38
1 1, 2, 3,... 17 . ( ) 0 . 0 6 0 1, 2,..., 9, 10, 11,..., 99, 100, 101,... 0 9 . ( ) . .( ( ) ) 14 .( (-3) × (-2) .) 17 , , , , .( 0 {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } .) 6 (Pythagoras, B.C. 560 480 ) ( ) . ( ) ’( ) . 17 ( 19 (1823 1891) ( ) .) 17 (Descartes, 1596 1650) . . . 1

0/ 132 4 5 6 7 819$ :

Embed Size (px)

Citation preview

� � � � � �

1 ���� ����� ������������������������ "!�#�$&%('�) *,+�)�-.-.-0/�132�4�5�6���� 7�8"19$�:<;��=��� �>=?,�9-<8�@ ���A�

1, 2, 3, . . .1B! @�4<5�6�C�1�D���E���C�5=4,FBG HI1J� �"K�L�-BM N O

17 PM=@BQ=R,SUTV =$�W9X,5=�=YAZ���[�\� ,],5=4�^=�B7,_,`���a=b�c,���"K,>�7. d >�e f=@BQ�R STg#ih

(j �k�l�C ) mInAo p #=� $�*"KAq 019rs�gt�6�$,u�Y�KBv�\< ">�7

.

04<E�� 7 5,w=@��,x�$

6 P M O y=@<z={=|���}�K�C=13r�bAc����"K<L,��* 0$~%��=!<���=! @ 4u�C=19���BL�/�1V���3�����=YA$�*���>��

1, 2, . . . , 9, 10, 11, . . . , 99, 100, 101, . . .13r��A7��,�,��*

0���9KA �@<5,w<q��,4<E�� � � ��@=W9X 5=4B�,L�*�%(� �IY3� 5 x�/�����EI�Jc�7=8=1B���=@��,E���"1B�<��$��"D��<�s�B4���> K >B7

.)�K�YB8 @,�����B�,x��������,�U� � "!���D��<5� �!��� ��� k L=C 8�1B�� =D�* _ `=!

(� `=���,4�E ��� )� � �� "D C �"�A��� �<7=@B �L

. �¡ H�@�¢,£I1g��@<¤,xih�¥ x=@�x,¦=@�§,��$�e f�¨ ©A "�=�gcIK >B7�-,¨ ©�ª e=@�5,« ¬I13­�®c,���"Ci%(¯ °�` ±�/B =$�*�%(² 5�/�$�³ ´=@Bµ,¶=4<� L�5=4�u � b�>����"K >B7. (%(²,/"1J�·�3¸w�$,!�1<!=1·%(¹IYA/

(² º

)4�»,¼�L�CA�s�g �L�-

)8�@<² 5=@�½ ¾���z�{�|���¿�YJ*�Z��=À9Á=Â�Ã

Ä KA ,Å�6 � c"K >B7,��*"À9Á�Â=Ã Ä "$14 P M��,���������gÆI�9'�Ç=@�« È��<²=@�5=4<É�Ê C���A� �=Y<K >B7

. (Ë �B@�«,È�$�²=@�5=4�%V�J�=@<5�/"19­�\� ���K >B7�-�Ì Í=@=1�8,��* ²=@�5����>�@�Î,* Ï=6�®(−3)× (−2)

*=@�»,¼ Ð�� � $�Ñ�ÒI1gÓ ��4 Ô�� � c����"K,>B7.)> � >���� �

17 P M Õ Ö * 5 « , × « , Ø Ù «����=D��9§ Ú�> ,��@<Û Ü� �²=@�5�4�É�Ê C�13_,`���Ý">��3Þ ¥I�c�C�@A =����ß�)=! @B �u C�13r��3É�àI1�á<â���KB7 ã�ä<�<_,`I13å,æ L�C�8=1�!<� �=8�1B�=ç �� �,�����

, è é �<5,«��<ê,Ð�� �=D,K,>B7 . (W3X 5��

04�Ð=�<¤�6B�,*U� � ��²=@�5=��KA �ë �>B7=! @ @<�,ì

{. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}4<í HI1gr �"K�L

.)M N O6 P M î *,ï=ðBñ�ò,ó (Pythagoras, B.C. 560

îõô480î

)��f �I�JcIC�e f mInAo p "$ö � «���÷�\� �>B7�- Ñ�â�$"W9X 5�ÆUW9X 5=@�ø

(] 5

)@Bù�4�5 «=@�ú,û�1�>�����K >B7

.1B8,���ï=ðAñ�ò ó

(« ü=@�#�ä

)$�ý,þ ÿ=@�ú����I1g'��=@�ø��

‘]�5� �� L�8=1<@A �D ���,5

’( ��� H )�,� C 8=1�4<§,��>B��� 7�@B =L��,8�@ 8�1�4�=��É=Ê C�1 W9]�=@�5,«����� I�JcIC=1���c�*��@�����4���7���>���>B��� 7 ���J L.8 @����B��WgX 5���ú�L�C����,$

17 P M,�,�����=!,KAq����� � 7����g ,L,-(Ï=6�®

19 P M=@�|�z���@<5,« È���Â��UÃ! Á (1823ô

1891)$&% W3X 5�$�"��#IYg7�!��g7=-��=@$�@�5=$�#�@�% v�C&

(b�'

) "u C -0/"19r=�B����K�L

.) 17 P M�@�( ò�{=ó@�),«�È*� �+sT(Descartes, 1596

ô1650)

$‘5I1-,=$�'�ì=@�! @

’1g���9É�à=4 ><]�5�Æ ��. 5!�],5�Æ ��. 5=!�W9X�5I1�á�/����A�<_ `��� "D C 8�1<ç ��� ��>,K >B7

.8�@ �I�A��5 «=@�§,Ú=� $�* Ë �B@<# 7�0 @�1 × 1�2 a�3�4I1�5�� â":��<��@6�7�� u"Y<K<L .8@�8�9� �$,8�@ �����B5,«���§ Ú�>B��:"�!;=4�¾�<���=����,5�@�½,¾ ��� }�K��B��>�?�.�@��<)����KB �A�B=4,>B7��U1�C �"K�L

.

1

2���������

2.1 ���� ��������%���ç�/��� �E�� � c�C�5 «���=���C���@��=@ ! @���) ����@<ì����=���� �$�e f mInAo p # *�!��" n ó"T$#�% ó��,����� a�bAcIK >B7 .

" n ó"T$#�% ó�$�K'&% @�.��=��/�(�@I19rs�A@<$ %�)+*�/,@�, ���.-�/ �Jc����,� *�8 @0,=��1�KAc�CA��c2 c"@�)�*�$�*��=@43,O=@B�s�g) � @�)�* �=� u Ci% @�.�5 ¦�/��,������6 ù87��Jc,���C

13t�6 K,>B7.(8�@<t�6�$�9 f��=��5,«=@��,� ��� L=C�13�s�3µ�: ]���! @B �L

.)��>���;�$,8�@8�@<ý">���<�@��4=�U�JcIC�%��<^"bBc�C�@�.�5,¦=4�,�> L�C 8=1�4<t�6�K >B7

.�=@�7����$�;$�*�?�&A@ �=@�%�)�*,/"1A$

)�B�1B8�@4)�B,��C+<I�Jc�CB��D(k�B

)13�U�

2)=@�E�F ��� �,C�G�H

(:ý=>B� � �s� "�A� � �4I� �L�C Ù ¬ ) (

h.h h 8 @����B�0G�H�@�8=1�4i%�)�B h k�B�G+H�/=13­�J�K�LAK "u C�1� �Ê K >�7

.

L�M�N�M�O�P�¡�Q" n ó"T$#�% ó�$�#�:9 �u,C,-���=@<#":�$�R L�l�D ! @A "u,C

.

" n ó"T$#�% ó���ý�>B��(�@=4 -�/ L�CB7=Ê��+S=b����<c=®�� � �B� Ä ð�Á={"1�>�� t�6�7�@�.����5,¦�$&%�T�U�@ x�/"1�>���V � c,� ��K<L,- 8Bc�$�+�)=@4)�* ��� ' )�@�)�*=4�¢=D�7<L�%�@�5¦� �Ï=6�®XW���=@<#":�$�R L�l=D ! @B �u CY � ò0#"ó�$�#�:A "u C

Y � ò0#"ó�$�R L�l�D ! @B �u,C,-�<��c"��uB7UY�K�L

.8�@ Y � ò0#"ó,@�Ï=$�K���7U�,W�ç ��! @B �L=�A" n ó�TZ#[% ó�$ 8 @�Ï=�1B��K � &"8Ac=Õ�\=@�T�U�@ x=@ Ä ð<Á�{,4��� �> K >B7�-<Õ j ;=@�]�^��<)�� �,� ��:"��8=1B�> K�L,-

_ »=@�)�B h k�B�G�H�@4)�B=4S,k�B=4

P1Bu � b >,K�L,- 8�@�1<D�*

%S$

P �u,C,-0/

%S$

P ����"- /

2

@����B�<* k�B�$4G�H=@,¨A � ����,!��� ����,!�^��B8�1B�< �D�K�L�-�� � ��)�B�$&%(L�l ��@S/�1 � % u C

S/ @�ÿ� ���L=8�1g % ,=4� �Ê�C�/

(,���L=C

)8=1B�� "D K�L,-.)�B=4�,���L=C�+

���=@�þ,x=4 � ��=��k�BI1��� ��=��k�B=4�� ù ��bBv"C 8=1B��� ��� * è @�����=@�)�Bih�k�BG�H��� � c�KBL�-L�l���@

S$

P "u C

(All S is P )L�l���@S$

P "���

(All S is not P )u CS$

P �u,C

(Some S is P )u CS$

P ����

(Some S is not P )

8�8B �8Ac � @ Ù °=4SaP : All S is P

SeP : All S is not P

SiP : Some S is P

SoP : Some S is not P

@����B��� �>B7 ÿ� �u � b<L�8"1B��> K�L�-�Õ j "8�@<�,k x=4�E � ��T�U�@,x=4<]�� L=C 8=1��> K�L�-�T�U�@ xI1g�·�B@�$ %�O���/"1��<®�c�C�+�)=@����G�HI13*�8Ac � @�+�)�@<O�� ��� 5¦���S=��� ¢ � cIC�<�@ ��� ���<����K�L�-�!,>S1

P4�8 @4<�@=@,¨��,u C4)�BI13k�B�qs19LC=13*�(�@�� / ß L=C�7=Ê�� $�O���@ ¨��

S, P19$��=@ é T=@�,=��1"K9c����"C 8=1B�����I1��Y�K<L,-���K<*=8 @ é T=@,=4 M

1 � �B8�1B��>,K�L�-7I1�6�®

���=@<#":�$�R L�l=D ! @B �u CY � ò0#"ó�$�#�:A "u C

Y � ò0#"ó�$�R L�l�D ! @B �u,C,-�<)�� ����� 13*�% Y � ò.#"ó�/��

S,%�R L�l�D !�@�/ �

P ,��>��%�#�:�/��

M1���Y�K�L,-�@@���?=4�^�6�®�8 @�T�U�@ x�$

MaP

SaM

SaP

1 � �,KBL�-<8�8B ����M1

P��� �,C�O���$ %(� O���/=19­ ®<c,*�ª�����¬ � c"KBL�-

(KB7

S1M��� �,C !"� �U1g)�@<O���$�%�� O���/�13­�®�c�+��U�9��¬ � c"K�L�-

)� O���$

M��? �

P��? � @�+���YB@� ���,u=Y� *=KA7��,O��,� $

S��? �

M��? � @<+��IYB@��,�,�,u=Y��KL ��� *�T�U�@ x�� $ è @�����=@ Ä ð<Á�{ �,u C 8�1B�,��Y�K�L�-

3

I II III IV

MP PM MP PM

SM SM MS MS

SP SP SP SP

8<@A�<c 2 c=@ ��� +)+B"1Jk+B,@�:<��$a, e, i, o

@��A),@ Ù w ��£"Y��AC�@3 ��ì� �$ 4×4×4×4 =

256�IYB@4T�U�@,x��,u C 8=1B��b � Y�K<L�-�!�0,��\,8,@ ¨�� $�ý�>�������T�U�@ x=!41"K9c����K<L���*�" n ó"T$#�%,ó�$,8�@,¨� �ý�Ñ�� Ä ð�Á�{�4�I� "> K >B7�-�" n ó"T$#�% ó�$,8�@ 256� @�T�U�@ x=@ Ä ð�Á�{,@"�09 ,ý"Ñ���! @�$ è @ 19

� �u,C�13k l�K,>B7�-I: aaa eae aii eio

II: eae aee eio aoo

III: aai iai aii eao oao eio

IV: aai aee iai eao eio

(Ì,$,8�@ n ó"T9@�¨�� $<ý�Ñ9 =�<�+(�@��<+ � 1=KAc � �=K�L�-<8�@���ó��<��) � C�KA ��,$ 2000��� � � Y�K,>B7�-

)

���

19 P M=@<z m"n ó�@�5 « È�R��A{ h� �{,$�T�U�@ x=@Bý">=�B4�I � Ê CB7=Ê @ � ÿ+� þ x=4<t���>K >B7�- 8�@ ���B� � $49��� �{ � 13­�®<c,���"K<L,- �{ � @��"ç�4�L"CB7�Ê��=K'&�� �=@��"ç�4 >,K�L�-�� � ��rs��1 % ! @ @��"K�YB/�@�8"1�4����13­��=@A �L���*�5 «� �$�!,����c"����L�C�@ � *��I�B�<�=@ � ç�I���! @Bq"��4��,�I1g­�JIKBL

.KB7�� ����� L=CA��c 2 c"@�! @�4����I1g­�J�K�L.!���5,«< �$��s� ����4� �7=�<�����B�

“�=KY

”!��,�I13ù=� ><*=8�@ �I�B�!�,�=@�8�1<4�"�����13­�J

φ13�s�3��?� ,�"> K�L

.

