000013_Sistemas Con Dos Grados de Libertad

Sistemas con dos grados de libertad Pgina: 85

Facultad de Ciencias y Tecnologa

Ingeniera Mecnica - Vibraciones Mecnicas

SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

Detalles Pg.

Coordenadas principales........................................................................................................... 87

Modo normal de vibracin....................................................................................................... 87

Acoplamiento de coordenadas.................................................................................................. 98

Acoplamiento esttico.............................................................................................................. 99

Acoplamiento dinmico........................................................................................................... 100

Acoplamiento esttico dinmico........................................................................................... 101

Ecuacin de Lagrange.............................................................................................................. 102

Ecuacin de Lagrange para una partcula................................................................................. 103

Clculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................ 106

Ecuacin de Lagrange para un sistema de partculas............................................................... 107

Ecuacin de Lagrange para cuerpos rgidos............................................................................. 109

Vibracin armnica forzada..................................................................................................... 113

Absorbedor de vibraciones dinmicas...................................................................................... 115

Vibracin libre amortiguada..................................................................................................... 118

Vibracin forzada con amortiguamiento.................................................................................. 120

Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad, cuando se requieren dos coordenadas para

describir su movimiento. Este sistema es la clave para el estudio de sistemas con varios grados

de libertad.

Si las masas 1m y 2m se restringen a moverse

verticalmente; se necesita por lo menos una coordenada

tx para definir la localizacin de cada una de las masas en

un instante cualquiera, as el sistema necesita en total dos

coordenadas para determinar su posicin (Es de dos grados de

libertad).

K1

m2

K2

m1x1

x2




L1

L2

m1

m2

1

2

y1

y2

x1

x2

Si la masa m se restringe a moverse verticalmente, se necesitan

dos coordenadas para determinar el comportamiento del sistema.

Una de estas coordenadas es un desplazamiento rectilneo tx y

la otra coordenada ser un desplazamiento angular t que tiene

que ver con la rotacin de la masa.

Las dos coordenadas son independientes una de la otra.

Para el sistema de pndulo doble, es claro que se necesitan dos

coordenadas para especificar la posicin de las masas 1m y

2m en un instante cualquiera; por tanto el sistema es de dos

grados de libertad 1x y 2x con 1y , 2y o 1 y 2

son los posibles pares de coordenadas.

Un sistema de dos grados de libertad tiene dos ecuaciones de movimiento, una para cada masa; es

decir, un sistema con dos grados de libertad tendr dos frecuencias naturales.

Las frecuencias naturales se encuentran resolviendo La ecuacin de frecuencia en un sistema

sin amortiguacin o la Ecuacin caracterstica de un sistema amortiguado.

Cuando las masas de un sistema oscilan de tal forma que llegan simultneamente a los

desplazamientos mximos y pasan por sus puntos de equilibrio tambin simultneamente, o sea,

que todas las partes mviles del sistema estn oscilando en fase con una frecuencia. Tal estado se

llama modo normal o modo principal de vibracin.

Cuando la vibracin libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relacin

definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y la configuracin correspondiente es un

modo normal.

x2

K K

(t)

m




Coordenadas principales.

Es posible encontrar un par de coordenadas, tal que cada ecuacin de movimiento contenga

nicamente una cantidad desconocida, entonces cada ecuacin puede resolverse

independientemente una de la otra.

A este par particular de coordenadas se denomina coordenadas principales.

Los dos grados de libertad del sistema tendrn dos modos normales de vibracin

correspondientes a las dos frecuencias naturales.

La vibracin libre iniciada bajo cualquier condicin ser en general la superposicin de los dos

modos normales de vibracin.

Sin embargo, la vibracin armnica forzada ocurrira a la frecuencia de excitacin y la amplitud

de las dos coordenadas tender a un mximo a las dos frecuencias naturales.

Modo normal de vibracin.

Considerando el sistema no amortiguado, usando las coordenadas 1x y 2x , medidas desde

una referencia inercial.

Las ecuaciones del movimiento son:

211 xxKKxxm (1)

22122 KxxxKmx (2)

KKm 2m

x1 x2K

m 2mK(x1 - x2) Kx2Kx1




Se define un modo normal de oscilacin, como uno en el cual cada masa experimenta un

movimiento armnico de la misma frecuencia, pasando simultneamente por la posicin de

equilibrio.

