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NM1: FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.
Cuando realizamos las multiplicaciones :
1. 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x2. (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35
entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.
Existen varios casos de factorización :
1. FACTOR COMUN MONOMIO:
Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio :
Ejemplo N 1 : ¿ cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ?
Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z )
Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10 ac El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto 5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c )
Ejemplo N 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2
El factor común es “ 6xy “ porque 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy )
Realiza tú los siguientes ejercicios :
EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios :
1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =5. 14m2n + 7mn = 6. 4m2 -20 am =7. 8a3 - 6a2 = 8. ax + bx + cx =9. b4-b3 = 10. 4a3bx - 4bx =11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =15. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = 18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
20. 34x2 y−8
9xy 2=
21. 12a2 b3+ 1
4a3b4− 1
8a2b5+ 1
16a4 b2=
22. 4
35a2b−12
5ab+ 8
15a2b3−16
25a3 b=
2. FACTOR COMUN POLINOMIO:
Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :
EJEMPLO N 1.
Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =
= ( a + b )( x + y )
EJEMPLO N 2. Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =
= 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b )
EJERCICIOS
23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =25. x2( p + q ) + y2( p + q ) = 26. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 31. (a( a + b ) - b ( a + b ) = 32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO
Se trata de extraer un doble factor común.
EJEMPLO N 1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos
p(a + b ) + q( a + b )Se saca factor común polinomio
( a + b ) ( p + q )
EJERCICIOS :33. a2 + ab + ax + bx = 34. ab + 3a + 2b + 6 =35. ab - 2a - 5b + 10 = 36. 2ab + 2a - b - 1 =37. am - bm + an - bn = 38. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =39. 3x2 - 3bx + xy - by = 40. 6ab + 4a - 15b - 10 =41. 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 42. a3 + a2 + a + 1 =43. ac - a - bc + b + c2 - c =44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =45. ax - ay - bx + by - cx + cy =46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
48. 154x2−21
4xz−10
3xy+143
3yz+5 x−7 z=
49. 23am−8
3am− 4
5bm+16
5bn=
4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c
El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso :
EJEMPLO N 1. Descomponer x2 + 6x + 5
1 Hallar dos factores que den el primer término x · x
2 Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6” 1 · 5 ó -1 ·-5
pero la suma debe ser +6 luego serán (x + 1 )( x + 5 )EJEMPLO Nº 2:
Factorizar x2 + 4xy - 12y2
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2 : x · x
2º Hallar los divisores de 12y2 , éstos pueden ser : 6y · -2y ó -6y · 2yó 4y · -3y ó -4y · 3yó 12y · -y ó -12y · y
pero la suma debe ser +4 , luego servirán 6y y -2y, es decirx2 + 4xy - 12y2 = ( x + 6y )( x - 2y )
EJERCICIOS :
Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :50. x2 + 4x + 3 = 51. a2 + 7a + 10 =52. b2 + 8b + 15 = 53. x2 - x - 2 =54. r2 - 12r + 27 = 55. s2 - 14s + 33 =56. h2 - 27h + 50 = 57. y2 - 3y - 4 =58. x2 + 14xy + 24y2 = 59. m2 + 19m + 48 =60. x2 + 5x + 4 = 61. x2 - 12x + 35 =
