1

GEOMETRI NON EUCLID ELIPTIKMAKALAH

Diajuakan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah GeometriDosen: Dr. Sc. Mariani, M.Si.

O l e h :

S U M B A D A NIM. 4101508012

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAPROGRAM PASCASARJANA (PPs)UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2009

2

KATA PENGANTAR

Dengan kerendahan hati, penulis memanjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT

yang telah melimpahkan hidayah, taufik dan inayahnya sehingga penulis dapat

membuat makalah yang sangat sederhana ini, untuk memenuhi tugas mata kulih

Geometri yang diampu oleh Dr. Sc. Mariani, M.Si.

Penulis menyampaikan banyak terima kasih kepada Dr. Sc. Mariani, M.Si atas

segala bantuannya dalam menyelasaikan makalah ini.

Makalah ini masih jauh dari sempurna, Untuk itu penulis dengan keikhlasan

menerima saran dan kritik demi penyempurnaan .

Semoga makalah ini dapat bermanfaat khususnya bagi penulis dan umumnya bagi

pembaca.

Tegal, Juni 2009

Penulis

3

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR

1. PENDAHULUAN …………………….………………………………….. 4

2. TEORI NON-EUCLID RIEMAN………………………………………… 5

3. GARIS SEBAGAI BANGUN TERTUTUP……………………………… 8

4. REPRESENTASI BOLA PEJAL EUCLID ……………………………... 10

5. MODEL DALAM GEOMETRI ELIPTIK ……………………………… 11

6. PERBANDINGAN DENGAN GEOMETRI YANG LAIN …………….. 17

DAFTAR PUSTAKA

4

1. PENDAHULUAN

Geometri adalah bagian matematika yang mempelejari bentuk-bentuk. Abstaksi

dalam dunia nyata adalah tiga dimensi – panjang, lebar dan tinggi – dan secara umum

meniadakan kualitas lain seperti warna atau kasar atau halusnya permukaan.

Bangsa Babylonia menciptakan metode untuk menghitung luas bidang

sederhana yang dibatasi hanya oleh garis-garis lurus dan lingkaran. Hal ini direfleksikan

dalam istilah geometri yang berasal dari kata “geo” (bumi); dan “metria” (pengukuran)

sehingga makna lengkapnya adalah pengukuran tanah.

Euclides dari Aleksandria hidup kira-kira 300 tahun sebelum Masehi. Euclides

mengeluarkan lima buah aksioma, yaitu aksioma insidensi dan ekstensi, aksioma

urutan/keantaraan, aksioma kongruensi, aksioma kesejajaran, dan aksioma kekontinuan

dan kelengkapan. Kelima buah aksioma ini membangun geometri Euclides. Geometri

ini dipelajari di SD, SMP, dan SMA. Geometri ini bertahan selama 2000 tahun tidak

terbantahkan, tetapi sejak abad ke 19 para matematikawan mulai menemukan

kelemahan geometri Euclides.

Kelemahan geometri Euclides yaitu:

1. Euclides berusaha mendefinisikan semuanya dalam geometri, sampai titik dan

garis.

2. Aksioma keempat dari Euclides yang terkenal dengan nama Aksioma Kesejajaran,

terlalu panjang sehingga merisaukan matematikawan.

3. Terdapat dalil dalam geometri Euclides yang berbunyi: ”Pada suatu ruas garis

dapat dilukis suatu segitiga samasisi”. Sementara untuk mendapatkan dalil ini

masih perlu menggunakan pertolongan prinsip kekontinuan.

Selain itu, Euclides mendasarkan gambar pada pembuktiannya, padahal gambar

mungkin dapat menyesatkan.

Sudah banyak para matematikawan yang berusaha membuktikan aksioma

kesejajaran Euclides, tetapi tidak berhasil, masih ada saja kekurangannya. Bermula dari

usaha ini, lahirlah teori geometri baru yang dinamakan geometri non-Euclides

5

Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 September 1826 – 20 Juli 1866). Beliau

ialah matematikawan Jerman yang membuat sumbangan penting pada analisis dan

geometri diferensial, beberapa darinya meratakan jalan untuk pengembangan lebih

lanjut pada relativitas umum. Namanya dihubungkan dengan fungsi zeta Riemann,

integral Riemann, lema Riemann, manipol Riemann, teorema pemetaan Riemann,

problem Riemann-Hilbert, teorema Riemann-Roch, persamaan Cauchy-Riemann dll.

Ia lahir di Breselenz, sebuah desa dekat Dannenberg di Kerajaan Hanover di Jerman

sekarang. Ayahnya Friedrich Bernhard Riemann ialah pastor Lutheran di Breselenz.

