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_0 Pruebas de Varianza Uniformidad e Independencia Aleatorios

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  • 2.4.2 Pruebas de Varianza2.4.3 Pruebas de Uniformidad2.4.4 Pruebas de Independencia

  • Otra propiedad que debe satisfacer el conjunto de ri, es que sus nmeros tengan una varianza de 1/12. la prueba que busca determinar lo anterior es la prueba de varianza, que establece las siguientes hiptesis: H0: 2ri=1/12H1: 2ri1/12

  • La prueba de varianza consiste en determinar la varianza de los n nmeros que contiene ri, mediante la ecuacin siguiente:

    Despus se calculan los limites de aceptacin inferior y superior con las ecuaciones siguientes:

  • Si el valor de V(r) se encuentra entre los lmites de aceptacin, decimos:

    No se puede rechazar que el conjunto ri tiene una varianza de 1/12, con un nivel de aceptacin de 1-;

    De lo contrario, se rechaza que el conjunto ri, tiene una varianza de 1/12.

  • Ejemplo: realizar la prueba de varianza a los 40 nmeros ri de la siguiente tabla. Considerando que n=40 y =5%, procedemos a calcular la varianza de los nmeros, y los lmites de aceptacin correspondientes:

    0.04490.17330.57460.0490.84060.83490.920.25640.60150.66940.39720.70250.10550.12470.19770.01250.630.25310.82970.64830.69720.95820.90850.85240.55140.03160.35870.70410.59150.25230.25450.30440.02070.10670.35870.17460.33620.15890.37270.4145

  • Dado que el valor de la varianza: V(r)=0.087034 est entre los limites de aceptacin, podemos decir que no se puede rechazar que el conjunto de 40 nmeros ri tiene una varianza de 1/12= 0.08333.

  • 2.4.3.1 PRUEBA CHI-CUADRADA y KOLMOGOROV-SMIRNOV

  • Una de las propiedades ms importantes que debe cumplir un conjunto de nmeros ri es la uniformidad . Para comprobar su acatamiento se han desarrollado pruebas estadsticas tales como las pruebas Chi-cuadrada y de Kolmogorov-Smirnov . En cualquiera de ambos cosas, para probar la uniformidad de los nmeros de un conjunto ri es necesario formular las siguientes hiptesis:

  • Ho: ri~U(0,1)H1: ri no son uniformes

  • La prueba Chi-cuadrada busca determinar si los nmeros del conjunto ri se distribuyen uniformemente en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir el intervalo (0,1), en m subintervalos, en donde es recomendable m=n. Posteriormente se clasifica cada nmero pseudo aleatorio del conjunto ri en los m intervalos .

  • A la cantidad de nmeros ri que se clasifican en cada intervalo se le denomina frecuencia observada (Oi), y a la cantidad de nmeros ri que se espera encontrar en cada intervalo se le llama frecuencia esperada (Ei); tericamente, la ri es igual a n/m. A partir de los valores de Oi y Ei se determina el estadstico mediante la ecuacin:

  • Si el valor del estadstico es menor al valor de tablas de , entonces no se puede rechazar que el conjunto de nmeros ri sigue una distribucin uniforme. En caso contrario, se rechaza que ri sigue una distribucin uniforme.

  • 0.3470.8320.9660.4720.7970.1010.6960.9660.4040.6030.9930.3710.7290.0670.1890.9770.8430.5620.5490.9920.6740.6280.0550.4940.4940.2350.1780.7750.7970.2520.4260.0540.0220.7420.6740.8980.6410.6740.8210.190.460.2240.990.7860.3930.4610.0110.9770.2460.8810.1890.7530.730.7970.2920.8760.7070.5620.5620.8210.1120.1910.5840.3470.4260.0570.8190.3030.4040.640.370.3140.7310.7420.2130.4720.6410.9440.280.6630.9090.7640.9990.3030.7180.9330.0560.4150.8190.4440.1780.5160.4370.3930.2680.1230.9450.5270.4590.652

  • El estadstico =6.2 es menor al estadstico correspondiente de la chi- cuadrada =16.9. En consecuencia, no se puede rechazar que los nmeros ri siguen una distribucin uniforme.

