001 Electro Tec Nia

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGA

CARRERA DE INGENIERA CIVIL

MATERIAL DE APOYO DIDCTICO A LA ENSEANZA Y APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA DE ELECTROTECNIA

CIV-270

Proyecto de Grado, Por Adscripcin, Presentado Para Optar al Diploma Acadmico de

LICENCIADO EN INGENIERA CIVIL .

PRESENTADO POR:

ALBERTO ALEX RIVAS FERRUFINO

FRED PABLO LOBATON SEVERICH

TUTOR : Ing. Msc. Alberto Arispe Santander

Cochabamba Bolivia Marzo 2007

DEDICACIN Dedico este trabajo:

A mi mam Adriana. Ferrufino Vda. De

Rivas

A mi hermano y flia. Jaime y Mirtha.

A mi hijita Brenda Rivas

A mi enamorada Ximena Quiones

Alex

AGRADECIMIENTOS Gracias principalmente a Dios por

darme la vida para poder llegar a esta

etapa y poder concluir con un anhelo

que son mis estudios, aunque muy

consiente de que esto es el final de una

carrera pero no del estudio mismo.

Gracias por traer a este

mundo a seres tan queridos y amorosos,

ya que sin su ayuda esto no se hara

realidad.

Gracias Dios Mo

Gracias a mis queridos papas Adriana y

Alberto (+) por traerme a este mundo.

Gracias a mi enamorada Ximena por

estar a

mi lado, ayudarme, entenderme y tener

paciencia, an en los momentos ms

difciles .

Gracia a mi hermano Jaime y mi cuada

Mirtha por colaborarme sin ningn

inters.

Gracias a mis Docentes por ensearme

y a mis compaeros por compartir

conmigo.

Gracias a mi tutor Ing. Alberto Arispe

Santander

por su tiempo y dedicacin.

Gracias a mis tribunales Ing. Walter

Cossio,

Ing. Ral Catari y al Ing. Fernando

Choque

Gracias al Ing. Julio Medina por su

colaboracin.

Finalmente gracias a todas las personas

que me ayudaron a llegar a esta etapa

final de mi carrera y al principio de un

nuevo reto.

Muchas Gracias! Alex

DEDICATORIA

Este trabajo lo dedico

a:

Mi hijita Keyleen Sara,

por ser la personita que me

impulsa e inspira a seguir

adelante y ser mejor.

Fred Pablo.

AGRADECIMIENTOS

A Dios por darme la vida y

fortalecerme espiritual y

moralmente logrando llegar a esta

etapa tan importante de mi vida.

Por haberme dado la gracia

de la sabidura y cumplir el

sueo y anhelo de ser

profesional.

A mis padres Costa y Paulino

por el amor, apoyo y dedicacin

que me brindan.

A mis suegros Jos y Lourdes

por el apoyo, amistad y cario

incondicional que me ofrecen.

A mi esposa Yhamel que

siempre me apoyo, con cario y

dedicacin, en los momentos mas

difciles dndome el aliento y la

fuerza para seguir adelante.

A mis hermanas Soledad, Melvi y

en especial a Blanca que siempre

me apoyaron en todo lo que

pudieron.

A mis cuados por ser amigos

y brindarme su apoyo en todo

momento.

A mis docentes por haberme

forjado con dedicacin esmero y

mucha paciencia.

A la Universidad Mayor de

San Simn por acogerme en sus

aulas dndome la oportunidad de

superacin.

A mi tutor Ing. MSc.

Alberto Arispe Santander por

haber confiado en m para

realizar este trabajo,

transmitindome toda su

experiencia y sabidura con mucha

paciencia y comprensin.

Muchas Gracias!

Fred Pablo.

AGRADECIMIENTOS

Gracias principalmente a Dios por

darme la vida para poder llegar a esta

etapa y poder concluir con un anhelo

que son mis estudios, aunque muy

consiente de que esto es el final de una

carrera pero no del estudio mismo.

Gracias por traer a este

mundo a seres tan queridos y amorosos,

ya que sin su ayuda esto no se hara

realidad.

Gracias Dios Mo

Gracias a mis queridos papas Adriana y

Alberto (+) por traerme a este mundo.

Gracias a mi enamorada Ximena por

estar a

mi lado, ayudarme, entenderme y tener

paciencia, an en los momentos ms

difciles .

Gracia a mi hermano Jaime y mi cuada

Mirtha por colaborarme sin ningn

inters.

Gracias a mis Docentes por ensearme

y a mis compaeros por compartir

conmigo.

Gracias a mi tutor Ing. Alberto Arispe

Santander

por su tiempo y dedicacin.

Gracias a mis tribunales Ing. Walter

Cossio,

Ing. Ral Catari y al Ing. Fernando

Choque

Gracias al Ing. Julio Medina por su

colaboracin.

Finalmente gracias a todas las personas

que me ayudaron a llegar a esta etapa

final de mi carrera y al principio de un

nuevo reto.

Muchas Gracias!

Alex

AGRADECIMIENTOS

A Dios por darme la vida y

fortalecerme espiritual y

moralmente logrando llegar a esta

etapa tan importante de mi vida.

Por haberme dado la gracia

de la sabidura y cumplir el

sueo y anhelo de ser

profesional.

A mis padres Costa y Paulino

por el amor, apoyo y dedicacin

que me brindan.

A mis suegros Jos y Lourdes

por el apoyo, amistad y cario

incondicional que me ofrecen.

A mi esposa Yhamel que

siempre me apoyo, con cario y

dedicacin, en los momentos mas

difciles dndome el aliento y la

fuerza para seguir adelante.

A mis hermanas Soledad, Melvi y

en especial a Blanca que siempre

me apoyaron en todo lo que

pudieron.

A mis cuados por ser amigos

y brindarme su apoyo en todo

momento.

A mis docentes por haberme

forjado con dedicacin esmero y

mucha paciencia.

A la Universidad Mayor de

San Simn por acogerme en sus

aulas dndome la oportunidad de

superacin.

A mi tutor Ing. MSc.

Alberto Arispe Santander por

haber confiado en m para

realizar este trabajo,

transmitindome toda su

experiencia y sabidura con mucha

paciencia y comprensin.

Muchas Gracias!

Fred Pablo.

FICHA RESUMEN

El presente trabajo por Adscripcin, logr el propsito de elaborar el texto oficial de

la Materia Electrotecnia CIV - 270, del Departamento de Ingeniera Civil de la Facultad de

Ciencias y Tecnologa de la Universidad Mayor de San Simn. El contenido del texto se

basa en los contenidos mnimos aprobados para la materia y fue definido por el docente

titular de la materia.

La carrera de Ingeniera Civil, empeada en modernizar sus sistemas de enseanza

aprendizaje establece como prioridad la aplicacin de nuevas metodologas en los que el

estudiante sea el elemento central del proceso, de manera que se puedan mejorar sus

actitudes respecto a la solucin de problemas reales. Es decir cambiar el enfoque tradicional

de enseanza aprendizaje a un enfoque problemtico. En tal sentido establece como

estrategia el Desarrollo de Instrumentos Acadmicos (Textos, Programas computacionales,

Informacin de Internet, etc.), que sern preparados por estudiantes egresados dentro el

programa de Titilacin por Adscripcin, para ser implementado en la asignatura.

El presente trabajo realizado tiene por objetivo general, mejorar la enseanza en

cuanto al aprendizaje de los estudiantes que estn cursando la materia ya que en seis

captulos ampliamente descritos se podra tener un mejor conocimiento de los temas que en

el desarrollo de dicho trabajo se va mencionando.

La descripcin de cada capitulo de este trabajo es claro y sencillo de comprender, puesto

que la bibliografa que se obtuvo son de libros bastante conocidos y de muy buen

antecedente bibliogrfico, en algunos casos los datos se sacaron de Internet, es por eso que

la bibliografa que se tiene en este trabajo es de una calificada fuente bibliogrfica.

El trabajo est complementado por un archivo presentado en PowerPoint para

ampliar y desarrollar los conocimientos que el docente de dicha materia ensea a sus

alumnos.

Y por ultimo la realizacin de dicho trabajo tiene un desarrollo general, claro y muy

detalladamente explicado con relacin a los siguientes temas: Introduccin a la tecnologa

de la electricidad, circuitos de corriente continua, circuitos de corriente alterna,

instalaciones elctricas, maquinas elctricas y energa elctrica. Los cuales son claramente

explicados en cada capitulo de este trabajo.