5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax 2 + bx + c
EJEMPLO
Factoriza 2x2 - 11x + 5
1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x
2º Se buscan los divisores del tercer término 5 · 1 ó -5 · -1
3º Parcialmente la factorización sería ( 2x + 5 )( x + 1 ) pero no sirve pues da : 2x2 + 7x + 5
se reemplaza por ( 2x - 1 )( x - 5 )y en este caso nos da : 2x2 - 11x + 5
EJERCICIOS :
62. 5x2 + 11x + 2 = 63. 3a2 + 10ab + 7b2 =64. 4x2 + 7x + 3 = 65. 4h2 + 5h + 1 =66. 5 + 7b + 2b2 = 67. 7x2 - 15x + 2 =68. 5c2 + 11cd + 2d2 = 69. 2x2 + 5x - 12 =70. 6x2 + 7x - 5 = 71. 6a2 + 23ab - 4b2 =72. 3m2 - 7m - 20 = 73. 8x2 - 14x + 3 = 74. 5x2 + 3xy - 2y2 = 75. 7p2 + 13p - 2 =76. 6a2 - 5a - 21 = 77. 2x2 - 17xy + 15y2 =78. 2a2 - 13a + 15 =
6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS: EJEMPLO:
Factorizar 9x2 - 16y2 =
Para el primer término 9x2 se factoriza en 3x · 3xy el segundo término - 16y2 se factoriza en +4y · -4y luego la factorización de 9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )
EJERCICIOS:
79. 9a2 - 25b2 = 80. 16x2 - 100 =81. 4x2 - 1 = 82. 9p2 - 40q2 =83. 36m2n2 - 25 = 84. 49x2 - 64t2 =85. 169m2 - 196 n2 = 86. 121 x2 - 144 k2 =
87. 9
25a2−49
36b2=
88. 1
25x4− 9
16y 4=
89. 3x2 - 12 = 90. 5 - 180f2 =91. 8y2 - 18 = 92. 3x2 - 75y2 = 93. 45m3n - 20mn = 94. 2a5 - 162 a3 =
7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo:
Factorizar 9x2 - 30x + 25 =
1 Halla la raíz principal del primer término 9x2 : 3x · 3x2 Halla la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término -5 · -5luego la factorización de 9x2 - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2
EJERCICIOS :
95. b2 - 12b + 36 = 96. 25x2 + 70xy + 49y2 =97. m2 - 2m + 1 = 98. x2 + 10x + 25 =99. 16m2 - 40mn + 25n2 = 100.49x2 - 14x + 1 =101.36x2 - 84xy + 49y2 = 102.4a2 + 4a + 1 =103.1 + 6ª + 9a2 = 104.25m2 - 70 mn + 49n2 =105.25a2c2 + 20acd + 4d2 = 106.289a2 + 68abc + 4b2c2 =107.16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =
EJERCICIOS DIVERSOS:
108. 2ab + 4a2b - 6ab2 = 109.2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =110.b2 - 3b - 28 = 111.a2 + 6a + 8 =112.5a + 25ab = 113.bx - ab + x2 - ax =114.6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 115.ax + ay + x + y =116.8x2 - 128 = 117.4 - 12y + 9y2 =118.x4 - y2 = 119.x2 + 2x + 1 - y2 =120.(a + b )2 - ( c + d)2 = 121.a2 + 12ab + 36b2 =122.36m2 - 12mn + n2 = 123.x16 - y16 =
**************************************
FACTORIZACIÓN PARA LOS FUTUROS MATEMÁTICOS.
1. DIFERENCIA DE CUBOS : a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Ejemplo : 8 – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2)
2. SUMA DE CUBOS: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Ejemplo: 27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 – 3a + 1)
125. 64 – x3 = 126. 8a3b3 + 27 =127. 27m3 + 6n6 = 128. x6 – y6 =
129.
18x3+ 8
27 = 130. x3− 1
64 =
1. 4x - 8y =
2. 24a - 12ab =
3. 10x - 15x2 =
4. 14m2n + 7mn =
5. 8a3 - 6a2 =
6. b4-b3 =
7. 14a - 21b + 35 =
8. 4m2 -20 am =
9. ax + bx + cx =
10. 4a3bx - 4bx =
11. 20x - 12xy + 4xz =
12. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
13. 3ab + 6ac - 9ad =
14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =
15. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
16. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
17. 12a2 b3+ 1
4a3b4− 1
8a2b5+ 1
16a4 b2=
19.
20. 34x2 y− 8
9xy 2=
21. 10x2y - 15xy2 + 25xy =
22. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =
23. a2+ab=
24.
