第八章ファイマン図：量子クーロン散乱（次元あ …yasue/ffn/field-sec8.pdfN x x x x x xx b r w mn b r t w mn b r s t m s t y y s a w a b r n a s t w mn y y y y

1/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分第八章ファイマン図：量子クーロン散乱（次元あり）

【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】

第八章ファイマン図：量子クーロン散乱第七章では、陽電子の散乱を取り扱った。ここでは、電子のクーロン散乱を取り扱い、更に

光子が量子場

のときを考える。この

光子によるクーロン散乱への量子補正

を考察する。Ｓ行列は、

( )4exp IiniS T d x xc

¥

-¥

æ ö= -ç ÷è øò

H (8.1)

であり

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )intext

Iin in in in in in ine ex x N x A x x N x A x xj y y y y= = - -

H H (8.2)

として、電子を記述するので 1qy = - にしてある。規格された電子の状態は

始状態：運動量 1p ・スピン 1s の電子( ) ( )( )

1 †1

1

02

s

aa

Ky

w+Þ =

pp

(8.3)

終状態：運動量 2p ・スピン 2s の電子( ) ( )( )

2 †2

2

02

s

ba

Ky

w+Þ =

pp

(8.4)

になる（問題１）。

遷移確率

求める振幅は(7.12)と同様で、量子場の影響を見るために展開項の第 3 項まで調べる。(8.1)より

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 34expb Iin a b aiM T d x x I S S Sc

y y y y¥+ + + +

-¥

æ öº - = + + +ç ÷è øò

H (8.5)

( ) ( ) ( )1 41 1 1

exti eS d x T N x A xc

y= ò ( ) ( ) ( )1 1 1x x A xy y+ ( )( ){ }

( ) ( ) ( )

1

22 4

1 1 112!

ext

x

i eS T d x N x A xc

y

yæ ö= ç ÷è ø ò

( ) ( ) ( )1 1 1x x A xy y+ ( )( )( )( ) ( ) ( )

2

1

33 4

1 1 113!

ext

x

i eS T d x N x A xc

y


( ) ( ) ( )1 1 1x x A xy y+ ( )( )( )3

1xy

(8.6)

である。ここで ( )1S に対する量子補正を調べるため、

( )2,3S において ( )1extA x を一つ含む項

を対象にする。従って、

( ) ( ) ( )2

2 4 41 2 1 1

1 22!

i eS d x d x T N x A xc


( )( ) ( ) ( )1 2 2extx N x A xy y ( )( ){ }

( ) ( ) ( )

2

33 4 4 4

1 2 3 1 11 33!

x

i eS d x d x d x T N x A xc

y


( )( ) ( ) ( )1 2 2x N x A xy y ( )( ){ ( )2xy 続く



( ) ( )3 3 extN x A xy× ( )( )}3xy (8.7)

になる。さらに

( )2 0b aSy y+ + = (8.8)

に注意すると（問題２）

( ) ( )( )1 3b aM I S Sy y+ +º + + (8.9)

である。さて、(7.41)式を陽電子の代わりに、電子の場合に翻訳して

( ) ( ) ( ) ( )1 1 41 1 1

extb a b

i eM S d x T N x A xc

y y y y+ + +¢ º = ò 真空偏極を除く( )( ){ }

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

1

41 1 1 1

2 10 2 12 12 2

0 2 1

1 2

a

extb a

s s

x

i e d x N x x A xce Ze E Ei u u

cc

ll

y y

y y g y y

g dp e

+

+ +=

-æ ö= ç ÷è ø-

ò

p p

p p

(8.10)

を得る。ここで、フーリエ（逆）変換として

( )( )

( ) ( )42 14

1 exp 2

extiqxa q d x A x q p pm mpæ ö= = -ç ÷è øò

(8.11)

とすると、(7.43)の

( )1 2

1 0 1 20 04

i iext Ze Zed e A d e

c cm p e e- -

= = =ò ò qx qx

x x xx q

(8.12)

を用いて、再度、(8.10)を ( )A xm で表すと

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

20

0

1 2 10 2 12 12

2 10 02 12

42 12 12 3

2 1

2

4

2

4

1

12

1 2

1 1 222

1

1

2

1

2

iex

s s

s s

s siqx

ext

t

s s

e E EM i u uc

ei u u

d xe A x

a q

Zec

d q

ei u u

i e

A

u u

e

m

m

m

m

m

eg d

p

g dp

g ppp p

p g

-

=

-æ ö¢ = ç ÷è ø

=

=

=

ò

ò

qx

p p

p p

p p

p

x

p

q

x(8.13)

より（問題２）

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 12 s sM ieu u a ql

lp g¢ = p p (8.14)

を得る。ここで、

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )2 1

41 2 13 3

22 2

s su uM ie a ql

lp gp p

¢ =p p

(8.15)

と整理しておく（問題３）。また、



( ) ( ) ( ) ( )3

3 3 4 4 41 2 3 1 1

1 33!b a b

i eM S d x d x d x T N x A xc

y y y y+ + +æ öº = ç ÷è ø ò

( )( ) ( ) ( )1 2 2x N x A xy y ( )( ){( ) ( )

2

3 3 ext

x

N x A x

y

y× ( )( )}3 axy y +

( ) ( )3

4 4 41 2 3 1 1

1 2! b

i e d x d x d x T N x A xc

y y+æ ö= ç ÷è ø ò

( )( ) ( ) ( )1 2 2x N x A xy y ( )( ){( ) ( )( )} ( )

2

3 3 3 exta

x

N x x A xrr

y

y g y y +×

(8.16)

である。そこで、 ( ) ( )1 1T N x A xy ( )( ) ( ) ( )1 2 2x N x A xy y ( )( ) ( ) ( )( ){ }2 3 3x N x xry y g y は(6.30)を用

いると、縮約の仕方により種々の項が出るので、

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2 3 3

0 1 2 3

T N x x A x N x x A x N x xa b m r s n t wy y y y y y

= + + +縮約縮約縮約縮約(8.17)

とすると

( ) ( ) ( )3

3 4 4 41 2 3 1 1

12! b

i eM d x d x d x T N x A xc

y y+æ ö= ç ÷è ø ò

( )( ) ( ) ( )1 2 2x N x A xy y ( )( ){( ) ( )( )} ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

3 3 3

34 4 4

1 2 3

3

1 0 1 2 32!

exta

b a

ext

x

N x x A x

i e d x d x d xc

A x

rr

m n llab rs tw

y

y g y y

y y

g g g

+

+ +

×

æ ö= + + +ç ÷è ø ò

縮約縮約縮約縮約

(8.18)

と記述するとき、(6.30)を用いて

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 1 2 3 30 N x x x x A x A x x xa b r s m n t wy y y y y y=縮約 (8.19)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

1 2 3 3 1 2

1 2 2 3

1 2

1 3

1 2

1 3

2

1 2

1 2 3 3 1 2

1 2

3

2 3 1 2

1 1 2 3 1 2

1

1 ,

,

,

,

,

N x x x x x x

N x x x x x x

N x x x x x x

N x x x x x x

N x x x x x x

N x

x x

x x

x x

x x

x x

b r t w mn

b r s t mn

a s t w mn

a r s

a

w mn

s

a

a b s

w

b r

b t

r wt mn

a

y y

y y

y y y y

y y y y

y y y y

y y y y

y y y y

y y

y y

y

y y

y

=

+

+

+

+

+

縮約 A

A

A

A

A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 3

2 1

3 1

1

1 2 3 1 2

1 2 3 3 1 2

1 2 2 3 1 2

1 2 3 3 1 22

,

,

,

,

x x

x x x x x

N x x x x x x

N

x x

x x

x x

x

x x x x x x

N x x x x x xx

b r w mn

b r t w mn

b r s t m

s t

y y

s a

w a

b r

n

a s t w mn

y y

y y y y

y y

y y

y y

y y

y y y y

y y y y

= -

-

+

順序をに整えて

続く･･･

A

A

A

A



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 2 3 1 2

1 1 2 3 1 2

1 1 2 3 1

1 3

3 2

22 3

,

,

,

N x x x x xx x

x x

x

N x x x x x x

N x x xx xx x x

a r s w mn

a b s t mn

a

b t

w r

s r w nt b m

y y

y y

y y y y

y y y y

y y yy yy

+

-

+

A

A

A

(8.20)

ここで

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2,x x N A x A x A x A xmn m n m n= + A (8.21)

である。次に、縮約が２つある場合を調べれば、例えば、(縮約 1)から

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2 3 3 1 2

3 3 1 2

2 3 1 2

1 3 1 2

2 1

1 3

2 1

2 1

32 1 2

1 ,

,

,

,

N x x x x x x

N x x x x

N x x x x

N x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x xx x

b r

b r

b t

s a

s a

s a

s a

t w mn

t w mn

r w

w

mn

b t mnr

y y y y

y y

y y

y

y y

y y

y

y y

y

y

y y

y y

y

y

= -

Þ -

-

-

縮約 A

A

A

A

(8.22)

なので、残りも同様に縮約を追加し、独立な縮約として

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1

2 1

2

1 2

1

3 3 1 2

2 3 1 2

1 3 1 2

1 2 1 2 3 3 1

1

3

2

1 2

31

2

2 ,

,

,

,

N x x x x

N x x x x

N x x x

x x

x

x

N x x x x x x x x

N x

x

x x

x

x x

x

x x xx

s a

s a

s a

t w mn

r w m

b r

b t

r

n

b t mn

b r a s t w mn

b a

w

r

y y

y y

y

y y

y y

y

y y

y y

y

y y y y y y

y y

y

y

y y

= -

-

-

+

+

縮約 A

A

A

A

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 3 3 1 2

1 3 1 2 2 3 1 2

1 3 1 2 2 3 1 2

3 2 1 1 2 3 1 2

2 3 1 1 2 3

,

,

,

,

x x x x x

N x x x x x x x x

N x x x x x x x x

N x x x x x x x x

N x x x x x x x

s t w mn

b t a r s w mn

b t a r s w mn

w r a b s t mn

s t a b r w mn

y y y

y y y y y y

y y y y y y

y y y y y y

y y y y y y

+

+

-

+

A

A

A

A

A ( )1 2, x

(8.23)

更に、縮約が３つある場合を表せば、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1 1 2 3 3 1 2

1 2 1 2 3 3 1 2

1 3 1 2 2 3 1 2

3 ,

,

,

N x x x x x x x x

N x x x x x x x x

N x x x x x x x x

s a b r t w mn

b r a s t w mn

b t a r s w mn

y y y y y y

y y y y y y

y y y y y y

= -

+

+

縮約 A

A

A

(8.24)

になる。ここで、始状態と終状態に電子が 1 個づつしかないので、(8.21)では

( ) ( ) ( )1 2 1 2,x x A x A xmn m n= A (8.25)

のみ扱えばよい（問題４）。縮約は、(6.27)より



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 2 2F Fx y S x y A x A y x y

aba b m n mny y = - = - D - g (8.26)

を用いて書き換えることができる。ここで便宜のため、

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2

3

4

4

42

2

212

1

2

2 2

ipx

F F

F F F

eD x x d pp m c i

pmcK x S x i

i c

D x i cab ab

ab

ep

p

-æ öº D =ç ÷ - +è ø

æ ö æ öº = ¶ + =ç ÷ ç ÷è ø è ø

ò

( )

( ) ( )( )

3

4

42 2 2

400 20 2

ipx

ipx

F F m

mc ed p

p m c i

eD x D x d p

pi c

i

ab

mnmn mn

e

mmp e

-

-

=

+

- +

= - = -+

ò

ò

gg

(8.27)

を導入し

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), F Fx y K x y A x A y D x ya b ab m n mny y = - = - (8.28)

と表す。また、運動量表示の伝搬関数として、(8.27)より

( ) ( )( )

( )

( )

4

42 2 2

3

2

2

ipx

F F F

F

i d pp D x p ecp m c i

ci pS p

e p

-D = Ü = D

- +

=

ò

( )2 2 2

2mc ip m c i

cpe

+=

- + ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )3

4

4

40

42

2

2

ipx

F F

ipx

F F F

c

d pK x S p emc i

i d pD p D x D p ep i

mnmn mn mn

e p

me p

-

-

Ü =- +

-= Ü =

+

ò

ò

g

(8.29)

