KAJIAN SAINS FISIKA I

METODE LAGRANGE DAN MEKANIKA HAMILTON

Diajukan kepada Prof. Dr. Budi Jatmiko, M.Pd

OLEH :

Hafsemi Rafsenjani 127795061

Vantri Pieter Kelelufna 127795074

Agustina Elizabeth 127795077

Asty Priantini 127795084

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

PROGRAM PASCASARJANA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN SAINS

2013

KATA PENGANTAR

Syukur dan terima kasih kepada Yang Maha Esa atas bimbingan dan

tuntunan sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

Kajian terhadap Metode Lagrange dan Mekanika Hamilton

merupakan suatu cara yang mempermudah penyelesaian suatu solusi mekanika

klasik. dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui melalui

pendekatan Newton. Sehingga diperlukan pendekatan baru dengan meninjau

kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik partikel, misal energi totalnya

Isi makalah ini kiranya dapat membantu pembaca dalam memahami

Metode Lagrange dan mekanika Hamilton. Tak ada gading yang tak retak maka

penulis mengharapkan usul dan saran yang dapat membangun isi tulisan ini.

Awal Juni 2013

Hafsemi RafsenjaniVantri Pieter Kelelufna

Agustina ElizabethAsty Priantini

DAFTAR ISI

HalamanHalaman JudulKata PengantarDaftar Isi

iii

iiiPENDAHULUAN 1PEMBAHASAN

A. Metode LagrangeB. Koordinat Umum (Umum)C. Gaya pada Sistem Koordinat UmumD. Gaya Umum untuk Sistem KonservatifE. Contoh Pemakaian Metode LagrangeF. Momentum Koordinat UmumG. Mekanika Hamilton

35789

2428

PENUTUP 32Daftar Pustaka iv

PENDAHULUAN

Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange

dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel

tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energi kinetik partikel

dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi potensial partikel

yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari posisi. Jika

didefinisikan Lagrangian sebagai selisih antara energi kinetik dan energi

potensial.

Jika ditinjau gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan

bidang, maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan

mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun, tak

selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui.

Pendekatan Newton memerlukan informasi gaya total yang beraksi pada partikel.

Gaya total ini merupakan keseluruhan gaya yang beraksi pada partikel, termasuk

juga gaya konstrain. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya

yang tak dapat diketahui, maka pendekatan Newton tidak berlaku. Sehingga

diperlukan pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan

karakteristik partikel, misal energi totalnya. Pendekatan ini dilakukan dengan

menggunakan prinsip Hamilton, dimana persamaan Lagrange yakni persamaan

umum dinamika partikel dapat diturunkan dari prinsip tersebut.

Dari prinsip Hamilton, dengan mensyaratkan kondisi nilai stasioner

maka dapat diturunkan persamaan Lagrange. Persamaan Lagrange merupakan

persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum,

dan mungkin waktu. Ketergantungan Lagrangian terhadap waktu merupakan

konsekuensi dari hubungan konstrain terhadap waktu atau dikarenakan persamaan

transformasi yang menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum

mengandung fungsi waktu. Pada dasarnya, persamaan Lagrange ekivalen dengan

persamaan gerak Newton, jika koordinat yang digunakan adalah koordinat

kartesian.

Dalam mekanika Newtonian, konsep gaya diperlukan sebagai

kuantitas fisis yang berperan dalam aksi terhadap partikel. Dalam dinamika

Lagrangian, kuantitas fisis yang ditinjau adalah energi kinetik dan energi potensial

partikel. Keuntungannya, karena energi adalah besaran skalar, maka energi

bersifat invarian terhadap transformasi koordinat.

Dalam kondisi tertentu, tidaklah mungkin atau sulit menyatakan

seluruh gaya yang beraksi terhadap partikel, maka pendekatan Newton menjadi

rumit pula atau bahkan tak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, pada

perkembangan berikutnya dari mekanika, prinsip Hamilton berperan penting

karena ia hanya meninjau energi partikel saja.

PEMBAHASAN

A. Metode Lagrange

Permasalahan sistem pegas dengan massa yang ada di ujung pegas dapat

diselesaikan dengan menggunakan F=m a yang dapat dituliskan dengan

m x=−k x. Solusi persamaan ini adalah fungsi sinusoidal. Diyakini bahwa untuk

menyelesaikan soulusi ini ada metode selain menggunakan F=m a adalah hanya

memperhatikan kuantitas fisik energi kinetik dan energi potensial.

