 𝑥2 = 4

ii. 𝑥2 = −4 iii. 𝑥4 − 16 = 0 iv. 𝑥4 + 16 = 0

2. Να λύσετε τις εξισώσεις

i. 𝑥3 = 27 ii. 𝑥3 = −27

iii. 𝑥7 − 128 = 0 iv. 𝑥7 + 128 = 0

Μέρος 2ο

Η εξίσωση 𝒙𝝂 = 𝜶𝝂


1.1 Να λύσετε τις εξισώσεις:

i. 𝑥4 = 24 ii. 𝑦12 = (−5)12

iii. (−𝑥)6 − 46 = 0 iv. 𝑥8 = −28 v. 𝑥5 = (2

3)5

vi. 𝑥15 = −215 vii. −𝑥7 + 27 = 0

1.2 Με βάση την 1.1 μπορείτε να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης 𝑥𝜈 = 𝛼𝜈 ;

1.3 Να λύσετε τις εξισώσεις

i. (𝑥 + 1)3 = 8 ii. (−2𝑥 + 3)2 = 16

iii. 𝑥5 + 𝑥2 = 0

Αν ν άρτιος και 𝛼 > 0

Αν ν άρτιος και 𝛼 < 0

Αν ν περιττός και 𝛼 < 0

Αν ν ακέραιος και 𝜶 = 𝟎

Αν ν περιττός

Αν ν άρτιος


iv. −𝑥7 = 𝑥2 v. (1 − 2𝑥)5 − (2𝑥 − 1)2 = 0

1.4 Ένας αριθμός υψωμένος εις την εβδόμη ισούται με τον ίδιο αριθμό υψωμένος εις την τρίτη. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

https://drive.google.com/file/d/0BzGnEZIa2oE1UHV5N3JtbVVmNlE/view?usp=sharing


https://drive.google.com/file/d/0BzGnEZIa2oE1UHV5N3JtbVVmNlE/view?usp=sharing

Εξισώσεις 2ου βαθμού

Συντάκτες: Μανιατοπούλου Αμαλία, Τζελέπης Αλκης




Φύλλο Εργασίας στις εξισώσεις 2ου βαθμού

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ: 𝜶𝒙𝟐 + 𝜷𝒙 + 𝜸 = 𝟎, 𝜶 ≠ 𝟎

Μέρος 1ο

Δραστηριότητα 1η : Η τετραγωνική εξίσωση

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η λύση της εξίσωσης 𝑥2 + 10𝑥 = 39 σε ένα χειρόγραφο του 1342

Δίνεται το τετράγωνο ΑΓΕΗ το oποίο χωρίζεται σε τέσσερα σχήματα από τις ΘΔ και ΒΖ που είναι παράλληλες προς τις πλευρές του, έτσι ώστε 𝛢𝛣 = 𝛥𝛦 = 5 και 𝛣𝛤 = 𝛤𝛥 = 𝑥

1. Να αναγνωρίσετε τα τέσσερα γεωμετρικά σχήματα που σχηματίζονται στο εσωτερικό του τετραγώνου ΑΓΕΗ: ……………………………………...................................................................................................

2. Να εκφράσετε τα εμβαδά των ΑΒΚΘ, ΒΓΔΚ, ΚΔΕΖ και ΑΓΕΗ ως συνάρτηση του x. Να σημειώσετε επάνω στα τέσσερα εσωτερικά σχήματα το εμβαδόν τους.

3. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της ισότητας 𝑥2 + 10𝑥 = 39 4. Πόσο είναι το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΓΕΗ; …………………………………………………………...

5. Πόσο είναι το μήκος της πλευράς του ΑΓΕΗ; ……………………………………………………………..

6. Μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς x; ………………………………………………………..


Δραστηριότητα 2η : Να λύσετε τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις που ακολουθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου και τη μέθοδο της διακρίνουσας:

α) 𝑥2 + 10𝑥 = 39 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

β) 𝑥2 + 10𝑥 = −25 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

γ) 𝑥2 + 10𝑥 = −30 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ:

Οι λύσεις της εξίσωσης 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾 = 0, 𝛼 ≠ 0 με διακρίνουσα 𝛥 = 𝛽2 − 4𝛼𝛾, είναι:

𝜟 = 𝜷𝟐 − 𝟒𝜶𝜸 𝜶𝒙𝟐 + 𝜷𝒙 + 𝜸 = 𝟎, 𝜶 ≠ 𝟎

Δραστηριότητα 3η : Η αλγεβρική απόδειξη των ριζών της εξίσωσης …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Εφαρμογές:

1. Να λύσετε τις εξισώσεις:

𝑖) 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 𝑖𝑖) 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0 𝑖𝑖𝑖) 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0

2.α) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο του οποίου το πλάτος, το μήκος και η διαγώνιος να είναι τρεις

διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί

β) Να λύσετε την εξίσωση 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 με όλους τους δυνατούς τρόπους που γνωρίζετε


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ

Μέρος 2ο

1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 𝜔2 − 3𝜔 − 4 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… β) 𝑥4 − 3𝑥2 − 4 = 0 , με τη βοήθεια της αντικατάστασης 𝑥2 = 𝜔, με 𝜔 ≥ 0 (Διτετράγωνη) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Γενίκευση: 𝛼𝑥4 + 𝛽𝑥2 + 𝛾 = 0, με 𝛼 ≠ 0

γ) 𝑥2 − 3|𝑥| − 4 = 0

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

δ) 𝑥 − 3√𝑥 − 4 = 0

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

2. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 𝑥2 + |𝑥| + 3𝑥 = 3

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

β) 𝑥 + 𝑥−3𝑥+1

= 4𝑥𝑥+1

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

Εφαρμογές:

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) x6 – 3x3 – 4 = 0, β) (x+2)2 – 4|𝑥 + 2| + 5 = 0, γ) x4+ 2x2 – 3 = 0, δ) x4 + 4x2+ 3 = 0

2. Σχολικό βιβλίο: Α΄ ΟΜΑΔΑ (11, 12, 13, 14, 15) και Β΄ ΟΜΑΔΑ (6)


ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: 𝜶𝒙𝟐 + 𝜷𝒙 + 𝜸 = 𝟎, 𝜶 ≠ 𝟎

Μέρος 3ο

1. Δίνεται η εξίσωση 𝑥2 + 𝜆𝑥 − 2𝜆2 = 0, 𝜆 ∈ 𝑅 (1)

α) Να λύσετε την εξίσωση για 𝜆 = 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πραγματικές λύσεις για κάθε 𝜆 ∈ 𝑅 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

γ) Για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; …………………………………………………………………………………………………………………. Ποια είναι τότε η ρίζα; …………………………………………………………………………………………

δ) Πότε η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες; …………………………………………………………………………………………………………………..

Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: …………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..

ε) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου λ, αν γνωρίζετε ότι η εξίσωση (1) έχει ως ρίζα τον αριθμό 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Δίνεται η εξίσωση 2𝜓2 − 5𝜓 + 2𝜅 + 3 = 0, 𝜅 ∈ 𝑅 Να βρείτε για ποιες τιμές του 𝜅 ∈ 𝑅 η εξίσωση είναι αδύνατη στο R ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. Δίνεται η εξίσωση (𝜆 − 1)𝑥2 + 5𝑥 + 𝜆 + 1 = 0, 𝜆 ∈ 𝑅

α) Η εξίσωση είναι βαθμού:

Α) 1ου Β) 2ου Γ) Εξαρτάται, αλλά σίγουρα 1ου ή 2ου Δ) δεν μπορώ να ξέρω

Να επιλέξετε τη Σωστή απάντηση, με αιτιολόγηση: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… α) Για ποια τιμή του λ ∈ R η εξίσωση έχει μία ρίζα; Ποια είναι η ρίζα; …………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………… β) Για ποιές τιμές του λ ∈ R η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. α) Να λύσετε την εξίσωση: 𝑥2 + 2𝛼𝑥 + (𝛼2 − 𝛽2) = 0, (1) για κάθε τιμή των 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