APOYO DIDCTICO PARA ELECTROTECNIA

UMSS CIV - 270

INDICE

UNIDAD N 1 INTRODUCCIN A LA TECNOLOGA DE LA ELECTRICIDAD

1.1 Introduccin...... 1

1.2 Generalidades............................................................................................................ 1

1.3 Introduccin a los circuitos elctricos....................................................................... 2

1.3.1 Corriente elctrica.................................................................................. 3

1.3.1.1 Tipos de corriente elctrica......................................................... 5

1.3.2 Diferencia de potencial.............................................................................. 6

1.3.3 Cada de tensin......................................................................................... 7

1.3.3.1 Corriente continua.. 8

1.3.3.2 Corriente alterna..... 8

1.3.4 Concepto de polaridad............................................................................... 11

1.3.5 Resistencias................................................................................................ 12

1.3.6 Fuentes....................................................................................................... 12

1.4 Elementos de medicin............................................................................................. 15

1.4.1 Ampermetros............................................................................................ 15

1.4.2 Voltmetros................................................................................................ 16

1.5 Concepto de tierra..................................................................................................... 18

UNIDAD N 2 CIRCUITOS ELCTRICOS DE CORRIENTE CONTINUA

2.1 Conceptos bsicos.... 19

2.1.1 Unidades, definiciones, leyes experimentales y circuitos simples... 19

2.1.2 Carga. 20

2.1.3 Corriente 22

2.1.4 Voltaje... 23

2.1.5 Potencia. 24

2.1.6 Circuito elctrico... 26

2.1.7 Cipos de circuitos y elementos de circuitos.. 26

2.2 Ley de ohm.. 29

2.3 Leyes de kirchoff.... 31

2.3.1 Resistencia equivalente.... 34

2.4 Divisores.... 44

2.4.1 Divisor de corriente.. 44

2.4.2 Divisor de tensin.... 45

2.5 Mtodos para el anlisis de circuitos. 45

2.5.1 Anlisis de nodos. 46

2.5.2 Anlisis de mallas... 47

2.6 Teorema de superposicin.. 52

2.7 Teorema de Thvenin..... 56

2.8 Teorema de Norton.... 59


UMSS CIV - 270

UNIDAD N 3 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

3.1 Conceptos bsicos ... 73

3.1.1 Corriente alterna (ca). 73

3.1.1.2 Tipos de corriente alterna (regmenes)... 74

3.1.2 Voltaje pico-pico:(vpp). 74

3.2 Generacin de corriente alterna... 74

3.3 Corriente alterna sinusoidal..... 75

3.3.1 Representacin vectorial....... 75

3.3.2 Resistencia en los circuitos ca.. 76

3.3.3 Valor instantneo, mximo, medio y eficaz... 76

3.4 Condensador. 78

3.4.1 Asociacin de condensadores 82

3.5 Bobinas. 85

3.6 Circuitos monofsicos.. 90

3.6.1 Circuitos RL en serie.... 90

3.6.1.1 Resolucin del circuito RL mediante trigonometra.. 91

3.6.2 Circuito RC en serie.. 92

3.6.2.1 Resolucin del circuito RC mediante trigonometra... 92

3.6.3 Circuito serie RLC..... 94

3.6.3.1 Circuito paralelo RLC... 95

3.6.3.2 Circuito con parmetro R.. 97

3.6.4 Potencia elctrica 98

3.6.4.1 Medida de potencia en corriente continua 98

3.6.4.2 Medida de potencia en CA monofsica.. 100

3.6.4.3 Corriente alterna de un circuito resistivo puro. 103

3.6.4.4 Potencia de una reactancia inductiva. 104

3.6.4.5 Potencia de un circuito capacitivo puro. 104

3.6.5 Factor potencia 105

3.7 Sistemas trifsicos.. 106

3.7.1 Caractersticas generales.. 107

3.7.1.1 Tensin de lnea y fase. 112

3.7.1.2 Corriente de lnea fase.. 114

3.7.1.2.1 Conexin trifsica en estrella. 114

3.7.2 Potencia en los sistemas trifsicos... 116

3.7.3 Factor de potencia en sistemas trifsicos.. 117

UNIDAD N 4 INSTALACIONES ELECTRICAS

4.1 Introduccin.. 118

4.2 Elementos bsicos de los circuitos elctricos... 118

4.2.1 Conductores.... 118

4.2.2 Conductor... 118

4.2.3 Resistencia de los metales.. 119


UMSS CIV - 270

4.2.4 Partes que componen los conductores elctricos.. 119

4.2.5 Uniones elctricas o empalmes.... 124

4.2.5.1 Tipos de uniones.... 124

4.2.5.2 Accesorios para uniones.... 125

4.3 La incandescencia... 126

4.4 Lmparas .... 128

4.4.1 Tipos de lmparas. 128

4.5 Instalaciones residenciales... 137

4.5.1 Conceptos bsicos. 137

4.5.1.1 Acometida 137

4.5.1.2 Tablero de medicin... 137

4.5.1.3 Circuito principal 139

4.5.1.4 Tablero de distribucin... 139

4.5.1.5 Circuitos secundarios.. 139

4.5.1.6 Cargas elctricas. 139

4.5.1.7 Intercomunicador 139

4.6 Calculo de la instalacin residencial.... 139

4.7 Clculos en instalaciones elctricas residenciales... 140

4.7.1 Calculo de la acometida 140

4.7.2 Calculo de conductores del alimentador principal.... 140

4.8 Conexionado de circuitos. 140

4.8.1 Conexin de un tomacorriente bipolar.. 140

4.8.2 Conexin de un punto de luz. 141

4.8.3 Conexin de un punto de luz con dos conmutadores 141

4.9 Luminotecnia. 142

4.9.1 Iluminacin de interiores 142

4.9.1.1 Calculo de instalaciones para alumbrado de interiores 151

4.9.1.1.1 Mtodo de los lmenes 151

4.9.1.1.2 Mtodo del punto por punto. 157

4.9.2 Iluminacin de exteriores... 166

4.9.2.1 Alumbrado de vas publicas.... 166

4.9.2.1.1 Mtodo de los lmenes o del factor de utilizacin.. 179

4.10 Demanda mxima...... 188

4.10.1 Niveles de consumo de instalaciones domiciliarias ... 188

4.10.2 Determinacin de la demanda mxima en instalaciones domiciliarias 189

4.10.2.1 Potencia instalada de iluminacin. 189

4.10.2.2 Potencia instalada en tomacorrientes.... 190

4.10.2.3 Potencia instalada en fuerzas 190

4.10.3 Calculo de la demanda mxima... 191

4.11 Calculo de la seccin del conductor... 194

4.12 Dispositivos de maniobra y proteccin... 195

4.12.1 Nociones bsicas, terminologa y simbologa.. 196

4.13 Terminologa... 196

4.14 Simbologa.. 198

4.15 Caractersticas de riesgo. 207

4.15.1 Riesgos probables que se pueden originar... 207

4.15.2 Sistemas de proteccin. 209


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4.15.2.1 Aspectos fundamentales... 209

4.15.3 Proteccin para la manipulacin y transporte de energa.... 211

4.15.4 Proteccin personal.. 211

4.15.5 Proteccin laboral. 211

4.16 Consideraciones para un proyecto de instalacin elctrica... 212

4.16.1 Plano de cableado. 212

4.16.2 Plano de ductos..... 212

4.16.3 Plano de instalaciones unifamiliares 215

UNIDAD N 5 MAQUINAS ELECTRICAS

5.1 Generalidades de los transformadores.. 216

5.2 El transformador ... 216

5.2.1 Transformador ideal ...... 218

5.2.2 Transformador no ideal de ncleo real ..... 219.

5.2.3 Potencia en un transformador ideal... 220

5.2.4 Transformacin de la impedancia mediante un transformador.. 221

5.2.5 Transformador monofsico.... 222

5.2.5.1 Transformador real.. 222

5.2.6 Funcionamiento del transformador con carga.... 223

5.2.6 Funcionamiento en paralelo.. 223

5.2.7 Transformador trifsico..... 224

5.2.7.1 Circuitos equivalentes..... 224

5.2.8 Conexiones trifsicas..... 225

5.2.8.1 Conexiones de transformador trifsico... 225

5.3 Utilizacin de la energa elctrica.... 225

5.3.1 Introduccin...... 225

5.3.2 Fuerza motriz.... 225

5.3.3 Motores.. 226

5.3.3.1 Motores de corriente alterna... 226

5.3.3.2 Maquinas de corriente continua.. 239

5.4 Maquinas elctricas en el campo de la ingeniera civil.... 243

5.4.1 Introduccin.. 243

5.4.2 Bombas de agua. 247

5.4.2.1 Clasificacin de las bombas 247

5.4.2.2. Tipos de bombas centrfugas.. 248

5.4.2.4 Seleccin de la bomba.... 249

5.4.2.5 Curva caracterstica de la bomba. 251

5.4.2.6 Otra alternativa de eleccin de la bomba. 253

5.4.2.7 Vlvulas de control. 254

5.4.3 Vibradores para hormign. 258

5.4.3.1 Tipos de vibracin de hormign.... 259

5.4.3.2 Conceptos genricos vibradores internos... 260

5.4.3.3 Vibradores Externos........... 271

5.4.3.4 La vibradora.... 273

5.4.3.5 Aire ocluido en el hormign... 275


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5.4.3.6 Objetivo de la vibracin del hormign respecto del aire.... 275

5.4.3.7 Vibracin del hormign: sus efectos.. 275

5.4.3.8 Relacin entre vibrado y fluidez..... 276

5.4.3.9 Frecuencias de vibracin y tamao de partculas... 276

5.4.3.10 Tipos de vibradores...... 277

5.4.4 Mezcladoras de hormign.. 278

5.4.5 Escaleras mecnicas... 286

5.4.6 Ascensores.. 289

5.4.7 Montacargas... 298

5.4.7.1 Clculo de la potencia del motor para plena carga..... 298

5.4.7.2 Mecanismo de traslacin. 300

UNIDAD N 6 ENERGIA ELECTRICA

6.1 Introduccin.............................................................................................................. 302

6.2 Centrales y produccin elctrica............................................................................... 302

6.2.1 Sistemas de produccin elctrica........................................................................... 302

6.2.2 Caractersticas generales de una central hidrulica............................................... 303

6.2.2 1Elementos de una Central hidrulica... 305

6.2.3 Centrales elctricas trmicas................................................................................ 315

6.3 Generadores.............................................................................................................. 329

