2.4.2 Pruebas de Varianza

2.4.3 Pruebas de Uniformidad

2.4.4 Pruebas de Independencia

Otra propiedad que debe satisfacer el conjunto de ri, es que sus números tengan una varianza de 1/12. la prueba que busca determinar lo anterior es la prueba de varianza, que establece las siguientes hipótesis:

H0: σ2ri=1/12

H1: σ2ri≠1/12

La prueba de varianza consiste en determinar la varianza de los n números que contiene ri, mediante la ecuación siguiente:

Después se calculan los limites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes:

Si el valor de V(r) se encuentra entre los límites de aceptación, decimos:

No se puede rechazar que el conjunto ri

tiene una varianza de 1/12, con un nivel de aceptación de 1-α;

De lo contrario, se rechaza que el conjunto ri, tiene una varianza de 1/12.

Ejemplo: realizar la prueba de varianza a los 40 números ri de la siguiente tabla. Considerando que n=40 y α=5%, procedemos a calcular la varianza de los números, y los límites de aceptación correspondientes:

0.0449

0.1733

0.5746

0.049 0.8406

0.8349

0.92 0.2564

0.6015

0.6694

0.3972

0.7025

0.1055

0.1247

0.1977

0.0125

0.63 0.2531

0.8297

0.6483

0.6972

0.9582

0.9085

0.8524

0.5514

0.0316

0.3587

0.7041

0.5915

0.2523

0.2545

0.3044

0.0207

0.1067

0.3587

0.1746

0.3362

0.1589

0.3727

0.4145

Dado que el valor de la varianza: V(r)=0.087034 está entre los limites de aceptación, podemos decir que no se puede rechazar que el conjunto de 40 números ri tiene una varianza de 1/12= 0.08333.

2.4.3.1 PRUEBA CHI-CUADRADA y KOLMOGOROV-SMIRNOV

Una de las propiedades más importantes que debe cumplir un conjunto de números ri es la uniformidad . Para comprobar su acatamiento se han desarrollado pruebas estadísticas tales como las pruebas Chi-cuadrada y de Kolmogorov-Smirnov . En cualquiera de ambos cosas, para probar la uniformidad de los números de un conjunto ri es necesario formular las siguientes hipótesis:

Ho: ri~U(0,1)H1: ri no son uniformes

La prueba Chi-cuadrada busca determinar si los números del conjunto ri se distribuyen uniformemente en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir el intervalo (0,1), en m subintervalos, en donde es recomendable m=√n. Posteriormente se clasifica cada número pseudo aleatorio del conjunto ri en los m intervalos .

A la cantidad de números ri que se clasifican en cada intervalo se le denomina frecuencia observada (Oi), y a la cantidad de números ri que se espera encontrar en cada intervalo se le llama frecuencia esperada (Ei); teóricamente, la ri es igual a n/m. A partir de los valores de Oi y Ei se determina el estadístico mediante la ecuación:

Si el valor del estadístico es menor al valor de tablas de , entonces no se puede rechazar que el conjunto de números ri sigue una distribución uniforme. En caso contrario, se rechaza que ri sigue una distribución uniforme.

0.347 0.832 0.966 0.472 0.797 0.101 0.696 0.966 0.404 0.603

0.993 0.371 0.729 0.067 0.189 0.977 0.843 0.562 0.549 0.992

0.674 0.628 0.055 0.494 0.494 0.235 0.178 0.775 0.797 0.252

0.426 0.054 0.022 0.742 0.674 0.898 0.641 0.674 0.821 0.19

0.46 0.224 0.99 0.786 0.393 0.461 0.011 0.977 0.246 0.881

0.189 0.753 0.73 0.797 0.292 0.876 0.707 0.562 0.562 0.821

0.112 0.191 0.584 0.347 0.426 0.057 0.819 0.303 0.404 0.64

0.37 0.314 0.731 0.742 0.213 0.472 0.641 0.944 0.28 0.663

0.909 0.764 0.999 0.303 0.718 0.933 0.056 0.415 0.819 0.444

0.178 0.516 0.437 0.393 0.268 0.123 0.945 0.527 0.459 0.652

El estadístico =6.2 es menor al estadístico correspondiente de la chi- cuadrada =16.9. En consecuencia, no se puede rechazar que los números ri siguen una distribución uniforme.

