LOS CUADRADOS MGICOS >> http://www.theofel.de/magic/squares003.html (6 orden)

por: Piero A. Balma-Tvola

Tarea presentada dentro de la conmemoracin del Aniversario del xodo del Saber

Montevideo, 18 de octubre al 12 de Noviembre 2007 - Ao LX de la Nueva Era

"El resurgimiento de las matemticas nos presenta un nuevo factor que impulsa nuestra

sociedad, a la ciencia y que implica abolir el abismo que existe, por una parte, entre el hombre

de ciencia dedicado a su especialidad y, por la otra parte, el gran pblico, que a falta de explicaciones vive sumido en la ignorancia y mira a la ciencia lleno de temor supersticioso y, al

mismo tiempo, desea que produzca los objetos y los remedios milagrosos que cierto tipo de

prensa de grandes tirajes le ha enseado a esperar de ella, y no slo a esperar, sino a

considerar como el resultado inevitable de sus investigaciones".

Dr. David J. Ferrz Olivares

QU SON LOS CUADRADOS MGICOS Los Cuadrados Mgicos son ordenaciones de nmeros, normalmente consecutivos y

comenzando en uno, en celdas que forman un tablero n x n. La peculiaridad se encuentra en

que las cifras deben estar dispuestas de tal modo que la suma de las filas, de las columnas y de las diagonales principales de la grajilla d el mismo resultado. Si la condicin de las

diagonales no se cumpliese nos encontraramos ante una variante de este juego que son los

llamados cuadrados latinos.

Los cuadrados mgicos se clasifican en arreglo al nmero de casillas que tiene cada fila o columna. De este modo, un cuadrado con cuatro celdas se dice que es de cuarto orden, n = 4.

Los hay de diversa ndole: Cuadrados semimgicos, cuadrados mgicos, cuadrados

bimgicos, cuadrados trimgicos, cuadrados panmgicos o pandiagonal, cuadrados mgicos

asociativos, cuadrados mgicos esotricos, etc. etc., segn las caractersticas que presentan en sus diversas modalidades de clculo. (Connotacin de la Tarea de la Rev. Gelong Mara Surez).

HISTORIA DE LOS CUADRADOS MGICOS Aunque su origen nos es desconocido, este tipo de juegos aparece, de una u otra forma,

en todas las pocas y culturas. Sabemos, por ejemplo, que los sacerdotes egipcios los

empleaban para predecir el futuro. Sabemos que fueron conocidos por los chinos y los hindes

antes de nuestra era, pero ignoramos todo lo referente a su concepcin.

En cambio, en China se encuentra una historia ms curiosa que justifica su aparicin. A

partir de entonces los chinos lo adoptaron como un juego ms al que denominaban Lo-Shu.

La leyenda dice que en el 2200 a.c el emperador chino Lo Shu vio el cuadrado mgico

de 3x3 en el caparazn de una tortuga en el ro Lo (de ah su nombre).

De lo cual surgi seguidamente toda una simbologa relacionada

que se fue transformando en los tiempos

hasta terminar fundindose, incluso, en los trigramas del I-CHING

Aparentemente, el primer texto en que se muestra un cuadrado mgico, es un manuscrito rabe del Siglo VIII. El cuadrado mostrado es de 3x3, y el autor se lo atribuye a

Apolonio de Tiana, que vivi en el Siglo I.

El cuadrado de 3 aparece nuevamente en un trabajo del matemtico judo Ibn Esra, del

Siglo XII.

Parece ser que los cuadrados mgicos fueron introducidos en Europa por el gramtico

bizantino Moschopoulos, en el Siglo XIV. Se ha encontrado un manuscrito suyo en el que da

varios cuadrados de lado 4n y de lado impar, dando un procedimiento general para

construirlos, por un lado, mientras que por otro, muestra un cuadrado de 6x6 sin aportar el mtodo por el cual lo obtuvo.

