plantel20matema.files.wordpress.com€¦ · Web view Triola, Mario F. Probabilidad y estadística. Novena edición

COLEGIO DE BACHILLERES

CUADERNO DE TRABAJO

Matemáticas VI cálculo y azar

CUADERNO DE TRABAJOMatemáticas VI cálculo y azar

Elaboradores:Efraín Nava ÁlvarezJulio Alberto Ontiveros RodríguezLorena Mendoza GutiérrezClaudia Angélica Jiménez Ramírez

Coordinadores:David Simón Contreras Rivas José de Jesús Sánchez Vargas

Revisión del Material: Guadalupe Coello, Jefa del Departamento de Diseño Curricular.

Colegio de Bachilleres, México, 2012. Subdirección de Planeación Curricular.Coordinación de la Academia de Matemáticas

El presente material no persigue fin alguno de lucro, toda la información compilada tiene sólo fines educativos.

Este material está sujeto a modificaciones por parte del docente que lo use y puede ser copiado y reproducido por cualquier forma y medio, en su totalidad o en partes, según convenga tanto a profesores como a alumnos.

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Contenido

Introducción.............................................................................................................................................5

Bloque temático I: áreas y algo más…....................................................................................................6

¿Cuánto sabes?...................................................................................................................................6Ejercicio: sopa de letras.......................................................................................................................9Ejercicios:...........................................................................................................................................11Problemática: Todo por servir se acaba.............................................................................................12

Área entre dos curvas............................................................................................................................15

Sólidos de revolución.............................................................................................................................23

Problemática: La forma sí cuenta.......................................................................................................23Ejercicios............................................................................................................................................27Autoevaluación Bloque I.....................................................................................................................29Guía de observación..........................................................................................................................31Lista de cotejo....................................................................................................................................32

Anexo 1 Instalación del Geogebra..................................................................................................34Anexo 2 Uso básico........................................................................................................................38Anexo 3 Tabla de derivadas e integrales........................................................................................40

Bloque temático II: La indefinida............................................................................................................49

Integración por cambio de variable........................................................................................................51

Integración por partes............................................................................................................................60

Integración por descomposición de fracciones simples (parciales)......................................................69

Autoevaluación bloque II: la indefinida...............................................................................................72Guía de observación..........................................................................................................................73Fuentes de información......................................................................................................................74¿Cuánto sabes?.................................................................................................................................75

Eventos excluyentes..............................................................................................................................77

Eventos NO excluyentes.......................................................................................................................79

Probabilidad de eventos independientes...............................................................................................83

Distribución Binomial.............................................................................................................................85

Ejercicios.........................................................................................................................................85Anexo 4 Uso de la Binomial con Excel...........................................................................................89

Bloque temático IV: Estimación y contraste..........................................................................................91

¿Cuánto sabes?..............................................................................................................................91Distribuciones muestrales: t-student y normal.......................................................................................92

Distribución Normal............................................................................................................................92Ejercicios.........................................................................................................................................95

Problemática ¿Barriga llena, corazón contento?..............................................................................98Intervalo de confianza estimar la proporción poblacional..................................................................99

Ejercicios:......................................................................................................................................101Intervalo de confianza estimar la media poblacional........................................................................102

Ejercicios:......................................................................................................................................104Prueba de hipótesis para la proporción............................................................................................105

Ejercicios:......................................................................................................................................107Ejercicios de prueba de hipótesis para la media..........................................................................110

3

Inferencias para muestras chicas.....................................................................................................111Ejercicio.........................................................................................................................................111

Intervalos de confianza para la media (muestras chicas)................................................................112Distribución Ji-cuadrada...................................................................................................................114

Ejercicios:......................................................................................................................................118Anexo 5 Tabla de Distribución Normal Estándar..........................................................................121Anexo 6. Tabla de la distribución t de student..............................................................................122Anexo 7 Tabla de Distribución Ji cuadrada..................................................................................123

Fuentes de información....................................................................................................................124

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Introducción

En el marco del Proceso de implementación de la RIEMS el Colegio se ha propuesto la elaboración de materiales didácticos pertinentes y adecuados que te apoyen a lo largo del proceso de enseñanza-aprendizaje.

En este sentido, se presenta el siguiente cuaderno de trabajo para los alumnos que cursan el sexto semestre de matemáticas, de manera que puedas complementar y reforzar los conocimientos que desarrollas en el salón de clase. Este material no pretende sustituir las actividades de enseñanza y de aprendizaje que realizas en clase, la finalidad básica es complementar y ampliar tus opciones respecto de los materiales didácticos que la institución te ofrece.

Este cuaderno de trabajo aborda los principales temas de aprendizaje señalados en cada uno de los bloques y núcleos temáticos del programa oficial de estudios, con la idea de apoyar y mejorar tu razonamiento matemático por medio del análisis y solución de problemáticas, problemas y ejercicios relacionados, en la medida de lo posible, con tu contexto familiar, para lograr lo anterior a lo largo de este material vas aplicar los métodos, procedimientos, modelos y conceptos del cálculo integral y la estadística inferencial. Por último, al final de cada bloque se te presentan los elementos de la autoevaluación y algunas sugerencias sobre los aspectos más complejos de los temas abordados.

Una de las principales actividades que vas a desarrollar en cada bloque es la elaboración, ajuste y aplicación de estrategias de solución (actividades secuenciadas, en etapas o por momentos) para encontrar las respuestas a las diferentes problemáticas situadas, problemas contextualizados y ejercicios que se te presentan en este material. Es muy importante que sigas las indicaciones de tu profesor y te asesores con él todas las veces que sea necesario sobre cómo elaborar y poner a prueba una estrategia para solucionar un problema matemático.

En el bloque I, como parte importante de la elaboración de estrategias, vas a utilizar el lenguaje matemático para construir modelos matemáticos y para aplicarlo en diversos procedimientos y métodos gráficos y algebraicos, todo ello encaminado a encontrar la solución o soluciones de situaciones relacionadas con el cálculo de áreas bajo la curva, áreas entre dos curvas, así como el cálculo de volúmenes

En el bloque II continuarás con elaboración de estrategias, en la búsqueda de solución a problemáticas donde se aplica la integral indefinida, además conocerás algunos de los métodos y técnicas de integración como son: cambio de variable, en integrales algebraicas y trascendentes, por partes y fracciones parciales.

En el bloque III las estrategias que vas a elaborar y los temas que vas a revisar te van a proporcionar los elementos básicos para que puedas tomar decisiones más racionales y analíticas, pues a profundizar tus habilidades lógico-matemáticas desarrollando la habilidad para construir y utilizar modelos gráficos y algebraicos de la probabilidad.

Finalmente, se te proporciona una bibliografía básica para consultar en fuentes originales los temas desarrollados en este cuaderno de trabajo, incluyendo páginas de internet donde podrás estudiar los temas de cada bloque.

Te deseamos mucho éxito

Los Autores

Bloque temático I: áreas y algo más…

Propósito: Al finalizar este bloque deberás de ser capaz de elaborar y aplicar diferentes estrategias para solucionar las problemáticas situadas, utilizaras el lenguaje matemático en la construcción de modelos y en la aplicación de procedimientos y métodos gráficos y algebraicos para resolver situaciones relacionadas con la integral definida, cálculo de áreas entre dos cuervas y sólidos de revolución. Utilizaras de manera optima las tecnologías de la información y la comunicación y trabajaras en forma colaborativa.

Para abordar este bloque temático deberás conocer, manejar y aplicar los siguientes temas:

Trabajo colaborativo y uso de TIC

Derivadas

Factorización y Leyes de los exponentes (potenciación)

Gráfica de funciones

Áreas y volúmenes

Conceptos y temas que debes aprender en este bloque:

Área bajo la curva e Integral definida.

Área entre dos curvas y sólidos de revolución.

Qué debes saber, saber hacer y saber ser para que te evalúen:

Elaborar y elegir estrategias de solución a las problemáticas situadas.

Argumentar la solución de las problemáticas haciendo uso del lenguaje matemático.

Aplicar métodos y técnicas de integración en el cálculo de áreas y volúmenes.

Trabajar de manera colaborativa.

Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación.

¿Cuánto sabes?

Con la finalidad de conocer tus habilidades y conocimientos previos, resuelve los siguientes ejercicios y compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros.

I. Simplifica las siguientes expresiones aritméticas.

a)

b)

c)

6

d)

e)

II. Aplica las leyes de los exponentes y escribe una expresión equivalente en cada uno de los siguientes ejercicios.

a)

b)

c)

d)

e)

III. Aplica las reglas y técnicas de derivación y encuentra la derivada de las siguientes funciones.

a)

b)

c)

d)

e)

IV.En una hoja de papel milimétrico elabora la gráfica de cada una de las siguientes funciones. Utiliza el graficador “Geogebra”1 para que compares tus gráficas.

a)b)c)d)e)

1 Ver instalación del graficador “Geogebra” en el anexo 17

f)

g)

h)i)j)

V. Investiga los siguientes conceptos y escribe con tus propias palabras en el espacio correspondiente su definición y coméntalas con tus compañeros. Cualquier duda consúltala con tu profesor.

Concepto Interpretación

Integral definida

Antiderivada

Constante de integración

Teorema fundamental del cálculo

Límites de integración

Integral Indefinida

Propiedades de la integral

Ejercicio: sopa de letras

Instrucciones: completa los siguientes enunciados y busca en la sopa de letras las palabras que anotaste. Si tienes alguna duda consulta las fuentes de información que se proporcionan al final del bloque.

El cálculo del área bajo la curva también se conoce como (integración).

8

El símbolo de la integración representa una (sumatoria).

Es una aplicación del cálculo integral (volumen de sólidos).

A la sumatoria de las áreas de rectángulos debajo de la curva se le conoce como sumatoria de (Riemann).

Integral de una función contenida entre dos valores (definida).

Integración que se resuelve con solo aplicar la expresión del formulario (inmediata).

Método de integración basado en la derivada de un producto de funciones, es la integración por (partes).

El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los (límites) de integración.

El conjunto formado por todas las antiderivadas de la función es la integral (indefinida).

La integral del (producto) de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

En la expresión la “c” representa a la (constante) de integración.

Z A M P R O D U C T O A L F O S IA D R O L C A R T S A R C R O A PR I U R E L O T A N N A H D B R IE L E P U V T N R C A N I M O T NS O R A V E I U S R N L V E H W TE S O R Y A X S R T O Y A I P K ET C A T R L E O S S A M S A R A GI L E E I D B I E U N N A M E I RM I L S E O F D O E J E T V S R AI N T U N E N R E U S P K E T O CL E P C T E U O A F I O N A U T IV I U P M N E W T O I N F U D A OS T Q U I E R E T E U N D I I M NH O L M A T A I D E M N I H A U RR Y U A G I N D E F I N I D A S UV A L S R E R A A C I R E M A E S

Analiza la solución del siguiente ejemplo. Te recomendamos consultar anexo 3 tabla de derivadas e integrales que se encuentra al final de este bloque.

