MATEMÁTICAS Mayores de 25 añosTema 7. Derivadas e integrales.

Derivada de una función en un punto y función derivada.Cálculo de derivadas con funciones elementales.Uso de la derivada para la determinación del crecimiento, decrecimiento y máximos y mínimos relativos de funciones polinómicas y racionales.Primitivas: cálculo de primitivas inmediatas.Integral definida: cálculo de integrales sencillas.Cálculo de áreas de recintos sencillos mediante la integral definida.

IPEP de Granada

Dpto. de Matemáticas

Tema 7. Derivadas e integrales.Derivada de una función en un punto y función derivada.

Si tenemos una función llamamos derivada de la función en un punto a la tasa de variación instantánea de la función en el punto y se denota . Así, según la definición tenemos que:

Recuerda que para que exista este límite, deben existir los límites laterales y coincidir. Así, de la misma forma, podemos definir las derivadas laterales como: .- Derivada por la derecha:

.- Derivada por la izquierda:

Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Ejemplo 1: Calcula la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

Ejemplo 2: Halla la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

Ejemplo 3: Calcula la derivada de f(x) = 2x2 – 6x + 5 en x = −5.

Ejemplo 4: Halla la derivada de f(x) = x3 + 2x – 5 en x = 1.

Ejemplo 5: Determina la derivada de f(x) = en x = 2.

Ejemplo 6: Calcula el valor de la derivada f(x) = en x = 2.

Ejemplo 7: Halla la derivada de f(x) = en x = 3.

Si tenemos una función f(x) denominamos función derivada de f respecto a la variable x a una nueva función que para cada valor x nos proporciona la derivada de la función en el punto x. A la función derivada de f(x) la denotaremos f'(x), aunque

también la puedes ver representada como . De esta forma tenemos que:  

Recuerda que con esta definición, la función derivada nos proporciona, para cada punto x, la pendiente de la recta tangente a la función en en punto x. Ejemplo: Calcula la derivada de la función en x=a.

Determinamos la derivada de f(x) → f’(a)=

=

Derivada de las funciones a trozosEn las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos. Ejemplo 1: Estudia la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Las derivadas laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.Ejemplo 2: Estudia la derivabilidad de la función

No es derivable en x = 0.

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

La función es continua en toda .

f'(−2)− = −1f'(−2)+ = 1 No será derivable en: x= -2.

En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.

Ejemplo 3: Halla los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

La función es continua en toda .

f'(2)- = −1f'(2)+ = 1 f'(3)- = −1f'(3)+ = 1 Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x=2 y x=3.

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

Cálculo de derivadas. Derivada de una constante

Ejercicio: Calcula las derivadas de las funciones: a) f(x) = 7 b) g(x) = ln5 c) h(x) =

Solución: a) f ’(x) = 0 b) g’(x) = 0 c) h’(x) = 0

Derivada de xDerivada de una sumaDerivada de una constante por una función Derivada de una función polinómica

Ejercicio 1: Calcula las derivadas de las funciones: a) f(x) =

b) g(x) = c) h(x) =

Solución: a) f ’(x) = b) g’(x) = c) h’(x) =

Ejercicio 2: Calcula las derivadas de las funciones:

1.

Solución:

2.

Solución:

3.

Solución:

4.

Solución:

5.

Solución:

6.

Solución:

Derivada de una potencia

Ejercicio: Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:

1.

Solución:

2.

Solución:

3.

Solución:

4.

Solución:

5.

Solución:

6.

Solución:

7.

Solución:

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Ejercicio: Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz:

1.

Solución:

2.

Solución:

3.

Solución:

Derivada de un producto

Derivada de un cociente

Ejercicio: Calcula la derivada utilizando la derivada del cociente:

1.

Solución:

2.

Solución:

3.

Solución:

Derivada de la función exponencial Derivada de la función exponencial de base e

Ejercicio: Deriva las funciones exponenciales:

1.

Solución:

2.

Solución:

3.

Solución:

4.

Solución:

5.

Solución:

Derivada de un logaritmo

Como , también se puede expresar así:

Derivada del logaritmo neperiano

Ejercicio: Calcula la derivada de las funciones logarítmicas:

1.

Solución:

2.

Solución: Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:

3.

