01-Apostila Logica Andre

8/15/2019 01-Apostila Logica Andre

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FUNDAMENTOS DE LÓGICAPARA ADMINISTRAÇÃOAndré LuizGaldino


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SUMÁRIO

1. Noções de Lógica Matemática 31.1 Cálculo Proposicional 4

1.2 Tabelas Verdade 161.3 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia 24

1.4 Implicação e Equivalência Tautológica 27


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d e L ó g i c a p a r a A d m i n i s t r a ç ã o

1. Noções de Lógica MatemáticaDa mesma forma que um feirante pode fazer inúmeras e variadas contasde porcentagem, sem ao menos ter tido contato com a denição formal epropriedades do que venha ser porcentagem , as vezes usamos um conceito(palavra) sem ao menos saber de onde, o porque e como ele surgiu. Porexemplo, quem nunca ouviu uma frase do tipo: Isso não tem lógica! Será que, na maioria das vezes, quem pronuncia a referida frase sabe oque signica lógica num sentindo geral ou especíco da palavra? Então,ca a pergunta: o que signica lógica ? Se for realizada uma pequena

pesquisa num dicionário você poderá encontrar algo como:

Lógica: 1 Modo de raciocinar tal como de fato se exerce: Lógicanatural . 2 Filos Estudo que tem por objeto determinar quaisas operações que são válidas e quais as que não o são: [...] L.matemática: o mesmo que lógica simbólica . L. simbólica :ciência do desenvolvimento e representação de princípios lógicosmediante símbolos, a de constituir um cânone exato de dedução,baseado em ideias primitivas, postulados e regras de formação etransformação; também chamada lógica matemática . (Dicio-nário Michaelis)

No século IV a.c. Aristóteles sistematizou o estudo das condiçõesem que podemos armar que um dado raciocínio é correto como Lógica .Em outras palavras, a ógica constituiu-se como uma ciência autônomapara estudar o pensamento humano e distinguir inferências e argumentoscertos e errados. No entanto, ao longo da história muitas são as deniçõesdadas à palavra lógica. Uns denem a lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento ”. Porém, outros acreditam que uma denição maisadequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio ”. De um modo geral,

vamos assumir como denição de lógica a ciência que estuda as formasou estruturas do pensamento.Dentre as muitas contribuições de Aristóteles para a criação e o de-

senvolvimento da lógica, como a conhecemos hoje, citamos a criação determos fundamentais para analisar a lógica do discurso. A saber, Válido,Não Válido , Contraditório , Universal , Particular .

Porém, aquela lógica aristotélica possuía limitações as quais impe-diam o avanço da ciência, como por exemplo, baseava-se no uso da lin-guagem natural e, isto por sua vez, levava a confusões que envolvia osentido das palavras. Com o intuito de transpor tais limitações Gott-

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fried Wilhelm Leibniz (1646 − 1716) apresentou uma nova lógica base-ada no princípio de notação universal e articial, bem como num cálculode signos.

E a partir daí, com as diversas contribuições de estudiosos tal comoGottlob Frege ,Giuseppe Peano , Bertrand Russel e George Boole a lógicafoi se transformando até se tornar uma álgebra/cálculo com uma novalinguagem simbólica, chamada lógica matemática . Em outras palavras,a lógica tornou-se o que de fato vemos hoje, um sistema completo desímbolos e regras de combinação desses símbolos para obter conclusõesválidas.

1.1 Cálculo Proposicional

O objetivo da lógica proposicional é modelar o raciocínio, tendo comobase frases declarativas, as quais chamamos de proposições . De outraforma, a lógica proposicional estuda como raciocinar com armaçõesque podem ser verdadeiras ou falsas . Ou ainda, como construir a partirde um certo conjunto de hipóteses , verdadeiras num determinado con-texto, uma demonstração (prova) de que uma determinada conclusão éverdadeira no mesmo contexto. Sendo um dos exemplos mais simplesde lógica formal, a lógica proposicional considera apenas a forma dasproposições e se elas são verdadeiras ou falsas . Porém, contém prati-camente todos os conceitos importantes necessários para o estudo de

outras lógicas complexas.Neste sentido, um cálculo proposicional consiste em: (1) um conjuntode símbolos primitivos, denidos como fórmulas atômicas , proposições atômicas , ou variáveis ; (2) um conjunto de operadores , interpretadoscomo operadores lógicos ou conectivos lógicos .

Sendo assim, iniciamos por apresentar o conceito de proposição , queé usado num sentido técnico.

Denição 1.1. Por uma proposição queremos dizer uma declaração queé verdadeira ou falsa, mas não ambos.