Ejemplo: Calcula la integral definida dada por la función en el intervalo cerrado .

Paso 1: Dada la función se debe buscar una antiderivada de ésta, esto es:

9

Si ésta función se deriva, se obtiene la función original.

Paso 2: Se sustituye la función original con el signo de integral y se escriben los límites de integración.

Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral definida.

Paso 4: Se evalúan las integrales, sustituyendo el límite superior (2) menos el límite inferior (1); estos valores se sustituyen por la “x” en la ecuación anterior, de la siguiente manera:

=

Por lo tanto el valor de la integral es:

10

Siguiendo los pasos anteriores resuelve el siguiente ejercicio.

Calcula la integral definida, dada la función en el intervalo cerrado .

Paso 1: Busca una antiderivada de la función.

Paso 2: Representa la función original como una integral, sustituyendo los límites de integración.

Paso 3: Aplica las propiedades de la integral.

Paso 4: Evalúa la integral, sustituyendo primero el límite superior y restando el límite inferior.

Paso 5: Simplifica y obtén el resultado.

Ejercicios:Consulta la tabla de integrales y aplica las propiedades de la integral definida para que encuentres el valor de las siguientes integrales.

1.

2.

3.

4.

11

Problemática: Todo por servir se acaba

La Segunda Ley de la Termodinámica es también conocida como ley de la disminución de energía y puede manifestarse en diferentes formas, una de ellas es que todo sistema tiende a ir del orden al desorden cuando funciona de manera natural. Esta regla es una observación de lo que es obvio: las cosas envejecen y pierden su estructura, Las poblaciones se extinguen, las personas mueren, los objetos se desgastan y descomponen.

¿Qué tipo de funciones pueden describir el comportamiento de estos procesos de deterioro y extinción? Si se conoce o estima la vida media de una persona o bien la duración promedio de un objeto, ¿cómo se puede calcular el porcentaje de personas que vivirán un período específico de tiempo, o bien, la proporción de objetos que durarán cierta cantidad de tiempo?; por ejemplo, si un cierto tipo de lámparas duran en promedio 600 horas, ¿qué porcentaje de ellas durarán menos de 700 horas? Si contamos con un lote de 1200 focos, ¿cuántos de ellos durarán aproximadamente entre 550 y 620 horas?

Existen otros elementos que también se “extinguen”, tales como una línea de espera; si el tiempo promedio para ser atendido en un cajero automático es de 50 segundos, ¿qué porcentaje de personas tendrán que esperar entre 1 y 2 minutos para hacer uso de este servicio?

Solución:

Las funciones decrecientes pueden describir los procesos de extinción y deterioro, entre ellas encontramos:

a) Lineales de pendiente negativa, por ejemplo:

b) Cuadráticas de coeficiente negativo, por ejemplo:

12

c) Exponenciales negativas, por ejemplo:

La función exponencial es de forma:

En la cual (lambda) =1/valor medio de la función.

Si un tipo de lámparas duran en promedio 600 horas , el porcentaje de ellas que duran

menos de 700 horas se obtiene al evaluar la integral

Por tanto, el 68.86% de las lámparas duran menos de 700 horas

Porcentaje de lámparas que duran entre 550 y 620 horas

13

Número esperado de focos = 1200(0.044)=52.83

Duración de la línea de espera

Porcentaje de personas que esperan entre que duran entre 1 y 2 minutos (60 y 120 segundos)

Ejercicios: Anota lo que se te indica en cada uno de los espacios en blanco, incluyendo las operaciones necesarias para llegar al resultado.

Un tipo de batería para auto dura en promedio 3 años

El valor de es: __________

La función que modela el desgaste de las baterías es: __________

Para conocer el porcentaje de ella que durarán menos de 3 años y medio, se debe integrar la función de _____ a _________

El desarrollo y solución de la integral es:

Por lo tanto, el porcentaje de baterías que duran menos de 3 años es: ______________

Para conocer el porcentaje de ella que durarán más de 3 años y 3 meses, se debe integrar la función de _____ a _________


Por lo tanto el porcentaje de baterías que duran más de 3 años y 3 meses es: ______________

14

Para conocer el porcentaje de ella que duran entre de 2 años y 4 años, se debe integrar la función de _____ a _________


Por lo tanto, el porcentaje de baterías que duran entre de 2 años y 4 años es: ______________

Área entre dos curvas

En diferentes fenómenos es de interés conocer el área que delimitan dos curvas, para ello se utiliza la integral en donde el integrando se define como la resta , en la cual delimita el contorno superior y delimita el contorno inferior entre las curvas y los limites los definen las abscisas de los puntos de intersección.

El área entre dos curvas en el plano, como se muestra en la siguiente figura

Se obtiene mediante la integral definida , donde

y son las abscisas de los puntos de intersección Ay B

Ejemplo: Superávit del consumidor y del productor

15

Dadas funciones de demanda y de oferta de un cierto producto, el área entre y Po, representa el ahorro de los consumidores, se le llama “superávit del consumidor” y se calcula de la siguiente manera:

En la cual es el punto de intersección entre las curvas de demanda y oferta

Ahora el ahorro del productor, denominado “superávit del productor”, se calcula mediante la integral:

En la cual es el punto de intersección entre las curvas de demanda y oferta

Ejercicios:

En cada uno de los siguientes casos se proporcionan las funciones de demanda y oferta de cierto producto; obtén para cada de ellas lo que se te solicita. Al graficar cada función utiliza una -escala adecuada que te permita ajustar los valores al cuadriculado disponible.

1.

Dibuja la gráfica de cada función.

16

Calcula el punto de intersección entre las curvas

Se igualan las ecuaciones y resuelve la ecuación resultante.

El valor de la abscisa del punto de intersección es:

Xo = ___________

Sustituye este valor en o en , para determinar Po

Po= ___________

Calcula el superávit del consumidor mediante la solución de la integral:

Calcula el superávit del productor la solución de la integral:

17

Verifica la solución de las integrales con apoyo de Geogebra. (ver anexo 2)

2.

Dibuja la gráfica de cada función.


Se igualan las ecuaciones y resuelve la ecuación resultante.

Resuelve esta ecuación


Xo = ___________


18

Po= ___________




3.

Dibuja las gráficas de las funciones.


Iguala las ecuaciones

Resuelve la ecuación resultante.

19


Xo = ___________


Po= ___________




4.

Dibuja las gráficas de las funciones (utiliza una escala adecuada que te permita ajustar los valores al cuadriculado disponible).

20


Iguala las ecuaciones

Resuelve la ecuación resultante


Xo = ___________


Po= ___________



21


22

Sólidos de revolución

Problemática: La forma sí cuenta

El olfato se ha considerado siempre el más bajo de los sentidos, del que se puede prescindir más tranquilamente porque altera nuestra percepción en menor medida que la vista o el tacto.Esto es debido a que, de todos los sentidos, el olfato se caracteriza por ser el más rápido en poner a funcionar nuestro cerebro, transportándonos a un mundo de emociones y de sentimientos distintos y más profundos, que el que nos sugiere la visión de una imagen o

la percepción de un objeto. Por tanto, el perfume existe desde que existe el sentido del olfato.

Los estudios realizados indican que las personas que se perfuman tienen un mejor concepto de sí mismas que las que no lo hacen. Asimismo, estos mismos estudios revelan que las personas que pretenden destacar socialmente consumen varios perfumes diferentes, y, en cambio, las personas que quieren pasar desapercibidas, utilizan siempre el mismo.

La aparición del primer envase coincidió con la aparición del primer perfume, al ser una sustancia volátil se debía evitar de algún modo su natural y rápida evaporación. Pero mucho antes de la aparición del cristal, hacia el s. l. A. C., los egipcios ya fabricaban recipientes de diorita y de alabastro que, además de aislar el producto, conservaban frío su contenido para que no perdiera ni una de sus propiedades odoríferas.

Hoy en día el diseño de un envase es primordial para la comercialización de un perfume. Las técnicas de marketing demuestran que éste se vende más si el diseño es atractivo y revolucionario, pero principalmente ha de ser único, como el perfume que contiene.

Eres un líder de proyecto encargado de diseñar los envases de una determinada línea de perfumería, para elegir los posibles envases debes argumentar sobre los diseños propuestos, así que junto con tu equipo analizaras las propuestas emitidas hasta el momento. ¡Suerte!

Las siguientes cuestiones te ayudaran a tener más argumentos sobre tu mejor elección.

¿Qué son los sólidos de revolución?

Anota las expresiones que nos permiten calcular el volumen de un sólido de revolución, si el eje de revolución esta en el eje de las abscisas

Y si se encuentra en el eje de las ordenadas es:

23

http://images.search.yahoo.com/images/view;_ylt=A0PDoS.Q.cFOgXcAIzWJzbkF;_ylu=X3oDMTBlMTQ4cGxyBHNlYwNzcgRzbGsDaW1n?back=http://images.search.yahoo.com/search/images?p=caricaturasde+perfumes&n=30&ei=utf-8&fr=altavista&b=1&tab=organic&w=400&h=191&imgurl=3.bp.blogspot.com/_ykM5FAfUJeo/SCJRP3WH4QI/AAAAAAAAAVU/UfGixrhWU-g/s400/untitled.bmp&rurl=http://zona-retro.blogspot.com/2008/05/pepe-le-pew.html&size=29.1+KB&name=Pep%C3%A9+le+Pew+es+un+personaje+de+la+serie+animada+Looney+Tunes+de+la+...&p=caricaturasde+perfumes&oid=c933aa82741084c753fadc33fa86e291&fr2=&fr=altavista&rw=caricaturas+de+perfumes&tt=Pep%C3%A9+le+Pew+es+un+personaje+de+la+serie+animada+Looney+Tunes+de+la+...&b=0&ni=28&no=25&tab=organic&ts=&sigr=11nnjiff8&sigb=13gssglb5&sigi=12k24llns&.crumb=EK3LsGsXOyb%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

La primer propuesta que tiene tu equipo es que

Área bajo la curva

Primera propuesta de solución:

El área está girando sobre el eje x, entonces el volumen en revolución esta dado por la expresión:

Si aplicas las propiedades de la integral, la constante puede escribirse antes del símbolo de la integral y al elevar al cuadrado la función obtenemos:

Eureka, ésta integral se resuelve de forma inmediata, es decir:

Segunda propuesta de solución:

Esta es la función y el volumen en revolución.