6.3.1 Dinamo....................................................................................................... 329

6.3.2 Generador de corriente alterna................................................................... 331

6.3.3 Subestacin elctrica.................................................................................. 332

6.4 Transporte y distribucin de energa elctrica.......................................................... 332

6.4.1 Introduccin............................................................................................... 332

6.4.2 Canalizaciones elctricas........................................................................... 333


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UNIDAD N 1

INTRODUCCIN A LA TEORIA DE LA ELECTRICIDAD 1.1 INTRODUCCION 1.2. GENERALIDADES La electricidad es un fenmeno fsico originado por cargas elctricas estticas o en movimiento y por su interaccin. Cuando una carga se encuentra en reposo produce fuerzas sobre otras situadas en su entorno. Si la carga se desplaza produce tambin fuerzas magnticas. Hay dos tipos de cargas elctricas, llamadas positivas y negativas. La electricidad est presente en algunas partculas subatmicas. La partcula fundamental ms ligera que lleva carga elctrica es el electrn, que transporta una unidad de carga. Los tomos en circunstancias normales contienen electrones, y a menudo los que estn ms alejados del ncleo se desprenden con mucha facilidad. En algunas sustancias, como los metales, proliferan los electrones libres. De esta manera un cuerpo queda cargado elctricamente gracias a la reordenacin de los electrones. Un tomo normal tiene cantidades iguales de carga elctrica positiva y negativa, por lo tanto es elctricamente neutro. La cantidad de carga elctrica transportada por todos los electrones del tomo, que por convencin son negativas, esta equilibrada por la carga positiva localizada en el ncleo. Si un cuerpo contiene un exceso de electrones quedar cargado negativamente. Por lo contrario, con la ausencia de electrones un cuerpo queda cargado positivamente, debido a que hay ms cargas elctricas positivas en el ncleo La energa elctrica es la forma de energa que resulta de la existencia de una diferencia de potencial entre dos puntos, lo que permite establecer una corriente elctrica entre ambos cuando se los pone en contacto por medio de un conductor elctrico, y obtener trabajo. La energa elctrica puede transformarse en muchas otras formas de energa, tales como la energa luminosa o luz, la energa mecnica y la energa trmica. La generacin de energa elctrica se lleva a cabo mediante tcnicas muy diferentes. Las que suministran las mayores cantidades y potencias de electricidad aprovechan un movimiento rotatorio para generar corriente continua en una dinamo o corriente alterna en un alternador. El movimiento rotatorio resulta a su vez de una fuente de energa mecnica directa, como puede ser la corriente de un salto de agua o la producida por el viento, o de un ciclo termodinmico. La generacin de energa elctrica es una actividad humana bsica, ya que est directamente relacionada con los requerimientos actuales del hombre. Todas la formas de utilizacin de las fuentes de energa, tanto las habituales como las denominadas alternativas o no convencionales, agreden en mayor o menor medida el ambiente, siendo de todos modos la energa elctrica una de las que causan menor impacto. Cada vez que se acciona un interruptor, se cierra un circuito elctrico y se genera el movimiento de electrones a travs del cable conductor. Las cargas que se desplazan forman parte de los tomos de la sustancia del cable, que suele ser metlica, ya que los metales al disponer de mayor cantidad de electrones libres que otras sustancias son los mejores


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conductores de la electricidad. La mayor parte de la energa elctrica que se consume en la vida diaria proviene de la red elctrica a travs de las tomas llamadas enchufes, a travs de los que llega la energa suministrada por las compaas elctricas a los distintos aparatos elctricos (lavadora, radio, televisor, etc.) que se desea utilizar, mediante las correspondientes transformaciones; por ejemplo, cuando la energa elctrica llega a un aparto elctrico se puede convierte en energa mecnica, calrico, etc. gracias al motor elctrico y a las distintas piezas mecnicas del aparato. En la ingeniera civil de forma particular la energa elctrica tiene una participacin muy importante, ya que gracias a los adelantos tecnolgicos, esta cuenta con un sin numero de herramientas, que facilitan y optimizan los trabajos de ingeniera, y que dependen de la energa elctrica, estos equipos dependiendo de su utilizacin pueden ser muy variados, tales como: teodolitos, niveles, GPSs, estaciones totales y otros mas, que al funcionar con bateras estn vinculados con la corriente continua (CD. o CC.). Existen tambin muchas herramientas que dependen de la corriente alterna (CA) ya que utilizan un motor, para su funcionamiento tales como: mezcladoras, guinches, vibradores, cierras circulares, cintas transportadoras, montacargas, etc. Inversamente la ingeniera Civil tiene una participacin importante en la generacin de energa elctrica, ya que para este proceso es necesario contar con obras civiles tales como la construccin de represas, canales, obras tomas, vertederos de excedencias, etctera. 1.3. INTRODUCCION A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS[14][3*] Un circuito elctrico es el recorrido por el cual circulan los electrones, consta bsicamente de: en generador (que proporciona energa, por ejemplo una batera), un conductor ( medio en el que se transporta la energa, por ejemplo un alambre de cobre), un elemento de maniobra ( por ejemplo un interruptor, pulsador, etc.) y un receptor (elemento consumidor de la energa, por ejemplo una bombilla, motor, timbre, etc.) tal como se muestra en la figura 1:

Figura 1.1


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1.3.1. CORRIENTE ELECTRICA[10] El concepto de carga elctrica constituye el principio fundamental que explica todos los fenmenos elctricos. Adems, la cantidad mas bsica en un circuito elctrico es la carga elctrica. Podemos experimentar este fenmeno cuando tratamos de quitarnos un suter de lana y este se pega a nuestro cuerpo. El termino corriente elctrica, o simplemente corriente, se emplea para describir la tasa de flujo de carga que pasa por alguna regin de espacio. Por ejemplo, la batera que suministra corriente al filamento de una bombilla cuando el interruptor se conecta. En estas situaciones comunes, el flujo de carga fluye por un conductor, por ejemplo, un alambre de cobre. Es posible tambin que existan corrientes fuera de un conductor. Por ejemplo, un haz de electrones en el tubo de imagen de una TV constituye una corriente. La fuerza que impulsa a los electrones a moverse se debe a la diferencia de potencial o tensin que existe entre dos puntos diferentes, si la tensin es muy alta, los electrones pueden pasar de un cuerpo al otro a travs del aire, por ejemplo, el rayo. En cambio, si la tensin es baja, los electrones necesitan ciertos materiales, llamados conductores, para pasar de un cuerpo a otro. Los conductores ms importantes son los metales. La tierra es un inmenso conductor que, dado que tiene tantos tomos, puede ganar o perder electrones sin electrizarse. Por esto, si un cuerpo electrizado se conecta a tierra, se produce una corriente elctrica, hasta que el cuerpo se descarga.

Un cuerpo neutro tiene potencial elctrico nulo. Un cuerpo con carga positiva (dficit de electrones) tiene potencial positivo. Un cuerpo con carga negativa (exceso de electrones) tiene potencial negativo.

Siempre que se mueven cargas elctricas de igual signo se establece una corriente elctrica. Para definir la corriente de manera ms precisa, suponga que las cargas se mueven perpendiculares a una superficie de rea A, como en la figura 1.2 (Esta sera por ejemplo la seccin transversal de un alambre).

Figura 1.2

La corriente es la tasa a la cual fluye la carga por esta superficie. Si Q es la cantidad de carga que pasa por esta rea en un intervalo de tiempo t, la corriente promedio, Ipro, es igual a la carga que pasa por A por unidad de tiempo como se ve en la figura 1.3.


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Figura 1.3

La figura muestra cargas en movimiento a travs de un rea A. La tasa de flujo de carga en el tiempo a travs del rea se define como la corriente I. la direccin a la cual la carga positiva fluira si tuviera libertad de hacerlo.

t

QI

=

(1.1) Si la tasa a la cual fluye la carga vara en el tiempo, la corriente tambin vara en el tiempo, y definimos a la corriente instantnea I como el lmite diferencial de la ecuacin:

dt

dQI =

(1.2)

La unidad de corriente del Sistema Internacional es el ampere (A).

s

CA

1

11 =

(1.3)

Es decir que 1A (Amperio) de corriente es equivalente a 1C (Coulomb) de carga que pasa por el rea de la superficie en 1s (Segundo) as como se muestra en la figura 1.4

Figura 1.4 En la figura 1.4 se muestra una seccin de una conductor uniforme de rea de seccin transversal A. los portadores de carga se mueven con una velocidad vd y la


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distancia que recorren en un tiempo t esta dada por x = vdt. El nmero de portadores de cargas mviles en la seccin de longitud x est dado por nAvdt , donde n es el nmero de portadores de carga mviles por unidad de volumen. Las cargas que pasan por la superficie en la figura anterior pueden ser positivas negativas o de ambos signos. Es una convencin dar a la corriente la misma direccin que la del flujo de carga positiva. En un conductor como el cobre la corriente se debe al movimiento de electrones cargados negativamente. Por lo tanto, cuando hablamos de corriente en un conductor ordinario, como un alambre de cobre, la direccin de la corriente es opuesta a la direccin del flujo de los electrones. Por otra parte, si se considera un haz de protones cargados positivamente en un acelerador, la corriente est en la direccin del movimiento de los protones. En algunos casos gases y electrolitos, por ejemplo la corriente es el resultado del flujo tanto de cargas positivas como negativas. Es comn referirse a una carga en movimiento (ya sea positiva o negativa) como un portador de carga mvil. Por ejemplo, los portadores de carga en un metal son los electrones. Es til relacionar la corriente con el movimiento de partculas cargadas. Para ilustrar este punto, considere la corriente en un conductor de rea de seccin transversal A El volumen de un elemento del conductor de longitud x ( regin sombreada en la figura 1.4 ) es A x. Si n representa el nmero de portadores de carga mvil por unidad de volumen, entonces el nmero de portadores de carga mvil en el elemento de volumen es nA x Por lo tanto, la carga Q en este elemento es

Q= Numero de cargas x carga por partcula = (nA x)q

Donde q es la carga en cada partcula. Si los portadores de cargas se mueven con una velocidad vd la distancia que se mueven en un tiempo t es x = vdt. En consecuencia, podemos escribir q en la forma Q = (nAvdt)q (1.4) Si dividimos ambos lados de la ecuacin por t, vemos que la corriente en el conductor est dada por

Anqvt

QI d=

= (1.5)

1.3.1.1. TIPOS DE CORRIENTE ELCTRICA En la prctica, los dos tipos de corrientes elctricas ms comunes son: corriente directa (CD) o continua y corriente alterna (CA). La corriente directa circula siempre en un solo sentido, es decir, del polo negativo al positivo de la fuente de fuerza electromotriz (FEM) que la suministra. Esa corriente mantiene siempre fija su polaridad (figura 1.5), como es el caso de las pilas, bateras y dinamos.


