第三章 X 射线的衍射方向1 、衍射的两个基本要素2 、晶体的衍射方向

（ 1 ）劳厄（ Laue ）方程（ 2 ）布拉格（ Bragg ）方程

3 、衍射花样与晶体结构的关系4 、倒易点阵中的衍射矢量与厄尔瓦德图解5 、劳厄方程与布拉格方程的等效性

燕山大学材料科学与工程学院 材料现代分析测试方法课程教学团队 王利民教授 / 博导

3.13.1 衍射的两个基本要素衍射的两个基本要素使用 X 射线研究晶体的结构及其相关晶体的结构及其相关问题，主要是利用 XX 射射

线线在晶体中产生的衍射衍射现象。

3.1.1 晶体的 X 射线衍射： • 当一束 X 射线照射到晶体上时，首先被电子电子所散射散射，

每个电子都是一个新的辐射波源新的辐射波源，向空间辐射出与入射波同频率的电磁波。可以把晶体中每个原子每个原子都看作一个新的散射波源新的散射波源，同样各自向空间辐射与入射波同同频率频率的电磁波。由于这些散射波之间的散射波之间的干涉作用干涉作用，使得空间某些方向上波相互叠加叠加，在这个方向上可以观可以观测到测到衍射线，而另一些方向上波相互相抵消， 没有衍没有衍射线产生射线产生。

• X 射线在晶体中的衍射现象衍射现象，是大量的原子散射波互大量的原子散射波互相干涉的结果相干涉的结果。

晶体的点阵结构使晶体对 X 射线、中子流和电子流等产生衍射。其中 X 射线法最重要，已测定了二十多万种晶体的结构，是物质空间结构数据的主要来源。

晶体所产生的衍射花样都反映出晶体内部的原子分布规律。

• 晶体的 X 射线衍射包括两个要素：（ 1 ） 衍射方向衍射方向，即衍射线在空间的分布规律，即衍射线在空间的分布规律，

由晶胞大小（ a ）、类别和位向决定（ hkl ）。（ 2 ） 衍射强度，衍射强度，即衍射线束的强度即衍射线束的强度，取决于

原子的种类和它们在晶胞中的相对位置。

X 射线衍射理论所要解决的中心问题 : 在衍射现象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系，这个关系的建立依靠一个参数联系 -- 晶面间距。

3.1.2 衍射的两个要素

晶体衍射方向就是 X 射线射入周期性排列的晶体中的原子、分子，产生散射后次生 X 射线干涉、叠加相互加强的方向。讨论衍射方向的方程有：

劳厄 Laue 方程和 布拉格 Bragg 方程。

前者从一维点阵出发，后者从平面点阵出发，两个方程是等效的。

3.2 晶体的衍射方向

为什么在这个方向上能产生衍射，而不是其他方向？回答这个问题就涉及到衍射方向的问题

入射 X 射线中心线

衍射方向底片

The Nobel Prize in Physics 1914

Max von Laue Germany

Frankfurt UniversityFrankfurt-on-the Main,

Germany1879 - 1960

劳厄

1914 年获物理奖 M. (Max von Laue,1879-1960)

1879 年 10 月 10 日生于德国科布伦茨附近的普法芬多尔夫。 1898 年中学毕业后一边在军队服务，一边在斯特拉斯堡大学学习。1899 年转到哥廷根大学，研究理论物理， 1903 年在 Plank 指导下获博士学位，1909 年为慕尼黑大学理论物理所研究人员，1912 年起他先后在苏黎世大学、法兰克福大学，柏林大学任教。 1921 年成为普鲁士科学院院士， 1921—1934 年是德国科学资助协会物理委员会主席，二战中，他是德国学者中抵制希特勒国家社会主义的代表人物之一，因此失去物理所顾问位置， 1955年重被选进德国物理学会， 1960 年 4 月24 日因车祸去世。 主要成就：在第一次世界大战期间，他与维恩一起发展电子放大管，用于改进军用通讯技术， 1907 年，他从光学角度支持爱因斯坦狭义相对论， 1910 年写了一本专著，最重要贡献是发现了“ X 射线通过晶体的衍射”。