Denição 1.2. O valor verdade , ou valor lógico, de uma proposição é oestado que indica se a proposição é verdadeira ou falsa. Sendo assim ovalor verdade será: Verdadeiro (V), quando se trata de uma proposiçãoverdadeira ou Falso (F), quando se trata de uma proposição falsa.

De fato, o importante não é o valor verdade, V ou F, que as propo-sições possam assumir num determinado contexto interpretativo, mas apossibilidade de que “em princípio” seja possível atribuir um valor ver-dade a elas, e que seja possível raciocinar com tais proposições. Emoutras palavras, não é necessário que saibamos se a proposição é verda-

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deira ou falsa, a única exigência é que ela deve ser denitivamente umacoisa ou outra. Sendo assim, assumimos os seguintes princípios:

Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades (valores lógicos), isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F),não podendo ter outro valor.

Exemplo 1.3. Cada uma das seguintes frases é uma proposição:

1) Goiânia é uma cidade no estado de Goiás.

2) 3 + 4 é 5.

3) A lua e feita de caramelo.

4) Não há vida inteligente em Saturno.

5) Está nevando.

6) -1 é raíz da equação x 2 − x + 1 = 0 .

7) As pirâmides do Egito são feitas de gelo.

8) Tinha um mosquito na Arca de Noé.

9) Todo gato é um felino.

Claramente, (a) e (i) são verdadeiras, enquanto (b), (c), (f) e (g) sãofalsas. Podemos ter dúvidas quanto ao status (verdadeiro ou falso) de(d) e (h). A veracidade ou falsidade da sentença (e) depende do local edas condições meteorológicas no instante em que essa declaração é feita.

Exemplo 1.4. As frases seguintes não são proposições, porque não fazsentido questionar se alguma delas é verdadeira ou falsa.

1) Vamos a praia!

2) Tudo bem com você?3) Que horas são?

4) Bom dia!

É fácil notar que as proposições, geralmente, expressam a descrição deuma realidade e que representa uma informação enunciada por uma ora-ção e, portanto, pode ser expressa de maneiras diferentes. Por exemplo:

Gabriela é maior que Letícia . ou Letícia é menor que Gabriela .

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Exercícios Propostos

Determine se cada uma das seguintes sentenças é uma proposição.

1. Em 7 de junho de 1442 nevou em algum lugar no Rio Grandedo Sul.

2. Aristóteles tinha pés chatos.

3. O socialismo está errado.4. O homem mais rico do mundo é o Sr. Astrônio, de Terra

Roxa.

5. O lme “fogo contra fogo” é bom.

6. x2 = − 1

7. Joana e Pedro são pessoas boas.

8. Eu estou usando facebook .

9. Quanto vale este carro?

10. Saia da grama.

11. (x + y)2 = x 2 + y2 .

12. Use sempre cinto de segurança.

13. Beethoven escreveu algumas das músicas de Chopin.

14. Não minta!

15. Existe vida inteligente na lua.

16. Ela não é ciumenta.

17. Dentre as proposições dadas anteriormente, indique aquelasque você acha que devem ser verdadeiras (V) ou falsas (F),e aquelas cujo status pode ser difícil determinar.

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Denição 1.5. As proposições universais são aquelas em que o predi-cado refere-se à totalidade do conjunto.

Exemplo 1.6. Fique atento à estrutura das seguintes proposições uni-versais.1) Todos os homens são mentirosos . Esta proposição é universal ar-

mativa.

2) Toda regra é certa . Esta proposição é universal armativa.

3) Nenhum homem é mentiroso . Esta proposição é universal negativa.

4) Nenhuma bola é quadrada . Esta proposição é universal negativa.

Na Denição 1.5 incluímos o caso, universal, em que o sujeito é unitário.

5) A vaca berra .

6) O lho tem mãe .

7) Açucar é doce .

8) Peixe nada .

Denição 1.7. As proposições existenciais são aquelas em que o predi-cado refere-se apenas a uma parte do conjunto.

Exemplo 1.8. Fique atento à estrutura das seguintes proposições exis-tenciais.

1) Alguns homens são mentirosos . Esta proposição é existencial arma-tiva.

2) Alguns homens não são mentirosos . Esta proposição é existencialnegativa.

3) Alguns alunos não são estudiosos . Esta proposição é existencial ne-gativa.

4) Alguns professores são bons educadores . Esta proposição é existencialnegativa.

Uma pergunta natural que surge aqui é: Quantos elementos são necessá-rios para caracterizar “alguns”? Em matemática e, consequentemente,em lógica “alguns” signica “pelo menos um”.