Fue ya en el ao 1533 cuando Cornelius Agrippa, en "De oculta philosophia libri

tres" (Colonia, 1533), da cuadrados mgicos desde 3x3 hasta 9x9. El autor asoci cada uno de estos a los siete planetas por entonces conocidos, dndoles el nombre de Tabulae

Saturno, Jovis, Martis, Solis, Veneris, Mercurii y Lunae. Cabe mencionar, que estos

tableros los realiz tanto en cifras arbigas como en caracteres hebreos.

Aun los que aparecen en cifras arbigas estn representados de derecha a izquierda, lo que podra ser testimonio de procedencia semtica. No da ningn mtodo de construccin, y

se ocupa solamente de las propiedades que tendran como talismanes.

Grabado del libro de Agrippa: Tabula Saturni

En las obras atribudas a Paracelso, que vivi en la misma poca, aparecen

recomendaciones respecto a los mismos cuadrados. Algunos de esos amuletos, de uso comn entre los siglos XVI y XVII han llegado a nuestras manos. Representan, con total seguridad, el

modo en que los cuadrados mgicos llegaron al conocimiento popular.

No sabemos cmo se construan en el Siglo XVI los cuadrados de orden 4n+2, y si ese

procedimiento era general o particular. De todos modos, an en nuestra poca, no existe un

procedimiento realmente prctico para construirlos.

Entre los matemticos famosos que en los siglos XVI y XVII se ocuparon de los

cuadrados mgicos debemos mencionar a Stieffel, Fermat y Pascal.

De La Loubere, quien fue embajador de Luis XIV en Siam los aos 1687 y 1688, public

en 1691 "Du royaume de Siam", en el que da su conocidsimo mtodo de construccin de cuadrados impares. Aun en esa poca el tema estaba rodeado de misticismo.

Euler, en "De quadratis magicis" (1776) y en "Recherches sur une nouvelle

espece des carrs magiques (1782) se ocupa de los cuadrados llamados eulerianos tambin conocidos como cuadrados Greco-latinos, Greco-romanos o Latino-griegos. Durante mucho tiempo se conoci la existencia de estos cuadrados para n =3, 4 y para todo nmero impar excepto para n = 3k. La conjetura de los cuadrados Greco-romanos sostena que no existan cuadrados eulerianos para los rdenes n = 4k + 2, k = 1, 2, Sin embargo, en 1959, se encontraron dichos cuadrados demostrando su existencia y, al mismo tiempo,

refutando la conjetura.

En el Siglo XIX, importantes avances fueron obtenidos por Lucas, Tarry, y Rouse Ball.

Finalmente, en el Siglo XX, la atencin de los matemticos que se ocuparon del tema, se

centr en la estructura y la contabilizacin de los cuadrados, obtenindose prodigiosos

resultados.

Durante la Edad Media estos cuadrados mgicos eran grabados en lminas de plata y se

utilizaban a modo de amuleto contra la peste negra. Algunos de estos objetos han llegado hasta nosotros y podemos afirmar, casi con total seguridad, que gracias a ello este juego llego

al conocimiento popular perdurando hasta nuestros das.

Es digna de mencin la figura del gran artista y matemtico Alberto Drero. ste

incluy en su obra Melancolia - 1 uno de los cuadrados mgicos ms conocidos por el hombre y que ms ha captado la atencin de aquellos que investigan este tema.

Curiosamente, los astrlogos los aconsejaban como amuletos protectores contra la melancola.

Veamos el grabado del que estamos hablando y ampliemos el cuadrado mgico que nos

interesa:

Si observamos el cuadrado podemos ver como los dos nmeros centrales de la ltima fila

nos proporcionan exactamente la fecha en la que fue realizado este grabado (1514).

Los expertos piensan que la gran diversidad de detalles que aparecen en l representa la

insuficiencia del conocimiento humano para alcanzar la sabidura o para profundizar en los secretos de la naturaleza.

Los especialistas han analizado este cuadrado, llegando a asombrosos resultados:

La suma de sus filas, columnas, diagonales es treinta y cuatro. Pero esto no sera

sorprendente si no fuera porque la suma del cuadrado central y sus cuatro cuadrantes da la

misma constante mgica, treinta y cuatro.

Si trazamos lneas que unan los nmeros pares y por otro lado los impares podemos

observar que se consiguen estructuras hexagonales.