Bernhard merupakan anak kedua dari 6 bersaudara. Pada 1840 Bernhard pergi ke

Hanover untuk tinggal dengan neneknya dan mengunjungi Lyceum. Setelah kematian

neneknya pada 1842 ia pindah ke Johanneum di Lüneburg. Pada 1846, pada usia 19, ia

mulai belajar filologi dan teologi di Universitas Göttingen. Ia mengikuti ceramah Gauss.

Pada 1847 ayahnya mengizinkannya berhenti belajar Teologi dan mulai belajar

matematika.

Pada 1847 ia pindah ke Berlin, di mana Jacobi, Dirichlet dan Steiner mengajar. Ia

tinggal di Berlin selama 2 tahun dan kembali ke Göttingen pada 1849. Riemann

menyelenggarakan ceramah pertamanya pada 1854, yang tak hanya menemukan bidang

geometri Riemann namun menentukan tahapan untuk relativitas umum Einstein. Ia

dipromosikan sebagai guru besar istimewa di Universitas Göttingen pada 1857 dan

menjadi guru besar luar biasa pada 1859 menyusul kematian Dirichlet. Pada 1862 ia

menikahi Elise Koch. Ia meninggal akibat tuberkulosis pada perjalanan ketiganya ke

Italia di Selasca. Sumbangsih Riemann dalam matematika berada di bidang geometri

diferensial yang menyingkap cara-cara umum untuk membuat pengukuran dalam ruang

dengan sembarang lengungan dan jumlah dimensi.

2. TEORI NON-EUCLID RIEMAN

Atas terpecahkannya permasalahan postulat kesejajaran Euclid oleh Bolya dan

Lobachevsky, para ahli matematika distimulus dengan hadirnya teori geometri non-

Euclid. Teori yang paling terkenal diusulkan oleh Riemann di tahun 1854. Teori

Riemann kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid dengan mengasumsikan

prinsip-prinsip berikut ini:

6

Postulat kesejajaran Reimann. Tidak ada garis yang sejajar.

Crucial properties dari Teorema 2 Corollary 3 Postulat Kesejajaran Euclid, yaitu Dua

daris yang tegak lurus dengan garis yang sama akan sejajar.

Diketahui: dua garis yang berbeda L, M yang tegak lurus dengan N (gambar (a).

Akan dibuktikan L sejajar dengan M

Bukti

Andaikan L tidak sejajar dengan M maka L akan berpotongan dengan M di titik C

(gambar (b)). Misalkan L, M berpotongan dengan N di A, B.

Langkah Alasan

1. Perluas CA melalui panjangnya sendiri 1. Segmen dapat digandakan

Melalui A ke C’

2. Gambar C’B 2. Dua titik menentukan suatu

garis

3. ΔABC kongruen dengan ΔABC’ 3. sds

4. ABC = ABC’ 4. Bagian yang sehadap

Jadi ABC’ merupakan sudut siku-siku

Karena ABC merupakan sudut siku-siku

BC dan BC’ tegak lurus AB

5. BC dan BC’ serupa 5. Hanya ada satu garis yang

tegak

lurus dengan garis yang

diketahui

pada titik pada garis yang

diketahui

L MM

C’

(a) (b)

7

pula.

Jadi, AC dan BC, atau L dan M memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama.

6. Jadi L dan M serupa 6. Dua titik menentukan garis

Hal ini kontradiksi dengan hipotesis kita bahwa L dan M adalah garis yang

berbeda.

Jadi pengandaian kita salah dan teorema berlaku.

Analisis pembuktian Riemann

Pandangan penting adalah Langkah 6, bahwa “L dan M serupa” karena garis

tersebut memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama. Langkah ini akan gagal

jika C dan C’ tidak berbeda

Euclid mengasumsikan bahwa setiap garis “memisahkan bidang menjadi dua sisi

yang berhadapan (Separation Principle)

Dalam pandangan sifat pemisahan, konstruksi dalam Langkah 1 pembuktian di

atas (untuk memperluas CA melalui panjangnya C’) menjamin bahwa C dan C’

berada pada sisi sehadap dari N dan merupakan titik yang berbeda.

Tanpa sifat pemisah, keberadaan C dan C’ tidak memiliki justifikasi formal dan

bukti tersebut akan gagal.

Menurut Riemann

Jika prinsip pemisahan tersebut diterima, C dan C’ haruslah merupakan titik

yang berbeda,

Jika mengabaikan prinsip yang menyatakan bahwa “ dua titik menentukan suatu

garis”, artinya memperbolehkan dua garis untuk berpotongan dalam dua titik.

Kesimpulan

Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat kesejajaran Riemann.

Pertama, teori geometri eliptik tunggal,

Sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis

yang memisahkan bidang tersebut, dua titik yang dimetral dianggap sebagai 1 titik.