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Verique quais das seguintes são proposições universais, existen-ciais, armativas ou negativas.

1. Todos os homens de bigode são preguiçosos.

2. Nenhum pedreiro é eletricista.

3. Alguns peixes respiram ar.4. Algum estudante tem uma camisa azul.

5. Todo ser humano é mortal.

6. Todos os quadrados tem quatro lados.

7. Alguns números reais são racionais.

8. Nenhum cachorro mia.

9. Todo número entre 0 e 1 é menor que − 1.10. Alguns homens são criminosos.

11. Nenhuma mulher é ciumenta.

12. Todos os dias são ensolarados.

13. Nenhuma mulher deve apanhar de um homem.

14. Nenhum homem deve bater em uma mulher.

15. Todas as crianças estão brincando.16. Algumas palavras ferem.

17. Todas as provas de matemática são difíceis.

18. Todo advogado é cruel.

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Como vimos anteriormente, proposição é simplesmente um enunciadoverbal que pode ser verdadeiro ou falso. Além disso, uma proposiçãopode ser simples ou composta .

Denição 1.9. Uma proposição simples é toda sentença que contémapenas uma única frase armativa.

Exemplo 1.10. Todas as proposições que vimos até o momento sãosimples. Ademais temos:

1) O gato é pequeno.

2) O cachorro é bravo.

3) x 2 = 1 .

4) O carro é vermelho.5) Esse exemplo é sobre lógica.

6) |y | = 0

Denição 1.11. Uma proposição composta é toda sentença formada porduas ou mais proposições.

A pergunta que surge naturalmente é: Tudo bem! Entendi a de-nição, mas como vou construir proposições compostas? A resposta a

essa pergunta é simples. Para construir proposições compostas usamosas palavras “e ”, “ou ”, “Se ..., então ” e “se, e somente se ”, chamadasconectivos .

Sabemos ainda que existem palavras que modicam o sentido de umafrase. Por exemplo, a palavra “não ”. Quando usamos a palavra “não ” oresultado é a negação da frase original. Por exemplo, se temos a frase:“A terra é um planeta”. Com a palavra “não ” teremos a negação destafrase, que é, “A terra não é um planeta”.

Exemplo 1.12. Considerando as proposições simples dadas no Exemplo1.10, dentre outras, podemos construir as seguintes proposições compos-tas:1) O gato é pequeno e o cachorro é bravo.

2) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.

3) Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelho e o gatonão é pequeno.

4) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.

5) O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo.

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6) Se x2 = 1 , então x = 1 ou x = − 1.

7) |y | = 0 se, e somente se, y = 0 .

8) Se você está com fome, então coma um sanduíche.9) Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais.

10) Você não tem nada a dizer ou está mentindo.

11) Eu queria um bolo e algo menos calórico.

Exemplo 1.13. Observe as seguintes proposições compostas e extraiadelas as proposições simples.

1) A lua é quadrada ou a neve é branca.

(a) A lua é quadrada. (simples)(b) A neve é branca. (simples)

2) Se o inferno car frio então eu me caso com você.

(a) O inferno ca frio. (simples)(b) Eu me caso com você. (simples)

3) Se o meu carro pifar e o meu amigo for a festa, então eu co em casa.

(a) O meu carro pifa. (simples)(b) Meu amigo vai a festa. (simples)(c) Eu co em casa. (simples)

4) Aplico a prova se, e somente se, os alunos aparecerem e estivem todosde branco.

(a) Aplico a prova. (simples)(b) Os alunos aparecem. (simples)

(c) Todos estão de branco. (simples)5) Eu vou casar ou comprar uma bicicleta.

(a) Eu vou casar. (simples)(b) Eu vou comprar uma bicicleta. (simples)

6) Vou viajar se, e somente se, o meu gato latir.

(a) Vou viajar. (simples)(b) Meu gato late. (simples)

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Extraia das proposições compostas dadas, as proposições simples.Na seqüência, com essas mesmas proposições simples, construanovas proposições compostas, diferentes das já dadas.

1. 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3.

2. Se Maria for ao cinema, então João ca em casa e Letícia joga video game.

3. π é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2.

4. Trabalho durante o jogo ou vou dormir.

5. O gato é pequeno e o cachorro é bravo.

6. O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.

7. Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelhoe o gato não é pequeno.

8. Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.

9. O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo.

10. Se x 2 = 1 , então x = 1 ou x = − 1.

11. |y | = 0 se, e somente se, y = 0 .

