of 228 /228
0 5 0 6 07 0 8 0 9 1 0 1 1 1 2 SỐT MAYONNAISE VÀ BẦU CỬ TỔNG THỐNG MỸ Nils Berglund VẬT LÝ, HÌNH HỌC VÀ TRÁI ĐẤT TRÒN Nguyễn Ái Việt BÌNH LUẬN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ 2016 Nguyễn Tiến Dũng BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC, ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN Lê Tự Quốc Thắng CÁC CHUYÊN MỤC KHÁC "Logic là cơ sở của hầu như toàn bộ kiến thức mà chúng ta thu nhận được. LEONARD EULER Kĩ năng tự học là kĩ năng quan trọng nhất mà một người có thể sở hữu.” TONY BUZAN

0 8 09 10 - Epsilon

  • Author
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of 0 8 09 10 - Epsilon

ST MAYONNAISE VÀ BU C TNG THNG M Nils Berglund
VT LÝ, HÌNH HC VÀ TRÁI T TRÒN Nguyn Ái Vit
BÌNH LUN THI OLYMPIC TOÁN QUC T 2016 Nguyn Tin Dng
BT NG THC TAM GIÁC, A GIÁC VÀ A DIN Lê T Quc Thng
VÀ CÁC CHUYÊN MC KHÁC
"Logic là c s ca hu nh toàn b kin thc mà chúng ta thu nhn c.
LEONARD EULER
K nng t hc là k nng quan trng nht mà mt ngi có th s hu.” TONY BUZAN
05
06
07
ng Nguyn c Tin
LI NG Nng tháng 8 vàng rc trên nhng con ng, mùa hè ã n chín mùi. Nhng cuc vui, nhng chuyn i xa ang úng dp tng bng nht. Nhng âu ó, vào tháng tám lng chng, vài cn ma cht i cht n, vài ngn gió sm mát lành a n mùi v mt mùa thu tu trng chng còn bao xa.
Tp chí Epsilon, ra mt vào nhng tun l cui cùng ca mùa h, cng là s ra mt ln th 10, mt con s p và trn vn mi ngi cùng nhìn li mt chng ng ã i qua. i vi nhng ngi trong ban biên tp, s 10, coi nh ã tròm trèm mt chu k, và bt u mt chng ng mi phn u.
Chúng tôi cng hy vng rng vi bn c, c bit vi nhng ngi gn bó vi bng en bc ging, ít nhiu s 10 này cng s có ý ngha vào thi khc giao mùa. khi tháng tám trôi qua, tháng 9 gõ ca, chúng ta li cùng bt u mt chng mi trên con ng truy tm tri thc mênh mông.
i nhiu ngi, bn s i rt xa ...
MC LC
Ngô Quang Hng Bt ng thc không-Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Lê T Quc Thng Bt ng thc tam giác, a giác, và a din . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Nguyn Hùng Sn Toán hc và ngh thut tung hng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
ng Minh Tun H mt mã khóa công khai da trên ng cong Elliptic - Mt s ng dng . . . . . . . 33
Nguyn Ái Vit Vt lý, Hình hc và Trái t tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Nils Berglund, dch gi: Dng c Lâm St mayonnaise và bu c tng thng M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Dng Trng Tn Hc cách hc: Mt bài hc quan trng bc nht ang b b quên . . . . . . . . . . . . . 61
Nguyn c Hng Leonhard Euler - Ngi thy v i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Lý Ngc Tu Giá tr nào cho 1 + 1 + 1 + ... ? Vô cùng hay -1/2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Trnh ào Chin Tip ni câu chuyn v mt tng ly tha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Trn Quang Hùng, Nguyn c Bo V mt toán hay trên tp chí THTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Nguyn Trn Hu Thnh Mt b v phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Trn Minh Ngc Các ng tròn có hai im chung trong t giác ni tip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Trn Minh Hin nh lý Cauchy-Davenport và ng dng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Lê Anh Dng S dng Modulo trong phng trình nghim nguyên và bài toán chia ht . . . . . . . . . 156
4
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
Nguyn Quc Anh Chng minh BT bng phng pháp phân tích bình phng vi s tr giúp ca máy tính 174
Gary Antonick, dch gi: Nguyn V Duy Linh Mt vài im c bit ca phong trào Olympic toán ca M . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Nguyn Tin Dng Bình lun thi Olympic Toán Quc t (IMO) 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Trn Nam Dng Bài toán hay - li gii p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Ban Biên tp Li gii thi Toán quc t Formula of Unity - The Third Millennium (tip theo) . . . . 209
Ban Biên tp Các vn c in - hin i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5
TÓM TT
Tip theo bài gii thiu v entropy, các bt ng thc Shannon và vài ng dng trong Epsilon s 7, bài này gii thiu mt bt ng thc không-Shannon cùng vi mt s tính cht mà các bt ng thc mà hàm entropy phi tho mãn. Trong hành trình nho nh này, ta s tình c gp mt mi quan h gia lý thuyt s và lý thuyt thông tin, và gia bt ng thc thông tin và quy hoch tuyn tính.
Trc ht, xin tóm tt li mt s ký hiu ã c gii thiu và dùng trong bài trc [5]. Ta ch xét các phân b xác sut trên n bin ri rc X0, . . . , Xn, trên các min χ1, . . . , χn tng ng. Ta dùng XS = (Xi)i∈S ký hiu mt b bin ngu nhiên có ch s trong tp S ⊆ [n], và xS = (xi)i∈S ∈
∏ i∈S χi ký hiu mt b giá tr c th ca các bin này. Entropy ca mt
phân b cho ta mt con s H[XS] vi mi tp con ∅ 6= S ⊆ [n]. Do ó, ta vit H(S) thay vì H[XS]. Entropy ca mt phân b cho trc là mt hàm tp hp H : 2[n] − {∅} → R+. Hàm entropy H cng là mt vector trên không gian R2n−1
+ , ti vì có tt c 2n − 1 tp con khác rng ca [n], và mi tp con là mt to . Vi mt phân b khác thì ta li có entropy khác, ngha là mt hàm tp hp khác và mt vector khác trong không gian R2n−1
+ . Bài trc ã chng minh nh lý sau ây:
nh lý 0.1. Xét mt phân b xác sut liên kt ca n bin tu h. Entropy H ca phân b này tho ba tính cht sau ây:
• Tính không âm: H(S) ≥ 0,∀S ⊆ [n], S 6= ∅.
• Tính n iu: H(S) ≤ H(T ),∀S ⊆ T ⊆ [n].
• Tính sub-modular: H(S ∪ T ) +H(S ∩ T ) ≤ H(S) +H(T ),∀S, T ⊆ [n].
Nói cách khác, entropy H là mt polymatroid.
Tt c các bt ng thc c tho mãn bi mi polymatroid thì tt nhiên cng c tho mãn bi mi hàm entropy. Ta gi chúng là các bt ng thc kiu-Shannon.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
6
1. Bt ng thc Zhang-Yeung
Trong hn na th k, tt c các bt ng thc entropy mà chúng ta bit thì u là bt ng thc kiu Shannon. Nm 1998, Zhang và Yeung [7] khám phá ra mt bt ng thc không chng minh c bng các tính cht ca polymatroid:
2I(C;D) ≤ I(A;B) + I(A;C,D) + 3I(C;D|A) + I(C;D|B). (1)
Nh rng thông tin tng h là mt hàm tuyn tính ca entropy:
I(X;Y ) = H(X) +H(Y )−H(XY ),
I(X;Y |Z) = H(XZ) +H(Y Z)−H(XY Z)−H(Z),
cho nên bt ng thc (1) là mt bt ng thc entropy. Bt ng thc này cho thy s tn ti ca mt bt ng thc úng vi mi entropy nhng không úng vi mi polymatroids. Làm th nào mà Zhang-Yeung tìm ra và chng minh c rng
1. Bt ng thc (1) không suy ra c t các tính cht ca polymatroid?
2. Tt c các hàm entropy u phi tho bt ng thc (1)?
1.1. Quy hoch tuyn tính
Ta i ng vòng tr li câu hi u tiên. Nu i ng thng thì ch cn ch ra mt polyma- troid không tho mãn bt ng thc (1) là xong. Mt bt ng thc suy ra c t các tính cht ca polymatroids nu và ch nu nó c tho mãn bi tt c các polymatroids. Nhng nói vy thì quá mù m, ta cn mt phng pháp có h thng nào kim tra xem mt bt ng thc kiu nh H(AB) +H(AC) +H(BC) ≥ 2H(ABC) có c tho mãn bi tt c các polymatroids (trên 3 bin) hay không.
Nh rng, nh ã vit trên, mt hàm tp hp h : 2[n] → R+ cng c xem nh mt vector h ∈ R2n−1
+ (vì h(∅) = 0 trong ng cnh ca ta). Ta dùng các tp con không rng ca [n] ánh ch s các to ca vector h. Mt hàm tp hp là mt polymatroid nu và ch nu nó nm trong a din P = {Mh ≥ 0,h ≥ 0}, trong ó M là ma trn ca các tính cht n iu và sub-modular trên. Ví d, vi tính cht sub-modular trên tp S, T thì s có mt hàng ca ma trn M tng ng vi bt ng thc
h(S) + h(T )− h(S ∪ T )− h(S ∩ T ) ≥ 0.
Hàng này ca ma trn M có hai s 1 các to S, T , và hai s −1 các to S ∪ T và S ∩ T .
Mt bt ng thc tuyn tính s có dng cTh ≥ 0, trong ó c ∈ R2n−1 là mt vector h s. Ví d, trong bt ng thc
h(AB) + h(AC) + h(BC)− 2h(ABC) ≥ 0
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
7
thì vector c có ba s 1 các to AB,AC,BC, và mt s −2 to ABC. Câu hi th nht trên tng ng vi câu hi: “làm th nào bit là cTh ≥ 0 úng vi mi h ∈ P ?” Lu ý rng vector 0 ∈ P , ta có
cTh ≥ 0,∀h ∈ P nu và ch nu min{cTh |Mh ≥ 0,h ≥ 0} = 0.
Bài toán min{cTh |Mh ≥ 0,h ≥ 0} là mt bài toán quy hoch tuyn tính c bn. Và ta có th gii nó (bng máy tính) kim tra xem bt ng thc cTh ≥ 0 có úng vi mi polymatroids hay không. Mt cách khác là ta dùng tính cht i ngu ca quy hoch tuyn tính; tính cht này nói rng
min{cTx |Ax ≥ b,x ≥ 0} = max{bTy |ATy ≤ c,y ≥ 0}, nu nh mt trong hai bài toán có hàm mc tiêu hu hn. Bài toán min{cTh |Mh ≥ 0,h ≥ 0} có quy hoch i ngu ca nó vit là
min{cTh |Mh ≥ 0,h ≥ 0} = max{0Ty |MTy ≤ c,y ≥ 0}.
