of 11 /11
ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (1)  ΑΣΚΗΣΗ : Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f για τις οποίες ισχύει: 2 2 ( ) 2 ( ) 2 0  f x f x x  = , για κάθε  f  x D ,  ΛΥΣΗ : Είναι: 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 0 ( ) 1 1 ( ) 1 1  f x f x x f x x  f x x = 2  Επομένως, η συνάρτηση ( ) ( ) 1  g x f x  έχει πεδίο ορισμού το και μηδενίζεται όταν ( , 1] [ 1, ) 1  ή 1  x x  = . Επειδή όμως είναι συνεχής, θα διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα και (1 . ( , 1 ) ) , )   Αν στο διάστημα ή στο διάστημα (1 ( , 1 , )  η είναι θετική, τότε θα ισχύει: ( ) ( ) 1  g x f x  2 ( ) 1 1  f x x = , οπότε θα έχουμε 2 ( ) 1 1  f x x   Αν στο διάστημα ή στο διάστημα (1 ( , 1 ) , )  η είναι αρνητική, τότε θα ισχύει: ( ) ( ) 1  g x f x  2 ( ) 1 1  f x x = , οπότε θα έχουμε 2 ( ) 1 1  f x x  Επομένως, υπάρχουν τέσσερις συνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιούν την αρχική ισότητα, οι: Γεώργιος Χαρ. Πολύζος, Ε.Μ.Ε., Φθινόπωρο 2008 1/11

01_ Πεπλεγμένες Συναρτήσεις

  • Author
    jim-kat

  • View
    16

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555

Text of 01_ Πεπλεγμένες Συναρτήσεις

  • (1)

    : f :

    2 2( ) 2 ( ) 2 0f x f x x + = , fx D , :

    :

    ( )22 22

    ( ) 2 ( ) 2 0 ( ) 1 1

    ( ) 1 1

    f x f x x f x x

    f x x

    + = = =

    2

    , ( ) ( ) 1g x f x= ( , 1] [1, + ) 1 1x x= = .

    ,

    (1 .

    ( , 1 )

    )

    , )+

    (1( , 1 , )+ , :

    ( ) ( ) 1g x f x=

    2( ) 1 1f x x = , 2( ) 1 1f x x= +

    (1( , 1 ) , )+ , :

    ( ) ( ) 1g x f x=

    2( ) 1 1f x x = , 2( ) 1 1f x x=

    ,

    , :

    . , ..., 2008 1/11

  • ) 2( ) 1 1, ( , 1] [1, )f x x x= + + ,

    ) 2( ) 1 1, ( , 1] [1, )f x x x= + ,

    . , ..., 2008 2/11

  • ) 2

    2

    1 1, ( ,( )

    1 1, (1,

    x xf x

    x x

    + = +

    1)

    )

    ) 2

    2

    1 1, ( ,( )

    1 1, (1,

    x xf x

    x x

    =+ +

    1)

    )

    . , ..., 2008 3/11

  • (2).

    f : 3( ) 3 ( ) , f x f x x x = \ .

    ) f 1-1

    .

    ) f

    ;

    R

    :

    ) 1 2,x x R , 1( ) ( )2f x f x= . 1 1 1 2 2

    3 3( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )2x f x f x x f x f x= = . f 1-1. 1x x= 2 f ( )y f x= x\ , x :

    3 3x y y= f , :

    11 3( ) 3 , ff x x x x D =

    1f , R 1f 1-1,

    3( ) 3 ,g x x x x= R 1-1.

    ) f . ,

    f ,

    ,

    R

    R1f ,

    f, .

    . , ..., 2008 4/11

  • 1f

    , R 1f

    f. 1 3( ) 3 ,f x x x x = 1-1, o

    : R

    ( ), 1 , 1, 1 1, + . ,

    3( ) 3g x x= x . f R .

    R

    f

    , ,

    ( ) (0 , 2 2,x +)[ ]0 2, 2x .

    ) f:

    0x R . 0, x x xR , : 3 ( ) 3 ( )f x f x = x 0 3 0 0( ) 3 ( )f x f x x = ,

    . , ..., 2008 5/11

  • , , :

    ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 (1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3f x f x f x f x f x f x x x + + = :

    ( )2 20 0( ) ( ) ( ) 3h z z f x z f x= + + , ( )2 03 ( ) 4f x = :

    ( )2 0( ) 44

    3min ( ) 4

    f xm h z

    = = = , :

    ( )2 20 0( ) ( ) ( ) 3 , h z z f x z f x m z= + + R :

    ( )2 20 0( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 , h f x f x f x f x f x m x= + + R ,

    A , 0 0( ) 2 ( ) 2f x f x< > ( )1 , , , (1), :