Propuesta por Kolmogorov-Smirnov, esta es una prueba estadística que también nos sirve para determinar si un conjunto ri cumple la propiedad de uniformidad. Es recomendable aplicarla en conjuntos ri pequeños, por ejemplo n<20. El procedimiento es el siguiente:

1. Ordenar de menor a mayor los números del conjunto ri.

r1≤r2 ≤r3 ≤… ≤rn

2. Determinar los valores de D+, D- y D con las siguientes ecuaciones:

D= máx. (D+,D-)3. Determinar el valor critico de acuerdo

con la tabla de valores críticos de Kolmogorov para un grado de confianza α, y según el tamaño de la muestra n.

4. Si el valor D es mayor que el valor critico

Se concluye que los números del conjunto ri no siguen una distribución uniforme; de lo contrario se dice que no se ha detectado diferencia significativa entre la distribución de los números del conjunto ri y la distribución uniforme.

ri= {.97, 0.11, 0.65, 0.26, 0.98, .03, 0.13, 0.89, 0.21, 0.69}

Para determinar los valores de D+, D- y D es recomendable realizar una tabla como la siguiente:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i/n 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

ri 0.03 0.11 0.13 0.21 0.26 0.65 0.69 0.89 0.97 0.98

i-1/n 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

i/n-ri 0.07 0.09 0.17 0.19 0.24-0.05 0.01

-0.09

-0.07 0.02

ri- (i-1)/n 0.03 0.01

-0.07

-0.09

-0.14 0.15 0.09 0.19 0.17 0.08

n 10                  

D+ 0.24 D- 0.19 D 0.24          

De acuerdo con la tabla de valores para la prueba de Kolmogorov-Smirnov, el valor crítico correspondiente a n=10 es =0.368, que resulta mayor al valor D=.24; por lo tanto, se concluye que los números del conjunto ri, se distribuyen uniformemente.

Las dos propiedades más importantes que deben Las dos propiedades más importantes que deben satisfacer los números de un conjunto satisfacer los números de un conjunto rrii son son uniformidad e independencia. A continuación uniformidad e independencia. A continuación hablaremos de las pruebas estadísticas que tratan hablaremos de las pruebas estadísticas que tratan de corroborar si los números en el intervalo (0,1) de corroborar si los números en el intervalo (0,1) son independientes o, en otras palabras, si parecen son independientes o, en otras palabras, si parecen pseudo aleatorios. Para probar la independencia de pseudo aleatorios. Para probar la independencia de los números de un conjunto rlos números de un conjunto rii primero es preciso primero es preciso formular las siguientes hipótesis:formular las siguientes hipótesis:

 HH00: los números del conjunto r: los números del conjunto rii son son

independientesindependientesHH11: los números del conjunto r: los números del conjunto rii no son no son

independientesindependientes

0.809

0.042

0.432

0.538

0.225

0.88 0.688

0.772

0.036

0.854

0.397

0.268

0.821

0.897

0.07 0.721

0.087

0.35 0.779

0.482

0.136

0.855

0.453

0.197

0.444

0.799

0.809

0.691

0.545

0.857

0.692

0.055

0.348

0.373

0.436

0.29 0.015

0.834

0.599

0.724

0.564

0.709

0.946

0.754

0.677

0.128

0.012

0.498

0.6 0.913

Categoría Probabilidad Ei

Todos diferentes (TD) 0.3024 0.3024nExactamente un par (1P) 0.5040 0.5040nDos pares (2P) 0.1080 0.1080nUna tercia y una par (TP) 0.0090 0.0090nTercia (T) 0.0720 0.0720nPóker (P) 0.0045 0.0045nQuintilla (Q) 0.0001 0.0001n

0.06141 0.72484 0.94107 0.56766 0.14411 0.87648

0.81792 0.48999 0.18590 0.06060 0.11223 0.64794

0.52953 0.50502 0.30444 0.70688 0.25357 0.31555

0.04127 0.67347 0.28103 0.99367 0.44598 0.73997

0.27813 0.62182 0.82578 0.85923 0.51483 0.09099

0.06141

1P 0.72484

1P

0.94107

TD 0.56766

T 0.14411

TP 0.87648

1P

0.81792

TD 0.48999

T 0.18590

TD 0.06060

TP 0.11223

2P 0.64794

1P

0.52953

1P 0.50502

2P

0.30444

T 0.70688

1P 0.25357

1P 0.31555

T

0.04127

TD 0.67347

1P

0.28103

TD 0.99367

1P 0.44598

1P 0.73997

2P

0.27813

TD 0.62182

1P

0.82578

1P 0.85923

TD 0.51483

TD 0.09099

TP

Categorías Oi E1

Todos diferentes (TD) 8 (0.3034)(30) = 9.072

0.12667

Exactamente un par (1P)

