新世纪（版）数学教材培训

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新世纪（版）数学教材编写组新世纪（版）数学教材编写组

问题讨论 1：算法多样化

在实施算法多样化的计算教学中，出现如下两种倾向：

（ 1）为算法多样化而多样化 （ 2）算法自由化，喜欢怎么算就可以怎么算 这些倾向表明，对算法多样化的理解还有误区，对算法多样化的教学要克服盲目性

问题：什么是算法多样化？问题：什么是算法多样化？• 算法多样化是指群体中的多样化，不是算法多样化是指群体中的多样化，不是个体的多样化，不是要求一个学生有多个体的多样化，不是要求一个学生有多种方法。种方法。

• 算法多样化的实质是教师鼓励学生独立算法多样化的实质是教师鼓励学生独立思考，从这一点推广开来就是思考策略思考，从这一点推广开来就是思考策略的多样化。的多样化。

问题：算法多样化与一题多解有什么区别？• 一题多解的含义是指一个学生用不同的方法解一题多解的含义是指一个学生用不同的方法解

同一个问题同一个问题• 算法多样化是指一个学生用他自己的方法解这算法多样化是指一个学生用他自己的方法解这

个问题，算法多样化是以算法个性化为基础的个问题，算法多样化是以算法个性化为基础的

问题：为什么倡导算法多样化？问题：为什么倡导算法多样化？• 在计算教学中给学生思考、探索、创新的机会 在计算教学中给学生思考、探索、创新的机会 • 引入算法多样化有助于改善学生的学习方式引入算法多样化有助于改善学生的学习方式• 有助于理解算理：寓于多样化算法之中的共性，有助于理解算理：寓于多样化算法之中的共性，

便是算理所在便是算理所在

问题：算法多样化的归宿是什么呢？• 学习计算的开始阶段，学生探索算法的认知水平存在客观差异：

如， 9+5= ？ 算法 1 ：借助小棒，“指物数数”，数出结果

（操作水平） 算法 2：摆小棒或画图，直观地表示结果 （表象水平） 算法 3： 9+1=10 ， 10+4=14 或 5+5=10 ， 10+4=14 或 10+5=15 ， 9+5=14 （抽象水平）

这个阶段的算法多样化，必须促进学生发展抽象思维水平，早日摆脱对动作与图形的依赖。为此，要揭示算法 2与算法 3的联系，体会算法 3是算法 2的抽象表示形式。

•当学生的思维都达到了抽象水平以后，算法多样化要“存异求同”，发现各种算法的联系，以弄清算理，理解算理（做到知其然，知其所以然）。

问题讨论 2：估算 （ 1）来自学生和教师的“疑惑”：

——只在您上课时才用到估算。

——都能精确算出来，还有必要估算吗？

问题：估算的价值是什么？

（ 2）来自教学的片段：

——“388” 可以怎么估？（ 380 ， 390 ， 400 ， 300 ）

——在 388+120 ， 388+110 中，你打算分别怎样估“ 388” ，才能不仅快，而且与实际结果相差最小？

生 1 ： 388+110 ， 388 估成 390 ，因为 10+90 是 100 ，结果凑成整百。

师：这个方法的结果是不是最接近实际结果（似乎叫“精确结果”更好）呢？

生 1 ：是，因为 390 离 388 最近。

生 2 ：用四舍五入法。

（师再次强调题目要求：又快又与实际结果相差最少）

生 3 ： 388+120 ， 388 估成 380 最方便，因为相加为整百数。

师：不是离实际结果最近，可以估成 390 。

生 4 ：用四舍五入法，不能凑成整百数。

问题：

（ 1 ）估算的标准是什么？

（ 2 ）有没有统一的估算方法？

（一）估算的价值 1.估算在日常生活中有着广泛的应用 .

2.有利于人们事先把握运算结果的范围，是发展学生数感的重要方面 .