を用いる（問題５）。

ファイマン図

( )0縮約と ( )1縮約と ( )3縮約は寄与しない。yyの順序の添え字に整理する。例えば、(8.22)は

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1

2 1

2 1

3 3 1 2

2 3 1 2

1 3 1 2

3

3

2 3

12 2

2 1

1

2 ,

,

,

N x x x x

N x x x x

N x x x x

x x

x

x x

x x x

x x

N xx

x

x x x

x

s a

s a

s a

t w mn

r w mn

b t mn

t

b r

b

s

t

r w

b wra

y y

y y

y y

y y

y y

y y

y y

y y

y y

y y

y yy y

= -

-

-

= -

縮約 A

A

A

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 1 2

2 3 12 1

2 1

2

1

1 3

3 2 3 1 2

x A x A x

N x x A x A x

N x x A x

x x

Ax x

x x

x xx

b t

w r

m n

r w m n

ts m n

s a

a b

y y

y

y y y y

y yy y y

+

-

であり、以下、同様にして



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

3 3 1 2

2 3 1 2

1 3 1 2

1 2 2 3 3 1 1 2

1

2 1 1 2

1 3

3 2

2 1

2 1

2

N x x A x A x

N x x A x A x

N x x

x x

x x

x x A x A x

N x x x x x x

x x

x

A x x

x

x

A

x

N

x

t w m n

r w

s a

s a

s

m n

b t m n

b r s t w a m n

a

r

ra

b

b t

w

y y

y y

y

y y

y y

y y

y y

y y

y y

y y y y y

y

y

y

= -

+

-

-

+

縮約

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 2 3 3 1 2

3 1 1 3 2 2 1 2

1 1 3 3 2 2 1 2

3 2 2 3 1 1 1 2

2 3 1

x x x x x A x A x

N x x x x x x A x A x



N x x x

b r s t w m n

w a b t r s m n

a b t w r s m n

w r s t a b m n

s t a

y y y y y

y y y y y y

y y y y y y

y y y y y y

y y y

-

+

-

+

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

1 2 3 1 2

3 3 1 2

2 3 1

2 1

2 1

2 1

1 2

2

1 3 1 2

1 2 2 3

1

3 1 1 2

1

3

3 2

F

F

F

F

F

F

F F F

F

F

F

K K x x

K x x

K x x

x x x A x A x

N x x D x x

N x x x x

N x x x x

N K x x x x K

x x

K x x

K x x

x x x x

N x K

b r w m n

t w mn

r w mn

b t mn

sa

sa

s

br s t wa mn

a

br

t

wa

b

r

y y y

y y

y y

y y

y y

y

= - -

+ -

- -

- - -

+

-

-

- -

-

-

-

D

D

D

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 2 3 3 1 2

3 1 1 2 2 2 1 2

1 1 3 3 2 2 1 2

3 2 2 3 1 1 1 2

2 2 3 3 1 1 1 2

F F F

F F F

F F F

F F F

F F F

x x K x x x x x

N K x x K x x x x x x

N x K x x K x x x x x



br st w mn

wa br r s mn

a bt wr s mn

wr st a b mn

r st wa b mn

y

y y

y y

y y

y y

- - -

- - - -

+ - - -

- - - -

+ - - -

D

D

D

D

D

(8.30)

それぞれの項に対応するファイマン図は

１項目） ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 2 3 3 1 2F F FN K x x K x x x x D x xsa br t w mny y- - - -

3x´

1x´

2x´

Ä

２項目） ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 3 2 3 1 2F F FN K x x K x x x x x xsa bt r w mny y- - -D

1x´

2x´

3x´Ä

３項目）( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 3 3 2 1 2

3 2 1 3 2 1 1 2

F F F

F F F

N K x x x x K x x x x


sa

sa

b t wr mn

t wr b mn

y y

y y

- - - -

= - - -

D

D



1x´

2x´

3x´Ä

６項目） ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 1 1 3 2 2 1 2F F FN K x x K x x x x x xwa br r s mny y- - - -注意

D

2x´

1 x´

Ä3 x´

７項目） ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 3 3 2 2 1 2F F FN x K x x K x x x x xa bt wr s mny y- - -D

2x´

3 x´

Ä

1x´

を得る（問題６）。ここで

１項目）は真空のエネルギーの補正項であるので、ここでは考えなくてよい

ので、問題６の結果も考慮して、独立な項目として

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1 1 3 2 3 1 2

2 1 3 1 3 2 1 2

3 1 1 3 2 2 1 2

1 1 3 3 2 2 1 2

2 2

2

2

2

F F F

F F F

F F F

F F F





sa bt r w mn

sa t b wr mn

wa bt r s mn

a bt wr s mn

y y

y y

y y

y y

= - - -

+ - - -

- - - -

+ - - -

注意

縮約 D

D

D

D

(8.31)

を得る。以上から

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

33 4 4 4

1 2 3

2 1 1 3 2 3 1 2

2 1 3 1 3 2 1 2

3 1 1 3 2 2 1 2

1 1 3 3 2

12!

2

2

2

b F F F

F F F

F F F

F F

i eM d x d x d xc




N x K x x K x x

sa bt r w mn

sa t b wr mn

wa bt r s mn

a bt wr

y y y

y y

y y

y y

+

æ ö¢ = ç ÷è ø

× - - -

+ - - -

- - - -

+ - -

ò

注意

D

D

D

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2

3

F a

ext

x x x

A x

s mn

m n llab rs tw

y

g g g

+-

×

D



( ) ( ) ( ) ( )

34 4 4

1 2 3

2 2 1 1 3 3

12!

2 : extb F F

i e d x d x d xc

x K x x K x x A xn my y g g+

æ ö= ç ÷è ø

× - -

ò

( ) ( )

( ) ( )3 1 2

3 3

:

2 :

F

ext

x x x

x A x

mny

y

-

+

D

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 2 1 1 1 2

3 1 1 3 3

:

2 :

F F F

extF F

K x x K x x x x x

Tr K x x K x x A x

n mmn

m

g g y

g

- - -

- - -注意

D

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 1 2

1 1 3 3

: :

:

F

extF

x x x x

x K x x A x

nmn

m

y g y

y g

-

+ -

D

( ) ( ) ( )3 2 2 1 2:F F aK x x x x xnmng y y +- -D

(8.32)

を得る。(8.30)のグラフに含まれる部分過程の

、、

はそれぞれ

電子の自己エネルギーへの eの 2 次の量子補正：

+ + = 光子の自己エネルギーへの eの 2 次の量子補正

+ + = 光子と電子の結合への eの 2 次の量子補正

+ + =

に対応する。

量子効果とファイマングラフ

(8.32)の量子効果を評価するため

( )( )

( )( )

42 2 2

3 2

4 42 2,

ipx

F F

peD x d p K xp m c i

i c i cabp pe

-

= =- +ò

( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

42 2 2

402

2†

31

3

4

†3

exp exp2 2

exp exp2 2

2

ipx

ipx

F

i i i i

i

i i i i

i

mc ed p

p m c i

eD x d p

p i

c ipx ipxx d u a bK

c ipx ipxx d u

i c

a bK

ab

mnmn

b b

a a

e

me

yp w

yp

p

w

-

-

¢ ¢ ¢ ¢

¢=

+

- +

= -+

æ öæ ö æ ö= - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

æ öæ ö æ ö= + -ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

ò

ò

åò

g

v

v

p p p p pp

p p p p pp

2

1=åò



( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

1 † 21 2

1 2

4†

4

0 , 02 2

, , 22

s s

a b

i jiqx ij

a aK K

d xa q A x e a a Km m

y yw w

w d dp

+ += =

¢ ¢= = -ò

p pp p

p p p p p(8.33)

を使う。

a.電子の自己エネルギーを含む量子効果１

【２項目】 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 3 2 3 1 22 F F FN K x x K x x x x x xsa bt r w mny y- - -D

1x´

2x´

3x´Ä

評価する積分は・・・

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

33 4 4 4

1 2 3 2 1 1 3 2 3

2

1 2

34 4 4

3

3

1 2

1 2 : :2!

:

F F

F

b

Fxt

a

a

b

e

i eM d x d x d xc

x A x

K x x K x x x

x

i e

x

x Kd x d x d xc

sa bt r w

m n

a

llb r twsm

n

n

y y

g g

y

y g

gy y

+

+

+

æ ö¢ = ×ç ÷è ø

× - ×

æ ö= ç ÷è ø

- -ò

ò

D

( ) ( ) ( )2 1 1 33ext

Fx x K x x A xmg- - ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

324 4 4

1 2 3 22

2† 2 2

31

4 2

3

114

:

1 02

exp exp2 2

2

a F

s

i i i i

i

x x

i e d x d x d x ac K

c ipx ip

x

xd u a b

i

K

kd k c

mn

n

y

w

p w

gp

y +

=

-

æ ö= ç ÷è ø

æ öæ ö æ ö× + -ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

×

ò

åò

D

v

pp

p p p p pp

( ) ( )

( )1 2 1 4

2242 2 2

1

2

2

ik x xmc kd kek m

i cc i

mge p

--æ ö+

ç ÷ç ÷- -è øò

( ) ( )

( )2 1 3

32 222

ik x xext

mce A x

k mc ie

--æ ö+

ç ÷ç ÷- -è øò

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2340

4

2†3 3

31

1 †1

1

32 4 4 4

1 2 32

220

2

4

1

3

exp exp :2 2

1 02

1 1 2 2

2

2

ik x x

i i i i

i

s

i

c ip x ip xd u a bK

aK

i e c d x d x

i cd

c

k ek i

d kd xc K K

c

mn

p w

w

w w

mep

pm

--

¢ ¢ ¢ ¢

¢=

¢ ¢æ öæ ö æ ö¢ ¢ ¢ ¢ ¢× - +ç ÷ ç ÷ç ÷¢ è ø

æ ö-ç ÷ç

è øè ø

æ ö

÷

÷è

-è

çø

ø

=

åò

ò

ò

g

vp p p p pp

pp

p p ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

22 † 2 2

2 31

411

4

4

2

0 : exp exp2 2

2

s i i i i

i

ik x x

d ipx ipxa u a bK

kd k

ie

k i

in

mn

p w

g

e

p

--

=

æ öæ ö æ ö× + -ç ÷ ç ÷ç ÷

æ ö-ç ÷ç ÷-

è ø è øè ø

×

è ø

åò

ò

g

vpp p p p p

p

( ) ( )

( )1 2 1 4

2242 2 2

1 2

ik x xmc kd kek m c

ii

mge p

--æ ö+

ç ÷ç ÷- -è øò

( ) ( )

( )2 1 3

32 222

ik x xext

mce A x

k mc ie

--æ ö+

ç ÷ç ÷- -è øò

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2† 1 †3 3

131

exp exp : 02 2

i i i i s

i

c ip x ip xd u a b aKp w

¢ ¢ ¢ ¢

¢=

¢ ¢æ öæ ö æ ö¢ ¢ ¢ ¢ ¢× - +ç ÷ ç ÷ç ÷¢ è ø è øè øåò

vp p p p p pp



( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 †1

3 48 4 4 4 4

1 2 3 4 22 1

22 † 2 2

2 31

4

0

114

2

0

1 12 2 2

0 : exp2 2

2

1

s

ik x x

s i i i i

i

a

ii e d kc d x d x d x ec K K k i

d ipx ipxa u a bK

kk id

cmn

n

w w ep

p w

gp

e

--

=

×

æ ö-æ ö= ç ÷ç ÷ ç ÷-è ø è øæ öæ ö æ ö× + -ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

×

ò ò

åò

g

v

p

p p

pp p p p pp

( ) ( )

( )1 2 1 4

2242 2 2

1 2

ik x xmc kd kek m c

ii

mge p

--æ ö+

ç ÷ç ÷- -è ø

( ) ( )

( )2 1 3

32 222

ik x xext

mce A x

k mc ie

--æ ö+

ç ÷ç ÷- -è øò

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2† 1 †3 3

131

exp exp : 02 2

i i i i s

i

d ip x ip xu a b aKp w

¢ ¢ ¢ ¢

¢=

¢ ¢ ¢æ öæ ö æ ö¢ ¢ ¢ ¢× - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø¢åò

vp p p p p p

p

(8.34)

である。ここに、 20 01 cm e= を用いた。そして、積分をまとめて、 Jとおく・・・

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

23

0

1 2 1 2 1 2 1 3

33 8 4

2 1

4 4 42 4 4 4 31 2

1 2 3 4 4 4 2 2

20

2

2 †2 3

2 2 2 21 2

1 12 2

2 2

0 : ex

1

p2

2

2

iec

a

ik

s i

x x ik x x ik x xext

i

i eM cc K K

e e e A xd k d k d ki i d x d x d xk i k

d ip

m c i k m c i

K

c

xa u a

e

lmn

e w w

e e ep p p

p w

- - -- - -

æ ö¢ = ç ÷è ø

× -+ - + - +

×

ò

p p

pp p pp

g

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

1

1

expi i

i

ipxb

kng

=

æ öæ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè øåò

p pv

( ) 2m kmg+ ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2†3 3

31

1 †1

exp exp :2 2

0

i i i i

i

s

m

d ip x ip xu a bK

J

a

lg

p w

¢ ¢ ¢ ¢

¢=

+

¢ ¢ ¢æ öæ ö æ ö¢ ¢ ¢ ¢- +ç ÷ ç ÷ç ÷è

üïïïïï =ýïïïïïþ

ø è øè ø¢åò

p p p p pp

p

v

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

1 2 1 2 1 2 1 3

23 2

0 2 1

4 4 44 4 4 31 2

1 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2

1 12 2

2 2 2

ik x x ik x x ik x xext

ie i ic K K

e e eJ

A xd k d k d kd x d x d xk i k m c i k m c i

mn

l

e w w

e e ep p p

- - -- - -

º - -

×+ - + - +ò

gp p

(8.35)