Solusi umum Lagrangian adalah

L=T +V ... (1)

dengan, T = energi kinetik ; V = energi potensial

Gambar 2.1 Sistem pegas

Pada sistem pegas berlaku persamaan Hooke : F=−kx

Persamaan gerak pegas diberikan oleh persamaan :

F=m a

−k x=m x ... (2)

atau dapat ditulis,

m d2 xdt 2 +kx=0

m ddt

( x )+kx=0

ddt

m x=−kx… (3)

sehingga, persamaan Euler Lagrangian

ddt ( ∂ L

∂ x )= ∂ L∂ x ... (4)

Solusi persamaan gerak menggunakan metode Lagrange dapat dicari dengan

melihat persamaan Euler Lagrange dan persamaan gerak pegas di atas yaitu :

∂ L∂ x

=m x; ∂ L∂ x

=−kx …(5)

Kemudian dicari solusi masing-masing persamaan (5) menjadi :

∂ L∂ x

=m x

∂ L=m x∂ x

∫ ∂ L=m∫ x d x

L=m( 12

x2) T= 1

2m x2

∂ L∂ x

=−kx

∂ L=−kx∂ x

∫ ∂ L=−k∫ x dx

L=−k ( 12

x2) V =−1

2k x2

Jadi solusi persamaan gerak pegas

L= 12

m x2−12

k x2 …(6)

Dengan metode Lagrange ini kita dapat mencari solusi persamaan gerak dan juga

kita dapat mencari persamaan gerak dari solusi persamaan geraknya (lihat

persamaan 6), dan persamaan geraknya diberikan oleh persamaan Euler Lagrange

(lihat persamaan 4). Diperoleh :

ddt ( ∂

∂ x ( 12

m x2−12

k x2))= ∂∂ x (1

2m x2− 1

2k x2)

ddt ( 1

2m 2 x )= 1

2k 2 x

ddt

m x=−kx

m d xdt

=−kx

m x=−kx …(7)

B. Koordinat Umum

Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan

menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat Kartesian, koordinat

polar atau koordinat silinder. Jika partikel bergerak pada sebuah bidang, atau

pada sebuah permukaan yang terbatas, maka hanya dibutuhkan dua koordinat

untuk menyatakan posisinya, sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah

garis lurus atau pada lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu

koordinat saja.

Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan

q1 , q2, …, qn (8)

yang disebut dengan koordinat umum (generalized coordinates). Koordinat qk

dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas

terhadap lainnya (holonomic). Jumlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan

derajat kebebasan sistem tersebut.

Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak

dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat

kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan

untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistem nonholonomic

adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar. Lima

koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat

untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan

perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah

semuanya secara bebas. Jika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua

koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan membatasi diri

pada sistem holonomic.

Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat umum lebih mudah

diungkapkan dengan menggunakan koordinat Kartesius:

x=x (q) (satu derajat kebebasan – gerak pada sebuah kurva)

x=x (q1, q2) (dua derajat kebebasan – gerak pada sebuah permukaan)

x=x (q1 , q2 , q3 )

y= y (q1 , q2 , q3)

z=z (z1 , z2 , z3)

Misalkan q berubah dari harga awal (q1 , q2 , .. .)menuju harga

(q1+q1 , q2+q2 , ...). Perubahan koordinat Kartesius yang bersesuaian adalah:

δx= ∂ x∂ q1

δq1+∂x∂q 2

δq2+… (9)

δy= ∂ y∂ q1

δq1+∂ y∂ q 2

δq2+… (10)

δz= ∂ z∂ q1

δq1+∂ z∂ q 2

δq2+… (11)

turunan parsial ∂ y∂ q1

dan seterusnya adalah fungsi dari q.

Sebagai contoh sebuah partikel bergerak dalam bidang; kita memilih

koordinat polar untuk menyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini :

Gambar 2.2 Koordinat Polar

q1=r ; q2=θ (12)

selanjutnya,

x=x (r ,θ )=r cosθ

y= y (r , θ )=rsin θ ¿¿ (13)

(tiga derajat kebebasan – gerak pada bidang)

dan,

δx= ∂ x∂ q1

δq1+∂ x∂ q 2

δq2=cosθ δr−r sin θ δθ (14)

δy= ∂ y∂ q1

δq1+∂ y∂ q 2

δq2=sin θ δr +r cosθ δθ (15)

Perubahan konfigurasi dari (q1 , q2 , …, qn) ke konfigurasi di dekatnya

(q1+q1 , q2+q2 , ... , qn+δ qn) menyatakan perpindahan partikel ke i dari titik

(x i , y i , zi) ke titik di dekatnya (x i+xi , y i+ y i , zi+δ z i) dimana:

δ x i=∑k=1

n ∂ x∂qk

δ qk (16)

δ yi=∑k=1

n ∂ y∂ qk

δ qk (17)

δ z i=∑k=1

n ∂ z∂ qk

δ qk (18)

Persamaan (16 – 18) menunjukkan turunan parsialnya merupakan fungsi q.

Selanjutnya indeks i untuk menyatakan koordinat rectangular, dan

indeks k untuk menyatakan koordinat umum. Simbol x i dipakai untuk menyatakan

sembarang koordinat rectangular. Jadi, untuk sistem yang mengandung N

partikel, i dapat berharga antara 1 dan 3N .