劳厄

(1) 直线点阵的衍射方向（衍射条件）  设有原子组成的直线点阵，相邻两原子间的距离为a ，如图所示， X 射线入射方向 S0 与直线点阵的交角为 α0 。

3.2.1 劳厄 Laue 方程

S0

原子直线点阵

0

S

入射角∠ OPB=0散射角∠ POA=

a

若在与直线点阵交成 α角的方向 S 发生衍射，则相邻波列的光程差△应为波长λ的整数倍，

这就是原子直线点阵产生衍射的条件！

即 △＝ OA － PB ＝ Hλ ， H 为整数 (H=0 ， ±1 ， ±2 ，…… ) 。

cosaOA0cosaPB

因为：

S0

原子直线点阵

0

S

入射角∠ OPB=0

散射角∠ POA=

a

Ha

aa

)cos(cos

coscos

0

0于是，

研究衍射方向就是确定 α角。

因为由次生波原发出的 X 射线为球面电磁波，故与直线点阵交角为 α 的方向的轨迹是以直线点阵为轴的圆锥面。

直线点阵衍射线形状

S0

原子直线点阵

0

S

入射角∠ OPB=0散射角∠ POA=

aH

H

H

H

H

（ a ）当 α0≠90o 时， H 等于 n 和－ n （ n=1 ， 2 ， 3 ，…）的两套圆锥面并不对称 .

（ b ）当 α0 ＝ 90o 时， h=0 的圆锥面蜕化为垂直于直线点阵的平面，这时 h 等于 n 和－ n 的两套圆锥面就是对称的了。

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

（ a ）若放置照像板与直线点阵垂直，所得到的是一些同心圆。

（ b ）若放置照像板与直线点阵平行，在一般情况下所得到的是一些曲线，在 α0 ＝ 90o

时所得到的是一组双曲线。

  

设空间点阵的三个素平移向量为 a ,b 和 c, 入射的 X 射线与它们的交角分别为 α0 ， β0 和γ0 。衍射方向与它们的交角分别为 α ， β 和γ ，根据上述的讨论可知，角 α ， β 和 γ应满足下列条件：

设空间点阵的三个平移向量为 a ,b和 c,入射的 X 射线与它们的交角分别为 α0 ， β0 和 γ0 。衍射方向与它们的交角分别为α， β和 γ 。根据上述讨论可知，衍射角α， β和 γ 在 x, y, z三个轴上应满足以下条件：

a(cosα-cosα0) = Hλ

b(cosβ-cosβ0) = Kλ

c(cosγ-cosγ0) = Lλ

H ， K ， L ，＝ 0 ， ±1 ， ±2 ，……

式中 λ 为波长， H, K, L 均为整数， HKL 称为衍射指标。上式称为劳埃（ Laue ）方程 衍射指标和晶面指标不同，晶面指标是互质的整数，衍射指标都是整数但不定是互质的。为了区别起见，在以下的讨论中我们用 hkl来表示晶面指标。

(2) 三维空间点阵衍射的条件

讨论： 劳厄方程中，对于每组 HKL，可得到三个衍射圆锥，只有同时满足劳厄方程组才能出现衍射，衍射方向是三个圆锥面的共交线。另外， α， β ， γ 不是完全彼此独立，这三个参数直接还存在着一个函数关系：

F(α ， β， γ) ＝ 0

例如当 α， β， γ 相互垂直时，则有cos2α＋ cos2β＋ cos2γ ＝ 1 。

α ， β ， γ共计三个变量，但要求它们满足上述的四个方程，这在一般情况下是办不到的，因而不能得到衍射图。

为了获得衍射图必须增加一个变量。可采用两种办法：

（ 1 ）一种办法是晶体不动（即 α0 ， β0 ， γ0 固定），只 让 X 射线波长改变（ λ改变）； 即：变 λ ，晶体不动（即 α0 ， β0 ， γ0不变） ----- 劳厄法（ 2 ）另一种办法是采用单色X 射线（ λ 固定），但改变 α0 ， β0 ， γ0 的一个或两个以达到产生衍射的目的。