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Grfico de una corriente directa (C.D.) o continua (C.C.).

Figura 1.5

Grfico de la corriente alterna senoidal (C.A.)

Figura 1.6

La corriente alterna (fig. 1.6) se diferencia de la directa en que cambia su sentido de circulacin peridicamente y, por tanto, su polaridad. Esto ocurre tantas veces como frecuencia en hertz (Hz) tenga esa corriente. A la corriente directa (C.D.) tambin se le llama" corriente continua" (C.C.). La corriente alterna es el tipo de corriente ms empleado en la industria y es tambin la que consumimos en nuestros hogares. La corriente alterna de uso domstico e industrial cambia su polaridad o sentido de circulacin 50 60 veces por segundo, segn el pas de que se trate. Esto se conoce como frecuencia de la corriente alterna. En los pases de Europa la corriente alterna posee 50 ciclos o hertz (Hz) por segundo de frecuencia, mientras que los en los pases de Amrica la frecuencia es de 60 ciclos o hertz 1.3.2 DIFERENCIA DE POTENCIAL[14] El potencial elctrico en un punto es el Trabajo o fuerza electromotriz externa (fem) requerido para mover una carga unitaria (trabajo por unidad de carga) desde el punto mas negativo (potencial bajo) al mas positivo (potencial alto) o hasta el infinito, donde el potencial es 0.


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La diferencia de potencial o diferencia de potencia entre dos puntos (1 y 2) de un campo elctrico es igual al trabajo que realiza dicho unidad de carga positiva para transportarla desde el punto 1 al punto 2 es independiente del camino recorrido por la carga (campo conservativo) y depende exclusivamente del potencial de los puntos 1 y 2, en el campo; se expresa por la frmula:

rEVV *21 = (1.6) donde: V1 - V2 es la diferencia de potencial E es la Intensidad de campo en newton/culombio r es la distancia en metros entre los puntos 1 y 2 Igual que el potencial, en el Sistema Internacional de Unidades la diferencia de potencial se mide en voltios. Si dos puntos que tienen una diferencia de potencial se unen mediante un conductor, se producir un flujo de corriente elctrica. Parte de la carga que crea el punto de mayor potencial se trasladar a travs del conductor al punto de menor potencial y, en ausencia de una fuente externa (generador), esta corriente cesar cuando ambos puntos igualen su potencial elctrico (Ley de Henry). Este traslado de cargas es lo que se conoce como corriente elctrica.

Polaridad de una diferencia de potencial.

Figura 1.7 La diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito, se le suele denominar tambin como cada de tensin. Cuando por dichos puntos puede circular una corriente elctrica, la polaridad de la cada de tensin viene determinada por la direccin convencional de la misma, esto es, del punto de mayor potencial al de menor. Por lo tanto, si por la resistencia R de la figura 1.7 circula una corriente de intensidad I, desde el punto A hacia el B, se producir una cada de tensin en la misma con la polaridad indicada y se dice que el punto A es ms positivo que el B como se muestra en la figura 1.7 Que dos puntos tengan igual potencial elctrico no significa que tengan igual carga. 1.3.3. CAIDA DE TENSION [12*] Tambin conocida como bajada de tensin, la cada es una disminucin en los niveles de tensin por perodos breves. ste es el problema energtico ms comn.


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1.3.3.1 Corriente continua Esquema Unifilar:

Esquema Bifilar:

En una lnea de c.c. un conductor de seccin s y longitud 2*L, presenta una resistencia R de valor:

[ ]

=S

LR

V

PI = (1.7)

Originando una cada de tensin: RIV 2= , si reemplazamos R tendremos:

s

ILV

***2 = (1.8)

Donde: P = Potencia (V) V = Tensin final (V) Vo= Tensin origen (V) I = Intensidad (A) L = Longitud (m) S = Seccin de conductor (mm2) R = Resistencia de la lnea = Resistividad (mm2/m) (=Volt/A) (Cu) = 1/57, (Al) = 1/36 V = Cada de tensin 1.3.3.2 Corriente Alterna

Monofsica:

Para el clculo de las secciones en baja tensin se considera solo el efecto resistivo, ya que para el anlisis en alta tensin son considerados otros efectos como el de induccin y capacitivo, estos efectos, aunque muy importantes en alta tensin y lneas largas, no lo es tanto en baja tensin y lneas de corta longitud.


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Para el clculo de la cada de tensin en c.a. ha de tenerse en cuenta que las magnitudes son vectoriales. De acuerdo con el desarrollo que se hace en la figura, llegamos a la siguiente ecuacin de cada de tensin:

OA = Tensin en la carga V OD = Tensin al inicio Vo I = Intensidad = Angulo entre V e I AD = Cada de tensin vectorial = I*R Analizando grficamente:

ADOAOD += OD = OC OCOB OB = OA + AB OB = OA + AD*Cos donde: Cos = 0.9 Reemplazando: Vo = V + I*R*Cos V = Vo - V De donde:

CosRIV **= Reemplazando se tendr:

s

CosILV

****2= (1.9)


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Trifsica Haciendo las mismas consideraciones, por fase, que en el caso de C.A. monofsica podemos deducir las formulas. OA = Tensin Final de fase VF OD = Tensin de fase VOF IL = Intensidad de linea = Angulo entre VF e IF

AD = Cada De tensin vectorial = IL*R = s

LFI

**

Del anlisis grafico:

ADOAOD += OD = OC OC OB OB = OA +AB OB = OA + AD + Cos Reemplazando: VOF = VF + IL*R*Cos VF = VOF - VF

V = VO V = (VOF - VF)* 3 = VF* 3 V = VO - V

CosRIV L ***3= Reemplazando R se tiene:

S

CosILV L

****3= (1.10)


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Resumen de formulas

(1.11) (1.12) (1.13) 1.3.4 CONCEPTO DE POLARIDAD [16] Primeramente definiremos polo como cada uno de los extremos o bornes de un circuito o un generador elctrico, que sirven para conectar los conductores exteriores. Polaridad es la cualidad que distingue entre si cada uno de los polos de un imn o de un generador elctrico Generalmente, los aparatos de corriente continua no suelen incorporar protecciones frente a un eventual cambio de polaridad, lo que puede acarrear daos irreversibles en el aparato. Para evitarlo, y dado que la causa del problema es la colocacin inadecuada de las bateras, es comn que los aparatos incorporen un diagrama que muestre cmo deben colocarse. As mismo, los contactos se distinguen emplendose, convencionalmente, un muelle metlico para el polo negativo y una placa para el polo positivo. En los aparatos con bateras recargables, el transformador - rectificador tiene una salida tal que la conexin con el aparato slo puede hacerse de una manera, impidiendo as la inversin de la polaridad.


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En los casos de instalaciones de gran envergadura, tipo centrales telefnicas y otros equipos de telecomunicacin, donde existe una distribucin centralizada de corriente continua para toda la sala de equipos, se emplean elementos de conexin y proteccin adecuados para evitar la conexin errnea de polaridad. 1.3.5 RESISTENCIAS [14] Se denomina resistencia elctrica (figura 1.8.a), R, de una sustancia, a la oposicin que encuentra la corriente elctrica para recorrerla. Su valor se mide en ohmios y se designa con la letra griega omega mayscula (). La materia presenta 4 estados en relacin al flujo de electrones. Estos son: Conductores, Semi-conductores, Resistores y Dielctricos. Todos ellos se definen por le grado de oposicin a la corriente elctrica (Flujo de Electrones).

Simbologa utilizada para denotar las resistencias

Figura 1.8.a

Resistencia elctrica con cdigo de colores

Figura 1.8.b Esta definicin es vlida para la corriente continua y para la corriente alterna cuando se trate de elementos resistivos puros, esto es, sin componente inductiva ni capacitiva. De existir estos componentes reactivos, la oposicin presentada a la circulacin de corriente recibe el nombre de impedancia. Segn sea la magnitud de esta oposicin, las sustancias se clasifican en conductoras, aislantes y semiconductoras. Existen adems ciertos materiales en los que, en determinadas condiciones de temperatura, aparece un fenmeno denominado superconductividad, en el que el valor de la resistencia es prcticamente nula. La resistencia elctrica se mide con el Ohmmetro que es un aparato diseado para medir la resistencia elctrica en ohmios. Debido a que la resistencia es la diferencia de potencial que existe en un conductor dividida por la intensidad de la corriente que pasa por el mismo, un ohmmetro tiene que medir dos parmetros, y para ello debe tener su propio generador para producir la corriente elctrica. 1.3.6 FUENTES En electricidad se entiende por fuente al elemento activo que es capaz de generar una diferencia de potencial (d.d.p.) entre sus bornes o proporcionar una corriente elctrica. A continuacin se indica una posible clasificacin de las fuentes elctricas:


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De tensin REALES De Intensidad De tensin Independientes De Intensidad IDEALES Controlada por tensin De tensin Controlada por intensidad Dependientes Controlada por tensin De Intensidad Controlada por intensidad

Fuentes ideales:

Smbolos de las fuentes ideales de tensin, a), e intensidad, b).