C. Gaya pada Sistem Koordinat Umum

Jika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh r dibawah pengaruh

sebuah gaya aksi F, gaya yang bekerja padanya dinyatakan dengan

δW =F . δr=F x δx+F y δy+F z δz (19)

Dalam bentuk yag lebih sederhana dinyatakan dengan

δW =∑i

F i δ x i (20)

Tampak bahwa persamaan di atas tidak hanya berlaku untuk partikel

tunggal, tetapi juga untuk sistem banyak partikel. Untuk satu partikel, harga i

adalah dari 1 sampai 3. Untuk N partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3N .

Jika pertambahan δ x i dinyatakan dalam koordinat umum, maka

diperoleh

δW =∑i (F i∑

k

∂ x i

∂ qkδ qk )

¿∑i (∑k

Fi

∂ x i

∂ qkδ qk) (21)

¿∑i (∑k

Fi

∂ x i

∂ qk)δ qk

Persamaan di atas dapat ditulis

δW =∑k

Qk δ qk (22)

dimana

Qk=∑ (F i

∂ x i

∂ qk) (23)

Besaran Qk yang didefinisikan menurut persamaan di atas disebut

dengan gaya umum. Oleh karena perkalian Qk δ qk memiliki dimensi usaha, maka

dimensi Qk adalah gaya jika qk menyatakan jarak, dan dimensi Qk adalah torka

jika qk menyatakan sudut.

D. Gaya Umum untuk Sistem Konservatif

Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan

gaya konservatif, besarnya gaya tersebut dinyatakan oleh persamaan

F i=−∂V

∂ xi (24)

dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh karena itu perumusan

gaya umum dapat dinyatakan

Qk=−( ∂ V∂ x i

∂ xi

∂ qk) (25)

merupakan turunan parsial V terhadap qk, maka

Qk=−( ∂ V∂ qk ) (26)

Misalkan, kita menggunakan koordinat polar,q1=r ;q2=θ, maka gaya

umum dapat dinyatakan dengan Qr=∂V∂ r ; Qθ=

∂ V∂ θ . Jika V merupakan fungsi r

saja (dalam kasus gaya sentral), maka Qθ=0.

Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat

dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi

lain, jika gaya rampatan tidak konservatif, misalkan nilainya adalah Qk'

, maka

kita dapat menuliskan

Qk=Qk' − ∂V

∂ qk

(27)

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L=T−V , dan

menuliskan persamaan diferensial gerak dalam bentuk

ddt

∂ L∂ qk

=Qk' + ∂ L

∂ qk

(28)

(29)

Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.

E. Contoh Pemakaian Metode Lagrange

Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial

gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:

1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.

2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya

terhadap waktu.

3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi

koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat umum

Qk.

4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan

persamaan di atas.

Beberapa contoh pemakaian metode Lagrange

1. Sebuah pendulum dengan terbuat dari pegas dengan massa m.

Pegas terikat kuat pada garis bidang datar (massa pegas diabaikan) dengan

panjang pegas adalah l+x kamudian pegas tersebut ditarik sejauh θ.

Gambar 2.3 Pendulum

T = 12

m ( x2+(l+x )2 θ2)

V =−12

k x2+mg (l+x ) cosθ

Persaman Lagrange

L=T +V

L= 12

m ( x2+ (l+x )2 θ2 )+(−12

k x2+mg (l+ x )cosθ)L= 1

2m ( x2+ ( l+x )2 θ2 )+mg (l+ x) cosθ− 1

2k x2

Persamaan gerak

ddt ( ∂ L

∂ x )= ∂ L∂x

ddt

(m x )=m (l+ x ) θ2+mg cosθ−kx

m x=m ( l+x ) θ2+mgcosθ−kx

ddt ( ∂ L

∂ θ )= ∂ y∂θ

ddt

(m (l+x )2 θ )=mg (−sinθ ) (l+x )

m (l+x ) θ+2m x θ=−mg sinθ

2. Sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya

sentral pada sebuah bidang.

Misalkan koordinat polar (r,) digunakan sebagai koordinat umum

(umum). Koordinat Cartesian (r,) dapat dihubungkan melalui :

x = r cos y = r sin

Energi kinetik partikel

Energi potensial gaya sentral

Persamaan Lagrange untuk sistem ini

dari persamaan Lagrange

ddt

∂ T∂ qk

= ∂T∂qk

− ∂ V∂ qk

substitusi q1 = r dan q2 = , diperoleh:

Dari kedua persamaan di atas diperoleh

Untuk partikel yang bergerak dalam gaya konservatif

jadi,

dari persamaan Lagrange

atau,

Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang nilainya konstan.

Integrasi persamaan di atas menghasilkan

= konstanBerdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam medan konservatif

momentum sudut J, merupakan tetapan gerak.