次に、N 積を評価して

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 † 2 22 3

1

1

0 : exp exp2 2

s i i i i

i

d ipx ipxJ a u a bK

kn

p w

g

=

æ öæ ö æ ö= + -ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

×

åò

pp p p p pp

v

( ) 2mc kmg+ ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2†3 3

31

exp exp :2 2

i i i i

i

mc

d ip x ip xu a bK

lg

p w

¢ ¢ ¢ ¢

¢=

+

¢ ¢ ¢æ öæ ö æ ö¢ ¢ ¢ ¢× - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø¢åò

p p p p pp

v



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 † †1

22 † 2

2 131

0 0 0 0

0 exp2 2

s i i

s i i

i

a b b

d ipxa u a kK

ngp w

¢

=

¢× Ü = =

æ ö= ç ÷è ø

åò

p p p

pp p pp

( ) 2mc kmg+ ( )mc lg+

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

21 †3

131

exp 02 2

i i s

i

d ip xu a aKp w

¢ ¢

¢=

¢ ¢æ ö¢ ¢× -ç ÷è ø¢

åò

p p p pp

(8.36)

である（問題７）。更に、

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

2 † 22 3

1

1

0 exp2 2

s i i

i

d ipxJ a u aK

kn

p w

g

=

æ ö= ç ÷è ø

×

åò

pp p pp

( ) 2mc kmg+ ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 †313

1exp 0

2 2i i s

i

d ip xmc u a aK

lgp w

¢ ¢

¢=

¢ ¢æ ö¢ ¢+ -ç ÷è ø¢

åò

p p p pp

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

†

2† 2 2 2

2 231

1

, 2

0 2 exp2 2

i j ij

i i s i s

i

a a K

d ipxu a a KK

kn

w d d

w d dp w

g

=

¢ ¢Ü = -

æ ö= - + - ç ÷è ø

×

åò

p p p p p

p p p p p p pp

( ) 2mc kmg+ ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2† 2 2 3

1 131

†2

2 22 13

2 exp 02 2

0 0 0, 0 0 1

0 2 exp2 2

i i s i s

i

i i

s

mc

d ip xu a a KK

a a

d ipxK u kK

l

n

g

w d dp w

w d gp w

¢

¢=

¢

+

¢ ¢æ ö¢ ¢ ¢ ¢× - + - -ç ÷è ø¢

Ü = = =

æ ö= - ×ç ÷è ø

åò

ò

p p p p p p pp

p p

p p p p pp

( ) 2mc kmg+ ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 3

13 2 exp 0

2 2s

mc

d ip xK uK

lg

w dp w

+

¢ ¢æ ö¢ ¢ ¢× - -ç ÷è ø¢

ò

p p p p pp

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 13 32 1

22 1

1 1 2 22 2 2 2

s

K KK K

u kn

w wp w p w

g

=

×

p p

p p

p ( ) 2mc kmg+ ( ) ( ) ( )1 2 2 1 31 exp exps ip x ip xmc ulg æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷

è ø è ø p

(8.37)

以上から、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 3

23 23

0 2 1

4 4 44 4 4 31 2

1 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2

23 2

0 2 1

1 12 2

2 2 2

1 1 2 2

a


M ie i ic K K

e e e A xd k d k d kd x d x d x Jk i k m c i k m c i

ie i ic K K

mn

l

mn

e w w

e e ep p p

e w w

- - -- - -

¢ = - -

×+ - + - +

= - -

ò

続く･･･

p p

p p

g

g



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 34 4 4

4 4 4 31 21 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2

1 2

2 13 32 1

22 1

2 2 2

1 1 2 22 2 2 2


s

e e e A xd k d k d kd x d x d xk i k m c i k m c i

K KK K

u k

l

n

e e ep p p

w wp w p w

g

- - -- - -

×+ - + - +

×

×

ò

p p

p p

p ( ) 2mc kmg+ ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 3

1 2 2 1 31

23 2

30

4 4 44 4 4 31 2

1 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2

22 1

exp exp

12

2 2 2

s


s

ip x ip xmc u

ie i ic


u k

l

mn

l

n

g

e p

e e ep p p

g

- - -- - -

æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷è ø è ø

= - -

×+ - + - +

×

ò

p

p

g

( ) 2mc kmg+ ( ) ( ) ( )1 2 2 1 31 exp exps ip x ip xmc ulg æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷

è ø è ø p

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )

1 2 1 2 1 2 1 3

3 2

0

4 4 44 4 4 31 2

1 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2

22

13

1

2 2 2

2


s

ie i ic


uk

mn

l

n

e

e e ep p p

gp

- - -- - -

= - -

×+ - + - +

×

ò

g

p ( ) 2mc kmg+ ( )( ) ( )( )

11 2 2 1 33

exp exp2

su ip x ip xmc lgp


p

(8.38)

を得る。ここで

( ) ( )44 2ikx

d xe kp d=ò (8.39)

を用いるために、 1,2,3x 積分を実行する。

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )

1 2 1 2 1 2 1 3

3 23

0

4 4 44 4 4 31 2

1 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2

22

13

1

2 2 2

2

a


s

M ie i ic


uk

mn

l

n

e

e e ep p p

gp

- - -- - -

¢ = - -

×+ - + - +

×

ò

g

p ( ) 2mc kmg+ ( )( ) ( )( )

11 2 2 1 33

exp exp2

su ip x ip xmc lgp


p

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 1 31 2 1 1 2 2

4 4 43 2 4 4 1 2

1 2 4 4 40

22

123

2 2 2 2 2 2

44

1

4

32

3 21

2 2 2

2

i k k k x i k k p xs

iqx

i k p xext

d k d k d kie i i d x d xc

e e uk

k i k

d xd x a

e A x

q A x e

m c i k m c il

m mn m

n

e p p p

ge e e

p

p

- + - -- +

= - - × Ü

×+ - + - +

=ò ò

g

p ( ) 2m kmg+ ( )( ) ( )( )

1132

sum lg

p+

p



( ) ( ) ( )

( )

3 2

0

4

4

1 12!

2

ie i ic

d k

mne

p

= - -

×

g

( )

41

42d kp ( )

42

42

d k

p

( )42pò

( ) ( )41 2 2k k kd p- + - ( )

( )( )( )

( )

1 2

2 2 2 2 2 2 21

4

2

2

k k p

k i k m c i k m c i

d

e e

p

e

- +

+ - + - +

× ( )( ) ( )( )

1 132

22

2

sexta k

ukpl

ngp

-p ( ) 2mc kmg+ ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

113

3 2 4 4 2 22 22 2 2 2 2 2

0 2 2

22

2 1 3

2

1

2

s

sext

umc

p kie i i d kd k

c k i k p m c i k m c i

ua k p k

l

mn

nl

gp

de e e e

gp

+

-= - -

+ + - + - +

× -

òg

p

p2p+( ) 2m kmg+ ( )

( ) ( )( )

1132

sum lg

p+

p

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

3 2 422 2 2 2 2 2

0 2 2

22

2 1 3

1 1

2

sext

ie i i d kc k i k p m c i p m c i

ua p p k

mn

nl

e e e e

gp

= - -+ + - + - +

× -

òg

p2p+( ) 2mc pmg+ ( )

( ) ( )( )

1132

sumc lg

p+

p(8.40)

以上から

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

3 23 422 2 2 2

0 2 2

22

2 1 3

1 1

2

a

sext

M ie i i d kc k i k p m i p m i

ua p p k

mn

nl

e e e e

gp

¢ = - -+ + - + - +

× -

òg

p2p+( ) 2m pmg+ ( )

( ) ( )( )

1132

sum lg

p+

p(8.41)

になる。これを(8.15)と比較するため、

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

2 143 2 1

4

4

23

0

132

2 2

12

s sext

au u

M i

i kd

e a p p

k iec

ll

nl

e p

pp

g

p¢ = G -

G =

p p

p+( )( )

( )2 22

2im iie

k ip i

p

k mmnmgee

+ -++ - +òg ( )

2 22

4 4m

p m il

eg

+

- +Ü ´ 行列

(8.42)

とまとめる。 m mgG = のときに ( )1aM ¢ を与える。

==ファイマングラフからの評価==

この結果を、グラフから導いてみる。グラフに運動量を書き入れると・・・

3p

1x´

2x´

3x´Ä

1p4p

k2p

q

である。ルールは

内線の４次元運動量（ここでは 3 4, , ,q k p p ）はそれぞれに４次元積分と４元運動量保存則：



( ) ( )42 4p d 元運動量の形で取り入れる。

内線には、対応する伝搬関数： ( )2

F

i c pS p =

( ) ( ) 02 2 2

3

2, F

mc iD p

p m c i ic

pmn

mn

me e

+ -=

- + + g

入・出電子（フェルミオン）には、対応する波動関数( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 3 32 2

s su cuc

p p

æ öç ÷´ =ç ÷è ø

p p

入・出光子（ボゾン）には、対応する波動関数( ) ( )( )

( ) ( )( )

03

032 2

c eec ll m

p p

m æ öç ÷´ =ç ÷è ø

pp

電子（フェルミオン）のループはTr、及び、 -注意

を付ける。

電子と光子のバーテックスには、 ( )1 ei q ec

myg = -

外場q´

Ä には ( ) ( )42 exta qmp

になる。ちなみに、【第７章ファイマン図：クーロン散乱】にあてはめると・・・

e- e-

( ) ( )( )

11

2 3

1

2

suc

p

p´

ß

p ( ) ( )

( )

22

2 3

2

2

suc

p

p´

ß

p

( ) ( )42 1

1 2 p qc

pei m p dg - -

x´Ä

q( ) ( )42 exta qmp Þ

であるので、グラフの左から順にルールに従って、式として右から記述する。、このグラフの

内線に現れる運動量は qなので( )

4

42d qpò

が積分になるので

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

2 12 13 3

2 1

44

2 144

413 3 2

2 1

1 21 12

22

22 2

2

s se

e

t

t

x

sx

s

d c cu a q u

u ui

ei

a p

q p q p

pe

c m

m

m

m

p dp p

p gp p

gp

p2 2æ öç ÷è

-ø

= -

-ò

p p

p p(8.43)

になり、(8.15)と一致することがわかる。

これらをグラフ3p

1x´

2x´

3x´Ä

1p4p

k2p

qにあてがうと・・・



1 eic mg

´

23i c p ( )

2 2 23

3

mcp m c i

p

e

+

- +

Ý

1 eic

mg´

( ) ( )4

2 exta qlp

Äß

1 eic

ng´

( ) ( )( )

11

2 3

1

2

suc

p

p´

Ý

p

( ) ( )( )

12

2 2 32

sucpp

Þ ´

p4

42

p

i pcß ( )

2 2 24

mcp m c ie

+

- +

2

30

ik i

k

c mnme

-+

Ý

g

このグラフの

内線に現れる運動量は 3 4, , ,q k p p なので( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4 43 4

4 4 4 42 2 2 2d q d k d p d pp p p pò

が積分になる。また、

運動量保存則は ( ) ( )41 32 q p pp d + - 、 ( ) ( )4

4 32 p p kp d - - 、 ( ) ( )44 22 p p kp d - -

になる。グラフの左から順にルールに従って、式として右から記述すると

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

34 4 4 42 03 4

43 4 4 4 4 2

24 4

4 2

12 2 2 2 2

1 2

s i cc d q d k d p d puk i

i c pei p p kc

mn

n

mep p p p p

g p d

2

-+

æ ö× - -ç ÷è ø

ò

pg

( ) ( ) ( )44 32 2 2

4

23

1 2

mc ei p p kp m c i c

i c p

mg p de

+ æ ö- -ç ÷- + è ø

×

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )4 4 11 3 132 2 2

3

1 12 22

sextmc e ci a q q p p u

p m c i cl

lg p p de p2

+ æ ö+ -ç ÷- + è ø

p

(8.44)

になる。これを計算すれば、(8.41)に等しいことがわかる（問題８）。一方、 k積分を残せば

( )( ) ( )

( )

23422 0

23 4 21 1

2 2s i c pi cc d k eu i

k i cmn nm

gep p2

- æ öç ÷+ è øò

pg ( )

2 2 22

2

1

mc eip m c i c

i c k

mge

+ æ öç ÷- + è ø

×

2p+( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )4 12 1 12 32 2

2

1 122

sextmc e ci a p p u

ck p m c il

lg pe p2

+ æ ö-ç ÷è ø+ - +

p

(8.45)