Kedua, teori geometri eliptik rangkap dua,

Dua garis berpotongan dalam tepat dua titik dan setiap garis memisahkan bidang

menjadi 2 setengah bidang.

8

3. GARIS SEBAGAI BANGUN TERTUTUP

Pertama, pertimbangkan geometri eliptik tunggal. Dengan menguji situasi yang

ditunjukkan oleh gambar (b) dalam pembuktian teorema bahwa dua garis tegak lurus

pada garis yang sama akan sejajar, terlihat bahwa jika teori geometri eliptik tunggal

mungkin digunakan,

Titik c’ haruslah berimpit dengan titik C.

Jadi, dalam perpanjangan CA hingga c’, artinya kembali ke titik C lagi.

Akibatnya, suatu garis disusun sebagai suatu bangun tertutup.

Jadi berlaku bahwa suatu titik tidak memisahkan suatu garis menjadi dua bagian.

Tetapi dua titik dari suatu garis akan memisahkan titik tersebut menjadi 2

segmen,

Sehingga penentuan pada garis tersebut tidak pada segmen saja tetapi pada dua

segmen yang merupakan titik-titik ujung yang sama.

Konsep garis ini, mungkin saja termotivasi dalam geometri eliptik ganda dengan

cara berikut ini.

Misalkan L diketahui dan misalkan A merupakan titik dari L.

Misalkan M tegak lurus L di A, maka L dan M akan bertemu pada titik kedua B.

A dan B sebagai titik ujung dari satu segmen, termuat dalam L. misalkan segmen

tersebut S.

Karena M memisahkan bidang tersebut dan M bertemu dengan L tepat pada dua

titik maka S seluruhnya berada pada saru sisi M.

Selanjutnya akan dibuktikan setiap setiap titik dari L pada sisi M yang

diketahui, berada pada S.

SL

A B M

9

Konsep garis yang diperlukan sebagai syarat:

Sebarabg titik dari L yang tidak pada segmen S haruslah merupakn perluasan

dari S di luar titik ujungnua A atau B.

Tetapi dalam proses perluasan S di luar A atau B, garis L melewati M, dan

berhadapan dengan S.

Jadi sebarang titik dari L pada sisi yang sama di M haruslah pada S, dan

disimpulkan bahwa S menyatakan bagian dari L pada sisi M yang diketahui.

Akan diargumentasikan pernyataan bahwa ada segmen S’, yang termuat

dalam garis L, yang menghubumgkan A dan B pada sisi lain dari M dan

menyatakan bahwa bagian dari L pada sisi M tersebut.

Untuk tujuan ini, ingat kembali bahwa ide cardinal geometri bidang Euclid yang

menyatakan bahwa sebarang bangun F dapat dicerminkan (secara tegak lurus)

pada garis yang diketahui untuk menghasilkan bangun simetrik F’.

Teri simetrik ini diperlukan dalam geometri eliptik ganda.

Jadi, akan ada bangun S’ yang simetrik dengan segmen S yabg menghubungkan

A dan B pada sisi lain dari M dan titik S.

Karena S merupakan segmen, S’ juga merupakan segmen.

Karena S tegak lurus dengan M di A, maka segmen simetrik S’ juga tegak lurus

pada garis yang sama dan di titik yang sama.

Maka S dan S’ harus bertemu dalam satu garis, yakni S’ termuat dalam L.

Dengan menggunakan argument pada baris terakhir, sebarang titik dari L

pada sisi yang sama dari M, haruslah pada S’, disimpulkan bahwa:

L dinyatakan oleh segmen S dan S’

Jadi, diyakinkan bahwa garis sebagai bangun tertutup, seperti dalam geometri

eliptik tunggal.

10

4. REPRESENTASI BOLA PEJAL EUCLID

Geometri Eliptik Ganda Representasi Euclid

Titik Titik pada bola pejal

Garis Lingkaran besar

Bidang Bola pejal

Segmen Busur lingkaran

Jarak antara dua titik panjang busur terbendek dari

lingkaran

besar yang menghubungkan 2 titik

sudut (yang dibentuk oleh 2 garis) sudut bole pejal (yang dibentuk oleh

dua

lingkaran besar.

Ukuran sudut Ukuran sudut bola pejal.

Perhatikan bahwa postulat kesejajaran Riemann akan terpenuhi dalam

representasi ini:

Setiap dua garis (lingkaran besar) bertemu, dan kenyataannya tepat pada dua

titik.

Selanjutnya postulat pemisahan akan terpenuhi, karena tiap lingkaran besar akan

memisahkan bola pejal tersebut menjadi dua belahan.