β) Η εξίσωση (1) είναι ισοδύναμη με την 𝑥2 + 2𝛼𝑥 + 𝛼2 = 𝛽2 ⇔ (𝑥 + 𝑎)2 = 𝛽2 (2)

Τότε είναι 𝑥 + 𝑎 = 𝛽, οπότε το 𝑥 = 𝛽 − 𝛼

Αφού οι εξισώσεις (1) και (2) είναι ισοδύναμες, θα έπρεπε να έχουν τις ίδιες λύσεις. Γιατί

προέκυψαν διαφορετικές λύσεις; Μπορείτε να βρείτε το λάθος σε κάποιον συλλογισμό;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

………………

Θυμόμαστε ότι: 𝑥2 = 𝑎2 ⇔ |𝑥|2 = |𝑎|2 ⇔ |𝑥| = |𝑎| ⇔ 𝑥 = 𝑎 ή 𝑥 = −𝑎 Μπορείτε τώρα να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης (𝑥 + 𝑎)2 = 𝛽2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ασκήσεις Σχολικό βιβλίο: Α΄ ΟΜΑΔΑ (3, 4, 5) και Β΄ ΟΜΑΔΑ (1, 2, 3, 4, 5, 10) Σχόλιο: Η άσκηση 4 της Β΄ Ομάδας είναι αυτούσια και στις ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων


ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ VIETA

Μέρος 4ο

1. i) Να λυθεί η εξίσωση: x2 – ( 2 +1) x + 2 = 0 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ii) Αν x1, x2 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να υπολογίσετε το άθροισμα x1 + x2 και το γινόμενο

x1 x2 . Τι παρατηρείτε;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

………………

2. Δίνεται η εξίσωση x2 – ( x1 + x2) x + x1 x2 = 0

i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντα λύση ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ii) Αν 𝑥1 ≠ 𝑥2 να λυθεί η εξίσωση. Τι παρατηρείτε; …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. i) Δίνεται η εξίσωση αx2+βx+γ =0 με α≠ 0 και β2 > 4αγ (1)

Να υπολογίσετε το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών της

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………..............................................

ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση x2 – Sx + P = 0 είναι ισοδύναμη με την (1)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………


4. Να βρεθούν δύο αριθμοί που να έχουν άθροισμα 4 και γινόμενο 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Δίνεται η εξίσωση x2 + x – 3 = 0. Aν x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης, τότε

α) να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων (χωρίς να υπολογίσετε τις ρίζες x1, x2 )

i) x1 + x2 = …………………………………………………………………………………………….

ii) x1 x2 = ………………………………………………………………………………………………

iii) x12 + x2

2=……………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………..............................

.................................................................................................................................................................

iv) x13 x2 + 2 x1

2 x22 + x1 x2

3 = …………………………………………………………………….…… ………………………………………………………………………………………………..……………….…..……………………………………………………………………..……………….…………………………………………………………………………………………………………….…….…………………………………………………………………………………………………………….

β) να κατασκευάσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τις x12, x2

2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ασκήσεις:

1. Δίνεται η εξίσωση: x2+4x+λ =0, λ∈R (1)

α) να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η (1) να έχει λύση

β) να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η (1) να έχει δύο λύσεις:

i) ομόσημες, ii) αρνητικές, iii) αντίστροφες, iv) η μία τριπλάσια της άλλης

2. Σχολικό βιβλίο: Α΄ ΟΜΑΔΑ (6, 7, 8) και Β΄ ΟΜΑΔΑ (6)


ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ

Μέρος 5ο

Ένας επίγειος μετεωρολογικός σταθμός τροφοδοτείται καθημερινά με δεδομένα μέσω δορυφόρου. Για την επεξεργασία των δεδομένων διαθέτει δύο μονάδες υπολογιστών Α και Β σταθερής απόδοσης. Αν χρησιμοποιηθεί μόνο μία από τις δύο μονάδες, τότε η μονάδα Β χρειάζεται 6 ώρες περισσότερο από ότι η μονάδα Α για να ολοκληρώσει την επεξεργασία του ημερήσιου όγκου δεδομένων. Αν οι δύο μονάδες συνδεθούν μέσω ειδικού λογισμικού (ταυτόχρονη λειτουργία), τότε η επεξεργασία των δεδομένων ολοκληρώνεται σε 4 ώρες. Να βρείτε το χρόνο σε ώρες που απαιτείται από κάθε μονάδα χωριστά για την επεξεργασία του ημερήσιου όγκου δεδομένων που λαμβάνονται από το δορυφόρο.

Έστω Δ ο ημερήσιος όγκος δεδομένων και t σε ώρες ο χρόνος που χρειάζεται η μονάδα Α για την επεξεργασία τους όταν λειτουργεί μόνη της.

τότε: 1. Ο χρόνος σε ώρες που χρειάζεται η μονάδα Β για την ίδια διαδικασία όταν λειτουργεί μόνη της είναι: …………………………………….………………………………………………………… 2. Θεωρούμε ότι η κάθε μονάδα λειτουργεί μόνη της. Τί μέρος του ημερήσιου όγκου δεδομένων επεξεργάζεται σε μία ώρα η κάθε μονάδα; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. Όταν λειτουργούν και οι δύο μονάδες ταυτόχρονα, τί μέρος του ημερήσιου όγκου δεδομένων θα έχει επεξεργαστεί σε μία ώρα; …………..…………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. Η εξίσωση που μοντελοποιεί το πρόβλημα είναι: …………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. Επίλυση εξίσωσης: ………………………………………..………………………………………………………………… ……………………………………….………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………….. 6. Έλεγχος των λύσεων: ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………..………………………. Προβλήματα σχολικού βιβλίου: Α΄ ΟΜΑΔΑ (10) και Β΄ ΟΜΑΔΑ (7, 8, 9)


Η μοντελοποίηση και μία πορεία προς την επίλυση του προβλήματος, που προτείνει το Φ.Ε.:

1. Αν t είναι o χρόνος σε ώρες που χρειάζεται η μονάδα Α, τότε η Β

χρειάζεται (t + 6) ώρες

2. Σε μία ώρα ο όγκος των δεδομένων που επεξεργάζεται η κάθε μονάδα

χωριστά είναι:

i) μονάδα Α: 𝛥𝑡

ii) μονάδα B: 𝛥

𝑡+6

3. Όταν λειτουργούν και οι δύο μονάδες ταυτόχρονα, ο όγκος των δεδομένων

που

επεξεργάζονται σε μία ώρα είναι: 𝛥𝑡

+ 𝛥𝑡+6

4. Η εξίσωση που μοντελοποιεί το πρόβλημα είναι :

𝛥𝑡

+ 𝛥𝑡+6

= 𝛥4

𝛥≠0��

1𝑡

+ 1𝑡+6

= 14

5. Επίλυση εξίσωσης : 4(t + 6) + 4t = t(t + 6) ⇔ … ⇔ t2 – 2t –24 = 0

6. Έλεγχος των λύσεων: οι λύσεις είναι t = 6 (δεκτή) ή t = – 4 που απορρίπτεται διότι t > 0

7. Απαντήσεις: Η μονάδα Α χρειάζεται 6 ώρες και η μονάδα Β χρειάζεται 12 ώρες

Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Σμύρνης Σελίδα 70

Αξιολόγηση στη δευτεροβάθμια εξίσωση

Άσκηση 1η

Δίνεται η εξίσωση 2𝑥2 + 2𝑥 + 3 − 𝜆 = 0 , 𝜆 ∈ 𝑅 (1)

α) Αν 𝜆 = 7 να λύσετε την εξίσωση

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του 𝜆 ∈ 𝑅 η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες

γ) Αν η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές ρίζες, τότε:

γ1) Να βρείτε το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του 𝜆

γ2) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της είναι σταθερό

γ3) Να βρείτε για ποιες τιμές του 𝜆 ∈ 𝑅 η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες αρνητικές

Άσκηση 2η

Αν η εξίσωση 2𝜆2𝑥 − (2𝑥 − 3)|𝜆| − 3 = 0 έχει ως ρίζα τον αριθμό 2, τότε να υπολογισθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού 𝜆


Ανισώσεις 1ου βαθμού

Συντάκτες: Μαυρογιάννης Νίκος





Φύλλο Εργασίας στις ανισώσεις 1ου βαθμού

Οι ανισώσεις 1ου βαθμού είναι ασφαλώς πιο δύσκολες από τις εξισώσεις α΄ βαθμού γιατί η ανισότητα είναι πιο σύνθετη έννοια μιας και πρόκειται για σχέση που έχει το στοιχείο της «φοράς» που μεταβάλλεται από ορισμένους αλγεβρικούς χειρισμούς. Επιπλέον οι πρωτοβάθμιες ανισώσεις και τα συστήματα τους έχουν πιο πολύπλοκα σύνολα λύσεων από τις εξισώσεις και τα συστήματα εξισώσεων.

