САРАНСКИЙ КООПЕРАТИВНЫЙ ИНСТИТУТ АВТОНОМНОЙ НЕКОММЕРЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЦЕНТРОСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ»

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания и задания для самостоятельной работы

Часть 3

САРАНСК 2010

2

УДК [336.51](76)

Составители: В.Д. Золотков, А.И. Матвеев, Е.А. Черноиванова

Финансовая математика : метод. указания и задания для са-

мостоят. работы : в 3 ч. / [сост.: В.Д. Золотков, А.И. Матвеев, Е.А. Черноиванова] ; Саран. кооп. ин-т РУК. – Саранск, 2010. – Ч. 3. – 44 с.

Рассматриваются особенности построения кривых доходности, определе-ния барьерных значений экономических показателей, раскрывается сущность таких важных понятий, как «лизинг» и «форфейтная операция». Каждая глава сопровождается рядом примеров и задач, а также заданиями для самостоя-тельной работы.

Предназначены для студентов экономических специальностей.

Печатается по решению научно-методического совета Саран-ского кооперативного института РУК.

3

1. КРИВЫЕ ДОХОДНОСТИ

Процентная ставка выступает измерителем доходности финан-совой операции. Ее значение зависит от многих факторов. Важно представить себе закономерность изменения величины процент-ных ставок, используемых в однородных по содержанию операци-ях, в зависимости от некоторых фундаментальных факторов.

Вероятно, наиболее существенным из них является риск невоз-врата вложенных средств. Очевидно также, что подобного рода риск сильно зависит от срока ссуды. Так, при всех прочих равных условиях ссуда на 5 лет более рискованна, чем, например, на 2 го-да. Компенсировать риск владельцу денег может повышение дого-ворной процентной ставки. Таким образом, зависимость «доход-ность – риск» приближенно можно охарактеризовать с помощью зависимости «доходность – срок», получить которую для практи-ческих целей намного проще.

Зависимость «доходность – срок», представленную в виде гра-фика, называют кривой доходности (рис. 1.1). На графике по вер-тикали откладывают доходность Y, по горизонтали – срок n:

Кривые доходности обычно строятся раздельно для кратко-, средне- и долгосрочных операций. Для нормальных экономиче-ских условий кривая доходности имеет форму кривой А: доход-ность Y здесь растет по мере увеличения срока n, причем каждая следующая единица прироста срока дает все меньшее увеличение доходности. Такую кривую называют положительной, или нор-мальной, кривой доходности. Нормальная форма кривой (не путать с кривой нормального распределения, используемой в статистике) наблюдается в условиях, когда инвесторы учитывают такие факто-ры, как рост неопределенности финансовых результатов (риска) при увеличении срока.

Кривая доходности, близкая к горизонтальной прямой (ли-ния Б), указывает на то, что инвесторы не принимают во внимание или в малой степени учитывают риск, связанный со сроком.

Иногда встречаются «отрицательные» и «сгорбленные» кривые доходности. Первая из названных кривых соответствует уменьше-

4

нию доходности финансового инструмента по мере роста срока (высокая нестабильность рынка, ожидание повышения процент-ных ставок), вторая – падению доходности после некоторого ее роста.

Пример 1.1. Рассмотрим на условном примере один из простых способов применения кривой доходности применительно к расче-ту процентной ставки. Допустим, инвестор должен вложить неко-торую сумму денег на 4 года. В силу ряда причин у него есть два варианта: разместить эту сумму на депозитах сразу на весь срок или сначала на 3 года, а затем на 1 год. Пусть уровни ставок сле-дуют нормальной кривой доходности: по трехлетним депозитам – 10 %, по четырехлетним – 10,5 % сложных годовых. Размер ставки для депозита на последний год в момент принятия решения неиз-вестен. Какой вариант размещения средств должен выбрать инве-стор?

Р еш е н и е. Очевидно, чтобы остановиться на втором варианте, он должен ожидать результат не хуже, чем при первом. Следова-тельно, задача сводится к определению того значения ставки для 4-го года, при котором оба варианта будут равноценными в фи-нансовом отношении.

Обозначим через 3i и 4i уровни процентных ставок для депози-тов на 3 и 4 года, а через 0i – неизвестную ставку для годового де-позита. Из-за необходимости финансовой эквивалентности резуль-татов помещения средств множители наращения для обоих вари-антов должны быть равными:

).1()1()1( 03

34

4 iii ++=+

Отсюда

.14120,011,1

105,11

)1(

)1(3

4

33

44

0 =−=−++=

i

ii

Таким образом, для того чтобы инвестор выбрал второй вари-ант, он должен ожидать, что через 3 года ставка по одногодичным депозитам будет не менее 12,014 %, т. е. уровень ставок повысит-ся. Если он считает, что ставка не достигнет этого уровня, следует предпочесть первый вариант.

5

2. ЛИЗИНГ

2.1. ФИНАНСОВЫЙ И ОПЕРАТИВНЫЙ ЛИЗИНГ

Приобретение имущества производственного назначения (об-орудования) часто осуществляется с привлечением коммерческого или банковского кредита, обычно погашаемого в рассрочку. Полу-чение оборудования для расширения и (или) модернизации произ-водства возможно и в порядке аренды. В последние годы в про-мышленно развитых странах стремительно распространяются спе-циальные виды арендных отношений, за которыми закрепился термин лизинг (от англ. leasing «сдача в аренду»). Он применяется для обозначения вида предпринимательской деятельности, заклю-чающегося в инвестировании собственных или привлеченных фи-нансовых средств путем приобретения оборудования для после-дующей сдачи его в аренду, и, более широко, специального вида аренды оборудования.

По соглашению о лизинге лизингодатель (арендодатель) пере-дает лизингополучателю (арендатору) право владения и использо-вания оборудования (но не право собственности) на фиксирован-ный в контракте срок в обмен на оговоренные арендные, или ли-зинговые, платежи. Лизингодатель приобретает оборудование (обычно у его изготовителя) в соответствии с требованиями арен-датора и по согласованной с ним цене на собственные средства (прямой лизинг) или за счет привлеченных средств. Лизингодатель может и сам быть изготовителем оборудования.

Схема отношений сторон в лизинговой операции отражена на рис. 2.1.

Р и с. 2.1

Если для финансирования и (или) страхования привлекается

6

банк или страховая компания, то схема, естественно, усложняется. Различают два основных вида лизинга – финансовый и опера-

тивный. Финансовый, или капитальный, лизинг. Этот вид аренды пред-

усматривает полное возмещение всех расходов лизингодателя на приобретение имущества и его передачу для производственного использования лизингополучателю. Не допускается досрочное прекращение договора, в противном случае компенсируются все потери лизингодателя. Обычно не предполагается обслуживание об-орудования (поставка запчастей, наладка и ремонт) со стороны лизингодателя. Арендатор получает имущество для его производ-ственного использования на срок договора. В конце срока аренда-тор, в зависимости от условий контракта, может выкупить его по остаточной стоимости.

Правила, принятые в ряде стран, включают в себя некоторые требования к условиям лизинговых операций, в том числе:

– обязательное минимальное собственное участие лизингодате-ля в финансировании сделки должно быть на уровне не ниже 20 %;

– максимальный срок лизинга должен быть меньше полезного срока жизни оборудования.

Частным случаем финансового лизинга является возвратный лизинг. Он предполагает продажу оборудования и получение его обратно у нового владельца в порядке финансового лизинга. Та-ким образом, вместе с отказом от права собственности бывший владелец получает средства для финансирования других своих нужд. Кроме того, арендатор имеет возможность сократить нало-говые выплаты, связанные со стоимостью арендованного иму-щества. Оперативный лизинг. Сюда относят все виды аренды, которые

не включаются в финансовый лизинг. Оперативный лизинг харак-теризуется короткими сроками, что подразумевает возможность неоднократной сдачи оборудования в аренду. Право собственно-сти не переходит к арендатору. Обычно аренду можно прекратить в любой момент по желанию арендатора. Часто договор оператив-ного лизинга предусматривает ремонт и обслуживание оборудова-ния силами арендодателя.

Основные преимущества лизинга для лизингополучателя: – дополнительный источник средне- и долгосрочного финанси-

рования производственной деятельности, особенно если возмож-ности для получения долгосрочного кредита ограничены; дли-тельные сроки договора как средство страхования от инфляции;

– бóльшая гибкость при формулировании условий погашения задолженности, чем при непосредственном получении кредита для приобретения имущества;

7

– получение различных налоговых льгот, важной из которых является включение лизинговых платежей в себестоимость про-дукции, что уменьшает базу для расчета налогооблагаемой прибыли;

– привлечение профессионалов для выбора и закупки оборудо-вания.

Для лизингодателя лизинг – один из видов предприниматель-ской деятельности, предполагающий привлечение заемных средств для их инвестирования в оборудование или использование для этого собственных денег. Он расширяет рамки услуг, предо-ставляемых клиентам финансовыми институтами. Лизинг прино-сит предпринимательскую прибыль, а также некоторый доход от налоговых льгот. В свою очередь производитель оборудования с помощью лизинга расширяет возможности сбыта собственной продукции.

