nurbaiti45.files.wordpress.com · Web viewHitunglah perbandingan volume tabung dan balok itu. Di dalam kerucut dibuat sebuah bola. Jika tinggi kerucut 24 dm dan diameter kerucut adalah

SMA KELAS X SEMESTER GENAP

Disusun oleh:Siti Nur Baiti, S.Pd.

19860811 200902 2 006

SMA NEGERI 1 KARANGANOMKLATEN

1Ruang Dimensi Tiga_Matematika SMA_X_Semester Genap

B

2010BAB VI

RUANG DIMENSI TIGA

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG1. Titik

Titik tidak memiliki ukuran / besaran, sehingga dikatakan titik tidak berdimensi.

.A .B titik A titik B

2. Garis Garis adalah himpunan titik-titik yang hanya memiliki ukuran panjang sehingga dikatakan garis berdimensi satu.

garis g garis AB segmen garis AB

3. Bidang Bidang adalah himpunan titik-titik yang memiliki ukuran panjang dan luas, sehingga dikatakan bidang berdimensi dua.

Bidang Bidang ABCD

4. Aksioma Tentang Garis dan Bidang Aksioma merupakan pernyataan yang diterima kebenarannya secara umum tanpa memerlukan pembuktian.Aksioma 1

Dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis yang melalui kedua titik tersebut.

2 Ruang Dimensi Tiga_Matematika SMA_X_Semester Genap

g

A B A

A B

CD

Aksioma 2Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

Aksioma 3Melalui tiga buah titik sembarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang.

LATIHAN A.1Gambarlah kubus ABCD.EFGH, kemudian sebutkanlah:a. Titik sudut pada kubus.b. Garis (rusuk) pada kubusc. Sisi (bidang) pada kubusd. Diagonal sisi pada kubuse. Diagonal ruang pada kubusf. Bidang diagonal pada kubus

5. Kedudukan Titik Terhadap Garis a. Titik terletak pada garis

Sebuah titik dikatakan terletak pada garis jika titik itu dilalui garis tersebut.b. Titik di luar garis


DalilDalil 1 : Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang yang tidak

segaris.Dalil 2 : Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik

terletak di luar garis.Dalil 3 : Sebuah bidang ditentukan oleh dua garis berpotongan.Dalil 4 : Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar.

Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, jika titik itu tidak dapat dilalui oleh garis.

A.

6. Kedudukan Titik Terhadap Bidang a. Titik terletak pada bidang

Titik dikatakan terletak pada bidang jika titik itu dilalui bidang tersebut.b. Titik di luar bidang

Titik dikatakan berada di luar bidang, jika titik itu tidak dilalui bidang tersebut.

LATIHAN A.2Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan titik P berada pada perpotongan garis EG dan HF, titik Q adalah perpotongan garis AG dan EC. Tentukanlah kedudukan:a. titik P terhadap garis EG e. titik P terhadap bidang EFGH dan ACGEb. titik Q terhadap garis CE f. titik Q terhadap ACGE dan EFGHc. titik P terhadap garis AG g. titik F terhadap bidang ACGEd. titik Q terhadap garis BF h. titik E terhadap bidang ADHE

7. Kedudukan Garis Terhadap Garis lain a. Dua garis berpotongan

Dua buah garis g dan h dikatakan berpotongan jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan tersebut dinamakan titik potong.

b. Dua garis sejajarDua buah garis g dan h dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan.

c. Dua garis bersilanganDua buah garis g dan h dikatakan bersilangan, jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.

Aksioma 4


g - titik A pada garis g atau garis g melalui titik A

- titik B di luar garis g atau garis g tidak melalui titik B

.A .B

- titik A pada bidang atau bidang melalui titik A.

- titik B di luar bidang atau bidang tidak melalui titik B.

.B

Melalui sebuah titik di luar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu tersebut.