25. m5−3m4=
babaabba 3322
2516
158
512
354
26. 4 n2+8n3=
124. a (x + 1) + b ( x + 1 ) =
125. x2( p + q ) + y2( p + q ) =
126. ( 1 - x ) + 5c ( 1 - x ) =
127. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
128. a ( a + b ) - b ( a + b ) =
129. m (2a + b ) + p ( 2a + b ) =
130. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
131. a (2 + x ) - ( 2 + x ) =
132. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
133. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
11. a (x+1) + b (x+1) =
12. x (a+1) - 3 (a+1) =
13. 2 (x-1) + y (x-1) =
14. m (a-b) + (a-b) =
15. 2x (n-1) + 3y (n-1) =
16. a (n+2) + n+2 =
17. x (a+1) –a - 1 =
18. a2+1−b (a2+1 )=
19. 3x ( x-2) -2y ( x-2) =
20. 1-x + 2a (1-x) =
21. a3 (a−b+1 )−b2 (a−b+1 )=
22. 4m (a2+x−1 )+3n (x−1+a2 )=
23. x (2a+b+c )−2a−b−c=
24. ( x+ y ) (n+1 )−3 (n+1 )=
25. ( x+1 ) ( x−2 )+3 y ( x−2 )=
HOJA 3
1. (x2+2 ) (m−n )+2 (m−n )=
2. a ( x−1 )−(a+3 ) ( x−1 )=
3. 5 x (b2+1 )+(x2+1 ) (b2+1 )=
4. (m+n ) (a−n )+(m+n ) (a−n )=
5. ( y+m ) (a+m )−( y+m) (a+b )=
6. (a−2 ) (a−4 )+ (a−2 ) (a+4 )=
7. (a+b−1 ) (b2+1 )−b2−1=
8. (a+b−c ) ( x−3 )−(b−c−a ) ( x−3 )=
9. 3 x ( x−1 )−2 y ( x−1 )+z (x−1 )=
10. a (a+1 )−b (a+1 )−a−1=
11. x (b+2 )−b−2+3 (b+2 )=
12. (1+3b ) ( y+1 )−2a ( y+1 )+3 ( y+1 )=
13. 2m (a−1 )−3 y (a−1 )+z (a−1 )=
14.
15. p (2q+r+s)−2q−r−s=
16. 5 y (c2+1 )+(c2+1 ) (r2+1 )=
17. (m−2 ) (m−3 )+ (m−2 ) (m+4 )=
18. 7 x (n2+2 )+(n2+2 ) (b2+3 )=
19. k (q+r )−b (q+r )−q−r=
20. p (h−1 )+w (−h−1 )+ (h−1 )=
113 bba
HOJA 4
1. 9a2 - 25b2 =
2. 4x2 - 1 =
3. 36m2n2 - 25 =
4. 169m2 - 196 n2 =
5. 9
25a2−49
36b2=
6. 3x2 - 12 =
7. 8y2 - 18 =
8. 45m3n - 20mn =
9. 16x2 - 100 =
10. 9p2 - 40q2 =
11. 49x2 - 64t2 =
12. 121 x2 - 144 k2 =
13. 1
25x4− 9
16y 4=
14. 5 - 180f2 =
15. 3x2 - 75y2 =
16. 2a5 - 162 a3 =
17. x2− y2
18. b2−1=
19. c2−4
20. 4 b2−1
21.d2−25=
22. 1−b2=
23. 4 n2−16=
24. 25−36b6=
HOJA 5
1. a4−169=
2. 1−49m2n4=
3. 4 x2−81 y4=
4. a6−144=
5. a2b8−169=
6. 100−c2 y10=
7. a10−49n12=
8. 25 x2 z10−121=
9. 100 k 4 l2−169 y2=
10. a2m4n8−144=
11. 196 x4 y6−225 z12=
12.256d12−289b4m8=
13. 1−9a2b4c6 d10=
14. 361 x16−1=
15.
14−9a6=
16.
a2
36−1
17.
m8
49− 4 x6
64=
18.
a2
36− x
8
25=
MICELANIA 1
FACTOR COMUN:
1. c4-c3 =
2. 15m2n + 30mn =
3. 55m2n3 x+110m2n3 x2−220m2 y3=
4. 93m3 x2 y−62m2 x3 y2−124m2x=
5.x−x2+x3−x4=
6. (m−2 ) (m−4 )+(m−2 ) (m+4 )=
7. a (b−2 )+m (b−2 )=
8. r (c−2 )−c+2=
9.ab ( v−6 )−x ( v−6 )=
10. ( p+q−r ) ( s−5 )−(q−r−p ) (s−5 )=DIFERENCIA DE CUADRADOS
11. x2−1=
12. 16m6−36=
13. 169−m12=
14.
m8
16−n12=
15.