Figura 1.9 Las fuentes ideales son elementos utilizados en la teora de circuitos para el anlisis y la creacin de modelos que permitan analizar el comportamiento de componentes electrnicos o circuitos reales. Pueden ser independientes, si sus magnitudes (tensin o corriente) son siempre constantes, o dependientes en el caso de que dependan de otra magnitud (tensin o corriente). En este caso se tratarn las fuentes independientes, Sus smbolos pueden observarse en la figura 19. El signo + en la fuente de tensin, indica el polo positivo o nodo siendo el extremo opuesto el ctodo y E el valor de su fuerza electromotriz (fem).


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En la fuente de intensidad, la direccin de la flecha indica la direccin de la corriente elctrica e I su valor. A continuacin se dan sus definiciones: Fuente de tensin ideal: Aquella que genera una d. d. p. entre sus terminales constante e independiente de la carga que alimente. Si la resistencia de carga es infinita se dir que la fuente est en circuito abierto, y si fuese cero estaramos en un caso absurdo, ya que segn su definicin una fuente de tensin ideal no puede estar en cortocircuito. Fuente de intensidad ideal: Aquella que proporciona una intensidad constante e independiente de la carga que alimente. Si la resistencia de carga es cero se dir que la fuente est en cortocircuito, y si fuese infinita estaramos en un caso absurdo, ya que segn su definicin una fuente de intensidad ideal no puede estar en circuito abierto.

Fuentes reales:

Smbolos de las fuentes reales de tensin, a), e intensidad, b).

Figura 1.10 A diferencia de las fuentes ideales, la d. d. p. que producen o la corriente que proporcionan fuentes reales, depende de la carga a la que estn conectadas. Fuentes de tensin Una fuente de tensin real puede considerarse como una fuente de tensin ideal, Eg, en serie con una resistencia Rg, a la que se denomina resistencia interna de la fuente (figura 1.10a). En circuito abierto, la tensin entre los bornes A y B (VAB) es igual a Eg (VAB=Eg), pero si entre estos bornes se conecta una carga, RL, la tensin pasa a ser:

g

gABRRL

RLEV

+= * (1.14)


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que como puede observarse depende de la carga conectada. En la prctica las cargas debern ser mucho mayores que la resistencia interna de la fuente (al menos diez veces) para conseguir que el valor en sus bornes no difiera mucho del valor en circuito abierto. La potencia se determina multiplicando su f.e.m. por la corriente que proporciona. Se considera positiva si la corriente sale por el nodo y negativa en caso contrario. Ejemplos de fuentes de tensin real

Batera. Pila. Fuente de alimentacin. Clula fotoelctrica.

1.4 ELEMENTOS DE MEDICION3*

1.4.1 AMPERIMETROS Instrumento que permite medir la intensidad de corriente elctrica (figura 1.22), presentando directamente sobre su escala calibrada las unidades empleadas para ello denominadas amperios o bien fracciones de amperios, la medida deseada. Su utilizacin es muy amplia ya que con independencia de su propia aplicacin directa de medida, tambin se emplea como base para la construccin de otros instrumentos, como voltmetros, hmetros, etc. Su funcionamiento est basado en uno de los principios fundamentales del electromagnetismo que en su forma ms simple nos indica que cualquier corriente elctrica pasa por un hilo conductor produce un campo magntico alrededor del mismo (similar al campo magntico de un imn),cuya fuerza depende de la intensidad de la corriente que circule.

Figura 1.11


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Utilizacin Para efectuar la medida de la intensidad de la corriente circulante el ampermetro ha de colocarse en serie (figura 1.13.a), para que sea atravesado por dicha corriente. Esto nos lleva a que el ampermetro debe poseer una resistencia interna lo ms pequea posible, a fin de que no produzca una cada de tensin apreciable. Para ello, en el caso de instrumentos basados en los efectos electromagnticos de la corriente elctrica, estarn dotados de bobinas de hilo grueso y con pocas espiras. En algunos casos, para permitir la medida de intensidades superiores a las que podran soportar los devanados y rganos mecnicos del aparato sin destruirse, se les dota de un resistor de muy pequeo valor colocado en paralelo con el devanado, de forma que solo pase por este una fraccin de la corriente principal. A este resistor adicional se le denomina shunt.

Conexin de un voltmetro en un circuito

Figura 1.13.a La conexin del voltmetro, para su utilizacin se resume en poner en contacto las terminales del aparato con los polos que derivan de la fuente de energia (una bateria, conductores de tension,etc). 1.4.2 VOLTIMETRO Es un instrumento que sirve para medir la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito elctrico. Entre los voltmetros existen una gran variedad de estos, por lo que solo mencionaremos de forma general, los tres tipos mas usuales de este aparato. Voltmetros Electromecnicos. Estos voltmetros (figura 1.12), en esencia, estn constituidos por un galvanmetro cuya escala ha sido graduada en voltios. Existen modelos que separan las componentes continua y alterna de la seal, pudiendo medirlas independientemente.


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Figura 1.12 Voltmetros Electrnicos Aaden un amplificador para proporcionar mayor impedancia de entrada (del orden de los 20 megaohmios) y mayor sensibilidad. Algunos modelos ofrecen medida de "verdadero valor eficaz" para corrientes alternas. Voltmetros Vectoriales Voltmetros Digitales Dan una indicacin numrica de la tensin. Suelen tener prestaciones adicionales como memoria, deteccin de valor de pico, verdadero valor eficaz , auto rango y otras. Utilizacin Para efectuar la medida de la diferencia de potencial el voltmetro ha de colocarse en paralelo, esto significa que las terminales de voltmetro tendrn que estar en contacto con los polo del emisor de energa, tal como se muestra en la figura1.13b., es decir en derivacin sobre los puntos entre los que tratamos de efectuar la medida. Esto nos lleva a que el voltmetro debe poseer una resistencia interna lo ms alta posible, a fin de que no produzca un consumo apreciable, lo que dara lugar a una medida errnea de la tensin.

Conexin de un voltmetro en un circuito

Figura 1.13.b


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En algunos casos, para permitir la medida de tensiones superiores a las que soportaran los devanados y rganos mecnicos del aparato o los circuitos electrnicos en el caso de los digitales, se les dota de una resistencia de elevado valor colocada en serie con el voltmetro, de forma que solo le someta a una fraccin de la tensin total. 1.5 CONCEPTO DE TIERRA [3]

El trmino tierra (en ingls earth), como su nombre indica, se refiere al potencial de la superficie de la Tierra. El smbolo de la tierra en el diagrama de un circuito se lo presenta en la siguiente figura:

Figura 1.14 Para hacer la conexin de este potencial de tierra a un circuito se usa un electrodo de tierra, que puede ser algo tan simple como una barra metlica anclada el suelo, a veces humedecida para una mejor conduccin, asi como se puede observar en la figura 1.15

Figura 1.15 Es un concepto vinculado a la seguridad de las personas, porque stas se hallan a su mismo potencial por estar pisando el suelo. Si cualquier aparato est a ese mismo potencial no habr diferencia entre el aparato y la persona, por lo que no habr descarga elctrica peligrosa. Por ltimo hay que decir que el potencial de la tierra no siempre se puede considerar constante, especialmente en el caso de cada de rayos. Por ejemplo si ha cado un rayo a una distancia de 1 kilmetro, la diferencia de potencial entre dos puntos separados por 10 metros ser de ms de 150 V.


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UNIDAD N 2

CIRCUITOS ELCTRICOS DE CORRIENTE CONTINUA

2.1 CONCEPTOS BSICOS

2.1.1 UNIDADES, DEFINICIONES, LEYES EXPERIMENTALES Y CIRCUITOS SIMPLES

Anlisis de Circuitos en Ingeniera.- Es un estudio matemtico de alguna interconexin til de dispositivos elctricos simples en la cual hay por lo menos una trayectoria cerrada

para la corriente.

En la actualidad no se emplea a todos los ingenieros solo para trabajar en los

aspectos del diseo tcnico de los problemas ingenieriles . Sus esfuerzos ya no se dirigen

solo a la creacin de mejores computadoras y sistemas de radar, sino que tambin deben

resolver problemas socioeconmicos como la contaminacin tanto del agua como del aire,

la planeacin urbana, la transportacin masiva, el descubrimiento de nuevas fuentes de

energa y la conservacin de los recursos naturales existentes, especialmente el petrleo y el

gas natural.

Con el objeto de contribuir a la solucin de estos problemas, un ingeniero debe

adquirir muchas habilidades, una de las cuales es el conocimiento del anlisis de circuitos.

El sistema de unidades que se usara para este documento ser el Sistema

Internacional de Unidades (abreviado SI en todos los idiomas). El SI tiene seis unidades

bsicas: metro, kilogramo, segundo, ampere, kelvin y candela.

