Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SN y PAContenido: 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.

Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma y = x2 que represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales.

Consigna: Organizados en equipos, analicen la siguiente sucesión de figuras y respondan lo que se cuestiona. Si lo desean pueden utilizar su calculadora.

a) Si la sucesión continúa en la misma forma, ¿cuántos cubos se necesitan para formar la figura 5? ¿Y para la figura 10? ¿Y para la figura 100?

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión?

c) Se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704 cubos, ¿qué número corresponde a esa figura en la sucesión?

d) Una figura con 2 346 cubos, ¿pertenece a la sucesión? ¿Por qué?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: En equipos, con base en la siguiente sucesión de figuras, contesten las preguntas que se plantean.

Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4

a) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 7, 10 y 13, respectivamente?

b) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 100?

c) Encuentren una expresión algebraica que permita determinar la cantidad de cuadritos de cualquier figura que corresponda a la sucesión anterior.

Fig. 4Fig. 3Fig. 2Fig. 1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 9 Eje temático: F. E. y M.

Contenido: 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos anticipen las características de algunos cuerpos de revolución.

Consigna 1: Organizados en equipos utilicen tres popotes como eje y peguen a cada uno de éstos un triángulo rectángulo, un rectángulo y un semicírculo.

1. Anticipen qué cuerpo geométrico se describe al girar cada figura.2. Escriban las características de cada cuerpo generado.

Consigna 2: Comenten con sus compañeros de equipo: ¿qué cuerpo geométrico se genera al trasladar un círculo de un plano a otro paralelo?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades:

Usen un tubo de cartón, de los que trae el papel sanitario, para trazar los círculos que puedan servir de tapa superior e inferior del tubo y recórtenlos.

Corten longitudinalmente el tubo y, completamente aplanado, péguenlo en un pliego de cartoncillo.

Peguen donde corresponda las dos tapas para formar el desarrollo plano del cilindro.

Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas:a) Altura del cilindrob) Radio del cilindro

Cara curva

Cara plana (base)

Base

Altura

Cúspide Generatriz

c) Perímetro de la base del cilindro. A partir del modelo pegado en el cartoncillo, construyan el

desarrollo plano de un cilindro cuyas medidas sean 4 cm de radio y 10 cm de altura. Recórtenlo y armen el cilindro.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos, usen un cono de papel para tomar agua y realicen las siguientes actividades:

Tracen el círculo que puede servir de tapa al vaso.

Identifiquen y midan la altura del cono; asimismo, determinen el diámetro de la base.

Corten longitudinalmente el cono, desde la base hasta el vértice y extiéndanlo.

Peguen el desarrollo plano del cono sobre un pliego de cartoncillo.

Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas:a) Radio del conob) Altura del conoc) Generatriz del conod) Perímetro de la base del conoe) Ángulo del sector circular que permite formar el cono.

Construyan el desarrollo plano para hacer un vasito en forma de cono que mida 4 cm de radio y 10 cm de altura. Armen el vaso y verifiquen que tiene las medidas indicadas.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y M Contenido: 9.4.3 Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

Intención didáctica: Que los estudiantes, a partir de la gráfica de una recta, identifiquen a la pendiente como la razón de los catetos de los triángulos rectángulos construidos con la recta y el eje de las abscisas.

Consigna: Organizados en binas, y a partir de la gráfica de la recta y = 0.5 x + 1, realicen lo que se pide:

AlturaGen

erat

riz

Radio

a) Determinen la medida del ángulo “A” que se forma con la recta y el eje x.

b) Construyan tres triángulos rectángulos, considerando la recta y el eje de las abscisas o una paralela a ésta.

c) Identifiquen y midan los catetos opuestos y adyacentes al ángulo “A” en cada triángulo.

d) Obtengan los cocientes de las razones formadas por el cateto opuesto entre el adyacente.

e) Verifiquen que los cocientes obtenidos son iguales y expliquen por qué.

f) Contesten: ¿Qué relación existe entre la pendiente de la recta y los cocientes de los catetos? Argumenten su respuesta.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna. Organizados en equipos realicen la siguiente actividad:

Consideren las rectas de la siguiente ilustración, las cuales forman con el eje horizontal un ángulo de 30°, uno de 45° y otro de 60°; para formar tres triángulos rectángulos, uno para cada ángulo, posteriormente completen la tabla y contesten las preguntas. Pueden utilizar un juego de geometría y una calculadora.