2.2. СХЕМЫ ПОГАШЕНИЯ ЗАДОЛЖЕННОСТИ ПО ЛИЗИНГОВОМУ КОНТРАКТУ

Количественный анализ лизинговой операции обычно приме-няется для решения двух задач. Для арендатора важно опреде-лить – покупать или арендовать производственное имущество. Ли-зингодателю необходимо рассчитать размер лизинговых платежей и финансовую эффективность сделки. Назначение лизинговых платежей – полное покрытие издержек лизингодателя, связанных с выполнением условий арендного контракта, включая расходы по закупке оборудования, кредитованию и страхованию, а также обеспечение лизингодателю некоторой прибыли и комиссионных.

Погашение задолженности по лизинговым контрактам может осуществляться на основе различных схем (способов оплаты). Ли-зингополучатель и лизингодатель выбирают и согласовывают наи-более удобный для них по срокам и размерам платежей путь.

Задолженность по лизингу погашается следующими видами платежей:

– авансовый платеж; – периодические лизинговые платежи; – выкупная сумма. Основными здесь являются периодические выплаты. Отметим

лишь несколько признаков, по которым они различаются: – размер платежей (постоянные и переменные); – применяемая процентная ставка (сложная, простая, постоян-

ная или переменная);

8

– момент производства платежей (пренумерандо и постнуме-рандо);

– периодичность (ежеквартальные или полугодовые). Схема выплат периодических лизинговых платежей представ-

лена на рис. 2.2.

Р и с. 2.2

Различие между схемами А и Б платежей заключается в после-довательности расчетов:

– по схеме А сначала вычисляется величина лизинговых плате-жей в целом, далее она распределяется на процентные платежи и суммы погашения долга;

– по схеме Б в первую очередь рассчитываются размеры про-центных платежей и суммы погашения долга (амортизация задол-женности), затем – общая величина лизинговых платежей. Регулярные платежи – лизинговые платежи, производимые че-

рез равные интервалы времени в конце или в начале периодов. Ве-личина лизинговых платежей не обязательно должна быть посто-янной, она может изменяться (увеличиваться или уменьшаться) в ходе погашения задолженности. Нерегулярные платежи – лизинговые платежи, осуществля-

емые по согласованному с лизингодателем графику, содержащему их суммы и сроки.

Для того чтобы сущность финансового лизинга и влияния усло-вий контракта на размеры платежей были понятны, приведем при-мер с последовательными усложнениями условий.

9

Во всех вариантах стоимость оборудования равна 1 000 ден. ед., срок лизинга составляет 36 мес., платежи постнумерандо. Соот-ветствующие расчеты приведены в примере 2.1.

Вариант 1. Платежи по 39,23 ден. ед. в конце каждого месяца. Сумма платежей за весь срок аренды составит 1412,38 ден. ед. Та-ким образом, общая сумма прибыли лизингодателя за 3 года равна 412,38 ден. ед., или 2 % в месяц (24 номинальных процента в год) от инвестированных средств. Если платежи указанного размера будут вноситься в начале каждого месяца, то это принесет 2,13 % в месяц.

Вариант 2. Предусматриваются удвоенный взнос в первом пе-риоде и освобождение от взноса в последнем. При условии, что инвестиции должны принести 2 % в месяц, первый взнос должен составить 76,98 ден. ед., остальные – по 38,49 ден. ед.

Вариант 3. Согласно контракту, в начале срока лизинга произ-водится авансовый платеж в сумме 100 ден. ед., остальные плате-жи по 35,31 ден. ед.

Вариант 4. Арендатор имеет право выкупить имущество в кон-це срока по цене 200 ден. ед. В этой ситуации периодические пла-тежи составят по 35,39 ден. ед. и выкупная цена – 200 ден. ед.

Вариант 5. Аванс и право выкупа. Платежи арендатора: аванс –100 ден. ед., платежи по 31,46 ден. ед., выкупная цена – 200 ден. ед.

2.3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ

Для всех лизинговых схем исходным требованием является ра-венство современной стоимости потока лизинговых платежей за-тратам на приобретение оборудования, т. е. финансовая эквива-лентность обязательств обеих сторон контракта. В общем виде требование финансовой эквивалентности обязательств можно за-писать в виде следующего равенства:

),( jRPVK = (2.1)

где К – стоимость имущества для лизингодателя (с учетом тамо-женных сборов, страховых взносов и т. д.); PV – оператор опреде-ления современной стоимости; jR – платежи по лизингу.

Формула (2.1) конкретизируется с учетом условий лизинга. В обсуждаемых методиках предполагается, что как при формирова-нии потока платежей, так и при расчете стоимости оборудования в них учитываются все налоговые выплаты. Регулярные постоянные платежи, сложные проценты (схе-

10

ма А). В преобладающем числе случаев поток лизинговых плате-жей представляет собой постоянную ренту. Соответственно, мето-ды расчетов периодических лизинговых платежей базируются на теории постоянных финансовых рент.

Для записи формул примем следующие обозначения: R – размер постоянного платежа; n – срок лизинга в месяцах, кварталах, годах (общее число пла-

тежей; как правило, в лизинговом контракте число платежей равно числу начислений процентов);

i – процентная ставка за период (норма доходности); если ука-зана годовая номинальная ставка j, то в формулах вместо i исполь-

зуется величина m

j, где т – количество начислений процентов в

году; s – доля остаточной стоимости в первоначальной стоимости

оборудования; ija – коэффициент приведения ренты постнумерандо.

Если платежи постоянны во времени и погашают всю стои-мость имущества, то, развернув формулу (2.1), получим при вы-платах постнумерандо

,; inRaK =

откуда

.; ina

KR= (2.2)

Во многих случаях для упрощения расчетов размеров платежей применяют коэффициенты рассрочки, определяющие долю стои-мости оборудования, погашаемую при каждой выплате.

Коэффициент рассрочки для постоянных рент постнумерандo при условии, что применяются сложные проценты, равен

.)1(1

1

;1 n

in i

i

aa

−+−== (2.3)

Коэффициент рассрочки для выплат пренумерандо составит:

,1

;2 ν=

inaa (2.4)

где ν – дисконтный множитель по ставке i. Размеры лизинговых платежей вычисляются умножением пока-

зателя стоимости имущества на коэффициент рассрочки: .)2(1KaR = (2.5)

Несколько усложним схему лизинговых платежей. Пусть те-

11

перь первый платеж будет в k раз больше остальных (удвоен или утроен), причем соответственно сократится число остальных пла-тежей. В такой ситуации условие финансовой эквивалентности обязательств выражается следующими равенствами:

iknRaRkK ;1)1( +−+ν−= –

для выплат постнумерандо; )1()1( ;1 ++−= +− iRaRkK ikn –

для платежей пренумерандо. На основе этих равенств легко найти необходимые значения

лизинговых платежей:

iknak

KR

;1)1( +−+ν−= – (2.6)

для выплат постнумерандо;

)1(1 ;1 ++−

=+− iak

KR

ikn

– (2.7)

для платежей пренумерандо. Теперь примем во внимание выплату аванса (обозначим его А).

Для лизинговых платежей постнумерандо и пренумерандо соот-ветственно получим следующие уравнения эквивалентности:

).1( ; ;; iRaAKRaAK inin ++=+=

Для расчета R применим коэффициенты рассрочки: .)( )2(1aAKR −= (2.8)

Если лизинговый контракт предусматривает выкуп имущества по остаточной стоимости, доля которой в стоимости имущества равна s, то уравнение эквивалентности при платежах постумеран-до имеет вид

,;n

in KsRaK ν+=

откуда

.)1()1(

1;

asKa

sKR n

in

n

ν−=ν−= (2.9)

Аналогично для платежей пренумерандо получим:

.)1()1(

)1(2

;

asKia

sKR n

in

n

ν−=+ν−= (2.10)

Закончим обсуждение методов расчета суммы платежа вариан-том, в котором одновременно учитываются авансовый платеж и

12

выкуп имущества. В этом случае для последовательностей плате-жей постнумерандо и пренумерандо употребляются формулы

).1()1( ;)1( ;; iRaAsKRaAsK inn

inn ++=ν−+=ν−

Исходя из этого лизинговые платежи для выплат постнумеран-до и пренумерандо будут вычисляться следующим образом:

;])1([

;in

n

a

AsKR

−ν−= (2.11)

.)1(

])1([

; ia

AsKR

in

n

+−ν−= (2.12)

Пример 2.1. В разделе 2.2 описаны различные варианты усло-вий лизинга. Рассчитайте для них значения лизинговых платежей, используя приведенные выше формулы.