Bài toán i ngu có hàm mc tiêu hu hn (bng 0) nu và ch nu nó có nghim! Nh vy, ta va chng minh c b sau1:
B 1.1. Bt ng thc cTh ≥ 0 úng vi mi polymatroid h nu và ch nu h bt phng trình sau ây có nghim:
MTy ≤ c, y ≥ 0.
Trong ó, M là ma trn ca các bt ng thc sub-modularity và n iu.
Nói cách khác, bt ng thc cTh ≥ 0 úng nu mà ch nu ta tìm c các h s y không âm và t hp tuyn tính dùng các h s y ca các bt ng thc sub-modularity và n iu “suy ra” cTh ≥ 0 c. “i ngu trong quy hoch tuyn tính” nghe có v hi vang vang, nhng nó là mt tính cht n gin; nu h bt phng trình có nghim thì ta suy ra c rng
cTh ≥ (MTy)Th = yTMh ≥ yT0 = 0.
Tt nhiên, chng minh trc tip chiu ngc li ca b trên mà không dùng quy hoch tuyn tính thì khó hn mt chút; và làm vic này không cn thit lm trong ng cnh ca bài vit. Tóm li, B 1.1 cho chúng ta mt thut toán kim tra xem mt bt ng thc kiu (1) có phi là bt ng thc Shannon hay không? Ta ch cn kim tra xem h bt phng trình tuyn tính tng ng có nghim hay không; bt k mt LP-solver nào (nh cplex, Gurobi) u làm c iu này d dàng.
1.2. Lên không gian nhiu chiu hn
Bây gi ta quay li câu hi th hai: làm th nào chng minh rng (1) là mt bt ng thc mà tt c các hàm entropy trên 4 bin u phi tho? ây tht s là câu hi mu cht cn mt phát kin tuyt vi ca Zhang và Yeung. i khái, h xây dng mt bin ngu nhiên th 5, gi là R, và dùng mt bt ng thc kiu Shannon cho phân b (A,B,C,D,R). Bin R có mt tính cht
1ây chng qua là mt dng ca b Farkas
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
8
c bit, mà nh ó khi ta “chiu” bt ng thc kiu Shannon t không gian (A,B,C,D,R) xung không gian (A,B,C,D) thì ta có bt ng thc (1).
Mt cách nôm na hn, gi Γ∗n là tp tt c các hàm entropies H ca n bin, và Γn là tp tt c các hàm polymatroids ca n bin. nh lý 0.1 cho ta bit Γ∗n ⊆ Γn. Ngoài ra, Γn là mt tp li, và Γ∗n không phi là tp óng, nhng bao óng ca nó cng là mt tp li. Mt bt ng thc nh cTh ≥ 0, nu úng vi mi polymatroid, thì chng qua là vì cTh là mt siêu phng nm ngoài Γn; vector c là mt pháp tuyn ca siêu phng này. Mt bt ng thc nh (1) úng vi Γ∗n nhng không úng vi Γn thì phi là mt siêu phng nm ngoài tp Γ∗n và ct vào trong Γn. trên ta ã chng minh rng cái siêu phng tng ng vi (1) ct Γ4. chng minh rng nó nm ngoài Γ∗4, ta tìm mt siêu phng nm ngoài Γ5 sao cho “hình chiu” ca nó xung không gian (A,B,C,D) chính là siêu phng tng ng vi (1).
C th hn, ta gh li toàn b phng pháp ca Zhang-Yeung dùng mt chng minh mi hn [2].
B 1.2. Gi A,B,C,D là bn bin t mt phân b liên kt nào ó. Thì, tn ti mt bin ngu nhiên R phân b liên kt vi A,B,C,D, vi các tính cht nh sau:
(i) Phân b ngoi vi ca (A,B,C) và (A,B,R) ging ht nhau (vi C thay bng R)
(ii) I(CD;R|AB) = 0.
Tóm tt. Gi p(a, b, c, d) là hàm cân nng xác sut ca phân b liên kt ca (A,B,C,D). Gi R là mt bin ngu nhiên mi có cùng min vi C, và nh ngha hàm cân nng xác sut
p′(a, b, c, d, r) = p(a, b, c, d)
∑ d p(a, b, r, d)∑
c,d p(a, b, c, d) .
D thy rng ∑
r p ′(a, b, c, d, r) = p(a, b, c, d): ngha là phân b ngoi vi trên (A,B,C,D) ca
p′ chính là phân b c ca (A,B,C,D). Và t ó ta cng có p′ là mt hàm cân nng xác sut (tng bng 1). T ây, kt thúc chng minh b ch còn là c bp.
Ta vit li bt ng thc (1) mt chút. Trc ht, chuyn I(C;D) sang v phi và sp xp li, d thy bt ng thc (1) tng ng vi bt ng thc sau ây:
I(C;D)
= I(A;B) + 2I(C;D|A) + I(C;D|B) +H(A) +H(CD)−H(ACD)
+H(AC) +H(AD)−H(ACD)−H(A)−H(C)−H(D) +H(CD)
= I(A;B) + 2I(C;D|A) + I(C;D|B)
+H(CD) +H(AC)−H(ACD)−H(D) +H(AD) +H(CD)−H(ACD)−H(C)
= I(A;B) + 2I(C;D|A) + I(C;D|B) + I(A;D|C) + I(A;C|D).
Sau ó, i bin A↔ C và B ↔ D thì ta có (1) tng ng vi (2) di ây.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
9
nh lý 1.3 (Zhang-Yeung). Gi A,B,C,D là các bin ngu nhiên t mt phân b liên kt bt k, thì
I(A;B) ≤ 2I(A;B|C) + I(A;C|B) + I(B;C|A) + I(A;B|D) + I(C;D). (2)
Chng minh. Gi R là bin ngu nhiên t B 1.2. Lu ý rng thông tin tng h (gia hai bin) và thông tin tng h có iu kin là các i lng không âm. Ta có
I(A;B)
≤ I(A;B)
+I(A;B|RD) + I(D;R|A) + I(R;C|B) + I(A;B|CR) + I(C;R|ABD)
= 2I(A;B|C) + I(A;C|B) + I(B;C|A) + I(A;B|D) + I(C;D)
(= 0) +2I(CD;R|AB)
(= 0) +I(A;B|R)− I(A;B|C)
(= 0) +I(A;R|B)− I(A;C|B)
(= 0) +I(B;R|A)− I(B;C|A).
2. Bt ng thc thông tin và bt ng thc nhóm
nh ngha 2.1 (Bt ng thc thông tin). Nu bt ng thc
cTh ≥ 0,
úng vi mi h ∈ Γ∗n thì nó gi là mt bt ng thc thông tin.
Do tt c các hàm entropy u là polymatroid, tt c các bt ng thc Shannon u là các bt ng thc thông tin. Ngc li, có mt s vô hn [4] các bt ng thc thông tin không phi là bt ng thc Shannon. Ví d c th là bt ng thc (1). B 1.1 ã cho ta bit cách (bng mt thut toán) kim tra xem mt bt ng thc có phi là bt ng thc Shannon hay không. T ó ny ra câu hi rt t nhiên là: có kt qu nào cho chúng ta mt thut toán xác minh mt bt ng thc thông tin không? Tic rng cho n nay cha có kt qu nào nh vy. Tuy nhiên, có mt kt qu thú v ca Chan và Yeung [1] liên kt bt ng thc thông tin và cái gi là “bt ng thc nhóm”.
nh ngha 2.2 (Hàm c tính nhóm). Gi h : 2[n] − {∅} → R+ là mt hàm tp hp. Hàm này c gi là hàm c tính nhóm2 nu tn ti mt nhóm hu hn G, và n nhóm con G1, . . . , Gn, sao cho
h(S) = log2
|G| |GS|
, ∀S ⊆ [n], S 6= ∅.
Trong ó, GS = i∈S Gi là mt nhóm con ca G. Gi Υn là tp tt c các hàm c tính nhóm
va nh ngha. 2Group-characterizable function
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
10

c(S) · log2
|G| |GS|
≥ 0, (3)
sao cho nó úng vi mi nhóm hu hn G và n nhóm con G1, . . . , Gn. (Nh rng GS = i∈S Gi.)
Ta ã gp nhiu bt ng thc thông tin [5], nhng cha gp bt ng thc nhóm nào. òi hi (3) úng vi mi nhóm hu hn và n nhóm con có v rt mnh. Có tn ti bt ng thc nhóm nào hay không? Trc ht ta xét mt ví d n gin:
Ví d 2.4. Gi G là mt nhóm hu hn bt k, và G1, G2 là hai nhóm con. Ta có
log2
≥ 0.
chng minh bt ng thc này, ta vit nó dng khác: |G| · |G1 ∩ G2| ≥ |G1| · |G2|. nh ngha G1 G2 = {a b | a ∈ G1, b ∈ G2}3, thì ta có th chng minh
|G1| · |G2| = |G1 ×G2| = |G1 G2| · |G1 ∩G2| ≤ |G| · |G1 ∩G2|.
Bài tp 2.5. Chng minh rng |G1 × G2| = |G1 G2| · |G1 ∩ G2|, vi mi nhóm con G1, G2
ca mt nhóm G hu hn.
Kt qu rt p ca Chan và Yeung [1] là nh lý sau ây:
nh lý 2.6. Bt ng thc cTh ≥ 0 là bt ng thc thông tin nu và ch nu nó là bt ng thc nhóm.
Chng minh. Trc khi chng minh, ta tho lun mt chút v kt qu này. Thot nhìn, nó hi có v la o vì nó ch chuyn t mt câu hi khó v lý thuyt thông tin sang mt câu hi khó trong lý thuyt nhóm. Nó không cho chúng ta thông tin gì v phng pháp xác minh xem mt bt ng thc có phi là bt ng thc thông tin hay bt ng thc nhóm hay không. Mt khác, liên h này li rt thú v. chng minh mt bt ng thc nhóm mi, ta ch cn chng minh bt ng thc thông tin mi mà không cn bit gì v lý thuyt nhóm. Quyn sách ca Yeung [6] có mt vài ví d bt ng thc nhóm mi chng minh c bng lý thuyt thông tin mà trc ó các nhà i s cha bit. Ngc li, nh nh lý này mà các nhà lý thuyt thông tin có th “cu cu” các nhà i s, nh h chng minh h bt ng thc cho mình.
Bây gi ta chng minh nh lý. Gi Γ∗n là bao óng ca tp Γ∗n, và conv(Υn) là bao óng li ca tp Υn. Ta quan sát rng
} .
