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種々の Virasoro代数のWhittakerベクトル

柳田伸太郎　 (RIMS)

Algebraic Lie Theory and Representation Theory 20152015年 6月 5日

はじめに Virasoro代数のWhittakerベクトル変形 Virasoro代数のWhittakerベクトル

はじめに

（有限次元）Lie環のWhittakerベクトルは Kostant（1978）が導入した概念で、元来は（一般）戸田格子の古典力学系における解の存在問題を解決する手段であった。

Virasoro代数も Lie環であり、特に Verma加群におけるWhittakerベクトルを考えることが出来る。しかしこのWhittakerベクトルは、AGT予想の退化版を Gaiottoが考えたときまで本格的に扱われることはなかった。

この講演では Virasoro代数のWhittakerベクトルの組み合わせ論的な記述について考える。また変形 Virasoro代数での類似についても扱う。


目次1 はじめに2 Virasoro代数のWhittakerベクトル

Virasoro代数Virasoro代数Verma加群Shapovalov型式Kac行列式

WhittakerベクトルGaiottoの予想（AGT予想の退化版）

Nekrasov分配函数（時間があれば）

Fock表現での表示と Jack対称函数Heisenberg代数Fock表現対称函数Jack対称函数Whittakerベクトルの自由場表示公式

3 変形 Virasoro代数のWhittakerベクトル変形 Virasoro代数WhittakerベクトルK理論的 AGT予想Fock表現での表示とMacdonald対称函数


§2.1.1. Virasoro代数• Vir：C上の Lie代数

生成元：Ln (n ∈ Z), C

関係式： [Ln, Lm] = (n − m)Ln+m +C

12n(n2 − 1)δn+m,0, [Ln, C] = 0.

• Z-grading（= L0-ウェイト）、三角分解

Vir =⊕n∈Z

Virn = Vir+ ⊕ Vir0 ⊕ Vir−,

Virn := CLn, Vir0 := CL0 ⊕ CC, Vir± :=⊕

±n∈Z>0

CLn.

• U(Vir)の PBW基底

{L−λLn0Lµ | n ∈ Z≥0, λ,µ : 分割 }

但し分割 λ = (λ1, ... ,λℓ)に対し

Lλ := Lλℓ · · · Lλ1 , L−λ := L−λ1 · · · L−λℓ .


§2.1.2. Verma加群

• Mc,h: Virの Verma加群（c ∈ C：中心荷電, h ∈ C：最高ウェイト）

Mc,h = Vir|c, h⟩Ln |c, h⟩ = 0 (n > 0), L0 |c, h⟩ = h |c, h⟩ , C |c, h⟩ = c |c, h⟩ .

◦ L0-ウェイト分解：

Mc,h = ⊕n≥0Mc,h,n, Mc,h,n := {v ∈ Mc,h | L0v = (h + n)v}

◦ Mc,h,n の基底： {L−λ |c, h⟩ | λ ⊢ n}

• M∗c,h：双対 Verma加群（右加群）

M∗c,h = ⟨c, h|Vir

⟨c, h| Ln = 0 (n < 0), ⟨c, h| L0 = h ⟨c, h| , ⟨c, h|C = c ⟨c, h| .

◦ L0-ウェイト分解、基底については同様。


§2.1.3. Shapovalov型式

• · : M∗c,h × Mc,h → C :双線形型式

⟨c, h| · |c, h⟩ = 1, ⟨c, h| Lλ · L−µ |c, h⟩ =∑

ν1,ν2,m,n

δν1,∅δν2,∅cν1,ν2,ncmhn

(LλL−µPBW=

∑ν1,ν2:分割 m,n≥0

cν1,ν2,m,nL−ν1Ln0Lν2C

m)

◦ この時 uLn · v = u · Lnv (u ∈ M∗c,h, v ∈ Mc,h)

◦ そこで ⟨c, h| LλL−µ |c, h⟩ := ⟨c, h| Lλ · L−µ |c, h⟩やuv := u · v 等と略記。

• ⟨c, h| LλL−µ |c, h⟩ = 0 unless |λ| = |µ|.