Р еш е н и е. Вариант 1. Найдем по (2.3) коэффициент рассрочки и затем

размер ежемесячного платежа по (2.5), ден. ед.:

.23,3923039,00001 ;23039,002,11

02,0361 =⋅==

−=

−Ra

З а м е ч а н и е. Если платежи вносятся в начале каждого месяца, то по формулам (2.4) и (2.5):

.46,38 и 464038,002,123039,0 12 ==⋅= − Ra

Вариант 2. Удвоенный взнос в 1-м месяце (k = 2). Для взносов в конце периодов получим, согласно (2.6), ден. ед.:

.49,3802,1)12(

0001

2;351

=+⋅−

=− a

R

Первый взнос, ден. ед.: .98,762 =R

Вариант 3. А = 100. На основе (2.8) находим значение лизинго-вого платежа, ден. ед.:

.31,3523039,0900 =⋅=R

Вариант 4. В этом варианте s = 0,2; .2002,00001 =⋅=Ks Со-гласно (2.9) получим, ден. ед.:

.39,3523039,0)02,12,01(0001 36 =⋅⋅−= −R

Вариант 5. А = 100; s = 0,2. По формуле (2.11) определим раз-мер денежного платежа, ден. ед.:

.46,3123039,0]100)02,12,01(0001[ 36 =⋅−⋅−⋅= −R

13

Перейдем ко второй задаче – делению суммы платежа по ли-зингу (R) на сумму амортизации долга и выплате процентов. Сум-ма, идущая на погашение основного долга, вычисляется как раз-ность лизингового платежа и процентов на остаток задолженности.

1. Платежи постнумерандо: ,1iDRd tt −−= t = 1, …, n, (2.13) где td – сумма погашения основного долга в периоде t; 1−tD – оста-ток долга на конец периода ,1−t D0 = К.

В первом периоде .1 KiRd −=

Остаток задолженности определяется по формуле .1 ttt dDD −= − (2.14)

2. Платежи пренумерандо: .;; 121 iDRdKiRdRd tt −−=−==

Пример 2.2. К = 100, n = 5 лет, i = 10 % годовых, платежи в конце периодов, полное погашение стоимости оборудования (s = 0). Составьте график погашения задолженности.

Р еш е н и е. По формуле (2.2) получим значение лизингового платежа, ден. ед.:

.38,268263,0100)1,01(1

1,0100

5=⋅=

+−=

−R

Табличное значение коэффициента рассрочки равно 0,263 797. Если контракт предусматривает платежи в начале каждого года,

то коэффициент рассрочки определим по (2.4). Следовательно, размер ежемесячного платежа составит, ден. ед.:

.982,2382239,0100)1,01(

1)1,01(1

1,0100

5=⋅=

+⋅

+−=

−R

Проценты за первый год, ден. ед.: 100 · 0,1 = 10; сумма погаше-ния долга, ден. ед.: 26,38 – 10 = 16,38. График погашения задол-женности при выплатах постнумерандо приведен в табл. 2.1.

Т а б л и ц а 2.1

t Остаток долга на конец периода, ден. ед.

Процентные пла-тежи, ден. ед.

Погашение долга, ден. ед.

Лизинговые пла-тежи, ден. ед.

1 100,000 10,000 16,380 26,38

2 83,620 8,362 16,018 26,38

3 65,602 6,560 19,820 26,38

4 45,782 4,578 21,802 26,38

5 23,980 2,398 23,980 26,38

14

Как видно из таблицы, суммы, предназначенные для погашения основного долга, увеличиваются, в то время как процентные пла-тежи сокращаются.

Если в условиях данного примера предусматривается остаточ-ная стоимость в размере 10 % от первоначальной стоимости об-орудования (s = 0,1), то размер лизингового платежа (выплаты постнумерандо) составит, согласно (2.9), ден. ед.:

.742,248263,0)1,11,01(100 5 =⋅⋅−= −R График погашения задолженности будет выглядеть следующим

образом (табл. 2.2). Т а б л и ц а 2.2

t Остаток долга на конец периода, ден. ед.

Процентные пла-тежи, ден. ед.

Погашение долга, ден. ед.

Лизинговые пла-тежи, ден. ед.

1 100,000 10,000 14,742 24,742 2 85,258 8,526 16,215 24,742 3 69,043 6,904 17,837 24,742 4 51,205 5,121 19,621 24,742 5 31,584 3,158 21,584 24,742

Пр о в е р к а. Остаточная стоимость, ден. ед.:

31,584 – 21,584 = 10,000. Размер платежа по лизингу зависит от ряда параметров, часть

из которых определяется в ходе разработки контракта. Срок и процентную ставку можно рассматривать в качестве управляющих параметров, поскольку, изменяя их размер, можно достичь необ-ходимого компромисса, удовлетворяющего участвующие стороны. Проследим воздействие указанных факторов на величину коэффи-циента рассрочки.

Очевидно, что с увеличением срока коэффициент рассрочки уменьшается. В пределе при ∞→n получим ia =1 (рис. 2.3, 2.4).

Р и с. 2.3 Р и с. 2.4

15

Как видим, возрастание срока лизинга заметно сказывается на величине коэффициента рассрочки в начале шкалы сроков и ослабляет влияние при больших сроках. Сказанное иллюстрирует-ся следующими данными, найденными для i = 5 % (табл. 2.3).

Т а б л и ц а 2.3

n, лет 4 8 16 20 ∞

a 0,282 01 0,154 72 0,092 27 0,080 24 0,05

Если имущество куплено на собственные средства лизингода-

теля, то процентная ставка i характеризует доходность от их инве-стиций. Если имущество полностью приобретено за счет привле-ченных средств, причем за кредит выплачиваются проценты по ставке r, то доходность от предпринимательской деятельности ли-зингодателя составит

.rip −= Таким образом, обязательным условием операции является

.ri >

При заданных размерах процентной ставки и срока лизинга увеличение доли остаточной стоимости линейно уменьшает вели-чину коэффициента рассрочки. Регулярные постоянные платежи (схема Б). Исходное требо-

вание: величина платежа определяется размером сумм погашения основного долга и выплат процентов. Расчет выполняется по схеме погашение задолженности равными долями (суммами). Для схемы с полным погашением стоимости

.constn

Kd ==

Платежи по лизингу в конце периода t находятся по формуле ,1 diDR tt += − (2.16)

где tR – размер лизингового платежа в периоде t. Остаток долга на конец периода последовательно вычисляется

таким образом: .1 dDD tt −= − (2.17) Пример 2.3. Исходные данные: К = 100, n = 5, i = 10 %, плате-

жи постнумерандо. Основной долг погашается полностью равны-ми суммами. Составьте график выплат.

Р еш е н и е. График будет выглядеть следующим образом (табл. 2.4):

16

Т а б л и ц а 2.4

t Остаток долга на конец периода, ден. ед.

Процентные пла-тежи, ден. ед.

Погашение долга, ден. ед.

Лизинговые пла-тежи, ден. ед.

1 100 10 20 30

2 80 8 20 28

3 60 6 20 26

4 40 4 20 24

5 20 2 20 22 Как видим, этот вариант погашения задолженности отличается

более крупными платежами в начале действия контракта. Нерегулярные платежи (схема А). Задается график лизинговых

платежей (сроки и суммы). Сбалансированность выплат и задол-женности достигается при определении размера последней выпла-ты. Исходное равенство:

,∑ ν+ν= kt nk

nt RRK

где tt nR, – сумма и срок t-го платежа; kk nR , – сумма и срок послед-него платежа.

Деление суммы платежа на проценты за кредит и суммы, пога-шающие основной долг, производится последовательно по формуле

.1 iDRd ttt ⋅−= − Пример 2.4. К = 100, n = 5, I =10 %, платежи постнумерандо.

Задан график пяти последовательных выплат (табл. 2.5). Вычислите сумму дисконтированных платежей и размер последнего платежа.

Т а б л и ц а 2.5

t Срок, лет

Лизинговые платежи, ден. ед.

Остаток долга на конец периода,

ден. ед.

Процентные платежи, ден. ед.

Погашение долга, ден. ед.

1 0,5 50,000 100,000 4,881 45,119 2 1,0 40,000 54,881 2,019 37,321 3 2,0 10,000 17,560 1,756 8,224 4 2,5 5,000 9,316 0,455 4,545 5 5,0 6,054 4,771 1,283 4,771 111,054 100,000

Р еш е н и е. Сумма дисконтированных платежей равна, ден. ед.:

.242,964

1=ν∑

=

tn

ttR

Размер последнего платежа, ден. ед.:

.054,6242,96100

55 =ν

−=R

17

Нерегулярные платежи (схема Б). Задается график погашения основного долга. Проценты за кредит последовательно начисля-ются на остаток задолженности.

Пример 2.5. К = 100 ден. ед., n = 5 лет, i = 10 %, s = 0, платежи в конце года. Рассчитайте порядок лизинговых платежей.

Р еш е н и е. График выплат будет иметь следующий вид: Т а б л и ц а 2.6

t Погашение долга, ден. ед.

Остаток долга на конец периода, ден. ед.

Процентные пла-тежи, ден. ед.

Лизинговые пла-тежи, ден. ед.

1 10 100 10 20

2 20 90 9 39

3 30 60 6 36

4 20 30 3 23

5 10 10 1 11

100 29 129

3. ФОРФЕЙТНАЯ ОПЕРАЦИЯ

3.1. СУЩНОСТЬ ОПЕРАЦИИ А ФОРФЭ

В конце 1950-х годов возник новый тип финансово-кредитных операций – а форфэ (от фр. a' forfait). Эта операция получила рас-пространение во внешней торговле, где послужила важным стиму-лирующим фактором развития. Заметим, что нет веских причин, препятствующих ее применению и по отношению к торговле внутри одной страны.