Do tp {h ∈ R2n−1 | cTh ≥ 0} là tp óng và li, iu này tng ng vi
Γ∗n ⊆ { h ∈ R2n−1 | cTh ≥ 0
} . (4)
3G1 G2 không nht thit là nhóm con ca G.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
11
• Tng t nh vy, bt ng thc cTh ≥ 0 là bt ng thc nhóm nu và ch nu
conv(Υn) ⊆ { h ∈ R2n−1 | cTh ≥ 0
} . (5)
chng minh rng (4) tng ng vi (5), ta chng minh Γ∗n = conv(Υn) bng hai bc. B 2.7 chng minh rng Υn ⊆ Γ∗n; do ó conv(Υn) ⊆ Γ∗n vì Γ∗n là mt hình nón li [6]. B 2.8 chng minh chiu ngc li Γ∗n ⊆ conv(Υn).
B 2.7. Ta có Υn ⊆ Γ∗n, ngha là mi hàm c tính nhóm u là hàm entropy
Chng minh. Gi h ∈ Υn là mt hàm c tính nhóm, và G là mt nhóm hu hn vi các nhóm con G1, . . . , Gn sao cho h(S) = log2
|G| GS
vi mi ∅ 6= S ⊆ [n]. Xét không gian xác sut = G
vi phân b u p(g) = 1 |G| vi mi g ∈ G. Vi mi i ∈ [n], nh ngha bin ngu nhiên
Xi : → 2G nh sau Xi(g) = gGi – là lp trái4 ca nhóm Gi. Vi mt tp S ⊆ [n] và b (gi)i∈S bt k, d thy
Prob g∈
= |i∈S giGi| |G| .

i∈S Gi = aGS.
Vy thì i∈S giGi hoc là tp rng hoc có kích thc bng úng |GS|. Hn na, có tng cng
|G|/|GS| tp không rng nh th. Do ó,
|i∈S giGi| |G| =
0 nu i∈S giGi = ∅.
T ó, d thy H[XS] = log2(|G|/|GS|) và h ∈ Γ∗n.
B 2.8. Ta có Γ∗n ⊆ conv(Υn), vi mi n ≥ 1.
Chng minh. Ta theo trình bày ca Lun [3]. Gi h ∈ Γ∗n là mt hàm entropy tu ý, ngha là có n bin ngu nhiênX1, . . . , Xn sao choH(S) = h(S). n gin, ta gi s là min χi ca bin Xi là min hu hn, và c th hn là các xác sut u là s hu t. (Trong trng hp tng quát, ta dùng mt chui s hu t tin n s vô t.) Ta chng minh rng tn ti mt chui f (r) ∈ Υn
sao cho limr→∞ f (r)/r = h.
Gi q là mu s chung ca các xác sut Prob [ X[n] = x[n]
] . Chn r = q, 2q, 3q, . . . là mt bi s
]
12
Vi ∅ 6= S ⊆ [n], gi AS là ma trn con ca A xây dng bng cách ly các hàng s i ca A vi i ∈ S. D thy rng, mt ct xS xut hin trong AS úng r · Prob
[ XS = xS
] ln.
Gi G = Sr là nhóm hoán v ca các ct ca A. Gi Gi là nhóm các hoán v các ct ca A sao cho hàng th i ca A không thay i. Vy thì GS là nhóm các hoán v làm cho ma trn AS
không i. D thy rng
|GS| = ∏
xS∈ ∏
lim r→∞
= h(S).
nh ngha f (r) = log2 |G| |GS | thì ta có limr→∞ f (r)/r = h.
Tài liu
[1] CHAN, T. H., AND YEUNG, R. W. On a relation between information inequalities and group theory. IEEE Trans. Information Theory 48, 7 (2002), 1992–1995.
[2] DOUGHERTY, R., FREILING, C. F., AND ZEGER, K. Non-shannon information inequalities in four random variables. CoRR abs/1104.3602 (2011).
[3] LUN, D. S. A relationship between information inequalities and group theory, 2002.
[4] MATUS, F. Infinitely many information inequalities. In 2007 IEEE International Sympo- sium on Information Theory (June 2007), pp. 41–44.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
13
[5] NGÔ QUANG HNG. Bt ng thc kiu Shannon và vài ng dng. Epsilon, 7 (Feb 2016).
[6] YEUNG, R. W. A first course in information theory. Information Technology: Transmission, Processing and Storage. Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York, 2002. With a foreword by Toby Berger, With 1 CD-ROM.
[7] ZHANG, Z., AND YEUNG, R. W. On characterization of entropy function via information inequalities. IEEE Trans. Inform. Theory 44, 4 (1998), 1440–1452.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
14
BT NG THC TAM GIÁC, A GIÁC VÀ A DIN
Lê T Quc Thng (School of Mathematics, Georgia Institute of Technology, Atlanta)
1. Bt ng thc tam giác, a giác, và a din
1.1. Không gian chun d chiu
Ký hiu R là tp hp s thc, và R+ là tp hp các s thc dng. Xét không gian chun d chiu Rd vi tích vô hng
x,y = d∑
i=1
xiyi, cho x = (x1, . . . , xd),y = (y1, . . . , yd).
Khi d = 2 ây là mt phng, và d = 3 là không gian 3 chiu. Mt im x ∈ Rd ôi khi c gi là mt vector.
nh ngha chun ca mt vector x =
√ x,x,
và khong cách gia 2 vector x,y, hoc còn gi là chiu dài on [x,y], là x−y. Mt vector c gi là vector n v nu nó có chun bng 1.
Vi khái nim dài này, ta có th nh ngha din tích ca mt a giác trong R3 cng nh th tích ca mt a din trong R3.
Hai vector x,y là song song nu tn ti mt s thc k sao cho x = ky hoc y = kx.
Nu U ⊂ Rd, a ∈ Rd, và k ∈ R, ta dnh ngha
a + U = {a + x | x ∈ U} kU = {kx | x ∈ U}.
1.2. Bt ng thc tam giác
Nh thông thng, ta ng nht chiu dài mt cnh ca a giác vi chính cnh y.
Mnh 1.1. Trong mt tam giác, mi cnh nh hn tng ca hai cnh còn li.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
15
Dùng ký hiu vector, bt ng thc tam giác thng c phát biu di dng: Nu x,y ∈ Rd
không song song vi nhau, ta có
x + y < |x+ y.
Bt ng thc tam giác có th chng minh khá d dàng, trc tip t nh ngha khong cách, bng cách s dng bt ng thc Cauchy v giá tr trung bình. Bt ng thc tam giác là mt bt ng thc rt cn bn trong toán hc. Nó là nn tng ca nhiu ngành toán hc. Nó th hin nguyên lý ng thng là ng cc tiu.
Ta cng có phn o ca mnh v bt ng thc tam giác nh sau, mà các hc sinh cp 2 u bit qua phng pháp dng hình.
Mnh 1.2. Nu 3 s dng tha mãn tính cht mi s nh hn tng ca 2 s còn li thì chúng là cnh ca mt tam giác duy nht, tùy theo các ng c (isometry) ca không gian.
1.3. Bt ng thc a giác
Bt ng thc tam giác có th d dàng tng quát hoá cho a giác.
Mnh 1.3. (a) Trong mt a giác, mi cnh nh hn tng ca các cnh còn li.
(b) Ngc li, nu n ≥ 3 s dng tho mãn iu kin mi s nh hn tng các s còn li thì chúng là cnh ca mt a giác li nào ó.
Bài tp 1.1. (a) Chng minh mnh trên.
(b) Chng minh rng nu n > 3 thì ta không có tính duy nht trong phn (b) ca mnh trên.
1.4. Bt ng thc a din
Thay vì xét tam giác, a giác là các vt th 2 chiu, ta hãy xét a din là các vt th 3 chiu.
nh lý 1.4 (Bt ng thc a din). (a) Trong mt a din, din tích ca mt mt nh hn tng din tích các mt còn li.
(b) Ngc li, nu n ≥ 4 s dng tho mãn iu kin mi s nh hn tng các s còn li thì chúng là din tích ca các mt ca mt a din li nào ó.
Bài tp 1.2. Chng minh phn (a) ca nh lý trên. (Gi ý: Gi s F là mt mt ca a giác. Hay chiu trc giao các mt khác xung mt phng cha F .)
Phn (b) ca nh lý trên khó hn phn (a) nhiu. mc sau chúng ta s a ra mt chng minh n gin da vào nh lý Minkowski v a din, mt nh lý rt hay trong hình hc không gian nhng ít c bit n.
n ây c gi có th oán rng nh lý trên có th tng quát hoá cho không gian nhiu chiu.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
16
2.1. Trng hp 2 chiu
Gi s P là mt a giác. Nu F là mt cnh ca P , ký hiu A(F ) là dài ca F , và nh ngha vector pháp tuyn ca F , ký hiu u(F ), là vector n v vuông góc vi F va hng ra ngoài a giác P .
nh lý 2.1 (nh lý Minkowski 2 chiu). (a) Gi s P là mt a giác li vi các cnh F1, . . . , Fn. Khi ó các vector u(F1), . . . ,u(Fn) không cùng nm trên môt ng thng, và
n∑
i=1
A(Fi)u(Fi) = −→ 0 .
(b) Ngc li: Gi s các vector n v khác nhau u1, . . . ,un trong R2 và các s dng a1, . . . an tha mãn iu kin
• u1, . . . ,un không cùng nm trên mt ng thng,
• ∑n i=1 aiui =
−→ 0 .
Khi ó tn ti duy nht mt a giác li P vi các cnh F1, . . . , Fn sao cho ai = A(Fi),ui = u(Fi) vi mi i = 1, . . . , n.
nh lý này không khó chng minh lm, và ta s chng minh nó trong mc 3.
2.2. Trng hp 3 chiu
nh ly Minkowski trong trng hp nhiu chiu hoàn toàn tng t. Gi s P là mt a din li. Nu F là mt mt ca P , ký hiu A(F ) là din tích ca mt F , và nh ngha vector pháp tuyn ca F , ký hiu u(F ), là vector n v vuông góc vi F và hng ra ngoài.
nh lý 2.2 (nh lý Minkowski 3 chiu). (a) Gi s P là mt a din li vi các mt F1, . . . , Fn. Khi ó các vector u(F1), . . . ,u(Fn) không cùng nm trên mt mt phng, và
n∑
A(Fi)u(Fi) = −→ 0 . (1)
(b) Ngc li: Gi s các vector n v khác nhau u1, . . . ,un trong R3 và các s dng a1, . . . an tho mãn iu kin
• các vector u1, . . . ,un không cùng nm trên mt mt phng, và
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
17
−→ 0 .
Khi ó tn ti duy nht mt a din li P vi các mt F1, . . . , Fn sao cho ai = A(Fi),ui = u(Fi) vi mi i = 1, . . . , n.
Chú ý 2.3. nh lý Minkowksi úng trong không gian nhiu chiu.