Realiza un bosquejo de la gráfica del área bajo la curva y verifica la solución en geogebra

24

Al calcular el volumen del sólido en revolución recuerda que los limites son [0, 11] y el resultado es Si tienes alguna duda sobre cómo resolver la integral consulta las fuentes de información

propuestas al final de la actividad, estudia los binomios al cuadrado y consulta a tu mediador.

Tercer propuesta de solución

Esta es la función que analizaremos.

Realiza las gráficas del área y del volumen del sólido en revolución. Calcula el volumen generado.

El volumen generado es de La cuarta y última propuesta de solución

Esta es la función que analizaremos.

25

y el eje de revolución es el eje vertical. Realiza un bosquejo de la curva y compárala con apoyo del graficador Geogebra.

El área bajo la curva gira alrededor del eje “y”, de acuerdo a la expresión que encontraste para este caso, debemos despejar a “x”

Sustituimos en la expresión

Realiza los cálculos correspondientes a la integral anterior.

¿Qué otras formas geométricas se te ocurren para tu envase?

¿Identificas alguna función que describa estas formas?, ¿cuáles?

Discute en forma colaborativa, ¿cuál de las función propuestas genera mayor volumen en el intervalo sugerido?

Ejercicios

Encuentra el volumen del siguiente sólido si el eje de revolución está sobre el eje “y”, en el intervalo [1, 12]. Gráfica el sólido generado.

26

1.

2.- Determina el volumen que se obtiene al girar sobre el eje x, en un intervalo [0, 6] para una elipse que en su forma general está definida por . Realiza un bosquejo y compara con Geogebra.

27

Autoevaluación Bloque I

Instrucciones: Esta evaluación tiene la finalidad de valorar tus conocimientos adquiridos en el bloque, verifica tus resultados y consulta la rúbrica de evaluación.

28

Coloca dentro del paréntesis un uno si la expresión es verdadera y un cero si es falsa.

( ) El cálculo integral es el proceso para obtener el área bajo la curva.

( ) Si integramos una función cuadrática, obtenemos una función constante.

( )

( ) Cuando se establecen los limites de integración se trata de una integral definida.

( )

Argumenta tu respuesta en las siguientes preguntas

a) ¿Qué representa geométricamente ?

b) ¿En el teorema fundamental del cálculo, qué se establece sobre la integral definida?

Calcula el área bajo la curva en los límites establecidos de las siguientes funciones

a)

b)

En hojas milimétricas grafica las siguientes funciones, determina los puntos de intersección (límites de la integral) y calcula el área entre las curvas.

a) y

b)

29

El juicio final

Instrucciones: Lee cuidadosamente cada una de las siguientes oraciones y responde lo que se te pide.1.-Grafica la función que genera este sólido en revolución girando sobre el eje x

2.-¿Cuál es la función que genera a este sólido de revolución?

3.- A este sólido de revolución se le conoce como Trompeta de Gabriel o de Torricelli. Determina la cantidad de oro necesario para llenarla, si x toma los valores de 1 a 10 u.

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Guía de observación

Nombre del alumno(a): ______________________________________________ Grupo: ________

Instrucciones: Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes enunciados y marca con una X la celda que describa tu mejor desempeño en este bloque, anota tus observaciones y comentarios.

Guía de observaciónMatemáticas VI

Bloque I: Áreas y algo más…Indicador2

DESEMPEÑO SI NO Observaciones y comentarios

Termine las actividades en tiempo y formaEntregué los productosRealice las actividades con orden y limpiezaRealice los ajustes en el resultado(s)Reforcé conceptosACTITUDAsistí puntual a las sesionesParticipe con buena disposiciónReconocí la importancia del trabajo colaborativoRespete las opinionesAporte ideasMostré interés en los problemas propuestosEscuche respetuosamente al resto del grupoExpuse mis propias ideasManifieste motivación en forma adecuadaRespete el orden de intervención.Respondí adecuadamente a las preguntas, objeciones o críticas que me formularon.COGNITIVOInterprete el concepto del área bajo la curvaReconocí la diferencia entre integral definida e indefinidaAplique los métodos de integración vistos Argumenté cuando aplicar cada uno de los métodos de integraciónManeje adecuadamente las aplicaciones de la integralElabore estrategias de solución de problemasUtilicé las TIC en forma adecuada y eficiente

2Capacidades actitudinales (Muñoz y Noriega, 1996, pp.24-25).31

Lista de cotejo

Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes enunciados y marca con una X la celda que describa mejor tu desempeño en este bloque

Atributo si noArgumenta la solución al problema con métodos matemáticos

Aplica adecuadamente los métodos de integración

Conoce la diferencia entre área y volumen

Comunica correctamente sus ideas empleando lenguaje matemático.Interpreta graficas y símbolos matemáticos

Desarrolla innovaciones para solucionar un problema

Obtiene el resultado correcto

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Fuentes de información

González Cabrera, Víctor “Cálculo fundamental”, Editorial Progreso. México, 2003

Salazar/Bahena/ Vega, “Cálculo integral”, Grupo Editorial Patria, México, 2007

http://www.mitecnologico.com/Main/SegundaLeyTermodinamica

http://www.expocenter.com/perfume/envases.htm Historia dl perfume

http://envases.elenaibarreche.com/index.php/Tipos_de_EnvasesImágenes de envases

http://www.vitro.com/envases/espanol/Famindex.htm Envases de vidrio

http://s3.amazonaws.com/lcp/analisis-matematico/myfiles/SOLIDOSDEREVOLUCION.pdf

http://www.julioprofe.net/p/calculo.html Método de sustitución o cambio de variable, Integral trigonométrica, Integral definida

http://integralcalculus.galeon.com Cálculo integral, Teorema fundamental del cálculo

http://dieumsnh.qfb.umich.mx Ejercicios y teoría

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/PROBLEMARIO_DIF Ejercicios resueltos de cálculo diferencial

http://148.216.10.84/INTEGRAL/defclasica.htm Conceptos

http://www.matematicasypoesia.com.es/ProbIntegral/problema108.htm Integrales resueltas

33

http://www.matematicasypoesia.com.es/ProbIntegral/problema108.htm

http://148.216.10.84/INTEGRAL/defclasica.htm

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/PROBLEMARIO_DIF

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/

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http://www.expocenter.com/perfume/envases.htm

http://www.mitecnologico.com/Main/SegundaLeyTermodinamica

Anexo 1 Instalación del Geogebra

Los pasos que debes seguir para instalar Geogebra en tu computadora son lo siguientes:

1. Teclear Geogebra desde algún buscador.

2. Identificar la versión en español, para descarga

34

3. Dar clic en el icono de Descarga

4. Elegir la opción Webstart, con lo cual se procedera a la instalación y creación de icono de acceso directo.

35

5. Una vez instalado Geogebra, aparece el icono de acceso directo en el escritorio

6. Para comenzar a usar Geogebra damos clic sobre el icono de acceso directo, con ello, automáticamente se reinstala o actualiza la versión de Java

36

7. Una vez descargada la aplicación de Java, aparece la ventana para comenzar a utilizar Geogebra.

37

Anexo 2 Uso básico

A continuación se describen los elementos básicos para ingresar funciones en Geogebra, calcular el punto de intersección entre 2 funciones e integrar una función

a. INGRESAR UNA FUNCIÓN: Observa que al dar clic o enter después de teclearla, automáticamente se dibuja la gráfica de la función.

b. INGRESAR UNA SEGUNDA FUNCIÓN: Necesaria para generar un punto de intersección.

38

c. CÁLCULO DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN

Se teclea Interseca, en la opción <Objeto>,<Objeto> que es una de las varias alternativas que nos presenta este comando

Se teclea la letra con la que Geogebra identificó a estas funciones, que en este caso corresponde a f y g. Damos clic y aparece el punto de intersección y sus coordenadas.

d. INTEGRAR LA FUNCIÓN: En el caso de las aplicaciones que se presentan, se inetgra de 0 a la abscisa del punto de intersección

39

Anexo 3 Tabla de derivadas e integrales

Tabla de derivadas

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.

15.

16.

17.

18.

19.20.21.22.23.24.25.

Tabla de integralesFormas elementales

40

1.2.3.4.

5.

Formas racionales que contienen

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Formas que contienen

14.

15.

16.

17.

18.

19.

41

20.

21.

22.

23.


24.

25.

26.


En las fórmulas 27 a 38 se puede sustituir

por

por

por

27.

28.

42

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.


39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

43

48.


49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Formas que contienen funciones trigonométricas

59.60.61.62.63.64.65.66.67.68.

44

69.

70.71.72.73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.82.83.84.85.86.87.88.

Formas que contienen funciones trigonométricas inversas

89.90.91.92.93.

45

94.

Formas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas

95.96.97.98.99.

100.

101. 102.

103.

104.

105.

106.

Formas que contienen funciones hiperbólicas

107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115.

46

116. 117.

118. 119. 120. 121. 122. 123.

124.

47

Bloque temático II: La indefinida

Propósito: Al finalizar este bloque deberás de ser capaz de elaborar y aplicar diferentes estrategias para solucionar las problemáticas situadas, utilizaras el lenguaje matemático en la construcción de modelos y en la aplicación de procedimientos y métodos gráficos y algebraicos para resolver situaciones relacionadas con la integral indefinida, además de los métodos de integración, como son: cambio de variable, en integrales algebraicas y trascendentes, por partes y fracciones parciales. Utilizaras de manera optima las tecnologías de la información y la comunicación y trabajaras en forma colaborativa.

Conceptos y temas que debes manejar:

Integral definida.

Métodos de Integración: cambio de variable (algebraicas y trascendentes), por partes y fracciones parciales.




Aplicar métodos y técnicas de integración en el cálculo de la integral indefinida.




Trabajo colaborativo y uso de TIC

Propiedades de la integral definida

Integral definida.

Factorización y Leyes de los exponentes (potenciación)

Gráfica de funciones

¿Cuánto sabes?

1.- Simplifica las expresiones

a) -7

b)

c)

2.- Factoriza las siguientes expresiones

a) =

48

b) =

c) =

d) =

3.- Resuelve las integrales que se encuentran a continuación

a)

d)

e)

49

Integración por cambio de variable

Para resolver la integral indefinida es necesario encontrar la función g(x) que cumple con el

hecho de que

Para resolver una integral por el método de cambio de variable es recomendable contar con un formulario de integrales básica y seguir los pasos que se indican a continuación:

Identificar la posible fórmula que resuelva la integral. Seleccionar de acuerdo con la fórmula elegida. Calcular la diferencial de x, Verificar que la diferencial este completa en la integral, de no ser así, ajustarla. Resolver la integral para la variable Reescribir la solución obtenida en términos de

Ejemplo: Mediante cambio de variable, resolver la integral

Solución: De las fórmulas básicas de integración identificamos dos de ellas como posibles opciones para resolver la integral.

