Upload
phungdan
View
240
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
� � � � � �
1 ���� ����� ������������������������ "!�#�$&%('�) *,+�)�-.-.-0/�132�4�5�6���� 7�8"19$�:<;��=��� �>=?,�9-<8�@ ���A�
1, 2, 3, . . .1B! @�4<5�6�C�1�D���E���C�5=4,FBG HI1J� �"K�L�-BM N O
17 PM=@BQ=R,SUTV =$�W9X,5=�=YAZ���[�\� ,],5=4�^=�B7,_,`���a=b�c,���"K,>�7. d >�e f=@BQ�R STg#ih
(j �k�l�C ) mInAo p #=� $�*"KAq 019rs�gt�6�$,u�Y�KBv�\< ">�7
.
04<E�� 7 5,w=@��,x�$
6 P M O y=@<z={=|���}�K�C=13r�bAc����"K<L,��* 0$~%��=!<���=! @ 4u�C=19���BL�/�1V���3�����=YA$�*���>��
1, 2, . . . , 9, 10, 11, . . . , 99, 100, 101, . . .13r��A7��,�,��*
0���9KA �@<5,w<q��,4<E�� � � ��@=W9X 5=4B�,L�*�%(� �IY3� 5 x�/�����EI�Jc�7=8=1B���=@��,E���"1B�<��$��"D��<�s�B4���> K >B7
.)�K�YB8 @,�����B�,x��������,�U� � "!���D��<5� �!��� ��� k L=C 8�1B�� =D�* _ `=!
(� `=���,4�E ��� )� � �� "D C �"�A��� �<7=@B �L
. �¡ H�@�¢,£I1g��@<¤,xih�¥ x=@�x,¦=@�§,��$�e f�¨ ©A "�=�gcIK >B7�-,¨ ©�ª e=@�5,« ¬I13�®c,���"Ci%(¯ °�` ±�/B =$�*�%(² 5�/�$�³ ´=@Bµ,¶=4<� L�5=4�u � b�>����"K >B7. (%(²,/"1J�·�3¸w�$,!�1<!=1·%(¹IYA/
(² º
)4�»,¼�L�CA�s�g �L�-
)8�@<² 5=@�½ ¾���z�{�|���¿�YJ*�Z��=À9Á=Â�Ã
Ä KA ,Å�6 � c"K >B7,��*"À9Á�Â=Ã Ä "$14 P M��,���������gÆI�9'�Ç=@�« È��<²=@�5=4<É�Ê C���A� �=Y<K >B7
. (Ë �B@�«,È�$�²=@�5=4�%V�J�=@<5�/"19�\� ���K >B7�-�Ì Í=@=1�8,��* ²=@�5����>�@�Î,* Ï=6�®(−3)× (−2)
*=@�»,¼ Ð�� � $�Ñ�ÒI1gÓ ��4 Ô�� � c����"K,>B7.)> � >���� �
17 P M Õ Ö * 5 « , × « , Ø Ù «����=D��9§ Ú�> ,��@<Û Ü� �²=@�5�4�É�Ê C�13_,`���Ý">��3Þ ¥I�c�C�@A =����ß�)=! @B �u C�13r��3É�àI1�á<â���KB7 ã�ä<�<_,`I13å,æ L�C�8=1�!<� �=8�1B�=ç �� �,�����
, è é �<5,«��<ê,Ð�� �=D,K,>B7 . (W3X 5��
04�Ð=�<¤�6B�,*U� � ��²=@�5=��KA �ë �>B7=! @ @<�,ì
{. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}4<í HI1gr �"K�L
.)M N O6 P M î *,ï=ðBñ�ò,ó (Pythagoras, B.C. 560
îõô480î
)��f �I�JcIC�e f mInAo p "$ö � «���÷�\� �>B7�- Ñ�â�$"W9X 5�ÆUW9X 5=@�ø
(] 5
)@Bù�4�5 «=@�ú,û�1�>�����K >B7
.1B8,���ï=ðAñ�ò ó
(« ü=@�#�ä
)$�ý,þ ÿ=@�ú����I1g'��=@�ø��
‘]�5� �� L�8=1<@A �D ���,5
’( ��� H )�,� C 8=1�4<§,��>B��� 7�@B =L��,8�@ 8�1�4�=��É=Ê C�1 W9]�=@�5,«����� I�JcIC=1���c�*��@�����4���7���>���>B��� 7 ���J L.8 @����B��WgX 5���ú�L�C����,$
17 P M,�,�����=!,KAq����� � 7����g ,L,-(Ï=6�®
19 P M=@�|�z���@<5,« È���Â��UÃ! Á (1823ô
1891)$&% W3X 5�$�"��#IYg7�!��g7=-��=@$�@�5=$�#�@�% v�C&
(b�'
) "u C -0/"19r=�B����K�L
.) 17 P M�@�( ò�{=ó@�),«�È*� �+sT(Descartes, 1596
ô1650)
$‘5I1-,=$�'�ì=@�! @
’1g���9É�à=4 ><]�5�Æ ��. 5!�],5�Æ ��. 5=!�W9X�5I1�á�/����A�<_ `��� "D C 8�1<ç ��� ��>,K >B7
.8�@ �I�A��5 «=@�§,Ú=� $�* Ë �B@<# 7�0 @�1 × 1�2 a�3�4I1�5�� â":��<��@6�7�� u"Y<K<L .8@�8�9� �$,8�@ �����B5,«���§ Ú�>B��:"�!;=4�¾�<���=����,5�@�½,¾ ��� }�K��B��>�?�.�@��<)����KB �A�B=4,>B7��U1�C �"K�L
.
1
2���������
2.1 ���� ��������%���ç�/��� �E�� � c�C�5 «���=���C���@��=@ ! @���) ����@<ì����=���� �$�e f mInAo p # *�!��" n ó"T$#�% ó��,����� a�bAcIK >B7 .
" n ó"T$#�% ó�$�K'&% @�.��=��/�(�@I19rs�A@<$ %�)+*�/,@�, ���.-�/ �Jc����,� *�8 @0,=��1�KAc�CA��c2 c"@�)�*�$�*��=@43,O=@B�s�g) � @�)�* �=� u Ci% @�.�5 ¦�/��,������6 ù87��Jc,���C
13t�6 K,>B7.(8�@<t�6�$�9 f��=��5,«=@��,� ��� L=C�13�s�3µ�: ]���! @B �L
.)��>���;�$,8�@8�@<ý">���<�@��4=�U�JcIC�%��<^"bBc�C�@�.�5,¦=4�,�> L�C 8=1�4<t�6�K >B7
.�=@�7����$�;$�*�?�&A@ �=@�%�)�*,/"1A$
)�B�1B8�@4)�B,��C+<I�Jc�CB��D(k�B
)13�U�
2)=@�E�F ��� �,C�G�H
(:ý=>B� � �s� "�A� � �4I� �L�C Ù ¬ ) (
h.h h 8 @����B�0G�H�@�8=1�4i%�)�B h k�B�G+H�/=13�J�K�LAK "u C�1� �Ê K >�7
.
L�M�N�M�O�P�¡�Q" n ó"T$#�% ó�$�#�:9 �u,C,-���=@<#":�$�R L�l�D ! @A "u,C
.
" n ó"T$#�% ó���ý�>B��(�@=4 -�/ L�CB7=Ê��+S=b����<c=®�� � �B� Ä ð�Á={"1�>�� t�6�7�@�.����5,¦�$&%�T�U�@ x�/"1�>���V � c,� ��K<L,- 8Bc�$�+�)=@4)�* ��� ' )�@�)�*=4�¢=D�7<L�%�@�5¦� �Ï=6�®XW���=@<#":�$�R L�l=D ! @B �u CY � ò0#"ó�$�#�:A "u C
Y � ò0#"ó�$�R L�l�D ! @B �u,C,-�<��c"��uB7UY�K�L
.8�@ Y � ò0#"ó,@�Ï=$�K���7U�,W�ç ��! @B �L=�A" n ó�TZ#[% ó�$ 8 @�Ï=�1B��K � &"8Ac=Õ�\=@�T�U�@ x=@ Ä ð<Á�{,4��� �> K >B7�-<Õ j ;=@�]�^��<)�� �,� ��:"��8=1B�> K�L,-
_ »=@�)�B h k�B�G�H�@4)�B=4S,k�B=4
P1Bu � b >,K�L,- 8�@�1<D�*
%S$
P �u,C,-0/
%S$
P ����"- /
2
@����B�<* k�B�$4G�H=@,¨A � ����,!��� ����,!�^��B8�1B�< �D�K�L�-�� � ��)�B�$&%(L�l ��@S/�1 � % u C
S/ @�ÿ� ���L=8�1g % ,=4� �Ê�C�/
(,���L=C
)8=1B�� "D K�L,-.)�B=4�,���L=C�+
���=@�þ,x=4 � ��=��k�BI1��� ��=��k�B=4�� ù ��bBv"C 8=1B��� ��� * è @�����=@�)�Bih�k�BG�H��� � c�KBL�-L�l���@
S$
P "u C
(All S is P )L�l���@S$
P "���
(All S is not P )u CS$
P �u,C
(Some S is P )u CS$
P ����
(Some S is not P )
8�8B �8Ac � @ Ù °=4SaP : All S is P
SeP : All S is not P
SiP : Some S is P
SoP : Some S is not P
@����B��� �>B7 ÿ� �u � b<L�8"1B��> K�L�-�Õ j "8�@<�,k x=4�E � ��T�U�@,x=4<]�� L=C 8=1��> K�L�-�T�U�@ xI1g�·�B@�$ %�O���/"1��<®�c�C�+�)=@����G�HI13*�8Ac � @�+�)�@<O�� ��� 5¦���S=��� ¢ � cIC�<�@ ��� ���<����K�L�-�!,>S1
P4�8 @4<�@=@,¨��,u C4)�BI13k�B�qs19LC=13*�(�@�� / ß L=C�7=Ê�� $�O���@ ¨��
S, P19$��=@ é T=@�,=��1"K9c����"C 8=1B�����I1��Y�K<L,-���K<*=8 @ é T=@,=4 M
1 � �B8�1B��>,K�L�-7I1�6�®
���=@<#":�$�R L�l=D ! @B �u CY � ò0#"ó�$�#�:A "u C
Y � ò0#"ó�$�R L�l�D ! @B �u,C,-�<)�� ����� 13*�% Y � ò.#"ó�/��
S,%�R L�l�D !�@�/ �
P ,��>��%�#�:�/��
M1���Y�K�L,-�@@���?=4�^�6�®�8 @�T�U�@ x�$
MaP
SaM
SaP
1 � �,KBL�-<8�8B ����M1
P��� �,C�O���$ %(� O���/=19 ®<c,*�ª�����¬ � c"KBL�-
(KB7
S1M��� �,C !"� �U1g)�@<O���$�%�� O���/�13�®�c�+��U�9��¬ � c"K�L�-
)� O���$
M��? �
P��? � @�+���YB@� ���,u=Y� *=KA7��,O��,� $
S��? �
M��? � @<+��IYB@��,�,�,u=Y��KL ��� *�T�U�@ x�� $ è @�����=@ Ä ð<Á�{ �,u C 8�1B�,��Y�K�L�-
3
I II III IV
MP PM MP PM
SM SM MS MS
SP SP SP SP
8<@A�<c 2 c=@ ��� +)+B"1Jk+B,@�:<��$a, e, i, o
@��A),@ Ù w ��£"Y��AC�@3 ��ì� �$ 4×4×4×4 =
256�IYB@4T�U�@,x��,u C 8=1B��b � Y�K<L�-�!�0,��\,8,@ ¨�� $�ý�>�������T�U�@ x=!41"K9c����K<L���*�" n ó"T$#�%,ó�$,8�@,¨� �ý�Ñ�� Ä ð�Á�{�4�I� "> K >B7�-�" n ó"T$#�% ó�$,8�@ 256� @�T�U�@ x=@ Ä ð�Á�{,@"�09 ,ý"Ñ���! @�$ è @ 19
� �u,C�13k l�K,>B7�-I: aaa eae aii eio
II: eae aee eio aoo
III: aai iai aii eao oao eio
IV: aai aee iai eao eio
(Ì,$,8�@ n ó"T9@�¨�� $<ý�Ñ9 =�<�+(�@��<+ � 1=KAc � �=K�L�-<8�@���ó��<��) � C�KA ��,$ 2000��� � � Y�K,>B7�-
)
���
19 P M=@<z m"n ó�@�5 « È�R��A{ h� �{,$�T�U�@ x=@Bý">=�B4�I � Ê CB7=Ê @ � ÿ+� þ x=4<t���>K >B7�- 8�@ ���B� � $49��� �{ � 13�®<c,���"K<L,- �{ � @��"ç�4�L"CB7�Ê��=K'&�� �=@��"ç�4 >,K�L�-�� � ��rs��1 % ! @ @��"K�YB/�@�8"1�4����13��=@A �L���*�5 «� �$�!,����c"����L�C�@ � *��I�B�<�=@ � ç�I���! @Bq"��4��,�I1g�JIKBL
.KB7�� ����� L=CA��c 2 c"@�! @�4����I1g�J�K�L.!���5,«< �$��s� ����4� �7=�<�����B�
“�=KY
”!��,�I13ù=� ><*=8�@ �I�B�!�,�=@�8�1<4�"�����13�J
φ13�s�3��?� ,�"> K�L
.