12. Não é verdade que não esta chovendo.

13. Se eu estudar, então passo em lógica ou carei chateado.

14. Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança milio-nária, então co milionário.

15. Se você está com fome, então coma um sanduíche.

16. Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais.

17. Você não tem nada a dizer ou está mentindo.

18. Eu queria um bolo e algo menos calórico.

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Na lógica proposicional não trabalhamos realmente com frases, massim com variáveis proposicionais que representam as proposições. Sendoassim, a menos que digamos o contrário, usaremos letras minúsculas, taiscomo p, q , r , ... para representar proposições simples, e letras maiúsculasP , Q , R , ... para representar proposições compostas. Por exemplo,

p: A lua é quadrada. (simples)

Q : Se o meu carro não funcionar, então vou car em casa. (composta)

Da mesma forma que usamos letras maiúsculas e minúsculas pararepresentar uma proposição, usamos alguns símbolos especiais, chamadosde conectivos lógicos ou operadores lógicos , para representar os conectivos“e ”, “ou ”, “não ”, “Se ..., então ” e “se, e somente se ”, os quais sãoapresentados na sequência.

Denição 1.14. O conectivo “não ” é representado pelo símbolo .Sendo assim, a negação de uma proposição p é a proposição p (lê-se: não p).

Exemplo 1.15. Observe que o conectivo lógicoage apenas sobre umaúnica proposição.

p: A terra é um planeta.

p: A terra não é um planeta.

Denição 1.16. O conectivo “e ” é representado pelo símbolo . Como conectivo lógico obtemos a partir de duas proposições p e q , umanova proposição p q (lê-se: p e q ) chamada conjunção.

Exemplo 1.17. Observe que ao contrário do conectivo lógico , o co-nectivo lógico age sobre duas proposições.

p: A terra é uma estrela.

q : O gato é um animal.

p q : A terra é uma estrela e o gato é um animal.

Denição 1.18. O conectivo “ou ” é representado pelo símbolo. Como conectivo lógico obtemos a partir de duas proposições p e q , umanova proposição p q (lê-se: p ou q ) chamada disjunção.

Exemplo 1.19. Observe que, assim como o conectivo , o conectivo age sobre duas proposições.


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p q : A terra é uma estrela ou o gato é um animal.

Denição 1.20. O conectivo “se..., então ” é representado pelo símbolo→, Com o conectivo lógico→ obtemos a partir de duas proposições p eq , uma nova proposição p → q (lê-se: Se p , então q ) chamada implicaçãoou condicional.

Exemplo 1.21. Observe que este conectivo também age sobre duasproposições.



p → q : Se a terra é uma estrela, então o gato é um animal.Denição 1.22. O conectivo “se, e somente se ” é representado pelosímbolo ↔. Com o conectivo lógico ↔ obtemos a partir de duas pro-posições p e q , uma nova proposição p ↔ q (lê-se: p se, e somente se, q )chamada dupla implicação ou bicondicional.

Exemplo 1.23. Observe que este conectivo também age sobre duasproposições.



p ↔ q : A terra é uma estrela se, e somente se , o gato é um animal.

Além das variáveis proposicionais e dos conectivos lógicos, usamos umsímbolo auxiliar, a saber os parênteses “( )”, para evitar ambiguidades edelimitar o “alcance” de cada conectivo. Considere a proposição:

p q r .

Sem uma regra denida, podemos colocar os parênteses nesta proposiçãode duas formas diferentes. Vejamos:

( p q ) r ou p (q r )

Note que estas duas proposições são distintas e que a colocação deparênteses, sem uma regra de uso denida, delimita o “alcance” de cadaconectivo, porém, pode não eliminar a ambiguidade. Sendo assim, parauma melhor organização e evitar ambiguidades, os parênteses serão usa-dos seguindo a seguinte ordem dos conectivos:

→ ↔

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Temos ainda a possibilidade de haver mais de uma ocorrência, conse-cutivas, do mesmo conectivo, e neste caso adotaremos a convenção peladireita, ou seja, se temos a proposição

p → q → r → t → h

colocamos primeiro os parênteses no último conectivo→ a direita, depoisno penúltimo e assim por diante, ou seja, a proposição acima deve serentendida como

( p → (q → (r → (t → h ))))

Exemplo 1.24. Se temos a proposição

p q r → p → q

colocamos os parênteses obedecendo a order dos conectivos apresentadaanteriormente e, dessa forma, obtemos:

((( p q ) ( r )) → ( p → ( q )))

Exemplo 1.25. Escreva as seguintes proposições em linguagem simbó-lica, colocando apropriadamente os parênteses.