  • Propuesta por Kolmogorov-Smirnov, esta es una prueba estadstica que tambin nos sirve para determinar si un conjunto ri cumple la propiedad de uniformidad. Es recomendable aplicarla en conjuntos ri pequeos, por ejemplo n
  • 1. Ordenar de menor a mayor los nmeros del conjunto ri. r1r2 r3 rn2. Determinar los valores de D+, D- y D con las siguientes ecuaciones:

  • D= mx. (D+,D-)3. Determinar el valor critico de acuerdo con la tabla de valores crticos de Kolmogorov para un grado de confianza , y segn el tamao de la muestra n.

  • 4. Si el valor D es mayor que el valor critico Se concluye que los nmeros del conjunto ri no siguen una distribucin uniforme; de lo contrario se dice que no se ha detectado diferencia significativa entre la distribucin de los nmeros del conjunto ri y la distribucin uniforme.

  • Para determinar los valores de D+, D- y D es recomendable realizar una tabla como la siguiente:

    ri={.97, 0.11, 0.65, 0.26, 0.98, .03, 0.13, 0.89, 0.21, 0.69}

  • i12345678910i/n0.10.20.30.40.50.60.70.80.91ri0.030.110.130.210.260.650.690.890.970.98i-1/n00.10.20.30.40.50.60.70.80.9i/n-ri0.070.090.170.190.24-0.050.01-0.09-0.070.02ri- (i-1)/n0.030.01-0.07-0.09-0.140.150.090.190.170.08n10D+0.24D-0.19D0.24

  • De acuerdo con la tabla de valores para la prueba de Kolmogorov-Smirnov, el valor crtico correspondiente a n=10 es =0.368, que resulta mayor al valor D=.24; por lo tanto, se concluye que los nmeros del conjunto ri, se distribuyen uniformemente.

  • Las dos propiedades ms importantes que deben satisfacer los nmeros de un conjunto ri son uniformidad e independencia. A continuacin hablaremos de las pruebas estadsticas que tratan de corroborar si los nmeros en el intervalo (0,1) son independientes o, en otras palabras, si parecen pseudo aleatorios. Para probar la independencia de los nmeros de un conjunto ri primero es preciso formular las siguientes hiptesis:H0: los nmeros del conjunto ri son independientesH1: los nmeros del conjunto ri no son independientes

  • 0.8090.0420.4320.5380.2250.880.6880.7720.0360.8540.3970.2680.8210.8970.070.7210.0870.350.7790.4820.1360.8550.4530.1970.4440.7990.8090.6910.5450.8570.6920.0550.3480.3730.4360.290.0150.8340.5990.7240.5640.7090.9460.7540.6770.1280.0120.4980.60.913

  • CategoraProbabilidadEiTodos diferentes (TD)0.30240.3024nExactamente un par (1P)0.50400.5040nDos pares (2P)0.10800.1080nUna tercia y una par (TP)0.00900.0090nTercia (T)0.07200.0720nPker (P)0.00450.0045nQuintilla (Q)0.00010.0001n

  • 0.061410.724840.941070.567660.144110.876480.817920.489990.185900.060600.112230.647940.529530.505020.304440.706880.253570.315550.041270.673470.281030.993670.445980.739970.278130.621820.825780.859230.514830.09099

    0.061411P0.724841P0.94107TD0.56766T0.14411TP0.876481P0.81792TD0.48999T0.18590TD0.06060TP0.112232P0.647941P0.529531P0.505022P0.30444T0.706881P0.253571P0.31555T0.04127TD0.673471P0.28103TD0.993671P0.445981P0.739972P0.27813TD0.621821P0.825781P0.85923TD0.51483TD0.09099TP