Η χρήση του παρόντος φύλλου εργασίας αποσκοπεί:

1. Στην επίλυση της ανίσωσης αx+β R0 όπου R είναι μια οποιαδήποτε από τις σχέσεις .

2. Η περιγραφή του συνόλου λύσεων της αx+β R0 με την βοήθεια διαστημάτων. 3. Η αναγνώριση του αν ένας αριθμός είναι λύση της αx+β R0. 4. Η επίλυση συστημάτων ανισώσεων της μορφής αx+β R0 . Τα προηγούμενα στην περίπτωση όπου τα α, β είναι συγκεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί.

5. Επίλυση της αx+β R0 όταν τα α, β δεν έχουν γνωστή τιμή (παράμετροι)

Τέλος επειδή καλό είναι οι μαθητές να έχουν ένα αυτοματισμό για το πρόσημο του πρωτοβαθμίου πολυωνύμου αx+β για τις διάφορες τιμές του x .


1. Να λύσετε τις ανισώσεις:

1.1. 2x-6>0 ………………………………………………………………………...

1.2. 2x-6<0 …………………………………………………………………………

1.3. 2x 6 0− ≥ ………………………………………………………………………

1.4. 2x 6 0− ≤ ………………………………………………………………………

Ποιες λύσεις κάθε μίας από τις παραπάνω ανισώσεις είναι και λύσεις των άλλων;

2. Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε σε άξονα τα σύνολα λύσεων

τους:

2.1. 2 x 3 03⋅ − < ………………………………………………………………………

2.2. 2 3x 03 2⋅ + < ………………………………………………………………………

2.3. 2x 1 0− > ……………………………………………………………………….

2.4. ( 2 2)x 1 0− − ≤ ………………………………………………………………….

3. Ποιοι από τους αριθμούς -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 είναι

λύσεις της ανίσωσης 2x-6>0

4. Να γράψετε υπό μορφή διαστήματος το σύνολο λύσεων κάθε μιας από τις

παρακάτω ανισώσεις:

4.1. 2x<7

4.2. 2x 7≥ −

4.3. ( 2 3)x 5 0− + >

5. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

5.1. 5x+10>0 και 3x-12≤0.

5.2. 32

x+3<0 και -3x+4<0


6. Να λύσετε τις ανισώσεις:

6.1. 2x<α

6.2. αx<2

6.3. α2 x≥2

6.4. (λ-1)x+λ<0

7. Για ποιες τιμές του x κάθε ένα από τα παρακάτω πρωτοβάθμια πολυώνυμα

είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν; Να συμπληρώσετε τον σχετικό πίνακα μεταβολών

του προσήμου

7.1. x-5

7.2. x+5

7.3. 5-x

7.4. 2x-3

7.5. -2x+3

Ασκήσεις για την τάξη ή το σπίτι.

Εφαρμογή 1 σελ. 102, σελ. 104 1, 2, 3, 4 (Α), σελ. 105 1 (Β)

Αξιολόγηση στην επίλυση ανισώσεων 1ου βαθμού.

1. Δίνεται η ανίσωση 2(x-3)<9 (1) 1.1. Να λύσετε την (1) 1.2. Να παραστήσετε γραφικά τις λύσεις της (1). 1.3. Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς -1, 0, 5, 50 , 10 είναι λύσεις της (1) 1.4. Να βρείτε τις κοινές λύσεις της ανίσωσης (1) με την ανίσωση -2x+11<0 (2)

2. Να λύσετε ως προς x την ανίσωση (p-1)x-4 ≤0


Ανισώσεις 2ου βαθμού

Συντάκτες: Κιούφτη Ροϊδούλα, Χασάπης Σωτήρης





Φύλλο Εργασίας στις ανισώσεις 2ου βαθμού

1ο Μέρος: Μορφές Τριωνύμου

1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Τριώνυμο Αντίστοιχη εξίσωση 2ου βαθμού

Διακρίνουσα τριωνύμου

Ρίζες τριωνύμου

23 5 2x x− + 29 6 1x x− + −

25 2 3x x− +

Το γράμμα x έχει την έννοια .................................

Το γράμμα x έχει την έννοια .................................

2. Να μετασχηματίσετε τα παρακάτω τριώνυμα, εφαρμόζοντας τη μέθοδο

συμπλήρωσης τετραγώνου. Όπου είναι δυνατό να τα παραγοντοποιήσετε ως γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων. Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα. α) 22 3 2x x+ − = ………………………………………………………………. .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................. β) 24 4 1x x− + − = ……………………………………………………………… …….................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................. γ) 22 5 4x x− + = ……………………………………………………………….. ............................................................................................................................. .............................................................................................................................. ..............................................................................................................................

Τριώνυμο Διακρίνουσα τριωνύμου

Ρίζες τριωνύμου

Μετασχηματισμός τριωνύμου

Πρόσημο ;


ΣΥΜΠΕΡΑΣΜA:

Το τριώνυμο 2 , 0x xα β γ α+ + ≠ με διακρίνουσα Δ, μπορεί να μετασχηματιστεί στη μορφή:

Εφαρμογή:

Να μετασχηματίσετε τα παρακάτω τριώνυμα, με τη βοήθεια της διακρίνουσας και των ριζών τους:

α) 22 3 9x x− − = ………...............................................................................................

β) 22 4 5x x− + = ...........................................................................................................

γ) 23 2x x− + + = ………………………………………...............................................

δ) 2 6 9x x− + − = ...........................................................................................................

ε) 24x 8x 5− + − = …….………………........................................................................

Αν Δ>0 και χ1, χ2 οι ρίζες του τριωνύμου

Τ

Ο

Τ

Ε

2x xα β γ+ + =

Αν Δ=0 και χ1 η διπλή ρίζα του τριωνύμου

2x xα β γ+ + =

Αν Δ<0 2x xα β γ+ + =


2ο Μέρος: Πρόσημο Τριωνύμου

1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Τριώνυμο Μετασχηματισμός

Τριωνύμου Πρόσημο Διακρίνουσας

Πρόσημο του α

Πρόσημο Τριωνύμου για τις τιμές του χ

23 6 3x x− + 2x2+3x-2

22 4 5x x− + 24 8 5x x− + −

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν Δ............ ή Δ.................... τότε το τριώνυμο 2 , 0x xα β γ α+ + ≠ γίνεται ............................., εκτός από την τιμή .............................................................. Εφαρμογή: 1. Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων: α) 22 1x x− − +

β) 29 30 25x x− +

γ) 24 5 2x x− + +

δ) 26 7 9x x− +

2. α) Να παραγοντοποιήσετε, με τη βοήθεια των ριζών του, το τριώνυμο:

24 5 1x x− + − =......................................................................................................

Οι παράγοντες του τριωνύμου είναι: .................... ............................... ....................................

β) Στον παρακάτω πίνακα, για τις διάφορες τιμές του χ, βρείτε το πρόσημο κάθε παράγοντα και με τη βοήθεια αυτών στην τελευταία γραμμή βρείτε το πρόσημο του γινομένου τους, δηλαδή του τριωνύμου 22 5 3x x− + :

x −∞ +∞ Γινόμενο Παραγόντων:

24 5 1x x− + −

γ) Να βρείτε με τον ίδιο τρόπο το πρόσημο του τριωνύμου 22 5 3x x− + :

ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ

ΠΡΟΣΗΜΟ


x −∞ +∞ Γινόμενο Παραγόντων:

22 5 3x x− +

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν Δ............ και χ1, χ2 οι ρίζες του τριωνύμου 2 , 0x xα β γ α+ + ≠ τότε............................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................................... Συνοψίζοντας τελικά τα προηγούμενα σχετικά με το πρόσημο του τριωνύμου αx2+βx+γ, με α ≠ 0 έχουμε: .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Εφαρμογή: Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων: i) -3x2+9x-4

ii) -x2+x-14

iii) 5x2-8x+4 iv) 2x2+6x-56 v) 3x2+x+2 vi) 3x2+2 3 x+1


Μέρος 3ο : Επίλυση προβλημάτων με χρήση τριωνύμου.