Ángulo Medida del cateto opuesto

Medida del cateto

adyacente

Razón(

C .OpuestoC . Adyacente

)

Cociente (decimal) Pendiente

30º

45º

60º

Comparen los resultados de su tabla con la elaborada por otro equipo, verifiquen que aunque los datos de las tres primeras columnas fueran diferentes, los de las dos últimas coinciden y expliquen por qué.

¿Sucederá lo mismo con otros ángulos? Compruébenlo y concluyan.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 3 Apartado: 4.3 Eje temático: FEM

Conocimientos y habilidades: Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.

Intención didáctica. Que los alumnos empiecen a construir la noción de razón trigonométrica.

Consigna: Organizados en equipos y con base en la información que proporciona el siguiente diagrama, completen la tabla. Redondeen sus resultados sólo hasta centésimos. Después contesten las preguntas.

a) ¿Cómo fue el resultado de la razón seno en los cuatro triángulos?______________________________________________

b) ¿Qué sucede con la razón coseno y tangente en los cuatro triángulos?______________________________________________

c) ¿A qué creen que se deba?_________________________________

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Consigna: Organizados en equipos, contesten lo que se plantea enseguida.

¿Cuánto suman los ángulos M y N en el triángulo rectángulo que aparece abajo?________¿Qué nombre reciben esos ángulos?________________

810

sen M =

cos M =

tan M =

sen N =

cos N =

¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de sus complemento?__________________________________________________________________________________________________________________ ¿Si el seno de un ángulo de 30 grados es igual a 0.5, ¿a qué es igual el coseno de un ángulo de 60 grados?______________

¿A qué es igual el producto de la tangente de un ángulo de 30 grados por la tangente de un ángulo de 60 grados?__________________------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Escriban las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) para el siguiente triángulo rectángulo.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Consigna 1. Organizados en parejas calculen la altura del asta bandera, si a cierta hora del día el ángulo que forma el extremo de su sombra con la punta del asta mide 37º.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes:

a) ¿A qué altura del piso se encuentra la punta del papalote, cuando el hilo que lo sostiene mide 60 m y forma con el piso un ángulo de 53º.

sen M =

cos M =

tan M =

sen N =

cos N =

4

5

L

M

N37°

?

20 m

?60 m

A

b) Calculen cuánto mide la sombra de la torre.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Encuentren la altura de la torre y la longitud del tirante que la sostiene.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

nsombra

50 m

35°

yx

30 m65°

Consigna 1. Individualmente, calculen los valores que se piden.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 3 Apartado: 4.2 Eje temático: FEMConocimientos y habilidades: Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.

Intención didáctica: Que los alumnos, a través de la elaboración de figuras geométricas, deduzcan la relación entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triangulo rectángulo.

Consigna: De manera individual, haz lo que se indica enseguida. Necesitas cartulina, tijeras y juego geométrico.

Traza un triángulo rectángulo con tres medidas diferentes que tú elijas.

Traza sobre cada uno de los lados un cuadrado.

b

a5

19°

B

CA

a = __________ b = __________ B = __________

b = ___ c = ____ B = _______

b)

37°

a)

23

b

c

B

CA

a = __________ c = __________ B = __________

a = __________ c = __________ A = __________

c)

38°a

3.4

c

B

CA

d)

34

ac 62°

B

CA

Sobre el cuadrado mediano traza dos rectas que pasen por el centro, pero que sean paralelas a los lados del cuadrado grande. (Observa el dibujo de abajo).

Recorta el cuadrado mediano sobre las rectas trazadas para obtener cuatro partes.

Recorta el cuadrado más pequeño.