Phn (a) ca nh lý trên không khó lm, và s c chng minh trong mc 3. Phn (b) khó hn nhiu và là phn thú v nht ca nh lý. Tính duy nht ca phn (b) làm nh lý là mt kt qu rt hay. Nu các vector u1, . . . ,un và các s dng a1, . . . an tho mãn iu kin ca phn (b) trong nh lý, ta không d xác nh s cnh ca các mt ca a giác P ! nh lý Minkowksi có nhiu ng dng trong toán hin i.
Chúng ta s tho lun các chng minh ca nh lý Minkowski trong các mc sau. Trc ht chúng ta s chng minh phn (b) ca nh Lý 1.4 (nh ly bt ng thc a din) bng cách s dng nh lý Minkowski.
2.3. Chng minh nh lý 1.4 (bt ng thc a din)
Chng minh. (a) Chng minh phn (a) c a ra trong bài tp 1.2. Phn (a) cng d dàng suy ra t nh lý Minkowski nh sau. T (1), ta có
A(F1)u(F1) = − (
n∑
) .
Các vector u(F2), . . . ,u(Fn) không cùng nm trên mt ng thng (vì nu không thì tt c u(F1), . . . ,u(Fn) s nm trên mt mt phng). T bt ng thc tam giác ta có
A(F1) < n∑
i=2
A(Fi).
Lý lun tng t, ta thy mi mt A(Fi) nh hn tng ca các s còn li.
(b) Gi s a1, . . . , an là các s dng sao cho mi s nh hn tng các s còn li. Theo nh lý 1.3, tn ti mt a giác li Q vi các cnh có dài a1, . . . , an. Gi s các nh ca Q là q1, . . . , qn theo chiu kim ng h. t xi = −−−→qiqi+1 (vi n + 1 = 1). Gi s τ : R3 → R3 là phép quay quanh ng thng i qua q1q3 vi góc quay 90o. t x1 = τ(x1) và x′2 = τ(x1). Ta có x′1 + x′2 = x1 + x2, vì vy nu t x′i = xi voi i > 2, ta có
n∑
x′i = −→ 0 .
Các vector x′1, . . . ,x ′ n không cùng nm trên mt mt phng. Theo nh lý Minkowski, tn ti
mt a din li P sao cho |x′i| = ai là din tích ca các mt ca a din li này.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
18
Bài tp 2.1. (a) Hãy tìm hiu iu kin n ≥ 4 c s dng nh th nào trong chng minh trên.
(b) Hãy chng minh rng nu n ≥ 4 s thc dng tho mãn mi mt s nh hn tng các s còn li thì tn ti vô hn a giác li mà din tích các mt là các s ã cho.
3. Chng minh nh lý Minkowski, phn I
Mc dù là mt nh lý vi phát biu s cp, các chng minh c bit n ca phn (b) nh lý Minkowski 3 chiu u dùng n công c toán cao cp. nh lý Minkowski 2 chiu và phn (a) ca nh lý Minkowski 3 chiu có th d dàng chng minh bng phng s cp, và chúng ta s tho lun các chng minh trong mc này.
3.1. nh lý Minkowski 2 chiu, phn (a)
Chng minh 1. Gi s các nh ca P theo chiu kim ng h là p1, . . . , pn. Ta có th gi s Fi là cnh pipi+1. t vi = −−−→pipi+1. Ta có
n∑
i=1
vi = −→ 0 .
t τ là phép quay 90o ngc chiu kim ng h. Ta có τ(vi) = A(Fi)ui. Vì vy nu các vector u(Fi) nm trên mt ng thng thì a giác P s nm trên mt ng thng là iu không th xy ra. Ta có
n∑
vi
) = −→ 0 .
Chng minh 2. Mc dù chng minh này dài hn, nhng nó s d dàng tng quát hoá cho trng hp nhiu chiu. Ý tng chính là nu chiu P lên mt ng thng, thì nh ca nó c ph 2 ln bi các im trên chu vi ca P , mt ln t hng trên xung và mt ln t hng di lên.
Gi s v là mt vector n v bt k. Ký hiu v⊥ ng thng vuông góc vi v i qua góc to , và prv là phép chiu trc giao lên v⊥. Khi ó X = prv(P ) là mt on thng. t X = X \pr(V ), vi V là tp hp các nh ca P . D dàng thy chiu dài ca prv(Fi) c tính bi
prv(Fi) = A(Fi) |u(F ),u|. (2)
t F+ =
Fi.
Mnh . Vi mi x ∈ X , tn ti duy nht x+ ∈ F+ và duy nht x− ∈ F− sao cho prv(x+) = x = prv(x−).
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
19
u(Fi),v>0
prv(Fi) = prv(P ) = ∑
u(Fi),v<0
prv(Fi). (3)

= prv(P ) − prv(P ) = 0.
Vì v là vector n v bt k, ta có th kt lun ∑
iA(Fi)u(Fi) = −→ 0 .
Bài tp 3.1. Chng minh mnh c s dng trong chng minh trên. (Gi ý: Gi s ng thng (prv)−1(x) ct P theo on thng x−x+, vi vector−−−→x−x+ cùng phng vi v. Gi s x− ∈ Fi. Vector t x− hng n x+ là môt vector hng vào trong a giác P . Vì vy −−−→x−x+,ui < 0.)
Bài tp 3.2. Gi s P la a giác li, vi các nh p1, . . . , vn theo chiu kim ng h và cnh Fi = pipi+1. Chng minh rng trên ng tròn n v, theo chiu kim ng h bt u t u1, ta s ln lt gp u2 . . . ,un.
3.2. nh lý Minkowski 2 chiu phn (b)
Chng minh. ánh s li các vector u1, . . . ,un sao cho nu i trên ng trn n v theo chiu kim ng h bt u t u1, ta s ln lt gp u2 . . . ,un. Gi s vi là nh ca ui di phép quay 90o cùng chiu kim ng h.
Chn im p1 bt k. Ln lt dng các im p2, p3, . . . , pn sao cho −−−→pipi+1 = aivi voi i =
1, . . . , n− 1. Vì ∑n
i=1 aivi = −→ 0 , ta cng có anvn = −−→pnp1. a giác P vi các nh p1, . . . , pn là
ã giác tho mãn các iu kt lun ca phn (b).
Bài tp 3.3. Chng minh tính duy nht ca phn (b) nh lý Minkowski 2 chiu.
Chú ý 3.1. Ta có th thy là chng minh này không th m rng lên cho trng hp 3 chiu. Khác vi trng hp 2 chiu, trong trng hp 3 chiu, bn cht ca mt mt và bn cht ca vector pháp tuyn ca nó hoàn toàn khác nhau.
3.3. nh lý Minkowski 3 chiu, phn (a)
Phn (a) khá n gin.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
20
Chng minh. Gi s v là mt vector n v bt k. Ký hiu v⊥ mt phng vuông góc vi v i qua gc to , và prv là phép chiu trc giao lên v⊥. Khi ó X = prv(P ) là mt a giác li. t X = X \ pr(E), vi E là hp ca các cnh ca P . D dàng thy rng din tích ca prv(Fi) c tính bi
A(prv(Fi)) = A(Fi) |u(F ),u|.
Lý lun tng t nh trng hp 2 chiu, ta có ∑
u(Fi),v>0
A(prv(Fi)) = A(prv(P )) = ∑
u(Fi),v<0
= A(prv(P ))− A(prv(P )) = 0.
Vì v là vector n v bt k, ta có th kt lun ∑
iA(Fi)u(Fi) = −→ 0 .
Phn (a) cng có mt chng minh “vt lý" nh sau (t blog ca àm Thanh Sn). Mc dù không c cht ch v mt toán hc, nhng chng minh này cng ch ra mt s ý tng thú v. Ta hãy nhúng a din P vào mt cht lng ng nht. Áp lc ca cht lng lên mi mt Fi bng kA(Fi)u(Fi), vi k là mt hng s khác 0 không ph thuc i. Vì P s ng bt ng trong cht lng (iu này không gii thích toán hc c), tng tt các lc áp lên nó phi bng ~0. Vì vy∑
iA(Fi)u(Fi) = −→ 0 .
4. Chng minh nh lý Minkowski, phn II
Phn (b) là phn hay nht trong nh lý Minkowski. Các chng minh phn (b) ca nh lý Minkowski vi s chiu ≥ 3 u s dng toán cao cp. Có l chính vì vy mà mc dù c phát biu di dng s cp, nh lý Minkowski ít c bit n trong toán s cp. ây ta ch chng minh nh lý Minkowski cho trng hp n = 4, trng hp này ch cn s dng kin thc ca toán ph thông. Vi mt ít kin thc v gii tích nhiu bin, bn có th hiu c chng minh nh lý Minskowski tng quát, xem mc 4.4.
4.1. Tp hp các a giác có vector pháp tuyn cho trc
Gi s u1,u2,u3,u4 ∈ R3 và các s dng a1, a2, a3, a4 tho mãn các iu kin ca phn (b) nh lý Minkowski 3 chiu. T gi thit, ta có th thy rng
u2,u3,u4 không cùng trên mt mt phng. (4)
Bài tp 4.1. Hãy chng minh rng u2,u3,u4 là c lp tuyn tính, tc là nu các s thc k2, k3, k4 tha k2u2 + k3u3 + k3u4 = ~0 thì k1 = k2 = k3 = 0.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
21
Gi s P là mt ã din thoa iu kin
các vector pháp tuyn mt ca P là u1, . . . ,u4. (5)
Khi ó tn ti các s thc z1, z2, z3, z4 sao cho
P = {x ∈ R3 | x,ui ≤ zi ∀i = 1, 2, 3, 4}. (6)
Các s z1, . . . , z4 xác nh hoàn toàn a din P . Tuy nhiên không phi bt c 4 s thc z1, . . . , z4 cng xác nh mt a din theo (6), vì tp hp nh ngha bi v phi ca (6) có th không phi là a din, thm chí có th rng.
Bài tp 4.2. (a)Gi s P c xác nh bi (z1, . . . , z4) theo (6), và v ∈ R3. Chng minh rng v + P c xác nh bi z′1, . . . , z
′ 4, nh ngha bi z′i = zi + v,ui.
(b) Chng minh rng (z1, . . . , z4) xác nh mt a giác P nu và ch nu tn ti x ∈ R3 sao cho
x,ui < zi ∀i = 1, 2, 3, 4.
(c) Chng minh rng z1 = z2 = z3 = z4 = 1 xác nh mt a din nào ó tho mãn (5).