• ⟨c, h| LλL−µ |c, h⟩ = ⟨c, h| L−µLλ |c, h⟩.


§2.1.4. Kac行列式

• Kn := (⟨c, h| LλL−µ |c, h⟩)λ,µ⊢n とすると

det Kn = 0 ⇐⇒ Mc,h は既約。

定理 (Feigin-Fuchs, 1980s)

det Kn =∏

r,s∈Z>0

1≤rs≤n

(h − hr,s)p(n−rs) ∈ C[c, h]

但し p(m) := #{λ | λ ⊢ m}（分割数）、

hr,s :=1

48[(13 − c)(r2 + s2) − 24rs − 2(1 − c)

+√(1 − c)(25 − c)(r2 − s2)]

• Feigin-Fuchsは後述の Fock表現（自由場表示）を用いて証明した。


§2.2. Whittakerベクトル

• Mc,h :=∏

n≥0 Mc,h,n: Mc,h のウェイト分解に関する完備化。

定義

ξ ∈ Cについて、Whittaker ベクトル w(ξ) ∈ Mc,h とは以下を満たす元のこと。

L1w(ξ) = ξw(ξ), Lnw(ξ) = 0 (n ≥ 2),

w(ξ) = |c, h⟩ + · · · (L0-ウェイトに関し高次の項).

• 双対Whittakerベクトル w∗(ξ) ∈ M∗c,h

w∗(ξ)L−1 = ξw∗(ξ), w∗(ξ)L−n = 0 (n ≥ 2),

w∗(ξ) = ⟨c, h| + · · · .



• 有限次元 Lie環のWhittakerベクトル（Kostant, 1978）

g：有限次元 Lie環, V： U(g)加群

n ⊂ g：極大冪零部分 Lie環, η : n → C：中心指標

w ∈ V が η に関するWhittakerベクトルdef⇐⇒ 任意の x ∈ nに対し xw = η(x)w

• w(ξ)の場合は nを Vir+ に、V を Mc,h に置き換えればよい。

η は L1 と L2 の行き先できまる。

w(ξ)は η(L1) = ξ, η(L2) = 0 で定まる η に関するWhittakerベクトル。



補題(c, h)は genericだと仮定する。

• w(ξ)は一意に存在する。

• w(ξ) = |c, h⟩ +∑n≥1

ξnwn wn ∈ Mc,h,n (ξ に依存しない).

• wn = L1wn+1, L2wn = 0.

• 実際に計算してみると

w1 =1

2hL−1 |c, h⟩, w2 =

(8h + 8c)L2−1 − 12hL−2

4h(16h2 + 2ch − 10h + c)|c, h⟩,

w3 =1

24h(3h2 + ch − 7h + 2)(16h2 + 2ch − 10h + c)×[

12h(7h − c − 3)L−3 − 12(9h2 + 3ch − 7h + c)L−2L−1

+(24h2 − 26h + 11ch + 8c + c2)L3−1

]|c, h⟩.


§2.3. Gaiottoの予想（AGT予想の退化版）

• AGT予想（Alday-Gaiotto-Tachikawa, 2009）：

(2次元) Liouville場の理論?= 4次元 N = 2 SU(2) SYM理論

◦ 特に共形場理論の共形ブロックが Nekrasov分配函数に一致するはず。

◦ 以下は Gaiotto(2009)による退化版の予想で、既に証明されている。

定理(c, h)が genericなら

w∗(ξ) · w(ξ) = Zrank=2(x; ϵ1, ϵ2,−→a )

但し

Virasoro Nekrasovc 13 + 6(ϵ1/ϵ2 + ϵ2/ϵ1)h (ϵ1/ϵ2 + ϵ2/ϵ1 + 2)/4 − (a2 − a1)2/ϵ1ϵ2ξ x1/2/(ϵ1ϵ2)