Q�#Ï=6<®% 6=@�$ � #�@��"K=YA/�13r��B@<$���c"��� L�C�@ � �I�B����@ � $�ç�I� �$,u=Y<K�v�\�@ �� �I1B$�­�l�K�v�\

.��c"��ú=>B� %&%�5

170cmÕ�@�@�#�@��"K=YA/ $��,�I13­��=8"19�< �D,KL

.KB7 %&%�5

100mÕ+@=@�#�@��"K=YB/ $�'�� �I1���Y�K�L�-

�g�,��DS, P

� =K C����=4���c 2 cS, P

13¬s�A8=1�� >,KBL.8�@�1BD %(L�l �=@

S$

P u C�/=1g���'G�H���ý=>B�I19�s�B8=19$ è @����B� � �� L�8=1B�< =D,K�L�- (

8�@ ���B� � @�8=14�����=19­4JIKBL.)

S P

4

KB7 %(L�l���@S$

P �����/

,% u C

S$

P �u,C�/

,% u C

S$

P "�B�=/,$<��c 2 c è@������� ={ � ��I�Jc�K�L

.

S P

S Pφ=

S Pφ=

@=@�ÏMaP

SaM

SaP

1g���'T+U�@ x=4� �{ � ��"ç�L�C=1 è @����B� �=Y<K�L�-

1

234

5

67

S P

M

K.& %(L�l ��@M$

P �u,C�/"1g����@<$

31

5@�������'�� �� "u C 8=1<4<» ¼�>A����K�L�-KB7 %(L�l���@

S$

M �u,C�/"1g����@<$

11

7@�������'�� �� �u,C 8=1�4<»,¼�>B����K�L�-

S=�B�,+ )=@<O�� �=� ���1*

3*

5*

7��'�� �I1J�·�B8�1B��b � Y�K�L�-�S=���=8Bc ���

S@�Ll���@<N=$����

4��1�KAc,���"C 8�1B�,b � Y3*�S=���

S@�L�l �=@�N�$

P�41"KAc,���"C<* r����6,C=1

SaP��ý�>B�=8"19��b � C<*I1g����b<�< �L,-

5

2.2��� � �

e f m�nAo�p ��� =���� 2000�=@ :õ%�(�@,/�@ Ä ð�Á,{ ��ú�L�CB5 «������� �$���1B\ �<[�Ú��<�� c�KBv=\< ">�7=��*

19 P M�@�5,« È���Á�+ (1815ô

1864)$,8�@�þ�F� �@����B4����B8=1B� /

> K�>B7�-(��Á�+"@�]�^I1B>���$�%���Á+,f,5�/��,� C�C t=@���� þ x,�����< ,L��,8�@8�9< $���Á+=f 5��<)�� ��$���c�KBv�\=-

)��Á�+�$�(�@��<)�� ��@ Ä ð<Á�{,4�� )��=CB7=Ê��A" n ó"T$#�% ó����IY����B7�G�H=�=Y � � ��'�=@�G�H=4��UY�� ��K,>B7�-4;�$&%�G�H�/"1g����@<$ %�������I� � "D C�/,!�@B �u C�1� �Ê K,>7�-���>���G�H�$<�U�3) � @������� kI�Jc�7�5,¦��,@��"1B����<,�I�Jc���:"��8=1B���=Y���Y���=��G�H�� -�/ �Jc���:"� 19t�6B7�@B ">�7�-BÕ j "8 @0<,�=@ Ä ð�Á�{,4�� ��:"��8�19�=> KBL�- �!�O�P

.G�H

p, q��ú�>B� %

p� )

q/,4 �!�O�P 13­�JIK�L,-

p1

q@�����,b � c=®�*�" r�G�H%

p�)

q/

(��?�

p ∧ q13�"> K�L

)@����$ è @����B�4I� �> KBL�-L=� b�0

p1

q # þ����< "uAc=® %p� )

q/�$��� =u�Yg*

p�

q (u C���$���@ # þ )

���� "u9c® %p� )

q/ $$�U1B��Y�K�L�-

8�@ 8�1�4 è @����B�B��4�E � � �,L=8=1B�=> K�L,- (8�@ ���B�<��@ 8=1�4$%&�'I13­�JIK�L,-

)

p q p ∧ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

( !�O�P�#G�H

p, q�<ú">�� %

pKB7�$

q/,4 ( !�O�P 13­+JIK�L�-

p1

q@�����,b � c=®�*�) r�G�H%

pKB7�$q/

(��?�

p ∨ q13�"> K�L

)@����$ è @����B�4I� �> KBL�-L=��b�0

p�

q (u C���$��=@ # þ )

���� "uAc=® %pKB7�$

q/ $��I1���YJ*

p1

q # þ,���� �uc=® %pKB7�$

q/ $��I1B��Y<K<L,-

p q p ∨ q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

*�+ O�P�#G�H

p, q�<ú">�� %

p� � ®

q/,4 *�+ O�P 13­+JIK�L�-

p1

q@�����,b � c=®�*�,�-�G�H%

p� � ®q/

(��?�

p → q19��> KBL

)@$����$ è @����B�4I� �> K�L,-

6

L=��b�0p����

q���=@=1�D&%

p� � ®

q/ $$�s1��=Yg* ��c=�\=@=1�D $ %

p� � ®

q/ $��1B��Y<K<L,-

p q p → q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

��� O�P�#G�H

p�<ú">B� %

p "����/,4 ��� O�P 13­�JIKBL�-

p���=@=1�D&%

p ����=/

(��?�

¬p13�">K�L

)$�� *

p���=@=1�D&%

p "�B�=/,$��I1A��Y�K�L�-

p ¬p

1 0

0 1

8�@�.���� �9c=®�?,��k�l�7�T�U�@�x,$ è @��"�A�����< =D,K�L�- @�@�,�-+G+H�@�����4B����Æ"C=1%p� � ®

q/�1

p�"1B!����� "u C�� � ®

q!��� "u C

8=1B��b � Y�K�L�- 8Bc���T�U�@ x=4�1�\� ,��C�1g�·�B8�1�4<� ì��=��Ï� ���ç > K >=?,�B-BÏ=6®p1B>��&% Y � ò.#�ó�$�#� =u,C�/

, q1�>B� % Y � ò.#"ó�$4R�L�l=D !�@B �u,C�/�13L�C=13* % Y

��ò0#"ó�$�#� "u C � � ® Y � ò0#"ó�$�R L�l=D ! @B "u,C�/"1 % Y � ò0#"ó�$�#� "u C�/"1g���ý�>B� + )=@<O�� ��� % Y � ò0#"ó�$�R L�l=D ! @B �u C�/"1g���9ý=>B��<�@���¢ � c�C�8=1B��]� Y�K<L,��8Ac"$�?���k l�7�T�U�@ x(@�',Ï

)��$=�=Y<K�v�\=-

��

,�-�G�H��� >B�=$ è @ ���B�Bx,¦�� / Y3ß 0 K�L,-p → q

���=� � ¬q → ¬p!���- KB7

p → q�$�=� � ¬q → ¬p

!��"-(r����=6 C�1Bu,C$,�-�G�H@����$<�=@<ú��=@����I13'� L�C

)8�@ 8�1�4���ç�L=C���$,�I�3L<c=®��B�� I>=?,� ���� ������%

p → q/"1 %

¬q → ¬p/,@��� �=4<¬�� ��ù,�U�gqs�3��-

������P %p �����c�®

q "u C�/ ��ý�>A�U1BD�* è @���c���ý�>B�I1Ar=6,C9 I>�?�� � -

1. p "uAc=®

q �u,C

2. q "uAc�®

p ����

3. p "���Ac�®

q "�B�

4. q "����c=®

p "u C

5. q "����c=®

p "�B�

7

2.3��� � ���

5�«,��=���C0�=ç�@ Ä ð�Á,{,4��87�L�C�ª�y=@0]�@��,$19 P M=@�=b�YB��A" �

(Giuseppe Peano,

1858ô

1932)1�(�%�Á �

(Gottlob Frege, 1848-1925)�,���B�=���gc�K >B7=-�; � @ � �

(k�B�@

.) =$+G+H=@ -�/ ����1<>A��$4?=��k l�7�G�H=@�����% � )�/ *�%�KA7�$ / * %�ô=� � ® / * %�ô� ����=/��¤�6B� %(L�l���@�/�1·% �U�3) � @�/=1g���35�,��

(,���L=CB7=�@<E�B

)��1=K9c,� �=K�L�-

(88A �$ %(L�l ��@�/I1J�·��@<$ % _ »=@�!,@���ú�>B��ô�� / Y9ß )�/g*�KB7 %��s�3) � @�/I1J�·�@�$�%

(� ��� 1A!��s1g)�@ )�����L�C</�13�=�B7 r ���,>9 ,^ ��K�L,-

)Ï=6<®&%(L�l���@<#�:$�R L�l�D ! @B �u C�/"1g�·� G+H=4�k�B�@�.� �¬U��1

_ »=@x��ú�>B� *

x��#�:A �u,C � � ®�*

x$4R,L�l=D ! @B �u C

1B�,C @A �L=��*�����B� ,¬s� 1!@�. -�� � $ �,D=Y�>��<�=@B =*�@�. «� ,E � � c�C���?=4�^��� ��9�>B��ù"C 8=1B�=> K�L�-�k�B�@�.� =$ %x$�#�:A "u C�/"1g���9k+B=4

Human(x)13¬�D�*%

x$�R L�l�D ! @B �u C�/"1g�·�3k+B�4

Mortal(x)19¬=D K<L�- KB7�,-�G�H%�ô�� � ®,/ $��

�→4�E ���,��> K�L,-

(G�H�@�.=@=1BD�1�áBã *�% � )=/�$ ∧,

%�KA7�$�/ $∨,%�ô� ����=/�$

¬ ���>�K�L�-)� � �&%(L�l���@�/ $

A(ll)4��U��K���>A7 ��?

∀,%��U�3) � @�/ $

E(xists)4����K���>A7 ��?

∃4�E ��� �"> K�L,-=�g��8Bc � @<��?=4<^U��1 %�L�l���@<#":<$4R,L�l�D ! @A u C�/"1g���'G+H�$

∀x : Human(x) → Mortal(x)

1B��Y�K�L�-��=@�ÏU1�>�� % � � ����#":������ L=C�/"1g���'G+H=4�@�. ��?� ,¬���1 è @����B��=Y<K<L,-"!.7�qI>�8�8� �$ %x$���C�/"13�s�3k+B=4�%

Asleep(x)/�13��9 L�C�8=1B�=> K�L,-

)

∃x : Human(x) ∧ ¬Asleep(x)

k�B�@�.�$�' �������s�g ,L���*�@�.=@�� ��$�#�����$�%�����as�B8�1B�< "D C�1g���9�����,u=YK�L�-�� ì����<�s��1gÏ�6<® è @��I�B�05,¦�� / Y3ß )=8"1B�<] � Y�K�L�-

¬[P (x) → Q(x)] = P (x) ∧ ¬Q(x)

¬[∀x : P (x)] = ∃x : ¬P (x)

8Ac � @�5 ¦=4�E ��C=1 %(L�l �=@<#":�$�R�L�l=D ! @B �u,C�/ @��� �$�% u Cx �*

x$<#":A u=Y � )

x$4R,L�l=D ! @B ��B��������!�@������ L�C�/"1B�,C 8=1B��] � Y�K�L�-

9��� �$�5 «=@�G�H�$�*�&������ $�* L�l���8 @ �����i%(k�B�@�.�/,4�E ���,��9I�JcIK�L���* ÌÍ���@ �=@������B��9=4�E ��C @�$�u K�YA��!�'�� "u C @A =Ì E���� $ è @������B� (��=����9��E�� � c�C�8�1B� Ë �� ,L=-

∀x(x ∈#�:

), x$�R L�l�D ! @

8

∃x(x ∈#�:

) s.t. x$�� � ���

��� O�P�¡ �����%∀x ∈ U, p(x)

/�@��� ,$ %p(x)

� / Yg�7��B�=�"�A�U@ ���

x�����L�C</,1A�=Y�K�L,- S,�A�

¬(∀x ∈ U, p(x)) = ∃x ∈ U s.t. ¬p(x)

� / Y3ß 0 K�L,-,KA7%∃x ∈ U s.t. p(x)

/,@��� �$&%U���,L�C _ »=@

x��ú">B�

p(x)� / Y3ß 7=�<��/� ,L �=� *

¬(∃x ∈ U s.t. p(x)) = ∀x ∈ U,¬p(x)

1B��Y<K<L,-��� ���U�3��������r���1g* �� �G�H=@��� =4��"C�� $

∀4∃�<*

∃4∀���=6��,*�,�-

p(x)@�f�b=YB���=@��

¬p(x)4<£�c c=®,���

.