1. Δραστηριότητα(Δ15)

Στο παρακάτω τραπέζιο , του οποίου οι πλευρές μετρώνται σε μέτρα, να υπολογίσετε:

α) Την περίμετρό του Π, ως συνάρτηση του χ. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης Π (χ);

β) Να εκφράσετε το εμβαδόν του Ε ως συνάρτηση του χ. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε (χ);

γ) Να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές του χ, αν η περίμετρος του τραπεζίου είναι τουλάχιστον 39 μέτρα και το εμβαδόν του το πολύ 99 τετραγωνικά μέτρα.


Σύντομη αξιολόγηση στις ανισώσεις 2ου βαθμού (ενδεικτικά θέματα)

Θέμα Α.

1. Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο: 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 2. Να λυθεί η ανίσωση: 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 > 0. 3. Να λυθεί η ανίσωση: 𝛼𝑥2 − (𝑎 + 1)𝑥 − 𝑎 ≤ 0, 𝑎 > 0.

Θέμα Β.

Δίνεται η παράσταση: 𝛢 = 𝛼 + 1𝛼

− 1 , 𝛼 > 0 .

1. Να αποδειχθεί ότι 𝑥2 − 𝑥 + 1 > 0 για κάθε x πραγματικό αριθμό. 2. Να αποδειχθεί ότι Α>0. 3. Αν α, β ομόσημοι μη μηδενικοί να αποδειχθεί ότι: 𝛼

𝛽+ 𝛽

𝛼> 1.

Θέμα Γ.

1. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 𝛼2 + 𝛼𝛽 − 2𝛽2. 2. Να βρεθούν οι πλευρές α, β του παρακάτω σχήματος, ώστε το εμβαδόν του να

είναι μεγαλύτερο του 2𝛽2.

α

α

α

α

β


Αριθμητική Πρόοδος

Συντάκτες: Κυλιάδου Μαρία, Σπύρου Ειρήνη





Φύλλο Εργασίας στην αριθμητική πρόοδο


Ένα μικρό θέατρο έχει 7 σειρές καθισμάτων. Η πρώτη σειρά έχει 5 καθίσματα και κάθε επόμενη σειρά έχει 2 καθίσματα περισσότερα από τη προηγούμενή της

1.1 Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει

η δεύτερη σειρά ……………………………………………..

η έκτη σειρά …………………………………………………….

1.2 Αν α1, α2, α3, …, α7 είναι οι αριθμοί των καθισμάτων της 1ης ,2ης ,3ης ,…..7ης σειράς να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 Πώς μεταβάλλεται ο αριθμός των καθισμάτων καθώς αυξάνεται ο αριθμός της σειράς; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 Να γράψετε τη μαθηματική σχέση που συνδέει κάθε έναν από τους αριθμούς α2, α3, …, α7 με τον προηγούμενό του στον παρακάτω πίνακα:

α2 α3 α4 α5 α6 α7

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ:

Αν έχετε έναν αριθμό ν που σας δείχνει τον αριθμό της σειράς καθισμάτων σε ένα θέατρο, έναν αριθμό α1 που σας δείχνει πόσα καθίσματα έχει η πρώτη σειρά και έναν αριθμό ω που σας δείχνει πόσα καθίσματα έχει η κάθε σειρά παραπάνω από την προηγούμενή της, ποια είναι η μαθηματική σχέση που συνδέει τον αριθμό αν καθισμάτων της ν-σειράς με τον αριθμό αν-1 καθισμάτων της προηγούμενης σειράς;

αν = ……………………………

Προφανώς ισχύει ω= …………………………………………

ΟΡΙΣΜΟΣ : Μια ακολουθία αριθμών, που κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου αριθμού ω ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.

1.4 Με βάση τον τύπο του αν συμπληρώστε τον πίνακα:


α2 α3 α4 α5 α1+2 α1+…*2 α1+…*2 α1+…*2

Πόσα καθίσματα έχει η έβδομη σειρά; ……………………………………………..….

Ποια νομίζετε ότι είναι η σχέση που συνδέει τα αν, α1 και ω;………….……………….

…………………………………………………………………………………………..

1.5 Αν πρόκειται για ένα μεγαλύτερο θέατρο με 17 σειρές καθισμάτων που η πρώτη σειρά έχει 10 καθίσματα και κάθε επόμενη σειρά έχει 4 καθίσματα περισσότερα από τη προηγούμενή της, μπορείτε με τη βοήθεια της παραπάνω σχέσης να βρείτε πόσα καθίσματα θα έχουν

α) η τελευταία σειρά; …………………..……………………………………………..

β) Η δωδέκατη σειρά; ……………………………………………………….…………

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν έχουμε ν όρους, σαν τους παραπάνω, με πρώτο όρο α1 και σταθερή μεταξύ τους διαφορά ω, τότε ο νος όρος είναι ίσος με αν=……..

Πρόβλημα: Μια στέγη σχήματος τραπεζίου έχει 53 κεραμίδια στην πρώτη σειρά. Να βρείτε κατά πόσο πρέπει να μειώνεται ο αριθμός των κεραμιδιών σε κάθε σειρά, ώστε η έκτη σειρά να έχει 43 κεραμίδια.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


2.1 Ποιες από τις παρακάτω ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητικές πρόοδοι; Να βρείτε την διαφορά ω και τον πρώτο και τον δέκατο όρο σε κάθε μια από τις παρακάτω προόδους.

i) 7, 10, 13, …

ii) 2, 52

, 3, …

iii) -6, -9, -12, …

iv) 1, 5, 7, …

2.2 Αν ο πέμπτος όρος μιας αριθμητικής προόδου ισούται με 11 και ο ένατος ισούται με 31, να βρείτε

i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου

ii) τον α16

iii) Ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 86;



3.1 Σε μία αριθμητική πρόοδο ο πρώτος όρος ισούται με 10 και κάθε επόμενος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά 4. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α8 α7 α6 α5 α4 α3 α2 α1 α1+ α8

Τι παρατηρείτε; ………………………………………………………………………... ……………………………………………………………….………………………….

Εξηγήστε το ………………………………………………..…………………………..

…………………………………………………………….……………………….………………………………………………………………….…………………….………

3.2 Αν S8 = α1 + α2 +. . .+ α8 να υπολογίσετε με τι ισούται το S8 .

3.3 Αν έχουμε ν όρους μιας αριθμητικής προόδου πως μπορεί να εκφραστεί το άθροισμα Sν συναρτήσει του πρώτου όρου α1 και του νιοστού όρου αν ;

Sν = ……………………………

3.4 Συνδυάστε τον τύπο του αθροίσματος Sν =𝝂𝟐(α1+αν) με το τύπο του γενικού όρου

αν = α1+(ν-1)ω και βρείτε έναν τύπο για το άθροισμα ,ώστε αυτό να εξαρτάται από τα ν, α1 και ω

………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..

3.5 Χρησιμοποιήστε το τύπο που αποδείξατε για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα:

Σε ένα μεγάλο θέατρο με 15 σειρές καθισμάτων, που η πρώτη σειρά έχει 10 καθίσματα και κάθε σειρά έχει 3 παραπάνω από την προηγούμενη, σε μια παράσταση τα εισιτήρια της μεσαίας σειράς διανεμήθηκαν δωρεάν, ενώ τα υπόλοιπα πουλήθηκαν προς 30 € το ένα. Πόσα χρήματα εισέπραξε το θέατρο από την παράσταση αυτή;

Αν δεν υπήρχαν δωρεάν εισιτήρια , τότε θα είχαν πουλήσει ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ



4.1 Ένα θέατρο έχει 12 σειρές καθισμάτων. Η πρώτη σειρά έχει 10 καθίσματα και κάθε επόμενη σειρά έχει 3 καθίσματα περισσότερα από τη προηγούμενή της. Στο παρακάτω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οx , Οy να αποτυπώσετε τα σημεία (χ,y) όπου χ ο αριθμός της σειράς και y τα καθίσματα της σειράς, αφού κατασκευάσετε τον αντίστοιχο πίνακα τιμών.