1) Se o cachorro latir e o gato miar, então a lua é uma estrela.Sendo p: o cachorro late, q : o gato mia e r : a lua é uma estrela, vem

que:( p q ) → r

2) O cachorro late e se o gato miar, então a lua é uma estrela.Sendo p, q e r representando as proposições como no item anterior,vem que:

p (q → r )

3) Se o cachorro não late ou o gato mia, então a lua não é uma estrela.Sendo p, q e r como antes, vem que:

(( p) q ) → ( r )

4) O cachorro late ou o gato mia se, e somente se, a lua é uma estrela.Em linguagem proposicional temos:

( p q ) ↔ r

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1. Coloque apropriadamente os parênteses nas proposições aseguir.

(a) p q q r

(b) p q → h → r → s(c) g ↔ f q h r s(d) p → r q → r(e) q p → q (f) p q p(g) p → q r(h) p q → r

2. Escreva em linguagem simbólica as seguintes proposições.

(a) 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3.(b) Se Maria for ao cinema, então João ca em casa e Le-

tícia joga video game.(c) π é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2.(d) Não é verdade que não esta chovendo.(e) Se eu estudar, então passo em lógica ou carei chate-

ado.(f) Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança,

então co milionário.(g) Se não sei dirigir, então não tenho CNH.(h) O gato é pequeno e o cachorro é bravo.(i) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.(j) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.(k) Se x2 = 1 , então x = 1 ou x = − 1.(l) |y | = 0 se, e somente se, y = 0 .

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1.2 Tabelas Verdade

A Tabela Verdade é um instrumento eciente usado em lógica para de-terminar se uma expressão é verdadeira ou falsa, válida ou invalida.

Denição 1.26. Por subproposições entendemos o conjunto formadopor todas as proposições que ocorrem na proposição P , observando aprecedência entre os conectivos.

Exemplo 1.27. Determine o conjunto de subproposições da proposição

(( p q ) → r )

Solução. Na proposição dada temos que o conectivoprecede o conec-tivo →, que por sua vez precede o conectivo. Ou seja, para determinaros possíveis valores verdade de (( p q ) → r ) antes precisamos deter-minar os possíveis valores verdade de ( p q ) → r . E para determinar ospossíveis valores verdade de ( p q ) → r , primeiro precisamos determi-nar os possíveis valores verdade de p q . No entanto, antes de tudo, énecessário apresentar os possíveis valores verdade de p, q e r . Portanto,concluímos que a proposição (( p q ) → r ) possui o seguinte conjuntode subproposições:

{ p, q, r, p q, ( p q ) → r, (( p q ) → r )}.

Denição 1.28. Tabela Verdade é o conjunto de todas as possibilidadescombinatórias entre valores verdade de diversas variáveis lógicas, as quaisse encontram em apenas duas situações, verdadeiro (V) ou Falso (F), eum conjunto de conectivos lógicos.

A Denição 1.28 nós diz que a Tabela Verdade de uma proposiçãoP determina quais são os possíveis valores verdade da proposição P ,considerando os possíveis valores verdade das subproposições contidasna proposição P .

Neste sentido, a Tabela Verdade de uma proposição P é formada porlinhas e colunas, onde o número de linhas é determinado pelo númerode proposições simples contidas na proposição P , e o número de colunasé determinado pelo número de subproposições da proposição P . Emoutras palavras, a Tabela Verdade da proposição P consiste:

1. De uma linha em que estão contidas todas as proposições simplese demais subproposições da proposição P . Por exemplo, suponhaque a proposição P seja (( p q ) → r ). Como vimos no Exemplo1.27, o conjunto de subproposições desta proposição é:

{ p, q, r, p q, ( p q ) → r, (( p q ) → r )}.

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Tabela 1.1: Primeira linha da Tabela Verdade.

p q r p q ( p q ) → r (( p q ) → r )

Consequentemente, como a proposição dada possui 6 subproposi-ções, a sua Tabela Verdade possui 6 colunas e a primeira linhadesta tabela é dada por:

2. De L linhas em que estão todos os possíveis valores verdade, Vou F, que as proposições simples contidas em P possam assu-mir. O número destas linhas é L = 2 n , sendo n o número deproposições simples contidas em P . No exemplo acima, a fórmula

(( p q ) → r ) contém 3 proposições simples p, q e r e, portanto,a Tabela Verdade dessa proposição vai conter L = 2 3 = 8 linhas,que representam as possibilidades combinatórias entre os valoresverdade de p, q e r . A saber:

Tabela 1.2: Possibilidades combinatórias entre os valoresverdade de p , q e r .