En este caso veremos que es posible resolverla mediante las dos, aunque la identificación visual hace aparecer la primera como la más apropiada o directa.

Se procede a aplicar los pasos recomendados para cada una de estas dos fórmulas.

Primera fórmula

Identificar la posible fórmula que resuelva la integral

Seleccionar de acuerdo con la fórmula elegida

En este caso,

Calcular la diferencial de x,

Verificar que la diferencial este completa en la integral, de no ser así, ajustarla.El ajuste de la diferencial implica que a la hora de reescribir la integral de x a u, la integral quede exactamente como aparece en las fórmulas básicas de integración, salvo quizá por alguna constante,

50

la cual, por las propiedades de la integral se expresa fuera de la integral y con ello se permite que la solución sea inmediata.

Como puedes observar, el 3 que aparece junto no forma parte de la integral original, por lo tanto hay que ajustar la diferencial, es decir, despejar el 3, queda por tanto

Resolver la integral para la variable

Reescribir la solución obtenida en términos de

Dado que inicialmente realizamos el cambio de variable , entonces

Segunda fórmula

Identificar la posible fórmula que resuelva la integral

Seleccionar de acuerdo con la fórmula elegida

En este caso es necesario acomodar el integrando para seleccionar de manera correcta

Aquí no se han aplicado otro elemento más que las leyes de los exponentes. De acuerdo con esta expresión y dada la fórmula elegida, debe ser todo lo que aparece debajo de la potencia, por tanto

Calcular la diferencial de x,

Verificar que la diferencial este completa en la integral, de no ser así, ajustarla.

Como puedes observar en este caso la diferencial está completa, no requiere ningún ajuste.

Resolver la integral para la variable

51

Reescribir la solución obtenida en términos de

Dado que inicialmente realizamos el cambio de variable , entonces

Como puedes observar se llega a la misma solución con ambas fórmulas, quizá con la primera fue más directo que con la segunda, pero a cambio de ello, con esta última no se requirió ajustar la diferencial.

Quizá la primer dificultad de debes sortear el elegir la fórmula de integración apropiada, que no siempre es inmediato, posteriormente debes elegir correctamente

Ejercicio: Mediante un cambio de variable resuelve las siguientes integrales indefinidas. Es conveniente que utilices los pasos que se indican en cada caso.

1.

Al utilizar la fórmula , ___________ La diferencial es:

¿Está completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajústala

Resuelve la integral en términos de “u”

Reescribe la solución obtenida en términos de x

52

2.

Al utilizar la fórmula , ___________ La diferencial es:




3.

De las fórmulas:

La que se debe utilizar es: ______________, Con ella, ___________ La diferencial es:


53



4.

Al utilizar la fórmula, ___________ La diferencial es:




5.

De las fórmulas

54

La fórmula apropiada es ________________ Por tanto, ___________ La diferencial es:




6.

De las fórmulas

La fórmula apropiada es ________________

Por tanto, ___________

La diferencial es:



55


7.

Escribe la fórmula que debes utilizar: __________________

Por tanto, ___________

La diferencial es:




8.


Por tanto, ___________

La diferencial es:


56



9.


Por tanto, ___________

La diferencial es:




57

10.


Por tanto, ___________

La diferencial es:




58

Integración por partes

El método de integración por partes permite resolver integrales en las que en el integrando aparezca un producto de funciones, aunque en muchos de los casos, uno de los factores sea la diferencial de x. La fórmula de la integración por partes es:

Ejemplo:

Se selecciona y

, de la cual se obtiene su diferencial

, la cual se integra para obtener

Una vez hechos estos cálculos, es conveniente que verifiques que son correctos mediante el apoyo de Geogebra.

Verificación del cálculo de la diferencial:

59

Observa que al ir escribiendo la palabra derivada, automáticamente aparecen varias opciones, en este caso, debemos dar clic en la primera opción.

En <Función> se escribe .

Verificación del cálculo de v:

Observa que al ir escribiendo la palabra integral, automáticamente aparecen varias opciones, en este caso, debemos dar clic en la primera opción.

Después de dar clic el comando está a la espera de que se indique la función a integrar.

En este caso en <Función> se ingresa que debe ser tecleada como x^2

60

Una vez que has verificado que los cálculos de du y v son correctos continúa con la aplicación de la fórmula de la integración por partes:

, se acomoda el primer término y se simplifica el término a integrar

, finalmente se integra esta última función

, que en forma equivalente se puede expresar como

Verificación final en Geogebra:

Se teclea integral y la función

Se teclea enter y aparece la integral y la gráfica de la función.

61

Observación: Debes notar que la integral obtenida es la misma que despliega

Geogebra: , para ello en el primer término se multiplica y divide

por 3: ,después se factoriza y se obtiene la expresión

Ejercicios: Resuelve por el método de integración por partes cada una de las siguientes integrales, incluyendo lo que se te solicita en cada una de ellas.

1.

Selecciona:u: _______ dv: _______________

Calcula:du: __________ v: _______________

Comprueba en Geogebra que estos cálculos son correctos

¿Coinciden tus resultados parciales? Continúa con el procedimiento

Revisa los cálculos que realizaste

Aplica la fórmula:

62

SI

NO

Resuelve la integral

Sustituye, simplifica y proporciona tu resultado final:

Comprueba tu solución con Geogebra

¿Coincide tu resultado final? Terminar

Revisar los procedimientos

2.

Selecciona:u: _______ dv: _______________

Calcula:du: __________ v: _______________


¿Coinciden mis resultados parciales? Continuar con el procedimiento

Revisar cálculos realizados

Aplica la fórmula: 63

NO

SI

SI

NO




¿Coincide mi resultado final? Terminar


3.

Selecciona:u: _______ dv: _______________

Calcula:du: __________ v: _______________





NO

SI

SI

NO






4.

Selecciona:u: _______ dv: _______________

Calcula:du: __________ v: _______________





NO

SI

SI

NO

Resuelve la integral (aquí será necesario que apliques de nueva cuenta el método de integración por partes)





5.

Selecciona:u: _______ dv: _______________

Calcula:du: __________ v: _______________





NO

SI

SI

NO






67

NO

SI

Integración por descomposición de fracciones simples (parciales)

Completa las siguientes afirmaciones seleccionado la o las palabras que se encuentran al final del ejercicio. Compara tus respuestas con tus compañeros de equipo

Todo polinomio con coeficientes reales puede expresarse como el producto de factores reales lineales de la forma y de factores cuadráticos irreducibles de la forma .Un cociente entre dos funciones polinomiales también se conoce como una función racional. Por ejemplo si f(x) y g(x) son polinomios entonces:

Si el grado de f(x) es menor que g(x) entonces F(x) se denomina función racional propia, en caso contrario se denomina función racional impropia.Toda función racional impropia puede expresarse como la suma de un polinomio y una función racional propia. Ejemplo:

se puede expresar de la forma

Esto se obtiene al efectuar la división, si tienes alguna duda consulta a tu asesor.Para integrar funciones racionales debemos tener que f(x) menor a g(x), de lo contrario primero se debe realizar una división.

Polinomio, propia, impropia, función racional,

Veamos los siguientes casos.

a)

Como puedes observar, es la integral de una función racional propia.Al factorizar el denominador tenemos:

Igualamos a cero y encontramos las raíces x1=0 y x2=-2

Escribimos el cociente original en la forma

Multiplicamos a cada lado de la igualdad por los factores encontrados

Sustituimos a x=0 y despejamos A

68

Ahora sustituimos a x= -2 y encontramos el valor de B

Con estos datos podemos reescribir nuestra integral de la siguiente forma

Al integrar tenemos:

b)

Se trata de una función: _________________ por lo que no es necesario realizar la división.

Factoriza el denominador

Las raíces de la ecuación son:

Al sustituir tenemos que los valores de las constantes A y B son respectivamente:

Reescribe la integral y resuelvela

Ejercicios: resuelve las siguientes integrales, si tienes alguna duda consulta a tu asesor.

a)

Es una función : ________________

Factoriza al denominador

Las raíces de esta expresión son:

Los valores de los coeficientes son:

Reescribe la integral

69

b)

c) =

d)

e)

70

Autoevaluación bloque II: la indefinida

Instrucciones: el propósito de esta evaluación es valorar tus conocimientos adquiridos en el bloque.

1.- Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes enunciados, relaciona ambas columnas colocando dentro del paréntesis la letra que le corresponde.

( ) Método empleado cuando se tiene un producto de funciones, incluyendo a su derivada

A. Integración por partes

( ) Método empleado cuando se tiene un cociente de funciones

B. Cambio de variable

( ) Función en donde el denominador es mayor al numerador

C. Función propia

( ) Función en donde el denominador es menor al numerador

D.

( ) Es la constante de integración y puede tomar cualquier valor real

E. Fracciones parciales

( ) Método en donde identificamos a u y a su derivada (du), para resolver la integral inicial.

F. Función impropia

G. C o K

2.- Argumenta tu respuesta en la solución de las siguientes integrales

a)

b)

c)

71

d) ln |(2x -5)(2x-1)| + C

Guía de observación

Instrucciones: Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes enunciados y marca con una X la celda que describa tu mejor desempeño en este bloque, anota tus observaciones y comentarios.

Guía de observaciónMatemáticas VI

Bloque II: La indefinidaIndicador3

DESEMPEÑO SI NO Observaciones y comentarios

Termine las actividades en tiempo y formaEntregué los productosRealice las actividades con orden y limpiezaRealice los ajustes en el resultado(s)Reforcé conceptosACTITUDAsistí puntual a las sesionesParticipe con buena disposiciónReconocí la importancia del trabajo colaborativoRespete las opinionesAporte ideasMostré interés en los problemas propuestosEscuche respetuosamente al resto del grupoExpuse mis propias ideasManifieste motivación en forma adecuadaRespete el orden de intervención.Respondí adecuadamente a las preguntas, objeciones o críticas que me formularon.COGNITIVOInterprete el concepto de integral indefinidaComprendo el significado de “C” en la integral indefinidaReconocí la diferencia entre los diferentes métodos de integraciónAplique los métodos de integración vistos Argumenté cuando aplicar cada uno de los métodos de integraciónElabore estrategias de solución de problemas

3Capacidades actitudinales (Muñoz y Noriega, 1996, pp.24-25).

