Upload
doananh
View
213
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Matematikai geodéziai számítások 9.Szabad álláspont kiegyenlítése
Dr. Bácsatyai, László
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Matematikai geodéziai számítások 9.: Szabad álláspont kiegyenlítéseDr. Bácsatyai, LászlóLektor: Dr. Benedek , Judit
Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 „Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért” projekt keretében készült. A projektet az Európai Unió és a Magyar Állam 44 706 488 Ft összegben támogatta.
v 1.0
Publication date 2010Szerzői jog © 2010 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar
Kivonat
Ez a modul a mérőállomásokban opcionálisan jelenlévő szabad álláspont meghatározás közvetett mérések szerinti kiegyenlítését és a megbízhatósági mérőszámok meghatározását mutatja be.
Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI. törvény védi. Egészének vagy részeinek másolása, felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tartalom9. Szabad álláspont kiegyenlítése ......................................................................................................... 1
1. 9.1 A feladat megfogalmazása ................................................................................................ 12. 9.2 Szabad álláspont meghatározása ...................................................................................... 23. 9.3 Számpélda ......................................................................................................................... 7
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
9. fejezet - Szabad álláspont kiegyenlítése1. 9.1 A feladat megfogalmazása
1. ábra
Az ábrán látható hálózatban adottak az A és B pontok vetületi koordinátái. Mértük az irányokat
és a távolságokat, valamint ismerjük a mérési eredmények előzetes középhibáit, a és a
értékeket.
Meghatározandók:
• a P pont koordinátái és a z tájékozási szög közelítő értékei,
• a javítási egyenletrendszer,
• a mérési eredmények súlymátrixa,
• a normálegyenlet rendszer együtthatómátrixa és a tisztatag vektor,
• a P pont koordinátái és a tájékozási szög kiegészítő értékei,
• a P pont kiegyenlített koordinátái m-ben és a tájékozási szög kiegyenlített értéke,
• a mérési javítások és kiegyenlített mérési eredmények,
• a súlyegység középhibája és az ismeretlenek kiegyenlítés utáni középhibái.
A normál-egyenletrendszer megoldásához szükséges inverz mátrixot az adjungált mátrix segítségével kell meghatározni.
Dimenziók:
• szögmásodpercben: részben a javítási egyenletek tisztatagjai, a tájékozási szög kiegészítő értéke,
• mm-ben: részben a javítási egyenletek tisztatagjai, mérési javítások, a P pont koordinátáinak kiegészítő értékei, a kiegyenlített ismeretlenek középhibái,
• m-ben: a P pont koordinátáinak közelítő értékei és kiegyenlített koordinátái.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szabad álláspont kiegyenlítése
Az itt fel nem sorolt mértékegységek megtalálhatók a mintapéldában.
Leadandók különálló borítólapba foglalva:
• A feladatkiírás és a kiinduló adatok (feladatlapba foglalva),
• Számítások listája a rész- és végeredményekkel együtt,
A feladatot, a felhasznált képletekkel és tájékoztató szöveges információkkal együtt – különálló borítólapba foglalva - kézzel írott, vagy Microsoft Word formátumban kell leadni.
2. 9.2 Szabad álláspont meghatározásaTudjuk, hogy a szabad álláspont meghatározásakor a meghatározandó ponton a mérőállomással belső irányokat és távolságokat mérünk az ismert pontokon felállított prizmákra. Ha csak belső irányokat mérnénk, legalább 3 belső irány esetén hátrametszésről, 2 belső irány és 2 távolság esetén pedig a beillesztett sokszögvonal egy speciális esetéről beszélnénk, nevezetesen arról, amikor a 2 adott pont közötti egyetlen sokszögpontról mérünk irányt és távolságot a sokszögvonal kezdő- és végpontjára (ábra). Természetesen, a szabad álláspontnak még egyéb variációi is elképzelhetők. A szabad álláspont koordinátáit a mérőállomás mikroszámítógépe számítja, a felhasználó már csak a kész eredményeket olvassa le, ill. rögzíti.
2. ábra: Beillesztett sokszögvonal 2 sokszögoldallal
3 belső irány esetén nincs fölös mérésünk, 2 belső irány és 2 távolság esetén a mérési eredmények száma n = 4, a meghatározandó ismeretlenek száma pedig m = 3, a pont két koordinátája és a tájékozási szög. A fölös mérések száma n – m = 1, tehát fennáll a kiegyenlítés feltétele. Válasszuk mintapéldaként ezt az egyszerű esetet!
Fejezzük ki a mérési eredményeket a meghatározandó ismeretlenek függvényében!
Közvetítő egyenletek az iránymérésekre:
;
.
Közvetítő egyenletek a távolságmérésekre:
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szabad álláspont kiegyenlítése
;
.
A fenti egyenletekben ismeretlenek az álláspont koordinátái és a z tájékozási szög.
Legyenek még adottak a mérési eredmények és előzetes középhibái, azaz eltekintünk attól, hogy az elektronikus távmérés pontossága függ a mért távolságtól.
