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第二章 Wiener 过滤和 Kalman 过滤. 过滤:即滤波,将被噪声污染的信号尽可能地提取出来,最大限度的抑制噪声,而将有用信号分离出来。. 引言. 过滤可以看作是估计问题。 通信工程:波形估计 控制工程:动态估计. 滤波、预测和平滑的关系. 滤 波: 预测 ( 外推 ): 平滑 ( 内插 ):. Wiener 滤波. 若信号 是广义平稳的,已知其自相关函数或功率谱,所用的最优评估准则为 MMSE (Mininum Mean Square Error), 即 。. - PowerPoint PPT Presentation
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4
滤 波:
预测 ( 外推 ):
平滑 ( 内插 ): 1)(ˆ,),2(),1(
0)(ˆ,),2(),1(
)(ˆ,),2(),1(),(
NNnsnxnx
NNnsnxnx
nsnxnxnx
滤波、预测和平滑的关系
7
从本世纪四十年代起 , 有人用状态变量分析法来研究随机过程。到六十年代初 , 由于空间技术的发展 , 为了解决对非平稳、多输入 / 输出随机序列的估计问题 ,由 Kalman 提出的 MMSE 准则下滤波称为 Kalman 滤波,并由 Kalman 和 Bucy 一起将其推广到连续的时间随机过程。 Kalman 滤波一出现就引起人们的很大重视,现已成功的应用于许多领域,并在实践中不断丰富和完善。
10
Wiener 滤波:要求知道随机信号的统计分布规律 ( 自相关函数或功率谱密度),得到的结果是封闭公式 , 适用于平稳随机信号。其物理概念清楚,但不能递推实时处理。 Kalman 滤波:采用递推的处理方法 , 适用于平稳和 / 或非平稳随机过程,是 Wiener 滤波的一种算法。
Wiener 滤波和 Kalman 滤波的比较
12
Wiener 滤波最初是对连续时间信号用模拟滤波的形式出现的 , 而后才有离散形式 , 设计 Wiener 滤波器的过程是在满足 MMSE 准则下,寻找 或 。 ( )H z)(nh
系统是因果的 , ( ) 0 0h n n
13
0
1
22
2
1
ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ( )
1 ( 1) ( )
( 1) ( )
ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ( ) ( ) ( )
( ) min
m
i ii
i
i
i ii
y n s n x n h n h m x n m
h x s n
i m h h i h m
x x n i x n m
e n s n s n s n y n
E e n E s n s n
E s n h x
15
正交性原理
①11
jrhri
xxisx jij
写成矩阵形式:
sx
sx
sx
Nxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
NNNNN
N
N
r
r
r
h
h
h
rrr
rrr
rrr
2
1
21
22212
12111
2
1
19
其中:
NNNN
N
N
N
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xx
sx
sx
sx
xs
N
rrr
rrr
rrr
r
r
r
r
r
h
h
h
h
21
22212
12111
2
1
][][ 2
1
20
① N大时,计算工作量很大,并需要计算逆矩阵, 要求的存储量也大。② 计算过程中,若通过增加滤波器的长度 N,提高 逼近精度时,就需要在新N的基础上重新进行计算。
Wiener-Hopf 方程存在的问题
21
例 :
已知: 都是白噪声 , 方差
且 与 与
不相关,并且都是实信号,期望信号为 。设计长
度为 2 的 Wiener 滤波器以得到 的最佳估计。
)(1 nv 2 ( ), ( )v n x n1 2
2 20.27, 0.27, )(),( 21 nvnv
)(ny
)(1 nx
)(1 nx
,9458.0,8458.0 10 bb
23
解 :
)(1 nv )(1 nx )(nx+)(2 zH)(1 zH
)(2 nv)(ny
因为 与 不相关,并且
所以
)()()( 2 nvnxny
)()()(22mrmrmr vvxxyy
)(nx )(2 nv
25
)()2()1()( 221 nvnxanxanx
① 两边同乘以
由①式可以确定 代入上面的方程组中,并取出 m=1,2,0得三个方程 . 确定三个未知数 因为待求滤波器的长度为 2 ,因此自相关函数矩阵的 大小为 22 。
)( mnx
00)2()1()( 21 mmramramr xxxxxx
0)2()1()0( 221 1
mrarar vxxxxxx
21,aa、)0(xxr
).2()1( xxxx rr 、
26
1.00
01.0
)0()1(
)1()0(
15.0
5.01
)0()1(
)1()0(
2222
2222
22vvvv
vvvv
vv
xxxx
xxxxxx
rr
rrR
rr
rrR
1 1
2 1
1
(0) (1) 1.1 0.5( )
(1) (0) 0.5 1.1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
yy yy
yyyy yy
yx
r rR m
r r
R m E y n x n m
E x n v n x n m
E x n x n m
27
据 的模型)(2 zH
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
( ) ( 1) ( )
( ) ( 1) ( )
( ) ( ) ( ) ( 1)
( ) ( 1)
(0) (0) (1) 0.5272
(1) (1) (0) 0.4458