72

Utilicé las TIC en forma adecuada y eficiente


Gónzalez, Víctor, Cálculo Fundamental, Editorial Progreso, México 2003

Pérez Navejas, Jesús, Problemas resueltos de cálculo integral, Grupo editorial éxodo, México 2002

Salazar,Bahena y Vega, Cálculo integral, Grupo editorial Patria.

http://www.julioprofe.net/p/calculo.html Método de sustitución o cambio de variable, Integral trigonométrica, Integral definida

http://integralcalculus.galeon.com Cálculo integral, Teorema fundamental del cálculo

http://dieumsnh.qfb.umich.mx Ejercicios y teoría

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/PROBLEMARIO_DIF Ejercicios resueltos de cálculo diferencial

http://148.216.10.84/INTEGRAL/defclasica.htm Conceptos

http://www.matematicasypoesia.com.es/ProbIntegral/problema108.htm Integrales resueltas

73

http://www.matematicasypoesia.com.es/ProbIntegral/problema108.htm

http://148.216.10.84/INTEGRAL/defclasica.htm

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/PROBLEMARIO_DIF

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/

http://integralcalculus.galeon.com/

http://www.julioprofe.net/p/calculo.html

BLOQUE III: Caminando en la incertidumbre

Propósito: Al finalizar este bloque deberás de ser capaz de elaborar y aplicar diferentes estrategias para solucionar las problemáticas situadas, utilizaras el lenguaje matemático en la construcción de modelos y en la aplicación de procedimientos y métodos gráficos y algebraicos de probabilidad relacionados con situaciones o fenómenos que no pueden predecirse con exactitud (aleatorios), profundizarás tus habilidades lógico-matemáticas y contarás con el conocimiento básico para poder tomar mejores decisiones en tu vida cotidiana. Utilizarás de manera óptima las tecnologías de la información y la comunicación y trabajaras en forma colaborativa

Núcleo temático: las diferentes caras del azar

Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva.

Probabilidades de eventos excluyentes y no excluyentes.

Probabilidad de eventos independientes.

Probabilidad condicional.

Probabilidad de selección con y sin reemplazo.

Distribución binomial.




Aplicar métodos y técnicas de integración en el cálculo de áreas y volúmenes.



Aprendizajes mínimos necesarios para abordar el bloque

Trabajo colaborativo y uso de TIC.

Operaciones con racionales y Leyes de los exponentes (potenciación).

Cálculo de probabilidades.

Tablas de frecuencias

Diagramas de árbol, histogramas.

¿Cuánto sabes?

Con la finalidad de conocer tus habilidades y conocimientos sobre el cálculo de las probabilidades de eventos, resuelve los siguientes ejercicios en forma colaborativa.

I. Resuelve las siguientes operaciones básicas de la aritmética y compara tus resultados con tus compañeros.

74

a)

b)

c)

d) ¿Se pueden realizar las siguientes operaciones tal como se muestran? Explica porque; y de acuerdo a tu respuesta plantea como se resolverían.

e)

f)

Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva

Investiga con tus compañeros, en internet o en libros de texto de probabilidad los siguientes conceptos:

a) Enfoque clásico de la probabilidad.

b) Interpretación frecuentista de la probabilidad.

c) Enfoque subjetivo de la probabilidad.

Eventos excluyentes

75

Investiga cómo se representan gráficamente las operaciones entre conjuntos mediante los diagramas de Venn.

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).

1. Representa gráficamente dos eventos excluyentes

2. Investiga la fórmula para encontrar la probabilidad de que ocurran dos eventos excluyentes y escríbela en el recuadro siguiente

3. En una encuesta a alumnos del Colegio se encontró que el 40% tiene sangre tipo O+ y el 25% tipo A (es conveniente que utilices diagramas de Venn).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no tenga sangre tipo O+?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar tenga de alguno de estos dos tipos de sangre?

4. Un estudio revela que el 50% de los padres de los alumnos de una escuela son casados mientras que el 30% son divorciados.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no tenga padres divorciados?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado en forma aleatoria no tenga padres casados ni divorciados (separados, fallecidos, etc.)?

76

U

5. En un grupo de personas, algunas están a favor del matrimonio homosexual (F) y otras en contra (C). Se pregunta a tres personas de este grupo y se registra su opinión, a favor o en contra.

a) Escribe el espacio muestral de las posibles respuestas (puedes utilizar un diagrama de árbol o un listado).

b) Escribe el evento A: "a lo más una persona está en contra de este tipo de matrimonios"

c) Escribe el evento B: "exactamente dos personas están a favor este tipo de matrimonios"

6. El profesor de matemáticas selecciono a 5 de sus mejores promedios de la clase de probabilidad, con el fin de darle a uno de ellos un incentivo como motivación y reconocimiento por su buen aprovechamiento, Sin embargo resulta imposible darle el incentivo a los 5, los nombres de cada uno de los alumnos: Alma, Javier, Estrella, Aimé y Juve, motivo por el cual el profesor ha decidido realizar un sorteo para seleccionar al azar a uno de ellos. El profesor ha colocado en una urna cinco papelitos idénticos con las iniciales de cada uno de los alumnos.

a) ¿Qué probabilidad tiene Alma de ser la afortunada?

b) ¿Qué probabilidad tiene Juve de ser el afortunado?

c) ¿Qué probabilidad tendrán Estrella o Aimé o Javier de ser los afortunados?

d) ¿Qué probabilidad tendrán Alma o Juve de ser los afortunados?

77

Eventos NO excluyentes

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

1. Iván y Ariadna tienen hambre, salen a la tienda que esta frente al Colegio de Bachilleres, para

comprarse una torta, la señora de la tienda ya sabe qué tortas son más vendidas, por lo que cierta

tarde solo dispone de las siguientes existencias:

Tortas Jamón Milanesa

Con quesillo 14 8

Sin quesillo 10 18

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la torta que compren sea de milanesa con quesillo?

b) Si compran una torta de milanesa, ¿cuál será la probabilidad de que no tenga quesillo?

c) Si compran una torta que tenga quesillo, ¿cuál será la probabilidad de que sea de jamón?

Para encontrar estas probabilidades, es necesario que completes la tabla, es decir debes obtener los totales por renglón y

columna y aplicar las fórmulas básicas de probabilidad para dar las respuestas correctas.

Tortas Jamón Milanesa Totales

Con quesillo

Sin quesillo

Totales

2. En un plantel del Colegio de Bachilleres 80 alumnos cursan Filosofía en dos grupos; el primero atiende al 60% de y el otro grupo al resto. En el primer grupo aprueba el 50% los alumnos y en el segundo grupo el porcentaje de aprobados es del 25%.

Con estos datos completa la tabla de frecuencias y con ella responde las siguientes preguntas.

78

Grupo Aprobados Reprobados Totales

Uno

Dos

Totales

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar apruebe el curso de filosofía?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar sea del grupo Uno?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no apruebe y sea del grupo Dos?

3. Dado el siguiente espacio muestral y eventos

Ω= Usuarios de telefonía celular en la ciudad de México

A= Usuarios de la compañía Telcel en la ciudad de México

B= Usuarios de la compañía Movistar en la ciudad de México

Relaciona los eventos con su representación correcta en los diagramas de Venn.

a) Usuarios que no prefieren a ninguna de las dos compañías

b) Usuarios solo prefieren a Telcel

c) Usuarios que prefieren a Movistar pero no a Telcel

d) Usuarios que gustan de ambas compañías

e) Usuarios

que prefieren a

Telcel o a

Movistar (o

bien a ambas)

79

4. En una escuela de idiomas, el 60% de los alumnos estudia inglés, el 30% francés, el 15% ambos

idiomas y el resto algún otro idioma.

a) Define los eventos y sus probabilidades.

Eventos Probabilidades

__________________ ___________

__________________ ___________

__________________ ___________

b) Representa las probabilidades en el diagrama de Venn.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno

de dicha escuela, seleccionado al azar estudie francés pero no inglés?

80

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de dicha escuela, seleccionado al azar estudie

inglés o francés?

5. Una encuesta a los profesores del Colegio revela que el 25% se informan de las noticias por

medio de Internet, el 40% a través de los diarios y el 8% utiliza tanto Internet como los diarios

a) Define los eventos y sus probabilidades.

Eventos Probabilidades

__________________ ___________

__________________ ___________

__________________ ___________

b) Representa las probabilidades en el diagrama de Venn.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor del Colegio, seleccionado al azar no utilice

Internet para enterarse de las noticias?

81

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor del Colegio, seleccionado al azar utilice solo uno

de estos dos medios para enterarse de las noticias?

Probabilidad de eventos independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos).

Un caso típico de eventos independientes es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomado el elemento de la muestra, se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Existen tres tipos de probabilidad independiente: Marginal, Conjunta, Condicional

Probabilidad marginal o incondicional es la representación simple de un evento.

Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadística es la probabilidad de dos o más eventos independientes que se presentan juntos y es el producto de sus probabilidades marginales.

Probabilidad Condicional P(A/B) representa el caso en que el segundo evento B ocurre luego que el evento A, ya ha tenido lugar, es decir, nos dice cuál será la probabilidad del evento B una vez que el evento A ya ocurrió.

Tipo de Probabilidad Símbolo Fórmula

Marginal P(A) P(A)

Conjunta P(AB) P(A) P(B)

Condicional P(A/B) P(B)

6. Alan es un alumno del Colegio de Bachilleres y es jugador de Básquetbol, casi siempre le comenten falta por lo que en cada partido tiene dos tiros libres por cada falta que le cometen. Si la probabilidad de que Alan enceste es de 0.8, independientemente del tiro que haga. Calcula la probabilidad de que el tirador:

a) Enceste en ambos tiros

b) Enceste sólo uno de los dos tiros

c) Enceste por lo menos un tiro

82

http://www.monografias.com/trabajos/explodemo/explodemo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml

d) No enceste ninguno de los dos tiros

7. Un Profesor que se encarga de dar asesorías de contenido sabe que en promedio acuden a solicitarle asesorías: en el turno matutino 3 alumnos con problemas de álgebra, 8 con problemas de cálculo integral y 3 con problemas de geometría analítica. En el turno vespertino 2 con problemas de álgebra, 3 con problemas de cálculo integral y 1 con problemas de geometría analítica.

En la tabla se muestran las frecuencias absolutas tomados los datos del enunciado.

Asesorías Álgebra Cálculo Integral Geometría Analítica TOTAL T.M 3 8 3 T.V. 2 3 1

TOTAL

Con base en ella calcula la probabilidad de los siguientes eventos:

a) Que un alumno seleccionado al azar acuda a solicitar asesorías de contenido en el turno vespertino.

b) Que un alumno seleccionado al azar acuda a solicitar asesorías de cálculo integral.

c) Que un alumno seleccionado al azar acuda a solicitar asesorías de contenido de álgebra por la mañana.