1g����8�1��,��Y�K�L.Ï=6<®�������� � «=@�«�6�$<� ���,�� �L���*=8�@ 8"1�44@=@���?=4�E ���,��9�>B��Æ"C�1

∀x(x ∈������� � «=@�«�6

), x$����

1B��Y�K�L�-�8�@�1�D,8�@�G�H�@��� !�������� � «=@�«�6�$<� ���,� *� =$,����K $ è @����B��=Y<K<L,-∃x(x ∈

������� � «=@�«�6) s.t. x

$��,�� ����

������P�#è @�G�H=4 4��� �G�H�@<��?=4�^���� ��9�v=�,-,KB7���@�� +G�H=4B)��Jc�-

8�@���@A � �TB4 30

] ��A �� l�7,#=$�� O=4��IY�7 >B�=! � 6,C,-

9

3� � �

3.1 �����!�@ @ � 5=4<� L�@��<E � � cIC�5

1, 2, 3, 4, 5, . . .

4�W3X 5�13r���K�L.8�@ ���B�

“5

”��ú�L=C�É à,$

(5=4B�,��L=C�þ x,����) � C��=Y

)&���1��� � �=� u���7=@�$=:B;��=�B��8=1g =L,��*�9��< �L � *�Ì Í,���,�

“W3X

”��7"�BbBLUW3X 5�1rs�B@<$���\,���������,u C�b��< �$,u=Y<KBv�\

. (Ï=6<®

10,000,000,000,000,000�=Y�!<�=D��<5w��A7��BbBL�8=1B$������$�K0&,� �� I>=?,�

.)8�@ 8�1<4<t�6 C�1 @�@

1, 2, 3, 4, 5, . . .1g���9��=@ ¨ @

. . .� $"1g��! ���=�<»�¼��,u C 8=1B����� ��c�K�L

.

� ��� �������<H ¡ '����@ �=@

10,000,000,000,000,000$�'��=@�'����=4��">���=�Y9'�� ! �<��K"1�� ù"K�L�- � ��B� ��D��<5�4��,L,�,$ è @����B� � ����E�� � c,���"K,>B7�-' : � � � � � � ! ����K ! �<�8K >

(!�" \,��# *�7�qU> Ù�$ � �,���&%� C�¸ w=4,ÑA�����"C�8=1�! u=Y<K�L) ' ! /�?,�0K)( !�8��.K)* ! � \�K ý !.v���K +

! �g�8K , !�D�?,�0K -�.�/ !�8��B���0K 0�1�2 !�uB����3AK54�6�$ !���:�78K µ�7�C��!98 � >:3�K ��, ��5 ! �IY�?��g7��,L��0K; 1<>A��$�< ��KA �$

10�=,)&<:� Õ�@�-�.�/=KA �$ � [�<:-�.�/ Õ+@ ��, � 5=KA �$�����[I1A�Y�K<L,-

8�8B "$�9,f 5 «� �$“WgX 5

”4��,@����A�� �9�>B� ��C�@ � 4A�B�> K�L

.(8Ac"$�*�u��<K9 �!

9 f��=��5,«��&%(5�/,4��,@����B� >=6B� �"C @ � A�B�>B���"CBq��� �L=@A �*,�=4�r��B� �"C @� ����b �"� �"�g��!�u,K=Y@?���>��B�� ·�Jqs�g�"-)

A�B&C ¡�D � #5=@��"K=YN�,u���� è @ 1

���54 E�7�>�� ��C=13L"C

.

1. 1 ∈ N (113­�®<c�C

N@�N=��'�)���� L=C

.)

2. ∀n ∈ N, ∃n′ ∈ N (N@ _ »=@�N

n�<ú">B�

n′1g¬ � cIC

N����� L�C -9h.h h 8�@

n′@�8�14

“n@ è @�N ”

19­��=8"19��>,K�L�-)

3. ∀n ∈ N, n′ 6= 1 (N@ _ »=@�N

n��ú=>B�

n′$

1��$,� � �B�

.)

4. ∀n, m ∈ N, n 6= m → n′ 6= m′ (N@ _ »=@�N

n, m��ú�>B�

n 6= m� � ®

n′ 6= m′.)

5. ∀M ⊂ N,

1 ∈ M ∧ (∀n ∈ M, n′ ∈ M → M = N)

(N@�Ç,]�� �

M�

“1 ∈ M”� )

“_ »=@

n ∈ M��ú�>B�

n′ ∈ M”13�s�9�+D=4� �)=� �®

, M$

N����>B�

.)

10

8�@�1�DN4�W9X 5=@��,��13r �,*

N@�N�4 F<G HI13­��

.

��� �R����sà h �" � !

Giuseppe Peano, 1858�

8 � 27�"ô

1932�

4 � 20�0K�$�z�ð n "�@<5 «È�-�W3X 5=@���.�� ! �" � @���.�K *��" �����=@�t�� ÈI1<>B��V � c"C -

�¤�x

(¶=>�`

)4 �"��<@���.,��& ��� t�6�C�8=1A�,>,K�>=? �A- WgX�5

n�<ú=>A�� �K�C è @�N n′4

n+113¬I�A8,1A�,> KBL

. ()�K�Y

n′ = n+11- =Ê�KBL

.)��8A "8�@�� ��x,4BE����

1′ = 1+142, 2′ = 2 + 1 = (1 + 1) + 1

43*

. . .@����B��������c� �>�\� ��C<� � x� ,�,L=8�1B��>K�L

.8�@ �����B�,� x���S=�B� * _ »=@�W9X 5n��ú�>A�

(· · · (n + 1) + 1) · · · ) (m� @

14�¶">B���C

)19���JcIC=W3X 5=4

m + n13¬�D�*

m1

n@��I13­�JIKBL

.)�K=Y

n��� Z=�

mq���y=���u C<5=4

n + m13r��Bb<�< ,L

.8�@ �I�A� >��� "K C�¤ x��

(+@���?� � "K C�� `

)��ú�>B�

è @������B��D�� / Y3ß�)�8=1�4��,L=8=1B�< "D K<L .

∀m, n ∈ N, m + n = n + m

∀l, m, n ∈ N, (l + m) + n = l + (m + n)

!�8Bc=$��">B� % uA7UY�K�6�/�13r��B8�1B$< "D��B�"8=1B��� »�>A�U�gqs�g�.)@���¬ � c�7 ��D@"�0Bª��=@�! @������� * +��U�B@ ! @ 4�������I13­�JIK�L

.8Bc � $�5 «� ��=Y9'�������`=4��UY�����1BD����0HI1B�,C ���=����D� �L

.

F�G H ¡ ��������W3X 5=@ : @������ �4 è @��I�A� =Ê C 8=1B�=> KBL W

+�)=@"W9X 5m, n

�<ú">B� *n�<�U�3) � @�5�4�¤�6B�

m�� � c�C=1BD<*

m$

n�=Y@����!�WgX 5� �u,C�13r��A-��>��

m�

n1AD,8Ac�4

m > n

13�,L�8�1���> KBL�-'����

m�

n�=Y9�=DB�I1<D�u,C�W3X�5

a�����=>B�

m + a = n� / Y3�0 KBL���*,8 @����B�

a4

m− n13�">�*

m1

n@�"U19­��=8�1A��>,KBL�-�KB7

m1

n@�#�4�$�Ê C 8�1A4���

(% $& ��')13­��=8�1���> KBL�-

)�K�YJ*�(�B�����rs��1�W

11

m1

n@�#�4�$�Ê C

(8�@ 8�1�4

m�=�

n4 & ��1A�+9 L�C�8=1B�=> K�L

)1A$�*

n ��� �������� m������ �:��� ���� ����

��� �������

�����

m�

n ! �� (" #%$ )��&('�)+*�,- × .�/ !�0+132%4(5 ���(�

m× n = m + m + · · ·+ m (m . n 6�7 8�9;:! )

� 9;<! ,�- !�=�>?@ ) 9 �A� m× n !�< � . m�

n !�B ��&%CD���(�EF !�G�HI ��JKD� 8�LM�N FO � =�P FO(Q%R ��STD�AU 1�< � Q(V �%���(��W X

∀m, n ∈ N, m× n = n ×m

∀l, m, n ∈ N, l× (m× n) = (l ×m)× n

Q%R ��S X�����(Y F ! ��Z �%[�\ 2�< ) :^] V 9 ����_%`�a;b(� ced;X�f%g� 839hi�. �%j;Z

< �ea;��� )

��k�d(lm%- !�n�o × b�p�q 8�Lr c (s _�' m× n = mn !�0+132�r c ) < � Q;t c V �������

uv�wx �3a 2(y�L Z 9 ��� ! “ Y F ”

�“EF

” !�z T ! ,- 2({8�L/ !�0+1 ��J�K Q%R �AS�T < �:�|} �����

∀l, m, n ∈ N, (l + m)× n = l× n + m× n

<�! J�K . uv�w �e&%CD���(�

12

3.2���

��� � 8�L(! � b x l @ 2400 �����;!� ������ a��� 8 � 8�9 � �������� b .���(.�� UL��8�L U+� 8�9 � s _�' a + b

b�� �a !��� �!��� b !��� . T��" P�#�}�9�� a�d+� 9

a× bb�$�% Q

a, &;! $% Q b ! ��'�( !�)* � 8�L�� �+�eU,+ 9-�. a��;� <�!0+1 ��/(_�' .� U * � s _%' /;!�0 b�12

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

.�|8�L U* < � 2 �(�%���(�

a

b ab

aba

b

a

2

2

b

.��� a � �D�eU 1 /(_%l @ d u� !�34 b / !0+132(y�L Z���(��U ����� 1 !���;!�5�# �2 ��� 1 !�6 . / _ L�7 �%���(� <�!�6 .�8 g�9 ! � <: a; �(2�< *(� <!�6 ! ; �;! ��� Q ?@ )+������= < a <! ��� .

1

2

� �8�L>7 * < � 2;8 ���(�[�? 0+1�2 ��� 1 !�6 .�@ T <;2(8�L?D@ )D*���� . 1

3, A T <;2(8

L?D@ )+*���� . 1

4, . . . , m B��(2 ��* 0+132�< + L?D@ )+*���� . 1

m

� � � < � 2(8 ���(���� Q 1

2!����;.�z TT;��C 9;:!�! ��� . 2

2

d @ T�T ��C 9(:!! ��� . 3

2

d A T�T ��C 9;:�!! ��� . 4

2

d. . . !�0+1�2�r c < � 2(8 ���(� <�! ��Z%d 1

2!���;.�z T�T �D � 1 ! ����d A TT;��D�

2 ! ��� !���(2 �;�����(l @2

2= 1,

4

2= 2, . . .

!�0+1 ��2 Q%R ��SX����(�$�E 2 d���� 1

m!���;.�/,F �eT��Ua�Gc < � 2(0 �

1

m,

2

m,

3

m, . . . ,

n

m, . . .

!�0+1 � Q ?+@ )+��� Q <�!0D1 �

n

m

13

.�� �eUU���(��� 9 m . u � d n . u�� ��U�U���(�� L� n

m

b 1

m! ��� !���;. n � T ��U�� ���;! ��� .��8�L U* # m�a�� Q dU � <�! �

� 1

m!����;.��;2�B;8 U���� 2 k 6�< ����C 9>��;! ��� . / _ L ���(� <�!���;. k � T �

C'>� � 1

m!����(2 � � �(2�<%!����;. m � T;��C�'>� � Q 1 !��� Q ?+@ )D���(��� + L;<�!

k 6�< ����C 9����;.� �� � 8�L mk 6 T ��C%);'>��� 1 !��� Q ?+@ )+* < � 2 � �����(��� +L/ ! 2 Q%R ��ST < � Q # l�%� 8�9 �

n

m=

nk

mk

<�! 2 .�� 1 � s _�' 48

60=

4× 12

5× 12=

4

5!�0+132�� .���� ��( 2�r Z���� < � Q aZ����(� <�!

01 ����� .�� 13< � .�� u�� � ���U ���(�

u��� ����$1

3+

2

5!�0D1 ����� . /(_* 2 b !�0+132 ��);' 0 U�a 8! (1 l�� <�! ��" . / _�* 9;5�2 b�#

��$% 8�9 2 n

m=

nk

mk

Q�& 2 SX���(���' <�! 2 2�0 �ed 1

3=

1× 5

3× 5=

5

15,

2

5=

2× 3

5× 3=

6

15

��� �����(��� + L1

3+

2

5=

5

15+

6

15=

11

15

��(�-%aZ�d�) 5 *�����b 11

15

a V * < � Q # l�%���(�<�!0+1�2 U ceT;l !�� !���*;.�B 8 U 2 = : _*��� !�< � .�+ u �,��U ����� �* Q�- 1z T !�� .�.� � * 2 b�/0 I(2%z T !���*;!�* .�18 U ��*(2 �%);' 1 �;ceU;Z���� Q d s _' /;!�0+1 � s !�2�P�2 b ��* � ��3(2 lm(* .+1 �(c,45��%);'�(-(b�',+ ��6 2 �;�����(�

1

15+

5

6=

1× 2

15× 2+

5× 5

6× 5=

2 + 25

30=

27

30=

9

10

u��� "#%$<�< ab 1

m× 1

n!�0+1 ��(�- . / _����(� <�!�9 5%2 ��'d�7 ��7 + 9 “

lm�-;b )�* a V * ”�

U 1 /(_�' .�8 U y�8�L k(Z����(� z % ! ��� Q =%)�9�) 1

m,

1

n! �'�( !�)�*;. / _����(� <�!��Z / !�0 l @�# l(* 0+132�<�!�0D1 ����'�((b>$�% ! ��� Q 1 !�: '( ! 9 2 mn �; + L U���(�

� + L�/ ! 2 Q%R ��S�T < � Q # l+�����(�

1

m× 1

n=

1

mn

14

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � ...

...

......

1

1

1/m

1/n

/(2 m′

m× n′

n!�0+1 ��(�- 2 T�U L / _����(� < ) : � !�0 ��[�\ !�0.�� U L / _�*(��d z % !