К форфетированию прибегают при продаже какого-либо круп-ного объекта (комплект оборудования, судно, предприятие, опто-вая партия товара). Покупатель (импортер) приобретает товар в условиях, когда у него нет соответствующих денежных ресурсов. Вместе с тем продавец (экспортер) также не может отложить по-лучение денег на будущее и продать товар в кредит. Противоречие разрешается следующим образом. Покупатель выписывает ком-плект векселей на сумму, равную стоимости товара плюс процен-ты за кредит, который как бы предоставляется покупателю про-давцом. Сроки векселей равномерно распределены во времени. Обычно предусматриваются одинаковые интервалы (полугодия)

18

между платежами по векселям. Продавец сразу же после получе-ния портфеля векселей учитывает его в банке без права оборота на себя, получая деньги в самом начале сделки. Таким образом, фак-тически не сам продавец кредитует покупателя – кредит полно-стью предоставляется банком. Банк, форфетируя сделку, берет весь риск на себя.

В операции а форфэ учитываются интересы продавца, покупа-теля и банка. В качестве четвертого агента сделки иногда выступа-ет гарант – банк покупателя, обеспечивающий погашение задол-женности по векселям. Каждая участвующая в сделке сторона пре-следует собственные цели и предусматривает возможность их до-стижения при разработке условий соглашения.

Цель продавца – получить деньги в начале сделки и тем самым устранить возможность отказа покупателя от платежей и риск, свя-занный с колебанием процентных ставок по кредиту.

Цель покупателя – приобрести продукцию в кредит с меньши-ми совокупными издержками. Расходы покупателя включаются в погашение последовательно предъявляемых векселей.

Для банка форфейтная операция – обычная операция портфеля векселей. Ее эффективность определяется размером учетной став-ки и рядом других параметров.

Анализ операции а форфэ можно осуществить с позиции каж-дого из участвующих в ней агентов с учетом указанных целей. Следует подчеркнуть, что интересы сторон здесь взаимообуслов-лены в большей мере, чем это может показаться на первый взгляд. В связи с этим, изучая позицию каждого участника операции, необходимо принимать во внимание интересы других.

3.1. АНАЛИЗ ПОЗИЦИИ ПРОДАВЦА

При учете векселей продавец должен получить сумму, равную цене товара. Следовательно, анализ для него заключается в опре-делении сумм, которые должны быть указаны на векселях. Если окажется, что учет векселей дает величину меньшую, чем огово-ренная цена, то продавец должен заранее исправить положение. Обычно на практике для этого повышают исходную цену. Альтер-нативной моделью служит повышение ставки процентов за кредит. Ясно, что какой бы путь ни был принят, повышение исходной це-ны ставки процентов не может быть произвольным.

Сумма, проставленная на векселе ),( tV состоит из двух элемен-тов: суммы, погашающей основной долг (цену товаpa), и процен-тов за кредит.

19

Момент, с которого начинают начисляться проценты, можно определить двумя способами:

а) для процентов на остаток задолженности: со времени пога-шения предыдущего векселя;

б) для процентов на ту часть долга, которая покрывается вексе-лем: от начала сделки и до момента погашения векселя.

Рассмотрим оба способа для случая, когда долг погашается равными суммами. Введем обозначения:

n – число векселей или периодов; i – ставка простых процентов, под которую производится кре-

дитование; d – простая ставка, используемая банком при учете векселей; Р – цена товара (если условия операции предусматривают вы-

плату аванса, то последний вычитается из цены и далее не прини-мается во внимание; иначе говоря, под Р будем понимать цену за вычетом аванса).

В а р и а н т а. Погашение основного долга производится рав-

ными суммами, т. е. в каждый вексель записывается сумма .n

P

Проценты за кредит образуют ряд:

, ...,,1

1 ..., ,1

1 , in

P

n

tPi

nPiPi

−−

− где t = 1, 2, …, n.

Сумма векселя, погашаемого в момент t:

].)1(1[1

1 itnn

P

n

tPi

n

PVt +−+=

−−+= (3.1)

Общая сумма начисленных процентов:

.2

111

1Pi

n

n

tPi

n

t∑=

+=

−− (3.2)

Общая сумма векселей:

.2

11

1∑=

⋅++=n

tt i

nPV (3.3)

В а р и а н т б. В этом случае по определению

).1( tin

PVt += (3.4)

Сумму процентов за весь срок можно найти по формуле

.2

1)1(

11Pi

nPti

n

PPV

n

t

n

tt

+=−+=− ∑∑==

(3.5)

20

Получен тот же результат, что и по формуле (3.2). Различие между вариантами, как показано в примере 3.1, заключается в рас-пределении процентов по периодам.

Пример 3.1. В оплату товара ценой 1 млн руб. выписано 4 векселя с погашением по полугодиям. Ставка процентов соста-

ляет 10 % годовых (простых). Таким образом, i = 5 %, n = 4, =n

P

250 тыс. руб. Рассчитайте размер выплат процентов и суммы век-селей.

Р еш е н и е. Определим процентные платежи и суммы векселей для двух вариантов, тыс. руб. (табл. 3.1).

Т а б л и ц а 3.1

а б t

% Vt % Vt

1 50,0 300,0 12,5 262,5

2 37,5 287,5 25,0 275,0

3 25,0 275,0 37,5 287,5

4 12,5 262,5 50,0 300,0

125,0 1 125,0 125,0 1 125,0 Сумма процентов в обоих вариантах расчета одинакова. Однако

распределение платежей во времени противоположное: в вариан-те а они уменьшаются, в варианте б – растут. Для покупателя ва-риант б представляется более привлекательным. Корректировка условий продажи. При учете портфеля векселей

в банке продавец получит некоторую сумму А. Если применяется простая учетная ставка (что общепринято), эта сумма будет определяться по формуле

.)1(1∑=

−=n

tt tdVA (3.5)

Сумма А представляет собой современную величину всех пла-тежей по векселям. Поскольку сумма на векселе определяется двумя способами, найдем величину А для каждого из них.

В а р и а н т а. В данном случае

[ ] ),1()1(11

tditnn

PA

n

t−+−+=∑

= (3.6)

или

.3

2)(

21

1

+−−++= niddi

nPA (3.7)

21

Обозначим сумму в квадратных скобках через .z Очевидно, что если величина z меньше 1, то продавец получит сумму, которая меньше договорной цены Р. Наиболее простой путь избежать по-

терь – повысить цену в z

1 раз. Такой корректировочный множи-

тель позволяет точно определить требуемую поправку и, кроме того, дает возможность проследить влияние всех воздействующих факторов. Когда z = 1 и нет необходимости в корректировке, про-давец получает при учете векселей оговоренную сумму.

Разумеется, что после корректировки цены нужно вернуться к задаче расчета сумм векселей уже для новой цены товара.

Пример 3.2. По данным примера 3.1 в случае, когда учетная ставка равна 9,5 % годовых, получим следующее значение коэф-фициента :z

.375994,03

245047,005,05047,005,0

214

1 =

+⋅⋅−−++=z

Таким образом, если все условия сделки останутся без измене-ний, то продавец получит несколько меньшую сумму вместо ого-воренного 1 млн руб. Повышение цены на величину

375994,011 =

z = 1,005 657

компенсирует потерю продавца. Суммы векселей после корректи-ровки составят, тыс. руб.: 301,697; 289,126; 276,566; 263,984. Учет этих векселей по ставке 4,75 % за полугодие даст в сумме 1 млн руб.

Практический интерес представляет соотношение процентных ставок, при которых продавец не будет нести потери. Из равенства (3.7) вытекает, что последнее условие выполнимо в случае, когда

.3

2+=− niddi

В силу этого барьерная процентная ставка, при которой отпада-ет необходимость в корректировке цены, составит:

.

3

21 d

nd

i +−=∗

Повышение платы за кредит до уровня ∗i полностью балансиру-ет условия сделки, при этом суммы векселей несколько повысятся.

22

Пример 3.3. Каков должен быть уровень процентной ставки за кредит для того, чтобы покупатель не понес ущерба в oпepaции а форфэ при условии, что d = 4,75 % (данные примера 3.1, вари-ант а?

Р еш е н и е.

.486052,05047,0

3

241

5047,0 =+−=∗i

Таким образом, повышение годовой ставки кредита до 10,497 2 % полностью компенсирует потерю продавца. Альтерна-тивой может служить повышение цены товара (см. пример 3.2).

В а р и а н т б. Проценты начисляются на ту часть долга, кото-рая погашается векселем. По определению

∑ −+=n

tdtin

PA

1).1)(1(

После ряда преобразований получим

.3

12)(

2

11

+−−++== niddi

nPPzA (3.8)

Пример 3.4. Определите корректирующий множитель к цене по данным примера 3.1 (вариант б) при условии, что d = 4,75 %.

Р еш е н и е. В этом случае, согласно формуле (3.8),

.437988,03

2425047,005,05047,005,0

2

141 =

+⋅⋅⋅−−++=z

Корректирующий множитель равен

==437988,0

11z

1,011 697 7,

т. е. корректировка цены будет более существенной, чем по вари-анту а.

