seminar.uny.ac.idseminar.uny.ac.id/semnasmipa/sites/seminar.uny.ac.id... · Web viewMakalah ini membahas tentang desain kendali robust pada sistem Linear Time Invariant. Tidak seperti

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012

DESAIN KENDALI ROBUST

DENGAN PENDEKATAN PERMAINAN DINAMIS

UNTUK SISTEM LINEAR TIME INVARIANT (LTI)

Muhammad Wakhid Musthofa

Program Studi Matematika Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakartae-mail: [email protected]

AbstrakMakalah ini membahas tentang desain kendali robust pada sistem Linear Time

Invariant. Tidak seperti metode yang biasa dilakukan dalam mendesain kendali robust, dalam makalah ini kendali robust didesain dengan menggunakan pendekatan permainan dinamis. Disamping desain kendali, dalam makalah ini juga dibahas batas terkecil dari parameter . Selanjutnya disajikan contoh numerik desain kendali robust melalui pendekatan domain frekuensi dan permainan dinamis.

Kata kunci: Kendali robust, permainan dinamis, sistem LTI.

PENDAHULUANKendali robust adalah sebuah jenis kendali yang kokoh terhadap gangguan dan

ketidakpastian yang dialami oleh suatu sistem. Mendesain kendali robust berarti mendesain sebuah kendali yang tidak hanya dapat diaplikasikan pada suatu plant dengan masukan tunggal yang tidak diketahui, akan tetapi desain kendali tersebut mampu diaplikasikan pada berbagai jenis plant dengan berbagai tipe masukan dan gangguan yang bermacam-macam sehingga tujuan pengendalian yang diinginkan dapat tercapai. Kekokohan suatu sistem kendali terhadap berbagai gangguan dan ketidakpastian selalu menjadi isu pokok dalam mendesain kendali optimal feedback. Kekokohan suatu sistem diukur dengan membandingkan antara kuantitas output terkendali dengan kuantitas

gangguan yang keduanya dinyatakan dalam bentuk norm ruang dari fungsi transfernya. Dalam dua dekade ini pengembangan metode desain sistem kendali yang robust masih menjadi hal utama yang dikerjakan oleh para ilmuwan yang tergabung komunitas kontrol baik pengembangan dalam aspek teoritis maupun aspek praktis (Xu dan Lam, 2006).

Dalam perkembangannya konsep teori kendali optimal telah dapat digeneralisasikan dalam teori permainan yang memunculkan topik bahasan permainan dinamis (differential game) (Engwerda, 2005). Dalam topik ini beberapa pemain mempunyai tujuan untuk meminimumkan fungsi ongkos yang mereka miliki, dan diantara mereka terdapat konflik dalam mencapai tujuannya. Untuk mendapatkan fungsi ongkos yang minimum masing-masing pemain harus memilih kendali yang sesuai berdasarkan informasi permainan yang mereka miliki pada himpunan kendali yang diperkenankan dalam sistem dinamik linear yang mendasarinya. Tipe permainan yang diperlukan dalam makalah ini adalah permainan dinamis dua pemain berjumlah nol. Dalam tipe ini fungsi ongkos yang dimiliki oleh pemain kedua adalah negatif dari fungsi ongkos pemain pertama, sehingga jika kedua fungsi ongkos ini dijumlahkan akan menghasilkan nilai nol. Selain itu, tipe permainan juga dibatasi pada permainan dinamis linear kuadratik (linear quadratic differential game).

Hingga sejauh ini desain kendali robust masih dikerjakan dalam domain frekuensi. Makalah F-1

Muhammad Wakhid Musthofa / Desain Kendali Robustini akan mengembangkan konsep tersebut dengan menggunakan pendekatan teori permainan dinamis.