n6
49− 1
121=
16. (m+1 )2−36
17. (m−n )4−(m+n )6=
18. a2−169=
HOJA 6
1. 64 – x3 =
2. 27m3 + 6n6 =
3. 18x3+ 8
27 =
4. 8a3b3 + 27 =
5. x6 – y6 =
6.x3− 1
64 =
7. a3−1=
8. y3+1=
9. x3−1=
10. 8m3−1=
11. 27 x3−64=
12. x3+27=
13. a3−27=
14. 27m3−n3=
15. x6+64=
16. r3−125=
17. 1−216m3=
18. 8a6+27b9=
19. v6+b12=
20.8n3−27m3=
HOJA 7
1. 512+27c3=
2. 1+729 x12=
3. 27 j3+64n9=
4. 343 v6−216 y12=
5. m3n3 x3+1
6. c9+d3=
7. 1000 c3−1=
8. a12+125b12=
9.x12+ y12=
10. 1−27 a9b9=
11. 8 x6+729=
12. a3−8b12=
13. 8 x9−125 y3 z6=
14. 27m12+343n9=
15. 216−n12=
16. 1+( x+ y )3=
17. 1− (x+ y )3=
18.27+ (m−n )3=
19. ( x+ y )3−8=
20. ( x+2 y )3+1=
HOJA 8
1. 1− (2a−b )3=
2. a3+(a+1 )3=
3. 8a3− (m−1 )3=
4. 27 x3−( x− y )3=
5. (2 x+ y )3−27=
6. x6−( x+2 )3=
7. (a+1 )3+(a−3 )3=
8.(c−1 )3−( c+1 )3=
9. ( z−2 )3+(m−3 )3=
10. (2 t−u )3+ (3 t+u )3
11. 8 (t+u )3−( y−u )3=
12. 64 (m+n )3−125=
13. ( x+ y )3+( x−2 )3=
14. 8−( x− y )3=
15. (a+b )3+1
16. (a+b )3−(a−b )3=
17. t9−u3=
18. r12−u6=
19. a3−8=
MICELANIA 2FACTOR COMUN
1. 3b – 6x =
2. 15x + 20y – 30=
3. 14c – 21d – 30=
4. a ( x−1 )−(a+3 ) ( x−1 )=
5. 4g2 + 2gh =
DIFERENCIA DE CUADRADOS
1. c2−1=
2. 36 x4 z10−121=
3.
c6
121−d12=
4. (m−n )4−(m+n )6=SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
1. ( z−1 )3−( z+1 )3=
2. 1+(2g−h )3=
3. 1000 p3−1=
4. 27 j3+64n9=
5. 512+27c3=
MICELANEA
x2− y2=
4 ax+7a2 x5=
x3− y3=
MICELANIA 3FACTOR COMUN
1. 4g2 + 2gh =
2. 25a – 30ab + 15ab2 =
3.
4. 25x6 – 4y4 = DIFERENCIA DE CUADRADOS
1. 36b2−1=
2. 49 x6 z8−169=
3.
j6
16− m12
25 r2 =
4. (a+c )2− (k+t )4=
5. 144 – 9x2=SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
1. (a+51 )3− (a+32 )3=
2. 1+( f+g )3=
3. 64 p3−1=
4. 343 j3+216n9=
5. 729+512c3=
MICELANEA
25 x5 y2+50 x3 y3−150xy=
x2−36m4=
( x+2 )2−64=
( x+1 )3+1728=
MICELANIA 4
1. 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 =
2. 5x – 5 =
3. 20u2 – 55u =
4. 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 =
DIFERENCIA DE CUADRADOS
1. 64b2−49=
2. 121a4 b8−169=
3.