Realizando una transformacin de sus cifras que consiste en restarles una unidad a cada

una de ellas (de modo que todos los nmeros estaran en el sistema hexadecimal); y poste-

riormente pasando los resultados obtenidos a cdigo binario, se consigue un cuadrado mgico

que al girarlo 45 grados hacia la derecha presenta una simetra vertical perfecta ceros y unos.

Por ltimo, en nuestro recorrido por las aportaciones matemticas a esta cuestin, nos

encontramos con los matemticos del siglo XX. Estos se centraron en el recuento de

cuadrados y en su estructura, obteniendo sorprendentes resultados.

Veamos ahora los mtodos de construccin:

Pero los cuadrados mgicos,

fueron siempre cuadrados con nmeros ??

O nacieron de otra estructura matemtico/alfa-numrica primordial??

Veamos como trata el tema numerolgico Pitgoras:

LA TETRAKTYS: el nmero diez

Tetraktys: figura triangular consistente en diez puntos colocados en cuatro lneas: un, dos, tres, y cuatro puntos en cada fila. Smbolo mstico que representa el nmero diez.

La tetraktys, figura que tenan por sagrada, indica que los pitagricos consideraban as

los nmeros. Esta figura demuestra que el 10 resulta de

sumar 1+2+3+4,o sea, que es la suma de los cuatro primero nmeros enteros. Por ella hacan el juramento

transmitido como pitagrico, hecho en nombre de Pitgoras

mismo, pero sin nombrarlo, por quin transmiti a nuestra alma la tetraktys. La tetraktys es el nmero perfecto y la clave de la doctrina. Es posible que jugase tambin un papel en los distintos grados de la metamorfosis del alma.

El diez tiene el sentido de la totalidad, de final, de

retorno a la unidad finalizando el ciclo de los nueve primeros

nmeros. Para los pitagricos es la santa tetraktys, el ms sagrado de todos los nmeros por simbolizar a la creacin universal, fuente y raz de la eterna

naturaleza; y si todo deriva de ella, todo vuelve a ella. Es pues una imagen de la totalidad en

movimiento.

La tetraktys forma un tringulo de 10 puntos colocados en cuatro lneas, de la forma siguiente:

La Santa Tetraktys pitagrica:

1. La Unidad: Lo Divino, origen de todas las cosas. El ser inmanifestado.

2. La Dada: Desdoblamiento del punto, origen de la pareja masculino-femenino.

Dualismo interno de todos los seres. 3. La Trada: Los tres niveles del mundo: celeste, terrestre, infernal, y todas las

trinidades.

4. El Cuaternario: los cuatro elementos, tierra, aire, fuero y agua, y con ellos la

multiplicidad del universo material. El conjunto constituye la Dcada, la totalidad de Universo:

4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 1 + 0 = 1

Todo es Nmero: el nmero como explicacin de la realidad

Adems los pitagricos, conceban los nmeros con un carcter pedaggico, pues como ellos no hay otros que tengan mayor capacidad explicativa. El nmero tena un sentido

genrico y decisivo en la construccin del cosmos. El comienzo es lo Uno (monas), es

indeterminada y de naturaleza divina, semejante al apeiron de Anaximandro. De lo uno

limitado (denominado as porque no es an una dualidad numrica o completa, pues lo uno no es el uno cuantitativo, sino un gnero supremo), surge la dada indefinida (aoristos duas).

Pues de la unin de estos dos surge el uno y el dos numrico, es decir, de lo uno el uno y de

lo uno y de la dada indefinida el dos. Por extensin surgen los dems nmeros.

Lo uno debemos entenderlo como identidad en tanto la propiedad que tienen las cosas

de ser ellas mismas, la dada debemos entenderla como las diferencias pues es en este pensamiento el que liga la identidad con la diferencia, que asume la unidad y la dualidad como

los elementos de lo verdadero.

Eurito sola representar los nmeros con piedrecillas, y por este procedimiento,

obtenemos los nmeros cuadrados y los nmeros triangulares.