3. Osilator Harmonik

Sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja

sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu

sistem dapat dipandang tidak konservatif. Jika x menyatakan pergeseran

koordinat, maka fungsi Lagrangiannya adalah

L = T - V = 12 m x2− 1

2 kx2

dimana m adalah massa dan k adalah tetapan pegas. Selanjutnya:

∂ L∂ x

=m x ∂ L∂ x

=−kx

Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya

sebanding dengan kecepatan; dalam hal ini Q' = -c , sehingga persamaan gerak

dapat ditulis :

ddt

(m x )=−c x+(−kx )

Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya

peredam.

4. Parikel yang berada dalam Medan Sentral

Rumuskan persamaan Lagrange gerak sebuah partikel dalam sebuah

bidang di bawah pengaruh gaya sentral. Kita pilih koordinat polar q1 = r, q2 = .

Maka

T = 12 mv2= 1

2 m (r 2+r2 θ2 )

V =V (r )

L= 12 m ( r2+r2 θ2 )−V (r )

a

l-xx

m1

m2

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh :

∂ L∂ r

=m r ∂ L∂ r

=mr { θ2−f (r )¿

∂ L∂θ

=0 ∂ L∂ θ

=mr2 θ

Oleh karena sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya adalah :

ddt

∂ L∂ r

=∂ L∂r

ddt

∂ L∂ θ

=∂ L∂θ

m r=mr { θ2+ f (r )¿ddt

(mr2 θ )=0

5. Pesawat Adwood

Sebuah pesawat Atwood yang terdiri dari dua benda bermassa m1 dan

m2 dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l m dan dilewatkan pada

katrol (lihat gambar). Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. Kita ambil

variabel x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x adalah jarak vertikal

dari katrol ke massa m1 seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Gambar 2.4 Pesawat Atwood Tunggal

Kecepatan sudut katrol adalah x /a , dimana a adalah jari-jari katrol. Energi

kinetik sistem ini adalah :

T= 12 m1 x2+ 1

2 m2 x2+ 12 I x2

a2

dimana I adalah momen inersia katrol. Energi potensial sistem adalah :

Anggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga fungsi

Lagrangiannya adalah

L= 12 (m1+m2+

Ia2 ) x2+g (m1−m2) x+m2 gl

dan persamaan Lagrangenya adalah

ddt

∂ L∂ x

=∂ L∂ x

yang berarti bahwa,

(m1+m2+Ia2) x=g (m1−m2)

atau,

adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m1>m2, maka m1 akan bergerak

turun, sebaliknya jika m1<m2 maka m1 akan bergerak naik dengan percepatan

tertentu.

6. Pesawat Adwood Ganda

Pesawat Atwood ganda diperlihatkan pada gambar 2.5. Nampak

bahwa sistem tersebut mempunyai dua derajat kebebasan. Kita akan menyatakan

konfigurasi sistem dengan koordinat x dan x'. Massa katrol dalam hal ini

diabaikan (untuk menyederhanakan persoalan).

Energi kinetik dan energi potensial sistem adalah :

T= 12 m1 x2+ 1

2 m2 (− x+ x ' )2+ 12 m3(− x− x ' )2

V =−m1gx−m2 g( l−x+x ' )−m3 g( l−x+l '−x ' )

dimana m1, m2 dan m3 adalah massa masing-masing beban, dan l serta l' adalah

panjang tali penghubungnya.

Gambar 2.5 Pesawat Atwood Ganda

sehingga persamaan geraknya dapat ditulis :

ddt

∂ L∂ x

=∂ L∂ x

ddt

∂ L∂ x '

= ∂ L∂ x '

dengan penyelesaian

m1 x+m2( x− x ' )+m3 ( x+ x ')=g(m1−m2−m3 )

m2(− x+ x ' )+m3( x+ x ' )=g (m2−m3 )

dan dari persamaan ini percepatan x dan x ' dapat ditentukan.

7. Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan.

Mari kita tinjau sebuah persoalan dimana sebuah partikel meluncur

pada sebuah bidang miring yang juga dapat bergerak pada permukaan datar yang

licin, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.6. Dalam persoalan ini terdapat dua

derajat kebebasan, sehingga kita butuhkan dua koordinat untuk menggambarkan

keadaan sistem yang kita tinjau. Kita akan memilih koordinat x dan x' yang

masing-masing menyatakan pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap

titik acuan dan pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang

ditunjukkan pada gambar.

l-xx

m1 l'-x’

m3

m2

Dari analisis diagram vektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat

kecepatan partikel diperoleh dengan menggunakan hukum kosinus :

v2= x2+ x ' 2+2 x x ' cos θ

Oleh karena itu energi kinetiknya adalah

T = 12 mv2+ 1

2 M x2= 12 m( x2+ x ' 2+2 x2 x ' 2cosθ )+ 1

2 M x2

dimana M adalah massa bidang miring dengan sudut kemiringan , seperti yang

ditunjukkan dalam gambar 2.6. dan m adalah massa partikel. Energi potensial

sistem tak terkait dengan x oleh karena bidangnya horisontal, sehingga kita dapat

tuliskan :