A koordináták közelítő értékeit∗ a fenti ábra alapján, a beillesztett sokszögvonal számításának megfelelően kapjuk. A sokszögvonal AB záróoldalának irányszöge:
.
induló irányszöggel számítjuk a sokszögvonalat, ill. a sokszögoldal összegek tengely-irányú komponenseit az y’, x’ segédkoordináta-rendszerben, majd meghatározzuk az α szöget:
.
A irányszög:
3. ábra: A
irányszög számítása
A irányszög: .
A irányszög:
A koordináták közelítő értékei:
.
∗∗ A sorba fejtés korlátai miatt itt feltétlenül szükséges jó közelítő értékek bevezetése!
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szabad álláspont kiegyenlítése
A z tájékozási szög közelítő értéke: .
Képezzük az alábbi parciális deriváltakat:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
A javítási egyenletek:
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szabad álláspont kiegyenlítése
;
;
;
.
A javítási egyenletek tiszta tagjai:
;
;
;
.
A megoldás:
;
,
ahol
az ismeretlenek kiegészítő értékeit;
a keresett ismeretleneket;
pedig az ismeretlenek közelítő értékeit;
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szabad álláspont kiegyenlítése
a javítási egyenletek tisztatagjait tartalmazza.
Továbbá
a javítási egyenletrendszer együttható mátrixa;
a súlymátrix;
a normálmátrix; a tisztatagok vektora. A P mátrixról feltételezzük, hogy az egyes mérési eredmények egymástól függetlenek.
Megbízhatósági mérőszámok:
Kofaktor-, vagy súlykoefficiens mátrix:
.
Kovariancia-mátrix:
.
A keresett ismeretlenek utólagos középhibái:
.
j = 1, 2, 3, a mátrix j - ik főátló-beli eleme, a μ0 pedig a súlyegység utólagos középhibája. A
mátrix nem diagonális, hiszen a matematikai megoldás az ismeretlenek között korrelációkhoz vezet.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szabad álláspont kiegyenlítése
A súlyegység középhibája:
,
mert most f = 4 – 3 =1 a fölös mérések száma. A μ0 értékének számításához szükség van a vektorra.
Ennek számítása a vektor ismeretében a
javítási egyenletrendszer figyelembe vételével történhet.
3. 9.3 Számpélda
Adott pontok koordinátái:
Pontszám y (m) x (m)
A 457403,26 259799,79
B 458170,52 259654,24
Mérési eredmények:
A mérési eredmények előzetes középhibái:
; .
1. Közelítő értékek számítása:
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szabad álláspont kiegyenlítése
;
;
;
;
.
A koordináták közelítő értékei:
;
.
A z tájékozási szög közelítő értéke:
.
2. A javítási egyenletrendszer együttható mátrixa:
Az mátrix A(1,1), A(1,2), A(2,1) és A(2,2) elemeinek dimenziója ”/mm, ha a távolságokat mm-ben helyettesítjük be. A többi elemnek nincs dimenziója.
3. A javítási egyenletrendszer tisztatagjai:
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szabad álláspont kiegyenlítése
Az l1 és l2 elemek dimenziója szögmásodperc (”), az l3 és l4 elemek dimenziója mm.
4. A javítási egyenletek:
;
;
;
.
A megállapodott dimenzióknak megfelelően az első két egyenlet tagjai ”, a 3. és 4. egyenlet tagjai mm dimenziójúak.
5. A súlymátrix:
.
A súlyok meghatározásánál a súlyegység középhibájának -öt választottunk, ahonnan
De , ezért a súlymátrix főátlójának első két eleme .
A távolságmérés előzetes középhibája A főátló utolsó két eleme ekkor -
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szabad álláspont kiegyenlítése
mellett - .
6. A normál egyenletrendszer együttható-mátrixa és a tisztatag vektor:
;
7. A normál egyenletrendszer megoldása:
.
8. Adjungált mátrix képzése:
a) Az mátrix elemeihez tartozó aldeterminánsok:
b) Az aldeterminánsokból képzett mátrix: .
c) Az eredeti mátrix determinánsa:
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szabad álláspont kiegyenlítése
d) Az inverz mátrix: .
9. A keresett ismeretlenek kiegészítő értékei:
.
A két első kiegészítő érték dimenziója mm, a harmadiké szögmásodperc ”.
10. Kiegyenlített ismeretlenek (a P pont koordinátái m-ben és a tájékozási szög ”-ben):
.
11. Mérési javítások és kiegyenlített mérési eredmények:
; .
Az 1. és 2. mérési javítás ”, a 3. és 4. mérési javítás mm dimenziójú.
12. Megbízhatósági mérőszámok:
;
A súlyegység középhibája: .
Az ismeretlenek kiegyenlítés utáni középhibái:
; .
IrodalomjegyzékBácsatyai László: Kiegyenlítő számítások, elektronikus jegyzet pdf formátumban, NYME Geoinformatikai Kar,
Székesfehérvár,
Created by XMLmind XSL-FO Converter.