Τι παρατηρείτε για τα σημεία (χ,y) που αποτυπώσατε;

4.2 Στο παρακάτω σχήμα, έχουν αποτυπωθεί τα τέσσερα από τα σημεία (χ, ψ) που ζητήθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα. Από τα ορθογώνια που σχηματίζονται ,να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση την εφφ και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.


Τι συμπέρασμα μπορείτε να βγάλετε για την κλίση της ευθείας που σχηματίζεται από τα παραπάνω σημεία;

4.3 Στον τύπο αν=α1+(ν-1).ω ,να θέσετε όπου αν=y και όπου ν=x .Τι παριστάνει γεωμετρικά η εξίσωση που προκύπτει;

4.4 Στον τύπο αν=α1+(ν-1).ω ,να θέσετε όπου αν=f(x) και όπου ν=x. Στη συνέχεια να

συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

εφφ= ΒΓΑΓ

εφφ= εφφ=

…….. …….. ……..

x 1 2 3 4 5 6

f(x) ….. ….. ….. ….. …. ….


Γεωμετρική Πρόοδος

Συντάκτες: Σίδερης Αποστόλης





Φύλλο Εργασίας στη γεωμετρική πρόοδο

Συμμετέχετε σε ένα παιχνίδι αριθμών. στο οποίο σας δίνονται τα παρακάτω ζευγάρια αριθμών:

1. α=2 λ=3

2. α=3 λ=2

3. α=5 λ= 75

4. α=50 λ= 13

5. α= 34

λ=4

6. α= 57

λ= 12

7. α=-1 λ=5

8. α=4 λ=-3

Ο κανόνας δημιουργίας των αριθμών με τον οποίο παίζει κάθε παίκτης είναι ο εξής:

Πρώτος αριθμός είναι ο α Δεύτερος αριθμός είναι ο α επί το λ Τρίτος αριθμός είναι ο δεύτερος επί το λ Τέταρτος ο τρίτος επί το λ


Ο μαθητής σε κάθε ομάδα διαλέγει ένα ζευγάρι αριθμών. Κερδίζει ο μαθητής του οποίου ο 5ος αριθμός που τον συμβολίζουμε 5a , είναι ο μεγαλύτερος. Διαλέγεις το ζευγάρι α=…… λ=……. το οποίο δίνει 5a =……


Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά:

• Ο παράγοντας που καθορίζει, για τους αριθμούς που διάλεξα, αν ο αριθμός που

βρίσκω είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από τον προηγούμενο είναι ο …… Πιο συγκεκριμένα:


• Για να μεγαλώνει το αποτέλεσμα πρέπει λ……. • Για να μικραίνει το αποτέλεσμα πρέπει λ…….


Τώρα σας δίνονται δύο ομάδες με ζευγάρια αριθμών και κερδίζει ο παίκτης του οποίου το 20a είναι πιο κοντά στο 0.

Α ομάδα 1. α=6 λ=3

2. α=6 λ=9

3. α=6 λ=0,8

4. α=6 λ=0,456

5. α= 6 λ=0,25

Διαλέγεις το ζευγάρι: α=….. λ=…… Δικαιολόγηση:…………………………………………………………………………

Β ομάδα

1. α=3 λ=3

16

2. α= 1,2 λ=3

16

3. α=12 λ=3

16

4. α=0,9 λ=3

16

α=0,4 λ=3

16

Διαλέγεις το ζευγάρι α=….. λ=….. Δικαιολόγηση:……………………………………………………………………….…


Χωρίς να υπολογίσεις τους όρους που αναγράφονται, υπολόγισε τους λόγους για τα κάτωθι ζευγάρια:

Α. α=1256 λ=4


3

2

aa

= 17

16

aa

= 2015

2014

aa

= 1v

v

aa+ =

Β. α= 4 λ=38

5

4

aa

= 2

1

aa

= 1

v

v

aa −

=

Συμπέρασμα:

Για να βρούμε κάθε όρο μιας τέτοιας ακολουθίας αριθμών ……………………… τον προηγούμενο όρο με το ………….. Μια τέτοια ακολουθία ονομάζεται Γεωμετρική Πρόοδος, δηλαδή Γεωμετρική πρόοδος (γ. π.) είναι μια ακολουθία της οποίας κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με …………………. επί το ………. που είναι διάφορο του μηδενός. Τον αριθμό αυτό ονομάζουμε λόγο της γ. π. και τον συμβολίζουμε με λ. Έτσι για μια γ. π., πάντα θεωρούμε α1, λ≠ 0 είναι

1v va a+ = ⋅ ή 1v

v

aa+ =


Σε μια γ. π. είναι α1 =5 και λ=3. Χρησιμοποιώντας μόνο αυτούς τους όρους γράψτε τους παρακάτω όρους χωρίς να εκτελέσετε τις πράξεις:

2a =

5a =

200a =

Γενικεύστε: Ο ν-οστός όρος va μιας γ. π. με την βοήθεια του πρώτου όρου 1a και του λόγου λ δίνεται από τον τύπο:


va = ⋅


6.1. Δίνονται οι τριάδες αριθμών

3, 5, 7 4, 1, 14

4, 6, 10

Η μια από τις παραπάνω αποτελείται από αριθμούς που είναι διαδοχικοί όροι γ. π. Βρείτε ποια είναι…………………..

Δικαιολόγηση:………………………………………………………………………….

Γενίκευση: Αν α, β, γ είναι αριθμοί μη μηδενικοί για τους οποίους ισχύει β2=αγ τότε είναι διαδοχικοί όροι γ. π. Απόδειξη:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6.2. Δίνονται οι αριθμοί 4, χ, 16 οι οποίοι είναι διαδοχικοί όροι γ. π. Προσδιορίστε τον χ……………………………………………………….….…………

Δικαιολόγηση: ………………………………………………………………………….

Γενίκευση: Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γ. π. τότε β2=αγ

Απόδειξη:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Παρατήρηση: Ο αριθμός β μες την ιδιότητα β2=αγ, α, β, γ ≠ 0 ονομάζεται γεωμετρικός μέσος των α και γ (όπως είδαμε οι α, β, γ με αυτή τη σειρά είναι διαδοχικοί όροι γ. π.)


Στη γ. π. με α1=3 και λ=2 θέλουμε να υπολογίσουμε το άθροισμα

α1+α2 +α3+α4 +α5+α6 , συμβολίζουμε S6. Υπολογίστε το αποτέλεσμα με τη βοήθεια των α1 και λ, χωρίς να εκτελέσετε τις πράξεις.

S6= …………………………………………………………….