§2.3.1. Nekrasov分配函数

• M(r, n)：インスタントン・モジュライ空間P2 上の階数 r、c2 = nの枠付き torsion free層のモジュライ空間。次元 2nr の非特異準射影多様体。

• ADHM構成：

M(r, n) ≃

(B1, B2, j, k)

∣∣∣∣∣ B1, B2 ∈ End(Cn),j ∈ Hom(Cr,Cn),k ∈ Hom(Cn,Cr)

s.t. (1) & (2)

/GLn(C)

(1)[B1, B2] + jk = 0

(2)Bi(S) ⊂ S かつ Imj ⊂ S なる真部分空間 S ⊂ Cnは存在しない

• T := T2 × Tr−1 の作用 (T := C×)

(B1, B2, j, k) 7−→ (t1B1, t2B2, js−1, t1t2sk)

ti ∈ T, s = (sα)rα=1 ∈ T,

∏α

sα = 1



• 4-dim SU(r) pure gauge theoryの分配函数

ZNf=0,instrank=r (x; ϵ1, ϵ2,

−→a ) = Zrank=r(x; ϵ1, ϵ2,−→a )

:=∞∑n=0

xn∫M(r,n)

1(1 ∈ H∗

T(M(r, n)))

=∞∑n=0

xn limℏ→0

ℏ2nr2nr∑i=0

(−1)ichT[Hi(M(r, n),O)]

∣∣t1=e−ℏϵ1

t2=e−ℏϵ2

sα=e−ℏaα

• T同変コホモロジーの局所化定理によりこれは組み合わせ論的な表示を持つ。実は T固定点が r 個の分割の組でパラメトライズ出来て、

Z(x; ϵ1, ϵ2,−→a ) =

∑−→Y

x|−→Y |

e(T−→Y)

ここで−→Y = (Y1, ... , Yr)は r個の分割の組、|

−→Y | := |Y1|+ · · ·+ |Yr|。



•

Z(x; ϵ1, ϵ2,−→a ) =

∑−→Y

x|−→Y |∏

1≤α,β≤r n−→Yα,β(ϵ1, ϵ2,

−→a ),

n−→Yα,β(ϵ1, ϵ2,

−→a ) :=∏

□∈Yα

[−lYβ(□)ϵ1 + (aYα(□) + 1)ϵ2 + aβ − aα]

×∏

■∈Yβ

[(lYα(■) + 1)ϵ1 − aYβ(■)ϵ2 + aβ − aα].

• 但し分割 λ = (λ1,λ2, ...) と箱 □ = (i, j) ∈ Z2 の arm aλ(□)と leglλ(□)を

aλ(□) := λi − j, lλ(□) := λ′j − i

で定義した。λ′ は λの転置。



• 以下次のように略記する。

Z−→Y(ϵ1, ϵ2,

−→a ) := [∏

1≤α,β≤r

n−→Yα,β(ϵ1, ϵ2,

−→a )]−1,

Zn(ϵ1, ϵ2,−→a ) :=

∑|−→Y |=n

Z−→Y(ϵ1, ϵ2,

−→a )

• Eg. r = 1： ZY =1

nY11(ϵ1, ϵ2)

nY11 =∏

□∈Y[−ℓY(□)ϵ1 + (aY(□) + 1)ϵ2][(ℓY(□) + 1)ϵ1 − aY(□)ϵ2]

Z0 = Z(∅) = 1, Z1 = Z(1) =1

ϵ1ϵ2

Z2 = Z(2) + Z(1,1) =1

2ϵ2(ϵ1 − ϵ2)ϵ2ϵ1+

1

ϵ2ϵ1(ϵ2 − ϵ1)2ϵ1=

1

2ϵ21ϵ22

Z3 = Z(3) + Z(2,1) + Z(1,1,1) = · · · =1

6ϵ31ϵ32



• 実は r = 1の時は

Zr=1(x; ϵ1, ϵ2) =∑n=0

xnZn(ϵ1, ϵ2) = exp(x

ϵ1ϵ2)