El SI usa el sistema decimal para relacionar unidades mayores y menores que la

unidad patrn y prefijos estndares para identificar varias potencias de diez.

Atto................(a, 10-18) deci....................(d, 10

-1)

Femto.............(f, 10-15) deka...................(da, 101)

Pico................(p, 10-12) hecto..................(h, 102)

nano................(n, 10-9) kilo....................(k, 10

3)

micro..............( 610, ) mega..................(M, 106)

mili.................(m, 10-3) giga....................(G, 10

9)

centi................(c, 10-2) tera.....................(T, 10

12)


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Los prefijos en el recuadro anterior son los que usan con mas frecuencia los

estudiantes de la teora de circuitos elctricos. Se puede decir que un milisegundo (ms)

es 0.001 segundo, y un kilmetro (Km.) es 1000m. En la actualidad, el kilogramo es nuestra

unidad de masa, y podramos decir que un gramo es un mili kilogramo.

Las combinaciones de varios prefijos, tales como milimicrosegundo, son

inaceptables; lo que debe usarse es el termino nano segundo. Algo que tambin es

oficialmente mal visto es el uso del termino micra para 10-6 m; el termino correcto es

micrmetro ( m. ). Sin embargo, el ngstrom (Ao) si se puede usar para 10-10m.

Las unidades britnicas fundamentales se definen en trminos de las unidades SI

como sigue:

1 pulgada es exactamente 0,0254 m, 1 libra-masa (lbm) es justo 0,45359237 kg, y el

segundo es comn a ambos sistemas.

Para finalizar el estudio de las unidades, se mencionaran las tres unidades derivadas

usadas para medir fuerza, trabajo o energa, y potencia. El newton (N) es la unidad

fundamental de fuerza, y es la fuerza que se requiere para imprimir una aceleracin de un

metro por segundo cada segundo (1 m/s2) a una masa de 1 kg. Una fuerza de 1 N equivale a

0,22481 libras de fuerza (lbf), y un hombre promedio de 19 aos de edad y 68 kg de masa,

ejerce una fuerza de 667 N sobre la bscula.

La unidad fundamental de trabajo o energa es el joule (J), definido como un

newton-metro (N-m). La aplicacin de una fuerza constante de 1 N a lo largo de una

distancia de un metro requiere un gasto de energa de 1 J. La misma cantidad de energa es

la que se requiere para levantar un libro, que pesa alrededor de 10 N, a una altura de

aproximadamente 10 cm. El joule es equivalente a 0,73756 libra fuerza-pie (lbf-ft). Otras

unidades de energa son la calora (cal), igual a 4,1868 J; la unidad trmica Britnica (Btu),

que es igual a 1055,1 J y el kilowatt-hora (kWh), igual a 3,6*106 J.

La ultima cantidad derivada que se definir es la potencia, la rapidez con la que se

realiza un trabajo o con la que se gasta energa. La unidad fundamental de potencia es el

watt (W), definido como 1 J/s. Un watt equivale a 0,73756 lbf-ft/s. Tambin equivale a

1/745,7 caballos de potencia (hp), unidad que esta cayendo en desuso en ingeniera.

2.1.2 Carga

A continuacin se presentaran algunas definiciones preliminares de las cantidades

elctricas bsicas. Se comenzara con la carga elctrica, concepto que se puede introducir

visualizando el siguiente experimento sencillo.

Supngase que se toma un trocito de algn material ligero, como medula, y se

suspende de un hilo muy delgado. Si ahora se frota un peine de hule con una prenda de lana


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y luego se pone en contacto con la bolita de medula, se observa que la bolita tiende a

alejarse del peine; entre la bolita y el peine existe una fuerza de repulsin. Si se deja el

peine y ahora se acerca la bolita a la prenda de lana, se observa que entre la bolita y la lana

hay una fuerza de atraccin.

La explicacin que se da de estas fuerzas es que hay fuerzas elctricas causadas por

la presencia de cargas elctricas en la bolita, la lana y el peine. El experimento muestra

claramente que las fuerzas elctricas pueden ser de atraccin o de repulsin.

Para explicar la existencia de fuerzas elctricas tanto de atraccin como de

repulsin, se ha planteado la hiptesis de que existen dos tipos de carga, y que cargas

iguales se repelen y cargas contrarias se atraen. Estas dos clases de carga reciben los

nombres de positiva y negativa, aunque igualmente podran haberse llamado oro y negro, o

vtrea y resinosa ( como se les llamaba hace ya mucho tiempo ). De manera totalmente

arbitraria, Benjamn Franklin llamo carga negativa a la que estaba presente en el peine, y a

la que estaba presente en la lana la llamo positiva.

En la actualidad se sabe que toda la materia esta formada por piezas fundamentales

llamadas tomos, y que los tomos a su vez estn formados por diferentes clases de

partculas elementales. Las tres partculas mas importantes son el electrn, el protn y el

neutrn. El electrn tiene una carga negativa, el protn tiene una carga igual en magnitud a

la del electrn, pero positiva, y el neutrn es neutro, es decir, no tiene carga. Cuando se

frota el peine de hule con la lana, el peine adquiere una carga negativa porque algunos de

los electrones de la lana se pasan al peine; en esas condiciones, la lana no tiene la cantidad

suficiente de electrones para mantener su neutralidad, y se comporta como una carga

positiva.

Experimentalmente se ha podido calcular la masa de cada una de las tres partculas

mencionadas con anterioridad. 9,10956*10-31 kg para el electrn, y aproximadamente 1840

veces este valor para el protn y el neutrn.

Ahora puede definirse la unidad fundamental de carga, llamada coulomb en honor

de Charles Coulomb, quien fue el primer hombre en hacer medidas cuantitativas cuidadosas

de la fuerza entre dos cargas. La definicin que ya esta universalmente aceptada es la

siguiente: dos partculas pequeas, idnticamente cargadas, cuya separacin en el vaco es

de un metro y que se repelen una a la otra con una fuerza de 10-7c2 N, tienen cargas

idnticas de mas o menos un coulomb (C). El smbolo c representa la velocidad de la luz,

2,997925*10-19 C y, por lo tanto, un coulomb negativo representa la carga conjunta de

alrededor de 6,24*1018 electrones.

Para representar la carga se usaran las letras Q o q; la letra Q mayscula se usara

para cargas constantes, es decir, que no cambian con el tiempo, mientras que la q minscula

representara el caso general de una carga que pude variar con el tiempo.


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2.1.3 Corriente

El experimento descrito anteriormente pertenece al campo de la electrosttica, que

se ocupa del comportamiento de las cargas elctricas en reposo. El nico inters que tiene

es que es un punto de partida y resulta una forma til para definir la carga.

Sin embargo, una parte del experimento, el proceso de transferir carga de la lana al

peine o del peine a la bolita, se aparta del dominio de la electrosttica. Esta idea de la

transferencia de carga o carga en movimiento es de vital importancia en el estudio de

los circuitos elctricos, porque, al mover una carga de un lugar a otro, tambin se puede

transferir energa de un punto a otro.

De igual importancia es la posibilidad de variar la rapidez a la cual se puede

transferir la carga con el fin de comunicar o transmitir inteligencia. Este proceso es la base

de los sistemas de comunicacin tales como la radio, la televisin y la telemetra.

La carga en movimiento representa una corriente, la cual se definir mas

cuidadosamente enseguida. La corriente presente en una trayectoria cualquiera, como un

alambre metlico, tiene asociadas a ella tanto una direccin como una magnitud; es una

medida de la rapidez con que la carga se esta moviendo al pasar por un punto dado de

referencia en una direccin especifica.

Una vez que se ha especificado la direccin de referencia, sea q(t) la carga total que

ha pasado por el punto de referencia desde un tiempo arbitrario t = 0, movindose en una

direccin definida. La contribucin a esta carga total puede ser negativa si una carga

negativa se mueve en la direccin de referencia, o bien si una carga positiva se mueve en

direccin opuesta.

Una grafica del valor instantneo de la carga total puede ser similar a la que se

muestra en la siguiente figura.

Figura 2.1

Se define la corriente en un punto especifico y que fluye en una direccin especifica

como la rapidez instantnea a la cual la carga neta positiva se mueve a travs de ese punto

en la direccin especifica. La corriente se representa por I o i, entonces,

dt

dqi = (2)


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La unidad de corriente es el ampere (A) y 1 A corresponde a una carga que se

mueve con una rapidez de 1 C/s.

Al hablar de la corriente, es conveniente imaginar que se produce por el movimiento

de cargas positivas, aun cuando se sabe que en los conductores metlicos el flujo de

corriente es el resultado del movimiento de los electrones. En los gases ionizados, en las

soluciones electrolticas y en algunos materiales semiconductores, son las partculas

cargadas positivamente las que constituyen una parte o toda de la corriente. Esto significa

que cualquier definicin de corriente estar de acuerdo con la naturaleza fsica de la

conduccin solo parte del tiempo.

Es esencial darse cuenta de que la flecha de la corriente no indica la direccin real

del flujo de corriente, sino que simplemente es parte de una convencin que permite hablar

acerca de la corriente en el conductor sin ambigedad. La flecha es una parte

fundamental de la definicin de una corriente! Entonces, si se da el valor de una corriente

i(t) sin dar la flecha se estar hablando de una cantidad indefinida. Esto quiere decir que las

graficas a y b de la figura 2.2 son representativas sin sentido de i(t), mientras que la figura c

usa la simbologa apropiada y definitiva.