3.为判断计算器、心算和笔算结果是否合理提供了工具。

4.有利于学生体会数之间的规律，提高判断、选择的能力。

另一方面：

对六和八年级学生的研究发现，能求出准确答案的能力并不会自动迁移到估算能力或判断答案是否合理上来（《美国学校数学教育的原则和标准》P141 ）

（二）首先注重培养学生的估算意识，通过设计适当的情境，使学生体会到估算的必要性。

1.教师要重视估算及估算教学（从小培养，持之以恒）。

2. 提出好的问题，体现估算的必要性。

比如： P36，估计你们学校大约有学生多少人。

（ 3）利用估算检验答案，澄清错误。

（ 201 ╳ 6=126）

（ 4）总结自己什么时候用估算的例子。

（三）估算的标准1. 根据实际问题选择合理的估算策略。

43x4 （带 200块钱够不够？ 42估成 50 ）

2. 纯式子的估算。

——确定一个范围？

——既容易估，又尽量与实际结果接近？

——估计出数量级是重要的。 85x2583 结果大约是 200000

（四）估算的策略 1.“分部分”估计

2. 取首进尾法（ 769+308可以估成 700+300 ，和至少 1000；也可以估成 770+310 ，和最多 1080 ）

3. 四舍五入法4. 中间数法（ 32+37+30+39 可以估成 35x4 ）

5. 一个估大，一个估小（ 769+308可以做成 770+300 ，和约等于 1070 ）

6. 从前往后： 243+479 （ 200+400=600 ，43+79比 100大，结果比 700 多一点）

教学中要注意：

1.鼓励学生解释估算的思路和理由。

2.估算与精确结果的比较（反思）

3. 灵活使用不同策略，合理都应肯定。

238+158个学生， 399 个座位够吗？

问题讨论 3：如何面对学生的错误师：请你想办法先算一算 24×3等于多少，行吗？有困难的同学可以互相商量一下。（学生尝试计算，计算后反馈结果）

生 1： 24乘 3等于 92。

生 2：我不同意， 24乘 3应该等于 72 。

生 3：我算出来的结果是 612 。

问题：你的学生也犯过这样的错误吗？你是如何处理的？还有没有其他的错误？

师：现在有三个不同的答案，究竟哪一个是对的呢？先请大家说说你们是怎样想的，好吗？

（允许学生解释自己的想法，暴露错误的原因）

生 3 ：我是想，先算 2乘 3得 6 ，再算 4乘 3得 12 ，所以 24乘 3等于 612 。（立刻有学生举手表示反对）

生 4 ：我认为 612肯定是错的，因为即使是 100乘3 才等于 300 ，而 24乘 3 的积应该比 300 小得多，所以根本不可能是 612 。

（利用估算来澄清错误；引起自我“认知冲突”；错误是引起深入思考和讨论的“资源”；生 3 还在矛盾中，还没有“自我反省”。）

……

师请结果是 72 的学生（生 2 ）说说自己的想法，生2先用连加，其他同学觉得太麻烦，生 2继续回答笔算过程（师板书）。又一生提出将 24 分解为 8乘3 的方法。