Vì ta s ng nht P vi P + v, ta s chn v sao cho (z1, . . . , z4) là n gin, nh sau. T tính cht (4) d dàng suy ra rng các mt phng qua F2, F3, F4 ct nhau ti mt im duy nht. ây Fi là mt ca P có vector pháp tuyn ui. Sau mt phép tnh tin, ta có th gi s
các mt phng qua F2, F3, F4 ct nhau ti gc ta ~0. (7)
Gi s P ′ là tp hp tt c các a giác tho mãn (5) và (7). Vi P ∈ P ′, và các s z1, z2, z3, z4 ca (6), ta có z2 = z3 = z4 = 0. Vì vy P c xác nh duy nht bi z1 = z1(P ). Ta có ánh x z1 : P ′ → R. Gi P = z1(P ′) là nh ca P .
Bài tp 4.3. Chng minh P = R+ = {x ∈ R | x > 0}, và z1 : P ′ → P là song ánh.
Nh vy tp hp tt c các a giác tho mãn (5) và (7) có th ng nht vi tp hp P = R+. Vói z ∈ P = R+, ta ký hiu P (z) ∈ P ′ là a giác tho mãn z1 = z, z2 = z3 = z4 = 0. Khi ó P : P → P ′ là song ánh.
4.2. Tp hp các din tích có th có
Gi s Q′ là tp hp tt c (y1, y2, y3, y4) ∈ (R+)4 sao cho
y1u1 + y2u2 + y3u3 + y4u4 = ~0.
Mt vector trong R3 có 3 thành phn, vì vy ng thc trên cho ra 3 phng trinh tuyn tính vi 4 n s y1, y2, y3, y4. Nói chung tp hp li gii s là không gian 1 chiu. Ngoài ra ta còn phi gii hn yi > 0.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
22
t π : R4 → R là phép chiu lên to th nht, tc là
π(y1, . . . , y4) = y1.
t Q = π(Q′), và ký hiu α : Q′ → Q là gii hn ca π trên tp Q′.
Bài tp 4.4. (a) Chng minh rng Q′ tho mãn: nu x,y ∈ Q′ và k ∈ R+ thì x + y ∈ Q′ va kx ∈ Q′.
(b) S dng iu kin (4), chng minh rng α là song ánh.
(b) Chng minh rng Q = R+.
4.3. Ánh x din tích mt
Gi s z ∈ P . t Ai(z) là din tích mt Fi ca a giác P (z), và A : Q → R4 là ánh x
A(z) = (A1(z), . . . , A4(z)).
Phn (a) ca nh lý Minkowski chng minh rng A(P) ⊂ Q′. Phn (b) ca nh lý Minkowski 3 chiu tng ng vi mnh sau ây mà ta s chng minh.
Lemma 4.1. Ánh x A : P → Q′ là song ánh.
Chng minh. D dàng thy rng P (kz) = kP (z) voi moi k ∈ R+. T ó suy ra rng
A(kz) = k2A(z). (8)
t B : P → Q là composition R+ = P A−→ Q′ α−→ Q = R+. ng thc (8) chng t rng
B(kz) = k2B(z) ∀z ∈ R+ & ∀k ∈ R+.
D dàng thy rng bt k ánh x B : R+ → R+ nào tho mãn iu kin trên là mt song ánh. Vì α là song ánh, ta suy ra A cng là song ánh.
Ta ã kt thúc chng minh nh lý Minkowski 3 chiu cho trng hp n = 4. Trng hp n > 4 c chng minh tng t, mc dù phc tp hn, và s dng bt ng thc Brunn-Minkowski. c gi có th tham kho [1, 2].
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
23
Bng cách ánh s li, ta có th gi s
un−2,un−1,un không cùng trên mt mt phng. (9)
Mt a giác P tha iu kin
các vector pháp tuyn mt ca P là u1, . . . ,un (10)
s c hoàn toàn xác nh bi các s thc z1, . . . , zn sao cho
P = {x ∈ R3 | x,ui ≤ zi ∀i = 1, . . . , n}. (11)
Tuy nhiên không phi bt c n s thc z1, . . . , zn cng xác nh mt a din theo (11).
Bài tp 4.5. (b) Chng minh rng (z1, . . . , zn) xác nh mt a giác P nu và ch nu tn ti x ∈ R3 sao cho
x,ui < zi ∀i = 1, . . . , n.
(c) Chng minh rng z1 = · · · = zn = 1 xác nh mt a din nào ó tha mãn (10).
Tính cht (9) suy ra rng các mt phng qua Fn−2, Fn−1, Fn ct ti mt im duy nht. Sau mt phép tnh tin, ta có th gi s
các mt phng qua Fn−2, Fn−1, Fn ct nhau ti gc ta ~0. (12)
Gi s P ′ là tp hp tt c các a giác tha mãn (10) và (12). Voi P ∈ P ′, ta có zn−2 = zn−1 = zn = 0, vì vy P c xác nh duy nht bi z1, . . . , zm. O day m = n− 3. t P ⊂ Rm là tp hp tt c z = (z1, . . . , zm) sao cho (z, 0, 0, 0) xác sinh mt a giác P ∈ P ′. Ánh x P → P ′, z→ P (z) là song ánh.
Bài tp 4.6. (a) Chng minh P là mt cone li, tc là nu z, z′ ∈ P và k ∈ R+ thì kz ∈ P và z + z′ ∈ P .
(b) Chng minhP là mt tp hp m, tc là nu z ∈ P thì tn ti ε > 0 sao cho nu z′−z < ε thì z′ ∈ P .
Gi s Q′ là tp hp tt c (y1, . . . , yn) ∈ (R+)n sao cho ∑n
i=1 yiui = ~0. t π : Rn → Rm là phép chiu lên m ta u tiên. t Q = π(Q′), và ký hiu α : Q′ → Q là gii hn ca π trên tp Q′.
Bài tp 4.7. (a) Chng minh rng Q′ là mot cone loi.
(b) S dng iu kin (4), chng minh rng α la song ánh.
(b) Chng minh rang Q là mt cone li m trong Rm.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
24
Vi z ∈ P dat Ai(z) la din tích mt Fi ca a giác P (z), và A : Q → Rn là ánh x
A(z) = (A1(z), . . . , An(z)).
t B = α A. Phn (a) ca nh lý Minkowski chng minh rng A(P) ⊂ Q. Phn (b) ca nh lý Minkowski 3 chiu tng ng vi mnh sau
Lemma 4.2. Ánh x B : P → Q là song ánh.
Nh vy ta phi chng minh vi mi a ∈ Q tn ti duy nht z ∈ P sao cho B(z) = a. Bài toán tìm z s uc a v bài toán tìm cc tr ca mt hàm s li và trn, và li gii duy nht ca nó c khng nh bi ính li và trn ca hàm s. em chi tit ti [2]. Alexandrov có mt chng minh thú v khác, bng cách trc ht chng minh tính duy nhát, ri dùng tính chât tôpô ca min xác nh và min giá tr ca B chng minh tính tn ti. Xem chi tit ti [1].
Tài liu
[1] A. D. Alexandrov, Convex polyhedra (translation of the 1950 Russian original), Springer, Berlin, 2005.
[2] I. Pak, Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry, online at http://www.math.ucla.edu/~pak/geompol8.pdf
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
25
Nguyn Hùng Sn
GII THIU
Tung hng là mt b môn ngh thut c xa, dng nh luôn ng hành vi lch s ca nhân loi. Nhiu bn v mô t nhng ngi ph n ang tung hng c tìm thy trong mt ngôi m ca Ai Cp có niên i vào khong th k th hai mi trc công nguyên. Ch cn mt vài viên á và mt chút luyn tp là bn ã có th tung hng. Vì vy không có gì áng ngc nhiên khi loài ngi quan tâm n môn ngh thut này t rt lâu ri.
Tuy nhiên, ch mi gn ây khía cnh toán hc ca tung hng mi bt u c quan tâm mt cách nghiêm túc. Các nghiên cu toán hc v các mô hình tung hng c tin hành ln u tiên cùng mt lúc vào nhng nm 80 ca th k XX ti vài trng i hc, trong ó có i hc California ti Santa Cruz, Caltech và i hc Cambridge. Trong bài báo nh này chúng ta s lit kê mt cách ngn gn v các kt qu mà các nhà toán hc có th giúp các ngh s xic trong vic to ra các mô hình tung hng và các li ích do s hp tác liên ngành này có th em li cho các nhà toán hc.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
26
Hình 1: Nhng hình nh c nht v tung hng cách ây khong 4000 nm.
Bc u tiên là to ra các mô hình toán hc cho các k thut tung hng có th nói v chúng mt cách chính xác. Trong các mô hình n gin nht, ta gi s thi gian là ri rc (chính xác hn, thi gian là mt chui các thi im 1, 2, 3, . . .), và rng ngh s tung hng có hai tay, mi tay ch có th gi c nhiu nht mt vt trong mi thi im. Không mt tính tng quát ta gi s các vt dùng tung hng là các qu bóng. Các tay thay i nhau liên tc, có ngha là mt tay s luôn bt (hng) và tung bóng các thi im l: 1, 3, 5, ... (ta gi ó là tay l), còn tay th hai (tay chn) thì luôn tung và hng các thi im chn: 2, 4, 6, ....
Và bây gi s là vn thú v hn: làm th nào mô hình hóa các cách tung bóng khác nhau và ng thi cho nhiu qu bóng khác nhau? Phng pháp thng dùng nht là phân loi các cách tung bóng theo thi gian (s khonh khc) mà qu bóng bay trên không. iu ó có ngha rng nu ti thi im i ta tung bóng theo kiu t ( vi t là mt s t nhiên nào ó) thì bóng s ri (vào mt trong hai tay) vào thi im i+ t. Lu ý rng vi cách ký hiu này, nu bóng c tung theo kiu chn bng mt trong hai tay thì nó s ri vào úng tay ó, còn theo kiu l thì bóng s ri vào tay th hai. Ta cng ký hiu kiu 0 cho trng hp không tung bóng, tc là mt trong hai tay c gi là tung bóng theo kiu 0 ti thi im i nu tay ó không có bóng ti thi im này.
Hình 2 là ví d ca mt dãy các cách tung hng bóng theo trình t thi gian. Trong ví d này ngi ngh s tung hng dùng ba qu bóng c ánh du bng ba mu. Ngoài ra trên hình v còn có mt s thông tin b sung (v cu hình) và s c gii thích sau.
Hot ng ca ngi ngh s tung hng trong ví d này có th c mô t dng mt dãy các cách tung bóng trong tng thi im, ó là 5, 3, 1, 4, 5, 3, 0, 5, 5, 2, 0, 5, 3, 1, 4, 5, 3, 0. Cách ký hiu này c gi là phng pháp dãy hoán i (ting Anh là siteswap model). Tuy nhiên, trong thc t các ngh s tung hng thng quan tâm n các mô hình tung hng (ting Anh gi là juggling pattern) hn là cái dãy dài dng dc nh trên. Tt nht là nu ta tìm c các dãy tun hoàn mt dãy con hu hn có th lp i lp li nhiu ln cho n vô cùng. Ví d: mt trong
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
27
Hình 2: Ví d mt dãy các cách tung hng bng hai tay
=⇒
tránh trùng lp các thông tin vô ích, ta thng ký hiu các dãy tun hoàn bng các thông tin trong mt chu k ca nó. Nh vy mô hình tung hng kiu thác nc là dãy tun hoàn (3).