Para tal movimiento se puede escribir:

ti

11 eAx (3)

ti

22 eAx (4)

Derivando (3) y (4)

ti

11 eAix ; ti1

22

1 eAix pero

ti

1

2

1

2eAx1i

ti

22 eAix ;

ti

2

22

2 eAix pero

ti

2

2

2

2eAx1i

Sustituyendo en (1) y (2)

En (1)

ti2ti1ti1ti12 eAeAKeKAeAm

ti211ti

1

2eKAKAKAeAm

211

2KAKA2Am

0KAAmK2 212 (5) En (2)

ti2ti2ti1ti22 eKAeAeAKeAm2

ti21ti

2

2eKA2KAeAm2

212

2KA2KAAm2

0KAAm2K2 122 (6) Formando un sistema con (5) y (6)

022

02

2

2

1

21

2

AmKKA

KAAmK

Estas son ecuaciones lineales homogneas y la solucin A=B=0 define la condicin de equilibrio.

La otra ecuacin se obtiene igualando a cero el determinante.

1A y 2A se satisfacen, si el determinante siguiente es cero




022

22

2

mKK

KmK

Haciendo cambio de variable 2 , el determinante cambia a:

022

2

mKK

KmK

Desarrollando:

0222 2 KmKmK

02244 2222 KmmKmKK

0362 222 KmKm 22m

02

33

2

2

m

K

m

K

Resolviendo:

2

33

2

693

22

m

K

m

K

m

K

m

K

m

K

m

K

m

K366.2

2

331

m

K634.02

Retornando a la variable inicial 2

m

K366.2111

m

K634.0222




m2x2

K2

m1x1

K1

K3

Sustituyendo cada una de estas frecuencias en las condiciones (5) y (6) permite hallar la razn de

las amplitudes.

Para 73.2366.22

1

2366.2

)1(

2

1

2

1

)1(

2

12

1

A

A

mK

K

A

A

m

K

Para 731.0634.02

1

2634.0

)2(

2

1

2

2

)2(

2

12

2

A

A

mK

K

A

A

m

K

1. El sistema libre masa resorte de dos grados de libertad, est restringido a tener oscilaciones

verticales nicamente. Determinar la ecuacin de la frecuencia y las razones de amplitud del

sistema.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Planteando maF a cada cuerpo

1121211 xmxxKxK

2223212 xmxKxxK

Ordenando

0xKxKKxm 2212111 (1)

0xKKxKxm 2321222 (2)

Suponiendo que el sistema es peridico y se compone de movimientos armnicos de diferentes

amplitudes y frecuencias

tsenAx1 (3)

tsenBx2 (4)

m1 m2

K1x1

K2(x1 - x2)

K2(x1 - x2)

K2x2




Donde A, B, son constantes arbitrarias y una de las frecuencias naturales del sistema

Derivando (3) y (4)

tcosAx1

tsenAx 21 (5)

tcosBx2

tsenBx 22 (6)

(5) y (6) en (1) y (2)

0tsenBKtsenAKKtsenAm 2212

1 tsen

0BKAKKAm 2212

1

0BKAmKK 22121 (7)

0tsenBKKtsenAKtsenBm 3222

2 tsen

0BKKAKBm 3222

2

0BmKKAK 22322 (8)

Formando un sistema con (7) y (8)

0BmKKAK

0BKAmKK2

2322

2

2

121

Es una ecuacin lineal homognea: La solucin A=B=0; define la condicin de equilibrio del

sistema.

La otra solucin se obtiene igualando a cero el determinante.

0mKKK

KmKK2

2322

2

2

121

sea 2

Desarrollando el sistema

0KmKKmKK 22232121

0KmmKmKmKmKKKKmKKKK2

2

2

2131212232

2

2123121

Ordenando

0KKKKKKKmKmKmKmmm 323121312122122

21




-2.73

1.0

0KKKKKKKKmKKmmm 3231213212122

21 21mm

0mm

KKKKKK

m

KK

m

KK

21

3231212

2

32

1

2122

(9)

De esta ecuacin saldrn dos frecuencias 1 y 2

La razn de amplitudes o forma modal se obtiene de las ecuaciones (7) y(8)

2

121

2

2

2

121mKK

K

B

ABKAmKK

2

2

232

2

2

232K

mKK

B

AAKBmKK

2

2

1232

2

1121

2

1

1

K

mKK

mKK

K

B

A

2

2

2232

2

2121

2

2

2

K

mKK

mKK

K

B

A

Cualquier vibracin libre puede considerarse como la superposicin de sus modos normales; as

los dos desplazamientos pueden escribirse como:

Llamadas soluciones generales:

2221111 tsenAtsenAx

2221112 tsenBtsenBx

Se puede representar grficamente los dos modos normales:

m

k634.021

m

K366.222

Para la funcin de forma del modo normal, se esa la siguiente notacin:

0.1

731.01 x

0.731 1.0




0.1

73.22 x

2. La figura muestra dos cilindros circulares idnticos de masa m y radio r unidos por medio

de un resorte K. Si los cilindros pueden rodar libremente sobre la superficie horizontal,

deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema.