Q�#Ï=6<®% 6=@�$ � #�@��"K=YA/�13r��B@<$���c"��� L�C�@ � �I�B����@ � $�ç�I� �$,u=Y<K�v�\�@ �� �I1B$��l�K�v�\
.��c"��ú=>B� %&%�5
170cm�@�@�#�@��"K=YA/ $��,�I13��=8"19�< �D,KL
.KB7 %&%�5
100mÕ+@=@�#�@��"K=YB/ $�'�� �I1���Y�K�L�-
�g�,��DS, P
� =K C����=4���c 2 cS, P
13¬s�A8=1�� >,KBL.8�@�1BD %(L�l �=@
S$
P u C�/=1g���'G�H���ý=>B�I19�s�B8=19$ è @����B� � �� L�8=1B�< =D,K�L�- (
8�@ ���B� � @�8=14�����=194JIKBL.)
S P
4
KB7 %(L�l���@S$
P �����/
,% u C
S$
P �u,C�/
,% u C
S$
P "�B�=/,$<��c 2 c è@������� ={ � ��I�Jc�K�L
.
S P
S Pφ=
S Pφ=
@=@�ÏMaP
SaM
SaP
1g���'T+U�@ x=4� �{ � ��"ç�L�C=1 è @����B� �=Y<K�L�-
1
234
5
67
S P
M
K.& %(L�l ��@M$
P �u,C�/"1g����@<$
31
5@�������'�� �� "u C 8=1<4<» ¼�>A����K�L�-KB7 %(L�l���@
S$
M �u,C�/"1g����@<$
11
7@�������'�� �� �u,C 8=1�4<»,¼�>B����K�L�-
S=�B�,+ )=@<O�� �=� ���1*
3*
5*
7��'�� �I1J�·�B8�1B��b � Y�K�L�-�S=���=8Bc ���
S@�Ll���@<N=$����
4��1�KAc,���"C 8�1B�,b � Y3*�S=���
S@�L�l �=@�N�$
P�41"KAc,���"C<* r����6,C=1
SaP��ý�>B�=8"19��b � C<*I1g����b<�< �L,-
5
2.2��� � �
e f m�nAo�p ��� =���� 2000�=@ :õ%�(�@,/�@ Ä ð�Á,{ ��ú�L�CB5 «������� �$���1B\ �<[�Ú��<�� c�KBv=\< ">�7=��*
19 P M�@�5,« È���Á�+ (1815ô
1864)$,8�@�þ�F� �@����B4����B8=1B� /
> K�>B7�-(��Á�+"@�]�^I1B>���$�%���Á+,f,5�/��,� C�C t=@���� þ x,�����< ,L��,8�@8�9< $���Á+=f 5��<)�� ��$���c�KBv�\=-
)��Á�+�$�(�@��<)�� ��@ Ä ð<Á�{,4�� )��=CB7=Ê��A" n ó"T$#�% ó����IY����B7�G�H=�=Y � � ��'�=@�G�H=4��UY�� ��K,>B7�-4;�$&%�G�H�/"1g����@<$ %�������I� � "D C�/,!�@B �u C�1� �Ê K,>7�-���>���G�H�$<�U�3) � @������� kI�Jc�7�5,¦��,@��"1B����<,�I�Jc���:"��8=1B���=Y���Y���=��G�H�� -�/ �Jc���:"� 19t�6B7�@B ">�7�-BÕ j "8 @0<,�=@ Ä ð�Á�{,4�� ��:"��8�19�=> KBL�- �!�O�P
.G�H
p, q��ú�>B� %
p� )
q/,4 �!�O�P 13�JIK�L,-
p1
q@�����,b � c=®�*�" r�G�H%
p�)
q/
(��?�
p ∧ q13�"> K�L
)@����$ è @����B�4I� �> KBL�-L=� b�0
p1
q # þ����< "uAc=® %p� )
q/�$��� =u�Yg*
p�
q (u C���$���@ # þ )
���� "u9c® %p� )
q/ $$�U1B��Y�K�L�-
8�@ 8�1�4 è @����B�B��4�E � � �,L=8=1B�=> K�L,- (8�@ ���B�<��@ 8=1�4$%&�'I13�JIK�L,-
)
p q p ∧ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
( !�O�P�#G�H
p, q�<ú">�� %
pKB7�$
q/,4 ( !�O�P 13+JIK�L�-
p1
q@�����,b � c=®�*�) r�G�H%
pKB7�$q/
(��?�
p ∨ q13�"> K�L
)@����$ è @����B�4I� �> KBL�-L=��b�0
p�
q (u C���$��=@ # þ )
���� "uAc=® %pKB7�$
q/ $��I1���YJ*
p1
q # þ,���� �uc=® %pKB7�$
q/ $��I1B��Y<K<L,-
p q p ∨ q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
*�+ O�P�#G�H
p, q�<ú">�� %
p� � ®
q/,4 *�+ O�P 13+JIK�L�-
p1
q@�����,b � c=®�*�,�-�G�H%
p� � ®q/
(��?�
p → q19��> KBL
)@$����$ è @����B�4I� �> K�L,-
6
L=��b�0p����
q���=@=1�D&%
p� � ®
q/ $$�s1��=Yg* ��c=�\=@=1�D $ %
p� � ®
q/ $��1B��Y<K<L,-
p q p → q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
��� O�P�#G�H
p�<ú">B� %
p "����/,4 ��� O�P 13�JIKBL�-
p���=@=1�D&%
p ����=/
(��?�
¬p13�">K�L
)$�� *
p���=@=1�D&%
p "�B�=/,$��I1A��Y�K�L�-
p ¬p
1 0
0 1
8�@�.���� �9c=®�?,��k�l�7�T�U�@�x,$ è @��"�A�����< =D,K�L�- @�@�,�-+G+H�@�����4B����Æ"C=1%p� � ®
q/�1
p�"1B!����� "u C�� � ®
q!��� "u C
8=1B��b � Y�K�L�- 8Bc���T�U�@ x=4�1�\� ,��C�1g�·�B8�1�4<� ì��=��Ï� ���ç > K >=?,�B-BÏ=6®p1B>��&% Y � ò.#�ó�$�#� =u,C�/
, q1�>B� % Y � ò.#"ó�$4R�L�l=D !�@B �u,C�/�13L�C=13* % Y
��ò0#"ó�$�#� "u C � � ® Y � ò0#"ó�$�R L�l=D ! @B "u,C�/"1 % Y � ò0#"ó�$�#� "u C�/"1g���ý�>B� + )=@<O�� ��� % Y � ò0#"ó�$�R L�l=D ! @B �u C�/"1g���9ý=>B��<�@���¢ � c�C�8=1B��]� Y�K<L,��8Ac"$�?���k l�7�T�U�@ x(@�',Ï
)��$=�=Y<K�v�\=-
��
,�-�G�H��� >B�=$ è @ ���B�Bx,¦�� / Y3ß 0 K�L,-p → q
���=� � ¬q → ¬p!���- KB7
p → q�$�=� � ¬q → ¬p
!��"-(r����=6 C�1Bu,C$,�-�G�H@����$<�=@<ú��=@����I13'� L�C
)8�@ 8�1�4���ç�L=C���$,�I�3L<c=®��B�� I>=?,� ���� ������%
p → q/"1 %
¬q → ¬p/,@��� �=4<¬�� ��ù,�U�gqs�3��-
������P %p �����c�®
q "u C�/ ��ý�>A�U1BD�* è @���c���ý�>B�I1Ar=6,C9 I>�?�� � -
1. p "uAc=®
q �u,C
2. q "uAc�®
p ����
3. p "���Ac�®
q "�B�
4. q "����c=®
p "u C
5. q "����c=®
p "�B�
7
2.3��� � ���
5�«,��=���C0�=ç�@ Ä ð�Á,{,4��87�L�C�ª�y=@0]�@��,$19 P M=@�=b�YB��A" �
(Giuseppe Peano,
1858ô
1932)1�(�%�Á �
(Gottlob Frege, 1848-1925)�,���B�=���gc�K >B7=-�; � @ � �
(k�B�@
.) =$+G+H=@ -�/ ����1<>A��$4?=��k l�7�G�H=@�����% � )�/ *�%�KA7�$ / * %�ô=� � ® / * %�ô� ����=/��¤�6B� %(L�l���@�/�1·% �U�3) � @�/=1g���35�,��
(,���L=CB7=�@<E�B
)��1=K9c,� �=K�L�-
(88A �$ %(L�l ��@�/I1J�·��@<$ % _ »=@�!,@���ú�>B��ô�� / Y9ß )�/g*�KB7 %��s�3) � @�/I1J�·�@�$�%
(� ��� 1A!��s1g)�@ )�����L�C</�13�=�B7 r ���,>9 ,^ ��K�L,-
)Ï=6<®&%(L�l���@<#�:$�R L�l�D ! @B �u C�/"1g�·� G+H=4�k�B�@�.� �¬U��1
_ »=@x��ú�>B� *
x��#�:A �u,C � � ®�*
x$4R,L�l=D ! @B �u C
1B�,C @A �L=��*�����B� ,¬s� 1!@�. -�� � $ �,D=Y�>��<�=@B =*�@�. «� ,E � � c�C���?=4�^��� ��9�>B��ù"C 8=1B�=> K�L�-�k�B�@�.� =$ %x$�#�:A "u C�/"1g���9k+B=4
Human(x)13¬�D�*%
x$�R L�l�D ! @B �u C�/"1g�·�3k+B�4
Mortal(x)19¬=D K<L�- KB7�,-�G�H%�ô�� � ®,/ $��
�→4�E ���,��> K�L,-
(G�H�@�.=@=1BD�1�áBã *�% � )=/�$ ∧,
%�KA7�$�/ $∨,%�ô� ����=/�$
¬ ���>�K�L�-)� � �&%(L�l���@�/ $
A(ll)4��U��K���>A7 ��?
∀,%��U�3) � @�/ $
E(xists)4����K���>A7 ��?
∃4�E ��� �"> K�L,-=�g��8Bc � @<��?=4<^U��1 %�L�l���@<#":<$4R,L�l�D ! @A u C�/"1g���'G+H�$
∀x : Human(x) → Mortal(x)
1B��Y�K�L�-��=@�ÏU1�>�� % � � ����#":������ L=C�/"1g���'G+H=4�@�. ��?� ,¬���1 è @����B��=Y<K<L,-"!.7�qI>�8�8� �$ %x$���C�/"13�s�3k+B=4�%
Asleep(x)/�13��9 L�C�8=1B�=> K�L,-
)
∃x : Human(x) ∧ ¬Asleep(x)
k�B�@�.�$�' �������s�g ,L���*�@�.=@�� ��$�#�����$�%�����as�B8�1B�< "D C�1g���9�����,u=YK�L�-�� ì����<�s��1gÏ�6<® è @��I�B�05,¦�� / Y3ß )=8"1B�<] � Y�K�L�-
¬[P (x) → Q(x)] = P (x) ∧ ¬Q(x)
¬[∀x : P (x)] = ∃x : ¬P (x)
8Ac � @�5 ¦=4�E ��C=1 %(L�l �=@<#":�$�R�L�l=D ! @B �u,C�/ @��� �$�% u Cx �*
x$<#":A u=Y � )
x$4R,L�l=D ! @B ��B��������!�@������ L�C�/"1B�,C 8=1B��] � Y�K�L�-
9��� �$�5 «=@�G�H�$�*�&������ $�* L�l���8 @ �����i%(k�B�@�.�/,4�E ���,��9I�JcIK�L���* ÌÍ���@ �=@������B��9=4�E ��C @�$�u K�YA��!�'�� "u C @A =Ì E���� $ è @������B� (��=����9��E�� � c�C�8�1B� Ë �� ,L=-
∀x(x ∈#�:
), x$�R L�l�D ! @
8
∃x(x ∈#�:
) s.t. x$�� � ���
��� O�P�¡ �����%∀x ∈ U, p(x)
/�@��� ,$ %p(x)
� / Yg�7��B�=�"�A�U@ ���
x�����L�C</,1A�=Y�K�L,- S,�A�
¬(∀x ∈ U, p(x)) = ∃x ∈ U s.t. ¬p(x)
� / Y3ß 0 K�L,-,KA7%∃x ∈ U s.t. p(x)
/,@��� �$&%U���,L�C _ »=@
x��ú">B�
p(x)� / Y3ß 7=�<��/� ,L �=� *
¬(∃x ∈ U s.t. p(x)) = ∀x ∈ U,¬p(x)
1B��Y<K<L,-��� ���U�3��������r���1g* �� �G�H=@��� =4��"C�� $
∀4∃�<*
∃4∀���=6��,*�,�-
p(x)@�f�b=YB���=@��
¬p(x)4<£�c c=®,���
.
1g����8�1��,��Y�K�L.Ï=6<®�������� � «=@�«�6�$<� ���,�� �L���*=8�@ 8"1�44@=@���?=4�E ���,��9�>B��Æ"C�1
∀x(x ∈������� � «=@�«�6
), x$����
1B��Y�K�L�-�8�@�1�D,8�@�G�H�@��� !�������� � «=@�«�6�$<� ���,� *� =$,����K $ è @����B��=Y<K<L,-∃x(x ∈
������� � «=@�«�6) s.t. x
$��,�� ����
������P�#è @�G�H=4 4��� �G�H�@<��?=4�^���� ��9�v=�,-,KB7���@�� +G�H=4B)��Jc�-
8�@���@A � �TB4 30
] ��A �� l�7,#=$�� O=4��IY�7 >B�=! � 6,C,-
9
3� � �
3.1 �����!�@ @ � 5=4<� L�@��<E � � cIC�5
1, 2, 3, 4, 5, . . .