λ 不变， α0 ， β0 ， γ0 中一个或两改变

-----回转晶体法和粉末法。

a(cosα-cosα0) = Hλ b(cosβ-cosβ0) = Kλ c(cosγ-cosγ0) = Lλ

3.3.2.2 2.2 布拉格定律 （会推导）布拉格定律 （会推导）

• 布拉格方程的导出

• 布拉格方程的讨论

The Nobel Prize in Physics 1915

Sr.William Henry Bragg Jr.William Lawrence

Bragg Great Britain

布拉格

1915 年物理奖William Henry Bragg, 1862-1942)

William Lawrence Bragg （ 1890-1971 ）

1862 年 7 月 2 日生于英格兰西部的坎伯兰，曾被保送进威廉皇家学院学习，后进入剑桥大学三一学院攻读数学，并在卡文迪什实验室学习物理。 1885 年在澳大利亚阿德莱德大学任教， 1907 年，被选进伦敦皇家学会， 1909 年回英国利兹大学任教， 1915 年到伦敦大学任教， 1935-1940 年任皇家学会会长，在英国科学界负有盛名，并被授予巴黎、华盛顿、哥本哈根，阿姆斯特丹等国外科学院院士称号， 1942 年 3 月病逝于伦敦。主要成就：可分为两个阶段，第一阶段在澳大利亚，研究静电学、磁场能量及放射射线，第二阶段即 1912 年后，与儿子一起推导出布拉格关系式， 说明 X 射线波长与衍射角之间关系， 1913 年建立第一台 X 射线摄谱仪，并将晶体结构分析程序化。

布拉格父子

小布拉格是最年轻的诺贝尔奖获得者，当时 25岁。

1 、布拉格方程的导出：（ 1 ）单一原子面 ( 晶面 ) 上的镜面反射

a b

n m

任意两个结点 a 与 b 上的散射波，在镜面反射方向上散射波的光程差：

am - nb = 0

于是，同相位而得到干涉。

同理，不论 X 射线从什么方向入射，在对应的‘镜面反射’方向上，原子面上所有个结点的散射波能产生干涉。

如果晶体只有一个晶面，任何角度上的镜面反射都能产生干涉，但晶体由多个晶面组成，而且 X 射线由于极强的穿透力，不仅表面原子，内层原子也将参与镜面反射。问题： X 射线在一组晶面上的反射线，能否出现干涉、产生衍射需要哪些条件？

• 根据图示，• 光程差：

• 干涉加强的条件是：

• 式中： d 晶面间距， n 为整数，称为反射级数； 为入射线或反射线与反射面的夹角，称为掠射角，由于它等于入射线与衍射线夹角的一半，故又称为半衍射角，把 2 称为衍射角。

nBDCB

nd sin2

sin2dBDCB

X 射线在晶体多个晶面上的衍射

（ 2 ）相邻两个晶面对 X 射线的衍射

反射面法

线

dB

A

C D

d’

因此，已经证明：当一束单色平行的 X 射线照射到晶体时，（ 1 ）同一晶面上的原子的散射线，在晶面反射方向上可以相互加强；（ 2 ）不同晶面的反射线若要加强，必要的条件是相邻晶面反射线的光程差为波长的整数倍。

***** 布喇格方程是 X 射线在晶体产生衍射的必要条件而非充分条件。有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，但不一定出现衍射线，即所谓系统消光。

2 、布拉格方程的讨论

• 选择反射

• 反射级数

• 干涉面和干涉指数

• 掠射角

• 产生衍射的极限条件

1 、选择反射（重点：与可见光的镜面反射的区

别）

X 射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。将衍射看成反射，是布拉格方程的基础。

但是，衍射是本质，反射仅是为了使用方便。

X 射线的原子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，而原子面对 X 射线的反射并不是任意的，只有当、、 d 三者之间满足布拉格方程时才能发生反射，所以把 X 射线这种反射称为选择反射。即衍射方向的选择性。