1211 IrmarxxK

Pero 11 rx

22 rx

2mr

2

1I

22211 mr2

1mrrrrK

0rKrKmr2

32

2

11

2

1

2 2r

22211 IrmarKrxxK

0rrrKrKmr2

32112

2

22

2

0KKm2

321111

1 2

x1 x2

K1 K2

K1(x1 - x2) K2x2




1

x1

2

L

LL

x2

Km

m

0rKrKrKmr2

32

2

11

2

12

2

22

2

3. Encuentre la ecuacin de frecuencia del pndulo acoplado.

IM

12112

11 cosLxxKmgxI

0cosLsenLsenLKsenmgLI 12112

11

Para oscilaciones pequeas

sen 1cos

0LLLKmgLI 2112

11

0KLKLmgLI 2212211 (1)

22122

22 cosLxxKsenL2mgI

0LLLKmgL2I 2122

22

0KLmgL2KLI 2212222 (2)

Sean: tsenAtsenA 211

tsenBtsenB 222

En (1) y (2)

0KKKm2

3112212




L 2L L

m m

1

1

3

2

2

3

T T T

Tx1

x2

Como 2222

1

2mL4L2mImLImRI

0tsenBKLtsenAKLmgLtsenAmL 2222 tsen

0BKLAKLmgLAmL 2222 L

0KLBAmLKLmg 2 (3)

0tsenBKLmgL2tsenAKLtsenBmL4 2222 tsen

0BKLmgL2AKLBmL4 2222

0BmL4KLmg2KLA 2 (4)

0mL4KLmg2KL

KLmLKLmg2

2

Desarrollando

0LKLm4mKL5LKgLm6mgKL3gm22242222222222

0mgKL3gm2mKL5gLm6Lm4 22222422 m

4. En la figura, suponga que la tensin en el alambre permanece constante cuando los ngulos de

oscilacin son pequeos. Deduzca las expresiones de las frecuencias naturales.

121 xmsenTsenT

0gKL3mg2KL5mgL6mL4 22242




Pero 11

1 tangL

xsen

2

21

2 tangL2

xxsen

Por tanto: 0TL2

xxT

L

xxm 2111

0TxTxTx2xmL2 2111

0TxTx3xmL2 211 (1)

232 xmsenTsenT

2

221 xmL

xT

L2

xxT

0TxTxTx2xmL2 2122

0Tx3TxxmL2 212 (2)

Sean: tsenAx1 tsenAx2

1 (3)

tsenBx2 tsenBx2

2

(3) en (1)

0tsenTBtsenTA3tsenAmL2 2 tsen

0TBTA3AmL22

0TB3AmL2T3 2 (4) (3) en (2)

0tsenTB3tsenTAtsenBmL2 2 tsen

0TB3TABmL22

0BmL2T3TA 2 (5)

0mL2T3T

TmL2T32

2

0TmL2T3 222 Diferencia de cuadrados

0TmL2T3TmL2T3 22




mL2

T40mL2T4

22

mL

T0mL2T2

22

5. La masa m suspendida dentro de un marco rgido por medio de cuatro resortes. Determine

las frecuencias naturales de vibracin.

11211 xmxKxK

0xKKxm 1211 (1)

22423 xmxKxK

0xKKxm 2432 (2)

Sean: tsenAx1 tsenAx2

1 (3)

tsenBx2 tsenBx2

2

(3) en (1)

0tsenAKKtsenAm 212 tsenA

0KKm 212

212

KKm

(3) en (2)

0tsenBKKtsenBm 432 tsenB

mL

T21

mL

T2

m

KK 211

mm

K1x1

K2x2

K3x2 K4x2

K2

m

K1

K3 K4




0KKm 432

432

KKm

Acoplamiento de coordenadas.

Las ecuaciones de movimiento para el sistema de dos grados de libertad, estn generalmente

Acopladas en el sentido de que las dos coordenadas aparecen en cada ecuacin.

En el caso ms general, las dos ecuaciones tienen la forma:

0xKxKxmxm 212111212111

0xKxKxmxm 222121222121

Que en forma matricial:

0

0

x

x

KK

KK

x

x

mm

mm

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

Que inmediatamente revela el tipo de acoplamiento presente.