ので、特別に、

運動量保存則の積分の影響は、今回の一連のグラフでは無視できる

ことがわかる。従って、各点で運動量保存則を加味したグラフ：

1 eic mg

´

22i c p ( )2

2

222

p

p

mcm c ie

+

- +

Ý

1 eic

mg´

( ) ( )2 14

2 exta p plp

Äß

-

1 eic

ng´

( ) ( )( )

11

2 3

1

2

suc

p

p´

Ý

p

( ) ( )( )

12

2 2 32

sucpp

Þ ´

p2

2i

p

c

k

kß

+

2p+( )( )2

2 2 2

m

p

c

ik m c e

+

- ++

2

30

ik i

k

c mnme

-+

Ý

g



を考えれば良い。従って、

バーテックスでは、矢印の方向に従って４次元運動量保存

である。

==電子の自己エネルギー==

(8.42)で評価したファイマン図

1x´

2x´

3x´Ä

には、電子の自己エネルギー

+ + =といわれる部分が含まれている。通常、量子効果の部分は、

( )2

pi

cS

- =

で表す。1 この自己エネルギー ( )pS は、対応ルールに従って評価すると、

( )( )

( )4

40

12

i kd ki p iec

nge p

- S =

p+( )( )

( )2 22 24 4

mc iie

k ik p m c imnmgee

+ -Ü ´

++ - +ò 行列g

(8.46)

になる（問題９）。この表式を用いると(8.42)は

( ) 22

i pi plG = - S

( )2 2 22

4 4mc

p m c i

lg

e

+Ü ´

- +行列 (8.47)

と書き換えられる。従って、(8.42)より

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )2

4 23 223

22

s

a

i puM ie i pp

p¢ = - S

p ( ) ( ) ( )( )

( )1

12 12 2 2 3

2 2

sext

mc ua p p

p m c i

l

l

g

e p

+-

- +p

(8.48)

になる。

(8.46)の積分を実行する。(8.46)より、

( )( )

2 4

40 2

ke d ki pc

mg

e p- S = -

p+( )

( )( ) ( )2 2 2 2

mc

k p m c i k img

e e

+

+ - + +ò (8.49)

において、定番の公式

( )( )1

20

1 1dxab b a b x

=+ -

ò (8.50)

を用いると

1

( )2

pi

cS

-

のとき、 ( )pS がmcに対する補正項になり、 ( )mc mc p® +S の置き換えをする。つまり、

( )2

Fi cS p

p=

2imc i p

ce=

- + 2ii p

ce+

+

2

2ii pmci c

ce+

ie

++

なので、( )

2 2 2

pmmci

ci icc c

S= - Þ -

に対応する。

1

eic

mg

´

1p 2p

2 1p p-

1p 2p

1 2p p-

1

eic

mg

´



( )( ) ( ) ( )( )1

22 2 2 2 22 2 2 20

1 1dxk p m c i k i k k p m c k x ie e e

=+ - + + é ù+ + - - +ë û

ò (8.51)

なので

( )( )

2 4

40 2

ke d ki p dxc

mg

e p- S = -

p+( )

( )( )1

222 2 2 20

mc

k k p m c k x i

mg

e

+

é ù+ + - - +ë ûò ò (8.52)

である。一方、(8.151)を用いて

kmg p+( ) 2mc kmg+ = - p+( ) 4mc+ (8.53)

より

( )( )

2 4

40

2

2

ke d ki p dxce p

-- S = -

p+( )

( )( )1

222 2 2 20

4mc

k k p m c k x ie

+

é ù+ + - - +ë ûò ò (8.54)

を得る。ここで k積分を実行するため

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1k k p m c k x k kpx p m c x k xp m c x p x+ + - - = + + - = + - - - (8.55)

より、変数変換 k k xp¢ = + を行い、改めて k ¢を kと見なおして

( )( )

2 4

40

2

2

ke d ki p dxce p

-- S = -

( )1 x p+ -( )( )( )

1

22 2 2 20

4

1

mc

k m c x p x ie

+

é ù- - - +ë ûò ò (8.56)

ここで

kの奇関数の寄与は０になる (8.57)ので（問題１０）

( ) ( )2

0

2 1ei p dx x pce

- S --= - ( ) ( )( )

4

4 22 2 2 2

1

0

12 1

4 d k

k m c x imc

p xp eé ù- - - +é

ë

ù

û

+ë û òò (8.58)

ここで、積分は、(8.166)を用いて

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

0 0

2 2 4, 0

4 22 2

4

4 22 2 2 2 2 2

12 2 11

1E

E

k ikk k

E

E

d kIk m c x

d kik m c xp x pi x

e

p e p

==- =

= =é ù- - - -é ù- - - +ë û ë û

ò ò (8.59)

と Euclid 化する。(8.58)は、

( ) ( )2

0

2 1ei p dx x pce

- S = - - - ( ) ( )( )

4

4 22 2

1

02 2

12

4 with 1

E

E

d kI I ik m c

mx p

cxp

=é ù+ - -ë

é ù+ë ûû

ò ò (8.60)

さらに、n 次元化して(8.172)を用いると

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 24 21

4 2 4 242 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1lim2 21 11

2

E

nk r

nEn

E

d k nI i i r drnk m c x p x r m c x p x

pp p

=-

®= =

æ öé ù é ù+ - - + - -G +ç ÷ë û ë ûè ø

ò ò

(8.61)

k



ここで

( )( ) ( )( )( )2 2

1 2 1

2 22 2 2 20 0 2 , 2

1, 11

n

na b m x p x

r rdr drb arr m c x p x

a

a ba a b

¥ ¥- -

+= + =

= = - -

=é ù ++ - -ë ûò ò (8.62)

なので、(8.180)より

( )( )( )

( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

2 2 22 2 2

2 1

2 2 , 20 2 , 2 1, 1

1, 1

2 22 2 2 2 2 22 2

,12

,2 21 1 12 2 2 2 2 2 21 2 1

nn a b m c x p x

a b m c x p x

n n

Br dra bb ar

n n n nB

m c x p x m c x p x

a

a b a b a a ba a b

a b¥ -

+= + =

= + = = = - -= = - -

- -

=+

æ ö æ ö æ ö- G G -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø= =

Gé ù é ù- - - -ë û ë û

ò

(8.63)

を用いて

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

2

44 22 2 2

212 2 2

44 22 2 2

2

44 22 2 2

21 2 2lim

2 1 2 1 22

21 2 2lim

2 2 1 22 2

21 lim

2 1

n

nn

nnn n

nn

n

nn

n nnI i

nm x p x

n nn i

n nm x p x

ni

m x p x

pp

pp

pp

® -

æ öGç ÷æ ö è øG + =ç ÷è ø

® -

® -

æ ö æ öG G -ç ÷ ç ÷è ø è ø=

æ öG + é ù- - Gç ÷ ë ûè ø

æ ö æ öG G -ç ÷ ç ÷è ø è ø=

æ öG é ù- - Gç ÷ ë ûè ø

G -=

é ù- -ë û( )

22

æ öç ÷è øG

(8.64)

ここで、公式として

( ) ( )2

422 2

2

21 2

2

n

n

nid k

k A i A

p

e -

æ öG -ç ÷è ø=G- +

ò (8.65)

を得る（Appendix4:n次元積分参照）。更に、(8.169)を用いて

( ) ( )( ) ( )( )( )

222 2 2

4 44 22 2 2 2

212lim ln 1

2 2 21 2

n

nn

ni iI m c x p xn

m c x p x

p p gp p® -

æ ö æ öG -ç ÷ ç ÷è ø é ù= = - - - -ç ÷ë û-ç ÷é ù- -ë û è ø

( )( )( )

22 2 2

42 ln 1

42i m c x p x

np gp

æ öé ù= - - - -ç ÷ë û-è ø(8.66)

になる（問題１１）。ここで



４次元時空（ 4n = ）では2

4 n-は発散する

ことがわかる。これから、

( ) ( )2

0

2 1ei p dx x pce

- S = - - -

( )

1

0

2

0

4

2 1e dx x

m

pc

c I

e-

é ù+ë û

= - -

ò

( )( )( )

2

40

221

2242

ln 14 i m x xccn

pm p gp

æ öé ù-é ù - -ç ÷ë û+ë û è-

- øò(8.67)

を得る。更に、発散項とオイラー数g の項のパラメータ積分（ x積分）を実行して

( )( )

2 2

40

2 12

e i dx x pc

pe p

- - - ( )

2 2

4

1

00

2 2 24 2

244 2

imcn

xec

x pne

g p gp

æ öæ ö= - - - -ç ÷ ç ÷-èæ öé ù+ -ç ÷ë û -è ø ø è ø

ò

( )

1

0

2

4

2

0

4

2 1 2 14 22

ec

mcx

i pn

p gpe

é ù+ê ú

ë û

æ ö æ ö= - - - -ç ÷ ç ÷-è ø è ø ( )

22

40

24 442

imc mcec

pnpe

p gé ù æ ö+ = - - -ç ÷ê ú -è øë û ( )

(8.68)である。ここで、

2

04eme

ca

pe=

なので、(8.68)は

( )( )

2 2

40

2 12

e i dx x pc

pe p

- - -

1

0

244

24 4emi pmc

n ng a g

pæ öé ù+ -ç ÷ë û -è ø

æ ö-ç -è= ÷

øò ( )4mc- (8.69)

と計算できる。終的に

( ) 24 4emii p p

na gp

æ ö- S = -ç ÷-è ø( ) ( )

( ) ( )

4

2 14

R

emR

mc i p

ii p dx x pap

- - S

- S = - - ( )( )1

2 2 2

0

4 ln 1mc m c x p xé ùé ù+ - -ë û ë ûò(8.70)

を得る。以上をまとめると・・

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( )

2 143 2 1

2 13 3

22

22 2

s sext

au u

M ie a p p

i pi p

ll

l

pp p

¢ = G -

G = - S

p p

( )

( )( )

2 2 22

2 4

40

4 4

2

mcp m c i

ke d ki pc

l

m

g

e

g

e p

+Ü ´

- +

- S = -

行列

p+( )( )( ) ( )2 2 2 2

4 4

2 4 4em

mc

k p m c i k i

i pn

mg

e e

a gp

+Ü ´

+ - + +

æ ö= -ç ÷-è ø

ò 行列

( ) ( )

( ) ( )

4

2 14

R

emR

mc i p

ii p dx x pap

- - S

- S = - - ( )( )1

2 2 2

0

4 ln 1mc m c x p xé ùé ù+ - -ë û ë ûò

(8.71)



である。

==電子の質量の繰り込み==

さて、 ( )pS には、 4n = で発散する（diverge）項

( ) 24 4emii p p

nap

- S =-発散 ( )4mc- (8.72)

を含む。この発散を取り除くために、

繰り込み（renormalization:再規格化）

をおこなう。特に、自己エネルギーに現れる発散を取り除くことを

質量の繰り込み（mass renormalization）という。これは、再定義された新しいラグランジアンとして

0

14

F F i Dmnmn y

m= - +L

( )m m cdy

+æ ö-ç ÷

è ø(8.73)

を採用することになる。相互作用として

( ) : :Iin in inm cx d y y×

= + +

H (8.74)

で与えられる。ここで、観測される質量は

obsm m md= + +観測される質量(有限の値): 量子効果

で再定義される。この効果は、 1x´

2x´

3x´Ä に対して

1x´

2x´

3x´Ä

+ 3x´Ä

i md´

-という２つのグラフを評価することになる。その結果

( )( ) 22

i pi p i m cl dG = - S - ×

( ) ( )( ) 222 2 2

2

mc i pi p m c

p m c i

lgd

e

+= - S + ×

- +( )

2 2 22

mcp m c i

lg

e

+

- +(8.75)

が再評価された値になる。

さて、「繰り込み」では、 ( )pS に対して

( )p m cdS + × =有限値

になるように md を決定する。そのため

繰り込み点

を設定する必要がある。通常

p mc= で設定するのを on-shell 繰り込み： pS ( )mc m cd= + × =有限値

という。繰り込み点の p の値は何でも良い。この点を例えば観測されている質量mではなく、

別の値mとすると、 ( )finite pS は(8.79)とは異なる。しかし、実際の物理はこのような人為的な取



り方によらないはずである。この「繰り込み点の人為的設定に依らない」ことを数学で表現す

るとき繰り込み群と呼ばれる。但し

一度決めたら同じ処方に従う (8.76)ことになる。この処方に従うと

m c pd × = -S ( ) ( ) 24 4emmc p p

na gpæ ö= Ü = -ç -è

- ÷ø

S ( ) ( )

( ) ( )

4

2 14Rm

R

e

mc p

p dx x pap

S

S = --

-

Ü -

-

( )( )1

2 2 2

0

4 ln 1mc m c x p xé ùé ù+ - -ë û ë ûò(8.77)