En efecto, si partiendo de la unidad vamos aadiendo sucesivamente los

nmeros impares conforme al gnomon, obtenemos los nmeros cuadrados; mientras que si partimos de dos y le vamos aadiendo los nmeros pares,

obtenemos los nmeros triangulares.

Por lo general, si consideramos, que n es el nmero de orden (filas = columnas) del cuadrado, y n2 el total de sus casillas (filas x columnas); y comenzando por los primeros

nmeros naturales, nos resulta la constante de cada columna, o fila, o diagonal que ser dada

por la frmula:

n(n2 + 1)/2

Esta costumbre de representar los nmeros o relacionarlos con la geometra ayuda a

comprender por qu los pitagricos consideraban las cosas como nmeros y no slo como

numerables: transferan sus concepciones matemticas al orden de la realidad material. Por la

yuxtaposicin de puntos se engendra la lnea, la superficie es engendrada por la yuxtaposicin de varias lneas y el cuerpo por la combinacin de superficies.

Puntos, lneas y superficies son las unidades reales que componen todos los cuerpos de

la naturaleza, y en este sentido todos los cuerpos deben ser considerados como nmeros.

Cada cuerpo material es una expresin del nmero cuatro, puesto que resulta como un cuarto

trmino de tres clases de elementos constitutivos (puntos, lneas y superficies).

Y tambin los hay como cuadrados mgicos de letras.

Se les llama PALNDROMOS CUADRADOS Veamos uno de los ms famosos:

El cuadrado mgico de 13 casillas

En el cuadrado mgico de 13 casillas, notamos los nmeros:

1 - 4 - 2 - 8 - 5 7 Cuyas cifran, al ser invertidas alternadamente: el 1 pasa al final, luego el 4, luego el 2, y as

sucesivamente; o sea, efectuamos una permutacin cclica, nos brinda un cuadrado super-mgico como detallamos ms abajo.

Todo ello est relacionado por la constante matemtica citada por el S.M.A. de la Ferrire en sus GRANDES MENSAJES que nos menciona:

El Nmero Mgico, en su orden normal es 142857 y tomando como primera cifra la de la punta superior, el significado hermtico es:

1: Principio universal.

4: Los Elementos (Fuego, Aire, Agua y Tierra), manifestacin del Principio

Universal.

2: La cifra de la divisin, pues los elementos son contrarios: el agua se opone al Fuego.

8: La multiplicacin por divisin de las clulas (2 x 4). La materia de la cual el Ser

se origina.

5: La cifra del Hombre, representada por la estrella de cinco puntas. 7: La Hoz, smbolo de la Muerte.

Si multiplicamos este nmero (142857) por 2, 3, 4, 5, 6, resultara no solamente los

nmeros con las mismas cifras que los constituyen, sino colocadas siempre en el mismo orden

perfecto. 142857 multiplicado por 2: 285714

142857 multiplicado por 3: 428571

142857 multiplicado por 4: 571428

142857 multiplicado por 5: 714285

142857 multiplicado por 6: 857142

Excepcin hecha de la multiplicacin por 7 (Cifra de Muerte). 142857 multiplicado por 7:

999999. El nmero 9 es la cifra de la semilla, de la siembra, del renacimiento que requiere 9

meses. Los Grandes Mensajes (Pg. 89-90) - Sat Gur Dr. Serge R. de la Ferrire

714285 142857 428571 285714 857142 571428 999999 571428 857142 285714 428571 142857 714285

571428 714285 142857 428571 285714 857142 999999 857142 285714 428571 142857 714285 571428

857142 571428 714285 142857 428571 285714 999999 285714 428571 142857 714285 571428 857142

285714 857142 571428 714285 142857 428571 999999 428571 142857 714285 571428 857142 285714

428571 285714 857142 571428 714285 142857 999999 142857 714285 571428 857142 285714 428571

142857 428571 285714 857142 571428 714285 999999 714285 571428 857142 285714 428571 142857

999999 999999 999999 999999 999999 999999 999999 999999 999999 999999 999999 999999 999999

142857 428571 285714 857142 571428 714285 999999 714285 571428 857142 285714 428571 142857