DESAIN KENDALI ROBUST Kendali robust adalah tipe kendali yang tahan terhadap gangguan dan ketidakpastian yang

terdapat pada suatu plant atau sistem yang dikendalikan. Ukuran ketahanan kendali terhadap

gangguan dan ketidakpastian diukur menggunakan norm dalam ruang . Berikut ini disajikan desain kendali robust untuk sistem Linear Time Invariant (LTI). Diberikan sistem LTI

(2.1)

dengan , , , , , . Vektor dengan M (M merupakan himpunan semua kendali yang diperkenankan bagi sistem (2.1))

merupakan masukan kendali bagi sistem, adalah gangguan yang muncul dalam sistem,

adalah output terukur dan adalah output teregulasi bagi sistem. Dalam bentuk relasi input-output, sistem (2.1) di atas disajikan dalam bentuk fungsi transfer

= . (2.2)Bentuk blok diagram dari sistem (2.1) disajikan dengan gambar di bawah

Gambar 1. Representasi sistem 2.1atau dengan persamaan berikut

(2.3)

.Dalam kerangka linear fractional transformation (LFT) persamaan di atas dirumuskan dengan

(2.4)Masalah yang ingin diselesaikan adalah mendesain mekanisme kendali yang

memungkinkan yang akan menjaga cukup kecil terhadap kemungkinan munculnya gangguan

pada sistem. Perbandingan antara kuantitas dan dinyatakan dalam bentuk norm

F-2


. (2.5) Selanjutnya didefinisikan matriks Hamiltonian untuk sistem (2.1) di atas

2 * *1 1 2 2

* *1 1

:A B B B B

HC C A

dan

* 2 * *1 1 2 2

*1 1

:A C C C C

JB B A

. (2.6)

Untuk mencari solusi dari persamaan aljabar Riccati yang bersesuaian dengan matriks Hamiltonian di atas, didefinisikan pemetaan Riccati (Ric) sebagai berikut

. (2.7)

dengan beranggotakan semua matriks Hamiltonian (2.6). Pemetaan tersebut

memetakan semua matriks Hamiltonian ke matriks sebagai solusi dari

persamaan aljabar Riccati yang bersesuaian dengan matriks Hamiltonian (2.6).

Masalah kendali optimal dapat dirumuskan sebagai mencari semua kendali yang

diperkenankan (admissible controllers) sedemikian sehingga minimum. Untuk kepentingan praktis, terkadang tidak diinginkan mencari kendali optimal akan tetapi hanya kendali

suboptimal saja. Masalah tersebut dapat dirumuskan sebagai mencari semua kendali yang

diperkenankan (admissible controllers) sedemikian sehingga , untuk suatu

yang diberikan. Untuk merumuskan teorema kendali suboptimal , pada sistem (2.1) di atas diasumsikan beberapa hal berikut dipenuhi.

1. dapat distabilkan dan terdeteksi.

2. terkendali dan teramati.

3.

4.

Selanjutnya, teorema berikut menyatakan keberadaan kendali suboptimal .Teorema 1. (Zhou, 1998) Terdapat kendali yang diperkenankan untuk sistem (2.1) di atas

sedemikian sehingga jika dan hanya jika kondisi di bawah ini dipenuhi

i. dom RicH dan 0X , dengan adalah solusi dari persamaan aljabar Riccati

yang bersesuaian dengan matriks Hamiltonian .

ii. dom RicJ dan 0Y , dengan adalah solusi dari persamaan aljabar Riccati

yang bersesuaian dengan matriks Hamiltonian .

iii. 2X Y .

Lebih lanjut, jika kondisi di atas dipenuhi, salah satu bentuk kendali suboptimal adalah

F-3

Muhammad Wakhid Musthofa / Desain Kendali Robust

(2.8)

dengan 2 *

1 1 2 2A A B B X B F Z L C ,

*2F B X

*2L Y C , 12Z I Y X

. (2.9)Untuk dapat membuktikan Teorema 1 di atas, diperlukan beberapa teorema dan lemma

berikut. Lemma berikut terkait dengan suatu fakta dalam teori matriks.

Lemma2. (Zhou, 1998) Diberikan , dengan 0n n n n TX Y X X dan 0TY Y . Misalkan k bilangan bulat positif , maka terdapat matriks

112 12

1212 2 12 2

*, 0 dan

* *n k

T T

X X X X YX

X X X X

(2.10)

jika dan hanya jika

0 dan rankn n

n n

X I X In k

I Y I Y

. (2.11)

Tanda * menotasikan elemen yang tidak diperhatikan.