总结：

(a) 可见光在任意入射角方向均能产生反射，而 X

射线则只能在有限的布喇格角方向才产生反射。就平面点阵（ hkl ）来说，只有入射角 θ满足此方程时，才能在相应的反射角方向上产生衍射。

(b) 可见光的反射只是物体表面上的光学现象，而衍射则是一定厚度内许多间距相同晶面共同作用的结果。

2 、反射级数

n 为反射级数。 nd sin2

当晶面间距（ d 值）足够大，以致 2dsin 有可能为波长的两倍或者三倍甚至以上倍数时，会产生二级或多级反射。< 所以，对于一个固定波长的入射线，能不能发生二级或多级反射，依赖晶面间距是否足够大。 >

因此，反射级数是针对实际晶面（ hkl ）而言，对于虚拟晶面（例如n(hkl) ），只有一级反射。

sin2n

d

这样，把（ hkl ）晶面的 n级反射看成为与（ hkl ）晶面平行、面间距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级反射。如果（ hkl ）的晶面间距是 d ， n(hkl)晶面间距是 d/n 。

3 、干涉面和干涉指数我们将布拉格方程中的 n 隐含在 d 中得到简化的布拉格方程：

晶面（ hkl ）的 n 级反射面 n(hkl) ，用符合（ HKL ）表示，称为反射面或者干涉面。 (hkl) 是晶体中实际存在的晶面，（ HKL ）仅仅是为了使问题简化而引入的虚拟晶面。干涉面的面指数称为干涉指数，一般有公约数 n ，例如（ 200 ）、（ 222 ）等。当 n=1 ，干涉指数变为晶面指数。

Sindn

ddSin

n

d

HKL

hklHKL

hkl

2

,2

则有：

令

注意：实际测量的衍射谱中的衍射线条对应的是干涉指数。即有可能出现（ 200）、（ 222）、（ 300）等指数。

4 、掠射角 角，即入射线或者反射线与晶面间的夹角。

入射线 反射线

晶面

1 ，当用单色 X 射线（一定）照射多晶体，晶面间距相同的晶面， 相同。

2 ， 一定， d越小， 加大。即面间距小的晶面，在高角度处产生衍射。

sin2d

2

（ 111 ）

（ 200 ） （ 22

0 ）（ 311 ）

Silver

5 、产生衍射的极限条件 根据布拉格方程， sin 不能大于 1 ，因此，产生衍射的条

件为：

（ 1 ）如果想观察到面间距为 d 的这一晶面的衍射线（或衍射斑点）， X 射线的波长要小于等于这一晶面的二倍。同样，如果要得到至少一个衍射线或点， X 射线的波长必须小于参加反射的晶面中最大面间距的二倍，否则不能产生衍射现象。

（ 2 ）如果晶面间距 d 一定， 越小，可得到的多级反射就越多。如果希望获得更多的衍射图（斑点或线条），可选用短波长的入射 X 射线。

221sin

2

dd

d，或者，即

这规定了X 衍射线或斑点的数目：

（ 1 ）对于一定波长的 X 射线而言（一定），晶体中能产生衍射的晶面数是有限的。

（ 2 ）对于一定晶体而言（所有 d 值固定），在不同波长的 X 射线下，能产生衍射的晶面数是不同的。

d2

3.3 衍射花样和晶体结构的关系 从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的方向是晶面

间距 d 的函数。如果将各晶系的 d值代入布拉格方程，可得：

布拉格方程能给出晶胞参数（晶胞大小）与晶体所属晶系（晶胞形状）。但是，不能给出晶胞中原子的种类和位置。

因此，在研究晶胞中原子的位置和种类的变化时，除布拉格方程外，还需要有其它的判断依据。这种判据就是下一章要讲的结构因子和衍射线强度理论。

）2222

22 (

4sin LKH

a

）2

2

2

2222 (

4sin

c

L

a

KH

）2

2

2

2

2

222 (

4sin

c

L

b

K

a

H

立方晶系：

正方晶系：

斜方晶系：

Intensity (%)