    0 02 2x x< >0min ( )m h z >=

    ( )2 20 0( ) ( ) ( ) ( ) 3 0, (2)f x f x f x f x m x+ + > R :

    ( )0 0 02 20 01 1( ) ( ) (3)

    ( ) ( ) ( ) ( ) 3f x f x x x x x

    mf x f x f x f x = + +

    0

    0lim - 0x x x x = . 0 0lim ( ) ( )x x f x f x = , f

    0x .

    f ( ) ( )0 , 2 2,x + . ( )1

    3( ) 3 , g x x x x= R( ], 1 [ )1,+ [ ]1, 1 . :

    0 0 0 0

    0 0

    ( ) 2 ( ) 2 ( ( )) ( 2) ( ( )) (2)

    2 2f x f x g f x g g f x g

    x x

    < > < > < >

    . , ..., 2008 6/11

  • A , 02 ( )f x 2 2 02 x ,

    , f

    min ( ) 0m h z= 0x .

    f

    , [ 2, 2] f

    [ 2, 2] .

    ) f:

    A , , (1) (2), : 0 02 x x< > 2

    ( )0 2 20 0 0( ) ( ) 1

    ( ) ( ) ( ) ( ) 3f x f x

    x x f x f x f x f x = + +

    f 0x , :

    ( ) ( )0

    0

    00

    0

    22 200 0

    ( ) ( )( ) lim

    1 1lim3 ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) 3

    x x

    x x

    f x f xf xx x

    f xf x f x f x f x

    = = = + +

    f ( ) ( ), 2 2,x + . , ,

    f

    02 x 20x .

    f

    , [ 2, 2] f

    [ 2, 2] .

    . , ..., 2008 7/11

  • (3).

    f :

    f x f x x+ = 3( ) 3 ( ) , x R . f:

    ) 1-1 .

    )

    , R R ( ], 0 [ )0, + .

    :

    ) 1 2,x x R , 1( ) ( )2f x f x= . 1 1 1 2 2

    3 3( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )2x f x f x x f x f x= + = + . f 1-1. 1x x= 2 f ( )y f x= x\ , x :

    3 3x y y= + f , :

    11 3( ) 3 , ff x x x x D = +

    f

    .

    0y R 0x R , 0( ) 0f x y= . . 0y R 0 03 3 0x y y= +

    . , ..., 2008 8/11

  • 0x 0( ) 0f x y= . , :

    30 0 0 0 0 0

    3

    0

    0

    0 0

    3 3

    0

    3

    3(,

    ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )( ( )

    1 1( )) ,

    ( )) g f g

    f

    f x f x x f x f x y yx y g x

    x y g

    ++

    + = + ==

    =

    =x x

    , 1 3( ) 3 , f x x x x = + R .

    1) f:

    0x R . 0, x x xR , : 3( ) 3 ( )f x f x+ x= 0 3 0 0( ) 3 ( )f x f x x+ = ,

    , , :

    ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 (1)f x f x f x f x f x f x x x + + + = :

    ( )2 20 0( ) ( ) ( ) 3h z z f x z f x= + + + , :

    ( )2 0( ) 4min ( ) 3 04f xm h z += = > , :

    ( )2 20 0( ) ( ) ( ) 3 0, h z z f x z f x m z= + + + > R :

    ( )2 20 0( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0, h f x f x f x f x f x m x= + + + > R , :

    ( )0 0 02 20 01 1( ) ( ) (2)

    ( ) ( ) ( ) ( ) 3f x f x x x x x

    mf x f x f x f x = + + +

    . , ..., 2008 9/11

  • 0

    0lim - 0x x x x = . 0 0lim ( ) ( )x x f x f x = , f . 0 Rx f . R

    2) f:

    0x R . 0, x x xR , , , :

    ( )0 2 20 0 0( ) ( ) 1

    ( ) ( ) ( ) ( ) 3f x f x

    x x f x f x f x f x = + + +

    f 0x , :

    ( ) ( )0

    0

    00

    0

    22 200 0

    ( ) ( )( ) lim

    1 1lim3 ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) 3

    x x

    x x

    f x f xf xx x

    f xf x f x f x f x

    = = = ++ + +

    f R

    ( )21( ) 0 (1)

    3 ( ) 1f x

    f x = >+

    , f , R (0) 0f = , :

    ( )( ) 0, , 0f x < , (0) 0f = & ( ) (2)( ) 0, 0,f x > + f , (1), R f R :

    ( )322 ( ) (3)

    9 ( ) 1( ) f x

    f xf x =

    +

    . , ..., 2008 10/11

  • , (2), f ( , 0 , )0, + (0,0)

    13

    y x= .

    . , ..., 2008 11/11