Selanjutnya diberikan lemma yang menyatakan karakterisasi ketaksamaan matriks dan kaitannya dengan kendali sistem.Lemma 3. (Zhou, 1998) Terdapat kendali yang diperkenankan berorde k sedemikian sehingga

jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut dipenuhi.

i. Terdapat matriks 1 0Y yang memenuhi ketaksamaan

* * 2 * 2 *

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2/ 0AY Y A Y C C Y B B B B (2.12)

ii. Terdapat matriks 1 0Y yang memenuhi ketaksamaan

* * 2 * 2 *

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2/ 0X A A X X B B X C C C C (2.13)

iii.

1 1

1 1

/ /0 dan rank

/ /n n

n n

X I X In k

I Y I Y

. (2.14)

Teorema di bawah mengulas keterkaitan antara solusi dari persamaan aljabar Riccati dengan solusi dari ketaksamaan aljabar Riccati.Teorema 4. (Zhou, 1998)

Diberikan matriks 0R dan misalkan ,A R terkendali dan terdapat matriks

*X X yang memenuhi

*: 0Q X XA A X XRX Q . (2.15)

Maka, terdapat terdapat solusi X X untuk persamaan Riccati

* 0X A A X X RX Q , (2.16)

sedemikian sehingga matriks A RX antistabil.

Berikutnya diberikan lemma yang bermanfaat untuk membuktikan syarat cukup dari Teorema 1.

Lemma 5. (Zhou, 1998) Terdapat kendali yang diperkenankan sedemikian sehingga

F-4


jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut dipenuhi.

i. Terdapat solusi yang menstabilkan 0X untuk persamaan

* * 2 * *1 1 2 2 1 1/ 0X A A X X B B B B X C C

(2.17)

ii. Terdapat solusi yang menstabilkan 0X untuk persamaan

* * 2 * *1 1 2 2 1 1/ 0AY Y A Y C C C C Y B B

(2.18)

iii.

12

10 atau n

n

Y IX Y

I X

.

PERMAINAN DINAMISPermainan dinamis dapat dipandang sebagai generalisasi dari teori kendali. Konsep ini

mempelajari situasi yang melibatkan konflik kepentingan antara dua atau lebih pengambil keputusan yang dapat berupa orang, organisasi maupun pemerintah. Pada permainan ini diasumsikan setiap pemain dapat mempengaruhi sejumlah variabel (yang berubah terhadap waktu) yang berperan penting dalam merealisasikan tujuan mereka. Diasumsikan pula dinamika pergerakan variabel terhadap waktu dapat disajikan dalam bentuk persamaan diferensial linear, yang berakibat tindakan yang dilakukan pemain juga linear terhadap variabel tersebut. Dalam permainan ini kesuksesan seorang pemain untuk merealisasikan tujuannya bergantung kepada strategi yang diambil oleh pemain lainnya. Sehingga informasi permainan menjadi hal penting dalam rangka menentukan tindakan optimal bagi setiap pemain.

Jenis permainan yang akan digunakan pada makalah ini adalah permainan dengan tipe informasi lingkar terbuka dan lingkar tertutup (feedback). Maksud dari permainan dengan tipe

informasi lingkar terbuka adalah bahwa selama permainan berlangsung dalam waktu 0,t T

setiap pemain hanya mengetahui state awal 0x dan struktur model (bisanya dinotasikan dengan 0i t x

, 0,t T). Skenario ini dapat diinterpretasikan dengan di awal permainan setiap

pemain menentukan strateginya masing-masing secara serempak, kemudian mereka mendaftarkan strategi tersebut kepada bandar permainan yang akan menjalankan strategi tersebut secara konsisten (Engwerda Salmah, 2009). Sedangkan dalam permainan lingkar tertutup informasi yang

dimiliki oleh masing-masing pemain adalah keseluruhan state dari sistem ( , 0,t T

) (Engwerda Salmah, 2011). Sehingga setiap pemain mengetahui tindakan/strategi yang diambil oleh pemain yang lain pada setiap waktu selama permainan berlangsung. Tipe permainan yang digunakan dalam makalah ini adalah permainan nonkooperatif yang berarti semua pemain tidak saling bekerja sama untuk mencapai tujuan mereka.