V=mgx'sin + tetapan

dan

Persamaan geraknya

ddt

∂ L∂ x

=∂ L∂ x

ddt

∂ L∂ x '

= ∂ L∂ x '

Sehingga

m( x+ x ' cosθ )+M x=0 ;

m( x '+ x cosθ )+=mgsinθ

Percepatan x dan x'adalah :

x= −g sin θ cos θm+M

m−cos2 θ

x '= −g sin θ

1− mcos2 θm+M

Gambar 2.6 gerak pada bidang miring dan representasi vektor

8. Penurunan persamaan Euler untuk rotasi bebas sebuah benda tegar.

Metode Lagrange dapat digunakan untuk menurunkan persamaan

Euler untuk gerak sebuah benda tegar. Kita akan tinjau kasus torka - rotasi bebas.

Kita ketahui bahwa energi kinetik diberikan oleh persamaan:

T = 12

( I 1 ω12+ I 2 ω2

2+ I 3 ω32 )

Dalam hal ini harga mengacu pada sumbu utama. dapat dinyatakan dalam

sudut Euler , dan sebagai berikut:

ω1=θ cos ψ+ φ sin θ sinψ

ω2=−θ sinψ+ φ sinθ cosψ

ω3=ψ+ φ cosθ

Dengan memperhatikan sudut Eulerian sebagai koordinat umum, persamaan

geraknya adalah:

ddt

∂ L∂ θ

=∂ L∂θ

ddt

∂ L∂ φ

=∂ L∂φ

ddt

∂ L∂ ψ

= ∂ L∂ ψ

x 'v

x'

Mx

m

oleh karena Q (gaya umum) semuanya nol. Dengan menggunakan dalil rantai

(chain rule):

∂ L∂ ψ

= ∂T∂ω3

∂ ω3

∂ ψ

Sehingga

ddt

∂ L∂ ψ

=I 3 ω3

Dengan menggunakan lagi aturan rantai, kita peroleh

∂T∂ψ

=I 1 ω1

∂ω1

∂ψ+ I2 ω2

∂ω2

∂ψ

=I 1 ω1(−θ sin ψ+ φ sin θ cosψ )+ I 2 ω2(−θ cosψ−φ sin θ sin ψ )

=I 1 ω1 ω2−I 2 ω2 ω1

Dapat diperoleh

I 3 ω3=ω1 ω2( I 1−I 2 )

9. Sebuah benda bermassa m (gambar 2.7) meluncur dengan bebas

pada sebuah kawat dengan lintasan berbentuk lingkaran dengan

jari-jari a.

Lingkaran kawat berputar searah jarum jam pada bidang horisontal dengaan

kecepatan sudut ɷ di sekitar titik O.

a. Selidiki bagaimana gerak benda tersebut

b. Bagaimana reaksi lingkaran kawat

Gambar 2.7 Gerak padakawat melingkar

a. Perhatikan gambar di atas. C adalah pusat lingkaran kawat. Diameter OA

membentuk sudut t dengan sumbu-X, sedangkan benda bermassa m

membentuk sudut θ dengan diameter OA. Jika yang kita perhatikan hanyalah

gerak benda bermassa m saja, maka sistem yang kita tinjau memiliki satu derajat

kebebasan, oleh karena itu hanya koordinat umum q = θ yang dipakai.

Berdasarkan gambar 2.7 a dan 2.7 b, kita dapat tuliskan:

)tcos(atcosax

)tsin(atsinay

)t()tsin(atsinax

)t()tcos(atcosay

Kuadratkan persamaan-persamaan di atas, kemudian jumlahkan akan

diperoleh besaran energi kinetik 

cos2mayxmT222

2122

21

cosmaT 2

dan,

sinmaT

dtd 2

sinmaT 2

Selanjutnya persamaan Lagrange :

111

QqT

qT

dtd

Dalam hal ini Q1 = 0 dan q1 = θ, maka persamaan yang dihasilkan :

0sinmasinma 22

0sin2

Persamaan di atas menggambarkan gerak benda bermassa m pada lingkaran

kawat. Untuk harga θ yang cukup kecil,

θ+ω2 θ=0

yang tak lain adalah gerak bandul sederhana. Bandingkan dengan persamaan

berikut :

θ+ gl

θ=0

dan diperoleh

atau l= g

ω2

Benda bermassa m berosilasi di sekitar garis berputar OA sebagai bandul

sederhana yang panjangnya l=g /ω2. Persamaan tersebut selanjutnya dapat juga

digunakan untuk menghitung kecepatan dan posisi benda bermassa m.