* Existe acoplamiento dinmico o de masa, si la matriz de masas es no diagonal

* Existe acoplamiento esttico o de rigidez, si la matriz de rigidez es no diagonal.

- Dependiendo del sistema de coordenadas elegido, tanto el acoplamiento dinmico y esttico

pueden estar presentes.

- Tambin es posible encontrar un sistema de coordenadas con ninguna forma de acoplamiento.

Cada ecuacin puede ser resuelta independientemente. Tales coordenadas son las

Coordenadas principales (Llamadas tambin coordenadas normales).

m

KK 432




Aunque es posible siempre desacoplar las ecuaciones de movimiento para el sistema no

amortiguado, esto no siempre es posible en el sistema amortiguado.

La siguiente ecuacin matricial muestra un sistema que no tiene acoplamiento esttico ni

dinmico, pero las coordenadas estn acopladas por la matriz de amortiguamiento.

0

0

x

x

K0

0K

x

x

cc

cc

x

x

m0

0m

2

1

22

11

2

1

2221

1211

2

1

22

11

Si se da que 0cc 2112 se dice que el amortiguamiento es proporcional (A la matriz de rigidez

o de masa) y las ecuaciones del sistema se desacoplan.

Ejm. Una barra rgida est soportada por dos resortes 1K y 2K . La figura representa un sistema

de dos grados de libertad, puesto que se requieren dos coordenadas para describir su movimiento.

Acoplamiento esttico:

El centro de masa no coincide con su centro geomtrico

[La decisin de escoger las coordenadas, definir el tipo de acoplamiento que tiene]

xmF

xmLxKLxK 2211

0222111 LKxKLKxKxm

LINEA DE REFERENCIA

OK1(x - L1 )

K2(x - L2 )

x

K1 K2

L1 L2

L1

L2

mg

G




0LKLKxKKxm 112221

IM0

ILLxKLLxK 222111

0LKxLKLKxLKI2

2222

2

1111

0LKLKxLKLKI 2222111122

Formando el sistema:

0LKLKxLKLKI

0LKLKxKKxm2

22

2

111122

112221

En forma matricial:

0

0x

LKLKLKLK

LKLKKKx

I0

0m2

22

2

111122

112221

Por la teora se dice que tiene un acoplamiento esttico. Si 2211 LKLK el acoplamiento

esttico desaparece.

Acoplamiento dinmico:

K2(x - L4 )

L3

K1(x - L3 )

K1

LINEA DE REFERENCIA

L3

L4

mx

x

mgK2

L4

Ge

m (e )

Fuerza de inercia




Existe algn punto C a lo largo de la barra en donde una fuerza aplicada normalmente produce

traslacin pura; es decir:

4231 LKLK

xmF

xmmeLxKLxK 4231

0meLKxKLKxKxm 422311

0LKLKxKKmexm 314221

IM0

IxmeLLxKLLxK 442331

0xmeLKxLKLKxLKI2

4242

2

3131

0LKLKxLKLKxmeI 2422313142

En forma matricial:

0

0x

LKLKLKLK

LKLKKKx

Ime

mem2

42

2

313142

314221

Pero como 4231 LKLK

0

0x

LKLK0

0KKx

Ime

mem2

42

2

31

21

En este caso, las coordenadas elegidas eliminan el acoplamiento esttico e introducen el

dinmico.

Acoplamiento esttico dinmico:

Se obtiene al elegir x en el extremo de la barra.




K2(x - L )

L1

K1x

K1

LINEA DE REFERENCIA

L1

L2

O

K2

G

L

mx = mL1

x

xmF

xmmLLxKxK 121

0LKxKxKmLxm 2211

0LKxKKmLxm 2211

IMA

ILLxKLxm0xK 211

0LKxLKxmLI2

221

0LKLxKxmLI2

221

En forma matricial:

0

0x

LKLK

LKKKx

ImL

mLm2

22

221

1

1

Ecuacin de Lagrange.

Son ecuaciones diferenciales de movimiento, expresadas en trminos de coordenadas

generalizadas.