Distribución Binomial

Distribución de probabilidad que muestra las probabilidades relacionadas con valores posibles de una variable aleatoria discreta que se genera por un proceso de Bernoulli.

Proceso Bernoulli: secuencia de n ensayos idénticos de un experimento aleatorio tal que cada ensayo, (a) produce uno de dos resultados posibles complementarios que convencionalmente reciben el nombre de éxito y fracaso, y (b) es independiente de cualquier otro ensayo, de modo que la probabilidad de éxito o fracaso es constante de ensayo en ensayo.

83

Sólo tiene dos resultados, que llamaremos E (de éxito) y F (de fracaso) La probabilidad de que el resultado del suceso sea E es p y la de F es q, y además se cumple

que , o lo que es lo mismo, .

Si el suceso se repite n veces y queremos estudiar el número de veces que se tiene como resultado E, la probabilidad de que, repitiendo el experimento n veces aparezca x veces E será:

Se dice que este tipo de sucesos sigue una distribución Binomial.

Ejercicios

1. Un alumno resuelve un examen de 10 preguntas de falso o verdadero y contesta al azar. Las probabilidades asociadas al número de aciertos se muestran en la siguiente tabla:

Aciertos Probabilidad

0 0.0010

1 0.0098

2 0.0439

3 0.1172

4 0.2051

5 0.2461

6 0.2051

7 0.1172

8 0.0439

9 0.0098

10 0.0010

Comprueba estos resultados con ayuda de Excel. Ver anexo 4

¿Cuál es la probabilidad de acreditar el examen? ________________

¿Cuántos aciertos tendrá en promedio? __________________

2. Calcula ahora, con ayuda de Excel, la probabilidad de cada respuesta correcta si el examen consta de 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro opciones de respuestas y solo una es correcta. El alumno responde al azar.

84

0

1

3

4

5

6

7

8

9

10



3. Finalmente, de nuevo utiliza Excel para obtener la probabilidad asociada a cada respuesta correcta si el examen consta de 10 preguntas abiertas y ahora el alumno estudia, por lo que la probabilidad de que conteste correctamente cada pregunta es de 0.9

0

1

3

4

85

5

6

7

8

9

10



4. Calcula con ayuda de Excel las probabilidades asociadas al número de resultados acertados en una quiniela sencilla de futbol

La quiniela consta de 14 juegos, por lo que el número de ensayo es _______

Cada juego tiene 3 posibles resultados, local, empate o visita y sólo uno de ellos ocurre, por lo tanto

p = _______

0

1

86

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

87

Anexo 4 Uso de la Binomial con Excel

Da clic en Insertar función en la barra de herramientas

Después busca y da clic en Estadísticas que es el tipo de función al que pertenece la distribución Binomial

88

A continuación, busca y da clic en DISTR.BINOM.N que es la que proporciona las probabilidades del los experimentos aleatorios del tipo binomial

Por último aparece la ventana donde debes indicar los valores para el cálculo de probabilidades del tipo binomial, puedes teclearlos directamente o indicar la celda, dentro de la hoja de cálculo, donde se encuentra el dato. En el espacio de Acumulado, se coloca falso para la probabilidad de un solo valor de x y verdadero para la probabilidad acumulada

89

Bloque temático IV: Estimación y contraste

PROPÓSITO: Al finalizar este bloque deberás de ser capaz de elaborar y aplicar diferentes estrategias para solucionar las problemáticas situadas, utilizaras el lenguaje matemático en la construcción de modelos y en la aplicación de procedimientos y métodos gráficos y algebraicos, para comprender y aplicar las diferentes técnicas de muestreo estadístico y los procedimientos esenciales de la inferencia estadística. Lo que te permitirá profundizar tu razonamiento lógico-matemático de manera importante. Así mismo deberás utilizar de manera optima las tecnologías de la información y la comunicación y trabajar eficientemente en forma colaborativa.


Cálculo de la media.

Conceptos básicos de estadística.

Conceptos y temas que debes aprender en este bloque:

Distribuciones muestrales: t-student y normal.

Intervalos de confianza para la media y la proporción.

Prueba de hipótesis para la media y la proporción.

Distribución Ji-cuadrada. Pruebas de hipótesis para tablas de contingencia.




Aplicar métodos y técnicas de estadística inferencial.



Con la finalidad de conocer tus habilidades y conocimientos sobre Estadística Descriptiva y Probabilidad, resuelve los siguientes ejercicios en forma colaborativa.

¿Cuánto sabes?

1. Calcula la media con los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 9

2. Si a todos los datos anteriores los multiplicamos por 4, cuál será la nueva media.

3. A un conjunto de 8 números cuya media es 8.57 se le añaden los números 4.49 y 9.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

90

4. Investiga los siguientes conceptos y escribe en el espacio correspondiente su definición anotando al menos un ejemplo de cada concepto. Posteriormente, en equipos, compara tus definiciones y ejemplos con las de tus compañeros.

Concepto Definición

Variable discreta

Variable continua

Muestra

Varianza

Desviación estándar

Media

Distribuciones muestrales: t-student y normal

Distribución Normal

La distribución normal constituye el modelo probabilístico más importante, ya que constituye la base de la estadística inferencial; muchas técnicas estadística para la estimación y el pronóstico descansan en ella y aún en técnicas específicas, donde se estudian otros modelos probabilísticos, tales como la distribución “t” de Student, la distribución Ji-cuadrada o la distribución “F” de Fischer, descansan en la distribución normal y las relaciones matemáticas que mantienen con la distribución normal son importantes.

Al observar el comportamiento de muchas variables aleatorias, por ejemplo respecto al ingreso de las personas, encontramos lo siguiente:

Sea x = ingreso de las personas, entonces, resulta y es natural que:

Pocas personas tienen ingresos elevados. Un bajo porcentaje de personas perciben un ingreso muy bajo.

91

La mayoría de las personas tienen un ingreso que se concentra alrededor del ingreso promedio.

A la hora de construir el histograma asociado, invariablemente se llega a llega a las siguientes gráficas.

92

Ejemplo 1:

Si suponemos un ingreso una medio de 10 mil pesos con una desviación estándar de 3 mil, ¿cuál es

la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga en ingreso entre los 7 mil y los 15 mil

pesos?. Esta probabilidad se expresa en forma simbólica de la siguiente manera:

Se ubican los valores bajo la curva y se sombrean el área que se pide

Se estandariza el valor de cada variable

Se dibuja la curva con los valores estandarizados.

Se busca en la tabla de distribución normal (anexo

5) cada uno de estos valores

Como las áreas se encuentran al centro de la curva, se suman, por lo que el área es:

Interpretación: Existe un 79.38% de probabilidad de que el ingreso de la persona seleccionada al

azar, se encuentre entre $7 000 y $15 000.

93

Ejemplo 2:

El peso de las manzanas muestra una distribución normal con media de 180 gramos y desviación estándar de 11 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que al estudiante que sigue en la fila le toque una manzana con peso mayor a 195 gramos?

Como z > 1.244 para calcular el área bajo la curva es 1, cuando (z > 1,24) = 1 – p (z ≤ 1,24) =

1 – 0.9131 = 0.0869

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 Ver anexo 5Es decir, hay una probabilidad del 8.69% de que al siguiente alumno le toque una manzana que pese más de 195 gramos.

Ejercicios1. Con ayuda de la tabla de la distribución normal (Anexo 5 ) determina las probabilidades

asociadas al área sombreada de siguientes representaciones gráficas

4 http://www.vadenumeros.es/sociales/manejo-tabla-normal.htm 94

http://www.vadenumeros.es/sociales/manejo-tabla-normal.htm

2. Los egresados del Colegio suelen presentar examen de admisión en una universidad. El puntaje promedio del examen, en años pasados ha sido de 75 aciertos con una desviación estándar de 15 puntos.

95

a) Describe el significado de que la variable aleatoria x= puntaje obtenido en el examen, sea de tipo normal.

b) Calcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar, que presente el examen de admisión, obtenga más de 90 puntos (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar la variable, buscar el valor en la tabla y dar el área apropiada)

c) Calcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar, que presente el examen de admisión, obtenga menos de 100 puntos (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar la variable, buscar el valor en la tabla y dar el área apropiada)

3. Ciertos paquetes de azúcar contienen en promedio 1000 gr. con una desviación estándar de 15 gr. Si la cantidad de azúcar en las bolsas es una variable aleatoria de tipo normal:

a) Describe el significado de que la variable aleatoria x= cantidad de azúcar en la bolsa, sea de tipo normal.

b) Calcula la probabilidad de que una bolsa seleccionada al azar, tenga más de 1020 gr. de azúcar (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar la variable, buscar el valor en la tabla y dar el área apropiada)

96

c) En un lote de 80 bolsas aproximadamente ¿cuántas de ellas se espera que tengan menos de 1010 gramos de azúcar?, (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar la variable, buscar el valor en la tabla y dar el área apropiada y al final multiplicar esta área por 80)

4. Identifica un fenómeno aleatorio de la vida real:

a) Descríbelo a través de una variable aleatoria de tipo normal

b) Identifica una media y una desviación estándar, plausibles al fenómeno

c) Evalúa dos probabilidades con la media y la desviación estándar asignadas.

Problemática ¿Barriga llena, corazón contento?

El Instituto Mexicano del Seguro Social y la Confederación Nacional de Pediatría de México venían advirtiendo desde hace diez años del crecimiento de esta epidemia. El IMSS lanzó una campaña en los medios para la que la gente cuidara su dieta, hiciera ejercicio y acudiera al médico.

La comida rápida desplaza a la tradicional

Toda la dieta tradicional en México, que era muy nutritiva (el maíz y el frijol daban una proteína excelente), se está perdiendo con la urbanización y la comercialización Lo que gana mayor presencia son todos los productos procesados industrialmente. Hubo un desplazamiento y en catorce años cayó un 30% el consumo de frutas y verduras, en veinte años cayó un 50% el consumo de frijol que era el pilar de la alimentación junto con el maíz y en catorce años aumentó 40% el consumo de refrescos. Entre la población más pobre, el consumo de refresco en catorce años creció 60%. Esto tenía que impactar en algo y lo hizo en la salud.

Se aplicó una encuesta a una muestra de 200 alumnos del Colegio de Bachilleres, la cual reveló que 150 de ellos acostumbran acompañar sus alimentos con refrescos como bebida principal, ¿cuál es el intervalo que estima la proporción de alumnos de la escuela que acompañan con refrescos sus alimentos?