Ti ây ta có th thy hàng lot các vn toán hc c t ra. Phi chng tt c các dãy hoán i u kh thi (hp thc)? S qu bóng nh hng nh th nào n mô hình? Tn ti bao nhiêu mô hình tung hng nu ta c nh mt s yu t nh s lng qu bóng hoc s ln tung bóng?
Trc khi tìm hiu các câu hi trên ta hãy làm quen vi mt s tính cht ca mô hình tung hng dng dãy hoán i (siteswap patterns):
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
28
nh ngha 1 Gi P = t0 · · · tk−1 là dãy hoán i vi dài k. Dãy P c gi là dãy tung hng khi và ch khi hàm s
σ : {0, . . . , k − 1} → {0, . . . , k − 1} xác nh bi σ(i) = i+ ti mod k
là mt hoán v ca tp {0, . . . , k − 1}.
nh ngha trên ch mun nói rng trong dãy tung hng là dãy hoán i ca quá trình tung hng thc s. Khi tung hng, không tay nào c bt hai qu bóng cùng mt lúc, iu ó co ngha rng các qu bóng u phi ri vào mt trong hai tay các thi im khác nhau. D thy mi dãy có dài k = 1 u là dãy tung hng và mi dãy tun hoàn dng (n) cng là dãy tung hng tng ng vi tung hng kiu thác nc dùng n qu bóng.
B 1 (v giá tr trung bình) Trong mi dãy hoán i tung hng tun hoàn a = (a0, a1, ..., ad−1) có dài d, giá tr trung bình ca dãy a = a0+a1+...+ad−1
d là mt s t nhiên và bng úng s
qu bóng c dùng tung hng.
Xin b qua phn chng minh b 1 và mong bn c yêu thích toán hc coi ây là mt bài tp thú v.
B trên ây có th coi nh là iu kin cn kim tra dãy hoán i có phi là dãy tung hng khay không: nu giá tr trung bình ca dãy không phi là s nguyên thì ó không phi là dãy tung hng. Ví d:
• Dãy (5, 2, 1) có giá tr trung bình bng 8 3 , vì vy ây không phi là dãy tung hng.
• Dãy (3, 2, 1) có giá tr trung bình bng 2 nên có th là dãy tung hng cho 2 qu bóng. Tuy nhiên σ(1) = σ(2) = σ(3) = 0, vì vy theo nh ngha ây không phi là dãy tung hng.
• Các dãy (4, 4, 1), (5, 3, 1), (4, 4, 1, 3) (5, 5, 5, 0, 0) là các dãy tung hng cho 3 qu bóng; còn (6, 4, 5, 1), (7, 3, 3, 3), (7, 1) là các dãy tung hng cho 4 qu bóng. Hy vng sau khi c xong bài vit này, bn c có th d dàng kim tra các thông tin trên.
Hình 3: Ví d ca dãy tung hng tun hoàn (4, 4, 1, 3).
Benot Guerville ã phát hin và chng minh kt qu tuyt vi liên quan n iu kin xác nh dãy tung hng nh sau:
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
29
nh lý 2 (v tái c cu) Nu dãy s t nhiên có giá tr trung bình cng là s nguyên thì ta có th hoán v dãy ó thành mt dãy tung hng.
Quay li ví d trên Hình 2. Ti mi thi im ta hãy quan sát “v trí" ca qu bóng, tc là thi gian t thi im ó cho n khi qu bóng ri vào mt trong hai tay. Vì không tay nào c bt hai qu bóng cùng mt lúc nên ti mt thi im tt c các qu bóng phi các v trí khác nhau. Ta có th nói rng bóng c tung lên v trí k thay vì nói rng bóng c tung theo kiu k.
Cu hình ti mt thi im bt k là mt dãy s0s1s2 . . . gm các ký hiu × và −. Ký hiu sk = × nu v trí ca mt trong các qu bóng bng k, còn sk = − khi không qu bóng nào v trí này. Chiu dài ca cu hình thng là s t nhiên hu hn tng ng vi v trí cao nht ca các qu bóng. Trong ví d Hình 2 cu hình ti mi thi im u có chiu dài bng 5 (ct cui cùng).
V trí u tiên (ký hiu s0) ca cu hình mô t tình trng ca bàn tay ch ng, tc là tay l thi im l hoc tay chn thi im chn. iu ó có ngha là nu ký hiu u tiên ca cu hình là − thì bàn tay tng ng không có bóng và tip theo tay ó s tung bóng theo kiu 0. Còn nu ký hiu u tiên là × thì qu bóng trong tay s phi c tung lên mt trong các v trí có ký hiu × (v trí còn trng). Lu ý: ta luôn có th tung bóng lên v trí cao nht (ti sao?).
Nu cu hình ti thi im i là Ci = s0s1s2 . . . sd−1 và s0 = − thì cu hình tip theo s là Ci+1 = s1s2 . . . sd−1−. Hai cu hình c ni vi nhau bng mi tên có trng s bng 0:
Ci = −s1s2 . . . sd−1 0−−−−→ Ci+1 = s1s2 . . . sd−1−
Còn nu s0 = × thì các cu hình ti thi im tip theo s c hình thành nh sau:
1. Kéo dài cu hình Ci thành C ′i = s0s1s2 . . . sd−1sd vi sd = −;
2. Nu sh = − và qu bóng c tung lên v trí h thì ta s i sh = ×;
3. Xóa s0 t C ′i. Cu hình ti thi im i+ 1 s là Ci+1 = s1s2 . . . sd−1sd
4. Ta ni hai cu hình bng mi tên có trng s bng h:
Ci h−−−−→ Ci+1
Bng cách này ta có th thit lp biu chuyn dch gia các cu hình. Hình 4 là ví d minh ha ca biu hoán chuyn gia các cu hình khi tung hng 3 qu bóng và v trí cao nht là 5. Biu này, thc cht là th có hng và có trng s.
S dng các cu hình ta có th d dàng kim tra xem mt dãy hoán i có là dãy tung hng hay không. D dàng nhn thy rng mi mt dãy tung hng tng ng vi mt dây chuyn trong biu . Hn na dãy tung hng tun hoàn tng ng vi mt chu trình trong biu . Cng có th s dng biu này to ra các bài biu din tung hng mi và k l. Nhiu ngh s (ví d công ty Gandini Juggling) ã s dng mô hình này thit k các chng trình biu din ca mình.
B 1 có th tng quát hóa nh sau:
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
30
Hình 4: Biu dch chuyn gia các cu hình.
nh lý 3 (tng quát v giá tr trung bình) Nu a = a0, a1, a2, . . . là mt dãy tung hng có cao hu hn thì gii hn
lim |I|→∞
∑ i∈I ai
|I| hi t và bng s qu bóng, ây gii hn c xác nh cho tp hp tt c các khong I = {b, b+ 1, . . . , c} ⊂ Z và |I| = c− b+ 1 là s s t nhiên trong khong I .
ý rng các kt qu toán hc trong bài báo này không s dng n gi thit v hai bàn tay. Các kt qu trên ây vn úng cho trng hp tung hng dùng nhiu “chi” hn, ví d: 2 chân, 2 tay, u, nhiu ngi. Nghiên cu v các dãy hoán chuyn vn là vn thi s và c tng quát hóa cho nhiu trng hp nh:
• Thi gian ng b: nhiu chi cùng bt bóng và tung bóng trong cùng mt thi im;
• Multiplexes: mt tay có th tung nhiu qu bóng trong cùng mt thi im.
Các nghiên cu c bn v tài này cng c tin hành và khá nhiu bài báo ã c ng, ch yu là v các vn t hp liên quan n mô hình tung hng. Mt iu thú v là mt s kt qu liên quan n tung hng li có th s dng trong các ngành khác trong toán hc. Mt s nghiên cu, k c mt s lun án tin s (ví d nh “Combinatorial aspects of juggling” ca Anthony Mays) ã phát hiên rt nhiu s liên h gia các dãy hoán i (siteswap) vi mt s lý thuyt tiên tin nht trong toán hc nh tính toán chui Poincare cho nhóm affine ca Weyl A d−1 hoc chng minh nh lý liên quan n s q-Stirling. Trc ó, nhiu ngi cho rng các lý thuyt này là các mô hình toán hc tng tng, không thc dng.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
31
Không có lý thuyt vô dng trong toán hc: s liên kt gia các kt qu toán hc và cuc sng thng xut hin mt cách tình c trong các lnh vc mà bn thân các nhà toán hc cng không ng ti.
Tài liu
[1] Tp chí ‘Delta’ ca Ba lan. S 9. 2014
[2] Beek, Peter J. & Arthur Lewbel (1995), ‘The Science of Juggling’, Scientific American, Vol. 273, No 5, November 1995, p92–97.
[3] Beever, Ben (2002), ‘Siteswap Ben’s guide to juggling patterns’, available at: www.jugglingdb.com/compendium/geek/notation/siteswap/bensguide.html.
[4] Buhler, Joe, David Eisenbud, Ron Graham & Colin Wright (1994), ‘Juggling drops and de- scents’, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 6, June–July 1994, p507–519.
[5] Cardinal, Jean, Steve Kremer & Stefan Langerman (2006), ‘Juggling with pattern match- ing’, Theory of Computing Systems, 39(3), June 2006, p425– 437.
[6] Carstens, Ed (1992), ‘The mathematics of juggling’, online publication, available at: www.juggling.org/papers/carstens/.
[7] Polster, Burkard (2003), ‘The mathematical of juggling’. Springer-Verlag, New York.
[8] Shannon Claude E. (1980), ‘Scientific Aspects of Juggling’. In N.J.A. Sloane and A. D. Wyner (eds) (1993) Claude Elwood Shannon: Collected Papers. IEEE Press.
[9] Anthony Mays (2006), ‘Combinatorial aspects of juggling’. Ph.D Thesis at University of Melbourne.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
32
NG CONG ELLIPTIC - MT S NG DNG
ng Minh Tun (Vietkey)
TÓM TT
Epsilon s 9, chúng tôi ã gii thiu tng quan v h mt mã khóa công khai da trên ng cong Elliptic qua phn u ca chuyên có cùng tên gi ca tác gi ng Minh Tun. Trong s này, Epsilon trân trng gii thiu phn tip theo (và cng là phn kt) ca lot chuyên thông qua các ng dng ca h mt mã khóa công khai da trên ng cong Elliptic.