Ecuacin de Lagrange para una partcula:

Considerando la ecuacin del movimiento de una partcula

amF

De aqu se obtiene tres ecuaciones escalares

zmF

ymF

xmF

z

y

x

(0)

Considerando un desplazamiento virtual: kzjyixr

El trabajo virtual realizado por la fuerza es:

zFyFxFrF zyx

(1)

zzmyymxxmrF

(2)

Sean 321 q,q,q un conjunto de coordenadas generalizadas para la partcula, entonces se tiene:

tqqqxx ,,, 321

tqqqyy ,,, 321 (*)

tqqqzz ,,, 321

Se puede expresar los desplazamientos virtuales z,y,x en trminos de 321 q,q,q

3

3

2

2

1

1

qq

xq

q

xq

q

xx

3

3

2

2

1

1

qq

yq

q

yq

q

yy

3

3

2

2

1

1

qq

zq

q

zq

q

zz

Sustituyendo en (1):

3

3

2

2

1

1

z3

3

2

2

1

1

y3

3

2

2

1

1

x qq

zq

q

zq

q

zFq

q

yq

q

yq

q

yFq

q

xq

q

xq

q

xFrF

3

321

2

321

1

321

qq

zz

q

zy

q

zxmq

q

yz

q

yy

q

yxmq

q

xz

q

xy

q

xxmrF




Como el miembro izquierdo es el trabajo virtual y 321 q,q,q son coordenadas generalizadas, se

llamar a los coeficientes 321 q,q,q fuerzas generalizadas y se designar por 321 Q,Q,Q .

Por tanto:

111

1q

zz

q

yy

q

xxmQ

1

z

1

y

1

x1q

zF

q

yF

q

xFQ

222

2q

zz

q

yy

q

xxmQ

2

z

2

y

2

x2q

zF

q

yF

q

xFQ

333

3q

zz

q

yy

q

xxmQ

3

z

3

y

3

x3q

zF

q

yF

q

xFQ

Ahora se transformar los miembros derechos de estas ecuaciones. Se har solo para el

trmino:1q

xx

111 q

x

dt

dx

q

xx

q

xx

dt

d Derivada de un producto

Despejando:

11 q

x

dt

dx

q

xx

dt

d

q

xx (a)

Derivando (*) 33

2

2

1

1

qq

xq

q

xq

q

xx

11 q

x

q

x

(Se deriva a todos pero 32 qq en este caso son cts..) (b)

111 q

x

dt

dx

qq

x

dt

d

(c)

(b) y (c) en (a)

111 q

xx

q

xx

dt

d

q

xx

22

2

1

2

11

x

q

x

qdt

d

q

xx




Haciendo las transformaciones de las partes derechas ,se llega por ejm. Para 1Q

2

z

2

y

2

x

q2

z

2

y

2

x

qdt

dmQ

222

1

222

1

1

De donde: 11

1q

T

q

T

dt

dQ

Siendo: 222 zyxm2

1T Energa cintica de la partcula

Anlogamente se puede obtener para 32 Q,Q y en general:

3,2,1i (Ecuacin de Lagrange)

Si las fuerzas son conservativas (Las generalizadas) iQ Se tiene:

i

iq

VQ

Donde V es la energa potencial de la partcula y la ecuacin de Lagrange puede escribirse:

iii q

V

q

T

q

T

dt

d

0

iii q

V

q

T

q

T

dt

d

Como V es funcin de iq solamente, 0q

V

i

Sea VTL (Lagrangiano)

Entonces la ecuacin de Lagrange tiene la forma:

Si iQ consiste tanto de fuerzas conservativas como no conservativas, entonces iQ sera:

ii

iq

T

q

T

dt

dQ

0

ii q

L

q

L

dt

d




i

ni

i

iq

EDQ

q

VQ

niQ Parte no conservativa

ED = Energa disipativa ED= 2

2

1xc

Por tanto la ecuacin de Lagrange ser:

Clculo de las fuerzas generalizadas.

Se puede calcular por medio de tres mtodos:

a) A partir de la frmula: i

j3

1j

jiq

xFQ

3,2,1i

1

z

1

y

1

x1q

zF

q

yF

q

xFQ

Ctte.

a) Este mtodo se aplica solamente con fuerzas conservativas; es decir:

1

iq

yQ

Ejm. Deducir la ecuacin de movimiento para las vibraciones libre y forzada de un sistema de un

grado de libertad, que consiste en una masa y un resorte.

Usando la ecuacin de Lagrange de la forma:

ni

ii

Qq

L

q

L

dt

d

(*)

ni

ii

Qq

L

q

L

dt

d

mK

Fcoswt




La energa cintica es: 2xm2

1T

La energa potencial es: 2Kx2

1V

El lagrangiano es: 22 Kx2

1xm

2

1VTL

Encontrando los trminos de (*)

xmxmdt

d

x

L

dt

d

Kxx

L

La fuerza generalizada no conservativa es:

tcosF

0Qnx

Para vibracin libre forzada

Por tanto la ecuacin de movimiento es:

Ecuacin de Lagrange para un sistema de partculas.