��� Q =%)�9�) m′

m

d n′

n! �'�( ! 9 2 b z % ! ��� Q =%)9) 1

m,

1

n! ��'�( Q m′n′ �; + LU ������� + L(/;! 2 Q%R �AS�T < � Q # l+�������

m′

m× n′

n=

1

mn×m′n′ =

m′n′

mnT � � � ! l�m%-(b ��* b ��* d �3 b �3 a lm P #�} );' 0 U�dD�eU 1�< � 2 �;�����(�

��� ������� $ ( � ) u���' ��� ! l�m%-

m× n = m + m + · · ·+ m (m . n 6�7 8�9;:! )

.�8 U y�8�L k Z����� < )b mn . �* 2 b m . n 6�7 8�L>7 ) ' 0 U�dD�eU 1�< � . ��+ LU *�dD� :��� aZ���(� s _�' 16 = 2× 8b

16 ! 9 2 2Q

8 � V *

�eU 1�< � :�%�� 8�L U+���(��= < a <!< � .

16÷ 2 = 8

� �8 d <�! ,�- ÷ !�< � .� ������� $�� ��&�� < � 2(8 ���(� 0 �!$�E I ��2�a r c��

m÷ n = a ⇔ m = na

�eU 1�< � 2 � �����(�� L �A� !�� Z�- .��i8�9 ��Z 2m�

n !�� . ) 5 *;�3b%d

n ����� ���� m �� ��� � � � ���� ��

15

� �i8 � 8�9 � � ��- . [�\ 2����I(2�� j * �m . n

a � *;��b

“n �3"# ���� m �� � ”�;� � � ���� ��

�eU 1�< � Q aZ���(�� L�z T ! �A� ! � �A-(b 9÷ 3 = 3 !�0+1�2 ��� ! 9�a�aZ(* < � : V ����� Q d�$�E 2 b9÷ 4 !�0+132 �A�� ! 9 2�� _ .� T;m(* < � Q aZ%��U < � : V �����(� 8 l 8�� _(� 83L�� .�� + L;:0 U < � 2 �*;��d �e�� ! � ��-;b�U�T�a : aZ����(��T" 2<!�< � .��L U Z��8 �1 �s _�' 2÷ 3 !�0+1 � � �A- . / _ L� � 8 �1 � � a � i8�9;0+1 d <�! � �A- . �*;�AU 1�<�3b

“3 ��"(# ���� 2 �� � ”�;� � � ���� ��

�eU 1�< � 2 �(�%����� � ! l�m�- ! � <>: a 7 + 9;0+132 3× 2

3=

3

1× 2

3=

6

3= 2

Q%R ��S X���(l @ d <�!��i�0 � 2÷ 3 =

2

3

����* < � Q # l+��������$�E 2 n× m

n

Q%R �AS X���(l @ d< ) 0 � / ! 2 Q%R ��S�T < � Q # l+�����(�

m÷ n =m

n

u������� $/(2

m′

n′÷ m

n

!�0+1 � � ! � ��- 2 T�U L /(_���(� <�< a X +;��� D� I a(� Q m′n

n′m

��U 1 . / _�* <� 2;8 d <�! 2 m

n

lm L ���(��� *;�

m′n

n′m× m

n= · · ·= m′nm

n′mn= · · · = m′

n′

��� ����� Q d < ) b

m′

n′÷ m

n=

m′n

n′m�eU 1�< � .�%�� 8�L U+���(� <�!0+1�2�r c�� %�� Q # l� 2 cAU%a�� Q ��U N _�*;�

u��� ��� $ ���� ��� u � u��;����������� "#�$ ������� ���

�eU 1�< � Q aZ���(�

16

3.3��� ��������������

� .�� . _�* 9;5 a V *;�3l%d� � . � * 9;5�!:! �AU 1����;.�8�L U*��;� 0� U 1 . /(_�*�� � J(b V �;� V ��� } g ( ] � Q 0

`+a V *;�3l ] ��� Q 0`(�eU 1�< �3b - �;* 2

]��;: � U;`�eU 1�< �ea(��l @ d �;: / _*�� - b � U���a(� )� 8 l 8�s _�'�� ! � � .�� + L=%) . � .�� + L�n�� �;* 9;52���)(! � � . 0m

� 4(5�< ) .�G� �2 �;* < � 28�9 � 8 ���(�<�!�G� ;.�� U * ��d ��) ! !�";! “ � � ”

b #%$'&�( � m�eU�+ 9 �U 6�8 a � � < � Q aZ������T�;� �);! � ��l @ 100m

2 V *;� <: b “#�$'&�(

100m” ! !�"(2 V *�dD��U 1�)�Pa(��� �(2'� � 200m ! �%l @ 300m *;�*#�$'&�(

100m ! +�,�2�-�. �;*�d+�eU�+ 9 “(-

” :aZ���(� <�!0D132 !�";. � * 9 5!�/�� 8 � 8�L;! / _�' . ��);'�d�0 ! � = !�Y F d�1 FQ ��� 2'2; � )D*Aa 8 (1 � <�< a b�= !< � .��L Gc < � 2(8 � 8 (1 �

0��3�4��� Q�5�6 � ) L 0

�eU 1 � Q 2; � )D*��3a 2 b � ! 7�8 a(b'9�: 2 �%U�;�< Q l%l�%�8�9 � ( ]��;: � U < � . V @�# � � ` �,� 1�:%!. � y � 2 b � 2 = �;*�/;_ !�>@?'A Q�BZ c*C�D�;*�� - QV + 9;< ��b�d�E�F 2'G�H aZ�*3a 8 1 � ) 0( I )

b�$�J�Kea%L � ��� 8�9 Q d=%) Q U�T�M : a V *�l%d � 9 ��) Q � 8�N C 9�O�P a V *�lb'Q @ ) L U� } g;��$%JRK ! S�T! ��U ��VRW � W@XZY\[ 5 ]�^%_ b I(. Q + L U 9 � : 1 ��` 4 � ) L U����� xa �>� 83L U* I! b l�� n�� b%d 876 � d�$%JRK�a r l�) 9;:! Q(V *�= 1 a����c 5 � a b 0 /;!�0+1�2�4�d � )D���(�

0�3b'e %;! x 2�=8�L

x + 0 = 0 + x = x

���* 0 1 � a V *�� [ <%< a;b ] ` Q �(.�%�� �;* ! l%b�f 2�8 �3U < � 2�8 ����� )

<�!�4�d;.�� U *;� /(!0+1 � < � Q # l+�������

0 �'g�h'i;# �3"�j�k � � �

� 9���l FO .�� U *;� / Q # l+�����(�

m�n���x � o���p 0× x = 0

17

� ��<�!�� !��;5%2�� j 9 0+1�2 0 ! .�� � 9;5�2 d “ /��;8 ” .�2�; � * < � 2;8 ���(� <�< a(b��.;! /�� 8 a;b��ced��� 2�� � 2� CD*�� � � 2 d G� (2 ��* , 0 . ��+ L d�= ! 2�B <�� 21, 2, 3, . . .

�� ��D� . T(m�d�� 2:��(2�B <�� 2 −1,−2,−3, . . .�� ��D� . T m(���(�

������ Z�-;b ]���� � I `������%a /;_ � c � * < � Q a Z����(� s _�' ] N l @ 2 � c�` �eU 1 ��(b%d

� � � a 2 � � 2 ' @ �

��� � � * < � Q a Z(���(� < )+b ] � Z�-;b 7 8 - !�� ! ���(`�eU 1 /(_;��� (2��P �;*��_�' 2 �>+ L U* < � 2�$�% 8�L c � �eU��� 9 ] N 2 −2 .�7 ��`+�,� 1 ��� : � � � a 2 � � 2 ' @ �

� � c a;Z�����l @ d <%!�P � ] � Z�-(b 7;8 - !��;! ���`;� U 1 “ � � ” .�P #�}%L7 *;� ] Nl @ −2 � c3` �eU 1 ���(b

� � � a 2 � 2 ' @ �

2'=�� �;* < � Q # l;�%���(���;� # X

N − (−2)b

N + 2 2�B8 U

< � Q # l+�����(�

��� 1, 2, 3, . . . 2 0

� −1,−2,−3, . . . .�Y _ 9 !� �� .� �!8�L�"�# ���U���(����k�$ !� �� l @ ��*&% P b�� .('�) ! Z

� 9 b Za �8 ��� Q d < )bRK $(* � Zahlen

[ �,+ ( _ l @ Z 9 :! a;���$

a, b[ 9 � 8 b

b0a �%U _�.�� U L a

b

� [ � a _���} * .�-�.�# ���U���(��/�� �;! % P b%d no Q

� 9 b Qa � 8 ���(�

0 ��10 ! b � �(! � a � c � * ! Q ��� a V *���� 9 = < a !�: (

0) ! !�78 -�d � Z�-;b �

� � a ,;. 7 � (� 7 ) 2 ' @ ����D� / _* � 0 U�

18

� � � � "�������� � "�� ( ��� � � #�" # � � � # ��� � � � � � " )

s _�'�9 � a�� + 9

(−1) × (−5) = 5

�eU 1 2�b ] : 8 U(` ! a 8� �1 l���� 9 :�8 ] : 8 U;` ! � @ d <�< a!� 1 ] :8 U(`+�3b�U,+9 U D1�% � � ! a 8! (1 l��<�< ab <�! � U 2�= 8�L��8�� i�.���L ���(���' 7�8I(2 b'0 ! b ] 0�� (��� )

` .��� 8�9(:! a V * [ ]���� -� �` ^�! 1 ]�^ d 9#" _ ��� 13< � .�8 U y8�L k%U L c � �eU � s _'#$(l�l @ 5K A � � 9D@ = !�� b � �;!�% &(2 −5

� r Z����(� 3 �;!�� l @ 5K A '�T � � 9��Z�b %�&(2 b

3× (−5) = −15

� r c < � 2 � �����(��$�E 2 N � l @ 5K A '�T � � 9�2�P;<�!�� !�� � b

N × (−5)

2 �(�����(�� <>: a <%!�� Q :�8 $ �;!��(2�� �(.' 8�9@(���;.�8�L U;* � b�$ � 1�+ L N −1

�(2 �;������� <! ; !�7 �*)D��b

(*) N × (−5) + 5 = (N − 1)× (−5)

� r c ! b ��� a 8 �1 �� L << a � ! 2;b N

Q0 ! ; 2�: R �AS�T � 8 ���(���;� # X � ! 2 (*)

b

0× (−5) + 5 = (0− 1)× (−5)

��� �����(�0× (−5)

�eU 1�! b ��� Q ��U +�, .�% � 8 ���(l @�< );b 0a��;� 8�9 Q + L �%b

0× (−5) + 5 = 5��� �����(��$�'��%(b

(0− 1)× (−5) = (−1)× (−5)�eU 1 ( 2 �>+ L U��(� 8�9 Q + L d

5 = (−1) × (−5)

Q � l��� 8�9 �-�-�-�.#/0.�1 �32346587 .�9;:�<>=6? �6@ .�A�B#/DC31 �623465

N = 0�>E�F�G

H(*) IKJML�N>O 1P:�Q�RPS F .�T GZ�6@�U I � 1 �>V B�W�R3S IKXZY\[ ?^]P_ 5`�a;b 1 F3c ? �K@ .�A�B#/DC

<�! ��" 2 T�U L b%d#d%a ] +�e ` 2 T�U L � �D��Z 2 � 9 ) �(f 1�< � 2;8 �����

19

3.4� ���

V * x 2'= 83L , 2

E( � � E )

� *;�x 2 �* 0+1 � !�< � . x !������ ��U�U ����� s _�'

4b�= ! (:;! ) � 'D� 83L 2 .�: X������:;! x 2'=;8�L = !�: ! !�� ' . √

x�3lDc < � 28 ������� L���� � a(b � '�b �;! ���� 8�L;0 c y�L Z���(���'�= ! $ s;.���� 8 � 8 �1 �

V * a� ���� (�b���U��� 2 V * : '�( ! 2 �;!�)�*;.�: T : '�( . �* 0+132 ��U � 8�9 � /!�0 b ���� ( Q = !�� J��%� 8�Lr U 9 :! a;���

U ��d : � !�: '>( !�)* b 1a V *;� 8 ���(� <�! ��Z 18 c ?@ ) 9�: '>( ! $% ! ���3b √

2

2 �*�eU 1�# m%a��;� [ �%kd 16 ]�^;! $ Y � W a+b � ' !< � .��;2 lato(%

)��&;g�aU+�

8�9 � )

�������! #"�$�%��&'(�)*�+� ! ��" ��,�- 8�9/ ! ��" b ] @ B � 0 ��" `��&('�) ���� W ; 5 l @ ��U�< ��V .�. � }/ m(� 8�9 Q d =0 19 ]�^�2�< ) @�! ��" b 4�1 �32�J54�( 20 *�� 0 a b � m��3U < � Q h i �)+� 8�9 �

1. 6 _ @ ) 9�7 � B;8 U )�*;.�: T : '�( . �* < � [ 7�* ��" _2. 6 _ @ ) 9 S' �(!���*;! 2 �(2�B 8 U �*;.: T�S�' �;. �* < � [ S�' ���* ��" _3. 6 _ @ ) 98 .�@>B�� � * < � (8;!�@B�� ��" )

� !�0+1�2�8�L�?@ )D* √2Q � a b ��} ��UD��� 1�< � .�9 Y3:;� ( �< !���9 X�b�Q�+ LU � 8�9 � <�< a b √

