С А Д Р Ж А Ј:

1. KRUG....................................................................................................................... 3

1.1. Kružna linija. Centralni i periferijski ugao kružne linije.......................................3

1.2. Tangenta kružne linije........................................................................................4

1.3. Obim kružne linije ( kružnice ):..........................................................................6

1.4. Dužina kružnog luka:.........................................................................................6

1.5. Površina kruga i njegovih delova:......................................................................7

1.6. Površina kružnog isečka:...................................................................................7

1.7. Površina kružnih prstenova:..............................................................................7

2. ZADACI.....................................................................................................................8

3. KRUG U ANALITIČKOJ GEOMETRIJI...................................................................15

4. ZADACI...................................................................................................................16

5. Literatura.................................................................................................................21

1. KRUG

1.1. Kružna linija. Centralni i periferijski ugao kružne linije

Kružna linija ( kružnica ) je skup svih tačaka jedne ravni podjednako udaljene od jedne stalne tačke – centra 8 slika 1 ).

AB – prečnik ( 2r)

CD – tetiva

OE – centralno rastojanje

t – tangenta

Slika 1

Periferijski ugao – je ugao čije teme pripada kružnoj liniji k, a kraci su tetive te kružnice.

Centralni ugao – je ugao čije je teme centar kružne liniji.

- Periferijski ugao neke kružne linije jednak je polovini centralnog ugla nad istim lukom ( slika 2 ). Periferijski uglovi nad istim lukom neke kružne linije jednaki su.

α - centralni ugao

- periferijski ugao

α = 2

Slika 2

2

Slika 3

Periferijski ugao nad prečnikom je prav ( < ASB = < AC1B = AC2B = 900; slika 3 )

1.2. Tangenta kružne linije

Slika 1

- Tangente duži konstruisane na kružnu liniju iz tačke M van nje jednake su ( slika 1 ): | MA | = | MB |. Tangenta je normalna na poluprečnik. t r

- Ugao između tetive AB i tangente t jednak je periferijskom uglu nad tetivom AB ( = , slika 2 ).

3

Slika 2

Slika 3

Tangentni četvorougao – je četvorougao u koji se može upisati kružnica. Kod tangentnog četvorougla zbir naspramnih stranica je jednak. ( AB + CD = AD + BC, slika 3 )

4

Tetivni četvorougao – je četvorougao oko kojeg se može opisati kružnica. Naspramni uglovi kod tetivnog četvorougla su suplementni. (α + γ = + δ = 1800, slika 4 )

Slika 4

1.3. Obim kružne linije ( kružnice ):

- Dužina obima kružne linije jednaka je proizvodu njenog prečnika i broja π

1.4. Dužina kružnog luka:

- Dužina luka:

α – centralni ugao na luku l

5

1.5. Površina kruga i njegovih delova:

- Površina kruga:

1.6. Površina kružnog isečka:

1.7. Površina kružnih prstenova:

6

2. ZADACI

1) Odrediti obim kruga ako je za 7 cm veći od obima pravilnog u njemu upisanog šestougla.

ro =a

Ošestougla = 6a

Ok = 2rπ = 2aπ

2) Odrediti odnos obim upisanog i opisanog kruga oko jednakostraničnog trougla:

7

3) Odrediti poluprečnik kruga koji je pretvoren u kružni luk poluprečnika 4 cm sa centralnim uglom od 1200:

α = 1200

r = 4 cm

R = ?

4) Kvadrat i krug imaju jednake obime. Odrediti odnos njihovih površina:

8

5) Stranice trougla su a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Krug dodiruje stranice a i b, a centar mu se nalazi na stranici c. Izračunati površinu tog kruga:

9

6) U pravouglom trouglu ABC čija je hipotenuza AB=2 cm središna kateta M.N i tačke A i B pripadaju jednom krugu izračunati površinu tog kruga:

α i - uglovi pravouglog trougla jednokraki trougao

α = = 450 a = b

10

7) U trapezu čiji su kraci 15 cm i 13 cm i veća osnovica 21 cm upisan je krug. Izračunati njegovu površinu:

trapez je tangentni

b = 7 cm

11

Na osnovu sinusne teoreme

8) Visina hipotenuze pravouglog trougla deli hipotenuza na odsečke dužine 16 cm i 9 cm. Odrediti površinu upisanog kruga i trougla:

12

13

3. KRUG U ANALITIČKOJ GEOMETRIJI

- Kanonska jednačina kruga sa centrom u tački S (a,b) i poluprečnikom r data je sa

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

- Ako je jednačina kruga data u opštem obliku x2 + y2 + px + duži =o, koordinate centra su:

, a dužina poluprečnika je:

U slučaju da je gornja jednačina predstavlja prazan skup

tačaka u ravni, tj. imaginarni krug.

- Prava y = kx + u je tangenta krugu x2 + y2 =r2 ako je r2(1 + k2) = n2, a krug (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ako je r2(1 + k2) =(ka - b + n)2.

- Ako je M(x1 y1) neka tačka kruga (x – a)2 + (y – b)2 = r2 , jednačina tangente kruga u toj tački glasi (x-a) (x1-a) + (y-b) (y1-b) = r2.

14

4. ZADACI

1) Odrediti jednačinu kruga koncentričnog kruga x2 + y2 – 4x – 4x = 8 sa poluprečnikom većim za 1.

15

2) Napisati jednačinu tetive kruga (x – 3)2 + (y – 4)2 = 16 koja prolazi kroz tačku A(5,7), koja je središte tražene tetive.

16

3) Naći jednačine tangente kruga k koje su paralelne pravoj l, ako je x2+ y2

= 5 , l=2x-y+1=0.

4) Naći jednačinu kruga koji date krugove k1, k2, k3 seće pod pravim uglom k1 = (x – 1)2 + (y – 2)2 = 7

k2 = (x – 3)2 + y2 = 5

k3 = (x + 4)2 + (y + 1)2 = 9

S,r - središte i poluprečnik traženog kruga

17

5) Odrediti sve tačke na krugu x2 + y2 = 2 i tako da tangente kruga u tim tačkama grade osu sa x-osom ugao od 1350.

X2+y2=2 C( 0,0 ) x=1350

18

.

19

5. Literatura

1. Matematika 3, Živorad Ivanović, Srđan Ognjenović

2. Zbirka rešenih zadataka iz matematike, mr Vene T. Bogoslavov

20