n4
121− f 6
169 r 4 =
4. (2a+c )2−(3 z+1 )4=
5. 169 – 81x2=SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
1. ( z+5 )3−( p+6 )3=
2. 27+ (t+u )3=
3. p3−64=
4. 343a3+216n9=
5. 125+512a3=
MICELANEA
16 x4 y6+32 x4 y2−48 x6 y=
q2−81m4=
(w−3 )2−196=
(q+w )3−27=
MICELANIA 5FACTOR COMUN
1. 16x – 12 =
2. 6x –12y + 18=
3. 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx=
4. 20abc – 30abd – 60ab2c + 90ab2d2 =
5. 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 =DIFERENCIA DE CUADRADOS
6. a2−b2=
7. 36−z2=
8. (a−b )2−m2=
9. (m+z )2− (p−q )2=
10. 16 x2−121 y2=SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
11. a3+8=
12. (a+1 )3−1=
13. m6−125=
14. z3+27=
15. 125 x3−64w3=MICELANEA
16. z (s+ t )−p (d+t )
17. m3−216 s3=
18. ( p+q )2− (m+n )2=
19. 24 a2 xy2−36 x2 y4=
20. x3+x5−x7=
HOJA 9
1. x2+7 x+10=
2. x2−5x+6=
3. x2+3 x−10=
4. x2+3 x−2=
5. a2+4 a+3=
6. m2+5m−14=
7. y2−9 y+20=
8.t2−6−t=
9. p2−9 p+8=
10. w2+5w−24=
11. z2−3 z+2=
12. a2+7a+6=
13. y2−4 y+3=
14. x2+10 x+21=
15. m2−12m+11=
16. f2−7 f−30=
17. n2+6n−16=
18. 20+a2−21a=
19. h2+h−30=
HOJA 10
1. 28+q2−11q=
2. k2−6 k−40=
3. b2−5b−36=
4. a2−2a−35=
5. a2+14a+13=
6. m2−14m+33=
7. y2+13 y−30=
8.t2−13 t−14=
9. p2+15 p+56=
10. w2−15w+54=
11. z2+7 z−60=
12. a2−17 a−60=
13. y2−20 y−300=
14. x2+x−132=
15. m2−2m−168=
16. f2−41 f +400=
17. n2+n−364=
18. 432+a2+42a=
19. h2−30h−675=
HOJA 11
1. 336+q2+50q=
2. k2−2k−528=
3. b2+43b+432=
4. a2−4a−320=
5. a2−8a−1008=
6. m4+m2+4=
7. y6−6 y3−7=
8.y8−2 y4−80=
9. x2 y2+xy−12=
10. (14w )2−2 ( 4w )−15=
11. (5 z )2+13 (5 z )+42=
12. x2+2ax−15a2=
13. a2−4ab−21b2=
14. x10+x5−20=
15. m2+mn−56n2=
16. f4 7 cf 2−60c2=
17. (2n )2−4 (2n )+3=
18. (m−n )2+5 (m−n )−24
19. h8+h4−240=
HOJA 12
1. 15−q2+2q=
2. a4b4−2a2b2−99=
3. c2+11 cd+28d2=
4. 25a2−5 (5a )−84=
5. a2−21ab+98b2=
6. x4 y4+x2 y2−132=
7. − y4+2 y2+48=
8.(c+d )2−18 (c+d )+65=
9. m6n6−21m3n3+104=
10. 14+5n−n2=
11. x6+x3−930=
12. ( 4 x2)2−8 ( 4 x2) 105=
13. x4+5abx2−36a2b2=
14. a4−a2b2−156b4=
15. 21m2+4mx−x2=
16. x8 y8−15ax4 y4−100a2=
17. (a−1 )2+3 (a−1 )−108=
18. m2+abcm−56a2b2c2=
19. (7 x2)2+24 (7 x2)+128=
HOJA 13
1. 2a2+3a−2=
2. 3b2−5b−2=
3. 6m2+7m+2=
4. 5 t2+13 t−6=
5. 6u2−6−5u=
6. 12w2−w−6=
7. 4 z2+15 z+9=
8.3+11a+10a2=
9. 12m2−13m−35=
10. 20a2+a−1=
11. 8a2−14 a−15=
12. 7 x2−44 x−35=
13. 15m2+16m−15=
14. 12 p2−7 p−12=
15. 9a2+10a+1=
16. 20 f 2−9 f−20=
17. 21n2+11n−2=
18. 15m2+m−6=
19. 9 r2+37 r+4=
20.20q2+44 q−15=
HOJA 15
1. p2−2 pq+q2=
2. a2+2ab+b2=
3. x2−2x+1=
4. y4+1+2 y2=
5. u2−10u+25=
6. 9−6 x+ x2=
7. 16+40 x2+25x 4=