Persamaan matematika untuk permainan dinamis dengan n pemain disajikan dalam bentuk persamaan diferensial linear

1 1 ... n nx Ax B u B u , 00x x . (3.1)

dengan , , , . Setiap pemain mempunyai fungsi ongkos yang berbentuk kuadratik

1

10

,..., ,T n

T T Ti n i j ij j iT

j

J u u x Q x u R u dt x T Q x T

1...i n (3.2)

F-5


dengan semua simetris dan matriks definit positif.Tujuan dari setiap pemain adalah meminimumkan fungsi ongkosnya masing-masing

dengan memilih kendali yang sesuai pada sistem dinamik linear yang mendasarinya. Dalam hal ini didefinisikan :

i t dengan 0,t T

adalah informasi yang dimiliki oleh pemain dalam suatu permainan, adalah himpunan strategi-strategi / tindakan / kendali yang dimungkinkan dipilih pemain, dan

, dengan adalah tindakan atau kendali yang dipilih oleh pemain.Tipe permainan yang diperlukan dalam makalah ini adalah permainan dinamis dua pemain

berjumlah nol. Dalam tipe ini fungsi ongkos yang dimiliki oleh pemain kedua adalah negatif dari fungsi ongkos pemain pertama, sehinga jika kedua fungsi ongkos ini dijumlahkan akan menghasilkan nol. Persamaan matematis yang mengggambarkan situasi di atas adalah

1 1 2 2x Ax B u B u , 00x x. (3.3)

Fungsi ongkos kuadratik untuk pemain pertama

(3.4)sedangkan fungsi ongkos kuadratik untuk pemain kedua adalah negatif dari fungsi ongkos kuadratik untuk pemain pertama

, (3.5)

dengan matriks adalah simetris. Lebih lanjut, diasumsikan definit positif.

Selanjutnya, keberadaan solusi bagi permainan dinamis dengan struktur informasi lingkar terbuka berjumlah nol untuk dua orang pemain diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 6. (Engwerda, 2005), (Basar Olsder, 1999) Diberikan sebuah permainan dinamis dua orang pemain berjumlah nol yang didefinisikan pada sistem dinamik (3.3) dengan fungsi ongkos

untuk pemain pertama (3.4) dan untuk pemain kedua (3.5). Maka, untuk semua tipe permainan ini mempunyai ekuilibrium Nash (yang juga berarti ekuilibrium titik pelana) lingkar terbuka untuk setiap state awal jika dan hanya jika kondisi-kondisi di bawah ini dipenuhi.i. Persamaan diferensial Riccati

, (3.6)

mempunyai solusi simetris untuk setiap .ii. Dua persamaan diferensial Riccati

, , (3.7)

, , (3.8)

mempunyai solusi untuk setiap .Lebih lanjut, jika kondisi di atas dipenuhi ekuilibrium Nash tersebut tunggal. Dalam hal ini ekuilibrium Nash diberikan oleh persamaan

dan .

Fungsi memenuhi persamaan transisi

.

F-6


Sistem dinamik setelah diberi kendali (strategi) optimal yaitu

adalah stabil dikarenakan P adalah solusi yang menstabilkan sistem (3.6).

DESAIN KENDALI ROBUST DENGAN PENDEKATAN PERMAINAN DINAMISDiberikan sistem dinamik (2.1) dengan fungsi transfernya disajikan sebagai

. (2.2)

Fungsi transfer sistem (2.1) dari ke dalam bentuk linear fractional transformation (LFT) disajikan oleh persamaan

(2.4)Masalah mendesain kendali robust dapat diformulasikan sebagai mencari semua pen-

gontrol yang diperkenankan (admissible controllers) sedemikian sehingga , un-

tuk suatu yang diberikan. Dengan kata lain ingin dicari kendali yang akan mengopti-malkan penurunan tingkat ganguan pada keluaran sistem yang dirumuskan sebagai

. (4.1)