97

Los profesores de actividades deportivas creen que los alumnos no se alimentan adecuadamente y en particular afirman que el porcentaje de alumnos que incluyen frutas y verduras en su alimentación es del 40%. ¿Es creíble esta afirmación si en una muestra de 80 alumnos 22 afirman comer regularmente frutas y verduras?

Se aplicó una encuesta a una muestra de 100 alumnos del Colegio de Bachilleres reveló que en promedio pasan 30 horas a la semana frente a la televisión, un videojuego o la computadora. El mínimo de horas es 14 y el máximo de 42, ¿Cuál será el promedio de horas de la población de alumnos de la escuela que dedican a la semana sentados frente a uno de estos medios electrónicos?

Para bajar la panza y no caer en la diabetes

Ya arrancó la campaña de los cinco pasos y estos son: “Muévete” para hacer ejercicio (correr, caminar, andar en bicicleta, nadar o bailar media hora diaria), Mídete tanto en el peso como en el consumo de alimentos y bebidas. Bebe agua y que se te vuelva un hábito. El cuarto paso es incorporar o aumentar el consumo de frutas y verduras a la dieta, y el quinto socializar el problema y la estrategia.

Se llevó a cabo una encuesta con una muestra de 200 miembros de la comunidad escolar (alumnos, profesores y autoridades) para determinar la acción principal que debía llevarse a cabo para enfrentar el problema de la obesidad. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Acciones contra la obesidad

Incrementar actividades deportivas

en la curricula

Construir comedores con venta de

alimentos nutritivos

Campañas de difusión sobre la obesidad

Restringir la venta de comida basura en la

periferia de la escuela30 45 70 55

¿Indican estos datos que las campañas de difusión sobre la obesidad es la acción prioritaria que llevaría a cabo la población escolar?

Solución:

Se aplicó una encuesta a una muestra de 200 alumnos del Colegio de Bachilleres, la cual reveló que 150 de ellos acostumbran acompañar sus alimentos con refrescos como bebida principal, ¿cuál es el intervalo que estima la proporción de alumnos de la escuela que acompañan con refrescos sus alimentos?

Intervalo de confianza estimar la proporción poblacional

El intervalo es de la forma:

Los elementos incluidos son los siguientes:

Es la proporción de elementos de la muestra con la característica de interés.

98

Es la proporción de elementos de la muestra que no tienen la característica de interés.

Valor de la tabla asociado al nivel de confianza, por ejemplo, si se desea una estimación a un 95% de confianza, se ubica al centro de la curva un área de 95%.

Para calcular el valor de z que delimita esta área, se divide este nivel entre 2 y se busca en la tabla de distribución normal estándar (ANEXO 5) el área exacta o más cercana a 0.475.

En la tabla normal se busca el área exacta o más cercana a 0.475

99

La proporción muestral es

Por lo que el intervalo es:

Se estima con una probabilidad de 95% y un error de 5.54% que la proporción poblacional de alumnos que acompañan sus alimentos con refresco está entre un 74.45% y un 85.54%.

Ejercicios:

Anota en el espacio en blanco la respuesta apropiada para realizar la inferencia estadística pertinente.

1. Una encuesta a 120 alumnos del turno matutino de un plantel del Colegio revela que solo 30 acostumbran desayunar en sus hogares antes de ir a clases.

La proporción muestral de alumnos que desayunan en casa es ____________. Si se desea un nivel de confianza de 94%, los valores del área que debes buscar en la tabla

normal y el correspondiente valor de z son:

Por tanto, el intervalo de confianza que estima la proporción de alumnos del plantel que desayunan en casa es _________________.

2. Una encuesta a 150 alumnos del turno matutino de un plantel del Colegio revela que solo 20 practican deporte con regularidad.

100

La proporción muestral de alumnos que practican deporte con regularidad es ____________. Si se desea un nivel de confianza de 95%, los valores del área que debes buscar en la tabla


Por tanto, el intervalo de confianza que estima la proporción de alumnos del plantel que practican deporte regularmente es _________________.

Intervalo de confianza estimar la media poblacionalEjemplo

Se aplicó una encuesta a una muestra de 100 alumnos del Colegio de Bachilleres reveló que en promedio pasan 30 horas a la semana frente a la televisión, un videojuego o la computadora. El mínimo de horas es 14 y el máximo de 42, ¿cuál será el promedio de horas de la población de alumnos de la escuela que dedican a la semana sentados frente a uno de estos medios electrónicos?


cual la cual

= media muestral= desviación estándar poblacional = tamaño de muestra = valor de la tabla asociado al nivel de confianza o área central

Los elementos incluidos son los siguientes:

Si la desviación estándar poblacional se desconoce se puede usar la desviación estándar de una

muestra, o bien, se estima de la siguiente forma:

101

En este caso, para el nivel de confianza si se desea una estimación a un 90% de confianza, se ubica al centro de la curva un área de 90%.

Para calcular el valor de z que delimita esta área, se divide este nivel entre 2 y se busca en la tabla el área exacta o más cercana a 0.45

En la tabla normal se busca el área exacta o más cercana a 0.45

102

En este caso, existen 2 valores cuya diferencia es la misma, por lo cual el valor de z es el punto medio entre ellos, es decir:

Por lo tanto, el intervalo de confianza es:

Se estima con una probabilidad de 90% y un error de 1.15 horas que la población de alumnos de la escuela pasan en promedio entre 28.85 y 31.15 horas a la semana, en los medios de entretenimiento electrónicos.

103

Ejercicios:


1. Una encuesta a 300 alumnos del turno matutino de un plantel del Colegio indica en promedio gastan a la semana $ 120 en antojitos y botanas. El gasto mínimo que revela la encuesta es de $25 y el máximo es de $300.

La media muestral del gasto en antojitos es _____________. Si se desea un nivel de confianza de 96%, los valores del área que debes buscar en la tabla


El valor que estima a la desviación estándar poblacional es _____________.

Por tanto, el intervalo de confianza que estima el gasto promedio poblacional semanal, que realizan los alumnos, en botanas es _________________.

2. Un cuestionario aplicado a 100 padres de familia de alumnos nuevo ingreso contiene la pregunta ¿cuántas horas a la semana pasa su hijo frente a algún medio de entretenimiento (tv, internet o videojuego)? Las respuestas obtenidas son las siguientes:

15 10 23 20 30 30 15 12 10 2035 45 40 50 30 20 10 10 20 2540 30 25 30 25 30 25 30 40 2015 12 15 20 25 25 30 35 30 2013 15 25 20 20 30 20 15 8 105 10 25 30 25 30 25 30 20 1015 20 25 20 35 30 25 30 30 2010 15 15 25 20 22 30 33 35 4025 45 10 15 20 30 20 10 30 1520 35 40 25 25 30 15 30 20 10

Copia estos datos en Excel y calcula la media y la desviación estándar, los resultados obtenidos son:

104

Media _________________.

Desviación estándar: ______________.

Si se desea un nivel de confianza de 99%, los valores del área que debes buscar en la tabla normal y el correspondiente valor de z son:

Por tanto, el intervalo de confianza que estima el tiempo promedio poblacional semanal, que pasan alumnos frente a un medio de entretenimiento electrónico es ___________________.

Prueba de hipótesis para la proporciónEjemplo

Los profesores de actividades deportivas creen que los alumnos no se alimentan adecuadamente y en particular afirman que el porcentaje de alumnos que incluyen frutas y verduras en su alimentación es del 40%. ¿Es creíble esta afirmación si en una muestra de 80 alumnos 22 afirman comer regularmente frutas y verduras?

Hipótesis nula:La afirmación de los profesores constituye la hipótesis nula, representada por Ho

Ho: La proporción de alumnos que incluyen frutas y verduras en su alimentación es del 40%

Numéricamente:

Por lo tanto

Estadística de prueba

El numerador compara la proporción muestral con la proporción poblacional y el denominador es el error estándar que permite la estandarización de este indicador y en consecuencia su comparación con un valor de la tabla.

105

Valor crítico

Con un nivel de significancia de 2.5% (probabilidad de rechazar Ho cuando es verdadera) se busca en tablas el valor crítico de z. Como la estadística de prueba es negativa, la región de rechazo se ubica del lado izquierdo de la distribución.

Se busca el valor en la tabla normal y resulta el valor critico z=-1.96

Decisión: Se compara la estadística de prueba con el valor crítico

La estadística de prueba se ubica en la región de rechazo, por lo tanto la evidencia muestral contradice la hipótesis nula, es decir, no es creíble que el 40% de los alumnos incluyan frutas y verduras en su alimentación, de hecho, el porcentaje de alumno que lo hacen es significativamente menor.

106

Ejercicios:


1. La profesora encargada del área de Orientación de un plantel del Colegio afirma que al menos el 60% de las alumnas han llevado a cabo alguna dieta. Se aplica una encuesta a 120 alumnas y 63 ellas llevan o han llevado alguna vez una dieta.

La hipótesis nula es: ________________. La proporción muestral es: ____________. La estadística de prueba es:______________. Si se desea un nivel de significancia de 1%, el área a buscar en la tabla y el correspondiente

valor crítico es:

Como la estadística de prueba es igual a ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la afirmación de la profesora. por lo que _______ ( es, no es) creíble que al menos el 20% de los egresados sean admitidos en una universidad pública, durante el primer año de su egreso.

2. El director de un plantel del Colegio afirma que al menos el 20% de los egresados logran ingresar a una universidad pública durante el primer año después del egreso. Se da un seguimiento a 50 egresados y al primer año 7 de ellos logran ingresar a una universidad pública.

La hipótesis nula es: ________________.

La proporción muestral es: ____________.

La estadística de prueba es:______________.

Si se desea un nivel de significancia de 10%, el área a buscar en la tabla y el correspondiente valor crítico es:

107

Como la estadística de prueba es igual a ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la afirmación de la directora, por lo que _______ (es, no es) creíble que al menos el 20% de los egresados sean admitidos en una universidad pública, durante el primer año de su egreso.

3. Se lanza un nuevo medicamento contra la gripe y la publicidad señala que solo el 5% de quienes lo tomen no verán un alivio inmediato. Se prueba el medicamento en 300 personas con gripe y en 24 no se ve un alivio inmediato.


La proporción muestral es: ____________.

La estadística de prueba es:______________


Como la estadística de prueba es ____________ y es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) el mensaje de la publicidad, por lo que _______ (es, no es) creíble que solo el 5% de los pacientes no vean un alivio inmediato a sus malestares de gripe.

108

Ejercicios de prueba de hipótesis para la media

1. El director de un plantel del Colegio afirma que en sus alumnos no presentan problemas de sobrepeso. Por la estatura y edad de los alumnos se considera que el peso promedio ideal es de 63 Kg. Se toma el peso a una muestra de 35 alumnos y en ellos se observa un peso promedio de 70 Kg, el peso mínimo es de 55 Kg y el máximo de 88 Kg.