8. 1+49m2−14m=
9. 36+12m2+m4=
10. 1−2a3+a6=
11. m8+118m4+81=
12. a6−2a3b3+b6=
13. 4 x2−12 xy+9 y2=
14. 9b2−30a2b+25a4=
15. 1+14 x2 y+49 x4 y2=
16. 1+a10−2a5=
17. 49m6−70am3 n2+25a2n4=
18. 100 x10−60a4 x5 y6+9 a8 y12=
19. 121+198 x6+81 x12=
20.a2−24 am2 x2+144m4 x4=
MICELANIA 6FACTOR COMUN
1. 6p2q + 24pq2 =
2. r (m+q )+s (m+q )=
3. (m−n )−m+n=DIFERENCIA DE CUADRADOS
4. 144a2−169b2=
5. ( t−w )2−m2=
6. (a−b )2−( c+d )2=SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
7. 8a3+27=
8. ( p+2 )3−125=
9. (m−3 )3+( j−k )3=
Trinomio de la forma x2+bx+c
10. x2+8 x+12=
11. x2+9 x+20=
12. x2+18+11 x=
13. x2+40−13 x=
14. x2+9 x+20=
15. x2−5x+6=
Trinomio de la forma Ax2+bx+c
16.2 x2+3 x+1=
17. 4 x2+13 x+3=
18. 3 x2+14 x+8=
19. 3 x2−4 x+1=
20. 3 x2−5 x+2=
MICELANIA 7FACTOR COMUN
1. 12 xy2−24 x3 y3=
2. z (a+b )+ (a+b )=
3. (r+t )−r−t=DIFERENCIA DE CUADRADOS
4. 4 a2−b2=
5. ( j+k )2−1212=
6. x2− 4
81=
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
7. a3+49=
8. (w−1 )3−216=
9. ( x+3 )3+ ( y+1 )3=
Trinomio de la forma x2+bx+c
10. x2−13x+30=
11. x2−12x+35=
12. x2+4 x−21=
13. x2+7 x−44=
14. x2−x−2=
15. x2−6 x−16=
Trinomio de la forma Ax2+bx+c
16.4 x2−8 x+3=
17. 2 x2+11 x−6=
18. 2 x2+x−6=
19. 3 x2−16 x−12=
20. 2 x2−3 x+2=
HOJA 14
1. 4 p2+ p−33=
2. 30b2 13b−10=
3. 6m4+5m2−6=
4. 5 t6+4 t3−12=
5. 10u8+29u4+10=
6. 6w2 x2+5wx−21=
7. 20 x2 y2+9 xy−20=
8. 15n2−mn−2m2=
9. 12−7 x−10 x2=
10. 21a2−29ab−72 y2=
11. 6m2−13am−15a2=
12. 14 x4−45 x−14=
13. 30m2−13mn−3n2=
14. 7 p6−33 p3−10=
15. 30+13a−3a2=
16. 5+7 x4−6 x8=
17. 6m2−mn−2n2=
18. 4 x2+7mnx−15m2 n2=
19. 18 r2+17 rs−15 s2=
20.15+2q2−18q4=
HOJA 16
1. a2−24 am2 x2+144m4 x4=
2. 16−104 x2+169 x4=
3. 400 x10+40 x5+1=
4.
a2
4−ab+b2=
5. 1+ 2b
3+ b
2
9=
6. a4−a2b2+ b
4
4=
7.
125
+25 x4
36− x
2
3=
8. 1+49m2−14m=
9. 16 x6−2x3 y2+ y
4
16=
10.
n2
9+2mn+9m2=
11. a2+2a (a+b )+ (a+b )2=
12. 4m2−4m (n−m )+(n−m )2=
13. (a+x )2−2 (a+x ) ( x+ y )+( x+ y )2=
14. (m+n )2−2 (a−m ) (m+n )+(a−2 )2=
15. 4 (1+a )2−4 (1+a ) (b−1 )+ (b−1 )2=
16. 9 ( x− y )2−12 ( x− y ) (x+ y )+4 ( x+ y )2=
17. 4 x2−20 xy+25 y2=
18. 1−16 ax2+64a2 x4=
HOJA 17
1. 16a4+54 a2b2+49b4=
2. 36 x4−109 x2 y2+49 y 4=
3. 81m8+2m4+1=
4. t4−45 c2+100=
5. 4 u8−53u4+49=
6. 64 v4+76v2+49=
7. 25 x4−139 x2 y2+81 y4=
8. 49 x8+76x 4 y4+100 y8=
9. 4−108 x2+121 x4=
10. 121x 4−133 x2 y 4+36 y8=
11. 144+23n6+9n12=
12. 16−9c4+c8=
13. 64 a4−169a2b4+81b8=
14. 225+5m2+m4=
15. 1−126 a2b2+169a4 b8=
16. x4 y4+21x2 y2+121=
17. 49 c8+75c4m2+196m4n4=
18. 81a4b8−292a2b4 x8+256 x16=
19. 18 r2+17 rs−15 s2=
20.15+2q2−18q4=