Puede extenderse directamente hasta cubrir un sistema de partculas y sea n el nmero de

partculas.

Ntese que se requieren n coordenadas independientes n321 q,...,q,q,q para describir un

sistema de n grados de libertad, donde nn 3 .

1) Forma general.

i

ii

Qq

T

q

T

dt

d

n,...,3,2,1i

Donde

i

j

zj

i

j

yj

i

j

xjiq

zF

q

yF

q

xFQ

2) Sistemas conservativos.

tcosF

0Kxxm

Para vibracin libre - forzada




0q

L

q

L

dt

d

ii

Donde VTL

3) Para la forma alternativa.

ni

ii

Qq

L

q

L

dt

d

T y V son la energa cintica y potencial del sistema de partculas en conjunto.

Ejm. Dos partculas en vibracin libre. Deducir las ecuaciones de movimiento para el sistema de

dos grados de libertad.

Como el sistema es conservativo:

0

q

L

q

L

dt

d

ii

Donde: 11 xq y 22 xq

La energa cintica del sistema es: 2222

11 xm2

1xm

2

1T

La energa potencial del sistema es: 2232

122

2

11 xK2

1xxK

2

1xK

2

1V

El Lagrangiano: 2232

122

2

11

2

22

2

11 xK2

1xxK

2

1xK

2

1xm

2

1xm

2

1L

Para la coordenada 1x :

1221112211

1

1111

1

xxKxK1xxKxKx

L

xmxmdt

d

x

L

dt

d

0xxKxKxm 1221111

K1 K2m1 m2

K3




Para la coordenada 2x :

2312222

2

2222

2

xKxxKxKx

L

xmxmdt

d

x

L

dt

d

0xKxxKxm 2312222

Ecuacin de Lagrange para cuerpos rgidos.

Un cuerpo rgido puede considerarse como un conglomerado de partculas infinitamente grande

distribuidas continuamente.

Usando las energas cintica T y potencial V del cuerpo rgido, de un sistema de cuerpos

rgidos o de un sistema de partculas y cuerpos rgidos.

Ejm. Un disco circular homogneo y uniforme de masa m y radio R est oscilando alrededor

de su posicin de equilibrio. Deducir las ecuaciones del movimiento para la vibracin libre

La energa cintica:

2G

2

G I2

1mV

2

1T

2

xVG

R2xR2x a)

0xKxKKxm 2212111

0xKxKKxm 1223222

K

mR

M coswta

R

R

x/2

`




R

R22

1VG

Como 2mR2

1I (Disco) y

2222222 mR4

1mR

2

1mR

2

1

2

1Rm

2

1T

22mR

4

3T (1)

La energa potencial: 21Kx2

1V

Segn el grfico:

Por proporcionalidad Ra

x

R2

x 1

xR2

Rax1

Pero: RaxR2x 1 (b)

22RaK2

1V (2)

El Lagrangiano es: 2222 RaK2

1mR

4

3L

2

22

RaKL

mR2

3mR

2

3

dt

dL

dt

d

Para vibracin forzada:

tcosMRaKmR2

3 22

1. Usando las ecuaciones de Lagrange, deducir las ecuaciones del movimiento para pequeas

vibraciones del pndulo doble, que consiste en dos cuerpos rgidos suspendidos en O y

articulados en A. Los centros de gravedad son 1G y 2G y los momentos de inercia respecto de

1G y 2G son 1I y 2I respectivamente, siendo las masas 1m y 2m

0RaKmR2

3 22

x1




Sean las coordenadas generalizadas de 1G y 2G

111 senax

111 cosay

2212 senasenLx

2212 cosacosLy

jcosaisenar 11111

(1)

jcosacosLisenasenLr 2212212

(2)

Derivando (1) se obtiene la velocidad

2

11

22

1

2

1

22

1

2

11111111 senacosaVjsenaicosaV

Factorizando: 2121211212212121 aVsencosaV Derivando (2):

jsenasenLicosacosLV 22211222112

jsenasenLicosacosLV 2222112

22211

2

2

Desarrollando y simplificando:

122122

2

2

2

2

1

22

2 cosLa2aLV

La energa cintica del sistema es:

2

2

G

2

G

1

2

G

2

G I2

1mV

2

1I

2

1mV

2

1T

a1

a2

L

G1

G2

O




222122122222212221121211 I2

1cosLa2aLm

2

1I

2

1am

2

1T (3)

La energa potencial es: 21 VVV

2212111 cos1acos1Lgmcos1gamV (4)