Solución: Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:

4.

Solución: Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:

5.

Solución: Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:

Derivada del seno Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Ejercicio: Calcula la derivada de las funciones trigonométricas:

1

Solución:

2

Solución:

3

Solución:

4

Solución:

5

Solución:

6

Solución:

7

Solución:

8

Solución:

9

Solución:

10.

Solución:

11.

Solución:

12.

Solución:

13.

Solución:

14.

Solución:

15.

Solución:

16.

Solución:

17.

Solución:

18.

Solución:

19.

Solución:

20.

Solución:

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Ejercicio: Calcula la derivada de la funciones trigonométricas inversas:

1

Solución:

2

Solución:

3

Solución:

4

Solución:

5

Solución:

Regla de la cadena

Ejercicio: Deriva por la regla de la cadena las funciones:

1

Solución:

2

Solución:

3

Solución:

4

Solución:

5

Solución:

6

Solución:

7

Solución:

Derivada de la función potencial-exponencial

Ejercicio: Deriva las funciones potenciales-exponenciales:

1

Solución:

2

Solución:

3

Solución:

EJERCICIOSEjercicio 1: Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) b)

c) d)

Solución:

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 2: Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) b) c) d)

Solución:

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 3: Sea la función

0

1

0

)(

2

xsixx

xsixx

xf

a) Analice la continuidad y derivabilidad de la función f en su dominio.b) Determine la asíntota horizontal, si la tiene.c) Determine la asíntota vertical, si la tiene.

Solución: Apartado a) El dominio de definición es todo 1 ya que el denominador de la segunda función se anula para x = -1, mientras que la primera función es continua puesto que es una función polinómica.

La función f(x) en el intervalo )0,( está definida mediante el polinomio xx 2 luego es continua y derivable en todos los puntos del intervalo.

En el intervalo ),0( la función 1

)(2

xxxf es una función que no está definida para x = -1, punto que

no pertenece al intervalo ),0( , por lo tanto, la función no se anula en el denominador para ningún valor real positivo, es decir, la función es continua y derivable en todos los puntos de este intervalo.

Continuidad de la función en x = 0.

1. 010

0)0(

f .

2. ?)(lim0

xfx

Estudiemos los límites laterales.

2a. 0)( 2

00limlim

xxxfxx

2b. 010

01

)( limlim00

xxxf

xx

Luego la función es continua en el punto x = 0.

Derivabilidad de la función en x = 0.

1111

000)0()0()0(

limlim

limlimlim

00

2

0

2

00

hhhh

hhh

hhh

hfhff

hh

hhh

11

11

010

0)0()0()0( limlimlimlim

0000

hhhh

hhh

hfhff

hhhh

Por lo tanto, la función es derivable en el punto x = 0.

Veamos también la definición de derivada de una función en un punto, calculando, en este caso, las derivadas laterales en el punto x = 0.

Estudiemos, en primer lugar, la derivada de la función en cada trozo y para .0x

0

11

012

)(2 xsi

x

xsix

xf

11012)0( limlim00

xxffxx

1

101

11)0( 22

0lim

xf

x

Luego la función es continua y derivable en todo .

Apartado b) Veamos en el intervalo .

xxxxxxxfxxxx

222 limlimlimlim .

Es decir, no tiene asíntota horizontal a la izquierda.

.11limlim

xxxf

xx Entonces la recta y = 1 es una asíntota horizontal de f a su derecha.

Apartado c) La función no tiene ninguna asíntota vertical puesto que es continua en todo .

Ejercicio 4: Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función:

250,2542.0)( 2 ttttCsiendo t los años transcurridos desde el año 2000.

a) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación?b) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?c) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t = 8. Interprete el resultado

anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento.

Solución: Apartado a) Calculemos el valor de t para el que la función alcanza un máximo: 10044.00422.0)( ttttC será un posible punto máximo.

1004.0)( tParatC la función alcanza un máximo. Por tanto, en el año 2010 el nivel de contaminación será máximo.

Apartado b) Si 2542.0)( 2 tttC es la función del nivel de contaminación, este alcanzará el valor cero

cuando .0125202542.00 22 tttt

525

2

50040020

t

Luego sólo se alcanza el valor cero para t = 25. Entonces en el año 2025 se tendrá nivel de contaminación cero.