Jika adalah nilai optimal dari (4.1) maka dapat ditulis

. (4.2)Berdasarkan definisi norm operator (Horn dan Johnson, 1985) didapat

. (4.3)Dengan demikian masalah mendesain kendali robust dapat diformulasikan sebagai masalah men-

cari dan yang bersesuaian yang akan meminimalkan , atau menyelesaikan masalah optimisasi (4.1), yaitu

. (4.4)Persamaan (4.4) menyatakan nilai teratas permainan dinamis dua pemain, sehingga dipenuhi per-samaan

. (4.5)

Jika terdapat dan yang bersesuaian yang memenuhi batas penurunan tingkat gan-

guan pada persamaan (4.2), maka masalah optimisasi (4.4) ekuivalen dengan masalah

F-7


i. Terdapat dan sedemikian sehingga

untuk semua (4.6)dan

ii. Tidak terdapat yang lain (katakan ) dan yang bersesuaian sedemikian sehingga

untuk semua . (4.7)

Selanjutnya didefinisikan keluarga fungsi ongkos berparameter (dalam )

. (4.8)

Maka, masalah i. dan ii. di atas ekuivalen dengan masalah mencari nilai terkecil yang mem-

buat nilai teratas permainan dengan fungsi ongkos terbatas ke atas pada nilai nol dan

mencari kendali yang bersesuaian yang menghasilkan nilai teratas permainan. Selanjut-nya, menggunakan definisi norm

(4.9)

(4.10)

dan dengan mengasumsikan , , , dan

pada sistem dinamik (2.1) maka fungsi ongkos (4.8) dapat disajikan dalam bentuk linear kuadratik

(4.11)

dengan , , dan . Dengan demikian maka masalah mende-sain kendali robust dapat diformulasikan ke dalam permainan dinamis linear kuadratis yang didefinisikan pada sistem dinamik (2.1) dengan fungsi ongkos untuk pemain pertama (desainer

kendali) adalah (4.11) dan fungsi ongkos untuk pemain kedua (gangguan) adalah .

Berikut diberikan teorema yang berguna untuk mencari nilai terkecil dan kendali

yang bersesuaian dalam permainan dengan struktur informasi lingkar terbuka.

Teorema 11. (Basar dan Bernhard, 1995) Diberikan permainan dinamis linear kuadratik dua pemain berjumlah nol dengan struktur informasi lingkar terbuka yang didefinisikan oleh per-samaan dinamik (2.1), dengan fungsi ongkos pemain pertama diberikan oleh persamaan (4.11) dan

fungsi ongkos pemain kedua adalah . Maka, hal-hal berikut dipenuhi :

i. Untuk , persamaan diferensial Riccati

F-8


, (4.12)

tidak mempunyai titik konjugat pada interval .

ii. Untuk , permainan dinamis mempunyai solusi titik pelana yang diberikan oleh

dan (4.13)

dengan adalah solusi persamaan (4.12) dan adalah state trayektori yang dibangun oleh

. (4.14)

iii. Untuk , nilai titik pelana permainan diberikan oleh

. (4.15)

iv. Jika , nilai teratas bagi permainan bernilai takterbatas untuk suatu . Lebih

lanjut, terdapat suatu sedemikian sehingga nilai teratas bagi permainan juga

bernilai takterbatas, yaitu pada .Sedangkan untuk permainan dinamis dengan struktur informasi lingkar tertutup, diperoleh teorema berikut.

Teorema 12. (Basar dan Bernhard, 1995) Diberikan permainan dinamis linear kuadratik dua pemain berjumlah nol dengan struktur informasi lingkar tertutup yang didefinisikan oleh per-samaan dinamik (2.1), dengan fungsi ongkos pemain pertama diberikan oleh persamaan (4.11)

dan fungsi ongkos pemain kedua adalah . Maka, hal-hal berikut dipenuhi :

i. Jika , permainan dinamis mempunyai solusi titik pelana yang diberikan oleh

dan (4.16)

dengan adalah solusi persamaan

, . (4.17)

dan adalah state trayektori yang dibangun oleh

.

ii. Jika , permainan mempunyai nilai teratas dan terbawah yang takterbatas untuk se-

mua .