Перейдем теперь к корректировке условий сделки с помощью изменения ставки процента за кредит. Единственное значение i, при котором продавец не терпит убытки в варианте б, нетрудно определить из условия .1=z Для того чтобы удовлетворить это требование, необходимо выполнить условие, вытекающее из (3.8):

312 +=− n

iddi ,

откуда

23

.

3

121 d

nd

i +−=∗

Пример 3.5. Условия примера 3.1 (вариант б), d = 4,75 %. Р еш е н и е.

.35539005,05047,0

3

1421

5047,0 =+⋅−=∗i

Таким образом, у продавца имеются две возможности компенса-ции потерь при учете портфеля векселей – повысить цену товара в 1,011 697 7 раза или увеличить ставку за кредит до 11,078 7 % годо-вых.

Корректировка цены и ставки по кредиту приводит к примерно одинаковым конечным результатам, однако обычно наблюдается небольшое различие в суммах векселей. Для иллюстрации сказан-ного обратимся к примеру. Пример 3.6. Первоначальные условия сделки: договорная це-

на –1 тыс. руб., ставка по кредиту за полугодие – 3 %, учетная ставка за полугодие – 4,5 %. Проценты начисляются на сумму век-селя (вариант б). Выписывается 6 векселей с последовательным погашением по полугодиям. Составьте графики выплат с учетом двух возможных вариантов корректировки условий.

Р еш е н и е. Поскольку i < d, то необходима корректировка исходных условий. Корректирующий множитель, рассчитанный по формуле (3.8), составит 1,078 72. Таким образом, сумма векселя с поправкой, но бeз начисленных процентов равна, руб.:

200 · 1,078 72 = 215,74. Применив второй метод корректировки, находим

.9055,045,0

3

1621

5047,0 =+⋅−=∗i

Суммы векселей, полученных с применением двух методов корректировки, приведены в табл. 3.2.

Т а б л и ц а 3.2

Умножение на z

1 Повышение ставки до i*

t

Сумма платежа Дисконт Сумма платежа Дисконт

1 222,22 10,00 211,18 9,50 2 228,69 20,58 222,36 20,01

24

О к о н ч а н и е т а б л. 3.2.

Умножение на z

1 Повышение ставки до i*

t

Сумма платежа Дисконт Сумма платежа Дисконт

3 235,16 31,75 233,54 31,53

4 241,63 43,49 244,72 44,05

5 248,11 55,82 255,90 57,58

6 254,58 68,74 267,08 72,11

1 430,39 230,38 1434,78 234,78

Нетрудно убедиться в том, что при любом методе корректиров-

ки продавец получит сумму, равную оговоренной цене (1 200 руб.), что и требовалось доказать. Небольшое расхождение между итоговыми суммами векселей (и дисконта) объясняется тем, что распределение платежей по срокам несколько различает-ся. В первом случае оно более равномерно (минимальная сумма – 222,22 руб., максимальная – 254,58 руб.), во втором – первый век-сель выписывается на сумму 211,18 руб., последний – на 267,08 руб. Указанный небольшой сдвиг приводит к увеличению общей суммы платежа по векселям, а также суммы дисконта.

3.2. АНАЛИЗ ПОЗИЦИЙ ПОКУПАТЕЛЯ И БАНКА

Совокупные издержки покупателя. Последовательность пога-шения векселей можно рассматривать как поток платежей. Сово-купные издержки покупателя с учетом фактора времени равны со-временной стоимости этого потока. В примере 3.2 было показано, что сумма векселя может быть получена двумя путями. Определим совокупные издержки покупателя для этих двух вариантов с уче-том того, что условия сделки были сбалансированы, т. е. была осуществлена корректировка цены.

В а р и а н т а. Современная величина платежей по векселям (приведенные совокупные издержки покупателя) вычисляется по формуле

,])1(1[1

11

tn

t

tn

tta itn

z

PV

zW ν+−+=ν= ∑∑

== (3.9)

где v – дисконтный множитель по рыночной процентной ставке q.

Пример 3.7. Цена товара составляет 1 млн руб., выписано 4 векселя с погашением по полугодиям. Сложная ставка, которая

25

характеризует средний уровень ссудного процента на рынке, рав-на 15 % годовых, что соответствует ставке за полугодие q = 1,151/2 – 1 = 0,072 38, или 7,238 %. Величины Vt приведены в табл. 3.1; значение z = 0,994 375 найдено в примере 3.2. Вычисли-те современную величину платежей по векселям, тыс. руб.

Р еш е н и е.

.65,956)38072,15,26238072,1275

38072,15,28738072,1300(375994,0

1

43

21

=⋅+⋅+

+⋅+⋅=

−−

−−aW

В а р и а н т б. При начислении процентов на остаток задолжен-ности получим следующую формулу для вычисления современной стоимости потока платежей:

.)1(11

11

tn

t

tn

ttб it

n

P

zV

zW ν+=ν= ∑∑

== (3.10)

Пример 3.8. Для варианта б начисления процентов (данные примера 3.2) z= 0,988 437 (пример 3.4), q = 7,238 %. Найдите ве-личину платежей по векселям, тыс. руб.

Р еш е н и е.

.92,954)38072,130038072,15,287

38072,027538072,15,262(437988,0

1

43

21

=⋅+⋅+

+⋅+⋅=

−−

−−бW

Как видим, такой способ начисления процентов дает сумму со-вокупных издержек чуть меньшую, чем при варианте а. Минимизация издержек. Современная стоимость издержек по-

купателя зависит от всех параметров операции, причем при q > i всегда наблюдается соотношение Wб < Wa. Иначе говоря, совокуп-ные издержки покупателя меньше при начислении процентов по варианту б. Чем больше n и q, тем больше разность современных стоимостей потоков платежей, соответствующих двум вариантам начисления процентов.

В табл. 3.3 иллюстрируется влияние роста учетной ставки на приведенные издержки покупателя (вариант 1). Воздействие про-центной ставки i на величину приведенных издержек неоднозначно. В некоторых случаях ее рост приводит к увеличению W, в других – к уменьшению. Однако такое влияние малоощутимо. Оно становит-ся заметным лишь при больших значениях n. В этой же таблице приводятся данные, характеризующие Wб для разных значений i (варианты 2 и 3). При расчете совокупных издержек приняты сле-дующие параметры: Р = 1 000 ден. ед., q = 0,1. В варианте 1: п = 10, i = 0,06; в варианте 2: n = 10, d = 0,07; в варианте 3: п = 8, .05,0=d

26

Т а б л и ц а 3.3

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

d Wб, ден. ед. i Wб, ден. ед. i Wб, ден. ед.

0,04 775 0,04 1 005 0,04 856

0,05 839 0,05 1 006 0,05 855

0,06 916 0,06 1 007 0,06 854

0,07 1 007 0,07 1 008 0,07 853

0,08 1 118 0,08 1 009 0,08 852

0,09 1 258 0,09 1 010 0,09 852

0,10 1 436 0,10 1 010 0,10 851

0,11 1 675 0,11 1 011 0,11 850

0,12 2 008 0,12 1 012 0,12 850

Наиболее интересной и практически важной является зависи-

мость современной стоимости издержек от количества последова-тельно погашенных векселей п. Нетрудно обнаружить, что при одних сочетаниях исходных параметров операции (i, d, q) значение W может расти, при других – падать. Более того, при определен-ных сочетаниях параметров существует такое количество вексе-лей, при котором совокупные издержки покупателя становятся минимальными. Строго аналитически вычислить оптимальное п достаточно затруднительно. Проще рассчитать ряды показателей для данного набора параметров и выбрать наилучшее значение n.

В табл. 3.4 приводятся характеристики суммарных издержек покупателя Wб в зависимости от п для трех вариантов условий. Во всех вариантах Р = 1 000 ден. ед.; q = 0,1. В варианте 1: d = 0,05; i = 0,04; в варианте 2: d = 0,06; i = 0,04; в варианте 3: d = 0,07; i = 0,06. По данным этой таблицы и из дополнительных расчетов следует, что величина ставки d заметно влияет на значение п, со-ответ-ствующее минимальной величине издержек. Суммарные из-держки покупателя показаны в табл. 3.4 (ден. ед.).

Т а б л и ц а 3.4

n Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

4 904 931 960

5 890 923 959

6 877 917 961

7 865 913 966

8 856 911 975

9 848 912 989

27

О к о н ч а н и е т а б л. 3.4

n Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

10 842 916 1 007

11 837 923 1 031

12 835 933 1 062

13 834 947 1 102

14 836 965 1 153

15 841 989 1 219

16 848 1 019 1 304

17 858 1 057 1 417

18 871 1 105 1 570

19 888 1 165 1 787

20 910 1 242 2 112

Изменение ставки i практически не отражается на положении

точки оптимума. Например, если бы варианте 2 эта ставка была не 0,04, а 0,06, то оптимальным опять оказалось бы n = 8.