Γενίκευση: Δίνεται γ. π. με πρώτο όρο α1 και λόγο λ. Υπολογίστε το άθροισμα των ν πρώτων όρων της, με τη βοήθεια των α1 και λ Sν = α1 +α2 +…+αν =………………………………

Χρησιμοποιώντας τον τύπο αν-βν = (α-β)( αν-1 +αν-2β+ … +αβν-2 +βν-1 ) που δίνει ότι: ι

λν-1= (λ-1)(λν-1+ λν-2+ … +λ+1)

καταλήξτε στον τύπο

Αν στην γ. π. είναι λ=1 τότε το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι

1 2vS να α α= + + +

=

Σύντομη αξιολόγηση ( 20 λεπτών)

Δίνονται οι γ. π. (αν ) με α1 =3, λ=2 και (βν ) με β1= 32

και λ=4

α) Υπολογίστε τον α10 ( μονάδες 7) β) Συγκρίνετε τους όρους α10 και β10 ( μονάδες 7) γ) Υπολογίστε το άθροισμα α3 +α4 + … +α10 ( μονάδες 6)

Ασκήσεις Τράπεζας

2ο Θέμα GI_A_ALG_2_495 Σε γεωμετρική πρόοδο (αν ) με θετικό λόγο λ, ισχύει: α3 =1 και α5 = 4 . α) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου και τον πρώτο όρο της. (μονάδες 13) β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: αν =2ν-3 (μονάδες 12) GI_A_ALG_2_1032 α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x ώστε οι αριθμοί: x, 2x + 1, 5x + 4, με τη σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. (μονάδες 13) β) Να βρείτε το λόγο λ της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, όταν: i) x = 1 ii) x = −1 (μονάδες 12) 4ο θέμα GI_A_ALG_4_6678 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών α, β και εμβαδόν Ε, τέτοια ώστε οι αριθμοί α, Ε, β, με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. α) Να αποδείξετε ότι Ε = 1. (μονάδες 10)

1vS α= ⋅

, 1λ ≠


β) Αν α + β = 10 τότε: i) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τα μήκη α, β. (μονάδες 5) ii) Να βρείτε τα μήκη α, β. (μονάδες 10) GI_A_ALG_4_6859 Δίνονται οι αριθμοί 2, x, 8 με x > 0. α) Να βρείτε την τιμή του x ώστε οι αριθμοί 2, x, 8, με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά ω αυτής της προόδου; (μονάδες 5) β) Να βρείτε τώρα την τιμή του x ώστε οι αριθμοί 2, x, 8, με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος λ αυτής της προόδου; (μονάδες 5) γ) Αν ( αν ) είναι η αριθμητική πρόοδος 2, 5, 8, 11, … και ( βν ) είναι η γεωμετρική πρόοδος 2, 4, 8, 16, … τότε: i) Να βρείτε το άθροισμα Sν των ν πρώτων όρων της ( αν ) (μονάδες 7) ii) Να βρείτε την τιμή του ν ώστε, για το άθροισμα Sν των ν πρώτων όρων της ( αν ) να ισχύει: 2(Sν +24)= β7 (μονάδες 8) Με Προσοχή GI_A_ALG_2_1100 Δίνεται η εξίσωση: 2x2-5βx+2β2=0 (1), με παράμετρο β > 0.

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις x1=2β και x2 = 2β (Μονάδες 12)

β) Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθμοί x1, β, x2 με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. (Μονάδες 13) GI_A_ALG_4_4629 Ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραμμο κλαδί μήκους 1 m, με τον ακόλουθο τρόπο: Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το 1ο λεπτό προχωράει 1 cm, το 2ο λεπτό προχωράει 3 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά 2 cm μεγαλύτερη από αυτήν που διήνυσε το προηγούμενο λεπτό. α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο va αυτής της προόδου. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα 5 λεπτά της κίνησής του. (Μονάδες 4) γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού. (Μονάδες 4) δ) Υποθέτουμε τώρα ότι, την ίδια στιγμή που το μυρμήγκι ξεκινάει την πορεία του, από το άλλο άκρο του κλαδιού μία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη κατεύθυνση και με τον ακόλουθο τρόπο: Το 1ο λεπτό προχωράει 1 cm, το 2ο λεπτό προχωράει 2 cm, το 3ο λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διήνυσε το προηγούμενο λεπτό. (i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της κίνησής της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο vβ αυτής της προόδου. (Μονάδες 7)


(ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι και η αράχνη θα βρεθούν αντιμέτωπα σε απόσταση 1 cm. (Μονάδες 5) GI_A_ALG_4_8170 Δίνεται γεωμετρική πρόοδος ( να ) με λόγο λ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:

3 54, 16a a= = και λ > 0. α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α1 και το λόγο λ της προόδου. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία ( νβ ) με 1

νν

βα

= αποτελεί επίσης γεωμετρική

πρόοδο με λόγο τον αντίστροφο του λόγου της ( να ). (Μονάδες 9)

γ) Αν vS και vS ′ είναι τα αθροίσματα των 10 πρώτων όρων των ακολουθιών ( να )

και ( νβ ) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση 10 109

12

S S′ = (Μονάδες 8)


Η Έννοια της Συνάρτησης

Συντάκτης: Καννάβης Χρήστος





Φύλλο Εργασίας στην έννοια της συνάρτησης

Μέρος 1ο (η έννοια της συνάρτησης)

Δραστηριότητα 1η 1.1 Προσπαθήστε να βρείτε ποια σχέση συνδέει τα x,y για κάθε πινακάκι χωριστά. Α.

x 1 3 4 10 y 1 9 16 100

Γράψτε τη σχέση που συνδέει τις δύο μεταβλητές:…………………………………………………………………………... Β.

x 3 4 5 10 y 5 7 9 19

Γράψτε τη σχέση που συνδέει τις δύο μεταβλητές:………………………………….. Γ.

x 3 5 7 8 y 3 4 5 11/2

Γράψτε τη σχέση που συνδέει τις δύο μεταβλητές:…………………………………..

Δ.

x 2 1 4 8 y 5 5 5 5

Γράψτε τη σχέση που συνδέει τις δύο μεταβλητές:………………………………….. Δραστηριότητα 2η

Αν η μεταβλητή y εξαρτάται από την μεταβλητή x μέσω της σχέσης y= 2x 44−

να συμπληρωθεί ο πίνακας. x 2 4 0

y


α) Σε πόσες τιμές y αντιστοιχίζεται η κάθε τιμή της μεταβλητής x; β) Θα μπορούσε για x=2 να είναι y=1; να εξηγήσετε. γ) Θα μπορούσε για y=3 να είναι x=4 και x=-4; να εξηγήσετε. δ) Υπάρχει αριθμός x για τον οποίο είναι y=-2; να εξηγήσετε. Τι συμπέρασμα βγάζετε από τα β), γ) και δ); Δραστηριότητα 3η Έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς x, y. Γράψτε τη μαθηματική σχέση που συνδέει τους δύο αριθμούς όταν Α. Ο y είναι μεγαλύτερος από τον x κατά δυο μονάδες 1. Β. Ο y ισούται με το τετράγωνο του x ελαττωμένος κατά τρία Γ. Ο y ισούται με το μισό του x. Δ. Ο y ισούται με ένα τρίτο του τετραγώνου του x. Ε. Ο y ισούται με το μισό της τετραγωνικής ρίζας του τετραγώνου του x. Δραστηριότητα 4η Ένας πωλητής παίρνει μισθό 600 € το μήνα και ποσοστό 7% επί του ποσού των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Ποια σχέση συνδέει το συνολικό ποσό y, που κερδίζει το μήνα, με το ποσό x των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Συζήτηση Με βάση όλα τα παραπάνω να δοθεί ο ορισμός της συνάρτησης και να συζητηθεί. Δραστηριότητα 5η Με βάση τον ορισμό της συνάρτησης η παρακάτω διαδικασία δεν παριστάνει συνάρτηση.

Α) Διότι υπάρχουν μερικά στοιχεία του συνόλου Β που δεν αντιστοιχίζονται με κάποιο στοιχείο του συνόλου Α. Β) Διότι το στοιχείο α και το στοιχείο β έχουν την ίδια εικόνα (το στοιχείο 3). Γ) Διότι το στοιχείο β αντιστοιχίζεται με δύο στοιχεία του συνόλου Β τα στοιχεία 1 και 3. Δραστηριότητα 6η .