b. Untuk menghitung reaksi kawat, kita mesti melihat pergeseran virtual

massa m dalam suatu arah yang tegaklurus pada kawat. Untuk maksud tersebut,

kita anggap bahwa jarak CB sama dengan jarak r (merupakan variabel dan bukan

tetapan), seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.4 c. Maka dalam hal ini terdapat

ω2= gl

dua derajat kebebasan dan dua koordinat umum, yakni r dan θ . Dari gambar

nampak bahwa:

x=a cos ω t +r cos ( ωt+θ )

y=a sin ω t +r sin (ωt +θ )

x=− aω sin ω t+r cos (ωt+θ )−r [sin (ωt +θ ) ] (ω+θ )

y=aω cos ω t+ r sin (ωt+θ )+r [cos (ωt +θ ) ] (ω+θ )

T =12

m ( x2+ y2)

=12

m [a2 ω2+ r2+r2 (θ+ω)2+2aω r sin θ+2 aω r ( θ+ω) cosθ ]

ddt ( ∂T

∂ r )−∂ T∂ r

=Qr

Dimana Qr = R adalah gaya reaksi. Nilai dari ∂T /∂ r dan ∂T /∂ r diperoleh dari

didapatkan :

R=m [ r+aωθ cosθ−r ( θ+ω )2−aω ( θ+ω ) cosθ ]r=a , r=0 , dan r=0

R=− ma [ ω2 cos θ+( θ+ω )2 ]yang merupakan persamaan yang menyatakan reaksi kawat.

10. Gerak sebuah partikel dengan massa m yang bergerak pada

bidang sebuah kerucut dengan sudut setengah puncak (half-angle) φ

Gaya yang bekerja hanyalah yang disebabkan oleh gaya gravitasi saja.

Gambar 2.8 Gerak pada Kerucut

Misalkan puncak kerucut berada di titik O (pusat koordinat dalam gambar),

sedangkan sumbu kerucut berimpit dengan sumbu z. Posisi partikel pada

permukaan kerucut dapat dinyatakan dengan koordinat Cartesian (x,y,z). Namun

kita akan gunakan koordinat silinder (r ,θ , z ) sebagai koordinat umumnya. Tidak

semua ketiga koordinat tersebut a adalah independen (bebas satu sama lain).

Koordinat z dan r dihubungkan oleh parameter φ melalui persamaan :

z=r cot φz=r cot φ

Kemudian diperoleh dua derajat kebebasan. Bisa digunakan r, θ sebagai koordinat

umum dan menghilangkan z dengan menggunakan persamaan pembatas diatas.

Energi kinetik massa m adalah :

T =12

mv2=12

m [ r2+r2 θ2+ z2]=12

m [ r2 (1+cot2 φ )+r2 θ2 ]

¿12

m ( r2 csc2 φ+r2 θ2)

atau

Energi potensial massa m (anggap V = 0 dan z = 0) :

V =mgz=mgr cot φKemudian Lagrangian L sistem :

L=T −V =12

m ( r 2csc2φ+r2 θ2)−mgr cot φ

Persamaan Lagrange untuk koordinat r adalah :

ddt ( ∂ L

∂ r )− ∂ L∂ r

=0

∂ L∂ r

=mr csc2 φ , ddt ( ∂ L

∂ r )=mr csc2φ , ∂ L∂ r

=mr { θ2−mgcot φ ¿

r−r θ2 sin2φ+g cosφ sin φ=0

Ini adalah persamaan gerak untuk koordinat r.

Persamaan Lagrange untuk koordinat θ adalah :

ddt ( ∂ L

∂ θ )− ∂ L∂ θ

=0

Dengan memasukkan nilai L, diperoleh :

∂ L∂ θ

=mr2 θ dan ∂ L∂ θ

=0

ddt

(mr2 θ )= ddt ( J z )=0

Artinya

J z=mr2 θ=kons tan

F. Momentum Koordinat Umum

Tinjaulah gerak sebuah partikel tunggal yang bergerak sepanjang garis

lurus (rectilinier motion). Energi kinetiknya adalah

T = 12 m x2

(30)

dimana m adalah massa partikel, dan x adalah koordinat posisinya. Selanjutnya

disamping mendefinisikan momentum partikel p sebagai hasil kali m x , kita juga

dapat mendefinisikan p sebagai kuantitas ∂T

∂ x , yakni:

p= ∂T

∂ x=m x

(31)

Dalam kasus dimana sebuah sistem yang digambarkan oleh koordinat

umum q1, q2, …, qk … qn, kuantitas pk didefinisikan dengan

pk=

∂ L∂ qk (32)

yang disebut momentum umum. Persamaan Lagrange untuk sistem konservatif

dapat ditulis

pk=

∂ L∂qk (33)

Misalkan dalam kasus khusus, satu dari koordinatnya, katakanlah q, tidak tersirat

secara eksplisit dalam L. Maka

pλ=

∂ L∂q λ (34)

sehingga

pλ=tetapan=cλ (35)

Dalam kasus ini, koordinat q dikatakan dapat terabaikan (ignorable). Momentum

umum yang diasosiasikan dengan koordinat terabaikan tak lain adalah tetapan

gerak sistem.