12 (0.5040)(30) = 15.12

0.64380

Dos pares (2P) 3 (0.1080)(30) = 3.24

0.01777

Una tercia y una par (TP)

3 (0.0090)(30) = 0.27

27.6033

Tercia (T) 4 (0.0720)(30) = 2.16

1.56740

Póker (P) 0 (0.0045)(30) = 0.135

0.135

Quintilla (Q) 0 (0.0001)(30) = 0.003

0.003

= 30.0969

Consiste en comparar los números con el propósito de corroborar la independencia entre números consecutivos. Las hipótesis básicas son:

H₀: los números del conjunto ri son independientes.

H1: los números del conjunto ri no son independientes.

Crear una grafica de dispersión entre los números consecutivos (ri , rr+1).

Dividir la gráfica en m casillas, siendo m el valor entero más cercano a que permita formar de preferencia una matriz cuadrada.

Se determina la frecuencia observada Oi, contabilizando el numero de puntos en la casilla y su correspondiente frecuencia esperada Ei

De acuerdo con Ei = (n-1)/m, donde n-1 es el numero de pares ordenados o puntos en la gráfica.

Calcular el error o estadístico de prueba

Si el valor del error es menor que o igual al estadístico de tablas xα,m-1, no podemos rechazar la hipótesis de independencia entre números consecutivos.

Realizar la prueba de series a los siguientes 30 números, con un nivel de confianza de 95%.

Generar la gráfica de dispersión con los 29 pares ordenados(x,y) = (ri , rr+1) siguientes:

(r1,r2)= 0.872 0.219(r2,r3)= 0.219 0.570(r3,r4)= 0.570 0.618(r4,r5)= 0.618 0.291(r5,r6)= 0.291 0.913(r6,r7)= 0.913 0.95

…

(r28,r29)= 0.203 0.868(r29,r30)= 0.868 0.879

Se contabiliza el número de puntos en cada casilla Oi y se calcula la frecuencia esperada Ei de acuerdo Ei = 29/9. en la ultima columna se presenta el calculo del estadístico de prueba.

Intervalo i Oi Ei=(n-1)/m =

29/9

1 3 3.22 0.0152 3 3.22 0.0153 5 3.22 0.9844 3 3.22 0.0155 6 3.22 2.4006 1 3.22 1.5317 5 3.22 0.9848 1 3.22 1.5319 2 3.22 0.462

Total 29 29 7.937

El valor de tablas es mayor que el error total de 7.937, por lo cual no podemos rechazar la hipótesis de independencia.

Consiste en comparar los números con el propósito de verificar el tamaño del “hueco” que existe entre ocurrencias sucesivas de un número; las hipótesis son las fundamentales:

H₀: los números del conjunto ri son independientes.

H1: los números del conjunto ri no son independientes.

Definir un intervalo de prueba(α,β), donde (α,β) є (0,1)

Se construye una secuencia de 1 y 0 de esta manera: se asigna un 1 si el ri pertenece al intervalo (α,β), y un 0 si no pertenece.

Ejemplo: si se define un intervalo (α,β)=(0.6,0.7) y se tiene la muestra de 10 números. ri =(0.67,0 .62, 0.05,0.49,0.59,0.42,0.64,0.06,0.74,0.67) S={1,1,0,0,0,0,1,0,0,1}El tamaño del hueco i se define como el

número de ceros existentes entre unos consecutivos. En en ejemplo tenemos h=3

A partir del conjunto anterior se determina la frecuencia Oi, contabilizando el num. de ocurrencias de cada tamaño de hueco y su correspondiente frecuencia esperada Ei, de acuerdo con

Ei = (h)(β-α)(1-(β-α))i

Frecuencias observadas y esperadas en la prueba de huecos.

• Después se procede a calcular el error o estadístico de prueba

Tomando los números por renglón se tiene:

S={1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,1} 0 7 1 1 10 0 3

Prueba de huecos

Ya que el estadístico de prueba = 2.567522 es menor

que el estadístico de tablas , no podemos rechazar la hipótesis de independencia entre los números.