7/21/2019 002 Perpendicularidad y Paralelismo

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 FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

CARRERA PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICA

Profesor: Rodrigo Jiménez Villarroel

Tema: Perpendicularidad y Paralelismo

1.  Se dice que dos rectas son perpendiculares  cuando alcortarse forman cuatro ángulos de igual medida. Por

consecuencia, todos los ángulos iguales son rectos. Se

representa con el símbolo . En la imagen, se tiene que

 MN PQ  .

2.  Se dice que dos rectas son oblicuas cuando se cortan y no

son perpendiculares.

3. 

Postulado: Por un punto exterior a una recta, en un plano, pasa una y sólo una recta perpendicular a dicha recta.

4.  Teorema:  Si por un punto exterior a una recta se traza una perpendicular y variasoblicuas, se cumple:

4.1. El segmento de perpendicular comprendido entre el punto y la recta es menor que

cualquier segmento de oblicua.

4.2. 

Los segmentos de oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular son deigual medida.

4.3. De dos segmentos de oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular,es mayor aquel que dista más.

  Realizar las demostraciones correspondientes.

5.  Teorema recíproco del anterior: Si por un punto exterior a una recta se trazan varias

rectas que cortan a la primera, se cumple que:

5.1. El menor de los segmentos comprendidos entre el punto y la recta es perpendiculara ésta.

5.2. 

Si dos segmentos oblicuos son iguales, sus pies equidistan del pie de la perpendicular.

5.3. Si dos segmentos oblicuos son desiguales, el pie del segmento mayor dista más del

 pie de la perpendicular que el segmento menor.

  Desarrolle la demostración.

6.  La longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta corresponde a

la distancia del punto a la recta.

7.  Se dice que dos rectas son paralelas cuando están en

un mismo plano y no se cortan por mucho que se las prolongue, es decir, no tienen ningún punto común.

  En la figura se tiene que la recta AB es paralela a

CD, es decir,  AB CD  

8.  Teorema: Dos rectas de un plano, perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí.

  Demostración por absurdo.

8.1. Corolario:  Por un punto exterior a una recta, pasa una paralela a dicha recta.

Demostrar.

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9.  Postulado de Euclides:  Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a

dicha recta.

9.1. Corolario I: Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.9.2. Corolario II: Si una recta corta a otra, corta también a las paralelas a ésta.

9.3. Corolario III: Si una recta es perpendicular a otra, es también perpendicular a toda

 paralela a esta otra.Demostrar.

10. La relación de paralelismo es10.1.  Idéntica, toda recta es paralela a sí misma.

10.2.  Recíproca, si una recta es paralela a otra, ésta es paralela a la primera.

10.3.  Transitiva, dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.

11. Paralelas cortadas por una secante

11.1.  Postulado:  Toda secante forma con dos paralelas ángulos correspondientescongruentes.

LEMA: Si una secante forma con dos rectas de un plano, ángulos correspondientescongruentes, dichas rectas son paralelas. La demostración se realiza por el

método de reducción al absurdo. 

Demostración lema:

Sea la siguiente construcción auxiliar:

Se trata de demostrar entonces que si 1 y 

5

 

tienen igual medida, entonces las rectas

// MN PQ  .

HIP: 1 5m m  

(puede ser cualquier parde ángulos correspondientes).

TES: // MN PQ 

Supongamos que  MN  no es paralela a  PQ 

Entonces se puede trazar una recta paralela a

 PQ 

 por el punto O que se llamará TU  

talcomo lo señala la imagen.

Luego 'm ROT m PO O  

Además 'm MOR m PO O  

Entonces m ROT m MOR  

Lo que es imposible, a menos que la recta TU  

coincida con la recta  MN . Por lo tanto,

debe cumplirse que  MN  y  PQ sean paralelas.

11.2.  Teorema:  Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos

congruentes. Demostrar y redactar su recíproco.

11.3.  Teorema: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos

iguales. Demostrar. ¿Cuál es su recíproco?11.4.  Teorema: Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.

Demostrar y enunciar su recíproco.11.5.

 

Teorema: Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.Demostrar y enunciar su recíproco.

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12.  Propiedades de ángulos con lados perpendiculares o paralelos.

12.1.  Teorema:  Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos ydirigidos en el mismo sentido tienen igual medida.

12.2.  Teorema:  Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y

dirigidos en el sentido contrario tienen igual medida.12.3. 

Teorema: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos

dirigidos en el mismo sentido y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos

son suplementarios.12.4.  Teorema: Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares

tienen igual medida.

12.5.  Teorema:  Dos ángulos, uno obtuso y otro agudo, que tienen sus ladosrespectivamente perpendiculares son suplementarios.

12.6.  Teorema:  Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente

 perpendiculares son iguales.

13. 

Realizar los siguientes ejercicios:

13.1.  A partir de la figura, demostrar que si  AB CD 

entonces 1 2 3 2 R  

13.2.  Demuestre que si CE es bisectriz del  BCD  

y  A B  

entonces  EC AB  

Bibliografía:

L. Galdos. Geometría y Trigonometría. Libro III.

Clemens. Geometría. Capítulo I.

Aguilar, A. Geometría, trigonometría y geometría analítica. Ed. Prentice Hall.