p q r p q ( p q ) → r (( p q ) → r )

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Observe que na Tabela Verdade 1.2 existem algumas colunas nãopreenchidas. Tais colunas serão preenchidas de acordo com a TabelaVerdade do principal conectivo lógico envolvido em cada uma das co-

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lunas. Por exemplo, na quarta coluna o principal conectivo lógico é aconjunção , cujos valores verdade dependem dos valores verdade dasproposições simples p e q . Agora na quinta coluna, o principal conectivológico é a implicação →, pois este é precedido pelo conectivo lógico .Note ainda que os possíveis valores verdade desta coluna dependem dospossíveis valores verdade da proposição simples r e dos possíveis valoresverdade da proposição p q , os quais neste momento já foram deter-minados na quarta coluna. Finalmente, na última coluna o principalconectivo lógico é a negação , pois este é precedido pelos conectivoslógicos e →, e os valores verdade desta última coluna depende unica-mente dos valores verdade de ( p q ) → r , os quais, neste momento, jáforam determinados na quinta coluna.

Na seqüência apresentaremos as denições das Tabelas Verdade decada um dos conectivos lógicos apresentados anteriormente. Fique atentoàs referidas denições e as estude com calma, pois, elas formam a basepara a construção da Tabela Verdade de qualquer proposição composta.Denição 1.29. A proposição p é a negação da proposição p, demaneira que se p é verdadeira então p é falsa, e vice-versa.

Tabela 1.3: Tabela Verdade da Negação.

p p

V F

F V

Denição 1.30. A conjunção p q será verdadeira somente quando asduas proposições p e q forem verdadeiras.

Tabela 1.4: Tabela Verdade da Conjunção.

p q p q

F F F

V F F

F V F

V V V

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Denição 1.31. A disjunção p q será verdadeira quando pelo menosuma das proposições p e q for verdadeira, isto é, ela só será falsa quandoas duas proposições p e q forem falsas.

Tabela 1.5: Tabela Verdade da Disjunção.

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Denição 1.32. A implicação p → q será falsa somente quando a pro-posição p for verdadeira e a proposição q for falsa.

Tabela 1.6: Tabela Verdade da Implicação.

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Denição 1.33. A dupla implicação p ↔ q será verdadeira se as propo-sições p e q tiverem o mesmo valor verdade, isto é, ou ambas verdadeiras,ou ambas falsas.

Exemplo 1.34. Determine os possíveis valores verdade das proposiçõesa seguir, ou seja, construa sua Tabela Verdade.

1. ( p q ) → rTemos que a proposição em questão possui três proposições sim-ples, p, q e r , e o seu conjunto de subproposições é

{ p, q, r, p q, ( p q ) → r }

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Tabela 1.7: Tabela Verdade da Dupla Implicação.

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Logo, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 23 = 8linhas, a saber:

Tabela 1.8: Tabela Verdade da proposição( p q ) → r .

p q r p q ( p q ) → r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Observe que na quarta coluna da Tabela 1.8 o principal conectivológico é a conjunção, cujos valores verdade dependem dos valoresverdade das proposições simples p e q .Assim, a quarta coluna da tabela é construída com base na TabelaVerdade da conjunção (Denição 1.30), observando a primeira ea segunda coluna da mesma tabela. Na quinta coluna o principalconectivo lógico é a implicação→, pois este é precedido pelo conec-tivo lógico . Esta quinta coluna da tabela é construída com basena Tabela Verdade da implicação (Denição 1.32), observando a

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Tabela 1.9: Tabela Verdade da proposição( p q ) → r .

p q r p q ( p q ) → r

V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

quarta e a terceira coluna, pois os possíveis valores verdade destacoluna dependem dos possíveis valores verdade da proposição sim-ples r e dos possíveis valores verdade da proposição p q .

2. q → pNeste caso a proposição possui duas proposições simples, p e q , eo seu conjunto de subproposições é

{ p, q, p, q, q → p}

Portanto, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 22 = 4linhas, a saber:

Tabela 1.10: Tabela Verdade da proposição q → p .

p q q p q → p

V V F F V

V F V F F

F V F V V

F F V V V

21


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F u n

d a m e n t o s


Nesta tabela, o principal conectivo na terceira e na quarta co-luna é a negação , portanto, são construídas com base na TabelaVerdade da negação (Denição 1.29), observando a segunda e aprimeira coluna, respectivamente. Já na última coluna, o princi-pal conectivo é →, e é construída com base na Tabela Verdadeda implicação (Denição 1.32), observando a terceira e a quartacoluna.