で評価され

( ) ( )1

2 2 2

0

2 3 2 1 ln4 4 4em emm c mc dx x mc m c x

na ad gp pæ ö× = - - + +ç ÷-è ø ò (8.78)

とである（問題１２－Ａ）。あるいは、 md は、

2 34 4em

R pm c mcn

ad gpæ ö× = - - -Sç ÷-è ø

( )mc=

である。従って、繰り込み後の ( )pS は

( ) ( ) ( )p p m c p pdS º S + × = S -S ( )2

4 4em

mc

pn

a gp

=

æ ö= - -ç ÷-è ø( ) ( ) ( )24 3

4 4em

R Rmc p mcn

pa gpæ ö- + S - - - - + Sç ÷-è ø

( )Euler2

4 4em

mc

pn

a gp

é ù=ê úë ûæ ö

= - -ç ÷-è ø

数

( ) ( )R Rmc p p- + S -S ( )

( )R Rp

mc

pS

=

- S ( ) ( ) ( )2 14em

R p dxm pc xap

Ü S = - -= ( )( )

( )

12 2 2

0

4 ln 1

42 1em

mc m c x p

x x p

x

dap

é ùé ù+ - -û

= - -

ë û

-

ëò

( )( ) ( ) ( )( )( )

21

2 22 2

0

24 ln 1 1 l

2

4

n

1em

x mc m c xmc m

x pd

c p x

x

x

ap

2é ùé ù+ - -ë û +é ùë û-

--

ë û

-=

ò

( )( ) ( )2 2 24 ln 1 2 1mc m c x p x pxé ùé ù+ - - - -ë û -ë û ( )( )

2 2 24 ln

2 1

mc m c x

x p

é ù+ë û

+ - - ( ) ( ) ( )

( )

1

2 2 22 2

0

20

2

4 ln l

4

2 1 n

1em

mc x mc m c xm

dx p

x

x

c

ap

æ öç ÷ç ÷-é ù+ë û +é ùë ûè ø

= - - -

òを足す

( )( ) ( )2 2 2

2 2 24 2ln 11m c x p x

mc pm x

xc

é ù- -é ù+ +ê úë û ê ú

- +ë û

( ) ( )1

2 2 2

0

lnmc m c xæ öç ÷-ç ÷è ø

ò

( )1

2em

x pdxa

p

- -= -

( )( )

( )

2 2 2

2 2 2

12 ln

1

m c x p xmc

c

x

m x

p

é ù- -é ù+ ê úë û ê úë

-

û

- ( ) ( )

1

0 2 2 2lnmc m c x

æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

ò (8.79)

と与えられる。つまり



( )Euler2

4 4emp p

na gpæ ö

S = - -ç ÷-è ø

数

( )( )1

2em

x pmc dxa

p

- -- -

( )( )

( )

2 2 2

2 2 2

12 ln

1

m c x p xmc

m c x

x p

é ù- -é ù+ ê úë û ê úë û

- - ( ) ( )

1

0 2 2lnmc m x

æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

ò

(8.80)を得る（問題１２－B）。

b. 電子の自己エネルギーを含む量子効果２

【３項目】 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 1 3 2 1 1 2F F FN x K x x K x x x x xsat wr b mny y- - -D

1x´

2x´

3x´Ä

対応ルール

1 eic

mg

´

( ) ( )4

2 12 exta p plp

Äß

-

1

2

k p

ih c k

+

ß1p+( )

( )2 2 21

mc

k p m c ie

+

+ - +

21

ih c p( )2 2 21

1

mcp m c i

pe

+

- +

Ý

( ) ( )( )

11

2 3

1

2

suc

p

p´

Ý

p

( ) ( )( )

22

2 2 32

sucpp

Þ ´

p

1

eic

lg´

2

30

ik i

k

c mnme

-+

Ý

g

1 eic

ng

´

に従って評価する積分は・・・グラフの左から順にルールに従って、式として右から記述すると

( ) ( )( )

( ) ( )422

122 12 3

1 22

sext

i c puc ei a p pc

llpg

p

æ ö-ç ÷è ø

p ( )

( )

2 2 21

2340

4 21

2

mcp m c i

i c ki cd k eik i c

mn n

e

mg

ep

+

- +

- æ ö× ç ÷+ è øò

g 1p+( )

( )

( ) ( )( )

11

2 22 2 31

1

2

smc ue cick p m c i

mge p

+ æ öç ÷è ø+ - +

p(8.81)

になる。(8.46)を用いて、(8.15)と比較のため

( ) ( )( ) ( )( )

24 13 2

32

2

s

b

puM ie

lgp

p¢ =

p ( ) ( )( ) ( )( )

( )1

11 2 12 2 2 3

1 2

sext

mc up a p p

p m c i le p

+S -

- +p

(8.82)

とすれば

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )2 1

43 2 12 13 3

1

22 2

s sext

bu u

M ie a p p

i p

ll

ll

pp p

g

¢ = G -

G =

p p

( ) ( )( )12 2 21

4 4mc

i pp m c ie

+- S Ü ´

- +行列

(8.83)

を得る。「a.電子の自己エネルギーを含む量子効果１」と同じなので



( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )2 1

43 2 12 13 3

1

22 2

s sext

bu u

M ie a p p

i p

ll

ll

pp p

g

¢ = G -

G =

p p

( ) ( )( )

( )( )

12 2 21

2 4

40

4 4

2

mci p

p m c i

ke d ki pc

m

e

g

e p

+- S Ü ´

- +

- S = -

行列

p+( )( )( ) ( )2 2 2 2

4 4

2 4 4em

mc

k p m c i k i

i pn

mg

e e

a gp

+Ü ´

+ - + +

æ ö= -ç ÷-è ø

ò 行列

( ) ( )

( ) ( )

4

2 14

R

emR

mc i p

ii p dx x pap

- - S

- S = - - ( )( )1

2 2 2

0

4 ln 1mc m c x p xé ùé ù+ - -ë û ë ûò

(8.84)

を得る。ここで、繰り込みを行うのであるが、(8.76)に注意して

( )( )

2 4

40 2

ke d ki pc

mg

e p- S = -

p+( )

( )( ) ( )2 2 2 24 4

2 4 4em

mc

k p m c i k i

i pn

mg

e e

a gp

+Ü ´

+ - + +

æ ö= -ç ÷-è ø

ò 行列

( ) ( )4 Rmc i p- - S

(8.85)

である。

c.光子の自己エネルギーを含む量子効果

【６項目】 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 1 1 2 2 2 1 2F F FN K x x K x x x x x xwa br r s mny y- - - -注意

D

2x´

1 x´

Ä3 x´

対応ルール

1 eic

mg´

( ) ( )42 1

2 exta p plp

Äß

-

1 e

ic

ng´

2k ki cÞ ( )2 2 2

mck m c ie

+

- +

( ) ( )( )

11

12 32

suc pp

Ü´

p( ) ( )( )

22

2 32 2

sucp pÞ ´

p

1

eic

lg´

　

( )

32 102

2 1

cp p ip p i

mnm

e

- -Þ

- +

g

2 12

k p pi c k

+ - 2p+ 1p-( )( )2 2 2

2 1

mc

k p p m c ie

+Ü

+ - - +

に従って評価する積分は・・・グラフの下から順にルールに従って、式として右から記述すると



( ) ( )( ) ( ) ( )

22 3 4022 42 3

2 1

122

s i c ki cuc e d ki Trcp p i

mn mmg

e pp

- æ ö -ç ÷è ø- + ò

注意p g 2p+ 1p-( )( )2 2 2

2 1

21

mc

k p p m c i

i c keic

n

e

g

ì +ïí

+ - - +ïî

æ ö×ç ÷è ø

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

11

2 12 2 2 2 3

41

22

sext

mc ue ci a p pk m c i c

ll

ppg

e

ü+ ïæ ö -ýç ÷- + è øïþ

p

(8.86)

になる。従って、対応する振幅は

( )( ) ( )( ) ( )

( )

2 33 02

22 32 1

24

4

1

2

2

s

c

i cuc eM icp p i

i c kd k Tr

mn mmg

ep

p

- æ ö¢ = ç ÷è ø- +

× - ò

注意

p g

2p+ 1p-( )( )

2

2 2 22 1

1mc i c keick p p m c i

nge

+ æ öç ÷è ø+ - - +

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2

11

2 3

44 3 20

42 1

4

1

2

12

2

2

exts

mc eik m c i c

uc

kc d kie i i Tr

a p pl

l

mn

ge

p

pp

mp

ì ü+ï ïæ öí ýç ÷- + è øïî

= -

-

ïþ

×

- ò

p

g2p+ 1p-

( )2 2 22 1

mc kk p p m c i

nge

+

+ - - + 2 2 2mc

k m c ilg

e

ì ü+ï ïí ý- +ï ïî þ

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 12 1

2 1 2 3 32 1

1 2 2

s sext u ua p p

p p im

l ge p p

× -- +

p p(8.87)

なので、 20 01 cm e= を用い、(8.15)と比較のため

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )2 1

43 2 12 13 3

43

22 2

4

s sext

c

em

u uM ie a p p

kd kTr

ll

l

pp p

ap

¢ = G -

G = - ò

p p

2p+ 1p-

( )2 2 22 1

mc kk p p m c i

mge

+

+ - - + ( )22 2 22 1

mc ik m c i p p i

lmg g

e e

ì ü+ -ï ïí ý- + - +ï ïî þ

(8.88)

と書き換える（問題１３）。

==光子の自己エネルギー==


2x´

1 x´

Ä3 x´

には、光子の自己エネルギー

+ + =



といわれる部分が含まれている。通常、量子効果の部分を、

( )3

0

i qc

mn

mP

= q q

で表す（１０章参照）。この自己エネルギー ( )qmnP は、対応ルールに従って評価すると、

( )( )

4

40

12

i kd ki q Trc

mn

e pP = -

q+( )

( )( )2 2 2

mc i kie

k q m c img

e

+

+ - +

( ) ( )2 2 2

mcie

k m c ing

e


ò (8.89)

になる（問題１４）。この表式を用いると(8.88)は

( )( )

2 12

2 1

4 4i p p

ip p i

mll

mge

P -G = - Ü ´

- +行列 (8.90)

と書き換えられる。従って、(8.15)と比較のため

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )2 1

43 2 12 13 3

22 2

s sext

cu u

M ie a p pllp

p p¢ = G -

p p(8.91)

とまとめられる（問題１５）。(8.89)の積分を実行し、

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

12 2 2

0

2 where 3 4

2 1 ln 1

emR

emR

iq q q q q i q i qn

ii q dx x x m c x x q

mn m n mn a gp

ap

æ öP = - P P = - + Pç ÷-è ø

é ùP = - - + - -ë ûò

g

(8.92)

を得る（問題１６）。以上をまとめると・・

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

2 143 2 1

2 13 3

2

2 2 2

4 4

s sext

cu u

M ie a q q p p

i qi

q i

ll

mll

m

pp p

ge

¢ = G = -

PG = - Ü ´

+行列

続く

p p

( )( )

4

40

12

i kd ki q Trc

mn

e pP = -

q+( )

( )( )2 2 2

mc i kie

k q m c img

e

+

+ - +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2

12 2 2

0

23 4

2 1 ln 1

emR

emR

mcie

k m c i

q q q i q

ii q i qn

ii q dx x x m c x x q

n

m n mn

ge

a gp

ap


= - P

æ öP = - + Pç ÷-è ø

é ùP = - - + - -ë û

ò

ò

g(8.93)

である。

ここで、複雑な積分(8.89)が

( ) ( ) ( )2q q q q qmn m n mnP = - Pg (8.94)



で表わされるのは理由がある。この関数は

( ) 0q qmnmP = (8.95)

を満たす。逆に、(8.95)の解が(8.94)になる。そこで(8.89)の積分が、(8.95)を満たすことを示す。

調べる式は

( )( )

4

40

12d k iq i q Tr

c kmn

m e pP = -

q+ie q

mc ie- +( ) i

k ( )

( )

2 4

40

1 2

iemc i

e d k Trc k

nge

e p

ì üï ïí ý- +ï ïî þ

= -

ò

1

mc i ke-

- + q+ mc ing

eæ öç ÷ç ÷- +è ø

ò(8.96)

である（問題１７－Ａ））。ここで、

積分結果が有限であれば・・・（実際には発散する！！！）

２番目の積分で変数変換

k k p¢ = + (8.97)が行える（問題１７－Ｂ））ので、

( )( )

2 4

40

12

e d kq i q Trc k

mnm e pP = -

( )

4

41

2d k Tr

mc i ke p¢æ ö -ç ÷ ¢- +è øò 0

mc ing

e

ì üæ öï ï =í ýç ÷- +è øï ïî þò

が証明できる。そのままでは、発散するが、

繰り込みを実行し、積分関数を正則化すれば、積分は有限になる

ので、 ( )qmnP は、一般的に

( ) ( ) ( )2q q q q qmn m n mnP = - Pg (8.98)