Con las cuatro piezas y el cuadrado menor cubre el cuadrado construido sobre la hipotenusa, de manera que no queden huecos ni piezas sobrepuestas.

a)

Comenten sus resultados y anoten las conclusiones acerca de la relación que existe entre el área de los cuadrados de los catetos y el área del cuadrado de la hipotenusa.

Escriban una expresión algebraica--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora.

a) En la figura se ilustran tres poblados, el pueblo B está, en línea recta, 40 km al norte de A y el pueblo C está, en línea recta, 30 km al este de B. ¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y C?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Los dos triángulos que aparecen abajo son semejantes. Encuentra el perímetro de cada uno.

2 8 cm

z

y1

60 cm

32 cm

x

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Calcular el área de un hexágono regular si se sabe que la longitud de cada uno de sus lados mide 4m.2. En la siguiente figura los triángulos son semejantes. Calcula la longitud x y determina la distancia entre los puntos A y B.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Consigna 1: Organizados en equipos de tres integrantes, resolverán los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora.

1. Un albañil apoya una escalera de 5 m contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2m del muro. Calcula a qué altura se encuentra la parte superior de la escalera.

2. En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina opuesta diagonalmente, ¿cuántos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48m y 64m.

3. ¿Cuál es la máxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de dirección en una pista de patinaje en forma de rombo si el lado es 26m y la diagonal menor 40m?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 3 Apartado: 4.5 Eje temático: M. I.Conocimientos y habilidades: Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.

Intenciones didácticas: Que los alumnos localicen información en un texto o en una tabla y a la vez la representen gráficamente.

Consigna: En equipo, lean el siguiente texto y revisen la tabla que se presenta posteriormente. Con base en ambas informaciones contesten lo que se indica.

MÉXICO VIVE YA UNA “CHATARRIZACIÓN” ALIMENTICIAKarina Galarza Vásquez

El consumo de alimentos tradicionales ha disminuido en nuestro país y, al mismo tiempo, han ganado terreno los productos “chatarra”. Si a esto se suma la reducción de la actividad física, entenderemos por qué se han incrementado las enfermedades crónico-degenerativas.En la actualidad, la población mexicana sólo incluye en su alimentación cerca de 60 especies animales y vegetales, mientras que en la época prehispánica utilizaba hasta 200 variedades. Entre los alimentos que se están consumiendo en menor porcentaje encontramos al amaranto, chía (semilla), quelites, nopales, tunas, pitahayas, garambullo (cactáceo), mamey y zapote (amarillo, negro y blanco).Las consecuencias del fenómeno que nos ocupa saltan a la vista, pues cada vez se observan y reportan más casos de obesidad y sus consecuencias, como diabetes mellitus (cifras elevadas de azúcar), enfermedades cardiovasculares e hiperlipidemias (exceso de grasas en la sangre).Efectos en la salud ¿Qué ha favorecido la problemática expuesta? La respuesta la da el Dr. Luis Alberto Vargas al explicar que ello se asocia con tres sucesos: industrialización, estandarización y pérdida de variedad de los alimentos, cuya consecuencia es el creciente número de personas con sobrepeso u obesidad, lo cual ha generado a su vez incremento de los casos de diabetes y otros padecimientos asociados.Tan sólo tomemos en cuenta que la diabetes mellitus es un importante problema de salud pública en México. En los últimos cinco años ha llegado a ocupar la primera causa de muerte, con 11% del total de las defunciones en ambos sexos, agrega el Dr. Navarro Ocaña.En referencia a la edad, apunta que en los últimos años el padecimiento se presenta en personas de menor edad, cuando antes ocurría en individuos mayores de 50 años.

La siguiente tabla indica el consumo diario promedio de calorías que consumen los jóvenes entre 13 y 22 años, en diferentes épocas de la historia de México. Según los especialistas el consumo ideal para evitar problemas de salud se encuentra entre 1500 y 1800 calorías de consumo al día.

Años Consumo diario de calorías

1800 14001850 14001900 14501950 18002000 24002007 2500

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en parejas resuelvan el siguiente problema: Las siguientes tablas muestran cómo han crecido una estalactita y su correspondiente estalagmita durante los últimos 6 años.