Sebagai contoh, dalam persoalan partikel yang meluncur pada

bidang miring yang licin (yang telah dikerjakan pada bagian sebelumnya), kita

dapatkan bahwa koordinat x, posisi bidang, tidak tersirat dalam fungsi Lagrangian

L. Oleh karena x merupakan suatu koordinat terabaikan, maka

px=

∂ L∂ x

=( M+m) x+m x 'cosθ=tetapan (36)

Kita dapat lihat bahwa ternyata px adalah komponen total dalam arah mendatar

dari momentum linier sistem dan oleh karena tidak terdapat gaya yang bekerja

dalam arah mendatar pada sistem, komponen momentum linier dalam arah

mendatar harus konstan.

Contoh lain koordinat terabaikan dapat dilihat dalam kasus gerak

partikel dalam medan sentral. Dalam koordinat polar

L= 12 m (r2+r2 θ2 )−V (r ) (37)

seperti yang diperlihatkan dalam contoh di atas. Dalam kasus ini adalah

koordinat terabaikan dan

pθ=

∂ L∂θ

=mr { θ2=tetapan¿

(38)

yang sebagaimana telah kita ketahui dari bab terdahulu adalah momentum sudut

di sekitar titik asal.

Contoh

Bandul sferis, atau potongan sabun dalam mangkuk. Suatu persoalan klasik dalam

mekanika adalah bahwa partikel yang terbatasi untuk berada pada permukaan

sferis yang licin di bawah pengaruh gravitasi, seperti sebuah massa kecil meluncur

pada permukaan mangkuk yang licin. Kasus ini juga digambarkan oleh bandul

sederhana yang berayun dengan bebas dalam sembarang arah, Gambar 2.9. Ini

dinamakan bandul sferis, yang dinyatakan sebelumnya dalam bagian terdahulu.

Gambar 2.9

Bandul sferis

m

mg

l

y

z

x

Dalam hal ini terdapat dua derajat kebebasan, dan kita akan

menggunakan koordinat umum dan seperti yang ditunjukkan. Hal ini

kenyataannya ekivalen dengan koordinat bola dengan r = l = tetapan dimana l

adalah panjang tali bandul. Kedua komponen kecepatan adalah v = l θdan v =

l sinθ φ . Ketinggian bola bandul, dihitung dari bidang-xy, adalah (l - l cos θ) ,

sehingga fungsi Lagrangian adalah

L= 1

2ml2 ( θ2+sin2 θ φ2 )−mgl(1−cosθ)

(39)

Koordinat dapat diabaikan, sehingga diperoleh

pθ=

∂ L∂ θ

=ml2 sin2θ φ=tetapan (37)

Ini adalah momentum sudut di sekitar sumbu tegak atau sumbu z. Kita akan

menundanya untuk persamaan dalam :

ddt

∂ L∂ θ

=∂ L∂θ (40)

yang dapat juga dinyatakan sebagai:

ml2 θ=ml2 sinθ cosθ φ2−mgl sin θ (41)

Mari kita perkenalkan tetapan h, yang didefinisikan dengan:

h=sin θ φ−

pφ

ml2 (42)

Selanjutnya persamaan diferensial gerak dalam menjadi

θ+ g

lsin θ−h2 cos2 θ

sin2 θ=0

(43)

Persamaan (43) mengandung beberapa makna sebagai berikut. Pertama, jika sudut

konstan, maka h = 0. Akibatnya, persamaan di atas dapat ditulis sebagai :

θ+ g

lsin θ=0

(44)

yang tak lain adalah persamaan gerak bandul sederhana. Geraknya berada dalam

bidang = o = konstan. Kedua, adalah kasus banduk konik (conical pendulum).

Dalam hal ini, gantungan bandul menggambarkan suatu lingkaran horisontal,

=1

=2

sehingga = o = konstan. Jadi, θ=0 dan θ=0 , sehingga persamaan (44) dapat

disederhanakan menjadi :

gl

sin θo−h2cos2 θo

sin2 θo

=0 (45)

atau :

h2= g

lsin4 θo secθo

(46)

Dari nilai h yang diperoleh pada persamaan di atas, maka

φo

2= gl

secθo (47)

yang tak lain adalah persamaan gerak bandul konik.