SIMULASI NUMERIKF-9

Muhammad Wakhid Musthofa / Desain Kendali RobustBagian ini akan menbandingkan desain kendali robust pada domain frekuensi yang sudah

biasa dilakukan banyak orang dengan desain kendali robust melalui pendekatan permainan dinamis. Diberikan sistem LTI dengan realisasi fungsi transfer

-1

G = . (5.1)

Tanpa mengurangi keumuman desain, diambil , dan dengan perhitungan sederhana diperoleh sistem di atas memenuhi asumsi-asumsi berikut :

1. terkendali dan terobservasi,

2. dapat distabilkan, dan dapat dideteksi,

3.

4. Selanjutnya dibentuk matriks Hamiltonian

dan

Nilai eigen dari adalah -1 dengan vektor eigen dan 1 dengan vektor eigen . Maka,

sehingga didapat , dengan adalah solusi dari persamaan aljabar Riccati

(5.2)

Dengan cara yang sama didapat , dimana adalah solusi dari persamaan aljabar Riccati

. (5.3)

Sehingga , ,dan memenuhi

(i)

F-10


(ii)

(iii) Maka kendali robust dari sistem di atas adalah

0

dengan

dan Sehingga didapat

0 (5.4)

.

Jadi diperoleh pengendali suboptimal robust . (5.5)Selanjutnya, akan dicari pengendali optimal sistem (5.1) dengan menggunakan metode permainan

dinamis. Diambil , , sehingga diperoleh fungsi ongkos untuk permainan

.Diperoleh matriks M untuk permainan dengan entri-entrinya adalah

Dengan nilai eigen dari M adalah -1 dengan vektor eigen dan 1 dengan vektor eigen

.

Dengan demikian diperoleh dan .

F-11

Muhammad Wakhid Musthofa / Desain Kendali RobustSistem setelah diberi kendali optimal diberikan oleh

Sehingga didapat trayektori optimal yang stabil.Dengan demikian didapat kendali optimal

(5.6)Persamaan (5.5) dan (5.6) merupakan kendali yang robust bagi sistem (5.1) dikarenakan trayektori setelah diberi kendali adalah trayektori yang stabil.

KESIMPULANDalam makalah ini telah dikaji desain kendali robust melalui pendekatan permainan

dinamis. Teorema – teorema terkait dengan desain kendali dan batas terkecil parameter telah dipaparkan. Makalah ini juga telah menyajikan perbandingan hasil desain kendali robust antara pendekatan domain frekuensi dengan permainan dinamis, dimana keduanya mmenuhi kriteria robust. Namun demikian permasalahan dalam kajian ini masih cukup sederhana. Sehingga pengembangan permasalahan seperti desain kendali robust pada suatu sistem singular (sistem deskriptor) dapat menjadi bahan kajian lebih lanjut.

DAFTAR PUSTAKA

Basar, T. dan Bernhard, P., 1995, Optimal Control and Related Minimax Design Problems: Dynamic Game Approach, Birkhauser, Boston.

Basar, T. dan Olsder, G.J., 1999, Dynamic Noncooperative Game Theory, Acadmic Press SIAM, New York.

Engwerda, J.C., 2005, LQ Dynamic Optimization and Differential Game, John Wiley & Sons, Ltd., England.

Engwerda, J.C. dan Salmah, 2009, The Open-Loop Linear Quadratic Differential Game for Index One Descriptor Systems, Automatica, vol. 45 no. 2, 585-592.

Engwerda, J.C. dan Salmah, 2011, Feedback Nash Equilibria for Linear Quadratic Descriptor Dif-ferential Game, proses submisi ke jurnal Sciense Direct.

Horn, R.A., dan Johnson, C.A., 1985, Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge.Xu, S. dan Lam J., 2006, Robust Control and Filtering of Singular Systems, Springer, Berlin.Zhou K., Doyle, J.C., 1998, Essentials of Robust Control, Prentice-Hall, New Jersey.

F-12

Documents

seminar.uny.ac.idseminar.uny.ac.id/semnasmipa/sites/seminar.uny.ac.id... · Web viewMakalah ini membahas tentang desain kendali robust pada sistem Linear Time Invariant. Tidak seperti