11

5. MODEL DALAM GEOMETRI ELIPTIK

Hyperspherical modelModel hyperspherical adalah penyamarataan model yang berbentuk bola dalam

dimensi-dimensi yang lebih tinggi. Pokok ruang eliptik n dimensional adalah vektor

satuan di Rn+1, yang ,rupanya pokok dari bola satuan di ruang n+1 dimensional. Bentuk

di dalam model ini adalah jarak terpendek dari permukaan bumi, persimpangan-

persimpangan bola dengan permukaan yang datar dimensi n melintas aslinya.

12

13

14

15

Projective modelDi dalam model yang bersifat proyeksi, pokok ruang projektif real n

dimensional digunakan sebagai poin-poin dari model. Pokok ruang projektif n

dimensional dapat dikaitkan dengan bentuk melalui asli di dalam (n+1)-dimensional

ruang/spasi, dan didapat secara tidak unik yang diwakili oleh vektor-vektor yang tidak

nol di Rn+1, dengan pemahaman, itu u dan λu, untuk setiap skalar yang tidak nol

λ,menunjukkan titik yang sama. Jarak dapat digambarkan dengan metrik

Ini adalah homogen pada setiap variabel, dengan d(λ u , μ v) = d(u, v) jika λ dan

μbersifat skalar-skalar tidak nol, dengan demikian itu menggambarkan suatu jarak di

pokok dari ruang projektif

Suatu properti yang terkemuka dari model yang bersifat proyeksi adalah bahwa

untuk dimensi-dimensi, seperti pesawat, ilmu ukur itu adalah bisa tidak dunia Timur,

16

menghapus pembedaan antara arah jam dan berlawanan arah jarum jam perputaran

dengan mengidentifikasi mereka

Stereographic modelSuatu perwakilan model ruang/spasi yang sama seperti model hyperspherical

dapat diperoleh atas pertolongan projeksi stereografik. izinkan En menunjukkan Rn ∪

{∞},yang ,ruang(spasi n riil dimensional yang diperluas oleh suatu titik di takhingga.

Kita boleh menggambarkan suatu yang metrik, chordal metrik, di En oleh

di mana u dan v adalah setiap dua vektor di Rn dan ||*||adalah Norma Euclides yang umum. Kita juga menggambarkan

Hasil suatu ruang metrik di En, yang menunjukkan jarak sepanjang suatu tali dari

poin-poin yang sesuai di model hyperspherical, itu petakan secara bijektif kepada oleh

projeksi stereografik. Untuk memperoleh suatu model dari geometri eliptik, kita

menggambarkan yang lain metrik

Hasil itu adalah suatu model dari geometri eliptik.

17

6. PERBANDINGAN DENGAN GEOMETRI YANG LAIN

EuclidLobachevski

(hiperbolik)

Riemann

(eliptik)

Dua garis yang

berbeda saling

berpotongan

pada

Paling banyak

satu

Paling banyak

satu

Satu (eliptik

tunggal)

Dua (eliptik

ganda)

Titik

titik

Garis L yang

diketahui dan P

tidal pada L,a

akan ada

Satu dan hanya

satu

Setidaknya dua Tidak ada garis Yang melali P

yang sejajar

dengan L

Suatu garis akan akan Tidak akan Terpisah

menjadi dua

oleh suatu titik

Garis sejajar Dimana-mana

berjarak sama

Dimana-mana

berjarak tidak

sama

tidak

Jika suatu garis

berpotongan

dengan satu

dari dua garis

yang

sejajar,maka

garis tersebut

haruslah Kemungkinan

atau tidak

mungkin

- Akan

memotong

garis tersebut

Hipotesis

Saccheri yang

valid adalah

Hipotesis

sudut siku-siku

Hipotesis sudut

lancip

Hipotesis sudut

tumpul

Dua garis yang

berbeda akan

tegak lurus

dengan garis

Akan sejajar Akan sejajar Akan

berpotongan

18

yang sama

maka

Jumlah sudut

suatu segitiga

Akan sama

dengan

Akan kurang

dari

Akan lebih dari 1800

Luas segitiga Akan bebas Sebanding

dengan

kekurangan

Sebanding

dengan

kelebihan

Jumlah

sudutnya

Dua segitiga

yang

mempunya

sudut sehadap

sama besar

akan

Sama besar kongruen kongruen

DAFTAR PUSTAKA

19

David C. Royster., Neutral and Non-Euclidian Geometries. UNC Charlotte.

http://www.math.uncc.edu/~droyster/math3181/notes/hyprgeom/hyprgeom.html

George Edward Martin. The foundations of geometry and the non-Euclidean plane

Hvidsten, Michael. 2005. Geometry With Geometry Explorer. New York: McGraw-Hill

Education.