EstalactitaNúmero de años desde la primera medición 0 1 2 3 4 5 6Longitud en cm 70 72 75 76 78 80 82

134

1. ¿Cuáles fueron las causas de que entre los años 1800 a 1850 existiera una ingesta de calorías menor a la recomendada? ________________________________________________________________________________________________________

2. ¿En qué años se llegó al límite recomendado respecto al consumo diario de calorías? __________

3. ¿Cuál es la diferencia entre el consumo en 2007 y el consumo ideal? _____________________

4. ¿Qué problemas de salud ocasiona el exceso de consumo de calorías? ¿Qué otro aspecto favorece este tipo de consecuencias?

EstalagmitaNúmero de años desde la primera medición 0 1 2 3 4 5 6Longitud en cm 80 83 85 88 90 92 94

La cueva tiene 2 m de alto. Cuando se midió por primera vez se observó un perfil como el siguiente:

a) Transcurridos dos años desde la primera medición, ¿qué tan cerca están las dos puntas?_______________________ ¿Y después de 6 años? ________________

b) Hagan una predicción sobre el tiempo que transcurrirá para que se unan la estalactita y la estalagmita. Justifiquen su respuesta. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos, y con base en la información que se presenta en las siguientes tablas, contesten las preguntas y hagan lo que se indica. Pueden usar calculadora.

TABLA 1: POBLACIÓN (EN MILLONES) TABLA 2: PRODUCTO INTERNO BRUTO (EN MILLONES DE USD)

Países 1999 2000 2001 1999 2000 2001Argentina 33.1 33.8 36.0 283300 284400 271400Bolivia 8.1 8.3 8.3 8100 8300 8100Brasil 163.9 166.1 172.4 536600 602200 510400Colombia 41.6 42.3 43.1 86200 83800 81700Costa Rica 3.9 3.9 4.0 15800 15900 16400Chile 15.0 15.2 15.5 1800 1800 1900Ecuador 12.4 12.6 12.1 13700 13900 18000El Salvador 6.2 6.3 6.4 12500 13200 14000Guyana 0.8 0.8 0.8 600 600 600Jamaica 2.6 2.6 2.6 7700 7800 8100México 97.4 97.4 97.5 458400 543200 627900Nicaragua 5.0 5.1 5.2 2200 2400 2500Perú 25.2 25.7 26.1 51600 53500 54000República Dominicana 8.4 8.6 8.8 17400 19600 21400Trinidad y Tobago 1.3 1.3 1.3 6800 8200 9000Venezuela 23.7 24.2 24.6 96500 117800 119700

a) ¿En cuántos millones se incrementó la población de Nicaragua de 1999 a 2001? ____________________

b) ¿Qué país obtuvo el mayor incremento de población en ese lapso? _______________

c) ¿Qué país obtuvo el mayor crecimiento porcentual del PIB de 2000 a 2001? _________

d) ¿Algún país disminuyó su PIB en ese lapso? ______ ¿Cuál? ____________________

e) Si Venezuela conserva su tasa de crecimiento de 2000 a 2001, ¿cuántos habitantes tendrá en 2010? _____________________

f) Calculen el PIB per cápita de cada país correspondiente al año 2001.

Países Producto Interno Bruto per cápita (año 2001)

ArgentinaBoliviaBrasilColombiaCosta RicaChileEcuadorEl SalvadorGuyanaJamaicaMéxicoNicaraguaPerúRepública DominicanaTrinidad y TobagoVenezuela

g) ¿Qué país tiene el mayor PIB per capita? _________¿Y cuál el menor? ----------------

h) ¿El PIB per capita es un indicador confiable para asegurar que toda la población tenga cierto nivel de bienestar? _______ ¿Por qué? __________________________________________________________________________________________________________i) ¿Qué condiciones favorecen que un país mejore sustancialmente su PIB per capita?_______________________________________________________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Conocimientos y habilidades: Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.

Intenciones didácticas: Que los alumnos comparen el comportamiento de un crecimiento exponencial con uno lineal.