Apartado c) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de )(tC en t = 8 será la derivada de la función )(tC para el valor indicado.

8.0844.0)( CttCComo la pendiente es 0.8 y es positiva significa que la función es estrictamente creciente en el punto t = 8, es decir, el nivel de contaminación crece en el año 2008.

Uso de la derivada para la determinación del crecimiento, decrecimiento y máximos y mínimos relativos de funciones polinómicas y racionales.

1. De monótono, nada.El crecimiento y el decrecimiento de una función es algo que ya hemos estudiado antes ¿lo recuerdas? Básicamente una función es creciente si, al aumentar la variable independiente, x, también aumenta el valor de la función, f(x). Es decreciente, si al aumentar el valor de x, disminuye el de f(x). No olvides que las gráficas se "leen" de izquierda a derecha.

Cuando hablamos de monotonía, nos estamos refiriendo al comportamiento de una función respecto a su crecimiento o decrecimiento. Sea f una función derivable en un intervalo (a, b), entonces es:

Creciente en el intervalo (a,b) si en todo el intervalo (a,b)

Decreciente en el intervalo (a,b) si en todo el intervalo (a,b)

Función f(x) Derivada f ' (x)Creciente Positiva

Decreciente Negativa

Extremos absolutos. · Una función f alcanza su máximo absoluto en el punto x=a si es creciente a la izquierda de este punto y decreciente a su derecha. El valor de la ordenada (coordenada y) en el máximo es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función. · Una función f alcanza su mínimo absoluto en el punto x=b si es decreciente a la izquierda de este punto y creciente a su derecha. El valor de la ordenada (coordenada y) en el mínimo es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función. Pero, en ocasiones, hay otros puntos que destacan entre los de su entorno más cercano, son los:

Extremos relativos. · Una función f tiene un máximo relativo en el punto x=a si f(a) es mayor o igual que en todos los puntos próximos al punto x=a, tanto por la derecha como por la izquierda de él. · Una función f tiene un mínimo relativo en el punto x=b si f(b) es menor o igual que en todos los puntos próximos al punto x=b, tanto por la derecha como por la izquierda de él. Del mismo modo que hay puntos importantes como los extremos, existen otros que presentan una

singularidad especial. Son los puntos de cortes con los ejes.

Una función f, continua y derivable en un intervalo (a,b), alcanza sus máximos y mínimos relativos en los puntos del intervalo (a,b) en los que f '(x)=0. Además, si estudiamos la segunda derivada: Máximo relativo: f '(x)=0 y f ''(x)<0. Mínimo relativo: f '(x)=0 y f ''(x)>0.

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente en a, si y sólo si f ´(a) >0; lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva.

Recordemos que f derivable, es estrictamente decreciente en a, si y sólo si f ´(a) <0; lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es negativa.

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo entonces f ´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:1. Por la definición en un entorno del punto. 2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea

derivable en dicho punto, cuando es continua en ese punto: a. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).

b. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)).

EJEMPLOS

3. Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable). a. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.

b. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.

EJERCICIO 1: Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

Ejemplo: Representa la gráfica de la función f(x)=x3-6x2+9x+5.

1. f(x) es una función polinómica y todas las funciones polinómicas son derivables y por tanto continuas en todo R. 2. No es simétrica ni respecto del eje Y ni respecto del origen de coordenadas. 3. Al ser una función polinómica, no tiene asíntotas, pero podemos estudiar sus ramas infinitas, es decir, calcular los límites de la función cuando x→-∞ y cuando x→+∞. En este caso tenemos que y . 4. Para calcular los máximos y mínimos, hacemos la primera derivada:

Estudiamos los valores donde se anula la primera derivada, es decir:

Los valores que anulan la primera derivada, en este caso son las soluciones de la ecuación de segundo grado, . Tenemos a y a como candidatos a máximos y mínimos. A continuación, calculo la segunda derivada: . Sustituyo los valores candidatos en la segunda derivada y observo si el resultado es mayor o menor que cero.

Como la segunda derivada en x=1 es negativa, tenemos un máximo en el punto (1,f(1))=(1,9).

Como la segunda derivada en x=3 es positiva, tenemos un mínimo en el punto (3,f(3))=(1,5).