La media muestral es: ____________.

El valor estimado de la desviación estándar es:______________.



Como la estadística de prueba es ____________ y es su valor numérico es __________

(menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la afirmación del director, por lo que _______ (es, no es) creíble que los alumnos no tengan problemas de sobrepeso.

2. Los alumnos del Colegio tienen asignados 240 minutos a la quincena de actividad deportiva. El coordinador de deportes indica que el tiempo efectivo de actividad física es de 180 minutos, suficientes para evitar problemas de sobrepeso en los alumnos. Se observa el tiempo efectivo de actividad deportiva de una muestra aleatoria de 80 alumnos y los resultados en minutos son los siguientes:

96 90 123 187 102 213 167 149185 175 143 147 148 109 157 82206 130 178 111 168 149 127 141154 202 172 144 139 197 165 163171 116 128 166 153 130 95 150


Inserta estos datos en Excel y calcula la media y la desviación estándar de estos datos:

La media muestral es: ____________.

La desviación estándar es: ____________.

109


Si se desea un nivel de significancia de 4%, el área a buscar en la tabla y el correspondiente valor crítico son:

Como la estadística de prueba es ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la afirmación del coordinador de actividades deportivas, por lo que _______ (es, no es) creíble que el tiempo promedio de actividad deportiva quincenal, sea de 180 minutos.

Inferencias para muestras chicas

Investiga las principales características de la distribución t así como las condiciones y supuestos en las cuales se utiliza y escríbelas a continuación

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Ejercicio

1. Consulta la tabla del anexo 6 y con ella determina los valores críticos asociados a las siguientes curvas de la distribución t de Student

110

Intervalos de confianza para la media (muestras chicas)


En la cual:

= media muestral = valor crítico de la distribución t de Student= desviación estándar de la muestra (esta medida descriptiva al igual que la media, las estudiaste en

tu curso de Matemáticas II, por lo que deberás recuperar esa información) = tamaño de muestra

Ejercicios

1. Pregunta a 10 de tus compañeros acerca del tiempo acerca del tiempo que emplean, aproximadamente en trasladarse de su casa a la escuela. Anota los resultados en la siguiente tabla:

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo

(minutos)

Calcula:

a) La media de los datos: ________

b) La desviación estándar: = __________

c) Obtén el valor crítico de la tabla considerando un nivel de confianza de 90%: t = _______

d) Determina ahora el intervalo de confianza que estima en tiempo de traslado de la población de los alumnos de la escuela

_________________________________________

2. Pregunta a 20 de tus compañeros acerca promedio que llevan al 5° semestre. Anota los resultados en la siguiente tabla:

111

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Promedio

Alumno 11 12 13 14 15 16 17 19 19 20

Promedio

Calcula:

Te recomendamos hacer uso de Excel

a) La media de los datos: ________

b) La desviación estándar: = __________

c) Obtén el valor crítico de la tabla considerando un nivel de confianza de 95%: t = _______d) Determina ahora el intervalo de confianza que estima promedio poblacional de alumnos de la

escuela

_________________________________________

112

Distribución Ji-cuadrada

Hipótesis nula:Ho: “No hay preferencia por alguna de las estrategias contra la obesidad”

Estadística de prueba:

Para calcular la frecuencia esperada, se divide el total de datos entre el número de celdas

Acciones contra la obesidad

Incrementar actividades

deportivas en la curricula

Construir comedores con

venta de alimentos nutritivos

Campañas de difusión sobre la

obesidad

Restringir la venta de comida basura en la periferia de

la escuela

Fo 30 45 70 55

Fe 50 50 50 50

Valor crítico:

Con un nivel de significancia de 2.5% y con 3 grados de libertad(gl= 4-1=3), en la tabla de la distribución JI CUADRADA (ANEXO 5) se encuentra lo siguiente:

113

Decisión: se compara el valor crítico con la estadística de prueba

Ejemplo: Pruebas de hipótesis para tablas de contingencia.

La Sociedad Española de Diseñadores de Moda resolvió impedir desfilar a las modelos con un Índice

de Masa Corporal (IMC) menor a 18. Esta noticia tuvo repercusiones en los medios periodísticos

locales, que publicaron opiniones de agencias de modelos, productores de moda y también de

algunas modelos argentinas. 5 Se asevera que las estaturas de mujeres supermodelos varían menos

que las estaturas del resto de las mujeres. La desviación estándar de las estaturas de las mujeres es

de 6.35 cm. Eligiendo al azar a algunas celebres supermodelos entre ellas las mexicanas Columba

Díaz, Elsa Benítez, Edsa Ramírez y Valeria Calles:

Díaz

Columba

Benítez

Elsa

Ramírez

Edsa

Goff Evangelista Auermann Shiffer Mc

Phearson

Turlington

180 180 178 175 177 179 180 183 178

Hall Crawford Campbell Herzigov

a

Seymour Banks Calles

Valeria

Mazza Hume

178 175 177 175 178 178 165 178 180

Utilizaremos un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración:

H0: σ = 6.35

Ha:σ ˂ 6.35

5 http://www.espacionutricional.com.ar/index.php?option=com_content&task=view&id=55&Itemid=100 114

http://www.espacionutricional.com.ar/index.php?option=com_content&task=view&id=55&Itemid=100

|

Calculando la desviación estándar de la muestra de 18 supermodelos6

Nivel de significancia α = 0.05

Utilizando la distribución Chi cuadrada, grados de libertad n-1 = 18-1= 17

6 http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar-calculadora.html 115

http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar-calculadora.html

= 5.49

Los valores críticos de la tabla A17 renglón 17 (n-1) son:

En 17 grados de libertad con 0.95 se selecciona 8.672

La siguiente es la gráfica chi cuadrado.

Como el estadístico de prueba se encuentra en la región crítica, se rechaza la hipótesis nula. Ya

que existe suficiente evidencia al nivel de significación del 5% para sustentar la aseveración de

que las estaturas de las supermodelos varían menos que las estaturas de la mayoría de las

mujeres.

7 http://www.mat.uda.cl/hsalinas/cursos/2010/eyp2/Tabla%20Chi-Cuadrado.pdf 116

http://www.mat.uda.cl/hsalinas/cursos/2010/eyp2/Tabla%20Chi-Cuadrado.pdf

Ejercicios:

1. ¿En qué ocupas tu tiempo libre? Se planteó esta pregunta a 150 alumnos y las respuestas que dieron se resumen en la siguiente tabla:

Ocupación del tiempo libre

Navegar en Internet

Ver t.v. Descansar Ayudar a las actividades de

la casa

Estar con los amigos

fo 55 20 20 30 50


Las frecuencias esperadas son:

fe

La estadística de prueba es:______________. Los grados de libertad son iguales a __________. Con un nivel de significancia el valor critico es:

Como la estadística de prueba es ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la hipótesis de las actividades en el tiempo libre sean igualmente preferidas por los alumnos.

2. Tiempo de elegir. Realiza una encuesta a 100 de tus compañeros para elegir alguna de las siguientes actividades que les gustaría se implementara en la escuela, a fin de llevar es petición a las autoridades. Si no hay preferencia, se esperaría que 20 alumnos eligieran cada opción

3.

Actividad sugerida

Formar una rondalla

Tener un equipo de futbol

americano

Que se construya una alberca a fin

de practicar natación

Tener un club de lectura

Contar un periódico estudiantil

117

fe 20 20 20 20 20


Con los datos obtenidos en la encuesta, anota las frecuencias observadas:

fo


Los grados de libertad son iguales a __________.

Con un nivel de significancia de 2.5% el valor critico es:

Como la estadística de prueba es ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la hipótesis de las actividades en el tiempo libre sean igualmente preferidas por los alumnos.

4. ¿En qué ocupas tu tiempo libre? Se planteó esta pregunta a 150 alumnos y las respuestas que dieron se resumen en la siguiente tabla

Ocupación del tiempo libre

Navegar en Internet

Ver t.v. Descansar Ayudar a las actividades de

la casa

Estar con los amigos

fo 55 20 20 30 50


Las frecuencias esperadas son:

fe

118


Los grados de libertad son iguales a __________.

Con un nivel de significancia 5 % el valor critico es:

Como la estadística de prueba es ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la hipótesis de las actividades deseadas por los alumnos son igualmente preferidas por los alumnos.

119

Anexo 5 Tabla de Distribución Normal Estándar

Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.22570.7 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.25800.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.43191.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45451.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.46331.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.47061.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.47672.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.48172.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.48572.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.48902.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.49162.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.49742.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.49812.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.49863.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

120

Anexo 6. Tabla de la distribución t de student

Anexo 7 Tabla de Distribución Ji cuadrada

121

1

r 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 60 0.679 0.848 1.046 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576

122


Graficadora gratuita curva normal.http://davidmlane.com/hyperstat/z_table.html

Autoevaluación:Prueba de hipótesis:http://www.google.com.mx/search?q=ejercicios+prueba+de+hipotesis+para+la+media&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:es-MX:official&client=firefox-a

Intervalos de confianza:http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/estimacion_por_intervalos/int_media.htm

Triola, Mario F. Probabilidad y estadística. Novena edición. Pearson Educación, México, 2004.

123

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/estimacion_por_intervalos/int_media.htm

http://www.google.com.mx/search?q=ejercicios+prueba+de+hipotesis+para+la+media&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:es-MX:official&client=firefox-a

http://www.google.com.mx/search?q=ejercicios+prueba+de+hipotesis+para+la+media&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:es-MX:official&client=firefox-a

http://davidmlane.com/hyperstat/z_table.html

Directorio

María Guadalupe Murguía Gutiérrez Directora GeneralLuis Miguel Samperio Sánchez Secretario GeneralArturo Payán Riande Secretario de Servicios InstitucionalesAraceli Ugalde Hernández Secretaria Administrativa

Carlos David Zarrabal Robert Coordinador Sectorial de la Zona NorteRafael Torres Jiménez Coordinador Sectorial de la Zona CentroElideé Echeverría Valencia Coordinadora Sectorial de la Zona Sur

Miguel Ángel Báez López Director de Planeación AcadémicaMartín López Barrera Director de Evaluación, Asuntos del Profesorado y Orientación Educativa

Rafael Velázquez Campos Subdirector de Planeación CurricularMaría Guadalupe Coello Macías Jefa del Departamento de Análisis y Desarrollo CurricularRaymundo Tadeo García Jefe del Departamento de Coordinación de Academias

Colegio de BachilleresRancho Vistahermosa 105.Ex Hacienda Coapa, Coyoacán.04920. México, D.F.www.cbachilleres.edu.mx

124

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