Consigna: En equipo, resuelvan el siguiente problema: Un grupo de tercer grado está organizando su fiesta de graduación. Les faltan $25 000.00 para todos los gastos previstos y para obtener ese dinero tienen dos opciones, el banco PIERDEMEX les presta esa cantidad con un interés simple del 9% bimestral, mientras que el banco ATRACOMER les ofrece la misma cantidad con un interés compuesto del 8% bimestral. Si tienen planeado pagar el préstamo junto con los intereses al término de 12 bimestres, completen la siguiente tabla y contesten lo que se pide.

El PIB per cápita se calcula dividiendo el PIB entre la Población

PIERDEMEX ATRACOMER

Bimestres Préstamo inicial

Int. Simple9% Adeudo

totalPréstamo inicial

Int. Compuesto8% Adeudo

total0 $25,000 $0.00 $25,000 $25,000 $0.00 $25,0001 $25,000 $2,250.00 $27,250 $25,000 $2,000.00 $27,0002 $25,000 $2,250.00 $29,500 $27,000 $2,160.00 $29,1603 $25,000 $2,250.00 $31,750 $29,160 $2,332.80 $31,492.804 $25,000 $2,250.00 $34,000 $31,492.80

5 $25,000 $2,250.00 $36,2506 $25,000 $2,250.00 $38,5007 $25,000 $2,250.00 $40,7508 $25,000 $2,250.00 $43,0009 $25,000 $2,250.00 $45,250

10 $25,000 $2,250.00 $47,50011 $25,000 $2,250.00

12 $25,000 $2,250.00

a) ¿En cuál banco les conviene pedir el préstamo?_______________________

b) ¿Cuánto más tendrían que pagar de intereses en el Banco que no les conviene, al término del plazo fijado? ____________________________________

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Extra.-----

El gobierno del estado ha decidido becar a los alumnos de excelencia. Conocedor de la inteligencia de estos alumnos, sólo becará a aquellos que en menos de 10 minutos elijan la mejor opción de beca, las opciones son las siguientes:

a) Una beca mensual de $500.00 y un bono anual de $1000.00.b) Una beca mensual de $500.00 más un incremento del 10% mensual.

Si quieres ser de los becados, ¿qué opción elegirías y por qué?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Consigna: Reunidos en equipos analicen las siguientes gráficas que representan los crecimientos de los adeudos en los bancos Pierdemex y Atracomer estudiados en la sesión anterior. Posteriormente contesten lo que se pide.

a) La gráfica del adeudo en el banco Pierdemex representa un crecimiento aritmético y la del banco Atracomer un crecimiento exponencial. ¿Qué diferencias notan entre ambas gráficas? ________________________________________________________________

b) ¿A qué obedecen esas diferencias? __________________________________________

c) ¿A partir de qué bimestre es notable la diferencia entre ambos adeudos? ______________

1514

Bimestres

PIERDEMEX

ATRACOMER

13

80000

70000

60000

Adeudo

d) Prolonguen las gráficas y anticipen los adeudos totales en ambos bancos al cabo de 15 bimestres. PIERDEMEX: _______________ ATRACOMER: __________________

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema: La siguiente tabla muestra la población aproximada (expresada en millones) de una colonia de bacterias. El registro se ha hecho cada hora. Analícenla y realicen o contesten lo que se indica.

Hora 0 1 2 3 4 5Bacterias 6 12 24 48 96 192

a) Representen gráficamente la situación planteada y discutan si cumple con las características de un crecimiento exponencial.

b) ¿Cuál es la tasa de crecimiento en cada hora?c) A partir de la gráfica, estimen cuántas bacterias habrá después de 6 horas y

después de 8.

Problema de ejercitación:En el año de 1990 la población mundial de la Tierra era de 5 292 millones de habitantes. Suponiendo que la tasa de crecimiento durante una década es de 18% y ésta se mantiene constante:

a) ¿Cuál será la población en los años 2010, 2020 y 2030?b) Representen en una gráfica los valores encontrados y discutan el tipo de

crecimiento que se da.c) A partir de la gráfica estimen la población para el año 2050.

_------------------------------------------------------------------------------------------------------------