と表わされる。

d.光子と電子の結合を含む量子効果

【７項目】 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 3 3 2 2 1 2F F FN x K x x K x x x x xa bt wr s mny y- - -D

2x´

3 x´

Ä

1x´

対応ルール

1

eic

mg´

　

( ) ( )42 1

2 exta p plp

Äß

-

( ) ( )( )

11

2 3 12

sucpp

Ü

p ( ) ( )( )

22

2 32 2

sucp pÞ

p

1

eic

lg´

30

2

i ck i

k

mnme

-+

Ý

g

21i c p k-( )

( )1

2 2 21

mc p k

p k m c ie

+ -Ü

- - +

1

eic

ng´

222 i c pp k-

Þ k-( )( )2 2 2

2

mc

p k m c ie

+

- - +

に従って評価する積分は・・・グラフの左から順にルールに従って、式として右から記述すると



( ) ( )( )

( )

22

2 3

242

4

2

12

suc

i c pd k eic

n

p

gp

æ ö× ç ÷è øò

p

k-( )( )

21

2 2 22

1 1mc i c pe ei ic cp k m c i

ml gge

+ æ öæ öç ÷ç ÷è øè ø- - +

k-( )( )

30

2 22 21

mc ik ip k m c i

mnmee

+ -+- - +

c g

( ) ( )( ) ( )( )

41

2 32 112

2e

sxta p p

ucl

pp -×

p(8.99)

になる。従って、対応する振幅は

( )( ) ( )( )

( )

23 2

2 3

242

4

2

12

s

ducM

i c pd k eic

n

p

gp

¢ =

æ ö× ç ÷è øò

p

k-( )( )

21

2 2 22

1 1mc i c pe ei ic cp k m c i

ml gge

+ æ öæ öç ÷ ç ÷è ø è ø- - +

k-( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

30

2 22 21

14 1

2 3

3 2 44 2 22

430

2 122

222

es

s

xt

mc ik ip k m c i

uc

pie u d ki ic

a p p

mn

nm

l

n

mee

pp

p ge pp

+ -+- - +

×

-

-

= ò

p

p

c g

gk-

( )1

2 2 22

mc p

p k m c ilg

e

+

- - +

k-

( )2 2 21

mc

p k m c img

e

ì ü+ï ïí ý

- - +ï ïî þ

( ) ( )( )

( )1

12 12 3

1 2

sextua p p

k i le p× -

+p

(8.100)

なので、(8.15)と比較のため

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )2 1

43 2 12 13 3

243

22 2

4

s sext

d

em

u uM ie a p p

pi d k

ll

l m

pp p

a gp

¢ = G -

G = - ò

p p

k-

( )1

2 2 22

mc p

p k m c ilg

e

+

- - +

k-

( )2 22 21

1mck ip k m c i mg ee

ì ü+ï ïí ý +- - +ï ïî þ

(8.101)

と書き換えることができる。

==光子と電子の結合への補正==


2x´

3 x´

Ä

1x´

には、光子と電子の結合（バーテックス）

+ + =

といわれる部分が含まれている。通常、量子効果の部分を、



( )2 1,p pmL = 1p 2p

mg´

で表す。この光子と電子の結合への補正 ( )2 1,p pmL は、対応ルールに従って評価すると

( )( )

( )4

22 1 4

0

1,2

i pd kp p iec

l nge p

L =

k-( )( )

12 2 2

2

mc i p

p k m c ilg

e

+

- - +

k-( )( )

( )2 22 21

mc iie

k ip k m c imnmgee

+ -+- - +òg

(8.102)になる（問題１８）。この表式を用いると(8.101)は

( )2 1, 4 4p pl lG = L Ü ´ 行列 (8.103)

と書き換えられる。従って、

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )2 1

43 2 12 1 2 13 3

2 ,2 2

s sext

du u

M ie p p a p pllp

p p¢ = L -

p p(8.104)

になる（問題１９）。(8.102)の積分を実行し、

( ) ( ) ( )

( )

22 21 2 2 1 2

1 1

2 1 00

2, , 4 4

1, lim4

emR

emR

ip p p p A qy p yn

pip p dxA

m m m

m

l

a g g lp

ap ®

æ öL = - + L = + -ç ÷-è ø ß

L = òq+ 2x p-( )( ) 2y pmg q+ 2x p-( )( )

( )( ) ( )2 21 2 22 2 ln

y

mc p p qx p y m c A Am mg

é ùê úê ú- + + - + -ë û

(8.105)

を得る（問題２０）。以上をまとめると・・

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

2 143 2 1

2 1 2 13 3

42

2 1 4 20

2 ,2 2

1,2

s sext

du u

M ie p p a p p

i pid kp p iec k i

ll

mnl n

pp p

ge ep

¢ = L -

-L =

+g

p p

k-( )( )

12 2 2

2

mc i p

p k m c ilg

e

+

- - +

k-( )( )

( )

( ) ( )

( )

2 2 21

2 22 1 2

1

2 1 0

1

0

22 , 4 4 4 4

1, 24

lim

emR

emR

mcie

p k m c i

p p A qx p yn

pp p dx ydy

A

n

l l

l

l

l

ge

a g gp

ap ®

+

- - +

æ ö= - + L Ü ´ = + -ç ÷-è ø ß

L =

ò

ò

行列

q+ 2x p-( )( ) 2y plg q+ 2x p-( )( )( )( ) ( )2 2

1 2 22 2 ln

y

mc p p qx p y m c A Al lg

é ùê úê ú- + + - + -ë û

(8.106)である。

On-shellの取り扱い

さて、 ( )3, , ,a b c dM ¢ の振幅の中で、 ( )3

,a bM ¢ は注意を要する。つまり、



( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )2 1

43 2 1, , 2 13 3

22 2

s sext

a b a bu u

M ie a p pllp

p p¢ = G -

p p(8.107)

とすると、

22

4 4em

a pn

l apæ öG = ç ÷-è ø

( ) 24p

mc-( )

2 2 22

124 4em

b

mcp m c i

pn

l

ll

g

e

gap

+

- +

æ öG = ç ÷-è ø

( )12 2 2

1

mcp

p m c ie+

- +( )4mc-

(8.108)

である。ところで、on-shell 条件

1p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2

1 1 2 2, s s su u u pmc=p p p ( ) ( )22

smcu= p (8.109)

を用いると、 alG は

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 22 1 2 2

2 44 4

s s semau u u mc p

nl a

pæ öG = -ç ÷-è ø

p p p ( ) 2p( ) ( ) ( )

( ) ( )

112 2 2

2

222

2 34 4

s

sem

mcu

p m c i

pu mc

n

lg

e

ap

+

- +

æ ö= ç ÷-è ø

p

p( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

112 2 2

2

2 12 1

2 2 3 at 04 4 0

s

s sem

mcu

p m c imcu mc u

n i

l

l

g

e

a g ep e

+

- +

æ ö= ® ¥ =ç ÷- +è ø

p

p p

(8.110)

の如く、発散してしまう。 blG も同様である。これを制御するためには、たびたび行ったように

t = ±¥では相互作用はない

という仮定を定式化する必要がある。そのため、

時間間隔 ( )T ®¥ の間で値を持つような関数 ( )g t

を用いて、相互作用項

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )2

extIin in in in in in

in in

e ex g x N x A x x N x A x x

m cg x N x x

y y y y

d y y

é ù= - +ê úë û×

+ é ùë û

H(8.111)

とする。ここで、

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

00 0 0 0 0

0 0

,0,0,0

with 0 1

i tixg x G e d G e d

g G d

m¥ ¥

- G- G

-¥ -¥

¥

-¥

= G G = G G ÜG = G

= G G =

ò ò

ò(8.112)

となる ( )g x を用いる。つまり



( )0G G はd 関数（ ( )0 0 1dd¥

-¥

G G =ò ）に近い

ことがわかる。

( )3aM ¢ は、

1x´

2x´

3x´Ä

+ 3x´Ä

i md´

-であるが、(8.111)を用いると、

´ ´´Ä

1p 2p ¢-G-G

2p k-G+

k2p

2 1q p p ¢= - -G-G¢G G

+ i md´ -

´Ä

1p 2p ¢-G-G2p

2 1q p p ¢= - -G-G¢G G

と表すことができる。そこで

´ ´´Ä

1p 2p ¢-G-G

2p k-G+

k2p

2 1q p p ¢= - -G-G¢G G

に対して

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

430 0 0 0

2 12 1

2 13 3

2

2 2

a

s sext

M ie G d G d

u ua p pll

p

p p

-¢ ¢ ¢= G G G G

¢× G - - G - G

ò量子効果

p p (8.113)

( )22i p

i pl - S - GG =

- G ¢- G( )( )2 2 2

mc

p m c i

lg

e

+

¢- G - G - +(8.114)

を得る。これを

0 0, 0T ¢® ¥Þ G G ® (8.115)で評価することになる。ところで、Gと ¢G を入れ替えても同じなので・・・

´ ´´Ä

1p 2p ¢-G-G

2p k-G+

k2p

2 1q p p ¢= - -G-G¢G G

= ´ ´´Ä

1p 2p ¢-G-G

2p k¢-G +

k2p

2 1q p p ¢= - -G-GG ¢G

である。そこで、(8.114)は

( ) ( )2 2 2

2p

iip pl ¢S - G + S - G

G -=- G ¢- G( )

( )2 2 2

mc

p m c i

lg

e

+

¢- G - G - +(8.116)

と評価できる。

さて、



( )( )

2 4

2 40 2

ke d ki pc

mg

e p- S - G = -

2p+ - G( )

( )( ) ( )2 2 2 22

mc

k p m c i k img

e e

+

+ - G - + +ò 列 (8.117)

は、(8.153)を用いて

k 2p+ - G

( )

2 2 2

2 2 22

a m c amc

k p m c ie

- =+=

+ - G - +

( )mc a+ ( ) 1mc

k

-

2p+ - G 2

1

mc i

k

e- +

=2p+

1mc i ke

-- + 2p+ mc ie

- G- +

( ) 1k 2p+

0 at

mc ie

= G

+- +

0

k

=

= 2p+

( )2 2 22

mc k

k p m c ie

++

+ - +2p+

( )2 2 22

mc k

k p m c ilg

e

+

+ - +2p+

( )2 2 22

mc

k p m c i le

+G

+ - +

(8.118)

なので

( )( )

2 4

2 40 2

ke d ki pc

mg

e p- S - G = -

2p+ - G( )

( )( ) ( )

( )

2 2 2 22

2 4

40 2

mc

k p m c i k i

k

e d kc

m

m

g

e e

g

e p

+

+ - G - + +

= -

ò

2p+( )( )( ) ( )2 2 2 2

2

mc

k p m c i k i

k

m

m

g

e e

g

+

+ - + +

+ 2p+( )mc klg+ 2p+( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 22 2 2 2 22 2

2 4

2 40 2

mc

k p m c i k p m c i k i

ke d ki pc

m l

m

g

e e e

g

e p

é ùê úê úê úê ú+ê úGê ú+ - + + - + +ë û

= - S -

ò

2p+( )mc klg+ 2p+( )

( )( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 2 22 2

mc

k p m c i k p m c i k im l

g

e e e

+G

+ - + + - + +ò

(8.119)

ここで

( )( )

2 42

2 1 40

,2

pe d kp p ic

ml

g

e pL = -

k-( ) 1mc plg+ k-( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )

2 22 2 2 2 22 1

2 42

40

2

mc

p k m c i p k m c i k i

pe d kic

m

m

g

e e e

g

e p

+

- - + - - + +

= -

ò

k+( ) 1mc plg+ k+( )

( )( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 2 22 1

mc

p k m c i p k m c i k img

e e e

+

+ - + + - + +ò(8.120)

なので、

( ) ( ) ( )2 2 2 2, as 0p p i p pll lS -G = S - L G G ® (8.121)

を得る。従って、

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2, as & 0

2 2p p

i i p i p pl l ll l

¢S -G + S -G ¢G + G ¢- = - S - L G G ® (8.122)

である。同様に

i m cd´ - ×

´Ä

1p 2p ¢-G-G2p

2 1q p p ¢= - -G-G¢G G



より

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )2 1

43 2 10 0 0 0 2 13 3

22 2

s sext

a mu u

M ie G d G d a p pld lp

p p-¢ ¢ ¢ ¢= G G G G G - - G - Gò

p p(8.123)

2i pi m cl dG = - ×

- G ¢- G( )( )2 2 2

2

mc

p m c i

lg

e

+

¢- G - G - +(8.124)

を得る。従って、

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

43 30 0 0 0

222 2 2

3

2

22

a ma

s

M M ie G d G d

i pu p pi i m c

d p

dp

--¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G

¢S - G + S - Gæ ö× - - ×ç ÷

è ø

ò量子効果

p - G ¢- G( )( )