2Q � a �} ��U < � !�hi�.5�� 8 � 8 (1 �

�>= � � √2Q � a ��} *;��? 4 8 ���(��T � � V * ��� A, B

Q�@A 8�L√

2 =A

B

20

�3l�m 9 � ? 4 8 ���(� � - � @%<�!�� . � � 8�1 8 c ?+@ ) 9�� . / _* < � 2�0 �ed <�!� A

B

b :D1�< ) 7 ��� � aZ���U �3? 4 8�L;: t U%a 8 (1 ��� + L��;2 A�

B � ' Q�� a V * < ��b V ��� } g��

�����1

√2� � ��� �� � �

� ! 2 . 2E � * < � 2�0 � /;! 2 Q ?+@ )+���(�

(√

2)2 = (A

B)2

<�! 2;b /;!�0+132�� (%a Z(���(�

2 =A2

B2

�����2 A ���# �� � � ���� �

� ! 2 2 =A2

B2!�� % 2 B2 . lm(* � / ! 2 Q ?+@ )+���(�

2B2 = A2

< )l @ A2b � a V * < � Q # l�����(�;� <: aU�

g���� : 2E � *;��� 9 � 2 ��*[�� 4 � Q @ d <�!���d a;b <�!< ��b h i8 � } g _

< � Q Q @ ) L U * ! a�d < )l @ Ab � a V * < � Q # l�%���(�

�����3 B ���# ��� � � ���� �

( �����2a

AQ�� a V * < � Q # l+��� 8�9;! a�d V * ��� C

Q�@A 8�L A = 2C� r m���(��= < a <! 2 !�� % . 2

E � *;�

A2 = 4C2

< ) � ( ����� 2 ! 2 2B2 = A2 0 �ed

2B2 = 4C2

Q ?+@ )+����� <! 2 !�� % . 2a � *;�

B2 = 2C2

Q ?+@ )+��� Q d < ) 2 ( ����� 2 ! ; ��[?� �! .���� 8�L>7 * < � 2�0 � BQ�� a V * <� Q # l+�������

21

��� ��� �� ����� ����h;#��( ��� �

2�

3a |8�9;< � [ A : B : � 2 ��* _ b �>= � �! � <: a b�� 8�9 ? 4 ] A �

B � ' Q�� a V * < ��b(��U ` 2�� 8 ���(� 0 + L;< ) 0 �ed √2b � a ��} ��U < � Q #l��� 8�9 �

3.5 � � �� �����/�� b � 2�0 + L�� �e)+� 8�9 ��a b √

2 !�0+1 � � � b !�0D132���} * ! a 8 (1 l��<�< ab √

2 .�� .�� + L�� ��' F 2 TU L���� 8 � 8 �1 ���'d

1 <√

2 < 2����* < � .�| 8 ���(�3U � 1 ≥

√2� 8 ����� <�! 2 !�� % 2 √

2 . l�m(* <� 2(0 �ed √2 ≥ 2Q ?D@ )+��� Q d <%! 2 � S�T(2 ? 4 8�9 1 ≥

√2 0 � 1 ≥ 2

Q ?+@ )D��� Q< )b i(@ l 2�� a��;��� + L 1 <

√2���* < � Q # l+��� 8�9 ��[�\ 2(8�L √

2 < 2����*

< � :�# l+�����(�� L [�\ 28�L 1.4 <

√2 < 1.5 (

W X 14

10<√

2 <15

10)����* < � Q |�} ���������d 1.4 ≥

√2�

? 4 8�L ���(� 1.4 ≥√

2 !�� % 2 1.4 . l�m L�7 * ��d (1.4)2(= 1.96) ≥ 1.4√

2Q ?+@ )+���(�� 9 1.4 ≥

√2 !�� % 2 √

2 . lm L�7 * �3d 1.4√

2 ≥ 2Q ?+@ )+���(� < ) @Az T ! 2 .�P #�}

L>7 * � 1.96 ≥ 2�3��* < � Q # l�%��� Q < )b �� a�;�[�\ 2�8�L √

2 < 1.5����* < � :

# l+�������7� [�\ 2� � ' 8�L Gc� 1.41 <

√2 < 1.42, 1.414 <

√2 < 1.415, . . .

�eU 1�)�P(2 √2 !���|

. U c @ a : #�Aa ) 5 * < � Q a Z����(�

��������� ������1√

2b � !%0+132�8�L U c @ a : /�� !�� . � T � [ < ) b'��' � a �%} ��� _�.�� + L = !� �� ;l @ “ ! - ” 8�L G%m;* < � Q � l��� 8�9 �RK�$ * ! ��V#"�"%$ J�� (1831-1916)

b <!�0D1 ��/ _�' . L�&�� }L /(� ! ��� (Schnitt)

�eU 1 /(_�' . 2!; 8�'�#;.�4%d 8 � 8�9 .

<�< ab "�"%$ J � ! /;_�' .����(2��� 8 � 8 �1 �/�� !� ��;.�/;!�(�);.�*9 � 0+1 � z T !,+ A, B 2�� m���� .

1. A, Bb� :%2�- a b���U+�

2. A 2. �;*�/�� b : 2 B 2. � *�/�� 0 � � �eU�

<�! ��Z�d A, B !�+ (A, B) !�< � . ��� ��&%C+��� . /�0 (A, B) 2'=;8�L b /(! U�'�)l Q�R �S X���.

I�

A 2 b S B ! /�� Q�V * Q , B 2 b S��;! /�� Q �3U+�II�

A 2 b S B ! /�� Q ��U Q , B 2 b S��;! /�� Q�V *�III. A 2 b S B ! /�� Q � c , B 2 b S��;! /�� Q ��U�"�"%$ J �Ab /�0 (A, B) .,'�# ��&%C , I 1 b II

a !�0+1 � � . -�.�# , III !�0+1 � � .32.�# �546 m(� 8�9 .

22

� � ����� ������� � . )D� f 132 V 9 + L b ]�� �%` .� m L�. * < ��b�aZ� } g(� ]�� �%` 2 T�U L�T 5�L )� + g�� ��V Q � J ��� A (Georg Cantor � 1845-1918)

a��;��� ! ��!�� % P !��eb 20 ]�^ �!�� �� �� �� � �>1����� 2�: B Z�� & � .�>�9 8�L U ���(�� J ��� A b 1845 � 3 � 3

a�� � W !�� � A (�� A� ( >"! J � ��K ) 2#�$'A% �'& A " #�(�# � W�)�*�+ (�,"-.%/"01/,�2�3�4�5�6"78�9:�; � )�<= >@?�AB 8 1856 C@D%E"F�G�D H�I,/�J@31866 C 21 K )�L�M�N�O P 8�Q PSR"M TU�V WX ,�Q PYR�M�>[Z�\]^%)�_�U`�)a ( >bc J%d�e�( D�f%g /,�2%3 1878 C@D 8 1 h 1

) h�i@j%k"lm ) “T�n 6

”V�o Jp�q )�r�s�V�t

-u%/"vw�x _�)�yz{�|@}_~ f _%)�yz@�[����_yz�)���� (���� >1� d (��� )e�( V��1�

,�-��1/�J�3

pq��� � ?[���_yz (�� _yz�)� D 8

���_������������������¡ ¢�£�£�£�£�£�£�£�£ £

� _ �������10 12 14 16

�2n�

( h�i V�¤ g�f1¥§¦@¨ d e�( ��>1n /�J�3 e )©1ª f ( n¬«­����_y�z (�� _y�z�)��� 8�®1,��@¯(�°�%/�J�3± D L@M�N�O P 8 ² _�)����@� ��� © g T%n �%e%( V��1� ,/,�2%3 L@M�N�O P1) l�m³ 8 ´µ~ >1��¶ 22%· Z�\�)�¸ ¥ )�_�U` j%k"¹@¨ º 0 k 0v@»%¼ V�a 2�0@-��1/�,�2%3�½ D ¾ )�¿1À�ÁÂ�à L�O 8 _Uyz�V%���_�)�Ä�Å D a�Æ�Ç ��-�È�É D ÊË J�Ì n�ÍYÆ � ª�Î �Ï s�V�Ð%¶ -�2)"> u�Ñ )�Ò�Ó > ÈÉ D ÔÕ )">[n f � l�m rs D 8 Ö h > ,�2%3 ¾ 8 L@M�N�O P1) e Æ�V�× � j6�/�Ø U`YÙÚ×�ÛÜ g `SÙ u ×�Ý`�V�Þ�ß 6�à1d +SÙ f�á Æ�â | 6�/�ã%/ f�ä � k à V ,�/,�2�åZ�\�) l�m³�æ ) Ö h�D�h ,�- ?�L@M�N�O P 8 ç )�©[ª D è ��-��[/�J@3_U 8�Ñ )�é�ê�) 2%· D 8 ë h ~ D ��ì">1� g 2 Í 1 ¦ )�í�îïð 8�Ñ )�r�s@�@ñ�òóô�V�õ / f� Æ � ª e Æ�Í ¨ >1� d3¾ 8�Ñ )�ö�«ø÷ùzúû ¯�ü “ ����� Æ ² _�)��)���� 8�ýþJ%d j ”

Æ � ª ¼�ÿ�� D���� ,/�J �f j@f j���� � t k 0v � - ÀÁ Â�à L�O�������) ³� V�é�o 6�à f � ©[ª D J%d )"> 8 f � jÆ � ª�������� f�g u 1884 C@D ]���) break down( ������� )

V 4%e,�/,�2%3�Ñ )�ö%a ¾ 8@e )� j%k���� J%de Æ 8 f%¥ u����%/ > º��� V! g�" J�e Æ D�f�g /�J@3�e )�«ø÷ùzú�û ¯ j%k# d�$ N!% $ � u ��&@)�é�'�)�(n!) D�f ¶ -�2 ©[ª§> J�3*�+ ¾ 8�e ) ��, V.- d e Æ 8 � g /�à@7 > ,"2 � u�e ) ¼�ÿ�8 1950 C }�ö�/ D�0�1 R�L@)�Ý�n�_U`32�O�4�M

(Paul Joseph Cohen, 1934 C - ) D ©�¶ - Ò�5 f!6 > ��, 6�0[d�e Æ D@f�g /�J@3

23

4�����

4.1 ������� �������� V�� ·d Æ"n Ñ 0 ��� j ¶ -��d ©1ª f��[g V ,�-�Ñ 0 ��� 2J�Ì n�� (��� � )

V�� - -�uÑ � �%V � �-� 1de Æ D © g�� � � t k 0[d�e Æ��@© ¥ � g /�J@3�!�þ#"�2%$ � � ¶ -�1d ���� � 8

17 &�' ��(�) M#*�+-,/.%0"O�4�1 ��2 '�« ��3�4�5º%6 ¯ � � >� ·"-#!�01/,�2 � u�e �©1ª f _ ��7 g98 � �@D�¦ �-@8 ²�88@d j;:@D J > D � k 0-��[/,�2%3e�e > 8 « ��3�4#5º%6 ¯;<�= � 4?>�@�N u�A%B ÁDC 0 > á � ©�ª f ¼�ÿ � 7 gE8 � 0@-���2 � jF�G J�de Æ D�H /�J@3

I�J%K-LNMODP#Q

'�R = 1700 C�S%T � 4?>�@�N �DU�V P $ (W } ��X )� ��D 8 ç � ©[ª f ¼�ÿ Æ Ñ � ��� �;Y 6§0Z �\[ H 2%3

]�^1 _ � d _�Æ uÑ � 1

7

Æ�V m �D` d Æ 19 Df d�3 � d _�V�� · © 3

a _ � d _�V 7Æ�ú Ô `�© 3 7

��b Æ ¦ Æ Ñ � 1

7

>8Æ f d�3 19

V�t d�2�· D 8 u 88;c�d j `

e � f@k f �13�Ñ � j�¨ d�Ì n _ ü 19

8

� e Æ�> J�� V7 D�j¨ d Æ9� ·d � � (:

133

8)V�t d3

(� û )� d _%V

xÆ J1d Æ e � ¼ ÿ�8 �#� � 8

7= 19

V�f � d�e Æ D@f%g [�J@3�e�0 V � ¥ Æx = 7× 19

8

Æ f%g [�J � u�g � � 8e�0 V�� · Z �1de Æ D�hj�f@g [ ` 7�3

i%j�k�l�m�n�o#p

q#r R $ , 9 O (�) 1 $�s�t�u � AB ÁDC 0 >[a.4?>�@�N Æ � \�v D ^� � #w V�a¶ 2#x#y � êz H [ H 2�3�A\B ÁDC 0 > 8 Y#{@V�|�}�~ D��%H Z �\[ H 2 � ue"0 D ©¶ Z '#R = 2000 C��@D 8ç � ©[ª f ¼�ÿ 7 g98 � 0 Z ��2�e Æ���� j ¶ Z �\[�J@3

]�^2 _-� 6 Æ������ d3 ��� 8 � 6 > u�Ñ ��� _ 8 ��>1� d�3 � 6 � 12

d@8;�[6 >%� d3�Ñ � z� 8

20>%� d�3�e � � 6 ÆE��Æ ��6"8�c h�á j 3

a _ 12��� _�V�� ·�u�Ñ;� V

20d�J%d Æ 20

12=

5

3

V � d�3 eD� � � 6 >%� d3 e ��� _ 3

5

��� >208���6 >%� d�3

(� û ) � 6�u � u���6 V Ñ;���#� x, y, zÆ J1d Æ9� � k �#�%¼�ÿ@8

y = 1

x

12x = z

xyz = 20

24

Æ f1g [�J@3 A � � � ��V�� � � � � D } º J�d Æ z = 20V�t [�J�3�e�� V

2 � � � � D } º%H Z12x = 20

Æ f%g [�J�3eD� V � ��� � � g � � � ]�� � � � D�f ¶ Z �[�J@3

4�>�@�N �AB ÁDC 0�D 4�� Z 8 ��� � � A��~ f!� n ��D�¦ � Z 8 Y�� 6 � Z 4 k v�Ñ�e > 8;g� ©[ª f�� z~ f ¼�ÿ Í ¨ � 7 g98 � � Z �%[ H �%3 f 4�A\B Á�C 0 > 8 2ç ��� � f�á a�f� 6� Z 4 g u�²� ~ D 8 2