Figura 2.2

2.1.4 Voltaje [10]

Supngase que por la terminal A de la figura entra una corriente directa, pasa a

travs del elemento y sale por la terminal B. Supngase tambin que el paso de esta carga a

travs del elemento requiere un gasto de energa. Entonces se dir que entre las dos

terminales existe un voltaje elctrico o una diferencia de potencial, o que hay un voltaje o

diferencia de potencial entre los extremos del elemento. Por lo tanto, el voltaje entre un

par de terminales es una medida del trabajo requerido para mover una carga positiva de 1 C

de una terminal a la otra a travs del dispositivo. La unidad del voltaje es el volt (V), que es

igual a 1 J/C y se representa por V o v.

Entre un par de terminales elctricas puede existir una diferencia de potencial o

voltaje, fluya o no fluya corriente entre ellas. Por ejemplo, una batera de automvil tiene

un voltaje de 12 V entre sus terminales, aunque no haya nada conectado a ellas.

Segn el principio de conservacin de la energa, la energa que se gasta al forzar a

las cargas a pasar a travs del elemento debe aparecer en algn lugar. Despus, cuando se

hable de elementos especficos de circuitos, se indicara si la energa se almacena de forma

que quede disponible como energa elctrica o si se transforma irreversiblemente en energa

calorfica, acstica, o alguna otra forma no elctrica.


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Se debe establecer una convencin por la que se pueda distinguir entre energa

suministrada a un elemento por algn agente externo y energa suministrada por el

elemento mismo a algn dispositivo externo. Se har esto por medio de la eleccin del

signo del voltaje de la terminal A con respecto a la terminal B. Si a travs de la terminal A

del elemento entra una corriente positiva, y si una fuente externa tiene que gastar energa

para establecer esta corriente, entonces la terminal A es positiva con respecto a la terminal

B. Alternativamente podra decirse que la terminal B es negativa con respecto a la terminal

A.

La polaridad del voltaje se indica por medio de un par de signos (+), (-). Por

ejemplo, en la figuras 2.3 y 2.4

Figura 2.3

Figura 2.3

2.1.5 Potencia

Ahora es necesario encontrar una expresin para la potencia absorbida por cualquier

elemento de un circuito en trminos del voltaje entre sus terminales y de la corriente a

travs de l. Ya se defini el voltaje en trminos de un gasto de energa, y la potencia es la

rapidez con la cual se gasta la energa. Sin embargo, nada puede decirse acerca de la

transferencia de energa en ninguno de los cuatro casos mostrados en la figura anterior, por

ejemplo, mientras no se especifique la direccin de la corriente. Supngase que se coloca

una flecha dirigida hacia la derecha a lo largo de las terminales superiores, con el valor

+2; entonces, como en los dos casos c y d, la terminal A es 5V positiva con respecto a la

terminal B, y como una corriente positiva est entrando por A, se le esta suministrando

energa al elemento. En los otros dos casos, es el elemento el que esta entregando energa a

algn dispositivo externo.

La potencia se representara por P o p. Si para transportar un coulomb de carga a

travs del dispositivo se gasta un joule de energa, entonces la tasa a la que se gasta la

energa para transferir un coulomb de carga por segundo por el dispositivo es un watt. Esta


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potencia absorbida debe ser proporcional tanto al numero de coulombs transferidos por

segundo, o corriente, como a la energa requerida para transportar un coulomb a travs del

elemento, o voltaje. As,

P = V*i (3)

Al colocar las flechas superiores en cada terminal de la figura 2.3 , dirigidas hacia la

derecha y con valor de 2 A, los elementos en c y d absorben 10 W, y los de a y b

absorben 10 W ( o bien generan 10 W).

Las convenciones para corriente, voltaje y potencia se resumen en la figura 2.4.

Aqu se muestra que si una terminal del elemento es v volts positiva con respecto a la otra,

y si una corriente i entra al elemento por la primera terminal, entonces el elemento esta

absorbiendo una potencia p = v*i; tambin es correcto decir que se le esta entregando una

potencia p = v*i. Cuando la flecha de corriente entra al elemento por la terminal positiva, se

satisface la convencin pasiva de los signos (fig 2.5). Esta convencin debe estudiarse,

comprenderse y memorizarse cuidadosamente.

Figura 2.4

Los ejemplos de la siguiente figura amplan la ilustracin de estas convenciones.

Figura 2.5


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2.1.6 Circuito Elctrico [10]

Es un conjunto de elementos conductores que forman un camino cerrado (malla) por

el que circula una corriente elctrica o se supone que circula.

2.1.7 Tipos de circuitos y elementos de circuitos

Al usar los conceptos de corriente y voltaje, se pude ser mas especifico cuando se define

un elemento del circuito.

Es importante establecer la diferencia entre un dispositivo fsico en si y el modelo

matemtico que lo representa y que se usara para analizar su comportamiento en un

circuito. A partir de este momento debe entenderse que la expresin elemento de circuito se

refiere al modelo matemtico. La eleccin de un modelo particular para cualquier

dispositivo real debe basarse en datos experimentales, o en la experiencia; en general se

supondr que esta eleccin ya ha sido hecha. Primero es necesario aprender los mtodos

para analizar circuitos ideales.

La diferencia entre un elemento general de un circuito y un elemento simple de un

circuito, es que un elemento general del circuito puede componerse de mas de un elemento

simple de un circuito, pero un elemento simple de circuito ya no puede ser subdividido en

otros elementos simples. Por brevedad, se establece que el termino elemento de un circuito

en general se refiere a un elemento simple de un circuito.

Todos los elementos simples de circuitos que se consideran pueden clasificarse de

acuerdo con la forma en que se relaciona la corriente que circula a travs de ellos, con el

voltaje existente entre sus terminales. Por ejemplo, si el voltaje entre las terminales del

elemento es directamente proporcional a la corriente que pasa a travs de el, o sea v = ki,

este elemento se denomina resistor. Otros tipos de elementos simples de circuitos tienen en

sus terminales voltajes proporcionales a la derivada de la corriente con respecto al tiempo,

o a la integral de la corriente con respecto al tiempo.

Tambin hay elementos en los cuales el voltaje es completamente independiente de

la corriente, o la corriente es completamente independiente del voltaje; estas son las

llamadas fuentes independientes. Mas aun, habr que definir tipos especiales de fuentes, en

las cuales el voltaje o la corriente dependen del voltaje o la corriente presentes en otra parte

del circuito; estas se llaman fuentes dependientes o fuentes controladas.

Por definicin, un elemento simple de un circuito es el modelo matemtico de un

dispositivo elctrico de dos terminales, y se puede caracterizar completamente por su

relacin voltaje-corriente pero no puede subdividirse en otros dispositivos de dos

terminales.

El primer elemento que se necesita es una fuente independiente de voltaje. Se


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caracteriza porque el voltaje entre sus terminales es completamente independiente de la

corriente que pasa a travs de ellas. As, se tiene una fuente independiente de voltaje y se

dice que el voltaje entre sus terminales es 50 t2 V, pude tenerse la seguridad de que en t =

2s, por lo tanto el voltaje ser 200V, sin importar la corriente que haya fluido, este fluyendo

o vaya a fluir. La figura 2.6 muestra como se representa una fuente independiente de

voltaje. El subndice s identifica simplemente al voltaje como una fuente de voltaje (la s

es la primera letra de source, fuente en ingles).

Algo que vale la pena repetir es que la presencia del signo mas en el extremo

superior del smbolo para la fuente independiente de voltaje de la figura 2.6 no

necesariamente significa que la terminal superior siempre es positiva respecto a la inferior.

Mas bien significa que la terminal superior es vS volts positiva respecto a la inferior. Si en

algn instante vS toma un valor negativo, entonces la terminal superior es en realidad

negativa respecto a la inferior, en ese instante.

Figura 2.7

Figura 2.6

Si una flecha de corriente i, que apunta hacia la izquierda, se coloca junto al

conductor superior de esta fuente, entonces la corriente i esta entrando por la terminal con

signo positivo, se satisface la convencin pasiva de los signos y la fuente absorbe una

potencia p = vS i. En general, se espera que una fuente entregue potencia a una red y no que

la absorba. En consecuencia, podra dirigirse la flecha hacia la derecha para que vS i

represente la potencia entregada por la fuente. Puede usarse cualquier direccin.

La fuente independiente de voltaje es una fuente ideal y no representa con exactitud

ningn dispositivo fsico real, ya que tericamente la fuente ideal podra entregar una

cantidad infinita de energa. Cada coulomb que pasa a travs de ella recibe una energa de

vS joules, y el numero de coulombs por segundo es ilimitado. Sin embargo, esta fuente ideal

de voltaje proporciona una aproximacin aceptable de varias fuentes practicas de voltaje.

Una batera de automvil, por ejemplo, tiene una terminal de voltaje de 12 V que

permanece esencialmente constante mientras la corriente que pasa no exceda de unos

cuantos amperes. Esta pequea corriente puede fluir en cualquier direccin; si es positiva y

esta saliendo de la terminal positiva, la batera esta suministrando potencia a las luces, por

ejemplo, y se esta descargando. Pero si la corriente es positiva y esta entrando a la terminal

positiva, entonces la batera se esta cargando o esta absorbiendo energa del generador, o

posiblemente de un cargador de bateras. Un contacto elctrico domestico tambin se

aproxima a una fuente independiente de voltaje, que proporciona el voltaje vS =


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t602cos2115 V; la representacin es valida para corrientes menores que 20 A, aproximadamente.

