001 Sistema de Coordenadas Tridimensional[1]

5/8/2018 001 Sistema de Coordenadas Tridimensional[1] - slidepdf.com

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002 El sistema coordenado tridimensional

El sistema coordenado tridimensional



Habilidades1. Describir el sistema coordenado tridimensional.

2. Localizar un punto en el espacio cartesiano.

3. Identifica y grafica planos paralelos a los planos

coordenados y a los ejes coordenados

4. Deducir la fórmula para hallar la distancia entre dos puntosdel espacio.

5. Determinar el punto medio entre dos puntos del espacio.

6. Describir las características y grafica la ecuación de

un plano (interceptos, trazas y gráficas).



INTRODUCCIÓN

¿ Cómo podemos representar mediante un sistema de coordenadasla ubicación del cañón de proyección respecto a la esquina O ?

o



Introducción

El concepto de vector en el

plano se puede extender demanera natural ± con sololigeros cambios ± a vectoresen el espacio. En el espacio,

los vectores tienen trescomponentes en lugar dedos y que para podertrabajar la tercera

componente introducimos elsistema de coordenadastridimensional.



El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales

recibe el nombre de espacio tridimensional, y se denota porR3. Cada terna ordenada ( x ; y ; z ) se denomina punto delespacio tridimensional. z

EL ESPACIO TR IDIMENSIONAL

( x ; 0; z)

x

y

(0; 0; z ) (0; y ; z )

(0; y ; 0)

(x; 0; 0)( x ; y ; 0)

P = ( x ; y ; z )



x

y

z

plano xy: z=0

origen

EL sistema de coordenadas tridimensional

plano yz: x=0

plano xz: y=0

(0;0;0)



X

Y

Z

IR 3

EJE X

EJE Y

EJE Z



VECTOR EN EL ESPACIO

x

y

z

v2

V= (v1; v2; v3)

v1

v3

v



x

y

z

5

3

10

Ahora grafiquemos los siguientes puntos P(2,3,7) y Q(5,1,10)

2

7

1

P(2,3,7)

Q(5,1,10)



Observamos que la unión de estos puntos genera un vector

x

y

z

5

3

10

2

7

1

P(2,3,7)

Q(5,1,10) QT

Este vector viaja en la dirección

de Q a P. Esto es:

Q P QP !! Q

T



En coordenadas este vector toma la forma

x

y

z

5

3

10

2

7

1

P(2,3,7)

Q(5,1,10) QT

Q P QP !! QT

)10,1,5()7,3,2( !

)3,2,3( ! QT



2

12

2

12

2

12)()()(),( z z y y x x QP d !

La distancia d (P ,Q) entre los puntos P y Q es:

¹ º

¸©ª

¨ !

2

;2

;2

212121z z y y x x

M

y

( z

( y x

z

Q

P( x

P = ( x 1; y 1; z 1)Q = ( x 2; y 2; z 2)

x 1

x 2

y 2y 1

M

Distancia y punto medio entre dos puntos de R3

El punto medio M del segmento de recta PQ es:



Vectores unitarios conónicos i, j , k

x

z

y

i

jk

Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos

en la dirección de los ejes x , y y z respectivamente.

Todo vector v = (v1; v2; v3 ) se puede escribir en la forma:v = (v1; v2; v3 ) = v1 i + v2 j + v3 k

Se dice que el vector v está expresado como una combinación

lineal de los vectores unitarios i , j, k.



Propiedades de los vectores en el espacio

0, :

:Pr

:

;; : ;; :

ysisóloysi:

332211

2

3

2

2

2

332211

332211

332211

1

{!

!�

!

!!

!!!!

vv

vuunitarioVector

wvwvwvwvtooducto pun

vvvv Magnitud

wvwvwvwvnSustracciówvwvwvwv Adición

wvw , vwvwv Igualdad y

y

y

y

y

y

,;;y;; 321321 wwwwvvvvectores P ara los v !!

: tiene se



Ángulo entre dos vectores

vu

vu �!Ucos

¹¹ º

¸

©©ª

¨!U

vuvu .cos 1

Del producto escalar se tiene:

De donde:



Producto Vectorial

k jiv )()()( 122131132332 v uv uv uv uv uv u !v

);;();;( 321321 vvvv yuuuu !!

Se define al Producto Vectorial uxv como:

Dados los vectores

321

321

vvv

uuuvu

k ji

!v

Sin ser un determinante el producto vectorial,este puede desarrollarse como tal.



El producto vectorial

Teorema: El vector a x b es ortogonal a a y b.

Teorema: Si es el ángulo entre a y b, entonces:U

U sen ba ba !v T U ee0 ,

Ua b

axb



a

b

UU senbh !

Área del Paralelogramo

Interpretación geométrica

ba v! A



P RODUCTO DE VECTORES

Producto

es calar ( ) vTT. Q

Producto

ve ctorial ( ) v x

TT

Q

v xhallar

v ySeaTT

TT

Q

Q )8,6,1()5,3,2(

)9,21,54(

861

532 !

!v xTT

Q

Observaciones

Cuando dos vectores son paralelos?

�Geométricamente:Serán paralelos // cuando tengan la

misma dirección.

�Analíticamente: dos vectores serán paralelos cuando el

producto vectorial es el vector nulo. E jemplo

�Físicamente: serán paralelos cuando uno de ellos es igual al

otro multiplicado por un escalar.

Y cuando serán ortogonales(perpendiculares)?

�Geométricamente:Serán perpendiculares cuando formen

un ángulo de 90°.

�Analíticamente: dos vectores serán perpendiculares cuando

el producto escalar es 0. E jemplo

�!v xuTT

vuTT.E!

B

0!v xu

TT



321

321

321

)(c c c

bbb

aaa

!v�

Producto escalar Triple

,);;(a 321 aaa!

);;( 321 bbbb !

Dados los vectores

);;( 321 cccc !y

Se define al producto escalar triple como:



h ba v

ba v

U

Interpretación Geométrica

c

a

b

c)( baV v�!

Volumen del paralelepípedo



Proy e ccion es...)3,7,1( Q

T

)2,9,7(vT

vv

vu

yv

u

T

T

TT

T

T.

.

Pr 2!

2,9,7.48149

6637.

.Pr

22

!! v

v

vu y

v

u

TT

TT

T

T

2,9,7.134

76Pr !

v

u yT

T



)3,1,2( QT

)2,1,5(vT

v xTT

Q

Á r e a d e l p aral e logramo

v xTT

Q

)2,1,5()3,1,2( x Á rea !

)3,19,5( ! Á rea2395936125 u Á rea !!

Observación

El producto vectorial siempre va a generar otro vector y éste va

hacer siempre perpendicular al plano......

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