（提供正确示范，希望引起“自我反省”）

师：刚才哪位同学算出结果得 92 ？能说说你是怎么算的吗？

生 3 ：我是想 3乘 4等于 12 ，个位上写 2 进 1 ，十位上 2 加进上来的 1等于 3 ， 3乘 3得 9 ，所以结果是 92 。

（错误也有“合理”的成分——“绿色”的数学教育）

师：噢，你是先把十位上的 2 加上进上来的 1 ，再乘 3 。那么究竟应该先加 1 再乘，还是先乘再加上进上来的 1 呢？

（重复、确认学生的意思，引起更多人的思考）

（学生争论，但说不出道理）

师：我们不妨请小棒来帮帮忙。

教师边说边演示，提问为什么是 7捆，学生回答是 6捆加上 1捆。教师指出进上来的 1捆就相当于竖式中进位写的 1 ，所以应该先乘后加进位 1 。

（提供高水平的示范；直观材料的作用——换一个角度；多种形式（语言、直观材料、算式）的对应，以满足学生的多种需求，加深理解）

存在的疑问：

不知刚才错误的学生，现在是否能理解了。（还需要反思——自我反省；在后来的练习中关注他们；等待）

学生“错”了吗？ 一位教师的设计：鉴于学生受口算除法的定势影响会导致错误的算式

21

2 42

42

0

因此，先让学生探究 42除以 3，在学生建立了正确竖式的基础上，放手让学生做 42除以 2，这样学生的竖式书写错误率会大大降低。

另一位教师的处理： 师：如果要用竖式来计算，你们打算怎么列？试试看。

生 1 ：“错误”的方法。

生 2 ：正确的方法。

师：还有其他方法吗？（学生表示没有）比较一下，你喜欢哪一种？说说你的理由。

生 3 ：喜欢第一种，因为简单，竖式可以短一些。

生 4 ：我也喜欢第一种，本子还可以省一点呢。

（有学生笑了，很少有学生喜欢第二种）

问题：

（ 1）你认为在计算 42÷2 时，学生们的方法错了吗？你的学生也有这个现象吗？

（ 2）两位老师的处理，你更喜欢哪种？为什么？

师：其实第二种方法有自己的优势，它能让大家很清楚地看到计算过程。边用电脑演示，边讲解：……

生反驳：我们的竖式也能清楚地看到计算过程。4除以 2得 2 ，商 2 ，二二得四，写 4； 2除以2得 1 ，一二得二，写 2 。

师：你们都这样认为？（学生点头）（出示 32÷2 ）那就用你喜欢的方法列竖式算一算这一题。

反馈。

生 1 ：仿前面的第一种。

生 2 ：仿前面的第二种。

师：你们同意他们的做法吗？

生 3 ：同意第二种。不同意第一种。

师：为什么？

生 3 ：因为第一种，先是口算出 16 的。

师：什么意思？大家听明白了吗？

生 4 ：第一种竖式里“ 3” 下面的应该是“ 2” 。

师生共同讨论第二种方法的意义……

问题讨论 4： 如何尊重学生的已有基础

问题：

（ 1）关于年月日，学生已经知道了什么？（课前评估）

如何了解学生的已有基础？

（ 2）阅读下面的教学案例，你有什么感想：

师：同学们，你知道一年有几月，一月有几天吗？（生汇报略） 师：真好！继北京申办奥运成功后，上海申办世博会又取得成功，全中国人都在期盼着 2008 年和 2010年的到来，你能把 2008年或 2010年的年历卡提前设计出来吗？想想看，应注意些什么？（老师提供出 2008 年和 2010年的元月 1 日是星期几的数据。）

这位教师的思考：

学生头脑中已有很多关于年、月、日的知识，与其让他们再对着年历去观察、去发现，还不如让他们先把已有的知识运用起来，在创造性的设计活动中去感悟、去体验很多新的知识点。