Влияние ставки q однозначно – чем она выше, тем меньше ве-личина совокупных издержек. Ее возрастание при всех прочих равных показателях отодвигает точку оптимума. Так, если в вари-анте 2 принять 15,0=q вместо 0,1, точка оптимума сдвинется до n = 12. Анализ позиции банка. Банк (или другое финансовое учрежде-

ние, участвующее в форфейтной сделке путем учета векселей) бе-рет на себя весь риск по проведению операции и заинтересован в получении дохода от инвестированных в векселя средств. Доход-ность операции определяется учетной ставкой. Поскольку обще-принятым измерителем эффективности финансовых долгосрочных операций является ставка сложных процентов, то анализ позиции банка заключается в расчете такой ставки. Последняя эквивалент-на ставке d, примененной при учете комплекта из n векселей с по-следовательными сроками -погашения.

Теперь задача сводится к определению корня многочлена сте-пени n. Как известно, это можно осуществить с помощью одного из итеративных вычислительных методов. Рост учетной ставки, естественно, оказывает положительное влияние на g. С увеличени-ем n величина g также растет.

При условии, что Р и Vt сбалансированы, верным будет такое равенство:

28

,1∑=

ν=n

t

ttVP (3.11)

где ν – дисконтный множитель по неизвестной ставке g. Для примера 3.1 (вариант б) суммы векселей после корректи-

ровки составят, руб.: 265,57; 278,22; 290,86; 303,51.

Необходимое для расчета g уравнение имеет вид

1 000 = 265,57v + 278,22v2 + 290,86v3 + 303,51v4.

Находим v = 0,950 39 и g = 5,22 %. Поскольку процентная став-ка рассчитана за полугодие, то нужно вычислить годовую ставку сложных процентов: 1,052 22 = 1,107 1, т. е. 10,71 %.

Итак, при выработке условий конкретной сделки а форфэ необ-ходим ее полный количественный анализ с позиций заинтересо-ванных сторон, так как финансовые результаты сделки неочевид-ны и существенно зависят от значений принятых параметров.

Из приведенного выше материала следует, что для продавца, который остерегается существенного повышения цены и в то же время стремится компенсировать свои потери, средствами управ-ления являются: снижение учетной ставки, повышение ставки процентов за кредит, уменьшение числа векселей (периодов пога-шения). Средствами управления для покупателя выступают в основном параметры d и п. Большая величина параметра i имеет отрицательное влияние лишь при очень высоких значениях n.

Главная задача покупателя – найти значение n, минимизиру-ющее современную стоимость издержек импортера. Для банка основным инструментом, воздействующим на эффективность сделки, служит учетная ставка.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАРЬЕРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

4.1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ

Под барьерным (критическим, предельно допустимым) значе-нием параметра понимается такая его величина, превышение кото-рой приводит к положительному или, наоборот, отрицательному конечному экономическому результату в рамках некоторой произ-водственной или финансовой системы. Например, если речь идет об определении объема производства какого-либо продукта, то его пороговым значением будет такой объем выпуска, при котором

29

полученная прибыль равна нулю. Его превышение дает прибыль, меньшее производство оказывается убыточным. Подобная и мно-гие другие сходные по общей постановке задачи решаются с по-мощью метода барьерной, или критической, точки. Он широко используется в финансовом проектировании при разработке биз-нес-планов и решении разнообразных проблем: определении поро-гового значения процентной ставки, цены товара, срока финансо-вой операции и т. д.

Для начала рассмотрим наиболее простой и весьма условный вариант статической постановки задачи, к которому обычно при-бегают при объяснении сути метода. Пусть необходимо найти по-роговый объем производства одного вида продукта при условии, что все требуемые для анализа количественные зависимости опи-сываются линейными выражениями, т. е. применяется линейная модель.

Для записи такой модели примем обозначения: Q – объем производства (в натуральном или условно-

натуральном измерении); F – постоянные производственные затраты, не зависящие от

объема выпуска; с – переменные, или пропорциональные, затраты (в расчете на

единицу продукции); р – цена единицы продукции; S – общая сумма затрат; V – стоимость выпущенной продукции; Р – размер прибыли до уплаты налогов. Переменные Q, F, S, V, Р определяются в расчете на одинако-

вый интервал времени, обычно на год. Найдем стоимость выпущенной продукции и соответствующую

сумму затрат: V = PQ, (4.1) S = F + cQ. (4.2)

Искомый критический объем производства, или барьерную точ-ку, получим на основе равенства стоимости выпущенной продук-ции и суммы затрат:

V = S. Именно равенство двух разнородных экономических показате-

лей, каждый из которых является функцией одной управляющей переменной (в рассматриваемом случае – объема производства), лежит в основе метода барьерной точки.

Обозначим барьерный объем производства как Qk, тогда, ис-пользуя (4.1) и (4.2), получим:

рQk = cQk + F.

30

Таким образом,

.cp

FQk −

= (4.3)

Как видим, чем выше размер постоянных и переменных затрат, тем больше критический объем производства.

Прибыль (до выплаты налогов) по определению составит:

Р= V – S=(p – c)Q – F. (4.4)

Графическая иллюстрация задачи приведена на рис. 4.1. Реше-ние находится в точке пересечения двух линий, одна из которых характеризует динамику затрат (S), другая – изменение дохода (V) по мере увеличения выпуска. Объемы производства меньше кри-тического Qk приведут к убыткам. Превышение этого объема даст прибыль. Чем значительнее размер постоянных и переменных за-трат, тем больше критический объем производства. Чистая при-быль после уплаты налогов (пропорциональных прибыли) харак-теризуется линией М.

Пример 4.1. Пусть р = 50 ден. ед., с = 30 ден. ед., F = = 100 ден. ед. Найдите базовый объем производства и размер при-были до уплаты налогов, ден. ед.

Р еш е н и е.

;53050

100 =−

=kQ .100)3050( −−= QP

Графическое изображение условий задачи и ее решения пред-ставлено на рис. 4.2.

Рассмотренный метод базируется на реальных данных бухгал-терского учета или ожидаемых их величинах. Капиталовложения учитываются посредством включения в затраты амортизационных отчислений.

Все участвующие в расчете параметры рассматриваются как константы. Однако с течением времени они, безусловно, изменя-ются, и найденная для одного момента времени критическая точка не окажется таковой для другого. Важно также подчеркнуть, что время как важнейший финансовый фактор не принимается здесь во внимание. Такой подход вполне оправдан, если капиталовложе-ния уже осуществлены и встает вопрос только о выборе видов производимой продукции и их объемов.

Сказанное выше позволяет сформулировать общее определение обсуждаемого метода как способа расчета барьерного значения управляющей переменной исходя из равенства двух конкуриру-ющих функций этой переменной. Содержание управляющего па-раметра и функций, как видно, зависит от конкретных условий

31

решаемой задачи. В рассмотренном выше примере управляющей переменной является объем производства, конкурирующими функциями – доход и затраты.

4.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

Процесс формирования затрат и (или) стоимости продукции можно описать и нелинейными функциями. Их вид и параметры устанавливаются в ходе статистического анализа или задаются экспертно. Барьерный выпуск продукции. Рассмотрим два случая. Пусть

вначале стоимость продукции – линейная функция выпуска, а за-траты на производство описываются нелинейной монотонно рас-тущей функцией (рис. 4.3).

Стоимость продукции находится по формуле (4.1), а сумма пе-ременных затрат описывается степенной функцией ,hcQ причем 0 < h < 1.

В этом случае общая сумма затрат составит: .hcQFS +=

Разность конкурирующих функций в барьерной точке вычисля-ется следующим образом:

.0=−− FcQpQ hkk

Решение сводится к нахождению корня последнего уравнения.

Пример 4.2. Исходные данные: F = 100 ден. ед.; p = 50 ден. ед.; c = 40 ден. ед.; h = 0,5. Определите барьерный объем производства, ден. ед.

Р еш е н и е. .01004050 5,0 =−− kk QQ

Найдем корни этого уравнения. Преобразуем его в квадратное, заменив Q на 2z :

.502

)100(504)40()40(;01004050

2

2,12

⋅−⋅⋅−−±−−

==−− zzz

Положительное значение z = 1,86.

.46,386,1 2 ==kQ

Перейдем к сочетанию двух нелинейных зависимостей. Пусть обе функции являются параболами второй степени (рис. 4.4):

32

, ; 22 FdQcQSbQaQV ++=+= где a, b, c, d, F – параметры парабол.

Прибыль в зависимости от уровня выпуска составит:

.)()( 2 FQdbQcaP −−+−= (4.5)

Барьерный объем выпуска вычисляется как корень квадратного уравнения

.0)()( 2 =−−+− FQdbQca

Добавим, что при некоторых условиях можно рассчитать объем выпуска, максимизирующий размер прибыли (обозначим его как Qm). Для этого достаточно найти производную функции прибыли и приравнять ее к нулю. В случае, когда прибыль описывается вы-ражением (4.5), можно использовать формулу

.)(2 ca

bdQm −

−= (4.6)

Как видим, положение точки максимума полностью определя-ется параметрами соответствующих парабол, причем необходи-мым условием существования максимума являются следующие соотношения: d > b, а > с. Если же b > d и а > с, то прибыль мо-нотонно растет вместе с увеличением выпуска.

Нелинейную модель можно представить и в неформализован-ном виде – как таблицу данных, характеризующих затраты и стои-мость продукции в зависимости от размера выпуска (табл. 4.1, ден. ед.).