6.1. Ποιες από τις παρακάτω διαδικασίες περιγράφουν συναρτήσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας με βάση τον ορισμό της συνάρτησης. Α) Β)

f(α)= f(β)=

f( )=2 Γ) Δ)

E)

6.2. Να γράψετε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών όσων από τις παραπάνω διαδικασίες παριστάνουν συνάρτηση. Δραστηριότητα 7η Α) Πότε ορίζεται η παράσταση x+3;

Β) Πότε ορίζεται το κλάσμα 1x

;

f(α) = f( ) =2 f(γ) =

f(α) = f( ) =2 f(γ) =

f( ) = f( ) = f( ) = f( ) = f( ) =


Γ) Πότε ορίζεται το κλάσμα 1x 1−

;

Δ) Πότε ορίζεται η ρίζα x του αριθμού x; Ε) Πότε ορίζεται η ρίζα 2 x− ;

ΣΤ) Πότε ορίζεται η παράσταση 1x

;

Δραστηριότητα 8η Με βάση τη δραστηριότητα 6 να αντιστοιχίσετε τη στήλη Α με την στήλη Β

1. f(x)= 1x 1−

α) Το πεδίο ορισμού είναι το [-1, +∞ )

2. f(x)= x2 x− −

β) Το πεδίο ορισμού είναι το [0, 4) ∪ (4, +∞ )

3. f(x)= x 1+ γ) Το πεδίο ορισμού είναι το (-∞ ,1)∪ (1, +∞ )

4. f(x)= 1x 2−

δ) Το πεδίο ορισμού είναι το ∗

5. f(x)= 2

1x 1+

ε) Το πεδίο ορισμού είναι το -{-2}

6. f(x)= 2

1x

στ) Το πεδίο ορισμού είναι το

1 2 3 4 5 6 Δραστηριότητα 9η Στο παρακάτω σχήμα είναι AB = 1, AΓ = 3 και ΓΔ =2. Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου ορθογωνίου τριγώνου ΑΝΜ και του γραμμοσκιασμένου τραπεζίου ΑΕΜΝ σαν συνάρτηση του x = ΑΝ, όταν το Ν διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ.


Έχουμε τον τύπο f(x)= 2x , x 0

x, x 0 ≥

<

A. Πόσες είναι αυτές οι συναρτήσεις;


B. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού; Γ. Να βρείτε τα f(0), f(-1), f(2), f( 3 ), f((-1)3) Δ. Να λύσετε την εξίσωση: f(x)=4. Ε. Ανήκει ο αριθμός 4 στο σύνολο τιμών της συνάρτησης f ;


Μέρος 2ο :Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Δραστηριότητα 1η 1.1 Να γράψετε τις συντεταγμένες των σημείων που αντιστοιχούν στη θέση των παρακάτω περιοχών.

Περιοχή Τετμημένη Τεταγμένη Συντεταγμένες

Αγία Βαρβάρα

Παπάγου

Άγιοι Ανάργυροι

Ψυχικό

Πειραιάς

Πετρούπολη

1.2. Αν κάποιος βρίσκεται στο σημείο με συντεταγμένες (2,3) περιοχή Γαλάτσι. Να βρεθούν οι περιοχές που αντιστοιχούν στις συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου (2,3) α) ως προς τον άξονα των x. β) ως προς τον άξονα των y. γ) ως προς την αρχή των αξόνων. Δραστηριότητα 2η 2.1. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=-x2+5x+6 και g(x)=-x+2 που είναι ορισμένες σε όλο το R.


I) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων: α) Να βρείτε τις τιμές f(1), f(5/2), f(0), g(1). β) Τα σημεία τομής των Cf , Cg, με τους άξονες. γ) Να λύσετε τις εξισώσεις f(x)=1 και g(x)=-2 δ) Να βρείτε τις τιμές f(2), g(2), f(4), g(4). Τι παρατηρείτε; ε) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x). στ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cg βρίσκεται πάνω από τον άξονα των x. ζ) Να λύσετε την ανίσωση f(x)<0. η) Να λύσετε την ανίσωση f(x) < g(x). II) Να λυθούν όλα τα παραπάνω ερωτήματα αλγεβρικά.

Δραστηριότητα 3η . Ένα γήπεδο γκολφ είναι τοποθετημένο στο επίπεδο (ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων). Σε έναν αγώνα γκολφ χτυπάμε το μπαλάκι από το σημείο Α(-3,0) και έστω ότι αυτό ακολουθεί τη διαδρομή ευθείας με εξίσωση y−x=3. Θεωρούμε ότι η τρύπα βρίσκεται στο σημείο B με συντεταγμένες Β(2,3) του ίδιου ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. i) Να ελεγχθεί αν θα μπει το μπαλάκι στη τρύπα και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. ii) Έστω ότι η τρύπα βρισκόταν στο σημείο Γ με συντεταγμένες Γ(α,3α). Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε το μπαλάκι να μπει στη τρύπα. iii) Ποια είναι η μικρότερη απόσταση που θα έχει το μπαλάκι από την τρύπα (σημείο Β), και σε ποιο σημείο της διαδρομής του θα συμβαίνει αυτό;


ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ 1. Στο παρακάτω παιχνίδι ο κάθε παίκτης τοποθετεί στο τετραγωνισμένο χαρτί 5 καράβια. Ο κάθε παίκτης χωρίς να βλέπει το στόλο του αντιπάλου του υποδεικνύει ένα τετράγωνο στο σχέδιο π. χ Θ9. Αν βρίσκεται εκεί ένα καράβι το βυθίζει (το αντίστοιχο κομμάτι) αν όχι παίζει ο άλλος παίκτης. Κερδίζει αυτός που καταφέρνει να βυθίσει όλο το στόλο του αντιπάλου.

2. Στην παρακάτω σκακιέρα έστω ότι ένα πιόνι βρίσκεται στη θέση η7 να βρεθούν οι συμμετρικές θέσεις του πιονιού αυτού: α) ως προς τον άξονα των y β) ως προς τον άξονα των x γ) ως προς την αρχή των αξόνων.


Η συνάρτηση f(x)=αx+β

Συντάκτες: Αρμάος Πέτρος, Αρμάου Αντωνία





Φύλλο Εργασίας στη συνάρτηση f(x)=αx+β

Ανοίξτε το αρχείο y=ax+b π.ggb. Στην οθόνη έχουμε μία ευθεία με εξίσωση

ψ= αχ +β , δύο μεταβολείς για τα α , β και τα σημεία τομής της ευθείας με τους

άξονες. Επίσης φαίνεται και η γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία με τον ημιάξονα Οχ.

Σε δεύτερη φάση εμφανίζονται και δύο άλλα σημεία Γ και Δ.

1. Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις

1.1 Δώστε στο μεταβολέα β τιμή 0 και μεταβάλλετε μόνο τις τιμές του μεταβολέα α.

Τι παρατηρείτε;

………………………………………………………………………………………..…

…………………………………………………………………………………………

1.2 Να μεταβάλλετε μόνο τις τιμές του μεταβολέα β. Τι παρατηρείτε;

…………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….………………

1.3 Μπορείτε να βρείτε τη σχέση της γωνίας ω και του συντελεστή α;

…………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………….………………………

1.4 Να κατασκευάσετε μία ευθεία η οποία να σχηματίζει γωνία 450 με τον άξονα χ' χ.

Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης; Πόσες τέτοιες ευθείες μπορείτε να

κατασκευάσετε;

…………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………….………………………

1.5 Να κατασκευάσετε μία ευθεία η οποία να περνά από τα σημεία Γ , Δ. Ποια είναι η

εξίσωση της ευθείας;

…………………………………………………………………………………………

………………………

1.6 Αν βάλετε β = 0, τότε η f παίρνει τη μορφή f(x) =…….…. , οπότε η γραφική της

παράσταση είναι η ευθεία y = ………. και περνάει από ……..… ………… ……..

……………. Ειδικότερα:

• Για α = 1 έχουμε την ευθεία y = …... Για τη γωνία ω, που σχηματίζει η ευθεία

αυτή με τον άξονα x′x, ισχύει εφω =…. =…., δηλαδή ω = …..ο. Επομένως η

ευθεία y =…. είναι η ……………... των γωνιών xOy και x΄Oy των αξόνων.

• Για α = -1 έχουμε την ευθεία y = …... Για τη γωνία ω, που σχηματίζει η ευθεία

αυτή με τον άξονα x′x, ισχύει εφω = …. =…., δηλαδή ω = …..ο. Επομένως η

ευθεία y =…. είναι η ……………... των γωνιών xOy και x΄Oy των αξόνων.

Πότε μία ευθεία δεν μπορεί να είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης;

…………………………………………………………………………………………

2. Σχετικές θέσεις δύο ευθειών

Ανοίξτε το αρχείο y=ax+b π2.ggb.ggb. Στην οθόνη έχουμε δύο ευθείες ε1 και ε2 με

εξισώσεις y = α1x + β1 και y = α2x + β2 αντιστοίχως. Επίσης φαίνεται και η γωνία που

σχηματίζουν οι ευθείες όταν τέμνονται.