Una fuente independiente de voltaje que tiene un voltaje constante entre sus

terminales, se le llama comnmente una fuente independiente de voltaje y se representa por

cualquiera de los smbolos mostrados en la figura 2.7. Ntese en la grafica 2.7b, donde se

sugiere una estructura fsica de placas para la batera, que la terminal positiva esta colocada

junto a la placa mas larga; entonces, la notacin de signos (+) (-) es redundante, pero de

todas maneras se incluyen.

Figura 2.7

Otra fuente ideal necesaria es la fuente independiente de corriente. La corriente que

circula a travs de ella es completamente independiente del voltaje entre sus terminales. La

figura 2.8 muestra el smbolo usado para una fuente independiente de corriente. Si iS es

constante, la fuente recibe el nombre de fuente independiente de corriente cd.

Figura 2.8

Al igual que la fuente independiente de voltaje, la fuente independiente de corriente

es, a lo mas, una aproximacin aceptable de un elemento fsico. En teora, puede entregar

una potencia infinita, debido a que produce la misma corriente finita para cualquier voltaje

entre sus terminales, no importa que tan grande pueda ser este voltaje. A pesar de todo, es

una buena aproximacin para muchas fuentes practicas, sobre todo en circuitos

electrnicos. Asimismo, la fuente independiente de cd representa de manera fiel el haz de

protones de un ciclotrn que opera a una corriente constante de haz de aproximadamente

1 A, y seguir entregando 1 A a casi cualquier dispositivo colocado entre sus terminales (el haz y la tierra).


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Las dos clases de fuentes ideales descritas hasta aqu se llaman fuentes

independientes, porque lo que pasa en el resto del circuito no afecta los valores asignados

pendientes, porque lo que pasa en el resto del circuito no afecta los valores asignados a

dichas fuentes. Esto no ocurre con otra clase de fuente ideal, la fuente controlada o

dependiente, en la que el valor esta determinado por un voltaje o corriente presente en

algn otro lugar del sistema elctrico en consideracin. Para distinguir entre fuentes

dependientes e independientes, se usaran los smbolos en forma de rombo.

2.2 LEY DE OHM [10]

Ahora se representara otro elemento ideal, el resistor lineal. Se trata del elemento

pasivo mas simple y se comenzara considerando el trabajo de Georg Simon Ohm, un

oscuro fsico alemn que en 1827 publico un articulo titulado Die galvanische Kette

mathematisch bearbeitet (El circuito galvanico investigado matemticamente). En dicho

articulo estn contenidos los resultados de uno de los primeros esfuerzos realizados para

medir corrientes y voltajes, y para describirlos y relacionarlos matemticamente. Uno de los

resultados fue el enunciado de la relacin fundamental que ahora se conoce como ley de

Ohm, aun cuando se ha demostrado que esta ley fue descubierta 46 aos antes en Inglaterra

por Henry Cavendish. Sin embargo, nadie, incluyendo a Ohm, sabia del trabajo hecho por

Cavendish, porque esto se descubri y publico hasta mucho tiempo despus que ambos

murieran.

La ley de Ohm establece que el voltaje entre los extremos de muchos tipos de

materiales conductores es directamente proporcional a la corriente que fluye a travs del

material, es decir,

V = Ri (4)

Donde la constante de proporcionalidad R recibe el nombre de resistencia. La

unidad de resistencia es el ohm, el cual es igual a 1 V/A y generalmente se simboliza por

una omega mayscula, .

Cuando se hace una grafica v contra i de esta ecuacin, se obtiene una lnea recta

que pasa por el origen. La ecuacin es lineal, y se considerara la definicin de resistencia

lineal. De aqu que, si el cociente del voltaje y la corriente asociados con cualquier

elemento simple de corriente es constante, entonces el elemento es un resistor lineal y el

valor de su resistencia es igual a la razn voltaje sobre corriente.

Normalmente se considera que la resistencia es una cantidad positiva, aunque se pueden

simular resistencias negativas por medio de circuitos especiales.

Los resistores no lineales no necesariamente deben considerarse como elementos no

deseables, ya que, aunque es cierto que su presencia complica el anlisis, el funcionamiento

del dispositivo puede depender de la no linealidad o mejorar notablemente por ella. Estos

elementos son los diodos Zener, los diodos tnel y los fusibles.


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La figura 2.9 muestra el smbolo que mas se usa para un resistor. De acuerdo con las

convenciones de voltaje, corriente y potencia adoptadas anteriormente,

Figura 2.9

el producto de v e i representa la potencia absorbida por el resistor; es decir, v e i se

seleccionan para satisfacer la convencin pasiva de los signos. La potencia absorbida

aparece fsicamente como calor y siempre es positiva; un resistor (positivo) es un elemento

pasivo que no puede entregar potencia ni almacenar energa. Otras expresiones para la

potencia absorbida son

p = v i = i2 R =

R

v2 (5)

La razn de la corriente al voltaje es tambin una constante,

(6)

donde G recibe el nombre de conductancia. En el SI la unidad de conductancia es el

siemens (S), igual a 1 A/V. Una unidad no oficial mas antigua de conductancia es el mho,

que se representa por una omega mayscula invertida, . Para representar resistencias y conductancias se usa el mismo smbolo. La potencia absorbida es de nuevo necesariamente

positiva y se puede expresar en trminos de la conductancia por

G

iGvivp

22. === (7)

As, una resistencia de 2 tiene una conductancia de S2

1, y si una corriente de 5 A

esta fluyendo a travs de ella, se tiene un voltaje de 10 V entre sus terminales y se esta

absorbiendo una potencia de 50 W.

La resistencia se puede usar como base para definir dos trminos de uso comn: el

cortocircuito y el circuito abierto. Definimos un cortocircuito como una resistencia de cero

ohms; entonces, como v = Ri, el voltaje en un cortocircuito debe ser cero, aun cuando la

corriente puede tener cualquier valor. De forma parecida, se define el circuito abierto como

una resistencia infinita. De esto sigue que la corriente debe ser cero, independientemente

del valor del voltaje entre las terminales del circuito abierto.

GRv

i==

1


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2.3 LEYES DE KIRCHOFF [10]

Ahora se pueden considerar las relaciones de corriente y voltaje en redes simples

que resultan de la interconexin de dos o mas elementos simples de un circuito. Los

elementos se conectan entre si por medio de conductores elctricos, o alambres, los cuales

tienen resistencia cero, o son conductores perfectos. Como la apariencia de la red es la de

cierto numero de elementos simples y un conjunto de alambres que los conectan, recibe el

nombre de red de elementos de parmetros concentrados. Un problema de mayor dificultad

para el anlisis surge cuando uno se encuentra ante una red de elementos de parmetros

distribuidos, la cual contiene esencialmente un numero infinito de elementos tan pequeos

como se quiera. La consideracin de este ultimo tipo de redes esta piadosamente relegado a

cursos posteriores.

Se llama nodo al punto en el cual dos o mas elementos tienen una conexin comn.

La figura 2.10 a muestra un circuito que contiene tres nodos. A veces las redes se dibujan

para hacer creer a algn estudiante despistado que hay mas nodos que los que realmente se

tienen. Esto ocurre cuando un nodo, como el nodo 1 en la figura 2.10 a, se muestra como

dos uniones distintas conectadas por un conductor (de resistencia cero), como en la figura

2.10b. Sin embargo, todo lo que se hizo fue convertir el punto comn en una lnea comn

de resistencia cero. Entonces, necesariamente deben considerarse como parte del nodo

todos los alambres perfectamente conductores, o las porciones de ellos conectadas a un

nodo. Ntese tambin que cada elemento tiene un nodo en cada una de sus terminales.

Figura 2.10

Supngase que el proceso empieza en uno de los nodos de una red y se mueve a

travs de un elemento simple al otro nodo terminal, luego, a partir de ese nodo continua a

travs de un elemento diferente al nodo siguiente, y sigue de esta forma hasta recorrer

tantos elementos como se desee. Si no pasa a travs de ningn nodo mas de una vez,

entonces se dice que el conjunto de nodos y elementos a travs de los cuales pasa

constituye una trayectoria. Si comienza y termina en el mismo nodo, entonces por

definicin, la trayectoria se llama trayectoria cerrada o lazo.

Otro termino cuyo uso es conveniente es el de rama. Una rama se define como una


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trayectoria simple en una red, compuesta por un elemento simple y por los nodos situados

en cada uno de sus extremos. Por lo tanto, una trayectoria es una coleccin especifica de

ramas. El circuito que se muestra en las figuras 2.10 a y 2.10b contienen cinco ramas.

Ahora se puede presentar la primera de las dos leyes que deben su nombre a Gustav

Robert Kirchhoff, profesor universitario alemn nacido por la poca en que Ohm realizaba

su trabajo experimental. Esta ley axiomtica recibe el nombre de ley de corrientes de

Kirchhoff (o LCK, para abreviar), y establece que:

La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es cero.

No se demuestra esta ley aqu. Sin embargo, representa simplemente el enunciado

matemtico del hecho de que la carga no puede acumularse en ningn nodo. Es decir, si

hubiera una corriente neta hacia un nodo, entonces la razn a la que los coulombs se

estaran acumulando en el nodo no seria cero; pero un nodo no es un elemento de circuito, y

no pude almacenar, destruir o generar carga. Entonces, la suma de las corrientes debe ser

cero.

En la figura 2.11. La suma algebraica de las cuatro corrientes que entran al nodo debe ser

cero:

Figura 2.11

Es evidente que la ley se puede aplicar al igual a la suma algebraica de las corrientes

que salen de cualquier nodo:

iA iB + iC + iD = 0

Tambin se puede igualar la suma de las corrient

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