ç ��� � � � ��� � fá a � k � Z �#� ©�ª§> J@3[D� ��� �� ���� 5 ('�R 1 &�' )

� ��D 8 ç � ©[ª f ¼�ÿ ��� g [�J@3

]�^3 _�����6 ��� ( �[k�� T�n f�� � e Æ )

�� d�3�Ñ � T�� 8 � j@k f �13���� � $�� ª á����D�6 �� d3�� 6 V�� Z $ � ª á 20 ! ��" D$# ��� d�3&% 6 V'� Z 14 !�( � Z�) D 1775 !�* ¶ Z# V!- d�e Æ���>1n �13 ��� � ( � A � � � 6 � e Æ )

8;c �@j 3

(� û )��� A � � � 6 V x

Æ J1d Æ ç ��+ Æ&, - f �/. 6 �10 � � � 6 �$2 � ® H �%e Æ j�kx

2: 20 = 1775 : (x + 34)

V�t [�J@3�e � � j�k 2ç ��� � x2 + 34x = 71000

V�t [�J � > e�� V�@¨ � 3 � � ¨ > J@3D� Í ��� > 8 �#� � � A�� � V�� ·�d Æ � ¶ ��x ³ 8;!;�v�u%e � ©[ª fD�� �@�;� � k �#� Æ�n D Ñ �14 - � V�� ·d D 8 á ª H � k © � j�5 Æ ° ª � 6 D éê H Z * ¶ �©1ª�> J�3

South Gate

North Gate

7�8:9<;>= o�p}_U 8 _U � A���? > u «ø}�_ ¯ ��@%��A g _ � }%� g�D� 'B V�C � Z �#� � � ��D V b�c J�d U¼ Æ H Z�E [ g [ H �%3�� Í H ! } > 8 ? }_�U 8�Ñ �1FHG V�T�n ¥&I�J Z �1d���·�u «Ú_ � }%� gD� �B V�C �%d _U ¯ Æ j « ��� � � ��D � U ¼ ¯ Æ j � ª x � ��K � 81L Z"> 8 � g [ ` 7�3e � ©[ª f }�_U@�$M [��#��N�O D 8 u F M E , 0 ) B 0 _ B ü � C_ B � Æ Ñ �1P�� D ��Q {@�� g [�J@3 � C_ B 1,2,3,4,5,6,7,8,9

��R�S 8 W } F M E ü '�R =�� Æ 6 � Z �[d�[�J � u�T 0Æ

U#7 g Y�_ D ��� · Z�V/W H � \�v 8 6X 7 &#'�� > 8 f � j ÆDf � k � Z �[�J�3 F ) M'Y�ò D749 C@D E [d 0 à A O $1Z@8�A#r�: à E�D'[�\ V 4 n u�] X , �w �1^�_ V�^ ·#[ H �%3 F $ )`�a � 8 u 0 > 0 , 0 ( R"L ,cb�O%Á à U?� 3

T�d D [�� � g u H j a@Z�\ � &�e � � � D U�f HZ �����%·�u F ) M ,hg�R�i 0 , Á�O�j�, ��� , F M E�f�á ��k �#��l�m �w V ¹�¨$n�o u 0 ) B0�p V�q A ° p Æ H Z Ñ�� V�r m é�ê 6 ` [ H �%3 9 &�'@D 8�u 0 P , $ +�O R�sHt�O@��« F M EY_ D ¯ V 2 H � C_ B V�C ��� P�� V F#G H Z �%[�J@3 e �1u 8 u 12 &�' = / D ) 1�M p�D1v 6�@u F M E , 0 ) B 0 _ B �Hb�O%Á à U D � k �[d R@D�f�g [ H �%3 Z�\�b�O%Á à U > 8 Á�O�j a� <�wu Á�O�j_ B �$C � k �@u P�� 8 P���x V�C �%d P�� ~@�$y�C 6 � Z �\[ H �%3 � C_ B 8

25

� �?��P�� V ����D J�d�e Æ j1k u T�� w C > eD� V F#G H � è�� Æ H Z V��?� %�� P E ( � ( 0�� à q) D © d � 5è (1205) fá �/�� 6 �[ H ���

f��30 P , $ +�O�R�s�t�O 8 « ��R Æ h 2���� x@¯ Æ � ª u a 2 H Z �%[�J � u�e ��� ÿ � � « 0 P ,>�����P(al-jabr)

¯ Æ � ª °���ü H�� V�Ò�Ó J�d�� � u }�_U@V�Ò�Ó J�d « 0 P%>���� ) (algebra)¯

� p S Æ f ¶ Z �%[�J��

4.2 �����2ç ��� � ax2 + bx + c = 0

� � �1� �

x =−b±

√b2 − 4ac

2a8 ²� ~ D 8 W } A%B ÁDC 0 > � k � Z ��� ©[ª�> J���ee > b2 − 4ac < 0Æ f d ©[ª fD�#� � >8 √ � f j �� � _ D�f ¶ Z H [��%[�J � u 16 &�' � � [ > 8@e � ©[ª f _ (!�" _ )

VDf � d eÆ 8 � g [ ` 7 > H ����# ¶ Z u�e � ©[ª fD�#� � 8 f � d íî@� f � Æ9f � Z � k ��� ©[ª�> J$�Æ e T � 16 &�'@D�F�% R 0 � _�U` % P % R 0 (N.Tartaglia,1499–1567) D ©�¶ Z 3

ç ��� � � ���� �@� é�- 6 ��d Æ'&�( f e Æ D u ]�)~ D ² _ � � � t k �[d ©1ª fD�#� � >1a u � � D � Z8�· Z P�� J%d�* � > 8 !�" _@� !;�[d�e Æ��@� g [ H ��� ¦ [ g P��?��+ � > !�" _�V�y�C H Z6�[�ã%[ f P�� V J1d íî���� d Æ � ª�� ¨ > J�� H j�H e � ©�ª f�!�" _@�;��,~ D�- · k �[d©1ª Df d D 8 u%[ Í H � k@¥ � \1� � íî > H ���e ��. > 8 u !�" _�V Ñ �1P�� D�¦ � Z F#GH u�6 k�D Ñ ��+ 6 ~ f�F 1 O�> D�¦ � Z�/ Ì Z�0 �� Æ1 �%[�J��2�3 o�n�4�5�%[

iV

i2 = 1V 0 �J

“_

Ӯ H

a + ib (a, b8 ² _

)

� 6 >@o 6 ��d _ � e Æ�V�2�3 o Æ�©�| [�J���[D� i� e Æ�V76 o�8�9

, b 6= 0� �n

a + ibV�6

o ua = 0

� Æ�nib� e Æ�V�:�6 o Æ�©"| [�J��

!�" _ a + ib, c + id��; u�<@8 ç � ©[ª D P�� 6 � [�J��

(a + ib)± (c + id) = (a± c) + i(b ± d)

[D� �( j¨ � )

8 u(i2 = −1 D�= Ò J%d Æ )

ç � ©[ª Df d e Æ���� j1g [�J��

(a + ib)(c + id) = a(c + id) + ib(c + id) = ac + iad + ibc + i2bd = (ac− bd) + i(ad + bd)

>�? n�@�A�B�C�D�n�E(�) M $ � _�U` 0 � )�F ` , E ,HG 0 � P ü

Abraham de Moivre, 1667 C 5 I 26 J - 1754 C 11

I 27 J � 8 1707 C@D�K�L V n® � J�d Æ � ª'M c U�~ f ¼�ÿ Æ u n N%H Z 1d Æ9� � k �#� !�"

26

_ Df d !�" _%V�� ·�d (� � k �?� !�" _ � n N � V�� ·�d

)Æ � ª ¼�ÿ ��� -�� D &Ç1n [ H���e�e > u���� D%E , G 0 � P � *�� D�¦ � Z F#G H [ H � ª .

["vxy � ñ � /��

1� K � V�f � e ��+�� � >/���

A, B, CV ç ��+�� ©[ª D�Ô ·�[�J .

�� ������� ���

� � ��� ���� � � � !"�

e � �n1��.$#�_ �2d . ��� �

cos 2α = cos2 α− sin2 α, sin 2α = 2 sinα cosα

D © g u �C� %�&

(x, y)8

,�

B��%�&

(c, s)V�'%¶ Z

x = c2 − s2, y = 2cs

�o�` de ���� j%g [�J . E , G 0 � P 8 , !�" _ c + isV

2 N J%d Æ e � ��� � Z ¥ d�e Æ D&@� ¦ n [ H � . ¦ [ g

(c + is)2 = (c2 − s2) + i(2cs)

è n�( � d Æ

(c + is)2 = x + iy

Æ f d � > J��$) k�D ��.$#�_ �3d . ��� ��V ' ª Æ +�� ©�ª f ���

A, B, D D h%H Z

(c + is)3 = p + iq

� Ë�g � ¦ e Æ��+*�` [�J��E , G 0 � P 8�e � ©[ª f Å��V�ù ¨+,�J « E , G 0 � P ��� � ¯ Æ�â � �[d�ç ��� ��V�é�- J%dD+-�g [ H ���

27

� � ������� �� � �� ���

� ����� �

(cos α + i sin α)n = (cos nα + i sin nα)

[D� E , G 0 � P ��K�� > 8 � g [ `���� e�� Æ � - ��� Æ H Z ��.$#�_ � D � �

sin(α + β) = sin α cos β + sin β cosα, cos(α + β) = cosα cos β − sin α sin β

D�¦ � Z f � Z�0 [ H � ª � e�� D h%H Z ç � ©[ª f + V�f � Z g [�J��

��� ��� � !#"

$ � % &'"( � ) *+"

� �� � !+"

$-, � % , & , "

e � � j%k , � 8

x = cc′ − ss′, y = sc′ + s′c

Æ � ª #/.��@�10 0 7 �[�J�� A � 2 ¦ � !�" _ c + isÆ

c′ + is′V�Æ�¶ Z 1d Æ

(c + is)(c′ + is′) = (cc′ − ss′) + i(sc′ + s′c)

Æ � ªE� D�f�g [�� a ��� �@�/� Z n [ H ���e � ©[ª f ��.$#�_�Æ !�" _�Æ � � - 8 á � ©[ª D��2 J Ì n f � > H � ª j u � d��@8 á � ©[ª D���2%H Z 1d � � ]�a%��� f � > H � ª j�5

28

2�3 ���1797 C@D�� P�����O � _�U�`���� $ U O , .�� Ã�� P ü

Casper Wessel� D ©�¶ Z u !�" _ � M c U~ f!� 2 ü !�"�� � �;� � k � [ H ��� � s f � k"¾ ��K � 8�Ñ � ö

100 C�há�� � ��D� a� Z H ["�%[ H � � u 1832 C _�U �� `�Æ�â � � Z �1d�� � $ (Karl Friedrich Gauss, 1777X 1855,

E�F�G )8�e � *�� V��é�- H�!�" _�V���� �@¨ d�x ³ V�� Ë%H [ H ��� (!�"�� � e Æ�V � � $

� Æ�â�� e Æ�a 3 ¥ � g [�J�� )e�e >�� !�"�� � f � �@D�¦ � Z F#G H [�J��

!�" _ z = a + bi D h%H Z u %�& � ( � xy � )g � �

(a, b)V�f � d Æ u !�" _�Æ e � � g� ���

1 h 1 D hi%H [�J���e � ©[ª D�!�" _ D %�& � � �%V h�i ) ` d Æ�n u%e � %�& � V2�3 ��� Æ�â�| [�J��, !�" _ � ë h��!�" g � � z

Æ � �OÆ � � ����� V !�" _ z

���� �! Æ �� |z|>�o H ["J��#"?$ z = a+bi

D h%H Z

|z| = |a + bi| =√

a2 + b2

Æ f%g [�J��

O a

b z=a+bi|z|

, !�" _ � � � ² _ d!�" _ z = a + bi

Æ ² _k� ��� u

kz = ka + kbi

Æ f%g [�J j�k u !�"�� g >�� ç � ©[ª D o ) � [�J�� ¦ [ g !�"�� yz >�� � ��V � � D+ yz�V k

d D�$ T�%�� J%d�e Æ D�hi%H Z �%[�J��

O a

bz=a+bi

ka

kbkz=ka+kbi

29

, !�" _ � , 6 �!�"� g � u 0

� f � !�" _ z = a + biV�o J ��V

PÆ j�¥ e Æ D?H [�J�� e � Æ�n ç ��+�� ©ª D OP

� � )(|z|� e Æ � J

)V

r, OP�

x � Æ f J .�V θÆ J�d Æ

a = r cos θ, b = r sin θ

Æ j�¨ d�e Æ u ©�¶ Z

z = r(cos θ + i sin θ)

Æ f de Æ��#� j1g [�J���e � ©�ª f z� o�* � e Æ�V !�" _ z

��� D�E Æ�â | [�J��e � , 6 ��V '�¶ Z !�" _ � �%V P�� H Z�0 [ H � ª � 2 ¦ � !�" _ z, w