4�W3X 5�13r���K�L.8�@ ���B�
“5
”��ú�L=C�É à,$
(5=4B�,��L=C�þ x,����) � C��=Y
)&���1��� � �=� u���7=@�$=:B;��=�B��8=1g =L,��*�9��< �L � *�Ì Í,���,�
“W3X
”��7"�BbBLUW3X 5�1rs�B@<$���\,���������,u C�b��< �$,u=Y<KBv�\
. (Ï=6<®
10,000,000,000,000,000�=Y�!<�=D��<5w��A7��BbBL�8=1B$������$�K0&,� �� I>=?,�
.)8�@ 8�1<4<t�6 C�1 @�@
1, 2, 3, 4, 5, . . .1g���9��=@ ¨ @
. . .� $"1g��! ���=�<»�¼��,u C 8=1B����� ��c�K�L
.
� ��� �������<H ¡ '����@ �=@
10,000,000,000,000,000$�'��=@�'����=4��">���=�Y9'�� ! �<��K"1�� ù"K�L�- � ��B� ��D��<5�4��,L,�,$ è @����B� � ����E�� � c,���"K,>B7�-' : � � � � � � ! ����K ! �<�8K >
(!�" \,��# *�7�qU> Ù�$ � �,���&%� C�¸ w=4,ÑA�����"C�8=1�! u=Y<K�L) ' ! /�?,�0K)( !�8��.K)* ! � \�K ý !.v���K +
! �g�8K , !�D�?,�0K -�.�/ !�8��B���0K 0�1�2 !�uB����3AK54�6�$ !���:�78K µ�7�C��!98 � >:3�K ��, ��5 ! �IY�?��g7��,L��0K; 1<>A��$�< ��KA �$
10�=,)&<:� Õ�@�-�.�/=KA �$ � [�<:-�.�/ Õ+@ ��, � 5=KA �$�����[I1A�Y�K<L,-
8�8B "$�9,f 5 «� �$“WgX 5
”4��,@����A�� �9�>B� ��C�@ � 4A�B�> K�L
.(8Ac"$�*�u��<K9 �!
9 f��=��5,«��&%(5�/,4��,@����B� >=6B� �"C @ � A�B�>B���"CBq��� �L=@A �*,�=4�r��B� �"C @� ����b �"� �"�g��!�u,K=Y@?���>��B�� ·�Jqs�g�"-)
A�B&C ¡�D � #5=@��"K=YN�,u���� è @ 1
���54 E�7�>�� ��C=13L"C
.
1. 1 ∈ N (113�®<c�C
N@�N=��'�)���� L=C
.)
2. ∀n ∈ N, ∃n′ ∈ N (N@ _ »=@�N
n�<ú">B�
n′1g¬ � cIC
N����� L�C -9h.h h 8�@
n′@�8�14
“n@ è @�N ”
19��=8"19��>,K�L�-)
3. ∀n ∈ N, n′ 6= 1 (N@ _ »=@�N
n��ú=>B�
n′$
1��$,� � �B�
.)
4. ∀n, m ∈ N, n 6= m → n′ 6= m′ (N@ _ »=@�N
n, m��ú�>B�
n 6= m� � ®
n′ 6= m′.)
5. ∀M ⊂ N,
1 ∈ M ∧ (∀n ∈ M, n′ ∈ M → M = N)
(N@�Ç,]�� �
M�
“1 ∈ M”� )
“_ »=@
n ∈ M��ú�>B�
n′ ∈ M”13�s�9�+D=4� �)=� �®
, M$
N����>B�
.)
10
8�@�1�DN4�W9X 5=@��,��13r �,*
N@�N�4 F<G HI13��
.
��� �R����sà h �" � !
Giuseppe Peano, 1858�
8 � 27�"ô
1932�
4 � 20�0K�$�z�ð n "�@<5 «È�-�W3X 5=@���.�� ! �" � @���.�K *��" �����=@�t�� ÈI1<>B��V � c"C -
�¤�x
(¶=>�`
)4 �"��<@���.,��& ��� t�6�C�8=1A�,>,K�>=? �A- WgX�5
n�<ú=>A�� �K�C è @�N n′4
n+113¬I�A8,1A�,> KBL
. ()�K�Y
n′ = n+11- =Ê�KBL
.)��8A "8�@�� ��x,4BE����
1′ = 1+142, 2′ = 2 + 1 = (1 + 1) + 1
43*
. . .@����B��������c� �>�\� ��C<� � x� ,�,L=8�1B��>K�L
.8�@ �����B�,� x���S=�B� * _ »=@�W9X 5n��ú�>A�
(· · · (n + 1) + 1) · · · ) (m� @
14�¶">B���C
)19���JcIC=W3X 5=4
m + n13¬�D�*
m1
n@��I13�JIKBL
.)�K=Y
n��� Z=�
mq���y=���u C<5=4
n + m13r��Bb<�< ,L
.8�@ �I�A� >��� "K C�¤ x��
(+@���?� � "K C�� `
)��ú�>B�
è @������B��D�� / Y3ß�)�8=1�4��,L=8=1B�< "D K<L .
∀m, n ∈ N, m + n = n + m
∀l, m, n ∈ N, (l + m) + n = l + (m + n)
!�8Bc=$��">B� % uA7UY�K�6�/�13r��B8�1B$< "D��B�"8=1B��� »�>A�U�gqs�g�.)@���¬ � c�7 ��D@"�0Bª��=@�! @������� * +��U�B@ ! @ 4�������I13�JIK�L
.8Bc � $�5 «� ��=Y9'�������`=4��UY�����1BD����0HI1B�,C ���=����D� �L
.
F�G H ¡ ��������W3X 5=@ : @������ �4 è @��I�A� =Ê C 8=1B�=> KBL W
+�)=@"W9X 5m, n
�<ú">B� *n�<�U�3) � @�5�4�¤�6B�
m�� � c�C=1BD<*
m$
n�=Y@����!�WgX 5� �u,C�13r��A-��>��
m�
n1AD,8Ac�4
m > n
13�,L�8�1���> KBL�-'����
m�
n�=Y9�=DB�I1<D�u,C�W3X�5
a�����=>B�
m + a = n� / Y3�0 KBL���*,8 @����B�
a4
m− n13�">�*
m1
n@�"U19��=8�1A��>,KBL�-�KB7
m1
n@�#�4�$�Ê C 8�1A4���
(% $& ��')13��=8�1���> KBL�-
)�K�YJ*�(�B�����rs��1�W
11
m1
n@�#�4�$�Ê C
(8�@ 8�1�4
m�=�
n4 & ��1A�+9 L�C�8=1B�=> K�L
)1A$�*
n ��� �������� m������ �:��� ���� ����
��� �������
�����
m�
n ! �� (" #%$ )��&('�)+*�,- × .�/ !�0+132%4(5 ���(�
m× n = m + m + · · ·+ m (m . n 6�7 8�9;:! )
� 9;<! ,�- !�=�>?@ ) 9 �A� m× n !�< � . m�
n !�B ��&%CD���(�EF !�G�HI ��JKD� 8�LM�N FO � =�P FO(Q%R ��STD�AU 1�< � Q(V �%���(��W X
∀m, n ∈ N, m× n = n ×m
∀l, m, n ∈ N, l× (m× n) = (l ×m)× n
Q%R ��S X�����(Y F ! ��Z �%[�\ 2�< ) :^] V 9 ����_%`�a;b(� ced;X�f%g� 839hi�. �%j;Z
< �ea;��� )
��k�d(lm%- !�n�o × b�p�q 8�Lr c (s _�' m× n = mn !�0+132�r c ) < � Q;t c V �������
uv�wx �3a 2(y�L Z 9 ��� ! “ Y F ”
�“EF
” !�z T ! ,- 2({8�L/ !�0+1 ��J�K Q%R �AS�T < �:�|} �����
∀l, m, n ∈ N, (l + m)× n = l× n + m× n
<�! J�K . uv�w �e&%CD���(�
12
3.2���
��� � 8�L(! � b x l @ 2400 �����;!� ������ a��� 8 � 8�9 � �������� b .���(.�� UL��8�L U+� 8�9 � s _�' a + b
b�� �a !��� �!��� b !��� . T��" P�#�}�9�� a�d+� 9
a× bb�$�% Q
a, &;! $% Q b ! ��'�( !�)* � 8�L�� �+�eU,+ 9-�. a��;� <�!0+1 ��/(_�' .� U * � s _%' /;!�0 b�12
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
.�|8�L U* < � 2 �(�%���(�
a
b ab
aba
b
a
2
2
b
.��� a � �D�eU 1 /(_%l @ d u� !�34 b / !0+132(y�L Z���(��U ����� 1 !���;!�5�# �2 ��� 1 !�6 . / _ L�7 �%���(� <�!�6 .�8 g�9 ! � <: a; �(2�< *(� <!�6 ! ; �;! ��� Q ?@ )+������= < a <! ��� .
1
2
� �8�L>7 * < � 2;8 ���(�[�? 0+1�2 ��� 1 !�6 .�@ T <;2(8�L?D@ )D*���� . 1
3, A T <;2(8
L?D@ )+*���� . 1
4, . . . , m B��(2 ��* 0+132�< + L?D@ )+*���� . 1
m
� � � < � 2(8 ���(���� Q 1
2!����;.�z TT;��C 9;:!�! ��� . 2
2
d @ T�T ��C 9(:!! ��� . 3
2
d A T�T ��C 9;:�!! ��� . 4
2
d. . . !�0+1�2�r c < � 2(8 ���(� <�! ��Z%d 1
2!���;.�z T�T �D � 1 ! ����d A TT;��D�
2 ! ��� !���(2 �;�����(l @2
2= 1,
4
2= 2, . . .
!�0+1 ��2 Q%R ��SX����(�$�E 2 d���� 1
m!���;.�/,F �eT��Ua�Gc < � 2(0 �
1
m,
2
m,
3
m, . . . ,
n
m, . . .
!�0+1 � Q ?+@ )+��� Q <�!0D1 �
n
m
13
.�� �eUU���(��� 9 m . u � d n . u�� ��U�U���(�� L� n
m
b 1
m! ��� !���;. n � T ��U�� ���;! ��� .��8�L U* # m�a�� Q dU � <�! �
� 1
m!����;.��;2�B;8 U���� 2 k 6�< ����C 9>��;! ��� . / _ L ���(� <�!���;. k � T �
C'>� � 1
m!����(2 � � �(2�<%!����;. m � T;��C�'>� � Q 1 !��� Q ?+@ )D���(��� + L;<�!
k 6�< ����C 9����;.� �� � 8�L mk 6 T ��C%);'>��� 1 !��� Q ?+@ )+* < � 2 � �����(��� +L/ ! 2 Q%R ��ST < � Q # l�%� 8�9 �
n
m=
nk
mk
<�! 2 .�� 1 � s _�' 48
60=
4× 12
5× 12=
4
5!�0+132�� .���� ��( 2�r Z���� < � Q aZ����(� <�!
01 ����� .�� 13< � .�� u�� � ���U ���(�
u��� ����$1
3+
2
5!�0D1 ����� . /(_* 2 b !�0+132 ��);' 0 U�a 8! (1 l�� <�! ��" . / _�* 9;5�2 b�#
��$% 8�9 2 n
m=
nk
mk
Q�& 2 SX���(���' <�! 2 2�0 �ed 1
3=
1× 5
3× 5=
5
15,
2
5=
2× 3
5× 3=
6
15
��� �����(��� + L1
3+
2
5=
5
15+
6
15=
11
15
��(�-%aZ�d�) 5 *�����b 11
15
a V * < � Q # l�%���(�<�!0+1�2 U ceT;l !�� !���*;.�B 8 U 2 = : _*��� !�< � .�+ u �,��U ����� �* Q�- 1z T !�� .�.� � * 2 b�/0 I(2%z T !���*;!�* .�18 U ��*(2 �%);' 1 �;ceU;Z���� Q d s _' /;!�0+1 � s !�2�P�2 b ��* � ��3(2 lm(* .+1 �(c,45��%);'�(-(b�',+ ��6 2 �;�����(�
1
15+
5
6=
1× 2
15× 2+
5× 5
6× 5=
2 + 25
30=
27
30=
9
10
u��� "#%$<�< ab 1
m× 1
n!�0+1 ��(�- . / _����(� <�!�9 5%2 ��'d�7 ��7 + 9 “
lm�-;b )�* a V * ”�
U 1 /(_�' .�8 U y�8�L k(Z����(� z % ! ��� Q =%)�9�) 1
m,
1
n! �'�( !�)�*;. / _����(� <�!��Z / !�0 l @�# l(* 0+132�<�!�0D1 ����'�((b>$�% ! ��� Q 1 !�: '( ! 9 2 mn �; + L U���(�
� + L�/ ! 2 Q%R ��S�T < � Q # l+�����(�
1
m× 1
n=
1
mn
14
� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � ...
...
......
1
1
1/m
1/n
/(2 m′
m× n′
n!�0+1 ��(�- 2 T�U L / _����(� < ) : � !�0 ��[�\ !�0.�� U L / _�*(��d z % !