5. Con los datos que ya tenemos de las ramas infinitas y los máximos y mínimos, podemos decir que f(x) es creciente en los intervalos (-∞,1) y (3,+∞), y que f(x) es decreciente en el intervalo (1,3). 6. Para calcular los puntos de corte con los ejes hacemos lo siguiente: - Punto de corte con el eje Y: x=0, f(0)=03-6·02+9·0+5=5. Luego f(x) corta al eje Y en el punto (0,5). - Punto de corte con el eje X: f(x)=0; x3-6x2+9x+5=0.

Calcular las soluciones de esta ecuación de tercer grado no es sencillo

Como f(x) crece hasta x=1 y corta al eje Y en (0,5), un punto de corte con el eje X tiene que estar en el intervalo (-∞,0). Empiezo con el intervalo (-1,0): f(-1)=-11<0 y f(0)=5>0. Si la función es continua y toma un valor negativo en x=-1 y un valor positivo en x=0, esto nos indica que existe un punto de corte con el eje X en el intervalo (-1,0). Ya no existen más puntos de corte con el eje X porque aunque f(x) decrece hasta el punto (3,5), vuelve a crecer a partir de este punto hacia +∞. 7. Por último, para ver el punto donde cambia la curvatura, igualamos la segunda derivada a cero. Es decir . La segunda derivada se anula en x=2, luego tenemos un punto de inflexión en (2,f(2))=(2,7).

EJERCICIO 2: La función f(x) = ax3 + bx + c pasa por el punto (2, 8) y tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en el punto (1, 0). Calcula los valores de a, b y c

Solución: Como la función f(x) = ax3 + bx + c pasa por el punto (2, 8), sabemos que f(2) = 8, luego 8a + 2b + c = 8. Como también pasa por el punto (1, 0) tenemos que f(1) = 0, es decir, a + b + c = 0. Ahora bien, como en dicho punto hay un extremo relativo (es decir, un máximo o un mínimo) deducimos que f ’(1) = 0. Como f ’(x) = 3ax2 + b concluimos que 3a + b = 0. Tenemos pues un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, que al resolverlo nos da las soluciones de a, b y c. Como b = - 3a 8a – 6a + c = 8 c = 8 – 2a y como a + b + c = 0 obtenemosa – 3a + 8 – 2a = 0 - 4a = - 8 a = 2 b = – 6 c = 4 luego f(x) = 2x3 – 6x + 4

EJERCICIO 3: Sea f la función definida por para x≠0

a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)

izquierda del cero la función tiende a – ∞ y cuando nos acercamos por su derecha tienda a + ∞.

Como el grado del numerador supera en 1 al grado del denominador hay una asíntota vertical que se puede calcular obteniendo el cociente de dividir 3x 2 + 1 entre x. Luego la recta y = 3x es una asíntota vertical.

b) Para estudiar la monotonía de la función (crecimiento y decrecimiento) calculamos su derivada.

Calculamos cuando esta derivada es cero. Obtenemos que la primera derivada se anula para

y para

Teniendo en cuenta que para x = 0, ni la función (ni por tanto su derivada), están definidas tenemos (una vez que estudiamos el signo de la derivada) que la función esCreciente Decreciente

EJERCICIO 4: Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento (n) de acuerdo con la expresión: B(n)=-8n3+60n2-96n. Determina razonadamente:a) El número de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios semanales.b) El valor de dichos beneficios máximos. Solución: B(n)=-8n3+60n2-96n; B’(n)=-24n2+120n-96; B’(n)=0 -24n2+120n-96=0 3n2-15n+12=0;

n= ; n=4; n=1. B(4)=-8.43+60.42-96.4=-512+960-384=64;

B’’(n)=-48n+120; B’’(4)= -48.4+120=-72<0 B’’(1)= -48.1+120=72<0El número de tiendas debe de ser 4. El valor de los beneficios máximos será 64.000€

EJERCICIO 5: El coste total de producción de x unidades de un producto es: C(x)= . Se define la función

coste medio por unidad como: Cm(x)= . ¿Cuántas unidades hay que producir para que el coste medio por

unidad sea mínimo?