Т а б л и ц а 4.1

Q F c p S V P

0 100 – – 100 – – 5 100 30 50 250 250 0 10 100 27 50 370 500 130 15 100 22 45 430 675 145 20 100 20 40 500 800 300 25 100 20 30 600 750 150

Наибольшая прибыль приходится на выпуск, равный 20 ден.ед.

33

4.3. БАРЬЕРНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ В ФИНАНСОВОМ АНАЛИЗЕ

Сравнение денежных сумм. Начнем с простой задачи, иллю-стрирующей возможности метода при решении некоторых про-блем финансов и кредита. Допустим, необходимо выбрать один из двух вариантов поступлений денежных средств, различающихся суммами S1, S2 и сроками п1, n2, причем S2 > S1, п2 > n1. Логически оправдан выбор на основе сравнения современных стоимостей по-ступлений. Таким образом, его результат зависит от ожидаемого рыночного уровня процентной ставки. В предлагаемой задаче барьерной является ставка, при которой оба варианта оказываются эквивалентными.

Рассмотрим метод решения для двух вариантов расчета совре-менных стоимостей: по простой и сложной процентным ставкам.

Для простой ставки верно следующее равенство современных стоимостей (P1 и Р2):

,11 2

2

1

1

kk in

S

in

S

+=

+ (4.7)

а для сложной: .)1()1( 21

21n

kn

k iSiS −− +=+ (4. 8)

В обоих равенствах ki означает величину барьерной ставки. Решив уравнение (4.7) относительно искомой ставки, получим формулу

.1221

12

nSnS

SSik −

−= (4.9)

Из последнего выражения следует необходимое условие для существования барьерной ставки:

,1221 nSnS > или

.2

121

n

nSS >

Из рис. 4.5 видно, что если ожидаемый уровень ставки меньше барьерного, то для получателя денег предпочтителен вариант S2, если же рыночная ставка больше барьерной, то следует выбрать альтернативный вариант.

Пример 4.3. Сравните два варианта платежей с параметрами:

34

S1 = 1, S2 = 1,15, n1 = 7, п2 = 12 (сроки платежей даны в месяцах). Р еш е н и е. Проверим выполнение условия

.2

121

n

nSS >

,127

15,11 ⋅> следовательно, решение существует. По форму-

ле (4.9) получим ожидаемый уровень ставки:

.7455,0

12

715,1

12

121

115,1 =⋅−⋅

−=ki

Таким образом, при рыночной простой ставке, которая меньше 45,6 %, для получателя денег предпочтительнее более отдаленная выплата при всех прочих равных условиях.

Перейдем к определению барьерного значения сложной ставки. На основе (4.8) выведем формулу

( ) ;ln

1ln;)1(12

1

2

1

212

nnS

S

iS

Si k

nnk −

=+=+ −

.1ln

exp12

1

2

−

−=

nnS

S

ik (4.10)

Пример 4.5. Возможны два варианта оплаты товара при его по-ставке. Стоимости и сроки поставки: S1 = 1, S2 = 1,4, n1 = 1, п2 = 2,5 (сроки заданы в годах). Выберите вариант покупки при условии, что срок не имеет решающего значения, иными словами, ориенти-руйтесь только на величину выплат.

Р еш е н и е. Находим величину барьерной ставки, при которой дисконтированные размеры затрат окажутся одинаковыми:

.251,01;31224,15,14,1ln

)1ln( 31224,1 ≈−===+ eii kk

Итак, если рыночная ставка будет меньше 25,1 %, то для поку-пателя окажется предпочтительней второй вариант.

35

4.4. ВЛИЯНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

НА ПОЛОЖЕНИЕ БАРЬЕРНОЙ ТОЧКИ

Барьерное значение выпуска продукции определялось ранее при условии, что все исходные данные установлены однозначно. В действительности все не так просто. Так, цену продукции, вероят-но, можно с большей надежностью определить для будущего в ви-де некоторого интервала р' – р". Обратившись к линейной модели, получим для этой ситуации интервал значений барьерного выпус-ка продукции 'kQ – Qk" (рис. 4.6). То же можно сказать и об остальных параметрах в формуле (4.3). Таким образом, при усло-вии, что неоднозначными являются постоянные или переменные затраты, получим диапазоны барьерных показателей выпуска для линейной модели (рис. 4.7 и 4.8).

Р и с. 4.6 Р и с. 4.7

Р и с. 4.8 Р и с. 4.9

36

На рис. 4.9 иллюстрируется совместное влияние неопределен-

ности в цене продукции и переменных затрат на положение барь-ерного выпуска продукции.

В свою очередь, неоднозначность ожидаемой цены продукта и постоянных затрат приводит к результату, который показан на рис. 4.10.

На рис. 4.11 изображена ситуация, при которой интервалами заданы все три параметра. На рисунке показаны четыре критиче-ских точки: точка а соответствует минимальным затратам и мак-симальной цене, точка b – максимальным затратам и цене, с – мак-симальным затратам и минимальной цене, d – минимальным за-тратам и цене. В зависимости от выдвинутых предположений можно получить ряд диапазонов для барьерной точки: а – b, а – с и т. д.

Р и с. 4.10 Р и с. 4.11

Что касается методов определения интервалов для значений па-раметров, то в большинстве случаев вполне оправданно их экс-пертное оценивание.

Интервалы можно установить и в рамках сценарного подхода, при котором определяется набор параметров для некоторой сово-купности условий (сценария). Обычно разрабатывают оптимисти-ческий, пессимистический и наиболее вероятный сценарии. Опти-мистический и пессимистический сценарии позволяют выявить крайние значения искомой величины. Наиболее вероятный сцена-рий дает ее промежуточную оценку. Задавая характеризующие некоторую производственную систему параметры в виде интерва-лов, можно получить полное представление о реально ожидаемых результатах.

37

4.5. ФИНАНСОВЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ

БАРЬЕРНЫХ ТОЧЕК ВЫПУСКА

Постановку задачи по определению барьерного объема выпуска продукции можно расширить, учитывая дополнительные условия. Допустим, что разрабатывается проект создания предприятия по производству нового вида продукции. Выпуск продукции намечен в течение п лет в равных объемах по годам. Сохраняется деление затрат на постоянные (не связанные с объемами производства) и переменные (пропорциональные выпуску продукции). Текущие затраты и поступления от реализации продукции можно предста-вить в виде потоков платежей. Существуют два конкурирующих подхода к определению барьерного выпуска. В первом, который условно назовем бухгалтерским, инвестиции не принимаются во внимание непосредственно – они учитываются через амортизаци-онные отчисления, которые включаются в текущие затраты. Во втором, финансовом, подходе инвестиции играют ключевую роль, выступая в качестве самостоятельного фактора, в то время как амортизация не учитывается в текущих расходах. Оба способа из-бегают двойного счета инвестиционных затрат.

Названные методы применяются на практике, однако дают раз-ные результаты. Согласно бухгалтерскому подходу, необходимо рассчитать тот минимальный объем выпуска, при котором затраты окупятся. Иначе говоря, сохраняется ориентация на прибыль. Най-дем размер прибыли для отдельного года: ),( dfcQpQP ++−= (4.11) где f – постоянные расходы за год; d – сумма амортизационных списаний за тот же период (d = const).

Барьерный объем выпуска продукции вычисляется по формуле

.cp

dfQk −

+= (4.12)

Отличие от формулы (4.3) заключается в выделении в числителе суммы амортизационных расходов в качестве самостоятельного слагаемого.

Если принять во внимание тот факт, что выпуск продукции (по-ступление дохода) и затраты представляют собой потоки плате-жей, то конкурирующие функции определяются как современные стоимости потоков

),( и )( cQdfPVpQPV ++ где PV – оператор определения современной стоимости.

На основе этих функций получим равенство

38

).()( kk cQdfPVpQPV ++= Решение данного уравнения относительно критического объема

выпуска приводит к формуле, аналогичной (4.12). Пример 4.5. Исходные данные: п = 5 мес., d = 50 ден. ед.,

f = 20 ден. ед., р = 50 ден. ед., с = 30 ден. ед. Каков барьерный объ-ем выпуска продукции, ден. ед.?

Р еш е н и е. Применим формулу (4.12):

.3530505020 =

−+=kQ

Проверим этот результат, определив современные стоимости денежных поступлений и затрат для барьерного выпуска. Для дис-контирования примем i = 15 %. Найдем ,16352,315;5 =a после чего получим

.62915,116352,3)35305020()1()(

;62915,116352,33550)1(5,05,0

15;5

5,05,015;5

=⋅⋅⋅++=+++=⋅⋅⋅=+

iacQdf

iapQ

k

k

Предположим теперь, что участвующие в формуле характери-стики изменяются со временем, т. е. вместо p, c, f, d будем исполь-зовать pt, ct, ft, dt. Переменные параметры более адекватны реаль-ности. Например, затраты на производство могут расти в связи с увеличением расходов на ремонт по мере износа оборудования, в то же время постоянные затраты могут уменьшаться и т. д. Исход-ное равенство в этом случае имеет вид

∑ ∑ ∑ ν=ν+ν+t t t

ntk

ntk

ntt

ttt pQcQdf .)(

Следовательно,

.)(

∑ ∑∑

ν−νν+=

tt

t

nt

nt

ntt

kcp

dfQ (4.13)

В табл. 4.2. приведены данные для расчета барьерного выпуска. Все параметры, кроме сумм амортизации, являются переменными величинами.