8. Kedudukan Garis Terhadap Bidang a. Garis memotong atau menembus bidang

Garis g dan bidang mempunyai tepat satu titik persekutuan.

b. Garis sejajar bidang

Jika garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan, maka garis tersebut sejajar dengan bidang.

c. Garis Terletak pada Bidang

Garis g pada bidang atau bidang melalui garis g. Semua titik pada garis g juga terletak pada bidang .


g

A

B

g

p

g

DalilDalil 5 :

Jika garis g sejajar dengan garis kDan garis k sejajar dengan garis l,Maka garis g sejajar dengan garis l

Dalil 6 :Jika garis g sejajar garis h dan memotong garis k dan garis m sejajar h dan memotong garis k, maka garis g, m dan h terletak pada bidang yang sama.

Dalil 7 :Jika garis g sejajar h dan h menembus bidang V, maka garis g juga menembus bidang V.

LATIHAN A.3Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan titik P adalah perpotongan garis EG dan HF. Kemudian nyatakan kedudukan (diberi alasannya):a. Garis CD terhadap bidang ACGEb. Garis CP Terhadap bidang EFGHc. Garis EC terhadap garis HBd. Garis BC terhadap garis EHe. Garis AC Terhadap BE.

9. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang a. Dua bidang sejajar

Dua bidang dikatakan sejajar apabila kedua bidang itu tidak mempunyai titik persekutuan.

b. Dua bidang berpotongan Dua bidang dikatakan berpotongan apabila kedua bidang itu mempunyai tepat satu garis persekutuan atau disebut garis potong.


DalilDalil 8 :

Jika bidang V sejajar W dan dipotong oleh bidang U, maka garis potong (U, V) sejajar garis potong (U, W).

Dalil 9 :Jika bidang V sejajar bidang W dan garis g menembus V, maka garis g juga menembus bidang W.

LATIHAN A.41. Tentukanlah rusuk-rusuk kubus ABCD.EFGH yang berpotongan dengan EG,

rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan AD dan rusuk-rusuk kubus yang bersilangan dengan BD.

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukanlah bidang-bidang yang sejajar dengan garis FB, garis-garis yang terletak pada bidang BDHF, dan garis-garis yang memotong (menembus) bidang ABCD !

3. Pada kubus ABCD.EFGH. Gambarlah titik tembus DF dengan bidang ACH!

4. Diberikan Limas segiempat beraturan T.ABCD. Titik G terletak pada pertengahan TC. Gambarlah titik tembus garis AG pada bidang TBD!

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Lukislah:7Ruang Dimensi Tiga_Matematika SMA_X_Semester Genap

Dalil 10 :Jika garis g terletak pada bidang V dan bidang V sejajar bidang W, maka garis g sejajar bidang W.

Dalil 11 :Jika bidang V sejajar bidang W dan bidang U memotong bidang V, maka bidang U juga memotong bidang W.

Dalil 12 :Jika bidang V sejajar bidang W dan bidang W sejajar bidang U, maka bidang V juga sejajar bidang U.

Dalil 13 :Jika bidang sejajar bidang U dan sejajar bidnag V, bidang

dan bidang berpotongan pada garis ( , ), bidang U dan bidang V berpotongan pada garis (U,V), maka garis ( , ) sejajar garis (U,V).

Dalil 14 :Jika garis a sejajar g dan garis b sejajar h, garis a dan b berpotongan dan terletak pada bidang V, garis g dan h berpotongan dan terletak pada bidang W, maka bidang V dan bidang W sejajar.

Dalil 15 :Jika garis g sejajar bidang V dan bidang V sejajar bidang W, maka garis g juga sejajar bidang W.

a. Titik tembus DP pada bidang ACH, jika P pada BF sehingga PF = 2 BP, danb. Titik tembus bidang ABS dengan titik PQ dimana P dan Q di tengah-tengah

EF dan CD serta S adalah titik diagonal sisi EFGH.B. VOLUME DAN LUAS PERMUKAAN BANGUN RUANG

Volume benda ruang = Isi benda ruang

1. Volume dan Luas Permukaan Prisma dan Tabung

……………. ……………… ………………. ………………..