��� Q =%)�9�) m′
m
d n′
n! �'�( ! 9 2 b z % ! ��� Q =%)9) 1
m,
1
n! ��'�( Q m′n′ �; + LU ������� + L(/;! 2 Q%R �AS�T < � Q # l+�������
m′
m× n′
n=
1
mn×m′n′ =
m′n′
mnT � � � ! l�m%-(b ��* b ��* d �3 b �3 a lm P #�} );' 0 U�dD�eU 1�< � 2 �;�����(�
��� ������� $ ( � ) u���' ��� ! l�m%-
m× n = m + m + · · ·+ m (m . n 6�7 8�9;:! )
.�8 U y�8�L k Z����� < )b mn . �* 2 b m . n 6�7 8�L>7 ) ' 0 U�dD�eU 1�< � . ��+ LU *�dD� :��� aZ���(� s _�' 16 = 2× 8b
16 ! 9 2 2Q
8 � V *
�eU 1�< � :�%�� 8�L U+���(��= < a <!< � .
16÷ 2 = 8
� �8 d <�! ,�- ÷ !�< � .� ������� $�� ��&�� < � 2(8 ���(� 0 �!$�E I ��2�a r c��
m÷ n = a ⇔ m = na
�eU 1�< � 2 � �����(�� L �A� !�� Z�- .��i8�9 ��Z 2m�
n !�� . ) 5 *;�3b%d
n ����� ���� m �� ��� � � � ���� ��
15
� �i8 � 8�9 � � ��- . [�\ 2����I(2�� j * �m . n
a � *;��b
“n �3"# ���� m �� � ”�;� � � ���� ��
�eU 1�< � Q aZ���(�� L�z T ! �A� ! � �A-(b 9÷ 3 = 3 !�0+1�2 ��� ! 9�a�aZ(* < � : V ����� Q d�$�E 2 b9÷ 4 !�0+132 �A�� ! 9 2�� _ .� T;m(* < � Q aZ%��U < � : V �����(� 8 l 8�� _(� 83L�� .�� + L;:0 U < � 2 �*;��d �e�� ! � ��-;b�U�T�a : aZ����(��T" 2<!�< � .��L U Z��8 �1 �s _�' 2÷ 3 !�0+1 � � �A- . / _ L� � 8 �1 � � a � i8�9;0+1 d <�! � �A- . �*;�AU 1�<�3b
“3 ��"(# ���� 2 �� � ”�;� � � ���� ��
�eU 1�< � 2 �(�%����� � ! l�m�- ! � <>: a 7 + 9;0+132 3× 2
3=
3
1× 2
3=
6
3= 2
Q%R ��S X���(l @ d <�!��i�0 � 2÷ 3 =
2
3
����* < � Q # l+��������$�E 2 n× m
n
Q%R �AS X���(l @ d< ) 0 � / ! 2 Q%R ��S�T < � Q # l+�����(�
m÷ n =m
n
u������� $/(2
m′
n′÷ m
n
!�0+1 � � ! � ��- 2 T�U L /(_���(� <�< a X +;��� D� I a(� Q m′n
n′m
��U 1 . / _�* <� 2;8 d <�! 2 m
n
lm L ���(��� *;�
m′n
n′m× m
n= · · ·= m′nm
n′mn= · · · = m′
n′
��� ����� Q d < ) b
m′
n′÷ m
n=
m′n
n′m�eU 1�< � .�%�� 8�L U+���(� <�!0+1�2�r c�� %�� Q # l� 2 cAU%a�� Q ��U N _�*;�
u��� ��� $ ���� ��� u � u��;����������� "#�$ ������� ���
�eU 1�< � Q aZ���(�
16
3.3��� ��������������
� .�� . _�* 9;5 a V *;�3l%d� � . � * 9;5�!:! �AU 1����;.�8�L U*��;� 0� U 1 . /(_�*�� � J(b V �;� V ��� } g ( ] � Q 0
`+a V *;�3l ] ��� Q 0`(�eU 1�< �3b - �;* 2
]��;: � U;`�eU 1�< �ea(��l @ d �;: / _*�� - b � U���a(� )� 8 l 8�s _�'�� ! � � .�� + L=%) . � .�� + L�n�� �;* 9;52���)(! � � . 0m
� 4(5�< ) .�G� �2 �;* < � 28�9 � 8 ���(�<�!�G� ;.�� U * ��d ��) ! !�";! “ � � ”
b #%$'&�( � m�eU�+ 9 �U 6�8 a � � < � Q aZ������T�;� �);! � ��l @ 100m
2 V *;� <: b “#�$'&�(
100m” ! !�"(2 V *�dD��U 1�)�Pa(��� �(2'� � 200m ! �%l @ 300m *;�*#�$'&�(
100m ! +�,�2�-�. �;*�d+�eU�+ 9 “(-
” :aZ���(� <�!0D132 !�";. � * 9 5!�/�� 8 � 8�L;! / _�' . ��);'�d�0 ! � = !�Y F d�1 FQ ��� 2'2; � )D*Aa 8 (1 � <�< a b�= !< � .��L Gc < � 2(8 � 8 (1 �
0��3�4��� Q�5�6 � ) L 0
�eU 1 � Q 2; � )D*��3a 2 b � ! 7�8 a(b'9�: 2 �%U�;�< Q l%l�%�8�9 � ( ]��;: � U < � . V @�# � � ` �,� 1�:%!. � y � 2 b � 2 = �;*�/;_ !�>@?'A Q�BZ c*C�D�;*�� - QV + 9;< ��b�d�E�F 2'G�H aZ�*3a 8 1 � ) 0( I )
b�$�J�Kea%L � ��� 8�9 Q d=%) Q U�T�M : a V *�l%d � 9 ��) Q � 8�N C 9�O�P a V *�lb'Q @ ) L U� } g;��$%JRK ! S�T! ��U ��VRW � W@XZY\[ 5 ]�^%_ b I(. Q + L U 9 � : 1 ��` 4 � ) L U����� xa �>� 83L U* I! b l�� n�� b%d 876 � d�$%JRK�a r l�) 9;:! Q(V *�= 1 a����c 5 � a b 0 /;!�0+1�2�4�d � )D���(�
0�3b'e %;! x 2�=8�L
x + 0 = 0 + x = x
���* 0 1 � a V *�� [ <%< a;b ] ` Q �(.�%�� �;* ! l%b�f 2�8 �3U < � 2�8 ����� )
<�!�4�d;.�� U *;� /(!0+1 � < � Q # l+�������
0 �'g�h'i;# �3"�j�k � � �
� 9���l FO .�� U *;� / Q # l+�����(�
m�n���x � o���p 0× x = 0
17
� ��<�!�� !��;5%2�� j 9 0+1�2 0 ! .�� � 9;5�2 d “ /��;8 ” .�2�; � * < � 2;8 ���(� <�< a(b��.;! /�� 8 a;b��ced��� 2�� � 2� CD*�� � � 2 d G� (2 ��* , 0 . ��+ L d�= ! 2�B <�� 21, 2, 3, . . .
�� ��D� . T(m�d�� 2:��(2�B <�� 2 −1,−2,−3, . . .�� ��D� . T m(���(�
������ Z�-;b ]���� � I `������%a /;_ � c � * < � Q a Z����(� s _�' ] N l @ 2 � c�` �eU 1 ��(b%d
� � � a 2 � � 2 ' @ �
��� � � * < � Q a Z(���(� < )+b ] � Z�-;b 7 8 - !�� ! ���(`�eU 1 /(_;��� (2��P �;*��_�' 2 �>+ L U* < � 2�$�% 8�L c � �eU��� 9 ] N 2 −2 .�7 ��`+�,� 1 ��� : � � � a 2 � � 2 ' @ �
� � c a;Z�����l @ d <%!�P � ] � Z�-(b 7;8 - !��;! ���`;� U 1 “ � � ” .�P #�}%L7 *;� ] Nl @ −2 � c3` �eU 1 ���(b
� � � a 2 � 2 ' @ �
2'=�� �;* < � Q # l;�%���(���;� # X
N − (−2)b
N + 2 2�B8 U
< � Q # l+�����(�
��� 1, 2, 3, . . . 2 0
� −1,−2,−3, . . . .�Y _ 9 !� �� .� �!8�L�"�# ���U���(����k�$ !� �� l @ ��*&% P b�� .('�) ! Z
� 9 b Za �8 ��� Q d < )bRK $(* � Zahlen
[ �,+ ( _ l @ Z 9 :! a;���$
a, b[ 9 � 8 b
b0a �%U _�.�� U L a
b
� [ � a _���} * .�-�.�# ���U���(��/�� �;! % P b%d no Q
� 9 b Qa � 8 ���(�
0 ��10 ! b � �(! � a � c � * ! Q ��� a V *���� 9 = < a !�: (
0) ! !�78 -�d � Z�-;b �
� � a ,;. 7 � (� 7 ) 2 ' @ ����D� / _* � 0 U�
18
� � � � "�������� � "�� ( ��� � � #�" # � � � # ��� � � � � � " )
s _�'�9 � a�� + 9
(−1) × (−5) = 5
�eU 1 2�b ] : 8 U(` ! a 8� �1 l���� 9 :�8 ] : 8 U;` ! � @ d <�< a!� 1 ] :8 U(`+�3b�U,+9 U D1�% � � ! a 8! (1 l��<�< ab <�! � U 2�= 8�L��8�� i�.���L ���(���' 7�8I(2 b'0 ! b ] 0�� (��� )
` .��� 8�9(:! a V * [ ]���� -� �` ^�! 1 ]�^ d 9#" _ ��� 13< � .�8 U y8�L k%U L c � �eU � s _'#$(l�l @ 5K A � � 9D@ = !�� b � �;!�% &(2 −5
� r Z����(� 3 �;!�� l @ 5K A '�T � � 9��Z�b %�&(2 b
3× (−5) = −15
� r c < � 2 � �����(��$�E 2 N � l @ 5K A '�T � � 9�2�P;<�!�� !�� � b
N × (−5)
2 �(�����(�� <>: a <%!�� Q :�8 $ �;!��(2�� �(.' 8�9@(���;.�8�L U;* � b�$ � 1�+ L N −1
�(2 �;������� <! ; !�7 �*)D��b
(*) N × (−5) + 5 = (N − 1)× (−5)
� r c ! b ��� a 8 �1 �� L << a � ! 2;b N
Q0 ! ; 2�: R �AS�T � 8 ���(���;� # X � ! 2 (*)
b
0× (−5) + 5 = (0− 1)× (−5)
��� �����(�0× (−5)
�eU 1�! b ��� Q ��U +�, .�% � 8 ���(l @�< );b 0a��;� 8�9 Q + L �%b
0× (−5) + 5 = 5��� �����(��$�'��%(b
(0− 1)× (−5) = (−1)× (−5)�eU 1 ( 2 �>+ L U��(� 8�9 Q + L d
5 = (−1) × (−5)
Q � l��� 8�9 �-�-�-�.#/0.�1 �32346587 .�9;:�<>=6? �6@ .�A�B#/DC31 �623465
N = 0�>E�F�G
H(*) IKJML�N>O 1P:�Q�RPS F .�T GZ�6@�U I � 1 �>V B�W�R3S IKXZY\[ ?^]P_ 5`�a;b 1 F3c ? �K@ .�A�B#/DC
<�! ��" 2 T�U L b%d#d%a ] +�e ` 2 T�U L � �D��Z 2 � 9 ) �(f 1�< � 2;8 �����
19
3.4� ���
V * x 2'= 83L , 2
E( � � E )
� *;�x 2 �* 0+1 � !�< � . x !������ ��U�U ����� s _�'
4b�= ! (:;! ) � 'D� 83L 2 .�: X������:;! x 2'=;8�L = !�: ! !�� ' . √
x�3lDc < � 28 ������� L���� � a(b � '�b �;! ���� 8�L;0 c y�L Z���(���'�= ! $ s;.���� 8 � 8 �1 �
V * a� ���� (�b���U��� 2 V * : '�( ! 2 �;!�)�*;.�: T : '�( . �* 0+132 ��U � 8�9 � /!�0 b ���� ( Q = !�� J��%� 8�Lr U 9 :! a;���
U ��d : � !�: '>( !�)* b 1a V *;� 8 ���(� <�! ��Z 18 c ?@ ) 9�: '>( ! $% ! ���3b √
2
2 �*�eU 1�# m%a��;� [ �%kd 16 ]�^;! $ Y � W a+b � ' !< � .��;2 lato(%
)��&;g�aU+�
8�9 � )
�������! #"�$�%��&'(�)*�+� ! ��" ��,�- 8�9/ ! ��" b ] @ B � 0 ��" `��&('�) ���� W ; 5 l @ ��U�< ��V .�. � }/ m(� 8�9 Q d =0 19 ]�^�2�< ) @�! ��" b 4�1 �32�J54�( 20 *�� 0 a b � m��3U < � Q h i �)+� 8�9 �
1. 6 _ @ ) 9�7 � B;8 U )�*;.�: T : '�( . �* < � [ 7�* ��" _2. 6 _ @ ) 9 S' �(!���*;! 2 �(2�B 8 U �*;.: T�S�' �;. �* < � [ S�' ���* ��" _3. 6 _ @ ) 98 .�@>B�� � * < � (8;!�@B�� ��" )
� !�0+1�2�8�L�?@ )D* √2Q � a b ��} ��UD��� 1�< � .�9 Y3:;� ( �< !���9 X�b�Q�+ LU � 8�9 � <�< a b √
2Q � a �} ��U < � !�hi�.5�� 8 � 8 (1 �
�>= � � √2Q � a ��} *;��? 4 8 ���(��T � � V * ��� A, B
Q�@A 8�L√
2 =A
B
20
�3l�m 9 � ? 4 8 ���(� � - � @%<�!�� . � � 8�1 8 c ?+@ ) 9�� . / _* < � 2�0 �ed <�!� A
B
b :D1�< ) 7 ��� � aZ���U �3? 4 8�L;: t U%a 8 (1 ��� + L��;2 A�
B � ' Q�� a V * < ��b V ��� } g��
�����1
√2� � ��� �� � �
� ! 2 . 2E � * < � 2�0 � /;! 2 Q ?+@ )+���(�
(√
2)2 = (A
B)2
<�! 2;b /;!�0+132�� (%a Z(���(�
2 =A2
B2
�����2 A ���# �� � � ���� �
� ! 2 2 =A2
B2!�� % 2 B2 . lm(* � / ! 2 Q ?+@ )+���(�
2B2 = A2
< )l @ A2b � a V * < � Q # l�����(�;� <: aU�
g���� : 2E � *;��� 9 � 2 ��*[�� 4 � Q @ d <�!���d a;b <�!< ��b h i8 � } g _
< � Q Q @ ) L U * ! a�d < )l @ Ab � a V * < � Q # l�%���(�
�����3 B ���# ��� � � ���� �
( �����2a
AQ�� a V * < � Q # l+��� 8�9;! a�d V * ��� C
Q�@A 8�L A = 2C� r m���(��= < a <! 2 !�� % . 2
E � *;�
A2 = 4C2
< ) � ( ����� 2 ! 2 2B2 = A2 0 �ed
2B2 = 4C2
Q ?+@ )+����� <! 2 !�� % . 2a � *;�
B2 = 2C2
Q ?+@ )+��� Q d < ) 2 ( ����� 2 ! ; ��[?� �! .���� 8�L>7 * < � 2�0 � BQ�� a V * <� Q # l+�������
21
��� ��� �� ����� ����h;#��( ��� �
2�
3a |8�9;< � [ A : B : � 2 ��* _ b �>= � �! � <: a b�� 8�9 ? 4 ] A �
B � ' Q�� a V * < ��b(��U ` 2�� 8 ���(� 0 + L;< ) 0 �ed √2b � a ��} ��U < � Q #l��� 8�9 �
3.5 � � �� �����/�� b � 2�0 + L�� �e)+� 8�9 ��a b √
2 !�0+1 � � � b !�0D132���} * ! a 8 (1 l��<�< ab √
2 .�� .�� + L�� ��' F 2 TU L���� 8 � 8 �1 ���'d
1 <√
2 < 2����* < � .�| 8 ���(�3U � 1 ≥
√2� 8 ����� <�! 2 !�� % 2 √
2 . l�m(* <� 2(0 �ed √2 ≥ 2Q ?D@ )+��� Q d <%! 2 � S�T(2 ? 4 8�9 1 ≥
√2 0 � 1 ≥ 2
Q ?+@ )D��� Q< )b i(@ l 2�� a��;��� + L 1 <
√2���* < � Q # l+��� 8�9 ��[�\ 2(8�L √
2 < 2����*
< � :�# l+�����(�� L [�\ 28�L 1.4 <
√2 < 1.5 (
W X 14
10<√
2 <15
10)����* < � Q |�} ���������d 1.4 ≥
√2�
? 4 8�L ���(� 1.4 ≥√
2 !�� % 2 1.4 . l�m L�7 * ��d (1.4)2(= 1.96) ≥ 1.4√
2Q ?+@ )+���(�� 9 1.4 ≥
√2 !�� % 2 √
2 . lm L�7 * �3d 1.4√
2 ≥ 2Q ?+@ )+���(� < ) @Az T ! 2 .�P #�}
L>7 * � 1.96 ≥ 2�3��* < � Q # l�%��� Q < )b �� a�;�[�\ 2�8�L √
2 < 1.5����* < � :
# l+�������7� [�\ 2� � ' 8�L Gc� 1.41 <
√2 < 1.42, 1.414 <
√2 < 1.415, . . .