• Eg. r = 2

Z1 = Z(1),∅ + Z∅,(1)

=1

ϵ1ϵ2(a1 − a2)(ϵ1 + ϵ2 + a2 − a1)+

1

(ϵ1 + ϵ2 + a1 − a2)(a2 − a1)ϵ2ϵ1

Z2 = Z(2),∅ + Z(1,1),∅ + Z(1),(1) + Z∅,(1,1) + Z∅,(2)


§2.4. Fock表現での表示と Jack対称函数

• Virasoro代数の Verma加群は（最高ウェイトが genericなら）Fock表現と同型であって、具体的な同型が知られている（ボゾン化、自由場表示）。Fock表現は対称函数の空間と同一視できる。

• 対称函数を使ってWhittakerベクトルを表示するとどうなるだろうか？

• Mc,h の元で重要なものに特異ベクトルがある。それは Fock表現ではJack対称函数に一致する（三町・山田, 1995）。

• Whittakerベクトルも Jack対称函数で表わすことができないだろうか？

（粟田・山田（2009）の考察。本当は K理論版の AGT予想に関連して、変形 Virasoro代数のWhittakerベクトルをMacdonald対称函数を用いて明示出来ることを発見した。)


§2.4.1. Heisenberg 代数

• Heis： C上の Lie代数、

生成元： an (n ∈ Z) 関係式： [an, am] = nδn+m,0a0

◦ 三角分解 : Heis = Heis+ ⊕ Heis0 ⊕ Heis−,Heis± := ⊕±n>0Can, Heis0 := Ca0

• Fα = Heis|α⟩F： Fock加群

a0 |α⟩F = α |α⟩F, an |α⟩F = 0 (n ∈ Z>0)

◦ Fα の基底： {a−λ |α⟩F | λ : 分割 }

◦ a0 ウェイト分解： Fα = ⊕n≥0Fα,n,Fα,n := {v ∈ Fα | a0v = (n + α)v}


§2.4.2 Fock表現

定理 (Feigin-Fuchs, 1980s)

次の写像は代数準同型を定める。

ια0 : U(Vir) −→ U(Heis)C 7−→ c(α0) := 1 − 12α2

0

Ln 7−→ Ln :=1

2

∑m∈Z

◦◦aman−m

◦◦ − (n + 1)α0an

但し α0 ∈ C、◦◦

◦◦ は Heisの正規積。

• 特に線形写像

fα,α0 : Mc(α0),h(α,α0) → Fα

L−λ |c(α0), h(α,α0)⟩ 7→ L−λ |α⟩F

は ια0 と整合的。但し h(α,α0) :=1

12

((α − α0)2 − α2

0

)。


§2.4.3. 対称函数• Λ : Z係数の対称函数の空間

Λn : n次の対称対称函数の空間, Λ =⊕

n≥0 Λn

Λn,A := Λn ⊗Z A

• モノミアル対称函数： mλ(x) :=∑

α:λの異なる置換 xα1xα2 · · · xαℓ

{mλ | λ ⊢ n}は Λn の基底。

• 冪和対称函数： pk = pk(x) :=∑

i xki ∈ Λk, pλ := pλ1pλ2 · · · pλℓ .