Volume = Luas alas x tinggiLengkapilah pernyataan berikut:a. Volume Prisma segitiga = ……………….. x …………..

= ……………….. x …………..

b. Volume balok /prisma segiempat = ………………. x ………….= …….. x …….. x ………

c. Volume Tabung = …………….. x …………..= …………….. x ………….

Luas Permukaan = 2 x Luas Alas + Luas selimutLengkapilah pernyataan berikut:a. Luas permukaan prisma segitiga = ….. x …………. + ………………….

= ….. x …………. + …………………= …………………..

b. Luas permukaan balok = ….. x ……………. + ……………….= ….. x ……………. + ………………= ………………

c. Luas permukaan tabung = …... x …………… + ……………….= …… x…………… + ……………….= ………………………


2. Volume dan Luas Permukaan Limas

Volume Limas = x luas alas x tinggi

Luas permukaan limas = Luas alas + luas selimut

Volume Kerucut = x luas alas x tinggi

Luas permukaan kerucut = luas alas + luas selimut

Tugas kelompok:a. Temukanlah rumus volume limas dengan dasar sebuah kubus!b. Temukanlah rumus volume kerucut!

3. Volume dan Luas Permukaan Bola

Volume Bola = . r3

Luas permukaan bola = 4 .r 2

LATIHAN B1. Diketahui balok ABCD.EFGH, dengan AB = BC = 10 cm dan AE = 2 cm. Di

dalam balok ini dibuat tabung sebesar-besarnya. Hitunglah perbandingan volume tabung dan balok itu.

2. Di dalam kerucut dibuat sebuah bola. Jika tinggi kerucut 24 dm dan diameter kerucut adalah 14 dm, hitunglah rasio volume kerucut dan bola itu!

3. Diketahui limas segienam beraturan T.ABCDEF. Panjang rusuk AB = 6 cm dan rusuk TA = 10 cm. Hitunglah:a. luas bidang alas limasb. tinggi limasc. volume limas

4. Bola bekel dengan diameter 4 cm dikemas ke dalam kardus yang berbentuk balok dengan panjang 16 cm, lebar 16 cm, dan tinggi 12 cm.a. Tentukan banyak bola bekel dalam kardus.


b. Tentukan perbandingan volume bola bekel dan tempat yang kosong dalam kardus.

c. Tentukan perbandingan volume kardus yang terisi bola bekel dengan volume kardus yang terisi udara.

C. MENGGAMBAR BANGUN RUANG

gambar 1. gambar 2.gambar 3.

Kubus di atas (gambar 1 dan gambar 2) dilihat dari berbagai sudut pandang. Sebelum menggambar bangun ruang yang dilihat dari sudut pandang yang telah ditentukan, kita harus mengenal pengertian dan ketentuan yang diperlukan untuk menggambar bangun ruang sebagai berikut:1. Bidang gambar

Bidang gambar adalah suatu bidang sebagai tempat untuk menggambar bangun ruang, misal : papan tulis, buku gambar dll.Contoh pada gambar 3 : …………………………..

2. Bidang frontalBidang frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang gambar.Contoh pada gambar 3 : …………………………..

3. Garis frontalGaris frontal adalah garis yang ada pada bidang frontal.Contoh pada gambar 3 : …………………………..

4. Bidang ortogonalBidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal.Contoh pada gambar 3 : …………………………..

5. Garis ortogonalGaris ortogonal adalah garis yang tegal lurus dengan bidang frontal.Contoh pada gambar 3 : …………………………..

6. Sudut Menyisi atau sudut surut


A B

CD

E F

GH

Sudut surut merupakan sudut yang terbentuk antara garis frontal horizontal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Sudut surut ini digambarkan sebagai sudut tumpul atau sudut lancip meskipun ukuran sebenarnya adalah sudut siku-siku ( 90o ).Contoh pada gambar 3 : …………………………..