12222122112111

cosLamLmIamdt

dT

dt

d

12122221222212

2111

2

11

1

senLamcosLamLmIamT

dt

d

12122221222212221111

senLamcosLamLmamIT

dt

d

2. Deducir las ecuaciones del movimiento para el sistema mostrado en la figura.

Energa Potencial cos1mgLKx2

1V

2 (1)

Energa Cintica 21 TTT

2

1 xM2

1T (*)

Para 2T :

cosLy

senLxx

1

1 jcosLisenLxr

Derivando respecto al tiempo Vr

222 senLcosLxV

1P

MK

L

x1

x

y1




22222222 senLcosLcosxL2xV

222222 cossenLcosxL2xV 2222

LcosxL2xV (a)

Por tanto: 2222 LcosxL2xm2

1T (**)

La energa cintica total es: 2222 mL2

1cosxmLxm

2

1xM

2

1T (2)

Lagrangiano: cos1mgLKx2

1mL

2

1cosxmLxm

2

1xM

2

1T

22222

cossenmLxmxMcosmLxmxMdt

d

x

L

dt

d 2

sencosmLxmMx

L

dt

d 2

Kxx

L

Por tanto: 0KxsencosmLxmM 2

senxcosxLmLmLcosxmLsenxmLmLcosxmLdt

dL

dt

d 22

senmgLsenxmLL

Por tanto: 0senmgLsenxmLsenxcosxLmL

Vibracin armnica forzada.

Considerando un sistema excitado por una fuerza armnica tsenFF 0

0sengcosxL




m1

m2x2

x1

K2

K1

F m1

K2 (x1 - x2)

K1x1

m2

K2 (x1 - x2)

F

De los diagramas de cuerpo libre:

1121211 xmFxxKxK

tsenFxKxKKxm 02212111 (1)

22212 xmxxK

0xKxKxm 221222 (2)

Suponiendo que el movimiento es peridico y se compone de movimientos armnicos de

diferentes amplitudes y frecuencias: Sea uno de los componentes armnicos.

tsenAx1 tsenBx2

tcosAx1 tcosBx2

tsenAx2

1 tsenBx2

2

Reemplazando en (1):

tsenFtsenBKtsenAKKtsenAm 02212

1 tsen

02212

1 FBKAKKAm

Ordenando: 022121 FBKAmKK (3)

Reemplazando en (2)

21

2

221221

4

21

2

220

KKKmKmKmmm

mKFA




0tsenBKtsenAKtsenBm 222

2 tsen

0BmKAK 2222 (4) Formando el sistema:

0BmKAK

FBKAmKK2

222

02

2

121

Resolviendo por determinantes:

222222121

2

220

2

222

2

2

121

2

22

20

KmKmKK

mKF

mKK

KmKK

mK0

KF

A

21

2

221221

4

21

2

220

KKKmKmKmmm

mKFA

212

221221

4

21

2

0

2

121

KKKmKmKmmm

0K

FmKK

B

212

221221

4

21

02

KKKmKmKmmm

FKB

Por tanto la solucin es:

Absorbedor de vibraciones dinmicas.

Es sencillamente un sistema de un grado de libertad, generalmente de la forma simple masa

resorte.

tsenKKKmKmKmmm

mKFx

21

2

221221

4

21

2

220

1

tsen

KKKmKmKmmm

FKx

21

2

221221

4

21

02

2




Cuando a este sistema se adiciona como sistema auxiliar otro sistema de un grado de libertad,

transformar todo el sistema en uno de dos grados de libertad, en dos frecuencias naturales de

vibracin.

Una de las frecuencias naturales est por encima de la frecuencia de excitacin, mientras que la

otra por debajo, de tal forma que la masa principal del sistema completo tendr una amplitud de

vibracin muy pequea, en lugar de una amplitud muy grande bajo la excitacin dada.

Sea una masa M que tiene vibracin forzada. Con el fin de disminuir la amplitud de M

agregar un sistema auxiliar masa-resorte.