{pλ | λ ⊢ n}は Λn,Q の基底。

• 自然な同型

Fα∼−−→ ΛC

a−n |α⟩F 7−→ pn (n > 0)

an 7−→ n∂

∂pn(n > 0)


§2.4.4. Jack 対称函数

定義Jack対称函数 Pλ(β) = Pλ(x;β) ∈ ΛC は次で特徴付けられる。

(i) Pλ(β) = mλ +∑µ<λ

cλ,µ(β)mµ, cλ,µ(β) ∈ C

(ii) Pλ(β)は Hβ の固有関数、但し

Hβ“ := ”∑i

(xi∂

∂xi)2 + β

∑i<j

xi + xj

xi − xj(xi

∂

∂xi− xj

∂

∂xj)

• 但し (i)での分割の順序はドミナンス半順序。

λ ≥ µdef⇐⇒ |λ| = |µ|,

i∑k=1

λk ≥i∑

k=1

µk (i = 1, 2, ...).

また (ii)の Hβ は Calogero-Sutherlandハミルトニアンと同等。

• {Pλ(β) | λ ⊢ n}は Λn,C の基底。


§2.4.4. Jack 対称函数• U(Heis) の元 Eβ,α0 を

Eβ,α0 :=√2β

∑n>0

a−nLn +∑n>0

a−nan(β − 1 −

√2βa0

)で定義する（Ln 達は α0 に依存する）。

補題同型 Fα ≃ ΛC のもと、

Eβ,α0(β)

∣∣∣Fα

= Hβ, α0(β) := (β − 1)/√

2β

• (α,α0)が geneticなら fα,α0 は同型。(α,β)が geneticだとして、同型の合成

sα,β : Mc(β),h(β,α)

fα,α0−−−−→ Fα∼−−→ ΛC

を考える。但し

c(β) := c(α0(β)

)= 13 − 6(β + β−1),

h(β,α) := h(α,α0(β)

).


§2.4.5. Whittakerベクトルの自由場表示

定理 (Y. 2011)

同型 sα,β : Mc(β),h(α,β) ≃ Fα のもと、Whittakerベクトル

w(ξ) =∑

n≥0 ξnwn ∈ Mc(β),h(α,β) は次のように表示できる。

sα,β(wn) =∑λ⊢n

cλ(α,β)Pλ(β)

cλ(α,β) =∏□∈λ

1

aλ(□) + 1 + βℓλ(□)

×∏

(i,j)∈λ\{(1,1)}

β

(j + 1) +√2βα − (i + 1)β

• 証明は、Calogero-Sutherlandハミルトニアンの自由場表示 Eβ とJack対称多項式の Pieri公式を用いて cλ の漸化式を導出し、上記の関数がそれを満たすことをチェックする。


§3. q変形 / K理論版

• (粟田・山田 2009) Nekrasov分配函数と Virasoro代数には q類似がある。そこで AGT予想にも q類似があるはず。

• K理論的 Nekrasov分配函数

ZKrank=r(x; ϵ1, ϵ2,

−→a ) :=∞∑n=0

(xe−r(ϵ1+ϵ2)/2)n∑i

(−1)ichT[Hi(M(r, n),O)]

=∑−→Y

x|−→Y |∏

1≤α,β≤r N−→Yα,β

但し N−→Yα,β :=

∏□∈Yα

(1 − exp[ℓYβ(□)ϵ1 − (aYα(□) + 1)ϵ2 − aβ + aα]

)∏

■∈Yβ

(1 − exp[−(ℓYβ(■) + 1)ϵ1 + aYα(■)ϵ2 − aβ + aα]

)


§3.1. 変形 Virasoro代数

定義 (白石・粟田・久保・小竹, 1996)

C上の結合代数 Virq,t (q, t ∈ C) を次のように定義する。

生成元： Tn(n ∈ Z)

関係式： [Tn, Tm] = −∞∑ℓ=1

fℓ(Tn−ℓTm+ℓ − Tm−ℓTn+ℓ)

−(1 − q)(1 − t−1)

1 − p

((q/t)n − (q/t)−n

)δn+m,0

但し∞∑k=0

fkzk = exp[

∞∑n=1

(1 − qn)(1 − t−n)

1 + (q/t)nzn

n]