3. p q A proposição possui o seguinte conjunto de subproposições:

{ p, q, p, p q }

Portanto, sua Tabela Verdade é dada por:

Tabela 1.11: Tabela Verdade da proposição p q .

p q p p q

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

Note que a terceira e a quarta coluna da tabela são construídascom base nas Tabela Verdade da negação e disjunção (Denições1.29 e 1.31), respectivamente.

22


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F u n

d a m e n t o s



Quando achar necessário coloque apropriadamente os parêntesese construa as Tabelas Verdade das seguintes proposições:

1. ( p → r ) (q → r )

2. p ( p → q )

3. q ( p → q )4. ( p q ) ( p)

5. p → (q r )

6. p ( p → q ) → q

7. q ( p → q ) → p

8. ( p → q ) (q → r ) → ( p → r )

9. ( p q ) p → q 10. p q → p

11. p → p q

12. ( p → (q r )) q → p → r

13. ( p → r ) (q → r ) → ( p q ) → r

14. ( p ↔ q ) ↔ ( p → q ) (q → p)

15. p (q r ) ↔ ( p q ) ( p r )16. p → (q r ) ↔ ( p → q ) ( p → r )

17. p (q r ) ↔ ( p q ) ( p r )

18. p → (q r ) ↔ ( p → q ) ( p → r )

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F u n

d a m e n t o s


1.3 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia

Denição 1.35. Dizemos que uma proposição composta é uma contin-gência quando seus possíveis valores verdade são verdadeiros e falsos,independentemente dos valores verdade das proposições simples que acompõe. Ou seja, a última coluna da sua Tabela Verdade, a qual deter-mina seus possíveis valores verdade, tem os valores verdade V e F.Exemplo 1.36. As proposições compostas apresentadas no Exemplo1.34 são todas uma contingência. De fato, observe que a última colunade cada uma das respectivas Tabelas Verdade tem os valores verdade Ve F.Denição 1.37. Dizemos que uma proposição composta é uma tau-

tologia quando seus possíveis valores verdade são sempre verdadeiros,independentemente dos valores verdade das proposições simples que acompõe. Em outras palavras, a última coluna da sua Tabela Verdade,só tem o valor verdade V.Exemplo 1.38. As proposições p p, p ( p → q ) → q , q ( p →q ) → p e ( p q ) → p q são tautologias. De fato, bastaobservar que a última coluna de cada uma das Tabelas Verdade dasproposições, apresentadas a seguir, só tem o valor verdade V.

Tabela 1.12: Tabela Verdade da proposição p p .

p p p p

V F V

F V V

Tabela 1.13: Tabela Verdade da proposição p ( p → q ) → q .

p q p → q p ( p → q ) p ( p → q ) → q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

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F u n

d a m e n t o s


T a b e

l a 1

. 1 4 : T a b e

l a V e r d a

d e

d a p r o p o s i ç ã o q

(

p

→ q

) → p

.

p

q

p

q

p

→ q

q

(

p

→ q

)

q

( p

→ q

)

→ p

V

V

F

F

V

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

V

V

T a b e

l a 1

. 1 5 : T a b e

l a V e r d a

d e

d a p r o p o s i ç ã o

( p

q

)

→ p

q

.

p

q

p

q

p

q

(

p

q

)

p q

(

p q

)

→ p q

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

F

F

V

V

F

V

V

V

25


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F u n

d a m e n t o s


Denição 1.39 (Contra-Tautologia). Dizemos que uma proposiçãocomposta é uma contra-tautologia quando seus possíveis valores verdadesão sempre falsos, independentemente dos valores verdade das proposi-ções simples que a compõe. Em outras palavras, a última coluna da suaTabela Verdade, só tem o valor verdade F.

Exemplo 1.40. As proposições p p, ( p q ) p, ( p q ) ↔ (q p)são contra-tautologia. De fato, observe que a última coluna de cada umadas respectivas Tabelas Verdade, a qual determina seus possíveis valoresverdade, só tem o valor verdade F.

Tabela 1.16: Tabela Verdade da proposição p p .

p p p p

V F F

F V F

Tabela 1.17: Tabela Verdade da proposição ( p q ) p .

p q p q ( p q ) ( p q ) p

V V V F F

V F V F F

F V V F F

F F F V F

Tabela 1.18: Tabela Verdade da proposição ( p q ) ↔ (q p ) .

p q p q q p ( p q ) ( p q ) ↔ (q p )

V V V V F F

V F F F V F

F V F F V F

F F F F V F

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d a m e n t o s


1.4 Implicação e Equivalência Tautológica

Denição 1.41. A proposição P implica tautologicamente a proposiçãoQ , e indicamos por P Q se, e somente se, a fórmula P → Q é umatautologia.