�eU 1�)�P(2 √2 !���|
. U c @ a : #�Aa ) 5 * < � Q a Z����(�
��������� ������1√
2b � !%0+132�8�L U c @ a : /�� !�� . � T � [ < ) b'��' � a �%} ��� _�.�� + L = !� �� ;l @ “ ! - ” 8�L G%m;* < � Q � l��� 8�9 �RK�$ * ! ��V#"�"%$ J�� (1831-1916)
b <!�0D1 ��/ _�' . L�&�� }L /(� ! ��� (Schnitt)
�eU 1 /(_�' . 2!; 8�'�#;.�4%d 8 � 8�9 .
<�< ab "�"%$ J � ! /;_�' .����(2��� 8 � 8 �1 �/�� !� ��;.�/;!�(�);.�*9 � 0+1 � z T !,+ A, B 2�� m���� .
1. A, Bb� :%2�- a b���U+�
2. A 2. �;*�/�� b : 2 B 2. � *�/�� 0 � � �eU�
<�! ��Z�d A, B !�+ (A, B) !�< � . ��� ��&%C+��� . /�0 (A, B) 2'=;8�L b /(! U�'�)l Q�R �S X���.
I�
A 2 b S B ! /�� Q�V * Q , B 2 b S��;! /�� Q �3U+�II�
A 2 b S B ! /�� Q ��U Q , B 2 b S��;! /�� Q�V *�III. A 2 b S B ! /�� Q � c , B 2 b S��;! /�� Q ��U�"�"%$ J �Ab /�0 (A, B) .,'�# ��&%C , I 1 b II
a !�0+1 � � . -�.�# , III !�0+1 � � .32.�# �546 m(� 8�9 .
22
� � ����� ������� � . )D� f 132 V 9 + L b ]�� �%` .� m L�. * < ��b�aZ� } g(� ]�� �%` 2 T�U L�T 5�L )� + g�� ��V Q � J ��� A (Georg Cantor � 1845-1918)
a��;��� ! ��!�� % P !��eb 20 ]�^ �!�� �� �� �� � �>1����� 2�: B Z�� & � .�>�9 8�L U ���(�� J ��� A b 1845 � 3 � 3
a�� � W !�� � A (�� A� ( >"! J � ��K ) 2#�$'A% �'& A " #�(�# � W�)�*�+ (�,"-.%/"01/,�2�3�4�5�6"78�9:�; � )�<= >@?�AB 8 1856 C@D%E"F�G�D H�I,/�J@31866 C 21 K )�L�M�N�O P 8�Q PSR"M TU�V WX ,�Q PYR�M�>[Z�\]^%)�_�U`�)a ( >bc J%d�e�( D�f%g /,�2%3 1878 C@D 8 1 h 1
) h�i@j%k"lm ) “T�n 6
”V�o Jp�q )�r�s�V�t
-u%/"vw�x _�)�yz{�|@}_~ f _%)�yz@�[����_yz�)���� (���� >1� d (��� )e�( V��1�
,�-��1/�J�3
pq��� � ?[���_yz (�� _yz�)� D 8
���_������������������¡ ¢�£�£�£�£�£�£�£�£ £
� _ �������10 12 14 16
�2n�
( h�i V�¤ g�f1¥§¦@¨ d e�( ��>1n /�J�3 e )©1ª f ( n¬«����_y�z (�� _y�z�)��� 8�®1,��@¯(�°�%/�J�3± D L@M�N�O P 8 ² _�)����@� ��� © g T%n �%e%( V��1� ,/,�2%3 L@M�N�O P1) l�m³ 8 ´µ~ >1��¶ 22%· Z�\�)�¸ ¥ )�_�U` j%k"¹@¨ º 0 k 0v@»%¼ V�a 2�0@-��1/�,�2%3�½ D ¾ )�¿1À�ÁÂ�à L�O 8 _Uyz�V%���_�)�Ä�Å D a�Æ�Ç ��-�È�É D ÊË J�Ì n�ÍYÆ � ª�Î �Ï s�V�Ð%¶ -�2)"> u�Ñ )�Ò�Ó > ÈÉ D ÔÕ )">[n f � l�m rs D 8 Ö h > ,�2%3 ¾ 8 L@M�N�O P1) e Æ�V�× � j6�/�Ø U`YÙÚ×�ÛÜ g `SÙ u ×�Ý`�V�Þ�ß 6�à1d +SÙ f�á Æ�â | 6�/�ã%/ f�ä � k à V ,�/,�2�åZ�\�) l�m³�æ ) Ö h�D�h ,�- ?�L@M�N�O P 8 ç )�©[ª D è ��-��[/�J@3_U 8�Ñ )�é�ê�) 2%· D 8 ë h ~ D ��ì">1� g 2 Í 1 ¦ )�í�îïð 8�Ñ )�r�s@�@ñ�òóô�V�õ / f� Æ � ª e Æ�Í ¨ >1� d3¾ 8�Ñ )�ö�«ø÷ùzúû ¯�ü “ ����� Æ ² _�)��)���� 8�ýþJ%d j ”
Æ � ª ¼�ÿ�� D���� ,/�J �f j@f j���� � t k 0v � - ÀÁ Â�à L�O�������) ³� V�é�o 6�à f � ©[ª D J%d )"> 8 f � jÆ � ª�������� f�g u 1884 C@D ]���) break down( ������� )
V 4%e,�/,�2%3�Ñ )�ö%a ¾ 8@e )� j%k���� J%de Æ 8 f%¥ u����%/ > º��� V! g�" J�e Æ D�f�g /�J@3�e )�«ø÷ùzú�û ¯ j%k# d�$ N!% $ � u ��&@)�é�'�)�(n!) D�f ¶ -�2 ©[ª§> J�3*�+ ¾ 8�e ) ��, V.- d e Æ 8 � g /�à@7 > ,"2 � u�e ) ¼�ÿ�8 1950 C }�ö�/ D�0�1 R�L@)�Ý�n�_U`32�O�4�M
(Paul Joseph Cohen, 1934 C - ) D ©�¶ - Ò�5 f!6 > ��, 6�0[d�e Æ D@f�g /�J@3
23
4�����
4.1 ������� �������� V�� ·d Æ"n Ñ 0 ��� j ¶ -��d ©1ª f��[g V ,�-�Ñ 0 ��� 2J�Ì n�� (��� � )
V�� - -�uÑ � �%V � �-� 1de Æ D © g�� � � t k 0[d�e Æ��@© ¥ � g /�J@3�!�þ#"�2%$ � � ¶ -�1d ���� � 8
17 &�' ��(�) M#*�+-,/.%0"O�4�1 ��2 '�« ��3�4�5º%6 ¯ � � >� ·"-#!�01/,�2 � u�e �©1ª f _ ��7 g98 � �@D�¦ �-@8 ²�88@d j;:@D J > D � k 0-��[/,�2%3e�e > 8 « ��3�4#5º%6 ¯;<�= � 4?>�@�N u�A%B ÁDC 0 > á � ©�ª f ¼�ÿ � 7 gE8 � 0@-���2 � jF�G J�de Æ D�H /�J@3
I�J%K-LNMODP#Q
'�R = 1700 C�S%T � 4?>�@�N �DU�V P $ (W } ��X )� ��D 8 ç � ©[ª f ¼�ÿ Æ Ñ � ��� �;Y 6§0Z �\[ H 2%3
]�^1 _ � d _�Æ uÑ � 1
7
Æ�V m �D` d Æ 19 Df d�3 � d _�V�� · © 3
a _ � d _�V 7Æ�ú Ô `�© 3 7
��b Æ ¦ Æ Ñ � 1
7
>8Æ f d�3 19
V�t d�2�· D 8 u 88;c�d j `
e � f@k f �13�Ñ � j�¨ d�Ì n _ ü 19
8
� e Æ�> J�� V7 D�j¨ d Æ9� ·d � � (:
133
8)V�t d3
(� û )� d _%V
xÆ J1d Æ e � ¼ ÿ�8 �#� � 8
7= 19
V�f � d�e Æ D@f%g [�J@3�e�0 V � ¥ Æx = 7× 19
8
Æ f%g [�J � u�g � � 8e�0 V�� · Z �1de Æ D�hj�f@g [ ` 7�3
i%j�k�l�m�n�o#p
q#r R $ , 9 O (�) 1 $�s�t�u � AB ÁDC 0 >[a.4?>�@�N Æ � \�v D ^� � #w V�a¶ 2#x#y � êz H [ H 2�3�A\B ÁDC 0 > 8 Y#{@V�|�}�~ D��%H Z �\[ H 2 � ue"0 D ©¶ Z '#R = 2000 C��@D 8ç � ©[ª f ¼�ÿ 7 g98 � 0 Z ��2�e Æ���� j ¶ Z �\[�J@3
]�^2 _-� 6 Æ������ d3 ��� 8 � 6 > u�Ñ ��� _ 8 ��>1� d�3 � 6 � 12
d@8;�[6 >%� d3�Ñ � z� 8
20>%� d�3�e � � 6 ÆE��Æ ��6"8�c h�á j 3
a _ 12��� _�V�� ·�u�Ñ;� V
20d�J%d Æ 20
12=
5
3
V � d�3 eD� � � 6 >%� d3 e ��� _ 3
5
��� >208���6 >%� d�3
(� û ) � 6�u � u���6 V Ñ;���#� x, y, zÆ J1d Æ9� � k �#�%¼�ÿ@8
y = 1
x
12x = z
xyz = 20
24
Æ f1g [�J@3 A � � � ��V�� � � � � D } º J�d Æ z = 20V�t [�J�3�e�� V
2 � � � � D } º%H Z12x = 20
Æ f%g [�J�3eD� V � ��� � � g � � � ]�� � � � D�f ¶ Z �[�J@3
4�>�@�N �AB ÁDC 0�D 4�� Z 8 ��� � � A��~ f!� n ��D�¦ � Z 8 Y�� 6 � Z 4 k v�Ñ�e > 8;g� ©[ª f�� z~ f ¼�ÿ Í ¨ � 7 g98 � � Z �%[ H �%3 f 4�A\B Á�C 0 > 8 2ç ��� � f�á a�f� 6� Z 4 g u�²� ~ D 8 2
ç ��� � � � ��� � fá a � k � Z �#� ©�ª§> J@3[D� ��� �� ���� 5 ('�R 1 &�' )
� ��D 8 ç � ©[ª f ¼�ÿ ��� g [�J@3
]�^3 _�����6 ��� ( �[k�� T�n f�� � e Æ )
�� d�3�Ñ � T�� 8 � j@k f �13���� � $�� ª á����D�6 �� d3�� 6 V�� Z $ � ª á 20 ! ��" D$# ��� d�3&% 6 V'� Z 14 !�( � Z�) D 1775 !�* ¶ Z# V!- d�e Æ���>1n �13 ��� � ( � A � � � 6 � e Æ )
8;c �@j 3
(� û )��� A � � � 6 V x
Æ J1d Æ ç ��+ Æ&, - f �/. 6 �10 � � � 6 �$2 � ® H �%e Æ j�kx
2: 20 = 1775 : (x + 34)
V�t [�J@3�e � � j�k 2ç ��� � x2 + 34x = 71000
V�t [�J � > e�� V�@¨ � 3 � � ¨ > J@3D� Í ��� > 8 �#� � � A�� � V�� ·�d Æ � ¶ ��x ³ 8;!;�v�u%e � ©[ª fD�� �@�;� � k �#� Æ�n D Ñ �14 - � V�� ·d D 8 á ª H � k © � j�5 Æ ° ª � 6 D éê H Z * ¶ �©1ª�> J�3
South Gate
North Gate
7�8:9<;>= o�p}_U 8 _U � A���? > u «ø}�_ ¯ ��@%��A g _ � }%� g�D� 'B V�C � Z �#� � � ��D V b�c J�d U¼ Æ H Z�E [ g [ H �%3�� Í H ! } > 8 ? }_�U 8�Ñ �1FHG V�T�n ¥&I�J Z �1d���·�u «Ú_ � }%� gD� �B V�C �%d _U ¯ Æ j « ��� � � ��D � U ¼ ¯ Æ j � ª x � ��K � 81L Z"> 8 � g [ ` 7�3e � ©[ª f }�_U@�$M [��#��N�O D 8 u F M E , 0 ) B 0 _ B ü � C_ B � Æ Ñ �1P�� D ��Q {@�� g [�J@3 � C_ B 1,2,3,4,5,6,7,8,9
��R�S 8 W } F M E ü '�R =�� Æ 6 � Z �[d�[�J � u�T 0Æ
U#7 g Y�_ D ��� · Z�V/W H � \�v 8 6X 7 &#'�� > 8 f � j ÆDf � k � Z �[�J�3 F ) M'Y�ò D749 C@D E [d 0 à A O $1Z@8�A#r�: à E�D'[�\ V 4 n u�] X , �w �1^�_ V�^ ·#[ H �%3 F $ )`�a � 8 u 0 > 0 , 0 ( R"L ,cb�O%Á à U?� 3