Gambar 2.10

Gerak pada permukaan bola

G. Mekanika Hamilton

Persamaan Hamilton untuk gerak pada sebuah fungsi dari koordinat

umum

H=∑

kqk pk−L

(48)

Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah

fungsi kuadrat dari q dan energi potensialnya merupakan fungsi q saja :

L=T (qk , qk )−V (qk ) (49)

Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh

∑

kqk pk−L=∑

kqk

∂ L∂ qk

=∑k

qk∂T∂ qk

=2T (50)

Oleh karena itu :

H=∑

kqk pk−L=2T −(T −V )=T +V

(51)

Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya,

pandang n buah persamaan yang ditulis sebagai :

pk=

∂ L∂qk (k = 1,2, …n) (52)

dan nyatakan dalam q dalam p dan q

qk=qk( pk ,qk ) (53)

Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H yang bersesuaian dengan

variasi δpk , δqk sebagai berikut :

δH=∑

k [ pk δ qk+ qk δpk−∂ L∂ qk

δ qk−∂ L∂ qk

δqk ] (54)

Suku pertama dan suku kedua yang ada dalam tanda kurung saling meniadakan,

oleh karena menurut defenisi pk=∂ L/∂qk , oleh karena itu:

δH=∑

k[ q δpk− pk δq k ]

(55)

Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

δH=∑

k [ ∂ H∂ pk

δpk+∂ H∂ qk

δqk ] (56)

Akhirnya diperoleh :

kk

qpH

(57)

Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk

gerak. Persamaan-persamaan ini terdiri dari 2n persamaan defernsial orde-1

(bandingkan dengan persamaan Lagrange yang mengandung n persamaan

diferensial orde-2. Persamaan Hamilton banyak dipakai dalam mekanika kuantum

(teori dasar gejala atomik).

Contoh pemakaian.

1. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak osilator

harmonik satu dimensi.

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai :

T = 1

2m x2

dan V = 1

2Kx2

(58)

Momentumnya dapat ditulis

p=∂T

∂ x=m x

atau x= p

m (59)

Hamiltoniannya dapat ditulis :

H=T +V = 1

2 mp2+ K

2x2

(60)

Persamaan geraknya adalah :

∂ H∂ p

= x

∂ H∂ x

=− p (61)

dan diperoleh :

pm

= x Kx=− p

Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan

menggunakan kedua persamaan di atas, dapat kita tulis :

m x+Kx=0 (62)

yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.

∂ H∂qk

=− pk

(105)

2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang

berada di bawah pengaruh medan sentral.

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam

koordinat polar sebagai berikut:

T = m

2( r2+r2 θ2)

dan V=V(r) (63)

Jadi :

pr=

∂T∂ r

=m r r=pr

m (64)

pθ=∂T∂ θ

=mr2 θ θ=pθ

mr2 (65)

Akibatnya :

H= 1

2 m( pr

2+pθ

2

r2 )+V (r ) (66)

Persamaan Hamiltoniannya:

∂ H∂ pr

=r,

∂ H∂ r

=− pr,

∂ H∂ pθ

=θ,

∂ H∂θ

=− pθ (67)

Selanjutnya:

pr

m= r

(68)

∂V (r )∂r

−pθ

2

mr 3=− pr (69)

pθ

mr2= θ (70)

− pθ=0 (71)

Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap,

(72)

Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,

m r= pr=

mh2

r3 −∂V (r )

∂r (71)

untuk persamaan gerak dalam arah radial.

PENUTUP

Dari pembahasan di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Jika ditinjau gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang,

maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan

mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun, tak

selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui.

2. Dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui, maka

pendekatan Newtonian tak berlaku. Sehingga diperlukan pendekatan baru

dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik partikel,

misal energi totalnya. Pendekatan ini dilakukan dengan menggunakan prinsip

Hamilton, dimana persamaan Lagrange yakni persamaan umum dinamika

partikel dapat diturunkan dari prinsip tersebut.

3. Prinsip Hamilton mengatakan, lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis

adalah lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara energi

kinetik dengan energi potensial.

4. Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat

diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa

perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel.Energi kinetik partikel dalam

koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi potensial partikel yang

bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari posisi.

5. Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari

koordinat umum, kecepatan umum, dan mungkin waktu.

6. Pada dasarnya, persamaan Lagrange ekivalen dengan persamaan gerak

Newton, jika koordinat yang digunakan adalah koordinat kartesian.

7. Hubungan Lagrangian terhadap waktu merupakan konsekuensi dari gaya

konstrain terhadap waktu atau dikarenakan persamaan transformasi yang

menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum mengandung fungsi

waktu.

DAFTAR PUSTAKA

Boas, Mary. --. Mathematical Methods in the Physical Sciences. ---

Goldstein, Hebert. 2000. Classical Mechanics Third Edition. New York: Addison Wesley.

Gregory, Douglas. 2006. Classical Mechanics. New York: Cambridge University Press.

Morin, David. 2004. Introduction to Classical Mechanics With Problems and Solutions. New York: Cambridge University Press.