Т а б л и ц а 4.2

t, мес. р, ден. ед. с, ден. ед. f, ден. ед. d, ден. ед.

1 50 28 20 30 2 50 28 20 30 3 46 30 16 30 4 46 30 16 30 5 42 31 12 30

Для дисконтирования применим процентную ставку 15 %. Все

39

необходимые для расчета по формуле (4.13) данные можно найти в табл. 4.3.

Т а б л и ц а 4.3

t, мес. yn, ден. ед. f + d, ден. ед. (f + d)vn, ден. ед. pvn, ден. ед. cvn, ден. ед.

1 0,932 50 50 46,625 00 46,625 00 26,110 00

2 0,810 87 50 40,543 50 40,543 50 22,704 36

3 0,705 11 48 32,435 06 33,845 28 21,153 30

4 0,613 14 45 28,204 44 27,591 30 18,394 20

5 0,533 16 42 22,392 84 22,392 83 16,528 04

Итого – 170,200 00 170,99 790 104,889 90

На основе табличных данных получим барьерный объем вы-пуска продукции, ден. ед.:

.57,289,104171

2,170 =−

=kQ

Перейдем к финансовому методу, который, в отличие от бух-галтерского, принимает во внимание размер капитальных вложе-ний, осуществленных для реализации проекта, и поток чистых по-ступлений (доходов) без учета амортизационных отчислений. По-ток платежей в случае, когда удельные характеристики постоянны, отражается следующим рядом:

,...,)(,)( , fQcpfQcpK −−−−− где К – размер инвестиций.

Современная стоимость такого потока представляет собой чис-тый приведенный доход (NPV) – важный показатель, который ис-пользовали при анализе производственных инвестиций. В приня-тых здесь обозначениях с привязкой чистых поступлений к сере-дине соответствующих периодов можно записать:

.)1(])[( 5,0; iafQcpKNPV in +−−+−=

По определению в барьерной точке NPV = 0, следовательно, барьерный объем выпуска продукции можно рассчитать по фор-муле

.)1(

15,0

;

+

+−= f

ia

K

cpQ

ink (4.14)

Первое слагаемое в скобках равно члену финансовой ренты, со-временная стоимость которой эквивалентна сумме инвестиций.

Поток чистых поступлений можно расчленить без потери точ-ности последующих расчетов на два потока: поступлений (поло-жительные величины) и расходов (отрицательные величины).

40

Пример 4.6. Примените оба метода для анализа инвестицион-ного проекта, который характеризуется следующими данными: К = 1 100 ден. ед., р = 50 ден. ед., с = 30 ден. ед., f = 5 ден. ед., d = 100 ден. ед., n = 10 лет. Дисконтирование осуществляется по ставке 12 % годовых.

Р еш е н и е. По формуле (4.12) барьерный объем выпуска про-дукции составит, ден. ед.:

.25,53050

105 =−

=kQ

В свою очередь, финансовый метод дает следующую величину, ден. ед.:

.45,9512,1

10013050

15,0

12;10

=

+

⋅−=

aQk

При сравнении формул (4.12) и (4.14) становится очевидным: расхождение в результатах оценки барьерной точки выпуска свя-зано с тем, что

.)1( 5,0

;

dia

K

in

>+

Иначе говоря, член ренты, погашающей капиталовложения, должен быть больше амортизационных отчислений. Равенство в приведенном соотношении будет наблюдаться только в случае, когда ,0=i при этом an; 0 = n.

При бухгалтерском подходе из поля зрения аналитика выпадает выгода от возможного иного использования ресурсов. В связи с этим введем важное в современной экономике понятие условной (вмененной) потери, связанной с альтернативными издержками в результате незадействования возможного альтернативного курса действий. Для иллюстрации приведем следующий пример. Пусть исследуемым ресурсом является производственное здание. У вла-дельца имеются две альтернативы:

– осуществить некоторый производственный проект, пред-усматривающий использование этого здания;

– продать здание (или сдать его в аренду). Если владелец реализует проект, то он теряет вторую возмож-

ность получения дохода. Таким образом, несмотря на то, что зда-ние не приобретается, его стоимость должна включаться в инве-стиционные издержки.

41

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Инвестор должен разместить некоторую сумму денег на 4 го-да. У него есть два варианта: положить эту сумму на депозит сразу на весь срок или сначала на 3 года, а затем на 1 год. Пусть уровни ставок следуют нормальной кривой доходности: по трехлетним депозитам – 10 %, по четырехлетним – 10,5 % сложных годовых. Размер ставки для депозита на последний год в момент принятия решения неизвестен. Какой вариант размещения средств должен выбрать инвестор?

2. Рассчитайте для различных вариантов условий лизинга зна-чения лизинговых платежей. Общие исходные данные: К = 1 500 ден. ед., n = 48 мес., i = 2 % в месяц, выплаты постнуме-рандо.

3. К = 100 ден. ед., n = 5 лет, i = 10 % годовых, платежи в конце периодов, полное погашение стоимости оборудования (s = 0). Оп-ределите коэффициент рассрочки, составьте график погашения задолженности.

4. Исходные данные: К = 1 700 ден. ед., n = 5 лет, i = 11 %, пла-тежи постнумерандо. Основной долг погашается полностью рав-ными суммами. Составьте график погашения задолженностей.

5. Дано: К = 1200 ден. ед., n = 4 года, I = 12 %, платежи пост-нумерандо. Составьте график четырех последовательных выплат.

6. К = 1 350 ден. ед., n = 5 лет, i = 11 %, s = 0, платежи в конце года. Рассчитайте лизинговые платежи.

7. В уплату за товар стоимостью 4 млн руб. выписано четыре векселя с погашением по полугодиям. Ставка процентов за кредит дит – 9 % годовых (простых), учетная ставка – 4 %, n = 4 года,

n

P = 1 млн руб. Определите процентные платежи и суммы вексе-

лей двумя методами, тыс. руб. 8. Учетная ставка составляет 11 % годовых. Вычислите значе-

ние коэффициента z, суммы векселей после корректировки (по данным задания 1).

9. Каков должен быть уровень процентной ставки за кредит, чтобы покупатель не понес ущерба в oпepaции а форфэ при усло-вии, что d = 5 % (данные задания 1)?

10. Определите корректирующий множитель к цене по данным задания 1 при условии, что d = 4 %.

11. Первоначальные условия сделки: сумма составляет 2 тыс. руб., ставка по кредиту за полугодие – 5 %, учетная ставка за полугодие – 3 %. Проценты начисляются на сумму векселя. Вы-писывается шесть векселей с последовательным погашением по

42

полугодиям. Рассчитайте корректирующий множитель, сумму век-селя с поправкой, но бeз начисленных процентов, суммы векселей с начисленными процентами по ставке 4 %.

12. По данным задания 1 при условии, что сложная ставка, ко-торая характеризует средний уровень ссудного процента на рынке, равна 13 % годовых, вычислите величины Vt , значение z.

13. Ожидается, что цена единицы продукции будет на уровне 60 руб., переменные затраты на единицу продукции составят 25 руб., постоянные – 100 руб. Найдите объемный барьер произ-водства и размер прибыли до уплаты налогов.

14. Исходные данные: F = 200 руб., p = 60 руб., c = 35 руб., h = 1,5. Вычислите .,, PVQk

15. Сравните два варианта платежей со следующими парамет-рами: S1 = 2, S2 = 2,15, n1 = 9, п2 = 21 (сроки платежей даны в меся-цах).

16. Возможны два варианта оплаты товара при его поставке. Стоимости и сроки поставки: S1 = 1,5, S2 = 1,8, n1 = 3, п2=5,5 (сроки измерены в годах). Выберите вариант покупки при условии, что срок не имеет решающего значения.

17. Примените бухгалтерский и финансовый методы анализа для исследования инвестиционного проекта, который характеризу-ется такими данными: размер инвестиций – 1 500, цена единицы продукции – 60 руб., переменные затраты на единицу продукции –40 руб., постоянные – 6 руб., сумма амортизационных списаний –300 руб., срок реализации проекта – 7 лет. Дисконтирование осу-ществляется по ставке 11 % годовых.

43

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания и задания для самостоятельной работы

Часть 3

Составители: ЗОЛОТКОВ Вячеслав Дмитриевич МАТВЕЕВ Александр Иванович

ЧЕРНОИВАНОВА Елена Анатольевна

Редактор О.С. К а р я к и н а Компьютерная верстка Л.Н. Ч е б а к о в о й

Подписано в печать 02.07.10. Формат 60 × 84 1/16

Усл. печ. л. 2,56. Уч.-изд. л. 2,28. Тираж 100 экз. Заказ 80

Саранский кооперативный институт АНО ВПО ЦС РФ «Российский университет кооперации»

430027, г. Саранск, ул. Транспортная, 17

Отпечатано с оригинал-макета заказчика в ОАО «Типография „Рузаевский печатник“»

431440, г. Рузаевка, ул. Трынова, 67а