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100(44.68,100.0)

1,1,0

(65.03,14.9)

2,0,0(82.35,28.1)

2,1,1

(98.96,9.3)

2,2,0 (116.40,16.6)

3,1,0

(a) 体心立方 Fe a=b=c=0.2866 nm

Intensity (%)

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1001,1,0

2,0,0

2,1,1

2,2,03,1,0

2,2,2

(b) 体心立方 Wa=b=c=0.3165 nm

(d) 体心正交 : a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm

(e) 面心立方： Fe a=b=c=0.360nm

Intensity (%)

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1001,0,1

1,1,0

0,0,2 2,0,0 1,1,22,1,1

2,0,22,2,01,0,3 3,0,13,1,0

Intensity (%)

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1000,1,1

1,0,1

1,1,0

0,0,20,2,0 2,0,0

1,1,2 1,2,12,1,1

0,2,2 2,0,2 2,2,0 0,1,31,0,3 0,3,11,3,0 3,0,13,1,0

Intensity (%)

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100(43.51,100.0)

1,1,1

(50.67,44.6)

2,0,0

(74.49,21.4)

2,2,0(90.41,22.7)

3,1,1

(95.67,6.6)

2,2,2

(117.71,3.8)

4,0,0

图 3- X 射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系

(c) 体心四方a=b=0.286nm,c=0.320nm

衍射线的干涉指数

干涉指数与点阵类型(HKL) 100 110 111 200 210 211 220

221

300310 222

H2+K2+L2 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11

简单立方 ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

体心立方 × ∨ × ∨ × ∨ ∨ × ∨ ∨

面心立方 × × ∨ ∨ × × ∨ × × ∨

3.4 劳厄方程与布拉格方程的一致性

劳埃（ Laue ）方程 a(cosα-cosα0) = Hλ

b(cosβ-cosβ0) = Hλ

c(cosγ-cosγ0) = Hλ

α 0 、 β0 、 γ0 与 α、 β、 γ 是入射线与衍射线与三个基本矢量 a ,b 和 c 的交角。 为波长，相邻原子散射线在衍射方向桑的光程差为 H 、 K 与Lλ 。 H, K, L 均为整数H,K,L ＝ 0 ， ±1 ， ±2 ，……

X 方向找一原子，距离原点 O 为 OR=(KL)a; 于是 O 点与 R点原子散射线的光程差为 (H K L) 。同样，在 Y轴找一原子 S ，距离 O原子 (HL)b ， Z 方向找一 T原子，距离 O点（ H K ） c 。于是从 R, S, T 到 O 点的光程差都为： (H K L) 。显然，从 R, S, T 出发的散射线，在衍射方向上是同光程的。这就是说，过 R,S,T 三个结点的晶面，正好处于入射线和衍射线的镜面反射位置。