1. Bài toán Logarithm ri rc
nh ngha 1.1. Bài toán Logarithm ri rc trên ng cong Elliptic (ECDLP): Cho ng cong E trên trng hu hn Fq, im P ∈ E(Fq) vi bc n (nP = O =∞) và im Q ∈ E(Fq), tìm s nguyên k ∈ [0, n − 1] sao cho Q = kP . S nguyên k c gi là Logarithm ri rc ca Q vi c s P , và thng c vit là k = logP Q.
Bt k mt h mt khóa công khai nào cng phi s dng mt bài toán khó xây dng hàm mt chiu. Ý ngha mt chiu ây có ngha là tính thun thì d (thut toán gii trong thi gian a thc) và tính ngc thì khó (thut toán gii vi thi gian không phi là a thc - thng là hàm m hoc na m). Các tham s ca H mt da trên ng cong Elliptic (ECC) cn phi c la chn cn thn tránh c các tn công i vi bài toán ECDLP. Thut toán vét cn gii bài toán ECDLP là ln lt tính th các im P, 2P, 3P, ... cho n khi im mi tính c úng bng im Q. Trong trng hp xu nht s phi cn n n bc th, trung bình thng là n/2 là t c im Q, do ó cn phi chn n ln bài toán vét cn là không kh thi (n ≥ 2160).
Thut toán tt nht hin nay tn công bài toán ECDLP là s kt hp ca thut toán Pohlih- Hellman và Pollard’s rho, thut toán này có thi gian tính là O(
√ p), vi p là c s nguyên t
ln nht ca n do ó phi chn s n sao cho nó chia ht s nguyên t p ln nht có √ p ln
gii bài toán này là không kh thi.
Trong phn tip theo, mt s phng pháp tn công bài toán Logarithm ri rc s c trình bày, a s các phng pháp này có th áp dng c cho mt nhóm bt k. Chi tit có th tham kho trong [3, 8, 21].
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
33
Cho G là nhóm các im trên ng cong E. P,Q ∈ G là các im trên ng cong E, chúng ta cn gii bài toán kP = Q, N là bc ca G.
1.1. Phng pháp bc nh, bc ln
Phng pháp này do Shanks xut và c H. Cohen mô t trong [22].
Thut toán 1 Phng pháp bc nh, bc ln
1: Chn m ≥ √ N và tính mP .
2: Tính và lu tr danh sách iP vi 0 ≤ i < m 3: Tính Q− jmP vi j = 0, 1, . . . ,m− 1 4: if iP = Q− jmP then 5: k = i+ jm( mod N) 6: end if 7: Quay v bc 3
D dàng nhn thy Q = iP + jmP hay Q = (i+ jm)P t ó k = i+ jm. im iP c tính bng cách cng thêm P vào (i− 1)P và giá tr này c gi là bc nh. Q− jmP c tính bng cách cng thêm mP vào Q− (j − 1)mP và giá tr này c gi là bc ln.
1.2. Phng pháp Pollard’s ρ và λ
Phng pháp này do Pollard xut trong [23].
nh ngha hàm f : G → G mt cách ngu nhiên Pi+1 = f(Pi) vi P0 cng c chn mt cách ngu nhiên. Bi vì G là tp hu hn do ó s có các ch s i0 < j0 mà Pi0 = Pj0 , t ó ta có:
Pi0+1 = f(Pi0) = f(Pj0) = Pj0+1
Tng t s có Pi0+l = Pj0+l vi l ≥ 0, t ó chui Pi là chui tun hoàn vi chu k là j0 − i0. Hàm biu din chui Pi thng ging ch cái Hi Lp ρ và ó là lý do ti sao phng pháp này có tên là phng pháp ρ.
Hàm f c chn nh sau: Chia tp G thành s tp con không trùng nhau S1, S2, . . . , Ss có kích thc tng ng nhau, s thng c chn là 20, chn 2s s ngu nhiên ai, bi mod N . t:
Mi = aiP + biQ
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
34
Biu din Pj di dng Pj = ujP + vjQ, khi Pi0 = Pj0 ta có:
uj0P + vj0Q = ui0P + vi0Q
k = (vj0 − vx‘j0)1(ui0 − uj0) (mod N)
Phng pháp này cng tng t nh phng pháp trên cn √ N bc, tuy nhiên không gian lu
tr s nh hn.
1.3. Phng pháp Pohlig-Hellman
Pohlig và Hellman xut phng pháp này trong [24].
Nu có th phân tích bc N ca G thành các tha s nguyên t thì có th vit:
N = ∏
i
qeii
Ý tng ca phng pháp này là tìm k (mod qeii ) vi mi i, sau ó áp dng nh lý ng d Trung Hoa tính k (mod N). Coi q là s nguyên t và qe là ly tha e ca q c chia ht bi N , vit k di dng sau:
k = k0 + k1q + k2q 2 + · · · , 0 ≤ ki < q
Lý gii thut toán 2 nh sau:
N
N
q P
Bi vì NP =∞ và t ây có th tìm c k0. Tip theo:
Q1 = Q− k0P = ( k1q + k2q
2 + · · · ) P
N
q P
T ó tìm c k1, tng t nh vy chúng ta s tìm c k2, k3 . . . Thut toán s dng khi e = r + 1, khi ó N/qe+1 không còn là s nguyên na và chúng ta không th nhân Qe vi mt s hu t.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
35
1: Tính T = { j (
2: Tính N q Q. ó là phn t k0
( N q P )
ca T . 3: if e = 1 then 4: Nhy n bc 15. 5: end if 6: Q1 ← Q− k0P 7: Tính N
q2 Q1. ó là phn t k1
( N q P )
ca T . 8: if e = 2 then 9: Nhy n bc 15.
10: end if 11: Ln lt tính c các giá tr k0, k1, . . . , kr−1 và Q0, Q1, . . . , Qr−1 12: Qr ← Qr−1 − kr−1qr−1P 13: Xác nh kr sao cho N
qr+1Qr = kr
( N q P )
14: if e = r + 1 then 15: k = k0 + k1q + k2q
2 + · · ·+ ke−1qe−1( mod qe) 16: Stop. 17: end if 18: Quay v bc 11.
1.4. Phng pháp tn công MOV
Tn công MOV là tên vit tt ca các tác gi Menezes, Okamoto, và Vanstone [25], s dng cp Weil chuyn i bài toán Logarithm ri rc trong E(Fq) thành bài toán Logarithm ri rc trong F×qm . Bi vì gii bài toán Logarithm ri rc trong trng hu hn s d dàng và nhanh hn gii Logarithm ri rc trong nhóm các im trên ng cong Elliptic. Chn m sao cho:
E[N ] ⊆ F×qm
Bi vì tt c các im trong E[N ] u có ta trong Fq = ∪j≥1Fqj , nên m tn ti. Theo nh ngha v cp Weil và các thuc tính ca cp song tuyn tính:
ζ2 = eN(Q, T1) = eN(kP, T1) = eN(P, T1) k = ζk1
Thut toán 3 Tn công MOV 1: Chn im ngu nhiên T ∈ E(Fqm). 2: Tính bc M ca T . 3: Cho d = gcd(M,N) và cho T1 = (M/d)T có ngha là T1 có bc là d, chia ht bi N , do
ó T1 ∈ E[N ]. 4: Tính các cp Weil ζ1 = eN(P, T1) và ζ2 = eN(Q, T1). C hai ζ1, ζ2 ∈ µd ⊆ F×qm . 5: Gii bài toán Logarithm ri rc ζ2 = ζk1 trong F×qm , s tính c k (mod N). 6: Lp li vi im ngu nhiên T cho n khi bi s chung nh nht ca các s d là N , t ó
xác nh c k (mod N).
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
36
2. Tham s ca h mt ECC
Các tham s ca h mt ECC cn c la chn k càng tránh các tn công nh MOV, trong quá trình la chn h ECC cn phi t c mt s tiêu chí c mô t trong chun [26].
nh ngha 2.1. Tham s h mt D = (q, FR, S, a, b, P, n, h) là mt tp hp gm:
1. Bc ca trng Fq là q.
2. Phng pháp biu din trng FR (field representation) c s dng cho các phn t ca Fq.
3. S là mm c s dng trong trng ng cong Elliptic c to ra mt cách ngu nhiên.
4. Hai h s a, b ∈ Fq c dùng nh ngha ng cong E trên Fq (ngha là y2 = x3 + ax+ b).
5. P là mt im có bc nguyên t n và gi là im c s P = (xP , yP ) ∈ E(Fq).
6. ng h s h = #E(Fq)/n.
3. Trao i khóa
Trong các mc còn li, chuyên s cp n mt s thut toán ng dng trong trao i khóa, mã hóa và ký s c bn. Chun do công ty Certicom xây dng [26] mô t chi tit vic trin khai ng dng ECC. Tác gi D. Hankerson [18] phân tích vic trin khai ECC bng phn mm, trong khi ó tác gi L. Cao [27] phân tích thc hin các giao thc c bn ca ECC bng phn cng.
3.1. Trao i khóa Diffie–Hellman ECDH
Nm 1998, Laurie và cng s xut giao thc trao i khóa da trên ECC [28]. Sau ó giao thc này ã c a vào các tiêu chun ANSI X9.42, ANSI X9.63 và IEEE P1363.
Hai bên A và B cn to khóa phiên bí mt trao i trong mt kênh truyn công khai, hai bên cùng tha thun im c s P trên E. Bên A to khóa bí mt dA và gi giá tr dAP cho bên B, ngc li bên B to khóa bí mt dB nhân vi P sau ó gi li cho A. Khi ó khóa phiên ca bên A s là KA = dAdBP , và ca bên B s là KB = dBdAP . D dàng nhn thy KA = KB, khóa này ch riêng hai bên A và B có th tính c. Xem s di ây:
Bên A Bên B
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
37
ánh giá bo mt: tìm c khóa chia sKA hocKB, Hacker buc phi tìm c c 2 khóa bí mt dA, dB, trong khi ch có th bt c thông tin trên ng truyn là dAP và dBP , khi bit P , Hacker buc phi gii bài toán Logarithm ri rc dA = logP (dAP ) và dB = logP (dBP ) và ây là bài toán khó không gii c trong thi gian a thc.
3.2. To khóa bí mt chia s ECMQV
Tên y ca giao thc là Elliptic Curve Menezes-Qu-Vanstone. Thut toán ã c a vào trong các chun ANSI X9.63, IEEE 1363-2000, và ISO/IEC 15946-3. Theo các tiêu chun này im c s c ký hiu là G thay vì là P nh thng gp. Lc này thng c s dng khi các bên A và B có cp khóa công khai và bí mt c nh, tng ng là (a, aG) và (c, cG).