  • CategorasOiE1

    Todos diferentes (TD)8(0.3034)(30) = 9.0720.12667Exactamente un par (1P)12(0.5040)(30) = 15.120.64380Dos pares (2P)3(0.1080)(30) = 3.240.01777Una tercia y una par (TP)3(0.0090)(30) = 0.2727.6033Tercia (T)4(0.0720)(30) = 2.161.56740Pker (P)0(0.0045)(30) = 0.1350.135Quintilla (Q)0(0.0001)(30) = 0.0030.003 = 30.0969

  • Consiste en comparar los nmeros con el propsito de corroborar la independencia entre nmeros consecutivos. Las hiptesis bsicas son:

    H: los nmeros del conjunto ri son independientes.H1: los nmeros del conjunto ri no son independientes.

  • Crear una grafica de dispersin entre los nmeros consecutivos (ri , rr+1).

    Dividir la grfica en m casillas, siendo m el valor entero ms cercano a que permita formar de preferencia una matriz cuadrada.

    Se determina la frecuencia observada Oi, contabilizando el numero de puntos en la casilla y su correspondiente frecuencia esperada Ei

  • De acuerdo con Ei = (n-1)/m, donde n-1 es el numero de pares ordenados o puntos en la grfica.

    Calcular el error o estadstico de prueba

    Si el valor del error es menor que o igual al estadstico de tablas x,m-1, no podemos rechazar la hiptesis de independencia entre nmeros consecutivos.

  • Realizar la prueba de series a los siguientes 30 nmeros, con un nivel de confianza de 95%.

  • Generar la grfica de dispersin con los 29 pares ordenados(x,y) = (ri , rr+1) siguientes:

    (r1,r2)=0.8720.219(r2,r3)=0.2190.570(r3,r4)=0.5700.618(r4,r5)=0.6180.291(r5,r6)=0.2910.913(r6,r7)=0.9130.95

    (r28,r29)=0.2030.868(r29,r30)=0.8680.879

  • Se contabiliza el nmero de puntos en cada casilla Oi y se calcula la frecuencia esperada Ei de acuerdo Ei = 29/9. en la ultima columna se presenta el calculo del estadstico de prueba.

  • El valor de tablas es mayor que el error total de 7.937, por lo cual no podemos rechazar la hiptesis de independencia.

    Intervalo iOiEi=(n-1)/m = 29/9 133.220.015233.220.015353.220.984433.220.015563.222.400613.221.531753.220.984813.221.531923.220.462Total29297.937

  • Consiste en comparar los nmeros con el propsito de verificar el tamao del hueco que existe entre ocurrencias sucesivas de un nmero; las hiptesis son las fundamentales:

    H: los nmeros del conjunto ri son independientes.H1: los nmeros del conjunto ri no son independientes.

  • Definir un intervalo de prueba(,), donde (,) (0,1)

    Se construye una secuencia de 1 y 0 de esta manera: se asigna un 1 si el ri pertenece al intervalo (,), y un 0 si no pertenece.

  • Ejemplo: si se define un intervalo (,)=(0.6,0.7) y se tiene la muestra de 10 nmeros.ri =(0.67,0 .62, 0.05,0.49,0.59,0.42,0.64,0.06,0.74,0.67)S={1,1,0,0,0,0,1,0,0,1}El tamao del hueco i se define como el nmero de ceros existentes entre unos consecutivos. En en ejemplo tenemos h=3A partir del conjunto anterior se determina la frecuencia Oi, contabilizando el num. de ocurrencias de cada tamao de hueco y su correspondiente frecuencia esperada Ei, de acuerdo con Ei = (h)(-)(1-(-))i

  • Frecuencias observadas y esperadas en la prueba de huecos.

    Despus se procede a calcular el error o estadstico de prueba

  • Tomando los nmeros por rengln se tiene:

    S={1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,1} 0 7 1 1 10 0 3

  • Prueba de huecosYa que el estadstico de prueba = 2.567522 es menor

    que el estadstico de tablas , no podemos rechazar la hiptesis de independencia entre los nmeros.

  • *Simbolos****resultados*Valores despus de los signos =.*****************************************************