V�, 6 ��V�'%¶ Z

z = r(cosα + i sin α), w = s(cos β + i sin β)

e � Æ�n g ��/ Ì�� ©[ª D DÔ x ��ª [ ¥ ' � Z zw� ç � ©�ª D P�� � n [�J��

zw = r(cosα + i sin α)× s(cos β + i sin β)

= rs(cos α + i sin α)(cosβ + i sin β) = rs(cos(α + β) + i sin(α + β))

e k�j%k'!�" _ zw� !�"�� g � � � j%k ����� � rs,

[��x � Æ f J .�@� α + β

� � d ©[ªf � D�h�i J�d�e Æ���� j%g [�J�� ¦ [ g « !�" _ z D�!�" _ w

V j�¨ d�¯ Æ ��« !�"�� g � z

D�h�i J�d �@V ,[�v � � j%k ����� V s

d D�$ T H Z Ñ�� j@k � � � ��g V�.�� βÍ ¨��� )���¯

� *�� t k �#� ��� � )������������������ ��� [����� _ g ��� ��!"��# M c%$%&#�' 2( '�)�* √

i ( P���+ * 0�, +- ���/. ,

√i = r(cos α + i sin α)

���������� 0�132 ( 2 N + *

i = r2(cos 2α + i sin 2α)

(�4 , �35���� � i = 0+i×1 = cos(π/2)+i sin(π/2)� �%67���8�637

r = 1 (r��9%: 67�0 ��� #

0 �r > 0

�/#%����� ��; < + *"=�>�? .)�

2α = π/2 (�4 , ��5@��0� � α� + *��

π/4�

5π/402 A 0�B3C D��%E%� �� � ; < + *F=�>G? .�5/H )/* √

i = cos(π/4) + i sin(π/4) = 1/√

2 + i/√

2,�I�J √i = cos(5π/4) + i sin(5π/4) = −1/

√2− i/

√2 (�4 , ��5

30

i

1O

� (−1) × (−1) = ?? *�� ��� I�������� 0�� (� . * (−1)× (−1)

0��� ( + *�� , +�- �/5

−1 = −1 + i × 0 = cos π + i sin π

� ��6�7�� −1 ( 6�������� .������ J � ������� � 0 : ( 9%: 0��� � 180 � �! ?#" �%�� �%� ��� �����$�6%� , ��5 � 0%����!%�(−1) × (−1) = 1

��#3�����@��$�6�� , ��5 ,�I�&(' �+ *

(−2)× (−3) = 6#�)�� A , �*�,+0- � +�0- ( 6�����#. � # #3���3������H�. , ��5

31

5���

5.1 �������� �

(cryptography)� J�� � & � ��� �0�� ��� � � � � ��� + * � � �� �"! 8��$#�7�8"����

�%��E%��. J%�& (�'"(*) *,+3<�� !%�"� �0�-,. (�/*0 I ) � � ! 0 ,1 ��#3�"� � (�243 �� I ) 0"5,6��� ,70%��� ���98 : ? 8 , �35%� 0%!"� � � � (�243 + * ; �%�( ,7 ��� + * J�<= >5 ? < 0"@�ACB,D � � � �$E F G 0�H�0�I�$ �"J,F ( �,K + ! 0 � 67CL (�M =ON)�* J,F (P ����� .��O� � ��Q &SR,TOU VW (�X � I ������#"7 8 * . , ��5%�%0 !"�ZY"[ \0 J,] ( P�*^"_ `�0 2,a \ b J � c a Y J � d e ��J # = �gfZh"ikj"l,m�n�o V ���Op�q�8 , ������ 0%!��# ,7 ��J � ' + ! 0"�,��� � A 6�8q ! 0"\,b0 r"s���� 0 Y�t�7�6 Y3#%��� .��9u : �3E �, ��5�d e J ���0�v,w ( P ��0 ��J # = � ! 0,r"s ( P ���� ( ! 04x@&F� + * . , ��5%�%0 rs ( P �,`�y U f%0 ��� ( �,� z � ,�I d,e { ? 8 I �,��6�7 = 0��,� (�|,} ��� �� ("~ � z �p"� , ��5�d e {%� � e { (�� #�� I ) Y J$� b ��O�,b ��3E�7�6�� )��*) *,� . I d,e0��,�

(=`�yS�Z�C�

)Y + I � )�* R,T�U,VW ( d�e {%� � e { + , ��5 � 0%!���#�`yS�Z�C�"0��F� +* J�� 0 !"��# ' 0 �3E�� , ��5

� �*� � �[shift cipher]

< = >1 ? < 0�y V � 0�� & & � � � E%� W,� A�D�f���B V,� V Y%! )�* � ."7@8 I � '��,� &#�d,e� ,� � �5�����  �d e%�B V��,V d eF�Op�q�8�� �� ' E�� , � . ¡ ¢ &�Y J�� J 0 J,F

( ! 8�£38,¤ � ¥ �37@8 I J F -�$ > ��¦"7�����CY�! )�* R�T�U�V�W ( d�e { + , �35Z� ��q ( §J F ¦F7/��¨,©)

this is a pen ª wklv lv d shq

��#%� , �35 + 6 + ���%0Zd,e J J,F 0�« ¬0-(­ ® #37 26, ¯O° ® #�7 50)

+ 6$v w + #�.�0 �± * 0"¤ ("² " q ³ ´,Y"µ�� ���� ���3, ��5

¶ · � �[substitution cipher]

� F d e�� J � J F (�¸ 6 Y$¹ � ���%�%��ZY�! �9d,e J ������d e {� � � � d e J J J F � E�Zº�» J E � , ",¼ 5ZB$½ V y T�¾�¿ZV*À$Á 0"B4A V�Á YÃÂÅÄ��Æ�Ç,È� �G� �É��3E � , �����3�8 J �DC�Sn$Ê$Ë T � ( Æ,Ç0�Ä )�* .4Ì"Í � ¹*Î���� I ' 0 �,Ï 5�Ð 03!SÑ�#"d e J 7 ? < 6�7± Ò Ó (�Ô � I _4f$m À ? Õ �4Ö"× Ø a #�) (�Ù ± Y ; �,Ì I ) Y � .�7 8 , + I 5¡ ¢ &#�� ��Ú t + ,ZÏ 5�Û Ü0 J ( d,e {ÞÝ

Encrypt ß Ï Ì Ðà ( � ,ZÏ 5

á�â�ã�ä ãZä å æ�ç è

. , Û Ü0�éY + I�ê )�* J,F ( ¹*Î���� Ì & Y3! )�* d e { (�� #4Ñ�Ð�àZY + ,�Ï 5

å ë ì�í ç î ï,âðã$ñCòóOô4è�õ*æ"ö�÷*ä�á ø ù�ú*û ü ýþ�þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ�þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ÷ä�è ã�ø,ë ý$ò�ûCô,úõ,á�ì,ç ù�ü ö î å â*ó�ñ�æZï,í

32

Ï # ����� á ( î Y�¹Î���� � â ( ý Y�¹Î������ � à . ) I�' Y J�� 0 J,F ( ¹*Î���� * .*Î ,Ï 5 ! 0����� J Û�Ü0%!SÑ�# J,F��(d e J

)ê 4 7�8 ,�Ï 5

î�ý�ò�ö�í�ò�ö�í ÷ í ç�ãOáÛ Ü ��J� d e { > 0 J ( � J Ý

Plain Text,�I�J

Clear Text ß d�e,{��0 J ( d e J ÝCipher

Text ß àOp���Ð*à�Y + ,�Ï 5 J F 0�¹Î���� (� Y���8q�d�e J ( = 0 � J Y�� Ï Ðà ê � Î ,�Ï 5

å ë ì�í ç î ï,âðã$ñCòóOô4è�õ*æ"ö�÷*ä�á ø ù�ú*û ü ý�����������������������������������������������������÷ä�è ã�ø,ë ý$ò�ûCô,úõ,á�ì,ç ù�ü ö î å â*ó�ñ�æZï,íÐ 0��4ÑCY"d�e J 6�7 � J (�4 Ì & ( � e { Ý

Decrypt ß àOp���Ð4à9Y + ,ZÏ 5�� �� � J,E ( d e{ + *�� Ì$Y J� E�7�6�� )�RSN IUBZKXMWOTCEVYQFAHLJPGD �à . Ñ J F�� ( �� �� � © < + * �G= º » ê E � ,"Ï 5�� < E Ì"�,� (Tamper)

Y�� + * Ð%0 JF�� (�' 7 + ? � +� ��8q \ b�!�" ê�#�$ ? 8ðÌ�B%C%D ê E ) I à + * ' Ù ± Ý

Secure ß � � ��� (Z� Ñ &,ê � Î Ì%5"Ð%0��SÑCY d e�{��Å� e { (�� Ñ I ) Y"º,» �,� J�%'& Key (àOp�q�8 ,ZÏ 5 � � � ��J� �RSN IUBZKXMWOTCEVYQFAHLJPGD � à . Ñ J�F�� ê ¤�Y � ,"Ï 5$Ð 0��SÑCY�d,e { Ï Ì I ) 0"¤�à��,e { Ï Ì�)0�¤ ê & � � E,Ì��SÑ d�e� �0$Ð*à ( *�+�� ��,�- à9p�� ,ZÏ 5���. d�e� ��,Y � ��ÌZ¤ J� ¨ � Y�� )�* ��.�¤ Ý

Symmetric Key ß �/\ ¤ � /�0 ¤ÞÝSession Key ß 2 a ¤ÞÝ

Secret Key ß )4àOp�q�8 ,�Ï 5� F d e J d e { Ï Ì I ) 0( ,70- J B,n4�Od e�� � '1 = Ù ± D J�2 .ðà�.�� ,"Ï�ê� J F 03 ��( . ��Ì &�ê � Î .0 �� 4 $ 65 ? 0�d,e J ê E/8q$µÌ�Ð�à ê(� Î ,�Ï 5�7�8 D$m:9$DÆ I � J Ð 0��SÑ d,e (�;�< Ï Ì I ) 0( ,7�Y A . * '=�> + * . , + I�ê�? 7 ê � . I ,7 J@�A�B�C à�p�q�84Ì �7 ��Ï 59� ��q � F d�e � d�e�{ ? 8 I ­ ® 0 J ] ê E ) I à + ,ZÏ 5 , ¦! 0 J,] 0 � 0�D J F 0�E } 3 �( - � ,�Ï 5 � ' � = } 8SÌ J F ê $�6�8*q ! 8 ("­ ® 0 J,] 0� � ' ) à ' E } 3 � 0 2 . e

àO¹*Î���� ,ZÏ 5 � Y 3 E Ï Ì J F ( � Y:E } 3 � 0 2 . t,�I�J

aY$¹Î"��� ,"Ï 5 Ð%0��ðÑ ��� (�F �HG + * �I 8�JY$d e,{ ? 8 I J,] 0D J F Y�DC�4n�ÊË T � (K � % * * � � ,�Ï 5Z[ \ J Ð@8 ��J ��L ¼ à + I J,] Y J � , "�¼ ê� ­ ® 0�M%D (

��"q�N�O J

a, an, theà Ì

) ( �� ê 7 Ð 0 I 8�J DZ�*n$Ê�Ë T ��0 K � % * (�P . + * �Ì & Y�� � d e (;�< Ï Ì�Ðà ê E�Q ,�Ï 5

R.

vyq nkvvng tcddkvu, c yjkvg tcddkv, cpf c dncem tcddkv, nkxgf kp c nctig hqtguv.

gxgta oqtpkpi vjga jqrrgf qwv qh dgf cpf qwv kpvq vjg gctna oqtpkpi uwpujkpg.

vjga nqxgf vq urgpf cnn fca rncakpi vqigvjgt.

33

d e {0 I ) 0( ,7 (�2,a Y + * �G= 0 J ��� Y���� ��Ï�ê� ¤ J .���.��".� Ï Ì�Ðà ê(� Î ,Ï 5 ! Ð � d e0 Ù ± D J ! 0�¤�0 2,a� � 8SÌ�6 Y������%.*Ìà#��,Ì��Î �Ï 5 1883 � ��� �d e �30 6 � D��$lfS�S���Z� ¾ ¿ n,f�� n����Ã��� V ����� ¿ n J��d e�B,f"h À 0 Ù ± D J� d e {DC���kA Á À �2,a Y:E�Q*Ì�6�Y J ����" ¦ ¤0 2,a ê � 78SÌ�6�)SÑ/6�Y%6%6�� � .SÌ

.�

à! �� ,�"�I�ê� Ð�8 J } w�Y$#4Ì , � d e�%�&0�'�(�Y�) I � Ì 9 % �,Ï 5*�+�,�-�.�/ � ��0�1�2�3�4� ��0��SÑCY�� F ��d e J 3 � $�5 � .�� ;�< Ï Ì$Ð�à ê B C � Ï 5�Ð�0��SÑ u : 6 Ñ�� �!78� d,e ê�9 o W ��: �

(n�m���f

1523 ��; , 8 )Y��������< ? 8 ,�"�I

(9 o W ��: �,d,e

)5

Ð/8 J ¤ � 8 ) 7�8 I � � Y�=*����B V � V d,e � 0 J,F 0Z¦G7 " �?> à!@ �BA�� ��C =à . Ñ ' 0 �� �4 $�Y 5 . ¤ �D . �Y R,T�U,V�W � Ì I �SY$¤ .������ 8*q ;�< Ï Ì ÐàJ�E B%C ��Ï 5

a F a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

b F b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a

c F c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b

d F d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c

e F e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d

f F f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e

g F g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f

.