7. Perbandingan proyeksi atau perbandingan OrtogonalPerbandingan orthogonal merupakan perbandingan antara panjang garis ortogonal pada gambar dengan panjang garis orthogonal sebenarnya. Perbandingan panjang garis orthogonal disebut perbandingan proyeksi.Contoh pada gambar 3 : …………………………..

LATIHAN C1. Diberikan kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk AB = 6 cm. Gambarlah

kubus, jika bidang ABFE frontal, AB horizontal, sudut surutnya 30o , dan perbandingan proyeksi 0,4 !

2. Diberikan balok ABCD.EFGH, dengan AB = 6 cm, BC = 5 cm, dan AE = 4 cm. Gambarlah balok itu, jika ACGE frontal, AC horizontal, sudut surut 150o, dan perbandingan proyeksi = 0,5 !

3. Diketahui limas segiempat tegak T.ABCD, dengan proyeksi titik puncak T tepat jatuh pada pusat bidang alas. AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan TA = 10 cm. Titik-titik P dan Q berturut-turut terletak pada pertengahan AD dan BC. Gambarlah limas itu jika bidang TBD frontal, BD horizontal, sudut surut = 30o , dan perbandingan proyeksi = 0,5 !

D. JARAK PADA BANGUN RUANG

Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung kedua bangun itu yang terpendek dan bernilai positif.

1. Jarak Antara Titik dengan Titik Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.

Jarak titik A ke Titik B adalah panjang ruas garis AB.

2. Jarak Antara Titik dengan Garis Jarak antara titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut yang tegak lurus terhadap garis itu.


A B

A

Pg

Jarak antara titik A dengan garis g adalah panjang ruas garis AP.

3. Jarak Antara Titik dengan Bidang

Jarak antara titik dengan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut yang tegak lurus bidang itu.

AA’ gAA’ bidang

AA’ h

Jarak antara titik A ke bidang adalah panjang ruas garis AA’.

LATIHAN D.11. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M adalah perpotongan diagonal HF dan

EG. Titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB, BC, CD, dan AD. Hitunglah jarak PM, QM, RM dan SM !

2. Diberikan kubus ABCD.EFGH, dengan AB = 12 cm. Titik P terletak pada pertengahan AD. Carilah jarak titik A ke garis EF dan P ke garis FG !

3. Diberikan balok ABCD.EFGH, dengan AB = 16 cm, BC = 12 cm, dan AE = 20 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal EG dan FH, sedangkan titik Q adalah perpotongan diagonal ruang CE dan DF. Tentukanlah jarak titik P ke bidang ADHE dan jarak titik Q ke bidang EFGH!

4. Diberikan limas T.ABCD. Proyeksi titik T tepat jatuh pada pusat ABCD. AB = 15 cm, BC = 8 cm, dan TA = 17 cm. Carilah:a. jarak A ke bidang TBCb. jarak A ke titik berat bidang TBCc. jarak titik puncak ke bidang alas.

4. Jarak Antara Garis dengan Bidang

Jarak antara garis dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik sembarang yang terletak pada garis tersebut yang tegak lurus bidang.


A

A’

g

h

k

A

A’

g

h

Jarak antara garis k dengan bidang adalah panjang ruas garis AA’. Jika AA’ tegak lurus bidang dan k // g (g pada bidang maka k // ) , maka AA’ tegak lurus k.

5. Jarak Antara Bidang dengan Bidang

Jarak antara bidang dengan bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus bidang tersebut.

Jarak antara bidang dengan bidang adalah panjang ruas garis AA’.

LATIHAN D.21. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak

antara garis AE ke bidang BFHD!

2. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 8 cm, lebar BC = 4 cm, dan tinggi AE = 2 cm. Hitunglah jarak garis HD ke bidang ACGE !