El sistema acoplado tiene dos grados de libertad y las ecuaciones de movimiento son:

121211 xMxxKxKF

tsenFxKxKxKxM 02212111

tsenFxKxKKxM 0221211 (1)

2212 xmxxK

0xKxKxm 22122 (2)

aeAsx

Asex

Aex

st2

1

st

1

st

1

beBsx

Bsex

Bex

st2

2

st

2

st

2

(a) y (b) en (1)

tsenFtsenBKtsenAKKtsenMA 02212 tsen

K1

M M

K1

mx2

x1

0F

s

enw

t

F s

enw

t0

K2

M

K1x1

K2 (x1 - x2)

m

K2 (x1 - x2)




02212

FBKAKKMA

02221 FBKAMKK (3)

(a) y (b) en (2)

0tsenBKtsenAKtsenmB 222 tsen

0BKAKmB 222

0BmKAK 222 (4)

Formando un sistema entre (3) y (4)

0BmKAK

FBKAMKK2

22

02

2

21

2222221

2

20

2

22

2

2

21

2

2

20

KmKMKK

mKF

mKK

KMKK

mK0

KF

A

Para anular la vibracin de M, se hace A=0 entonces:

0mK2

2

Por consiguiente se debe disear el absorbedor de modo que su frecuencia natural sea igual a la

frecuencia impresa. (Cuando esto ocurre, la amplitud de M es prcticamente cero).

En general, un absorbedor se usa nicamente cuando la frecuencia natural del sistema original es

casi igual a la frecuencia de la fuerza. Por tanto, m

K

M

K 21 es aproximadamente cierto para el

sistema completo.

m

K 2




Vibracin libre amortiguada.

112122121111 xmxxcxxKxcxK

0xKxcxKKxccxm 222212112111 (1)

22212212 xmxxKxxc

0xxKxxcxm 21221222

0xKxcxKxcxm 1212222222 (2)

Como las componentes de vibracin de un sistema amortiguado no son peridicos, es decir, son

movimientos oscilatorios con amplitudes decrecientes.

aeAsx

Asex

Aex

st2

1

st

1

st

1

beBsx

Bsex

Bex

st2

2

st

2

st

2

Reemplazando (a) y (b) en (1)

0BeKABsecAeKKAsecceAsm st2st

2

st

21

st

21

st2

1 ste

0BKABscAKKAsccAsm 2221212

1

Ordenando: 0BKscAKKsccsm 22212121 (3)

x1

x2

m2

K2c2

m1

K1

c1

m1

K1x1 c1x1

K2 (x1 - x2) c2 (x1 - x2)

m1

c2 (x1 - x2)K2 (x1 - x2)




Reemplazando (a) y (b) en (2)

0AeKAsecBeKBseceBsmst

2

st

2

st

2

st

2

st2

2 ste

0BKscsmAKsc 222222 (4)

Cuando el sistema es homogneo, la solucin nicamente tiene sentido si:

0KscsmKsc

KscKKsccsm

22

2

222

222121

2

1

Desarrollando el determinante:

0KscKscsmKKsccsm 2222222212121 Ecuacin caracterstica.

La solucin de esta ecuacin de to4 grado dar 4 valores de s 4321 s,s,s,s

Por tanto, el movimiento general completo puede expresarse como:

ts4ts

3

ts

2

ts

114321 eAeAeAeAtx

ts4ts

3

ts

2

ts

124321 eBeBeBeBtx

Donde los cuatro coeficientes desconocidos 4321 A,A,A,A .

(Las B no son incgnitas diferentes, puesto que 444111 AB,.....,AB ).

Se hallan de las cuatro condiciones iniciales, a saber: 0x,0x,0x,0x 2121

Las razones de amplitud se hallan de (3) y (4)

i2i22i2

2

i2

21i21

2

ii

2i2

i

i 1

Ksc

Kscsm

KKsccsm

Ksc

B

A

Donde 4,3,2,1i




Vibracin forzada con amortiguamiento.

112122121111 xmFxxcxxKxcxK

tsenFxcxcxKxKxcxKxm 022122212111111

tsenFxKxcxKKxccxm 0222212112111 (1)

22212212 xmxxcxxK

0xcxcxKxKxm 2212221222

0xKxcxKxcxm 1212222222 (2)

Formando el sistema entre (1) y (2)

0xKxcxKxcxm

tsenFKxcxKKxccxm

1212222222

022212112111

La solucin general de estas ecuaciones, consiste en la solucin general de la ecuacin

homognea y una solucin particular de las ecuaciones no homogneas.

x1 F

se

nw

t

m1

K1

c1

0

x2

m2

K2c2

m1

K1x1 c1x1

K2 (x1 - x2) c2 (x1 - x2)

m1

c2 (x1 - x2)K2 (x1 - x2)




La solucin homognea representa una vibracin amortiguada (No tiene inters en el estudio de

problemas del absorbedor dinmico amortiguado, ya que esta vibracin se amortigua

rpidamente).

La solucin particular de las ecuaciones no homogneas, que representa la vibracin forzada se

halla haciendo:

tsenBtcosAx 111

tsenBtcosAx 222

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000013_Sistemas Con Dos Grados de Libertad