yx
xx xx
yx xx xx
yx xx xx
x n b x n x n
x n b x n x n
R m E x n x n m b x n m
r m b r m
R r b r
R r b r
30
两边同乘以 并取数学期望:
1 1 1
1 1 1
1
1
2 21
1 0 1 1 0 1
2 20
22
2 20
(0) ( )
( ( ) ( 1))( ( ) ( 1))
(0)
0.27
1 1 8458
x x x
v x x
vx
r E x n
E v n b x n v n b x n
b r
b
)(1 nx
33
思路:将 白化之后求解 Wiener-Hopf 方程
)()( nvns
)(nx )(ˆ)( nsny )(nh
)(n)(nx)(zG)(1 zB
)(ˆ)( nsny
)()(
)()( zG
zB
zGzH 的求解。
)(nx
38
2 2
2
2 2
22
2
[ ( )] ( ( ) ( ) ( ))
{[ ( ) 2 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )]}
(0) 2 ( ) ( ) ( )
( ) ( )(0) [ ( ) ]
( )( ) 0
k
k
k r
ss sk k
s sss
k k
s
E e n E s n g k n k
s n g k n k s n
g k g r n k n r
r g k r k g k
r k r kr g k
S kg k
41
当 与 不相关时 , 即)(ns n 0)]()([ nvnsE
)()(
)()]())()([()(
)()()(
)()(
))]()())(()([()(
zSzS
mrmnsnvnsEmr
zSzSzS
mrmr
mnvmnsnvnsEmr
ssxs
ssxs
vvssxx
vvss
xx
42
)()(
)(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
)()(
vvss
ssj
vvj
ss
jssj
opt
vvss
ss
xx
xsopt
PP
P
eSeS
eSeH
zSzS
zS
zS
zSzH
0)(,0)(1
0)(,0)(1
0)(,0)(0
)(
vvss
vvss
vvssj
opt
PP
PP
PP
eH
44
推导
其中 ,应用复卷积定理求解。
用围线积分法求逆Z变换
min2 )]([ neE
22
min 2
( )[ ( )] (0) s
ssk
r kE e n r
2( ) [ ( )]ssr E s n
47
z
dzzSzSzS
jneE sc sss )]()(
1)([
2
1)]([ 1
2min2
)(),( nvns
z
dzzSzHzS
j
z
dz
zB
zS
zB
zSzS
jneE
c xsoptss
xs
c
xsss
)]()()([2
1
])(
)(
)(
)(1)([
2
1)]([
1
1
12min2
[注:当 不相关时 ] )(
)()(
1zB
zSzS ss
s
)(
)()(
1zB
zSzS xs
s --②
52
)()(
00
0)(
)(
)(1
))(
)(()0(
]))(ˆ)([()]([
0
22
0
2
22
nunr
n
nnr
ng
krkr
kgr
nsnsEneE
ss
opt
ks
k
sss
54
又由于 ,得
)]([1
)(2
zrzG sopt
)(
)()(
1zB
zSzS xs
s
])(
)([
)(
11
)(
)()(
])(
)([
1)(
12
12
zB
zS
zB
zB
zGzH
zB
zSzG
xs
optopt
xsopt
55
z
dzzSzHzS
j
z
dz
zB
zS
zB
zSzS
j
z
dzzSzS
jr
krkukrr
krrneE
c xsoptss
c
xsxsss
c ssss
sk
sss
ksss
))()()((2
1
))(
)(])(
)([
1)((
2
1
)()(1
2
1)0(
)()]()([1
)0(
)(1
)0()]([
1
1
12
12
2
0
22min
2
56
Wiener 滤波器设计的一般解题方法
( )xxS z
1
( )[ ]( )xsS z
B z
① 由 得到信号的时间序列模型 ;
② 求 的 Z反变换,取因果部分,再做 Z 变
换,得 ;
③ 计算 ,积分曲线取单位圆。
( )B z
])(
)([
1zB
zSxs
2min( ), [ ( )]optH z E e n
62
解 :
)()(
)8.01)(8.01(
)5.01)(5.01(6.1
1)8.01)(8.01(
36.0
)()()(
)()()(
12
1
1
1
zBzB
zz
zz
zz
zSzSzS
mrmrmr
vvssxx
vvssxx
须是最小相位系统。 6.1,8.01
5.01)( 2
1
1
z
zzB)(zB
65
n
z
n
n
zzz
z
zzz
zFIZTnf
8.06.0
)8.0()5.01)(8.01(
36.0
]8.0,)5.01)(8.01(
36.0Res[)]([)(
8.01
1
11
取因果部分 )(8.06.0)( nunf n
67
z
dz
zzj
zz
zzzj
z
dzzSzHzS
jneE
c
c
c xsoptss
)5.01)(8.01(85
36.0
2
1
)8.01)(8.01(
36.0
5.01
1
8
3
)8.01)(8.01(
36.0
2
1
))()()((2
1)]([
1
1
11
1min
2
70
z
dz
zzzz
zz
j
z
dz
zz
zzzzj
z
dzzSzHzS
jneE
c
c
c xsoptss
)5.01)(5.01)(8.01)(8.01(
)5.05.0025.1(36.0
2
1
])8.01)(8.01(
36.0
)5.01)(5.01(
225.0
)8.01)(8.01(
36.0[
2
1
))()()((2
1)]([
11
1
1
11
1min
2