Solución: Cm(x)= ; C’m(x)= =

= = . C’m(x)=0 =0; x=

x=-24 No C’m(x)= ; C’’m(x)= = ; C’’m(24)=

El coste medio por unidad es mínimo si se producen 24 unidades.

EJERCICIO 6: Una empresa quiere producir C(t)=200+10t unidades de un producto para vender a un precio p(t)=200-2t euros por unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción.a) Calcula el beneficio si t=10.b) Escribe, dependiendo de t, la función de beneficio (0c) Determina cuándo el beneficio es máximo.

Solución: a) t=10; precio: p(10)=200-2.10=180€ por unidad. Unidades: C(10)=200+10.10=300 unidades.Beneficio: 180.300=54.000€b) Función de beneficio: B(t)= C(t). p(t)== (200+10t).( 200-2t)=40000-400t+2000t-20t2

Función de beneficio: B(t)= 40000+1600t-20t2 (0c) B’(t)=1600-40t; B’(t)=0 1600-40t=0; t=1600/40=40; t=40; B’’(t)=-40<0 El beneficio será máximo cuando transcurran 40 días.

Ejemplo de representación de una función

Dominio

Simetría

Simetría respecto al origen, es decir, la función es impar

Puntos de cortePunto de corte con OX:

Punto de corte con OY:

AsíntotasAsíntota horizontal

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas

Crecimiento y decrecimiento

Máximos y mínimosCandidatos a extremos: x = − 1 y x = 1.

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

Representación gráfica

EJERCICIO 1: Considere las funciones :, gf definidas por .6,)( 2xxgxxf

Esbozar el recinto limitado por sus gráficas y los puntos donde ambas se cortan.

Solución:Sabemos que

00

)(xsixxsix

xxf

Y que la función 26 xxg es una parábola que corta a

los ejes en los siguientes puntos:

Si 60 xgx la parábola corta al eje OY en el punto (0, 6).Si

0,60,666060 22 yxxxy

x

y

Veamos ahora en que puntos se cortan las dos funciones:

Para x < 0,

23

2251066 22

xxxxx

Para x > 0,

23

2251066 22

xxxxx

En consecuencia, las dos gráficas se cortan en los puntos (-2, 0) y (2, 0).

x

y

EJERCICIO 2: Considera la función definida por y la función definida como para

Esboza el recinto limitado por las gráficas de y indicando sus puntos de corte. Solución:Apartado a) La función define una recta y la función una hipérbola. Los puntos de corte serán:

Conociendo estos puntos de corte y dándole distintos valores a las funciones obtendremos el recinto buscado.Para Para

La función es una recta decreciente y la función una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes

de abscisas y ordenadas:

x g(x)-2 -2-1 -401 42 2

x f(x)-2 7-1 60 51 42 3

x

y

Primitivas: cálculo de primitivas inmediatas.Función primitiva. http://www.ditutor.com/indefinidas/funcion_primitiva.htmlFunción primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada.

F '(x) = f(x)Ejemplos: http://www.vadenumeros.es/segundo/integrales-indefinidas-primitivas.htm

Relación entre dos primitivas de una misma función. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)Es decir, dos primitivas de una función f(x) se diferencian solamente en una constante.

Cálculo de integrales indefinidas.

Integrales inmediatasIntegral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Ejemplo:

Integral de una potencia

Ejercicios

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Integral definida: cálculo de integrales sencillas.

2. Calcula

3. Resuelve

Solución: – 2

4. Calcula

Solución: –15/2

Cálculo de áreas de recintos sencillos mediante la integral definida.

Ejemplo 1: Calcula el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración

Las soluciones de la ecuación 4x − x2 = 0 son x = 0 x = 4

En segundo lugar se calcula la integral:

Ejemplo 2: Calcula el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

Ejemplo 3: Halla el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

Ejemplo 4: Calcula el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de

abscisas. El área de la función viene dada por: – o por el valor absoluto de

puesto

que dicha integral sale negativa.

Ejemplo 5: Calcula el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

El área, por razones de simetría, se puede escribir:

Ejemplo 6: Halla el área de la figura limitada por: y = x2 , y = x , x = 0 , x = 2.

Solución: Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.

Ejemplo 7: Halla el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Solución: Puntos de intersección:

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):