Exemplo 1.42. 1. Dadas as proposições P : p ( p → q ) e Q : q ,vimos no Exemplo 1.38 que P → Q é uma tautologia, ou seja,P Q . Logo, P implica tautologicamente a proposição Q .

2. No mesmo Exemplo 1.38 temos que q ( p → q ) → p é uma tau-tologia, o que nos leva a concluir que P implica tautologicamentea proposição Q , sendo P : q ( p → q ) e Q : p.

3. Considere as proposições P : ( p q ) p e Q : q e veriquemos seP Q . Para isto basta vericar, com o uso da Tabela Verdade,se P → Q é uma tautologia. Veja Tabela 1.20.

Denição 1.43. Duas proposições P e Q são tautologicamente equiva-lentes , e indicamos por P Q , se, e somente se, a proposição P ↔ Q éuma tautologia.

Exemplo 1.44. 1. É fácil ver que as implicações p → q e q → psão equivalentes, ou seja, p → q q → p. Certamente,construindo a sua Tabela Verdade vemos que a proposição p →

q ↔ q → p é uma tautologia, como se vê na Tabela 1.21.2. Veriquemos que proposição p → q é equivalente a proposição

p q . Para isto basta vericar que a proposição p → q ↔ p q é uma tautologia. O que de fato acontece como mostra a TabelaVerdade a seguir.

Tabela 1.19: Tabela Verdade da proposição p → q ↔ p q .

p q p p → p p q p → q ↔ p q

V V F V V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

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F u n

d a m e n t o s


T a b e

l a 1

. 2 0 : T a b e

l a V e r

d a

d e

d a p r o p o s i ç ã o

( p

q

)

p →

q .

p

q

p q

p

p

q

( p

q

)

p

( p

q

)

p

→ q

V

V

V

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

T a b e

l a 1

. 2 1 : T a b e

l a V e r d a

d e

d a p r o p o s i ç ã o p

→ q

↔ q → p

.

p

q

p

→ q

q

p

q

→ p

p

→ q

↔ q

→ p

V

V

V

F

F

V

V

V

F

F

V

F

F

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

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F u n

d a m e n t o s



1. Verique as seguintes implicações tautológicas:

(a) Modus Ponens: p ( p → q ) q (b) Modus Tollens: q ( p → q ) p

(c) Silogismo Hipotético: ( p → q ) (q → r ) ( p → r )(d) Silogismo Disjuntivo: ( p q ) p q (e) Simplicação: p q p(f) Adição: p p q (g) Eliminação: ( p → (q r )) q p → r(h) Prova por Casos: ( p → r ) (q → r ) ( p q ) → r(i) Negação: ( p) p(j) Contraposição: p → q q → p(k) Troca de Premissas: p → (q → r ) q → ( p → r )(l) Idempotente para :: p p p

(m) Idempotente para : p p p(n) Associativa para : ( p q ) r p (q r )(o) Associativa para : ( p q ) r p (q r )(p) Lei de De Morgan: ( p q ) p q (q) Lei de De Morgan: ( p q ) p q

(r) Denição Implicação: p → q p q (s) Comutativa para : p q q p(t) Comutativa para : p q q p

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F u n

d a m e n t o s


2. Verique as seguintes equivalências tautológicas:

(a) Comutativa para : p q q p(b) Comutativa para : p q q p(c) Associativa para : ( p q ) r p (q r )

(d) Associativa para : ( p q ) r p (q r )(e) Idempotente para : p p p(f) Idempotente para : p p p(g) Absorção: p ( p r ) p(h) Absorção: p ( p r ) p(i) Distributivas para : p (q r ) ( p q ) ( p r )(j) Distributivas para : p (q r ) ( p q ) ( p r )(k) Distributivas para→: p → (q r ) ( p → q ) ( p → r )(l) Distributivas para→: p → (q r ) ( p → q ) ( p → r )

(m) Lei de De Morgan: ( p q ) p q (n) Lei de De Morgan: ( p q ) p q (o) Denição Implicação: p → q p q (p) Denição Implicação: p → q ( p q )(q) Denição Bicondicional: p ↔ q ( p → q ) (q → p)(r) Denição Bicondicional: p ↔ q ( p q ) ( q p)

(s) Negação: ( p) p(t) Contraposição: p → q q → p(u) Troca de Premissas: p → (q → r ) q → ( p → r )(v) Exportação ( ) e Importação ( ):

( p q ) → r p → (q → r )

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01-Apostila Logica Andre