n

iiilw

1

树的带权路径长度 ((Weighted Path Length, Weighted Path Length, WPL)WPL)

• 所有叶子结点的带权路径长度之和为树的带权路径长度，记为：

wpl=

• 其中：– n 为叶子结点数目，– wi 为第 i 个叶子结点的权值，– li 为第 i 个叶子结点的路径长度。

9.5.3 哈夫曼树

举例 ： 有 4 个结点，权值分别为 7 ， 5 ， 2 ， 4 ，构造有 4 个叶子结点的二叉树

a b c d7 5 2 4WPL=(7+5+2+4)*2=36

d

c

a b

2

4

7 5

WPL=(7+5)*3+2*1+4*2=46

a

b

c d

7

5

2 4

WPL=7*1+5*2+(2+4)*3=35

n

kKKLWWPL

1

带权路径长度达到最小带权路径长度达到最小

二、构造哈夫曼树1．哈夫曼树的定义

设有 n 个带权的叶子结点，想构造一棵二叉树，使WPL( 带权路径长度 ) 为最小，该树称为最优二叉树，也称为哈夫曼树 (Huffman tree) 。 特点：特点：

权值大的叶子离根最近；权值大的叶子离根最近；只有只有 00 度和度和 22 度结点度结点若叶子有若叶子有 nn 个，则：个，则：

总结点数总结点数 =2n-1=2n-1

a

b

c d

7

5

2 4

2．哈夫曼树的构造假设有 n 个权值，则构造出的哈夫曼树有 n 个叶子结点。 n个权值分别设为 w1,w2,…,wn ，则 Huffman 树的构造算法：

(1) 将 w1,w2,…,wn 看成是有 n 棵（仅有根结点的）二叉树的森林；(2) 在森林中选出两个根的权值最小的和次小的二叉树，作为新二叉树的左、右子树，且新二叉树的根权值为其左、右子树根权值之和；约定：权值小者为左子树，权值大者为右子树(3) 从森林中删除选取的两棵二叉树，并将新二叉树加入森林；(4) 重复 (2) 、 (3) 步，直到森林中只剩一棵二叉树为止，该树即为所求的哈夫曼树。

举例：已知叶子结点 {A,B,C,D} 的权值序列为 {1,5,7,

3} ，则构造 Huffman 树过程如下：

1 5 7 3

初始的森林

5 7 4

1 3

1与 3合并

7

4

1 3

5

9

4与 5合并

7

4

1 3

5

9

16

7与 9合并

WPL=7*1+5*2+(1+3)*3=29

Huffman树构建练习：权值序列为{9， 8， 4， 6， 7}

在远程通讯中，要将待传字符转换成由二进制组成的字符串： 设要传送的字符为： ABACCDA 若编码为： A—00 B—01

C—10 D---11

若将编码设计为长度不等的二进制编码，即让待传字符串中出现次数较多的字符采用尽可能短的编码，则转换的二进制字符串便可能减少。

00010010101100

三、哈夫曼编码——哈夫曼树的应用

设要传送的字符为： ABACCDA

若编码为： A—0

B—00

C—1

D---01

关键：要设计长度不等的编码，则必须使任一字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀。这种编码称作前缀编码。

ABACCDA

000011010但： 0000

AAAA ABA BB重码

设要传送的字符为： ABACCDA

若编码为 ： A—0

B—110

C—10

D---111

0110010101110

采用 Huffman树设计二进制前

缀编码

规定：左分支用“ 0” 表

示右分支用“ 1” 表

示

A

C

B D

0

0

0

1

1

1

译码过程：分解接收字符串：遇“ 0” 向左，遇“ 1” 向右；一旦到达叶子结点，则译出一个字符，反复由根出发，直到译码完成。 0110010101110

A

C

B D

0

0

0

1

1

1

ABACCDA

例：已知某系统在通讯时，只出现 C ， A ， S ， T ，B 五种字符，它们出现的频率依次为 2 ， 4 ， 2 ， 3 ，3 ，试设计 Huffman 编码。

构造的 Huffman 树

14

8

4

6

4

2 2

3 3

T B A

C S

先构建 Huffman 树字符 {C, A, S, T, B} 对应的权值为： {2 ， 4 ， 2 ， 3 ，3}

14

8

4

6

4

2 2

0

0

0

1

1

13 30 1

T B A

C S

出现频率越大的字符，其 Huffman 编码越短。

由构建的 Huffman 树得出 HUffman 编码： 约定：左分支用“ 0”表示；右分支用“ 1”表示

Huffman 编码为：T—00B —01A —10C —110S —111

• 作业 P234/9.11