将劳厄方程平方：

220

222

220

222

220

222

)coscoscos2(cos

)coscoscos2(cos

)coscoscos2(cos

0

0

0

Lc

Kb

Ha

为简单，设晶体属于立方晶系：故， a = b = c 。

上式相加得：

2222

022

022222

)()]coscoscoscoscos(cos2

)coscos(cos)coscos[(cos

000

LKH

a

1coscoscoscoscoscos 022

02222

直角坐标系中，任一根直线的方向余弦的平方为 1 ，即000

coscoscoscoscoscos

直角坐标系中，方向余弦分别为 cos, cos 与 cos 和 cos0, cos0

与 cos0 的两个直线，其夹角的余弦等于：

对于衍射，这两条线分别为入射和衍射线，夹角为 2。于是上式可简化为：

2222

2

)(n

d

LKH

a

222222

22222

)(sin4

)()2cos211(

LKHa

LKHa

或

ndn

d sin2sin2 或者

利用立方体系晶面间距与晶胞参数和晶面指数关系：

于是有：

布拉格方程。

3.5.1 布拉格方程的几何表示

3.5 衍射矢量方程和厄尔瓦德图解

入射 X 射线的波长是一定的，所以 2/保持常量。

2/

因此，（ 1 ）如果能够形成衍射，衍射点一定在这个圆面 ( 三维空间上是球 )上。 （ 2 ）衍射点具体在那个位置上，取决于 1/dHKL 这个值的大小。

)1

(2/1

sin

HKL

HKL d HKLHKLd sin2

布拉格方程

反射球

)1

(2/1

sin

HKL

HKL d

=1/dHKL

HKLHKLd sin2布拉格方程

因此，（ 1 ）若 X 射线沿着球的直径入射，球面上所有的点均满足布拉格条件，从球心到任意一点的连线是衍射方向。衍射点具体在那个位置上，取决于 1/dHKL 这个值的大小，即矢量 OB线的长度。 （ 2 ） OB即是倒易矢量

B’ 因此，矢量 OB就是倒易矢量，原点在 O 点。

这个球称为‘反射球’。

反射球 倒易空间倒易矢量

如图所示，当一束 X 射线被晶面 P 反射时，假定 N 为晶面 P 的法线方向，入射线方向用单位矢量 S0表示，衍射线方向用单位矢量 S 表示，则 S-S0为衍射矢量。

NS0 S

S- S0 （衍射矢量图示）

因此，衍射矢量 S-S0必垂直于晶面 (hkl) 。

3.5.2 衍射矢量方程

而设晶面的倒易矢量为：

则

令 …………… (1)

式中 C 为常数。将上式两端取绝对值，则有

由布拉格方程可知，

代入式 (1) 得出 ，

改变形式得：

…….(2)

lckbhar rss //0 Crss 0

sin2 00 sss hkld

CrCCr1

C rss 0

rss

0 r

ss

0

此倒易空间表示衍射条件的矢量方程

衍射矢量方程

3.5.2.2 矢量方程的讨论

• 1 ，产生衍射的条件是入射线矢量、反射线矢量与倒易矢量构成等腰三角形。

• 2 ，对于一个给定的 X 射线（一定），高晶面指数（ H, K, L 大）要形成衍射，要求 S0-S 越大。即角度越高。

衍射矢量方程与劳厄方程一致性

HcLbKaHass

a

arss

a

)( ***0

0

Kss

b

0

Haa 0coscos

Kb )cos(cos 0

矢量方程两端同时点乘三个晶体点阵矢量 a, b, c,

同样有，

Lc )cos(cos 0

cosasa

Lss

c

0

…………… (1)

… (2)

… (3)

衍射矢量方程与布拉格方程等效性

sin20 sss

sin20 ss

*0 rss

矢量 S-S0 与倒易矢量 r* 平行， r*对应的晶面为（ hkl ）。晶面与 r* 垂直，并将入射光束 S0 和反射光束 S 的夹角平分。因此可将（ hkl ）看成是 S0 与 S 的反射面，于是按几何关系得到：

衍射矢量三角形

S 是单位矢量，故

.sin2

1sin2

dd

于是有

那些落在球面上的倒易点才能产生衍射 !• 以 X 射线波长的倒数 1/λ 为半

径画一球（反射球）。• X 射线沿球的直径方向入射。• 以 X 射线传出球面的那一点作为晶体倒易点阵原点，并将该倒易点阵引入。

与反射球面相交的结点所对应的晶面均可参与反射。球心与该结点的联线，即使衍射方向。

O

3.5.3 衍射的厄瓦尔德图解

反射球如何与倒易空间相结合？

a*b*

厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结合，表示衍射条件与衍射方向

反射球中的衍射矢量与倒易矢量的等同，直接把正空间与倒空间联系起来了。

应用之一：产生衍射的极限条件

dd

21sin2

，即

d

112

所以，（ 1 ）要想探测到晶面间距为 d 的衍射斑点，要满足上述条件。（ 2 ）对于立方体系，要得到至少一个衍射斑点（线条）则必须要求 <d100 。越小，形成的衍射斑点越多，因为与倒易点阵相交的机会越多。