.

.

z F z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y

� �"q this is a pen age

à . ÑS¤ (� .�� d,e { Ï Ì$Y J$� 0��SÑZY "%,ZÏ 5

this is a pen ª t h i s i s a p e n¤a g e a g e a g e ad e { ? 8 I J,]t n m s o w a v i n

Ð 0��SÑ ��� �GBH { Ï Ì ' 0*à " �,� 2� ? Õ�I�J � Y�K�_�L"� ê � . I � ����l � �4àOp�q8SÌ�M�¹ ê E � ,�Ï 5

(I > " Ð�0�����l � ' ! 0,r"I�N�O06M�P%D ) Q�� " � ;�< Ï Ì�Ð*à êB%C �?"�I 5

)

��. d e� � ��J ¤ ê � � �Y$#"7�8 I�R : � ! 0"d,e J$Q 8 { ? 8ðÌ I ) �/ \ ¤0 /�0�ê � YS�T à � ,�Ï 5 � � J�Y J Ð%0 /�0 0 I ) Y J I . 7�8 ��U 8 ê º »ðà � ,�Ï (%�V�W�X Y

)5

5.2 Z\[\]_^�`Ý d e�Y A .������Ì*àCÎ�Y J� D*A"f Ý A ß �a�b Ý

B ß _ 9 ÝE ß à . ÑO��Æ ê�c ¨ "� D*A"fê�a�b Y ! " � a�b,ê D*A"f$Y R,T�U,V�W � �4Ñ�à " _ 9 ê ! 8 #�$�" �4Ñ à Ï Ì à . Ñ

34

� � � Ï Ì Ð*à ê 1 .�0 � Ð Ð � ' ! 84Y�HkÑZÐ�à�Y "%,ZÏ 5 ß��������. , DA"f�à a�b%J���� �� 0��mC� ê ��� Y���. Ö Y�� ¼ � .Ì Ý Ð�0 Ö 0 ��� �� _ 93J ¤ Ý����� ß 0�636�� I�� Y������ . .���� J$Ï ��� #�� � � "3, Ñ ß à "3,�Ï 5�D*A$f ' a�b ' ! 8£38 G $0�� ��� à ! 0"¤ J�� ��� .4Ì%0 �Ï�ê� �� .�Y�!��0�� ��� 0�¤ J�� � �%. .�à ",�Ï

.Ð 0��ðÑ �"$# �$�� > � � .���_ 9 Y ! 0,r"s � 7@8SÌ�Ðà = R,T�U,VW � �&%� Ï Ì$Y J )SÑ Ï 8*q���. � " - Ñ/6('

�����*)+�. , D*A"fà a�b3J�, 630�ÆY$#"7�8SÌ�Ðà Q =.- à A 0�/�0�0���1 /�0 Ï Ì�º » ê E Ì*à Ï ÌÝ Ð%0�/ J ¸ / � '�2 . ß à " ,�Ï 5�3 " D*A"f�67 a�b6 �a�b 6�7$D*A"f$Y � Ì40���1�0�/ J�Ï ��,_ 9 Y J $�6���� "3, Ñ�à "%,�Ï

.Ð 0��ðÑ �"$# 0"Ü � _ 9 Y"#F7�8SÌ�Ðà Q = D*A$fà a�b

ê�/ \0�/ � A I ) Y J )ðÑ Ï 8q:��. � " - Ñ�65'Ý76���� F � A 0�/�0���1 �8�9 � � Î Ì�0���1 0�/ ê $�6�� I à " � ' = 0�� A 0�/ J $�6�7 .�5M�Y = 0��$/04Ñ � 0 � A ê $�6�� �%.�� ' ' Ñ - à A 0�/ ê ¸ � E Ì 6$#*Ì�Ðà J � " .ðà"�:�Ï

. ß

Ð 0 ¾ _ Á5; Y � ��Ì�/=<�>kx Ï Ì ' <à " ��? ,�-�@�A�B$C (D$E C )à9p q�8SÌ ' < ê E � :Ï

.Û ÜÐ/8 (��F � � < ¾ _ Á5; Y %�I Ì(��� )�<��SÑCY�7 � Ï Ì�<�6,Y A�F �$G$H "�:ZÏ 5

I�J �m �G&K -ðà Ï Ì%54L�- a

àbY�� " �

a− bê

m� K �!@�8SÌ�àZÎ a

àbJ

m �MN�O�P�Q(R � E Ìà F�F a ≡ b (mod m)à/6 =

.

����q7 7ðà "�I ?,Õ ��J�S�" � J �SÑZY � :"Ï 5 Ð�<��ðÑ � � � W,� m V$T ��àOp��:�Ï

.

2 + 3 ≡ 5 (mod 7)

2 + 4 ≡ 6 (mod 7)

35

2 + 5 ≡ 0 (mod 7)

2 + 6 ≡ 1 (mod 7)

2 + 7 ≡ 2 (mod 7)

:�I � W,� m V�T �=< ? Õ �J$� <��SÑZY " � ��- � - ��Ì Ðà ' � Î :"Ï 5

32 ≡ 9 ≡ 2 (mod 7)

33 ≡ 27 ≡ 6 (mod 7)

34 ≡ 81 ≡ 4 (mod 7)

35 ≡ 243 ≡ 5 (mod 7)

36 ≡ 729 ≡ 1 (mod 7)

àCÐ�� ����� Ymê4 $,Y I Î F àZÎ ¥ �37 8 I L�- y, t

Y� " �yx ≡ t (mod m)

à F Ñ x<

� � 6; = Ðà J ��� Y�� " F Ð4à ê #"7�8�� F :�Ï 5 ! Ð � y, x → yx yà

xà F Ñ � / �

�8�9 Ì���ðà� ���$�4Ì ÐàZY:���9Û Ü=<��SÑZY " �,¤=<�� � �� � Ì Ðà ê � 6 � :"Ï .

? ,�-�@�A$B$C������ O�� % ¶D*A"f*à a�b3J"Ï�� Y

yx ≡ t (mod m)<��Y � F � y = 7, m = 11

à à"Ì�ÐàZY�© < " � F Ì .Ý Ð�< Ð*à J _ 9 Y$#�7 8�� F � ' 6 : � F 5 ßSTEP1

5���� D*A"f J -

A � A� � Ý � �"q3 �� ¼�> à "$:�Ï ß ! 8 �2,a Y " � � Î :�Ï 5

D*A"f J7A ≡ 73 ≡ 343 ≡ 2 (mod 11) ��� "�:�Ï .

Ð�<������(: 2) α

à9p��Ð4àZY " Ð8 � a�b Y ; � :ZÏ 5���

a�b3J -B � A�� � Ý � �$q

6 �� ¼�> à "�:ZÏ ß ! 8 �2,a Y " � � Î :"Ï 5a�b3J7B ≡ 76 ≡ 117649 ≡ 4 (mod 11) ��� "�:ZÏ .

Ð�<(������(: 4) β

à9p��Ð4à9Y " Ð8 � a�b Y ; � :ZÏ 5

STEP25

DA"f�à a�b ê���� %��O©kÑ�� � � Ð$< α, βê _ 9 Y$#�7�8�� "$: Ñ@6 ' " 8 : ",¼ ê ! 8 J 6: F : "�¼ 5

STEP35

���� D*A"f J�a�b <���

β �D � � βA ��� "�:�Ï 5 43 ≡ 64 ≡ 9 (mod 11)

36

���

a�b3J D*A"f�<���α �D � � αB ��� "�:�Ï 5 26 ≡ 64 ≡ 9 (mod 11)

STEP45

Ð�<��SÑCY " �D4A"fà a�b3J _ b Y$#"7�8SÌ$Ðà = & �- F9 �4 Ì$Ðà ê(� Î :�"�I 5�Ð�<

9 d e=<�¤�à " � ��F ���4Ì Ðà ê(� Î :"Ï 5Û � <��SÑ ¤,� �� 7=<$D$_ � o"D J

1976 � Y � o"n,o V ���$� � ��� � V*¾ �=<"�,Æ�<�d,e�� �Y������ � é ? 8d e=< =�> I � ���� ? " :�"�I�ê� 7 � { Ï Ì � ��J�: > � <��SÑ �S$T: ê E � :�"�I 5

1.7�8,Y R�T�U VW <Z� �&%�� Ï Ì > Y$¤=<Z���4%�� Ï Ì�º » ê E � :�Ï 5$Ð�< : J � �"q� RCV � ) �ðR�TOU VW � �&% � Ï Ì � �: F A � ' R�T�U,V�W � 8SÌ à F Ñ ! < Q : � � � "$: F :�Ï .

25"Ð�<( 7 > à� ,Æ ê DA"f$Y � Ï=:�" � a�b Y R�T�U�V�W � � I à " � ' a�b Y J ! < Ðà�� 6 ) Ì Ðà ê� Î : "�¼ 5

5.3 ����Zð��Ð$Ð : � G�H " ��Î I d e J ± ��d,e�{Sà9��e�{�Y & �Z¤ ��F �Î :�"�I (

��.�¤).� o�n o V >

<��=< � ��Y$ �� I S$T : ��� Ï Ì I ) Y J d�e {Sà9��e�{�Y��5<Z¤ ��F Ì�d�e�B f�h À (� *+ %�� �,� � ���)à F Ñ� � �< "�:�"�I . ' " Ð�<��SÑ d,e�B,f"h À�ê 7�8�Y�E/8*q D*A"f J d e {=<�¤ �G $� � Y ' �$� � F �,�,e {=<�¤ �� � Ï Ì�ÐàZY:���$� �4 $�7 � J d e �D ÑZÐ�à ê� Î Ì��SÑCY � :�Ï (!" % � � )

5 I > � o"n�o V�J Ð�<��SÑ D$_ � o$D # < "�:�"�I,ê� Ð�8 )$<��SÑCY " ��7 } Ï Ì�<�6 ! < ,7 :���¥ ��Ì Ð*à J(� Î : "�¼ �?"�I 5

RSA� ��.�¤Sà F ÑZDZ_ � o�D 7 } " �4Ñ$à 1 = < =�> ê%$ 8 "�:�"/I�ê 1977 � A 9 �$f4�,��B"½& D�� D�K9� � �$<��,Æ=< =�> J Ð�'4Y%(�) "%* ¯ RSAàOp�q%',+ = ��F.- '�� F Ì"d e�B�fh À # E "�:�"�I .

Ð�Ð ��J Ð�<"d,e�B�fZh À Y A$F �/ = / = ³ ´�Y Ú t "�:�"10 Ñ32

p, q ��� Y I Î Ý ;�41 5 � �ß <�� A <%6 Ì � é ? '�� F F � -ðà "$:�Ï 2�Ð�<*à�Î �<��SÑ G&K -�� G&K -=<��,© ��7 "�:�Ï 2

N = pqÝ Ð�<

qJ � �8� à "�:ZÏ ß

L = (p− 1)(q − 1)

`: p− 1à

q − 1< ��9 ��: -

M = { ; 4�4 5 Û Ü=< G&K - � Nà F Y � ' < }

37

Ð�<*à�Î Â �8� ¤�È {c, N} à  2 a ¤�È d � <��SÑZY"8 ) :�Ï 2c: L

à F Y � `Û Ü=< G+K -82

d: cd ≡ 1 (mod L)à Ì

`Û Ü=< G&K -82 (

Ð�<��SÑ dJ � A � ����� ����� M à�p�q�'SÌ �7

��F ��� ) Ì Ð*à ê � Î :�Ï .)

Ð�<*à�Î M < = � <��SÑZY"d e { "�:ZÏ F

m → mc (mod N)

Ð�<��SÑZY " �� - ' I d,e J"� <��SÑZY " ����'*q = <-Y��4Ì�Ðà ê # - '�� F :"Ï 2

m → md (mod N)

F : ' à�< � V ^ M ��e�{ Ï Ì I ) Y J 2 < � - pà

q #*ÌZº�» ê E � :ZÏ 2 N = pqJ �

��� '�� F Ì�< � Ð�'� - p, q � ) Ì�< J ³,´�Y���� :ZÏ�ê Nê

400 5���-&F <- F Y Ì*à 7�8�YN �� -�$ ; " � p, q � ) Ì�< J�, à ¼ ) E�� Cðà F � '�� F :�Ï .

"�I�ê � �RSA

JÙ ± � E Ì*à F ��Ì � � ��Ï .

àZÐ�� �RSA

J�� <��SÑ M3D � � � F :"Ï .

� 2 a ¤ ��F �,d,e { "�I J,E J � � ¤ ��F �,�,e { � Î Ì��Ð�<�D�� ��F Ì*àO���"qD*A"f ê�a�b Y J E � ÌàZÎ�Y G $=< 2,a ¤ ��F �,d,e { " � " ���'*q a�b3J D4A$f�< �8� ¤ (��F �*Ð�' �,e { Ï Ì�Ðà ê(� Î�Ì � � ��Ï 2 Ð�<à"Î�D4A"f�<2 a ¤ J D*A"f " � � � F F � � ��Ï - �a�b3J Ð�< J,E J � Y,D*A"f� - � - ' I ' <� E Ì Ðà %��� � Î :�Ï (� ,�� /���� )

2Ð�<��ðÑ Q�� ê�� � RSA

J } w,_��^ V�:ðT � � � ' �*à ' + �!D � '�� F Ì"d eðà ��� F:�Ï�ê� } w '�1�� <-� �� d,e =�> × Y������ '?> �� " F d e ê # < � '�� F :"Ï .

38