Για ποιες τιμές των α1 και α2 οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες ή συμπίπτουν;

Ειδικότερα:

• Αν α1 …. α2 και β1 …. β2 , τότε οι ευθείες είναι παράλληλες , ενώ

• Αν α1 …. α2 και β1 …. β2 , τότε οι ευθείες ταυτίζονται.

• Αν α1 …. α2 και β1 …. β2 , τότε οι ευθείες ταυτίζονται.

• Αν α1 …. α2 , τότε οι ευθείες τέμνονται.

• Πότε οι ευθείες είναι κάθετες;

………………….……………………………………………………………….


Σύμφωνα με τα παραπάνω:

• Γενικά, οι ευθείες της μορφής y =αx + β, όπου β σταθερό και α μεταβλητό

………………. όλες από το σημείο (0,….).

• Γενικά, οι ευθείες της μορφής y = αx+ β, όπου α σταθερό και β μεταβλητό, είναι

όλες μεταξύ τους ………………. , αφού έχουν όλες την ίδια κλίση α.

• Η συνάρτηση f(𝒙) = |𝒙| αποτελείται από τις δύο …………………….

y = …. , με 𝒙 ≥ 𝟎 ……… και y =….., με 𝒙 ≤ 𝟎 ……… που διχοτομούν τις

γωνίες xOy και x΄Oy αντιστοίχως.

Ασκήσεις

1. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = –3x + 2

i) Να βρείτε την τεταγµένη του σηµείου Α της Cf που έχει τετµηµένη 1

ii) Να βρείτε την τετµηµένη του σηµείου Β της Cf που έχει τεταγµένη -7.

iii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση Cf

2. Δίνεται η ευθεία ε : y = √3 x − 4. Να βρείτε

i) Το σηµείο τοµής της µε τον άξονα x x′

ii) Το σηµείο τοµής της µε τον άξονα y y

iii) Τη γωνία ω που σχηµατίζει η ε µε τον άξονα x΄x

3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που διέρχεται από το σηµείο Α(1, –2) και

είναι παράλληλη στην ευθεία η : y = –3x + 4 .

Θεωρούµε τις συναρτήσεις: f(x) = (µ – 1)x – 2, g(x) = 2 𝜇

x + 3 όπου µ ≠ 0. Να βρείτε

τις τιµές του µ για τις οποίες οι Cf , Cg είναι παράλληλες ευθείες


https://drive.google.com/file/d/0BzRYPL76qa4iUE5lMWNZeDJvejQ/view?usp=sharing



https://drive.google.com/file/d/0BzRYPL76qa4iUE5lMWNZeDJvejQ/view?usp=sharing

Η μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2






Φύλλο Εργασίας στη μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2


1.1 Συμπλήρωσε τον πίνακα τιμών, αν 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) = 2𝑥2, ℎ(𝑥) = −𝑥2.

x -2 -1 0 1 2 f(x) g(x) h(x)

1.2. Φτιάξε σύστημα αξόνων και τοποθέτησε τα

σημεία (𝑥, 𝑓(𝑥)). Τι γραμμή προκύπτει αν βάλεις περισσότερα σημεία; Πώς λέγεται;

1.3. Στο ίδιο σύστημα αξόνων τοποθέτησε πρώτα τα σημεία (𝑥, 𝑔(𝑥)). Ποιες οι ομοιότητες και ποιες οι διαφορές με την προηγούμενη γραμμή; ………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..

1.4. Στο ίδιο σύστημα αξόνων τοποθέτησε πρώτα τα σημεία (𝑥, ℎ(𝑥)). Ποιες οι ομοιότητες και ποιες οι διαφορές με τις προηγούμενες γραφικές παραστάσεις; ……………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………….

Δραστηριότητα 2η Στο παρακάτω σύστημα αξόνων δίνονται έξι παραβολές. 2.1 Να βρεθούν οι συναρτήσεις των οποίων οι γραφικές παραστάσεις είναι οι παρακάνω παραβολές.


2.2. Για κάθε μία από τις συναρτήσεις αυτές υπάρχει τιμή της μεταβλητής χ για την οποία η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή της; Μπορείτε να αποδείξετε αλγεβρικά γιατί ισχύει αυτό; Τι μπορείτε να συμπεράνετε

γενικότερα για την 𝑦 = 𝑎𝑥2; 2.3. Κάθε μία από τις παραβολές αυτές έχει άξονα(ες) συμμετρίας; Κέντρο συμμετρίας; 2.4. Από τι εξαρτάται το «άνοιγμα» μίας παραβολής και με ποιον τρόπο;

2.5. Παρατηρήστε τις παραβολές 𝑦 = 𝑎𝑥2, 𝑦 = −𝑎𝑥2. Είναι συμμετρικές μεταξύ τους; Ασκήσεις – Μελέτη : Βιβλίο σελ.188-192, Ασκήσεις : σελ 192 Α1,Α4, Β2, Β4.


Η συνάρτηση f(x)=αx2 +βx +γ



ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 δ. ώρες



Φύλλο Εργασίας στη συνάρτηση f(x)=αx2 +βx+γ

Δραστηριότητα 1η . 1.1 Να σχεδιάσετε στο διπλανό σύστημα αξόνων

τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Στη συνέχεια στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1. Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 𝑘 για 𝑘 = −1,2,3;

Δραστηριότητα 2η Να σχεδιάσετε στο διπλανό σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

𝑓(𝑥) = 𝑥2. Στη συνέχεια στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)2. Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης ℎ(𝑥) = (𝑥 + 𝑘)2 για 𝑘 = −1,2,3;


3.1 Δίνεται η συνάρτηση 𝜑(𝑥) = 𝑥2 − 4x + 5.

Αφού τη γράψετε στη μορφή 𝜑(𝑥) = (𝑥 + 𝜆)2 + 𝑘 προσπαθήστε να την σχεδιάσετε δίπλα, χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματά σας από τα προηγούμενα ερωτήματα. 3.2 Που αυξάνονται (για ποια χ) και που ελαττώνονται οι τιμές της συνάρτησης; 3.3 Υπάρχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή;


Που βρίσκεται αυτή; 3.4 Υπάρχει άξονας συμμετρίας;

4. Δίνεται η συνάρτηση 𝜑(𝑥) = 2x2 − 4x − 6. 4.1 Αφού συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση

χ -2 -1 0 1 2 3 4 φ(χ)

4.2 Με χρήση της γραφικής παράστασης να προσδιορίσετε τις λύσεις των εξισώσεων φ(χ)=0 , φ(χ) = 2 και της ανίσωσης φ(χ)>0. 4.3 Να επιλυθούν αλγεβρικά οι εξισώσεις φ(χ)=0 , φ(χ)=2 και η ανίσωση φ(χ) > 0. Συγκρίνετε με τις απαντήσεις στο 4.2


Δραστηριότητα 5η 5.1 Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα σχετικά με το πρόσημο του τριωνύμου, αφού κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις παραβολών :

α>0 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Πλήθος ριζών f(x)= 0

Πλήθος σημείων τομής με χ΄χ

Γραφική παράσταση

𝐱 − ∞ + ∞ x −∞ +∞ x −∞ +∞

f(x) f(x) f(x)

α<0 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0

Πλήθος ριζών f(x) = 0

Πλήθος σημείων τομής με χ΄χ :

Γραφική παράσταση

x −∞ +∞ x −∞ +∞ x −∞ +∞

f(x) f(x) f(x)

5.2 H 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾παρουσιάζει ελάχιστη ή μέγιστη τιμή για x =....... η οποία είναι ίση με ..........

Ασκήσεις – Μελέτη : Βιβλίο σελ. 199-203, Ασκήσεις σελ. 203-4: Α1, 2α, 3, Β2, 3.


Documents

Παναγιώτα Αργύρη ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνηςusers.sch.gr/mipapagr/images/alyk_fylla_ergasias_alg_evang.pdfστην αριθμογραμμή