O

应用之二：分析三种衍射方法

• 劳厄法

• 周转晶体法

• 粉末法O

Oa*

b*

1 、劳厄法

1/11/2

入射线

2 、周转晶体法

3 、粉末法

Oa*

b*

1/

入射线

能得到衍射斑点

1/d > 2/不能得到这个晶面的衍射斑点

倒易球

S0

反射球

O

反射面

劳厄方程与布拉格方程的一致性（另一种解释：备份版本）

根据劳埃方程，我们现在要证明这样的事实 :

(1) 在 h=nh* 、 k=nk* 、 l=nl* 的衍射中，晶面 指标为（ h*k*l* ）的平面点阵组中的每 一点阵平面都是反射面 ;

(2)其中两相邻点阵平面上的原子所衍射 X射 线的光程等于波长的整数倍 nλ 。

3.5 劳厄方程与布拉格方程的等效性

设 X 射线在入射方向的单位向量为 S0 ，衍射方向的单位向量为 S ，空间点阵的三个单位平移向量为 a 、 b 和 c ，衍射矢量方程两端分别乘以 a, b, c：

llckbhacss

c

klckbhabss

b

hlckbhaass

a

0

0

0

3.5.1 衍射矢量与劳厄方程

设衍射束单位矢量 S 与点阵三个晶轴 a 、 b 、 c 间夹角分别为 、 、 ；入射束单位矢量 S0 与点阵三个晶轴间夹角分别为 、 、 。

1 2 31 2 3

lc

kb

ha

33

22

11

coscos

coscos

coscos

lc

kb

ha

33

22

11

coscos

coscos

coscos

劳厄方程

ccbbaa ,,

令

由矢量方程：

llckbhacss

c

klckbhabss

b

hlckbhaass

a

0

0

0

可得到下列表达：

因为两个向量的数量积等于零表示两个向量互相垂直，所以从上式可知向量 S—S0 与向量

AB,BC,CA  垂直 . 这说明 S-S0 与△ ABC 所组成的平面垂直，也就是与平面点阵组（ hkl ）中的每一个点阵平面垂直。

向量 PQ 可表示为：PQ=xa+yb+zc

应用 Laue 方程，光程差为 △ = （ xa+yb+zc ） × (S-S0 ) 

= xa×(S-S0) + yb×(S-S0) + zc×(S-S0)

  = hλx +kλy +lλz           =  nλ

  我们还可以用两相邻平面点阵间的距离 dhkl 和衍射角 θn 来表示两相邻平面点阵所衍射 X 射线的光程差。由于这个光程差与从平面点阵中所选择的点阵点无关，所以我们可以选择两个特殊的阵点 P 、 Q 来讨论问题。如图 7 － 20 所示 : 这时  

△ = MQ+NQ = 2d hkl  sinθn

结合上面两式，则得 2 d (h k l)·sinθn = nλ

这就是布拉格（ Bragg ）方程。式中 n 为整数， λ 为波长， θn 为衍射角。

上式可改写为：2d (h k l)·sinθ = λ

式中 , h k l 称为衍射指标，不加括号表示这 3 个整数不必互质。 dhkl 为衍射面间距 ，它等于 d( hkl) /n 。

Laue 方程和 Bragg 方程是等效的。

劳埃方程和布拉格方程都是联系 X 射线的入射方向、衍射方向、波长和点阵常数的关系式，前者是基本的关系式，但后者在形式上更为简单，而且提供了由衍射方向计算晶胞大小的原理，故布拉格方程在 X 射线结构分析中有广泛的应用。