( ) ( )( )

( )

2 2 22

11

2 13

2

sext

mc

p m c i

ua p p

l

l

g

e

p

+

¢- G - G - +

¢× - - G - Gp

(8.125)

を得る。(8.122)を用いて

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

43 30

2 2

0 0 0

222

23

2

2

,2

a ma

s

M M ie G d G

i

d

i pui p i cp p mn n

d

n

p

dp

--¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G

æ öç ÷× - S - -

¢G + GL ×ç ÷ç ÷

è ø

ò量子効果

pもともと無い項

- G ¢- G( )( )

( ) ( )( )

( )

2 2 22

11

2 13

2

sext

mc

p m c i

ua p p

l

l

g

e

p

+

¢- G - G - +

¢× - - G - Gp

(8.126)

ここで、

( )2pS は発散する

ので、(8.77)の質量の繰り込みを行うと、今の場合、 ( ) ( )22 2

su pp ( ) 0mc- = なので、 2p mc= より

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

43 30 0 0 0

22

2 23

2

2

a ma

s

M M ie G d G d

ui p i p

d p

p

--¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G

× - S + S

ò量子効果

p ( )2m c p

mc

d × =-S

=

( ) 2,mc p= でこの項は

( )2 2

0

2

,2

mc

i p

i p pn n n

=

¢Gæ öç ÷

-ç ÷ç ÷è ø

+ G

×

Lより

- G ¢- G( )( )

( ) ( )( )

( )1

12 12 2 2 3

2 2

sext

mc ua p p

p m c i

l

l

g

e p

+¢- - G - G

¢- G - G - +

p

(8.127)

を得る。(8.127)は、(8.106)より、まだ ( )2 2,p pnL による発散項を含み、発散項は

( )2 12, finite

4 4emp p

nl ma g g

pæ öL = - +ç ÷-è ø

(8.128)

より



( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

43 30 0 0 0

222

3

2

2 4 4 22

a a m

sem

M M ie G d G d

i pui

n

d

n n n

p

a g gpp

-¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G

¢G + Gæ öæ ö× - -ç ÷ç ÷-è øè ø

ò発散

p - G ¢- G( )( )

( ) ( )( )

( )

2 2 22

11

2 13

2

sext

mc

p m c i

ua p p

l

l

g

e

p

+

¢- G - G - +

¢× - - G - Gp

(8.129)

で表される。ここで、

( ) ( )22 2

su pp ( ) 0mc- = (8.130)

を用いて、 ( ) ( )2 22su pp ( ) 0mc- = を追加して

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

43 30 0 0 0

222

3

2

2 4 42

a a m

sem

M M ie G d G d

ui

n

p

d p

a gpp

-¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G

æ ö× - - -ç ÷-è ø

ò発散

p0

mc=

-- Gを追加

¢- G2

2i p

æ öæ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷

ç ÷ç ÷è øè ø

- G ¢- G( )( )

( ) ( )( )

( )

2 2 22

11

2 13

2

sext

mc

p m c i

ua p p

l

l

g

e

p

+

¢- G - G - +

¢× - - G - Gp

(8.131)

更に

2p mc- - G ¢- G( ) 2p - G ¢- G( ) ( )2 2 22mc p m c¢+ = - G - G - (8.132)

より、分母と相殺して( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )0 0

43 30 0 0 0

2 12 1

2 1 03 3

2

2 1 4 4 22 2

a a m

s sextem

M M ie G d G d

u ui i a p p

n

d

ll

p

a g gpp p

-

¢G =G =

¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G

æ öæ öæ ö ¢× - - - - - G - Gç ÷ç ÷ç ÷-è øè øè ø

ò発散

p p

(8.133)を得る。従って、(8.112)より

( ) ( )0 0 0 0 1G d G d¢ ¢G G G G =ò (8.134)

なので、

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

2 143 3 2 1

2 13 3

2 14 2 1

2 1-3 3

2 124 4 22 2

22 2

s sextem

a a m

s sext

a

u uM M ie i i a p p

n

u uie a p p

ld l

ll

ap g gpp p

pp p

-æ öæ ö¢ ¢+ = - -ç ÷ç ÷-è øè ø

= G -

発散

発散

p p

p p(8.135)

より、



-1 22 4 4

ema nl la g

pG = -

-発散 (8.136)

を得る。

同様にして

+ 3x´Ä

i m cd´

- ×1x´

2x´

3x´Ä

に対して、

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

43 30 0 0 0

212

3

2

2

b mb

s

M M ie G d G d

i pu

d

l

p

g

p

--¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G

×

ò量子効果

p + G ¢+ G( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

1 1 12 2 21

11

2 13

,2

2

sext

mci p i p p i m c

p m c i

ua p p

n n n

l

de

p

+ ¢G + Gæ ö- S - L - ×ç ÷¢ è ø+ G + G - +

¢× - - G - Gp

(8.137)

従って、発散項は

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )2 1

43 3 2 12 1-3 3

22 2

s sext

b b m b

u uM M ie a p pl

d lpp p

-¢ ¢+ = G -発散発散

p p(8.138)

において

-1 22 4 4

emb nl la g

pG = -

-発散 (8.139)

である（問題２１）。

発散する量子効果

これらの評価から、発散部分：42

4

n

n

=

®¥-

を取り出してみる。振幅は

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )2 1

43 2 12 13 3

22 2

s sextu u

M ie a p pllp

p p¢ = G -

p p(8.140)

であり、(8.136)、(8.139)、(8.93)、及び(8.106)より

1 22 4 41 22 4 4

23 4

24 4

ema

emb

emc

emd

n

n

n

n

l l

l l

l l

l m

a gp

a gp

a gp

a gp

G = --

G = --

G = --

G =-

(8.141)



と評価できる。ここで、

0a b dl l lG +G +G = (8.142)

が導かれることに注意しよう。このように、ひとつひとつの項は発散するが、いくつか集める

とその発散項が偶然消えることが起こる。これは、

ゲージ不変性

の結果であることが知られている。これは、元を辿れば、(8.122)のような

「電子の自己エネルギーを含む量子効果」と「光子と電子の結合を含む量子効果」の

特殊な関係

に起因している。これを一般化したものを

ワード・高橋の恒等式

という。

==ワード・高橋の恒等式==

ワード・高橋の恒等式は量子電磁気学のゲージ不変性を端的に表わした公式になっている。一

般的に

=( )2

pi

cS

-

p p =( ),p pmL mg

0q =

p p

を用いて

( ) ( ),p

p pp mm

¶S- = L

¶(8.143)

と与えられる。

2 次の量子効果までに限れば「ワード・高橋の恒等式」は次のように求められる。まず、(8.46)は、(8.29)を用いて書き換えると

( )( )

( ) ( )2

03

2 4

40 2

FF D kS k pe d kp icc c

mnn mg ge mp

+S = - ò

(8.144)

なので、(8.144)を pm で微分して

( )( )

( ) ( ) ( )2

0 03

2 4

42FF

F

D kp S k pe d ki D kp c pc c

mnn mmnm mg g

e mp¶S ¶ +

= -¶ ¶ò

(8.145)

を得る（問題２２）。( )FS k ppm

¶ +¶

は ( ) ( )1F FS p S p I- = 及び ( ) ( )1

21

FS p p mi c

mmg

- = -

より得られる

( ) ( ) ( )2 2 2F F FS p S pc c

Scp

ip mm g

¶=

¶ (8.146)

を用いる。(8.146)を(8.145)に代入して

( )( )

( ) ( ) ( )2

2 4

40

20

32FF F D kp S k p S k p

c ce

cd k

p cmnn n

mm g g ge mp

¢¶S + +=

¶ ò (8.147)



これに対応するファイマン図（問題２３）より、(8.102)の

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3

42 1

2 1 40 0

1,2

FF F D kS p k S p kd kp p ie iec c c c

mnl n l mg g ge mp

- -L = ò

(8.148)

に関連付くことがわかる。(8.148)より、

( )( )

( ) ( ) ( )2 2

2 4

340 0

,2

FF F

cD kS p k S p ke d kp

cp

c cmnn n m

m mg g g ge mp

¢- -L = - ò

(8.149)

なので、 ( ) ( )F FD k D kmn mn- = を考慮して

( ) ( ),p

p pp mm

¶S- = L

¶(8.150)

がわかる。



Appendix1:γ行列の演算

( )( )( )

( )( )( )( )

4

2 2

4 4 4

2 2 4

n

a a n a

ab ab ab n ab

abc cba cba n abc

mm

mm

mm

mm

g g

g g

g g

g g

= =

= - = -

= = + -

= - = - + -

(8.151)

( )( ) ( )( )

( )

( )

1

0 1 2 3 2 01235 5 0123

5

4

4

0

0 ; 1; 1

0 4!

4

n

Tr

Tr

Tr

I ii II

Tr i

m n mn

m n r s mn rs ms nr mr ns

mm

g

m n r smnrs

m n r s mnrs

g g

g g g g

g g

g g g g g e g g g g g e e

g g g g g e

=

= + -

=

-æ ö= = = - = = = -ç ÷è ø

= -

奇数個の

g

g g g g g g

(8.152)

1 1 1 1 1 1 1B B BA B A A A A A A

= - + ++

(8.153)

Appendix2:パラメータ積分

( )( )( )( ) ( )

( )( )( )

1

20

111

0

1 1

11

dxab b a b x

x xdx

a b b a b x

ba

a ba b

a ba b

--

+

=+ -

G + -=G G + -

ò

ò(8.154)

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1

30

1 11 1 1

0

1 12

1 11

dxydyabc c b c y b a xy

x x y ydxdy

a b c c b c y a b xy

b ga a b

a b ga b g

a b ga b g

- -- + -

+ +

=+ - + -

G + + - -=G G G + - + -

ò

ò(8.155)

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

12

40

1 1 11 1 11

0

1 13!

1 1 11

dxydz dzabcd d c d z b c yz a b xyz

x x y y z zdxdydz

a b c d d c d z b c yz a b xyz

b g da a b a b g

a b g da b g d

a b g da b g d

- - -- + - + + -

+ + +

=+ - + - + -

G + + + - - -=G G G G + - + - + -

ò

ò(8.156)

Appendix3:Euclid化による積分

(8.49)の様に ( )2 2 21 p m c ie- + から

( )02 2 2 2 0p m c e= + ®p の極



がある場合の計算方法として

ユークリッド化

という方法がある。これは、

2 02 2p p= - p の代わりに通常のベクトルの大きさ 02 2p + p にする

という方法である。数学的には

0p を純虚数に見なおすことに対応

する。つまり、

0 0Ep ip= (8.157)

とすれば

( )2 02 2 02 2Ep p p= - = - +p p (8.158)

となり、

02 2Ep + p がベクトルの大きさ

になる。この結果、

( ) ( )

( )

02 2 2 20

2 2 2 02 2 2 2 02 2 2 2

0

2 2 2 02 2 2 202 2 2 2

1 1 1

1 1 1

p m c

E EE

p m c i p m c i p m c

p m c i p m cp m c i

e

e

e e

e e

= +®

®

= = ® ¥- + - + + - +

= = - ¹ ¥- - + +- + +

p

p p

+ p+ p

(8.159)

のように、 02 2 2 2 0 for 0Ep m c m+ ¹ ¹+ p なので

見かけ上極がなくなる

ことになる。従って

( )2 2 2 2 2 21 1

Ep m c i p m ce

eÞ

- + - -が不要になる (8.160)

がわかる。

さて、 ( )2 2 21 p m c ie- + の場合、実軸上の 0p 積分を(6.52)のように

( ) 0iw e e- ® (8.161)

という技巧を用いた。(8.157)の置換は、実軸上積分の虚軸上積分への変更に対応する。つまり、

¥

i¥

-¥

i- ¥

C

1C

2C

0Mp

( )0 0 0 02 for real i

M E E Ep e p ip pp

= =

iw e´ -

iw e´- +

¥

i¥

-¥

i- ¥

0Mpiw e´ -

iw e´- +

極を横切らないので実軸を左回りに回す事が許される0Eip



のように iw e- + と iw e- の極を含まない様にとると、コーシーの定理より、

非積分関数が極を持たないとき・・・

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

0i

C C i Cf z dz f z dz f z dz f z dz f z dz

¥ - ¥

-¥ ¥= + + + =ò ò ò ò ò (8.162)

を得る。もし

無限遠方の C1 と C2 からの寄与がゼロ（ほとんどの場合に正しい）

( ) ( )1 2

0C Cf z dz f z dz= =ò ò (8.163)

であれば、(8.162)より

( ) ( ) ( )i i

i if z dz f z dz f z dz

¥ - ¥ ¥

-¥ ¥ - ¥= - =ò ò ò (8.164)