428571 285714 857142 571428 714285 142857 999999 142857 714285 571428 857142 285714 428571

285714 857142 571428 714285 142857 428571 999999 428571 142857 714285 571428 857142 285714

857142 571428 714285 142857 428571 285714 999999 285714 428571 142857 714285 571428 857142

571428 714285 142857 428571 285714 857142 999999 857142 285714 428571 142857 714285 571428

714285 142857 428571 285714 857142 571428 999999 571428 857142 285714 428571 142857 714285

Veamos la particularidad del nmero: 142857 Cuando calculamos:

1/2 en la calculadora nos da: 0.5

cuando calculamos 1/3 nos resulta: 0.3333333333333 es decir peridico en 3. Y as sucesivamente con:

1/4 = 0.25

1/5 = 0.2

1/6 = 0.1666666666666666 1/9 = 0.1111111111111111 pero cuando hacemos 1/7 nos da: 0.142857 peridico, o sea:

0.142857142857142857142857142857142857

Ya vimos que el hecho de:

142857 multiplicado por 1 da 142857

142857 multiplicado por 2 da 285714

142857 multiplicado por 3 da 428571, etc, etc.

y que cuando se hace 142857 multiplicado por 7 da 999999

Algo similar sucede con el nmero 0588235294117647 al multiplicarlo por 1, 2 hasta 16

da una permutacin cclica de este nmero, pero al hacerlo por 17 nos da un nmero formado

por (17 nueves) 99999999999999999

Si analizamos el racional 1/17 este tiene un perodo maximo de 16.

Por lo que se puede determinar que:

Todo numero 1/p con p primo que tenga periodo maximo verifica esta propiedad, al

multiplicarlo por 1, 2, ..., hasta p-1 nos da la misma cifra permutada en forma ciclica y al

hacerlo por p nos da un nmero formado por p veces el 9.

Pero sobre este cuadrado, tenemos una particularidad muy relacionada con la WIPHALA

Tiwanakota, que podramos llamar la WIPHALA MAGICA.

Notamos, pues, la relacin y fuerza existente en todos los mbitos del universo, donde

las matemticas son la base de la armona y leyes que rigen el cosmos. Como dice el Dr. Serge Raynaud de la Ferrire: TODO ESTA INTIMAMENTE LIGADO

DIOS ES OMNIPRESENTE Y ESTO NOS OBLIGA A ESTUDIAR SU PRESENCIA, TANTO EN LO INFINITAMENTE GRANDE, COMO EN LO INFINITAMENTE PEQUEO. EL CIELO ES UN GRAN

LIBRO ABIERTO, POR EL AMOR DE DIOS, A LA INTELIGENCIA DEL HOMBRE.

Los Grandes Mensajes (Pg. 349 ) - Sat Gur Dr. Serge R. de la Ferrire

La ley de los nmeros, de los colores, o de cualquier otra vibracin, se halla en l

inscrita, y son elementos con los cuales el hombre lucha o evoluciona, pues todo es evolutivo, desde la causa primera hasta las mltiples manifestaciones.

Los Grandes Mensajes (pg. 58) Sat Gur Dr. Serge R. de la Ferrire

Por ltimo, un ingls en la ciudad de Naski, en la India, descubri un cuadrado mgico

que lo llam El Cuadrado Diablico (tambin llamado cuadrado de Naski), por su peculiar arreglo interno Tiene la caracterstica de que cada cuadrado de cierto tamao que se tome, siempre resultar un cuadrado mgico (ver: http://www.theofel.de/magic/sonstiges.html)

1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17

23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14

20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6

12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3

9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25

1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17

23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14

20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6

12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3

9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25

1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17

23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14

20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6

12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3

9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25

1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17

23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14

20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6

12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3

9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25

1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17

23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14

20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6

12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3

9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25

Presentado por:

CENTRO de ESTUDIOS UNIVERSALES Campus Virtual TEBA del AQUARIUS

Dr. Serge Raynaud de la Ferrire

www.acuariano.com - - www.yoghismo.com Tel.: 2682 7042 Cel.: 095 116 345

Mail: campus@acuariano.com

Montevideo URUGUAY ___________________

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