T�d D [�� � g u H j a@Z�\ � &�e � � � D U�f HZ �����%·�u F ) M ,hg�R�i 0 , Á�O�j�, ��� , F M E�f�á ��k �#��l�m �w V ¹�¨$n�o u 0 ) B0�p V�q A ° p Æ H Z Ñ�� V�r m é�ê 6 ` [ H �%3 9 &�'@D 8�u 0 P , $ +�O R�sHt�O@��« F M EY_ D ¯ V 2 H � C_ B V�C ��� P�� V F#G H Z �%[�J@3 e �1u 8 u 12 &�' = / D ) 1�M p�D1v 6�@u F M E , 0 ) B 0 _ B �Hb�O%Á à U D � k �[d R@D�f�g [ H �%3 Z�\�b�O%Á à U > 8 Á�O�j a� <�wu Á�O�j_ B �$C � k �@u P�� 8 P���x V�C �%d P�� ~@�$y�C 6 � Z �\[ H �%3 � C_ B 8
25
� �?��P�� V ����D J�d�e Æ j1k u T�� w C > eD� V F#G H � è�� Æ H Z V��?� %�� P E ( � ( 0�� à q) D © d � 5è (1205) fá �/�� 6 �[ H ���
f��30 P , $ +�O�R�s�t�O 8 « ��R Æ h 2���� x@¯ Æ � ª u a 2 H Z �%[�J � u�e ��� ÿ � � « 0 P ,>�����P(al-jabr)
¯ Æ � ª °���ü H�� V�Ò�Ó J�d�� � u }�_U@V�Ò�Ó J�d « 0 P%>���� ) (algebra)¯
� p S Æ f ¶ Z �%[�J��
4.2 �����2ç ��� � ax2 + bx + c = 0
� � �1� �
x =−b±
√b2 − 4ac
2a8 ²� ~ D 8 W } A%B ÁDC 0 > � k � Z ��� ©[ª�> J���ee > b2 − 4ac < 0Æ f d ©[ª fD�#� � >8 √ � f j �� � _ D�f ¶ Z H [��%[�J � u 16 &�' � � [ > 8@e � ©[ª f _ (!�" _ )
VDf � d eÆ 8 � g [ ` 7 > H ����# ¶ Z u�e � ©[ª fD�#� � 8 f � d íî@� f � Æ9f � Z � k ��� ©[ª�> J$�Æ e T � 16 &�'@D�F�% R 0 � _�U` % P % R 0 (N.Tartaglia,1499–1567) D ©�¶ Z 3
ç ��� � � ���� �@� é�- 6 ��d Æ'&�( f e Æ D u ]�)~ D ² _ � � � t k �[d ©1ª fD�#� � >1a u � � D � Z8�· Z P�� J%d�* � > 8 !�" _@� !;�[d�e Æ��@� g [ H ��� ¦ [ g P��?��+ � > !�" _�V�y�C H Z6�[�ã%[ f P�� V J1d íî���� d Æ � ª�� ¨ > J�� H j�H e � ©�ª f�!�" _@�;��,~ D�- · k �[d©1ª Df d D 8 u%[ Í H � k@¥ � \1� � íî > H ���e ��. > 8 u !�" _�V Ñ �1P�� D�¦ � Z F#GH u�6 k�D Ñ ��+ 6 ~ f�F 1 O�> D�¦ � Z�/ Ì Z�0 �� Æ1 �%[�J��2�3 o�n�4�5�%[
iV
i2 = 1V 0 �J
“_
Ӯ H
a + ib (a, b8 ² _
)
� 6 >@o 6 ��d _ � e Æ�V�2�3 o Æ�©�| [�J���[D� i� e Æ�V76 o�8�9
, b 6= 0� �n
a + ibV�6
o ua = 0
� Æ�nib� e Æ�V�:�6 o Æ�©"| [�J��
!�" _ a + ib, c + id��; u�<@8 ç � ©[ª D P�� 6 � [�J��
(a + ib)± (c + id) = (a± c) + i(b ± d)
[D� �( j¨ � )
8 u(i2 = −1 D�= Ò J%d Æ )
ç � ©[ª Df d e Æ���� j1g [�J��
(a + ib)(c + id) = a(c + id) + ib(c + id) = ac + iad + ibc + i2bd = (ac− bd) + i(ad + bd)
>�? n�@�A�B�C�D�n�E(�) M $ � _�U` 0 � )�F ` , E ,HG 0 � P ü
Abraham de Moivre, 1667 C 5 I 26 J - 1754 C 11
I 27 J � 8 1707 C@D�K�L V n® � J�d Æ � ª'M c U�~ f ¼�ÿ Æ u n N%H Z 1d Æ9� � k �#� !�"
26
_ Df d !�" _%V�� ·�d (� � k �?� !�" _ � n N � V�� ·�d
)Æ � ª ¼�ÿ ��� -�� D &Ç1n [ H���e�e > u���� D%E , G 0 � P � *�� D�¦ � Z F#G H [ H � ª .
["vxy � ñ � /��
1� K � V�f � e ��+�� � >/���
A, B, CV ç ��+�� ©[ª D�Ô ·�[�J .
�� ������� ���
� � ��� ���� � � � !"�
e � �n1��.$#�_ �2d . ��� �
cos 2α = cos2 α− sin2 α, sin 2α = 2 sinα cosα
D © g u �C� %�&
(x, y)8
,�
B��%�&
(c, s)V�'%¶ Z
x = c2 − s2, y = 2cs
�o�` de ���� j%g [�J . E , G 0 � P 8 , !�" _ c + isV
2 N J%d Æ e � ��� � Z ¥ d�e Æ D&@� ¦ n [ H � . ¦ [ g
(c + is)2 = (c2 − s2) + i(2cs)
è n�( � d Æ
(c + is)2 = x + iy
Æ f d � > J��$) k�D ��.$#�_ �3d . ��� ��V ' ª Æ +�� ©�ª f ���
A, B, D D h%H Z
(c + is)3 = p + iq
� Ë�g � ¦ e Æ��+*�` [�J��E , G 0 � P 8�e � ©[ª f Å��V�ù ¨+,�J « E , G 0 � P ��� � ¯ Æ�â � �[d�ç ��� ��V�é�- J%dD+-�g [ H ���
27
� � ������� �� � �� ���
� ����� �
(cos α + i sin α)n = (cos nα + i sin nα)
[D� E , G 0 � P ��K�� > 8 � g [ `���� e�� Æ � - ��� Æ H Z ��.$#�_ � D � �
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cosα, cos(α + β) = cosα cos β − sin α sin β
D�¦ � Z f � Z�0 [ H � ª � e�� D h%H Z ç � ©[ª f + V�f � Z g [�J��
��� ��� � !#"
$ � % &'"( � ) *+"
� �� � !+"
$-, � % , & , "
e � � j%k , � 8
x = cc′ − ss′, y = sc′ + s′c
Æ � ª #/.��@�10 0 7 �[�J�� A � 2 ¦ � !�" _ c + isÆ
c′ + is′V�Æ�¶ Z 1d Æ
(c + is)(c′ + is′) = (cc′ − ss′) + i(sc′ + s′c)
Æ � ªE� D�f�g [�� a ��� �@�/� Z n [ H ���e � ©[ª f ��.$#�_�Æ !�" _�Æ � � - 8 á � ©[ª D��2 J Ì n f � > H � ª j u � d��@8 á � ©[ª D���2%H Z 1d � � ]�a%��� f � > H � ª j�5
28
2�3 ���1797 C@D�� P�����O � _�U�`���� $ U O , .�� Ã�� P ü
Casper Wessel� D ©�¶ Z u !�" _ � M c U~ f!� 2 ü !�"�� � �;� � k � [ H ��� � s f � k"¾ ��K � 8�Ñ � ö
100 C�há�� � ��D� a� Z H ["�%[ H � � u 1832 C _�U �� `�Æ�â � � Z �1d�� � $ (Karl Friedrich Gauss, 1777X 1855,
E�F�G )8�e � *�� V��é�- H�!�" _�V���� �@¨ d�x ³ V�� Ë%H [ H ��� (!�"�� � e Æ�V � � $
� Æ�â�� e Æ�a 3 ¥ � g [�J�� )e�e >�� !�"�� � f � �@D�¦ � Z F#G H [�J��
!�" _ z = a + bi D h%H Z u %�& � ( � xy � )g � �
(a, b)V�f � d Æ u !�" _�Æ e � � g� ���
1 h 1 D hi%H [�J���e � ©[ª D�!�" _ D %�& � � �%V h�i ) ` d Æ�n u%e � %�& � V2�3 ��� Æ�â�| [�J��, !�" _ � ë h��!�" g � � z
Æ � �OÆ � � ����� V !�" _ z
���� �! Æ �� |z|>�o H ["J��#"?$ z = a+bi
D h%H Z
|z| = |a + bi| =√
a2 + b2
Æ f%g [�J��
O a
b z=a+bi|z|
, !�" _ � � � ² _ d!�" _ z = a + bi
Æ ² _k� ��� u
kz = ka + kbi
Æ f%g [�J j�k u !�"�� g >�� ç � ©[ª D o ) � [�J�� ¦ [ g !�"�� yz >�� � ��V � � D+ yz�V k
d D�$ T�%�� J%d�e Æ D�hi%H Z �%[�J��
O a
bz=a+bi
ka
kbkz=ka+kbi
29
, !�" _ � , 6 �!�"� g � u 0
� f � !�" _ z = a + biV�o J ��V
PÆ j�¥ e Æ D?H [�J�� e � Æ�n ç ��+�� ©ª D OP
� � )(|z|� e Æ � J
)V
r, OP�
x � Æ f J .�V θÆ J�d Æ
a = r cos θ, b = r sin θ
Æ j�¨ d�e Æ u ©�¶ Z
z = r(cos θ + i sin θ)
Æ f de Æ��#� j1g [�J���e � ©�ª f z� o�* � e Æ�V !�" _ z
��� D�E Æ�â | [�J��e � , 6 ��V '�¶ Z !�" _ � �%V P�� H Z�0 [ H � ª � 2 ¦ � !�" _ z, w
V�, 6 ��V�'%¶ Z
z = r(cosα + i sin α), w = s(cos β + i sin β)
e � Æ�n g ��/ Ì�� ©[ª D DÔ x ��ª [ ¥ ' � Z zw� ç � ©�ª D P�� � n [�J��
zw = r(cosα + i sin α)× s(cos β + i sin β)
= rs(cos α + i sin α)(cosβ + i sin β) = rs(cos(α + β) + i sin(α + β))
e k�j%k'!�" _ zw� !�"�� g � � � j%k ����� � rs,
[��x � Æ f J .�@� α + β
� � d ©[ªf � D�h�i J�d�e Æ���� j%g [�J�� ¦ [ g « !�" _ z D�!�" _ w
V j�¨ d�¯ Æ ��« !�"�� g � z
D�h�i J�d �@V ,[�v � � j%k ����� V s
d D�$ T H Z Ñ�� j@k � � � ��g V�.�� βÍ ¨��� )���¯
� *�� t k �#� ��� � )������������������ ��� [����� _ g ��� ��!"��# M c%$%&#�' 2( '�)�* √
i ( P���+ * 0�, +- ���/. ,
√i = r(cos α + i sin α)
���������� 0�132 ( 2 N + *
i = r2(cos 2α + i sin 2α)
(�4 , �35���� � i = 0+i×1 = cos(π/2)+i sin(π/2)� �%67���8�637
r = 1 (r��9%: 67�0 ��� #
0 �r > 0
�/#%����� ��; < + *"=�>�? .)�
2α = π/2 (�4 , ��5@��0� � α� + *��
π/4�
5π/402 A 0�B3C D��%E%� �� � ; < + *F=�>G? .�5/H )/* √
i = cos(π/4) + i sin(π/4) = 1/√
2 + i/√
2,�I�J √i = cos(5π/4) + i sin(5π/4) = −1/
√2− i/
√2 (�4 , ��5
30
i
1O
� (−1) × (−1) = ?? *�� ��� I�������� 0�� (� . * (−1)× (−1)
0��� ( + *�� , +�- �/5
−1 = −1 + i × 0 = cos π + i sin π
� ��6�7�� −1 ( 6�������� .������ J � ������� � 0 : ( 9%: 0��� � 180 � �! ?#" �%�� �%� ��� �����$�6%� , ��5 � 0%����!%�(−1) × (−1) = 1
��#3�����@��$�6�� , ��5 ,�I�&(' �+ *
(−2)× (−3) = 6#�)�� A , �*�,+0- � +�0- ( 6�����#. � # #3���3������H�. , ��5
31
5���
5.1 �������� �
(cryptography)� J�� � & � ��� �0�� ��� � � � � ��� + * � � �� �"! 8��$#�7�8"����
�%��E%��. J%�& (�'"(*) *,+3<�� !%�"� �0�-,. (�/*0 I ) � � ! 0 ,1 ��#3�"� � (�243 �� I ) 0"5,6��� ,70%��� ���98 : ? 8 , �35%� 0%!"� � � � (�243 + * ; �%�( ,7 ��� + * J�<= >5 ? < 0"@�ACB,D � � � �$E F G 0�H�0�I�$ �"J,F ( �,K + ! 0 � 67CL (�M =ON)�* J,F (P ����� .��O� � ��Q &SR,TOU VW (�X � I ������#"7 8 * . , ��5%�%0 !"�ZY"[ \0 J,] ( P�*^"_ `�0 2,a \ b J � c a Y J � d e ��J # = �gfZh"ikj"l,m�n�o V ���Op�q�8 , ������ 0%!��# ,7 ��J � ' + ! 0"�,��� � A 6�8q ! 0"\,b0 r"s���� 0 Y�t�7�6 Y3#%��� .��9u : �3E �, ��5�d e J ���0�v,w ( P ��0 ��J # = � ! 0,r"s ( P ���� ( ! 04x@&F� + * . , ��5%�%0 rs ( P �,`�y U f%0 ��� ( �,� z � ,�I d,e { ? 8 I �,��6�7 = 0��,� (�|,} ��� �� ("~ � z �p"� , ��5�d e {%� � e { (�� #�� I ) Y J$� b ��O�,b ��3E�7�6�� )��*) *,� . I d,e0��,�
(=`�yS�Z�C�
)Y + I � )�* R,T�U,VW ( d�e {%� � e { + , ��5 � 0%!���#�`yS�Z�C�"0��F� +* J�� 0 !"��# ' 0 �3E�� , ��5
� �*� � �[shift cipher]
< = >1 ? < 0�y V � 0�� & & � � � E%� W,� A�D�f���B V,� V Y%! )�* � ."7@8 I � '��,� &#�d,e� ,� � �5����� �d e%�B V��,V d eF�Op�q�8�� �� ' E�� , � . ¡ ¢ &�Y J�� J 0 J,F
( ! 8�£38,¤ � ¥ �37@8 I J F -�$ > ��¦"7�����CY�! )�* R�T�U�V�W ( d�e { + , �35Z� ��q ( §J F ¦F7/��¨,©)
this is a pen ª wklv lv d shq
��#%� , �35 + 6 + ���%0Zd,e J J,F 0�« ¬0-( ® #37 26, ¯O° ® #�7 50)
+ 6$v w + #�.�0 �± * 0"¤ ("² " q ³ ´,Y"µ�� ���� ���3, ��5
¶ · � �[substitution cipher]
� F d e�� J � J F (�¸ 6 Y$¹ � ���%�%��ZY�! �9d,e J ������d e {� � � � d e J J J F � E�Zº�» J E � , ",¼ 5ZB$½ V y T�¾�¿ZV*À$Á 0"B4A V�Á YÃÂÅÄ��Æ�Ç,È� �G� �É��3E � , �����3�8 J �DC�Sn$Ê$Ë T � ( Æ,Ç0�Ä )�* .4Ì"Í � ¹*Î���� I ' 0 �,Ï 5�Ð 03!SÑ�#"d e J 7 ? < 6�7± Ò Ó (�Ô � I _4f$m À ? Õ �4Ö"× Ø a #�) (�Ù ± Y ; �,Ì I ) Y � .�7 8 , + I 5¡ ¢ &#�� ��Ú t + ,ZÏ 5�Û Ü0 J ( d,e {ÞÝ
Encrypt ß Ï Ì Ðà ( � ,ZÏ 5
á�â�ã�ä ãZä å æ�ç è
. , Û Ü0�éY + I�ê )�* J,F ( ¹*Î���� Ì & Y3! )�* d e { (�� #4Ñ�Ð�àZY + ,�Ï 5
å ë ì�í ç î ï,âðã$ñCòóOô4è�õ*æ"ö�÷*ä�á ø ù�ú*û ü ýþ�þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ�þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ÷ä�è ã�ø,ë ý$ò�ûCô,úõ,á�ì,ç ù�ü ö î å â*ó�ñ�æZï,í
32
Ï # ����� á ( î Y�¹Î���� � â ( ý Y�¹Î������ � à . ) I�' Y J�� 0 J,F ( ¹*Î���� * .*Î ,Ï 5 ! 0����� J Û�Ü0%!SÑ�# J,F��(d e J
)ê 4 7�8 ,�Ï 5
î�ý�ò�ö�í�ò�ö�í ÷ í ç�ãOáÛ Ü ��J� d e { > 0 J ( � J Ý
Plain Text,�I�J
Clear Text ß d�e,{��0 J ( d e J ÝCipher
Text ß àOp���Ð*à�Y + ,�Ï 5 J F 0�¹Î���� (� Y���8q�d�e J ( = 0 � J Y�� Ï Ðà ê � Î ,�Ï 5
å ë ì�í ç î ï,âðã$ñCòóOô4è�õ*æ"ö�÷*ä�á ø ù�ú*û ü ý�����������������������������������������������������÷ä�è ã�ø,ë ý$ò�ûCô,úõ,á�ì,ç ù�ü ö î å â*ó�ñ�æZï,íÐ 0��4ÑCY"d�e J 6�7 � J (�4 Ì & ( � e { Ý
Decrypt ß àOp���Ð4à9Y + ,ZÏ 5�� �� � J,E ( d e{ + *�� Ì$Y J� E�7�6�� )�RSN IUBZKXMWOTCEVYQFAHLJPGD �à . Ñ J F�� ( �� �� � © < + * �G= º » ê E � ,"Ï 5�� < E Ì"�,� (Tamper)
Y�� + * Ð%0 JF�� (�' 7 + ? � +� ��8q \ b�!�" ê�#�$ ? 8ðÌ�B%C%D ê E ) I à + * ' Ù ± Ý
Secure ß � � ��� (Z� Ñ &,ê � Î Ì%5"Ð%0��SÑCY d e�{��Å� e { (�� Ñ I ) Y"º,» �,� J�%'& Key (àOp�q�8 ,ZÏ 5 � � � ��J� �RSN IUBZKXMWOTCEVYQFAHLJPGD � à . Ñ J�F�� ê ¤�Y � ,"Ï 5$Ð 0��SÑCY�d,e { Ï Ì I ) 0"¤�à��,e { Ï Ì�)0�¤ ê & � � E,Ì��SÑ d�e� �0$Ð*à ( *�+�� ��,�- à9p�� ,ZÏ 5���. d�e� ��,Y � ��ÌZ¤ J� ¨ � Y�� )�* ��.�¤ Ý
Symmetric Key ß �/\ ¤ � /�0 ¤ÞÝSession Key ß 2 a ¤ÞÝ
Secret Key ß )4àOp�q�8 ,�Ï 5� F d e J d e { Ï Ì I ) 0( ,70- J B,n4�Od e�� � '1 = Ù ± D J�2 .ðà�.�� ,"Ï�ê� J F 03 ��( . ��Ì &�ê � Î .0 �� 4 $ 65 ? 0�d,e J ê E/8q$µÌ�Ð�à ê(� Î ,�Ï 5�7�8 D$m:9$DÆ I � J Ð 0��SÑ d,e (�;�< Ï Ì I ) 0( ,7�Y A . * '=�> + * . , + I�ê�? 7 ê � . I ,7 J@�A�B�C à�p�q�84Ì �7 ��Ï 59� ��q � F d�e � d�e�{ ? 8 I ® 0 J ] ê E ) I à + ,ZÏ 5 , ¦! 0 J,] 0 � 0�D J F 0�E } 3 �( - � ,�Ï 5 � ' � = } 8SÌ J F ê $�6�8*q ! 8 (" ® 0 J,] 0� � ' ) à ' E } 3 � 0 2 . e
àO¹*Î���� ,ZÏ 5 � Y 3 E Ï Ì J F ( � Y:E } 3 � 0 2 . t,�I�J
aY$¹Î"��� ,"Ï 5 Ð%0��ðÑ ��� (�F �HG + * �I 8�JY$d e,{ ? 8 I J,] 0D J F Y�DC�4n�ÊË T � (K � % * * � � ,�Ï 5Z[ \ J Ð@8 ��J ��L ¼ à + I J,] Y J � , "�¼ ê� ® 0�M%D (
��"q�N�O J
a, an, theà Ì
) ( �� ê 7 Ð 0 I 8�J DZ�*n$Ê�Ë T ��0 K � % * (�P . + * �Ì & Y�� � d e (;�< Ï Ì�Ðà ê E�Q ,�Ï 5
R.
vyq nkvvng tcddkvu, c yjkvg tcddkv, cpf c dncem tcddkv, nkxgf kp c nctig hqtguv.
gxgta oqtpkpi vjga jqrrgf qwv qh dgf cpf qwv kpvq vjg gctna oqtpkpi uwpujkpg.
vjga nqxgf vq urgpf cnn fca rncakpi vqigvjgt.
33
d e {0 I ) 0( ,7 (�2,a Y + * �G= 0 J ��� Y���� ��Ï�ê� ¤ J .���.��".� Ï Ì�Ðà ê(� Î ,Ï 5 ! Ð � d e0 Ù ± D J ! 0�¤�0 2,a� � 8SÌ�6 Y������%.*Ìà#��,Ì��Î �Ï 5 1883 � ��� �d e �30 6 � D��$lfS�S���Z� ¾ ¿ n,f�� n����Ã��� V ����� ¿ n J��d e�B,f"h À 0 Ù ± D J� d e {DC���kA Á À �2,a Y:E�Q*Ì�6�Y J ����" ¦ ¤0 2,a ê � 78SÌ�6�)SÑ/6�Y%6%6�� � .SÌ
.�
à! �� ,�"�I�ê� Ð�8 J } w�Y$#4Ì , � d e�%�&0�'�(�Y�) I � Ì 9 % �,Ï 5*�+�,�-�.�/ � ��0�1�2�3�4� ��0��SÑCY�� F ��d e J 3 � $�5 � .�� ;�< Ï Ì$Ð�à ê B C � Ï 5�Ð�0��SÑ u : 6 Ñ�� �!78� d,e ê�9 o W ��: �
(n�m���f
1523 ��; , 8 )Y��������< ? 8 ,�"�I
(9 o W ��: �,d,e
)5
Ð/8 J ¤ � 8 ) 7�8 I � � Y�=*����B V � V d,e � 0 J,F 0Z¦G7 " �?> à!@ �BA�� ��C =à . Ñ ' 0 �� �4 $�Y 5 . ¤ �D . �Y R,T�U,V�W � Ì I �SY$¤ .������ 8*q ;�< Ï Ì ÐàJ�E B%C ��Ï 5
a F a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
b F b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a
c F c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b
d F d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c
e F e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d
f F f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e
g F g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f
.