教师要求学生们写下三个关于周长的问题：

第一个问题要求他们说明周长的定义；

第二个问题要求他们描述周长的测量过程；

第三个问题要求他们介绍周长概念在实际生活中的应用。

问题讨论 5： 学生对周长的理解

三年级学生的结果：共 28 人

第一个问题：大部分同学都表示出对周长基本理解（ 24 ）。

学生答案的形式

（ 1 ）语言描述：如一个图形的一圈的长度；一个平面图形从一个小角绕一周，再回到那个小角，就是周长。

（ 2 ）用图形表示。

（ 3 ）举例说明。

不准确的地方：

（ 1 ）等同于直线形图形的周长，如一个平面图形的边长加起来就是它的周长；

（ 2 ）将边框、平面图形等同于周长；

（ 3 ）周长的意义等同于长方形、正方形周长公式。

（ 4 ）不知道。

第二个问题：

学生大都能正确回答出长方形、正方形周长的测量和计算方法（ 27）

学生的错误：

（ 1）单位与面积单位混淆。

（ 2）不知道。

第三个问题：很少的学生能正确举出例子。

学生的错误：

（ 1）不是周长的应用：如去买窗帘测长度。

（ 2）周长与面积的混淆：如比较彩纸的大小。

（ 3）不明确：如买床、买画时需要用周长。

（ 4）不是真正的应用：如量了一个漂亮盒子的周长。

（ 5）举例时将实物与周长等同：如桌子等都是我们生活中的周长。

现象 1 ：大多数学生能运用自己的语言描述周长的含义，但却不能正确举例。

原因：周长确实用得不多？教学中侧重计算，忽视应用？受“面积”的影响？理解的不稳定性？能解决问题才是真正的理解？

教学上的建议：呈现多种图形（包括曲边图形）的周长的例子；总结应用的例子。

现象 2 ：学生对正方形、长方形面积计算方法印象很深刻，理解也并不困难。

思考：真的需要一节课吗？

教学上的建议：

挑战性、综合性的数学活动（如测量与探索相结合；探索正多边形周长的计算方法）

问题讨论 6有必要做概率实验吗？

问题：

（ 1 ）概率实验的价值是什么？

（ 2 ）如何让学生愿意做概率实验。

（一）概率实验的价值：

1. 实验是获取概率的更一般的方法。

“计算”的方法只能处理古典概型（所有基本结果是有限且等可能的），大量事件发生的概率是不能依靠计算得出的（如图钉钉尖着地的概率）。

2. 对于不那么显然的计算结果，尤其是与学生经验不符的结果，学生不能信服。

案例：掷两个均匀的硬币，两面都是正、两面都是反、一反一正的概率各为 1/3 ？

3. 澄清学生对随机现象的错误认识。

对话 1:两学生用“石头 , 剪刀 ,布”的方式决定输赢 .

师 :为什么你一定会赢他 ?

生 :因为我有信心 .

(对概率可能的误解 :不承认偶然性 . 例如 :我喜欢红色 ,所以我能摸出红球 .)

对话 2: 盒里有 4个红球 ,分别编号为1,2,3,4;还有 1个白球 ,编号为 5.在前面的实验中 ,已经摸到 2次 3号球 ,1 次 1号球 ,1 次 5号球 .教师摸出一球 ,让学生猜他手里是几号球 .

生 1:是 2号球 ,因为刚才没摸到 .

生 2:是 3号球 ,因为刚才摸到 2次 3号球 .

(对概率可能的误解 : 赌徒心理 .)

生 3:肯定不可能摸到白球 ,因为摸到白球的可能性很小 .

(对概率可能的误解 :机会小就是不发生 ,机会大就一定会发生 .)

对话 3:学生连续两次有放回地从盒中摸球 ,盒中有黄球也有白球 .

生 :我想这次摸到黄球 ,下次一定摸到白球 .

(对概率可能的误解 : 偶然性是存在一些“所谓的必然规律的” .)

经历“提出猜测——收集和组织数据——分析实验结果——建立理论的概率模型”的过程，建立正确的概率直觉。

逐步消除错误的经验，建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标。要实现这一目标，必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导学生首先猜测结果发生的概率；然后亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较；最后可以建立理论的概率模型，并与实验结果联系起来。学生在此过程中不断将自己的最初猜测、实验结果和通过模型预测的结果进行比较，这将促进他们修正自己的错误经验，建立正确的概率直觉。

4. 增强对随机现象特点的体会。

随机现象：重复实验；每次结果事先不确定性；能知道所有可能发生的结果（条件不足的开放问题不是随机现象）

随机现象的特点：不确定性、稳定性。

概率的作用：为决策提供依据。

（二）如何让学生“愿意”做实验

运用摸球的方法猜测袋中哪种颜色的球多。

谢谢大家！谢谢大家！