という関係があることが分かる。そこで、変数変換で

( ) ( ) ( )0 0

0 0 0 0 0 0Ep ipi

E Eif p dp f p dp i f ip dp

=¥ ¥ ¥

-¥ - ¥ -¥= =ò ò ò (8.165)

になる。終的に、

( ) ( )0 0

0 0 0 0Ep ip

E Ef p dp i ip dp=¥ ¥

-¥ -¥=ò ò f (8.166)

を得る。

Appendix4:n次元積分

4 次元積分を実行すると、発散する積分が現れる。そこで n 次元（ユークリッド）積分に拡張

して見かけ上この発散を無くする計算方法を

‘tHooft の n 次元法

という。物理では n=4 にする。この場合の積分公式を導く。そのために、まず、

n 次元法で利用する n=4 での発散項を制御

する必要がある。そこで、次のG関数（Appendix5:G関数の性質参照）を含む関係式

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

0 11lim lim 00t tt t

t f t f tf f t

A t t A® ®

G - G +æ ö¢- = = Ü =ç ÷ -è ø

(8.167)

を利用する（問題２４）。従って、

( ) ( )( )0 ln 1 0.57721 56649f Ag g¢ ¢= - - = -G @ はオイラー数である (8.168)

を得る（問題２５）。n 次元積分で利用する公式

( )0

1lim lntt

tA

A tg

®

G= - - (8.169)

を得る。実際には

4 22

222lim ln

4nn

n

AnA

g® -

æ öG -ç ÷è ø = - -

-(8.170)



として計算に現れる。更に

4 12

12 22lim ln

2 4nn

nA An nA

g® -

æ öG -ç ÷ æ öè ø = - -ç ÷- -è ø(8.171)

である。また、n 次元積分で半径 rの体積素（ dV ）は、関数を用いて

( )2 2

1 1 2 32 2 for 41

2 2

n n

n nndV r dr r dr dV r dr nn n

p p p- -

æ öç ÷ç ÷= = = =

æ ö æ öç ÷G + Gç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

(8.172)

と表せる。良く使用する公式は

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

24

422

2 24 4

42 2 12

2 24

422

1 2lim 1

11 2lim 1

2

2 21 lim

2

n

nn

n

nn

n

nn

nid k

k A i An

k k k id k d knk A i k A A

n nk id k

nk A i A

aa a

am nmn mna a a

b

a ba a b

ap

ae

ap

ae

a b bp

ae

® -

® - -

+

® - -

æ öG -ç ÷è ø= -G- +

æ öG - -æ ö ç ÷è øç ÷= = - -

ç ÷ G- + -è øæ ö æ öG - - G +ç ÷ ç ÷è ø è ø= -G æ ö- + Gç ÷

è ø

ò

ò ò

ò

g g (8.173)

である。また、

( )1

4

20

n

k

k kd kk A i

mm

ae

=- +

ò

奇数個の

(8.174)

である。

Appendix5:G関数の性質

ガンマ関数は

( ) 1

0

x tx t e dt¥

- -G = ò (8.175)

で定義され

( ) ( )1x x xG + = G (8.176)

( ) ( ) ( ) 11 ! 1, 2, , 1 1, 2

n n n pæ öG + = = G = G =ç ÷è ø

(8.177)

の性質を持つ。

Appendix6:Beta関数の性質

G



ベータ関数 ( ),B x y は

( ) ( )( )

1 2 111

20 0

, 1 21

xyx

x ytB x y t t dt dtt

¥ ---

+= - =+

ò ò (8.178)

で定義される。また、ガンマ関数と

( ) ( ) ( )( )

,x y

B x yx y

G G=

G +(8.179)

の関係がある。この応用として、(8.154)式を得るのであるが、

( ) ( )( ) ( )

111 2 1

20 0

, 12

yx x

x y x yx y

B x y t t tdt dta b b a b t b at

-- ¥ -

+ +

-= =

+ -é ù +ë ûò ò (8.180)

がわかる（問題２６）。

Appendix7:光子の自己エネルギーのテンソル構造

光子の自己エネルギーは、(8.93)より

( ) ( ) ( )2q q q q qmn m n mnP = - Pg (8.181)

で表わされる。ここで、qは光子の運動量である。従って、 x表示に移すと・・・

( ) ( ) ( )22 2q q q i i im nm n mn mn m n mn- Þ ¶ ¶ - ¶ = -¶ ¶ + ¶g g g (8.182)

と期待される。これが、

( ) ( )F x F xmnmn (8.183)

に対応する表示になることを見てみる。つまり、

( )qmnP は ( ) ( )F x F xmnmn への補正 (8.184)

である。

まず、対応する振幅として

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 142 1

1: : 1, 24

s sI p d x F x F x p s smnmn= - =ò光子光子横波成分 (8.185)

を考える。2 ここに

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

1 † 21 21 2

1 21 2

0 , 02 2

s ss sa a

p pK Kw w

= =光子光子p pp p

(8.186)

ここで

2 ここは対応を調べるために便宜的に考えるだけで、 ( ) ( )F x F xmn

mn は 0inH に含まれ、 IinH には含まれていないの

でＳ行列(8.1)には含まれていないことに注意する。



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4††

1 1

2 1 †

2

1 2

30†

,

, 2

exp exp2 2

2

s s s s

a e a a e a

a a K

d ipx ipxA x A a a A

F x F x A A A

cK

A A A A A

l l l lm m a m

l l

m m m

mn m n n m m n n mmn m n n m m n m n

d

m

w d

w p

*

= =

= =

é ù¢ ¢= -ë û

æ öæ ö æ ö= - + Ü =ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

= ¶ - ¶ ¶ - ¶ = ¶ ×¶ - ¶ × ¶

å å

ò

p p p p p p

p p p p p

p p pp

(8.187)

より

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 142 1

2 142 1

242

2

†

†

1: :4

1 : :21 02 2

exp exp2

exp exp2

:

s s

s s

s

I p d x F x F x p

p d xG x A A A A p

a pd x

K

Ad ipx ipxa a

Ad ipx ipxa a

mnmn

m n n mm n m n

m n n

m n n

w

w

w

= -

= - ¶ ¶ - ¶ ×¶

= -

æ öæ ö æ ö¶ - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

æ öæ ö æ ö×¶ - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

ò

ò

ò

ò

ò

光子光子

光子光子

p

p p pp

p p pp

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1 †1

† 1

†

: 02exp exp

2

exp exp2

sa pKAd ipx ipxa a

Ad ipx ipxa a

n m m

m n n

ww

w

æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷æ öæ ö æ öç ÷-¶ - +ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷è ø è øè øç ÷

æ öæ ö æ öç ÷×¶ - +ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷è ø è øè øè ø

ò

ò

pp p pp

p p pp

(8.188)

この計算を更に続けて

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 142 2 1

1 1 1 2 12 3 30 2 1

1 22 2 2 2 2

1 s se eI p p p p p

cm mn m n np d

e p w p w

*

= - - -

p p

p pg (8.189)

を得る（問題２７）。従って

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 142 1

1 141 2 1

1 1 1 2 12 3 30 1 1

1: :4

1 22 2 2 2 2

1

s s

s s

p d x F x F x p

e ep p p p p

c

mnmn

m mn m n np de p w p w

*

-

= - - -

ò

光子光子

p p

p pg

(8.190)

を得る。つまり、 ( ) ( )F x F xmnmn は 2

1 1 1p p pmn m n-g に比例する項になっていることがわかる。従っ

て、(8.181)より(8.184)が確認できた。



第８章問題

０）(8.3)の理由を示せ。

１）(8.8)を示せ。

２）(8.13)より(8.14)を導け。

３）(8.15)を導け。

４） ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2,x x N A x A xm n=A のときに、どのような始状態と終状態が、寄与するかを示せ。

５）(8.29)において ( )2

Fi cS p

p=

mc ie- +

を導け。

６）Ａ）(8.30)の４・５・８項目）のファイマン図を示せ。

Ｂ）(8.24)の ( )3縮約に対応するファイマン図を示せ。

７） ( ) ( ) ( ) ( )†,i ib b ¢ ¢p p の項が効かないことを証明せよ。

８）(8.44)が(8.41)に等しいことを示せ。

９）Ａ）(8.46)の ( )pS の次元を次元解析により求めよ。

Ｂ）参考グラフの 2 カ所の´点で運動量保存則を加味したグラフから(8.46)を導け。

１０）(8.57)を示せ。

１１）(8.66)に習って4 1

2

12lim nn

n

A® -

æ öG -ç ÷è øを計算せよ。(8.176)を用いる。

１２）Ａ）(8.78)を導け。

Ｂ）(8.80)を導け。

１３）(8.88)を示せ。

１４）(8.89)を示せ。

１５）(8.91)を(8.34)～(8.42)に習って ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 1 1 2 2 2 1 2F F FN K x x K x x x x x xwa br r s mny y- - -D を

実際に計算して導き出せ示せ。

１６）(8.92)を導け。

【使う公式】

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

1

1

20

4

2

24 4

2 2

1 1

2 1 12 2 2

4 , 4

0, 0

1

n

dxab b a b x

n n n

Tr Tr

kTr d k

k A

k k kd k d knk A k A

m n r s mn rs ms nr mr ns m n mn

mmma

g

m nmna a

g g g g g g

g g

=+ -

æ ö æ ö æ öG - = - G -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

= + - =

= =-

=- -

ò

ò

ò ò

奇数個の

g g g g g g g

g

p p

1 eic

mg´

1

ei

cng

´

i mn- g

kk p+



【途中経過】

( )

4

42

Tr kd kp

kmg{ }( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

22 2 2

2 42 22

4

4

28 2 12 2

1

2

n

n

ni A A m c x x qnk A i A

Tr x qd k

n mng ppe

p

-

æ öG -ç ÷è ø= = + - -

-- +

-

òg

( )mc x qmg+ -( ){ }( )

( )( ) ( ) ( )

22

22 2 2

4 22

24 2 1 22

n

n

mc

k A i

ni x x q q q m

A

n

m n mn mn

g

e

pp -

+

- +

æ öG -ç ÷è øé ù= - - - +ë û

ò

g c g

１７）Ａ）(8.96)を導け。【ヒント】 q k= q+ mc i ke- + - ( )mc ie- + を使うと良い。

B）i）次の積分： ( ) ( ) ( ))a dx f x a f x¥

-¥

D = + -é ùë ûò を ( )f x a+ のテーラー展開を用いて、

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2aa a f f f f¢ ¢D = ¥ - -¥ + ¥ - -¥ +é ù é ùë û ë û

を示せ。

ii）通常は変数の置き換えにより ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 0a dx f x a f x dyf y dxf x¥ ¥ ¥

-¥ -¥ -¥

D = + - = - =é ùë ûò ò ò で

あるが、この結果と比較して変数変換が許される場合を説明せよ。

iii）ii）の結果と異なる積分の例として i）を用いて

( )( ) ( )( ) ( )

4

4 2 2 22 2 2 22 2 322d k k a k aa i

k m ck a m c

m m m mm

pp

é ù+ê úD = - = -ê ú-+ -ê úë û

ò

を導け。変数変換が許される場合があるので注意をする。

【ヒント】xx

nmn

m

¶=

¶g 及び(8.173)

１８）(8.102)を導け。

１９）(8.104)を導け。

２０）(8.105)を導け。

【使う公式】１６）参照

( ) ( )( )1

30

1 12

2 , 4

dxydyabc c b c y a b xy

abc cba ab abm mm mg g g g

=+ - + -

= - =

ò

【途中経過】

( )

4

42d k kngp

kmg

( ) ( )( )( )

( )

2 223 22 2

2

42

4

22

4

2

n

ni A qx p y

k A i Apd k

mn

n

g gpe

g

p

-

æ öG -ç ÷è ø= = -

- +ò

q+ 2x p-( )( ) 1y mc pmg+ q+ 2x p-( )( )( )

( )

32

1

2 4

y mc

k A i

piA

ng

e

p

+

- +

=

ò

q+ 2x p-( )( ) 2y pmg q+ 2x p-( )( )( )( ) 2 2

1 2 22 2

y

mc p p qx p y m cm mg

é ùê úê ú- + + - +ë û



２１）(8.136)の導出の仕方にならって、(8.139)を導け。

２２）(8.145)を導け

２３）(8.147)に対応するをファイマン図描け

２４）(8.167)において、 ( ) ( )1t

tf t

AG +

= を導け

２５）(8.168)を導け

２６）(8.180)について

Ａ）1tst

=-

の変数変換を用いて、(8.180)の tを sで置き換えた積分を導け。

Ｂ） 2 2at bT= の変数変換を用いて、(8.180)の積分をT積分で表し(8.178)と比較して(8.180)の左辺のベータ関数の表式を導け。

２７）(8.189)を導け。

t

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第八章 ファイマン図：量子クーロン散乱（次元あ …yasue/ffn/field-sec8.pdfN x x x x x xx b r w mn b r t w mn b r s t m s t y y s a w a b r n a s t w mn y y y y

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