.
.
z F z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y
� �"q this is a pen age
à . ÑS¤ (� .�� d,e { Ï Ì$Y J$� 0��SÑZY "%,ZÏ 5
this is a pen ª t h i s i s a p e n¤a g e a g e a g e ad e { ? 8 I J,]t n m s o w a v i n
Ð 0��SÑ ��� �GBH { Ï Ì ' 0*à " �,� 2� ? Õ�I�J � Y�K�_�L"� ê � . I � ����l � �4àOp�q8SÌ�M�¹ ê E � ,�Ï 5
(I > " Ð�0�����l � ' ! 0,r"I�N�O06M�P%D ) Q�� " � ;�< Ï Ì�Ð*à êB%C �?"�I 5
)
��. d e� � ��J ¤ ê � � �Y$#"7�8 I�R : � ! 0"d,e J$Q 8 { ? 8ðÌ I ) �/ \ ¤0 /�0�ê � YS�T à � ,�Ï 5 � � J�Y J Ð%0 /�0 0 I ) Y J I . 7�8 ��U 8 ê º »ðà � ,�Ï (%�V�W�X Y
)5
5.2 Z\[\]_^�`Ý d e�Y A .������Ì*àCÎ�Y J� D*A"f Ý A ß �a�b Ý
B ß _ 9 ÝE ß à . ÑO��Æ ê�c ¨ "� D*A"fê�a�b Y ! " � a�b,ê D*A"f$Y R,T�U,V�W � �4Ñ�à " _ 9 ê ! 8 #�$�" �4Ñ à Ï Ì à . Ñ
34
� � � Ï Ì Ð*à ê 1 .�0 � Ð Ð � ' ! 84Y�HkÑZÐ�à�Y "%,ZÏ 5 ß��������. , DA"f�à a�b%J���� �� 0��mC� ê ��� Y���. Ö Y�� ¼ � .Ì Ý Ð�0 Ö 0 ��� �� _ 93J ¤ Ý����� ß 0�636�� I�� Y������ . .���� J$Ï ��� #�� � � "3, Ñ ß à "3,�Ï 5�D*A$f ' a�b ' ! 8£38 G $0�� ��� à ! 0"¤ J�� ��� .4Ì%0 �Ï�ê� �� .�Y�!��0�� ��� 0�¤ J�� � �%. .�à ",�Ï
.Ð 0��ðÑ �"$# �$�� > � � .���_ 9 Y ! 0,r"s � 7@8SÌ�Ðà = R,T�U,VW � �&%� Ï Ì$Y J )SÑ Ï 8*q���. � " - Ñ/6('
�����*)+�. , D*A"fà a�b3J�, 630�ÆY$#"7�8SÌ�Ðà Q =.- à A 0�/�0�0���1 /�0 Ï Ì�º » ê E Ì*à Ï ÌÝ Ð%0�/ J ¸ / � '�2 . ß à " ,�Ï 5�3 " D*A"f�67 a�b6 �a�b 6�7$D*A"f$Y � Ì40���1�0�/ J�Ï ��,_ 9 Y J $�6���� "3, Ñ�à "%,�Ï
.Ð 0��ðÑ �"$# 0"Ü � _ 9 Y"#F7�8SÌ�Ðà Q = D*A$fà a�b
ê�/ \0�/ � A I ) Y J )ðÑ Ï 8q:��. � " - Ñ�65'Ý76���� F � A 0�/�0���1 �8�9 � � Î Ì�0���1 0�/ ê $�6�� I à " � ' = 0�� A 0�/ J $�6�7 .�5M�Y = 0��$/04Ñ � 0 � A ê $�6�� �%.�� ' ' Ñ - à A 0�/ ê ¸ � E Ì 6$#*Ì�Ðà J � " .ðà"�:�Ï
. ß
Ð 0 ¾ _ Á5; Y � ��Ì�/=<�>kx Ï Ì ' <à " ��? ,�-�@�A�B$C (D$E C )à9p q�8SÌ ' < ê E � :Ï
.Û ÜÐ/8 (��F � � < ¾ _ Á5; Y %�I Ì(��� )�<��SÑCY�7 � Ï Ì�<�6,Y A�F �$G$H "�:ZÏ 5
I�J �m �G&K -ðà Ï Ì%54L�- a
àbY�� " �
a− bê
m� K �!@�8SÌ�àZÎ a
àbJ
m �MN�O�P�Q(R � E Ìà F�F a ≡ b (mod m)à/6 =
.
����q7 7ðà "�I ?,Õ ��J�S�" � J �SÑZY � :"Ï 5 Ð�<��ðÑ � � � W,� m V$T ��àOp��:�Ï
.
2 + 3 ≡ 5 (mod 7)
2 + 4 ≡ 6 (mod 7)
35
2 + 5 ≡ 0 (mod 7)
2 + 6 ≡ 1 (mod 7)
2 + 7 ≡ 2 (mod 7)
:�I � W,� m V�T �=< ? Õ �J$� <��SÑZY " � ��- � - ��Ì Ðà ' � Î :"Ï 5
32 ≡ 9 ≡ 2 (mod 7)
33 ≡ 27 ≡ 6 (mod 7)
34 ≡ 81 ≡ 4 (mod 7)
35 ≡ 243 ≡ 5 (mod 7)
36 ≡ 729 ≡ 1 (mod 7)
àCÐ�� ����� Ymê4 $,Y I Î F àZÎ ¥ �37 8 I L�- y, t
Y� " �yx ≡ t (mod m)
à F Ñ x<
� � 6; = Ðà J ��� Y�� " F Ð4à ê #"7�8�� F :�Ï 5 ! Ð � y, x → yx yà
xà F Ñ � / �
�8�9 Ì���ðà� ���$�4Ì ÐàZY:���9Û Ü=<��SÑZY " �,¤=<�� � �� � Ì Ðà ê � 6 � :"Ï .
? ,�-�@�A$B$C������ O�� % ¶D*A"f*à a�b3J"Ï�� Y
yx ≡ t (mod m)<��Y � F � y = 7, m = 11
à à"Ì�ÐàZY�© < " � F Ì .Ý Ð�< Ð*à J _ 9 Y$#�7 8�� F � ' 6 : � F 5 ßSTEP1
5���� D*A"f J -
A � A� � Ý � �"q3 �� ¼�> à "$:�Ï ß ! 8 �2,a Y " � � Î :�Ï 5
D*A"f J7A ≡ 73 ≡ 343 ≡ 2 (mod 11) ��� "�:�Ï .
Ð�<������(: 2) α
à9p��Ð4àZY " Ð8 � a�b Y ; � :ZÏ 5���
a�b3J -B � A�� � Ý � �$q
6 �� ¼�> à "�:ZÏ ß ! 8 �2,a Y " � � Î :"Ï 5a�b3J7B ≡ 76 ≡ 117649 ≡ 4 (mod 11) ��� "�:ZÏ .
Ð�<(������(: 4) β
à9p��Ð4à9Y " Ð8 � a�b Y ; � :ZÏ 5
STEP25
DA"f�à a�b ê���� %��O©kÑ�� � � Ð$< α, βê _ 9 Y$#�7�8�� "$: Ñ@6 ' " 8 : ",¼ ê ! 8 J 6: F : "�¼ 5
STEP35
���� D*A"f J�a�b <���
β �D � � βA ��� "�:�Ï 5 43 ≡ 64 ≡ 9 (mod 11)
36
���
a�b3J D*A"f�<���α �D � � αB ��� "�:�Ï 5 26 ≡ 64 ≡ 9 (mod 11)
STEP45
Ð�<��SÑCY " �D4A"fà a�b3J _ b Y$#"7�8SÌ$Ðà = & �- F9 �4 Ì$Ðà ê(� Î :�"�I 5�Ð�<
9 d e=<�¤�à " � ��F ���4Ì Ðà ê(� Î :"Ï 5Û � <��SÑ ¤,� �� 7=<$D$_ � o"D J
1976 � Y � o"n,o V ���$� � ��� � V*¾ �=<"�,Æ�<�d,e�� �Y������ � é ? 8d e=< =�> I � ���� ? " :�"�I�ê� 7 � { Ï Ì � ��J�: > � <��SÑ �S$T: ê E � :�"�I 5
1.7�8,Y R�T�U VW <Z� �&%�� Ï Ì > Y$¤=<Z���4%�� Ï Ì�º » ê E � :�Ï 5$Ð�< : J � �"q� RCV � ) �ðR�TOU VW � �&% � Ï Ì � �: F A � ' R�T�U,V�W � 8SÌ à F Ñ ! < Q : � � � "$: F :�Ï .
25"Ð�<( 7 > à� ,Æ ê DA"f$Y � Ï=:�" � a�b Y R�T�U�V�W � � I à " � ' a�b Y J ! < Ðà�� 6 ) Ì Ðà ê� Î : "�¼ 5
5.3 ����Zð��Ð$Ð : � G�H " ��Î I d e J ± ��d,e�{Sà9��e�{�Y & �Z¤ ��F �Î :�"�I (
��.�¤).� o�n o V >
<��=< � ��Y$ �� I S$T : ��� Ï Ì I ) Y J d�e {Sà9��e�{�Y��5<Z¤ ��F Ì�d�e�B f�h À (� *+ %�� �,� � ���)à F Ñ� � �< "�:�"�I . ' " Ð�<��SÑ d,e�B,f"h À�ê 7�8�Y�E/8*q D*A"f J d e {=<�¤ �G $� � Y ' �$� � F �,�,e {=<�¤ �� � Ï Ì�ÐàZY:���$� �4 $�7 � J d e �D ÑZÐ�à ê� Î Ì��SÑCY � :�Ï (!" % � � )
5 I > � o"n�o V�J Ð�<��SÑ D$_ � o$D # < "�:�"�I,ê� Ð�8 )$<��SÑCY " ��7 } Ï Ì�<�6 ! < ,7 :���¥ ��Ì Ð*à J(� Î : "�¼ �?"�I 5
RSA� ��.�¤Sà F ÑZDZ_ � o�D 7 } " �4Ñ$à 1 = < =�> ê%$ 8 "�:�"/I�ê 1977 � A 9 �$f4�,��B"½& D�� D�K9� � �$<��,Æ=< =�> J Ð�'4Y%(�) "%* ¯ RSAàOp�q%',+ = ��F.- '�� F Ì"d e�B�fh À # E "�:�"�I .
Ð�Ð ��J Ð�<"d,e�B�fZh À Y A$F �/ = / = ³ ´�Y Ú t "�:�"10 Ñ32
p, q ��� Y I Î Ý ;�41 5 � �ß <�� A <%6 Ì � é ? '�� F F � -ðà "$:�Ï 2�Ð�<*à�Î �<��SÑ G&K -�� G&K -=<��,© ��7 "�:�Ï 2
N = pqÝ Ð�<
pà
qJ � �8� à "�:ZÏ ß
L = (p− 1)(q − 1)
`: p− 1à
q − 1< ��9 ��: -
M = { ; 4�4 5 Û Ü=< G&K - � Nà F Y � ' < }
37
Ð�<*à�Î Â �8� ¤�È {c, N} à  2 a ¤�È d � <��SÑZY"8 ) :�Ï 2c: L
à F Y � `Û Ü=< G+K -82
d: cd ≡ 1 (mod L)à Ì
`Û Ü=< G&K -82 (
Ð�<��SÑ dJ � A � ����� ����� M à�p�q�'SÌ �7
��F ��� ) Ì Ð*à ê � Î :�Ï .)
Ð�<*à�Î M < = � <��SÑZY"d e { "�:ZÏ F
m → mc (mod N)
Ð�<��SÑZY " �� - ' I d,e J"� <��SÑZY " ����'*q = <-Y��4Ì�Ðà ê # - '�� F :"Ï 2
m → md (mod N)
F : ' à�< � V ^ M ��e�{ Ï Ì I ) Y J 2 < � - pà
q #*ÌZº�» ê E � :ZÏ 2 N = pqJ �
��� '�� F Ì�< � Ð�'� - p, q � ) Ì�< J ³,´�Y���� :ZÏ�ê Nê
400 5���-&F <- F Y Ì*à 7�8�YN �� -�$ ; " � p, q � ) Ì�< J�, à ¼ ) E�� Cðà F � '�� F :�Ï .
"�I�ê � �RSA
JÙ ± � E Ì*à F ��Ì � � ��Ï .
àZÐ�� �RSA
J�� <��SÑ M3D � � � F :"Ï .
� 2 a ¤ ��F �,d,e { "�I J,E J � � ¤ ��F �,�,e { � Î Ì��Ð�<�D�� ��F Ì*àO���"qD*A"f ê�a�b Y J E � ÌàZÎ�Y G $=< 2,a ¤ ��F �,d,e { " � " ���'*q a�b3J D4A$f�< �8� ¤ (��F �*Ð�' �,e { Ï Ì�Ðà ê(� Î�Ì � � ��Ï 2 Ð�<à"Î�D4A"f�<2 a ¤ J D*A"f " � � � F F � � ��Ï - �a�b3J Ð�< J,E J � Y,D*A"f� - � - ' I ' <� E Ì Ðà %��� � Î :�Ï (� ,�� /���� )
2Ð�<��ðÑ Q�� ê�� � RSA
J } w,_��^ V�:ðT � � � ' �*à ' + �!D � '�� F Ì"d eðà ��� F:�Ï�ê� } w '�1�� <-� �� d,e =�> × Y������ '?> �� " F d e ê # < � '�� F :"Ï .
38