Bên A sinh cp s ngu nhiên (b, bG) và bên B tng ng sinh cp s ngu (d, dG), và trao i 2 cp nay cho nhau giá tr bG và dG. Kí hiu hàm x : E → N, ly giá tr x ca mt im trên ng cong E.
Thut toán 4 To khóa bí mt chia s ECMQV INPUT: Các tham s ca h mt (K,E, q, h,G), các s a, b, aG, bG, cG và dG. OUTPUT: Khóa bí mt chia s Q (chia s vi vi i tng có khóa công khai cG).
1: n← dlog2(#k)e/2. 2: u← (x(bG)(mod 2n) + 2n. 3: s← b+ ua((mod q). 4: v ← (x(dG)(mod 2n) + 2n. 5: Q← s(dG+ v(cG)). 6: if Q =∞ then 7: Quay li bc 1. 8: end if 9: Tr v khóa Q.
Bên B có th tính ra cùng s Q bng cách thay (a, b, c, d) trong thut toán trên bng (c, d, a, b). Bên A s có các giá tr uA, vA, sA và bên B s có uB, vB, sB. D dàng nhn thy [10]:
uA = vB
uB = vA
= sA(d+ uBc)G = sAsBG
= sB(b+ uAa)G = sBsAG
QA = QB = Q
ánh giá bo mt: hack c khóa chia s, Hacker cn phi tính c các giá tr a, b, c, d, mun vy Hacker phi gii các bài toán Logarithm ri rc a = logG(aG), b = logG(bG), c = logG(cG), d = logG(dG). ây là các bài toán khó không th gii c trong thi gian a thc.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
38
4.1. ECDSA(The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm)
Nm 1999, ECDSA (The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) ã c phê duyt thành tiêu chun ca ANSI (ANSI X9.62-1998 ECDSA, phiên bn mi nht là X9.62-2005), nm 2000 ECDSA cng c IEEE và NIST phê duyt thành tiêu chun FIPS PUB 186-4 (DSS - Digital Signature Standard), phiên bn mi nht ban hành 7-2013. ISO nm 2002 cng ban hành tiêu chun ISO/IEC 15946-2:2002 trong ó có phn dành riêng v ECDSA. Mô t chi tit v ECDSA có th tìm thy trong [29].
Ngi ký s chn s d làm khóa bí mt và to ra khóa công khai là Q = dP , s dng hàm bm H to ra giá tr tóm lc vn bn e ca vn bn m. Ch ký s s là cp (r, s) c tính theo thut toán 5.
Thut toán 5 Sinh ch ký s ECDSA INPUT: Tham s D = (q, FR, S, a, b, P, n, h), khóa bí mt d, thông ip m. OUTPUT: Ch ký s (r, s).
1: Chn ngu nhiên k ∈ [1, n− 1], 2: R← kP = (x1, y1) và chuyn i x1 ← x1. 3: r ← x1 (mod n). 4: if r = 0 then 5: Nhy n bc 1: 6: end if 7: e← H(m). 8: s← k−1(e+ dr) (mod n). 9: if s = 0 then
10: Nhy n bc 1: 11: end if 12: Tr v (r, s)
Ngi xác thc ch ký nhn c vn bn m′ và ch ký s (r, s) ca ngi ký, s tính giá tr tóm lc e′ ca vn bn nhn c là m′ và áp dng thut toán 6 xác nh s phù hp ca ch ký s vi vn bn nhn c, t ó có th khng nh vn vn có do úng ngi ký ký hay có s gi mo t ngi khác hoc vn bn có b sa i hay b li do ng truyn hay không.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
39
Thut toán 6 Xác thc ch ký s ECDSA INPUT: Tham s D = (q, FR, S, a, b, P, n, h), khóa công khai Q = dP , thông ip nhn c m′, ch ký (r, s). OUTPUT: Ch ký hp l hoc không hp l.
1: Kim tra r và s có phi là nhng s nguyên nm trong khong [1, n− 1]. Nu không tr v return(“Ch ký không hp l”).
2: e′ ← H(m′). 3: w ← s−1 (mod n). 4: u1 ← e′w (mod n) và u2 ← rw (mod n). 5: R′ ← u1P + u2Q. 6: if R′ =∞ then 7: return(“Ch ký không hp l”). 8: end if 9: Chuyn i x1 ca R′ → s nguyên x1.
10: r′ ← x1 (mod n). 11: if r′ = r then 12: return(“Ch ký hp l”). 13: else 14: return(“Ch ký không hp l”). 15: end if
Chng minh tính úng n ca thut toán: cn phi chng minh rng nu m′ = m hay e = e′
thì r′ = r. Thc vy:
w = s−1 = k(e+ dr)−1
R′ = u1P + u2Q = (u1 + u2d)P = (e′ + rd)wP
= (e′ + rd)s−1P = k(e′ + rd)(e+ rd)−1P
Nu e = e′ ta s có R′ = k(e+ rd)(e+ rd)−1P = kP = R là iu cn phi chng minh.
ánh giá bo mt: gi mo c ch ký, Hacker cn phi tìm c giá tr k và khóa bí mt d, tìm c 2 giá tr này Hacker buc phi gii 2 bài toán Logarithm ri rc k = logP R và d = logP Q và ây u là 2 bài toán khó, cha gii c trong thi gian a thc.
4.2. Ch ký s ElGamal
Da trên lc ký s do ElGamal xut nm 1984 [30], phiên bn sa i ã c a vào thành chun v ch ký s DSS (Digital Signature Standard) trong FIPS 186 [31].
nh ngha hàm f nh sau: f : E(Fq)→ Z
Có th chn hàm f(x, y) = x, trong ó x là s nguyên 0 ≤ x < q. Cp khóa bí mt và công khai ca ngi ký là (x, Y ) | Y = xP . N là bc ca im P thng là s nguyên t ln.
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
40
Thut toán 7 Sinh ch ký s Elgamal INPUT: Khóa bí mt x, thông ip m. OUTPUT: Ch ký s (R, s).
1: Chn ngu nhiên k ∈ [1, n− 1], 2: R← kP . 3: s = k−1(m− xf(R)). 4: Tr v (R, s)
Thut toán 8 Xác thc ch ký s Elgamal INPUT: Khóa công khai Y = xP , thông ip nhn c m′, ch ký (R, s). OUTPUT: Ch ký hp l hoc không hp l.
1: Tính V1 = f(R)Y + sR. 2: Tính V2 = m′P . 3: if V1 = V2 then 4: return(“Ch ký hp l”). 5: else 6: return(“Ch ký không hp l”). 7: end if
Chng minh tính úng n ca thut toán: khi m′ = m:
V1 = f(R)Y + sR = f(R)xP + k−1(m− xf(R))R = mP = m′P = V2
ánh giá bo mt: Mun gi mo ch ký s, Hacker buc phi tính c s, tính c s buc phi tính c k và khóa bí mt x, tính c 2 giá tr này Hacker buc phi gii bài toán Logarithm ri rc k = logP R và x = logP Y , là 2 bài toán không gii c trong thi gian a thc.
5. Mã hóa - Gii mã
5.1. Mã hóa Massey-Omura
Massey-Omura là hai tác gi xut lc mã hóa c mô t trong Patent [32] vào nm 1986. Lc mã hóa này ít c s dng trong thc t nhng nó có ý ngha v mt lch s.
Bên A Bên B Biu din thông ip nh M ∈ E(Fq)
Chn mA | gcd(mA, N) = 1 M1=mAM
−−−−−−−−−−−−→ M1
M2
Tính m−1A ∈ ZN
−−−−−−−−−−−−→ M3
41
D dàng nhn thy: m−1B m−1A mBmAM = M
ánh giá bo mt: Mun phá khóa trong lc này, Hacker phi tìm c giá tr mA,mB tìm c các giá tr này Hacker phi ln lt gii 2 bài toán Logarithm ri rc mA = logM M1
và mB = logM1 M2, và ây là 2 bài toán cha gii c trong thi gian a thc.
5.2. Mã hóa ElGamal
Trên c s h mt ElGamal [30], lc mã hóa c phát biu nh sau:
Bên A Bên B Thông ip M ∈ E(Fq) Chn cp khóa (xB, YB) | YB = xBP Chn k, tính M1 = kP
Tính M2 = M + kYB M1,M2
−−−−−−−−−−−−→ M1,M2
Chng minh tính úng n ca lc mã hóa:
M = M2 − xBM1 = M + kYB − xBM1 = M + k(xBP )− xB(kP ) = M
ánh giá bo mt: gii mã c vn bn M , Hacker buc phi tìm c k và xB, do ó Hacker cn phi gii 2 bài toán Logarithm ri rc k = logP M1 và xB = logP YB, và ây là 2 bài toán khó.
5.3. Mã hóa ECIES (The Elliptic Curve Integrated Encryption Sys- tem)
ECIES do Bellare và Rogaway xut và là mt bin th ca mã hóa dùng h mt ElGamal, sau ó thut toán này ã c a vào các chun ANSI X9.63 và ISO/IEC 15946-3, IEEE P1363a và [26].
Tham s D = (q, FR, S, a, b, P, n, h) c chn tng t nh vi ECDSA. ây cn la chn thêm các hàm mã hóa/gii mã i xng ký hiu là Ek(m) và Dk(c). Trong ó m là bn rõ cn mã hóa, c là bn ã c mã. Thut toán mã hóa i xng c chn ây phc v quá trình mã hóa/gii mã c d dàng hn và nhanh hn so vi các thut toán bt i xng. Ngoài ra thay vì s dng hàm bm n gin, ECIES s s dng hai hàm bm sau:
• Message authentication code MACk(c):
Tp chí Epsilon, S 10, 08/2016
42
• Key derivation function KD(T, l):
KD : E × N −→ {0, 1}∗
l là dài khóa (k1||k2). {0, 1} là chui bit có giá tr 0, 1 có dài n hoc không xác nh (*).
Ngi nhn có cp khóa công khai/bí mt là (Y, x) trong ó Y = xP .
Thut toán 9 Mã hóa ECIES INPUT: Vn bn cn mã hóa m, khóa công khai Y . OUTPUT: Vn bn ã c mã hóa (U, c, r).
1: Chn k ∈ [1, q − 1]. 2: U ← kP . 3: T ← kY . 4: (k1k2)← KD(T, l). 5: Mã hóa vn bn, c← Ek1(m). 6: Tính giá tr MAC cho vn bn mã hóa r = MACk2(C) 7: Tr v return(U, c, r).
Bên gii mã s nhn c tp hp (U, c, r) gm các thành phn sau:
• U cn thit tính khóa phiên Diffie–Hellman T .
• c là bn ã c mã hóa.
• r c dùng xác thc m&ati