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 12 cm. Jika adalah bidang yang melalui BG dan sejajar AC, hitunglah jarak AC ke bidang !

4. Volume kubus ABCD.EFGH adalah 729 liter. Titik P terletak pada pertengahan rusuk BF, titik Q terletak pada pertengahan rusuk DH. Carilah :a. jarak bidang BDG dan bidang AFHb. Jarak bidang ACQ dan bidang EGP

6. Jarak Antara Garis dengan Garis

a. Jarak Antara Garis dengan Garis yang Sejajar

Jarak antara garis dengan garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang berpotongan dan tegak lurus kedua garis tersebut.


A

A’

g

h

Jarak antara garis g dengan garis l adalah panjang ruas garis AB.

Langkah: Gambar ruas garis yang ditarik dari salah satu titik yang terletak pada garis yang satu dan berpotongan tegak lurus dengan garis yang lainnya.

b. Jarak Antara Garis dengan Garis Bersilangan

Untuk menentukan jarak antara garis dengan garis yang bersilangan dapat menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:Gambar bidnag yang melalui garis yang satu dan sejajar garis yang lain, maka jarak antara garis yang bersilangan sama dengan jarak antara bidang tersebut dengan garis yang sejajar itu.

LATIHAN D.31. Volume kubus ABCD.EFGH adalah 1728 cm3. Titik M terletak pada

perpotongan diagonal bidang atas dan titik N terletak pada perpotongan diagonal bidang alas. Carilah jarak garis AM dan NG !

2. Luas permukaan kubus ABCD.EFGH adalah 486 dm2. Titik-titik P dan Q terletak pada pertengahan rusuk-rusuk FG dan GH. Carilah jarak garis BD dan garis PQ !

3. Di dalam kubus ABCD.EFGH dibuat limas segi empat F.ABCD. Jika AB = 9 cm. Carilah:a. Jarak garis BD dan garis FCb. Jarak garis AC dan FD.

E. SUDUT PADA BANGUN RUANG1. Sudut Antara Garis dan Bidang

Definisi:Jika garis g tidak tegak lurus pada bidang , maka sudut antara garis g dan bidang

adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dan proyeksi garis g pada bidang . (Gambarlah !)


A

B

h

g

(g, ) = (g, g’) =

2. Sudut Antara Dua BidangDefinisi:Sudut antara dua bidang (yang berpotongan) adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang tadi dimana setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.Garis ( ) = perpotongan bidang dan .Garis m pada dan m . Garis n pada dan n .

SPQ = sudut tumpuanBidang = bidang tumpuan (bidang yang memuat sudut tumpuan).

LATIHAN E.1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M terletak pada perpotongan diagonal

bidang alas ABCD. Titik Q terletak pada pertengahan rusuk FG. Carilah:a. besar (BG, bidang ABCD)b. besar (GM, bidang ABCD)c. besar (QM, bidang ABCD)

2. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = 8 cm dan luas permukaannya adalah 64 ( 1+ ) cm2 . Carilah besar:a. (TB, bidang ABCD)b. (TB, bidang TAC)

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan diagonal ruangnya adalah 8 cm.a. Lukislah bidang BDE dan bidang yang melalui CE dan sejajar dengan

BD.b. Carilah besar sudut antara BDE dan bidang ABCD.c. Carilah besar sudut antara bidang dan bidang ABCD.


d. Carilah besar sudut antara bidang BDE dan bidang 4. Diberikan limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan TA = 12 cm dan luas

bidang TAC adalah 72 cm2. Carilah besar sudut antara bidang TBC dan bidang ABCD!


Documents

nurbaiti45.files.wordpress.com · Web viewHitunglah perbandingan volume tabung dan balok itu. Di dalam kerucut dibuat sebuah bola. Jika tinggi kerucut 24 dm dan diameter kerucut adalah