• t = qβ, q = eℏ, ℏ → 0の極限で T(z) :=∑

n∈Z Tnz−n を展開すると

T(z) = 2 + βℏ2(z2L(z) +(1 − β)2

4β) + O(ℏ4) (L(z) =

∑Lnz

−n−2)

となり、{Ln}が Virc の関係式を満たす。但し c = 1 − 6(1 − β)2/β。



• Mh： Virq,t の Verma加群 (h ∈ C)

Tn |h⟩ = 0 (n > 0), T0 |h⟩ = h |h⟩となる |h⟩で生成される加群。

deg Tn = −nでMh を次数付けできて、その時Mh = ⊕n≥0Mh,n。

• ⟨h|で生成される双対 Verma加群（右加群）M∗h と Shapovalov型式

も同様に定義。

定義

ξ ∈ Cに対し、Whittakerベクトルとは wq,t(ξ) ∈ Mh で次の条件を満たすもの。

T1wq,t(ξ) = ξww,t(ξ), Tnwq,t(ξ) = 0 (n ≥ 2),

wq,t(ξ) = |h⟩ + · · · .

• 双対Whittakerベクトル w∗q,t(ξ)も同様に定義。


§3.3. K理論的 AGT予想

• Gaiottoの予想の K理論版が粟田・山田の予想 (2009)である。

定理 (Y. 2014)

(q, t, h)が genericなら

w∗q,t(ξ) · wq,t(ξ) = ZK

rank=2(x; ϵ1, ϵ2,−→a )

但し

Virq,t Nekrasovq e−ϵ1

t eϵ2

h e(a1−a2)/2 + e(a2−a1)/2

ξ x1/2


§3.4. Fock表現での表示とMacdonald対称函数

• 粟田・山田は wq,t(ξ)の明示化も予想した。

• Heisq,t を {bn | n ∈ Z}で生成され

[bn, bm] = n1 − q|n|

1 − t|n|δn+m,0b0

を定義関係式とする C上の Lie代数とする。

定理 (白石・粟田・久保・小竹, 1996)

代数準同型 ιq,t : Virq,t → U(Heisq,t) が以下で定まる。

T(z) 7−→ T (z) = Λ+(z) + Λ−(z),

Λ±(z) := (q/t)±1/2 exp[∓∞∑n=1

1 − tn

1 + (q/t)nb−n

nt−n(q/t)∓n/2zn]

× exp[±∞∑n=1

(1 − tn)bn

n(q/t)±n/2z−n]t±b0



• Fα： b0 |α⟩F = α |α⟩F 及び bn |α⟩F = 0 (n > 0)なる |α⟩F で生成される Heisq,t 加群。

補題線形写像

fq,t,α : Mh(α) −→ Fα, T−λ |h(α)⟩ 7−→ T−λ |α⟩F ,

は前頁の準同型 ιq,t と整合的。但し

h(α) := (q/t)1/2tα + (q/t)−1/2t−α

• b−λ |α⟩F 7−→ pλ で Fα と ΛC は線形同型。

• (q, t,α)が genericなら fq,t,α は同型。これらの同型写像の合成をsq,t,α と書く。

sq,t,α : Mh(α)fq,t,α−−−→ Fα

∼−−→ ΛC.



定理 (Y. 2014)

(q, t,α)が genericなら

sq,t,α(wq,t(ξ)

)=

∑λ

ξ|λ|Pλ(q, t)

∏(i,j)∈λ

(q/t)1/2tα

1 − qj+1t2α−i−1

qλi−j

1 − qλi−j+1tλ′j −i

但し Pλ(q, t)はMacdonald対称函数。

• 証明はMacdonald差分作用素と変形 Virasoro代数の関係を用いて、Virasoro代数の場合と同様の（Heisenberg代数における）計算をする。この際、変形 Virasoro代数そのものではなく、Ding-Iohara-Miki代数（量子トロイダル gl1 代数）を使った方がよい。

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